4 o ìüèçìá. Ôñßãùíá Ï B. 3 ÊåöÜëáéï. Âáóéêïß ãåùìåôñéêïß ôüðïé - ÁíéóïôéêÝò ó Ýóåéò

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4 o ìüèçìá. Ôñßãùíá Ï B. 3 ÊåöÜëáéï. Âáóéêïß ãåùìåôñéêïß ôüðïé - ÁíéóïôéêÝò ó Ýóåéò"

Transcript

1 3 o ìüèçìá Ôñßãùíá Â Ï Á o 3 ÊåöÜëáéï 4 o ìüèçìá Âáóéêïß ãåùìåôñéêïß ôüðïé - ÁíéóïôéêÝò ó Ýóåéò O

2

3 3 Τρίγωνα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός - Κύρια στοιχεία τριγώνου Τρίγωνο ονοµάζεται ένα πολύγωνο µε τρεις πλευρές και τρεις γωνίες. Οι πλευρές και οι γωνίες είναι τα κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι σχετικές θέσεις των γωνιών ως προς τις πλευρές είναι: Γωνία περιεχόµενη σε δυο πλευρές: Στο διπλανό σχήµα η γωνία Γ είναι περιεχόµενη στις πλευρές α και β. Γωνία απέναντι από πλευρά: Στο διπλανό σχήµα η γωνία Γ είναι απέναντι από την πλευρά γ. Γωνίες προσκείµενες σε πλευρά: ã â Στο διπλανό σχήµα η γωνία Γ και η γωνία ˆΒ είναι προσκείµενες στην πλευρά α. á Τα τρίγωνα ανάλογα µε τις πλευρές τους χωρίζονται σε: Σκαληνά, αν έχουν άνισες πλευρές. Ισοκελή, αν έχουν δυο πλευρές ίσες.τότε η τρίτη πλευρά λέγεται βάση του τριγώνου και η απέναντι της κορυφή λέγεται κορυφή αυτού. Ισόπλευρα, αν και οι τρείς πλευρές είναι ίσες. Óêáëçíü ÉóïóêåëÝò Éóüðëåõñï

4 38. Τρίγωνα Τα τρίγωνα ανάλογα µε τις γωνίες τους χωρίζονται σε: Οξυγώνια, αν και οι τρείς γωνίες τους είναι οξείες. Ορθογώνια, αν έχουν µια ορθή γωνία. Τότε οι δυο πλευρές που περιέχουν την ορθή γωνία λέγονται κάθετες και η πλευρά που είναι απέναντι απο την ορθή λέγεται υποτείνουσα. Αµβλυγώνια, αν έχουν µια αµβλεία γωνία. Ïîõãþíéï Áìâëõãþíéï Ïñèïãþíéï ευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου ( διάµεσοι, διχοτόµοι, ύψη ) Τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου είναι: Η διάµεσος που είναι το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει µια κορυφή µε το µέσο της απέναντι πλευράς. Η διχοτόµος που είναι το ευθύγραµµο τµήµα της διχοτόµου της γωνίας,απο την κορυφή µέχρι την απέναντι πλευρά. Το ύψος που είναι το κάθετο ευθύγραµµο τµήµα που φέρεται απο µια κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευράς. ö ö éüìåóïò é ïôüìïò ¾øïò Κριτήρια ισότητας τριγώνων 1 ο Κριτήριο (Π-Γ-Π) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες µία προς µία και τις περιεχόµενες σε αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα. ÁÂ=Å Á=Æ Á= Æ

5 Τρίγωνα ο Κριτήριο (Γ-Π-Γ) Αν δύο τρίγωνα έχουν µία πλευρά ίση και τις προσκείµενες σε αυτή γωνίες ίσες µία προς µία, τότε είναι ίσα. Á Â Å Æ Â=ÅÆ Â=Å =Æ 3 ο Κριτήριο (Π-Π-Π) Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες µία προς µία, τότε είναι ίσα. Á Â Å Z Â=ÅÆ ÁÂ=Å Á=Æ Παρατήρηση: Το κριτήριο (Γ-Π-Γ) γενικεύεται για µια πλευρά και δύο γωνίες όχι απαραίτητα προσκείµενες στην πλευρά. ηλαδή αν δυο τρίγωνα έχουν µόνο µια πλευρά αντίστοιχα ίση και δυο οποιεσδήποτε γωνίες ίσες τότε είναι ίσα. Ειδικότερα για δύο ορθογώνια τρίγωνα ισχύουν τα επόµενα κριτήρια ισότητας: 1ο Κριτήριο i Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν µία πλευρά και µία οξεία γωνία ίσες, τότε είναι ίσα. 2ο Κριτήριο i Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο οµόλογες πλευρές ίσες µία προς µία, τότε είναι ίσα. Με τη βοήθεια των παραπάνω κριτηρίων αποδεικνύονται τα επόµενα πορίσµατα και θεωρήµατα: 1. Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο οι προσκείµενες στη βάση γωνίες είναι ίσες. 2. Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόµος της γωνίας της κορυφής είναι ταυτόχρονα ύψος και διάµεσος. 3. Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο το ύψος που άγεται απο την κορυφή είναι ταυτόχρονα διχοτόµος και διάµεσος. 4. Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διάµεσος που άγεται απο την κορυφή είναι ταυτόχρονα ύψος και διχοτόµος. 5. Οι γωνίες ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες. 6. Κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθύγραµµου τµήµατος ισαπέχει από τα άκρα του

6 40. Τρίγωνα ευθύγραµµου τµήµατος και αντίστροφα αν ένα σηµείο ισαπέχει απο τα άκρα ευθύγραµ- µου τµήµατος τότε ανήκει στη µεσοκάθετο αυτού. 7. Σε κάθε κύκλο, αν δύο τόξα είναι ίσα τότε και οι αντίστοιχες χορδές είναι ίσες και αντίστροφα. (Σηµείωση: το αντίστροφο ισχύει δεδοµένου ότι και τα δύο τόξα είναι µεγαλύτερα ή µικρότερα του ηµικυκλίου.) 8. Σε κάθε κύκλο η κάθετος από το κέντρο του προς µια χορδή, διχοτοµεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο της. Θεώρηµα ύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και µόνο αν τα αποστήµατά τους είναι ίσα. Απόδειξη ο ˆΚ = Λˆ = 90 ΚΟΑ= ΛΟΓ διότι: ΟΑ = ΟΓ = ρ ΑΚ = ΓΛ άρα είναι ΟΚ = ΟΛ. Αντίστροφα: Αν ΟΚ = ΟΛ, τότε ΚΟΑ= ΛΟΓ, διότι: ˆ ο ˆΚ = Λ = 90 ΟΑ = ΟΒ = ρ ΟΚ = ΟΛ Θεώρηµα Απόδειξη Εποµένως ΑΒ Γ ΑΚ = ΓΛ = ΑΒ = Γ 2 2 Κάθε σηµείο της διχοτόµου µιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφα. ο Α = Β= 90 ΑΟΜ = ΒΟΜ διότι: ΟΜ : κοινή ΜΟΑ ˆ ΜΟΒ ˆ = Εποµένως, ΜΑ = ΜΒ Αντίστροφα: ο Αν ΜΑ = ΜΒ τότε ΑΟΜ = ΒΟΜ, διότι: Αˆ = Βˆ = 90, ΟΜ κοινή, ΜΑ = ΜΒ. Εποµένως ΜΟΑ ˆ = ΜΟΒ ˆ δηλαδή ανήκει στη διχοτόµο Οδ.

7 Τρίγωνα 41. Β. ΜΕΘΟΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μέθοδος 1 1. Για να δείξουµε ότι δυο τρίγωνα είναι ίσα, αρκεί να δείξουµε ότι ικανοποιούν ένα απο τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. ηλ. έχουν τις πλευρές τους ίσες µια προς µια, ή έχουν δυο πλευρές ίσες µία προς µία και τις περιεχόµενες σε αυτές γωνίες ίσες, ή έχουν µια πλευρά και τις προσκείµενες σε αυτή γωνίες ίσες µία πρός µία. Μέθοδος 2 2. Για να δείξουµε ότι δυο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, αρκεί να δείξουµε ότι ικανοποιούν ένα απο τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. ηλ. έχουν δυο κάθετες πλευρές ίσες µια προς µια, ή έχουν µια πλευρά και την προσκείµενη σε αυτή οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες µία πρός µία. Μέθοδος 3 3. Για να δείξουµε ότι δυο ευθύγραµµα τµήµατα ή δυο γωνίες είναι ίσες αναζητούµε κατάλληλα τρίγωνα - τα οποία έχουν στοιχεία τα ζητούµενα - και δείχνουµε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα. Μέθοδος 4 4. Για να δείξουµε ότι ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές, αρκεί να δείξουµε ότι έχει δυο πλευρές ίσες ή έχει δυο γωνίες ίσες, ή το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει την κορυφή µε τη βάση είναι: α. ύψος και διάµεσος β. ύψος και διχοτόµος γ. διάµεσος και διχοτόµος.

8 42. Τρίγωνα Γ. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουµε τη βάση ΒΓ κατά ίσα ευθύγραµµα τµήµατα Β και ΓΕ. Να αποδείξετε ότι: α. οι γωνίες ΑΒ και ΑΓΕ είναι ίσες β. το τρίγωνο Ε είναι ισοσκελές. ο ο α. Είναι Βˆ + ωˆ = 180, Γˆ + φˆ = 180 και επειδή Β ˆ = Γ ˆ παίρνουµε : Βˆ + ωˆ = Γˆ + φˆ ωˆ = φˆ. β. Τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΓΕ έχουν: ö ΑΒ = ΑΓ (από υπόθεση) ù ωˆ = φˆ (από α. ερώτηµα) Β = ΓΕ (από υπόθεση). Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα αφού έχουν τις δύο πλευρές τους ίσες και τις αντίστοιχα περιεχό- µενες γωνίες ίσες. Οπότε Α = ΑΕ, δηλαδή το τρίγωνο ΑΕ είναι ισοσκελές. Άσκηση 2 Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουµε στη ΒΓ τα σηµεία Μ και Ν, ώστε ΒΜ = ΓΝ. Εάν και Ε είναι οι προβολές των Β και Γ στις ΑΜ και ΑΝ αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΕ είναι ισοσκελές. Στα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΝΓ είναι: ΑΒ = ΑΓ, Βˆ = Γˆ (γωνίες βάσης ισοσκελούς) και ΒΜ = ΝΓ (από υπόθεση). Άρα είναι ίσα, οπότε ΑΜ = ΑΝ και Μˆ 1 = Νˆ ˆ ˆ 1 Μ2 = Ν2 (παραπληρωµατικές των Μ,Ν). ˆ ˆ 1 1 Στα τρίγωνα ΒΜ και ΓΝΕ έχουµε: ˆ = ˆ = ΒΜ = ΝΓ, Μ ˆ ˆ 2 = Ν2. Άρα είναι ίσα και συνε- ο Ε 90, M N πώς Μ = ΝΕ. Τότε ΑΜ + Μ = ΑΝ + ΝΕ ή Α = ΑΕ. Άσκηση 3 Στο τρίγωνο ΑΒΓ η Α είναι διχοτόµος της γωνίας Α. Από την κορυφή Β φέρνουµε τη ΒΖ Α, που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Να δειχθεί ότι η Α είναι διχοτόµος της γωνίας ΒΕ.

9 Τρίγωνα 43. Το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισοσκελές (η ΑΖ είναι διχοτόµος και ύψος). Άρα είναι και διάµεσος δηλ. το Ζ είναι µέσο της ΒΕ. Εποµένως στο τρίγωνο ΒΕ, η Ζ είναι διάµεσος και ύψος, που σηµαίνει ότι το τρίγωνο ΒΕ είναι ισοσκελές, άρα η Ζ είναι και διχοτόµος της γωνίας ΒΕ ˆ. Z 1 2 Άσκηση 4 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Σ εσωτερικό σηµείο του. Οι ΒΣ και ΓΣ τέµνουν τις ΑΓ και ΑΒ στα και Ε αντίστοιχα. Αν Β = ΓΕ και ΒΕ = ΓΕ δείξτε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Επειδή ΒΕ = ΓΕ το τρίγωνο ΣΕ είναι ισοσκελές. Á Άρα ΣΕ = Σ (1). Από την υπόθεση έχουµε ΓΕ = Β (2). Με αφαίρεση κατά µέλη των (1) και (2) παίρνουµε: ΓΣ = ΒΣ. Å Άρα Β 1 = Γ1. 1 Ó 1 Επίσης τα τρίγωνα ΒΕΓ και ΒΓ είναι ίσα διότι: Â Β = ΓΕ,απο την υπόθεση ΒΓ = ΒΓ,κοινή πλευρά Β 1 = Γ1.Άρα θα έχουν και Β = Γ που σηµαίνει ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Άσκηση 5 Έστω κύκλος (Ο,ρ) και ΑΑ,ΒΒ,ΓΓ διάµετροι. είξτε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα. ίναι ΑΟΒ = Α ΟΒ, ΒΟΓ = Β ΟΓ, ΑΟΓ = Α ΟΓ ως κατά κορυφήν γωνίες. Επειδή είναι και επίκεντρες οι αντίστοιχες χορδές είναι ίσες. ηλαδή ΑΒ = Α Β, ΒΓ = Β Γ και ΑΓ = Α Γ, που σηµαίνει ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα. Â Á Ï Άσκηση 6 Έστω κύκλος (Ο, ρ) και δύο ίσες χορδές ΑΒ και Γ µε αποστήµατα ΟΚ και ΟΛ αντίστοιχα.

10 44. Τρίγωνα Αν οι προεκτάσεις των ΒΑ και Γ τέµνονται στο σηµείο Σ, δείξτε ότι: i) τα τρίγωνα ΣΟΚ και ΣΟΛ είναι ίσα. ii) ΣΑ = ΣΓ και ΣΒ = Σ. i) Τα τρίγωνα ΣΟΚ και ΣΟΛ είναι ορθογώνια και έχουν την ΣΟ κοινή πλευρά και ΟΚ = ΟΛ,ως αποστήµατα ίσων χορδών. Άρα είναι ίσα. ii. Από το i. ερώτηµα έχουµε ΣΚ = ΣΛ.Επειδή οι ΟΚ και ΟΛ διχοτοµούν τις ΑΒ, Γ αντίστοιχα και ΑΒ = Γ θα είναι και ΑΚ = ΓΛ. Οπότε ΣΑ = ΣΚ - ΑΚ = ΣΛ - ΓΛ = ΣΓ και ΣΒ = ΣΚ + ΚΒ = ΣΛ + Λ = Σ. Ó Ê Ë Ï Άσκηση 7 Έστω κύκλος (Ο,ρ) και Κ τυχαίο σηµείο του. Αν ο κύκλος (Κ,ρ) τέµνει τον προηγούµενο στα σηµεία Α και Β, δείξτε ότι: i. οι γωνίες ΑΟΒ και ΑΚΒ είναι ίσες και η ΟΚ είναι διχοτόµος τους. ii. οι ΟΚ και ΑΒ είναι κάθετες. i. Επειδή οι κύκλοι είναι ίσοι και η ΑΒ είναι κοινή χορδή, τα τόξα ΑΟΒ και ΑΚΒ είναι ίσα άρα και οι αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες ΑΟΒ και ΑΚΒ είναι ίσες. Κ Ο Επίσης ΟΑ = ΟΒ = ρ οπότε και ΟΑ = ΟΒ,συνεπώς ΑΚΟ ˆ = ΒΚΟ ˆ. Άρα η ΚΟ είναι διχοτόµος της ΑΚΒ. Όµοια αποδεικνύεται ότι είναι διχοτόµος της ΑΟΒ. ii. Επειδή το τρίγωνο ΑΚΒ είναι ισοσκελές (ΚΑ = ΚΒ = ρ) η διχοτόµος της ΑΚΒ είναι και ύψος του τριγώνου. Άρα ΑΒ ΚΟ. Άσκηση 8 Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και ευθεία ε παράλληλη στην βάση ΒΓ, που τέµνει τις ΑΒ και ΑΓ στα και Ε αντίστοιχα. Αν Η και Θ είναι οι προβολές των και Ε αντίστοιχα πάνω στην ΒΓ, δείξτε ότι ΒΗ = ΓΘ.

11 Τρίγωνα 45. Á Η, Θ ορθές Έχουµε Η = ΕΘ (αποστάσεις µεταξύπαραλλήλων) Β = Γ (ΑΒΓισοσκελές) Â Ç È Å å Άρα ΒΗ = ΓΘΕ. Συνεπώς είναι και ΒΗ = ΓΘ. Άσκηση 9 Αν δύο τρίγωνα έχουν δυο πλευρές αντίστοιχα ίσες, µια απο τις προσκείµενες σε αυτές γωνία ίση και τις αντίστοιχες διχοτόµους της ίσες, δείξτε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα. Έστω τρίγωνα ΑΒΓ, ΚΛΜ µε διχοτόµους ΒΗ και ΛΝ και ΑΒ = ΚΛ, ΒΗ = ΛΝ και Β = Λ. Τότε ΑΒ = ΚΛ (απο υπόθεση) ΒΗ = ΛΝ(απο υπόθεση) Β Λ ΑΒΗ = = = ΚΛΝ 2 2 Άρα Α ΒΗ = Κ Λ Νκαι συνεπώς Α = Κ Ê Â Í Á Ç Επίσης ΑΒ = ΚΛ (απο υπόθεση) Β Λ = (απο υπόθεση) Άρα ΑΒΓ = ΚΛΜ Α Κ = (απο την(1)) Ë Ì Άσκηση 10 Να δείξετε ότι αν ενώσουµε τα µέσα των πλευρών ενός ισοσκελούς τριγώνου, σχηµατίζεται ισοσκελές τρίγωνο. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ και Κ, Λ, Μ τα µέσα των ΒΓ, ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα.τότε

12 46. Τρίγωνα ΑΒ ΑΓ ΒΜ = = = ΛΓ 2 2 Β Γ = (ΑΒΓ ισοσκελές) ΒΚ = ΓΚ (Κ µέσο) Άρα ΒΜ Κ = Γ Λ Κ και συνεπώς ΚΛ = ΚΜ Â Ì Á Ê Ë Άρα το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισοσκελές. Άσκηση 11 ίνεται γωνία χοψ και τυχαίο σηµείο Σ της διχοτόµου Οδ. Πάνω στην Οχ παίρνουµε τµήµατα ΟΑ, ΟΒ και στην Οψ παίρνουµε ΟΓ = ΟΑ και Ο = ΟΒ. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΣΑΒ και ΣΓ είναι ίσα. Έχουµε ΟΓ = ΟΑ (απο υπόθ.) ΓΟΣ ΑΟΣ = (Οδ διχοτ.) Άρα ΓΟΣ = ΑΟΣ και συνεπώς ΣΓ = ΣΑ () 1 ΟΣ κοινή πλευρά και ˆΓ ˆ 1 = Α1. Ο = ΟΒ Είναι τότε Ο ΟΓ = ΟΒ ΟΑ Γ = ΑΒ () 2. ΟΓ = ΟΑ Επίσης ΓΣ = ΣΑΒ (3) ως παραπληρώµατα ίσων γωνιών. Απο τις (1),(2) και (3) προκύπτει ότι τα τρίγωνα ΓΣ και ΑΒΣ είναι ίσα. Ï 1 1 Á Ó ø ä Â Άσκηση 12 Έστω Σ τυχαίο σηµείο της µεσοκαθέτου ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ. Η κάθετος προς τη ΣΑ από το Σ τέµνει την ΑΒ στο Η και η κάθετος προς τη ΣΒ από το Σ τέµνει την ΑΒ στο Ε. είξτε ότι το Σ βρίσκεται στη µεσοκάθετο του ΗΕ. Αρκεί να δείξουµε ότι ΣΕ = ΣΗ.Επειδή το Σ ανήκει στη µεσοκάθετο του ΑΒ, ισχύει ΣΑ = ΣΒ

13 Τρίγωνα 47. και συνεπώς Α=Β. Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΣΗ και ΒΣΕ είναι ίσα. Οπότε θα είναι και ΣΕ = ΣΗ,που σηµαίνει ότι το Σ βρίσκεται στη µεσοκάθετο του ΗΕ. Ó Á Å Ç Â Άσκηση 13 Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Εκατέρωθεν της ΒΓ φέρουµε στα άκρα της Β και Γ ηµιευθείες κάθετες σ αυτήν, επί των οποίων παίρνουµε τα ίσα τµήµατα Β και ΓΕ. Αφού δείξετε ότι τα ευθύγραµµα τµήµατα ΒΓ και Ε τέµνονται, έστω σε σηµείο Μ, στη συνέχεια να δείξετε ότι ΑΜ ΒΓ. Εφόσον τα, Ε βρίσκονται εκατέρωθεν του ΒΓ και τα Β, Γ εκατέρωθεν του Ε, τα ευθύγραµµα τµήµατα ΒΓ και Ε τέµνονται σε εσωτερικό τους σηµείο Μ. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΜΒ Β = ΓΕ (υπόθεση). Μˆ = Μˆ (ως κατακορυφήν γωνίες). 1 2 και ΜΓΕ έχουν: Άρα ΜΒ= ΜΓΕ, οπότε ΜΒ = ΜΓ. ηλαδή το Μ είναι µέσο του ΒΓ. Συνεπώς στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ η ΑΜ είναι η διάµεσος που αντιστοιχεί στην βάση του ΒΓ, άρα θα είναι και ύψος, δηλαδή ΑΜ ΒΓ. 1 Ì 2

14 48. Τρίγωνα. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. ίνεται γωνία xoψ και ένα σηµείο Μ της διχοτόµου ΟΖ. Στην Οx παίρνουµε τα τµήµατα ΟΑ και ΟΒ και στην Οψ τα τµήµατα ΟΓ και Ο, έτσι ώστε ΟΓ = ΟΑ και Ο = ΟΒ. Να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα ΜΑΒ και ΜΓ είναι ίσα. x O M Z ø 2. Στο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουµε τα τµήµατα Α = ΒΕ = ΓΖ αντίστοιχα στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ. Να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο, όπου Κ, Λ, Μ τα σηµεία τοµής των ΑΕ, Γ, ΒΖ. K Ë M Æ 3. Μεταξύ των στοιχείων τριγώνου ΑΒΓ αληθεύουν συγχρόνως οι σχέσεις α = 2γ και Βˆ = 2Γˆ. Να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. ã á 4. Έστω κύκλος διαµέτρου ΑΒ και Γ, σηµεία της που ισαπέχουν από το κέντρο Ο. Αν ΚΜ είναι διάµετρος, δείξτε ότι ΑΚ//ΒΜ.

15 Τρίγωνα 49. K O M 5. Έστω κύκλος (Ο,ρ) διαµέτρου ΒΓ και Α σηµείο του κύκλου τέτοιο ώστε ΑΒΓ = 45 o. Αν Η και Θ είναι σηµεία της ΒΓ τέτοια ώστε ΟΗ = ΟΘ και οι ΑΗ και ΑΘ τέµνουν τον κύκλο στα και Ε αντίστοιχα, να δείξετε ότι Β = ΓΕ. H O È 6. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και Η, Θ σηµεία της βάσης ΒΓ τέτοια ώστε ΒΗ = ΓΘ. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές των Β και Γ πάνω στις ΑΗ και ΑΘ αντίστοιχα, δείξτε ότι οι γωνίες ΗΒΕ και ΘΓΖ είναι ίσες. Ç È Æ 7. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ. Με διάµετρο τη βάση ΒΓ φέρνουµε ηµικύκλιο που τέµνει τις ΑΒ και ΑΓ στα και Ε αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕΟ και ΑΟ είναι ίσα.

16 50. Τρίγωνα Å O 8. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και ευθεία ε παράλληλη στην βάση ΒΓ που τέµνει τις ΑΒ και ΑΓ στα και Ε αντίστοιχα. Αν οι διχοτόµοι ΒΗ και ΓΘ τέµνουν την ευθεία ε στα Ρ και Σ αντίστοιχα, δείξτε ότι τα τρίγωνα ΣΘ και ΕΡΗ είναι ίσα. å Ó Å Ñ È Ç 9. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και ευθείες ε 1 και ε 2 κάθετες στις ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία Κ και Λ που τέµνουν τη ΒΓ στα Ε και Ζ αντίστοιχα. Αν ΑΚ = ΑΛ και οι ε 1 και ε 2 τέµνονται µεταξύ τους στο να δείξετε ότι α. ΖΒ = ΓΕ β. Το τρίγωνο ΕΖ ισοσκελές. Ê Æ Å Ë

17 Τρίγωνα Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΜ διάµεσος. Να δείξετε ότι οι άλλες δυο κορυφές ισαπέχουν από τη διάµεσο ΑΜ. Ì 11. Έστω οι ορθές γωνίες χοψ και ηοω µε κοινή κορυφή Ο και τα σηµεία Α και Β στις ηµιευθείες Οη και Οψ αντίστοιχα έτσι ώστε ΟΑ = ΟΒ.Αν η ευθεία ΑΒ τέµνει τις Οχ και Οω στα Ε και Η αντίστοιχα δείξτε ότι ΟΗ = ΟΕ. ç Ï Å Ç ù ø 12. Να δείξετε ότι αν δύο τρίγωνα έχουν δύο οµόλογες πλευρές ίσες µία προς µία και τις διαµέσους µίας εκ των δύο πλευρών ίσες, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. K Ë Ì 13. ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ παίρνουµε σηµεία, Ε και Ζ αντίστοιχα τέτοια ώστε Β = ΓΕ = ΑΖ. Αν τα ευθύγραµµα τµήµατα ΒΖ, Γ και ΑΕ τέµνονται ανα δύο στα Μ,Ν και Κ αντίστοιχα, δείξτε ότι: ι. ΑΕ = Γ = ΒΖ ιι. το τρίγωνο ΜΝΚ είναι επίσης ισόπλευρο.

18 52. Τρίγωνα K Z M N 14. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ < ΑΓ. Προεκτείνουµε τις ΑΒ και ΑΓ προς το Α και παίρνουµε Α = ΑΓ και ΑΕ = ΑΒ αντίστοιχα. Αν η Ε τέµνει την ΒΓ στο Μ, να δείξετε ότι: i. ΑΕΒ = ΑΒΕ, ΑΕ = ΑΒΓ και το τρίγωνο ΜΒΕ είναι ισοσκελές. ii. Η διχοτόµος της γωνίας ΕΜΒ διέρχεται από το σηµείο Α. M 15. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και εξωτερικά από αυτό τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΕ, ΒΓ και ΑΓΗ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΕΗ είναι ισοσκελές. H 16. Έστω τα ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΕ µε κοινή κορυφή την Α και ΒΑΓ = ΑΕ.Να δείξετε ότι ΒΕ = Γ.

19 Τρίγωνα Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και ευθείες ε 1 και ε 2 παράλληλες στη βάση του που τεµνουν την ΑΒ στα Ε και Η και την ΑΓ στα Ζ και Θ αντίστοιχα. είξτε ότι τα τρίγωνα ΒΖΘ και ΓΕΗ είναι ίσα. Z å 1 Ç È å Σε τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουµε τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ κατά τµήµατα ΑΕ = ΑΒ και ΑΖ = ΑΓ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα σηµεία Ε και Ζ ισαπέχουν από τη ΒΓ. Z 19. Αποδείξτε ότι αν ένα τρίγωνο έχει δύο ύψη ίσα µεταξύ τους τότε είναι ισοσκελές και αντίστροφα. Ε. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ Στις πλευρές Οχ και Οψ µιας γωνίας παίρνουµε αντίστοιχα ίσα τµήµατα ΟΑ = ΟΒ. Στο

20 54. Τρίγωνα εσωτερικό της γωνίας φέρνουµε ηµιευθείες Οζ και Οη τέτοιες ώστε χοζ =ψοη και χοψ χοζ <. Στις πλευρές Οζ και Οη παίρνουµε αντίστοιχα ίσα τµήµατα ΟΜ = ΟΝ. Αν 2 οι ΑΝ και ΒΜ τέµνονται στο Σ να δείξετε ότι: ι. Τα τρίγωνα ΣΑΜ και ΣΒΝ είναι ίσα. ιι. Η διχοτόµος της χοψ διέρχεται από το Σ.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο

Διαβάστε περισσότερα

Ôñßãùíá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 3 θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ôñßãùíá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 3 θα πρέπει να είναι σε θέση: ÊåöÜëáéï 3 ï Ôñßãùíá Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 3 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει και να εφαρµόζει τα κριτήρια ισότητας τριγώνων και ορθογωνίων τριγώνων. Να γνωρίζει τις ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A 1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΘΕΜΑ 1 ο (α) Να αποδειχθεί ότι στον ίδιο ή σε ίσους κύκλους, ίσα αποστήµατα αντιστοιχούν σε ίσες χορδές. (β) Να αποδειχθεί ότι κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθύγραµµου τµήµατος ισαπέχει

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Ηµιεπίπεδο Κάθε ευθεία ε επιπέδου Π χωρίζει τα σηµεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην ε σε δύο σηµειοσύνολα Π 1

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Ηµιεπίπεδο Κάθε ευθεία ε επιπέδου Π χωρίζει τα σηµεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην ε σε δύο σηµειοσύνολα Π 1 2 Η γωνία - Ο κύκλος Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ηµιεπίπεδο Κάθε ευθεία ε επιπέδου Π χωρίζει τα σηµεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην ε σε δύο σηµειοσύνολα Π 1, Π 2 τα οποία ονοµάζονται ηµιεπίπεδα

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι Ανισοτικές σχέσεις Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Βασικοί γεωµετρικοί τόποι Γεωµετρικός τόπος είναι ένα σύνολο σηµείων του επιπέδου τα οποία έχουν µια κοινή ιδιότητα.τρείς από

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν µε κατάλληλη µετατόπιση, το ένα συµπίπτει µε το άλλο. Β. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Πρώτο κριτήριο Αν όλες οι πλευρές του ενός τριγώνου

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 5 ï. Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση:

ÊåöÜëáéï 5 ï. Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση: ÊåöÜëáéï 5 ï Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις ιδιότητες του παραλληλογράµµου, ορθογωνίου, ρόµβου, τετραγώνου, τραπεζίου.

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

β. Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την κορυφή του ισοσκελούς τριγώνου καλείται βάση.

β. Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την κορυφή του ισοσκελούς τριγώνου καλείται βάση. 1 Τρίγωνα 11 Στοιχεία και είδη τριγώνων 111 Κύρια στοιχεία τριγώνου Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου Συγκρίνοντας τις πλευρές του τριγώνου μεταξύ τους προκύπτουν

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 3. 3.9 ΘΕΩΡΙ. Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 2. Είδη τριγώνων Ως προς τις πλευρές : Σκαληνό, ισοσκελές, ισόπλευρο. Ως προς τις γωνίες

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 6/ 11/ 2016

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 6/ 11/ 2016 εν είναι δυνατή η προβολή αυτής της εικόνας αυτή τη στιγµή. ΕΠΩΝΥΜΟ:... ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΤΣΙΜΙΣΚΗ &ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 - Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ: 919113 949422 www.syghrono.gr ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:...

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΒ ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) και σηµείο Μ της πλευράς του Α ώστε =. Από το

ΑΒ ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) και σηµείο Μ της πλευράς του Α ώστε =. Από το 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ, Â =36o και η διχοτόµος του Β. α) Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα Β Γ και ΑΒΓ είναι όµοια. ii) A 2 =ΑΓ Γ β) Αν θεωρήσουµε το ΑΓ ως µοναδιαίο τµήµα (ΑΓ=1), να υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων Β Ε γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΖ.

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων Β Ε γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΖ. 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ είναι Â =80. Παίρνουµε τυχαίο σηµείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σηµεία και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε Β =ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόµος της γωνίας της κορυφής είναι και διάµεσος και ύψος.

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόµος της γωνίας της κορυφής είναι και διάµεσος και ύψος. ΙΩΝΙΣΜ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΟΥ 3/0/0 ΕΝΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜ ο ) Να αποδείξετε ότι δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και µόνο αν τα αποστήµατά τους είναι ίσα. Θεωρία, σελίδα 46 σχολικού βιβλίου Θεώρηµα III

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,

Διαβάστε περισσότερα

α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M

α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M Απαντήσεις 51 5. Εφαρµογές των παραλληλογράµµων α Εφαρµογές στα τρίγωνα α.1 Στο τρίγωνο AB Γ είναι Ε // (1) Επίσης Ζ, ΕΗ, άρα Ζ // ΕΗ () Από τις (1), () έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. α. Στο

Διαβάστε περισσότερα

Aν οι ευθείες ΚΒ και ΓΛ τέμνονται στο σημείο Μ, τότε η ΑΜ είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ

Aν οι ευθείες ΚΒ και ΓΛ τέμνονται στο σημείο Μ, τότε η ΑΜ είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 26/5/2017 ΘΕΜΑ 1 ο Α 1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΠΤΙΣ ΣΣΙΣ > 90. 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο µε = και 0 πό την κορυφή φέρνουµε τις ηµιευθείες x κάθετη στην πλευρά και y κάθετη στην πλευρά που τέµνουν την στα σηµεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε α)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Πρόλογος... 7 Περιεχόµενα... 9 Κεφάλαιο ο (του σχολικού βιβλίου) Μάθηµα 1 ο : Βασικά γεωµετρικά σχήµατα... 11 Μάθηµα ο : Γωνίες - κύκλος... 3 Κεφάλαιο 3 ο Μάθηµα 3

Διαβάστε περισσότερα

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 011 ΘΕΜΑ 1 Ο Να αποδείξετε ότι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του ισούται µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της στην

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ

ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ ÊåöÜëáéï 7 ï Åõèýãñáììá ó Þìáôá âéâëéïììüèçìá : -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ âéâëéïììüèçìá 3: -Åìâáäü ôñéãþíïõ -Åìâáäü

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα Πλευρές ΑΒ ή ΒΑ ή γ ΑΓ ή ΓΑ ή β ΒΓ ή ΓΒ ή α Γωνίες ˆ ή ˆ ή ˆ ˆ ή ˆ ή ˆ ˆ ή ˆ ή ˆ μ α δ α υ α Διάμεσος ΑΜ ή μ α Διχοτόμος ΑΔ ή δ α Ύψος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2013 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΩΝ ΑΝΑΡΓΥΡΩΝ ΤΑΞΗ Α ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ B Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Βασικές Γεωμετρικές ένοιες Τάξη : A Γυμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω

Διαβάστε περισσότερα

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης .5.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48 ρωτήσεις κατανόησης. Έστω ευθεία ε και σηµείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σηµεία της ε) τότε i) Σ Λ ii) Σ Λ iii) = Σ Λ ιτιολογήστε την απάντηση σας i) ιότι από ένα

Διαβάστε περισσότερα

1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα.

1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα. 1 1.5. ΟΜΟΙ ΤΡΙΩΝ ΘΩΡΙ 1. Όµοια τρίγωνα : ια τα όµοια τρίγωνα ισχύουν όλα όσα αναφέραµε στα όµοια πολύγωνα. 2. ποκλειστικά για τα τρίγωνα : ύο τρίγωνα είναι όµοια όταν έχουν δύο γωνίες ίσες ΣΧΟΛΙ 1. Οµόλογες

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

. Ασκήσεις για εξάσκηση

. Ασκήσεις για εξάσκηση . Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 90 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α = 90, β = 9 cm, γ = 1 cm και την ΑΜ διάµεσο. Το µήκος του ΑΜ ισούται µε: Α. 9. 9 Ε. 1 15 Β. 6 Γ..

Διαβάστε περισσότερα

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Από την αρχική σχέση έχουµε: ΑΒ + ΑΓ = ή ΑΓ = ΑΒ Άρα ΑΓ = ΑΓ = 2

Από την αρχική σχέση έχουµε: ΑΒ + ΑΓ = ή ΑΓ = ΑΒ Άρα ΑΓ = ΑΓ = 2 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. i. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΗ, µε εφαρµογή του Πυθαγορείου Θεωρήµατος, έχουµε: ΑΗ Α - Η 7-49 - 4 45. Άρα ΑΗ 45 3 5cm. K ii. ια το τρίγωνο ΑΒ έχουµε: (ΑΒ) ΒΚ Β ΑΗ Β ΑΗ Α Α ΒK, άρα

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΓΕ)

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΓΕ) Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, Β και Α αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΕ) 1 β) ( ΕΖ) = (ΑΒ). 4 2. ** Να δείξετε ότι το εµβαδόν τυχόντος τετραπλεύρου

Διαβάστε περισσότερα

8 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version )

8 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version ) 8 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version 3-8-205) Σ.Να αποδείξετε ότι δύο τραπέζια με ανάλογες βάσεις και τις προσκείμενες σε δύο ομόλογες βάσεις τους γωνίες ίσες μία προς μία, είναι όμοια. Θεωρούμε τα τραπέζια ΑΒΓΔ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕ = ΑΓ από τα δεδομένα ΒΑΕ=Α+ΓΑΕ=Α+ΒΑ = ο φυλλάδιο ΛΥΣΕΙΣ (Version )

ΑΕ = ΑΓ από τα δεδομένα ΒΑΕ=Α+ΓΑΕ=Α+ΒΑ = ο φυλλάδιο ΛΥΣΕΙΣ (Version ) 3.-3. ο φυλλάδιο ΛΥΣΕΙΣ (Version -0-06) Ε.Στο εξωτερικό ενός τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε τμήματα ΑΔ = ΑΒ και ΑΕ = ΑΓ, ώστε ΒΑ = ΓΑΕ. Να αποδείξετε ότι ΒΕ = ΓΔ. Λύση Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΔΓ έχουν: ΑΒ = Α από τα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και το 3.2 Ασκήσεις: 1-8 Θεωρία ως και το 3.4 Ασκήσεις: 9-13 Θεωρία ως και το 3.7 Ασκήσεις: 14-29

Διαβάστε περισσότερα

1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Έστω ΑΒΓ ένα ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ = ΑΓ), Δ, Ε σημεία της πλευράς ΒΓ τέτοια, ώστε ΒΔ = ΔΕ = ΕΓ και Μ, Ρ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι:

1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: α) ΑΜ = 1 2 ( ΑΒ + ΑΓ ) β) ΜΝ = 1 2 ΒΑ 2. ** ίνονται τα διανύσµατα ΑΒ και Α Β. Αν Μ και Μ

Διαβάστε περισσότερα

3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα

3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα 3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα 4 η διδακτική ενότητα : Ισότητα τριγώνων Ερωτήσεις κατανόησης 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις : α) Υπάρχουν σημεία του επιπέδου που

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

µ =. µονάδες 12+13=25

µ =. µονάδες 12+13=25 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β 1 ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε α=7, β=5, γ=4. Να βρείτε: 1. το είδος του τριγώνου. την προβολή της β πάνω στη γ 3. το µήκος της διαµέσου ΒΜ 4. την προβολή

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΡΙΣΜΑ 1. Οι προσκείµενες στη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες.

ΠΟΡΙΣΜΑ 1. Οι προσκείµενες στη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. ΠΟΡΙΣΜΑ 1. Οι προσκείµενες στη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε διχοτόµο ΑΔ Σύγκριση Τριγώνων ΑΒΔ και ΑΓΔ: -ΑΒ=ΑΓ (δεδοµένο) -ΒΑΔ=ΓΑΔ (αφού ΑΔ διχοτόµος) -ΑΔ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** 2. ** 3. ** 4. ** 5. ** 6. **

Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** 2. ** 3. ** 4. ** 5. ** 6. ** Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνονται επίπεδο p και τρία µη συνευθειακά σηµεία του Α, Β και Γ καθώς και ένα σηµείο Μ, που δεν συµπίπτει µε το Α. Αν η ευθεία ΑΜ τέµνει την ευθεία ΒΓ, να δείξετε ότι το Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνα. Απέναντι από την Α γωνία είναι η α πλευρά, απέναντι από τη Β γωνία είναι η β πλευρά, και απέναντι από τη Γ γωνία είναι η γ πλευρά.

Τρίγωνα. Απέναντι από την Α γωνία είναι η α πλευρά, απέναντι από τη Β γωνία είναι η β πλευρά, και απέναντι από τη Γ γωνία είναι η γ πλευρά. Τρίγωνα Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι 3 πλευρές του και οι 3 γωνίες του. Απέναντι από την Α γωνία είναι η α πλευρά, απέναντι από τη Β γωνία είναι η β πλευρά, και

Διαβάστε περισσότερα

αποδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείου 1

αποδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείου  1 απδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr αν δύ χρδές ενός κύκλυ είναι ίσες τότε και τα απστήµατά τυς και αντιστρόφως αν τα απστήµατα δύ χρδών ενός κύκλυ τότε και ι χρδές είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Σε δύο ίσα τρίγωνα ΑΒΓ ΔΕΖ να δείξετε ότι: α) Οι διχοτόμοι ΑΚ ΔΛ είναι ίσες β) Οι διάμεσοι ΒΜ ΕΘ είναι ίσες 2 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A τα ύψη του ΒΔ ΓΕ Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα