2. Σε τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουµε τη διάµεσο ΑΜ κατά Μ = ΑΜ. λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείου 1. ΒΜ = ΓΜ (υπόθεση)
|
|
|
- Ἄμπελιος Μεσσηνέζης
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1
2 λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείυ Στις πρεκτάσεις των ίσων πλευρών ΒΑ και ΓΑ ισσκελύς τριγώνυ ΑΒΓ θεωρύµε ίσα τµήµατα Α, ΑΕ αντιστίχως. Αν Μ είναι τ µέσ της ΒΓ, να απδείξεις ότι τ τρίγων Μ Ε είναι ισσκελές ΒΜ ΓΜ (υπόθεση) Βˆ Γˆ Π-Γ-Π (αφύ τ ΑΒΓ είναι ισσκελές) τα τρίγωνα ΒΜ και ΓΜΕ Β ΓΕ είναι ίσα (ως αθρίσµατα ίσων τµηµάτων) άρα: Μ ΜΕ δηλ. τ Μ Ε είναι ισσκελές. Σε τρίγων ΑΒΓ πρεκτείνυµε τη διάµεσ ΑΜ κατά Μ ΑΜ. Να απδείξεις ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΓ είναι ίσα ΒΜ ΓΜ (υπόθεση) Μˆ Μˆ Π-Γ-Π (ως κατακρυφήν) τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΓΜ ΑΜ Μ είναι ίσα (υπόθεση) άρα: ΑΒ Γ µίως: τα τρίγωνα ΒΜ και ΑΜΓ είναι ίσα άρα: Β ΑΓ ΑΒ Γ Π-Π-Π ΑΓ Β τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΓ είναι ίσα ΒΓ ΒΓ
3 δηµήτρη πιµενίδη 3. Έστω ισσκελές τρίγων ΑΒΓ (µε ΑΒ ΑΓ). Η µεσκάθετς της πλευράς ΑΓ τέµνει την πρέκταση της ΓΒ στ σηµεί. Πρεκτείνυµε τη Α κατά ΑΕ Β. Να απδείξεις ότι τα τρίγωνα ΑΓ και Γ Ε είναι ισσκελή αφύ τ είναι σηµεί της µεσκαθέτυ τυ ΑΓ θα είναι: Α Γ άρα τ ΑΓ είναι ισσκελές συνεπώς ω Γˆ αλλά και Bˆ Γˆ (αφύ τ ΑΒΓ είναι ισσκελές) άρα ω Βˆ ΑΒ ΑΓ (υπόθεση) φ θ (ως παραπληρωµατικές των ίσων ω,βˆ ) Β ΑΕ (υπόθεση) τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΓΕ είναι ίσα, συνεπώς: Α ΓΕ, αλλά: Α Γ, άρα: Γ ΓΕ δηλ. τ τρίγων Γ Ε είναι ισσκελές Π-Γ-Π 4. ίνεται ρθγώνι (Â 90 ) τρίγων ΑΒΓ και η διχτόµς τυ Β. Από τ φέρνυµε ευθεία κάθετη στη ΒΓ πυ τέµνει την ΑΒ στ Ζ. Να απδείξεις ότι τ τρίγων ΒΓΖ είναι ισσκελές Αˆ Εˆ ( ) Βˆ (υπόθεση) Βˆ τα τρίγωνα ΒΑ και ΒΕ είναι ίσα Β κινή συνεπώς: ΑΒ ΒΕ Αˆ Εˆ ( ) κριτήρι ισότητας ρθγωνίων τριγώνων κριτήρι ισότητας ρθγωνίων τριγώνων Βˆ κινή τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΒΖ είναι ίσα ΑΒ ΒΕ συνεπώς: ΒΓ ΒΖ δηλ. τ τρίγων Γ Ε είναι ισσκελές
4 λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείυ ίνεται κύκλς (Ο, R), δύ ίσες χρδές τυ ΑΒ, Γ και τα απστήµατά τυς ΟΚ, ΟΛ αντιστίχως. Αν ι πρεκτάσεις των ΒΑ, Γ τέµννται στ σηµεί Μ, να απδείξεις ότι: i. τα τρίγωνα ΜΟΚ και ΜΟΛ είναι ίσα ii. MA MΓ και ΜΒ Μ αφύ ΑΒ Γ και τα Κ, Λ είναι µέσα τυς θα είναι: ΑΚ ΚΒ ΓΛ Λ i. κριτήρι ισότητας Κˆ Λˆ (, από την υπόθεση) ρθγωνίων τριγώνων ΟΜ κινή τα τρίγωνα ΜΟΚ και ΜΟΛ ΟΚ ΟΛ (απστήµατα ίσων χρδών) είναι ίσα συνεπώς: ΜΚ ΜΛ ii. αφύ ΜΚ ΜΛ και ΑΚ ΚΒ ΓΛ Λ, είναι: ΜΑ ΜΓ (ως διαφρές ίσων τµηµάτων) ΜΒ Μ (ως αθρίσµατα ίσων τµηµάτων) 6. Έστω ε, ε δύ κάθετες ευθείες πυ τέµννται στ Ο και Μ τυχαί σηµεί τυ επιπέδυ. Αν Μ είναι τ συµµετρικό τυ Μ ως πρς ε και Μ τ συµµετρικό τυ Μ ως πρς ε, να απδείξεις ότι: i. ΟΜ ΟΜ και ii. τα σηµεία Μ και Μ είναι συµµετρικά ως πρς Ο i. η ΟΚ είναι µεσκάθετς τυ ΜΜ, συνεπώς: ΟΜ ΟΜ µίως: ΟΜ ΟΜ άρα: ΟΜ ΟΜ ii. στα ισσκελή τρίγωνα ΜΟΜ και Μ ΟΜ τα ύψη ΟΚ και ΟΛ είναι και διχτόµι, συνεπώς: Οˆ + Οˆ + Οˆ + Οˆ (Οˆ + Οˆ ) άρα τα σηµεία Μ, Ο και Μ είναι συνευθειακά κι αφύ ΟΜ ΟΜ τα σηµεία Μ, Μ είναι συµµετρικά ως πρς Ο
5 4 δηµήτρη πιµενίδη 7. Σε ρθγώνι (Â 90 ) τρίγων ΑΒΓ, η διχτόµς της γωνίας Γ τέµνει την ΑΒ στ. Να απδείξεις ότι: Α < Β αφύ είναι σηµεί της διχτόµυ της Γˆ, είναι: Α Ε αλλά στ ρθγώνι τρίγων ΕΒ η Β είναι υπτείνυσα, συνεπώς: Ε < Β δηλαδή Α < Β α 8. Να απδείξεις ότι σε τρίγων ΑΒΓ ισχύει: µ α <,, > Αˆ >,, < Βˆ + Γˆ στ τρίγων ΑΜΒ: ΑΜ <,, > ΒΜ Βˆ<,, > Αˆ στ τρίγων ΑΜΓ: ΑΜ <,, > ΓΜ Γˆ<,, > Αˆ + Βˆ +Γˆ<,, > Αˆ
6 λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείυ Αν ΑΜ είναι διάµεσς τριγώνυ ΑΒΓ µε ΑΒ < ΑΓ, να απδείξεις ότι: i. M ÂB > Μ Αˆ Γ ii. β - γ < µ α < β + γ iii. µ α + µ β + µ γ < τ πρεκτείνυµε τη διάµεσ κατά ίσ τµήµα πότε: i. ΜΑ Μ Π-Γ-Π Μˆ (ως κατακρυφήν) τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΓΜ είναι ίσα Μˆ ΜΒ ΜΓ (υπόθεση) πότε ΑΒ Γ και Μ ΑˆΒ Μ ˆ Γ στ τρίγων ΑΓ είναι: ΑΓ > Γ (ΑΒ) άρα Α ˆ Γ> Αˆ Γ δηλ. Μ Αˆ Β> Μ Αˆ Γ ii. στ τρίγων ΑΓ σύµφωνα µε την τριγωνική ανισότητα έχυµε: ΑΓ Γ < Α < ΑΓ + Γ δηλαδή: β - γ < µ α < β + γ iii. δείξαµε ότι: µ α < β + γ + µίως: µ β < γ + α (µ α + µ β + µ γ ) < (α + β + γ) µ γ < α + β δηλ. µ α + µ β + µ γ < τ 0. ίνεται κύκλς (Ο, ρ), µία διάµετρς τυ ΑΒ και ι εφαπτόµενες ε, ε τυ κύκλυ στα σηµεία Α και Β. Αν µία τρίτη εφαπτµένη ε τέµνει τις ε, ε στα σηµεία Γ και, να απδείξεις ότι: Γ Οˆ 90 ι ΟΓ και Ο αντιστίχως είναι διχτόµι των εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών Α Οˆ Μ και Β Οˆ Μ άρα: ΟΓ Ο δηλαδή Γ Οˆ 90
7 6 δηµήτρη πιµενίδη. Από τ έγκεντρ Ι τριγώνυ ΑΒΓ φέρυµε παράλληλη στη ΒΓ πυ τέµνει τις ΑΒ, ΑΓ στα σηµεία και Ε αντιστίχως. Να απδείξεις ότι: Ε Β + ΓΕ Ιˆ (εντός εναλλάξ των παραλλήλων Ε,ΒΓ πυ τέµννται απ τη ΒΙ) Βˆ Βˆ (υπόθεση) Βˆ άρα Ιˆ Βˆ δηλαδή τ τρίγων Β Ι είναι ισσκελές συνεπώς: Β Ι µίως: ΓΕ ΙΕ επµένως: Ε Ι + ΙΕ Β + ΓΕ. Από τα άκρα ευθυγράµµυ τµήµατς ΑΒ φέρυµε στ ίδι ηµιεπίπεδ δύ παράλληλες ηµιευθείες Αx και Βy. Παίρνυµε τυχαί σηµεί Γ τυ ΑΒ και στις Αx, Βy τα σηµεία, Ε αντιστίχως, ώστε Α ΑΓ και ΒΕ ΒΓ. Να απδείξεις ότι Γˆ Ε 90 στ ισσκελές τρίγων ΓΑ έχυµε: συνεπώς αφύ ˆ είναι: Γˆ Γˆ + ˆ + Αˆ 80 Γˆ + Αˆ 80 Αˆ άρα: Γˆ 90 - Βˆ µίως: Γˆ 90 - Αˆ + Βˆ 80 άρα: ΓˆΕ 80 -Γˆ -Γˆ 90 (αφύ ι Αˆ, Βˆ είναι εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων Αx,By πυ τέµννται απ την ΑΒ)
8 λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείυ 7 Αˆ 3. Να απδείξεις ότι σε τρίγων ΑΒΓ ισχύει: Βˆ 90 + εξ ΑΒ ΑΓ Αˆ Βˆ 90 + εξ Αˆ Βˆ Γˆ Αˆ Αˆ +Γˆ Γˆ Βˆ Γˆ Βˆ ΑΒ ΑΓ 4. Αν Α είναι διχτόµς τριγώνυ ΑΒΓ µε Β > Γ, να απδείξεις ότι: i. Α ˆ Γ - Α ˆ Β Βˆ -Γˆ ii. Α ˆ Β 90 Βˆ -Γˆ και Α ˆ Γ 90 + Βˆ -Γˆ i. ι Α ˆΓ, Α ˆ Β είναι εξωτερικές στα τρίγωνα Α Β, Α Γ αντιστίχως, Αˆ Αˆ άρα: Α ˆΓ -Α ˆΒ Βˆ + - (Γˆ + ) Βˆ -Γˆ ii. αν λύσυµε (π.χ. µε πρόσθεση και αφαίρεση των εξισώσεων κατά µέλη) τ σύστηµα Α ˆΓ -Α ˆΒ Βˆ -Γˆ o Α ˆΓ + Α ˆΒ 80 o Βˆ -Γˆ βρίσκυµε ότι: Α ˆΓ 90 + και o Βˆ -Γˆ Α ˆΒ 90 -
9 8 δηµήτρη πιµενίδη 5. Αν είναι τυχαί σηµεί της πλευράς ΑΒ ισσκελύς (ΑΒ ΑΓ) τριγώνυ ΑΒΓ και στην πρέκταση της ΓΑ πάρυµε τµήµα ΑΕ Α, να απδείξεις ότι: Ε ΒΓ Αˆ στ ισσκελές τρίγων ΑΒΓ είναι: Βˆ 90 - Αˆ στ ισσκελές τρίγων ΑΕ είναι: ˆ 90 - εξ Αˆ Βˆ Γˆ Βˆ +Γˆ Αˆ στ τρίγων Β Ζ έχυµε: Ζˆ 80 -Βˆ - ˆ 80 -Βˆ - ˆ (αφύ ˆ ˆ ως κατακρυφήν) Αˆ Αˆ 80 - ( 90 - ) - 90 δηλαδή Ε ΒΓ 6. Αν Ε και Ζ είναι τα µέσα των πλευρών ΑΒ και Γ αντιστίχως, παραλληλγράµµυ ΑΒΓ, να απδείξεις ότι ι ΑΓ, Β και ΕΖ συντρέχυν ι διαγώνιες ΑΓ και Β τυ ΑΒΓ διχτµύνται στ Ο τ τετράπλευρ ΑΕΓΖ είναι κι αυτό παραλληλόγραµµ γιατί ι απέναντι πλευρές τυ ΑΕ και ΓΖ είναι παράλληλες και ίσες (ως ίσες µε τα µισά των ίσων ΑΒ, Γ ) συνεπώς ι διαγώνιές τυ ΑΓ και ΕΖ διχτµύνται στ Ο άρα ι ΑΓ, Β και ΕΖ συντρέχυν στ Ο
10 λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείυ Πρεκτείνυµε τις πλευρές Γ και Α παραλληλγράµµυ ΑΒΓ κατά τµήµατα ΓΕ Γ και ΑΖ Α αντιστίχως. Να απδείξεις ότι τα σηµεία Ζ, Β και Ε είναι συνευθειακά τα τετράπλευρα ΑΒΕΓ και ΑΖΒΓ είναι παραλληλόγραµµα γιατί απ την υπόθεση έχυν απέναντι πλευρές παράλληλες και ίσες συνεπώς: ΒΕ//ΑΓ και ΒΖ//ΑΓ επειδή όµως από τ Β άγεται µία µόν παράλληλη στην ΑΓ συµπεραίνυµε ότι τα Ζ, Β και Ε είναι συνευθειακά 8. Στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, Γ και Α τετραγώνυ ΑΒΓ θεωρύµε αντιστίχως τα σηµεία Κ, Λ, Μ και Ν ώστε ΑΚ ΒΛ ΓΜ Ν. Να απδείξεις ότι τ ΚΛΜΝ είναι τετράγων ΑΚ ΒΛ ΓΜ Ν (υπόθεση) ΑΝΒΚΓΛ Μ (διαφρές ίσων τµηµάτων από τις ίσες πλευρές τυ ΑΒΓ ) επµένως (Π-Γ-Π): τα ρθγώνια τρίγωνα ΚΑΝ, ΛΒΚ, ΜΓΛ και Ν Μ είναι ίσα άρα: ΚΛ ΛΜ ΜΝ ΝΚ (συνεπώς τ ΚΛΜΝ είναι ρόµβς) και Κˆ Νˆ Λ ΚˆΝ 80 -Κˆ -Κˆ 80 - (Νˆ +Κˆ ) 90 (αφύ στ ρθγώνι τρίγων ΚΑΝ είναι: Άρα ρόµβς ΚΛΜΝ είναι τετράγων Νˆ 90 ) +Κˆ
11 0 δηµήτρη πιµενίδη 9. Αν Ε, Ζ είναι τα µέσα των πλευρών Α, ΒΓ αντιστίχως ρθγωνίυ ΑΒΓ, Η τ σηµεί τµής των ΑΖ, ΒΕ και Θ τ σηµεί τµής των Ζ, ΓΕ, να απδείξεις ότι τ ΕΘΖΗ είναι ρόµβς τ ΑΖΓΕ είναι παραλληλόγραµµ γιατί από την υπόθεση είναι: ΑΕ // ΖΓ και ΑΕ ΖΓ (µισά των ίσων πλευρών Α και ΒΓ τυ ΑΒΓ ) συνεπώς: ΑΖ // ΕΓ µίως: ΒΕ // Ζ άρα τ ΕΘΖΗ είναι παραλληλόγραµµ τ ΑΒΖΕ είναι ρθγώνι (γιατί Α 90, ΑΕ // ΒΖ και ΑΕ ΒΖ) συνεπώς: ΕΗ ΗΖ άρα τ ΕΘΖΗ είναι ρόµβς 0. Aν Ε, Ζ είναι αντιστίχως τα µέσα των πλευρών ΒΓ και Γ παραλληλγράµµυ ΑΒΓ, να απδείξεις ότι ι ΑΕ και ΑΖ τριχτµύν τη διαγώνι Β αν Ο είναι η τµή των ΑΓ και Β τότε ΑΟ ΟΓ και ΒΟ Ο τ Θ είναι βαρύκεντρ τυ τριγώνυ Α Γ Β συνεπώς: Θ Ο Β Β Β µίως: ΒΗ πότε: ΘΗ Β - Θ -ΒΗ 3 3 άρα ι ΑΕ και ΑΖ τριχτµύν τη διαγώνι Β
12 λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείυ Σε ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ (Â 90 ) µε Bˆ 30 η κάθετς στ µέσ Μ της υπτείνυσας ΒΓ τέµνει την πλευρά ΑΒ στ. AB Να απδείξεις ότι: i. Μ Α ii. Μ 3 o i. στ ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ αφύ Bˆ 30 είναι ΑΓ ΜΓ συνεπώς τα ρθγώνια τρίγωνα ΑΓ και ΜΓ πυ έχυν κινή τη Γ είναι ίσα (κριτήρι ισότητας ρθγωνίων τριγώνων) άρα Μ Α o ii. στ ρθγώνι τρίγων ΒΜ αφύ Bˆ 30 είναι Β Μ ΑΒ Α + Β Μ + Β Μ + Μ 3Μ ΑΒ άρα: Μ 3. Έστω τρίγων ΑΒΓ µε ΑΒ < ΑΓ, η διχτόµς τυ Α και Μ τ µέσ της ΒΓ. Αν Ε είναι η πρβλή τυ Β στην Α, να απδείξεις ότι: ΑΓ - ΑΒ Αˆ i. ΕΜ // ΑΓ ii. ΕΜ iii. Εˆ Μ αν Ζ είναι η τµή της ΒΕ µε την ΑΓ τότε στ ΒΑΖ η ΑΕ είναι ύψς και διχτόµς άρα και διάµεσς και τ ΒΑΖ είναι ισσκελές πότε ΑΖ ΑΒ στ τρίγων ΒΖΓτα Ε και Μ είναι µέσα των ΒΖ και ΒΓ συνεπώς: i. ΕΜ // ΖΓ δηλ. ΕΜ // ΑΓ ii. iii. ΖΓ ΕΜ ΕˆΜ ΑˆΓ ΑΓ - ΑΖ Αˆ ΑΓ - ΑΒ (ως εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΕΜ, ΑΓ πυ τέµννται από την Α )
13 δηµήτρη πιµενίδη 3. Αν Κ και Λ είναι ι πρβλές της κρυφής Α τριγώνυ ΑΒΓ στην εσωτερική και εξωτερική διχτόµ της γωνίας Β αντιστίχως, να απδείξεις ότι: i. τ ΑΚΒΛ είναι ρθγώνι ii. η ευθεία ΚΛ διέρχεται από τ µέσ της ΑΓ ι ΒΚ και ΓΛ είναι διχτόµι των Βˆ καιβˆ εξ πυ είναι εφεξής και παραπληρωµατικές, άρα ΒΚ ΒΛ i. τ ΑΚΒΛ είναι ρθγώνι αφύ έχει ΚΒˆΛ ΒΛˆΑ ΒΚˆΑ ii. ι διαγώνιες τυ ΑΚΒΛ είναι ίσες και διχτµύνται συνεπώς: τ Μ είναι µέσ της ΑΒ και τ τρίγων ΒΜΚ είναι ισσκελές πότε Κˆ Βˆ Bˆ άρα ΛΚ // ΒΓ (γιατί τεµνόµενες από τη ΒΚ σχηµατίζυν γωνίες εντός εναλλάξ ίσες) στ τρίγων ΑΒΓ λιπόν η ΚΛ διέρχεται από τ µέσ Μ της ΑΒ και ΚΛ // ΒΓ άρα η ΚΛ διέρχεται από τ µέσ της ΑΓ 4. ίνεται ισσκελές τραπέζι ΑΒΓ (ΑΒ // Γ ) µε ΑΒ < Γ και τα ύψη τυ ΑΕ και ΒΖ. Γ - ΑΒ Να απδείξεις ότι: Ε ΓΖ ΑΕ ΒΖ γιατί είναι παράλληλα (ως κάθετα στη Γ ) τµήµατα µεταξύ των παραλλήλων ΑΒ και Γ τ ΑΒΖΕ είναι λιπόν ρθγώνι πότε: ΑΒ ΕΖ τα ρθγώνια τρίγωνα ΑΕ και ΒΖΓ έχυν ΑΕ ΒΖ και Α ΒΓ (υπόθεση) άρα είναι ίσα συνεπώς: Ε ΓΖ Ε Γ ΓΖ ΕΖ Γ Ε - ΑΒ επµένως: Γ - ΑΒ Ε ΓΖ Γ - ΑΒ Ε
14 λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείυ Αν Α,Β,Γ, και Κ είναι αντιστίχως ι πρβλές των κρυφών και τυ κέντρυ Κ παραλληλγράµµυ ΑΒΓ σε µία ευθεία ε πυ αφήνει όλες τις κρυφές πρς τ ίδι µέρς της, να απδείξεις ότι: ΑΑ + ΒΒ + ΓΓ + 4ΚΚ ι διαγώνιες ΑΓ και Β τυ ΑΒΓ διχτµύνται δηλαδή τ Κ είναι µέσ των ΑΓ και Β ΑΑ // ΒΒ // ΓΓ // // ΚΚ (ως κάθετες στην ε) τα ΑΑ Γ Γ και ΒΒ είναι λιπόν τραπέζια και η ΚΚ διάµεσός τυς, συνεπώς: ΑΑ + ΓΓ ΚΚ και ΒΒ + ΚΚ άρα: ΑΑ + ΒΒ + ΓΓ + 4ΚΚ 6. Έστω Α, Β τα σηµεία τµής δύ κύκλων. Αν Γ, είναι τα αντιδιαµετρικά σηµεία τυ Α στυς δύ κύκλυς, να απδείξεις ότι η ευθεία Γ διέρχεται από τ Β φέρνυµε την κινή χρδή ΑΒ των δύ κύκλων Α ΒˆΓ ΑΒˆ 90 (ως εγγεγραµµένες σε ηµικύκλια) Α ΒˆΓ + ΑΒˆ 80 συνεπώς τα Γ, Β και είναι συνευθειακά δηλαδή η ευθεία Γ διέρχεται από τ Β
15 4 δηµήτρη πιµενίδη 7. ύ κάθετες χρδές ΑΒ και Γ ενός κύκλυ τέµννται στ σηµεί Ρ. Να απδείξεις ότι η διάµεσς ΡΜ τυ τριγώνυ ΡΒΓ είναι κάθετη στην Α στ ρθγώνι τρίγων ΡΒΓ είναι Βˆ +Γˆ 90 και ΡΜ ΜΒ (πότε Βˆ ) Ρˆ Ρˆ (κατακρυφήν) Ρˆ Αˆ Γˆ (εγγεγραµµένες πυ βαίνυν στ τόξ ΑΒ) στ τρίγων ΡΕΑ έχυµε Ρˆ + Αˆ Ρˆ +Γˆ Βˆ +Γˆ 90 άρα δηλ. η διάµεσς ΡΜ τυ τριγώνυ ΡΒΓ είναι κάθετη στην Α Ρ ΕˆΑ ύ κύκλι εφάπτνται εσωτερικά ή εξωτερικά (να εξετάσεις δύ περιπτώσεις) σε ένα σηµεί Α και δύ ευθείες ε και ε πυ διέρχνται από τ Α τέµνυν τν έναν κύκλ στα σηµεία Β και Β και τν άλλν στα σηµεία Γ και Γ αντιστίχως. Να απδείξεις ότι: ΒΒ // ΓΓ φέρνυµε την κινή εσωτερική εφαπτµένη δ των δύ κύκλων, πότε: Βˆ (υπό χρδής ΑΒ και εφαπτµένης στ Α Αˆ µίως: άρα: Γˆ Αˆ και εγγεγραµµένη πυ βαίνει στ τόξ ΑΒ ) Αˆ (κατακρυφήν) Αˆ Βˆ Γˆ συνεπώς ΒΒ // ΓΓ (γιατί τεµνόµενες απ την ε σχηµατίζυν γωνίες εντός εναλλάξ ίσες) φέρνυµε την κινή εφαπτµένη δ των δύ κύκλων, πότε: Αˆ Βˆ (υπό χρδής ΑΒ και εφαπτµένης στ Α και εγγεγραµµένη πυ βαίνει στ τόξ ΑΒ ) µίως: Αˆ Γˆ άρα: Βˆ Γˆ συνεπώς ΒΒ // ΓΓ (γιατί τεµνόµενες απ την ε σχηµατίζυν γωνίες εντός εκτός κι επί τα αυτά ίσες)
16 λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείυ Από τα σηµεία τµής Α, Β δύ κύκλων φέρυµε δύ ευθείες πυ τέµνυν τν ένα κύκλ στα σηµεία Γ, Γ και τν άλλ στα σηµεία,. Να απδείξεις ότι ΓΓ // φέρνυµε την κινή χρδή ΑΒ των δύ κύκλων, πότε: στ εγγεγραµµέν τετράπλευρ ΑΒΓ Γ είναι: Γˆ Βˆ στ εγγεγραµµέν τετράπλευρ ΑΒ είναι: άρα: Γˆ + ˆ 80 συνεπώς: ΓΓ // (γιατί τεµνόµενες απ την ε σχηµατίζυν γωνίες εντός και επί τα αυτά αραπληρωµατικές) Βˆ + ˆ Να απδείξεις ότι τα ύψη Α, ΒΕ και ΓΖ τριγώνυ ΑΒΓ είναι διχτόµι των γωνιών τυ τριγώνυ ΕΖ Α ˆΒ ΑΕˆΒ άρα τ ΑΕ Β είναι εγγράψιµ συνεπώς: Βˆ ˆ µίως: Γˆ ˆ µίως: Γˆ Βˆ άρα: ˆ ˆ δηλ. τ Α είναι διχτόµς τυ τριγώνυ ΕΖ µίως τα ΒΕ και ΓΖ είναι διχτόµι τυ τριγώνυ ΕΖ
17 6 δηµήτρη πιµενίδη 3. Από την κρυφή Α παραλληλγράµµυ ΑΒΓ φέρυµε ευθεία ε η πία τέµνει τη Β στ σηµεί Ε, τη ΒΓ στ Ζ και την πρέκταση της Γ στ Η. ΑΖ ΑΒ Να απδείξεις ότι: i. και ii. AE EZ EH ΑΗ Η i. από την υπόθεση είναι ΓΖ // Α και Γ ΑΒ συνεπώς σύµφωνα µε τ θ. θαλή στ τρίγων ΑΗ είναι: AZ Γ ΑΒ AH Η Η ii. από την υπόθεση είναι Η // ΑΒ και ΒΖ // Α συνεπώς σύµφωνα µε τ θ. θαλή στα τρίγωνα ΑΕΒ και ΑΕ ΑΕ ΒΕ ΕΖ ΒΕ αντιστίχως ισχύυν: και ΕΗ Ε ΑΕ Ε ΑΕ ΕΖ άρα: δηλ. AE EZ EH ΕΗ ΑΕ 3. Από τυχαί σηµεί Κ της διαµέσυ ΑΜ τριγώνυ ΑΒΓ φέρυµε παράλληλες πρς τις ΑΒ και ΑΓ ι πίες τέµνυν τη ΒΓ στα σηµεία και Ε αντιστίχως. Να απδείξεις ότι: Μ ΜΕ αφύ Κ // ΑΒ και ΚΕ // ΑΓ, σύµφωνα µε τ θ. θαλή στα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜΓ αντιστίχως ισχύυν: Μ ΜΒ ΜΚ ΜΑ και ΜΕ ΜΚ ΜΓ ΜΑ άρα Μ ΜΒ ΜΕ ΜΓ κι επειδή από την υπόθεση είναι ΜΒ ΜΓ συµπεραίνυµε ότι: Μ ΜΕ
18 λυµένες ασκήσεις γεωµετρίας α λυκείυ ίνεται τρίγων ΑΒΓ εγγεγραµµέν σε κύκλ, τ σηµεί τµής της διαµέτρυ ΑΕ µε τη ΒΓ και Ζ, Η ι πρβλές τυ στις ΑΒ και ΑΓ αντιστίχως. Να απδείξεις ότι: ΖΗ // ΒΓ φέρνυµε τις ΕΒ και ΕΓ πότε: Ε ΒˆΑ ΕΓˆΑ (ως εγγεγραµµένες πυ βαίνυν σε ηµικύκλι) αφύ Ζ // ΕΒ (ως κάθετες στην ΑΒ) και µίως Η // ΕΓ, σύµφωνα µε τ θ. θαλή στα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΕ αντιστίχως ισχύυν: AZ A AB ΑΕ και Α ΑΕ ΑΗ ΑΓ άρα ΑΖ ΑΗ ΑΒ ΑΓ συνεπώς: σύµφωνα µε τ αντίστρφ τυ θ. θαλή στ τρίγων ΑΒΓ είναι ΖΗ // ΒΓ 34. Αν Μ είναι τ µέσ της πλευράς ΒΓ τριγώνυ ΑΒΓ και ι διχτόµι των γωνιών ΑΜΒ και ΑΜΓ τέµνυν τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντιστίχως, να απδείξεις ότι: Ε // ΒΓ σύµφωνα µε τ θ. εσωτερικής διχτόµυ στα ΑΜΒ και ΑΜΓ αντιστίχως ισχύυν: Α ΜΑ B ΜΒ και ΕΑ ΜΑ ΕΓ ΜΓ άρα Α ΕΑ Β ΕΓ (αφύ ΜΒ ΜΓ) σύµφωνα λιπόν µε τ αντίστρφ τυ θ. θαλή στ ΑΒΓ είναι Ε // ΒΓ
19 δηµήτρη πιµενίδη Έστω ισσκελές τρίγων ΑΒΓ (ΑΒ ΑΓ) και περιγεγραµµένς τυ κύκλς. Αν είναι τυχαί σηµεί τυ τόξυ ΒΓ και η Α τέµνει την πλευρά ΒΓ στ Ε, να απδείξεις ότι: ΕΒ Γ ΕΓ Β ˆ ˆ (ως εγγεγραµµένες πυ βαίνυν σε ίσα (αφύ ΑΒ ΑΓ) τόξα) σύµφωνα λιπόν µε τ θ. εσωτερικής διχτόµυ στ τρίγων Β Γ ισχύει: ΕΒ Β δηλ. ΕΒ Γ ΕΓ Β ΕΓ Γ εκτός ύλης... Raffaello Sanzio (483-50) the school of athens (509)
αποδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείου 1
απδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr αν δύ χρδές ενός κύκλυ είναι ίσες τότε και τα απστήµατά τυς και αντιστρόφως αν τα απστήµατα δύ χρδών ενός κύκλυ τότε και ι χρδές είναι
Α = Δ = 90 με ˆ ο. Β = 60. Αν είναι ΒΓ = ΔΓ = 8 να βρεθεί το μήκος της διαμέσου του τραπεζίου.
Γεωμετρία της Α Λυκείυ 34. Δίνεται ρθγώνι τραπέζι ΑΒΓΔ Α = Δ = 90 με Β = 60. Αν είναι ΒΓ = ΔΓ = 8 να βρεθεί τ μήκς της διαμέσυ τυ τραπεζίυ. Φέρνυμε τ ύψς ΓΕ τυ τραπεζίυ. Στ ρθγώνι τρίγων ΓΕΒ είναι Άρα
Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα
0 Εγγεγραµµένα και εγγράψιµα τετράπλευρα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΣΕ ΚΥΚΛΟ i) Ένα πλύγων ΑΑΑ 3...Α ν λέγεται εγγεγραµµέν σε κύκλ όταν ι κρυφές τυ είναι σηµεία ενός κύκλυ. ii)
ÊåöÜëáéï 4 ï ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò
ÊåöÜëáéï 4 ï ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò Ο µαθητής πυ έχει µελετήσει τ κεφάλαι 4 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει τη σχετική θέση δύ ευθειών. Να γνωρίζει τη σχέση µεταξύ γωνιών πυ σχηµατίζνται από δύ παράλληλες
ÊåöÜëáéï 6 ï. ÅããåãñáììÝíá ó Þìáôá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 6 θα πρέπει να είναι σε θέση:
ÊåöÜëáéï 6 ï ÅããåãñáììÝíá ó Þìáôá Ο µαθητής πυ έχει µελετήσει τ κεφάλαι 6 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει και να εφαρµόζει τη σχέση µεταξύ µιας εγγεγραµµένης γωνίας και της αντίστιχης επίκεντρης
άθροισµα των τετραγώνων των διαγωνίων του είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των βάσεών του.
1. Αν ι µη παράλληλες πλευρές ενός τραπεζίυ είναι κάθετες, να απδείξετε ότι τ άθρισµα των τετραγώνων των διαγωνίων τυ είναι ίσ µε τ άθρισµα των τετραγώνων των βάσεών τυ.. Να υπλγίσετε τ ύψς και τις διαγώνιες
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Αν οι αριθμοί x και ψ είναι αντίστροφοι να βρεθεί η τιμή της παράστασης
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αν ι αριθμί και ψ είναι αντίστρφι να βρεθεί η τιμή της παράστασης y y A y Αν α,β είναι θετικί πραγματικί αριθμί να απλπιηθύν ι παραστάσεις : 4 4 A 6αβ 49α
Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο
Είναι φ =180 ο 120 ο = 60 ο άρα ω = 50 ο + 60 ο = 110 ο. ˆ ΑΓ, να υπολογίσετε την γωνία φ. ˆ ΑΓ = 110 ο άρα ω =70 ο, οπότε. Είναι
4.6 4.8 σκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 87 88 ρωτήσεις Κατανόησης. Να υπλγίσετε την γωνία ω στ παρακάτω σχήµα πάντηση ω ίναι φ =8 = 6 άρα ω = 5 + 6 = 5 φ. ν = και x διχτόµς της γωνίας πάντηση ω φ ω 55 x
(Ανάλογα εργαζόµαστε και για να αποδείξουµε ότι δύο γωνίες έχουν κοινή διχοτόµο ή δύο τόξα κοινό µέσο).
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (η τεχνική τυ αρκεί να απδείξυµε ότι... ) Παναγιώτης Λ. Θεδωρόπυλς Σχλικός Σύµβυλς κλάδυ ΠΕ03 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν µε σκπό να βηθήσυν τυς µαθητές της
9 o ìüèçìá. Êýêëïò. 6 ÊåöÜëáéï. 10 o ìüèçìá. ÅããåãñáììÝíá êáé åããñüøéìá ôåôñüðëåõñá à Ã
x 9 o ìüèçìá Êýêëïò Ê Ì ø o 6 ÊåöÜëáéï 0 o ìüèçìá ÅããåãñáììÝíá êáé åããñüøéìá ôåôñüðëåõñá Ê 9 Κύκλς Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ Ορισµί i) Μια γωνία λέγεται εγγεγραµµένη σε κύκλ, όταν
γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )
γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω
Μπάμπης Στεργίου. Ασκήσεις στη Γεωμετρία. Διαγωνισμός. Αρχιμήδης. Juniors-Μικροί. *** Αφιερωμένο στους μαθητές και τους συναδέλφους
Μπάμπης Στεργίυ ιαγωνισμός Αρχιμήδης Juniors-Μικρί Ασκήσεις στη Γεωμετρία *** Αφιερωμέν στυς μαθητές και τυς συναδέλφυς 017 Σελίδα 1 από 5 Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων Μπάμπης Στεργίυ Μαθηματικός 5/0/017
Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα
Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) ΑΘΗΝΑ web:
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίυ (Ελευθερίυ Βενιζέλυ) 3 06 79 ΑΘΗΝΑ email: info@hms.gr web: www.hms.gr Πρόβλημα ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 79 ς ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ «Ο ΘΑΛΗΣ»
Γεωμετρία - Ασκήσεις με γωνίες
Σελίδα 1 από 19 Γεωμετρία - Ασκήσεις με γωνίες Χαρακτηριστικές ασκήσεις με γωνίες πυ αρέσυν γητεύυν τυς μαθητές πυ ασχλύνται με τυς μαθηματικύς διαγωνισμύς! Μπάμπης Στεργίυ Φεβρυάρις 01 11 ίννται στη σειρά
1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.
1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο
ΜΕΤΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Στο παρόν αρχείο περιέχονται προτάσεις και ασκήσεις από τη μετρική γεωμετρία.
Σελίδα 1 από 36 ΜΕΤΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Μπάμπης Στεργίυ - εκέμβρις 016 Στ παρόν αρχεί περιέχνται πρτάσεις και ασκήσεις από τη μετρική γεωμετρία. Πρρίζνται για μαθητές Λυκείυ πυ συμμετέχυν στν διαγωνισμό Ευκλείδης
1. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; Απάντηση Όταν η κορυφή της είναι σηµείο του κύκλου και οι πλευρές της είναι τέµνουσες του κύκλου
6. 6.4 σκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 9 30 Ερωτήσεις Κατανόησης. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; πάντηση Όταν η κρυφή της είναι σηµεί τυ κύκλυ και ι πλευρές της είναι τέµνυσες τυ κύκλυ. ν φ και ω είναι
ÊåöÜëáéï 5 ï. Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση:
ÊåöÜëáéï 5 ï Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις ιδιότητες του παραλληλογράµµου, ορθογωνίου, ρόµβου, τετραγώνου, τραπεζίου.
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες
1 Εγγεγραµµένα σχήµατα
Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 1. Αν οι αριθμοί x και ψ είναι αντίστροφοι να βρεθεί η τιμή της παράστασης
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αν ι αριθμί και ψ είναι αντίστρφι να βρεθεί η τιμή της παράστασης A y y y Αν α,β είναι θετικί πραγματικί αριθμί να απλπιηθύν ι παραστάσεις :
6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.
1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε
ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε
( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2
1 11. 11.7 Μέτρηση κύκλυ ΘΩΡΙ Μήκς τόξυ µ : µ 180 Μήκς τόξυ α rad : αr Σχέση µιρών ακτινίων : α π µ 180 µβαδόν κυκλικύ δίσκυ : ( ) µβαδόν κυκλικύ τµέα µ : µ µβαδόν κυκλικύ τµέα α rad : ( ) 1 αr µβαδόν
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού
A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )
A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα
Μετρικές σχέσεις σε τυχαίο τρίγωνο
5 Μετρικές σχέσεις σε τυχί τρίγων Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµ I (Γενίκευση τυ Πυθγρείυ θεωρήµτς γι πλευρά πυ βρίσκετι πένντι πό ξεί γωνί) Τ τετράγων πλευράς τριγώνυ, πυ βρίσκετι πένντι πό ξεί
α. ΕΓΚΕΝΤΡΟ 1. Σημείο τομής των
Μαθηματικά για την Α Λυκείου Αφορμή για Επανάληψη στη Γεωμετρία της Α Λυκείου. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) με ένα μόνο στοιχείο της στήλης (Β). Κώστας Βακαλόπουλος Τάσος Γαβράς Στήλη
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα
Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία
Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην
ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο
ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΘΕΜΑ 1 ο (α) Να αποδειχθεί ότι στον ίδιο ή σε ίσους κύκλους, ίσα αποστήµατα αντιστοιχούν σε ίσες χορδές. (β) Να αποδειχθεί ότι κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθύγραµµου τµήµατος ισαπέχει
1. Να υπολογίσεις το εμβαδόν κυκλικού δίσκου που είναι περιγεγραμμένος. Στο διπλανό σχήμα, να υπολογίσεις το μήκος και το. εμβαδόν του κύκλου.
Δ 1. Να υπλγίσεις τ εμβαδόν κυκλικύ δίσκυ πυ είναι περιγεγραμμένς σε τετράγων πλευράς α = 6 cm Α Α 8cm. 6cm Στ διπλανό σχήμα, να υπλγίσεις τ μήκς και τ Β Γ εμβαδόν τυ κύκλυ. Ο Β Γ 3. Λυγίζυμε ένα σύρμα
5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια
5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε
Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Α Λύκειου
Περιδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Επαναληπτικές Ασκήσεις Γεωμετρίας Α Λύκειυ Γιάννης Κυριαζής Κωστά Βακαλόπυλς Άσκηση Θεωρύμε τρίγωνα και για τα πία ισχύει ότι: α) B ˆ B ˆ β) Γ ˆ Γ ˆ γ) r=r, όπυ r,r ι περίμετρι
1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Έστω ΑΒΓ ένα ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ = ΑΓ), Δ, Ε σημεία της πλευράς ΒΓ τέτοια, ώστε ΒΔ = ΔΕ = ΕΓ και Μ, Ρ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ
8 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version )
8 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version 3-8-205) Σ.Να αποδείξετε ότι δύο τραπέζια με ανάλογες βάσεις και τις προσκείμενες σε δύο ομόλογες βάσεις τους γωνίες ίσες μία προς μία, είναι όμοια. Θεωρούμε τα τραπέζια ΑΒΓΔ
ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και
Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)
Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.
5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.
2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.
1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων Β Ε γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΖ.
1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ είναι Â =80. Παίρνουµε τυχαίο σηµείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σηµεία και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε Β =ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις
ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;
1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες
. Ασκήσεις για εξάσκηση
. Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
Aν οι ευθείες ΚΒ και ΓΛ τέμνονται στο σημείο Μ, τότε η ΑΜ είναι μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 26/5/2017 ΘΕΜΑ 1 ο Α 1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου
Ε=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΒΖ είναι παραλληλόγραµµο.
1. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουµε την πλευρά Α κατά τµήµα Ε=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΓΒ είναι
ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ )
ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ.3-4-5-6.) 1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της ΑΓ προς το Γ παίρνουμε τμήμα ΓΔ=ΑΓ. Έστω Ε τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ και Ζ σημείο της προέκτασης της ΓΒ
2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015
ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην
Προεκτείνουµε την ΒΓ προς το Γ και στην προέκταση παίρνουµε τµήµα ΓΗ =ΑΕ. Τα τρίγωνα Α Ε και ΓΗ είναι ίσα, άρα Ε = Η και. Η γωνία
ΑΣΚΗΣΗ η ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ Έστω Ε σηµείο της πλευράς ΑΒ τετραγώνου ΑΒΓ. Αν η διχοτόµος της γωνίας την πλευρά ΒΓ στο σηµείο Ζ, να δείξετε ότι Ε = ΑΕ + ΓΖ. Λύση Αθανάσιος Μπεληγιάννης ( mathfinder )
Επαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία Α Λυκείου
Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Οι διχοτόμοι των 1. γωνιών του Β και Γ τέμνονται στο Ο. Η παράλληλη από το Ο προς την ΑΒ τέμνει την ΒΓ στο Δ και η παράλληλη από το Ο προς την ΑΓ τέμνει την ΒΓ στο Ε. α. Να δείξετε
ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ
Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ
α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M
Απαντήσεις 51 5. Εφαρµογές των παραλληλογράµµων α Εφαρµογές στα τρίγωνα α.1 Στο τρίγωνο AB Γ είναι Ε // (1) Επίσης Ζ, ΕΗ, άρα Ζ // ΕΗ () Από τις (1), () έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. α. Στο
1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688
1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του
Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών
Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις
Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων
3.2 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
3. ΘΡΟΙΣΜ ΩΝΙΩΝ ΤΡΙΩΝΟΥ ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΙΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙ. Άθρισµα γωνιών τριγώνυ Σε πιδήπτε τρίγων τ άθρισµα των γωνιών τυ είναι ίσ µε 80. Ιδιότητες ισσκελύς τριγώνυ Η ευθεία της διαµέσυ πυ αντιστιχεί
Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος
Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι
Κ. Μέτρηση Κύκλου. Παράρτημα. Ι13. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση:
Ι12. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση ημ 3 Β ημ 2 ΑημΒ ημ 2 ΑημΓ ημ 3 Γ, να απδείξετε ότι Βˆ Γˆ 120. Ι13. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση: 1 1 2 1, να α β α β γ α β γ β γ 2 απδείξετε ότι 4συν Β
2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.
Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι
2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.
1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα
µ =. µονάδες 12+13=25
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β 1 ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε α=7, β=5, γ=4. Να βρείτε: 1. το είδος του τριγώνου. την προβολή της β πάνω στη γ 3. το µήκος της διαµέσου ΒΜ 4. την προβολή
ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ
ÊåöÜëáéï 7 ï Åõèýãñáììá ó Þìáôá âéâëéïììüèçìá : -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ âéâëéïììüèçìá 3: -Åìâáäü ôñéãþíïõ -Åìâáäü
Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.
ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές
Pi $2. Αν για δύο τμήματα α, β ισχύει = 1 ή =, όπου x κατάλληλο τμήμα (ή β χ χ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΑ PATHPHΣΕΙΣ ΥΠΟΑΕΙΞΕΙΣ Όταν έχουμε αναλογίες της μορφής = = θέτουμε Pi $2 = = λ, όπου λ > 0. β. 32 (Ασκήσεις: 7.6 Εμπέδωσης 1, 3, Αποδεικτικές 1) Αν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος του Θαλή
1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:
24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1η ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A 90 ο ) με γωνία B 30 ο. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΓ κατά τμήμα ΓΔ ΑΓ. Να αποδείξετε ότι: α) γ β 3 β) ΒΔ ΑΒ γ) η ΒΓ διχοτομεί
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** 2. ** 3. ** 4. ** 5. ** 6. **
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνονται επίπεδο p και τρία µη συνευθειακά σηµεία του Α, Β και Γ καθώς και ένα σηµείο Μ, που δεν συµπίπτει µε το Α. Αν η ευθεία ΑΜ τέµνει την ευθεία ΒΓ, να δείξετε ότι το Μ είναι
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι
B Θέματα (Έκδοση: )
B Θέματα (Έκδση: 26 1 215) Οι απαντήσεις και ι λύσεις είναι απτέλεσμα της συλλγικής δυλειάς των συνεργατών τυ δικτυακύ τόπυ http://lisari.blogspot.gr Έκδση: 26 1 215 (συνεχής ανανέωση) Τ βιβλί διατίθεται
3. Μία τεθλασµένη γραµµή αποτελείται από πέντε διαφορετικά ευθύγραµµα
1. Να συγκρίνεις το µήκος της γραµµής ΑΒΓ Ε µε το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος ΖΗ, όπως φαίνονται στο διπλανό σχήµα. Μετρώντας µε το υποδεκάµετρο βρίσκουµε ΑΒ = 1,3cm, ΒΓ = 1,3cm, Γ = 1,4cm και Ε = 2,4cm
ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 2016 (version ΤΕΛΙΚΟ)
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 06 (version 9-5-06 ΤΕΛΙΚΟ) SOS ΒΓ = ΒΟΓ ˆ = 70 αντί του λανθασμένου 35 στο προτελευταίο θέμα θεωρίας με τις εγγεγραμμένη, επίκεντρη κλπ Τι λέει το αίτημα παραλληλίας;
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ
1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται
Σύνθετα θέματα (version )
.-. Σύνθετα θέματα (version --06) Σ. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, η διχοτόμος του ΒΔ και η εξωτερική διχοτόμος του Βx. Θεωρούμε δύο σημεία Ε και Κ της πλευράς ΑΒ. Αν ο κύκλος (Ε,ΕΒ) τέμνει τη ΒΔ στο Ζ, ενώ ο κύκλος
Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α
1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι:
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: α) ΑΜ = 1 2 ( ΑΒ + ΑΓ ) β) ΜΝ = 1 2 ΒΑ 2. ** ίνονται τα διανύσµατα ΑΒ και Α Β. Αν Μ και Μ
µετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο
γεωµετρία β λυκείου µε λίγα λόγια, για µαθητές... www.sonom.gr µετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο στο ορθογώνιο (Α 90 ο ) τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος Α είναι: Α 90 ο - Β Γ και Α 90 ο - Γ Β συνεπώς: Α Β Α Γ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
ιατυπώστε την ιδιότητα αυτή µε τη βοήθεια µεταβλητών.
Μαθηµατικά B υµνασίυ Eρωτήσεις θεωρίας 1. Τι νµάζυµε µεταβλητή;. Τι νµάζυµε αριθµητική παράσταση; 3. Τι νµάζυµε αλγεβρική παράσταση; 4. Πια είναι η επιµεριστική ιδιότητα; 5. Τι συµβαίνει αν και στα δύ
απεναντι καθετη πλευρα υποτεινουσα
ΜΑΘΗΜΑ 7 Κεφάλαι o : Τριγωνµετρία Υπενότητα.: Τριγωνµετρικί αριθµί γωνίας ω µε 0 ω 80 Θεµατικές Ενότητες:. Επανάληψη από Β Γυµνασίυ.. Τριγωνµετρικί αριθµί πιασδήπτε γωνίας ω. Α. ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΠΟ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και
Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H
Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι
ΘΕΜΑ 4 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) και η διχοτόμοσ του ΑΔ. Φζρουμε από το Β κάθετη ςτην ΑΔ που τζμνει την ΑΔ ςτο Ε και την πλευρά ΑΓ ςτο Η.
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) και η διχοτόμοσ του ΑΔ. Φζρουμε από το Β κάθετη ςτην ΑΔ που τζμνει την ΑΔ ςτο Ε και την πλευρά ΑΓ ςτο Η. Αν Μ είναι το μζςο τησ πλευράσ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 34 1ο ΣΧΕ ΙΟ ιδακτική ενότητα: Πυθαγόρειο Θεώρηµα ΘΕΜΑ 1ο Α. (1,5 µονάδες) Αν στο διπλανό σχήµα το Α είναι ύψος του τυχαίου τριγώνου ΑΒΓ και Ε ΑΒ,
ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 6/ 11/ 2016
εν είναι δυνατή η προβολή αυτής της εικόνας αυτή τη στιγµή. ΕΠΩΝΥΜΟ:... ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΤΣΙΜΙΣΚΗ &ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 - Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ: 919113 949422 www.syghrono.gr ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:...
ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 90 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α = 90, β = 9 cm, γ = 1 cm και την ΑΜ διάµεσο. Το µήκος του ΑΜ ισούται µε: Α. 9. 9 Ε. 1 15 Β. 6 Γ..
ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία
Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα-Ευθεία-Κύκλος Αναλυτική Θεωρία 500 Ασκήσεις Επιμέλεια : ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2 1. Η Έννοια του Διανύσματος Ορισμός Διανύσματος Το διάνυσμα ορίζεται ως
Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα
Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν µε κατάλληλη µετατόπιση, το ένα συµπίπτει µε το άλλο. Β. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Πρώτο κριτήριο Αν όλες οι πλευρές του ενός τριγώνου