B Θέματα (Έκδοση: )

Transcript

1 B Θέματα (Έκδση: )

2 Οι απαντήσεις και ι λύσεις είναι απτέλεσμα της συλλγικής δυλειάς των συνεργατών τυ δικτυακύ τόπυ Έκδση: (συνεχής ανανέωση) Τ βιβλί διατίθεται απκλειστικά από τ μαθηματικό blog Η μάδα τυ lisari 2

3 Περιεχόμενα Β Θέματα Σελίδες Πρόλγς: Η μάδα εργασιών Κεφάλαι 3: Τρίγωνα... 7 Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες Κεφάλαι 5: Παραλληλόγραμμα Τραπέζια Κεφάλαι 6: Εγγεγραμμένα σχήματα Η μάδα τυ lisari 3

4 Πρόλγς Στ παρόν αρχεί δίννται όλες ι ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων πυ αφρύν στην Γεωμετρία της Α Λυκείυ μαζί με τις λύσεις τυς. Η παρυσίαση των λύσεων είναι κατά τ δυνατόν αναλυτική έτσι, ώστε τ αρχεί να μπρεί να διαβαστεί και να μελετηθεί εύκλα από τυς μαθητές. Σε αρκετές περιπτώσεις ι λύσεις συνδεύνται με αναφρές σε παρόμιες ασκήσεις τυ σχλικύ βιβλίυ ή της τράπεζας θεμάτων καθώς και με κάπια στιχεία θεωρίας ή ακόμα και μεθδλγίας. Η εργασία αυτή εκπνήθηκε από μια διαδικτυακή (και όχι μόν) μάδα μαθηματικών από διάφρα μέρη της Ελλάδς. Η μάδα συγκρτήθηκε από τυς μαθηματικύς πυ ανταπκρίθηκαν στ κάλεσμα πυ απεύθυνε μέσα από τ blog ακύραστς Μάκης Χατζόπυλς. Εργάστηκε με μεράκι, κάτω από πίεση χρόνυ, για να πρσφέρει στην εκπαιδευτική κινότητα, μαθητές και καθηγητές, τ συγκεκριμέν υλικό. Επιθυμία όλων μας είναι να συμβάλλυμε, έστω και ελάχιστα, στην βελτίωση της διδασκαλίας των μαθηματικών στη Δευτερβάθμια Εκπαίδευση, μέσα από την παρχή υπστηρικτικύ υλικύ στην ελληνική εκπαιδευτική κινότητα. Μετά την αρχική συγγραφή των λύσεων έγιναν ενδελεχείς έλεγχι, διρθώσεις και βελτιώσεις για την όσ τ δυνατό πιτικότερη παρυσίαση. Ζητύμε συγνώμη για τυχόν παραλείψεις, λάθη ή αστχίες ι πίες ενδεχμένως θα έχυν διαλάθει της πρσχής μας, κάτι αναπόδραστ στην εκπόνηση μιας εργασίας τέτιας έκτασης σε τόσ στενά περιθώρια χρόνυ. Θα ακλυθήσυν επόμενες εκδόσεις, όπυ τ υλικό θα βελτιωθεί. Οπιαδήπτε σχόλια, παρατηρήσεις, διρθώσεις και βελτιώσεις των λύσεων είναι ευπρόσδεκτα στην ηλεκτρνική διεύθυνση Με εκτίμηση Η μάδα τυ lisari Η μάδα τυ lisari 4

5 lisari team Αντωνόπυλς Νίκς (Ιδικτήτης Φρντιστηρίυ Κατεύθυνση - Άργς) Αυγερινός Βασίλης (Ιδικτήτης Φρντιστηρίυ ΔΙΑΤΑΞΗ - Ν. Σμύρνη και Νίκαια) Βελαώρας Γιάννης (Φρντιστήρι ΒΕΛΑΩΡΑΣ - Λιβαδειά Βιωτίας) Βσκάκης Σήφης (Φρντιστήρι Ευθύνη - Ρέθυμν) Γιαννόπυλς Μιχάλης (Αμερικάνικη Γεωργική Σχλή) Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης (Φρντιστήρι Αστρλάβς - Άρτα) Δύδης Δημήτρης (3 Λύκει Αλεξανδρύπλης) Ζαμπέλης Γιάννης (Φρντιστήρια Πυκαμισάς Γλυφάδας) Κακαβάς Βασίλης (Φρντιστήρι Ώθηση - Αργυρύπλη) Κάκανς Γιάννης (Φρντιστήρι Παπαπαναγιώτυ Παπαπαύλυ - Σέρρες) Κανάβης Χρήστς (Διδακτρικό στ ΕΜΠ 2 ΣΔΕ φυλακών Κρυδαλλύ) Καρδαμίτσης Σπύρς (Πρότυπ Λύκει Αναβρύτων) Κπάδης Θανάσης (Ιδικτήτης Φρντιστηρίων Πλύγων) Κυλύρης Αντρέας (3 Λύκει Γαλατσίυ) Κυστέρης Χρήστς (Φρντιστήρι Στόχς - Περιστέρι) Μανώλης Ανδρέας (Φρντιστήρι Ρηγάκης - Κζάνη) Μαρύγκας Χρήστς (3 ΓΕΛ Κηφισιάς) Νάννς Μιχάλης (1 Γυμνάσι Σαλαμίνας) Νικλόπυλς Θανάσης (Λύκει Κατασταρίυ, Ζάκυνθς) Παγώνης Θεόδωρς (Φρντιστήρι Φάσμα - Αγρίνι) Παντύλας Περικλής (Φρντιστήρια Γύλα-Δημλένη - Ιωάννινα) Παπαδμανωλάκη Μαρία (Ιδικτήτρια Πρότυπυ Κέντρυ Μάθησης ΔΙΑΚΡΙΣΙΣ - Ρέθυμν) Παπαμικρύλης Δημήτρης (Εκπαιδευτικός Οργανισμός Ρόμβς) Πρίχης Λευτέρης (Γυμνάσι Λιθακιάς Ζάκυνθς) Ράπτης Γιώργς (6 ΓΕΛ Βόλυ) Σίσκας Χρήστς (Φρντιστήρι Μπαχαράκης - Θεσσαλνίκη) Σκμπρής Νίκς (Συγγραφέας 1 Λύκει Χαλκίδας) Σπλήνης Νίκς (Φρντιστήρι ΟΡΙΖΟΝΤΕΣ - Ηράκλει Κρήτης) Σπυριδάκης Αντώνης (Γυμνάσι Βιάννυ - Λασίθι) Σταυρόπυλς Παύλς (Ιδιωτικά Εκπαιδευτήρια Δύκα) Σταυρόπυλς Σταύρς (Γραμματέας Ε.Μ.Ε Κρινθίας - Γυμνάσι Λ.Τ. Λέχαιυ Κρινθίας) Τηλέγραφς Κώστας (Φρντιστήρι Θεμέλι - Αλεξανδρύπλη) Τρύφων Παύλς (1 Εσπερινό ΕΠΑΛ Περιστερίυ) Φιλιππίδης Χαράλαμπς (Ελληνγαλλική Σχλή Καλαμαρί) Χαραλάμπυς Σταύρς (Μυσικό Σχλεί Λαμίας) Χατζόπυλς Μάκης (Υπυργεί Παιδείας και Θρησκευμάτων) Η μάδα τυ lisari 5

6 Λύτες Γιάννης Βελαώρας Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης Δημήτρης Δύδης Βασίλης Κακαβάς Γιάννης Κάκανς Σπύρς Καρδαμίτσης Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α τάξης Έλεγχς Μιχάλης Νάννς Χρήστς Μαρύγκας 2 Δεκεμβρίυ 214 Συντνιστής Ανδρέας Κυλύρης Θανάσης Νικλόπυλς Εξώφυλλ Μιχάλης Νάννς Πρόλγς Ανδρέας Κυλύρης Επιμελητής Μάκης Χατζόπυλς Ανδρέας Κυλύρης Χρήστς Κυστέρης Θόδωρς Παγώνης Χρήστς Σίσκας Κώστας Τηλέγραφς Παύλς Τρύφων Σταύρς Χαραλάμπυς Μάκης Χατζόπυλς lisari team η καλύτερη μάδα λόγω teαm_ής!

7 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα Γεωμετρία Α Λυκείυ Κεφάλαι 3 : Τρίγωνα 7

8 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (2_2814) o Σε ισσκελές τρίγων Α Γ (ΑΒ=ΑΓ) είναι A 8. Παίρνυμε τυχαί σημεί Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα έτσι ώστε ΒΔ = ΒΕ και ΓΕ = ΓΖ. α Να υπλγιστύν ι γωνίες των τριγώνων BΔ και β Να υπλγιστεί η γωνία Ε. Ζ (Μνάδες 15) (Μνάδες 1) α) Στ ισσκελές τρίγων Α Γ είναι ΑΒ ΑΓ άρα B Γ συνεπώς : και 5 Στ ισσκελές τρίγων BΔ είναι ΒΔ ΒΕ άρα BΔ BΕ συνεπώς : και Στ ισσκελές τρίγων 65 Ζ είναι ΓΕ ΓΖ άρα Ζ Ε συνεπώς : και β) Έχυμε, 65 BΕ Ε Ε Ε Ε 5 8

9 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (2_2816) Από εξωτερικό σημεί Σ κύκλυ (Κ,ρ) φέρνυμε τις τέμνυσες τυ ΣΑΒ και ΣΓΔ ώστε ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα απστήματα των χρδών ΑΒ και ΓΔ τυ κύκλυ αντίστιχα. α Να απδείξετε ότι : i) Τα τρίγωνα Β και Δ είναι ίσα. ii) KΛ=ΚΜ. β Να αιτιλγήσετε γιατί ι χρδές ΑΒ και ΓΔ είναι ίσες. (Μνάδες 1) (Μνάδες 1) (Μνάδες 5) α) i) Τα τρίγωνα Β και Δ είναι ίσα γιατί ΣΚ (κινή), ΣΒ ΣΔ (υπόθεση) και ΒΚ ΔΚ ρ. Άρα Σ Σ (1) ii) Τα τρίγωνα Λ και Μ είναι ίσα γιατί Σ Σ (1).Άρα KΛ ΚΜ (2). Λ Μ 9, ΣΚ (κινή) και β) Για τα απστήματα ΚΛ και ΚΜ, των χρδών ΑΒ και ΓΔ αντίστιχα, ισχύει ΚΛ ΚΜ (2), άρα ΑΒ ΓΔ. ΑΣΚΗΣΗ (2_2819) Δίνεται κύκλς (Ο,ρ), Αx η εφαπτμένη σε σημεί Α τυ κύκλυ και επιπλέν o Α x 85 και α Να απδείξετε ότι o BA 4. β Να υπλγιστεί η γωνία o BΔ 45. ΔΑ. (Μνάδες 1) (Μνάδες 15) 9

10 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα α) Η γωνία,είναι η γωνία πυ σχηματίζεται από την χρδή ΑΓ και την εφαπτμένη Αx άρα θα είναι ίση με πιαδήπτε εγγεγραμμένη στν κύκλ (Ο,ρ), γωνία, πυ βαίνει στ αντίστιχ τόξ, της χρδής ΑΓ. Άρα Τελικά o x Α 85 αφύ o Α x 85. Α Α αφύ BA 4 o β) Είναι Συνεπώς Τελικά 85 άρα Δ Α Δ Α 19 Δ Α 95 ΑΣΚΗΣΗ (2_2824) Δίνεται ισσκελές τρίγων Β(ΑΒ=ΑΓ) και ι διχτόμι τυ ΒΔ και ΓΕ. Αν ισχύει ότι ΕΗ ΒΓ και ΔΖ ΒΓ να απδείξετε ότι : α) Γ Β. β) ΕΗ=ΔΖ. (Μνάδες 13) 1

11 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα (Μνάδες 12) α) Είναι (1) 2 2 Τα τρίγωνα ΒΓ (κινή), Άρα Γ και Β είναι ίσα γιατί (1), (γιατί ΒΕ ΓΔ (2). Β ισσκελές με ΑΒ ΑΓ). β) Τα τρίγωνα Ε και Δ είναι ίσα γιατί Άρα Η Ζ 9, ΒΕ ΓΔ (2), ΑΣΚΗΣΗ (2_2837) (γιατί ΕΗ ΔΖ. Β ισσκελές με ΑΒ ΑΓ). Σε ρθγώνι τρίγων Α Γ ( =9 ), η διχτόμς τη γωνίας τέμνει την πλευρά ΑΒ στ σημεί Δ. Από τ Δ φέρυμε πρς την πλευρά ΒΓ την κάθετ ΔΕ, η πία τέμνει τη ΒΓ στ σημεί Ε. Να απδείξετε ότι: α) ΑΔ=ΔΕ (Μνάδες 13) β) ΑΔ<ΔΒ (Μνάδες 12) 11

12 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα α) Τ Γ είναι σημεί της διχτόμυ ΓΔ, της γωνίας, άρα θα ισαπέχει από τις πλευρές της ΓΑ και ΓΒ δηλαδή ΑΔ ΔΕ (1). β) Στ ρθγώνι τρίγων Δ Β, η ΔΕ είναι κάθετη πλευρά και η ΔΒ η υπτείνυσα άρα ΔΕ < ΔΒ (2). (1),(2)ΑΔ < ΔΒ ΑΣΚΗΣΗ (2_2839) Δίνεται ρθγώνι τρίγων Α Γ ( =9 ). Η διχτόμς της γωνίας τέμνει την πλευρά ΑΓ στ σημεί Δ. Φέρυμε τμήμα ΔΕ κάθετ στην πλευρά ΒΓ. Να απδείξετε ότι: α) ΒΕ = ΑΒ (Μνάδες 12) β) Αν επιπλέν Β Α = 55, να υπλγίσετε τις γωνίες τυ τριγώνυ Γ Ε. (Μνάδες 13) 12

13 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα α) Τ Δ είναι σημεί της διχτόμυ ΒΔ,της γωνίας, άρα θα ισαπέχει από τις πλευρές της ΒΑ και ΒΕ αντίστιχα δηλαδή ΔΑ=ΔΕ (1). Τα τρίγωνα Β Δ και Β Δ είναι ίσα γιατί Β Δ 9, BΔ (κινή), ΔΑΔΕ (1) άρα ΑΒΒΕ. β) Έχυμε, Β Α 55 άρα στ τρίγων Α Δ θα είναι : Επίσης άρα στ τρίγων Α Γ θα είναι : Tέλς στ τρίγων Γ Δ θα είναι ΑΣΚΗΣΗ (2_2845) Γ Ε Σε ισσκελές τρίγων Α Γ (ΑΒ=ΑΓ) φέρυμε τη διχτόμ ΑΔ και μια ευθεία (ε) παράλληλη πρς την ΒΓ, πυ τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστιχα. Να απδείξετε ότι: α) Τ τρίγων Α Ζ είναι ισσκελές β) Τα τρίγωνα Α Δ και Α Δ είναι ίσα. (Μνάδες 1) (Μνάδες 15) 13

14 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα α) Τ τρίγων Α Γ είναι ισσκελές (ΑΒΑΓ) άρα (1) Η ΑΒ είναι τέμνυσα των παραλλήλων ΕΖ και ΒΓ άρα (2), ως εντός εκτός και επί τα αυτά. Η ΑΓ είναι τέμνυσα των παραλλήλων ΕΖ και ΒΓ άρα (3), ως εντός εκτός και επί τα αυτά. Άρα (1),(2),(3) δηλαδή τ τρίγων Α Ζ είναι ισσκελές με ΑΕΑΖ. β) Τα τρίγωνα Α Δ και Α Δ είναι ίσα γιατί ΑΔ (κινή), (υπόθεση) και ΑΕ ΑΖ (α ερώτημα). ΑΣΚΗΣΗ (2_2846) Δίνεται ισσκελές τρίγων Α Γ (ΑΒ=ΑΓ) και τα ύψη τυ ΒΔ και ΓΕ. Να απδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και Γ Β είναι ίσα. β) ΑΔ=ΑΕ. (Μνάδες 15) (Μνάδες 1) 14

15 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα α) Τα τρίγωνα Β Γ και Γ Β είναι ίσα γιατί Γ Β Β Γ 9, ΒΓ κινή και (υπόθεση). β) Είναι ΑΒ ΑΓ (υπόθεση) (1) και ΒΕ ΓΔ (α ερώτημα) (2). Άρα : ΑΣΚΗΣΗ (2_2847) AE AB ΒΕ (1),(2) AE AΓ ΓΔ AE AΔ Θεωρύμε ισσκελές τρίγων Α Γ (ΑΒ=ΑΓ) και τ μέσ Μ της βάσης τυ ΒΓ. Φέρυμε τις απστάσεις ΜΚ και ΜΛ τυ σημείυ Μ από τις ίσες πλευρές τυ τριγώνυ Α Γ. Να απδείξετε ότι: α) ΜΚ=ΜΛ. β) Η ΑΜ είναι διχτόμς της γωνίας Κ Λ. (Μνάδες 13) (Μνάδες 12) 15

16 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα α) Τα τρίγωνα Μ Β και Μ Γ είναι ίσα γιατί Β Μ Μ Γ, ΒΜ ΓΜ (υπόθεση) και (υπόθεση) άρα ΜΚ ΜΛ. β) Η ΑΜ είναι η διάμεσς πρς την βάση ΒΓ τυ ισσκελύς τριγώνυ Α Γ άρα είναι και ύψς δηλαδή Α Β Α Γ 9 (1). Επίσης, Άρα, Κ Β Λ Γ (α ερώτημα) (2). Α Κ Α Β K B (1),(2) Α Κ Α Γ Λ Γ Α Κ Α Λ Δηλαδή η ΑΜ είναι διχτόμς της γωνίας Κ Λ. ΑΣΚΗΣΗ (2_2848) Δίνεται ισσκελές τρίγων Α Γ με ΑΒ = ΑΓ. Από τ μέσ Μ της ΒΓ φέρυμε τα κάθετα τμήματα ΜΔ και ΜΕ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα. Να απδείξετε ότι : α) ΜΔ=ΜΕ. (Μνάδες 12) β) τ τρίγων Α Ε είναι ισσκελές. (Μνάδες 13) 16

17 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα α) Τα τρίγωνα Μ Β και Μ Γ είναι ίσα γιατί Μ Β Μ Γ 9, ΜΒ ΜΓ (υπόθεση) και (υπόθεση) άρα ΜΔ=ΜΕ. β) Είναι ΑΒ ΑΓ (υπόθεση) (1) και ΒΔ ΓΕ (α ερώτημα) (2). Άρα, AΔ AB ΒΔ (1),(2) AΔ AΓ ΓΕ AΔ AΕ τ τρίγων Α Ε είναι ισσκελές. ΑΣΚΗΣΗ (2_2853) Ένας μαθητής της Α' λυκείυ βρήκε έναν τρόπ να κατασκευάζει παράλληλες ευθείες. Στην αρχή σχεδιάζει μια τυχαία γωνία Χ Ψ. Στη συνέχεια με κέντρ την κρυφή Ο της γωνίας σχεδιάζει δυ μόκεντρυς διαφρετικύς κύκλυς με τυχαίες ακτίνες. Ο μικρότερς κύκλς τέμνει τις πλευρές ΟΧ και ΟΨ της γωνίας στα σημεία Α,Β αντίστιχα και μεγαλύτερς στα σημεία Γ, Δ. Ισχυρίζεται ότι ι ευθείες πυ ρίζνται από τις χρδές ΑΒ και ΓΔ είναι παράλληλες. Μπρείτε να τ δικαιλγήσετε; Μνάδες 25 17

18 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα Έστω ι κύκλι (Ο, ρ1) και (Ο, ρ2) με ρ1 < ρ2. Στ τρίγων Ο Β είναι (ΟΑ) (ΟΒ) ρ1 άρα Ο Α Ο Β και 2Ο Β (1) 2 Στ τρίγων Ο Δ είναι (ΟΓ) (ΟΔ) ρ2 άρα Ο Γ Ο Δ και (1),(2) Ο Δ. 2Ο Δ (2) 2 Όμως η ΟΓ είναι τέμνυσα των ΑΒ και ΓΔ και ι ίσες γωνίες εκτός και επί τα αυτά άρα ΑΒ // ΓΔ. ΑΣΚΗΣΗ (2_2854),Ο Δ είναι εντός Δίνεται ισσκελές τρίγων Α Γ (ΑΒ=ΑΓ). Οι διχτόμι των εξωτερικών γωνιών και τέμννται στ σημεί Μ και Κ, Λ είναι αντίστιχα τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ. α) Να δείξετε ότι τ τρίγων Β Γ είναι ισσκελές με ΜΒ=ΜΓ. β) Να δείξετε ότι ΜΚ=ΜΛ. (Μνάδες 12) (Μνάδες 13) 18

19 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα α) Από υπόθεση εξ εξ εξ εξ M Γ Μ Β. 2 2 Άρα τ τρίγων Β Γ είναι ισσκελές με ΜΒ ΜΓ. β) Από υπόθεση ΑΒ ΑΓ (1) 2 2 Επίσης, επειδή (2) και M Γ Μ Β (3) θα είναι : Κ Μ (2),(3) Κ Μ Μ Β Κ Μ Λ Μ (4) Άρα τα τρίγωνα Κ Μ και Λ Μ είναι ίσα γιατί ΚΒ ΛΓ (1), Κ Μ Λ Μ (4) και ΜΒ ΜΓ (α ερώτημα) συνεπώς ΜΚ ΜΛ. ΑΣΚΗΣΗ (2_2855) Δίνεται τρίγων Α Γ στ πί η εξωτερική γωνία είναι διπλάσια της εσωτερικής γωνίας. α) Να δείξετε ότι τ τρίγων Α Γ είναι ισσκελές με ΑΒ=ΑΓ. 19

20 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα (Μνάδες 1) β) Η μεσκάθετη της πλευράς ΑΒ τέμνει την πλευρά ΑΓ στ εσωτερικό της σημεί Δ. Αν η γωνία Α Β είναι ίση με 8, τότε να υπλγίσετε τις γωνίες τυ τριγώνυ Α Γ. (Μνάδες 15) α) Από την υπόθεση έχυμε ότι εξ 2 (1) και από την θεωρία εξ (2). (1),(2) 2 Άρα τ τρίγων Α Γ είναι ισσκελές με ΑΒ ΑΓ. β) Στ τρίγων Α Β, η ΜΒ είναι μεσκάθετς της ΑΒ, άρα είναι και διχτόμς της γωνίας Α Β δηλαδή Α 8 Μ Α Μ 4 (1). 2 2 Στ ρθγώνι τρίγων Α Μ είναι 9 Α Μ (1) (2). Τέλς στ τρίγων Α Γ είναι (2) και 65. ΑΣΚΗΣΗ (2_286) Θεωρύμε ισσκελές τρίγων ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Ι τ σημεί τμής των διχτόμων των γωνιών ˆΒ και ˆΓ. α) Τ τρίγων ΒΙΓ είναι ισσκελές. β) Ο γωνίες ΑΙΓ ˆ και ΑΙΒ ˆ είναι ίσες. Μνάδες 8 2

21 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα γ) Η ευθεία ΑΙ είναι μεσκάθετς τυ τμήματς ΒΓ. Μνάδες 1 Μνάδες 7 α) Η ΒΙ διχτόμς της γωνίας ˆΒ άρα ισχύει: ˆΒ Βˆ ˆ 1 Β2 2 Η ΓΙ διχτόμς της γωνίας ˆΓ άρα ισχύει: ˆΓ Γˆ ˆ 1 Γ2 2 Αλλά, τ τρίγων ΑΒΓ ισσκελές, άρα Β ˆ Γ ˆ. Οπότε από και είναι: Β ˆ ˆ 2 Γ2, (ή αλλιώς, ως μισά ίσων γωνιών) Άρα τ τρίγων ΒΙΓ είναι ισσκελές. β) Συγκρίνω: Α ΙΒ Α ΙΓ 1. ΑΒ = ΑΓ (υπόθεση) B ˆ Γˆ (ως μισά ίσων γωνιών) ΒΙ = ΓΙ (τ τρίγων ΒΙΓ ισσκελές) Άρα από 1 κριτήρι ισότητας τριγώνων (Π Γ Π) είναι Α ΙΒ Α ΙΓ, άρα και τα υπόλιπα αντίστιχα στιχεία τυς ίσα, άρα και ΑΙΓ ˆ = ΑΙΒ ˆ. γ) Ισχύει ότι ΑΒ = ΑΓ (υπόθεση), άρα τ Α ισαπέχει από τα Β, Γ, πότε ανήκει στην μεσκάθετ τυ ΒΓ. Ισχύει ότι ΒΙ = ΓΙ (από α) ερώτημα), άρα τ Ι ισαπέχει από τα Β, Γ, πότε ανήκει στην μεσκάθετ τυ ΒΓ. Άρα, ΑΙ μεσκάθετς τυ τμήματς ΒΓ. ΑΣΚΗΣΗ (2_3417) Δ Έστω δύ ισσκελή τρίγωνα Α ΒΓ (ΑΒ ΑΓ) και ΑΒ Γ (ΑΒ ΑΓ ). α) Να απδείξετε ότι: αν ισχύει ΑΒ ΑΒ και Α Λ Α Λ, τότε τα τρίγωνα Δ ΑΒ Γ είναι ίσα. β) Να απδείξετε ότι: αν ισχύει ΑΓ Α Γ και Β Λ Β Λ, τότε τα τρίγωνα Δ ΑΒ Γ είναι ίσα. Δ Δ Α ΒΓ και Μνάδες 13 Δ Α ΒΓ και Μνάδες 12 21

22 α) Επειδή τα τρίγωνα είναι ισσκελή και ΑΒ ΑΒ πρκύπτει ότι ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΓ. Δ Δ Τα τρίγωνα Α ΒΓ, ΑΒ Γ έχυν: 1. ΑΒ ΑΒ, 2. ΑΓ Α Γ, 3. Λ Λ Α Α (από υπόθεση), πότε Δ Α ΒΓ Δ ΑΒ Γ (κριτήρι ΠΓΠ). Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα β) Επειδή τα τρίγωνα είναι ισσκελή και ΑΓ Α Γ πρκύπτει ότι ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΓ. Επίσης, ι γωνίες των βάσεων τυς θα είναι ανά δύ ίσες και επειδή Λ Λ Β Β πρκύπτει ότι Λ Λ Λ Λ Β Γ Β Γ. Δ Δ Τα τρίγωνα Α ΒΓ, ΑΒ Γ έχυν: 1. ΑΒ ΑΒ, 2. ΑΓ Α Γ, 3. Λ Λ Α Α (διότι Λ Λ Λ Λ Λ Λ Α 18 (Β Γ) 18 (Β Γ ) Α ), πότε Δ Α ΒΓ Δ ΑΒ Γ (κριτήρι ΠΓΠ). ΑΣΚΗΣΗ (2_342) Θεωρύμε τρίγων ΑΒΓ και τα ύψη τυ ΒΔ και ΓΕ πυ αντιστιχύν στις πλευρές τυ ΑΓ και ΑΒ αντίστιχα. Να απδείξετε ότι: Δ α) Αν τ τρίγων Α ΒΓ είναι ισσκελές με ΑΒ ΑΓ, τότε τα ύψη ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα. Μνάδες 12 β) Αν τα ύψη ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα, τότε τ τρίγων ΑΓ ΑΒ. Δ Α ΒΓ είναι ισσκελές με Μνάδες 13 22

23 Δ Δ α) Τα τρίγωνα ΒΕΓ και ΒΔΓ : 1. είναι ρθγώνια, 2. έχυν την ΒΓ κινή πλευρά, 3. έχυν Β Λ Γ Λ, ως γωνίες της βάσης ισσκελύς τριγώνυ. Δ Δ Άρα ΒΕΓ = ΒΔΓ. Όμως, σε ίσα τρίγωνα, απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκνται ίσες πλευρές, έτσι ΒΔ ΓΕ. Δ Δ β) Τα τρίγωνα ΒΕΓ και ΒΔΓ : 1. είναι ρθγώνια, 2. έχυν ΒΔ ΓΕ (από υπόθεση) 3. έχυν την ΒΓ κινή πλευρά. Δ Δ Άρα ΒΕΓ = ΒΔΓ. Όμως, σε ίσα τρίγωνα, απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκνται ίσες γωνίες. έτσι Β Λ Γ Λ. Τώρα τ τρίγων με ΑΓ ΑΒ. Δ Α ΒΓ έχει Β Λ Λ Γ, άρα είναι ισσκελές Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (2_3421) Σε ξυγώνι τρίγων ΑΒΓ πρεκτείνυμε τη διάμεσ ΑΜ (πρς τ Μ ) κατά ίσ τμήμα ΜΔ. Να απδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Λ Α ΒΜ και Λ Μ ΓΔ είναι ίσα. β) Τα σημεία Α και Δ ισαπέχυν από την πλευρά ΒΓ. α) Τα τρίγωνα 1. ΑΜ ΜΔ (υπόθεση) 2. ΒΜ ΜΓ (υπόθεση) 3. Μ Λ Λ 1 Μ2 Δ Δ Α ΒΜ,Δ ΓΜ έχυν: (ως κατακρυφήν γωνίες). Άρα από τ κριτήρι ΠΓΠ πρκύπτει ότι Δ Δ Α ΒΜ Δ ΓΜ Μνάδες 12 Μνάδες 13 23

24 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα β) Φέρνυμε ΑΚ ΒΓ και ΔΛ ΒΓ. Τα τρίγωνα Δ Δ Α Κ Μ,Μ ΛΔ έχυν: 1. είναι ρθγώνια, 2. ΑΜ ΜΔ (υπόθεση) 3. Λ Λ 1 2 Μ Άρα Μ (ως κατακρυφήν γωνίες). Δ Δ Α ΒΜ Δ ΓΜ και επειδή σε ίσα τρίγωνα, απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκνται ίσες πλευρές, πρκύπτει ότι ΑΚ ΔΛ. ΑΣΚΗΣΗ (2_3423) Δίνεται ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ ( 9 ) και ΒΔ η διχτόμς της γωνίας. Από τ Δ φέρυμε, και έστω Ζ τ σημεί στ πί η ευθεία ΕΔ τέμνει την πρέκταση της ΒΑ (πρς τ Α). Να απδείξετε ότι: α) ΑΒ = ΒΕ Μνάδες 13 β) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΖΕΒ είναι ίσα. Μνάδες 12 24

25 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα α) Έχυμε γιατί, 1 2 (ΒΔ διχτόμς) ΒΔ = ΒΔ (κινή πλευρά) 9 άρα ΑΒ = ΒΕ. β) Έχυμε γιατί, 9 ΑΒ = ΒΕ (από τ πρηγύμεν ερώτημα) (κινή γωνία) είναι ρθγώνια τρίγωνα με ξεία γωνία και μια μόλγη πλευρά ίσα μία πρς μία. ΑΣΚΗΣΗ (2_3425) Στ ακόλυθ σχήμα, η ΑΔ είναι διάμεσς τυ τριγώνυ ΑΒΓ και τ Ε είναι σημεί στην πρέκταση της ΑΔ, ώστε ΔΕ = ΑΔ. Να απδείξετε ότι: α) ΑΒ = ΓΕ Μνάδες 12 β) 2 Μνάδες 13 25

26 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα α) Τ τετράπλευρ ΑΒΕΓ είναι παρ/μ αφύ ι διαγώνιι διχτμύνται, άρα ΑΒ = ΓΕ. β) Στ τρίγων έχυμε από τριγωνική ανισότητα: 2 2 ΑΣΚΗΣΗ (2_3426) Δίνεται ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ A 9 τέμνει την πλευρά ΑΒ στ Δ. Από τ Δ φέρυμε. Να απδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΓΔ και ΔΓΕ είναι ίσα. β) Η ευθεία ΓΔ είναι μεσκάθετς τυ τμήματς ΑΕ. και η διχτόμς της γωνίας τυ, η πία Μνάδες 13 Μνάδες 12 26

27 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα α) Έχυμε, γιατί (ΓΔ διχτόμς) ΔΓ = ΔΓ (κινή πλευρά) β) Επειδή ΑΓ = ΓΕ τ τυ ΑΕ. είναι ισσκελές, άρα η διχτόμς ΓΔ είναι μεσκάθετς ΑΣΚΗΣΗ (2_4974) Θεωρύμε ισσκελές τρίγων ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Οι μεσκάθετες ευθείες των ίσων πλευρών τυ τέμννται στ Μ και πρεκτεινόμενες τέμνυν τη βάση ΒΓ στα Ζ και Η. α) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΔΒΗ και ΕΖΓ. Μνάδες 15 β) Να απδείξετε ότι τ τρίγων ΜΖΗ είναι ισσκελές. Μνάδες 1 27

28 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα α) Έχυμε, γιατί 9 (ι γωνίες τυ ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ) ΔΒ = ΕΓ (ως μισά των ίσων πλευρών ΑΒ, ΑΓ) β) Από τ πρηγύμενη σύγκριση τριγώνων έχυμε, άρα τ τρίγων ΜΖΗ είναι ισσκελές. ΑΣΚΗΣΗ (2_517) Αν στ παρακάτω σχήμα είναι α α) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ είναι ίσα β) Οι γωνίες ε και ζ είναι ίσες δ, β γ και ΑΒ = ΑΓ, να απδείξετε ότι: Μνάδες 12 Μνάδες 13 28

29 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα Λύση α) Συγκρίνυμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΖ 1) ΑΔ κινή 2) ΑΒ=ΑΓ (από δεδμένα) 3) ΒΑΔ ΓΑΔ (ως άθρισμα ίσων γωνιών) Από Π-Γ-Π τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΖ είναι ίσα β) Αφύ τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΖ είναι ίσα έχυμε ότι ΖΓΑ ΕΒΑ Η γωνία ζ είναι εξωτερική της ΓΖΑ στ τρίγων ΑΓΖ πότε ζ ΖΓΑ δ Η γωνία ε είναι εξωτερική της ΑΕΒ στ τρίγων ΑΕΒ πότε ε ΑΒΕ α Έτσι λιπόν είναι ΑΒΕ ΖΓΑ ε ΑΒΕ α ΖΓΑ δ ζ αδ ΑΣΚΗΣΗ (2_529) Έστω κυρτό τετράπλευρ ΑΒΓΔ με BA ΒΓ και A Γ. Να απδείξτε ότι: α) BAΓ BΓΑ 29

30 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα β) Τ τρίγων ΑΔΓ είναι ισσκελές. β) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσκάθετς τυ τμήματς ΑΓ. (Μνάδες 8) (Μνάδες 1) (Μνάδες 7) α) Από την υπόθεση είναι ΒΑ ΒΓ άρα τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές πότε ι πρσκείμενες στη βάση τυ γωνίες θα είναι ίσες άρα BAΓ BΓΑ β) Επειδή θα είναι και A Γ και BAΓ BΓΑ ΔAΓ ως διαφρά ίσων γωνιών. Άρα τ τρίγων ΑΔΓ είναι ισσκελές με ΑΔ ΔΓΑ ΔΓ. γ) Από τα πρηγύμενά να ερωτήματα έχυμε ότι ΒΑ ΒΓ και ΑΔ ΔΓ δηλαδή τα σημεία Β και Δ ισαπέχυν από τα άκρα τυ ευθυγράμμυ τμήματς ΑΓ, άρα τ ΒΔ είναι η μεσκάθετς τυ ΑΓ ΑΣΚΗΣΗ (2_535) Αν για τ ισσκελές τρίγων ΑΒΓ ΑΒ ΑΓ τυ σχήματς ισχύυν α β και γ δ να γράψετε μια απόδειξη για καθέναν από τυς ακόλυθυς ισχυρισμύς: α) Τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΑΕΓ είναι ίσα. β) Τ τρίγων ΓΕΒ είναι ισσκελές. γ) Η ευθεία ΑΔ είναι μεσκάθετς τυ τμήματς ΒΓ. (Μνάδες 8) (Μνάδες 8) (Μνάδες 9) 3

31 α) Συγκρίνυμε τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΑΕΓ τα πία έχυν: i) κινή πλευρά την ΑΕ ii) γ δ από την υπόθεση iii) ΑΒ ΑΓ από την υπόθεση Άρα τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΑΕΓ είναι ίσα (Π Γ Π) Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα β) Αφύ τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΑΕΓ είναι ίσα θα έχυν όλα τα στιχεία τυς ίσα άρα και ΕΒ ΕΓ δηλαδή τ τρίγων ΓΕΒ είναι ισσκελές. γ) Αφύ τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΑΕΓ είναι ίσα θα έχυν και ΑΒ ΑΓ. Όμως είναι και EB EΓ δηλαδή τα σημεία Α και Ε ισαπέχυν από τα άκρα τυ ευθυγράμμυ τμήματς ΒΓ άρα ανήκυν στην μεσκάθετό τυ ΒΓ. Οπότε και η ΑΔ είναι η μεσκάθετς τυ ΒΓ. ΑΣΚΗΣΗ (2_548) Δίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ ΑΒ ΑΓ και Κ εσωτερικό σημεί τυ τριγώνυ τέτι ώστε ΚΒ ΚΓ. Να απδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΑΚ και ΚΑΓ είναι ίσα. (Μνάδες 12) β) Η ΑΚ είναι διχτόμς της γωνίας BAΓ γ) Η πρέκταση της ΑΚ διχτμεί τη γωνία ΒΚΓ τυ τριγώνυ ΒΚΓ. (Μνάδες 6) (Μνάδες 7) α) Συγκρίνυμε τα τρίγωνα ΒΑΚ και ΚΑΓ τα πία έχυν: i) AB AΓ από υπόθεση 31

32 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα ii) KB KΓ από υπόθεση iii) AK κινή πλευρά Οπότε τα τρίγωνα ΒΑΚ και ΚΑΓ είναι ίσα αφύ έχυν τρεις πλευρές ίσες (Π Π Π) β) Επειδή τα τρίγωνα ΒΑΚ και ΚΑΓ είναι ίσα θα έχυν όλα τα στιχεία τυς ίσα δηλαδή θα είναι και ΒΑΚ ΓΑΚ, άρα η ΑΚ είναι διχτόμς της γωνίας ΒΑΓ γ) Επειδή τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές η ΑΚ θα είναι και διάμεσς δηλαδή θα περνά από τ μέσ της ΒΓ, έστω Δ. Τότε στ ισσκελές τρίγων ΚΒΓ τ ΚΔ είναι διάμεσς άρα θα είναι και διχτόμς της γωνίας ΒΚΓ. ΑΣΚΗΣΗ (2_553 Δίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στην πρέκταση της πλευράς ΒΓ και πρς τα δυ της άκρα, θεωρύμε σημεία Δ και Ε αντίστιχα έτσι ώστε ΒΔ ΓΕ. Να απδείξετε ότι: α) εξ εξ Β Γ (Μνάδες 6) β) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα. (Μνάδες 12) γ) Η διάμεσς ΑΜ τυ τριγώνυ ΑΒΓ είναι και διάμεσς τυ τριγώνυ ΑΔΕ. (Μνάδες 7) α) Τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές άρα B Γ πότε θα είναι και Bεξ Γεξ ως παραπληρωματικές ίσων γωνιών. β) Συγκρίνυμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ τα πία έχυν i) AB AΓ από υπόθεση ii) BΔ ΓΕ από υπόθεση B iii) εξ εξ Γ από τ α) ερώτημα Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα αφύ έχυν δυ πλευρές και τις περιεχόμενες γωνίες ίσες. 32

33 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα γ) Είναι: ΜΒ ΜΓ γιατί ΑΜ διάμεσς τυ ΑΒΓ ΒΔ ΓΕ από υπόθεση Πρσθέτντας τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη έχυμε ΜΒ ΒΔ ΜΓ ΓΕ MΔ ΜΕ Άρα η ΑΜ είναι διάμεσς και τυ τριγώνυ ΑΔΕ ΑΣΚΗΣΗ (2_575) Θεωρύμε ισσκελές τρίγων ΑΒΓ ΑΒ ΑΓ και σημεί Μ εσωτερικό τυ τριγώνυ, τέτι ώστε ΜΒ ΜΓ. Να απδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜΓ είναι ίσα. (Μνάδες 12) β) Η ευθεία ΑΜ διχτμεί τη γωνία BMΓ. (Μνάδες 13) α) Συγκρίνυμε τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜΓ τα πία έχυν: i) ΑΒ ΑΓ από υπόθεση ii) ΜΒ ΜΓ από υπόθεση iii) ΑΜ κινή πλευρά Άρα τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜΓ έχυν δυ πλευρές και την περιεχόμενη γωνία ίσες, άρα είναι ίσα. β) Επειδή τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜΓ είναι ίσα θα έχυν όλα τα στιχεία τυς ίσα άρα θα είναι και BΑM ΜΑΓ δηλαδή η ΑΜ είναι διχτόμς της γωνίας Α, άρα η ΑΔ θα είναι διάμεσς και ύψς. Στ ισσκελές τρίγων ΒΜΓ η ΜΔ είναι διάμεσς άρα θα είναι και διχτόμς. Οπότε η ευθεία ΑΜ διχτμεί τη γωνία BMΓ. 33

34 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (2_5127) Από εξωτερικό σημεί Ρ ενός κύκλυ Ο,ρ φέρνυμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαί εσωτερικό σημεί τυ ευθυγράμμυ τμήματς ΟΡ, να απδείξετε ότι: α) τα τρίγωνα ΡΑΜ και ΡΜΒ είναι ίσα. Μνάδες 12 β) ι γωνίες ΜΑΟ και ΜΒΟ είναι ίσες. Μνάδες 13 α) Συγκρίνω τα τρίγωνα ΡΑΜ και ΡΜΒ τα πία έχυν : ΡΜ ΡΜ (κινή πλευρά) ΡΑ ΡΒ (ως εφαπτόμενα τμήματα κύκλυ πυ άγνται από σημεί εκτός αυτύ) ΜΡΑ ΜΡΒ (η διάκεντρς ΟΡ διχτμεί την γωνία των εφαπτόμενων τμημάτων ) Τα τρίγωνα έχυν δυ πλευρές και την περιεχόμενη γωνία ίσες μια πρς μια, άρα θα είναι ίσα, πότε θα έχυν και τα υπόλιπα αντίστιχα στιχεία τυς ίσα. Δηλαδή θα έχω 34

35 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα ΜΑ ΜΒ, ΜΑΡ ΜΒΡ (1) και ΑΜΡ ΒΜΡ β) Φέρνω τις ακτίνες ΟΑ και ΟΒ ι πίες είναι κάθετες στα εφαπτόμενα τμήματα στα σημεία επαφής. Οπότε : (1) ΟΑΡ ΟΒΡ 9 ΜΑΟ ΜΑΡ ΜΒΟ ΜΒΡ ΜΑΟ ΜΒΟ Β Τρόπς: Συγκρίνω τα τρίγωνα ΜΑΟ και ΜΒΟ τα πία έχυν : ΜΟ ΜΟ (κινή πλευρά) ΜΑ ΜΒ (από α) ερώτημα) ΟΑ ΟΒ (ως ακτίνες κύκλυ) Τα τρίγωνα έχυν τρεις πλευρές μια πρς μια ίσες, άρα θα είναι ίσα, πότε θα έχυν και τα υπόλιπα αντίστιχα στιχεία τυς ίσα. Δηλαδή θα έχω ΜΑΟ ΜΒΟ ΑΣΚΗΣΗ (2_5136) Δίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ ( AB AΓ ) και στις ίσες πλευρές ΑΒ, ΑΓ παίρνυμε 1 1 αντίστιχα τμήματα ΑΔ ΑΒ και ΑΕ ΑΓ. Αν Μ τ μέσ της ΒΓ, να απδείξετε 3 3 ότι : α) τα τμήματα ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα. Μνάδες 5 β) τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΜΕΓ είναι ίσα. Μνάδες 1 γ) τ τρίγων ΔΕΜ είναι ισσκελές. Μνάδες 1 35

36 α) Επειδή AB AΓ θα είναι Οπότε, 1 1 ΑΔ ΑΒ ΑΒ ΑΕ 3 3 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα AB AΓ ΑΔ ΔΒ ΑΕ ΕΓ ΔΒ ΕΓ. β) Συγκρίνω τα τρίγωνα ΒΜΔ και ΜΕΓ τα πία έχυν : ΔΒ ΕΓ (από α) ερώτημα) ΒΜ ΜΓ (αφύ Μ μέσ της ΒΓ) Β Γ (ως γωνίες βάσης ισσκελύς τριγώνυ) Τα τρίγωνα έχυν δυ πλευρές και την περιεχόμενη γωνία ίσες μια πρς μια, άρα θα είναι ίσα, πότε θα έχυν και τα υπόλιπα αντίστιχα στιχεία τυς ίσα. Δηλαδή ΜΔ ΜΕ, ΒΔΜ ΓΕΜ και ΒΜΔ ΓΜΕ γ) Από β) ερώτημα έχω ότι ΜΔ ΜΕ, άρα τ τρίγων ΔΕΜ είναι ισσκελές. ΑΣΚΗΣΗ (2_5139 ) Δίνεται ισσκελές τρίγων ΚΒΓ ( ΚA ΚΒ ) και ΚΓ διχτόμς της γωνίας Κ. Στην πρέκταση της ΒΑ (πρς τ Α) παίρνυμε σημεί Λ και στην πρέκταση της ΑΒ (πρς τ Β) παίρνυμε σημεί Μ, έτσι ώστε ΑΛ ΒΜ. Να απδείξετε ότι : α) τ τρίγων ΚΛΜ είναι ισσκελές Μνάδες 12 β) η ΚΓ είναι διάμεσς τυ τριγώνυ ΚΛΜ Μνάδες 13 α) Συγκρίνω τα τρίγωνα ΚΑΛ και ΚΒΜ τα πία έχυν : ΚA ΚΒ (από υπόθεση) ΑΛ ΒΜ (από υπόθεση) ΛΑΚ ΜΒΚ (ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών Α, Β τυ ισσκελύς τριγώνυ) 36

37 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα Τα τρίγωνα έχυν δυ πλευρές και την περιεχόμενη γωνία ίσες μια πρς μια, άρα θα είναι ίσα, πότε θα έχυν και τα υπόλιπα αντίστιχα στιχεία τυς ίσα. Δηλαδή θα έχω ΚΛ ΚΜ, ΑΚΛ ΒΚΜ και Λ Μ β) Η ΚΓ είναι διχτόμς στ ισσκελές τρίγων ΚΒΓ πότε θα είναι ύψς και διάμεσς, επμένως ΚΓ ΑΒ. Τ τρίγων ΚΛΜ είναι ισσκελές αφύ από β) ερώτημα έχω ότι ΚΛ ΚΜ και επιπλέν ΚΓ ΛΜ, πότε η ΚΓ είναι ύψς τυ ισσκελύς τριγώνυ ΚΛΜ, άρα θα είναι διχτόμς και διάμεσς. Β τρόπς Συγκρίνω τα ρθγώνια τρίγωνα ΚΓΛ και ΚΓΜ τα πία έχυν: ΚΓ ΚΓ (κινή πλευρά). ΚΛ ΚΜ (από β) ερώτημα), άρα είναι ίσα, πότε και ΛΓ ΓΜ άρα Γ μέσ της ΛΜ, πότε ΚΓ διάμεσς τυ ΚΛΜ. ΑΣΚΗΣΗ (2_5144) Δίνεται τετράπλευρ ΑΒΓΔ με BA BΓ και ΔA ΔΓ. Οι διαγώνιι ΑΓ, ΒΔ τυ τετραπλεύρυ είναι ίσες και τέμννται κάθετα. Να απδείξετε ότι : α) Η ΒΔ είναι διχτόμς των γωνιών Β και Δ τυ τετραπλεύρυ ΑΒΓΔ. Μνάδες 12 β) Η ΒΔ είναι μεσκάθετς τυ τμήματς ΑΓ. Μνάδες 13 α) Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ τα πία έχυν : BA BΓ (από υπόθεση) ΔA ΔΓ (από υπόθεση) ΒΔ ΒΔ (κινή πλευρά) 37

38 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα Τα τρίγωνα έχυν τρεις πλευρές ίσες μια πρς μια, άρα θα είναι ίσα, πότε θα έχυν και τα υπόλιπα αντίστιχα στιχεία τυς ίσα. Δηλαδή θα έχω ΑΒΔ ΓΒΔ (1), ΑΔΒ ΓΔΒ (2) και ΒΑΔ ΒΓΔ Από την σχέση (1) έχω ότι η ΒΔ είναι διχτόμς της γωνίας Β και από την σχέση (2) έχω ότι η ΒΔ είναι διχτόμς της γωνίας Δ. β) Τα σημεία Β και Δ ισαπέχυν από τα άκρα τυ ευθυγράμμυ τμήματς ΑΓ, πότε βρίσκνται πάνω στην μεσκάθετ τυ ΑΓ. Επμένως η ΒΔ είναι μεσκάθετς τυ ΑΓ. ΑΣΚΗΣΗ (2_5157 ) Δίνεται γωνία xoy και η διχτόμς της Οδ. Θεωρύμε σημεί Μ της Οδ και σημεία Α και Β στις ημιευθείες Οx και Oy αντίστιχα, τέτια ώστε ΟA OB. Να απδείξετε ότι : α) MA MB. Μνάδες 15 β) Η Οδ είναι διχτόμς της γωνίας ΑΜΒ. Μνάδες 1 α) Φέρνυμε τις ΜΑ, ΜΒ και συγκρίνυμε τα τρίγωνα ΟΜΑ και ΟΜΒ τα πία έχυν : ΟM OM (κινή πλευρά) ΟA OB (από υπόθεση) ΑΟΜ ΒΟΜ (διότι Οδ διχτόμς της γωνίας xoy ) Τα τρίγωνα έχυν δυ πλευρές και την περιεχόμενη γωνία ίσες μια πρς μια, άρα θα είναι ίσα, πότε θα έχυν και τα υπόλιπα αντίστιχα στιχεία τυς ίσα. Δηλαδή θα έχω AM MB, ΟΜΑ ΟΜΒ και OAM OBM 38

39 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα β) Από α) ερώτημα έχω ότι ΟΜΑ ΟΜΒ, επμένως η Οδ είναι διχτόμς της γωνίας ΑΜΒ ΑΣΚΗΣΗ (2_5567 ) Δίνεται κύκλς κέντρυ Ο, και από ένα σημεί Ρ εκτός αυτύ φέρυμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Τ τμήμα ΡΟ τέμνει τν κύκλ στ σημεί Μ και η εφαπτμένη τυ κύκλυ στ Μ τέμνει τα ΡΑ και ΡΒ στα σημεία Δ και Γ αντίστιχα. α) Να απδείξετε ότι τ τρίγων ΡΔΓ είναι ισσκελές. Μνάδες 13 β) Αν η γωνία ΑΡΒ είναι 4 να υπλγίσετε την γωνία ΑΟΒ. Μνάδες 12 α) Η ΟΜ είναι ακτίνα στ σημεί επαφής της εφαπτμένης ΓΔ, πότε ΡΟ ΓΔ Η ΡΟ είναι διακεντρική ευθεία, άρα ΑΡΟ ΟΡΒ (1). Συγκρίνω τα ρθγώνια τρίγωνα ΡΜΔ και ΡΜΓ τα πία έχυν : ΡΜ ΡΜ (κινή πλευρά) ΑΡΟ ΟΡΒ (λόγω της (1)) 39

40 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα Τα ρθγώνια τρίγωνα έχυν μια ξεία γωνία ίση και από μια κάθετη πλευρά ίσες, άρα θα είναι ίσα, πότε θα έχυν και τα υπόλιπα αντίστιχα στιχεία τυς ίσα. Δηλαδή θα έχω : ΡΔ ΡΓ, ΔΜ ΜΓ και Δ1 Γ1. Επειδή ΡΔ ΡΓ, τ τρίγων ΡΔΓ είναι ισσκελές. β) Από άθρισμα γωνιών στ τετράπλευρ ΡΑΟΒ έχω ΑΡΒ ΡΒΟ ΑΟΒ ΟΑΡ ΑΟΒ 9 36 ΑΟΒ 14 ΑΣΚΗΣΗ (2_5573) Στ παρακάτω σχήμα ι γωνίες Α, Β είναι ρθές και επιπλέν ΑΔ ΒΓ και ΑΓ ΒΕ. Να απδείξετε ότι : α) Να τρίγωνα ΑΓΔ και ΒΓΕ είναι ίσα. Μνάδες 13 β) Αν η γωνία ΕΓΒ 4 τότε τ τρίγων ΔΓΕ είναι ρθγώνι και ισσκελές. Μνάδες 12 α) Συγκρίνω τα ρθγώνια τρίγωνα ΑΓΔ και ΒΓΕ τα πία έχυν: 4

41 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα ΑΔ ΒΓ (από υπόθεση) ΑΓ ΒΕ (από υπόθεση) Τα τρίγωνα έχυν τις δυ κάθετες πλευρές τυς ίσες μια πρς μια, άρα είναι ίσα, πότε θα έχυν και τα υπόλιπα αντίστιχα στιχεία τυς ίσα. Δηλαδή θα έχω ΓΔ ΓΕ, ΑΓΔ ΓΕΒ και ΑΔΓ ΕΓΒ β) Είναι (από α) ερώτημα). ΕΓΒ ΑΔΓ 4 Στ ρθγώνι τρίγων ΑΓΔ ι ξείες γωνίες τυ είναι συμπληρωματικές, άρα άρα ΑΔΓ ΑΓΔ 9 4 ΑΓΔ 6 9 ΑΓΔ 5, Η γωνία ΑΓΒ είναι ευθεία πότε : ΑΓΔ ΓΕΒ 5 ΑΓΒ 18 ΑΓΔ ΔΓΕ ΕΓΒ 18 5 ΔΓΕ ΔΓΕ 9 Επίσης από α ερώτημα έχω ότι ΓΔ ΓΕ. Επμένως τ τρίγων ΔΓΕ είναι ρθγώνι και ισσκελές. ΑΣΚΗΣΗ (2_558) Στ παρακάτω σχήμα τ τρίγων ΑΒΓ είναι ρθγώνι με ρθή τη γωνία Α. Η ΒΔ είναι διχτόμς της γωνίας Β, η ΔΕ είναι κάθετη στη ΒΓ και η γωνία Γ είναι μικρότερη της γωνίας Β. Να απδείξετε ότι: α) ΑΔ=ΔΕ Μνάδες 8 β) ΑΔ<ΔΓ Μνάδες 9 γ) ΑΓ<ΑΒ Μνάδες 8 41

42 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα Λύση α) Τ Δ είναι σημεί της διχτόμυ της γωνίας Β, άρα θα ισαπέχει από τις πλευρές της, άρα ΔΑ = ΔΕ. β) Αρκεί να δείξυμε ότι: ΔΕ < ΔΓ. Όμως στ ρθγώνι τρίγων ΔΕΓ, η ΔΓ είναι η υπτείνυσα, άρα είναι μεγαλύτερη από την κάθετη πλευρά ΔΕ. γ) Από τα δεδμένα έχυμε,, άρα και ι απέναντι πλευρές τυ έχυν την ίδια διάταξη δηλαδή, β < γ πότε ΑΓ < ΑΒ. ΑΣΚΗΣΗ (2_5582) Δίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ. Στις πρεκτάσεις των πλευρών ΒΑ και ΓΑ (πρς τ Α ) θεωρύμε τα σημεία Ε και Δ αντίστιχα τέτια ώστε ΑΔ ΑΕ. Να απδείξετε ότι: α) ΒΕ ΓΔ. Μνάδες 6 β) ΒΔ ΓΕ. Μνάδες 1 γ) ΔΒΓ ΕΓΒ. Λύση Μνάδες 9 42

43 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα α) Έχυμε, ΑΒ ΑΓ από την υπόθεση ΑΒ ΑΕ ΑΓ ΑΔ ΒΕ ΓΔ ΑΕ ΑΔ από την υπόθεση β) Συγκρίνυμε τα τρίγωνα, ΑΔ = ΑΕ (υπόθεση) (κατακρυφήν γωνίες) ΑΒ = ΑΓ (πλευρές ισσκελύς τριγώνυ) άρα από τ Κριτήρι Π Γ Π, έχυμε ΒΔ = ΕΓ. γ) Από την ισότητα των τριγώνων τυ ερωτήματς (β) έχυμε ΔΒΑ ΕΓΑ 1 αφύ βρίσκνται απέναντι από τις ίσες πλευρές ΑΔ και ΑΕ αντίστιχα. Επίσης έχυμε ΑΒΓ ΑΓΒ 2 ως γωνίες της βάσης τυ ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ. Πρσθέτντας κατά μέλη τις σχέσεις 1 και 2 έχυμε: ΔΒΑ Β ΕΓΑ Γ ΔΒΓ ΕΓΒ, πυ είναι και τ ζητύμεν. ΑΣΚΗΣΗ (2_5591) Δίνεται τρίγων ΑΒΓ και ΜΔ, ΝΕ ι μεσκάθετι των πλευρών τυ ΑΒ, ΑΓ αντίστιχα. Να απδείξετε ότι: α) Αν ΜΔ ΝΕ τότε τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές. β) Αν ΑΒ ΑΓ τότε ΜΔ ΝΕ Μνάδες 12 Μνάδες 13 Λύση α) Συγκρίνντας τα τρίγωνα ΑΜΔ και ΑΝΕ έχυμε: 43

44 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα είναι ρθγώνια ( ΔΜ ΑΒ και ΕΝ ΑΓ, αφύ ι ΜΔ, ΝΕ είναι μεσκάθετι των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντίστιχα) ΜΔ ΝΕ (από την υπόθεση) και Έχυν τη γωνία Α κινή, άρα και ΑΔΜ ΑΕΝ. Τα τρίγωνα ΑΜΔ και ΑΝΕ είναι ίσα και συνεπώς έχυν όλα τα στιχεία τυς ίσα. Οπότε ισχύει και ΑΜ ΑΝ, αφύ βρίσκνται απέναντι από τις ίσες γωνίες ΑΔΜ και ΑΕΝ αντίστιχα. Τέλς, επειδή τα σημεία Μ και Ν είναι τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα, έχυμε: ΑΜ ΑΝ 2ΑΜ 2ΑΝ ΑΒ ΑΓ, πυ σημαίνει ότι τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές. β) Συγκρίνντας τα τρίγωνα ΑΜΔ και ΑΝΕ έχυμε: είναι ρθγώνια ( ΔΜ ΑΒ και ΕΝ ΑΓ, αφύ ι ΜΔ, ΝΕ είναι μεσκάθετι των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντίστιχα) ΑΜ ΑΝ (ως μισά των ίσων πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα) και Έχυν τη γωνία Α κινή. Τα ρθγώνια τρίγωνα ΑΜΔ και ΑΝΕ είναι ίσα και συνεπώς έχυν όλα τα στιχεία τυς ίσα. Οπότε ΜΔ ΝΕ, αφύ αυτές ι πλευρές βρίσκνται απέναντι από την κινή γωνία Α. ΑΣΚΗΣΗ (2_5595) Δίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ. Στην πρέκταση της ΒΓ (πρς τ Γ ) θεωρύμε σημεί Δ και στην πρέκταση της ΓΒ (πρς τ Β ) θεωρύμε σημεί Ε έτσι ώστε ΓΔ ΒΕ. Από τ Δ φέρυμε ΔΗ κάθετη στην ευθεία ΑΓ και από τ Ε φέρυμε ΕΖ κάθετη στην ευθεία ΑΒ. Να απδείξετε ότι: α) ΑΔ ΑΕ. Μνάδες 12 β) ΕΖ ΔΗ. Μνάδες 13 44

45 Λύση α) Συγκρίνντας τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ έχυμε: ΑΒ ΑΓ (αφύ τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές) ΕΒ ΓΔ (από την υπόθεση) και Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα ΑΒΕ ΑΓΔ (ως εξωτερικές και άρα παραπληρωματικές των ίσων γωνιών Β και Γ αντίστιχα τυ ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ ) Από τ κριτήρι Π Γ Π τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ είναι ίσα και συνεπώς έχυν όλα τα στιχεία τυς ίσα. Οπότε και ι τρίτες πλευρές τυς είναι ίσες. Δηλαδή ΑΕ ΑΔ. β) Συγκρίνντας τα τρίγωνα ΕΒΖ και ΓΔΗ έχυμε: είναι ρθγώνια (αφύ ΕΖ ΑΒ και ΔΗ ΑΓ από την υπόθεση) ΕΒ ΓΔ (από την υπόθεση) και ΕΒΖ ΔΓΗ (ως κατακρυφήν των ίσων γωνιών Β και Γ αντίστιχα τυ ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ ) Τα ρθγώνια τρίγωνα ΕΒΖ και ΓΔΗ έχυν ίσες υπτείνυσες και μία ξεία γωνία και συνεπώς είναι ίσα. Οπότε έχυν και όλα τα υπόλιπα στιχεία τυς ίσα. Άρα και ΕΖ ΔΗ, αφύ αυτές ι πλευρές βρίσκνται απέναντι από τις ίσες γωνίες ΕΒΖ και ΔΓΗ αντίστιχα. ΑΣΚΗΣΗ (2_5597) Δίνεται τρίγων ΑΒΓ και Ε τ μέσ της διαμέσυ τυ ΑΜ. Αν ΒΓ 2ΒΕ να απδείξετε ότι: α) ΑΕΒ ΕΜΓ. β) ΑΒ ΕΓ. Μνάδες 12 Μνάδες 13 Λύση 45

46 α) Τ τρίγων ΒΕΜ είναι ισσκελές αφύ Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα ΒΓ ΒΕ ΒΜ (τ Μ είναι μέσ της ΒΓ ) 2 Στ ισσκελές τρίγων ΒΕΜ είναι ΒΕΜ ΒΜΕ. Η γωνία ΑΕΒ είναι παραπληρωματική της ΒΕΜ και η γωνία ΕΜΓ είναι παραπληρωματική της γωνίας ΒΜΕ. Άρα ισχύει ΑΕΒ ΕΜΓ ως παραπληρωματικές ίσων γωνιών. β) Συγκρίνντας τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΓΕΜ έχυμε: ΑΕ ΕΜ (αφύ τ Ε είναι τ μέσ της ΑΜ ) ΒΓ ΒΕ ΜΓ (αφύ ΒΕ ΜΓ ) και 2 ΑΕΒ ΕΜΓ (από τ πρώτ ερώτημα) Από τ κριτήρι Π Γ Π τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΓΕΜ είναι ίσα και συνεπώς και ι τρίτες πλευρές τυς είναι ίσες. Δηλαδή ΑΒ ΕΓ. ΑΣΚΗΣΗ (2_563) Έστω κύκλς με κέντρ Ο και ακτίνα ρ. Αν η διάμετρς ΑΔ είναι διχτόμς της γωνίας ΒΑΓ, να απδείξετε ότι: α) Τα τόξα ΒΔ και ΔΓ είναι ίσα. β) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ είναι ίσα. Μνάδες 1 Μνάδες 15 Λύση α) Η ΑΔ είναι διχτόμς της γωνίας ΒΑΓ και άρα BAΔ ΓΑΔ. Όμως εγγεγραμμένες γωνίες ι πίες είναι ίσες βαίνυν σε ίσα τόξα. Οπότε ΒΔ ΔΓ. β) Συγκρίνντας τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ έχυμε: 46

47 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα είναι ρθγώνια (ι γωνίες ΑΒΔ και ΑΓΔ ως εγγεγραμμένες πυ βαίνυν σε ημικύκλι, είναι ρθές) η ΑΔ είναι κινή πλευρά και ΒΔ ΔΓ (αφύ σε ίσα τόξα αντιστιχύν και ίσες χρδές) Τα ρθγώνια τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ έχυν κινή υπτείνυσα και ίση μία κάθετη πλευρά και συνεπώς είναι ίσα. ΑΣΚΗΣΗ (2_567) Θεωρύμε ισσκελές τρίγων ΑΒΓ ΑΒ ΑΓ και τις διαμέσυς τυ ΒΚ και ΓΛ, ι πίι τέμννται στ σημεί Θ. Να απδείξετε ότι: α) Οι διάμεσι ΒΚ και ΓΛ είναι ίσες. β) Τα τρίγωνα ΑΒΘ και ΑΓΘ είναι ίσα Μνάδες 12 Μνάδες 13 Λύση α) Συγκρίνντας τα τρίγωνα ΑΒΚ και ΑΓΛ έχυμε: ΑΒ ΑΓ (αφύ τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές) ΑΚ ΑΛ (ως μισά ίσων πλευρών, αφύ ι ΒΚ και ΓΛ είναι διάμεσι) και η γωνία Α είναι κινή στα δύ τρίγωνα. Από τ κριτήρι Π Γ Π, τα τρίγωνα ΑΒΚ και ΑΓΛ είναι ίσα και άρα έχυν και όλα τα υπόλιπα στιχεία τυς ίσα. Δηλαδή ισχύει και ΒΚ ΓΛ. β) Τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές και τ σημεί Θ είναι τ βαρύκεντρό τυ, αφύ εκεί τέμννται ι διάμεσι ΒΚ και ΓΛ. Οπότε η ΑΘ είναι διάμεσς πυ αντιστιχεί στη βάση ΒΓ, άρα είναι και διχτόμς της γωνίας Α. Συγκρίνντας τώρα τα τρίγωνα ΑΒΘ και ΑΓΘ έχυμε: 47

48 η ΑΘ είναι κινή πλευρά ΑΒ ΑΓ (αφύ τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές) και ΒΑΘ ΓΑΘ (αφύ η ΑΘ είναι διχτόμς της γωνίας Α ) Από τ κριτήρι Π Γ Π τα τρίγωνα ΑΒΘ και ΑΓΘ είναι ίσα. Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (2_5613) Δίννται δύ μόκεντρι κύκλι με κέντρ Ο και ακτίνες ρ και R (ρ < R). Οι χρδές ΔΓ και ΖΕ τυ κύκλυ (Ο, R) εφάπτνται τυ κύκλυ (Ο, ρ) στα σημεία Α και Β αντίστιχα. α) Να απδείξετε ότι ΔΓ = ΖΕ. Μνάδες 12 β) Αν ι ΔΓ και ΖΕ πρεκτεινόμενες τέμννται στ σημεί Κ, να απδείξετε ότι τ τρίγων ΚΕΓ είναι ισσκελές. Μνάδες 13 Λύση α) Τα ΟΑ και ΟΒ είναι ακτίνες τυ κύκλυ (Ο,ρ) άρα ΟΑ=ΟΒ (1) Η ευθεία ΚΔ είναι εφαπτμένη τυ κύκλυ (Ο,ρ) στ Α ενώ η ευθεία ΚΖ είναι εφαπτμένη τυ ίδιυ κύκλυ στ σημεί τυ Β επμένως ΟΑ ΔΓ και ΟΒ ΖΕ ( «η ακτίνα ενός κύκλυ είναι κάθετη στην εφαπτμένη τυ στ σημεί επαφής») Τα ευθύγραμμα τμήματα ΓΔ και ΕΖ είναι χρδές τυ κύκλυ (Ο, R) και τα ΟΑ,ΟΒ είναι απστήματα στις χρδές αυτές αντίστιχα. Εφόσν τα απστήματα ΟΑ,ΟΒ είναι ίσα (1) άρα και ι αντίστιχες χρδές ΔΓ, ΕΖ είναι ίσες άρα ΔΓ=ΕΖ β) Τα εφαπτόμενα τμήματα πυ άγνται από σημεί εκτός κύκλυ πρς τν κύκλ είναι ίσα. 48

49 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα Άρα ΚΑ ΚΒ Α μέσ της χρδής ΓΔ άρα ΓΑ=ΑΔ ΓΑ ΕΒμισά των ίσων χρδών ΓΔ, ΕΖ Έχ Β μέσ της χρδής ΕΖ άρα ΕΖ=ΒΖ υμε, ΚΓ ΚΑ ΑΓ ΚΓ ΚΕ διαφρές ίσων τμημάτων, άρα ΚΓΕ ισσκελές! ΚΕ ΚΒ ΕΒ ΑΣΚΗΣΗ (2_5619) Δίνεται γωνία xay και η διχτόμς της Αδ, από τυχαί σημεί Β της Ay φέρνυμε κάθετη στη διχτόμ, η πία τέμνει την Αδ στ Δ και την Αx στ Γ. Να απδείξετε ότι: α) Τα τμήματα ΑΒ και ΑΓ είναι ίσα. Μνάδες 12 β) Τ τυχαί σημεί Ε της Αδ ισαπέχει από τα Β και Γ. Μνάδες 13 Λύση α) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι ίσα διότι έχυν: (1 στιχεί) ΑΔΒ ΑΔΓ 9 (2 στιχεί) ΑΔ=ΑΔ (κινή πλευρά) (3 στιχεί) Α1 = Α2 (ΑΔ διχτόμς). Άρα από κριτήρι Γ Π Γ τα τρίγωνα είναι ίσα άρα ΑΒ = ΑΓ β) Τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές επμένως ΑΔ διάμεσς, διχτόμς και ύψς της βάσης τυ ΒΓ. Επμένως η ημιευθεία Αδ είναι μεσκάθετς τυ ευθύγραμμυ τμήματς ΒΓ. 49

50 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα Ως γνωστό κάθε σημεί της μεσκαθέτυ ισαπέχει από τα άκρα τυ ευθύγραμμυ τμήματς, άρα ΕΒ = ΕΓ ΑΣΚΗΣΗ (2_5628 ) Δίννται τα τμήματα ΑΓ = ΒΔ πυ τέμννται στ σημεί Ο έτσι ώστε ΟΑ = ΟΒ, και τα σημεία Η και Ζ στα τμήματα ΑΓ και ΒΔ αντίστιχα, έτσι ώστε ΟΗ = ΟΖ. Να απδείξετε ότι: α) Οι γωνίες ΑΔΟ και ΒΓΟ είναι ίσες. β) ΑΖ = ΒΗ Μνάδες 12 Μνάδες 13 Λύση α) Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΟΔ και ΒΟΓ έχυμε: (1 στιχεί) : Ο1 Ο2 ( κατακρυφήν) (2 στιχεί) : ΟΑ = ΟΒ (υπόθεση) (3 στιχεί) :ΟΔ = ΟΓ (διάφρες των ίσων ευθύγραμμων τμημάτων ΑΓ=ΒΔ και ΟΑ=ΟΒ) Αναλυτικά έχυμε, ΑΓ ΒΔ ΑΓ ΟΑ ΒΔ ΟΒ ΟΓ ΟΔ ΟΑ ΟΒ Άρα από κριτήρι Π Γ Π τα τρίγωνα είναι ίσα όπτε: ΑΔΟ ΒΓΟ β) Από την πρηγύμενη σύγκριση συμπεραίνυμε: ΑΔ ΒΓ Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΖΔ και ΒΗΓ (1 στιχεί) ΑΔΟ ΒΓΟ (συμπέρασμα τυ (α) ερωτήματς ) (2 στιχεί) ΑΔ = ΒΓ ( συμπέρασμα από την σύγκριση των τριγώνων ) (3 στιχεί) ΖΔ =ΗΓ ( διαφρές των ίσων ευθυγράμμων τμημάτων ΟΔ=ΟΓ και ΟΖ=ΟΗ) Αναλυτικά 5

51 ΟΔ ΟΓ ΟΔ ΟΖ ΟΓ ΟΗ ΖΔ ΗΓ ΟΖ ΟΗ Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα Άρα από κριτήρι Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα επμένως θα έχυν κατά υπόλιπα στιχεία τυς ίσα δηλαδή ΑΖ=ΒΗ ΑΣΚΗΣΗ (2_563) Έστω ισσκελές τρίγων ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Από τα μέσα Κ και Λ των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα, φέρυμε τα κάθετα τμήματα ΚΕ και ΛΖ στην πλευρά ΒΓ. Να απδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΚΕΓ και ΛΖΒ είναι ίσα. β) ΕΗ = ΖΘ, όπυ Η, Θ τα μέσα των τμημάτων ΚΓ, ΛΒ αντίστιχα. Μνάδες 15 Μνάδες 1 Λύση α) Τα ρθγώνια τρίγωνα ΚΕΓ και ΛΖΒ έχυν: (1 στιχεί) ΚΓ = ΛΒ (μισά των ίσων πλευρών ΑΒ, ΑΓ τυ ΑΒΓ) (2 στιχεί) Β Γ (πρσκείμενες γωνίες της βάσης ισσκελύς τριγώνυ). Δηλαδή έχυν τις υπτείνυσες ίσες και μια ξεία γωνία τυ ενός ίση με μια ξεία γωνία τυ άλλυ. Άρα τα τρίγωνα ΚΕΓ και ΛΖΒ είναι ίσα. β) Συγκρίνω τα τρίγωνα ΓΗΕ και ΖΘΒ τα πία έχυν (1 στιχεί) ΓΕ =ΖΒ ( στιχεί πυ πρκύπτει από την ισότητα των τριγώνων ΓΚΕ και ΖΛΒ ) (2 στιχεί) Β Γ ( γωνίες πρσκείμενες στη βάση ισσκελύς τριγώνυ ) (3 στιχεί ) ΓΗ=ΒΘ (μισά των ίσως ευθυγράμμων τμημάτων ΓΚ και ΒΛ ) Άρα από κριτήρι Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα άρα και ΕΗ=ΒΘ 51

52 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (2_5633) Έστω κύκλς με κέντρ Ο και ακτίνα ρ σε σημεί Ν τυ κύκλυ φέρυμε την εφαπτμένη τυ, και εκατέρωθεν τυ Ν θεωρύμε σημεία Α και Β, τέτια ώστε ΝΑ = ΝΒ. Οι ΟΑ και ΟΒ τέμνυν τ κύκλ στα Κ και Λ αντίστιχα. Να απδείξετε ότι: α) Τ τρίγων ΑΟΒ είναι ισσκελές. β) Τ σημεί Ν είναι μέσ τυ τόξυ ΚΛ. Μνάδες 13 Μνάδες 12 Λύση α) Ισχύει ΟΝ ΑΒ διότι η ακτίνα ΟΝ είναι κάθετη στην εφαπτμένη ( ΑΒ) στ σημεί επαφής (Ν) Συγκρίνω τα τρίγωνα ΟΝΒ και ΟΝΑ. (1 στιχεί): ΟΝΒ ΟΝΑ 9 (2 στιχεί): ΝΒ = ΝΑ (υπόθεση) ( 3 στιχεί): ΟΝ = ΟΝ (κινή πλευρά) Άρα από κριτήρι Π Γ Π τα τρίγωνα είναι ίσα άρα ΟΒ = ΟΑ δηλαδή ΟΑΒ ισσκελές! β) Αν δύ επίκεντρες γωνίες τυ ίδιυ ή ίσων κύκλων είναι ίσες τότε και τα αντίστιχα τόξα είναι ίσα όπως επίσης και ι αντίστιχες χρδές,επμένως Ο1 Ο2 ΝΛ ΝΚ Ν μέσ ΚΛ. 52

53 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (2_5634) Έστω κύκλς με κέντρ Ο και ακτίνα ρ. Θεωρύμε διάμετρ ΑΒ και τυχαί σημεί Γ τυ κύκλυ. Αν ΑΕ κάθετ στην ΟΓ και ΓΔ κάθετ στην ΑΟ Να απδείξετε ότι: α) Τ τρίγων ΔΟΕ είναι ισσκελές. Μνάδες 13 β) Η ΟΖ διχτμεί τη γωνία ΑΟΓ και πρεκτεινόμενη διέρχεται από τ μέσ τυ τόξυ ΑΓ. Μνάδες 12 Λύση α) Συγκρίνω τα ρθγώνια τρίγωνα ΟΕΑ και ΟΔΓ. (1 στιχεί) ΟΑ=ΟΓ (ακτίνες κύκλυ) (2 στιχεί ) ΓΟΑ ΓΟΑ (κινή γωνία ) Επμένως τα ρθγώνια τρίγωνα έχυν την υπτείνυσα και μια ξεία γωνία αντίστιχα ίσες μία πρς μία άρα είναι ίσα πότε ΟΔ=ΟΕ άρα τ τρίγων ΟΔΕ είναι ισσκελές. β) Συγκρίνω τα ρθγώνια τρίγωνα ΟΖΔ και ΟΖΕ τα πία έχυν (1 στιχεί) ΟΖ=ΟΖ (κινή πλευρά ) (2 στιχεί) ΟΔ=ΟΕ (από τ ερώτημα (α) ) Άρα τα ρθγώνια τρίγωνα έχυν δύ πλευρές ίσες μία πρς μία επμένως είναι ίσα άρα και ΖΔ=ΖΕ και Ο1 Ο2άρα η ΟΖ διχτμεί τη γωνία ΑΟΓ Εφόσν Ο1 Ο2 (επίκεντρες γωνίες τυ κύκλυ ) άρα και τα αντίστιχα τόξα τυ θα είναι ίσα δηλαδή η ΟΖ πρεκτεινόμενη θα διχτμεί τ τόξ ΑΓ 53

54 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα ΑΣΚΗΣΗ (2_5647) Έστω κύκλς με κέντρ Ο και ακτίνα ρ. από σημεί Α εκτός τυ κύκλυ, φέρυμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΑΒ και ΑΓ. Τα σημεία Ε και Δ είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία των Β και Γ αντίστιχα. Να απδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ είναι ίσα. Μνάδες 13 β) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα. Μνάδες 12 Λύση α) Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΔΓ έχυν: (1 στιχεί) Β Γ 9 (2 στιχεί) ΑΒ = ΑΓ (3 στιχεί) ΒΕ = ΓΔ = 2ρ Άρα από κριτήρι Π Γ Π τα τρίγωνα είναι ίσα επμένως ΑΕ = ΑΔ. β) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ έχυν: (1 στιχεί) ΑΒ = ΑΓ (2 στιχεί) ΑΔ = ΑΕ πρηγύμενη σύγκριση. (3 στιχεί) ΒΔ = ΓΕ (χρδές ίσων επίκεντρων γωνιών Ο 1,Ο2τυ ίδιυ κύκλυ), Ο Ο κατακρυφήν 1 2 ΑΣΚΗΣΗ (2_5733) Στ παρακάτω σχήμα έχυμε τ χάρτη μιας περιχής όπυ είναι κρυμμένς ένας θησαυρός. Οι ημιευθείες Αx και Ay παριστάνυν δύ πτάμια και στα σημεία Β και Γ βρίσκνται δύ πλατάνια. Να πρσδιρίσετε γεωμετρικά τις δυνατές θέσεις τυ θησαυρύ, αν είναι γνωστό ότι: α) Ισαπέχει από τα δύ πλατάνια. Μνάδες 9 β) Ισαπέχει από τα δύ πτάμια. Μνάδες 9 54

55 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα γ) Ισαπέχει και από τα δύ πλατάνια και από τα δύ πτάμια. Μνάδες 7 Λύση α) Τα πλατάνια θεωρύνται ως σημεία τυ επιπέδυ, άρα αναζητώ τ σύνλ των σημείων πυ ισαπέχει από τα Β, Γ. Αυτά βρίσκνται στη μεσκάθετη ευθεία τυ ευθύγραμμυ τμήματς ΒΓ (μπλε διακεκμμένη γραμμή) β) Τα πτάμια θεωρύνται ως δύ ημιευθείες με κινή αρχή, άρα αναζητώ τ σύνλ των σημείων τυ επιπέδυ τα πία ισαπέχυν από τις ημιευθείες Αx, Ay. Αυτά βρίσκνται πάνω στη διχτόμ της γωνίας xay (κόκκινη διακεκμμένη γραμμή) γ) Για να ικανπιύνται και ι δύ πρηγύμενες πρτάσεις αρκεί να βρίσκεται στν κινό τυς τόπ δηλαδή στ σημεί τμής της μεσκαθέτυ και της διχτόμυ,όπως 55

56 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα φαίνεται και από τ σχήμα,στ σημεί Κ (τ σημεί τμής της μπλε και τη κόκκινης γραμμής) ΑΣΚΗΣΗ (2_6592) Δίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Στα σημεία Β και Γ της ΒΓ φέρυμε πρς τ ίδι μέρς της ΒΓ, τα τμήματα ΒΔ ΒΓ και ΓΕ ΒΓ τέτια ώστε ΒΔ = ΓΕ. Αν Μ τ μέσ της ΒΓ, να απδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ είναι ίσα. Μνάδες12 β) ΑΔ = ΑΕ. Μνάδες 13 Λύση α) Τα τρίγωνα ΜΒΔ και ΜΓΕ έχυν (1 στιχεί) ΜΒΔ ΜΓΕ 9 -εφόσν τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΔ,ΓΕ είναι κάθετα στη ΒΓ. (2 στιχεί) ΒΜ=ΜΓ εφόσν Μ μέσ της ΒΓ (3 στιχεί) ΒΔ=ΓΕ (υπόθεση) Άρα από κριτήρι Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα. β) Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΕΑΓ (1 στιχεί) ΑΒ=ΑΓ ( ΑΒΓ ισσκελές τρίγων με βάση ΒΓ) (2 στιχεί ) ΔΒ=ΕΓ ( στιχεί πυ πρκύπτει από την πρηγύμενη σύγκριση ). (3 στιχεί ) ΔΒΑ ΑΕΓ συμπληρωματικές των ίσων γωνιών Β,Γ ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ. ΑΣΚΗΣΗ (2_6886) [είναι από τ κεφάλαι 2) Έστω κύκλς κέντρυ Ο και διαμέτρυ ΒΓ. Θεωρύμε τα σημεία Α και Δ τυ κύκλυ εκατέρωθεν της ΒΓ, τέτια ώστε τ τόξ ΒΔ να είναι διπλάσι τυ τόξυ ΔΓ. Να υπλγίσετε : α) τ μέτρ x τυ τόξυ ΓΔ, Μνάδες 8 56

57 β) τη γωνία ΒΟΔ, γ) τη γωνία ΒΑΔ. Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα Μνάδες 9 Μνάδες 8 α) Επειδή τ τόξ ΒΓ είναι 18, τότε θα ισχύει : Άρα τ τόξ ΔΓ είναι ΒΔ ΔΓ 18 2x x 18 x 6 6. β) Η ΒΟΔ είναι επίκεντρη και βαίνει στ ΒΔ, πότε : ΒΟΔ 2x γ) Η γωνία ΒΑΔ είναι εγγεγραμμένη και βαίνει στ τόξ ΒΔ, όπυ βαίνει και η αντίστιχη επίκεντρη ΒΟΔ. Οπότε, ΑΣΚΗΣΗ (2_7453) Δίνεται ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ ΒΟΔ 12 ΒΑΔ Α 9 και η διχτόμς τυ ΒΔ. Από τ Δ φέρυμε ΔΕ ΒΓ πυ τέμνει την πρέκταση της ΑΒ (πρς τ Α) στ Ζ. Να απδείξετε ότι : α) ΒΕ = ΑΒ, β) τ τρίγων ΒΓΖ είναι ισσκελές. (Μνάδες 12) (Μνάδες 13) 57

58 Γεωμετρία Κεφάλαι 3: Τρίγωνα α) Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΔΕ, πότε, ΒΔ κινή πλευρά ΑΒΔ ΔΒΕ ΑΒΔ ΒΔΕ Α Ε 9 και συνεπώς ΒΕ = ΑΒ. β) Επειδή ΑΒΔ ΒΔΕ,τότε ΑΔ ΔΕ 1. Άρα συγκρίνντας τα ρθγώνια τρίγωνα ΑΔΖ και ΔΓΕ έχυμε : Κατά συνέπεια θα ισχύει : ΑΔ ΔΕ 1 ΑΔΖ ΕΔΓκατακρ. ΑΔΖ ΔΓΕ ΑΖ ΓΕ ΔΑΖ ΔΕΓ 9 ΒΖ ΑΒ ΑΖ ΒΖ ΒΕ ΓΕ ΒΖ ΒΓ ΒΓΖ ισσκελές. 58

59 Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες Γεωμετρία Α Λυκείυ Κεφάλαι 4 : Παράλληλες ευθείες 59

60 Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες ΑΣΚΗΣΗ (2_2825) Δίνεται τρίγων Β, στ πί φέρνυμε τις διαμέσυς τυ ΒΜ και ΓΝ. Πρεκτείνυμε την ΒΜ πρς τ Μ κατά τμήμα ΜΔ=ΒΜ και την ΓΝ πρς τ Ν κατά τμήμα ΝΕ=ΓΝ. α) Να απδείξετε ότι ΑΔ//ΒΓ και ΑΕ//ΒΓ. (Μνάδες 13) β) Είναι τα σημεία Ε,Α και Δ συνευθειακά; Να αιτιλγήσετε την απάντησή σας. (Μνάδες 12) Λύση α) Τ τετράπλευρ ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμ γιατί ι διαγώνιες τυ ΑΓ και ΒΔ διχτμύνται αφύ ΒΜ ΜΔ (υπόθεση) και ΑΜ ΓΜ (υπόθεση) άρα ΑΔ // ΒΓ (1). Τ τετράπλευρ ΑΓΒΕ είναι παραλληλόγραμμ γιατί ι διαγώνιες τυ ΑΒ και ΓΕ διχτμύνται αφύ ΓΝ ΝΕ (υπόθεση) και ΑΝ ΒΝ (υπόθεση) άρα ΑΕ // ΒΓ (2). β) Έστω ότι τα σημεία Ε,Α και Δ δεν είναι συνευθειακά. Τότε, λόγω των (1),(2), θα έχυμε δύ παράλληλες (ΑΔ και ΑΕ), από τ σημεί Α, πρς την ευθεία ΒΓ, πυ είναι άτπ. Άρα τα σημεία Ε,Α και Δ είναι συνευθειακά. ΑΣΚΗΣΗ (2_2857) Δίνεται τ ισσκελές τρίγων ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Φέρυμε, εκτός τυ τριγώνυ ημιευθείες Αx και Αy τέτιες ώστε Ax AB και Ay AΓ. Οι κάθετες στην πλευρά ΒΓ στα σημεία Β και Γ τέμνυν τις Ax και Ay στα σημεία Δ και Ε αντίστιχα. α) Να απδείξετε ότι ΒΔ = ΓΕ. Μνάδες 12 β) Αν η γωνία ΒΑΓ είναι ίση με 8, να υπλγίσετε τις γωνίες τυ τριγώνυ ΔΑΕ. Μνάδες 13 6

61 Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες α) Τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές, άρα θα είναι B ˆ Γˆ 1 1 Συγκρίνω: ΑΔ Β ΑΕΓ 1. ΑΒ = ΑΓ (υπόθεση) B ˆ Γˆ (συμπληρωματικές ίσων γωνιών από ) 3. ΔΑΒ ˆ ΕΑΓ ˆ 9 Άρα από 2 κριτήρι ισότητας τριγώνων (Γ Π Γ) είναι ΑΔ Β ΑΕΓ, άρα και τα υπόλιπα αντίστιχα στιχεία τυς ίσα, άρα και ΒΔ = ΓΕ. β) Είναι: ˆ ˆ ˆ ˆ ΔΑΒ ΒΑΓ ΓΑΕ ΕΑΔ 36 ˆ ΕΑΔ 36 ˆ 26 ΕΑΔ 36 ΕΑΔ ˆ 1 Είναι: ΑΔ Β ΑΕΓ, άρα και τα υπόλιπα αντίστιχα στιχεία τυς ίσα, άρα και ΑΔ = ΑΕ. Οπότε τ τρίγων ΑΔΕ είναι ισσκελές, άρα ι πρσκείμενες στη βάση ΔΕ γωνίες είναι ίσες. Δηλαδή, ΑΔΕ ˆ ΑΕΓ ˆ Αλλά, στ τρίγων ΑΔΕ είναι: 61

62 Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες ΑΔΕ ˆ ΑΕΓ ˆ ΕΑΔ ˆ 18 2ΑΔΕ ˆ ΑΔΕ ˆ 8 ΑΔΕ ˆ ΑΕΓ ˆ 4 ΑΣΚΗΣΗ (2_3424) Θεωρύμε ισσκελές τρίγων ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και σημεία Δ και Ε στην ευθεία ΒΓ τέτια, ώστε ΒΔ = ΓΕ. Έστω ότι και. α) Να απδείξετε ότι: i. ΒΖ = ΓΗ Μνάδες 1 ii. Τ τρίγων ΑΖΗ είναι ισσκελές Μνάδες 7 β) Αν 5, να υπλγίσετε τις γωνίες τυ τριγώνυ ΑΖΗ. Μνάδες 8 Λύση α) i. Έχυμε, γιατί 9 ΒΔ = ΓΕ (δεδμένα) 2 2 άρα ΒΖ = ΓΗ. (ως κατακρυφήν ίσων γωνιών 1, 1 τυ ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ) ii. Έχυμε, ΑΒ = ΑΓ (από τ ισσκελές τρίγων ΑΒΓ), επίσης ΒΖ = ΓΗ (από τ πρηγύμεν ερώτημα), αν πρσθέσυμε κατά μέλη βρίσκυμε: 62

63 Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες ΑΒ + ΒΖ = ΑΓ + ΓΗ δηλαδή ΑΖ = ΑΗ β) Από τ τρίγων ΑΖΗ έχυμε, ΑΣΚΗΣΗ (2_4972 Σε ημικύκλι διαμέτρυ ΑΒ πρεκτείνυμε την ΑΒ πρς τ μέρς τυ Α και παίρνυμε ένα σημεί Γ. Θεωρύμε Ε ένα σημεί τυ ημικυκλίυ και έστω Δ τ σημεί τμής τυ τμήματς ΓΕ με τ ημικύκλι. Αν τ τμήμα ΓΔ ισύται με τ ΟΒ και η γωνία 45, να υπλγίσετε τη γωνία x. Μνάδες 25 Λύση Φέρνυμε την βηθητική ευθεία ΟΔ = ρ. Παρατηρύμε ότι, Τ τρίγων είναι ισσκελές, αφύ ΔΓ = ΔΟ = ρ, άρα x Επίσης τ τρίγων είναι ισσκελές, αφύ ΟΔ = ΟΕ = ρ, άρα Όμως η γωνίας 45 είναι εξωτερική γωνία τυ τριγώνυ ΓΟΕ, άρα ισχύει x 45 (1) Επίσης η γωνία είναι εξωτερική γωνία τυ τριγώνυ ΔΓΟ, άρα ισχύει ω = 2x (2) 63

64 Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες Από σχέσεις (1) και (2) έχυμε, x 2x 45 3x 45 x 15 ΑΣΚΗΣΗ (2_54) Δίνεται ευθεία ε τυ επιπέδυ. Τα παράλληλα τμήματα ΑΒ και ΓΔ καθώς και ένα τυχαί σημεί Ε βρίσκνται στ ίδι ημιεπίπεδ της ε. Να απδείξετε ότι: α) Αν τ Ε είναι εκτός των τμημάτων ΑΒ και ΓΔ τότε: ω φ θ β) Αν τ Ε είναι ανάμεσα στα τμήματα ΑΒ και ΓΔ και ΕΖ ΑΒ, τότε να απδείξετε ότι θ ω φ 64

65 Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες α) Έστω Θ τ σημεί τμής των ΓΕ και ΑΒ. Τότε η γωνία x είναι εξωτερική τυ τριγώνυ ΑΒΘ άρα θα ισύται με τ άθρισμα των απέναντι εσωτερικών, δηλαδή: Όμως: x φ θ ω x ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ και ΓΔ πυ τέμννται από την ΓΘΕ Οπότε από τις δυ τελευταίες σχέσεις έχυμε ω φ θ β) Είναι: AEZ φ ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΖΕ και ΑΒ πυ τέμννται από την ΑΕ 65

66 Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες ΖΕΓ ω ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΖΕ και ΓΔ πυ τέμννται από την ΓΕ Πρσθέτντας τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη έχυμε: ΑΣΚΗΣΗ (2_555) AEZ ΖΕΓ φ ω θ φ ω Δίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ και o Α 8. Έστω Κ σημεί της διχτόμυ της γωνίας A, τέτι ώστε ΚΒ ΚΑ ΚΓ. α) Να απδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΚΑ και ΓΚΑ είναι ίσα. β) Να υπλγίσετε τις γωνίες ABK και ΑΓΚ γ) Να υπλγίσετε τη γωνία ΒΚΓ. (Μνάδες 1) (Μνάδες 8) (Μνάδες 7) α) Συγκρίνυμε τα τρίγωνα ΒΚΓ και ΓΚΑ τα πία έχυν i) ΑΒ ΑΓ από υπόθεση ii) ΚΒ ΚΓ από υπόθεση iii) ΑΚ κινή πλευρά Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα αφύ έχυν τρεις πλευρές ίσες. β) Η ΑΚ είναι διχτόμς της γωνίας Α, άρα BAK KAΓ 4 Όμως τα τρίγωνα ΑΒΚ και ΑΚΓ είναι ισσκελή άρα ι πρσκείμενες στη βάση τυς γωνίες θα είναι ίσες, δηλαδή: o ABK BAK 4 και AΓΚ KAΓ 4 γ) Στ τρίγων ΑΒΚ έχυμε: ABK BAK AKB 18 AKB AKB 1 Στ τρίγων ΑΓΚ έχυμε: o o o AΓK ΓAK AKΓ 18 AKΓ AKΓ 1 Όμως είναι: o o o AKB AKΓ ΒΚΓ 36 ΒΚΓ ΒΚΓ 16 66

67 Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες ΑΣΚΗΣΗ (2_561) Δίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ ΑΒ ΑΓ και η διάμεσός τυ ΑΜ. Φέρυμε ημιευθεία πρς τ ημιεπίπεδ πυ δεν ανήκει τ Α και παίρνυμε σε αυτήν τμήμα ΓΔ= ΑΒ. Να απδείξετε ότι: α) Η γωνία ΔΑΓ είναι ίση με τη γωνία ΓΔΑ. (Μνάδες 12) β) Η ΑΔ είναι διχτόμς της γωνίας ΜΑΓ. (Μνάδες 13) α) Είναι: ΑΒ AΓ από υπόθεση ΑΒ ΓΔ από υπόθεση Άρα ΑΓ ΓΔ δηλαδή τ τρίγων ΑΓΔ είναι ισσκελές άρα ι πρσκείμενες στη βάση τυ γωνίες θα είναι ίσες, ΓΑΔ ΓΔΑ β) Επειδή τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές, η διάμεσς ΑΜ είναι και ύψς. Άρα τ ΑΜ και τ ΓΔ είναι και τα δυ κάθετα στην ΒΓ, άρα θα είναι μεταξύ τυς παράλληλα δηλαδή ΑΜ ΓΔ ΓΑΔ ΔΑΜ ΓΔΑ από τ ερώτημα α) ΓΔΑ ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΓΔ, ΑΜ πυ τέμννται από την ΑΔ Από τις παραπάνω σχέσεις έχυμε ότι: ΓΑΔ ΔΑΜ δηλαδή η ΑΜ είναι διχτόμς της γωνίας ΜΑΓ. 67

68 Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες ΑΣΚΗΣΗ (2_564) Δίνεται τρίγων ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ. Έστω Αx η διχτόμς της εξωτερικής τυ γωνίας A 12. Από την κρυφή Β φέρνυμε ευθεία παράλληλη στην Αx, η πία τέμνει εξ την πλευρά ΑΓ στ σημεί Δ. α) Να απδείξετε ότι: i. Τ τρίγων ΑΒΔ είναι ισόπλευρ. ii.δγ ΑΓ ΑΒ (Μνάδες 1) (Μνάδες 5) β) Αν η γωνία ΒΔΑ είναι διπλάσια της γωνίας Γ τυ τριγώνυ ΑΒΓ, να υπλγίσετε τις γωνίες τυ τριγώνυ ΒΔΓ. (Μνάδες 1) α) i) Ονμάζυμε τις γωνίες όπως φαίνεται στ δίπλα σχήμα και έχυμε ότι: A 2 εξ A2 A3 6 A 18 A εξ Β Α 6 παραλλήλων Αx, ΒΔ πυ τέμννται από την ΑΒ 1 2 ως εντός εναλλάξ των Άρα τ τρίγων ΑΒΔ έχει όλες τις γωνίες τυ ίσες με 6 πότε είναι ισόπλευρ. ii) Είναι: ΔΓ ΑΓ ΑΔ Όμως ΑΔ ΑΒ γιατί τ τρίγων ΑΒΔ είναι ισόπλευρ, άρα ΔΓ ΑΓ ΑΒ 68

69 β) Είναι: Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες Δ1 2Γ 6 2Γ Γ 3 Δ 18 Δ Στ τρίγων ΒΔΓ έχυμε: 2 1 Β Δ Γ 18 Β ΑΣΚΗΣΗ (2_566) Στις πρεκτάσεις των πλευρών ΒΑ (πρς τ Α) και ΓΑ (πρς τ Α) τριγώνυ ΑΒΓ παίρνυμε τα τμήματα ΑΔ ΑΒ και ΑΕ ΑΓ. Να απδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι ίσα. (Μνάδες 12) β) ΕΔ//ΒΓ (Μνάδες 13) α) Συγκρίνυμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ τα πία έχυν i) ΑΒ ΑΔ από υπόθεση ii) ΑΓ ΑΕ από υπόθεση iii) A1 A2 κατακρυφήν Άρα τα τρίγωνα έχυν δυ πλευρές και τις περιεχόμενες γωνίες ίσες άρα είναι ίσα β) Επειδή τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι ίσα θα έχυν και όλα τα στιχεία τυς ίσα άρα θα είναι και B Δ. Αυτό σημαίνει ότι ι ευθείες ΒΓ και ΔΕ σχηματίζυν τις εντός εναλλάξ γωνίες τυς ίσες, άρα είναι παράλληλες. ΑΣΚΗΣΗ (2_58) Δίνεται τρίγων ισσκελές ΑΒΓ ΑΒ ΑΓ με γωνία της πλευράς ΑΓ, τέτι ώστε ΒΔ=ΒΓ. α) Να υπλγίσετε τις γωνίες Β και Γ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. β) Να απδείξετε ότι η γωνία ΔΒΓ είναι ίση με τη γωνία Α. Α 5. Έστω Δ είναι σημεί (Μνάδες 12) 69

70 Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες (Μνάδες 13) α) Στ τρίγων ΑΒΓ ισχύει ισσκελές. Άρα: Α B Γ 18. Όμως Β Γ γιατί τ τρίγων ΑΒΓ είναι Α B Β B 18 2 B 13 B Γ 65 β) Τ τρίγων ΔΒΓ είναι ισσκελές αφύ ΒΔ ΔΓ από υπόθεση. Άρα Οπότε στ τρίγων ΔΒΓ είναι: Δ Γ Δ1 B1 Γ 18 B B1 5 Επμένως η γωνία ΔΒΓ είναι ίση με τη γωνία Α. ΑΣΚΗΣΗ (2_589) Θεωρύμε ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ Α 9 πλευράς ΑΓ και ΔΕ ΒΓ. Να υπλγίσετε: α) τις γωνίες τυ τριγώνυ ΔΕΓ. β) τις γωνίες τυ τετραπλεύρυ ΑΔΕΒ. με Γ 4. Έστω Δ τυχαί σημεί της (Μνάδες 1 ) (Μνάδες 15) 7

71 Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες α) Στ τρίγων ΔΕΓ είναι: Άρα τ τρίγων ΔΕΓ έχει β) Είναι: E Γ Δ Δ 18 Δ E 9, Γ 4 και Δ1 5 Στ τρίγων ΑΒΓ είναι: Δ2 18 Δ Α B Γ 18 9 Β 4 18 B 5 Άρα τ τετράπλευρ ΑΒΕΔ έχει: Α 9, B 5, E 9, Δ 13 2 ΑΣΚΗΣΗ (2_592) Θεωρύμε ισσκελές τρίγων ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) με γωνία κρυφής Α 4. Στην πρέκταση της ΓΒ (πρς τ Β) παίρνυμε τμήμα ΒΔ τέτι ώστε ΒΔ = ΑΒ. Να υπλγίσετε α) τις γωνίες τυ τριγώνυ ΑΒΓ. (Μνάδες 1) β) τη γωνία ΔΑΓ. (Μνάδες 15) α) Τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές άρα B1 Γ πότε: 71

72 Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες Α B Γ B 18 B Γ Άρα είναι Α2 4, B1 Γ 7 β) Από την υπόθεση έχυμε ΒΔ ΔΓ άρα τ τρίγων ΑΒΔ είναι ισσκελές πότε Δ A1. Όμως η γωνία Β 1 είναι εξωτερική τυ τριγώνυ ΑΒΔ, άρα: B A Δ 7 2A A Τελικά ΔΑΓ Α1 A2 75 ΑΣΚΗΣΗ (2_594) Θεωρύμε ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ Α 9. Έστω ότι η ΑΔ είναι η διχτόμς της γωνία Α και η ΔΕ // ΑΒ. Αν η γωνία Β 2 Γ, α) να υπλγίσετε: I. τις γωνίες Β και Γ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. II. τις γωνίες φ και ω. β) να απδείξετε ότι τ τρίγων ΑΕΔ είναι ισσκελές. (Μνάδες 8) (Μνάδες 1) (Μνάδες 7) α) i) Στ τρίγων ΑΒΓ έχυμε: Α B Γ Γ Γ 18 2 Γ 7 Γ 35 Άρα θα είναι ii) Είναι: Β 2 Γ ω ΔΑΒ 45 2 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΔΕ, ΑΒ πυ τέμννται από την ΑΔ φ B 55 72

73 Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες ως εντός εκτός και επί τ αυτά μέρη των παραλλήλων ΔΕ, ΑΒ πυ τέμννται από την ΒΓ. β) Επειδή ΔΑΕ ω 45 τ τρίγων ΑΔΕ είναι ισσκελές αφύ έχει τις πρσκείμενες στη βάση τυ γωνίες ίσες. ΑΣΚΗΣΗ (2_51) Στ παρακάτω σχήμα ισχύυν ΔΒ ΒΑ ΑΓ ΓΕ και Να απδείξετε ότι BAΓ 4. α) ΑΒΔ ΑΓΕ 11. β) τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα. γ) τ τρίγων ΔΑΕ είναι ισσκελές. (Μνάδες 1) (Μνάδες 1) (Μνάδες 5) α) Έστω ABΓ B1 και AΓΒ Γ1. Τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές άρα ι πρσκείμενες στη βάση τυ γωνίες είναι ίσες άρα: Α B Γ 18 4 B B 18 2 B 14 B Γ 7 Οπότε: ΑΒΔ 18 Β 11 1 και ΑΓΕ 18 Γ 11 1 β) Συγκρίνυμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ τα πία έχυν: i) BΔ ΓΕ από υπόθεση ii) ΑΒ ΑΓ από υπόθεση iii) ΑΒΔ ΑΓΕ 11 Άρα τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ έχυν δυ πλευρές και την περιεχόμενη γωνία ίσες, άρα είναι ίσα. 73

74 Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες γ) Επειδή τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα θα έχυν όλα τα στιχεία τυς ίσα άρα θα είναι και ΑΔ ΑΕ δηλαδή τ τρίγων ΑΔΕ είναι ισσκελές. ΑΣΚΗΣΗ (2_5134 ) Στ παρακάτω σχήμα δίνεται κύκλς Ο,R και τα εφαπτόμενα τμήματα ΜΑ και ΜΒ. Πρεκτείνυμε την ΑΜ κατά τμήμα ΜΓ ΜΑ και την ΟΜ κατά τμήμα ΜΔ ΜΟ. α) Να απδείξετε ότι τα τρίγωνα ΟΜΒ και ΜΓΔ είναι ίσα, και να γράψετε τα στιχεία τυς. Μνάδες 13 β) Να αιτιλγήσετε γιατί ΟΑ / /ΓΔ. Μνάδες 12 α) Φέρνω την ακτίνα ΟΑ και συγκρίνω τα τρίγωνα ΜΓΔ και ΜΑΟ τα πία έχυν : ΜΓ ΜΑ (από υπόθεση) ΜΔ ΜΟ (από υπόθεση) Μ Μ (ως κατακρυφήν γωνίες)

75 Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες Τα τρίγωνα έχυν δυ πλευρές και την περιεχόμενη γωνία ίσες μια πρς μια, άρα θα είναι ίσα, πότε θα έχυν και τα υπόλιπα αντίστιχα στιχεία τυς ίσα. Δηλαδή θα έχω ΓΔ ΟΑ ρ, Γ Α (1) και ΜΔΓ ΜOA β) Η ΟΑ είναι ακτίνα στ σημεί επαφής άρα Α 9 Γ. Επμένως ΟΑ ΑΓ και ΓΔ ΑΓ, δηλαδή ι ΟΑ, ΓΔ είναι κάθετες στην ίδια ευθεία, άρα μεταξύ τυς παράλληλες, πότε ΟΑ / /ΓΔ. ΑΣΚΗΣΗ (2_5562) Δίνεται ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ με Α 9 και Γ 25. Δίννται επίσης η διάμεσς ΑΜ, τ ύψς ΑΗ από την κρυφή Α και η διχτόμς ΑΔ της γωνίας Α. α) Να υπλγίσετε τις γωνίες ΑΜΒ, ΗΑΒ, ΑΔΒ. Μνάδες 15 β) Να απδείξετε ότι. ΜΑΔ ΔΑH 2 Μνάδες 1 α) Από άθρισμα γωνιών τριγώνυ στ τρίγων ΑΒΓ έχω : Α Β Γ 18 9 Β Β 65 Η ΑΜ είναι διάμεσς ρθγωνίυ τριγώνυ, άρα ΒΓ ΒΓ ΑΜ ΑΜ ΜΓ ΜΒ 2 2 Επειδή ΑΜ ΜΓ τ τρίγων ΑΜΓ είναι ισσκελές, άρα ΓΑΜ Γ 25 Στ τρίγων ΑΜΓ η γωνία ΑΜΒ είναι εξωτερική, πότε ΑΜΒ ΓΑΜ Γ Στ ρθγώνι τρίγων ΗΑΒ (ΑΔ ύψς) από άθρισμα γωνιών τριγώνυ έχυμε Η ΗΑΒ Β 18 9 ΗΑΒ ΗΑΒ 25 75

76 Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες Είναι ΑΔ διχτόμς της γωνίας Α, άρα Α ΔΑΒ ΔΑΓ ΔΑΒ ΔΑΓ 45 2 Στ τρίγων ΔΑΒ από άθρισμα γωνιών τριγώνυ έχυμε ΑΔΒ ΔΑΒ Β 18 ΑΔΒ ΑΔΒ 7 β) Είναι Επίσης ΔΑΓ 45 ΜΑΔ ΜΑΓ 45 ΜΑΔ ΜΑΔ 2 ΔΑΒ 45 ΔΑΗ ΗΑΒ 45 ΔΑΗ ΔΑΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ (2_557) Στα ρθγώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ (γωνία Α ρθή) τυ παρακάτω σχήματς ισχύει. Β Δ 3 α) Να υπλγίσετε τις γωνίες τυ τετραπλεύρυ ΑΕΓΖ. β) Να απδείξετε ότι τα τρίγωνα ΓΖΔ και ΕΒΖ είναι ισσκελή. Μνάδες 12 Μνάδες 13 76

77 Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες α) Στ ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ έχω Β 3 ΑΓΒ 6. Στ ρθγώνι τρίγων ΑΔΕ έχω Δ 3 ΑΕΔ 6. Στ τετράπλευρό ΑΕΓΖ από άθρισμα γωνιών έχω β) Είναι και Α ΑΓΒ ΓΖΕ ΔΕΑ ΓΖΕ 6 36 ΓΖΕ 15 ως κατακρυφήν. Στ τρίγων ΓΖΔ έχω Στ τρίγων ΕΒΖ έχω ΓΖΕ ΓΖΔ ΓΖΔ 18 ΓΖΔ 3 ΓΖΔ ΕΖΒ 3, άρα ισσκελές. ΓΖΔ Δ 3, άρα ισσκελές. ΕΖΒ Β 3 ΑΣΚΗΣΗ (2_5572) Στ παρακάτω σχήμα, ι ΑΔ και ΒΕ είναι παράλληλες. Επιπλέν ισχύυν ΑΔ ΑΖ, ΒΕ ΒΖ και Α 7. α) Να υπλγίσετε τις γωνίες των τριγώνων ΑΔΖ και ΒΖΕ. β) Να απδείξετε ότι ΔΖΕ 9. Μνάδες 16 Μνάδες 9 77

78 Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες α) Στ τρίγων ΑΔΖ έχω ΑΔ ΑΖ (από υπόθεση), πότε είναι ισσκελές, άρα ΑΔΖ ΑΖΔ. Στ τρίγων ΑΔΖ από άθρισμα γωνιών τριγώνυ έχω : Α ΑΔΖ ΑΖΔ ΑΔΖ 18 2 ΑΔΖ 11 ΑΔΖ 55, πότε Είναι. ΑΔΖ ΑΖΔ 55 Α Β 18 7 Β 18 Β 11 (ως εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΑΔ, ΒΕ πυ τέμννται από την ΑΒ. Στ τρίγων ΒΖΕ έχω ΒΕ ΒΕΖ ΒΖΕ. ΒΖ (από υπόθεση), πότε είναι ισσκελές, άρα Στ τρίγων ΒΖΕ από άθρισμα γωνιών τριγώνυ έχω: 78

79 Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες πότε Β ΒΕΖ ΒΖΕ ΒΕΖ 18 2 ΒΕΖ 7 ΒΕΖ 35,. ΒΕΖ ΒΖΕ 35 β) Η γωνία ΑΖΒ είναι ευθεία πότε: ΑΖΒ 18 ΑΖΔ ΔΖΕ ΕΖΒ ΔΖΕ ΔΖΕ 9. ΑΣΚΗΣΗ (2_5578) Σε τρίγων ΑΒΓ ισχύυν 2 και 3. α) Να απδείξετε ότι η γωνία είναι ίση με 6 Μνάδες 1 β) Αν τ ύψς ΑΔ και η διχτόμς τυ ΒΕ τέμννται στ σημεί Ζ, να απδείξετε ότι τ τρίγων ΑΖΕ είναι ισόπλευρ. Μνάδες 15 Λύση α) Από την υπόθεση έχυμε Α Γ 2Β 1 και Α 3Γ 2 Επιπλέν ισχύει και: 1. Α Β Γ 18 2Β Β 18 3Β 18 Β 6 β) Από τη σχέση 1 βρίσκυμε 2 Α Γ 12 3Γ Γ 12 4Γ 12 Γ 3. Στ ρθγώνι τρίγων ΑΔΓ (αφύ τ ΑΔ είναι ύψς) η γωνία ΓΑΔ είναι συμπληρωματική της Οπότε Γ 3. Επιπλέν, η ΒΕ είναι διχτόμς και άρα ΓΑΔ 6. ΔΒΖ 3. Στ ρθγώνι τρίγων ΒΔΖ, η γωνία ΔΖΒ είναι συμπληρωματική της και άρα ΔΖΒ 6. Όμως ι γωνίες ΔΒΖ 3 ΔΖΒ 6 και ΑΖΕ είναι κατακρυφήν και άρα είναι ίσες. Δηλαδή 79

80 Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες Οπότε τ τρίγων ΑΖΕ έχει δύ γωνίες συνεπώς είναι ισόπλευρ. ΑΣΚΗΣΗ (2_5599) ΑΖΕ 6. 6, άρα και η τρίτη γωνία είναι 6 και Δίνεται τρίγων ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ και η διάμεσός τυ ΑΔ τέτια ώστε Θεωρύμε σημεί Ε στην ΑΓ τέτι ώστε ΑΔ ΑΕ. α) Να απδείξετε ότι τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισόπλευρ. β) Να υπλγίσετε τις γωνίες τυ τριγώνυ ΑΔΕ. γ) Να υπλγίσετε τη γωνία ΕΔΓ. ΒΑΔ 3. Μνάδες 8 Μνάδες 9 Μνάδες 8 Λύση α) Τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές αφύ ΑΒ ΑΓ, πότε η διάμεσός τυ ΑΔ είναι και ύψς. Στ ρθγώνι τρίγων ΑΒΔ έχυμε 6 ως συμπληρωματική της πρσκείμενη στη βάση γωνία ΒΑΔ 3 ΒΑΔ 3 και συνεπώς η Β είναι. Δηλαδή τ ισσκελές τρίγων ΑΒΓ έχει μία 6, πυ σημαίνει ότι είναι ισόπλευρ. β) Τ τρίγων ΑΔΕ είναι ισσκελές αφύ από την υπόθεση είναι ΑΔ ΑΕ. Επιπλέν ΔΑΕ ΒΑΔ 3 διχτόμς. Επίσης,, αφύ στ ισόπλευρ τρίγων ΑΒΓ, η διάμεσς ΑΔ είναι και ΑΔΕΑΕΔ ΔΑΕ ΑΔΕ ΑΕΔ 18 3 ΑΔΕ ΑΕΔ 18 2ΑΕΔ 15 ΑΕΔ 75 άρα και ΑΔΕ 75. ΑΔΕ ισσκελές γ) Η γωνία ΑΕΔ 75 είναι εξωτερική στ τρίγων ΓΔΕ και συνεπώς ισύται με τ άθρισμα των δύ απέναντι εσωτερικών γωνιών. 8

81 Δηλαδή Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες ΑΕΔ ΕΔΓ Γ ΕΔΓ 75 Γ. Όμως Γ 6, αφύ τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισόπλευρ. Οπότε έχυμε ΕΔΓ 75 Γ 75 6 ΕΔΓ 15. ΑΣΚΗΣΗ (2_5626) Δίννται δύ ίσι κύκλι (Ο, ρ) και (Κ, ρ) με ΟΚ = ρ, ι πίι τέμννται στα σημεία Α και Δ. α) Να απδείξετε ότι τ τρίγων ΟΑΚ είναι ισόπλευρ. Μνάδες 1 β) Να υπλγίσετε τις γωνίες τυ τριγώνυ ΒΑΚ. Μνάδες 15 Λύση α) Ισχύυν: ΟΑ = ρ (ακτίνα τυ κύκλυ με κέντρ Ο) ΚΑ= ρ (ακτίνα τυ κύκλυ με κέντρ Κ) ΟΚ = ρ (δσμέν από την εκφώνηση ) Επμένως ΑΟΚ ισόπλευρ, εφόσν ΟΑ=ΚΑ=ΟΚ β) Εφόσν τ τρίγων ΑΟΚ είναι ισόπλευρ ισχύει Α1 Κ1 Ο1 6 Άρα Κ1 6 (1) Η γωνία Ο 2 είναι παραπληρωματική της Ο 1 δηλαδή Ο1 Ο2 18 Ο2 12 Τ τρίγων ΟΑΒ είναι ισσκελές (ΟΑ = ΟΒ = ρ) άρα Α2 Β2 Επμένως, Α2 Β2 Ο2 18 Α 2 Β Α 2 Β2 6 Α2 Β2 Α2 Β2 Α2 Β2 Α2 Β2 3 81

82 Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες Άρα Β2 3 (2) και ΒΑΚ Α1 Α2 ΒΑΚ 9 (3) Από τις σχέσεις (1),(2) και (3) ι γωνίες τυ τριγώνυ ΒΑΚ είναι γνωστές ΑΣΚΗΣΗ (2_5652) Έστω ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ με Β 9 και Ζ τ μέσ τυ ΑΓ. Με υπτείνυσα τ ΑΓ κατασκευάζυμε ρθγώνι ισσκελές τρίγων ΑΔΓ με Δ 9 α) Να απδείξετε ότι ΒΖ = ΔΖ. β) Αν ΑΓΒ 3, να υπλγίσετε τις γωνίες ΒΑΔ και ΒΓΔ. Μνάδες 13 Μνάδες 12 Λύση α) Στ ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ η ΒΖ είναι η διάμεσς πυ αντιστιχεί στην υπτείνυσα τυ ΑΓ, άρα ΑΓ ΒΖ (1). 2 Στ ρθγώνι τρίγων ΔΑΓ η ΔΖ είναι διάμεσς πυ αντιστιχεί στην υπτείνυσα τυ ΑΓ, άρα ΑΓ ΔΖ (2). 2 Από (1) και (2) πρκύπτει ΒΖ = ΔΖ. β) Η γωνία ΒΑΔ είναι τ άθρισμα των γωνιών Α 1,Α 2 Α 6 1 (συμπληρωματική της 1 Γ στ ΑΒΓ) 82

83 Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες Α2 45 Άρα διότι ΔΑΓ ρθγώνι και ισσκελές. ΒΑΔ Α Α και ΒΓΔ Γ1 Γ ΑΣΚΗΣΗ (2_62) Δίνεται ισόπλευρ τρίγων ΑΒΓ. Θεωρύμε σημεί Ε στην πρέκταση της ΒΑ (πρς τ Α) και σημεί Δ στ εσωτερικό της πλευράς ΑΓ, ώστε ΑΕ = ΑΔ. α) Να υπλγίσετε τις γωνίες τυ τριγώνυ ΑΔΕ. Μνάδες 1 β) Αν Ζ είναι τ σημεί τμής της πρέκτασης της ΕΔ (πρς τ Δ) με την ΒΓ, να απδείξετε ότι η ΕΖ είναι κάθετη στην ΒΓ. Μνάδες 15 Λύση α) Η γωνία ΕΑΒ είναι ευθεία γωνία δηλαδή (γωνία ισόπλευρυ τριγώνυ), άρα Α1 12 Α Α 18 1, όμως Α 6 83

84 Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες Στ τρίγων ΑΔΕ ισχύει : Ε1Δ Α Ε Δ 18 Ε Δ 6 Ε Δ 3 β) Έχυμε, Δ Δ (κατακρυφήν) και Γ 6 (γωνία τυ ισπλεύρυ τριγώνυ ΑΒΓ ), άρα ΔΖΓ 9, όπτε ΔΖΓ ρθγώνι. ΑΣΚΗΣΗ (2_6584) Δίνεται ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ Α 9 και ΑΔ η διχτόμς της γωνίας Α. από τ σημεί Δ φέρυμε την παράλληλη πρς την ΑΒ πυ τέμνει την ΑΓ στ Ε. α) Να απδείξετε ότι τ τρίγων ΕΔΓ είναι ρθγώνι. β) Να υπλγίσετε τη γωνία ΑΔΕ. Μνάδες 9 Μνάδες 9 γ) Αν η γωνία Β είναι 2 μίρες μεγαλύτερη της γωνίας Γ, να υπλγίσετε τη γωνία ΕΔΓ. Μνάδες 7 Λύση α) Οι ΑΒ και η ΔΕ είναι παράλληλες και εφόσν η ΑΒ τέμνει κάθετα την ΑΓ άρα και η ΔΕ θα τέμνει κάθετα την ΑΓ πότε τ τρίγων ΔΕΓ είναι ρθγώνι στ Ε. β) Εφόσν ΑΔ διχτόμς της γωνίας Α και Α 9 τότε Α1 Α2 45. Οι γωνίες Α 2 και AΔΕ είναι ι ξείες γωνίες τυ ρθγωνίυ τριγώνυ ΑΔΕ επμένως έχυν άθρισμα 9 και επειδή Α2 45 άρα AΔΕ 45. γ) Έχυμε, 84

85 Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες Όμως, Α Β Γ 18 9 Β Γ 18 Β Γ 9 (1) Β Γ 2 (2) Αντικαθιστώ την (2) στην (1) και έχω Άρα Β 55 Γ 2 Γ 9 2Γ 7 Γ 35 Η γωνία ΕΔΓ είναι συμπληρωματική της Γ άρα ΕΔΓ 55 ΑΣΚΗΣΗ (2_6593) Έστω ισσκελές τρίγων ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). α) Να απδείξετε ότι τα μέσα Δ και Ε των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα, ισαπέχυν από τη βάση ΒΓ. Μνάδες 13 β) Αν Α 75 Β να υπλγίσετε τις γωνίες τυ τριγώνυ ΑΒΓ. Μνάδες 12 Λύση α) Έστω Ζ και Η αντίστιχα ι πρβλές των Δ και Ε πάνω στη ΒΓ. Τα ρθγώνια τρίγωνα ΔΖΒ και ΕΗΓ έχυν (1 στιχεί) ΒΔ=ΓΕ (μισά των ίσων πλευρών ΑΒ, ΑΓ τυ ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ) (2 στιχεί) Β Γ(πρσκείμενες γωνίες στη βάση ισσκελύς τριγώνυ) Άρα έχυν την υπτείνυσα και μια ξεία γωνία αντίστιχα ίσες μια πρς μια επμένως τα τρίγωνα είναι ίσα πότε ΔΖ=ΕΗ β) Ισχύυν ι σχέσεις : Α ΒΓ 18 (1) Β Γ(2) και Α 75 Β (3) Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (2) και (3) στην (1) πρκύπτει (75 Β) ΒΒ 18 3Β Β 15 Β 35 Άρα από τη σχέση (2) πρκύπτει ότι Β Γ 35 και από την σχέση (1) Α 75 Β Α 11 85

86 ΑΣΚΗΣΗ (2_6595) Στ παρακάτω σχήμα να απδείξετε ότι: α) Τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές. β) Η γωνία ΑΕΔ είναι ρθή. Γεωμετρία Κεφάλαι 4: Παράλληλες ευθείες Μνάδες 12 Μνάδες 13 Λύση α) Έχυμε, Άρα Α Β Γ 18 Α Α 7 Α Β 7 ΑΓ ΒΓ ΑΒΓ ισσκελές. β) Στ τρίγων ΑΕΔ ισχύει Α Δ 9, επμένως η γωνία ΑΕΔ είναι ρθή 86

87 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Γεωμετρία Α Λυκείυ Κεφάλαι 5 Παραλληλόγραμμα Τραπέζια 87

88 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια ΑΣΚΗΣΗ (2_2817) Θεωρύμε ισσκελές τρίγων Β (ΑΒ=ΑΓ).Στ μέσ Δ της πλευράς ΑΒ φέρυμε κάθετη ευθεία πυ τέμνει την ΑΓ στ Ε. Από τ Ε φέρυμε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ πυ τέμνει την ΑΒ στ Ζ. α Να απδείξετε ότι ΑΕ=ΒΕ. (Μνάδες 15) β Να απδείξετε ότι τ τετράπλευρ ΒΓΕΖ είναι ισσκελές τραπέζι. (Μνάδες 1) α) Τ Ε είναι σημεί της μεσκαθέτυ ΕΔ, της πλευράς ΑΒ άρα θα ισαπέχει από τα άκρα τυ ΑΒ δηλαδή ΑΕ ΒΕ. β) Είναι ΖΕ // ΒΓ (υπόθεση) ΖΕΓΒ τραπέζι (1). Τ τρίγων Β είναι ισσκελές με ΑΒ ΑΓ (2). (1),(2) ΖΕΒΓ ισσκελές τραπέζι 88

89 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια ΑΣΚΗΣΗ (2_2822) Δίνεται παραλληλόγραμμ ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ.Πρεκτείνυμε την πλευρά ΑΔ κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρυμε την ΒΕ πυ τέμνει την ΔΓ στ σημεί Η. Να απδείξετε ότι α Τ τρίγων Α είναι ισσκελές. (Μνάδες 7) β Τ τετράπλευρ ΔΕΓΒ είναι παραλληλόγραμμ. (Μνάδες 9) γ Η ΑΗ είναι διάμεσς τυ τριγώνυ Α. (Μνάδες 9) Λύση α) Είναι ΑΒ 2ΒΓ (υπόθεση) (1), ΑΔ ΔΕ (υπόθεση) (2) και ΑΔ ΒΓ (ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμ) (3). Όμως ΑΕ ΑΔ ΔΕ (2) ΑΕ ΑΔ ΑΔ ΑΕ 2ΑΔ (3) ΑΕ 2ΒΓ (1) ΑΕ. Άρα τ τρίγων Α είναι ισσκελές. β) Είναι ΑΔ // ΒΓ (γιατί τ ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμ) ΔΕ // ΒΓ (1). Επίσης ΑΔ ΔΕ (υπόθεση) και ΑΔ ΒΓ (γιατί τ ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμ) άρα ΔΕ ΒΓ (2). (1),(2) Τ τετράπλευρ ΔΕΓΒ είναι παραλληλόγραμμ. γ) Οι ΔΓ και ΒΕ είναι ι διαγώνιες τυ παραλληλγράμμυ ΑΒΓΔ άρα διχτύνται συνεπώς τ σημεί τμής Η, των ΔΓ και ΒΕ είναι τ μέσ της ΒΕ (και της ΔΓ) δηλαδή η ΑΗ είναι διάμεσς τυ τριγώνυ Α. 89

90 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια ΑΣΚΗΣΗ (2_2827) Δίνεται παραλληλόγραμμ ΑΒΓΔ και η διαγώνιός τυ ΒΔ. Από τις κρυφές Α και Γ φέρυμε τις κάθετες ΑΕ και ΓΖ στην ΒΔ, πυ την τέμνυν στα σημεία Ε και Ζ αντίστιχα. α)να απδείξετε ότι Δ Β. (Μνάδες 1) β)να απδείξετε ότι τ τετράπλευρ ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμ. (Μνάδες 15) Λύση α) Η ΒΔ είναι τέμνυσα των παραλλήλων ΑΔ και ΒΓ άρα Δ Β (1), ως εντός εναλλάξ. Τα τρίγωνα Δ και Β είναι ίσα γιατί παραλληλόγραμμ) και Δ Β (1).Άρα ΑΕ ΓΖ (2). Ε Ζ 9, ΑΔ ΒΓ (ΑΒΓΔ β) Είναι ΑΕ ΓΖ (2).Επίσης ΑΕ ΒΔ και ΓΖ ΒΔ άρα ΑΕ // ΓΖ (3). (2),(3)Τ τετράπλευρ ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμ. ΑΣΚΗΣΗ (2_2829) Δίνεται τρίγων Β.Από τ μέσ Μ της πλευράς ΒΓ φέρυμε ευθύγραμμ τμήμα ΜΔ=ΒΑ με ΜΔ//ΒΑ και ευθύγραμμ τμήμα ΜΕ=ΓΑ με ΜΕ//ΓΑ. Να απδείξετε ότι : α) ΔΑ=ΑΕ (Μνάδες 8) β) Τα σημεία Δ,Α και Ε βρίσκνται στην ίδια ευθεία. (Μνάδες 9) γ) ΔΕ=ΒΓ (Μνάδες 9) 9

91 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Λύση α) Είναι ΒΜ ΓΜ (υπόθεση) (1). Επίσης ΜΔ ΒΑ και ΜΔ//ΒΑ (υπόθεση) άρα τ τετράπλευρ ΑΔΜΒ είναι παραλληλόγραμμ άρα ΔΑ ΒΜ (2). Τέλς ΜΕ ΓΑ και ΜΕ//ΓΑ (υπόθεση) άρα τ τετράπλευρ ΑΕΜΓ είναι παραλληλόγραμμ άρα ΑΕ ΓΜ (3). (1),(2),(3)ΔΑ ΑΕ (4) β) Τ τετράπλευρ ΑΔΜΒ είναι παραλληλόγραμμ άρα ΔΑ // ΒΜ ΔΑ // ΒΓ (5).Τ τετράπλευρ ΑΕΜΓ είναι παραλληλόγραμμ άρα ΑΕ // ΓΜ ΑΕ // ΒΓ (6). Επειδή τα τμήματα ΔΑ και ΑΕ έχυν κινό σημεί και λόγω των σχέσεων (5),(6) τα σημεία Ε,Α και Δ θα είναι συνευθειακά. γ) Έχυμε, (2),(3) ΔΑ ΑΕ ΒΜ ΓΜΔΕ ΒΓ ΑΣΚΗΣΗ (2_2831) Δίνεται τρίγων Β και Δ τ μέσ της πλευράς ΑΒ. Από τ Δ διέρχεται μια τυχαία ευθεία (ε) πυ τέμνει την πλευρά ΑΓ σε εσωτερικό της σημεί Ε.Η ευθεία (ε) χωρίζει τ τρίγων Β σε ένα τρίγων Δ και ένα τετράπλευρ ΒΔΕΓ. α)πια πρέπει να είναι η θέση τυ σημείυ Ε, ώστε τ τετράπλευρ ΒΔΕΓ να είναι τραπέζι; Να αιτιλγήσετε την απάντησή σας. (Μνάδες 12) β)πι πρέπει να είναι τ είδς τυ τριγώνυ Β,ώστε τ τραπέζι τυ ερωτήματς (α) να είναι ισσκελές; Να αιτιλγήσετε την απάντησή σας. (Μνάδες 13) 91

92 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Λύση α)επειδή ΒΔ // ΓΕ,για να είναι τ τετράπλευρ ΒΔΕΓ τραπέζι θα πρέπει ΔΕ // ΒΓ (1). Επίσης τ σημεί Δ είναι τ μέσ της ΑΒ (υπόθεση) (2). Λόγω των (1) και (2), τ σημεί Ε θα πρέπει να είναι τ μέσ της ΑΓ. β) Για να είναι τ τετράπλευρ ΔΕΓΒ ισσκελές τραπέζι θα πρέπει : ΒΔ ΓΕ 2ΒΔ 2ΓΕ ΑΒ ΑΓ τ τρίγων Β ισσκελές. ΑΣΚΗΣΗ (2_2832) Σε παραλληλόγραμμ ΑΒΓΔ, πρεκτείνυμε την πλευρά ΔΑ (πρς τ Α) κατά τμήμα ΑΗ=ΔΑ. Φέρυμε την διχτόμ της γωνίας,η πία τέμνει την ΑΒ στ σημεί Ζ. Να απδείξετε ότι : α)τ τρίγων είναι ισσκελές. (Μνάδες 12) β)τ τρίγων είναι ρθγώνι με ρθή την γωνία. (Μνάδες 13) 92

93 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Λύση α) Τ τετράπλευρ ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμ (υπόθεση) άρα ΑΒ // ΔΓ ΑΖ // ΔΓ. Η ΔΖ είναι τέμνυσα των παραλλήλων ΑΖ και ΔΓ άρα (1), ως εντός εναλλάξ. Επίσης (2) (υπόθεση) (1),(2) δηλαδή τ τρίγων είναι ισσκελές με ΔΑ ΑΖ (3). β) Έχυμε, ΑΗ ΔΑ (4) (υπόθεση) (3),(4)ΑΖ 2 άρα τ τρίγων είναι ρθγώνι με 9. ΑΣΚΗΣΗ (2_2834) Δίνεται παραλληλόγραμμ με ΑΒ=2ΑΔ.Φέρυμε την διχτόμ της γωνίας,τυ παραλληλγράμμυ, η πία τέμνει την ΑΒ στ Ε. α) Να απδείξετε ότι τ τρίγων είναι ισσκελές. (Μνάδες 12) β) Είναι τ Ε μέσ της πλευράς ΑΒ; Να αιτιλγήσετε την απάντησή σας. (Μνάδες 13) 93

94 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Λύση α) Τ τετράπλευρ ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμ (υπόθεση) άρα ΑΒ // ΔΓ ΑΕ // ΔΓ Η ΔΕ είναι τέμνυσα των παραλλήλων ΑΕ και ΔΓ άρα (1), ως εντός εναλλάξ. Επίσης (2) (υπόθεση). (1),(2) δηλαδή τ τρίγων είναι ισσκελές με ΑΔ ΑΕ (3). β) Από την υπόθεση έχυμε ότι ΑΒ 2ΑΔ (3) ΑΒ 2ΑΕ AE (4). 2 Επίσης : EB AB AE (4) EB AB EB (5). 2 2 (4),(5)AE EB άρα τ σημεί E είναι τ μέσ τυ ΑΒ. ΑΣΚΗΣΗ (2_2836) Δίνεται παραλληλόγραμμ ΑΒΓΔ και Ο τ σημεί τμής των διαγωνίων τυ. Θεωρύμε σημεί Ε τυ τμήματς ΑΟ και σημεί Ζ τυ τμήματς ΟΓ, ώστε ΟΕ=ΟΖ. Να απδείξετε ότι: α) ΔΕ=ΒΖ. (Μνάδες 12) β) τ ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμ. (Μνάδες 13) 94

95 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Λύση α) Τα τρίγωνα και είναι ίσα γιατί ΟΕ ΟΖ (υπόθεση), ΔΟ ΒΟ (υπόθεση) και (κατακρυφήν) άρα ΔΕ ΒΖ. β) Είναι ΟΕ ΟΖ (υπόθεση) και ΔΟ ΒΟ (υπόθεση) δηλαδή ι διαγώνιες τυ τετραπλεύρυ ΔΕΒΖ διχτμύνται άρα τ ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμ. ΑΣΚΗΣΗ (2_2841) Δίνεται ρθγώνι και ισσκελές τρίγων Α Γ( =9 ) ) και ΑΔ η διχτόμς της γωνίας. Από τ σημεί Δ φέρυμε παράλληλη πρς την ΑΒ πυ τέμνει την πλευρά ΑΓ στ σημεί Ε. Να απδείξετε ότι: ΒΓ α) ΑΔ 2 (Μνάδες 8) β) Τ τρίγων Δ Γ είναι ρθγώνι. ΑΓ γ) ΔΕ 2 (Μνάδες 8) (Μνάδες 9) 95

96 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Λύση α) Η ΑΔ είναι διχτόμς της γωνίας της κρυφής Α τυ ρθγώνιυ και ισσκελύς τριγώνυ Α Γ άρα θα είναι και διάμεσς πρς την υπτείνυσα ΒΓ δηλαδή ΑΔ. 2 β) Επειδή ΑΒ ΑΓ και ΔΕ // ΑΒ θα είναι και ΔΕ ΑΓ άρα τ τρίγων Δ Γ είναι ρθγώνι. γ) Η ΑΔ είναι διχτόμς της γωνίας της κρυφής Α τυ ισσκελύς τριγώνυ Α Γ άρα θα είναι και ύψς πρς την ΒΓ δηλαδή τ τρίγων είναι ρθγώνι. Επίσης ΑΔ ΔΓ δηλαδή τ ρθγώνι τρίγων είναι ισσκελές και 2 επειδή η ΔΕ είναι ύψς πρς την υπτείνυσα ΑΓ, τυ, θα είναι και διάμεσς πρς αυτήν άρα ΔΕ. 2 ΑΣΚΗΣΗ (2_2844) Δίνεται παραλληλόγραμμ ΑΒΓΔ με γωνία =12 και ΑΒ=2ΑΔ. Φέρυμε τη διχτόμ της γωνίας τυ παραλληλγράμμυ, η πία τέμνει την ΑΒ στ Ε, και στη συνέχεια τ κάθετ τμήμα ΑΖ στη ΔΕ. Να απδείξετε ότι: α) γωνία Α Ε = 3. ΑΒ β) ΑΖ 4 (Μνάδες 1) (Μνάδες 15) 96

97 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Λύση α) Η ΔΕ είναι τέμνυσα των παραλλήλων ΑΕ και ΔΓ άρα ι γωνίες Ε Γ και είναι ίσες ως εντός εναλλάξ. Επειδή (υπόθεση) θα είναι και άρα στ τρίγων θα είναι β) Στ ρθγώνι τρίγων είναι Επίσης 3 πότε ΑΖ (1). 2 ΑΒ2ΑΔΑΔ (2). 2 Άρα ΑΖ (1),(2) ΑΣΚΗΣΗ (2_2849) Δίνεται ρθγώνι τρίγων Α Γ ( = 9 ) με ΒΓ = 8 cm. Έστω ΑΜ είναι διάμεσς τυ τριγώνυ και ΜΔ ΑΓ. Αν η γωνία Α Γ είναι ίση με 12, τότε: α) Να δείξετε ότι ΑΒ = 4 cm. β) Να βρείτε τ μήκς της ΜΔ. (Μνάδες 12) (Μνάδες 13) 97

98 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια α) Η ΑΜ είναι η διάμεσς πρς την υπτείνυσα ΒΓ, τυ ρθγωνίυ τριγώνυ Α Γ άρα ΑΜ ΜΓ (1) δηλαδή τ τρίγων Α Γ είναι ισσκελές πότε 2 Συνεπώς στ τρίγων Α Γ είναι 12 o 2 18 o 3 o. Έτσι, στ ρθγώνι τρίγων Α Γ, για την απέναντι κάθετη πλευρά της, θα ισχύει 8 ΑΒ 4cm. 2 2 β) Στ ρθγώνι τρίγων Γ Δ, για την απέναντι κάθετη πλευρά της, θα ισχύει (1) 8 ΜΔ 2 2 cm ΑΣΚΗΣΗ (2_2852) Δίνεται ισσκελές τρίγων Α Γ (ΑΒ = ΑΓ). Στην πρέκταση της ΒΑ (πρς τ μέρς της κρυφής Α) παίρνυμε σημεί Δ ώστε ΑΒ = ΑΔ και στην πρέκταση της ΔΓ (πρς τ μέρς της κρυφής Γ) παίρνυμε σημεί Ε ώστε ΔΓ = ΓΕ. α) Να δείξετε ότι τ τρίγων Δ Β είναι ρθγώνι. (Μνάδες 12) 98

99 β) Να δείξετε ότι ΒΕ//ΑΓ και ΒΕ ΑΓ. 2 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια (Μνάδες 13) α) Από την υπόθεση έχυμε ότι ΑΓ ΑΒ ΑΔ ΑΓ. 2 2 Άρα τ Δ Β είναι ρθγώνι με Δ Β 9. β) Από την υπόθεση έχυμε ΑΒ άρα τ σημεί Α είναι τ μέσ τυ ΒΔ και ΓΔ ΓΕ άρα τ σημεί Γ είναι τ μέσ τυ ΔΕ. Συνεπώς τ ΑΓ, ενώνει τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΔΕ, τυ τριγώνυ Δ Ε, πότε ΑΓ // ΒΕ και ΑΓ. 2 ΑΣΚΗΣΗ (2_285) Δίνεται τραπέζι ΑΒΓΔ με 9, ΑΒ > ΓΔ, ΒΓ = 4ΓΔ και 6. Φέρυμε την ΓΗ ΑΒ και θεωρύμε τα μέσα Ε και Ζ των πλευρών ΑΔ και ΒΓ αντιστίχως. Να δείξετε ότι: α) ΑΒ = 3ΓΔ. (Μνάδες 12) β) Τ τετράπλευρ ΕΗΒΖ είναι παραλληλόγραμμ. (Μνάδες 13) 99

100 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Λύση α) Στ ρθγώνι τρίγων Γ Β είναι 6 άρα Η συνεπώς για την απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας Η θα ισχύει 4 ΗΒ 2 (1). 2 2 Τ τετράπλευρ ΑΗΓΔ είναι ρθγώνι γιατί 9 άρα ΑΗ ΓΔ (2) Έτσι (1),(2) ΑΒ 2 3 (3) β) Η ΕΖ είναι η διάμεσς τυ τραπεζίυ άρα ΕΖ // ΑΒ ΕΖ // ΗΒ (4) και (3) (1) 3 2 (5) 2 2 (4),(5)τ τετράπλευρ ΕΗΒΖ είναι παραλληλόγραμμ. ΑΣΚΗΣΗ (2_2856) Δίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Φέρυμε, εκτός τυ τριγώνυ, τις ημιευθείες Αx και Ay τέτιες ώστε Αx AB και Αy AΓ. Στις Αx και Αy θεωρύμε τα σημεία Δ και Ε αντίστιχα, ώστε ΑΔ=ΑΕ. α) Να απδείξετε ότι ΒΔ=ΓΕ. (Μνάδες 12) 1

101 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια β) Αν Μ και Ν είναι τα μέσα των τμημάτων ΒΔ και ΓΕ αντίστιχα, να απδείξετε ότι τ τρίγων ΑΜΝ είναι ισσκελές. (Μνάδες 13) α) Συγκρίνυμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ. Είναι ρθγώνια τρίγωνα και ΑΒ=ΑΓ και ΑΔ=ΑΕ (από υπόθεση). Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα από κριτήρι ισότητας ρθγωνίων τριγώνων. Συνεπώς ΒΔ=ΓΕ β) Στ ρθγώνι τρίγων ΑΒΔ η ΑΜ είναι διάμεσς στην υπτείνυσα, άρα ΒΓ ΑΜ 2 Όμια η ΑΝ είναι διάμεσς στην υπτείνυσα τυ ΑΓΔ τριγώνυ, πότε ΑΓ ΑΝ 2 Επιπλέν ΑΒ=ΑΓ, πότε ΑΜ=ΑΝ, δηλαδή τ τρίγων ΑΜΝ είναι ισσκελές ΑΣΚΗΣΗ (2_569) Στις πρεκτάσεις των πλευρών ΒΑ και ΓΑ τριγώνυ ΑΒΓ παίρνυμε τα τμήματα ΑΔ ΑΒ και ΑΕ ΑΓ. Να απδείξετε ότι α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι ίσα. (Μνάδες 12) β) Η πρέκτασή της διαμέσυ ΑΜ πρς τ μέρς της κρυφής Α διχτμεί την πλευρά ΕΔ τυ τριγώνυ ΔΑΕ. (Μνάδες 13) 11

102 α) Συγκρίνυμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ τα πία έχυν: i) ΑΒ ΑΔ από υπόθεση ii) ΑΓ ΑΕ από υπόθεση Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια iii) Α1 Α2 κατακρυφήν Άρα τα τρίγωνα έχυν δυ πλευρές και τις περιεχόμενες γωνίες ίσες άρα είναι ίσα β) Συγκρίνυμε τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΔΝ τα πία έχυν: i) ΑΒ ΑΔ από υπόθεση ii) Β Δ γιατί τα τρίγωνα ΑΒΜ, ΑΔΝ είναι ίσα iii) Α1 Α3 κατακρυφήν Άρα τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΔΝ έχυν δυ πλευρές και τις περιεχόμενες γωνίες ίσες άρα είναι ίσα. Οπότε θα είναι ΝΔ ΒΜ Όμως ΒΓ ΔΕ BM 2 2 Άρα από τα παραπάνω συμπεραίνυμε ότι: ΔΕ ΝΔ 2 Οπότε τ Ν είναι τ μέσ της ΔΕ δηλαδή η πρέκτασή της διαμέσυ ΑΜ πρς τ μέρς της κρυφής Α διχτμεί την πλευρά ΕΔ τυ τριγώνυ ΔΑΕ. ΑΣΚΗΣΗ (2_2851) Δίνεται ισσκελές τραπέζι ΑΒΓΔ με ΑΒ > ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ. α) Αν τα μήκη των βάσεων είναι: ΑΒ = 3x + 2, ΓΔ = x + 2 και τ μήκς της διαμέσυ τυ τραπεζίυ είναι ΜΝ = x + 4, τότε να δείξετε ότι x = 2. (Μνάδες 12) β) Αν η γωνία τραπεζίυ. είναι διπλάσια της γωνίας, να υπλγίσετε τις γωνίες τυ (Μνάδες 13) 12

103 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια α) Η ΜΝ είναι η διάμεσς τυ τραπεζίυ ΑΒΓΔ άρα : 3x 2 x 2 x 4 2x 8 4x 4 x β) Τ τραπέζι ΑΒΓΔ είναι ισσκελές (ΑΔ ΒΓ) άρα 2 και πότε : Συνεπώς 36 o 6 και 6 36 o o. ΑΣΚΗΣΗ (2_2858) Δίνεται παραλληλόγραμμ ΑΒΓΔ με ΑΒ = 2ΒΓ και Ε τ μέσ της πλευράς τυ ΑΒ. Να απδείξετε ότι: α) Τ τρίγων ΕΑΔ είναι ισσκελές. Μνάδες1 β) Η ΔΕ είναι διχτόμς της γωνίας ˆΔ α) To E είναι μέσ τυ ΑΒ, άρα θα ισχύει: AB ΑΒ2ΒΓ 2BΓ ΑΔΒΓ AE EB ΒΓ AE ΑΔ 2 2 άρα τ τρίγων ΕΑΔ είναι ισσκελές. Μνάδες 15 13

104 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια β) Από τ α) ερώτημα, τ τρίγων ΕΑΔ είναι ισσκελές άρα ισχύει: ˆΕ Δ ˆ 1 1 Αλλά ˆΕ ˆ 1 Δ2 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ, ΔΓ, τεμνόμενες από την ΔΕ. Άρα, από, πρκύπτει ότι: Δ ˆ ˆ 1 Δ2 άρα η ΔΕ είναι διχτόμς της γωνίας ˆΔ ΑΣΚΗΣΗ (2_3411) Δίνεται τρίγων ΑΒΓ και η διάμεσός τυ ΑΜ. Στην πρέκταση της διαμέσυ ΜΔ τυ τριγώνυ ΑΜΓ θεωρύμε σημεί Ε ώστε ΜΔ = ΔΕ. Να απδείξετε ότι: α) Τ τετράπλευρ ΑΜΓΕ είναι παραλληλόγραμμ. Μνάδες 12 β) Η ΒΕ διέρχεται από τ μέσ της διαμέσυ ΑΜ. Μνάδες 13 α) Είναι ΜΔ = ΔΕ (υπόθεση) και Δ μέσ τυ ΑΓ, άρα ΑΔ = ΔΓ = ΑΓ 2 Άρα, τ ΑΜΓΕ είναι παραλληλόγραμ, γιατί ι διαγώνιί τυ, ΑΓ, ΜΕ διχτμύνται. β) To ΑΜΓΕ είναι παραλληλόγραμμ, άρα είναι: ΒΜΜΓ AE / / MΓ AE / / ΒM Οπότε ΑΕΜΔ παραλληλόγραμμ, άρα ι 14

105 διαγώνιί τυ ΑΜ και ΒΕ διχτμύνται, πότε η ΒΕ διέρχεται από τ μέσ Ζ της ΑΜ Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια ΑΣΚΗΣΗ (2_3412) Δίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και η διάμεσός τυ ΑΜ. Στην πρέκταση της διαμέσυ ΜΔ τυ τριγώνυ ΑΜΓ θεωρύμε σημεί Ε ώστε ΜΔ = ΔΕ. Αν τ σημεί Ζ είναι τ ίχνς τυ Δ στην ΑΜ, να απδείξετε ότι α) Τ τετράπλευρ ΑΜΓΕ είναι ρθγώνι. Μνάδες 12 ΒΓ β) ΔΖ 4 Μνάδες 13 α) Είναι ΜΔ = ΜΕ (υπόθεση) και Δ μέσ τυ ΑΓ, άρα ΑΔ = ΔΓ = ΑΓ 2 Τ τετράπλευρ ΑΜΓΕ είναι παραλληλόγραμμ γιατί ι διαγώνιί τυ ΑΓ, ΜΕ διχτμύνται. Στ ισσκελές τρίγων ΑΒΓ, η διάμεσς ΑΜ είναι και ύψς, άρα ˆ ΑΜΓ 9, άρα, τ ΑΜΓΕ είναι παραλληλόγραμμ με μια γωνία τυ ρθή, άρα ΑΜΓΕ ρθγώνι. 15

106 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια β) Τ Ζ είναι ίχνς τυ Δ στην ΑΜ, άρα ΔΖ ΑΜ Ζ μέσ ΑΜ, και ΑΜ ύψς τυ τριγώνυ ΑΒΓ, άρα ΒΓ ΑΜ πότε, ΔΖ//ΒΓ, ως ευθείες κάθετες στ ίδι ευθύγραμμ τμήμα. Στ τρίγων ΑΜΓ, είναι Δ μέσ της ΑΓ και ΔΖ//ΜΓ, άρα και Ζ μέσ της ΑΜ Στ τρίγων ΑΜΓ, Δ μέσ της ΑΓ, Ζ μέσ της ΑΜ, άρα τ ευθύγραμμ τμήμα ΔΖ, πυ ενώνει τα μέσα των δύ πλευρών τυ τριγώνυ ΑΜΓ είναι παράλληλ πρς τη τρίτη πλευρά ΜΓ και ίσ με τ μισό της, δηλαδή: ΑΣΚΗΣΗ (2_3414) ΒΓ ΒΓ ΜΓ 2 ΜΓ ΔΖ ΔΖ Δίνεται ισσκελές τραπέζι ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με Φέρυμε τα ύψη τυ ΑΕ και ΒΖ. α) Να απδείξετε ότι: ΔΕ = ΓΖ και ΑΒ = ΕΖ. β) Να υπλγίσετε την περίμετρ τυ τραπεζίυ. ˆΓ Δˆ 6 ΒΓ ΔΖ 4, ΑΔ = 12 και ΓΔ = 2. Μνάδες 12 Μνάδες 13 16

107 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια α) Συγκρίνω: ΑΔ Ε ΒΖΓ 1. ΑΔ = ΒΓ (υπόθεση) 2. Δˆ Γˆ 6 (υπόθεση) 3. Εˆ Ζˆ 9 (υπόθεση) Άρα από κριτήρι ισότητας ρθγωνίων τριγώνων είναι ΑΔ Ε ΒΖΓ, άρα και τα υπόλιπα αντίστιχα στιχεία τυς ίσα, άρα ΔΕ ΓΖ και ΑΕ = ΒΖ. Αλλά, ΑΕ ΔΓ και ΒΖ ΔΓ πότε, ΑΕ//ΒΖ άρα τ ΑΒΖΕ παραλληλόγραμμ με ˆ ΑΕΖ 9 πότε ρθγώνι, άρα και ΑΒ = ΕΖ. β) Στ τρίγων ΑΔΕ είναι ˆΔ 6 πότε είναι: ˆ ˆ ˆ ˆ Δ Ε ΔΑΕ ΔΑΕ 18 ΔΑΕ ˆ 3 Στ ρθγώνι τρίγων ΑΔΕ είναι ΔΑΕ ˆ ΑΔ 12 3 πότε: ΔΕ ΔΕ Οπότε: ΔΕ ΓΖ 6 Άρα, ΔΓ = ΔΕ + ΕΖ + ΖΓ 2 6 ΕΖ 6 ΕΖ 8 ΕΖ ΑΒ 8 Οπότε η περίμετρς τυ τραπεζίυ είναι: Π = ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ + ΔΑ = =48 ΑΣΚΗΣΗ (2_3415) Θεωρύμε ισσκελές τραπέζι ABΓΔ (AB / /ΓΔ).Φέρνυμε τα ύψη τυ ΑΕ και ΒΖ. Να απδείξετε ότι: α) ΔΕ ΓΖ β) ΑΖ ΒΕ Μνάδες 12 Μνάδες 13 Δ Δ α) Τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΒΖΓ : 1. είναι ρθγώνια, 2. έχυν ΑΔ ΒΓ (διότι τ ΑΒΓΔ είναι ισσκελές τραπέζι), 17

108 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια 3. έχυν Δ Λ Γ Λ, ως γωνίες της βάσης ισσκελύς τραπεζίυ. Δ Δ Άρα ΑΕΔ = ΒΖΓ, πότε ΔΕ ΓΖ (διότι σε ίσα τρίγωνα, απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκνται ίσες πλευρές). β) 1 ς τρόπς: Τ τετράπλευρ ΑΕΖΒ είναι ρθγώνι (διότι ι απέναντι πλευρές τυ είναι ανα δύ Λ παράλληλες και ΑΕΖ 9 ). Άρα ΑΖ ΒΕ, ως διαγώνιες ρθγωνίυ παραλληλγράμμυ. 2 ς τρόπς: Δ Δ Τα τρίγωνα ΑΔΖ και ΒΕΓ έχυν: 1. ΑΔ ΒΓ (διότι τ ΑΒΓΔ είναι ισσκελές τραπέζι), 2. Δ Λ Γ Λ, ως γωνίες της βάσης ισσκελύς τραπεζίυ. 3. ΔΖ ΕΓ (διότι ΔΖ ΔΕ ΕΖ ΓΖ ΕΖ ΓΕ ). Δ Δ Άρα ΑΔΖ = ΒΕΓ (κριτήρι ΠΓΠ), πότε ΑΖ ΒΕ (διότι σε ίσα τρίγωνα, απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκνται ίσες πλευρές). ΑΣΚΗΣΗ (2_3416) Θεωρύμε ισσκελές τρίγων ΑΒΓ (ΑΒ ΑΓ), τ ύψς τυ ΑΔ και τα μέσα Ε και Ζ των πλευρών τυ ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα. Να απδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΓΔΖ είναι ίσα β) Τ τετράπλευρ ΑΖΔΕ είναι ρόμβς. Μνάδες 15 Μνάδες 1 18

109 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια α) Τα τρίγωνα Δ Δ ΒΔΕ,ΓΖΔ έχυν: 1. ΒΕ ΓΖ (ως μισά τμήματα ίσων πλευρών), 2. ΒΔ ΓΔ (διότι τ ΑΔ είναι ύψς ισσκελύς τριγώνυ πυ αντιστιχεί στη βάση ΒΓ, άρα τ ΑΔ είναι και διάμεσς), 3. Λ Λ Άρα Β Γ, ως γωνίες της βάσης ισσκελύς τριγώνυ. Δ Δ ΒΔΕ ΓΖΔ (κριτήρι ΠΓΠ). β) Τ ευθύγραμμ τμήμα ΔΖ ενώνει τα μέσα των ΑΒ πλευρών ΒΓ,ΑΓ, άρα ΖΔ, δηλαδή τ ΖΔ 2 είναι ίσ και παράλληλ με τ ΑΕ. Άρα τ ΑΖΔΕ είναι παραλληλόγραμμ και επιπλέν ΑΖ ΖΔ, άρα είναι ρόμβς. ΑΣΚΗΣΗ (2_3418) Θεωρύμε τρίγων ΑΒΓ και τα μέσα Δ,Ε και Ζ των πλευρών τυ ΑΒ,ΒΓ και ΓΑ αντίστιχα. Να απδείξετε ότι: α) To τετράπλευρ ΔΒΕΖ είναι παραλληλόγραμμ. β) Η ευθεία ΔΖ διχτμεί τ τμήμα ΑΕ. Μνάδες 13 Μνάδες 12 19

110 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια α) Τα Δ, Ζ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντίστιχα, άρα τ ΔΖ είναι ίσ και παράλληλ με τ ΒΓ, δηλαδή με τ ΒΕ. Οπότε τ ΔΒΕΖ είναι παραλληλόγραμμ. 2 β) Τα Δ, Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ αντίστιχα, άρα τ ΔΕ είναι ίσ και παράλληλ με τ ΑΓ, δηλαδή με τ ΑΖ. 2 Οπότε τ ΑΔΕΖ είναι παραλληλόγραμμ. Άρα ι διαγώνιες τυ θα διχτμύνται, δηλαδή η ευθεία ΔΖ διχτμεί τ τμήμα ΑΕ.. ΑΣΚΗΣΗ (2_3419) Δίνεται ξυγώνι τρίγων ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ και γωνία Λ Γ 3. Θεωρύμε τ ύψς ΑΔ και τ μέσ Ζ της πλευράς ΑΓ. Πρεκτείνυμε τ ύψς ΑΔ (πρς τ Δ ) κατά ίσ τμήμα ΔΕ. Να απδείξετε ότι: ΑΓ α) ΔΖ. 2 Μνάδες 12 β) Τ τρίγων Δ Α Γ Ε είναι ισόπλευρ. Μνάδες 13 11

111 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Δ α) Στ ρθγώνι τρίγων ΑΔ Γ, τ ΔΖ είναι διάμεσς πυ αντιστιχεί στην ΑΓ υπτείνυσα ΑΓ. Άρα (από γνωστή πρόταση) ΔΖ. 2 β) Στ τρίγων 1. τ Δ Δ Α Γ Ε, τ ΓΔ είναι ύψς και διάμεσς, άρα: Α Γ Ε είναι ισσκελές, με ΑΓ ΓΕ και 2. τ ΓΔ είναι και διχτόμς της γωνίας Λ Α. Έτσι, Λ Λ ΑΓΕ 2ΑΓΒ Τ άθρισμα των γωνιών τυ τριγώνυ Όμως είναι Δ Α Γ Ε είναι 18, δηλαδή Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ ΓΑΕ Ε ΑΓΕ 18 ΓΑΕ Ε 6 18 ΓΑΕ Ε 12 (1) Λ Λ ΓΑΕ Ε, άρα από τη σχέση (1) πρκύπτει ότι κάθε γωνία τυ τριγώνυ 6, δηλαδή είναι ισόπλευρ. Δ Α Γ Ε ΑΣΚΗΣΗ (2_3422) Θεωρύμε ξυγώνι τρίγων ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ και τ ύψς τυ ΑΔ. Πρεκτείνυμε τ ΑΔ (πρς τ Δ) κατά τμήμα ΔΕ = ΑΔ. Έστω Κ τ συμμετρικό τυ Β ως πρς τ Δ. Να απδείξετε ότι: α) Τ τρίγων ΑΒΚ είναι ισσκελές. Μνάδες 12 β) Τ τετράπλευρ ΑΒΕΚ είναι ρόμβς. Μνάδες

112 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Λύση α) Παρατηρύμε ότι στ τρίγων ΑΒΚ τ ΑΔ είναι ύψς και διάμεσς, δηλαδή τ ΑΔ είναι μεσκάθετς τυ ΒΚ, άρα τ Α θα ισαπέχει από τα άκρα Β, Κ, πότε ΑΒ = ΑΚ, άρα τ ΑΒΚ είναι ισσκελές τρίγων. β) Τ τετράπλευρ ΑΒΕΚ είναι παραλληλόγραμμ αφύ ι διαγώνιι διχτμύνται. Όμως ΑΒ = ΑΚ, δηλαδή δύ διαδχικές πλευρές είναι ίσες, άρα τ ΑΒΕΚ είναι ρόμβς. ΑΣΚΗΣΗ (2_3427) Τ τετράπλευρ ΑΒΓΔ τυ σχήματς είναι παραλληλόγραμμ. Έστω ότι Να απδείξετε ότι: α) Αν τ παραλληλόγραμμ ΑΒΓΔ είναι ρόμβς, τότε ΑΖ = ΑΕ. Μνάδες 12 β) Αν για τ παραλληλόγραμμ ΑΒΓΔ ισχύει ΑΖ = ΑΕ, τότε αυτό είναι ρόμβς. Μνάδες

113 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Λύση α) Έχυμε, γιατί 9 (απέναντι γωνίες τυ παρ/μυ ΑΒΓΔ) ΑΔ = ΑΒ (διαδχικές πλευρές ρόμβυ) άρα ΑΖ = ΑΕ. β) Έχυμε, γιατί 9 (απέναντι γωνίες τυ παρ/μυ ΑΒΓΔ) ΑΖ = ΑΕ άρα ΑΔ = ΑΒ, δηλαδή δύ διαδχικές πλευρές τυ παρ/μυ είναι ίσες, άρα τ ΑΒΓΔ είναι ρόμβς. 113

114 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια ΑΣΚΗΣΗ (2_4973) Δίνεται τραπέζι ΑΒΓΔ με AB στ πί η διαγώνις ΒΔ είναι ίση με την πλευρά ΑΔ. Αν η γωνία 11 και η γωνία 3, να υπλγίσετε τη γωνία. Μνάδες 25 Λύση Αναζητύμε τη γωνία 1. Από τ τρίγων Όμως πλευρά ΒΔ έχυμε, , ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΓΔ και ΑΒ με τεμνόμενη την Επμένως στ ισσκελές τρίγων έχυμε, ΑΣΚΗΣΗ (2_57) Δίνεται ισσκελές τραπέζι ΑΒΓΔ με ΑΒ//ΓΔ και ΑΒ<ΓΔ. Θεωρύμε τα σημεία Ε και Ζ πάνω στην ΑΒ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ και έστω Κ τ σημεί τμής των ΔΖ και ΓΕ. Να απδείξετε ότι: α) ΔΖ=ΓΕ β) Τα τρίγωνα ΕΚΖ και ΔΚΓ είναι ισσκελή. Μνάδες 13 Μνάδες

115 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Λύση α) Συγκρίνυμε τα τρίγωνα ΔΑΖ και ΓΒΕ 1) ΑΖ=ΒΕ (ως άθρισμα ίσων τμημάτων) 2) ΑΔ=ΒΓ (ΑΒΓΔ ισσκελές τραπέζι) 3) ΔΑΖ ΓΒΕ (ΑΒΓΔ ισσκελές τραπέζι) Από Π-Γ-Π τα τρίγωνα ΔΑΖ και ΓΒΕ είναι ίσα άρα ΔΖ=ΓΕ β) Αφύ τα τρίγωνα ΔΑΖ και ΓΒΕ είναι ίσα έχυμε επιπλέν ότι ΑΔΖ ΕΓΒ και αφύ ΑΔΓ ΔΓΒ (ΑΒΓΔ ισσκελές τραπέζι) είναι ΖΔΓ ΕΓΒ (ως διαφρά ίσων γωνιών) πότε τ τρίγων ΔΚΓ είναι ισσκελές Ακόμη ΒΕΓ ΔΓΕ (ως εντός εναλλάξ) και ΑΖΔ ΖΔΓ (ως εντός εναλλάξ) Αφύ ΔΓΕ ΖΔΓ (τ τρίγων ΔΚΓ είναι ισσκελές) έχυμε ότι ΑΖΔ ΒΕΓ άρα και τ τρίγων ΕΚΖ είναι ισσκελές. ΑΣΚΗΣΗ (2_521) Δίνεται παραλληλόγραμμ ΑΒΓΔ και Ο είναι τ κέντρ τυ. Έστω Ε, Ζ, Η, Θ τα μέσα των ΟΔ, ΟΑ, ΟΒ και ΟΓ αντίστιχα Να απδείξετε ότι: α) Τ τετράπλευρ ΕΖΗΘ είναι παραλληλόγραμμ Μνάδες 1 β) Αν η περίμετρς τυ παραλληλγράμμυ ΑΒΓΔ είναι 4, να βρείτε την περίμετρ τυ ΕΖΗΘ Μνάδες

116 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Λύση α) Στ τρίγων ΟΓΔ τ Ε είναι μέσ της ΟΔ και τ Θ είναι μέσ της ΟΓ πότε ΓΔ ΕΘ / / (1) 2 Στ τρίγων ΑΒΟ τ Ζ είναι μέσ της ΑΟ και τ Η είναι μέσ της ΟΒ πότε ΑΒ ΖΗ / / (2) 2 Αφύ ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμ έχυμε ότι ΑΒ/ / ΓΔ (3) Από (1), (2), (3) πρκύπτει ότι ΕΘ / / ΖΗ άρα τ ΕΖΘΗ είναι παραλληλόγραμμ β) Στ τρίγων ΟΑΔ τ Ε είναι μέσ της ΔΟ και τ Ζ είναι μέσ της ΟΑ πότε ΑΔ ΕΖ (4) 2 Στ τρίγων ΟΒΓ τ Θ είναι μέσ της ΟΓ και τ Η είναι μέσ της ΟΒ πότε ΒΓ ΗΘ (3) 2 Έχυμε 1, 2 ΑΔ ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΠΕΖΗΘ ΕΖ ΖΗ ΗΘ ΘΕ 3, ΑΔ ΑΒ ΒΓ ΓΔ Π ΑΒΓΔ ΑΣΚΗΣΗ (2_524) Σε κύκλ κέντρυ Ο, έστω ΟΑ μία ακτίνα τυ. Φέρυμε τη μεσκάθετη της ΟΑ πυ τέμνει τν κύκλ στα σημεία Β και Γ. Να απδείξετε ότι α) Τ τρίγων ΟΒΑ είναι ισόπλευρ Μνάδες 13 β) Τ τετράπλευρ ΟΒΑΓ είναι ρόμβς Μνάδες

117 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Λύση α) Αφύ τ Β ανήκει στη μεσκάθετ τυ ΟΑ έχυμε ότι ΒΟ=ΒΑ Όμως ΒΟ=ΟΑ (ως ακτίνες κύκλυ) πότε ΒΟ=ΒΑ=ΟΑ άρα τ τρίγων ΟΒΑ είναι ισόπλευρ β) Αφύ η ΒΓ είναι μεσκάθετς τυ ΟΑ τ Μ είναι μέσ τυ ΟΑ Επιπλέν, ΟΒ=ΟΓ ως ακτίνες κύκλυ άρα τ τρίγων ΟΒΓ είναι ισσκελές και τ ΟΜ είναι τ ύψς πυ άγεται από τη κρυφή Ο στη βάση τυ ΒΓ. Έτσι λιπόν η ΟΜ είναι και διάμεσς της ΒΓ άρα τ Μ είναι μέσ της ΒΓ Οπότε στ τετράπλευρ ΟΒΑΔ ι διαγώνιί τυ ΒΓ και ΟΑ διχτμύνται άρα τ ΟΒΑΔ είναι παραλληλόγραμμ και αφύ ΒΓ ΟΑ τ ΟΒΑΔ είναι ρόμβς. ΑΣΚΗΣΗ (2_533) Δίνεται γωνία x O y και σημεί Α στ εσωτερικό της. Από τ Α φέρνυμε τις κάθετες ΑΒ, ΑΓ πρς τις πλευρές Οx, Oy της γωνίας αντίστιχα, και νμάζυμε Μ τ μέσ τυ ΟΑ. Να απδείξετε ότι: α) Τ τρίγων ΒΜΓ είναι ισσκελές. (Μνάδες 1) β) BMΓ 2x O y (Μνάδες 15) 117

118 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια α) Τ ΒΜ είναι διάμεσς πυ αντιστιχεί στην υπτείνυσα τυ ρθγωνίυ τριγώνυ ΑΒΟ, άρα θα είναι OA BM. 2 Όμια τ ΓΜ είναι διάμεσς πυ αντιστιχεί στην υπτείνυσα τυ ρθγωνίυ τριγώνυ ΑΓΟ, άρα θα είναι OA ΓM. 2 Από τις δυ τελευταίες σχέσεις έχυμε BM ΓΜ άρα τ τρίγων ΒΜΓ είναι ισσκελές. OA OA β) Επειδή Μ μέσ τυ ΟΑ είναι OM όμως και BM άρα θα έχυμε ότι 2 2 ΒΜ ΟΜ δηλαδή τ τρίγων ΟΜΒ είναι ισσκελές με βάση την ΟΒ. Οπότε ι πρσκείμενες στη βάση τυ γωνίες θα είναι ίσες άρα MOB MBO. Όμως η γωνία ΒΜΑ είναι εξωτερική τυ τριγώνυ ΒΜΟ άρα θα ισχύει: ΒΜA MOB MBO BMA 2MOB 1 Ομίως έχυμε ότι ΓΜ ΟΜ δηλαδή τ τρίγων ΓΟΜ είναι ισσκελές με βάση την ΟΓ. Οπότε ι πρσκείμενες στη βάση τυ γωνίες θα είναι ίσες άρα MOΓ MΓO. Όμως η γωνία ΓΜΑ είναι εξωτερική τυ τριγώνυ ΓΜΟ άρα θα ισχύει: ΓΜA ΓOB ΜΓO ΓMA 2MOΓ 2 Πρσθέτντας κατά μέλη τις 1 και 2 έχυμε ότι: ΑΣΚΗΣΗ (2_539) ΒΜA ΓΜA 2MOB 2MOΓ BMΓ 2x O y o o Δίνεται τρίγων ΑΒΓ με Β 4 και Γ 6. Επιπλέν, τα σημεία Δ, Ε και Ζ είναι τα μέσα των πλευρών τυ ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστιχα. α) Να υπλγίσετε τη γωνία A τυ τριγώνυ ΑΒΓ. β) Να απδείξετε ότι BΔΕ EZΓ 8. (Μνάδες 8) (Μνάδες 9) 118

119 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια γ) Να υπλγίσετε τη γωνία DEΖ (Μνάδες 8) α) Στ τρίγων ΑΒΓ είναι: o o o o o Α B Γ 18 A A 8 β) Τ ευθύγραμμ τμήμα ΔΕ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΑΓ και ΑΒ άρα είναι παράλληλ στην ΒΓ. Ομίως τ ευθύγραμμ τμήμα ΖΕ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΑΒ άρα είναι παράλληλ στην ΑΓ, πότε τ ΔΓΖΕ έχει τις απέναντι πλευρές τυ ίσες άρα είναι παραλληλόγραμμ. Επίσης είναι: o BΔΕ Α 8 ως εντός εκτός και επί τ αυτά μέρη o ΕΖΓ Α 8 ως εντός εκτός και επί τ αυτά μέρη γ) Επειδή τ ΔΓΖΕ είναι παραλληλόγραμμ ι απέναντι γωνίες τυ θα είναι ίσες, δηλαδή o ΔΕΖ Α 8 ΑΣΚΗΣΗ (2_559) Δίνεται ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ A 9. Έστω Δ σημεί της πλευράς ΑΓ τέτι ώστε, η διχτόμς ΔΕ της γωνίας AΔΒ να είναι παράλληλη στην πλευρά ΒΓ. α) Να απδείξετε ότι τ τρίγων ΒΔΓ είναι ισσκελές. (Μνάδες 1) β) Αν AΔΒ 6, I. να υπλγίσετε τη γωνία Γ. II. να απδείξετε ότι ΒΓ 2ΑΒ (Μνάδες 8) (Μνάδες 7) 119

120 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια α) Είναι: BΔΕ ΕΔΑ BΔΕ ΔBΓ ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΔΕ, ΒΓ πυ τέμννται από την ΔΒ Γ ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΔΕ, ΒΓ πυ τέμννται από την ΑΓ ΕΔΑ γιατί η ΔΕ είναι διχτόμς της γωνίας ΑΔΒ Άρα από τις παραπάνω σχέσεις έχυμε ότι ΔBΓ Γ δηλαδή τ τρίγων ΒΔΓ έχει τις πρσκείμενες στη βάση τυ γωνίες ίσες, άρα είναι ισσκελές. β) i) Αν είναι ΕΔΑ AΔΒ 6 τότε Γ τότε Γ 3 6 ΕΔΑ 3 2 και επειδή όπως είδαμε στ α) ερώτημα ii) Στ ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ είναι Γ 3 άρα η απέναντι πλευρά από την γωνία Γ θα ισύται με τ μισό της υπτείνυσας, δηλαδή: ΒΓ ΑΒ BΓ 2ΑΒ 2 ΑΣΚΗΣΗ (2_571) Σε ρθγώνι ΑΒΓΔ, αν Μ και Ν είναι τα μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντίστιχα, να απδείξετε ότι: α) ΜΔ=ΜΓ. (Μνάδες 12) β) Η ευθεία ΜΝ είναι μεσκάθετς τυ τμήματς ΓΔ. (Μνάδες 13 ) 12

121 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια α) Συγκρίνυμε τα ρθγώνια τρίγωνα ΑΔΜ και ΒΓΜ τα πία έχυν: i) ΑΔ ΒΓ απέναντι πλευρές ρθγωνίυ ii) AM MB από υπόθεση Άρα τα τρίγωνα έχυν τις κάθετες πλευρές τυς ίσες μια πρς μια, άρα είναι ίσα. β) Αφύ ΜΔ ΜΓ τ Μ ισαπέχει από τα άκρα τυ ΓΔ άρα βρίσκεται στη μεσκάθετ τυ ΓΔ. Τ Ν είναι τ μέσ τυ ΓΔ επμένως η ευθεία ΜΝ είναι η μεσκάθετς τυ ΓΔ. ΑΣΚΗΣΗ (2_573) Θεωρύμε παραλληλόγραμμ ΑΒΓΔ και Α, Γ ι πρβλές των κρυφών Α και Γ στη διαγώνι ΒΔ. Αν τα σημεία Α και Γ δεν ταυτίζνται, να απδείξετε ότι: α) ΑΑ // ΓΓ (Μνάδες 8) β) ΑΑ =ΓΓ (Μνάδες 1) β) Τ τετράπλευρ ΑΓ ΓΑ είναι παραλληλόγραμμ. (Μνάδες 7) α) Τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΑ' και ΓΓ' είναι κάθετα και τα δυ στην ίδια ευθεία ΒΔ, άρα είναι μεταξύ τυς παράλληλα δηλαδή ΑΑ // ΓΓ β) Συγκρίνυμε τα ρθγώνια τρίγωνα ΑΑ Δ και ΓΓ Β τα πία έχυν: i) ΑΔ ΒΓ γιατι είναι απέναντι πλευρές παραλληλγράμμυ 121

122 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια ii) AΔΑ' ΓΒΓ' ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ευθειών ΑΔ, ΒΓ πυ τέμννται από την ΒΔ. Άρα τα τρίγωνα ΑΑ Δ και ΓΓ Β έχυν τις υπτείνυσες και μια ξεία γωνία ίσες μια πρς μια, άρα είναι ίσα. Οπότε ΑΑ ΓΓ' γ) Από τα ερωτήματα α) και β) έχυμε ότι ΑΑ ΓΓ' και ΑΑ // ΓΓ δηλαδή τ τετράπλευρ ΑΑ ΓΓ έχει δυ απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες άρα είναι παραλληλόγραμμ. ΑΣΚΗΣΗ (2_596) Θεωρύμε ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ Α 9 με γωνία Β 2Γ. Από τ μέσ Μ της ΒΓ φέρνυμε ευθεία παράλληλη στην ΑΒ, η πία τέμνει την πλευρά ΑΓ στ Δ. α) Να υπλγίσετε I. τις γωνίες Β και Γ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. II. τις γωνίες τυ τριγώνυ ΑΜΓ. β) Να απδείξετε ότι η ευθεία ΜΔ είναι μεσκάθετς τυ ΑΓ. (Μνάδες 7) (Μνάδες 9) (Μνάδες 9) α) i) Στ τρίγων ΑΒΓ έχυμε: Οπότε και Α B Γ Γ Γ 18 3Γ 9 Γ 3 B 23 6 ii) Τ ΑΜ είναι διάμεσς πρς την υπτείνυσα τυ ρθγωνίυ τριγώνυ ΑΒΓ, άρα: ΒΓ ΑΜ ΜΓ ΜΒ 2 Οπότε τ τρίγων ΑΜΓ είναι ισσκελές άρα MAΓ Γ 3 122

123 Στ τρίγων ΑΜΓ έχυμε: Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια ΜΑΓ ΑΜΓ Γ 18 3 ΑΜΓ 3 18 ΑΜΓ 12 β) Επειδή ΜΔ AB και ΑΒ AΓ θα είναι και ΜΔ AΓ. Άρα τ ΜΔ είναι ύψς από την κρυφή τυ ισσκελύς τριγώνυ ΑΜΓ πότε είναι μεσκάθετς τυ ΑΓ. ΑΣΚΗΣΗ (2_513) Δίνεται τρίγων ΑΒΓ με Α 4 και Β 7. Τα σημεία Δ και Ε είναι τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ με ΔΕ =9 και ΕΓ=16. α) Να απδείξετε ότι τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές και να βρείτε πιες είναι ι ίσες πλευρές τυ. (Μνάδες 8) β) Να απδείξετε ότι ΒΓ=18. (Μνάδες 8) γ) Να υπλγίσετε την περίμετρ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. (Μνάδες 9) α) Στ τρίγων ΑΒΓ είναι: Α Β Γ Γ18 Γ 7 Άρα είναι B Γ πότε τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές με ΑΒ ΑΓ β) Τ ΔΕ ενώνει τα μέσα δυ πλευρών τυ τριγώνυ ΑΒΓ άρα θα είναι: ΒΓ ΔΕ BΓ 2ΔΕ 29 BΓ 18 2 γ) Είναι: AB AΓ Άρα η περίμετρς Π τυ τριγώνυ ΑΒΓ είναι: Π ΑΒ ΑΓ ΒΓ

124 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια ΑΣΚΗΣΗ (2_514) Θεωρύμε παραλληλόγραμμ ΑΒΓΔ. Αν ι διχτόμι των απέναντι γωνιών Δ και Β τέμνυν τις πλευρές ΑΒ και ΓΔ στα σημεία Ε και Ζ αντίστιχα, να απδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΒΓΖ είναι ίσα. (Μνάδες 12) β) Τ τετράπλευρ ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμ. (Μνάδες 13) α) Είναι Β Δ ως απέναντι γωνίες παραλληλγράμμυ. Άρα και Β1 Δ 1 1 μισά των ίσων γωνιών Β και Δ. Συγκρίνυμε τα τρίγωνα ΑEΔ και ΒΖΓ τα πία έχυν: i) ΑΔ ΒΓ ως απέναντι πλευρές παραλληλγράμμυ ii) A Γ ως απέναντι γωνίες παραλληλγράμμυ iii) Β1 Δ1 από τη σχέση 1 ως τα Επμένως τα τρίγωνα ΑEΔ και ΒΖΓ έχυν μια πλευρά και τις πρσκείμενες γωνίες ίσες άρα είναι ίσα. β) Επειδή τα τρίγωνα ΑEΔ και ΒΖΓ είναι ίσα θα έχυν όλα τα στιχεία τυς ίσα άρα θα είναι και ΔΕ ΒΖ 2 και ΑΕ ΓΖ. Όμως ΑΒ ΓΔ ως απέναντι πλευρές παραλληλγράμμυ άρα και ΔΖ ΒΕ 3 ως διαφρά ίσων τμημάτων. Από τις σχέσεις 2, 3 συμπεραίνυμε ότι τ τετράπλευρ ΔΖΒΕ έχει τις απέναντι πλευρές τυς ανά δύ ίσες, άρα είναι παραλληλόγραμμ. ΑΣΚΗΣΗ (2_518) Στις πλευρές ΑΔ και ΒΓ παραλληλγράμμυ ΑΒΓΔ θεωρύμε σημεία E και Z, τέτια ώστε ΑE=ΓZ. Αν η ευθεία ΖΕ τέμνει τις πρεκτάσεις των πλευρών ΑΒ και ΓΔ στα σημεία H και Θ, να απδείξετε ότι: α) HBZ EΔΘ (Μνάδες 8) 124

125 β) BZH ΔΕΘ γ) ΒΗ ΘΔ Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια (Μνάδες 8) (Μνάδες 9) α) Τ ABΓΔ είναι παραλληλόγραμμ άρα έχει τις απέναντι γωνίες τυ ίσες. Οπότε θα είναι και HBZ EΔΘ ως παραπληρωματικές ίσων γωνιών. β) Είναι: AEZ ΓΖΕ ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΔ, ΒΓ πυ τέμννται από την ΕΖ Άρα είναι και BZH γ) Είναι AE ΓΖ ΑΔ,ΑΕ και ΓΒ, ΓΖ ΔΕΘ ως κατακρυφήν ίσων γωνιών. από υπόθεση άρα και ΔΕ ΒΖ 1 ως διαφρά των ίσων τμημάτων Συγκρίνυμε τα τρίγωνα ΒΖΗ και ΔΕΘ τα πία έχυν: i) AΔΕ ΒΖ από σχέση (1) ii) HBZ EΔΘ από τ ερώτημα α) iii) BZH ΔΕΘ από τ ερώτημα β) ΑΣΚΗΣΗ (2_5111) Δίνεται τρίγων ΑΒΓ με πλευρών ΒΓ και ΑΓ αντίστιχα, τέτια ώστε α) Να δικαιλγήσετε γιατί ΔΕ AB β) Να υπλγίσετε I. τη γωνία x II. τις γωνίες Α και Γ τυ τριγώνυ ΑΒΓ 5. Έστω ότι τα σημεία Δ και Ε είναι τα μέσα των 7. (Μνάδες 8) (Μνάδες 8) (Μνάδες 9) 125

126 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια α) Τ ΔΕ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΑΓ τυ τριγώνυ ΑΒΓ άρα θα είναι: ΑΒ ΔΕ AB και ΔΕ 2 β) i) x 5 ως εντός εκτός και επί τ αυτά μέρη των παραλλήλων ΑΒ, ΔΕ πυ τέμννται από την ΒΓ. ii) Α 7 ως εντός εκτός και επί τ αυτά μέρη των παραλλήλων ΑΒ, ΔΕ πυ τέμννται από την ΑΓ. Στ τρίγων ΑΒΓ είναι: Α Β Γ Γ18 Γ 6 ΑΣΚΗΣΗ (2_5113) Έστω τρίγων ΑΒΓ με Δ και Ε τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα, ΑΔ=9, ΕΓ=1 και ΒΓ=3. α) Να υπλγίσετε την περίμετρ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. (Μνάδες 9) β) Να απδείξετε ότι τ τετράπλευρ ΔΕΓΒ είναι τραπέζι. (Μνάδες 8) γ) Να υπλγίσετε τ μήκς x τυ τμήματς ΔΕ. (Μνάδες 8) 126

127 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια α) Είναι: ΒΔ ΑΔ 9 και ΑΕ ΕΓ 1 αφύ τα Δ και Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα. Οπότε η περίμετρς Π τυ τριγώνυ ΑΒΓ είναι: Π ΑΒ ΒΓ ΑΓ β) Τ ΔΕ ενώνει τα μέσα δυ πλευρών τυ τριγώνυ ΑΒΓ άρα θα είναι: ΔΕ BΓ και επειδή ι πλευρές ΒΔ και ΓΕ πρφανώς τέμννται στ Α, τ ΔΕΓΒ είναι τραπέζι. γ) Τ ΔΕ ενώνει τα μέσα δυ πλευρών τυ τριγώνυ ΑΒΓ άρα θα είναι: ΒΓ 3 ΔΕ ΑΣΚΗΣΗ (2_5114) Στ τρίγων ΑΒΓ τυ παρακάτω σχήματς τα σημεία Δ και Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα, ΑE=8, ΕΔ=9 και ΔΒ=1. α) Να απδείξετε ότι τ τετράπλευρ ΔΕΓΒ είναι τραπέζι. (Μνάδες 8) β) Να υπλγίσετε τ μήκς της πλευράς ΒΓ. (Μνάδες 8) γ) Να συγκρίνετε τις περιμέτρυς τυ τριγώνυ ΑΒΓ και τυ τετράπλευρυ ΔΕΓΒ. (Μνάδες 9) α) Τ ΔΕ ενώνει τα μέσα δυ πλευρών τυ τριγώνυ ΑΒΓ άρα θα είναι: ΔΕ BΓ και επειδή ι πλευρές ΒΔ και ΓΕ πρφανώς τέμννται στ Α, τ ΔΕΓΒ είναι τραπέζι. β) Τ ΔΕ ενώνει τα μέσα δυ πλευρών τυ τριγώνυ ΑΒΓ άρα θα είναι: ΒΓ ΔΕ BΓ 2ΔΕ 29 BΓ 18 2 γ) Είναι: ΑΔ ΔΒ 1 και ΕΓ ΑΕ 8 αφύ τα Δ, Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα. Οπότε ΑΒ 2 και ΑΓ

128 Η περίμετρς τυ ΑΒΓ είναι: ΠΑΒΓ ΑΒ ΒΓ ΓΑ Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Η περίμετρς τυ ΔΕΓΒ είναι: ΠΔΕΓΒ ΔΕ ΕΓ ΓΒ ΒΔ Άρα η περίμετρς τυ ΑΒΓ είναι μεγαλύτερη από την περίμετρς τυ ΔΕΓΒ ΑΣΚΗΣΗ (2_5117) Δίνεται τρίγων ΑΒΓ. Τα σημεία Δ και Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα. Επιπλέν ισχύυν ΑΔ ΕΔ ΔΒ με ΑΕ 8 και ΔΒ 1. α) Να απδείξετε ότι τ τρίγων ΑΕΒ είναι ρθγώνι. Μνάδες 8 β) Να απδείξετε ότι ΒΓ 2. Μνάδες 8 γ) Να υπλγίσετε την περίμετρ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. Μνάδες 9 α) Στ τρίγων ΑΕΒ τ Δ είναι μέσ της ΑΒ, άρα η ΕΔ είναι διάμεσς με ΕΔ ΔΒ

129 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Επίσης αφύ τ Δ είναι μέσ της ΑΒ θα ισχύει ΑΒ ΑΒ ΑΔ ΔΒ 1 ΑΒ ΑΒ Παρατηρώ ότι ΕΔ, δηλαδή η διάμεσς είναι ίση με τ μισό της πλευράς στην 2 πία αντιστιχεί, επμένως τ τρίγων ΔΕΒ είναι ρθγώνι με υπτείνυσα την ΑΒ και ρθή γωνία την Ε. β) Γνωρίζυμε ότι τ ευθύγραμμ τμήμα πυ ενώνει τα μέσα δυ πλευρών ενός τριγώνυ είναι παράλληλ και ίσ με τ μισό της τρίτης πλευράς, πότε ΒΓ ΔΕ / / (1) 2 Επμένως ΒΓ ΒΓ ΔΕ 1 ΒΓ γ) Επειδή τ Ε είναι μέσ της ΑΓ θα ισχύει ΑΓ ΑΕ ΕΓ, 2 άρα ΑΓ 8 ΑΓ 16 2 Οπότε η περίμετρς Π τυ τριγώνυ ΑΒΓ θα είναι: Π ΑΒ ΒΓ ΑΓ Π Π 56 ΑΣΚΗΣΗ (2_5118) Δίνεται τρίγων ΑΒΓ. Τα σημεία Δ και Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα. Επιπλέν ισχύυν ΑΔ ΕΔ ΔΒ με ΑΕ 8 και ΔΒ 1. α) Να απδείξετε ότι τ τρίγων ΑΕΒ είναι ρθγώνι. Μνάδες 6 β) Να απδείξετε ότι τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές. Μνάδες 1 γ) Να υπλγίσετε την περίμετρ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. Μνάδες 9 129

130 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια α) Στ τρίγων ΑΕΒ τ Δ είναι μέσ της ΑΒ, άρα η ΕΔ είναι διάμεσς με ΕΔ ΔΒ 1. Επίσης αφύ τ Δ είναι μέσ της ΑΒ θα ισχύει ΑΒ ΑΒ ΑΔ ΔΒ 1 ΑΒ ΑΒ Παρατηρώ ότι ΕΔ, δηλαδή η διάμεσς είναι ίση με τ μισό της πλευράς στην 2 πία αντιστιχεί, επμένως τ τρίγων ΔΕΒ είναι ρθγώνι με υπτείνυσα την ΑΒ και ρθή γωνία την Ε. β) Γνωρίζυμε ότι τ ευθύγραμμ τμήμα πυ ενώνει τα μέσα δυ πλευρών ενός τριγώνυ είναι παράλληλ και ίσ με τ μισό της τρίτης πλευράς, πότε ΒΓ ΔΕ / / (1) 2 Επμένως ΒΓ ΒΓ ΔΕ 1 ΒΓ Επειδή ΑΒ ΒΓ 2 τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές. γ) Επειδή τ Ε είναι μέσ της ΑΓ θα ισχύει 13

131 άρα Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια ΑΓ ΑΕ ΕΓ, 2 ΑΓ 8 ΑΓ 16 2 Οπότε η περίμετρς Π τυ τριγώνυ ΑΒΓ θα είναι : Π ΑΒ ΒΓ ΑΓ Π Π 56. ΑΣΚΗΣΗ (2_5124) Στ ακόλυθ σχήμα ισχύυν ΑΒ ΒΔ ΑΓ ΓΕ 5, ΒΚ ΑΔ και ΓΛ ΑΕ. α) Να πρσδιρίσετε, ως πρς τις πλευρές, τ είδς των τριγώνων ΑΒΔ και ΑΓΕ. Να αιτιλγήσετε την απάντησή σας. Μνάδες 6 β) Να απδείξετε ότι τα σημεία Κ και Λ είναι τα μέσα των τμημάτων ΑΔ και ΑΕ. Μνάδες 1 γ) Αν η περίμετρς τυ τριγώνυ ΑΒΓ είναι 12, να υπλγίσετε τ τμήμα ΚΛ. Μνάδες 9 α) Επειδή ΑΒ ΒΔ τ τρίγων ΑΒΔ είναι ισσκελές. Όμια στ τρίγων ΑΓΕ έχω ΑΓ ΓΕ, άρα και τ ΑΓΕ είναι ισσκελές. 131

132 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια β) Στ ισσκελές τρίγων ΑΒΔ η ΒΚ είναι ύψς, επμένως θα είναι διχτόμς και διάμεσς, άρα Κ μέσ της ΑΔ. Όμια στ ισσκελές τρίγων ΑΓΕ η ΓΛ είναι ύψς, επμένως θα είναι διχτόμς και διάμεσς, άρα Λ μέσ της ΑΕ. γ) Η περίμετρς, Π τυ ΑΒΓ είναι 12, άρα Π ΑΒ ΑΓ ΒΓ ΑΒ ΑΓ ΒΓ ΒΓ 12 ΒΓ 2. Τα Κ, Λ είναι μέσα των ΑΔ, ΑΕ, πότε στ τρίγων ΑΔΕ τ ευθύγραμμ τμήμα ΚΛ ενώνει τα μέσα δύ πλευρών, άρα θα ισχύει ΔΕ ΒΔ ΒΓ ΓΕ ΚΛ ΑΣΚΗΣΗ (2_5129 ) Στ παρακάτω σχήμα είναι ε 1/ /ε 2 και τ σημεί Ο είναι τ μέσ της ΒΔ. Να απδείξετε ότι : α) τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ είναι ίσα και να γράψετε τα στιχεία τυς. Μνάδες 12 β) τ ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμ. Μνάδες 13 α) Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ τα πία έχυν : 132

133 ΟΒ ΟΔ (από υπόθεση). ΑΟΒ ΓΟΔ (ως κατακρυφήν γωνίες). Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια ΑΒΟ ΓΔΟ (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ και ΓΔ πυ τέμννται από την ΒΔ). Τα τρίγωνα έχυν μια πλευρά και τις πρσκείμενες σε αυτή γωνίες μια πρς μια ίσες, άρα θα είναι ίσα, πότε θα έχυν και τα υπόλιπα αντίστιχα στιχεία τυς ίσα. Δηλαδή ΟΑ ΟΓ, ΑΒ ΓΔ και ΒΑΟ ΔΓΟ β) Στ τετράπλευρ ΑΒΓΔ έχω ΑΒ/ / ΓΔ (δυ απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες, άρα ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμ. ΑΣΚΗΣΗ (2_5132) Στ παρακάτω σχήμα είναι ε 1/ /ε 2 και ΑΒ 6. α) Να υπλγίσετε τις γωνίες φ και ω. β) Να πρσδιρίσετε τ είδς τυ τριγώνυ ΑΒΚ ως πρς τις γωνίες τυ. γ) Να υπλγίσετε τ μήκς της ΑΚ, αιτιλγώντας την απάντησή της. Μνάδες 1 Μνάδες 7 Μνάδες 8 133

134 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια α) Είναι ω Α 6 ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων 1 πυ τέμννται από την ΑΒ. Επειδή Β 9 θα είναι ΒΚ ε2 και αφύ ε 1/ /ε 2 θα είναι και ΒΚ ε1, άρα ε και ε 2 φ 9 β) Επειδή φ Κ 9 τ τρίγων ΑΒΚ είναι ρθγώνι. γ) Από άθρισμα γωνιών τριγώνυ στ ΑΒΚ έχω: Α Β Κ 18 6 Β 9 18 Β 3 Δηλαδή στ ρθγώνι τρίγων ΑΒΚ μια γωνία τυ είναι 3, άρα η απέναντι πλευρά θα είναι τ μισό της υπτείνυσας, άρα ΑΒ 6 ΑΣΚΗΣΗ (2_5142) ΑΚ ΑΚ ΑΚ Δίνεται τρίγων ΑΒΓ με Α 8 και Β 2 Γ, και ΑΔ διχτόμς της γωνίας Α. α) να υπλγίσετε τις γωνίες Β και Γ. Μνάδες 12 β) Φέρυμε από τ Δ ευθεία παράλληλη στην ΑΒ, πυ τέμνει την ΑΓ στ Ε. Να υπλγίσετε τις γωνίες ΑΔΕ και ΕΔΓ. Μνάδες

135 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια α) Στ τρίγων ΑΒΓ από άθρισμα γωνιών τριγώνυ έχω Οπότε και Α Β Γ Γ Γ 18 Γ 4 Β 2 Γ Β 2 4 Β 6 β) Επειδή η ΑΔ είναι διχτόμς της γωνίας Α θα έχω Α ΒΑΔ ΔΑΓ ΒΑΔ ΔΑΓ 4 2 Είναι ΑΔΕ ΒΑΔ 4 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ, ΔΕ πυ τέμννται από την ΑΔ. Στ τρίγων ΑΔΓ από άθρισμα γωνιών τριγώνυ έχυμε : ΑΣΚΗΣΗ (2_5149 ) ΔΑΓ ΑΔΓ Γ 18 4 ΑΔΓ 4 18 ΑΔΓ 1 ΑΔΕ ΕΔΓ 1 4 ΕΔΓ 1 ΕΔΓ 6 Δίνεται ισόπλευρ τρίγων ΑΒΓ. Φέρυμε την εξωτερική διχτόμ Αx της γωνίας Α και από τ σημεί Γ την κάθετ ΓΔ στην Ax. Τα σημεία Ε και Ζ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα. Να απδείξετε ότι : α) τ τρίγων ΑΖΔ είναι ισόπλευρ. Μνάδες 12 β) τ τετράπλευρ ΑΔΖΕ είναι ρόμβς. Μνάδες

136 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια. α) Τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισόπλευρ, άρα Α Β Γ 6 Όμως Επίσης ΑΔ διχτόμς της εξ εξ εξ Α A 18 6 A 18 A 12 Aεξ xay xaγ xay xaγ 6 2 Στ ρθγώνι τρίγων ΑΔΕ ( Δ 9, αφύ ΓΔ Αx ) τ Ζ είναι μέσ της ΑΓ άρα η ΔΖ είναι διάμεσς ρθγωνίυ τριγώνυ και θα είναι ίση με τ μισό της υπτείνυσας δηλαδή 136

137 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια ΑΓ ΑΓ ΔZ ΔZ AZ (1) 2 2 Επίσης στ ρθγώνι τρίγων ΑΔΕ έχω ΑΓ xay 6 AΓΔ 3 ΑΔ (2) 2 Από (1) και (2) έχω ότι ΑΔ ΔZ AZ πότε τ τρίγων ΑΔΖ είναι ισόπλευρ. β) Είναι. ΒΓΔ ΒΓΑ ΑΓΔ Δηλαδή η ΓΔ είναι κάθετη στις Αx και ΒΓ άρα ΒΓ / /Αx Στ τρίγων ΑΒΓ τα Ε, Ζ είναι μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ, πότε ΒΓ / /ΕΖ Είναι Β Ε 6 ως εντός, εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΒΓ, ΕΖ πυ τέμννται από την ΑΒ Επίσης Γ Ζ 6 ως εντός, εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΒΓ, ΕΖ πυ τέμννται από την ΑΓ. Επμένως τ τρίγων ΑΔΕ είναι ισόπλευρ αφύ έχει όλες τις γωνίες τυ ίσες, πότε θα έχει και όλες τις πλευρές τυ ίσες.άρα ΑΕ ΕZ AZ Στ τετράπλευρ ΑΔΖΕ έχω : ΑΔ ΔΖ ΖΕ ΕΑ, δηλαδή όλες ι πλευρές τυ ίσες, άρα είναι ρόμβς. ΑΣΚΗΣΗ (2_5162) Σε παραλληλόγραμμ ΑΒΓΔ ( AB/ /ΓΔ ) με AB ΒΓ φέρυμε από τις κρυφές Α και Γ κάθετυς στην διαγώνι ΒΔ, ι πίες την τέμνυν σε διαφρετικά σημεία Ε και Ζ αντίστιχα. Να απδείξετε ότι : α) AΕ ΓΖ. Μνάδες 15 β) Τ τετράπλευρ ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμ. Μνάδες 1 α) Συγκρίνω τα ρθγώνια τρίγωνα ΑΕΔ και ΓΖΒ ( Ε Ζ 9 ) τα πία έχυν : ΑΔ ΒΓ (ως απέναντι πλευρές παραλληλγράμμυ) ΒΖΓ ΔΕΑ (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΔ, ΒΓ πυ τέμννται από την ΒΔ) Τα τρίγωνα έχυν μια ξεία γωνία ίση και από μια κάθετη πλευρά, άρα θα είναι ίσα, πότε θα έχυν και τα υπόλιπα αντίστιχα στιχεία τυς ίσα. 137

138 Δηλαδή θα έχω ΔΕ Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια BΖ, ΑΕ ΓΖ και ΔΑΕ ΒΓΖ β) Οι ΑΕ, ΓΖ είναι κάθετες στην ίδια ευθεία (στην ΒΔ) άρα μεταξύ τυς παράλληλες και επειδή είναι και ίσες (λόγω της (1)) τ τετράπλευρ ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμ. ΑΣΚΗΣΗ (2_5167) Θεωρύμε ισσκελές τραπέζι ΑΒΓΔ ( AB/ /ΓΔ ) με ΑΒ ΓΔ και κρυφές Α και Β φέρυμε τα ύψη τυ ΑΕ και ΒΖ. α) Να υπλγίσετε τις γωνίες τυ τραπεζίυ. β) Να απδείξετε ότι ΑΕ ΕΔ ΒΖ ΓΖ Β 135. Από τις Μνάδες 1 Μνάδες 15 α) Επειδή τ τραπέζι είναι ισσκελές ι γωνίες των βάσεων είναι ίσες μεταξύ τυς, πότε Β Α 135 και Γ Δ Επίσης ι γωνίες Β,Γ είναι παραπληρωματικές (ως εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΑΒ, ΓΔ πυ τέμννται από την ΒΔ), άρα πότε και Δ 45 Β Γ Γ 18 Γ 45, 138

139 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια β) Στ ρθγώνι τρίγων ΑΕΔ ι ξείες γωνίες είναι συμπληρωματικές, άρα ΔΑΕ Δ 9 ΔΑΕ 45 9 ΔΑΕ 45, πότε στ ΑΕΔ έχω ΔΑΕ Δ 45, άρα ισσκελές, επμένως ΑΕ ΕΔ (1) Όμια στ ρθγώνι ΒΓΖ έχω ΓΒΖ Γ 9 ΓΒΖ 45 9 ΓΒΖ 45, πότε τ ΒΓΖ ισσκελές, άρα ΒΖ ΓΖ (2) Επειδή τα ΑΕ και ΒΖ είναι ύψη τυ τραπεζίυ, θα είναι ίσα μεταξύ τυς δηλαδή ΑΕ ΒΖ (3) Από τις σχέσεις (1), (2) και (3) έχω ΑΕ ΕΔ ΒΖ ΓΖ ΑΣΚΗΣΗ (2_5554) Δίνεται ξυγώνι τρίγων ΑΓΒ. Φέρυμε από την κρυφή Α ευθεία (ε) παράλληλη στη ΒΓ. Η μεσκάθετς της πλευράς ΑΒ τέμνει την (ε) στ Δ και την ΒΓ στ Ε. α) Να απδείξετε ότι ΔΑ ΔΒ και ΕΑ ΕΒ. Μνάδες 6 β) Αν Μ είναι τ μέσ τυ ΑΒ, να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΜΔ και ΕΜΒ. Μνάδες 1 γ) Να απδείξετε ότι τ τετράπλευρ ΑΔΒΕ είναι ρόμβς. Μνάδες 9 α) Επειδή τ Δ είναι σημεί της μεσκαθέτυ τυ ΑΒ θα ισαπέχει από τα άκρα τυ, πότε ΔΑ ΔΒ Όμια τ Ε είναι σημεί της μεσκαθέτυ τυ ΑΒ άρα θα ισαπέχει από τα άκρα τυ, πότε ΕΑ ΕΒ β) Συγκρίνω τα τρίγωνα ρθγώνια ΑΜΔ και ΕΜΒ ( ΑΜΔ ΒΜΕ 9 ) τα πία έχυν : ΑΜ ΒΜ (διότι Μ μέσν της ΑΒ) ΑΔΜ ΑΒΓ (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΔ, ΒΓ πυ τέμννται από την ΕΔ) 139

140 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Τα τρίγωνα έχυν μια ξεία γωνία ίση και από μια κάθετη πλευρά, άρα θα είναι ίσα, πότε θα έχυν και τα υπόλιπα αντίστιχα στιχεία τυς ίσα. Δηλαδή θα έχω MΔ ME, ΑΔ ΒΕ και ΜΑΔ ΜΒΕ γ) Επειδή ΑΔ / / ΒΕ τ ΑΔΒΕ είναι παραλληλόγραμμ στ πί ι διαγώνιι τυ ΑΒ και ΔΕ τέμννται κάθετα, άρα ρόμβς. Β τρόπς Είναι ΑΔ ΔΒ ΒΕ ΕΑ, δηλαδή τ ΑΔΒΕ έχει όλες τις πλευρές τυ ίσες μεταξύ τυς άρα ρόμβς. ΑΣΚΗΣΗ (2_5557) Σε τρίγων ΑΒΓ ισχύει ΑΓ 12 και Α 3Γ. α) Να απδείξετε ότι τ τρίγων ΑΒΓ είναι ρθγώνι και να υπλγίσετε τις γωνίες τυ. Μνάδες 15 β) Αν η πλευρά ΒΓ 2 cm, να βρείτε τ μήκς της ΑΒ. Μνάδες 1 α) Είναι πότε και Α Γ 12 3Γ Γ 12 4 Γ 12 Γ 3, Α 3Γ Α 33 Α 9, άρα ρθγώνι. Από άθρισμα γωνιών τριγώνυ στ τρίγων ΑΒΓ έχω : Α Β Γ 18 9 Β 3 18 Β 6 β) Επειδή ΒΓ 2 Γ 3 ΑΒ ΑΒ ΑΒ 1 cm

141 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια ΑΣΚΗΣΗ (2_5565) Δίνεται ισσκελές τραπέζι ΑΒΓΔ ( ΑΒ/ /ΓΔ ) με ΑΒ 6, ΒΓ 4 και Γ 6. Δίννται επίσης τα ύψη ΑΕ και ΒΖ από τις κρυφές Α και Β αντίστιχα. α) Να υπλγίσετε τις υπόλιπες γωνίες τυ τραπεζίυ ΑΒΓΔ. Μνάδες 6 β) Να απδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕΔ, ΒΖΓ είναι ίσα. Μνάδες 1 γ) Να υπλγίσετε την περίμετρ τυ ΑΒΓΔ. Μνάδες 9 α) Επειδή τ τραπέζι είναι ισσκελές θα ισχύει Γ Δ 6, Α Β Γ Β 18 6 Β 18 Β 12 (ως εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΑΒ, ΓΔ πυ τέμννται από την ΒΓ). Άρα Α Β 6 και β) Συγκρίνω τα ρθγώνια τρίγωνα ΑΕΔ και ΒΖΓ ( Ε Ζ 9 ), τα πία έχυν : ΑΔ ΒΓ (ως απέναντι πλευρές ισσκελύς τραπεζίυ) Δ Γ (ως γωνίες βάσης ισσκελύς τραπεζίυ) Τα τρίγωνα έχυν μια ξεία γωνία ίση και τις υπτείνυσες ίσες, άρα θα είναι ίσα, πότε θα έχυν και τα υπόλιπα αντίστιχα στιχεία τυς ίσα. Δηλαδή θα έχω : ΔΑΕ ΓΒΖ, ΔΕ ΓΖ και ΑΕ ΒΖ (είναι ίσα και ως ύψη τραπεζίυ). γ) Τ τετράπλευρ ΑΒΖΕ είναι ρθγώνι αφύ έχει όλες τις γωνίες ρθές, πότε θα είναι ΑΒ ΕΖ 6 (ως απέναντι πλευρές ρθγωνίυ) Στ ρθγώνι τρίγων ΒΓΖ έχω άρα ΓΒΖ Γ 9 ΓΒΖ 6 9 ΓΒΖ 3, ΒΓ 4 ΓΖ ΓΖ ΓΖ 2,

142 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια πότε και ΔΕ ΓΖ 2 Επμένως για την περίμετρ Π τυ τραπεζίυ θα έχω Π ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΑ 46 ΓΖ ΖΕ ΕΔ ΑΣΚΗΣΗ (2_5566 ) Δίνεται τραπέζι ΑΒΓΔ ( ΑΒ/ /ΓΔ ) με ΑΒ ΒΓ 4, επίσης τ ύψς ΒΕ από την κρυφή Β. α) Να υπλγίσετε τις άλλες δυ γωνίες τυ τραπεζίυ ΑΒΓΔ. Α 9 και Γ 6. Δίνεται Μνάδες 8 β) Να απδείξετε ότι 2ΕΓ ΒΓ. Μνάδες 9 γ) Αν Μ, Ν τα μέσα των πλευρών ΑΔ, ΒΓ αντίστιχα να βρείτε τ μήκς τυ ευθυγράμμυ τμήματς ΜΝ. Μνάδες 8 α) Επειδή ΑΔ ΓΔ θα είναι Α Δ 9 Από άθρισμα γωνιών τετράπλευρυ έχυμε ότι 142

143 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Α Β Γ Δ 36 9 Β Β 12 (Β τρόπς : Στ ρθγώνι τρίγων ΒΕΓ έχω Γ 6 ΓΒΕ 3,άρα (Γ τρόπς : Έχυμε, Β ΓΒΕ ΑΒΕ ). Β Γ 18 Β 6 18 Β 12 (ως εντός και επί τα αυτά). β) Στ ρθγώνι ΒΕΓ έχω άρα 1 Γ 6 Β 3, ΒΓ ΕΓ 2ΕΓ ΒΓ 2 γ) Τ ΑΒΖΕ είναι ρθγώνι αφύ έχει όλες τις γωνίες ρθές, πότε θα είναι ΑΒ ΔΕ 4 και από β) ερώτημα ΒΓ 4 ΕΓ Οπότε ΓΔ ΓΕ ΕΔ Επειδή τα Μ, Ν είναι μέσα των μη παράλληλων πλευρών τυ τραπεζίυ ΑΒΓΔ η ΜΝ θα είναι διάμεσς, πότε : ΑΒ ΓΔ 4 6 ΜΝ ΑΣΚΗΣΗ (2_5568) Δίνεται ισόπλευρ τρίγων ΑΒΓ. Στην πρέκταση της ΒΓ (πρς τ μέρς τυ Γ) θεωρύμε τμήμα ΓΔ ΒΓ. Φέρυμε τμήμα ΔΕ κάθετ στην ΑΔ στ σημεί της Δ, τέτι ώστε ΔΕ ΒΓ (Α και Ε στ ίδι ημιεπίπεδ ως πρς την ΒΔ). α) Να βρείτε τις γωνίες τυ τριγώνυ ΑΒΔ. Μνάδες 12 β) Να απδείξετε ότι ΑΒΔΕ παραλληλόγραμμ. Μνάδες

144 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια α) Τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισόπλευρ, πότε ΒΑΓ Β ΑΓΒ 6 Τ τρίγων ΑΓΔ είναι ισσκελές (αφύ ΓΔ ΒΓ ΑΓ ), άρα ΓΑΔ ΓΔΑ Στ τρίγων ΑΓΔ η γωνία ΑΓΒ είναι εξωτερική, πότε ΑΓΒ ΑΓΔ 18 6 ΑΓΔ 18 ΑΓΔ 12 και ΑΓΒ ΓΑΔ ΓΔΑ 2 ΓΑΔ 6 ΓΑΔ 3, πότε ΓΑΔ ΓΔΑ 3. β) Είναι ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΕ, πότε ΑΒ/ / ΔΕ, επμένως τ ΑΒΔΕ είναι παραλληλόγραμμ. ΑΣΚΗΣΗ (2_5569 ) Δίνεται ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ (με Α 9 ) και η διχτόμς της γωνίας Γ τέμνει την πλευρά ΑΒ στ σημεί Δ, τέτι ώστε ΓΔ ΔΒ 2 cm. Να απδείξετε ότι : α) Β 3. β) ΑΒ 3 cm Μνάδες 12 Μνάδες

145 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια α) Τ τρίγων ΓΒΔ είναι ισσκελές αφύ έχει ΓΔ ΔΒ, πότε Γ Β ΒΓΔ Β 2Β Γ 2 όμως ι ξείες γωνίες τυ ρθγωνίυ τριγώνυ είναι συμπληρωματικές, πότε β) Στ ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ έχω Β Γ 9 Β 2 Β 9 3Β 9 Β 3. Β 3 Γ 6 ΑΓΔ 3, πότε στ ρθγώνι τρίγων ΑΔΓ θα έχω ΓΔ ΒΔ ΑΔ ΑΔ 2 2 Είναι ΒΔ 3ΒΔ 32 ΑΒ ΑΔ ΔΒ ΒΔ 3 cm ΑΣΚΗΣΗ (2_5574) Δίνεται τρίγων ΑΒΓ στ πί ισχύει ΒΓ 2ΑΒ και έστω Μ τ μέσ της ΒΓ. Αν η ΑΔ είναι διάμεσς τυ τριγώνυ ΑΒΜ και Ε σημεί στην πρέκτασή της ώστε 145

146 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια ΑΔ ΔΕ. Να απδείξετε ότι: α) Τ τετράπλευρ ΑΒΕΜ είναι παραλληλόγραμμ. β) ΜΕ ΜΓ Μνάδες 12 Μνάδες 13 α) Επειδή ΑΔ ΔΕ τ Δ θα είναι μέσ της ΑΕ. Επίσης, από υπόθεση έχω ΑΔ διάμεσς τυ τριγώνυ ΑΒΓ, πότε τ Δ είναι μέσ της ΒΜ. Οπότε στ τετράπλευρ ΑΒΕΜ τ Δ είναι μέσ των διαγώνιών τυ ΑΕ και ΒΜ, δηλαδή ι διαγώνιι ΑΕ, ΒΜ διχτμύνται, άρα τ ΑΒΕΜ είναι παραλληλόγραμμ. β) Επειδή ΑΒΕΜ παραλληλόγραμμ ι απέναντι πλευρές τυ είναι ίσες, δηλαδή ΑΒ ΜΕ (1) Επίσης τ Μ είναι τ μέσ της ΒΓ, άρα 146

147 Από υπόθεση όμως έχω: Από τις σχέσεις (1),(2) έχω: Από τις σχέσεις (1),(4) έχω: Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια ΒΓ ΒΜ ΜΓ (2) 2 ΒΓ 2ΑΒ (3) ΒΜ ΜΓ ΑΒ (4) ΜΕ ΜΓ β) Από τη σχέση 1 βρίσκυμε 2 Α Γ 12 3Γ Γ 12 4Γ 12 Γ 3. Στ ρθγώνι τρίγων ΑΔΓ (αφύ τ ΑΔ είναι ύψς) η γωνία ΓΑΔ είναι συμπληρωματική της Οπότε Γ 3. Επιπλέν, η ΒΕ είναι διχτόμς και άρα ΓΑΔ 6. ΔΒΖ 3. Στ ρθγώνι τρίγων ΒΔΖ, η γωνία ΔΖΒ είναι συμπληρωματική της και άρα ΔΖΒ 6. Όμως ι γωνίες ΔΒΖ 3 ΔΖΒ 6 και ΑΖΕ είναι κατακρυφήν και άρα είναι ίσες. Δηλαδή Οπότε τ τρίγων ΑΖΕ έχει δύ γωνίες συνεπώς είναι ισόπλευρ. ΑΖΕ 6. 6, άρα και η τρίτη γωνία είναι 6 και ΑΣΚΗΣΗ (2_5575) Θεωρύμε τετράγων ΑΒΓΔ και σημεία Ε και Ζ στις πρεκτάσεις των ΑΒ (πρς τ Β) και ΒΓ (πρς τ Γ) αντίστιχα, ώστε ΒΕ=ΓΖ. Να απδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΒΖ και ΑΕΔ είναι ίσα. Μνάδες 12 β) Οι γωνίες ΕΔΓ και ΑΖΒ είναι ίσες. Μνάδες

148 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Λύση α) Συγκρίνντας τα τρίγωνα ΑΒΖ και. ΑΕΔ. έχυμε: είναι ρθγώνια ( Β Α 9 γωνίες τετραγώνυ) ΑΒ ΑΔ (ως πλευρές τετραγώνυ) και ΒΖ ΑΕ (αφύ άθρισμα ίσων πλευρών ΒΖ = ΑΒ και ΓΖ = ΒΕ) Συνεπώς τα ρθγώνια τρίγωνα ΑΒΖ και ΑΕΔ τις δύ κάθετες πλευρές τυς ανά δύ ίσες και συνεπώς είναι ίσα. β) Έχυμε ΕΔΓ ΑΕΔ 1, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΕ και ΓΔ με τέμνυσα την ΔΕ. Επιπλέν από την ισότητα των τριγώνων ΑΒΖ και ΑΕΔ έχυμε ΑΕΔ ΑΖΒ 2, αφύ βρίσκνται απέναντι από τις ίσες πλευρές ΑΔ και ΑΒ αντίστιχα. Από τις σχέσεις 1 και ζητύμεν. 2 βρίσκυμε ΕΔΓ ΑΖΒ, πυ είναι τ ΑΣΚΗΣΗ (2_5577) Δίνεται τραπέζι ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με ΑΒ=3, ΓΔ=4. Θεωρύμε σημεί Ε στην ΑΒ ώστε ΑΕ=1. Στ τραπέζι ΕΒΓΔ θεωρύμε τα Κ και Λ, μέσα των ΕΔ και ΒΓ αντίστιχα. α) Να υπλγίσετε τη διάμεσ ΚΛ τυ τραπεζίυ ΕΒΓΔ. Μνάδες 13 β) Να απδείξετε ότι τ τετράπλευρ ΑΒΛΚ είναι παραλληλόγραμμ. Μνάδες

149 Λύση α) Έχυμε, Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια β) Από τ τραπέζι ΕΒΛΚ η διάμεσς ΚΛ είναι παράλληλη στις βάσεις, άρα. Όμως ΚΛ = 3 = ΑΒ, πότε στ τετράπλευρ ΑΒΛΚ έχυμε δύ απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες, άρα είναι παραλληλόγραμμ. ΑΣΚΗΣΗ (2_5581) Δίνεται ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ με α) Να υπλγίσετε τη γωνία Γ. A 9,Β 35 β) Να υπλγίσετε τις γωνίες τυ τριγώνυ ΑΜΒ Λύση και Μ τ μέσ της ΒΓ. Μνάδες 1 Μνάδες 15 α) Στ ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ η γωνία Γ είναι συμπληρωματική της γωνίας Β. Οπότε Γ 9 Β 9 35 Γ 55 β) Η ΑΜ είναι διάμεσς στην υπτείνυσα τυ ρθγωνίυ τριγώνυ ΑΒΓ και συνεπώς ισύται με τ μισό της υπτείνυσας, δηλαδή ΒΓ ΑΜ ΜΒ 2 Δηλαδή τ τρίγων ΑΜΒ είναι ισσκελές με Τέλς: ΜΑΒ Β ΜΑΒ 35 ΜΑΒ Β ΑΜΒ ΑΜΒ 18 ΑΜΒ

150 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια ΑΣΚΗΣΗ (2_5583) Δίνεται ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ A 9, 2Γ Β και ΑΔ τ ύψς τυ. α) Να υπλγιστύν ι ξείες γωνίες τυ τριγώνυ ΑΒΓ. β) Να υπλγιστεί η γωνία ΒΑΔ. ΑΒ γ) Να απδείξετε ότι ΒΔ. 2 Μνάδες 9 Μνάδες 7 Μνάδες 9 Λύση α) Οι ξείες γωνίες τυ ρθγωνίυ τριγώνυ ΑΒΓ είναι συμπληρωματικές. Δηλαδή έχυμε: 2ΓΒ Β Γ 9 2Γ Γ 9 Γ 3, πότε από υπόθεση Β 6. β) Τ τρίγων ΑΒΔ είναι ρθγώνι αφύ τ ΑΔ είναι ύψς. Οπότε ι ξείες γωνίες τυ είναι συμπληρωματικές και συνεπώς ΒΑΔ 9 Β 9 6 ΒΑΔ 3. γ) Στ ρθγώνι τρίγων ΑΒΔ έχυμε βρίσκεται απέναντι από τη γωνία των Δηλαδή ΒΑΔ 3 και συνεπώς η πλευρά ΒΔ πυ 3 ισύται με τ μισό της υπτείνυσας. ΑΒ ΒΔ 2 ΑΣΚΗΣΗ (2_5585) Δίνεται τραπέζι ΑΒΓΔ με ΑΒ/ /ΓΔ και ΒΔ να υπλγίσετε: α) Τη γωνία Γ. β) Τη γωνία Α. ΒΓ. Αν ΔΒΓ 11 και ΑΔΒ 25 Μνάδες 11 Μνάδες 14 15

151 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Λύση α) Τ τρίγων ΒΓΔ είναι ισσκελές αφύ από την υπόθεση ΒΔ ΒΓ. Οπότε ΒΔΓ Γ 1. Επιπλέν στ ΒΓΔ ισχύει 1 ΔΒΓ ΒΔΓ Γ Γ Γ 18 2Γ 7 Γ 35. β) Από τ πρώτ ερώτημα έχυμε ΒΔΓ Γ 35. Επιπλέν ΑΒΔ ΒΔΓ 35 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ και ΓΔ με τέμνυσα την ΒΔ. Οπότε στ τρίγων ΑΒΔ έχυμε Α ΑΔΒ ΑΒΔ 18 Α Α 12. ΑΣΚΗΣΗ (2_5586) Δίνεται ισόπλευρ τρίγων ΑΒΓ και εκτός αυτύ κατασκευάζυμε τετράγων ΒΓΔΕ. α) Να υπλγίσετε τις γωνίες i) ΑΒΕ ii) ΒΕΑ β) Να απδείξετε ότι τ τρίγων ΑΕΔ είναι ισσκελές. Μνάδες 8 Μνάδες 9 Μνάδες 8 151

152 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Λύση α) i) Έχυμε ΑΒΕ ABΓ ΓΒΕ 6 9 ΑΒΕ 15 αφύ ABΓ 6 ως γωνία τυ ισπλεύρυ τριγώνυ ΑΒΓ και τυ τετραγώνυ ΒΓΔΕ. ΓΒΕ 9 ως γωνία ii) Επειδή η πλευρά τυ ισπλεύρυ τριγώνυ ΑΒΓ είναι ίση με την πλευρά τυ τετραγώνυ ΒΓΔΕ, έχυμε ΑΒ ΒΕ. Άρα τ τρίγων ΑΒΕ είναι ισσκελές με ΒΕΑ ΒΑΕ 1. Επιπλέν: ΑΒΕ ΒΕΑ ΒΑΕ ΒΕΑ ΒΑΕ 18 ΒΕΑ ΒΕΑ 3 ΒΕΑ 15 β) Συγκρίνντας τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ έχυμε: ΑΒ ΑΓ (ως πλευρές τυ ισπλεύρυ τριγώνυ ΑΒΓ ) ΒΕ ΓΔ (ως πλευρές τυ τετραγώνυ ΒΓΔΕ ) και ΑΒΕ ΑΓΔ 15 ( ΑΒΕ 15 από τ πρώτ ερώτημα και δείχνυμε με τν ίδι τρόπ ότι ) Από τ κριτήρι Π Γ Π τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ είναι ίσα και συνεπώς και ι τρίτες πλευρές τυς είναι ίσες. Δηλαδή ΑΕ ΑΔ, πυ σημαίνει ότι τ τρίγων ω είναι ισσκελές. ΑΣΚΗΣΗ (2_5587) Δίνεται ισσκελές τρίγων ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ. Κατασκευάζυμε εξωτερικά τυ τριγώνυ τ τετράγων ΑΒΔΕ. Να απδείξετε ότι: α) Τ τρίγων ΑΓΕ είναι ισσκελές. Μνάδες 1 β) 2ΕΓΑ 9 ΒΑΓ 1 Μνάδες

153 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Λύση α) Επειδή η πλευρά ΑΓ ΑΒ τυ ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ είναι ίση με την πλευρά τυ τετραγώνυ ΑΒΔΕ, έχυμε ΑΓ ΑΕ. Άρα τ τρίγων ΑΓΕ είναι ισσκελές. β) Από τ σχήμα έχυμε ΕΑΓ ΕΑΒ ΒΑΓ ΕΑΓ 9 ΒΑΓ 1, αφύ ΕΑΒ 9 ως γωνία τυ τετραγώνυ ΑΒΔΕ. Επίσης, στ ισσκελές τρίγων ΑΓΕ ισχύει: ΕΓΑ ΑΕΓ ΕΑΓ ΕΓΑ ΑΕΓ 18 ΕΑΓ 2ΕΓΑ 18 ΕΑΓ 18 2ΕΓΑ 2. ΕΑΓ ισσκελές Από τις σχέσεις 1 και 2 έχυμε 9 ΒΑΓ 18 2ΕΓΑ 2ΕΓΑ 9 ΒΑΓ. ΑΣΚΗΣΗ (2_5588) Στ παρακάτω σχήμα τ τετράπλευρ ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμ και τ ΑΓΔΕ είναι ρθγώνι. Να απδείξετε ότι: α) Τ σημεί Α είναι μέσ τυ ΒΕ. Μνάδες 8 β) Τ τρίγων ΒΕΓ είναι ισσκελές. Μνάδες 9 γ) ΒΓΑ ΑΔΕ Μνάδες 8 153

154 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Λύση α) Τ τετράπλευρ ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμ και συνεπώς ι απέναντι πλευρές τυ είναι ίσες και παράλληλες. Οπότε ΑΒ / / ΓΔ 1. Τ τετράπλευρ ΑΓΔΕ είναι ρθγώνι και συνεπώς ι απέναντι πλευρές τυ είναι ίσες και παράλληλες. Οπότε ΑΕ / / ΓΔ 2. Από τις σχέσεις 1 και 2 πρκύπτει ότι ΑΒ / / ΑΕ. Συνεπώς τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΑΕ έχυν κινό φρέα και αφύ είναι και ίσα, πρκύπτει ότι τ Α είναι μέσ τυ ΒΕ. β) Έχυμε ΑΔ ΕΓ 3 ως διαγώνιες τυ ρθγωνίυ ΑΓΔΕ. Επιπλέν ΑΔ ΒΓ 4, ως απέναντι πλευρές τυ παραλληλγράμμυ ΑΒΓΔ. Από τις σχέσεις 3 και 4 παίρνυμε ΒΓ ΕΓ και άρα τ τρίγων ΒΕΓ είναι ισσκελές. γ) Έχυμε: ΑΓ. ΑΔ. ΒΓΑ ΓΑΔ 5 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΔ και ΒΓ με τέμνυσα την ΓΑΔ ΑΔΕ 6 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΓ και ΕΔ με τέμνυσα την Από τις σχέσεις 5 και 6 έχυμε ΒΓΑ ΑΔΕ, πυ είναι τ ζητύμεν. ΑΣΚΗΣΗ (2_5589) Δίννται τα παραλληλόγραμμα ΑΒΔΓ και ΒΔΕΖ. Να απδείξετε ότι: α) Τ τετράπλευρ ΑΓΕΖ είναι παραλληλόγραμμ. β) ΑΒΖ ΓΔΕ. Μνάδες 13 Μνάδες 12 Λύση α) Τ τετράπλευρ ΑΒΔΓ είναι παραλληλόγραμμ και συνεπώς ι απέναντι πλευρές τυ είναι ίσες και παράλληλες. Οπότε ΑΓ / / ΒΔ 1. Τ τετράπλευρ ΒΔΕΖ είναι 154

155 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια παραλληλόγραμμ και συνεπώς ι απέναντι πλευρές τυ είναι ίσες και παράλληλες. Οπότε ΖΕ / / ΒΔ 2. Από τις σχέσεις 1 και 2 πρκύπτει ότι ΑΓ / / ΖΕ. Δηλαδή τ τετράπλευρ ΑΓΕΖ έχει δύ απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες και άρα είναι παραλληλόγραμμ. β) Συγκρίνντας τα τρίγωνα ΑΒΖ και ΓΔΕ έχυμε: ΑΒ ΓΔ (ως απέναντι πλευρές τυ παραλληλγράμμυ ΑΒΔΓ ) ΒΖ ΔΕ (ως απέναντι πλευρές τυ παραλληλγράμμυ ΒΔΕΖ ) και ΑΖ ΓΕ (ως απέναντι πλευρές τυ παραλληλγράμμυ ΑΓΕΖ ) Από τ κριτήρι ΠΠ Π τα τρίγωνα ΑΒΖ και ΓΔΕ είναι ίσα και συνεπώς έχυν όλα τα στιχεία τυς ίσα Οπότε και ΑΒΖ ΓΔΕ, αφύ βρίσκνται απέναντι από τις ίσες πλευρές ΑΖ και ΓΕ αντίστιχα. ΑΣΚΗΣΗ (2_559) Δίνεται ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ με τη γωνία Α ρθή και Μ τ μέσ της ΒΓ. Φέρυμε ημιευθεία Αx παράλληλη στη ΒΓ (στ ημιεπίπεδ πυ ρίζει η ΑΜ με τ σημεί Γ ). Να απδείξετε ότι: α) ΜΑΓ ΜΓΑ β) η ΑΓ είναι διχτόμς της γωνίας ΜAx Μνάδες 12 Μνάδες 13 Λύση α) Τ τρίγων ΑΒΓ είναι ρθγώνι στην κρυφή Α και αφύ τ Μ είναι τ μέσ της υπτείνυσας ΒΓ, η ΑΜ είναι διάμεσς στην υπτείνυσα και συνεπώς ισύται με τ μισό της. Δηλαδή ΒΓ ΑΜ ΑΜ ΜΓ, 2 πυς σημαίνει ότι τ τρίγων ΑΜΓ είναι ισσκελές με ΜΑΓ ΜΓΑ, αφύ αυτές είναι ι γωνίες πυ βρίσκνται απέναντι από τις ίσες πλευρές ΜΓ και ΑΜ αντίστιχα. 155

156 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια β) Τ τρίγων ΑΜΓ είναι ισσκελές με ΜΑΓ ΜΓΑ 1. Επιπλέν έχυμε ΜΓΑ ΓΑx 2, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων Ax και ΒΓ με τέμνυσα την ΑΓ. Από τις σχέσεις 1 και 2 πρκύπτει ότι ΜΑΓ ΓΑx, πυ σημαίνει ότι η ΑΓ είναι διχτόμς της γωνίας ΜAx. ΑΣΚΗΣΗ (2_5593) Δίνεται ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ με τη γωνία Α ρθή και από τ μέσ Μ της πλευράς ΒΓ φέρυμε τα κάθετα τμήματα ΜΔ και ΜΕ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστιχα. Να απδείξετε ότι: α) Αν ΜΔ ΜΕ τότε: i) Τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ είναι ίσα. Μνάδες 8 ii) Τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές. Μνάδες 9 β) Αν ΑΒ ΑΓ τότε ΜΔ ΜΕ. Μνάδες 8 Λύση α) i. Συγκρίνντας τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ έχυμε: είναι ρθγώνια (αφύ ΜΔ ΑΒ και ΜΕ ΑΓ από την υπόθεση) ΜΔ ΜΕ (από την υπόθεση) και ΒΜ ΜΓ (αφύ τ Μ είναι μέσ της ΒΓ ) Τα ρθγώνια τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ έχυν ίσες υπτείνυσες και μία κάθετη πλευρά. Οπότε είναι ίσα. ii) Έχυμε, ΔΒ ΜΕ (αφύ τ Μ είναι μέσ της ΒΓ και ΜΕ / /ΑΒ (γιατί ΒΑ ΑΓ και ΜΕ ΑΓ ), έχυμε ότι τ Ε είναι μέσ της ΑΓ. ΑΒ Οπότε ΜΕ ΔΒ. 2 Ισχύει μίως ότι τ Δ είναι μέσ της ΑΒ. Ομίως και τ Ε είναι μέσ της ΑΓ. Οπότε: 156

157 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια ΑΒ τα Μ και Ε είναι μέσα των ΒΓ και ΑΓ αντίστιχα. Οπότε ΜΕ. 2 ΑΓ τα Μ και Δ είναι μέσα των ΒΓ και ΑΒ αντίστιχα. Οπότε ΜΔ. 2 Όμως από τα ΜΔ και ΜΕ είναι ίσα από την υπόθεση. Οπότε έχυμε ΑΓ ΑΒ ΑΓ ΑΒ 2 2 πυ σημαίνει ότι τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές. β) Όπως παραπάνω έχυμε ότι τ Δ είναι τ μέσ της ΑΒ και τ Ε είναι τ μέσ της ΑΓ. Αφύ από την υπόθεση ισχύει ΑΒ ΑΓ και τα μισά τυς θα είναι ίσα. Δηλαδή ΔΒ ΕΓ 1. Συγκρίνντας τώρα τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ έχυμε: είναι ρθγώνια (αφύ ΜΔ ΑΒ και ΜΕ ΑΓ από την υπόθεση) ΔΒ ΕΓ (από τη σχέση 1 ) και ΒΜ ΜΓ (αφύ τ Μ είναι μέσ της ΒΓ ) Τα ρθγώνια τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ έχυν ίσες υπτείνυσες και μία κάθετη πλευρά. Οπότε είναι ίσα. Άρα έχυν και τις τρίτες πλευρές τυς ίσες. Δηλαδή ΜΔ ΜΕ. ΑΣΚΗΣΗ (2_561) Σε κύκλ κέντρυ Ο φέρυμε τις διαμέτρυς τυ ΑΓ και ΒΔ. α) Να απδείξετε ότι τ τετράπλευρ ΑΒΓΔ είναι ρθγώνι. Μνάδες 13 β) Πια σχέση πρέπει να έχυν ι διάμετρι ΑΓ και ΒΔ ώστε τ τετράπλευρ ΑΒΓΔ να είναι τετράγων; Να αιτιλγήσετε την απάντησή σας. Μνάδες 12 Λύση 157

158 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια α) Τ τετράπλευρ ΑΒΓΔ έχει ΑΟ ΟΓ και ΒΟ ΟΔ ως ακτίνες τυ κύκλυ. Οπότε ι διαγώνιί τυ διχτμύνται και άρα είναι παραλληλόγραμμ. Επιπλέν όμως ι διαγώνιί τυ ΑΓ και ΒΔ είναι ίσες ως διάμετρι τυ κύκλυ και συνεπώς τ παραλληλόγραμμ ΑΒΓΔ είναι ρθγώνι. β) Για να είναι τ ρθγώνι ΑΒΓΔ τετράγων, πρέπει να έχει ίσες πλευρές. Επειδή ίσες χρδές αντιστιχύν σε ίσα τόξα και ίσα τόξα σε ίσες επίκεντρες γωνίες, για να είναι ι πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ ίσες, πρέπει ι αντίστιχες επίκεντρες γωνίες ΑΟΒ, ΒΟΓ, ΓΟΔ και ΔΟΑ να είναι ίσες, έστω ω η καθεμία. Τότε: ΑΟΒ ΒΟΓ ΓΟΔ ΔΟΑ 36 4ω 36 ω 9. Δηλαδή πρέπει ι διάμετρι ΑΓ και ω να τέμννται κάθετα. ΑΣΚΗΣΗ (2_5612) Σε ρθγώνι και ισσκελές τρίγων ΑΒΓ(Α 9 ) θεωρύμε τα μέσα Δ, Ε και Ζ των πλευρών τυ ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστιχα. Να απδείξετε ότι: α) Τ τετράπλευρ ΑΕΖΔ είναι ρθγώνι παραλληλόγραμμ. β) Τ τετράπλευρ ΕΔΒΓ είναι ισσκελές τραπέζι. Μνάδες 12 Μνάδες

159 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Λύση α) Είναι γνωστό ότι: «τ ευθύγραμμ τμήμα πυ ενώνει τα μέσα των πλευρών ενός τριγώνυ είναι παράλληλ πρς την τρίτη πλευρά και ίση με τ μισό της». Επειδή: Δ μέσ της ΑΒ και Ζ μέσ της ΒΓ, συμπεραίνυμε: ΑΓ ΔΖ (2). 2 Από την (1) πρκύπτει ΔΖ//ΑΕ (Α, Ε, Γ συνευθειακά). και από την (2) ΔΖ = ΑΕ (Ε μέσ ΑΓ) ΔΖ / /ΑΓ (1) και Τ τετράπλευρ ΑΕΖΔ έχει τις δύ απέναντι πλευρές τυ ΔΖ και ΑΕ ίσες και παράλληλες άρα είναι παραλληλόγραμμ. Επίσης Δ μέσ της ΑΒ και Ε μέσ της ΑΓ άρα ΔΕ//ΒΓ και ΒΓ ΔΕ (3). 2 Η ΑΖ είναι διάμεσς πυ αντιστιχεί στην υπτείνυσα ρθγωνίυ τριγώνυ πότε ισύται με τ μισό της. ΒΓ ΑΖ (4). 2 Από τις σχέσεις (3), (4) πρκύπτει ΑΖ = ΔΕ, δηλαδή τ παραλληλόγραμμ ΑΕΖΔ έχει τις διαγώνιές τυ ίσες, άρα είναι ρθγώνι παραλληλόγραμμ. β) Τ ΔΒΓΕ έχει ΕΔ//ΒΓ και ΕΓ / / ΒΔ (επειδή ι πρεκτάσεις τυς τέμννται στ Α). Άρα έχει μόν δύ πλευρές παράλληλες επμένως είναι τραπέζι και ι μη παράλληλες πλευρές τυ είναι ίσες ΒΔ = ΕΓ ως μισά των ίσων πλευρών ΑΒ, ΑΓ τυ ΑΒΓ, πότε είναι ισσκελές τραπέζι. ΑΣΚΗΣΗ (2_5615) Έστω ισσκελές τρίγων ΑΒΓ με ΑΒ ΑΓ και Μ τ μέσ της πλευράς ΒΓ Στα σημεία Β και Γ φέρυμε κάθετες στη ΒΓ πρς τ ίδι μέρς, και θεωρύμε σε αυτές σημεία Δ και Ε αντίστιχα, τέτια ώστε ΜΔ ΜΕ. 159

160 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Να απδείξετε ότι: α) Τα τμήματα ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα. β) Τ τετράπλευρ ΒΔΕΓ είναι ρθγώνι παραλληλόγραμμ. Μνάδες 13 Μνάδες12 Λύση α) Συγκρίνντας τα τρίγωνα ΜΒΔ και ΜΓΕ έχυμε: είναι ρθγώνια (αφύ από την υπόθεση είναι ΒΔ ΒΓ και ΓΕ ΒΓ ) ΜΔ ΜΕ (από την υπόθεση) και ΜΒ ΜΓ (αφύ τ Μ είναι μέσ τυ ΒΓ ) Τα ρθγώνια τρίγωνα ΜΒΔ και ΜΓΕ έχυν ίσες υπτείνυσες και μία κάθετη πλευρά και συνεπώς είναι ίσα. β) Έχυμε: ΒΔ ΒΓ (από υπόθεση) ΓΕ ΒΓ (από υπόθεση) άρα, ΒΔ / /ΓΕ και ΒΔ ΓΕ από την ισότητα των τριγώνων ΜΒΔ και ΜΓΕ πότε, ΒΔ / / ΓΕ. Δηλαδή τ τετράπλευρ ΒΔΕΓ έχει δύ απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες και άρα είναι παραλληλόγραμμ. Επιπλέν έχει μία ρθή γωνία ( ΜΒΔ 9 αφύ ΒΔ ΒΓ ) και συνεπώς είναι ρθγώνι παραλληλόγραμμ. ΑΣΚΗΣΗ (2_5617) Δίνεται ισσκελές τραπέζι ΑΒΓΔ, τ σημεί Μ είναι τ μέσ της πλευράς ΔΓ και τα σημεία Κ και Λ είναι τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών τυ ΑΔ και ΒΓ αντίστιχα. Να απδείξετε ότι: α) Τα τμήματα ΚΜ και ΛΜ είναι ίσα. Μνάδες 12 β) Τα τμήματα ΑΜ και ΒΜ είναι ίσα. Μνάδες 12 16

161 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Λύση α) Συγκρίνω τα τρίγωνα ΜΔΚ και ΜΓΛ. Έχυν: ΜΔ = ΜΓ (Μ μέσ ΓΔ), ΔΚ = ΓΛ (μισά ίσων πλευρών ΔΑ, ΒΓ) Δ Γ (γωνίες βάσης ισσκελύς τραπεζίυ). Άρα από κριτήρι Π Γ Π τα τρίγωνα είναι ίσα, συνεπώς ΜΚ ΜΛ β) Συγκρίνω τα τρίγωνα ΜΑΔ και ΜΒΓ. Έχυν, ΜΔ =ΜΓ (Μ μέσ ΓΔ) ΔΑ = ΓΒ ( ΑΒΓΔ ισσκελές τραπέζι ) και Δ Γ (γωνίες της βάσης ισσκελύς τραπεζίυ) Άρα από κριτήρι Π Γ Π τα τρίγωνα είναι ίσα, συνεπώς ΑΚ ΜΒ ΑΣΚΗΣΗ (2_5621) Έστω ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ με Α 9 και Β 3. Αν τα σημεία Ε και Δ είναι τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστιχα με ΕΔ = 1, να υπλγίσετε τα τμήματα: α) ΑΓ=. Μνάδες 8 β) ΒΓ=.. Μνάδες 9 γ) ΑΔ=.. Μνάδες 8 Να δικαιλγήσετε την απάντησή σας. 161

162 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Λύση α) Ισχύει: «τ ευθύγραμμ τμήμα πυ ενώνει τα μέσα των πλευρών ενός τριγώνυ είναι παράλληλ πρς την τρίτη πλευρά και ίση με τ μισό της». Τ σημεί Ε είναι τ μέσ της ΑΒ ενώ τ Δ είναι τ μέσ της ΒΓ, επμένως ΑΓ ΔΕ ΑΓ 2ΕΔ ΑΓ 2 2 β) Ισχύει: «αν σε ένα ρθγώνι τρίγων μια γωνία τυ είναι 3 τότε η απέναντι κάθετη πλευρά τυ ισύται με τ μισό της υπτείνυσας») ΒΓ Β 3 ΑΓ ΒΓ 2ΑΓ ΒΓ 4 2 (γ) Ισχύει: «Η διάμεσς πυ αντιστιχεί στην υπτείνυσα ρθγωνίυ τριγώνυ ισύται με τ μισό της». Η ΑΔ είναι διάμεσς πυ αντιστιχεί στην υπτείνυσα ρθγωνίυ τριγώνυ ΑΒΓ. Επμένως: ΒΓ ΑΔ ΑΔ 2 2 ΑΣΚΗΣΗ (2_5635) Έστω κύκλς με κέντρ Ο και ακτίνα ρ. Θεωρύμε κάθετες ακτίνες ΟΑ, ΟΓ και εφαπτόμεν στν κύκλ τμήμα ΑΒ με ΑΒ = ΟΓ. α) Να απδείξετε ότι τα τμήματα ΑΟ και ΒΓ διχτμύνται. Μνάδες 1 β) Να υπλγίσετε τις γωνίες τυ τετράπλευρυ ΑΒΟΓ. Μνάδες

163 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Λύση α) Δύ ευθείες κάθετες σε μία άλλη ευθεία σε διαφρετικά της σημεία είναι μεταξύ τυς παράλληλες Οπότε : ΑΒ ΑΟ και ΟΓ ΑΟ άρα ΑΒ//ΟΓ (1) Ακόμα ΑΒ = ΟΓ = ρ (2) επμένως τ ΑΒΟΓ είναι παραλληλόγραμμ εφόσν δύ απέναντι πλευρές τυ είναι ίσες και παράλληλες επμένως ι διαγώνιες τυ ΑΟ, ΒΓ διχτμύνται. β) Τ τρίγων ΑΟΓ είναι ρθγώνι και ισσκελές. Άρα ΑΓΟ 45 πότε και ΟΒΑ 45 (απέναντι γωνίες παραλληλόγραμμυ) ΓΑΒ και ΓΟΒ 135. ΑΣΚΗΣΗ (2_5637) Έστω κύκλς με κέντρ Ο και ακτίνα ρ. Θεωρύμε την ακτίνα ΟΑ και τη χρδή ΒΓ κάθετη στην ΟΑ στ μέσ της Μ. α) Να απδείξετε ότι τ τετράπλευρ ΑΓΟΒ είναι ρόμβς. Μνάδες 1 β) Να υπλγίσετε τις γωνίες τυ τετράπλευρυ ΑΓΟΒ. Μνάδες

164 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Λύση α) Η ευθεία ΒΓ είναι μεσκάθετς της ΟΑ διότι Μ μέσ της ΟΑ και ι ΒΓ,ΟΑ τέμννται κάθετα με βάση τα δεδμένα της άσκησης. Κάθε σημεί της μεσκαθέτυ ισαπέχει από τα άκρα τυ, δηλαδή ΒΟ = ΒΑ = ρ και ΓΑ = ΓΟ = ρ. Άρα τ τετράπλευρ ΑΒΟΓ είναι ρόμβς εφόσν έχει όλες τις πλευρές τυ ίσες. β) Τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΓΑΟ είναι ισόπλευρα επμένως Τ άθρισμα των γωνιών ενός τετραπλεύρυ είναι (2ν 4) 9 Άρα Και επειδή Α Β Γ 6. Α Γ Ο Β 36 Α Ο Α Ο 24 Ο ως απέναντι γωνίες ρόμβυ άρα καθεμία είναι 12 *Θεωρώ Α,Γ,Ο,Β τις εσωτερικές γωνίες τυ ρόμβυ. ΑΣΚΗΣΗ (2_5638 ) Έστω ισσκελές τρίγων ΑΒΓ (ΑΒ ΑΓ). Στις πρεκτάσεις των πλευρών ΑΒ και ΑΓ πρς τ Α φέρνυμε τμήματα ΒΔ και ΓΕ κάθετα στις ΑΓ και ΑΒ αντίστιχα. α) Να απδείξετε ότι ΒΔ = ΓΕ Μνάδες 1 β) Αν Μ τ μέσ της ΒΓ τότε: i. Να απδείξετε ότι ΜΔ = ΜΕ. Μνάδες 8 ii. Να απδείξετε ότι η ΑΜ διχτμεί τη γωνία ΔΜΕ Μνάδες 7 164

165 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Λύση α) Τα ρθγώνια τρίγωνα ΓΔΒ και ΒΕΓ έχυν: (1 στιχεί) ΓΒ = ΓΒ κινή πλευρά (2 στιχεί) Γ Β πρσκείμενες στη βάση τυ ισσκελύς. Έχυν την υπτείνυσα και μια ξεία γωνία αντίστιχα ίσες μία πρς μία Άρα είναι ίσα επμένως ΒΔ ΓΕ β) (i) Στ ρθγώνι ΒΔΓ η ΔΜ είναι η διάμεσς πυ αντιστιχεί στην υπτείνυσα ΒΓ ΒΓ άρα ισύται με τ μισό της δηλαδή ΔΜ (1) 2 Επίσης στ ρθγώνι ΓΕΒ η ΕΜ είναι διάμεσς πυ αντιστιχεί στην υπτείνυσα πότε ΒΓ ΕΜ.(2) 2 Από (1) και (2) έχυμε ΔΜ = ΕΜ. ii) Συγκρίνω τα τρίγωνα ΔΑΜ και ΕΑΜ τα πία έχυν (1 στιχεί) ΑΜ=ΑΜ κινή πλευρά (2 στιχεί ) ΔΜ=ΕΜ (συμπέρασμα τυ πρηγύμενυ ερωτήματς ) (3 στιχεί) ΔΑ=ΕΑ (διαφρές ίσων ευθυγράμμων τμημάτων) Εξήγηση τυ (3 υ στιχείυ) 165

166 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια ΔΓ=ΕΒ (από τη σύγκριση των τριγώνων στ (α) ερώτημα) και ΑΓ=ΑΒ (ΑΒΓ ισσκελές με βάση ΒΓ) άρα και ΔΓ-ΑΓ=ΕΒ-ΑΒ δηλαδή ΑΔ=ΕΑ Άρα από κριτήρι Π-Π-Π τα τρίγωνα είναι ίσα πότε Μ1 Μ2 πότε η ΑΜ διχτμεί τη γωνία ΔΜΕ Β-τρόπς για β(ii) ii) Συγκρίνω τα τρίγωνα ΒΜΔ και ΜΕΓ τα πία έχυν (1 στιχεί) ΒΔ=ΓΕ (από συμπέρασμα πρηγύμενυ ερωτήματς) (2 στιχεί ) ΔΜ=ΕΜ (από συμπέρασμα πρηγύμενυ ερωτήματς) (3 στιχεί) ΒΜ=ΜΓ ( Μ μέσ της ΒΓ) Άρα από κριτήρι Π-Π-Π τα τρίγωνα είναι ίσα επμένως Μ1 Μ4 Η ΑΜ είναι η διάμεσς πυ αντιστιχεί στη βάση ΒΓ τυ ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ άρα είναι και ύψς επμένως και επειδή ΑΜΒ ΑΜΓ Μ1 Μ2 Μ3 Μ4 Μ Μ άρα Μ2 Μ3 1 4 πότε η ΑΜ διχτμεί τη γωνία ΔΜΕ ΑΣΚΗΣΗ (2_5641) Δίνεται ρόμβς ΑΒΓΔ. Στην πρέκταση της διαγωνίυ ΑΔ (πρς τ Δ) παίρνυμε τυχαί σημεί Ε. Να απδείξετε ότι: α) Τ σημεί Ε ισαπέχει από τις πρεκτάσεις των πλευρών ΑΒ και ΑΓ (πρς τ μέρς των Β και Γ αντίστιχα). Μνάδες 1 β) Τ σημεί Ε ισαπέχει από τα σημεία Β και Γ. Μνάδες 15 Λύση 166

167 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια α) Είναι γνωστό ότι σε κάθε ρόμβ ι διαγώνιι διχτμύν τις γωνίες. Άρα η ΑΔ διχτόμς της γωνίας ΒΑΓ. Επειδή κάθε σημεί της διχτόμυ μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και τ Ε είναι ένα τέτι σημεί άρα τ Ε ισαπέχει από της πρεκτάσεις των πλευρών ΑΒ και ΑΓ. β) Οι διαγώνιι τυ ρόμβυ τέμννται κάθετα και διχτμύνται άρα η ΑΔ είναι μεσκάθετς τυ ευθύγραμμυ τμήματς ΒΓ. Γνωρίζμε ότι κάθε σημεί της μεσκαθέτυ ενός ευθύγραμμυ τμήματς ισαπέχει από τα άκρα τυ και επειδή τ Ε ανήκει στην μεσκάθετ τυ ΒΓ άρα ΕΒ=ΕΓ. ΑΣΚΗΣΗ (2_5644) Έστω τρίγων ΑΒΔ με ισόπλευρα ΑΕΒ και ΑΖΔ. Να απδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΕΖ και ΑΒΔ είναι ίσα. Α 12. Εξωτερικά τυ τριγώνυ κατασκευάζυμε τα β) Τ τετράπλευρ ΒΔΖΕ είναι ισσκελές τραπέζι. Μνάδες 12 Μνάδες

168 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Λύση α) Τα τρίγωνα ΑΕΖ και ΑΒΔ έχυν (1 στιχεί) ΑΔ=ΑΖ (ΑΔΖ ισόπλευρ) (2 στιχεί) ΑΒ=ΑΕ (ΑΕΒ ισόπλευρ) (3 στιχεί) ΔΑΒ ΖΑΕ (κατακρυφήν ) Άρα από κριτήρι Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα β) Από την σύγκριση πρκύπτει ότι ΖΕ=ΔΒ (1) Ισχύει Β2 Ζ2 6 (γωνίες ισπλεύρων τριγώνων) δηλαδή η ΕΒ με την ΖΔ τεμνόμενες από την ΖΒ σχηματίζυν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες άρα ΕΒ//ΖΔ Οπότε τ τετράπλευρ ΕΒΖΔ έχει δύ πλευρές παράλληλες άρα είναι τραπέζι και λόγω της (1) ι μη παράλληλες πλευρές τυ είναι ίσες άρα είναι ισσκελές τραπέζι. 168

169 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Εξήγηση γιατί ι ΖΕ και ΔΒ δεν είναι παράλληλες Τ τρίγων ΑΒΓ είναι τυχαί όπως πρκύπτει από την εκφώνηση της άσκησης άρα τα ισόπλευρα τρίγωνα κατασκευάστηκαν από τις άνισες πλευρές τυ τριγώνυ ΑΒΔ πότε ι διαγώνιι τυ ΕΒΔΖ δεν διχτμύνται πότε ι ΖΕ και ΔΒ δεν μπρεί να είναι παράλληλες. ΑΣΚΗΣΗ (2_5646) Σε κύκλ κέντρυ Ο φέρυμε δύ διαμέτρυς τυ ΑΒ και ΓΔ. Να απδείξετε ότι: α) Οι χρδές ΑΓ και ΒΔ τυ κύκλυ είναι ίσες. β) Τ τετράπλευρ ΑΓΒΔ είναι ρθγώνι. Μνάδες 13 Μνάδες 12 Λύση α) Ισχύει Ο1 Ο2 κατακρυφήν άρα και τα τόξα στα πία βαίνυν ι γωνίες αυτές είναι ίσα όπως επίσης και ι αντίστιχες χρδές δηλαδή ΑΓ= ΒΔ β) Στ τετράπλευρ ΑΔΓΒ ι διαγώνιες τυ διχτμύνται στ Ο 169

170 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια (ΑΟ=ΟΒ=ΟΔ=ΟΓ=ακτίνες τυ κύκλυ) και είναι ίσες ως διάμετρι τυ ίδιυ κύκλυ ΑΒ = ΓΔ = 2 ακτίνα Άρα τ τετράπλευρ είνναι ρθγώνι παραλληλόγραμμ. ΑΣΚΗΣΗ (2_5653) Έστω ισσκελές τρίγων ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ, και γωνία μέσα τν ΑΓ και ΒΓ αντίστιχα. Β 3. Θεωρύμε Δ και Ε τα α) Να απδείξετε ότι τ τρίγων ΕΔΓ είναι ισσκελές και να υπλγίσετε τις γωνίες τυ. Μνάδες 16 β) Να απδείξετε ότι τ τρίγων ΑΔΕ είναι ισόπλευρ. Μνάδες 9 Λύση α) Τ ευθύγραμμ τμήμα ΕΔ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΑΓ αντίστιχα τυ ΑΓ τριγώνυ ΑΒΓ άρα ΔΕ//ΑΒ και ΔΕ όμως ΑΒ=ΑΓ άρα 2 ΑΒ ΔΕ ΔΕ ΔΓ (εφόσν Δ μέσ τυ ΑΓ) 2 άρα ΕΔΓ ισσκελές. Β Ε1 ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων ΔΕ και ΑΒ πυ τέμννται από την ΒΓ και επειδή άρα και εφόσν ΕΔΓ ισσκελές Γ 3 (2) Β 3 Ε1 3 (1) 17

171 Άρα Άρα Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια Ε1 Γ Δ Δ1 18 Δ1 12 Δ1 12 (3) Από (1), (2) και (3) υπλγίστηκαν ι γωνίες τυ τριγώνυ ΔΕΓ. β) Η γωνία Δ 2 είναι εξωτερική τυ τριγώνυ ΔΕΓ άρα Δ2 Ε1 Γ Δ2 3 3 Δ2 6 Ισχύει ΕΔ=ΔΓ και ΔΓ=ΔΒ (Δ μέσ της ΑΓ) άρα ΕΔ=ΑΔ άρα Ε2 Α2 Επμένως στ τρίγων ΑΕΔ ισχύει Α2 Δ2 Ε2 18 Α2 6 Ε2 18 Α2 Ε2 12 και επειδή Ε2 Α2 άρα Ε2 Α2 6 επμένως τ τρίγων ΑΕΔ είναι ισόπλευρ. ΑΣΚΗΣΗ (2_5654) Έστω παραλληλόγραμμ ΑΒΓΔ. Πρεκτείνυμε την πλευρά ΒΑ (πρς τ Α) και την πλευρά ΔΓ (πρς τ Γ) κατά τμήματα ΑΕ = ΑΒ και ΓΖ = ΔΓ. Να απδείξετε ότι: α) BΖ = ΕΔ Μνάδες 13 β) Τ τετράπλευρ ΕΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμ. Μνάδες 12 Λύση 171

172 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια α) Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΒΖΓ. (1 στιχεί) ΑΔ = ΒΓ (απέναντι πλευρές παραλληλόγραμμυ) (2 στιχεί) ΑΕ = ΓΖ (ίσες πρεκτάσεις των ίσων πλευρών ΑΒ, ΓΔ αντίστιχα τυ παραλληλγράμμυ ΑΒΓΔ) (3 στιχεί) Α1 Γ1 (παραπληρωματικές των ίσων γωνιών Α,Γ τυ παραλληλγράμμυ ΑΒΓΔ). Άρα Π Γ Π ισχύει ΒΖ ΕΔ. β) Ισχύει ΕΒ ΕΑ ΑΒ 2 ΑΒ (1) ΔΖ ΔΓ ΓΖ 2 ΓΔ (2) και εφόσν ΑΒ=ΓΔ από (1) και (2) πρκύπτει ΕΒ=ΔΖ Άρα τ τετράπλευρ ΕΒΖΔ έχει τις απέναντι πλευρές τυ ίσες ανά δύ πότε είναι παραλληλόγραμμ. ΑΣΚΗΣΗ (2_658 ) Σε ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ με διάμεσ ΑΜ στην πλευρά ΒΓ. Να απδείξετε ότι: και Β Γφέρυμε τ ύψς τυ ΑΔ και την Α 9 α) Οι γωνίες Β και ΓΑΔ είναι ίσες. β) ΑΜΔ 2 Γ Μνάδες 12 Μνάδες 13 Λύση α) Η γωνία ΓΑΔ είναι συμπληρωματική της Γ στ τρίγων ΔΑΓ: Γ ΓΑΔ 9 (1) Η γωνία Β είναι συμπληρωματική της Γ στ τρίγων ΑΒΓ: Από (1) και (2) πρκύπτει : ΓΑΔ Β (2 ς τρόπς) Γ Β 9 (2) Οι γωνίες ΓΑΔ,Β είναι ίσες ως ξείες γωνίες με πλευρές κάθετες, Οι ΑΓ και η ΑΔ σχηματίζυν την ΓΑΔ ενώ ΑΒ και η ΒΓ σχηματίζυν την Β 172

173 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια και ισχύει ΑΓ ΑΒ, ΑΔ ΒΓ β) Η Μ 2 είναι εξωτερική τυ τριγώνυ ΑΜΓ άρα Μ2 Α1 Γ (1), όμως η ΑΜ διάμεσς πυ αντιστιχεί στην υπτείνυσα ΒΓ τυ ρθγωνίυ τριγώνυ άρα ισύται με τ μισό της δηλαδή ΒΓ ΑΜ ΑΜ ΜΓ Α1 Γ, άρα ΑΜΔ 2 Γ. 2 ΑΣΚΗΣΗ (2_6582) Δίνεται παραλληλόγραμμ ΑΒΓΔ με Β 6. Φέρυμε τα ύψη ΑΕ και ΒΖ τυ παραλληλγράμμυ πυ αντιστιχύν στην ευθεία ΔΓ. Να απδείξετε ότι: ΑΔ α) ΓΖ. 2 Μνάδες 8 β) Τ τρίγων ΑΔΕ είναι ίσ με τ τρίγων ΒΓΖ Μνάδες 9 γ) Τ τετράπλευρ ΑΒΖΕ είναι ρθγώνι. Μνάδες 8 Λύση α) Έχυμε, Γ1 Β εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ,ΔΓ ι πίες τέμννται από την ΒΓ άρα Γ1 6. Στ ρθγώνι τρίγων ΒΓΖ : Γ1 Β1 9 Β1 9 6 Β1 3 Άρα εφόσν στ ρθγώνι τρίγων Β1 3 τότε ΒΓ ΓΖ 2 173

174 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια όμως ΒΓ=ΑΔ (απέναντι πλευρές παραλληλγράμμυ) πότε ΑΔ ΓΖ 2 β) Τα ρθγώνια τρίγωνα ΑΔΕ και ΒΓΖ έχυν (1 στιχεί) ΑΔ=ΒΓ (απέναντι πλευρές παραλληλγράμμυ) (2 στιχεί) Δ Γ1 (εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων ΑΔ,ΒΓ πυ τέμννται από την ΔΓ) Επμένως τα ρθγώνια τρίγωνα έχυν τις υπτείνυσες και μια ξεία γωνία ίσες μία άρα είναι ίσα γ) Από την πρηγύμενη σύγκριση πρκύπτει ΑΕ=ΒΖ επίσης ισχύει ΑΕ//ΒΖ διότι είναι κάθετες στην ίδια ευθεία άρα τ τετράπλευρ ΑΕΖΒ είναι ρθγώνι παραλληλόγραμμ εφόσν έχει δύ απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες και μια ρθή γωνία. ΑΣΚΗΣΗ (2_6583) Έστω ρθγώνι ΑΒΓΔ και τα σημεία Ν και Κ των ΑΒ ΔΓ αντίστιχα, τέτια ώστε ΑΝ = ΚΓ. α) Να απδείξετε ότι: i) τα τρίγωνα ΑΝΔ και ΒΓΚ είναι ίσα, Μνάδες 8 ii) τ τετράπλευρ ΝΒΚΔ είναι παραλληλόγραμμ. Μνάδες 8 β) Αν Ε και Ζ είναι τα μέσα των ΝΔ και ΔΚ αντίστιχα, να απδείξετε ότι τ τετράπλευρ ΝΚΖΕ είναι τραπέζι. Μνάδες 9 Λύση α) (i) Τα τρίγωνα ΑΝΔ και ΒΚΓ έχυν (1 στιχεί) Α Γ 9 ( γωνίες τυ ρθγωνίυ παραλληλγράμμυ ) 174

175 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια (2 στιχεί ) ΑΔ=ΒΓ (απέναντι πλευρές τυ ρθγωνίυ παραλληλγράμμυ (3 στιχεί ) ΑΝ=ΚΓ (δεδμέν της εκφώνησης ) Άρα από κριτήρι Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα (ii) Ισχύει ΑΒ ΓΔ ΑΒ ΑΝ ΓΔ ΓΚ ΒΝ ΚΔ (1) ΑΝ ΓΚ Επίσης από την πρηγύμενη σύγκριση των τριγώνων πρκύπτει ΔΝ=ΚΒ (2) Από τις σχέσεις (1),(2) πρκύπτει ότι τ τετράπλευρ ΝΒΚΔ έχει τις απέναντι πλευρές τυ ίσες επμένως είναι παραλληλόγραμμ. β) Στ τρίγων ΔΝΚ τ ευθύγραμμ τμήμα ΕΖ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΔΝ και ΝΚ αντίστιχα τυ τριγώνυ ΔΝΚ πότε ΕΖ// ΝΚ. Επίσης ΝΕ // ΖΚ διότι ι πρεκτάσεις τυς τέμννται στ σημεί Δ. Άρα τ τετράπλευρ ΝΕΖΚ έχει μόν 2 πλευρές παράλληλές άρα είναι τραπέζι. ΑΣΚΗΣΗ (2_6585) Δίνεται ισσκελές τραπέζι ΑΒΓΔ ( ΑΒ//ΓΔ ) με ΑΒ = 8 και ΔΓ = 12. Αν ΑΗ και ΒΘ τα ύψη τυ τραπεζίυ, α) Να απδείξετε ότι ΔΗ = ΘΓ. Μνάδες 12 β) Να υπλγίσετε τη διάμεσ τυ τραπεζίυ.. Μνάδες 13 Λύση α) Τα ρθγώνια τρίγωνα ΑΔΗ και ΒΘΓ έχυν (1 στιχεί) ΑΔ=ΒΓ ( μη παράλληλες πλευρές ισσκελύς τραπεζίυ) (2 στιχεί ) Γ Δ ( πρσκείμενες γωνίες ισσκελύς τραπεζίυ ) Άρα τα ρθγώνια τρίγωνα έχυν τις υπτείνυσες και μια ξεία γωνία ίσες μια πρς μία άρα είναι ίσα, πότε και ΔΗ=ΘΓ. β) Ως γνωστό η διάμεσς τυ τραπεζίυ ισύται με τ ημιάθρισμα των βάσεων τυ δηλαδή 175

176 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια ΑΣΚΗΣΗ (2_659) ΑΒ ΓΔ 12 8 ΕΖ ΕΖ ΕΖ Στ τραπέζι τυ παρακάτω σχήματς έχυμε της πλευράς ΓΔ. Να απδείξετε ότι: α) Η ΔΒ είναι διχτόμς της γωνίας Δ. ΓΔ ΑΒ ΑΔ,Δ 6 2 και Μ τ μέσ β) Η ΒΜ χωρίζει τ τραπέζι σε ένα ρόμβ και ένα ισόπλευρ τρίγων. Μνάδες 9 Μνάδες 9 Λύση α) Τ τρίγων ΑΒΔ είναι ισσκελές εφόσν (ΑΒ = ΑΔ) άρα Δ1 Β1 (1) Επίσης Δ2 Β1(2) ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ,ΓΔ πυ τέμννται από την ΒΔ. Από τις (1),(2) πρκύπτει Δ1 Δ2 δηλαδή η ΒΔ διχτόμς της γωνίας Δ. β) Φέρνυμε τη ΒΜ. Στ τετράπλευρ ΑΒΜΔ ισχύυν : ΑΒ=ΔΜ 176

177 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια διότι από υπόθεση ΓΔ ΑΒ και Μ μέσ της ΓΔ. 2 Επίσης ΑΒ//ΔΜ εφόσν ΑΒΓΔ τραπέζι άρα τ τετράπλευρ ΑΒΜΔ είναι παραλληλόγραμμ εφόσν έχει δύ απέναντι πλευρές τυ ίσες και παράλληλες. Όμως ΑΒ=ΑΔ (υπόθεση), δηλαδή έχει και δύ διαδχικές πλευρές τυ ίσες άρα είναι ρόμβς. Η γωνία ΒΜΓ Δ 6 εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων ΑΔ, ΒΜ (απέναντι πλευρές ρόμβυ) πυ τέμννται από την ΔΓ. Επίσης ΒΜ=ΜΓ δηλαδή τ τρίγων ΒΜΓ είναι ισσκελές και η γωνία της κρυφής τυ είναι 6 άρα για τις πρσκείμενες γωνίες ι πίες είναι ίσες περισσεύυν 12 για να μιραστύν άρα όλες ι γωνίες είναι 6 επμένως τ τρίγων είναι ισόπλευρ ΑΣΚΗΣΗ (2_6882) Δίνεται τρίγων ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ και Μ τ μέσ της ΒΓ. Πρεκτείνυμε τη διάμεσ ΑΜ κατά τμήμα ΜΔ = ΜΑ. Από τ Α φέρυμε παράλληλη πρς τη ΒΓ η πία τέμνει την πρέκταση της ΔΓ στ σημεί Ε. Να απδείξετε ότι : α) τ τετράπλευρ ΑΒΔΓ είναι παραλληλόγραμμ, (Μνάδες 12) AE β) BM 2 (Μνάδες 13) α) Επειδή ΑΜ = ΜΔ και ΒΜ = ΜΓ, τότε στ τετράπλευρ ΑΒΔΓ ι διαγώνιι διχτμύνται, πότε τ ΑΒΔΓ είναι παραλληλόγραμμ. 177

178 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια β) Επειδή ΑΒΔΓ = παρ/μ, τότε ΔΓ//ΑΒ, πότε θα έχυμε επίσης και ΓΕ//ΑΒ. Άρα ΑΒΓΕ παραλληλόγραμμ, πότε, AE ΒΓ ΑΕ 2ΒΜ ΑΕ BM 2 ΑΣΚΗΣΗ (2_6885) Δίνεται τρίγων ΑΒΓ τέτι, ώστε ΑΓ < ΑΒ. Στην πλευρά ΑΒ θεωρύμε σημεί Δ τέτι ώστε ΑΔ = ΑΓ και στην πρέκταση της ΒΑ (πρς τ Α) θεωρύμε σημεί Ε τέτι ώστε ΑΕ = ΑΓ. Να απδείξετε ότι : α) ΔΓ ΕΓ (Μνάδες 12) β) η γωνία ΕΑΓ είναι διπλάσια της γωνίας ΑΔΓ. (Μνάδες 13) α) Στ τρίγων ΔΕΓ έχυμε, ΔΕ 2 ΑΓ ΑΔ ΑΕ ΑΓ ΕΓΔ 9 ΔΓ ΕΓ β) Επειδή ΑΓ = ΑΔ, τότε ΑΓΔ ΑΔΓ 1. Όμως η γωνία ΕΑΓ είναι εξωτερική τυ τριγώνυ ΑΓΔ, πότε 1 ΕΑΓ ΑΓΔ ΑΔΓ ΕΑΓ 2 ΑΔΓ ΑΣΚΗΣΗ (2_7452) Σε παραλληλόγραμμ ΑΒΓΔ είναι Β 12 και ΔΕ ΒΓ. Έστω ΕΖ η διάμεσς τυ τριγώνυ ΔΕΓ. α) Να υπλγίσετε τις γωνίες Α και Γ τυ παραλληλγράμμυ. β) Αν Κ είναι τ μέσ της πλευράς ΑΒ, να απδείξετε ότι ΕΖ = ΑΚ. γ) Να υπλγίσετε τη γωνία ΕΖΓ. (Μνάδες 8) (Μνάδες 9) 178

179 Γεωμετρία Κεφάλαι 5: Παρ/μα - Τραπέζια (Μνάδες 8) α) Ισχύει ότι Β ως παραπληρωματική στ παραλληλόγραμμ ΑΒΓΔ, πότε Α 18 Α 6 Επίσης ισχύει Γ Α 6 ως απέναντι γωνίες παραλληλγράμμυ. β) Στ ρθγώνι τρίγων ΔΕΓ έχυμε ότι η ΕΖ απτελεί τη διάμεσ πρς την ΔΓ, πότε, ΔΓ ΑΒ ΕΖ ΑΚ 2 2 ΔΓ γ) Επειδή ΕΖ ΖΓ συμπεραίνυμε ότι τ τρίγων ΕΖΓ είναι ισσκελές. 2 Άρα ισχύει, και κατά συνέπεια : ΖΕΓ Γ 6 ΕΖΓ 18 Γ ΖΕΓ ΕΖΓ ΕΖΓ

180 Γεωμετρία Κεφάλαι 6: Εγγεγραμμένα σχήματα Γεωμετρία Α Λυκείυ Κεφάλαι 6 Εγγεγραμμένα σχήματα 18

181 Γεωμετρία Κεφάλαι 6: Εγγεγραμμένα σχήματα ΑΣΚΗΣΗ (2_3413) Στ ακόλυθ σχήμα, η εφαπτμένη τυ κύκλυ στην κρυφή Α τυ τριγώνυ ΑΒΓ σχηματίζει γωνία φ = 3 με την πλευρά ΑΒ. Αν τ μέτρ τυ τόξυ ΒΔΓ είναι 16, α) να υπλγίσετε τις γωνίες τυ τριγώνυ ΑΒΓ. β) να βρείτε τ μέτρ τυ τόξυ ΑΕΓ Μνάδες 18 Μνάδες 7 α) Η ˆ ΒΑΓ είναι εγγεγραμμένη πυ βαίνει στ τόξ ΒΔΓ 16 πότε ˆ 16 ˆ ΒΑΓ 8 ΒΑΓ 8 2 Η γωνία φ = 3 είναι γωνία χρδής ΑΒ και της εφαπτόμενης και άρα θα ισύται με κάθε εγγεγραμμένη πυ βαίνει στην χρδή, άρα Στ τρίγων ΑΒΓ είναι: ˆ ˆ Γ φ 3 Γ 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ΒΑΓ Β Γ 18 Β 7 ˆ β) Η ˆΒ 7 είναι εγγεγραμμένη πυ βαίνει στ τόξ ΑΕΓ πότε ˆΒ ΑΕΓ 2 ΑΕΓ 14 ΑΣΚΗΣΗ (2_59) Στ ακόλυθ σχήμα η επίκεντρη γωνία BOΔ είναι α) Να υπλγίσετε την γωνία ΒΓΔ β) Να απδείξετε ότι η γωνία ω είναι και η γωνία ΓΒΑ είναι 15 Μνάδες

182 Γεωμετρία Κεφάλαι 6: Εγγεγραμμένα σχήματα Μνάδες 13 Λύση α) Η γωνία ΒΓΔ είναι εγγεγραμμένη πυ βαίνει στ ίδι τόξ με την επίκεντρη γωνία ΒΟΔ πότε είναι ΒΟΔ 12 ΒΓΔ β) Η ΒΓΔ είναι εξωτερική γωνία της ΒΓΜ στ τρίγων ΒΜΓ πότε έχυμε ΒΓΔ ΒΜΓ ΓΒΜ 6 ω 15 ω 45 ΑΣΚΗΣΗ (2_512) Σε κύκλ κέντρυ Ο δίννται ι χρδές ΑΒ και ΑΔ τέτιες ώστε η γωνία ΒΑΔ να είναι 44. Θεωρύμε τυχαί σημεί Γ τυ κύκλυ και σχηματίζυμε τετράπλερυ ΒΓΔΟ α) Να υπλγίσετε την γωνία x Μνάδες 12 β) Να απδείξετε ότι η γωνία y είναι 136 Μνάδες 13 Λύση α) Η γωνία x είναι επίκεντρη και βαίνει στ ίδι τόξ ΒΔ πυ βαίνει και η εγγεγραμμένη γωνία ΒΑΔ άρα είναι 182

183 Γεωμετρία Κεφάλαι 6: Εγγεγραμμένα σχήματα o o x 2ΒΑΔ β) Αφύ o x 88 είναι ΒΓΔ 88 άρα ΒΑΔ 36 ΒΓΔ Η ΒΓΔ είναι εγγεγραμμένη πυ βαίνει στ τόξ ΒΑΔ άρα ΒΑΔ 272 ΒΓΔ ΑΣΚΗΣΗ (2_537) Σε κύκλ κέντρυ Ο θεωρύμε τρεις διαδχικές ίσες γωνίες ΑΟΒ, ΒΟΓ και ΓΟΑ. α) Να απδείξετε ότι η πρέκταση της ακτίνας ΑΟ διχτμεί τη γωνία ΒΟΓ. (Μνάδες 1) β) Να βρείτε τ είδς τυ τριγώνυ ΑΒΓ ως πρς τις πλευρές τυ. (Μνάδες 8) γ) Αν με κέντρ Ο και ακτίνα ΟΚ όπυ Κ τ μέσ της ακτίνας ΟΑ, γράψυμε έναν άλλ κύκλ πυ θα τέμνει τις ακτίνες ΟΒ και ΟΓ στα σημεία Λ και Μ αντίστιχα, τότε τα τόξα ΚΜ και ΑΒ είναι ίσα; Δικαιλγήστε την απάντησή σας. (Μνάδες 7) α) Έστω Δ είναι τ σημεί πυ η πρέκταση της ΟΑ τέμνει τν κύκλ τότε ι γωνίες ΓΟΔ και ΔΟΒ είναι ίσες ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών ΑΟΓ και ΒΟΑ αντίστιχα. Άρα η ΟΔ διχτμεί τη γωνία ΒΟΓ. 183

184 Γεωμετρία Κεφάλαι 6: Εγγεγραμμένα σχήματα β) Τα τόξα AB, BΓ, AΓ είναι ίσα γιατί και ι αντίστιχες επίκεντρες γωνίες είναι ίσες. Όμως σε ίσα τόξα αντιστιχύν και ίσες χρδές άρα ΑΒ ΒΓ ΓΑ δηλαδή τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισόπλευρ. γ) Τα τόξα AB και ΚΜ έχυν τις αντίστιχες επίκεντρες γωνίες ίσες. Όμως ι κύκλι στυς πίυς βρίσκνται αυτές ι γωνίες δεν είναι ίσι, άρα τα τόξα δεν είναι ίσα. ΑΣΚΗΣΗ (2_5153 ) Δίνεται κύκλς (Ο,R) διαμέτρυ ΑΒ, χρδή ΑΓ τέτια ώστε ΒΑΓ 3. Στ σημεί Γ φέρυμε την εφαπτμένη τυ κύκλυ, η πία τέμνει την πρέκταση της διαμέτρυ ΑΒ (πρς τ Β) στ σημεί Δ. α) Να υπλγίσετε τις γωνίες τυ τριγώνυ ΟΓΔ. Μνάδες 12 β) Να απδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΟΓ και ΓΒΔ είναι ίσα. Μνάδες

185 Γεωμετρία Κεφάλαι 6: Εγγεγραμμένα σχήματα α) Η γωνία ΑΓB είναι εγγεγραμμένη πυ βαίνει σε ημικύκλι, πότε είναι ρθή, δηλαδή ΑΓB 9, συνεπώς τ τρίγων ΑΓΒ είναι ρθγώνι. Στ ρθγώνι τρίγων ΑΓΒ από άθρισμα γωνιών τριγώνυ έχω : Α ΑΓΒ ΑΒΓ ΑΒΓ 18 ΑΒΓ 6 Επειδή OA OΓ R, τ τρίγων ΟΑΓ είναι ισσκελές, άρα Επίσης στ τρίγων ΟΑΓ η γωνία ΓΟΔ είναι εξωτερική, άρα ΓΟΔ Α ΑΓΟ Η ΟΓ είναι ακτίνα στ σημεί επαφής της εφαπτμένης ΓΔ, άρα ΟΓ ΓΔ ΟΓΔ 9 (1) Α ΑΓΟ 3 Άρα στ ρθγώνι τρίγων ΟΓΔ από άθρισμα γωνιών τριγώνυ έχυμε : β) Είναι και επειδή ΓΟΔ 6 Επίσης Είναι Όμια ΓΟΔ ΟΓΔ Δ Δ 18 Δ 3 ΑΓΒ 9 ΑΓΟ ΟΓΒ 9 3 ΟΓΒ 9 ΟΓΒ 6 (2), τ τρίγων ΟΓΒ είναι ισόπλευρ, πότε ΟΓ ΓΒ ΟΒ R ΟΓΔ 9 ΟΓΒ ΒΓΔ 9 6 ΒΓΔ 9 ΒΓΔ 3 (3) ΓΟΔ ΑΟΓ 18 6 ΑΟΓ 18 ΑΟΓ 12 (4) ΓΒΔ ΑΒΓ 18 ΓΒΔ 6 18 ΓΒΔ 12 (5) Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΟΓ και ΓΒΔ τα πία έχυν : ΟΓ ΓΒ R (λόγω της (2)) (λόγω των (4) και (5)) ΑΟΓ ΓΒΔ 12 (λόγω των (1) και (3)) ΑΓΟ ΒΓΔ 3 Τα τρίγωνα έχυν μια πλευρά και τις πρσκείμενες σε αυτή γωνίες μια πρς μια ίσες, άρα θα είναι ίσα. ΑΣΚΗΣΗ (2_568) Θεωρύμε κύκλ (Ο, ρ) και διάμετρ τυ ΑΒ. Στην εφαπτμένη τυ κύκλυ στ Β θεωρύμε σημεί Γ τέτι ώστε, η γωνία ΒΓΟ να είναι ίση με 3. αν η ΟΓ τέμνει τν κύκλ στ Δ να απδείξετε ότι: α) ΟΓ = 2ΟΑ 185

186 β) ΒΓ = ΑΔ Γεωμετρία Κεφάλαι 6: Εγγεγραμμένα σχήματα Μνάδες 12 Μνάδες 13 Λύση α) Είναι γνωστό ότι: «η ακτίνα ενός κύκλυ είναι κάθετη στην εφαπτμένη τυ στ σημεί επαφής». Δηλαδή ΟΒ ΓΒ άρα τ τρίγων ΒΟΓ είναι ρθγώνι με υπτείνυσα την ΟΓ. Επειδή Γ1 3 (αν σε ένα ρθγώνι τρίγων μια γωνία τυ είναι 1 κάθετη πλευρά τυ ισύται με τ μισό της υπτείνυσας) τότε ΟΒ ΟΓ και επειδή 2 1 ΟΑ = ΟΒ (ακτίνες τυ ίδιυ κύκλυ),πρκύπτει ΟΑ ΟΓ 2ΟΑ ΟΓ 2 β) Συγκρίνντας τα τρίγωνα ΟΒΓ και ΑΔΒ έχυμε: 3 τότε η απέναντι είναι ρθγώνια ( ΟΒ ΒΓ και ΑΔΒ 9 ως εγγεγραμμένη πυ βαίνει σε ημικύκλι) ΟΒ ΒΔ ρ (η ΒΔ είναι διάμεσς στην υπτείνυσα τυ ρθγωνίυ τριγώνυ ΓΟ 2ρ ΟΒΓ και άρα ΒΔ ρ ) και 2 2 ΓΟ ΑΒ 2ρ (διάμετρι τυ κύκλυ) Τα ρθγώνια τρίγωνα ΟΒΓ και ΑΔΒ έχυν ίσες υπτείνυσες και μία κάθετη πλευρά και συνεπώς είναι ίσα. Οπότε και ι τρίτες πλευρές τυς είναι ίσες. Δηλαδή ΒΓ ΑΔ. ΑΣΚΗΣΗ (2_5623) Θεωρύμε κύκλ διαμέτρυ ΒΓ. Φέρυμε την εφαπτμένη τυ κύκλυ σε σημεί τυ Α ώστε να σχηματίζει με τη χρδή ΑΓ γωνία 45. φέρυμε επίσης μια παράλληλη ευθεία στη ΒΓ πυ τέμνει την ΑΒ στ Δ και την ΑΓ στ Ε. α) Να υπλγίσετε τις γωνίες τυ τριγώνυ ΒΑΓ. 186

187 Γεωμετρία Κεφάλαι 6: Εγγεγραμμένα σχήματα Μνάδες 1 β) Να απδείξετε ότι τ τετράπλευρ ΒΓΕΔ είναι ισσκελές τραπέζι και να υπλγίσετε τις γωνίες τυ. Μνάδες 15 Λύση α) Θεωρύμε Α,Β,Γ τις εσωτερικές γωνίες τυ τριγώνυ ΑΒΓ και Α,Δ,Ε τις εσωτερικές γωνίες τυ τριγώνυ ΑΔΕ. Η ΒΑΓ είναι εγγεγραμμένη σε ημικύκλι(bγ διάμετρς τυ κύκλυ) επμένως ΒΑΓ 9 Η γωνία ΓΑx σχηματίζεται από τη χρδή ΑΓ τυ κύκλυ και την εφαπτμένη στ άκρ Α της χρδής και η γωνία Β εγγεγραμμένη στ τόξ ΑΓ. Άρα ΓΑx Β 45 Οι γωνίες Β,Γ είναι συμπληρωματικές πότε Β Γ 9 Β 45 Γ 45 β) Τ τετράπλευρ ΔΕΓΒ είναι τραπέζι διότι ΒΓ//ΔΕ (από τα δεδμένα) και ΒΔ,ΓΕ δεν είναι παράλληλες διότι ι πρεκτάσεις τυς τέμννται στ Α. Οι γωνίες Β, Γ πυ είναι πρσκείμενες στη βάση ΒΓ τυ τραπεζίυ είναι ίσες επμένως τ τραπέζι είναι ισσκελές. Ακόμα Γ Ε(εντός εκτός και επί τα αυτά των παράλληλων ΔΕ, ΒΓ όπυ τέμννται από την ΑΓ. Άρα Ε 45, επμένως Δ 45 εφόσν τ τρίγων ΑΔΕ ρθγώνι στ Α. Οι γωνίες ΔΕΓ,ΕΔΒ είναι παραπληρωματικές των ίσων γωνιών Ε,Δ επμένως ΔΕΓ ΕΔΒ

188 Γεωμετρία Κεφάλαι 6: Εγγεγραμμένα σχήματα ΑΣΚΗΣΗ (2_6587) Στ παρακάτω σχήμα η ευθεία ε εφάπτεται τυ κύκλυ (Ο, ρ) στ σημεί Γ. α) Να υπλγίσετε τις γωνίες x, y και ω δικαιλγώντας σε κάθε περίπτωση την απάντησή σας. Μνάδες 15 β) Να βρείτε τ είδς τυ τριγώνυ ΟΑΓ ως πρς τις πλευρές. Μνάδες 1 Λύση α) Οι γωνίες ΑΔΓ,ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένες τυ κύκλυ και βαίνυν στ τόξ ΑΓ επμένως είναι ίσες, δηλαδή x 3. H γωνία ΑΟΓ είναι επίκεντρη γωνία τυ κύκλυ και βαίνει επίσης στ τόξ ΑΓ. Είναι γνωστό ότι «κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισύται με τ μισό της επίκεντρης πυ βαίνει στ ίδι τόξ με αυτή» Άρα 1 1 ΑΔΓ ΑΟΓ x y y 2x y H γωνία ω πυ σχηματίζεται από τη χρδή ΑΓ και από την εφαπτμένη στ άκρ Γ της χρδής ισύται με κάθε εγγεγραμμένη πυ βαίνει στ τόξ ης χρδής δηλαδή τ ΑΓ. Άρα ω 3 β) Τ τρίγων ΟΑΓ είναι ισσκελές διότι ΟΑ=ΟΓ ως ακτίνες τυ κύκλυ,όμως η γωνία της κρυφής τυ η y είναι ίση με 6 άρα OAΓ ΟΓΑ 12 και επειδή OAΓ ΟΓΑ, πρσκείμενες στη βάση ΑΓ τυ ισσκελύς τριγώνυ άρα OAΓ ΟΓΑ 6 πότε τ τρίγων είναι ισόπλευρ. ΑΣΚΗΣΗ (2_6588 ) Έστω κύκλς κέντρυ Κ, μια διάμετρς τυ ΒΓ και σημεί Α τυ κύκλυ τέτι ώστε ΒΑ = ΚΓ. Αν Δ τυχαί σημεί τυ κύκλυ διαφρετικό των Β και Γ, 188

189 Γεωμετρία Κεφάλαι 6: Εγγεγραμμένα σχήματα Να απδείξετε ότι: α) Να απδείξετε ότι τ τρίγων ΒΚΑ είναι ισόπλευρ. β) Να υπλγίσετε τη γωνία ΒΔΑ. γ) Να υπλγίσετε τις γωνίες τυ τριγώνυ ΑΒΓ. Μνάδες 7 Μνάδες 9 Μνάδες 9 Λύση α) Έστω ρ η ακτίνα τυ δθέντς κύκλυ. Από τα δεδμένα τυ πρβλήματς πρκύπτει ότι ΑΒ = ΚΓ = ρ και επειδή ΚΒ = ΚΑ = ρ τ τρίγων ΚΒΑ έχει τις πλευρές τυ ίσες επμένως είναι ισόπλευρό. β) Η γωνία ΒΔΑ είναι εγγεγραμμένη στ κύκλ και βαίνει στ τόξ ΑΒ. Η γωνία ΒΚΑ είναι επίκεντρη και βαίνει στ ίδι τόξ. Ως γωνία ισπλεύρυ τριγώνυ η γωνία BΚΑ είναι 6 και επειδή η εγγεγραμμένη γωνία ενός κύκλυ ισύται με τ μισό της αντίστιχης επίκεντρης πυ βαίνει στ ίδι τόξ άρα ΒΔΑ 3 189