( ) = T 1 ) (2) ) # T 3 ( ) + T 2 ) = T 3. Ισορροπία Παράδειγµα. ! F! = m! a = 0. ! F y. # F g = 0! T 3 ! T 2. sin( 53 0

Transcript

1 Ισορροπία Παράδειγµα Δεν υπάρχει κίνηση στο σηµατοδότη οπότε βρίσκεται σε ισορροπία και η επιτάχυνση είναι µηδέν.! F! = m! a!! F!! F Ανάλυση του προβλήµατος 2 σώµατα (σηµατοδότης σηµείο ένωσης σχοινιών) 2 διαγράµµατα απελευθερωµένου σώµατος Συνθήκη ισορροπίας στο σηµατοδότη!! F " T 3 # F g! T 3 = F g (1) Συνθήκη ισορροπίας στο κόµπο!! F " T 2 cos 53 0! T 2 cos 53 0!! F " T 1 sin 37 0! T 1 sin 37 0 ( ) # T ) ( ) = T 1 cos( 37 0 ) (2) ( ) + T ) # T 3 ( ) + T 2 sin( 53 0 ) = T 3 = F g (3) Σύστηµα 2 εξισώσεων (2,3) µε 2 αγνώστους ΦΥΣ Διαλ.9 1

2 Τάση νήµατος - τροχαλία ΦΥΣ Διαλ.9 2 q Δυο σώµατα συνδέονται µεταξύ τους µε σχοινί µέσω µιας τροχαλίας αµελητέας µάζας. Τα δυο σώµατα είναι σε ισορροπία όπως στο σχήµα. Συγκρίνετε τις µάζες των 2 σωµάτων (Α) Μ 1 >Μ 2 (Β) Μ 1 <Μ 2 (Γ) Μ 1 =Μ 2!! F ισορροπία T 1! B 1 " T 1 = m 1 g T 2! B 2 " T 2 = m 2 g Τ 1 1 Τ Η τάση του νήµατος είναι ίδια σε όλο το µήκος του σχοινιού B 1 B 2 T 1 =! 2 Εποµένως: m 1 = m 2

3 ΦΥΣ Διαλ.9 3 Παρουσία συνισταμένης δύναμης Σε ένα σώµα ασκείται µη µηδενική συνισταµένη δύναµη τότε υπάρχει επιτάχυνση Κάνουµε το διάγραµµα απελευθερωµένου σώµατος Εφαρµόζουµε το 2 ο νόµο του ewton Οι δυνάµεις που δρουν είναι: το βάρος F g η τάση Τ η αντίδραση Ν του δαπέδου! F T = = ma! F = Fg " n = ma

4 ΦΥΣ Διαλ.9 4 Περίπτωση πολλών σωμάτων Αν πολλά σώµατα συνδέονται µεταξύ τους ή εφάπτονται τότε ο νόµος του ewton µπορεί να εφαρµοστεί στο σύστηµα σα να είναι ένα σώµα ή σε κάθε σώµα ξεχωριστά (α) Λαμβάνουμε το σύστημα σαν ένα σώμα $ F = M!"!# a % F = ( m 1 + m 2 )a (β) Μπορούµε να λύσουµε το πρόβληµα εφαρµόζοντας το νόµο του ewton σε κάθε σώµα ξεχωριστά Στο -άξονα για m 1 : F! P 21 = m 1 a Στο -άξονα για m 2 : P 12 = m 2 a Αλλά P 12 = P 21 δράση - αντίδραση Οπότε F! m 2 a = m 1 a " F = ( m 1 + m 2 )a

5 ΦΥΣ Διαλ.9 5 Παράδειγμα τροχαλίας Τ 4 Ζητάµε να βρούµε τις τάσεις σε κάθε τµήµα του συστήµατος και την δύναµη F για να µην κινηθεί η µάζα M. Διαγράµµατα απελευθερωµένων σωµάτων (1) (2) (3) Τ 1 Τ 2 Τ 3 Τ 4 Τ 2 Τ 3 Τ 5 H τάση στο σχοινί είναι σταθερή: Τ 1 =Τ 3 =Τ 2 F Τ 5 Μ Σύµφωνα µε το 2 ο νόµο: Τ 1 Τ 3 (3): Τ 2 Τ 5 #F! T 5 " Mg! T 5 = Mg Μg (2): # F! T 2 + T 3 " T 5! 2T 2 = T 5! T 2 = T 1 = T 3 = Mg 2 (1): # F! T 4 " T 1 " T 2 " T 3! T 4 = 3Mg 2 F = T 1 = Mg 2

6 Μηχανή του Atwood ΦΥΣ Διαλ.9 6 Οι μόνες δυνάμεις που δρουν είναι η Τάση και το Βάρος Από τη στιγμή που τα σώματα είναι συνδεδεμένα, όλα έχουν την ίδια επιτάχυνση Για το m 1 :! F = m 1 a! T " m 1 g = m 1 a! T = m 1 g + m 1 a Για το m 2 :! F = "m 2 a! T " m 2 g = "m 2 a! T = m 2 g " m 2 a! m 2 g " m 2 a = m 1 g + m 1 a! ( m 2 " m 1 )g = ( m 1 + m 2 )a ( a = m! m 2 1)g ( m 1 + m 2 ) < g Ποια είναι η Τ? " ( m T = m 1 ( a + g) = m 2! m 1 )g 1 $ # m 1 + m 2 ( ) + g % ' & = 2m m 1 2 m 1 + m 2 ( ) g Θα µπορούσαµε να λύσουµε το πρόβληµα θεωρώντας m 1,m 2 σαν ένα σύστηµα µε µάζα Μ=(m 1 +m 2 ) κινούµενα κάτω από µια δύναµη F = ( m 2! m 1 )g a = F ( M = m! m 2 1)g ( m 1 + m 2 )

7 ΦΥΣ Διαλ.9 7 Παράδειγμα Τάσεων Το παιδί της διπλανής εικόνας θέλει να φθάσει ένα µήλο στο δέντρο χωρίς να σκαρφαλώσει. Χρησιµοποιεί ένα σχοινί αµελητέας µάζας και µια αβαρή τροχαλία. Τραβάει το σχοινί προς τα κάτω και το δυναµόµετρο δείχνει µια δύναµη F=250. Το βάρος του παιδιού είναι 320Ν ενώ το βάρος της καρέκλας είναι 160Ν. Προσδιορίστε: (α) Τα διαγράµµατα ελευθέρου σώµατος για το παιδί και την καρέκλα ξεχωριστά και για τα δύο σαν να αποτελούσαν ένα σύστηµα. (β) Το µέτρο και διεύθυνση της επιτάχυνσης του συστήµατος. (γ) Την δύναµη που το παιδί ασκεί στην καρέκλα.

8 ΦΥΣ Διαλ.9 8 Παράδειγμα τάσεων Τα διαγράµµατα ελεύθερου σώµατος για την καρέκλα (α), το παιδί (β) και για το σύστηµα του παιδιού-καρέκλας (γ). (α) (β) (γ)

9 ΦΥΣ Διαλ.9 9 Παράδειγμα τάσεων (β) Να βρεθεί το μέτρο και διεύθυνση της επιτάχυνσης του συστήματος Θεωρούμε ότι το σύστημά μας αποτελείται από το παιδί και την καρέκλα. Προσέξτε ότι 2 σχοινιά στηρίζουν το σύστημα και η τάση σε κάθε σχοινί είναι Τ=250Ν όση δείχνει το δυναμόμετρο. Εφαρμόζουμε το 2 ο νόμο του ewton: # F = ma! 2T " 480 = 480 g a! ( 2 " 250 # 480)g! a =! a.408m /s Η επιτάχυνση του συστήματος έχει φορά προς τα πάνω.

10 ΦΥΣ Διαλ.9 10 Παράδειγμα τάσεων (γ) Να βρεθεί η δύναμη που ασκεί το παιδί στην καρέκλα Θεωρούμε ότι το σύστημά μας αποτελείται από το παιδί. Η δύναμη που ασκεί το παιδί στην καρέκλα είναι ίση και αντίθετη με την αντίδραση n που δέχεται το παιδί από την καρέκλα (3 ος νόμος του ewton). Εφαρμόζουμε το 2 ο νόμο του ewton στο σύστημα: $F = m! a " T + n # m! g = m! a "! n = 320 " a g! n = 83.3 m παιδιού

11 Δυνάμεις τριβής Οι δυνάμεις αυτές είναι πολύ σημαντικές Σκεφθείτε πόσο δύσκολο είναι να περπατήσετε πάνω σε πάγο. Η τριβή αναπτύσσεται µεταξύ 2 επιφανειών που έρχονται σε επαφή και η µία αρχίζει να κινείται σε σχέση µε τη άλλη. Η διεύθυνσή τους είναι αντίθετη της φοράς κίνησης ΦΥΣ Διαλ.9 11 Δεν ξέρουµε τι ακριβώς συµβαίνει αλλά υπάρχουν µερικοί εµπειρικοί κανόνες q Στατική τριβή F s! " s v=0 F s F H δύναμη της τριβής είναι ανάλογη της κάθετης δύναμης (αντίδρασης της επιφάνειας) και ανεξάρτητη της ταχύτητας ή του εμβαδού επαφής B Η σταθερά η s δίνει μια μέγιστη τιμή. Προσοχή: η δύναµη της στατικής τριβής έχει οποιαδήποτε τιµή µε µέγιστη τιµή: n s που λαµβάνεται τι στιγµή που θα κινηθεί το σώµα Η δύναµη F s δεν θα ναι ίση µε η s Ν αν τραβήξουµε µε µια µικρή F

12 ΦΥΣ Διαλ.9 12 Δυνάμεις τριβής q Κινητική τριβή F k =! k F k v H δύναµη της τριβής είναι ανάλογη της κάθετης δύναµης (αντίδρασης επιφάνειας) και ανεξάρτητη της ταχύτητας ή του εµβαδού επαφής (προσέγγιση) B Η σταθερά η κ εξαρτάται από το είδος και των 2 επιφανειών σε επαφή Οι προηγούμενοι εµπειρικοί νόμοι καλοί για τους σκοπούς μας. Γενικά η ς >η κ Μπορούµε να κρατήσουµε κάτι που κινείται µε µικρότερη δύναµη από αυτή που χρειάστηκε για να το θέσουµε σε κίνηση

13 ΦΥΣ Διαλ.9 13 Σώµα σε κεκλιµένο επίπεδο και τριβή Σώµα βρίσκεται σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας θ ως προς την οριζόντια διεύθυνση. Ποιος ο συντελεστής στατικής τριβής θ mg f s Το σώµα ισορροπεί εξαιτίας της ύπαρξης της δύναµης της στατικής τριβής f s που αντιτίθεται στη κίνηση του προς τη βάση του κεκλιµένου επιπέδου. Εφόσον το σώµα δεν κινείται f s! f s ma = µ s Αυξάνοντας τη γωνία του κεκλιµένου επιπέδου, θ, η συνιστώσα της βαρυτικής δύναµης στη -διεύθυνση αυξάνει και εποµένως η τριβή µέχρι f s ma Τη στιγµή που συµβαίνει αυτό το σώµα είναι έτοιµο να γλυστρήσει πάνω στην επιφάνεια και όταν αρχίσει να κινείται έχουµε κινητική τριβή Στην οριακή αυτή περίπτωση, f s = f s ma = µ s Εφαρµόζοντας το 2 ο νόµο του ewton θα έχουµε: -διεύθυνση: mgsin!! f s " mgsin!! µ s " µ s = mgsin! -διεύθυνση:! mgcos! " = mgcos! µ s mgcos! = mgsin!! µ s = sin! cos!! µ = tan! s Ανεξάρτητος της µάζας και διαστάσεων του σώµατος!!

14 Τριβή ΦΥΣ Διαλ.9 14 q Ποιά δύναµη απαιτείται ώστε το σώµα να κινείται µε σταθερή ταχύτητα. Η µάζα του βιβλίου είναι 1kg, ο συντελεστής στατικής τριβής η s =0.84 και ο συντελεστής της κινητικής τριβής η κ =0.75.! Σταθερή ταχύτητα! F Κάθετη δύναµη -διεύθυνση F!"#. $ F %#. Χέρι F!"#. = F $#. F!"#. = $ % F %&'. -διεύθυνση F!"#. $ F %"&. F!"#. = F $"%. = mg Τριβή F!"#. = $ % mg.75 & 1& 9.8! F "#$. = 7.3 Βάρος Φυσική

15 Παράδειγµα επιταχυνόµενης κίνησης ΦΥΣ Διαλ.9 15 Ένα τρακτέρ Τ µάζας m T =300Kg τραβά ένα βαγονάκι µάζας m B =400kg µε σταθερή δύναµη σε οριζόντιο δρόµο. Το σύστηµα κινείται µε σταθερή επιτάχυνση 1.5m/s 2. Να βρεθεί η οριζόντια δύναµη στο τρακτέρ από το δρόµο T Τρ F εδ. Βαγ T -διεύθυνση: Τρακτέρ % F = m T a! F "# $ T = m T a! F "# = T + m T a -διεύθυνση: Βαγονάκι # F = m! a " T = m! a B! F "# = m B a + m T a! F "# = ( m B + m T )a B Να βρεθεί η καθαρή δύναµη που ασκείται στο τρακτέρ και στο βαγονάκι F!". = m T a # F!" = 300 $ 1.5 = 450% F!"#. = m $ a % F!"#. = 400 & 1.5 = 600'

16 Παράδειγµα δύναµης µε γωνία ΦΥΣ Διαλ.9 16 Ένα άτοµο σπρώχνει ένα κιβώτιο µάζας 15kg µε σταθερή ταχύτητα κατά µήκος ενός δαπέδου. Ο συντελεστής κινητικής τριβής δαπέδου-κιβωτίου είναι η κ =0.4. Το άτοµο σπρώχνει το κιβώτιο µε γωνία 25 ο. Να βρεθεί η δύναµη που εφαρµόζει το άτοµο Ν F ατόµου θ F ατ F ατ θ -διεύθυνση:! F = ma! F "# $ F #% ( ) F!" = F!" cos # F!". = # $ -διεύθυνση:! F = ma! " B " F #$! = B + F "# sin ( $ ) (υ=σταθ.) F!" cos (# ) = F "$ F!". = # $ ( B + F %! sin (& )) F!" '( cos #! F "# = ( ) $ % & sin (# ) $ % mg F τρ )* = % & mg ( ) ' $ % sin (& ) () cos & *+ Η κάθετη δύναµη είναι µεγαλύτερη από το βάρος B=mg

17 Παράδειγµα ΦΥΣ Διαλ.9 17 Μια δύναµη T εφαρµόζεται σε σχοινί που είναι εξαρτηµένο σε σώµα 1 προκαλώντας επιτάχυνση α=3m/s 2. Η τριβή κρατά το σώµα 2 πάνω στο σώµα 1 χωρίς να γλυστρά. Να βρεθεί η δύναµη T -διεύθυνση: Μάζα 2 $ F = m 2 a! F 12 "# = m 2 a -διεύθυνση: Μάζα 1 % Μ 2 Μ 1 F = m 1 a! T " F #$ 21 = m 1 a 3 ος Νόµος: F!"!" 21 = F 12 T F 21 τρ B 2 Μ 1 εδ. B 1! T = m 1 a + m 2 a! T = ( m 1 + m 2 )a Τ Μ 2 1 B 2 F 12 τρ Ίδιο αποτέλεσµα σα να είχαµε ένα και µόνο σώµα µε µάζα Μ = M 1 + M 2