ÊåöÜëáéï 4 ï ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò
|
|
|
- Βλάσιος Βικελίδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ÊåöÜëáéï 4 ï ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò Ο µαθητής πυ έχει µελετήσει τ κεφάλαι 4 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει τη σχετική θέση δύ ευθειών. Να γνωρίζει τη σχέση µεταξύ γωνιών πυ σχηµατίζνται από δύ παράλληλες ευθείες ι πίες τέµννται από µια τρίτη ευθεία. Να γνωρίζει διάφρυς τρόπυς µε τυς πίυς θα απδεικνύει ότι δύ ι περισσότερες ευθείες είναι παράλληλες. Να γνωρίζει ότι τ άθρισµα των γωνιών τυ τριγώνυ είναι ρθές και τις διάφρες σηµαντικές πρτάσεις και πρίσµατα πυ πρκύπτυν. Να γνωρίζει και να εφαρµόζει τη σχέση γωνιών µε πλευρές παράλληλες ή κάθετες. Να γνωρίζει τ άθρισµα των γωνιών κυρτύ ν-γώνυ καθώς και τ άθρισµα των εξωτερικών γωνιών τυ. Να γνωρίζει τυς αξισηµείωτυς κύκλυς ενός τριγώνυ.
2 5. Τύπι - Βασικές έννιες Σχετικές θέσεις δύ ευθειών. Οι σχετικές θέσεις δύ ευθειών ε και ε τυ ίδιυ επιπέδυ είναι ι παρακάτω: Ταυτίζνται. (άπειρα κινά σηµεία). Συµβλίζυµε ε ε. Τέµννται. (ένα κινό σηµεί). εν τέµννται. (κανένα κινό σηµεί). Στην περίπτωση αυτή ι ευθείες νµάζνται παράλληλες και συµβλίζυµε ε // ε. (á) (â) (ã) å å å å å å Τέµνυσα δύ ευθειών. Έστω δύ ευθείες ε και ε τυ επιπέδυ ι πίες τέµννται από µια τρίτη ευθεία ε 3. Τότε σχηµατίζνται τα εξής ζεύγη γωνιών: Γωνίες εντός εναλλάξ. Είναι γωνίες πυ βρίσκνται εντός της ζώνης πυ δηµιυργύν ι ευθείες ε και ε και σε διαφρετικά ηµιεπίπεδα πυ ρίζει η ευθεία ε 3. Τέτιες είναι ι γ, ε και δ, ζ. Γωνίες εντός και επί τα αυτά µέρη. Είναι γωνίες πυ βρίσκνται εντός των ευθειών ε και ε και στ ίδι ηµιεπίπεδ πυ ρίζει η ευθεία ε 3. Τέτιες είναι ι δ, ε και γ, ζ. Γωνίες εντός, εκτός και επί τα αυτά µέρη. Είναι γωνίες πυ βρίσκνται µια εντός και µία εκτός των ευθειών ε και ε και στ ίδι ηµιεπίπεδ πυ ρίζει η ευθεία ε 3. Τέτιες είναι ι α,ε και β,ζ και δ,θ και η,γ. Θεώρηµα Αν δύ ευθείες ε, ε τεµνόµενες από τρίτη ευθεία ε σχηµατίζυν τις: εντός εναλλάξ γωνίες ίσες τότε ε //ε. εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες ίσες τότε ε //ε. εντός και επί τα αυτά γωνίες ίσες τότε ε //ε. και αντίστρφα. Αν δύ παράλληλες ευθείες τέµννται από τρίτη, σχηµατίζυν: τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. τις εντός εκτός και επί τα αυτά µέρη γωνίες ίσες, τις εντός και επί τα αυτά µέρη γωνίες παραπληρωµατικές.
3 Τύπι - Βασικές έννιες 53. Πρίσµατα ύ ευθείες κάθετες σε διαφρετικά σηµεία στην ù ίδια ευθεία, είναι µεταξύ τυς παράλληλες (σχ.α). ö ύ ευθείες παράλληλες στην ίδια ευθεία, είναι (á) Â και µεταξύ τυς παράλληλες. Αν δύ ευθείες είναι παράλληλες και µία τρίτη ευθεία τέµνει µία από αυτές τότε τέµνει και την (â) Â άλλη (σχ.β). Αν δύ ευθείες είναι παράλληλες και µία τρίτη ευθεία τέµνει κάθετα µία από αυτές τότε τέµνει κάθετα και την άλλη. å å å å Τ Ευκλείδει Αίτηµα της Παραλληλίας. Από ένα σηµεί εκτός ευθείας διέρχεται µναδική παράλληλη πρς αυτή. Πρόταση. Αν δύ ευθείες τεµνόµενες από µία τρίτη σχηµατίζυν τις εντός και επί τα αυτά µέρη γωνίες τυς µε άθρισµα µικρότερ από δύ ρθές τότε ι ευθείες τέµννται πρς τ µέρς της τέµνυσας πυ βρίσκνται ι γωνίες. Γωνίες µε πλευρές παράλληλες ή κάθετες. Αν δύ γωνίες έχυν τις πλευρές τυς παράλληλες ή κάθετες µία πρς µία τότε αν είναι και ι δύ ξείες ή αµβλείες τότε είναι ίσες. αν η µία είναι ξεία και ή άλλη αµβλεία τότε είναι παραπληρωµατικές. z y O ù B x è y x ö è Ï z Αξισηµείωτι κύκλι τριγώνυ. Ο κύκλς πυ διέρχεται από τις τρείς κρυφές ενός τριγώνυ λέγεται περιγεγραµµένς κύκλς και τ κέντρ τυ είναι τ σηµεί όπυ διέρχνται και ι τρείς µεσκάθετι των πλευρών τυ τριγώνυ και λέγεται περίκεντρ. x B K M O Ë y
4 54. Τύπι - Βασικές έννιες Ο κύκλς πυ εφάπτεται στις τρείς πλευρές ενός τριγώνυ λέγεται εγγεγραµµένς κύκλς και τ κέντρ τυ είναι τ σηµεί όπυ διέρχνται και ι τρείς διχτόµι των γωνιών τυ τριγώνυ και λέγεται έκκεντρ. B Ë Z ÈÄ N E Ο κύκλς πυ εφάπτεται στη µία πλευρά ενός τριγώνυ και στις πρεκτάσεις των δύ άλλων λέγεται παρεγγεγραµµένς κύκλς και τ κέντρ τυ είναι τ σηµεί όπυ διέρχνται η διχτόµς της απέναντι γωνίας και ι διχτόµι των άλλων δύ εξωτερικών γωνιών τυ τριγώνυ και λέγεται παράκεντρ. B É Άθρισµα γωνιών τριγώνυ και κυρτύ ν-γώνυ. Τ άθρισµα των γωνιών ενός τριγώνυ ισύται µε δύ ρθές. Τ άθρισµα των γωνιών ενός κυρτύ ν-γώνυ ισύται µε ν 4 ρθές. Πρίσµατα Η εξωτερική γωνία ενός τριγώνυ ισύται µε τ άθρισµα των δύ απέναντι εσωτερικών. Αν δύ τρίγωνα έχυν δύ γωνίες µία πρς µία ίσες, έχυν και τις τρίτες γωνίες τυς ίσες. Οι ξείες γωνίες ρθγωνίυ τριγώνυ είναι συµπληρωµατικές. Κάθε γωνία ενός ισόπλευρυ τριγώνυ ισύται µε 60. Τ άθρισµα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτύ ν-γώνυ ισύται µε 4 ρθές.
5 Μαθαίνυµε τις απδείξεις Βήµα 55. ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
6 56. Βήµα Μαθαίνυµε τις απδείξεις
7 Μαθαίνυµε τις απδείξεις Βήµα 57.
8 58. Βήµα Μαθαίνυµε τις απδείξεις
9 Μαθαίνυµε τις απδείξεις Βήµα 59.
10 60. Βήµα Επαναλαµβάνυµε τις ασκήσεις κλειδιά ÂÞìá ÂÞìá ÅðáíáëáìâÜíïõìå ôéò áóêþóåéò "êëåéäéü" Α. Από τ σχλικό βιβλί ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ έκδση 003. σ. 8: Ασκήσεις Εµπέδωσης, 3, 4, 5 Απδεικτικές Ασκήσεις,, 4, 5 Σύνθετα Θέµατα 3, 4 σ. 87: Ασκήσεις Εµπέδωσης, 3, 5, 6, 7 Απδεικτικές Ασκήσεις,, 3, 4, 5, 6, 7 Σύνθετα Θέµατα, 5, 6 σ. 88: Γενικές Ασκήσεις 3, 4
11 Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 6. ÂÞìá 3 ÂÞìá ÂÞìá Ëýíïõìå ðåñéóóüôåñåò áóêþóåéò. Σε τρίγων BΓ µε Α=Β, ˆ ˆ να δείξετε ότι α<β Λύση: Φέρυµε ΓΗ ΑΒ και στ ευθύγραµµ τµήµα ΒΗ παίρνυµε τµήµα ΗΘ = ΗΑ. Τότε τ τρίγων ΓΑΘ είναι ισσκελές αφύ τ ΓΗ είναι ύψς και διάµεσς. Άρα Θ ˆ ˆ = Α σαν πρσκείµενες γωνίες στη βάση ισσκελύς τριγώνυ, και ΓΘ = ΑΓ = β. Όµως η ˆΘ είναι εξωτερική γωνία τυ ΘBΓ, πότε: B H È â â â á Θˆ = Βˆ + Γˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Α= Β+ Γ Β= Β+ Γ Β= Γ, δηλαδή τ ΘBΓ είναι ισσκελές µε κρυφή Θ, αφύ ι πρσκείµενες γωνίες στην ΒΓ είναι ίσες. Άρα ΘΒ = ΘΓ = β. Εφαρµόζυµε την τριγ. ανισότητα στ ΘBΓ και έχυµε: ΒΓ < ΘΒ + ΘΓ α < β + β α < β. Σε ρθγώνι τρίγων ( ˆ ) ΑΒΓ Α= φέρυµε τ ύψς ΑΗ και τις διχτόµυς Α και ΓΕ των γωνιών ΒΑΗ ˆ και ˆΓ αντίστιχα. Αν τ ση- µεί τµής των Α και ΓΕ είναι τ Ρ, να δείξετε ότι: α. Α ΓΕ β. ΑΡ = Ρ Λύση: ˆ α. Είναι ˆ ˆ ΒΑΗ ˆΓ Α = Α = και Γ ˆ = Γˆ =. Όµως ΒΑH ˆ = Γˆ σαν ξείες γωνίες µε ˆΓ πλευρές κάθετες. Άρα Αˆ ˆ ˆ = Α = Γ =. Στ τρίγων ΑΡΓ έχυµε:
12 6. Βήµα 3 Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις ( ) ΡΑΓ ˆ + ΑΓΡ ˆ = Αˆ + Αˆ + Γˆ = Αˆ + Αˆ + Αˆ = Αˆ = 3 3 πότε ˆ ( ˆ ˆ ) ΑΡΓ = ΡΑΓ + ΑΓΡ =, δηλαδή Α ΓΕ β. Από τ τρίγων ( ˆ ) ΑΗ Η= έχυµε: Αˆ + ˆ = Αˆ + ˆ = Αˆ ΑΓ ˆ + ˆ = ΑΓ ˆ + ˆ = ˆ ΑΓ ˆ = 0 ˆ = ΑΓ ˆ Άρα τ ΑΓ είναι ισσκελές µε κρυφή τ Γ, αφύ ι πρσκείµενες γωνίες στην Α είναι ίσες. Συνεπώς τ ύψς ΓΡ πυ αντιστιχεί στην βάση τυ Α είναι και διάµεσς. ηλαδή ΑΡ = Ρ. 3. Σε ισσκελές τρίγων ( ) ΑΒΓ ΑΒ= ΑΓ φέρυµε ηµιευθεία Βx ΒΓ, η πία βρίσκεται στ ηµιεπίπεδ (ΒΓ, Α). Αν η Bx τέµνει την πρέκταση της ΓΑ στ Μ και επί της ΒΜ πάρυµε σηµεία Κ, Λ τέτια ΑΚΛ ώστε: ˆ ˆ ΒΑΛ = ΓΑΚ = 90, να δείξετε ότι: ΒΛ = ΚΜ και ότι τ είναι ισσκελές. Λύση: Επειδή ΑΒΓ ισσκελές είναι Β ˆ ˆ = Γ σαν πρσκεί- x Ì µενες γωνίες στη βάση τυ ΒΓ. Όµως από τ ρθγώνι τρίγων ( ˆ ΒΓΜ ΓΒΜ = 90 ) έχυµε: Ë ˆ ˆ Γ+ Μ = 90 Βˆ + Μˆ = ΓΒΜ ˆ K Βˆ + Μˆ = Βˆ + Βˆ Μˆ = Βˆ Άρα τ ΑΒΜ είναι ισσκελές µε βάση ΜΒ, αφύ ι πρσκείµενες σ αυτή γωνίες είναι ίσες. Τα ρθγώνια τρίγωνα ( ˆ ΑΒΛ ΒΑΛ = 90 ) και ( ˆ ΑΚΜ ΚΑΜ 90 ) = έχυν: () ΑΒ = ΑΜ ( ΑΒΜ ισσκελές) () Β ˆ ˆ = Μ (τ απδείξαµε) Άρα ΑΒΛ= ΑΚΜ πότε: ΒΛ = ΚΜ ΑΛ = ΑΚ, δηλαδή τ ΑΚΛ είναι ισσκελές µε κρυφή τ Α. E B P Ä H 3 B
13 Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα Σε ρθγώνι τρίγων ( ˆ ) ΑΒΓ Α= φέρυµε κάθετη ηµιευθεία στην ΒΓ πρς τ µέρς τυ Α, επί της πίας παίρνυµε τµήµα ΓΚ = ΑΓ. Στην πρέκταση της υπτείνυσας ΓΒ παίρνυµε τµήµα ΒΛ = ΑΒ. Να απδείξετε ότι ΑΓΚ ˆ = ΑΛΒ ˆ. Λύση: Είναι ΑΒ = ΒΛ πότε τ τρίγων ΑΒΛ είναι ισσκελές και Α ˆ ˆ = Λ. Όµως η ˆΒ είναι εξωτερική τυ τριγώνυ ΑΒΛ, πότε ˆΒ Αˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + Λ= Β Λ= Β Λ= ΑΓ = ΓΚ άρα Α Γ Κ ισσκελές, πότε Α ˆ ˆ = Κ. Όµως ˆΓ Γˆ + Αˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + Κ = Γ + Α = 80 Α = 90 + Γ Α = 45 + Τ ΑΒΓείναι ρθγώνι στ Α, πότε Έχυµε: Βˆ + Γˆ = 90 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Γ ˆ Γ Β Γ+ Β 90 Α + Α = Λ= = 45 + = 45 + = 90 έχυµε: ( ) Οπότε από τ ΑΓΚ Γˆ = 80 Αˆ ˆ ˆ Γ = Α Γˆ = Αˆ Γˆ = Αˆ ΑΓΚ ˆ = Λˆ ΑΓΚ ˆ = ΑΛΒ ˆ Ë B K 5. Σε τρίγων ΑΒΓ, φέρυµε από την κρυφή Β ευθεία x x//αγ. Επί της x x και εκατέρωθεν τυ Β παίρνυµε τµήµατα ΒΜ = ΒΝ = ΑΒ. Να δείξετε ότι: M ΑΝ Λύση: ΑΒ = ΜΒ άρα τ τρίγων ΑΒΜ είναι ισσκελές, πότε ˆ 4 Α ˆ 3 = Μ σαν πρσκείµενες γωνίες στη βάση τυ. Ì 3 Όµως Α ˆ ˆ 4 = Μ σαν εντός εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων ΑΓ και x x πυ τέµννται από την ΑΜ. B Άρα Α ˆ ˆ 3 = Α4, δηλαδή η ΑΜ είναι διχτόµς της ˆΑ εξ. Í Οµίως απδεικνύεται ότι η ΑΝ είναι διχτόµς της
14 64. Βήµα 3 Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις ˆΑ. Όµως ι γωνίες ˆΑ και διχτόµι τυς είναι κάθετες, δηλαδή M ˆΑ εξ είναι εφεξής και παραπληρωµατικές. Άρα ι ΑΝ. 6. Στην πρέκταση της υπτείνυσας ΒΓ ρθγωνίυ τριγώνυ ( ˆ ) ΑΒΓ Α=90 παίρνυµε τµήµα ΓΚ = γ. Φέρυµε ηµιευθεία Κx ΒΚ πρς τ µέρς τυ Α. Επί της Κx παίρνυµε τµήµα ΚΛ = β. Να δείξετε ότι η ΒΛ διχτµεί την ˆΒ. Λύση: Φέρυµε την ΓΛ και συγκρίνυµε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΓΚΛ. Αυτά έχυν: Αˆ = Κˆ = 90 ΑΒ = ΚΓ = γ (υπόθεση) ΑΓ = ΚΛ = β (υπόθεση) Άρα ΑΒΓ= ΓΚΛ, πότε ΒΓ = ΓΛ, δηλαδή τ τρίγων ΒΓΛ είναι ισσκελές µε κρυφή τ Γ. Συνεπώς ˆΒ = Λ ˆ σαν πρσκείµενες γωνίες στη βάση τυ. Επίσης από την ισότητα των τριγώνων έχυµε ΑΒΓ ˆ = ΚΓΛ ˆ. Άρα ΑΒ//ΓΛ, αφύ τεµνόµενες από τη ΒΚ, σχηµατίζυν τις εντός εκτός και επί τα αυτά µέρη γωνίες τυς ίσες. Οπότε ˆΒ ˆ = Λ ως εντός εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων ΑΒ και ΓΛ πυ τέ- µννται από την ΒΛ. Συνεπώς Β ˆ ˆ = Β, δηλαδή η ΒΛ είναι διχτόµς της γωνίας ˆΒ. B ã á â á Ë ã K â 7. Έστω ξυγώνι τρίγων ΑΒΓ µε µικρότερη πλευρά τη ΒΓ. Στις πλευρές τυ ΑΒ, ΑΓ παίρνυµε τα σηµεία και Ε αντίστιχα, τέτια ώστε Β = ΓΕ = ΒΓ. ˆ Αν ι ΒΕ, Γ τέµννται στ Ζ, να δείξετε ότι: ˆ Α ΓΖΕ = 90 + Λύση: Β = ΒΓ άρα τ τρίγων ΒΓείναι ισσκελές. Επµένως ˆ = Γˆ = ˆ 80 Β
15 Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα ΓΕ = ΒΓ άρα τ τρίγων ΒΓΕ είναι ισσκελές. Επµένως Εˆ = Βˆ = ˆ 80 Γ Από τ ΓΕΖ έχυµε: ˆ ˆ ˆ ˆ 80 Γ ΓΖΕ = 80 Ε Γ = 80 ( Γˆ Γˆ ) = B Ä Å Z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Γ Γ 80 Β = Γ + Γ = Γ + = Γˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Β Β + Γ 80 Α = = 80 = 80 = Α ˆ Αˆ = = + 8. Σε τρίγων ΑΒΓ µε ˆ ˆ Β-Γ=30, φέρυµε την διχτόµ Α. Να δείξετε ότι ˆ ΑΒ = 75. Λύση: Από τ ΑΒ έχυµε: Αˆ Αˆ ΑΒ ˆ = 80 Αˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Β = 80 Β = Α + Β + Γ Β = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Α Α + Γ 80 Β Γ + Γ 80 Β + Γ = + ˆΓ = = = = ( ˆ ˆ) 80 Β Γ = = = Από τ µέσ Μ της βάσης ΒΓ ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ, φέρυµε παράλληλες στις ΑΒ, ΑΓ πυ τις τέµνυν στα σηµεία, Ε αντίστιχα. Να δείξετε ότι η ΑΜ είναι µεσκάθετς τυ Ε. Λύση: Επειδή ΑΒΓ ισσκελές, ισχύει Β ˆ = Γ ˆ σαν πρσκείµενες γωνίες στη βάση τυ. B Ä
16 66. Βήµα 3 Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις Επίσης Β ˆ = Μˆ ως εντός εκτός και επί τα αυτά µέρη γωνίες των παραλλήλων ΑΒ και ΜΕ πυ τέµννται από την ΒΓ. Οµίως Γ ˆ = Μˆ. Άρα: ˆ = ˆ, πότε ΒΜ ισσκελές, αφύ ι πρσκεί- µενες γωνίες στη βάση τυ είναι ίσες. Συνεπώς Β = Μ () Γ ˆ = Μˆ πότε µίως συµπεραίνυµε ότι ΕΜ = ΕΓ () Β Μ Τα ΒΜ και ΕΜΓ έχυν:. ΒΜ = ΜΓ (Μ µέσ ΒΓ). Β ˆ = Μˆ (τ απδείξαµε παραπάνω) 3. Μ ˆ ˆ = Γ (τ απδείξαµε παραπάνω) B Ä Ì E Άρα ΒΜ= ΕΜΓ( ΓΠΓ) πότε Β = ΕΜ (3) Από (), (), (3) συµπεραίνυµε ότι Β = Μ = ΜΕ = ΕΓ Επειδή Μ = ΜΕ, τ Μ ανήκει στην µεσκάθετ τυ Ε, αφύ ισαπέχει από τα άκρα τυ. Επίσης Α = ΑΒ Β = ΑΓ ΕΓ = ΑΕ. Άρα και τ Α ισαπέχει από τα άκρα τυ Ε, πότε ανήκει στην µεσκάθετ τυ. Συνεπώς η ΑΜ είναι µεσκάθετς τυ Ε. 0. Σε ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ φέρυµε τ ύψς Α πρς την υπτείνυσα ΒΓ. Έστω Ε, Ζ τα συµµετρικά τυ ως πρς τις ευθείες ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα. Να δείξετε ότι: α. τα σηµεία Ε, Α, Ζ είναι συνευθειακά. β. ΒΕ//ΓΖ Λύση: α. Τ τρίγων ΑΖ είναι ισσκελές, αφύ η ΑΚ είναι ύψς και διάµεσς. Άρα Α = ΑΖ. Οµίως απδεικνύεται ότι Α = ΑΕ. Στα ισσκελή τρίγωνα ΑΖ και ΑΕ ι ΑΚ, ΑΛ αντίστιχα θα είναι και διχτόµι, πότε: Α ˆ ˆ = Α και Æ K Ä 3 4 B Ë E
17 Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα Αˆ = Αˆ. Τότε ΖΑΕ ˆ = Αˆ + Αˆ + Αˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 + Α4 = Α + Α + Α3 + Α3 = Α + Α3 = 3 4 ( ˆ ˆ ) ˆ = Α + Α = Α= 90 = 80 3 Συνεπώς τα Ζ, Α, Ε είναι συνευθειακά σηµεία. β. Είναι ˆ ˆ ΑΕΒ = ΑΒ = 90 σαν συµµετρικές γωνίες ως πρς ΑΒ, πότε ΒΕ ΑΕ. Οµίως απδεικνύεται ότι ΓΖ ΑΖ. Όµως τα ΑΕ και ΑΖ έχυν κινό φρέα. Άρα ΒΕ//ΓΖ σαν κάθετα στην ίδια ευθεία.
18 68. Βήµα 4 Λύνυµε µόνι µας ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá ÂÞìá Ëýíïõìå ìüíïé ìáò. Στη γωνία xοψ ˆ η Οz είναι εσωτερική ευθεία. Από τυχαί σηµεί Α της Οz φέρνυµε την ΑΒ//Ox. Να δειχθεί ότι: α. Αν η Οz είναι διχτόµς της xοψ ˆ, τ τρίγων ΟΑΒ είναι ισσκελές β. Αν τ τρίγων ΟΑΒ είναι ισσκελές, η Οz είναι διχτόµς της xοψ ˆ.. Έστω τρίγων ΑΒΓ και ΑΗ η διχτόµς της ˆΑ. Φέρνυµε Β παράλληλη στη διχτόµ, πυ τέµνει την ευθεία ΓΑ στ. Να δειχθεί ότι: α. Τ τρίγων ΒΑ ισσκελές β. Αν τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές τότε Β ΒΓ.
19 Λύνυµε µόνι µας Βήµα Στ ισσκελές τρίγων ΑΒΓ, φέρνυµε τις διαµέσυς ΒΒ, ΓΓ και µια ευθεία ε παράλληλη στη βάση ΒΓ πυ τέµνει τις διαµέσυς στα σηµεία Κ, Λ αντίστιχα και τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία Μ και Ν. Να δείξετε ότι ΚΜ = ΛΝ. 4. Στ τρίγων ΑΒΓ είναι ΑΓ > ΑΒ. Στην πλευρά ΑΓ παίρνυµε τµήµα Α = ΑΒ. Να δειχθεί ότι: ˆ α. ˆ Α ˆ ˆ ΒΓ = 90 + β. ˆ Β-Γ ΒΓ = 5. ίνεται τρίγων ΑΒΓ και σηµεία και Ε της ΒΓ ώστε ΒΑ ˆ = Γ ˆ και ΓΑΕ ˆ = Β ˆ. Να βρεθεί τ είδς τυ τριγώνυ ΑΕ.
20 70. Βήµα 4 Λύνυµε µόνι µας 6. ίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ. Στις πλευρές τυ ΑΒ και ΒΓ παίρνυµε αντίστιχα τα σηµεία και Ε τέτια, ώστε να είναι Α = ΑΕ. Να απδείξετε ότι: ΕΑΓ ˆ = ΒΕ ˆ. 7. ίνεται τρίγων ΑΒΓ και ι διχτόµι Α και ΓΕ. Αν είναι Α = ΑΒ και ΓΕ = ΒΓ να υπλγιστύν ι γωνίες τυ τριγώνυ ΑΒΓ. 8. Σε τρίγων ΑΒΓ είναι Α<Γ. ˆ ˆ Έστω τα σηµεία και Ε της ΑΒ και ΑΓ ˆ αντίστιχα τέτια ώστε ˆ ˆ Α ΑΓ = ΕΓ =. Να δείξετε ότι Α = Ε = ΕΓ.
21 Ελέγχυµε τη γνώση µας Βήµα 5 7. ÂÞìá 5 ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá ÂÞìá ÅëÝã ïõìå ôç ãíþóç ìáò Θέµα Α. Να δείξετε ότι τ άθρισµα των γωνιών κάθε τριγώνυ είναι δύ ρθές (Μνάδες 0) Β. Να δείξετε ότι κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνυ είναι ίση µε τ άθρισµα των δύ απέναντι εσωτερικών γωνιών τυ τριγώνυ. (Μνάδες 0) Γ. Να δείξετε ότι αν δύ ευθείες ε, ε είναι παράλληλες και µία τρίτη ευθεία ε τέµνει τη µία από αυτές θα τέµνει και την άλλη. (Μνάδες 5) Θέµα 0 Α. Τ σηµεί Γ είναι σηµεί τυ ευθύγραµµυ τµήµατς ΑΒ. Από τ Γ φέρνυµε τυχαία ηµιευθεία Γx και παίρνυµε σε αυτήν τµήµατα Γ = ΓΑ και ΓΕ = ΓΒ. Να δείξετε ότι BE. (Μνάδες ) Β. Τ τρίγων ΑΒΓ είναι ρθγώνι στ Α. Στις πρεκτάσεις των ΒΑ και ΓΑ πρς τ µέρς της κρυφής Α παίρνυµε τµήµατα ΑΒ = ΑΓ και ΑΓ = ΑΒ. Να δείξετε ότι η πρέκταση τυ ύψυς Α περνάει από τ µέσ Ο της Β Γ. (Μνάδες 3) Θέµα 3 0 Α. Να απδειχθεί ότι ι διχτόµι των γωνιών κυρτύ τετραπλεύρυ, όταν τέµννται ανά δύ, σχηµατίζυν τετράπλευρ µε απέναντι γωνίες παραπληρωµατικές. (Μνάδες 7) Β. Σε τετράπλευρ ΑΒΓ είναι Α ˆ = Γ ˆ. Να δείξετε ότι ι διχτόµι των γωνιών ˆΒ και ˆ είναι παράλληλες. (Μνάδες 8) Θέµα 4 0 Α. Στ τρίγων ΑΒΓ είναι ΑΓ > ΑΒ. Φέρνυµε τ ύψς ΑΗ, τη διχτόµ Α και τη
22 7. Βήµα 5 Ελέγχυµε τη γνώση µας διάµεσ ΑΜ. Να δειχθύν ι σχέσεις: ΑΒ + ΑΓ α. ΑΗ < β. ΒΑΗ ˆ < ΓΑΗ ˆ γ. Β < Γ δ. Β < ΑΒ (Μνάδες 6) Β. Στ ισσκελές τρίγων ΑΒΓ φέρνυµε τη Β διχτόµ της γωνίας ˆΒ. Αν ι διχτόµι των γωνιών ΑΒ, ˆ ΒΓ ˆ τέµνυν τη ΒΓ στα Ζ, Ε να δείξετε ότι ΕΖ = Β. (Μνάδες 9)
αποδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείου 1
απδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr αν δύ χρδές ενός κύκλυ είναι ίσες τότε και τα απστήµατά τυς και αντιστρόφως αν τα απστήµατα δύ χρδών ενός κύκλυ τότε και ι χρδές είναι
ÊåöÜëáéï 6 ï. ÅããåãñáììÝíá ó Þìáôá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 6 θα πρέπει να είναι σε θέση:
ÊåöÜëáéï 6 ï ÅããåãñáììÝíá ó Þìáôá Ο µαθητής πυ έχει µελετήσει τ κεφάλαι 6 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει και να εφαρµόζει τη σχέση µεταξύ µιας εγγεγραµµένης γωνίας και της αντίστιχης επίκεντρης
2. Σε τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουµε τη διάµεσο ΑΜ κατά Μ = ΑΜ. λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείου 1. ΒΜ = ΓΜ (υπόθεση)
λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr. Στις πρεκτάσεις των ίσων πλευρών ΒΑ και ΓΑ ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ θεωρύµε ίσα τµήµατα Α, ΑΕ αντιστίχως. Αν Μ είναι τ µέσ της ΒΓ, να απδείξεις ότι τ τρίγων
Είναι φ =180 ο 120 ο = 60 ο άρα ω = 50 ο + 60 ο = 110 ο. ˆ ΑΓ, να υπολογίσετε την γωνία φ. ˆ ΑΓ = 110 ο άρα ω =70 ο, οπότε. Είναι
4.6 4.8 σκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 87 88 ρωτήσεις Κατανόησης. Να υπλγίσετε την γωνία ω στ παρακάτω σχήµα πάντηση ω ίναι φ =8 = 6 άρα ω = 5 + 6 = 5 φ. ν = και x διχτόµς της γωνίας πάντηση ω φ ω 55 x
Α = Δ = 90 με ˆ ο. Β = 60. Αν είναι ΒΓ = ΔΓ = 8 να βρεθεί το μήκος της διαμέσου του τραπεζίου.
Γεωμετρία της Α Λυκείυ 34. Δίνεται ρθγώνι τραπέζι ΑΒΓΔ Α = Δ = 90 με Β = 60. Αν είναι ΒΓ = ΔΓ = 8 να βρεθεί τ μήκς της διαμέσυ τυ τραπεζίυ. Φέρνυμε τ ύψς ΓΕ τυ τραπεζίυ. Στ ρθγώνι τρίγων ΓΕΒ είναι Άρα
Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα
0 Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΣΕ ΚΥΚΛΟ i) Ένα πλύγων ΑΑΑ 3...Α ν λέγεται εγγεγραµµέν σε κύκλ όταν ι κρυφές τυ είναι σηµεία ενός κύκλυ. ii)
ÊåöÜëáéï 5 ï. Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση:
ÊåöÜëáéï 5 ï Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις ιδιότητες του παραλληλογράµµου, ορθογωνίου, ρόµβου, τετραγώνου, τραπεζίου.
άθροισµα των τετραγώνων των διαγωνίων του είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των βάσεών του.
1. Αν ι µη παράλληλες πλευρές ενός τραπεζίυ είναι κάθετες, να απδείξετε ότι τ άθρισµα των τετραγώνων των διαγωνίων τυ είναι ίσ µε τ άθρισµα των τετραγώνων των βάσεών τυ.. Να υπλγίσετε τ ύψς και τις διαγώνιες
(Ανάλογα εργαζόµαστε και για να αποδείξουµε ότι δύο γωνίες έχουν κοινή διχοτόµο ή δύο τόξα κοινό µέσο).
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (η τεχνική τυ αρκεί να απδείξυµε ότι... ) Παναγιώτης Λ. Θεδωρόπυλς Σχλικός Σύµβυλς κλάδυ ΠΕ03 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν µε σκπό να βηθήσυν τυς µαθητές της
3.2 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
3. ΘΡΟΙΣΜ ΩΝΙΩΝ ΤΡΙΩΝΟΥ ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΙΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙ. Άθρισµα γωνιών τριγώνυ Σε πιδήπτε τρίγων τ άθρισµα των γωνιών τυ είναι ίσ µε 80. Ιδιότητες ισσκελύς τριγώνυ Η ευθεία της διαµέσυ πυ αντιστιχεί
9 o ìüèçìá. Êýêëïò. 6 ÊåöÜëáéï. 10 o ìüèçìá. ÅããåãñáììÝíá êáé åããñüøéìá ôåôñüðëåõñá à Ã
x 9 o ìüèçìá Êýêëïò Ê Ì ø o 6 ÊåöÜëáéï 0 o ìüèçìá ÅããåãñáììÝíá êáé åããñüøéìá ôåôñüðëåõñá Ê 9 Κύκλς Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ Ορισµί i) Μια γωνία λέγεται εγγεγραµµένη σε κύκλ, όταν
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Αν οι αριθμοί x και ψ είναι αντίστροφοι να βρεθεί η τιμή της παράστασης
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αν ι αριθμί και ψ είναι αντίστρφι να βρεθεί η τιμή της παράστασης y y A y Αν α,β είναι θετικί πραγματικί αριθμί να απλπιηθύν ι παραστάσεις : 4 4 A 6αβ 49α
1. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; Απάντηση Όταν η κορυφή της είναι σηµείο του κύκλου και οι πλευρές της είναι τέµνουσες του κύκλου
6. 6.4 σκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 9 30 Ερωτήσεις Κατανόησης. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; πάντηση Όταν η κρυφή της είναι σηµεί τυ κύκλυ και ι πλευρές της είναι τέµνυσες τυ κύκλυ. ν φ και ω είναι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ web:
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίυ (Ελευθερίυ Βενιζέλυ) 3 06 79 ΑΘΗΝΑ email: info@hms.gr web: www.hms.gr Πρόβλημα ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 79 ς ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ «Ο ΘΑΛΗΣ»
Μετρικές σχέσεις σε τυχαίο τρίγωνο
5 Μετρικές σχέσεις σε τυχί τρίγων Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµ I (Γενίκευση τυ Πυθγρείυ θεωρήµτς γι πλευρά πυ βρίσκετι πένντι πό ξεί γωνί) Τ τετράγων πλευράς τριγώνυ, πυ βρίσκετι πένντι πό ξεί
Γεωμετρία - Ασκήσεις με γωνίες
Σελίδα 1 από 19 Γεωμετρία - Ασκήσεις με γωνίες Χαρακτηριστικές ασκήσεις με γωνίες πυ αρέσυν γητεύυν τυς μαθητές πυ ασχλύνται με τυς μαθηματικύς διαγωνισμύς! Μπάμπης Στεργίυ Φεβρυάρις 01 11 ίννται στη σειρά
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 1. Αν οι αριθμοί x και ψ είναι αντίστροφοι να βρεθεί η τιμή της παράστασης
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αν ι αριθμί και ψ είναι αντίστρφι να βρεθεί η τιμή της παράστασης A y y y Αν α,β είναι θετικί πραγματικί αριθμί να απλπιηθύν ι παραστάσεις :
Μπάμπης Στεργίου. Ασκήσεις στη Γεωμετρία. Διαγωνισμός. Αρχιμήδης. Juniors-Μικροί. *** Αφιερωμένο στους μαθητές και τους συναδέλφους
Μπάμπης Στεργίυ ιαγωνισμός Αρχιμήδης Juniors-Μικρί Ασκήσεις στη Γεωμετρία *** Αφιερωμέν στυς μαθητές και τυς συναδέλφυς 017 Σελίδα 1 από 5 Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός 5/0/017
Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Α Λύκειου
Περιδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Α Λύκειυ Γιάννης Κυριαζής Κωστά Βακαλόπυλς Άσκηση Θεωρύμε τρίγωνα και για τα πία ισχύει ότι: α) B ˆ B ˆ β) Γ ˆ Γ ˆ γ) r=r, όπυ r,r ι περίμετρι
Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα
Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο
A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )
A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων Β Ε γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΖ.
1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ είναι Â =80. Παίρνουµε τυχαίο σηµείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σηµεία και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε Β =ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις
ΜΕΤΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Στο παρόν αρχείο περιέχονται προτάσεις και ασκήσεις από τη μετρική γεωμετρία.
Σελίδα 1 από 36 ΜΕΤΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Μπάμπης Στεργίυ - εκέμβρις 016 Στ παρόν αρχεί περιέχνται πρτάσεις και ασκήσεις από τη μετρική γεωμετρία. Πρρίζνται για μαθητές Λυκείυ πυ συμμετέχυν στν διαγωνισμό Ευκλείδης
( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2
1 11. 11.7 Μέτρηση κύκλυ ΘΩΡΙ Μήκς τόξυ µ : µ 180 Μήκς τόξυ α rad : αr Σχέση µιρών ακτινίων : α π µ 180 µβαδόν κυκλικύ δίσκυ : ( ) µβαδόν κυκλικύ τµέα µ : µ µβαδόν κυκλικύ τµέα α rad : ( ) 1 αr µβαδόν
απεναντι καθετη πλευρα υποτεινουσα
ΜΑΘΗΜΑ 7 Κεφάλαι o : Τριγωνµετρία Υπενότητα.: Τριγωνµετρικί αριθµί γωνίας ω µε 0 ω 80 Θεµατικές Ενότητες:. Επανάληψη από Β Γυµνασίυ.. Τριγωνµετρικί αριθµί πιασδήπτε γωνίας ω. Α. ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΠΟ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ÊåöÜëáéï 2 ï. Ôá âáóéêü ãåùìåôñéêü ó Þìáôá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 2 θα πρέπει να είναι σε θέση:
ÊåöÜëáéï ï Ôá âáóéêü ãåùìåôñéêü ó Þìáôá Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις πρωταρχικές έννοιες της Γεωµετρίας (σηµείο,ευθεία, επίπεδο). Να γνωρίζει τα
1 Εγγεγραµµένα σχήµατα
Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού
Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο
Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία
Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην
ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο
ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΘΕΜΑ 1 ο (α) Να αποδειχθεί ότι στον ίδιο ή σε ίσους κύκλους, ίσα αποστήµατα αντιστοιχούν σε ίσες χορδές. (β) Να αποδειχθεί ότι κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθύγραµµου τµήµατος ισαπέχει
B Θέματα (Έκδοση: )
B Θέματα (Έκδση: 26 1 215) Οι απαντήσεις και ι λύσεις είναι απτέλεσμα της συλλγικής δυλειάς των συνεργατών τυ δικτυακύ τόπυ http://lisari.blogspot.gr Έκδση: 26 1 215 (συνεχής ανανέωση) Τ βιβλί διατίθεται
ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;
Ôñßãùíá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 3 θα πρέπει να είναι σε θέση:
ÊåöÜëáéï 3 ï Ôñßãùíá Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 3 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει και να εφαρµόζει τα κριτήρια ισότητας τριγώνων και ορθογωνίων τριγώνων. Να γνωρίζει τις ιδιότητες
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.
Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.
ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές
6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.
1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε
8 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version )
8 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version 3-8-205) Σ.Να αποδείξετε ότι δύο τραπέζια με ανάλογες βάσεις και τις προσκείμενες σε δύο ομόλογες βάσεις τους γωνίες ίσες μία προς μία, είναι όμοια. Θεωρούμε τα τραπέζια ΑΒΓΔ
Επαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία Α Λυκείου
Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Οι διχοτόμοι των 1. γωνιών του Β και Γ τέμνονται στο Ο. Η παράλληλη από το Ο προς την ΑΒ τέμνει την ΒΓ στο Δ και η παράλληλη από το Ο προς την ΑΓ τέμνει την ΒΓ στο Ε. α. Να δείξετε
Κ. Μέτρηση Κύκλου. Παράρτημα. Ι13. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση:
Ι12. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση ημ 3 Β ημ 2 ΑημΒ ημ 2 ΑημΓ ημ 3 Γ, να απδείξετε ότι Βˆ Γˆ 120. Ι13. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση: 1 1 2 1, να α β α β γ α β γ β γ 2 απδείξετε ότι 4συν Β
Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις
Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ web:
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίυ (Ελευθερίυ Βενιζέλυ) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ email: info@hms.gr web: www.hms.gr Πρόβλημα 1 ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 79 ς ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ «Ο
ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και
Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:
2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.
1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα
Σύνθετα θέματα (version )
.-. Σύνθετα θέματα (version --06) Σ. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, η διχοτόμος του ΒΔ και η εξωτερική διχοτόμος του Βx. Θεωρούμε δύο σημεία Ε και Κ της πλευράς ΑΒ. Αν ο κύκλος (Ε,ΕΒ) τέμνει τη ΒΔ στο Ζ, ενώ ο κύκλος
(Έκδοση: 13 01 2015)
(Έκδση: 13 1 215) Οι απαντήσεις και ι λύσεις είναι απτέλεσμα της συλλγικής δυλειάς των συνεργατών τυ δικτυακύ τόπυ http://lisari.blogspot.gr Έκδση: 13 1 215 (συνεχής ανανέωση) Τ βιβλί διατίθεται απκλειστικά
1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:
Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α
2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.
Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;
1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν
2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.
1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε
1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Έστω ΑΒΓ ένα ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ = ΑΓ), Δ, Ε σημεία της πλευράς ΒΓ τέτοια, ώστε ΒΔ = ΔΕ = ΕΓ και Μ, Ρ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ
ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ
ÊåöÜëáéï 7 ï Åõèýãñáììá ó Þìáôá âéâëéïììüèçìá : -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ âéâëéïììüèçìá 3: -Åìâáäü ôñéãþíïõ -Åìâáäü
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα
1. Να υπολογίσεις το εμβαδόν κυκλικού δίσκου που είναι περιγεγραμμένος. Στο διπλανό σχήμα, να υπολογίσεις το μήκος και το. εμβαδόν του κύκλου.
Δ 1. Να υπλγίσεις τ εμβαδόν κυκλικύ δίσκυ πυ είναι περιγεγραμμένς σε τετράγων πλευράς α = 6 cm Α Α 8cm. 6cm Στ διπλανό σχήμα, να υπλγίσεις τ μήκς και τ Β Γ εμβαδόν τυ κύκλυ. Ο Β Γ 3. Λυγίζυμε ένα σύρμα
4 o ìüèçìá. Ôñßãùíá Ï B. 3 ÊåöÜëáéï. Âáóéêïß ãåùìåôñéêïß ôüðïé - ÁíéóïôéêÝò ó Ýóåéò
3 o ìüèçìá Ôñßãùíá Â Ï Á o 3 ÊåöÜëáéï 4 o ìüèçìá Âáóéêïß ãåùìåôñéêïß ôüðïé - ÁíéóïôéêÝò ó Ýóåéò O 3 Τρίγωνα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός - Κύρια στοιχεία τριγώνου Τρίγωνο ονοµάζεται ένα πολύγωνο
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες
Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΩΝ ΕΤΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
Α ΤΑΞΗ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΩΝ ΕΤΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α. α) Πιι αριθμί λέγνται μόσημι. Να γράψετε δύ παραδείγματα μόσημων αριθμών. β) Πιι αριθμί λέγνται ετερόσημι. Δώστε ένα παράδειγμα. Β. Να μεταφέρετε στην κόλλα
Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων
Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις 1 ου Διαγωνίσματος Θέμα 1 ο α) Από μία κορυφή, π.χ. την Α, φέρουμε ευθεία xy ΒΓ. Τότε ω = Β και φ = Γ, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων xy και ΒΓ με τέμνουσες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ
1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου
Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
4 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι Ανισοτικές σχέσεις Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Βασικοί γεωµετρικοί τόποι Γεωµετρικός τόπος είναι ένα σύνολο σηµείων του επιπέδου τα οποία έχουν µια κοινή ιδιότητα.τρείς από
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα
Aν οι ευθείες ΚΒ και ΓΛ τέμνονται στο σημείο Μ, τότε η ΑΜ είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 26/5/2017 ΘΕΜΑ 1 ο Α 1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη
Παράλληλες Ευθείες. Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός)
Παράλληλες Ευθείες Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 4.1 Εισαγωγή 2 ΟΡΙΣΜΟΣ Δυο ευθείες ε 1 και ε 2 που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινό σημείο λέγονται παράλληλες
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 2016 (version ΤΕΛΙΚΟ)
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 06 (version 9-5-06 ΤΕΛΙΚΟ) SOS ΒΓ = ΒΟΓ ˆ = 70 αντί του λανθασμένου 35 στο προτελευταίο θέμα θεωρίας με τις εγγεγραμμένη, επίκεντρη κλπ Τι λέει το αίτημα παραλληλίας;
1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.
1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο
Θέματα πανελληνίων διαγωνισμών Ε.Μ.Ε. Β γυμνασίου Θαλής
Θέματα πανελληνίων διαγωνισμών Ε.Μ.Ε. Β γυμνασίυ Θαλής 1995-1996 Κ, 3cm. Με κέντρ τ σημεί Λ τυ κύκλυ να χαράξετε δεύτερ κύκλ Λ, 3cm. Η διάκεντρς ΚΛ τέμνει τν Κ στ Α και τν Λ στ Β, αν πρεκταθεί. Να κατασκευάσετε
ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ
Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ
ιατυπώστε την ιδιότητα αυτή µε τη βοήθεια µεταβλητών.
Μαθηµατικά B υµνασίυ Eρωτήσεις θεωρίας 1. Τι νµάζυµε µεταβλητή;. Τι νµάζυµε αριθµητική παράσταση; 3. Τι νµάζυµε αλγεβρική παράσταση; 4. Πια είναι η επιµεριστική ιδιότητα; 5. Τι συµβαίνει αν και στα δύ
ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία
Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού
3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΘΕΩΡΙΑ. Οµασία: Έα πλύγω µε κρυφές θα τ λέµε -γω µε εξαίρεση τ πλύγω µε τέσσερις κρυφές πυ θα τ λέµε τετράπλευρ. 2. Καικό πλύγω: Έα πλύγω λέγεται καικό ότα όλες ι πλευρές τυ είαι
Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.
Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** 2. ** 3. ** 4. ** 5. ** 6. **
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνονται επίπεδο p και τρία µη συνευθειακά σηµεία του Α, Β και Γ καθώς και ένα σηµείο Μ, που δεν συµπίπτει µε το Α. Αν η ευθεία ΑΜ τέµνει την ευθεία ΒΓ, να δείξετε ότι το Μ είναι
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που
. Ασκήσεις για εξάσκηση
. Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ
5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια
5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε
Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.
5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και
3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα
3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα 4 η διδακτική ενότητα : Ισότητα τριγώνων Ερωτήσεις κατανόησης 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις : α) Υπάρχουν σημεία του επιπέδου που
ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ
ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ Έχουµε 2 ευθείες ε 1,ε 2 και τουλάχιστον µία ευθεία που τέµνει αυτές τις 2 ευθείες, εδώ τη (δ). Ονοµάζουµε τις γωνίες µε βάση το: 1. Πού βρίσκονται σε σχέση µε
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Να αποδείξετε ότι: 4 4. Αν x, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: x x. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 8 8 8, 7 48 4. 4. Να υπολογίσετε τα αναπτύγματα: i. x ii. α β
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν µε κατάλληλη µετατόπιση, το ένα συµπίπτει µε το άλλο. Β. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Πρώτο κριτήριο Αν όλες οι πλευρές του ενός τριγώνου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)
1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
1 1.1 Η ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ ΘΕΩΡΙ 1. ιάνυσµα Λέγεται κάθε πρσανατλισµέν ευθύγραµµ τµήµα. (έχει αρχή και πέρας) A B 2. Μηδενικό διάνυσµα 0 Λέγεται τ διάνυσµα τυ πίυ η αρχή και τ πέρας συµπίπτυν. AA= 0 3.
γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )
γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω
Σελίδα 5: Α Γυμνασίου, Μέρος Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 2, Συμμετρία
Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Τεύχος 4 Περιεχόμενα Σελίδα 5: Α Γυμνασίου, Μέρος Β, Γεωμετρία, Κεφάλαιο 2, Συμμετρία Σελίδα 19: Α Γυμνασίου, Μέρος Β,
α. ΕΓΚΕΝΤΡΟ 1. Σημείο τομής των
Μαθηματικά για την Α Λυκείου Αφορμή για Επανάληψη στη Γεωμετρία της Α Λυκείου. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) με ένα μόνο στοιχείο της στήλης (Β). Κώστας Βακαλόπουλος Τάσος Γαβράς Στήλη
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι
ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 7077 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 99 9494 www.syghrono.gr ΕΠΩΝΥΜΟ:... ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0--07 ΘΕΜΑ Α Α. Σχλικό Βιβλί σελ.
Γεωμετρία - Ασκήσεις με γωνίες
Σελίδα 1 από 15 Γεωμετρία - Ασκήσεις με γωνίες Χαρακτηριστικές ασκήσεις με γωνίες πυ αρέσυν και γητεύυν τυς μαθητές πυ ασχλύνται με τυς μαθηματικύς διαγωνισμύς! Μπάμπης Στεργίυ Φεβρυάρις 2012 122 Δίνεται
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου