Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Α Λύκειου
|
|
- Ἠώς Ηλιόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Περιδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Α Λύκειυ Γιάννης Κυριαζής Κωστά Βακαλόπυλς Άσκηση Θεωρύμε τρίγωνα και για τα πία ισχύει ότι: α) B ˆ B ˆ β) Γ ˆ Γ ˆ γ) r=r, όπυ r,r ι περίμετρι των δυ τριγώνων. Να δείξετε ότι είναι ίσα. Απόδειξη: Στην της ΓΒ πρς τ Β θεωρύμε σημεί Δ, τέτι ώστε ΒΔ=ΑΒ=γ και στην πρέκταση της ΒΓ, πρς τ Γ σημεί Ε, τέτι ώστε ΓΕ=ΑΓ=β. Αντίστιχα στην πρέκταση της Β Γ σημεία Δ και Ε, τέτια ώστε Β Δ =Α Β =γ και Γ Ε =Α Γ =β. Επμένως ΑΔ=Α Δ () και ΑΕ=Α Ε () μόλγα στιχεία των ίσων τριγώνων τραβδ=τρ.α Β Δ γιατί:. ˆ ˆ Βˆ Β ˆ A A ή.. ΑΔ=Α Δ από τη σχέση () 3. ˆ ˆ Βˆ Β ˆ Δ Δ ή μισά ίσων γωνιών Κριτήρι Γ Π ΓΑΒ=Α Β ή γ=γ (3) Όμια τρ.αγε=τρ Α Γ Ε πότε ΑΓ=Α Γ ή β=β (4) Επίσης A ˆ A ˆ (5) κατ ανάγκη Από 3,4,5τρ.ΑΒΓ=τρ.Α Β Γ σύμφωνα με κριτήρι Π Γ Π. Άσκηση Δίνεται ευθύγραμμ τμήμα ΑΒ, τυχαί σημεί αυτύ Μ και παράλληλες ημιευθείες Αx και Βψ στ ίδι ημιεπίπεδ. Στην Αx θεωρύμε σημεί Δ, τέτι ώστε ΑΔ=ΑΜ () και στην Βψ σημεί Ε τέτι ώστε ΒΕ=ΒΜ (). α) Να δείξετε ότι ΔΜΕ ˆ 90 β) Αν κ είναι τ μέσ της ΔΕ να δείξετε επίσης ότι: AKB ˆ 90 Είναι φανερό ότι ΔΕ=r=r =Δ Ε. Στ ισσκελές τρ. ΑΒΔ ˆB εξωτερική πότε ˆΒ Bˆ Δˆ Εˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Δ Δ Δ Δ. Με ανάλγ τρόπ πρκύπτει ότι ˆ ˆ ˆ B ˆ Γ ˆΓ Δ, E και Ê. Τότε όμως: τρ. ΑΔΕ= τρ. Α Δ Ε γιατί:. ˆ ˆ Βˆ Β ˆ Δ Δ ή.. ΔΕ=Δ Ε ή τ=τ υπόθεση 3. ˆ ˆ Γˆ Γ ˆ E E ή μισά ίσων γωνιών Κριτήρι Γ Π Γ Απόδειξη: Συντμότερα: 80 Α 80 Β Α Β 80 ω φ
2 β) Έστω Σ τ μέσ τυ ΑΒ. Στ τραπέζι ΑΔΕΒ ΚΣ διάμεσς. Από θεώρημα έχυμε ΚΣ//ΑΔ//ΒΕ και, ΑΔ ΒΕ ΑΜ ΒΜ ΑΒ KΣ Κ,Σ ΚΣ. o Τότε όμως AKB ˆ 90 αφύ στ τρ. ΑΚΒ η διάμεσς ΚΣ είναι ίση με τ μισό της αντίστιχης πλευράς ΑΒ. Άσκηση 3 Δίνεται τρ. ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ ι διχτόμι αυτύ ΑΔ και ΓΕ πυ τέμννται στ Ι (έγκεντρ). Να δείξετε ότι: ˆΑ α) BIΓ ˆ 90 Βˆ Γˆ β) AΔΒ ˆ 90 γ) Αν τρ. ΑΒΓ αμβλυγώνι στ Β και ισχύει ότι Bˆ Γˆ 90 ()να απδειχθεί ότι η διχτόμς ΑΔ σχηματίζει με τη βάση ΒΓ γωνία 45. Απόδειξη α) Από τ τρ.βιγ έχυμε ότι: ˆ ˆ ˆ Βˆ Γˆ B BIΓ Γ 80 ΒΙΓ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Α Β Γ Β Γ ˆΑ BIΓ 90 BIΓ ˆ 90. Περιδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ o B Γ ˆ o B Γ AΔΒ 90 AΔΒ 90 ˆ ˆ ˆ o B Γ AΔΒ 90. γ) Από τ β) ερώτημα έχυμε ότι ˆ ˆ o ˆ o B Γ ˆ o 90 AΔΒ 90 AΔΒ 90 ˆ o o ˆ AΔΒ AΔΒ 45. Άσκηση 4 Θεωρύμε ισσκελές τρ. ΑΒΓΑ Β=Αγ με γωνία κρυφής Â 0. Στ εσωτερικό τυ τριγώνυ φέρυμε ευθύγραμμα τμήματα ΒΔ (Δ σημεί της ΑΓ) και ΓΕ (Ε σημεί της ΑΒ) τέτια ώστε AΒΔ ˆ 0 και AΓΕ ˆ 30 Να υπλγισθεί η γωνία AΔΕ ˆ xˆ Σημείωμα: Η άσκηση αυτή είχε πρταθεί τη δεκαετία τυ 980 από τ συνάδελφ κ. Νίκ Κισκύρα στη μνήμη τυ πίυ αφιερώνεται. Απάντηση Φέρυμε DZ//BΓ βηθητική. Τότε τ ΔΖΒΓ ισσκελές τραπέζι με ΒΖ=ΓΔ και επμένως ίσες διαγώνιυς ΒΔ=ΓΖ. β) AΔΒ ˆ εξωτερική τυ τρ. ΑΔΓ επμένως: ˆΑ AΔΒ ˆ Αˆ ˆ ˆ ˆ Γ ΑΔΒ Γ ˆ ˆ ˆ ˆ o o Α Γ Γ AΔΒ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ o Α B Γ Α Γ Γ AΔΒ 90 Από τα ίσα τρίγωνα Δ ΒΓ και ZΒΓ πρκύπτει ότι: ΔΒΓ ˆ ΖΓΒ ˆ 60 πότε τρ. ΚΒΓ ισόπλευρ όπως επίσης και τ τρ. ΚΔΖ. BEΓ ˆ Εξωτερική τυ τρ. ΕΑΓ επμένως ˆ ˆ ˆ BEΓ Α ΑΓΕ
3 Τότε όμως BEΓ ˆ ΒΓΕ ˆ 50 δηλ. τρ. ΒΕΓ ισσκελές με ΒΕ=ΒΓ () και ΒΓ=ΚΓ=ΚΒ () πλευρές τυ ισόπλευρυ τρ. ΚΒΓ. Από () και () ΒΕ=ΒΚτρ.ΒΕΚ ισσκελές με γωνία κρυφής 0 πότε ˆ o EKB 80 EKZ ˆ 80 o 60 o 80 o 40 o.. Άρα o o o Αλλά και EZK ˆ αφύ είναι εξωτερική γωνία στ τρ. ΑΖΓ. Τότε όμως τρ. ΕΖΚ ισσκελές με ΕΖ=ΕΚ (3)τρ.ΕΖΔ=τρ.ΕΔΚ γιατί. ΔΕ=ΔΕ κινή. ΕΖ=ΕΚ από σχέση (3) 3. ΔΖ=ΔΚ πλευρές τυ ισόπλευρυ τρ.κδζ, (Κριτήρι 3 Π Π Π) ΖΔΚ ˆ 60 Άρα EΔΖ ˆ ΕΔΚ ˆ 30 πότε ˆ ˆ ˆ ΑΔΕ ΑΔΖ ΖΔΕ Άσκηση 5 Δίνεται ρθγώνι τρ. ΑΒΓ. Αν ΑΔ είναι τ ύψς τυ ΑΕ η διχτόμς και ΑΜ η διάμεσς να δείξετε ότι: α) ΑΕ η διχτόμς της ΔΑΜ ˆ β) Αν ΒΓ ΔΜ τότε 4 ˆΓ 30 Απόδειξη Α) Στ ρθγώνι τρ. ΑΒΓΑ Μ είναι διάμεσς πρς την υπτείνυσα ΒΓ. Από θεώρημα έχυμε: BΓ AM ΜΒ ΜΓ () Περιδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. ΒΓ ΒΓ ΑΜ ΔΜ ΔΜ ΑΜ. 4 ΑΜ Στ ρθ. Τρ.ΔΑΜ ισχύει ΔΜ. Από θεώρημα έχυμε MAΔ ˆ 30 επμένως ˆ ΔΜΑ 60. Όμως εξωτερική τυ τρ. ΜΓΑ πότε ΔΜΑ ˆ ωˆ ωˆ ωˆ ωˆ 30 Γˆ 30 εδ. Άσκηση 6 Δίδεται ρθγώνι ΑΒΓΔ. Στ σημεί Δ υψώνυμε κάθετη επί την ΔΒ πυ τέμνει την ΑΒ στ Ζ. Φέρυμε τη διχτόμ ΔΕ της AΔΒ ˆ και κατασκευάζυμε τ παραλληλόγραμμ ΕΔΖΗ. Να δείξετε ότι: α) τρ.εδζ ισσκελές. β) Αν ΔΖ ΑΖ=ΓΔ τότε τ ΔΕΗΖ είναι ρόμβς. Απόδειξη. α) AΔΕ ˆ ΕΔΒ ˆ ωˆ, ΔΕ διχτόμς ABΔ ˆ ΑΔΖ ˆ φˆ ξείες με πλευρές κάθετες ZEΔ ˆ εξωτερική τυ τρ.εβδ επμένως: ZEΔ ˆ ΕΔΒ ˆ ΕΒΔ ˆ ωˆ φ. ˆ Τότε όμως τρ. ΜΑΓ ισσκελές με MΓΑ ˆ ΜΑΓ ˆ ωˆ όπως επίσης και τ τρ. ΜΑΒ με MBA ˆ MAB ˆ φˆ. Όμως Γˆ ΔΑΒ ˆ ωˆ ξείες με πλευρές κάθετες και (ΑΕ διχτόμς). Τότε όμως ˆ ˆ EAΔ EAμ 45 ωˆ διαφρές ίσων γωνιών πότε ΑΕ διχτόμς της ΔΑΜ ˆ. β) Από υπόθεση έχυμε: 3 Τότε ΖΔΕ ˆ ΖΕΔ ˆ ωˆ φ. ˆ Άρα τρ.ζδε ισσκελές με ΖΔ=ΖΕ. β) Έστω ότι ΔΖ ΑΖ=ΓΔΔΖ=ΓΔ+ΑΖ ΒΖ ΔΖ=ΒΖ ΔΖ. ΒΖ Στ ρθ. τρ. ΖΔΒ ισχύει ΔΖ. Από θεώρημα ˆφ 30 πότε BZΔ ˆ 60. Επμένως τ ισσκελές τρ. ΔΕΖ είναι ισόπλευρ. Τότε όμως ΖΔ=ΔΕ πότε ΕΔΖΗ ρόμβς αφύ είναι παραλληλόγραμμ με δυ διαδχικές πλευρές ίσες.
4 Άσκηση 7 Σε κάθε τρ. ΑΒΓ να δείξετε ότιβ>γμ β <μ γ Απόδειξη τ ευθύ: Περιδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. πρβλές των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΓ και ΒΔ στην ευθεία ΓΔ είναι ίσες. Έστω Α και Β ι πρβλές των Α και Β στη ΔΓ. Αν Ο η πρβλή τυ κέντρυ τυ κύκλυ στην ΔΓ και Ο ανήκει στις πρβλές των ΑΓ και ΒΔ (σχ ) θα δείξυμε ότι: ΓΑ ΔΒ. Τ τρ. ΑΒΜ και τ τρ.αμγ έχυν:.αμ=αμ κινή πλευρά. ΜΓ=ΜΓ Μ μέσ ΒΓ 3. ΑΒ<ΑΓ ή γ<β υπόθεση Από εφαρμγή ανιστικών σχέσεων τριγώνυ έχυμε M ˆ ˆ M () Τ τρ. ΒΘΜ και τ τρ. ΘΓΜ έχυν:. ΘΜ=ΘΜ κινή πλευρά. ΜΓ=ΜΓ Μ μέσ ΒΓ 3. M ˆ ˆ M από σχέση () Από την ίδια εφαρμγή πρκύπτει ότι ΒΘ<ΘΓ (Θ βαρύκεντρ) μβ μγ μβ μγ εδ. 3 3 Τ αντίστρφ απδεικνύεται με ανάλγ τρόπ. Στις ασκήσεις πυ ακλυθύν μπρείτε να παρακλυθήσετε την εξέλιξη των απδείξεων μερικών «Επώνυμων» πρτάσεων όπως είναι η ευθεία SIMSON, η ευθεία EULER και κύκλς τυ EULER. Πριν από την τελική άσκηση πυ διατυπώνεται η κάθε μια πρόταση από αυτές, πρηγύνται όσες ασκήσεις πρτάσεις συμβάλυν στην απόδειξή τυς. Υπάρχυν επίσης και μερικές ασκήσεις εφαρμγές τυς. Όλες όμως ι ασκήσεις απτελύν και αυττελείς πρτάσεις με τις πίες μπρείτε να κάνετε μια πλύ καλή επανάληψη ειδικά στα τελευταία κεφάλαια της ύλης σας όπως είναι τα κεφάλαια 5 και 6 τυ σχλικύ σας βιβλίυ. Καλό διάβασμα λιπόν. Άσκηση Δίνεται κύκλς Ο διαμέτρυ ΑΒ και χρδή ΓΔ πυ τέμνει την ΑΒ. Να δείξετε ότι ι Όμως: Ο τ μέσ της ΓΔ(ΟΟ απόστημα στη χρδή ΓΔ) Οπότε:Ο Γ=Ο Δ() Αρκεί λιπόν να απδείξυμε ότι:ο Α =Ο Β () Πράγματι: Στ τραπέζι ΑΑ ΒΒ τ Ο είναι μέσ της διαγωνίυ ΑΒ και τ ΟΟ παράλληλ στις βάσεις ΑΑ και ΒΒ (ως κάθετα στην ίδια ευθεία). Άρα θα τμήσει στ μέσ και την Α Β. Επμένως: Ο Α =Ο Β () Πρσθέτντας κατά μέλη τς () και () έχυμε: Ο Α +Ο Γ=Ο Β +Ο ΔΓΑ =ΔΒ. Αν Ο η πρβλή τυ κέντρυ τυ κύκλυ στη ΓΔ και Ο δεν ανήκει στις πρβλές των ΑΓ και ΒΔ θα δείξυμε ότι:γα =ΔΒ. Πάλι όμως ισχύει ότι: Ο Γ=Ο Δ() και Ο Α =Ο Β () 4
5 Αφαιρώντας κατά μέλη τις () και () έχυμε: Ο Γ Ο Α =Ο Δ Ο Β ΓΑ =ΔΒ. Στην περίπτωση πυ είναι ΓΔ ΑΒ, τότε η πρβλή των ΑΓ και ΔΒ στην ΓΔ είναι τα τμήματα Ο Γ και Ο Δ, όπυ Ο τ σημεί τμής της ΓΔ με την ΑΒ, Όμως Ο Γ=Ο Δ αφύ ΟΟ τ απόστημα της ΓΔ. Άσκηση 3 Έστω τρίγων ΑΒΓ και Μ τυχαί σημεί της περιγεγραμμένης περιφέρειας τυ τριγώνυ αυτύ. Αν Α και Β ι πρβλές τυ σημείυ Μ στις πλευρές ΒΓ και ΑΓ αντίστιχα να δείξετε ότι η πρβλή της πλευράς ΑΒ στην ευθεία Α Β ισύται με τ μήκς Α Β. Έστω Κ, Λ ι πρβλές των σημείων Α, Β στην ευθεία Α Β. Πρέπει να απδείξυμε ότι: ΚΛ=Β Α. Περιδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Τ τετράπλευρ είναι επίσης εγγράψιμ με τη ΜΒ διάμετρό τυ. Οπότε ι πρβλές των ΒΑ και ΜΓ στην Α Γ είναι ίσες σύμφωνα με την άσκηση άρα Γ Μ =ΛΑ (). Από () και () πρκύπτει ότι ΚΒ =ΛΑ ΚΒ +Β Λ=Β Λ+ΛΑ ΚΛ=Β Α Άσκηση 4 Απδείξτε ότι τ συμμετρικό τυ ρθκέντρυ Η ενός τριγώνυ ΑΒΓ ως πρς τ μέσ της πλευράς ΒΓ, βρίσκεται στην περιγεγραμμένη περιφέρεια τυ τριγώνυ. Απόδειξη Έστω τρίγων ΑΒΓ, Η τ ρθόκεντρ, Μ τ μέσ της πλευράς ΒΓ και Α τ συμμετρικό τυ Η ως πρς τ Μ. Τ τετράπλευρ ΒΗΓΑ ι διαγώνιι διχτμύνται. Άρα είναι παραλληλόγραμμ. Επμένως ΓΑ //ΒΗ Όμως BH ΑΓ (ύψς) Άρα ΓA ΑΓ δηλαδή ˆ ΑΓΑ 90 Όμια ΒΑ //ΓΗ πότε ΑBΑ ˆ 90. Όπως είδαμε στην άσκηση η ευθεία Α Β θα τμήσει την ΑΒ στην πρβλή τυ Μ στην ΑΒ έστω Γ ( ευθεία SIMSON). Άρα MΓ ΑΒ. Τ τετράπλευρ ΑΓ ΜΒ είναι εγγράψιμ και η ΑΜ διάμετρός τυ. Αν Μ η πρβλή τυ Μ στην ευθεία Α Β (έστω ευθεία(ε)) σύμφωνα με την άσκηση θα ισχύει: Γ Μ =ΚΒ () ( Οι πρβλές των ΜΓ και ΑΒ στη χρδή Γ Β ) 5 Επμένως τ τετράπλευρ ΑΒΑ Γ είναι εγγράψιμ δηλ. περιγεγραμμένς κύκλς τυ τριγώνυ ΑΒΓ διέρχεται από τ Α. Άσκηση 5 Απδείξτε ότι τ περίκεντρ Ο ενός τριγώνυ απέχει από κάθε πλευρά όσ τ μισό της απόστασης τυ ρθόκεντρυ από την απέναντι κρυφή της πλευράς αυτής. Έστω τρίγων ΑΒΓ και Ο τ κέντρ τυ περιγεγραμμένυ κύκλυ τυ. Αν OM BΓ και Η τ ρθόκεντρ τότε θα απδείξυμε ότι: AH OM.
6 Περιδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Μια ριακή θέση τυ Μ είναι τ ρθόκεντρ Η. Τότε τ μέσ της ΟΗ είναι τ κέντρ τυ Κύκλυ Euler, πότε θα ισχύσει: Ο Κ=Ο Ν. Παρατηρύμε ότι αν ΡΝ=ΡΚ τα σημεία Ρ και Ο θα ανήκυν τότε στη μεσκάθετ τυ ΚΝ. Επειδή τ Ο ανήκει στη μεσκάθετ τυ ΝΚ αρκεί να δείξυμε ότι και τ Ρ ανήκει σ αυτήν. Όμως τ τμήμα ΡΟ ενώνει τα μέσα των ΟΜ και ΟΗ στ τρίγων ΟΜΗ. Άρα ΡΟ //ΗΜ. Όμως HM BΓ και ΝΚ//ΒΓ. Άρα: PO NK. Άρα η ΡΟ είναι μεσκάθετς τυ Ν. Άρα ΡΝ=ΡΚ. Σύμφωνα με την άσκηση 4 τ συμμετρικό τυ ρθόκεντρυ Η ως πρς τ μέσ Μ της πλευράς ΒΤ, τ σημεί Α είναι σημεί τυ περιγεγραμμένυ κύκλυ και μάλιστα με διάμετρ ΑΑ. Άρα η ΑΑ διέρχεται από τ κέντρ τυ κύκλυ. Στ τρίγων ΑΗΑ τα Μ και Ο ενώνυν τα μέσα των ΗΑ και ΑΑ. Άρα θα ισχύει: AH OM Άσκηση 7 Να δείξετε ότι: «Κάθε ισσκελές τραπέζι είναι εγγράψιμ» Πότε είναι περιγράψιμ; Απόδειξη. Έστω ισσκελές τραπέζι ΑΒΓΣ (ΑΔ=ΒΓ) Ισχύει A ˆ B ˆ και ˆΓ Δˆ. Άρα A ˆ Γ ˆ Β ˆ Δ ˆ. Επμένως τ τραπέζι είναι εγγράψιμ. Αν ΜΝ η διάμεσς τυ τραπεζίυ τότε ΑΒΓΔ περιγράψιμ ΑΒ+ΓΔ+=ΑΔ+ΒΓΜΝ=ΑΔΜΝ=ΑΔ. Άσκηση 0 Δίνεται τρίγων ΑΒΓ, τ περίκεντρ Ο, τ ύψς ΑΔ και έστω τυχαί σημεί τυ ύψυς ΑΔ. Αν Ρ τ μέσ τυ ΟΜ και Κ, Ν τα μέσα των πλευρών ΑΓ και ΑΒ αντίστιχα δείξτε ότι: ΡΝ=ΡΚ 6
αποδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείου 1
απδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr αν δύ χρδές ενός κύκλυ είναι ίσες τότε και τα απστήµατά τυς και αντιστρόφως αν τα απστήµατα δύ χρδών ενός κύκλυ τότε και ι χρδές είναι
Διαβάστε περισσότεραΑ = Δ = 90 με ˆ ο. Β = 60. Αν είναι ΒΓ = ΔΓ = 8 να βρεθεί το μήκος της διαμέσου του τραπεζίου.
Γεωμετρία της Α Λυκείυ 34. Δίνεται ρθγώνι τραπέζι ΑΒΓΔ Α = Δ = 90 με Β = 60. Αν είναι ΒΓ = ΔΓ = 8 να βρεθεί τ μήκς της διαμέσυ τυ τραπεζίυ. Φέρνυμε τ ύψς ΓΕ τυ τραπεζίυ. Στ ρθγώνι τρίγων ΓΕΒ είναι Άρα
Διαβάστε περισσότερα2. Σε τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουµε τη διάµεσο ΑΜ κατά Μ = ΑΜ. λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείου 1. ΒΜ = ΓΜ (υπόθεση)
λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr. Στις πρεκτάσεις των ίσων πλευρών ΒΑ και ΓΑ ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ θεωρύµε ίσα τµήµατα Α, ΑΕ αντιστίχως. Αν Μ είναι τ µέσ της ΒΓ, να απδείξεις ότι τ τρίγων
Διαβάστε περισσότεραάθροισµα των τετραγώνων των διαγωνίων του είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των βάσεών του.
1. Αν ι µη παράλληλες πλευρές ενός τραπεζίυ είναι κάθετες, να απδείξετε ότι τ άθρισµα των τετραγώνων των διαγωνίων τυ είναι ίσ µε τ άθρισµα των τετραγώνων των βάσεών τυ.. Να υπλγίσετε τ ύψς και τις διαγώνιες
Διαβάστε περισσότεραΕίναι φ =180 ο 120 ο = 60 ο άρα ω = 50 ο + 60 ο = 110 ο. ˆ ΑΓ, να υπολογίσετε την γωνία φ. ˆ ΑΓ = 110 ο άρα ω =70 ο, οπότε. Είναι
4.6 4.8 σκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 87 88 ρωτήσεις Κατανόησης. Να υπλγίσετε την γωνία ω στ παρακάτω σχήµα πάντηση ω ίναι φ =8 = 6 άρα ω = 5 + 6 = 5 φ. ν = και x διχτόµς της γωνίας πάντηση ω φ ω 55 x
Διαβάστε περισσότεραΕγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα
0 Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΣΕ ΚΥΚΛΟ i) Ένα πλύγων ΑΑΑ 3...Α ν λέγεται εγγεγραµµέν σε κύκλ όταν ι κρυφές τυ είναι σηµεία ενός κύκλυ. ii)
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Αν οι αριθμοί x και ψ είναι αντίστροφοι να βρεθεί η τιμή της παράστασης
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αν ι αριθμί και ψ είναι αντίστρφι να βρεθεί η τιμή της παράστασης y y A y Αν α,β είναι θετικί πραγματικί αριθμί να απλπιηθύν ι παραστάσεις : 4 4 A 6αβ 49α
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 4 ï ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò
ÊåöÜëáéï 4 ï ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò Ο µαθητής πυ έχει µελετήσει τ κεφάλαι 4 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει τη σχετική θέση δύ ευθειών. Να γνωρίζει τη σχέση µεταξύ γωνιών πυ σχηµατίζνται από δύ παράλληλες
Διαβάστε περισσότερα(Ανάλογα εργαζόµαστε και για να αποδείξουµε ότι δύο γωνίες έχουν κοινή διχοτόµο ή δύο τόξα κοινό µέσο).
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (η τεχνική τυ αρκεί να απδείξυµε ότι... ) Παναγιώτης Λ. Θεδωρόπυλς Σχλικός Σύµβυλς κλάδυ ΠΕ03 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν µε σκπό να βηθήσυν τυς µαθητές της
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 1. Αν οι αριθμοί x και ψ είναι αντίστροφοι να βρεθεί η τιμή της παράστασης
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αν ι αριθμί και ψ είναι αντίστρφι να βρεθεί η τιμή της παράστασης A y y y Αν α,β είναι θετικί πραγματικί αριθμί να απλπιηθύν ι παραστάσεις :
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 6 ï. ÅããåãñáììÝíá ó Þìáôá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 6 θα πρέπει να είναι σε θέση:
ÊåöÜëáéï 6 ï ÅããåãñáììÝíá ó Þìáôá Ο µαθητής πυ έχει µελετήσει τ κεφάλαι 6 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει και να εφαρµόζει τη σχέση µεταξύ µιας εγγεγραµµένης γωνίας και της αντίστιχης επίκεντρης
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ web:
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίυ (Ελευθερίυ Βενιζέλυ) 3 06 79 ΑΘΗΝΑ email: info@hms.gr web: www.hms.gr Πρόβλημα ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 79 ς ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ «Ο ΘΑΛΗΣ»
Διαβάστε περισσότερα1. Να υπολογίσεις το εμβαδόν κυκλικού δίσκου που είναι περιγεγραμμένος. Στο διπλανό σχήμα, να υπολογίσεις το μήκος και το. εμβαδόν του κύκλου.
Δ 1. Να υπλγίσεις τ εμβαδόν κυκλικύ δίσκυ πυ είναι περιγεγραμμένς σε τετράγων πλευράς α = 6 cm Α Α 8cm. 6cm Στ διπλανό σχήμα, να υπλγίσεις τ μήκς και τ Β Γ εμβαδόν τυ κύκλυ. Ο Β Γ 3. Λυγίζυμε ένα σύρμα
Διαβάστε περισσότεραΜετρικές σχέσεις σε τυχαίο τρίγωνο
5 Μετρικές σχέσεις σε τυχί τρίγων Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµ I (Γενίκευση τυ Πυθγρείυ θεωρήµτς γι πλευρά πυ βρίσκετι πένντι πό ξεί γωνί) Τ τετράγων πλευράς τριγώνυ, πυ βρίσκετι πένντι πό ξεί
Διαβάστε περισσότερα9 o ìüèçìá. Êýêëïò. 6 ÊåöÜëáéï. 10 o ìüèçìá. ÅããåãñáììÝíá êáé åããñüøéìá ôåôñüðëåõñá à Ã
x 9 o ìüèçìá Êýêëïò Ê Ì ø o 6 ÊåöÜëáéï 0 o ìüèçìá ÅããåãñáììÝíá êáé åããñüøéìá ôåôñüðëåõñá Ê 9 Κύκλς Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ Ορισµί i) Μια γωνία λέγεται εγγεγραµµένη σε κύκλ, όταν
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.
Διαβάστε περισσότεραA λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )
A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία - Ασκήσεις με γωνίες
Σελίδα 1 από 19 Γεωμετρία - Ασκήσεις με γωνίες Χαρακτηριστικές ασκήσεις με γωνίες πυ αρέσυν γητεύυν τυς μαθητές πυ ασχλύνται με τυς μαθηματικύς διαγωνισμύς! Μπάμπης Στεργίυ Φεβρυάρις 01 11 ίννται στη σειρά
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία - Ασκήσεις με γωνίες
Σελίδα 1 από 15 Γεωμετρία - Ασκήσεις με γωνίες Χαρακτηριστικές ασκήσεις με γωνίες πυ αρέσυν και γητεύυν τυς μαθητές πυ ασχλύνται με τυς μαθηματικύς διαγωνισμύς! Μπάμπης Στεργίυ Φεβρυάρις 2012 122 Δίνεται
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;
1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία Α Λυκείου
Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Οι διχοτόμοι των 1. γωνιών του Β και Γ τέμνονται στο Ο. Η παράλληλη από το Ο προς την ΑΒ τέμνει την ΒΓ στο Δ και η παράλληλη από το Ο προς την ΑΓ τέμνει την ΒΓ στο Ε. α. Να δείξετε
Διαβάστε περισσότερα5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια
5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε
Διαβάστε περισσότεραα. ΕΓΚΕΝΤΡΟ 1. Σημείο τομής των
Μαθηματικά για την Α Λυκείου Αφορμή για Επανάληψη στη Γεωμετρία της Α Λυκείου. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) με ένα μόνο στοιχείο της στήλης (Β). Κώστας Βακαλόπουλος Τάσος Γαβράς Στήλη
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της
Διαβάστε περισσότεραAν οι ευθείες ΚΒ και ΓΛ τέμνονται στο σημείο Μ, τότε η ΑΜ είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 26/5/2017 ΘΕΜΑ 1 ο Α 1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη
Διαβάστε περισσότεραΜπάμπης Στεργίου. Ασκήσεις στη Γεωμετρία. Διαγωνισμός. Αρχιμήδης. Juniors-Μικροί. *** Αφιερωμένο στους μαθητές και τους συναδέλφους
Μπάμπης Στεργίυ ιαγωνισμός Αρχιμήδης Juniors-Μικρί Ασκήσεις στη Γεωμετρία *** Αφιερωμέν στυς μαθητές και τυς συναδέλφυς 017 Σελίδα 1 από 5 Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός 5/0/017
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...
Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ
Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ
Διαβάστε περισσότερα2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.
Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ.
Διαβάστε περισσότερα1. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; Απάντηση Όταν η κορυφή της είναι σηµείο του κύκλου και οι πλευρές της είναι τέµνουσες του κύκλου
6. 6.4 σκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 9 30 Ερωτήσεις Κατανόησης. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; πάντηση Όταν η κρυφή της είναι σηµεί τυ κύκλυ και ι πλευρές της είναι τέµνυσες τυ κύκλυ. ν φ και ω είναι
Διαβάστε περισσότερα8 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version )
8 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version 3-8-205) Σ.Να αποδείξετε ότι δύο τραπέζια με ανάλογες βάσεις και τις προσκείμενες σε δύο ομόλογες βάσεις τους γωνίες ίσες μία προς μία, είναι όμοια. Θεωρούμε τα τραπέζια ΑΒΓΔ
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο
Διαβάστε περισσότερα1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Έστω ΑΒΓ ένα ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ = ΑΓ), Δ, Ε σημεία της πλευράς ΒΓ τέτοια, ώστε ΒΔ = ΔΕ = ΕΓ και Μ, Ρ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα
Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις
Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων
Διαβάστε περισσότερα2ο ΘΕΜΑ. μ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB
2ο ΘΕΜΑ 2845. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A φέρουμε τη ΑΔ και μια ευθεία (ε) παράλληλη προς τη ΒΓ, που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι
Διαβάστε περισσότερα24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)
Διαβάστε περισσότεραΘέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
Διαβάστε περισσότερα4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Στο παρόν αρχείο περιέχονται προτάσεις και ασκήσεις από τη μετρική γεωμετρία.
Σελίδα 1 από 36 ΜΕΤΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Μπάμπης Στεργίυ - εκέμβρις 016 Στ παρόν αρχεί περιέχνται πρτάσεις και ασκήσεις από τη μετρική γεωμετρία. Πρρίζνται για μαθητές Λυκείυ πυ συμμετέχυν στν διαγωνισμό Ευκλείδης
Διαβάστε περισσότεραΚ. Μέτρηση Κύκλου. Παράρτημα. Ι13. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση:
Ι12. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση ημ 3 Β ημ 2 ΑημΒ ημ 2 ΑημΓ ημ 3 Γ, να απδείξετε ότι Βˆ Γˆ 120. Ι13. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση: 1 1 2 1, να α β α β γ α β γ β γ 2 απδείξετε ότι 4συν Β
Διαβάστε περισσότερα24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και
Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ
Διαβάστε περισσότερα3.2 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
3. ΘΡΟΙΣΜ ΩΝΙΩΝ ΤΡΙΩΝΟΥ ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΙΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙ. Άθρισµα γωνιών τριγώνυ Σε πιδήπτε τρίγων τ άθρισµα των γωνιών τυ είναι ίσ µε 80. Ιδιότητες ισσκελύς τριγώνυ Η ευθεία της διαµέσυ πυ αντιστιχεί
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.
Διαβάστε περισσότεραΤάξη A Μάθημα: Γεωμετρία
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα ( ) = ( 1)( 3 2) ( 1) 2. i) Να αποδείξετε ότι ( ) ii) Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του ( ) iii) Να λύσετε την εξίσωση P( x ) = 0
ΤΑΞΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ MAΘΗΜΑΤΙΚΑ 016 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Άλγεβρα 1) Δίνεται το πολυώνυμο ( ) = ( + 1)( 1) ( + 1)( 5 + 7) P x x x x x i) Να αποδείξετε ότι ( ) P x = 7x x 8 Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή
Διαβάστε περισσότεραΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 50 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα
ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 5 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα ΓΕΝΑΡΗΣ 216 ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 1 6 Σημαντικά θεωρήματα της Γεωμετρίας 1. Ευθεία Euler
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
Διαβάστε περισσότερα2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015
ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην
Διαβάστε περισσότεραΠαράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία. είναι «επί τα αυτά».
Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία Οι γωνίες που βρίσκονται ανάμεσα στις ευθείες ε 1 και ε ονομάζονται «εντός» (των ευθειών)και όλες οι άλλες «εκτός». Οι γωνίες B 4, B 3, 1, είναι εντός
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΛ ΕΡΕΤΡΙΑΣ 9/6/2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΛ ΕΡΕΤΡΙΑΣ 9/6/016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας, τη λέξη Σωστό ή Λάθος,
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 2016 (version ΤΕΛΙΚΟ)
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 06 (version 9-5-06 ΤΕΛΙΚΟ) SOS ΒΓ = ΒΟΓ ˆ = 70 αντί του λανθασμένου 35 στο προτελευταίο θέμα θεωρίας με τις εγγεγραμμένη, επίκεντρη κλπ Τι λέει το αίτημα παραλληλίας;
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις
Διαβάστε περισσότεραΦεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29)
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (29) -2- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος
Διαβάστε περισσότερα( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2
1 11. 11.7 Μέτρηση κύκλυ ΘΩΡΙ Μήκς τόξυ µ : µ 180 Μήκς τόξυ α rad : αr Σχέση µιρών ακτινίων : α π µ 180 µβαδόν κυκλικύ δίσκυ : ( ) µβαδόν κυκλικύ τµέα µ : µ µβαδόν κυκλικύ τµέα α rad : ( ) 1 αr µβαδόν
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ
1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 67 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 9 ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ Β τάξη Λυκείου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 10 6165-10617784 - Fax: 10 64105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότερααπεναντι καθετη πλευρα υποτεινουσα
ΜΑΘΗΜΑ 7 Κεφάλαι o : Τριγωνµετρία Υπενότητα.: Τριγωνµετρικί αριθµί γωνίας ω µε 0 ω 80 Θεµατικές Ενότητες:. Επανάληψη από Β Γυµνασίυ.. Τριγωνµετρικί αριθµί πιασδήπτε γωνίας ω. Α. ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΠΟ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Διαβάστε περισσότεραB Θέματα (Έκδοση: )
B Θέματα (Έκδση: 26 1 215) Οι απαντήσεις και ι λύσεις είναι απτέλεσμα της συλλγικής δυλειάς των συνεργατών τυ δικτυακύ τόπυ http://lisari.blogspot.gr Έκδση: 26 1 215 (συνεχής ανανέωση) Τ βιβλί διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια.
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια. Μέρος Α Θεωρία. 1. Με τι είναι ίσο το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου; 2. Ποιο τρίγωνο λέγετε οξυγώνιο αμβλυγώνιο ορθογώνιο. 3. Ποιο τρίγωνο λέγετε
Διαβάστε περισσότεραΔ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α
Διαβάστε περισσότερα3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα
3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα 4 η διδακτική ενότητα : Ισότητα τριγώνων Ερωτήσεις κατανόησης 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις : α) Υπάρχουν σημεία του επιπέδου που
Διαβάστε περισσότεραΘέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:
Διαβάστε περισσότεραΘέματα πανελληνίων διαγωνισμών Ε.Μ.Ε. Β γυμνασίου Θαλής
Θέματα πανελληνίων διαγωνισμών Ε.Μ.Ε. Β γυμνασίυ Θαλής 1995-1996 Κ, 3cm. Με κέντρ τ σημεί Λ τυ κύκλυ να χαράξετε δεύτερ κύκλ Λ, 3cm. Η διάκεντρς ΚΛ τέμνει τν Κ στ Α και τν Λ στ Β, αν πρεκταθεί. Να κατασκευάσετε
Διαβάστε περισσότερα1 Εγγεγραµµένα σχήµατα
Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος
Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι
Διαβάστε περισσότερα66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την
Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα Η έννοια του λόγου ορίζεται στο πέμπτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη ως εξής: Λόγος εστί δύο μεγεθών ομογενών η κατά πηλικότητά ποια σχέσις Λόγον έχειν προς άλληλα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43. Ύλη: Όλη η ύλη
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Όλη η ύλη 08-05-16 Θέμα 1 ο : Α. Σε ποιες κατηγορίες ταξινομούνται τα τρίγωνα με βάση τις πλευρές τους και σε ποιες με βάση τις γωνίες τους; (αναλυτικά)
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα
Διαβάστε περισσότεραB τάξη Γυμνασίου ( 2 2) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 17 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2009
ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 7 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 009 B τάξη Γυμνασίου Πρόβλημα. Αν ισχύει ότι 4x 5y = 0, να βρείτε την τιμή της παράστασης Η
Διαβάστε περισσότερα1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.
1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Να δίνει τον ορισμό του διανύσματος και των εννοιών που είναι κλειδιά όπως: κατεύθυνση φορά ή διεύθυνση, μηδενικό διάνυσμα,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ )
ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ.3-4-5-6.) 1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της ΑΓ προς το Γ παίρνουμε τμήμα ΓΔ=ΑΓ. Έστω Ε τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ και Ζ σημείο της προέκτασης της ΓΒ
Διαβάστε περισσότερα6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.
1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Β Λυκείου. Τράπεζα Θεμάτων 18-22/1/2015
Τράπεζα Θεμάτων 8 -//0 ο Θέμα Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης Θεωρήματα διχοτόμων..8.δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΔ διχοτόμο της γωνίας και Φέρουμε τις διχοτόμους
Διαβάστε περισσότερα(Έκδοση: 13 01 2015)
(Έκδση: 13 1 215) Οι απαντήσεις και ι λύσεις είναι απτέλεσμα της συλλγικής δυλειάς των συνεργατών τυ δικτυακύ τόπυ http://lisari.blogspot.gr Έκδση: 13 1 215 (συνεχής ανανέωση) Τ βιβλί διατίθεται απκλειστικά
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων
Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου
Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου Συλλογή-Επιμέλεια: Γ. Κοντογιάννης, Μαθηματικός ΜPhil Α Λυκείου Άλγεβρα Θέματα Εξετάσεων
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα
Διαβάστε περισσότερα3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ
3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΘΕΩΡΙΑ. Οµασία: Έα πλύγω µε κρυφές θα τ λέµε -γω µε εξαίρεση τ πλύγω µε τέσσερις κρυφές πυ θα τ λέµε τετράπλευρ. 2. Καικό πλύγω: Έα πλύγω λέγεται καικό ότα όλες ι πλευρές τυ είαι
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα
Διαβάστε περισσότερα«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης
Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 01-0-016 ΘΕΜΑ 1α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
ΑΙΟ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Για να είναι όμοια δυο τρίγωνα αρκεί να ισχύει ένα από τα παρακάτω: ΐ) Να έχουν 2 γωνίες ίσες μία προς μία. (Ασκήσεις: Εμπέδωσης 1). ϊϊ) Να έχουν δυο πλευρές ανάλογες και
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H
Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι
Διαβάστε περισσότεραΌμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.
Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο
Διαβάστε περισσότεραΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι
Διαβάστε περισσότερα