ÊåöÜëáéï 6 ï. ÅããåãñáììÝíá ó Þìáôá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 6 θα πρέπει να είναι σε θέση:
|
|
|
- Ἀνδρομάχη Βυζάντιος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ÊåöÜëáéï 6 ï ÅããåãñáììÝíá ó Þìáôá Ο µαθητής πυ έχει µελετήσει τ κεφάλαι 6 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει και να εφαρµόζει τη σχέση µεταξύ µιας εγγεγραµµένης γωνίας και της αντίστιχης επίκεντρης καθώς και τις πρτάσεις πυ πρκύπτυν. Να γνωρίζει και να εφαρµόζει τη σχέση µεταξύ µιας γωνίας και της γωνίας πυ σχηµατίζεται από µια χρδή και την εφαπτόµενη στ άκρ της. Να γνωρίζει και να εφαρµόζει τυς τύπυς πυ µας δίνυν τ µέτρ της γωνίας πυ σχηµατίζεται από δύ τέµνυσες τυ κύκλυ (είτε τεµνόνται εντός είτε εκτός τυ κύκλυ). Να γνωρίζει τις ιδιότητες των εγγράψιµων τετραπλεύρων καθώς και τα κριτήρια πυ εξασφαλίζυν ότι ένα τετράπλευρ είναι εγγράψιµ. Οµίως για τα περιγράψιµα τετράπλευρα.
2 06. Τύπι - Βασικές έννιες Εγγεγραµµένη γωνία Ορισµός Μια γωνία λέγεται εγγεγραµµένη σε κύκλ, όταν η κρυφή της είναι ση- µεί τυ κύκλυ και ι πλευρές της τέµνυν τν κύκλ. Μια γωνία, της πίας η κρυφή x y είναι τ κέντρ τυ κύ- Ê Ë κλυ και ι πλευρές της τέ- µνυν τν κύκλ λέγεται επίκεντρη. ìåßæïí O Σε κάθε επίκεντρη γωνία Ê Ýëáóóïí Ë αντιστιχίζυµε ένα από τα δύ τόξα (βλ. σχήµα) τυ κύκλυ µε άκρα Κ και Λ τ x y πί νµάζυµε αντίστιχ τόξ της επίκεντρης γωνίας. Λέµε τότε ότι η γωνία βαίνει στ τόξ ΚΛ. Αν δεν αναφέρεται κάτι άλλ θα θεωρύµε στα επόµενα ότι ι γωνίες βαίνυν στ έλλασν τόξ (κυρτές γωνίες). T µέτρ της επίκεντρης γωνίας είναι ίσ µε τ µέτρ τυ τόξυ στ πί βαίνει. Θεώρηµα Κάθε εγγεγραµµένη γωνία είναι ίση µε τ µισό της αντίστιχης επίκεντρης (δηλαδή της επίκεντρης ö πυ βαίνει στ ίδι τόξ π.χ. στ διπλα- Ï ö νό σχήµα είναι ω = φ. ù Σε κάθε τόξ µπρεί να βαίνει µια µόν επίκεντρη ö Å γωνία, όµως σε αυτό µπρύν να βαίνυν άπειρες εγγεγραµµένες. Πρίσµατα Â α. Τ µέτρ µιας εγγεγραµµένης γωνίας είναι ίσ µε τ µισό τυ αντίστιχυ τόξυ. β. Εγγεγραµµένες γωνίες πυ βαίνυν στ ίδι τόξ είναι ίσες. γ. Εγγεγραµµένες γωνίες πυ βαίνυν σε ίσα τόξα, ίσων κύκλων είναι ίσες. δ. Εγγεγραµµένες γωνίες πυ βαίνυν σε ηµικύκλι είναι ρθές.
3 Τύπι - Βασικές έννιες 07. Γωνία δύ τεµνυσών  B - x x  y B y Γωνία χρδής και εφαπτµένης Σε κύκλ (Ο,R) παίρνυµε χρδή ΑΒ και την ε- φαπτµένη στ σηµεί Α, την x Αx. Κάθε µία από τις γωνίες ΒΑx και ΒΑx λέγεται γωνία χρδής και εφαπτµένης. Η ξεία γωνία ΒΑx λέγεται γωνία της χρδής ΑΒ και τυ κύκλυ (Ο,R). Τ τόξ ΑΒ πυ περιέχεται µεταξύ των πλευρών της γωνίας χρδής και εφαπτµένης λέγεται α- ντίστιχ τόξ της γωνίας αυτής. x O R  x Η γωνία χρδής και εφαπτµένης είναι ίση µε κάθε εγγεγραµµένη γωνία πυ βαίνει στ αντίστιχ τόξ της χρδής. Βασικός Γεωµετρικός Τόπς Ολές ι εγγεγραµµένες γωνίες στ ίδι τόξ είναι ö ίσες. Οι κρυφές των γωνιών αυτών βλέπυν τη χρδή τυ τόξυ µε ίσες γωνίες. Λέµε λιπόν ότι: Â Ο γεωµετρικός τόπς των σηµείων τυ επιπέδυ από τα πία ένα τµήµα ΑΒ φαίνεται ö υπό γωνία ˆφ είναι δύ τόξα κύκλων συµµετρικά ως πρς την ΑΒ. Από τα τόξα εξαιρύνται τα σηµεία Α και Β.
4 08. Τύπι - Βασικές έννιες Πόρισµα Ο γεωµετρικός τόπς των σηµείων τυ επιπέδυ από τα πία ένα τµήµα φαίνεται υπό ρθή γωνία είναι κύκλς διαµέτρυ ΑΒ. Εξαιρύνται τα άκρα Α και Β τυ τµήµατς. Â Τ εγγεγραµµέν τετράπλευρ Ένα τετράπλευρ λέγεται εγγεγραµµέν σε κύκλ αν ι κρυφές τυ είναι σηµεία τυ κύκλυ. Ένα τετράπλευρ λέγεται εγγράψιµ σε κύκλ, αν υ- πάρχει κύκλς, πυ διέρχεται από τις κρυφές τυ. Θεώρηµα Ένα τετράπλευρ πυ είναι εγγεγραµµέν σε κύκλ έχει τις εξής ιδιότητες: B α. Οι απέναντι γωνίες τυ είναι παραπληρω- ˆ ˆ ˆ ˆ Α + Γ = 80 και Β + = 80 µατικές ( ) β. Κάθε πλευρά τυ φαίνεται από τις απένα- Α ˆ =Βˆ ντι κρυφές µε ίσες γωνίες, π.χ. ( ) γ. Κάθε εξωτερική γωνία ενός εγγεγραµµένυ τετραπλεύρυ είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική τυ γωνία. x B Θεώρηµα (Κριτήρι) Ένα τετράπλευρ είναι εγγράψιµ σε κύκλ αν έχει µία από τις παρακάτω ιδιότητες: α. ύ απέναντι γωνίες τυ είναι παραπληρωµατικές. β. Μια πλευρά τυ φαίνεται από τις απέναντι κρυφές µε ίσες γωνίες. γ. Μια εξωτερική τυ γωνία είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική τυ γωνία. Ένα τετράπλευρ λέγεται περιγεγραµµέν σε κύκλ, αν όλες ι πλευρές τυ εφάπτνται στν κύκλ.
5 Τύπι - Βασικές έννιες 09. Σε κάθε περιγγεγραµµέν τετράπλευρ ισχύυν ι ιδιότητες: B α. Οι διχτόµι των γωνιών τυ διέρχνται από τ ίδι σηµεί. β. Τα αθρίσµατα των απέναντι πλευρών τυ είναι ίσα. O Ένα τετράπλευρ λέγεται περιγράψιµ σε κύκλ, αν υπάρχει κύκλς πυ εφάπτεται στις πλευρές τυ. Θεώρηµα (Κριτήρι) Ένα τετράπλευρ είναι περιγράψιµ σε κύκλ αν: α. Οι διχτόµι τριών τυλάχιστν γωνιών τυ διέρχνται από τ ίδι σηµεί. β. Τα αθρίσµατα των απέναντι πλευρών τυ είναι ίσα.
6 0. Βήµα Μαθαίνυµε τις απδείξεις ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
7 Μαθαίνυµε τις απδείξεις Βήµα.
8 . Βήµα Επαναλαµβάνυµε τις ασκήσεις κλειδιά ÂÞìá ÂÞìá ÅðáíáëáìâÜíïõìå ôéò áóêþóåéò "êëåéäéü" Α. Από τ σχλικό βιβλί ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ έκδση 003. σ. 9: Ασκήσεις Εµπέδωσης,, 3, 4, 5 Απδεικτικές Ασκήσεις,, 3 Σύνθετα Θέµατα σ. 34: Ερωτήσεις Κατανόησης 4, 5, 6 Ασκήσεις Εµπέδωσης, 3 Απδεικτικές Ασκήσεις, 3
9 Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 3. ÂÞìá 3 ÂÞìá ÂÞìá Ëýíïõìå ðåñéóóüôåñåò áóêþóåéò. Αν η διχτόµς της γωνίας ˆΑ, τριγώνυ ΑΒΓ, τέµνει τν περιγεγραµµέν τυ κύκλυ στ Μ και η διχτόµς της γωνίας ˆΒ τέµνει την ΑΜ στ, να δείξετε ότι τ τρίγων ΜΒ είναι ισσκελές. Λύση: Επειδή η ΑΜ είναι διχτόµς της ˆΑ, θα ισχύει: ˆ ˆ ˆΑ ˆΒ Α = Α =. Επίσης και Βˆ ˆ = Β =, αφύ η Β είναι διχτόµς της ˆΒ. Στ Β Μ ˆ έχυµε: B Μˆ = Γˆ ως εγγεγραµµένες γωνίες πυ βαίνυν στ M τόξ B. ΜΒΓ ˆ = Αˆ ως εγγεγραµµένες γωνίες πυ βαίνυν στ τόξ ΜΓ. Οπότε: ˆ ˆ ΒΜ ˆ = Βˆ ˆ ˆ ˆ + ΜΒΓ = Β + Α = + = = = 90 Βˆ Α Α + Βˆ 80 Γˆ ˆ Γ Γˆ Γˆ ˆ Γ ˆ ˆ ˆ Β Μ = 80 ΒΜ Μ = Γˆ = Γˆ = 90 Άρα ΒΜ ˆ Β Μ ˆ 90 ˆΓ = =, πότε τ ΜΒ είναι ισσκελές µε κρυφή τ Μ.. Από σηµεί Μ εκτός κύκλυ (Ο, R) φέρυµε τα εφαπτόµενα τµήµατα ΜΑ και ΜΒ στν κύκλ. Πρεκτείνυµε την ΑΜ και στην πρέκταση παίρνυµε τµήµα ΜΓ = ΜΑ. Αν είναι τ αντιδιαµετρικό σηµεί τυ Α, να δείξετε ότι τα σηµεία, Β, Γ είναι συνευθειακά. Λύση: Ισχύει: ΜΑ = ΜΒ () ως εφαπτµένα τµήµατα πρς κύκλ από σηµεί αυτύ.
10 4. Βήµα 3 Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις Επίσης η ΟΜ διχτµεί τις γωνίες ˆ ΑΜΒ και ΑΟΒ ˆ, πότε: Ο ˆ ˆ = Ο και Μ ˆ ˆ = Μ. () Όµως ΜΓ = ΜΑ ΜΓ = ΜΒ. Άρα τ τρίγων ΜΒΓ είναι ισσκελές, πότε Β ˆ ˆ = Γ ως πρσκεί- O B Ì µενες γωνίες στην βάση τυ ΒΓ. Η ΑΜΒ ˆ είναι εξωτερική γωνία τυ ΜΒΓ, ΑΜΒ ˆ = Βˆ + Γˆ Μˆ + Μˆ = Βˆ + Γˆ Μˆ + Μˆ = Βˆ πότε: Μˆ = Βˆ ˆ ˆ Μ = Β. Άρα ΒΓ//ΟΜ () διότι τεµνόµενες από την ΒΜ σχηµατίζυν τις εντός εναλλάξ γωνίες τυς ίσες. Επειδή Ο = ΟΒ = R τ τρίγων Ο Β είναι ισσκελές. Άρα ˆ ˆ = Β. Όµως ˆ = ΑΟΒ ˆ, αφύ µια εγγεγραµµένη γωνία είναι ίση µε τ µισό της επίκεντρης γωνίας πυ βαίνει στ ίδι τόξ µε αυτήν. Άρα ˆ = Ο ˆ ˆ ˆ Β = Ο πότε Β //ΟΜ (3) διότι τεµνόµενες από την ΟΒ σχηµατίζυν τις εντός εναλλάξ γωνίες τυς ίσες. Άρα από τις () και (3) και λόγω τυ αιτήµατς τυ Ευκλείδη, συµπεραίνυµε ότι ι ευθείες Β και ΒΓ ταυτίζνται. Επµένως τα σηµεία, Β, Γ είναι συνευθειακά. 3. Σε ξυγώνι τρίγων ΑΒΓ, θεωρύµε τα ύψη τυ Α και ΒΕ και έστω Η τ ρθόκεντρό τυ. Στ ΕΓ παίρνυµε τµήµα ΕΖ = ΑΕ. Να δείξετε ότι τ τετράπλευρ ΒΗΖΓ είναι εγγράψιµ σε κύκλ. Λύση: Στ ρθγώνι τρίγων ( ˆ ) ˆ Α Γ = + ˆ = ˆ = ˆ () Α Γ 90 Α 90 Γ έχυµε: Οµίως από τ ρθγώνι τρίγων ( ˆ ) ΒΕΓ Ε = έ- χυµε: ˆ ˆ H Β = 90 Γ () Z B Τ ΑHΖ είναι ισσκελές, αφύ τ ΗΕ είναι ύψς () () και διάµεσς, άρα Ζˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = Α Ζ = 90 Γ Ζ = Β. Άρα τ τετράπλευρ ΒΗΖΓ είναι εγγράψιµ αφύ µια εξωτερική τυ γωνία είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική γωνία. E
11 Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα Σε τρίγων ΑΒΓ φέρυµε τ ύψς τυ Α. Από τυχαί σηµεί Μ τυ Α φέρυµε τις απστάσεις τυ ΜΕ και ΜΖ από τις ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα. Να δείξετε ότι τ ΒΕΖΓ είναι εγγράψιµ. Λύση: Τ τετράπλευρ ΕΜ Β είναι εγγράψιµ, αφύ ˆ ˆ ΒΕΜ + Β Μ = = 80. Άρα Βˆ + ΕΜ ˆ = 80 () Z Οµίως και τ τετράπλευρ ΑΕΜΖ είναι εγγράψιµ E M ( ˆ ˆ ΑΕΜ + ΑΖΜ = = 80 ), πότε η πλευρά τυ ΕΜ φαίνεται από τις κρυφές Α και Ζ υπό ίσες γωνίες. Άρα ΕΑΜ ˆ = ΕΖΜ ˆ (). Στ τρίγων ΑΕΜ η ΕΜ ˆ είναι εξωτερική, πότε: B ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ΕΜ = ΕΑΜ + ΑΕΜ ΕΜ = ΕΑΜ + 90 (3) Στ τετράπλευρ ΒΕΖΓ έχυµε: ( ) ( ˆ ) () (3) () ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Β + ΕΖΓ = Β + ΕΖΜ + ΜΖΓ = Β + ΕΑΜ + 90 = Β + ΕΜ = 80 Άρα τ ΒΕΖΓ είναι εγγράψιµ, αφύ δύ απέναντι γωνίες τυ είναι παραπληρωµατικές. 5. ύ κύκλι (Κ, R) και (Λ, ρ) µε R > ρ εφάπτνται εξωτερικά στ σηµεί Α. Από τ σηµεί τυ κύκλυ (Λ,ρ) φέρυµε ευθεία πυ εφάπτεται στν κύκλ (Λ, ρ) και τέµνει τν κύκλ (Κ, ρ) στα σηµεία Β, Γ. Να δείξετε ότι η Α είναι εξωτερική διχτόµς της γωνίας ˆΑ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. Λύση: Αρκεί να δείξυµε ότι: ΒΑ ˆ = ΛΑ ˆ Στ τρίγων ΑΓ η ΛΑ ˆ είναι εξωτερική τυ γωνία, πότε: ΛΑ ˆ = ΑΓΒ ˆ + Α Ε ˆ () B E Ê Á Ë Φέρυµε την κινή εσωτερική εφαπτµένη των δύ κύκλων, η πία τέµνει της Γ στ Ε. Τότε ΕΑ = Ε σαν εφαπτόµενα τµήµατα από τ Ε πρς τν κύκλ (Λ, ρ). Άρα Α Ε ˆ = ΑΕ ˆ () σαν πρσκείµενες γωνίες στη βάση ισσκελύς τριγώνυ. Επίσης ΕΑΒ ˆ = ΑΓΒ ˆ (3) διότι η γωνία από χρδή και εφπτµένη είναι ίση µε την εγγεγραµµένη πυ βαίνει στ αντίστιχ τόξ της.
12 6. Βήµα 3 Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις Η () () ΛΑ ˆ = ΕΑΒ ˆ + ΑΕ ˆ ΛΑ ˆ = ΒΑ ˆ.ε.δ. (3) 6. Σε ηµικύκλι διαµέτρυ ΑΒ, θεωρύµε τ µέσ τυ Μ. Έστω Λ τυχαί σηµεί τυ τόξυ B. Φέρυµε την ευθεία ΜΚ ΑΛ. Να δείξετε ότι: ΜΚ = ΚΛ Λύση: Φέρυµε τα τµήµατα ΛΜ, ΑΜ, ΟΛ, όπυ Ο τ κέντρ τυ ηµικύκλιυ. Τότε ΟΜ ΑΒ, αφύ για την Ë K M επίκεντρη γωνία ΒΟΜ ˆ ισχύει ΒΟΜ ˆ = 90 διότι βαίνει στ τόξ B 80 ΒΜ = = = 90 O B Στ τρίγων ΑΛΜ η ΚΛΜ ˆ είναι εξωτερική, πότε: ΚΛΜ ˆ = ΛΑΜ ˆ + ΑΜΛ ˆ () Όµως κάθε εγγεγραµµένη γωνία είναι, κατά µέτρ, ίση µε τ µισό της επίκεντρης γωνίας πυ βαίνει στ ίδι τόξ µε αυτήν. Άρα: ΛΑΜ ˆ = Οˆ ΑΜΛ ˆ = Ο ˆ () ΚΛΜ ˆ = Οˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + Ο ΚΛΜ = Ο+ Ο ΚΛΜ = ΑΟΜ (3) () Η ( ) ˆ = ˆ = ΚΛΜ 90 ΚΛΜ 45 Τ τρίγων ΚΛΜ είναι ρθγώνι στ Κ και ΚΜΛ ˆ ΚΛΜ ˆ 45 =, πότε και = =. Άρα τ τρίγων ΚΛΜ είναι και ισσκελές, πότε ΛΚ = ΜΚ. 7. Αν η διχτόµς της γωνίας ˆΑ τριγώνυ ΑΒΓ τέµνει τν περιγεγγραµµέν κύκλ τυ τριγώνυ σε σηµεί, να δείξετε ότι: α. Τ τρίγων ΙΒ είναι ισσκελές, όπυ Ι είναι τ εγκεντρ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. β. Τ σηµεί είναι περίκεντ τυ τριγώνυ ΙΒΓ. Λύση: α. Φέρυµε τις διχτόµυς των γωνιών ˆΑ και ˆΒ τυ τριγώνυ ΑΒΓ, ι πίες
13 Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 7. ˆΑ τέµννται στ έγκεντρ Ι. Τότε: Αˆ ˆ = Α = και ˆΒ I Βˆ ˆ = Β =. Στ τρίγων ΙΒ έχυµε: B 3 η γωνία τυ ΒΙ ˆ είναι εξωτερική γωνία τυ τριγώνυ ΑΒΙ, πότε: Βˆ Αˆ Αˆ Βˆ ΒΙ ˆ Βˆ ˆ + = + Α = + = Βˆ Αˆ Αˆ Βˆ ΙΒ ˆ Βˆ ˆ ˆ ˆ + = + Β3 = Β + Α = + =, αφύ ˆΒ ˆ 3 = Α σαν εγγεγραµµένες γωνίες πυ βαίνυν στ ίδι τόξ Γ. Άρα ΒΙ ˆ = ΙΒ ˆ πότε τ τρίγω- ν ΙΒ είναι ισσκελές µε κρυφή τ, πότε: Β = Ι () β. Επειδή ι εγγεγραµµένες γωνίες Α,Α ˆ ˆ είναι ίσες, θα είναι ίσες και ι αντίστιχες χρδές τυς, δηλαδή Β = Γ () Από () και () έχυµε: Β = Ι = Γ, δηλαδή τ ισαπέχει από τις κρυφές τυ τριγώνυ ΙΒΓ, άρα είναι τ περίκεντρ τυ. 8. Έστω σηµεί τ πί δεν ανήκει στ εσωτερικό τριγώνυ ΑΒΓ. Αν ι πρβλές τυ στις πλευρές τυ τριγώνυ ΑΒΓ είναι συνευθειακά σηµεία, να δείξετε ότι τ ανήκει στν περιγεγραµµέν κύκλ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. Λύση: Έστω Κ ΒΓ, Λ ΑΓ, Μ ΑΒ, µε τα σηµεία M Κ, Λ, Μ να ανήκυν στην ίδια ευθεία. Για να δείξυµε ότι τ ανήκει στν περιγεγραµµέν κύκλ τυ τριγώνυ ΑΒΓ αρκεί να δείξυµε ότι τ ΑΒΓ είναι εγγράψιµ. Τ τετράπλευρ ΚΛ Γ είναι εγγράψιµ, αφύ ΓΚ ˆ = ΓΛ ˆ = 90, δηλαδή η πλευρά τυ Γ B Ë φαίνεται από τις απέναντι κρυφές τυ Κ, Λ υπό ίσες K γωνίες. Άρα ΒΓ ˆ = ΛΜ ˆ (), διότι σε εγγράψιµ τετράπλευρ µια εξωτερική τυ γωνία είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική. Επίσης τ τετράπλευρ ΑΜ Λ είναι εγγράψιµ, αφύ δύ απέναντι γωνίες τυ είναι παραπληρωµατικές ( ˆ ˆ ΑΛ + ΑΜ = = 80 ). Άρα ΛΜ ˆ = ΑΜ ˆ (), αφύ σε ένα εγγράψιµ τετράπλευρ κάθε πλευρά τυ φαίνεται από τις απέναντι
14 8. Βήµα 3 Λύνυµε περισσότερες ασκήσεις κρυφές υπό ίσες γωνίες. Από () και () πρκύπτει ότι ΒΓ ˆ = ΑΜ ˆ. Συνεπώς στ τετράπλευρ ΑΒΓ, µια εξωτερική τυ γωνία είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική. Άρα τ ΑΒΓ είναι εγγράψιµ. 9. Σε τρίγων ΑΒΓ θεωρύµε τα ύψη τυ Β και ΓΕ. Αν Η τ ρθόκεντρ τυ τριγώνυ ΑΒΓ, Μ τ µέσ της πλευράς ΑΒ και Ν τ µέσ τυ ΗΒ, να απδείξετε ότι τ τετράπλευρ ΜΕΝ είναι εγγράψιµ. Λύση: Στ ρθγώνι τρίγων B η Μ είναι η διάµεσς τυ πυ αντιστιχεί στην υπτείνυσα τυ ΑΒ. ΑΒ Άρα Μ = = ΑΜ. Συνεπώς τ τρίγων Α Μ είναι ισσκελές µε κρυφή τ Μ, πότε ˆ ˆ = Α () ως πρσκείµενες γωνίες στην βάση τυ Α. Τότε για την εξωτερική γωνία ˆΜ τυ τριγώνυ Α Μ () ˆ έχυµε: Μˆ = Αˆ + ˆ Μ = Αˆ (). Τ τετράπλευρ Α ΗΕ έχει Α Η ˆ + ΑΕΗ ˆ = = 80, δηλαδή δύ απέναντι γωνίες τυ είναι παραπληρωµατικές, πότε είναι εγγράψιµ. Συνεπώς θα ισχύει ότι ˆΗ ˆ = Α (3), αφύ κάθε εξωτερική γωνία εγγράψιµυ τετραπλευρύ είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική. Στ ρθγώνι τρίγων ΒΕΗ η ΕΝ είναι διάµεσς πυ αντιστιχεί στην υπτεί- ΒΗ νυσα ΒΗ. Άρα ΕΝ = = ΝΗ. ηλαδή τ τρίγων ΕΝΗ είναι ισσκελές µε κρυφή Ν. Άρα Η ˆ ˆ = Ε (4) ως πρσκείµενες γωνίες στη βάση τυ. Οπότε για την εξωτερική τυ γωνία ˆΝ έχυµε: () (3) Νˆ = Εˆ + Ηˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Ν = Η Ν = Μ. Άρα τ τετράπλευρ ΜΕΝ είναι εγγράψιµ, αφύ µια εξωτερική γωνία τυ είναι ίση µε την απέναντι εσωτερική. B M E N H
15 Λύνυµε µόνι µας Βήµα 4 9. ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá ÂÞìá Ëýíïõìå ìüíïé ìáò. Σε καθένα από τα παρακάτω σχήµατα να βρείτε τα x και y (όπυ x, y γωνίες ή τόξα ανάλγα). x B á) â) ã) 3x x B y O y x B 5x OB ï O ÁÂ 90 ï ï 30 Â 0
16 0. Βήµα 4 Λύνυµε µόνι µας. Στην πρέκταση της ακτίνας ΟΑ κύκλυ (Ο, ρ), παίρνυµε τµήµα ΑΒ = ΟΑ και φέρνυµε τη ΒΓ κάθετη σε τυχαία εφαπτµένη ε τυ κύκλυ. Να δειχθεί ότι: OΓ = 3ΑΓΒ 3. ύ κύκλι (Κ, ρ) και (Λ, ρ) εφάπτνται εξωτερικά στ Α. Φέρνυµε µια χρδή ΑΒ τυ κύκλυ (Κ, ρ) και τη χρδή ΑΓ ΑΒ τυ κύκλυ (Λ, ρ). Να δειχθεί ότι ΒΓ//=ΚΛ. 4. Σε κύκλ κέντρυ Ο θεωρύµε τη διάµετρ ΑΒ, τη χρδή ΑΓ και τη διχτόµ της γωνίας ΒΑΓ, πυ τέµνει τν κύκλ στ σηµεί Μ και την ΒΓ στ. Αν η ΑΜ τέµνει στ σηµεί Ζ την εφαπτµένη τυ κύκλυ στ Β, να δειχθεί ότι: Μ = ΜΖ.
17 Λύνυµε µόνι µας Βήµα ίνεται τ ισόπλευρ τρίγων ΑΒΓ, περιγγεγραµµένς κύκλς τυ (Κ, R) και τυχαί σηµεί Μ τυ τόξυ ΒΓ. Να δείχθεί ότι: ΜΑ = ΜΒ + ΜΓ. (Υπόδειξη: Παίρνυµε στη ΜΑ τµήµα Μ = ΜΒ) 6. ύ κύκλι (Κ, R), (Λ, ρ) τέµννται στα σηµεία Α και Β. Μία κινή εφαπτµένη τυς εφάπτεται των κύκλων στα Γ και αντίστιχα. Να δειχθεί ότι: ˆ ˆ ΓΑ + ΓΒ = 80.
18 . Βήµα 4 Λύνυµε µόνι µας 7. Οι κρυφές τριγώνυ ΑΒΓ είναι σηµεία τυ κύκλυ (Ο, R). Η εφαπτ- µένη στ σηµεί Α τέµνει την ΒΓ στ Ε. Φέρνυµε τη διχτόµ Α τυ τριγώνυ ΑΒΓ. Να δειχθεί ότι τ τρίγων Α Ε είναι ισσκελές. 8. Στν κύκλ (Ο, ρ) η ΑΒ είναι η διάµετρς και η Γ είναι η χρδή. Να απδειχθεί ότι η χρδές ΑΓ και Β έχυν ίσες πρβλές στην ευθεία Γ.
19 Λύνυµε µόνι µας Βήµα Στν κύκλ (Ο, ρ) παίρνυµε τις χρδές ΑΒ = ΑΓ και φέρνυµε από τ Α ευθεία, πυ τέµνει τν κύκλ στ Ε και τη ΒΓ στ. Να δειχθεί ότι η ΑΒ είναι εφαπτµένη τυ κύκλυ, πυ περνάει από τα σηµεία Β,, Ε. 0. ύ κύκλι µε κέντρα Κ και Λ τέµννται στα σηµεία Α και Β. Φέρνυµε τις διαµέτρυς ΑΚΓ και ΑΛ και τις χρδές ΓΖ// Ε. Να δειχθεί ότι τα σηµεία Ζ, Α, Ε είναι συνευθειακά.
20 4. Βήµα 4 Λύνυµε µόνι µας. ίνεται χρδή ΒΓ, κύκλυ (Ο, ρ) και ι εφαπτόµενες ε και ε στα άκρα της. Από σηµεί Μ της ΒΓ, φέρνυµε κάθετη στην ΟΜ, πυ τέµνει τις ε και ε στα σηµεία Ε και Ζ. Να δειχθεί ότι ΕΜ = ΜΖ.. Σε γωνία xoψ ˆ παίρνυµε τη διχτόµ Ο και τ εσωτερικό της ση- µεί Ρ της Oψ ˆ. Αν Α, Β, Γ είναι ι πρβλές τυ Ρ στις ηµιευθείες Ο, Οx, Οψ να δειχθεί ότι: α. Τα σηµεία Ο, Β, Α, Ρ, Γ είναι µκυκλικά β. ΑΒ = ΑΓ
21 Λύνυµε µόνι µας Βήµα Οι πλευρές ΑΒ και Γ εγγεγραµµένυ τετραπλεύρυ ΑΒΓ τέµννται στ Ε και ι πλευρές Α και ΒΓ στ Ζ. Η διχτόµς της γωνίας Ε τέµνει τις ΒΓ, Α στα σηµεία Κ, Μ και η διχτόµς της ˆΖ τέµνει τις πλευρές Γ και ΑΒ, στα Λ, Ρ. Να δείξετε ότι: α. Οι διχτόµι των Ε και Ζ τέµννται κάθετα β. Τ τετράπλευρ ΚΛΜΡ είναι ρόµβς
22 6. Βήµα 5 Ελέγχυµε τη γνώση µας ÂÞìá 5 ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá ÂÞìá ÅëÝã ïõìå ôç ãíþóç ìáò Θέµα Α. Να δείξετε ότι κάθε εγγεγραµµένη γωνία ισύται µε τ µισό της επίκεντρης γωνίας πυ βαίνει στ ίδι τόξ. (Μνάδες ) Β. Να δείξετε ότι η γωνία πυ σχηµατίζεται από µια χρδή κύκλυ και την εφαπτµένη στ άκρ της χρδής ισύται µε την εγγεγραµµένη πυ βαίνει στ τόξ της χρδής. (Μνάδες 3) Θέµα 0 Α. Οι κρυφές τραπεζίυ ΑΒΓ (ΑΒ// Γ) είναι σηµεία τυ κύκλυ (Κ, ρ). Να δείξετε ότι, η γωνία των εφαπτόµενων τυ κύκλυ αυτύ, στα σηµεία Α και Γ, είναι ίση µε τη γωνία των ευθειών Α και ΒΓ. (Μνάδες 6) Β. Να δειχθεί ότι κάθε εγγεγραµµέν τραπέζι είναι ισσκελές. (Μνάδες 9) Θέµα 3 0 Α. ύ κύκλι, τέµννται στα σηµεία Β και. Ευθεία, πυ περνάει από τ Β τέµνει τυς κύκλυς στα σηµεία Α και Γ. Οι ευθείες Α και Γ τέµνυν αντίστιχα τυς κύκλυς στα Ε και Ζ και ι ευθείες ΑΖ, ΓΕ τέµννται στ Η. Να δείξετε, ότι τ τετράπλευρ ΕΗΖ είναι εγγράψιµ σε κύκλ. (Μνάδες 3) Β. Τρίγων ΑΒΓ είναι εγγεγραµµέν σε κύκλ (Κ, ρ). Φέρνυµε την εφαπτµένη Αx και ευθεία ε//αx πυ τέµνει την ΑΓ στ και την ΑΒ στ Ε. Να δείξετε ότι τ ΒΓ Ε είναι εγγράψιµ. (Μνάδες ) Θέµα 4 0 Α. ύ κύκλι τέµννται στα σηµεία Α και Β. Από τα Α και Β, φέρνυµε ευθείες πυ τέµνυν τν έναν κύκλ στα Γ και Γ και τν άλλν στα και. Να δειχθεί ότι ΓΓ //. (Μνάδες 3) Β. Από ένα σηµεί Ι τυ ύψυς Α τριγώνυ ΑΒΓ, φέρνυµε τα τµήµατα ΙΚ και ΙΛ κάθετα στις πλευρές ΑΓ και ΑΒ αντίστιχα. Να δείξετε ότι τ τετράπλευρ ΒΓΚΛ είναι εγγράψιµ σε κύκλ. (Μνάδες )
23
24 ΒΙΒΛΙΟ µαθήµατα. ΦΥΣΙΚΗ Α Λυκείυ Κωδ. Μία έκδση ΕΚΠΛΗΞΗ!!! για τις επαναλήψεις σας και όχι µόν.... ΧΗΜΕΙΑ Α Λυκείυ Κωδ. 3. ΦΥΣΙΚΗ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείυ Κωδ ΧΗΜΕΙΑ Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείυ Κωδ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείυ Κωδ ΦΥΣΙΚΗ Γενικής Παιδείας Β Λυκείυ Κωδ ΑΛΓΕΒΡΑ Γενικής Παιδείας Β Λυκείυ Κωδ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γενικής Παιδείας Β Λυκείυ Κωδ ΦΥΣΙΚΗ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Γ Λυκείυ Κωδ ΧΗΜΕΙΑ Θετικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείυ Κωδ. 37. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Γ Λυκείυ Κωδ. 38. ΦΥΣΙΚΗ Γενικής Παιδείας Γ Λυκείυ Κωδ ΑΡΧΑΙΑ Θεωρητικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείυ (Θυκιδίδη Περικλέυς Επιτάφις) Κωδ. 5 Τ αντίδτ για την... αµνησία την ώρα των εξετάσεων είναι η σωστή επανάληψη. ΕΝΗΜΕΡΩΣΟΥ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΣΟΥ
Α = Δ = 90 με ˆ ο. Β = 60. Αν είναι ΒΓ = ΔΓ = 8 να βρεθεί το μήκος της διαμέσου του τραπεζίου.
Γεωμετρία της Α Λυκείυ 34. Δίνεται ρθγώνι τραπέζι ΑΒΓΔ Α = Δ = 90 με Β = 60. Αν είναι ΒΓ = ΔΓ = 8 να βρεθεί τ μήκς της διαμέσυ τυ τραπεζίυ. Φέρνυμε τ ύψς ΓΕ τυ τραπεζίυ. Στ ρθγώνι τρίγων ΓΕΒ είναι Άρα
Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα
0 Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΣΕ ΚΥΚΛΟ i) Ένα πλύγων ΑΑΑ 3...Α ν λέγεται εγγεγραµµέν σε κύκλ όταν ι κρυφές τυ είναι σηµεία ενός κύκλυ. ii)
ÊåöÜëáéï 4 ï ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò
ÊåöÜëáéï 4 ï ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò Ο µαθητής πυ έχει µελετήσει τ κεφάλαι 4 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει τη σχετική θέση δύ ευθειών. Να γνωρίζει τη σχέση µεταξύ γωνιών πυ σχηµατίζνται από δύ παράλληλες
αποδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείου 1
απδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr αν δύ χρδές ενός κύκλυ είναι ίσες τότε και τα απστήµατά τυς και αντιστρόφως αν τα απστήµατα δύ χρδών ενός κύκλυ τότε και ι χρδές είναι
2. Σε τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουµε τη διάµεσο ΑΜ κατά Μ = ΑΜ. λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείου 1. ΒΜ = ΓΜ (υπόθεση)
λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr. Στις πρεκτάσεις των ίσων πλευρών ΒΑ και ΓΑ ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ θεωρύµε ίσα τµήµατα Α, ΑΕ αντιστίχως. Αν Μ είναι τ µέσ της ΒΓ, να απδείξεις ότι τ τρίγων
Είναι φ =180 ο 120 ο = 60 ο άρα ω = 50 ο + 60 ο = 110 ο. ˆ ΑΓ, να υπολογίσετε την γωνία φ. ˆ ΑΓ = 110 ο άρα ω =70 ο, οπότε. Είναι
4.6 4.8 σκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 87 88 ρωτήσεις Κατανόησης. Να υπλγίσετε την γωνία ω στ παρακάτω σχήµα πάντηση ω ίναι φ =8 = 6 άρα ω = 5 + 6 = 5 φ. ν = και x διχτόµς της γωνίας πάντηση ω φ ω 55 x
9 o ìüèçìá. Êýêëïò. 6 ÊåöÜëáéï. 10 o ìüèçìá. ÅããåãñáììÝíá êáé åããñüøéìá ôåôñüðëåõñá à Ã
x 9 o ìüèçìá Êýêëïò Ê Ì ø o 6 ÊåöÜëáéï 0 o ìüèçìá ÅããåãñáììÝíá êáé åããñüøéìá ôåôñüðëåõñá Ê 9 Κύκλς Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ Ορισµί i) Μια γωνία λέγεται εγγεγραµµένη σε κύκλ, όταν
1 Εγγεγραµµένα σχήµατα
Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.
άθροισµα των τετραγώνων των διαγωνίων του είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των βάσεών του.
1. Αν ι µη παράλληλες πλευρές ενός τραπεζίυ είναι κάθετες, να απδείξετε ότι τ άθρισµα των τετραγώνων των διαγωνίων τυ είναι ίσ µε τ άθρισµα των τετραγώνων των βάσεών τυ.. Να υπλγίσετε τ ύψς και τις διαγώνιες
1. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; Απάντηση Όταν η κορυφή της είναι σηµείο του κύκλου και οι πλευρές της είναι τέµνουσες του κύκλου
6. 6.4 σκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 9 30 Ερωτήσεις Κατανόησης. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; πάντηση Όταν η κρυφή της είναι σηµεί τυ κύκλυ και ι πλευρές της είναι τέµνυσες τυ κύκλυ. ν φ και ω είναι
(Ανάλογα εργαζόµαστε και για να αποδείξουµε ότι δύο γωνίες έχουν κοινή διχοτόµο ή δύο τόξα κοινό µέσο).
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (η τεχνική τυ αρκεί να απδείξυµε ότι... ) Παναγιώτης Λ. Θεδωρόπυλς Σχλικός Σύµβυλς κλάδυ ΠΕ03 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν µε σκπό να βηθήσυν τυς µαθητές της
ÊåöÜëáéï 5 ï. Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση:
ÊåöÜëáéï 5 ï Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις ιδιότητες του παραλληλογράµµου, ορθογωνίου, ρόµβου, τετραγώνου, τραπεζίου.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ web:
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίυ (Ελευθερίυ Βενιζέλυ) 3 06 79 ΑΘΗΝΑ email: info@hms.gr web: www.hms.gr Πρόβλημα ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 79 ς ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ «Ο ΘΑΛΗΣ»
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Αν οι αριθμοί x και ψ είναι αντίστροφοι να βρεθεί η τιμή της παράστασης
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αν ι αριθμί και ψ είναι αντίστρφι να βρεθεί η τιμή της παράστασης y y A y Αν α,β είναι θετικί πραγματικί αριθμί να απλπιηθύν ι παραστάσεις : 4 4 A 6αβ 49α
ÊåöÜëáéï 2 ï. Ôá âáóéêü ãåùìåôñéêü ó Þìáôá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 2 θα πρέπει να είναι σε θέση:
ÊåöÜëáéï ï Ôá âáóéêü ãåùìåôñéêü ó Þìáôá Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις πρωταρχικές έννοιες της Γεωµετρίας (σηµείο,ευθεία, επίπεδο). Να γνωρίζει τα
( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2
1 11. 11.7 Μέτρηση κύκλυ ΘΩΡΙ Μήκς τόξυ µ : µ 180 Μήκς τόξυ α rad : αr Σχέση µιρών ακτινίων : α π µ 180 µβαδόν κυκλικύ δίσκυ : ( ) µβαδόν κυκλικύ τµέα µ : µ µβαδόν κυκλικύ τµέα α rad : ( ) 1 αr µβαδόν
1. Να υπολογίσεις το εμβαδόν κυκλικού δίσκου που είναι περιγεγραμμένος. Στο διπλανό σχήμα, να υπολογίσεις το μήκος και το. εμβαδόν του κύκλου.
Δ 1. Να υπλγίσεις τ εμβαδόν κυκλικύ δίσκυ πυ είναι περιγεγραμμένς σε τετράγων πλευράς α = 6 cm Α Α 8cm. 6cm Στ διπλανό σχήμα, να υπλγίσεις τ μήκς και τ Β Γ εμβαδόν τυ κύκλυ. Ο Β Γ 3. Λυγίζυμε ένα σύρμα
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού
Μπάμπης Στεργίου. Ασκήσεις στη Γεωμετρία. Διαγωνισμός. Αρχιμήδης. Juniors-Μικροί. *** Αφιερωμένο στους μαθητές και τους συναδέλφους
Μπάμπης Στεργίυ ιαγωνισμός Αρχιμήδης Juniors-Μικρί Ασκήσεις στη Γεωμετρία *** Αφιερωμέν στυς μαθητές και τυς συναδέλφυς 017 Σελίδα 1 από 5 Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός 5/0/017
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 1. Αν οι αριθμοί x και ψ είναι αντίστροφοι να βρεθεί η τιμή της παράστασης
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αν ι αριθμί και ψ είναι αντίστρφι να βρεθεί η τιμή της παράστασης A y y y Αν α,β είναι θετικί πραγματικί αριθμί να απλπιηθύν ι παραστάσεις :
Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο
1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.
1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο
ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;
1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν
Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Α Λύκειου
Περιδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Α Λύκειυ Γιάννης Κυριαζής Κωστά Βακαλόπυλς Άσκηση Θεωρύμε τρίγωνα και για τα πία ισχύει ότι: α) B ˆ B ˆ β) Γ ˆ Γ ˆ γ) r=r, όπυ r,r ι περίμετρι
2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.
1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα
ΜΕΤΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Στο παρόν αρχείο περιέχονται προτάσεις και ασκήσεις από τη μετρική γεωμετρία.
Σελίδα 1 από 36 ΜΕΤΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Μπάμπης Στεργίυ - εκέμβρις 016 Στ παρόν αρχεί περιέχνται πρτάσεις και ασκήσεις από τη μετρική γεωμετρία. Πρρίζνται για μαθητές Λυκείυ πυ συμμετέχυν στν διαγωνισμό Ευκλείδης
ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι
ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ
Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ
3.2 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
3. ΘΡΟΙΣΜ ΩΝΙΩΝ ΤΡΙΩΝΟΥ ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΙΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙ. Άθρισµα γωνιών τριγώνυ Σε πιδήπτε τρίγων τ άθρισµα των γωνιών τυ είναι ίσ µε 80. Ιδιότητες ισσκελύς τριγώνυ Η ευθεία της διαµέσυ πυ αντιστιχεί
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων Β Ε γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΖ.
1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ είναι Â =80. Παίρνουµε τυχαίο σηµείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σηµεία και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε Β =ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις
Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα
Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο
απεναντι καθετη πλευρα υποτεινουσα
ΜΑΘΗΜΑ 7 Κεφάλαι o : Τριγωνµετρία Υπενότητα.: Τριγωνµετρικί αριθµί γωνίας ω µε 0 ω 80 Θεµατικές Ενότητες:. Επανάληψη από Β Γυµνασίυ.. Τριγωνµετρικί αριθµί πιασδήπτε γωνίας ω. Α. ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΠΟ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ιατυπώστε την ιδιότητα αυτή µε τη βοήθεια µεταβλητών.
Μαθηµατικά B υµνασίυ Eρωτήσεις θεωρίας 1. Τι νµάζυµε µεταβλητή;. Τι νµάζυµε αριθµητική παράσταση; 3. Τι νµάζυµε αλγεβρική παράσταση; 4. Πια είναι η επιµεριστική ιδιότητα; 5. Τι συµβαίνει αν και στα δύ
Μετρικές σχέσεις σε τυχαίο τρίγωνο
5 Μετρικές σχέσεις σε τυχί τρίγων Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµ I (Γενίκευση τυ Πυθγρείυ θεωρήµτς γι πλευρά πυ βρίσκετι πένντι πό ξεί γωνί) Τ τετράγων πλευράς τριγώνυ, πυ βρίσκετι πένντι πό ξεί
γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )
γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω
2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.
1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 34 1ο ΣΧΕ ΙΟ ιδακτική ενότητα: Πυθαγόρειο Θεώρηµα ΘΕΜΑ 1ο Α. (1,5 µονάδες) Αν στο διπλανό σχήµα το Α είναι ύψος του τυχαίου τριγώνου ΑΒΓ και Ε ΑΒ,
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10
ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09
2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015
ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο
ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..
α. ΕΓΚΕΝΤΡΟ 1. Σημείο τομής των
Μαθηματικά για την Α Λυκείου Αφορμή για Επανάληψη στη Γεωμετρία της Α Λυκείου. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) με ένα μόνο στοιχείο της στήλης (Β). Κώστας Βακαλόπουλος Τάσος Γαβράς Στήλη
Ôñßãùíá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 3 θα πρέπει να είναι σε θέση:
ÊåöÜëáéï 3 ï Ôñßãùíá Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 3 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει και να εφαρµόζει τα κριτήρια ισότητας τριγώνων και ορθογωνίων τριγώνων. Να γνωρίζει τις ιδιότητες
ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο
ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΘΕΜΑ 1 ο (α) Να αποδειχθεί ότι στον ίδιο ή σε ίσους κύκλους, ίσα αποστήµατα αντιστοιχούν σε ίσες χορδές. (β) Να αποδειχθεί ότι κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθύγραµµου τµήµατος ισαπέχει
Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.
8 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version )
8 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version 3-8-205) Σ.Να αποδείξετε ότι δύο τραπέζια με ανάλογες βάσεις και τις προσκείμενες σε δύο ομόλογες βάσεις τους γωνίες ίσες μία προς μία, είναι όμοια. Θεωρούμε τα τραπέζια ΑΒΓΔ
Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
4 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι Ανισοτικές σχέσεις Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Βασικοί γεωµετρικοί τόποι Γεωµετρικός τόπος είναι ένα σύνολο σηµείων του επιπέδου τα οποία έχουν µια κοινή ιδιότητα.τρείς από
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες
Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος
Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι
ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία
Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού
6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης
6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές
Γεωμετρία - Ασκήσεις με γωνίες
Σελίδα 1 από 19 Γεωμετρία - Ασκήσεις με γωνίες Χαρακτηριστικές ασκήσεις με γωνίες πυ αρέσυν γητεύυν τυς μαθητές πυ ασχλύνται με τυς μαθηματικύς διαγωνισμύς! Μπάμπης Στεργίυ Φεβρυάρις 01 11 ίννται στη σειρά
6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.
1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;
1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει
. Ασκήσεις για εξάσκηση
. Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ
ÊåöÜëáéï 7 ï Åõèýãñáììá ó Þìáôá âéâëéïììüèçìá : -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ âéâëéïììüèçìá 3: -Åìâáäü ôñéãþíïõ -Åìâáäü
B Θέματα (Έκδοση: )
B Θέματα (Έκδση: 26 1 215) Οι απαντήσεις και ι λύσεις είναι απτέλεσμα της συλλγικής δυλειάς των συνεργατών τυ δικτυακύ τόπυ http://lisari.blogspot.gr Έκδση: 26 1 215 (συνεχής ανανέωση) Τ βιβλί διατίθεται
1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
1 1.1 Η ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ ΘΕΩΡΙ 1. ιάνυσµα Λέγεται κάθε πρσανατλισµέν ευθύγραµµ τµήµα. (έχει αρχή και πέρας) A B 2. Μηδενικό διάνυσµα 0 Λέγεται τ διάνυσµα τυ πίυ η αρχή και τ πέρας συµπίπτυν. AA= 0 3.
Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις
Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα
Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ
Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο
A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )
A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,
Κ. Μέτρηση Κύκλου. Παράρτημα. Ι13. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση:
Ι12. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση ημ 3 Β ημ 2 ΑημΒ ημ 2 ΑημΓ ημ 3 Γ, να απδείξετε ότι Βˆ Γˆ 120. Ι13. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση: 1 1 2 1, να α β α β γ α β γ β γ 2 απδείξετε ότι 4συν Β
24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)
6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr
6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που
Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.
ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** 2. ** 3. ** 4. ** 5. ** 6. **
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνονται επίπεδο p και τρία µη συνευθειακά σηµεία του Α, Β και Γ καθώς και ένα σηµείο Μ, που δεν συµπίπτει µε το Α. Αν η ευθεία ΑΜ τέµνει την ευθεία ΒΓ, να δείξετε ότι το Μ είναι
ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ (Version )
6.-6.4 ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ (Version 9-9-05) Σχόλιο ( 6.) Τα τόξα που περιέχονται μεταξύ παραλλήλων χορδών είναι ίσα και αντίστροφα αν δύο τόξα που περιέχονται μεταξύ μή τεμνόμενων χορδών είναι ίσα, τότε οι χορδές
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.
Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία
Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην
Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες
Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία
3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΘΕΩΡΙΑ. Οµασία: Έα πλύγω µε κρυφές θα τ λέµε -γω µε εξαίρεση τ πλύγω µε τέσσερις κρυφές πυ θα τ λέµε τετράπλευρ. 2. Καικό πλύγω: Έα πλύγω λέγεται καικό ότα όλες ι πλευρές τυ είαι
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ
ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου αν α = ρ η ε λέγεται τέμνουσα του
2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ
1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται
µ =. µονάδες 12+13=25
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β 1 ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε α=7, β=5, γ=4. Να βρείτε: 1. το είδος του τριγώνου. την προβολή της β πάνω στη γ 3. το µήκος της διαµέσου ΒΜ 4. την προβολή
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και
Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών
Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα
Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0
3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα
3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα 4 η διδακτική ενότητα : Ισότητα τριγώνων Ερωτήσεις κατανόησης 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις : α) Υπάρχουν σημεία του επιπέδου που
1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Έστω ΑΒΓ ένα ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ = ΑΓ), Δ, Ε σημεία της πλευράς ΒΓ τέτοια, ώστε ΒΔ = ΔΕ = ΕΓ και Μ, Ρ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΩΝ ΕΤΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
Α ΤΑΞΗ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΩΝ ΕΤΩΝ - ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α. α) Πιι αριθμί λέγνται μόσημι. Να γράψετε δύ παραδείγματα μόσημων αριθμών. β) Πιι αριθμί λέγνται ετερόσημι. Δώστε ένα παράδειγμα. Β. Να μεταφέρετε στην κόλλα
Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α
ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της
Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x
1. Οι Πρωταρχικές Γεωμετρικές Έννοιες Σημείο Γραμμή Δεν έχει διαστάσεις!! Υπάρχει μόνο στο μυαλό μας. Συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή αποτελείται από άπειρα σημεία. Ευθεία Δεν είναι εύκολο
ΡΑΛΛΕΙΟ ΓΕΛ ΘΗΛΕΩΝ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧ. ΕΤΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γεωμετρίας Β Λυκείου. // ) και BE
ΡΑΛΛΕΙΟ ΓΕΛ ΘΗΛΕΩΝ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧ. ΕΤΟΣ 06-7 Επειδή το ζητήσατε κορίτσια μου: Α. ΘΕΩΡΙΑ Τα κεφάλαια: ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γεωμετρίας Β Λυκείου 9 ο Μετρικές σχέσεις, 0 ο Εμβαδά, ο Μέτρηση Κύκλου, την διδαχθείσα ύλη Β.
Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη
ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και
Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ
Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Ηµιεπίπεδο Κάθε ευθεία ε επιπέδου Π χωρίζει τα σηµεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην ε σε δύο σηµειοσύνολα Π 1
2 Η γωνία - Ο κύκλος Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ηµιεπίπεδο Κάθε ευθεία ε επιπέδου Π χωρίζει τα σηµεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην ε σε δύο σηµειοσύνολα Π 1, Π 2 τα οποία ονοµάζονται ηµιεπίπεδα