ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

Transcript

1 ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται τετράπλευρο. Κάθε κυρτό τετράπλευρο έχει δύο διαγωνίους και, οι οποίες τέμνονται σε εσωτερικό σημείο τους. Στα επόμενα, όταν λέμε τετράπλευρο, θα εννοούμε κυρτό τετράπλευρο. Το τετράπλευρο που έχει δύο μόνον πλευρές παράλληλες λέγεται τραπέζιο. Το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες λέγεται παραλληλόγραμμο Παραλληλόγραμμα. Να δοθεί ο ορισμός του παραλληλογράμμου. Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, όταν // και //. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 58

2 3. Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν οι ιδιότητες του παραλληλογράμμου Σε κάθε παραλληλόγραμμο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: (i) Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. (ii) Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. (iii) Οι διαγωνιοί του διχοτομούνται. πόδειξη των i), ii) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα, Έχουμε: = = ω (εντός εναλλάξ). κοινή πλευρά. = = φ (εντός εναλλάξ). Άρα τα τρίγωνα, είναι ίσα, οπότε = και =. πίσης έχουμε A = και = = φ + ω. πόδειξη της ιδιότητας iii) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα Ο, Ο. Έχουμε: = = = ω (εντός εναλλάξ). A = = φ (εντός εναλλάξ). Άρα, τα τρίγωνα Ο, Ο είναι ίσα, οπότε Ο = Ο και Ο = Ο. 4. Ποια πορίσματα προκύπτουν από τον ορισμό και τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου ; ΠΟΡΙΣΜ Ι Το σημείο τομής των διαγωνίων παραλληλογράμμου είναι κέντρο συμμετρίας του. ια το λόγο αυτό λέγεται κέντρο του παραλληλογράμμου ΠΟΡΙΣΜ ΙΙ Παράλληλα τμήματα που έχουν τα άκρα τους σε δυο παράλληλες ευθείες είναι ίσα. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 59

3 5. Τι καλείται απόσταση παραλλήλων ; Τι καλείται ύψος και τι βάσεις παραλληλογράμμου ; ν τα τμήματα είναι κάθετα στις παράλληλες, το κοινό μήκος τους λέγεται απόσταση των παραλλήλων. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που έχει τα άκρα του στις ευθείες των απέναντι πλευρών παραλληλογράμμου και είναι κάθετο σε αυτές λέγεται ύψος του παραλληλογράμμου, ενώ οι απέναντι πλευρές του λέγονται βάσεις ως προς αυτό το ύψος. 6. Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν τα κριτήρια για τα παραλληλόγραμμα δηλαδή πότε ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο ; Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις: Οι απέναντι πλευρές ανά δυο είναι ίσες. (ii) υο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες. (iii) Οι απέναντι γωνίες ανά δυο είναι ίσες. (iv) Οι διαγωνιοί του διχοτομούνται πόδειξη Θεωρούμε τετράπλευρο. ια να αποδείξουμε τα κριτήρια, θα πρέπει σύμφωνα με τον ορισμό να αποδείξουμε ότι σε κάθε περίπτωση, οι απέναντι πλευρές του τετραπλεύρου είναι παράλληλες. (i) Έστω = και =. ν φέρουμε τη διαγώνιο, τότε σχηματίζονται τα τρίγωνα και που είναι ίσα, γιατί =, = και κοινή πλευρά. Άρα = = ω και = = φ, οπότε // και //, δηλαδή το είναι παραλληλόγραμμο. (ii) Έστω // =. Τα τρίγωνα και είναι ίσα, γιατί =, = = ω και η είναι κοινή πλευρά. πομένως, όμοια με το (i), το είναι παραλληλόγραμμο. (iii) ν = = ω και = = φ η σχέση = 4 γράφεται ω + φ = 4 ή φ + ω =. πομένως, έχουμε ότι + =, οπότε // και + =, οπότε //, δηλαδή το είναι παραλληλόγραμμο. (iv) Έστω Ο = Ο και Ο = Ο. Τα τρίγωνα Ο και Ο, καθώς και τα τρίγωνα Ο και Ο είναι ίσα. πομένως, όμοια με το (i), θα είναι // και //, δηλαδή το είναι παραλληλόγραμμο. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 60

4 ρωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραμμα ποια όχι και γιατί; 3 Π 5 4 Π 5 5 Ο 3 4 Ο 4 Π 3 3 Ν 3 ω 3 ω Η Κ Μ Π 5 3,5 3,5 Λ 3 Ν Ρ φ 6 90 ο +θ 90 ο -θ Ρ 6 Π 4 φ ω ω Κ Λ Π 6 πάντηση ίναι το Π διότι οι διαγώνιοι διχοτομούνται εν είναι το Π διότι οι διαγώνιοι δεν διχοτομούνται εν είναι το Π 3 διότι οι απέναντι πλευρές του δεν είναι ίσες ίναι το Π 4 διότι οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες αφού ˆ + ˆ =80 ο εν είναι το Π 5 διότι δεν ξέρουμε αν οι απέναντι πλευρές του Η και Ν είναι παράλληλες ή αν η είναι ίση με την ΗΝ ίναι το Π 6 διότι οι απέναντι πλευρές του Λ και Ρ είναι ίσες και παράλληλες αφού 90 ο + ˆ +90 ο ˆ =80 ο. Με ποιους τρόπους μπορούμε να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο; πάντηση ποδεικνύουμε ένα από τα παρακάτω i) Οι απέναντι πλευρές ανά δύο είναι παράλληλες ii) Οι απέναντι πλευρές ανά δύο είναι ίσες iii) Οι απέναντι γωνίες ανά δύο είναι ίσες iν) ύο απέναντι πλευρές είναι ίσες και παράλληλες ν) Οι διαγώνιες διχοτομούνται ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 6

5 3.Να υπολογίσετε τις γωνίες του παρακάτω παραλληλογράμμου. πάντηση φ ω φ ω 75 ο ˆ ˆ 05 Άρα ˆ ˆ =05 ο Και ˆ 75 οπότε ˆ ˆ =75 ο 4.Να υπολογίσετε τις γωνίες ω και φ του παρακάτω παραλληλογράμμου Η πάντηση ω ίναι ˆ + ˆ = 80 ο και ˆ = ˆ άρα Η ω φ 3 ˆ =80 ο ˆ = 60 ο οπότε ˆ = 0 ο 4.Ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν i) ύο απέναντι γωνίες είναι ίσες ii) Οι διαδοχικές γωνίες του είναι παραπληρωματικές Χ iii) ύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες v) ύο απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες σημειώστε Χ σε κάθε σωστή απάντηση ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 6

6 σκήσεις μπέδωσης.ίνεται παραλληλόγραμμο. Η διχοτόμος της ˆ τέμνει τη στο. Να αποδείξετε ότι =. E E O Z διχοτόμος ˆ = ˆ ˆ = ˆ Άρα ˆ = ˆ τρ. ισοσκελές με = λλά, από το παρ/μμο έχουμε = Άρα =..Έστω Ο το κέντρο παραλληλογράμμου. ν και σημεία των Ο και Ο αντίστοιχα, ώστε Ο = Ο, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου διχοτομούνται, άρα είναι παραλληλόγραμμο. 3.Έστω και τα μέσα των πλευρών και αντίστοιχα, παραλληλογράμμου. Να αποδείξετε ότι i) το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο ii) οι,, συντρέχουν. i) παραλληλόγραμμο = = O παραλληλόγραμμο ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ii) παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοί του, διχοτομούνται σε σημείο Ο. παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοί του, διχοτομούνται στο Ο, το οποίο ήδη είναι μέσο της. Άρα οι,, συντρέχουν και μάλιστα στο κοινό μέσο τους. 4.ίνεται τρίγωνο και η διχοτόμος του. Η παράλληλη από το προς την τέμνει την στο. ν η παράλληλη από το προς τη τέμνει την στο, να αποδείξετε ότι = παρ/μμο, αφού έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες 63

7 Άρα = ρκεί, λοιπόν, να αποδείξουμε ότι =, δηλαδή ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές, ή αρκεί ˆ = ˆ. διχοτόμος ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = ˆ. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 64

8 Μ ποδεικτικές σκήσεις.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και σημείο Μ της βάσης του. Φέρουμε Μ// ( σημείο του ) και Μ// ( σημείο του ). Να αποδείξετε ότι Μ + Μ = Μ παρ/μμο, αφού έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες Άρα Μ = ρκεί, λοιπόν, να αποδείξουμε ότι Μ = δηλαδή ότι το τρίγωνο Μ είναι ισοσκελές, ή αρκεί ˆ = ˆ. Μ = ˆ ˆ Μˆ ˆ ˆ = ˆ..ίνεται παραλληλόγραμμο και σημείο της. Φέρουμε // ( σημείο του ). Να αποδείξετε ότι // παραλληλόγραμμο ˆ + ˆ =80 ο Άρα μία οξεία και μία αμβλεία. Έστω ˆ οξεία. Τότε και η ˆ οξεία. Ομοίως και η ˆ. τρ. = τρ. διότι ˆ = ˆ, οξείες με πλευρές παράλληλες ˆ = ˆ, εντός εναλλάξ, και =, από το παραλληλόγραμμο Έτσι είναι =. Και επειδή είναι και παράλληλα, το θα είναι παραλληλόγραμμο, οπότε. 3. ίνεται παραλληλόγραμμο. Προεκτείνουμε τη κατά τμήμα = και τη κατά τμήμα =. Να αποδείξετε ότι τα σημεία, και είναι συνευθειακά. ράφουμε τα τμήματα, και παρ/μμο = = παρ/μμο // () παρ/μμο = // = // ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 65

9 παρ/μμο // () πό τις (), () ευθεία παράλληλη στην. 4. ίνεται τρίγωνο. Στις προεκτάσεις των διαμέσων και παίρνουμε σημεία Η και αντίστοιχα τέτοια, ώστε Η = και =. Να αποδείξετε ότι i) AH = AZ ii) τα σημεία, και Η είναι συνευθειακά. πό τις () και () Έχουμε διχοτόμηση των τμημάτων Η και Η άρα Η παρ/μμο Άρα Η = // () Έχουμε διχοτόμηση των τμημάτων και άρα παρ/μμο Άρα = // () i) AH = AZ και ii) τα σημεία, και Η ανήκουν σε ευθεία // 5. πό σημείο να φέρετε τέμνουσα δύο παράλληλων ευθειών με τρόπο, ώστε το μεταξύ των παραλλήλων τμήμα της να είναι ίσο με δοσμένο τμήμα λ. ε Κ Έστω ε, η οι δοσμένες παράλληλες ευθείες ράφουμε στις ε και η. Με κέντρο και ακτίνα λ γράφουμε κύκλο, που τέμνει την ευθεία η σε σημείο. ράφουμε το τμήμα και από το ευθεία λ παράλληλη στο, η οποία τέμνει την ε Μ στο Κ και την η στο Μ. η Η ΚΜ είναι η ζητούμενη Πράγματι, είναι ΚΜ = = λ σαν παράλληλα ευθ. τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθείων. ια να έχει λύση το πρόβλημα, πρέπει να είναι λ, ώστε ο κύκλος (, λ) να έχει κοινό σημείο με την ευθεία η. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 66

10 Κ Ο Η 3 4 Σύνθετα Θέματα.ίνεται παραλληλόγραμμο και τα σημεία,, Η και Κ των πλευρών του,, και αντίστοιχα, ώστε = Η και = Κ. Να αποδείξετε ότι i) το τετράπλευρο ΗΚ είναι παραλληλόγραμμο ii) οι,, Η και Κ συντρέχουν. Έστω Ο το κέντρο του παρ/μμου = Η Η παρ/μμο οι, Η διχοτομούνται στο Ο. = Κ Κ παρ/μμο οι, Κ διχοτομούνται στο Ο. i) φού οι Η, Κ διχοτομούνται (στο Ο), το ΗΚ θα είναι παρ/μμο ii) Ταυτόχρονα αποδείχθηκε ότι οι,, Η και Κ συντρέχουν στο Ο.. Προεκτείνουμε την πλευρά παραλληλογράμμου κατά τμήμα = και επί της ημιευθείας θεωρούμε σημείο, ώστε =. Να αποδείξετε ότι Z ˆ = 90 ο. τρ, ισοσκελές ˆ = ˆ ˆ = ˆ Άρα ˆ = ˆ διχοτόμος της ˆ Ομοίως ˆ = ˆ 3 4 Άρα σαν διχοτόμοι δύο εφεξής παραπληρωματικών γωνιών. 3. ίνεται παραλληλόγραμμο. Προεκτείνουμε την κατά τμήμα = και την κατά τμήμα =. Να αποδείξετε ότι τα σημεία, και είναι συνευθειακά. Φέρουμε τα τμήματα και. ρκεί να αποδείξουμε ότι ˆ + ˆ + ˆ = 80 ο ίναι ˆ = ˆ + ˆ σαν εξωτερική του τρ. αλλά τρ. ισοσκελές ˆ = ˆ Z Άρα ˆ = ˆ ˆ = ˆ () ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 67

11 Ομοίως ˆ = ˆ () Παραλληλόγραμμο ˆ = ˆ, ˆ ˆ και ˆ + ˆ = 80 ο. (3) (), (), (3) ˆ + ˆ + ˆ = ˆ ˆ + ˆ + = ˆ + ˆ = 80 ο. 4. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και σημείο της. Προεκτείνουμε την κατά τμήμα =. Να αποδείξετε ότι η διχοτομεί τη. πό το φέρουμε παράλληλη στην, η οποία τέμνει τη στο ˆ = ˆ ˆ. Άρα τρ. ισοσκελές με = =. ίναι, λοιπόν = άρα το τετράπλευρο B είναι παρ/μμο, άρα οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. 5. Ένας ποταμός, του οποίου οι όχθες είναι ευθύγραμμες, διέρχεται μεταξύ δύο χωριών που απέχουν άνισες αποστάσεις από τις όχθες του. Σε ποια θέση πρέπει να κατασκευασθεί μια γέφυρα κάθετη προς τον ποταμό, ώστε τα δύο χωριά να βρίσκονται σε ίσες αποστάσεις από τις αντίστοιχες εισόδους της γέφυρας. ς είναι, οι θέσεις των δύο χωριών αντίστοιχα, ε, η οι όχθες του ποταμού και α το πλάτος του. νάλυση. Έστω ΚΛ η θέση της γέφυρας. Τότε Κ = Λ και ΚΛ = α Κ Λ ε η Θεωρούμε τμήμα = ΛΚ. Τότε ΚΛ παρ/μμο Κ = Λ άρα και Κ = Κ Έτσι το Κ θα ισαπέχει από τα άκρα του υθ. τμήματος, άρα το Κ θα ανήκει στη μεσοκάθετο του. Σύνθεση. Φέρουμε τμήμα = α κάθετο στις όχθες και πλησιάζοντας αυτές. Φέρουμε τη μεσοκάθετο του τμήματος, η οποία τέμνει την όχθη ε σε σημείο Κ. Τέλος φέρουμε ΚΛ ε, που θα είναι και η θέση της γέφυρας. ιερεύνηση. ια να έχει λύση το πρόβλημα, πρέπει η μεσοκάθετος του να τέμνει την ε, δηλαδή να μην είναι παράλληλη στην ε, που σημαίνει όχι κάθετο στην ε, άρα και όχι κάθετο στην ε. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 68

12 Στην περίπτωση που, διακρίνουμε δύο υποπεριπτώσεις ε η Κ Λ i) όταν η απόσταση του από την ε ισούται με την απόσταση του από την η, τότε η θέση της γέφυρας ΚΛ είναι οποιαδήποτε, αφού ισχύει Κ = Λ λόγω συμμετρίας ως προς τη μεσοπαράλληλη των ε, η. ε η Κ Λ ii) όταν, τότε το πρόβλημα είναι αδύνατο, διότι: ν ΚΛ ήταν θέση της γέφυρας, θα είχαμε Κ = Λ και Κ = Λ, οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα Κ, Λ θα ήταν ίσα, άρα θα ήταν =, το οποίο είναι άτοπο ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 69

13 ίδη παραλληλογράμμων. Ποια είναι τα είδη των παραλληλογράμμων ; ιακρίνουμε τρία είδη παραλληλογράμμων: το ορθογώνιο, το ρόμβο και το τετράγωνο. Ορθογώνιο. Πως ορίζεται το ορθογώνιο και τι προκύπτει άμεσα από τον ορισμό αυτό ; Ορισμός : Ορθογώνιο λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει μία γωνία ορθή. πειδή στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες, ενώ δύο διαδοχικές γωνίες του είναι παραπληρωματικές (ως εντός και επί τα αυτά μέρη), προκύπτει ότι όλες οι γωνίες του ορθογωνίου είναι ορθές. 3. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί η ιδιότητα του ορθογωνίου. Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι ίσες. πόδειξη Έστω ορθογώνιο. Θα αποδείξουμε ότι οι διαγώνιοι και είναι ίσες.τα τρίγωνα και είναι ίσα (A = = 90, κοινή, = ), οπότε = ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 70

14 4. Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν τα κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο ορθογώνιο. Ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο, αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις: (i) ίναι παραλληλόγραμμο και έχει μία ορθή γωνία. (ii) ίναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του είναιίσες. (iii) Έχει τρεις γωνίες ορθές. (iv) Όλες οι γωνίες του είναι ίσες. πόδειξη (i) Προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του παραλληλογράμμου. (ii) Έστω παραλληλόγραμμο με =. Τότε τα τρίγωνα και είναι ίσα ( =, =, κοινή), οπότε A =. λλά A + =, οπότε A = =. πομένως, το είναι ορθογώνιο. (iii) ν έχει τρεις ορθές γωνίες θα είναι και η άλλη ορθή, αφού το άθροισμα των γωνιών κάθε τετραπλεύρου είναι 4. (iv) ν όλες οι γωνίες είναι ίσες, προφανώς όλες είναι ορθές. Ρόμβος 5. Πως ορίζεται ο ρόμβος και τι προκύπτει άμεσα από τον ορισμό αυτό ; Ορισμός : Ρόμβος λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. πειδή στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες προκύπτει ότι όλες οι πλευρές του ρόμβου είναι ίσες. 6. Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν οι ιδιότητες του ρόμβου. Ιδιότητες του ρόμβου (i) Οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα. (ii) Οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν τις γωνίες του. πόδειξη Έστω ρόμβος. πειδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές, η διάμεσος του Ο είναι ύψος του και διχοτόμος της γωνίας A. πομένως και η διχοτομεί την A. Όμοια η διχοτομεί τη και η τις και. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 7

15 7. Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν τα κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο ρόμβος. Ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος, αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις: (i) Έχει όλες τις πλευρές του ίσες. (ii) ίναι παραλληλόγραμμο και δυο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες. (iii) ίναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα. (iv) ίναι παραλληλόγραμμο και μία διαγώνιός του διχοτομεί μία γωνία του. πόδειξη (i) και (ii) Προκύπτουν άμεσα από τον ορισμό του ρόμβου. (iii) Έστω παραλληλόγραμμο με. Στο τρίγωνο η Ο είναι διάμεσος, αφού οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου διχοτομούνται. πίσης, η Ο είναι και ύψος, επειδή. Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές, οπότε =. πομένως το είναι ρόμβος. (iv) Έστω παραλληλόγραμμο και διχοτόμος τηςa. Τότε πάλι το τρίγωνο είναι ισοσκελές (αφού Ο διχοτόμος και διάμεσος), οπότε το είναι ρόμβος. 8. Πως ορίζεται το τετράγωνο ; Τετράγωνο Ορισμός : Τετράγωνο λέγεται το παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος. 9. Να διατυπωθούν οι ιδιότητες του τετραγώνου ; πό τον ορισμό προκύπτει ότι το τετράγωνο έχει όλες τις ιδιότητες του ορθογωνίου και όλες τις ιδιότητες του ρόμβου. πομένως, σε κάθε τετράγωνο: (i) Οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες. (ii) Όλες οι πλευρές του είναι ίσες. (iii) Όλες οι γωνίες του είναι ορθές. (iv) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες, τέμνονται κάθετα, διχοτομούνται και διχοτομούν τις γωνίες του. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 7

16 0. Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν τα κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο τετράγωνο. ια να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι τετράγωνο, αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι ορθογώνιο και ρόμβος. ποδεικνύεται ότι ένα παραλληλόγραμμο είναι τετράγωνο, αν ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις: (i) Μία γωνία του είναι ορθή και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες. (ii) Μία γωνία του είναι ορθή και μία διαγώνιός του διχοτομεί μία γωνία του. (iii) Μία γωνία του είναι ορθή και οι διαγώνιοί του κάθετες. (iv) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες. (v) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και η μία διχοτομεί μία γωνία του. (vi) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες και κάθετες. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 73

17 ρωτήσεις Κατανόησης.Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι i) Ορθογώνια, ii) ρόμβοι, iii) τετράγωνα, ποια όχι και γιατί; i) 3 3 (α) (β) 5 3 (γ) (δ) (ε) ii) 3 3 (ζ) φ φ 3 φ φ 3 3 (η) iii) (θ) 4 4 (ι) (κ) i) ίναι το (α) διότι οι διαγώνιες του διχοτομούνται, άρα είναι παραλληλόγραμμο, είναι και ίσες οπότε είναι ορθογώνιο. ίναι το (β) διότι οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες, άρα είναι παραλληλόγραμμο, έχει και μία γωνία ορθή, άρα είναι ορθογώνιο εν είναι το (γ). εν ξέρουμε αν είναι παραλληλόγραμμο. ίναι το (δ) διότι τρείς γωνίες του είναι ορθές ii) Ρόμβος είναι μόνο το (ζ), διότι είναι παραλληλόγραμμο αφού οι διαγώνιες του διχοτομούνται και έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. Τα άλλα τετράπλευρα δεν είναι παραλληλόγραμμα iii) Τετράγωνο είναι μόνο το (ι), αφού οι διαγώνιες του διχοτομούνται, είναι ίσες και τέμνονται κάθετα Το (θ) δεν ξέρουμε αν είναι παραλληλόγραμμο. Το (κ) ενώ είναι παραλληλόγραμμο με κάθετες διαγώνιες δεν ξέρουμε αν αυτές είναι και ίσες.. Με ποιους τρόπους μπορούμε να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι i) Ορθογώνιο ii) Ρόμβος πάντηση i) Ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο όταν ισχύει ένα από τα παρακάτω α) ίναι παραλληλόγραμμο με μία γωνία ορθή β) ίναι παραλληλόγραμμο με ίσες διαγώνιες γ) Έχει τρεις γωνίες ορθές δ) Όλες του οι γωνίες είναι ίσες ii) Ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος όταν ισχύει ένα από τα παρακάτω α) Όλες οι πλευρές του είναι ίσες β) ίναι παραλληλόγραμμο και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες γ) ίναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιες του είναι κάθετες δ) ίναι παραλληλόγραμμο και μία διαγώνιος διχοτομεί μία γωνία του. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 74

18 3.Σε τι είδους τρίγωνα χωρίζονται τα παρακάτω σχήματα τους ; i) Ορθογώνιο, ii) Ρόμβος, iii) Τετράγωνο πάντηση i) Σε 4 ισοσκελή ανά δύο ίσα ii) Σε 4 ορθογώνια ίσα μεταξύ τους iii) Σε τέσσερα ορθογώνια και ισοσκελή ίσα μεταξύ τους από τις διαγώνιες. Να αναφέρετε δύο ομοιότητες και δύο διαφορές που αφορούν πλευρές, γωνίες ή διαγώνιες μεταξύ των ζευγών των σχημάτων i) Τετράγωνο ρόμβος ii) Τετράγωνο ορθογώνιο iii) Ορθογώνιο Ρόμβος πάντηση i) Ομοιότητες: Ίσες πλευρές, κάθετες διαγώνιες ιαφορές: Στο τετράγωνο οι γωνίες είναι ορθές, ενώ στον ρόμβο δεν είναι Στο τετράγωνο οι διαγώνιες είναι ίσες ενώ στον ρόμβο όχι ii) Ομοιότητες: Ορθές γωνίες, διαγώνιες διχοτομούνται ιαφορές : Στο τετράγωνο οι διαγώνιες είναι κάθετες και διχοτομούν τις γωνίες του, ενώ στο ορθογώνιο δεν συμβαίνει αυτό iii) Ομοιότητες: Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες και οι διαγώνιες διχοτομούνται ιαφορές: Στο ρόμβο όλες οι πλευρές είναι ίσες και οι διαγώνιες του είναι κάθετες, ενώ στο ορθογώνιο δεν συμβαίνει τίποτα από τα δύο. 3. Σημειώστε x σε κάθε σωστή πρόταση i) Οι διαγώνιοι του ρόμβου δεν είναι ίσες. x ii) Όλες οι γωνίες του ρόμβου είναι ίσες iii) Ένας ρόμβος με μία ορθή γωνία είναι τετράγωνο x iv) Κάθε τετράγωνο είναι ρόμβος. x ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 75

19 σκήσεις μπέδωσης.σε παραλληλόγραμμο φέρουμε και. Να αποδείξετε ότι το είναι ορθογώνιο. Z Άρα το τετράπλευρο έχει τέσσερις ορθές γωνίες, άρα είναι ορθογώνιο.. ίνεται παραλληλόγραμμο με κέντρο Ο και =. ν, είναι τα μέσα των Ο και Ο αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το είναι ορθογώνιο. Το Ο είναι μέσο των, και = = O Έτσι, οι διαγώνιοι και του διχοτομούνται και είναι ίσες, άρα είναι ορθογώνιο. 3. Να αποδείξετε ότι, αν οι διχοτόμοι των γωνιών παραλληλογράμμου δε συντρέχουν, τότε σχηματίζουν ορθογώνιο. Έστω και οι διχοτόμοι των Â, ˆ ίναι Λ Κ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 Μ ˆ ˆ Ν A Άρα, στο τρίγωνο Κ, έχουμε ˆ = 90 ο Ομοίως ˆ ˆ ˆ Άρα ΚΛΜΝ ορθογώνιο. 4. Να αποδείξετε ότι, ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος, αν και μόνο αν οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του είναι ίσες. Έστω το παρ/μμο και Κ, Λ οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του. υθύ: Όταν Κ = Λ Τα τρίγωνα Κ και Λ είναι ίσα, διότι Κ είναι ορθογώνια και έχουν Κ = Λ και ˆ ˆ. Άρα =, οπότε το παρ/μμο είναι ρόμβος. ντίστροφο: Όταν ρόμβος. Τα τρίγωνα Κ και Λ είναι ίσα, διότι Λ είναι ορθογώνια και έχουν = και ˆ ˆ. Άρα Κ = Λ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 76

20 5.ίνεται ρόμβος με κέντρο Ο. Παίρνουμε δύο σημεία και της, ώστε Ο = Ο = Ο = Ο. Να αποδείξετε ότι το είναι τετράγωνο. Στο οι διαγώνιοί του: διχοτομούνται, άρα είναι παρ/μμο και είναι κάθετες, άρα είναι ρόμβος O και είναι ίσες, άρα και ορθογώνιο. Άρα τετράγωνο. Ν 6.ίνεται τετράγωνο. Στις πλευρές,, και παίρνουμε σημεία Κ, Λ, Μ και Ν αντίστοιχα, ώστε Κ = Λ = Μ = Ν. Να αποδείξετε ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο. Τα τρίγωνα ΚΝ, ΛΚ είναι ορθογώνια και έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες. K 3 Μ Λ Άρα είναι ίσα. ˆK = ˆ και ΚΝ = ΚΛ Όμως, από το ορθ. τρίγωνο ΚΛ έχουμε ˆ + ˆ = 90 ο 3 Άρα ˆK + ˆ = 90 ο. 3 Τότε ˆK = 90 ο Ομοίως για τις άλλες γωνίες και τις πλευρές του τετραπλεύρου ΚΛΜΝ. Έχει, λοιπόν, ορθές γωνίες και ίσες πλευρές, άρα είναι τετράγωνο. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 77

21 Μ Κ Η ποδεικτικές σκήσεις. ίνεται τρίγωνο, η διχοτόμος του και Μ το μέσο της. πό το φέρουμε παράλληλη προς τη, που τέμνει την στο. ν η Μ τέμνει τη στο, να αποδείξετε ότι το είναι ρόμβος. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα Μ και Μ ˆ ˆ ως εντός εναλλάξ ˆ ˆ κατά κορυφή Μ = Μ Άρα είναι ίσα =, αλλά και. Άρα το είναι παρ/μμο. Η Μ είναι διχοτόμος και διάμεσος του τριγώνου, άρα είναι ισοσκελές με =. Έτσι, το παρ/μμο γίνεται ρόμβος..στις πλευρές και τετραγώνου παίρνουμε σημεία και αντίστοιχα, ώστε =. Να αποδείξετε ότι i) = ii) AZ i) Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν κάθετες πλευρές ίσες, άρα είναι ίσα = και ˆ = ˆ ii) λλά ˆ + ˆ = 90 ο Άρα ˆ + ˆ = 90 Ο Τότε, στο τρ.κ έχουμε ˆ = 90 ο, δηλ. AZ 3.Σε ορθογώνιο, και είναι τα μέσα των και αντίστοιχα. ν Η είναι το σημείο τομής των και και Θ το σημείο τομής των και, να αποδείξετε ότι το ΘΗ είναι ρόμβος. Φέρουμε την. ορθογώνιο Η = Η () =// παρ/μμο Η //Θ () Θ =// παρ/μμο Η //Θ (3) () και (3) ΘΗ παρ/μμο. Και λόγω της () ρόμβος. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 78

22 4.Να αποδείξετε ότι, αν δύο κάθετα τμήματα έχουν τα άκρα τους στις απέναντι πλευρές τετραγώνου, τότε είναι ίσα. Έστω ΚΛ και ΝΜ τα κάθετα τμήματα. Ν Κ Κ Λ Μ Ν Φέρουμε ΚΚ και ΝΝ Τότε ΚΚ = ΝΝ = πλευρά του τετραγώνου Τα ορθογώνια τρίγωνα ΚΚ Λ, ΝΝ Μ είναι ίσα, διότι έχουν ΚΚ =ΝΝ και Kˆ Nˆ (οξείες με πλευρές κάθετες). Άρα ΚΛ = ΝΜ. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 79

23 ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 3 Σύνθετα Θέματα.ίνεται παραλληλόγραμμο με ˆB = 45 ο. πό το μέσο Μ της φέρουμε κάθετο πάνω στη και έστω και τα σημεία στα οποία αυτή τέμνει τις και αντίστοιχα (ή τις προεκτάσεις τους). Να αποδείξετε ότι το είναι τετράγωνο. Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ, Μ είναι ίσα διότι Μ ˆ = ˆ = ˆB = 45 ο (εντός εναλλάξ) και Μ = Μ Άρα Μ = Μ Έτσι, οι, διχοτομούνται, είναι και κάθετες άρα το είναι ρόμβος ρκεί να αποδείξουμε ότι έχει και ίσες διαγώνιες. Το ορθογώνιο τρίγωνο Μ έχει ˆ = 45 ο, άρα είναι και ισοσκελές με Μ = Μ άρα και =..Σε ορθογώνιο φέρουμε. ν η διχοτόμος της γωνίας τέμνει τη στο, να αποδείξετε ότι =. ρκεί να αποδείξουμε ότι ˆ = ˆ + ˆ 3 i) Μ το τυχαίο σημείο της βάσης MK, ΜΛ οι αποστάσεις από τις, ύψος Θα αποδείξουμε ότι ΜΚ + ΜΛ = Φέρουμε ΜΝ Ν Λ Κ ΜΝΛ ορθογώνιο (τρεις γωνίες ορθές) ΜΛ = Ν M 80 ˆ και επειδή ˆ = ˆ ρκεί να αποδείξουμε ότι ˆ = ˆ + ˆ 3 ˆ είναι εξωτερική του τριγώνου, άρα ˆ = ˆ + ˆ. Οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι ˆ + ˆ = ˆ + ˆ, δηλαδή ότι ˆ = ˆ, το όποίο 3 3 ισχύει αφού είναι οξείες με πλευρές κάθετες. 3.Να αποδείξετε ότι : i) το άθροισμα των αποστάσεων τυχαίου σημείου της βάσης ισοσκελούς τριγώνου από τις ίσες πλευρές του είναι σταθερό (και ίσο με ένα από τα ύψη του). ii) το άθροισμα των αποστάσεων τυχαίου σημείου, που βρίσκεται στο εσωτερικό ισοπλεύρου τριγώνου, από τις πλευρές του, είναι σταθερό (και ίσο με το ύψος του).

24 ρκεί, λοιπόν, να αποδείξουμε ότι ΜΚ = Ν. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΝΜ, ΚΜ. ίναι ορθογώνια με κοινή την υποτείνουσα Μ και NM ˆ ˆ (εντός εναλλάξ) = ˆ. ίναι, λοιπόν, ίσα, άρα ΜΚ = Ν. ii) Μ το τυχαίο εσωτερικό σημείο MK, ΜΛ, ΜΡ οι αποστάσεις από τις πλευρές Λ Μ Κ Φέρουμε το ύψος και ΜΗ Τότε τρ. ισόπλευρο και ΜΡ = Η () Η φαρμόζουμε το i) στο τρ., οπότε Ρ ΜΚ + ΜΛ = Η () (το ισόπλευρο τρίγωνο έχει ίσα ύψη) () + () ΜΚ + ΜΛ + ΜΡ = ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 8

25 φαρμογές παραλληλογράμμων φαρμογές στα τρίγωνα. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα το οποίο αναφέρεται στην ένωση των μέσων δύο πλευρών ενός τριγώνου Θεώρημα : Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. πόδειξη Θεωρούμε τρίγωνο και τα μέσα, των, αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι // = B/. Προεκτείνουμε τη κατά τμήμα EZ =. Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Άρα = //, οπότε = //, αφού =. Έτσι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, οπότε: (i) // άρα // και (ii) // ή = ή = /.. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα το οποίο αναφέρεται στην ευθεία που φέρεται από το μέσο μιας πλευράς τριγώνου παράλληλης προς μία πλευρά της. Θεώρημα : ν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μια άλλη πλευρά του, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του. πόδειξη ς θεωρήσουμε ένα τρίγωνο και ας φέρουμε από το μέσο της την παράλληλη προς την που τέμνει την στο. Θα αποδείξουμε ότι το είναι το μέσο της. Έστω ότι το δεν είναι μέσο της. ν Z είναι το μέσο της, το τμήμα ενώνει τα μέσα των πλευρών και, οπότε σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα //. Έτσι, όμως, έχουμε από το δύο παράλληλες προς τη, που είναι άτοπο. Άρα το είναι μέσο της. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 8

26 3. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα που αναφέρεται στις τρεις παράλληλες ευθείες που ορίζουν ίσα τμήματα σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει ; Θεώρημα : ν τρεις (τουλάχιστον) παράλληλες ευθείες ορίζουν σε μία ευθεία ίσα τμήματα, θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει. πόδειξη Θεωρούμε τις παράλληλες ευθείες ε, ε, ε 3 οι οποίες τέμνουν την δ στα σημεία,, και ορίζουν σε αυτή τα ίσα ευθύγραμμα τμήματα, (σχ.). ν μια άλλη ευθεία δ τέμνει τις ε, ε, ε 3 στα σημεία,, αντίστοιχα, θα αποδείξουμε ότι =. Φέρουμε Κ //. Τότε τα τετράπλευρα Η και ΚΗ είναι παραλληλόγραμμα, οπότε Η = () και ΗΚ = (). Στο τρίγωνο Κ το είναι το μέσο της και Η // Κ. Άρα το Η είναι μέσο της Κ, δηλαδή Η = ΗΚ (3). πό τις (), () και (3) προκύπτει ότι =. 4. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί η πρόταση ορισμός της μεσοπαραλλήλου Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από δυο παράλληλες ευθείες ε και ε είναι μία ευθεία ε παράλληλη προς τις ε και ε, η οποία διέρχεται από τα μέσα των τμημάτων που έχουν τα άκρα τους στις δυο παράλληλες. Η ευθεία ε λέγεται μεσοπαράλληλος των ε και ε. πόδειξη Θεωρούμε δύο παράλληλες ευθείες ε και ε και ένα τμήμα = υ κάθετο προς αυτές, το οποίο έχει τα άκρα του στις ε και ε. ν από το μέσο Κ της φέρουμε την ευθεία ε παράλληλη προς τις ε και ε, παρατηρούμε ότι κάθε σημείο Μ της ε ισαπέχει από τις ε και ε, αφού Μ = Μ = υ/. ντίστροφα, αν ένα σημείο Μ ισαπέχει από τις ε και ε, το Μ τότε είναι σημείο μεταξύ των παραλλήλων και ισχύει Μ + Μ = = υ, οπότε Μ = Μ = υ/. Έτσι τα τετράπλευρα ΜΚ και ΜΚ είναι παραλληλόγραμμα (Μ// = Κ, Μ // = Κ), οπότε ΜΚ // ε, ε. πομένως, το Μ ανήκει στην ευθεία ε. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 83

27 5. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών ενός τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου πόδειξη Θεωρούμε τετράπλευρο και τα μέσα,, Η, Θ των,,, αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι το ΗΘ είναι παραλληλόγραμμο. Φέρουμε τη διαγώνιο. Παρατηρούμε ότι τα και Θ είναι τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου, οπότε Θ =// / () Όμοια από το τρίγωνο προκύπτει ότι Η =// / () πό τις () και () έχουμε ότι Θ = // Η, οπότε το ΗΘ είναι παραλληλόγραμμο. ΣΗΜΙΩΣΗ : νάλογο συμπέρασμα ισχύει και σε μη κυρτό τετράπλευρο. 6. Να διαιρεθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα σε τρία ίσα ευθύγραμμα τμήματα. Φέρουμε μια ημιευθεία x και παίρνουμε σε αυτή τα ίσα διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα,,. Φέρουμε τη και από τα, και παράλληλες προς αυτή, οι οποίες τέμνουν την στα σημεία και Η. Τότε σύμφωνα με θεώρημα, θα είναι Η = Η =. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 84

28 αρύκεντρο τριγώνου 7. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα βαρυκέντρου ενός τριγώνου ; Θεώρημα Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο του οποίου η απόσταση από κάθε κορυφή είναι τα /3 του μήκους της αντίστοιχης διαμέσου. πόδειξη Έστω τρίγωνο. Φέρουμε τις δύο διαμέσους και. i) Στην ημιευθεία Θ παίρνουμε τμήμα ΘΚ = Θ. Παρατηρούμε ότι τα σημεία και Θ είναι τα μέσα των πλευρών του τριγώνου Κ, οπότε EΘ =// Κ/ (). Όμοια από το τρίγωνο Κ έχουμε Θ =// Κ/ (). πό τις () και () προκύπτει ότι //Κ και // Κ, δηλαδή το ΘΚ είναι παραλληλόγραμμο (3). Άρα οι διαγώνιοί του διχοτομούνται, οπότε =. Το σημείο Θ, στο οποίο τέμνονται οι διάμεσοι του, λέγεται βαρύκεντρο (ή κέντρο βάρους) του τριγώνου. ii) πό το παραλληλόγραμμο ΘΚ έχουμε ακόμη Θ = Κ = ΘΚ, άρα Θ = Θ ή Θ = Θ. πό τις () και (3) προκύπτει ότι Θ = Κ = Θ ή Θ = Θ. Όμοια από τις () και (3) έχουμε Θ = Θ. Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι το βαρύκεντρο έχει την ιδιότητα να χωρίζει κάθε διάμεσο σε δύο τμήματα που το ένα είναι διπλάσιο του άλλου. πίσης έχουμε ότι = Θ + Θ = Θ + Θ = 3Θ. Άρα Θ = /3, οπότε Θ = /3. Όμοια προκύπτει ότι Θ = /3 και Θ = /3. ΠΡΤΗΡΗΣΗ : Στην παραπάνω πρόταση θεωρήσαμε το σημείο τομής Θ των δύο διαμέσων και και αποδείξαμε ότι η Θ αν προεκταθεί είναι η τρίτη διάμεσος. υτός ο τρόπος αποτελεί μια βασική μέθοδο για να αποδεικνύουμε ότι τρεις ευθείες συντρέχουν σε κάποιο σημείο. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 85

29 Το ορθόκεντρο τριγώνου 8. Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν το λήμμα και το θεώρημα που αφορούν το ορθόκεντρο ενός τριγώνου ; Λήμμα : Οι παράλληλες, που άγονται από τις κορυφές ενός τριγώνου προς τις απέναντι πλευρές του, σχηματίζουν τρίγωνο, το οποίο έχει ως μέσα των πλευρών του τις κορυφές του αρχικού τριγώνου. πόδειξη πό τις κορυφές,, τριγώνου φέρουμε παράλληλες προς τις απέναντι πλευρές του, οι οποίες ορίζουν ένα νέο τρίγωνο ΚΛΜ. Λόγω των σχηματιζόμενων παραλληλογράμμων Κ, Λ και Μ έχουμε: Κ = = Λ, Λ = = Μ και Κ = = Μ. πομένως τα σημεία,, είναι τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ΚΛΜ. Θεώρημα Οι φορείς των υψών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. πόδειξη Έστω τρίγωνο και τα ύψη του, και. πό τις κορυφές του,, φέρουμε παράλληλες προς τις απέναντι πλευρές. Σύμφωνα με το Λήμμα, στο τρίγωνο ΚΛΜ τα σημεία,, είναι τα μέσα των πλευρών του. πίσης, παρατηρούμε ότι οι ευθείες, και είναι κάθετες στις ΚΛ, ΚΜ και ΜΛ αντίστοιχα (αφού είναι κάθετες στις, και ) και μάλιστα είναι κάθετες στα μέσα τους. ηλαδή οι ευθείες, και είναι οι μεσοκάθετοι των πλευρών του τριγώνου ΚΛΜ, οπότε θα διέρχονται από το ίδιο σημείο Η. Το σημείο Η λέγεται ορθόκεντρο του τριγώνου. ΠΡΤΗΡΗΣΗ : Όταν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, το ορθόκεντρο είναι η κορυφή της ορθής γωνίας, ενώ σε αμβλυγώνιο τρίγωνο το ορθόκεντρο βρίσκεται εκτός του τριγώνου ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 86

30 9. Τι καλείται ορθοκεντρική τετράδα και τι πόρισμα ισχύει για αυτήν ; ΠΟΡΙΣΜ: Οι κορυφές,,, τριγώνου και το ορθόκεντρό του Η αποτελούν ορθοκεντρική τετράδα, δηλαδή κάθε ένα από αυτά τα σημεία είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου, που ορίζεται από τα άλλα τρία σημεία. Πράγματι οι κορυφές π.χ., και το ορθόκεντρο Η του τριγώνου ορίζουν το τρίγωνο Η. Τα ύψη Η, και του τριγώνου Η τέμνονται στο, οπότε το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου Η. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου 0. Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν τα θεωρήματα που αφορούν στην διάμεσο ενός ορθογωνίου τριγώνου. Θεώρημα : Η διάμεσος οθρογώνιου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. πόδειξη Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) και τη διάμεσό του Μ. Θα αποδείξουμε ότι Μ = /. Φέρουμε τη διάμεσο Μ του τριγώνου Μ. Το Μ συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου, οπότε Μ //. λλά, επομένως και Μ. Άρα, το Μ είναι ύψος και διάμεσος στο τρίγωνο Μ, οπότε Μ = Μ, δηλαδή Μ = /. και αντίστροφα Θεώρημα : ν η διάμεσος ενός τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 87

31 πόδειξη Θεωρούμε τρίγωνο και τη διάμεσό του Μ. ν Μ = / θα αποδείξουμε ότι η γωνία είναι ορθή. πειδή έχουμε Μ = Μ, οπότε = () και Μ = Μ, οπότε = (). πό τις () και () προκύπτει ότι + = +, δηλαδή = +. λλά + + =, οπότε = ή =. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το πόρισμα για το ορθογώνιο τρίγωνο των 30 ο 60 ο ΠΟΡΙΣΜ ν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα. πόδειξη Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ) με = 30. Θα αποδείξουμε ότι = /. πειδή = 30, είναι = = 60. Φέρουμε τη διάμεσο Μ και είναι Έτσι = = 60, οπότε το τρίγωνο Μ είναι ισόπλευρο. πομένως = Μ = /. ντίστροφο, αν στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι = /, θα αποδείξουμε ότι = 30. πόδειξη Φέρουμε τη διάμεσο Μ, οπότε Μ = = Μ = (αφού = ). Άρα το τρίγωνο Μ είναι ισόπλευρο, οπότε = 60. πομένως = = 30. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 88

32 ρωτήσεις Κατανόησης.Στα παρακάτω σχήματα να υπολογίσετε τα x και ψ (α) (β) A x 3 x,5 (γ) 3 3 ψ x+ 3,5 x 3,5 ε 4 δ δ ε ε ε 3 ε ε B ε 3 ε 4 (δ) ψ ψ Μ x 60 o 4 (ε) B 5 6 Μ x ψ A (ζ) ψ Μ x Θ πάντηση Στο σχήμα (α) : x x x = x + x = Στο σχήμα (β) : x =,5 και,5 ψ = 5 Στο σχήμα (γ): x = 3,5 και ψ =3 Στο σχήμα (δ): x = Μ = = 4 και ψ = Στο σχήμα (ε): x = =3 και ψ =,5 Στο σχήμα (ζ): x = 0 και ψ = ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 89

33 .Στα παρακάτω σχήματα να υπολογίσετε τις γωνίες φ και ω (α) (β) φ 4 3 Μ ω 3 ω Μ (γ) φ πάντηση Στο σχήμα (α) : φού = 90 ο και = = 4 θα είναι ˆ 30 ο άρα ˆ = 60 ο Στο σχήμα (β) : φού = 90 ο και Μ = ω 5 5 = 3 =, θα είναι ˆ =30 ο Στο σχήμα (γ) : ίναι = 90 ο άρα ˆ + ˆ =90 ο ˆ = 30 ο και επειδή Μ = Μ, θα είναι ˆ = ˆ =30 ο Στο σχήμα (δ) : Η σχεδιασμένη διάμεσος είναι ίση με το μισό της πλευράς προς την οποία αντιστοιχεί, άρα ˆ = 90 ο, οπότε ˆ = 90 ο 3.Υπάρχει τρίγωνο στο οποίο το ορθόκεντρο και το βαρύκεντρο να ταυτίζονται ; πάντηση Ναι. ίναι το ισόπλευρο αφού τα ύψη του ταυτίζονται με τις διαμέσους του. ω 5 4.Στο παρακάτω σχήμα να δικαιολογήσετε την ισότητα Μ = Μ πάντηση φού ˆ = 90 ο και Μ διάμεσος στην υποτείνουσα, θα είναι Μ =. μέσο του και μέσο του άρα =, οπότε Μ = = 5.Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = 90 ο ), ο κύκλος διαμέτρου διέρχεται από το ; ικαιολογήστε την απάντηση σας. πάντηση ν Μ είναι το μέσο της υποτείνουσας, τότε ισχύει Μ = = Μ = Μ. Οπότε ο κύκλος διαμέτρου διέρχεται και από το. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 90

34 σκήσεις μπέδωσης.ν και είναι τα μέσα των πλευρών και τριγώνου και τυχαίο σημείο της, να αποδείξετε ότι η διχοτομεί την., μέσα των, // Στο τρίγωνο η θα τμήσει την στο μέσο της..ίνεται τρίγωνο και η διάμεσός του. ν, και Η είναι τα μέσα των, και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το Η είναι παραλληλόγραμμο. Στο τρίγωνο, επειδή τα, είναι μέσα πλευρών = // AB () Η Ομοίως στο τρίγωνο είναι Η = // AB () () και () = //Η άρα Η παραλληλόγραμμο. 3.Σε τρίγωνο φέρουμε τα ύψη και. ν Μ είναι το μέσο της, να αποδείξετε ότι Μ = Μ. Μ διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου, άρα Μ = B () Ομοίως στο τρίγωνο, Μ = B () M () και () Μ = Μ 4.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90ο ) με ˆB = 30 ο. ν, είναι τα μέσα των και, να αποδείξετε ότι = Â = 90 ο και ˆB = 30 ο E, μέσα = B = B Άρα = ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 9

35 5.ν σε τρίγωνο είναι, να αποδείξετε ότι. Έστω =, = ίναι Θ = 3 και Θ = 3 και Θ το κέντρο βάρους. άρα Θ = Θ () Θ Θ = και Θ = άρα Θ = Θ () 3 3 ˆ ˆ (3) (), (), (3) τρ.θ = τρ.θ = = 6.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90ο ). Προεκτείνουμε τη κατά τυχαίο τμήμα. πό το φέρουμε Η, η οποία τέμνει την στο. Να αποδείξετε ότι. Τα, είναι ύψη του τριγώνου, άρα το είναι ορθόκεντρό του. Άρα η ευθεία είναι ο φορέας του τρίτου ύψους, δηλαδή. 7.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90ο ) με ˆ = 30 ο και, τα μέσα των και αντίστοιχα. Προεκτείνουμε την κατά τμήμα =.. Να αποδείξετε ότι το είναι ρόμβος. = // = // Άρα το είναι παρ/μμο () ˆ = 30 ο στο ορθογώνιο τρίγωνο θα έχουμε = () = πό τις () και () το είναι ρόμβος. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 9

36 Μ ποδεικτικές σκήσεις.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90ο ) και το ύψος του. i) ν, είναι τα μέσα των και, να αποδείξετε ότι ˆ = ˆ = 90 ο. ii) ν Μ είναι το μέσο της, να αποδείξετε ότι Μ =. 4 i) διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου = () διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου = () Μ () και () τρ. = τρ. ( κοινή) Άρα ˆ = ˆ = 90 ο ii) Μ διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου Μ = λλά = αφού ενώνει τα μέσα και στο τρίγωνο Άρα Μ = 4. ίνεται παραλληλόγραμμο και τα μέσα και των και αντίστοιχα. ν η τέμνει τη διαγώνιο στο Η, να αποδείξετε ότι Η =. 4 Φέρουμε και τη διαγώνιο. Στο τρίγωνο θα έχουμε, Ο άρα και Η Ο, Η και αφού μέσο, στο τρίγωνο Ο θα έχουμε και το Η μέσο του Ο Η = = = 4 3.Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90ο ) με ˆ ˆ φέρουμε τη διάμεσό του Μ και το ύψος του. Να αποδείξετε ότι ˆ. ˆ ˆ ˆ = ˆ - ˆ () Μ διάμεσος του ορθ. τριγώνου Μ = άρα = Μ δηλαδή Μ τρίγωνο ισοσκελές, ˆ = ˆ () ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 93

37 ˆ = ˆ (3) (οξείες με κάθετες πλευρές) () (),(3) ˆ ˆ ˆ. 4. ν, είναι τα μέσα των πλευρών, παραλληλογράμμου αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι οι και τριχοτομούν τη διαγώνιο. =// παρ/μμο E Λ // Κ Κ Στο τρίγωνο Κ, μέσο και Λ//Κ Λ μέσο της Κ Λ Ομοίως Κ μέσο της Λ 5.ν, είναι τα μέσα των πλευρών, παραλληλογράμμου αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι οι και τριχοτομούν τη διαγώνιο. Λ Ο Κ Έστω Ο το κέντρο του παρ/μμου. BΟ και A είναι διάμεσοι του τρ.b, άρα το σημείο τομής τους Κ είναι κέντρο βάρους του τριγώνου ΚΟ = Κ = 3 Ο () Ομοίως ΛΟ = Λ = Ο () 3 () + () ΚΟ + ΛΟ = 3 (Ο +Ο) ΚΛ = 3 (3) Κ κέντρο βάρους Κ = 3 Ο = 3 Ομοίως Λ = 3 (5) = 3 (4) (3), (4), (5) Κ = ΚΛ = Λ 6.Σε τρίγωνο, είναι το μέσο της διαμέσου Μ. ν η τέμνει την πλευρά στο, να αποδείξετε ότι = E. Φέρουμε ΜΛ. ρκεί να αποδείξουμε ότι = Λ = Λ Μ Λ Στο τρίγωνο ΜΛ, μέσο και ΜΛ = Λ Στο τρίγωνο, Μ μέσο και ΜΛ Λ = Λ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 94

38 7.Σε παραλληλόγραμμο προεκτείνουμε την κατά τμήμα =. ν η τέμνει την στο Η και τη στο, να αποδείξετε ότι i) BZ = Z, ii) Η = Ο Η ii) Oι και Ο είναι διάμεσοι του τρ., άρα το Η είναι το κέντρο βάρους του Η = 3 Ο = 3 = 3 δ () και ΗΟ = 3 Ο = 6 = δ (όπου δ = ) 6 4 Η = Ο + ΟΗ = + = = 6 6 πό τις () και () Η = 3 δ () Φέρουμε τις, Ο το κέντρο του παρ/μμου i) = // παρ/μμο. άρα οι διαγώνιοί του διχοτομούνται στο, δηλαδή BZ = Z. 8.Σε ορθογώνιο τρίγωνο με ˆ = 30 ο η κάθετος στο μέσο Μ της υποτείνουσας τέμνει την πλευρά στο. Να αποδείξουμε ότι i) Μ =, ii) M =. 3 i) Στο τρίγωνο, ˆ = 30 ο = = Μ Μ Φέρουμε τη. τρ.μ = τρ. διότι είναι ορθογώνια με κοινή και Μ = Οπότε Μ = ii) Στο τρίγωνο Μ, ˆ = 30 ο Μ = (i) =. Άρα = 3 (i) Μ = 3 9.ίνεται ορθογώνιο και, τα μέσα των και αντίστοιχα. ν Η, Κ οι προβολές των κορυφών και στη διαγώνιο αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι Η Κ. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 95

39 Σ K Η Έστω Σ η τομή των Η, Κ. πό το τρίγωνο ΣΚΗ, αρκεί να δειχθεί ότι Ĥ + ˆK = 90 ο Η διάμεσος του ορθ. τριγώνου Η Η = AB = Ĥ = ˆB () Κ διάμεσος του ορθ. τριγώνου Κ Κ = B = ˆK = ˆK = ˆB () () + () Ĥ + ˆK = ˆB + ˆB = 90 ο. 0. Τρία χωριά, που δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία, ανήκουν στον ίδιο δήμο. Ο δήμος αποφασίζει να κατασκευάσει δρόμο (ευθεία), ο οποίος να ισαπέχει από τα τρία χωριά. Πώς θα γίνει η χάραξη του δρόμου; Πόσοι τέτοιοι δρόμοι υπάρχουν; ς είναι,, οι θέσεις των τριών χωριών. Λ νάλυση δ Κ Έστω δ ο ζητούμενος δρόμος και Κ, Λ τα σημεία τομής του με τις,. Τότε οι αποστάσεις,, των τριών χωριών από το δρόμο θα είναι ίσες. Θα είναι τρ. Κ = τρ. Κ (ορθογώνια με = και κατά κορυφή γωνίες στο Κ). Τότε Κ = Κ δηλαδή το Κ θα είναι μέσο του τμήματος. Ομοίως το Λ θα είναι μέσο του τμήματος. Ο δρόμος, λοιπόν θα είναι η ευθεία που ορίζεται από τα μέσα των και, ή από τα μέσα των και, ή από τα μέσα των και. Έτσι, θα υπάρχουν τρεις τέτοιοι δρόμοι. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 96

40 Σύνθετα Θέματα.Σε τρίγωνο με Bˆ ˆ φέρουμε το ύψος του. ν και τα μέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ˆ ˆ ˆ. A ίναι ˆ ˆ ˆ ( ˆ εξωτερική του τρ. ) Άρα ˆ = ˆ - ˆ () ˆ = ˆ διάμεσος του ορθ. τριγώνου B τρ. ισοσκελές ˆ = ˆ () ˆ = ˆ - ˆ.Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90ο ) φέρουμε το ύψος του. Να αποδείξετε ότι αν ˆ = 5 ο, τότε = και αντίστροφα. 4 (Υπόδειξη : Φέρουμε τη διάμεσο Μ) Συμπεράσματα που ισχύουν και για το ευθύ και για το αντίστροφο. Μ = =Μ = Μ τρ.μ ισοσκελές Μ ˆ = ˆ λλά ˆ = ˆ + ˆ (εξωτερική του τρ. Μ) ˆ = ˆ + ˆ = ˆ ποδεικνύουμε το ευθύ και το αντίστροφο ταυτόχρονα, με ισοδυναμίες. ˆ = 5 ο ˆ = 30 ο = = = 4 3. Σε κυρτό τετράπλευρο θεωρούμε το βαρύκεντρο Κ του τριγώνου και τα μέσα, και Η των, και Κ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι Η//Κ Φέρουμε τη διάμεσο και τη Η. ρκεί να αποδείξουμε ότι ΚΗ παρ/μμο, Η Κ ή ότι Κ =//Η. Κ βαρύκεντρο του τρ. Κ = () Η, μέσα πλευρών του τρ.κ Η=// () () και () Κ =//Η. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 97

41 0 4.ίνεται τρίγωνο με ˆ ˆ 90 και το ύψος του. Προεκτείνουμε την κατά τμήμα =. Να αποδείξετε ότι η διχοτομεί την πλευρά. Η ευθεία τέμνει την σε σημείο. Τρ. ισοσκελές ˆ = ˆ λλά ˆ = ˆ + ˆ (εξωτερική του ) Άρα ˆ = ˆ ˆ = ˆ ˆ = ˆ 3 Μ Έτσι ˆ = ˆ = ˆ = ˆ ˆ = ˆ τρ. ισοσκελές με = () πό το ορθ. τρίγωνο, η ˆ είναι συμπληρωματική της ˆ. Λόγω του ύψους, η ˆ είναι συμπληρωματική της ˆ. 3 Άρα ˆ = ˆ τρ. ισοσκελές με = () 3 πό τις (), () =. 5.ίνεται τρίγωνο με <, η διχοτόμος του και Μ το μέσο της. ν η προβολή του στη διχοτόμο, να αποδείξετε ότι : i) Μ ii) EM = i), Μ μέσα πλευρών του τριγώνου Μ = ii) Μ = = = Προεκτείνουμε τη και τέμνει την σε σημείο. Το είναι ύψος και διχοτόμος του τρ., άρα και διάμεσος και το τρίγωνο ισοσκελές με = Έτσι, το είναι μέσο του τμήματος. 6. ίνεται τρίγωνο, το ύψος του και Μ το μέσο του τμήματος. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 98

42 Προεκτείνουμε τη κατά τμήμα =. Να αποδείξετε ότι η κάθετη από το Μ στην, η κάθετη από το στην και η συντρέχουν. Λ Ρ Μ Κ Μ Φέρουμε τη Μ, η οποία ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τρ., άρα Μ. Έστω. Τότε Μ, δηλαδή η είναι φορέας ύψους του τριγώνου Μ. Φορείς υψών του ίδιου τριγώνου είναι και οι ΜΜ,. Άρα διέρχονται από το ίδιο σημείο- ορθόκεντρο του τριγώνου Μ, δηλαδή συντρέχουν. 7. ν Κ και Λ είναι οι προβολές της κορυφής τριγώνου στην εσωτερική και εξωτερική διχοτόμο της γωνίας ˆB αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι i) το ΚΛ είναι ορθογώνιο ii) η ευθεία ΚΛ διέρχεται από το μέσο της. i) ίναι Λ Κ σαν διχοτόμοι δύο εφεξής παραπληρωματικών γωνιών. Έτσι το τετράπλευρο ΚΛ έχει τρεις γωνίες ορθές, άρα είναι ορθογώνιο. ii) Σ Συμβολίζουμε Σ την τομή των Κ, και Ρ την τομή των, ΛΚ. Το Κ είναι διχοτόμος και ύψος του τριγώνου Σ, άρα και διάμεσος, δηλαδή το Κ είναι μέσο του Σ. ΚΛ ορθογώνιο οι διαγώνιοί του διχοτομούνται, δηλαδή το Ρ είναι μέσο του Στο τρίγωνο, λοιπόν, Σ θα είναι ΡΚ Σ, άρα και ΛΡΚ, οπότε η ΛΚ θα διέλθει από το μέσο της. 8. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90ο ), το ύψος του και η διάμεσός του Μ. ν, οι προβολές του στις και, να αποδείξετε ότι i) = ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 99

43 ii) AM EZ iii) η διάμεσος Μ, το τμήμα και η παράλληλη προς την από το συντρέχουν. i) Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο, αφού έχει τρεις γωνίες ορθές έχει ίσες διαγωνίους. Κ Λ Μ ii) Έστω Κ η τομή των Μ,. Στο τρίγωνο Κ, αρκεί να αποδείξουμε ότι ˆ + ˆ = 90 ο ίναι AM = = M τρ.μ ισοσκελές ˆ = ˆ. () τρ. = τρ. ˆ = ˆ. λλά ˆ = ˆB (οξείες με πλευρές). Άρα ˆ = ˆB () () + () ˆ + ˆ = ˆ + ˆB ˆ + ˆ = 90 ο iii) Έστω Λ η τομή των Μ,.. ρκεί να αποδείξουμε ότι Λ, ή αρκεί ότι το Λ είναι παρ/μμο. πειδή, όμως, Λ, αρκεί να αποδείξουμε ότι Λ =. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα Λ και. ίναι ορθογώνια με = και ˆ = ˆ (από την ()) = ˆ (εντός- εκτός επί τα αυτά). Άρα τρ. Λ= τρ. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 00

44 Τραπέζια. Να δοθεί ο ορισμός του τραπεζίου. Τι καλούμε βάσεις ; Τι ύψος και τι διάμεσο του τραπεζίου ; Ορισμός : Τραπέζιο λέγεται το κυρτό τετράπλευρο που έχει μόνο δύο πλευρές παράλληλες. Οι παράλληλες πλευρές και του τραπεζίου λέγονται βάσεις του τραπεζίου. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα κάθετο στις βάσεις του τραπεζίου με τα άκρα του στους φορείς των βάσεων λέγεται ύψος του τραπεζίου. Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του λέγεται διάμεσος του τραπεζίου.. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα της διάμεσου του τραπεζίου ; Θεώρημα : Η διάμεσος του τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους. πόδειξη ηλαδή, αν διάμεσος του τραπεζίου, τότε: i) //, και E = (). πόδειξη Θεωρούμε τραπέζιο ( // ), τη διαγώνιο του και το μέσο της. πό το φέρουμε ευθεία ε παράλληλη των και που τέμνει τις και στα Κ και αντίστοιχα. Τότε: Στο τρίγωνο το είναι μέσο της και Κ//, οπότε το Κ είναι το μέσο της και EΚ = / (). πίσης στο τρίγωνο το Κ είναι μέσο της και Κ//, οπότε το είναι το μέσο της και Κ = / (). πομένως η είναι διάμεσος του τραπεζίου και ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 0

45 i) //, (από κατασκευή). ii) πό τις () και () προκύπτει ότι K + KZ = + ή E = 3. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το πόρισμα για τα μέσα των διαγωνίων ενός τραπεζίου. ΠΟΡΙΣΜ Η διάμεσος τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα Κ και Λ των διαγωνίων του και το τμήμα ΚΛ είναι παράλληλο με τις βάσεις του και ίσο με την ημιδιαφορά των βάσεών του πόδειξη ποδείξαμε παραπάνω ότι το Κ είναι μέσο της. Όμοια, αν φέρουμε την, στο τρίγωνο το είναι μέσο της και Λ //, οπότε το Λ είναι μέσο της και Λ = (3). πομένως, η διάμεσος του τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα Κ, Λ των διαγωνίων του και προφανώς ΚΛ //,. πίσης από τις () και (3) προκύπτει ότι: Λ - Κ = = - ή ΚΛ = (με > ). Ισοσκελές τραπέζιο 4. Να δοθεί ο ορισμός του ισοσκελούς τραπεζίου ; Ορισμός : Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι μη παράλληλες πλευρές είναι ίσες 5. Να διατυπωθούν και να αποδειχθούν οι ιδιότητες του ισοσκελούς τραπεζίου ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 0

46 ν ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές, τότε: (i) Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μια βάση είναι ίσες. (ii) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες. πόδειξη (i) Έστω ισοσκελές τραπέζιο (// και =). Φέρουμε τα ύψη Η και Κ. Τα τρίγωνα Η και Κ είναι ίσα (Η = Κ = 90, = και Η = Κ = υ), οπότε =. πειδή + = 80 και + = 80 (ως εντός και επί τα αυτά μέρη), έχουμε και =. (ii) Τα τρίγωνα και είναι ίσα ( =, κοινή και = ), οπότε =. 6. Να διατυπωθούν τα κριτήρια για να είναι ένα τραπέζιο ισοσκελές. Ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές, αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις. (i) Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μια βάση του είναι ίσες. (ii) Οι διαγώνιοί του είναι ίσες. 7. Να αποδειχθεί ότι σε κάθε ισοσκελές τραπέζιο: (i) αν προεκτείνουμε τις μη παράλληλες πλευρές του σχηματίζονται δύο ισοσκελή τρίγωνα, (ii) η ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των βάσεων είναι μεσοκάθετος της κάθε βάσης. πόδειξη (i) Έστω ισοσκελές τραπέζιο (//) και Ο το σημείο τομής των και. Τα τρίγωνα Ο και Ο είναι ισοσκελή, αφού A = και = ( ισοσκελές τραπέζιο). (ii) Η μεσοκάθετος ε της βάσης διέρχεται από το Ο, επειδή το τρίγωνο Ο είναι ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 03

47 ισοσκελές. Η ε είναι κάθετος και στη επειδή //. φού η ε διέρχεται από το Ο, είναι και ύψος του ισοσκελούς τριγώνου Ο, άρα μεσοκάθετος και στη. ξιοσημείωτες ευθείες και κύκλοι τριγώνου 8. Ποιες τριάδες συντρεχουσών ευθείων υπάρχουν σε ένα τρίγωνο ; Σε ένα τρίγωνο οι μεσοκάθετοι των πλευρών του, οι διχοτόμοι των γωνιών του, οι διάμεσοι και τα ύψη του αποτελούν τριάδες συντρεχουσών ευθειών. 9. Τι καλείται περίκεντρο ; Τι έγκεντρο ; Τι βαρύκεντρο και τι ορθόκεντρο ενός τριγώνου ; Σε ένα τρίγωνο αποδείξαμε ότι διέρχονται από το ίδιο σημείο: Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών του. Το κοινό σημείο Ο λέγεται περίκεντρο του και ο κύκλος (Ο,Ο) λέγεται περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου. Οι διχοτόμοι των τριών γωνιών του. Το κοινό σημείο I λέγεται έγκεντρο του και ο κύκλος με κέντρο το I και ακτίνα την κοινή απόσταση του I από τις τρεις πλευρές του, λέγεται εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου. Οι τρεις διάμεσοί του. Το κοινό σημείο τους Θ λέγεται βαρύκεντρο του. Τα τρία ύψη του. Το κοινό σημείο τους Η λέγεται ορθόκεντρο του. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 04

48 ρωτήσεις κατανόησης.στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 3 3 (α) x 0 ψ 4 (β) x ψ 7 (γ) x (δ) θ x+ 3x ω 0 ο πάντηση 0 Στο σχήμα (α) το τμήμα x είναι διάμεσος άρα x = 6 και ψ = 4 Στο σχήμα (β) η είναι διάμεσος, άρα = AB = x = και AB 7 ψ = =,5 Στο σχήμα (γ) το τμήμα x + είναι διάμεσος, άρα x + = x 3x x + = x + 3x x = x = Στο σχήμα (δ) είναι ˆ = 80 ο 0 ο = 60 ο πειδή το τραπέζιο είναι ισοσκελές, θα είναι ˆ = ˆ = 80 ο 0 ο = 60 ο. Και αφού ˆ = ˆ, θα είναι ˆ = 60 ο.με ποιους τρόπους μπορούμε να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο; πάντηση ποδεικνύουμε ότι το τετράπλευρο είναι τραπέζιο και στην συνέχει ότι : Οι μη παράλληλες πλευρές του είναι ίσες ή οι διαγώνιες είναι ίσες ή οι προσκείμενες σε μία βάση γωνίες είναι ίσες 3.Τι ονομάζεται διάμεσος τραπεζίου ; Ποιες ιδιότητες έχει; πάντηση ιάμεσος τραπεζίου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που έχει άκρα τα μέσα των μη παραλλήλων πλευρών Ιδιότητες της διαμέσου είναι : ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 05

49 ίναι παράλληλη στις βάσεις ίναι ίση με το ημιάθροισμα των βάσεων ιέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων 4. Στο παρακάτω ισοσκελές τραπέζιο είναι = 5x, = 3x και ˆ 60 ο. Η περίμετρος του τραπεζίου είναι i) 0x, ii) x, iii) x, iν) 3x, ν) 4x πάντηση ικαιολογήστε την απάντηση σας 3x 60 o Κ 5x Λ Φέρνοντας τα ύψη Κ και Λ προφανώς έχουμε ΚΛ = = 3x οπότε Κ = Λ= x και επειδή ˆ Κ = Λ ˆ = 30 ο θα είναι = = x η περίμετρος λοιπόν είναι : 5x + 3x + x + x = x ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 06

50 σκήσεις μπέδωσης.ίνεται τραπέζιο (//) και διάμεσός του. ν οι μη παράλληλες πλευρές του, τέμνονται στο Κ και Η, Θ είναι τα μέσα των ΚΛ και Κ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα,, Η, Θ είναι κορυφές τραπεζίου. Η K Θ ΗΘ (ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου Κ) ( διάμεσος του τραπεζίου) Άρα ΗΘ, οπότε ΗΘ τραπέζιο..ν και είναι τα μέσα των πλευρών και αντίστοιχα ισοσκελούς τριγώνου ( = ), να αποδείξετε ότι το είναι ισοσκελές τραπέζιο. (ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου ), οπότε τραπέζιο. τρ. ισοσκελές ˆ = ˆ. Άρα ισοσκελές τραπέζιο. 3.Οι διαγώνιοι ισοσκελούς τραπεζίου ( ) τέμνονται στο Ο. ν,, Η, Θ είναι τα μέσα των Ο, Ο, Ο, Ο αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΗΘ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Στο τρίγωνο Ο είναι ΘΗ A B Στο τρίγωνο Ο είναι Ο Άρα ΘΗ, οπότε ΗΘ τραπέζιο Θ Η ισοσκελές τραπέζιο = Η = Θ άρα ΗΘ είναι ισοσκελές τραπέζιο. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 07

51 4.ίνεται παραλληλόγραμμο και το ύψος του. ν Κ, Λ είναι τα μέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΚΛ είναι ισοσκελές τραπέζιο. ΚΛ μεσοπαράλληλος των, ΚΛ τραπέζιο. Κ Λ Κ διάμεσος του ορθ. τριγώνου Κ = = Κ = Λ Άρα ΚΛ ισοσκελές τραπέζιο. 5.ίνεται ισοσκελές τραπέζιο (//) με < και τα ύψη του και. Να αποδείξετε ότι = =. Προφανώς τρ. = τρ. = A B ορθογώνιο = ίναι + + = + = = =. 6.πό την κορυφή τριγώνου φέρουμε ευθεία ε που δεν τέμνει το τρίγωνο και ας είναι και οι αποστάσεις των και από την ευθεία ε. ν Μ είναι το μέσο της και Κ το μέσο της διαμέσου, να αποδείξετε ότι ΜΚ = ε Μ Κ. και ε // Άρα τραπέζιο με διάμεσο Μ παράλληλη των βάσεων και, άρα ε. Έτσι το τρίγωνο Μ είναι ορθογώνιο με διάμεσο ΜΚ, άρα ΜΚ =. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 08

52 ποδεικτικές σκήσεις. Σε τραπέζιο (//) η διχοτόμος της γωνίας ˆB τέμνει τη διάμεσο στο Η. Να αποδείξετε ότι BH ˆ = 90 ο. Θ Η προέκταση της Η τέμνει την σε σημείο Θ. Η Τότε η τέμνει και το τμήμα Θ στο μέσο του Η. Έτσι, το Η είναι διχοτόμος και διάμεσος του τριγώνου Θ, άρα και ύψος..σε ισοσκελές τρίγωνο ( = ) Μ είναι το μέσο της. ν η μεσοκάθετος της τέμνει την στο και η παράλληλη από το προς τη τέμνει την στο Η, να αποδείξετε ότι Η =. Η M Φέρουμε τη. Λόγω της μεσοκαθέτου Μ έχουμε = () Η τραπέζιο και μάλιστα ισοσκελές, αφού ˆ ˆ από το ισοσκελές τρίγωνο. Άρα έχει ίσες διαγωνίους Η = (). πό τις () και () έχουμε = Η. 3.ίνεται τραπέζιο με ˆ ˆ = 90 ο και ˆ = 0 ο. ν = και =, να υπολογίσετε τη διάμεσο, ως συνάρτηση του. πειδή = αρκεί να υπολογίσουμε τη. Φέρουμε Κ. Κ Τότε Κ = = και ˆ = 30 ο. Στο Κ ορθ. τρίγωνο θα έχουμε Κ =. 5 Έτσι = Κ + Κ = + =. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 09

53 Άρα = =. 4 4.Σε τραπέζιο, η μία από τις μη παράλληλες πλευρές του είναι ίση με το άθροισμα των βάσεων. ν Μ είναι το μέσο της, να αποδείξετε ότι ˆ = 90 ο. Λ Μ Φέρουμε τη διάμεσο ΜΛ του τραπεζίου. Τότε ΜΛ = Έτσι η διάμεσος ΜΛ του τριγώνου Μ είναι ίση με το μισό της αντίστοιχης πλευράς, άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Μ. 5.πό το μέσο της πλευράς ισοσκελούς τραπεζίου ( ) φέρουμε παράλληλη προς την, που τέμνει τη στο Μ. Να αποδείξετε ότι Μ. Μ ˆM = ˆ = ˆ τρ.μ ισοσκελές με Μ = = Μ Έτσι η διάμεσος Μ του τριγώνου Μ είναι ίση με το μισό της αντίστοιχης πλευράς, άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Μ. 6.ίνεται τρίγωνο και το ύψος του Η. ν,, είναι τα μέσα των, και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το Η είναι ισοσκελές τραπέζιο. και παρ/μμο και Η τραπέζιο. () πό το παρ/μμο έχουμε = Η λλά Η = = Άρα = Η () (), () Η είναι ισοσκελές τραπέζιο. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 0