ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : ΕΠΩΝΥΜΟ:... ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Σχλικό Βιβλί σελ. 60. Α. Σχλικό Βιβλί σελ.. Μνάδες 0 Α. Λ Σ γ) Λ δ) Σ ε) Λ Μνάδες 0 ΘΕΜΑ Β Β. Να λυθύν τα παρακάτω συστήµατα: x+ y= x y= x + y = 7 x+ y= 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 8 ΣΕΛΙΔΕΣ

2 Μνάδες 0 x+ y= x+ y= x+ y= + y= y= 0 y= 0 x y= 4x y= 4 7x= 7 x= x= x= άρα η λύση τυ παραπάνω συστήµατς είναι η: ( x, y) = (,0). ( x) x + y = 7 x + 5 = 7 x + 5 0x+ x = 7 x 0x+ 8= 0 x+ y= 5 y= 5 x y= 5 x y= 5 x x 5x+ 4= 0 x=, x= 4 x=, y= 4 y= 5 x y= 5 x x= 4, y= άρα ι λύσεις τυ παραπάνω συστήµατς είναι ι: ( x,y ) = (,4) ή ( x,y ) ( 4,) =. Β. Να γίνει γεωµετρική ερµηνεία των συστηµάτων τυ πρηγύµενυ ερωτήµατς. Τ γραµµικό σύστηµα τυ ερωτήµατς ( απτελείται από ευθείες πυ τέµννται στ σηµεί (,0). Τ µη γραµµικό σύστηµα τυ ερωτήµατς ( απτελείται από µία ευθεία και ένα κύκλ µε κέντρ τ (0,0) και ακτίνα 7, πυ τέµννται στα σηµεία (,4) και (4,). Β. Αν συνω= µε π < ω< π, να βρείτε τυς υπόλιπυς τριγωνµετρικύς αριθµύς της γωνίας ω. Γνωρίζυµε ότι π < ω< π, δηλαδή η γωνία βρίσκεται στ 4 τεταρτηµόρι. Άρα ισχύει ηµω< 0. Επµένως, από την ταυτότητα ηµ ω+ συν ω= έχυµε: + = + = = = 4 4 ηµ ω ηµ ω ηµ ω ηµω Άρα, Μνάδες 6 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 8 ΣΕΛΙΔΕΣ

3 ηµω εϕω= = = = = συνω Και σϕω = = εϕω = Β4. Να απδείξετε ότι: εϕθ+ σϕθ = ηµθ συνθ ηµ x ηµ y συν x συν y = Μνάδες 4 ηµ θ+ συν θ ηµθ συνθ ηµ θ συν θ εϕθ + σϕθ = + = + = συνθ ηµθ ηµθ συνθ ηµθ συνθ = = ηµθ συνθ ηµθ συνθ ηµ x ηµ y συν x + συν y συν x+ συν y = = = συν x συν y συν x συν y συν x συν y ( συν x συν y) = ( συν x συν y ) = ΘΕΜΑ Γ Γ. ίνεται η γραφική παράσταση C g µίας συνάρτησης g( x ). ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 8 ΣΕΛΙΔΕΣ

4 Να βρείτε τα διαστήµατα µντνίας της g. Να βρείτε τις τιµές g( 0 ), g( ) και g. γ) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης g. δ) Να σχλιάσετε αν η g( x ) είναι άρτια ή περιττή. Μνάδες +++ : g στ (, ) g: στ [,] g: στ (,+ ) g g g 0 = 0, =, = γ) Η συνάρτηση παρυσιάζει ελάχιστη τιµή για τιµή για g =. x= την τιµή x= την τιµή g =, και µέγιστη δ) Από την γραφική παράσταση παρατηρύµε ότι η συνάρτηση είναι συµµετρική ως πρς την αρχή των αξόνων, και τ πεδί ρισµύ είναι τ r, επµένως για κάθε x r γνωρίζυµε ότι και τ x r. Άρα η συνάρτηση είναι περιττή. Γ. Να δείξετε ότι: π π ηµ ( π + ω) συν + ω εϕ + ω συν π ω ηµ ω εϕ π ω σϕ π ω ( ) ( ) ( 9 + ) ( ) π 7π ηµ ( π+ θ) συν θ εϕ + θ = ηµθ ηµ θ ( 60 ) = Μνάδες 0 π π ηµ ( π + ω) συν + ω εϕ + ω = συν π ω ηµ ω εϕ π ω σϕ π ω ( ) ( ) ( 9 + ) ( ) ηµω ( ηµω) ( σϕω) ηµω σϕω = συνω ηµω = = εϕω ( σϕω) συνω ηµω = σϕω = εϕω σϕω = συνω ΤΕΛΟΣ 4 ΗΣ ΑΠΟ 8 ΣΕΛΙΔΕΣ

5 διότι: + = ηµ π ω ηµω, τεταρτηµόρι π + = π + = συν ω ηµω, τεταρτηµόρι εφ ω σφω, τεταρτηµόρι συν π ω = = συνω, τεταρτηµόρι ηµ ω ηµω, 4 τεταρτηµόρι εφ 9π ω εφ 8π π ω εφ π ω εφω, τεταρτηµόρι ( ) = σφ( π+ π ω) = σφ( π ω) = σφ π ω + = + + = + = 4π σφω, τεταρτηµόρι π 7π ηµ ( π + θ) συν θ εϕ + θ = ηµ θ ( 60 ) ( σϕθ) ηµθ ηµθ = = ηµθ εϕθ σϕθ = ηµθ συνθ διότι: + = ηµ π θ ηµθ, τεταρτηµόρι π = 7π 8π π π π + = + = + = + = συν θ ηµθ, τεταρτηµόρι εφ θ εφ θ εφ 4π θ εφ θ σφθ, 4 τεταρτηµόρι = + = = ηµ 60 θ ηµ θ ηµ 70 θ συνθ, τεταρτηµόρι Γ. Αν για ένα γραµµικό σύστηµα τ πί έχει µναδική λύση, ισχύει D + D = D και επιπλέν x+ y = 5, να λύσετε τ σύστηµα. x y Γνωρίζυµε ότι τ σύστηµα έχει µναδική λύση, επµένως D 0. D D x y D Άρα Dx+ Dy = D + = x+ y= D D D Άρα λύνυµε τ σύστηµα: ΤΕΛΟΣ 5 ΗΣ ΑΠΟ 8 ΣΕΛΙΔΕΣ

6 x+ y= 5 x+ y= 5 7y= 7 y= y= x+ y= x+ 4y= x+ 4y= x+ 4= x= άρα η λύση τυ παραπάνω συστήµατς είναι η: ( x, y) = (,). ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f x = x + x+ a, µε a r. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από τ σηµεί A(.), τότε: Να δείξετε ότι a= 4. Να υπλγιστύν ι αριθµί, pq r έτσι ώστε f x = x+ p + q Μνάδες 4 Μνάδες γ) Να µελετήσετε την µντνία της f στ διάστηµα [, + ) και στ διάστηµα (, ]. δ) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια, περιττή ή τίπτα από τα δύ. ε) Να βρείτε τα σηµεία τµής µε τυς άξνες. στ) Αν g( x) = x, τότε να σχλιάσετε από πια µετατόπιση της g πρκύπτει η συνάρτηση f και να γίνει η γραφική της παράσταση. Μνάδες 4 Μνάδες 4 Γνωρίζυµε ότι η συνάρτηση διέρχεται από τ σηµεί A(.), άρα Επµένως µε αντικατάσταση έχυµε: f = + + a = + a a= 4 f x = x + x+ 4 Άρα η συνάρτηση γίνεται f =. Πρέπει f x = x+ p + q f x = x + px+ p + q. Όµως γνωρίζυµε ότι f x = x + x+ 4. Άρα: ΤΕΛΟΣ 6 ΗΣ ΑΠΟ 8 ΣΕΛΙΔΕΣ

7 p= p= p + q= 4 q= f x = x+ +. ηλαδή γ) x, + x x+ 0. Επµένως: Αν [ ) Για κάθε x, x [, + ) µε x x x x ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) f ( x ) f ( x ) < + < + + < < + + <. Άρα : x, x< x+ < 0. Επµένως: Αν f στ [, ) +. Για κάθε x, x (, ) µε x x x x ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) f ( x ) f ( x ) < + < + + > > + + >. Άρα : f στ (, ). δ) Γνωρίζυµε ότι f ( ) =. Όµως δεν µπρεί να είναι ύτε άρτια, ύτε περιττή. f = + + 4= + + 4= 7. Άρα η συνάρτηση f ε) Για να βρύµε σηµεί τµής µε τν άξνα y y αρκεί να υπλγίζυµε τ f ( 0). Όπυ: f ( 0) = = 4. Άρα τ σηµεί τµής µε τν άξνα y y είναι τ (0,4). Για τν άξνα x x αρκεί να λύσυµε την εξίσωση f ( x ) = 0. ηλαδή: f x = 0 x + x+ 4= 0, όµως Επµένως δεν υπάρχυν σηµεία τµής µε τν άξνα x x. = 44 = 4 6= < 0 αδύνατη στ r. στ) Η συνάρτηση f πρκύπτει από ριζόντια µετατόπιση της g κατά µία µνάδα πρς τα αριστερά, και µνάδες πρς τα πάνω. ΤΕΛΟΣ 7 ΗΣ ΑΠΟ 8 ΣΕΛΙΔΕΣ

8 ΤΕΛΟΣ 8 ΗΣ ΑΠΟ 8 ΣΕΛΙΔΕΣ