+ + = + + α ( β γ) ( )

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "+ + = + + α ( β γ) ( )"

Παρθενιά Μάγκας
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε τις δυάµεις 2. Κάουµε πολλαπλασιασµούς και διαιρέσεις 3. Κάουµε προσθέσεις και αφαιρέσεις Α υπάρχου πράξεις µέσα σε παρεθέσεις τις εκτελούµε πρώτα µε τη παραπάω σειρά. υάµεις ρητώ αριθµώ Το γιόµεο α α α... α που έχει παράγοτες οοµάζεται ιοστή δύαµη του α και συµβολίζεταια Ιδιοτητες δυαµεω 0 µ µ α = 1 α α = α + α µ : α = α µ ( ) α α α β = α β = β β Ευκλείδεια διαίρεση Ο τύπος της ευκλείδειας διαίρεσης είαι ( α ) = µ α µ = δ π + υ όπου υ< δ µε: : διαιρετέος δ : διαιρέτης π : πηλίκο υ : υπόλοιπο Κριτήρια διαιρετότητας Έας αριθµός διαιρείται µε το 2 ότα τελειώει σε 0,2,4,6,8 Έας αριθµός διαιρείται µε το 5 ότα τελειώει σε 0 ή 5 Έας αριθµός διαιρείται µε το 3 ότα το άθροισµα τω ψηφίω του διαιρείται µε το 3. Έας αριθµός διαιρείται µε το 9 ότα το άθροισµα τω ψηφίω του διαιρείται µε το 9 Κλάσµατα Ισοδύαµα οοµάζοται δύο κλάσµατα που εκφράζου το ίδιο µέρος. Αάγωγο οοµάζεται το κλάσµα που δε µπορεί α απλοποιηθεί. Οµώυµα οοµάζοται τα κλάσµατα που έχου ίδιους παροοµαστές Ετερώυµα οοµάζοται τα κλάσµατα που έχου διαφορετικούς παροοµαστές. Σύγκριση κλασµάτω Από δύο οµώυµα κλάσµατα µεγαλύτερο είαι εκείο που έχει µεγαλύτερο αριθµητή. Α δύο κλάσµατα είαι ετερώυµα τα µετατρέπω σε οµώυµα και τα συγκρίω. Από δύο κλάσµατα µε τους ίδιους αριθµητές µεγαλύτερο είαι εκείο που έχει µικρότερο παροοµαστή. Πράξεις µεταξύ κλασµάτω Πρόσθεση κλασµάτω: Για α προσθέσω δύο κλάσµατα θα πρέπει α είαι οµώυµα. Α είαι οµώυµα τότε προσθέτω τους αριθµητές και αφήω το κοιό παροοµαστή. Αφαίρεση κλασµάτω: Για α αφαιρέσω δύο κλάσµατα θα πρέπει α είαι οµώυµα. Α είαι οµώυµα τότε αφαιρώ τους αριθµητές και αφήω το κοιό παροοµαστή. Πολλαπλασιασµός κλασµάτω: Για α πολλαπλασιάσω δύο κλάσµατα πολλαπλασιάζω τους αριθµητές και τους παροοµαστές τους.

2 ιαίρεση κλασµάτω: Για α διαιρέσω δύο κλάσµατα κάω τη διαίρεση πολλαπλασιασµό και ατιστρέφω το δεύτερο κλάσµα. Ποσοστά Το σύµβολο α% οοµάζεται ποσοστό επί τοις εκατό.

3 Αάλογα ποσά Ααλογία οοµάζεται η ισότητα δύο λόγω. Α α γ = τότε α δ = β γ β δ Αάλογα οοµάζοται τα ποσά που ο λόγος τω τιµώ τους παραµέει σταθερός. Στα αάλογα ποσά ότα η τιµή του εός πολλαπλασιάζεται µε έα αριθµό τότε και η ατίστοιχη τιµή του άλλου πολλαπλασιάζεται µε το ίδιο αριθµό. Α x, y δύο ποσά που είαι αάλογα, συδέοται µε τη σχέση y= a x όπου α είαι ο συτελεστής ααλογίας. Η γραφική παράσταση τω αάλογω ποσώ είαι µια ευθεία που διέρχεται από τη αρχή τω αξόω. Ατιστρόφως αάλογα ποσά Ατιστρόφως αάλογα ποσά οοµάζοται τα ποσά που το γιόµεο τω τιµώ τους παραµέει σταθερό. Στα ατιστρόφως αάλογα ποσά ότα η τιµή του εός πολλαπλασιάζεται µε έα αριθµό τότε η ατίστοιχη τιµή του άλλου διαιρείται µε το αριθµό αυτό. Η γραφική παράσταση τω ατιστρόφως αάλογω ποσώ οοµάζεται υπερβολή. Απόλυτη τιµή Απόλυτη τιµή εός αριθµού α συµβολίζεται µε α και είαι η απόσταση του α από το µηδέ. Η απόλυτη τιµή εός θετικού αριθµού είαι ο ίδιος ο αριθµός. Η απόλυτη τιµή εός αρητικού αριθµού είαι ο ατίθετός του. Απαλοιφή παρεθέσεω Ότα µια παρέθεση έχει µπροστά της το πρόσηµο + ή δε έχει πρόσηµο µπορούµε α τη απαλείψουµε µαζί µε το + και α γράψουµε τους όρους που περιέχει µαζί µε τα πρόσηµά τους. Ότα µια παρέθεση έχει µπροστά της το πρόσηµο µπορούµε α τη απαλείψουµε µαζί µε το και α γράψουµε τους όρους που έχει µε τα ατίθετα πρόσηµα. Καόες πράξεω ρητώ αριθµώ Πρόσθεση ρητώ αριθµώ: Για α προσθέσουµε 2 οµόσηµους ρητούς αριθµούς βάζουµε το κοιό τους πρόσηµο και προσθέτουµε τις απόλυτες τιµές τους. Για α προσθέσουµε 2 ετερόσηµους ρητούς αριθµούς βάζουµε το πρόσηµο της µεγαλύτερης απόλυτης τιµής και αφαιρούµε από τη µεγαλύτερη τη µικρότερη απόλυτη τιµή. Για α κάουµε τη αφαίρεση α-β δύο ρητώ α, β προσθέτουµε στο α το α β = α+ β ατίθετο του β, δηλαδή ( ) Πολλαπλασιασµός ρητώ αριθµώ Για α πολλαπλασιάσουµε δύο οµόσηµους ρητούς αριθµούς βάζουµε το πρόσηµο + και πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τους. Για α πολλαπλασιάσουµε δύο ετερόσηµους ρητούς αριθµούς βάζουµε το πρόσηµο και πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τους. ιαίρεση ρητώ αριθµώ Για α διαιρέσουµε δύο οµόσηµους ρητούς αριθµούς βάζουµε το πρόσηµο + και διαιρούµε τις απόλυτες τιµές τους. Για α διαιρέσουµε δύο ετερόσηµους αριθµούς βάζουµε το πρόσηµο και διαιρούµε τις απόλυτες τιµές τους.

Α x, y δύο ποσά που είαι αάλογα, συδέοται µε τη σχέση y= a x όπου α είαι ο συτελεστής ααλογίας. Η γραφική παράσταση τω αάλογω ποσώ είαι µια ευθεία που διέρχεται από τη αρχή τω αξόω.

4 Ιδιότητες πράξεω πρόσθεσης πολλαπλασιασµού Ατιµεταθετική α+ β = β+ α α β = β α + + = + + α ( β γ) ( ) Προσεταιριστική α ( β γ ) ( α β ) γ α+ 0= α α 1= α ( α) 0 α+ = 1 α = 1 α = α β γ Επιµεριστική ιδιότητα α( β± γ) = α β± α γ Γεωµετρία Βασικές γεωµετρικές έοιες: Ευθεία είαι µια γραµµή που δε έχει αρχή και τέλος. Ηµιευθεία είαι µια γραµµή που έχει αρχή αλλά δε έχει τέλος. Ευθύγραµµο τµήµα είαι µια γραµµή µε αρχή και τέλος. Ατικείµεες ηµιευθείες είαι δύο ηµιευθείες που έχου κοιή κορυφή και η µία είαι προέκταση της άλλης. Επίπεδο είαι µια επιφάεια πάω στη οποία εφαρµόζει πατού η ευθεία γραµµή. Γωία είαι η περιοχή που ορίζου 2 ηµιευθείες µε κοιή κορυφή πάω στο επίπεδο. Μοάδα µέτρησης τω γωιώ είαι η µοίρα. ιχοτόµος γωίας οοµάζεται η ηµιευθεία που έχει αρχή τη κορυφή της γωίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωίες. Μέσο ευθυγράµµου τµήµατος λέγεται το σηµείο που χωρίζει το ευθύγραµµο τµήµα σε δύο ίσα µέρη. Είδη γωιώ Ορθή οοµάζεται η γωία της οποίας το µέτρο 90 o.οι πλευρές της ορθής είαι κάθετες ηµιευθείες. Οξεία οοµάζεται η γωία που είαι µικρότερη από τη ορθή. Αµβλεία οοµάζεται η γωία που είαι µεγαλύτερη από τη ορθή και µικρότερη από 180 o. Ευθεία γωία οοµάζεται η γωία που το µέτρο της είαι ίσο µε 180 o. Μη κυρτή λέγεται η γωία µε µέτρο µεγαλύτερο τω180 o και µικρότερο τω 360 o. Μηδεική λέγεται η γωία µε µέτρο 0 o. Πλήρης λέγεται η γωία µε µέτρο 360 o. Εφεξής οοµάζοται δύο γωίες που έχου τη ίδια κορυφή, µια κοιή πλευρά και καέα άλλο κοιό σηµείο. ιαδοχικές γωίες λέγοται περισσότερες από δύο γωίες που η καθεµία από αυτές είαι εφεξής µε τη προηγούµεη και τη επόµεή της. Παραπληρωµατικές γωίες οοµάζοται δύο γωίες που έχου άθροισµα 180 o. Συµπληρωµατικές γωίες οοµάζοται δύο γωίες που έχου άθροισµα 90 o. Κατακορυφή γωίες οοµάζοται δύο γωίες που έχου κοιή κορυφή και οι πλευρές της µίας είαι ατικείµεες ηµιευθείες της άλλης. Οι κατακορυφή γωίες είαι ίσες.

Ευθύγραµµο τµήµα είαι µια γραµµή µε αρχή και τέλος. Ατικείµεες ηµιευθείες είαι δύο ηµιευθείες που έχου κοιή κορυφή και η µία είαι προέκταση της άλλης.

5 Παράλληλες Παράλληλες οοµάζοται οι ευθείες που αήκου στο ίδιο επίπεδο και δε τέµοται. Ότα δύο παράλληλες ευθείες τέµοται από µια τρίτη τότε οι ετός και εαλλάξ γωίες που σχηµατίζοται είαι ίσες. Ότα δύο παράλληλες ευθείες τέµοται από µια τρίτη τότε οι ετός εκτός και επί τα αυτά γωίες που σχηµατίζοται είαι ίσες. Μεσοκάθετος Μεσοκάθετος ευθυγράµµου τµήµατος λέγεται η ευθεία που διέρχεται από το µέσο του και είαι κάθετη σε αυτό. Κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ισαπέχει από τα άκρα του ευθυγράµµου τµήµατος. Τρίγωα Κύρια στοιχεία εός τριγώου είαι οι πλευρές και οι γωίες του. Είδη τριγώω µε βάση τις πλευρές: Ισόπλευρο (Το τρίγωο που όλες οι πλευρές είαι ίσες). Ισοσκελές (Το τρίγωο που έχει δύο πλευρές ίσες). Σκαληό (Το τρίγωο που όλες οι πλευρές είαι άισες). Είδη τριγώω µε βάση τη γωία Ορθογώιο (Το τρίγωο που έχει µια ορθή γωία). Αµβλυγώιο (Το τρίγωο που έχει µια αµβλεία γωία). Οξυγώιο (Το τρίγωο που όλες οι γωίες είαι οξείες). ευτερεύοτα στοιχεία εός τριγώου ιάµεσος: είαι το ευθύγραµµο τµήµα που εώει τη κορυφή µε το µέσο της απέατι πλευράς. Ύψος: είαι το κάθετο ευθύγραµµο τµήµα από µια κορυφή προς τη απέατι πλευρά. ιχοτόµος: είαι το ευθύγραµµο τµήµα που χωρίζει τη γωία σε δύο ίσες γωίες. Σε κάθε τρίγωο το άθροισµα τω γωιώ του είαι 180 o Σε κάθε ισοσκελές τρίγωο ισχύου: Οι προσκείµεες γωίες στη βάση ισοσκελούς τριγώου είαι ίσες. Η διάµεσος που ατιστοιχεί στη βάση είαι και ύψος και διχοτόµος. Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωο ισχύει: Όλες οι πλευρές και όλες οι γωίες του ισοπλεύρου τριγώου είαι ίσες. Κάθε διάµεσος είαι και ύψος και διχοτόµος. Παραλληλόγραµµο Παραλληλόγραµµο λέγεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που έχει τις απέατι πλευρές παράλληλες. Κάθε πλευρά του παραλληλογράµµου µπορεί α θεωρηθεί βάση του. Η απόσταση της βάσης από τη απέατι πλευρά λέγεται ύψος του παραλληλογράµµου. Ειδικές περιπτώσεις παραλληλογράµµω: Ορθογώιο παραλληλόγραµµο είαι το παραλληλόγραµµο που όλες οι γωίες του είαι ορθές. Ρόµβος είαι το παραλληλόγραµµο που όλες οι πλευρές είαι ίσες. Τετράγωο είαι το παραλληλόγραµµο που οι πλευρές του είαι ίσες και οι γωίες του ορθές. Τραπέζιο Τραπέζιο είαι το τετράπλευρο που έχει µόο δύο πλευρές παράλληλες. Οι παράλληλες πλευρές οοµάζοται βάσεις του τραπεζίου. Η απόσταση τω βάσεω λέγεται ύψος του τραπεζίου. Α έα τραπέζιο έχει τις µη παράλληλες πλευρές του ίσες οοµάζεται ισοσκελές τραπέζιο.

Μεσοκάθετος Μεσοκάθετος ευθυγράµµου τµήµατος λέγεται η ευθεία που διέρχεται από το µέσο του και είαι κάθετη σε αυτό. Κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ισαπέχει από τα άκρα του ευθυγράµµου τµήµατος.

Σχετικά έγγραφα

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποεότητα.: Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (Επααλήψεις- Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες:. Οι πραγµατικοί αριθµοί και οι πράξεις τους.. υάµεις πραγµατικώ αριθµώ..