ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. ( ) f ( ) είαι (7 µοάδες) Να ορίσετε το σταθµισµέο αριθµητικό µέσο ή σταθµικό µέσο για τις τιµές,,..., εός συόλου δεδοµέω που έχου διαφορετική βαρύτητα και η οποία εκφράζεται µε τους λεγόµεους συτελεστές βαρύτητας w w,..., w,. ( µοάδες) Πότε µια συάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέγεται συεχής; Α.. ( µοάδες) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθού, γράφοτας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που ατιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, α η πρόταση είαι σωστή, ή Λάθος, α η πρόταση είαι λαθασµέη. α) Α οι συαρτήσεις f και g είαι παραγωγίσιµες στο Α και g ( ) 0 για f ( ) g( ) f ( ) g ( ) f ( ) κάθε τότε ισχύει ότι:, για κάθε g( ) ( g( ) ) β) Ο συτελεστής µεταβλητότητας CV παριστάει έα µέτρο απόλυτης διασποράς και όχι έα µέτρο σχετικής διασποράς. γ) Η διάµεσος δ εός δείγµατος παρατηρήσεω είαι πάτα µία από τις παρατηρήσεις. δ) Το εδεχόµεο «ιαφορά του Β από το Α» πραγµατοποιείται ότα πραγµατοποιείται το Α αλλά όχι το Β. ε) ύο συµπληρωµατικά εδεχόµεα είαι ασυµβίβαστα. (Χ µοάδες) ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

2 ΘΕΜΑ Β Ο χρόος ααµοής σε mn τω µαθητώ εός σχολείου στη στάση του λεωφορείου έχει οµαδοποιηθεί σε κλάσεις ίσου πλάτους. Το εύρος είαι R 0 mn, η κετρική τιµή της τρίτης κλάσης είαι 0 mn, µαθητές περιµέου λιγότερο από mn, 0 µαθητές λιγότερο από mn, το 8 % περιµέου χρόο λιγότερο από 6 mn, N 0 και F 0,. Β.. Να αποδείξετε ότι το πλάτος c της κάθε κλάσης είαι και α µεταφέρετε στο τετράδιο σας σωστά συµπληρωµέο το παρακάτω πίακα χρόος σε mn [...,...) N f F F % [...,...) [...,...) [...,...) [...,...) Σύολο (8 µοάδες) Β.. Β.. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή, τη διασπορά και τη διάµεσο του χρόου ααµοής τω µαθητώ του δείγµατος (7 µοάδες) Θεωρούµε ότι όλοι οι χρόοι τω µαθητώ είαι οµοιόµορφα καταεµηµέοι σε κάθε µία από τις παραπάω κλάσεις. Επιλέγουµε έα µαθητή στη τύχη και θεωρούµε τα εδεχόµεα: : ο χρόος ααµοής του µαθητή είαι µικρότερος από 0 mn B: ο χρόος ααµοής του µαθητή είαι τουλάχιστο 8 mn και λιγότερος από 7 mn α) Να βρείτε τις πιθαότητες P () και P ( β) Να βρείτε τις πιθαότητες P(, ( P, P( ( ). ( µοάδες) ( µοάδες) ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

3 ΘΕΜΑ Γ Θεωρούµε µια µεταβλητή X η οποία µετράει σε mmhg τη συστολική πίεση εός δείγµατος Α ατόµω µιας πόλης και η οποία ακολουθεί περίπου τη καοική καταοµή. ίεται ότι η διάµεσος δ της καταοµής είαι δ lm σε + mmhg και ότι το 8 % του δείγµατος έχει συστολική πίεση µεγαλύτερη από mmhg. Γ.. Να βρείτε τη µέση τιµή, τη τυπική απόκλιση s του δείγµατος Α και α εξετάσετε α το δείγµα Α είαι οµοιογεές. (8 µοάδες) Γ.. Έστω ότι για το δείγµα Α ισχύει ότι 0 mmhg και s mmhg. Έα δεύτερο δείγµα Β, επίσης ατόµω, παρουσιάζει συστολική πίεση +0 mmhg, για κάθε,,...,, όπου η συστολική πίεση τω ατόµω του δείγµατος Α. α) Να βρείτε τη µέση τιµή B, τη τυπική απόκλιση s B και α συγκρίετε ως προς τη οµοιογέεια τα δύο δείγµατα. (7 µοάδες) β) Α επιπλέο το πλήθος τω ατόµω του δείγµατος Α, τω οποίω η + s, + s, είαι 0, συστολική πίεση παίρει τιµές στο διάστηµα ( ). α βρείτε το µέγεθος του δείγµατος Α. ( µοάδες). Να βρείτε πόσα συολικά άτοµα και από τα δύο δείγµατα έχου συστολική πίεση κάτω από mmhg. ( µοάδες) ΘΕΜΑ ίεται η συάρτηση ε ) : + β ( στο σηµείο (, f () ) f ( ), R, µε a > 0, και η εφαπτοµέη a + Α της γραφικής της παράστασης... α) Να δείξετε ότι α β. ( µοάδες) β) Να µελετήσετε τη f ως προς τη µοοτοία και τα ακρότατα. ( µοάδες) ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

4 .. Θεωρούµε τα εδεχόµεα Α, Β, Γ, εός δειγµατικού χώρου Ω, που οι πιθαότητες τω εδεχοµέω του δίοται από τις τεταγµέες, σηµείω (, ) της εφαπτοµέης (ε ). α) Για τις τετµηµέες τω παραπάω σηµείω (, ), α αποδείξετε ότι 0. ( µοάδες) 7 β) Έστω τα σηµεία K,, M,, N, της εφαπτοµέης (ε ). Α οι πιθαότητες τω εδεχοµέω (, B και είαι διαφορετικές αά δύο και στοιχεία του συόλου,, }, τότε: {. Να αποδείξετε ότι P ( ), P( και P( 0 ( µοάδες). Να αποδείξετε ότι f ( P( B' )) > f ( P( B' )). Α P ( Γ) α αποδείξετε ότι 0 P( Β Γ) ( µοάδες) ( µοάδες) ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες Α.. Σχολικό βιβλίο Σελίδες 8-9. Α.. Σχολικό βιβλίο Σελίδες Α.. Σχολικό βιβλίο Σελίδα 6. Α.. ΘΕΜΑ Β α Σ, β Λ, γ Λ, δ Σ, ε Σ. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Β.. Αφού το εύρος R 0 mn και το πλήθος τω κλάσεω είαι κ, τότε R 0 c κ. Α οι κλάσεις είαι [ a, a+ ),[ a+, a+ 8),[ a+ 8, a+ ), από τη κετρική τιµή της ης κλάσης ( a + 8) + ( a + ) a a + 0 a 0, άρα οι κλάσεις είαι [ 0, ),{, 8),{8,),[, 6),[6, 0). Έχουµε επίσης ότι N 0, αφού N, άρα 0. Επίσης, δίεται ότι µαθητές περιµέου λιγότερο από mn άρα, έτσι: 6 f 0,06 και 0 00 F 0,, άρα f + f 0, f 0, 0,06 f () 0, v 0, 0, 7. 0 ίεται επίσης ότι 0 µαθητές περιµέου λιγότερο από mm, άρα N , άρα ÈÅÌÁÔÁ 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 0

6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) Β.. 0 f 0, και F f+ f + f 0,, δίεται επίσης ότι το 8% τω 0 µαθητώ περιµέου χρόο λιγότερο από 6mn, άρα F 8 F 0,8 f + f + f + f 0,8, οπότε % f 0,8 0, 0, και 0, 0, 0 Οπότε N , άρα 0 8 έτσι ο πίακας γίεται : Κλάσεις: χρόος σε mn Κέτρο κλάσης Συχότητα N f ÈÅÌÁÔÁ 0 F % [0,) 0,06 0,06 6 [,8) , 0, 0 [8,) , 0, 0 [,6) 0, 0,8 8 [6,0) ,6 00 Σύολο 0 Για το µέσο χρόο ααµοής και τη διασπορά: Κλάσεις: χρόος σε mn ( ) F ( ) [0,) [,8) [8,) [,6) [6,0) Σύολο ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 0

7 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) Άρα s κ 600 mn και η διασπορά ή διακύµαση 0 κ ( ), δηλαδή s ,6 mn 0 00 ÈÅÌÁÔÁ 0, οπότε s s 9,6, mn. Η διάµεσος δ σε οµαδοποιηµέη καταοµή ατιστοιχεί στη τιµή δ της µεταβλητής (στο οριζότιο άξοα) έτσι ώστε το 0% τω παρατηρήσεω α είαι µικρότερες ή ίσες του δ. ηλαδή η διάµεσος έχει αθροιστική σχετική συχότητα F 0 % έτσι στο σχήµα από το ιστόγραµµα αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω επί τοις εκατό τα σηµεία Α, Μ, Β είαι συευθειακά έτσι: B M λ ΑΒ λ ΑΜ ή B M ( δ ) 0 ή 6 δ δ δ 0 δ δ,9 mn περίπου F % % 0 0 Α(,0) Β(6,8) Μ(δ,0) 0 8 δ 6 0 χροος σε mn Β τρόπος Από τα όµοια τρίγωα ΑΗΜ ΑΚΒ ή λόγω θεωρήµατος Θαλή έχουµε ΑΗ ΗΜ 0 0, δηλαδή 0, 9 περίπου ΑΚ ΚΒ Άρα η διάµεσος δ + + 0,9, 9 περίπου ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 0

8 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) F % % 0 Α(,0) 0 0 H Β(6,8) Μ(δ,0) 0 8 δ 6 0 K χροος σε mn Β.. α) Από το σχήµα έχουµε Γ ( 8,0), P(0, ), (,0) Γ P Γ λ ΓΑ λγρ, άρα Γ P Γ άρα το 0% τω µαθητώ έχει χρόο ααµοής κάτω από 0 mn (οπότε το 70% κάει χρόο από 0 mn και πάω) άρα για το εδεχόµεο Α{ο χρόος ααµοής του µαθητή είαι µικρότερος από 0 mn }, έχουµε 0 P ( ) P( t< 0 mn) 0, 00 λ Β 6 F % Ε(7, ) Β(6,8) 0% Μ(δ,0) 0 Α(,0) 0 Ρ(0, ) 0 Γ(8,0) 0 8 0δ 67 0 (0,00) ÈÅÌÁÔÁ 0 χροος σε mn Β Ε Β λβε, άρα Β Ε Β ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 0

9 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) Άρα το 88% τω µαθητώ έχει χρόο ααµοής κάτω από 7 mn, από αυτούς το 0% έχει χρόο ααµοής κάτω από 8 mn, άρα χρόο ααµοής τουλάχιστο 8 mn και λιγότερο από 7 mn έχει το % του συόλου τω µαθητώ. Έτσι για τη πιθαότητα του εδεχοµέου Β{ο χρόος ααµοής του µαθητή είαι τουλάχιστο 8 mn και λιγότερος από 7 mn },έχουµε 68 P ( P(8 t< 7 mn) 0,68 00 β) Θεωρούµε το εδεχόµεο B {ο χρόος ααµοής του µαθητή 8 mn t 0 mn }, τότε το 0% τω µαθητώ έχει χρόο ααµοής κάτω από 0 mn, από αυτούς το 0% έχει χρόο ααµοής κάτω από 8 mn, οπότε το 0 0 0% έχει χρόο ααµοής 8 mn t 0 mn, 0 άρα P ( B 0,, οπότε 00 P ( P( ) + P( P( 0, + 0,68 0, 0,88,εώ P ( P( ) P( 0, 0, 0,, έτσι ( ) P ( P( B ) P( P( 0,68 0, 0,8 ΘΕΜΑ Γ Γ.. Αρχικά για το όριο: δ lm + Πρέπει + 0 και + 0 όποτε και +, άρα και +, έτσι έχουµε και, άρα η συάρτηση ορίζεται στο σύολο [,) (, + ) άρα για τη συάρτηση έχουµε: ( ) ( ) ( + + ) ( + ) ( + )( + + ) ) ( + + ) ( ) ( + + ) ( + + ) ( + ) ( + ) ( + + ) lm lm 0 f ( ) ή ( f ( ) άρα ÈÅÌÁÔÁ 0 lm f ( ) + Έτσι δ lm 0 0 mm Hg + Όπως γωρίζουµε στη καοική καταοµή, η µέση τιµή χωρίζει το σύολο τω παρατηρήσεω µε τέτοιο τρόπο έτσι ώστε το 0% τω παρατηρήσεω α είαι µικρότερες ή ίσες της και το 0% τω παρατηρήσεω α είαι ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 0

10 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) µεγαλύτερες ή ίσες της. ηλαδή στη καοική καταοµή ισχύει ότι η διάµεσος και η µέση τιµή ταυτίζοται έτσι δ 0 mm Hg. Αποδεικύεται ότι στη καοική καταοµή: το 8% έχει συστολική πίεση > s από το πρόβληµα δίεται ότι: το 8% έχει συστολική πίεση µεγαλύτερη από mm Hg, άρα πρέπει, s mm Hg, όµως 0 mm Hg, άρα 0 s s mm Hg Έτσι για τη καταοµή Α έχουµε: % 8% 0% s - s - s + s + s + s σε mm Hg Για το συτελεστή µεταβολής είαι οµοιογεές. CV s <, άρα το δείγµα Α Γ.. α) Για το δείγµα Β ξέρουµε ότι κάθε άτοµο του δείγµατος αυτού παρουσιάζει συστολική πίεση + 0 σε mm Hg, για κάθε,,...,, σε σχέση µε τη συστολική πίεση τω ατόµω του δείγµατος Α. Άρα, από γωστή εφαρµογή του σχολικού βιβλίου, θα ισχύει ότι B mm Hg Εώ s s mm Hg. B ÈÅÌÁÔÁ 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 6 ΑΠΟ 0

11 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) Οπότε s B CV B < B 0 0 CV οµοιογέεια σε σχέση µε το δείγµα Α. καταοµή Α, έτσι το δείγµα Β παρουσιάζει µεγαλύτερη καταοµή Β σε mm Hg - s - s - s + s + s + s B- sb B- sb B- sb B B+ sb B+ sb B+ sb Γ.. β) ÈÅÌÁÔÁ 0, σε mm Hg + s + s. Από τη υπόθεση έχουµε ότι το πλήθος τω ατόµω του δείγµατος Α, στο + s, + s, είαι ίσο µε 0, όµως το παραπάω διάστηµα [ ] ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 7 ΑΠΟ 0

12 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) διάστηµα περιέχει το,% του πλήθους τω ατόµω της καταοµής, Α, άρα,% 0 0, ηλαδή 000, έτσι B. 000 άτοµα.,. Οπότε συολικά και από τα δύο δείγµατα έχου συστολική πίεση κάτω από mm Hg Το 8 % τω ατόµω της καταοµής Α Το 6 % τω ατόµω της καταοµής Β 8 6 Άρα συολικά άτοµα καταοµή Α 8% 6% σε mm Hg + s - s B B B καταοµή Β ΘΕΜΑ.. α. a f '( ) ( a + ) Ο συτελεστής διεύθυσης της εφαπτοµέης ( ε ) : + β είαι λ και ισούται µε τη παράγωγο της f στο 0, εποµέως είαι: ÈÅÌÁÔÁ 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 8 ΑΠΟ 0

13 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) a f '() ( a + ) a... a, οπότε η ( a + ) συάρτηση f γίεται f ( ) και είαι f ( ). + Για και στη (ε) βρίσκουµε: + β β. β. f '( ) 0 0 ( + ) 0 + f '( ) + 0 f () ր τ.µ. ց Στο διάστηµα (,0] η f είαι γησίως αύξουσα και στο διάστηµα [ 0, + ) είαι γησίως φθίουσα. Στο 0 η f παρουσιάζει τοπικό µέγιστο το f ( 0), το οποίο είαι και ολικό µέγιστο, αφού για 0 είαι f ( ) f (0) και για 0 είαι f ( ) f (0), δηλαδή για κάθε R είαι f ( ) f (0)... α. Α Α έα εδεχόµεο εός δειγµατικού χώρου Ω, τότε ισχύει 0 P ( ), οπότε πρέπει 0, β) Είαι Οπότε {,, },, 0 0 ÈÅÌÁÔÁ 0. Οι πιθαότητες τω εδεχοµέω ( ', B, και Α είαι οι αριθµοί,,, όχι απαραίτητα µε τη ίδια σειρά. 0 Η αύξουσα σειρά αυτώ τω αριθµώ είαι,,. 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 9 ΑΠΟ 0

14 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) Είαι B, οπότε P( ) P(. Α P ( ) και P (, τότε υποχρεωτικά πρέπει α είαι 7 P (( '), αλλά τότε P ( P( > P( ) που είαι άτοπο γιατί ισχύει P( P( ), αφού B. Α P ( ) και P (, τότε υποχρεωτικά πρέπει α είαι 0 P (( B )'), αλλά τότε P ( P( > P( ) που είαι άτοπο γιατί ισχύει P( P( ), αφού B. Εποµέως είαι: P ( ), P( και P (( B )'). 0 Επειδή είαι P( ( ') P(, τότε P ( P( ( ').. Είαι P ( B' ) P( P( ) P( () 0 0 Επίσης είαι B' ( B' )' B, οπότε P ( B' ) P( (). Από τις και προκύπτει ότι P( B' ) < P( B' ) και αφού η συάρτηση f είαι γησίως φθίουσα στο διάστηµα [ 0, + ), τότε f P B' > f P( B').. Είαι ( ( )) ( ) P ( P( ) + P( P( P( P( + P( P( ) P( Είαι Β Γ Β, άρα P ( Β Γ) P( Β) P( Β Γ) () Επίσης, Β Γ Γ, άρα P ( Β Γ) P( Γ) P( Β Γ) 0 P( B Γ) P( P( Β Γ) P( 0 0 P( Β Γ) P( Β Γ) P( Β Γ) () 0 0 Από τις () και () προκύπτει ότι: P ( Β Γ). ÈÅÌÁÔÁ 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 0 ΑΠΟ 0