( ) Παράδειγµα. Τροχαλία. + ΔE δυν. = E κιν. + E δυν

Transcript

1 ΦΥΣ Διαλ.33 1 Παράδειγµα Θεωρήστε δυο σώµατα τα οποία συνδέονται µέσω µιας αβαρούς τροχαλίας όπως στο σχήµα. Από διατήρηση ενέργειας υπολογίστε την ταχύτητα των δυο σωµάτων όταν η µάζα m 2 έχει κατέβει ένα ύψος h. Από διατήρηση µηχανικής ενέργειας: (δεν υπάρχουν µη συντηρητικές δυνάµεις) ΔE µηχ. = 0 Δ + ΔE δυν. = 0 Τροχαλία + E δυν = + E δυν Θεωρούµε την αρχική θέση της m 2 σαν επίπεδο µε Ε δυν = 0 ενώ οι ταχύτητες των σωµάτων είναι αρχικά µηδέν. Οπότε: = 1 2 υ m 2υ 2 2 m 2 h Αλλά υ 1 =υ 2 m 2 h = 1 ( 2 m + 2 )υ 2 υ = 2m 2 h ( ) Προσέξτε ότι η τάση του σχοινιού εκτελεί θετικό έργο στη µάζα και αρνητικό έργο στη µάζα m 2. Το συνολικό της έργο είναι µηδέν

2 ΦΥΣ Διαλ.33 2 Παράδειγµα Θεωρήστε δυο σώµατα τα οποία συνδέονται µέσω µιας τροχαλίας µάζας Μ όπως στο σχήµα. Όταν η µάζα m 2 έχει κατέβει ένα ύψος h, οι δυο µάζες θα κινούνται: (Α) Με µεγαλύτερη ταχύτητα (Β) Με µικρότερη ταχύτητα (Γ) Με ίδια ταχύτητα µε αυτή που είχαν όταν η τροχαλία ήταν αβαρής Κινούνται µε µικρότερη ταχύτητα επειδή ένα µέρος της ενέργειας πηγαίνει στην περιστροφή της τροχαλίας Τροχαλία + E δυν = + E δυν = m 2 h υ m 2υ Iω 2 m 2 h = 1 2 m + m + I 1 2 R 2 υ 2 υ 1 = υ 2 = υ Τρ. 1 (Τα σηµεία της περιφέρειας της τροχαλίας m 2 h = 1 έχουν την ίδια ταχύτητα µε το σχοινί) 2 m + m + 2 MR2 1 2 R 2 ω = υ Τρ. 2m R υ = 2 h + M 2 υ 2

3 Πως η ροπή δύναµης µπαίνει σε ασκήσεις Θεωρήστε µια τροχαλία µε µια µάζα εξαρτηµένη από ένα νήµα. Αφήνετε τη µάζα να πέσει. Ποια είναι η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας µάζας Μ? ΦΥΣ Διαλ.33 3 Λύση M R m Άξονας περιστροφής T m Διαλέγουµε κάποιο σηµείο για αρχή. Στην προκειµένη περίπτωση τον άξονα περιστροφής τ = Iα I = 1 2 MR2 τ = TR = Iα T = Iα R Αλλά δεν ξέρουµε την τάση Τ!! Χρησιµοποιούµε 2 ο νόµο Newton: εφ Αφού το σκοινί δεν γλιστρά: a m = a τροχ. (1) F y = ma m = T m προς τα κάτω) (2) ( α m = Rα (3) (1),(3) (2) mαr = Iα R m α = (3) m mr MR2 a m = 1+ 1 M 2 m R

4 Έργο παραγόµενο κατά την περιστροφή στερεού ds F φ Μια πατάτα περιστρέφεται γύρω από τον άξονα 0 εξαιτίας µιας εξωτερικής δύναµης F. To έργο που παράγει η δύναµη F είναι: ΦΥΣ Διαλ.33 4 dθ r dw = F d s = Fr snθdθ τ = rf snθ dw = τdθ W = θ θ τ dθ Μπορούµε να δείξουµε ότι η αρχή έργου-ενέργειας ισχύει και για την περιστροφική κίνηση στερεού σώµατος W = θ θ τ dθ = 1 2 Iω Iω 2 = ΔΚ Ανάλογο του W = x x F dx Η απόδειξη είναι: τ dθ = I dω dt dθ = I dω dθ dθ dt dθ = Iω dω = 1 2 Iω Iω 2 Ισχύς: dw dt = τ dθ dt P = τω σε αναλογία µε P = F υ

5 ΦΥΣ Διαλ.33 5 Quz Ø Γράψτε σε μια σελίδα το όνομά σας και τον αριθμό ταυτότητάς σας Έτοιµοι;

6 ΦΥΣ Διαλ.33 6 Ροπή δύναµης Μεθοδολογία ασκήσεων q Κάντε ένα σκίτσο του προβλήµατος και διαλέξτε το σώµα ή σώµατα που θα αναλύσετε. q Για κάθε σώµα σχεδιάστε τις δυνάµεις που ασκούνται (διάγραµµα ελευθέρου σώµατος). Προσέξτε το σχήµα ώστε να σχεδιάσετε αποστάσεις και γωνίες που θα χρησιµοποιηθούν σε υπολογισµό ροπών q Διαλέξτε άξονες συντεταγµένων και ορίστε πιθανούς τρόπους περιστροφής (θετική) για τα σώµατα. Αν υπάρχει γραµµική επιτάχυνση διαλέξτε την φορά της σαν τη θετική φορά ενός άξονα. Αν γνωρίζετε την γωνιακή επιτάχυνση ορίστε τη φορά της σαν ένα άξονα. q Αναλύστε τις δυνάµεις στις συνιστώσες τους. q Κάποια προβλήµατα µπορεί να έχουν µεταφορική, περιστροφική ή και τις δυο κινήσεις. Ανάλογα µε τη συµπεριφορά του σώµατος πάρτε τις εξισώσεις F = m a τ = I ή α ή και τις δυο. q Αν υπάρχουν δύο ή περισσότερα σώµατα επαναλάβετε τα παραπάνω βήµατα για κάθε σώµα. Γράψτε τις εξισώσεις και βρείτε ποιες από τις επιταχύνσεις σχετίζουν τα δύο σώµατα (π.χ. δύο γραµµικές επιταχύνσεις ή µια γραµµική επιτάχυνση και µια γωνιακή επιτάχυνση). q Λύστε το σύστηµα των εξισώσεων

7 ΦΥΣ Διαλ.33 7 Παράδειγµα Η µάζα γλιστρά χωρίς τριβές στην οριζόντια δοκό. Η µάζα m 2 είναι συνδεδεµένη µε την µε αβαρές νήµα που περνά από τροχαλία µάζας Μ και ακτίνας R. Η τροχαλία περιστρέφεται εξαιτίας του νήµατος χωρίς να παρουσιάζεται ολίσθηση. Να βρεθούν η επιτάχυνση κάθε σώµατος, η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας και η τάση του νήµατος στα δυο τµήµατα του νήµατος. ΠΡΟΣΟΧΗ: Στη περίπτωση αυτή υπάρχει τριβή που δεν αφήνει το σχοινί να γλιστρά. Γι αυτό οι δυο τάσεις Τ 1 και Τ 2 δεν µπορεί να είναι ίσες. Αν ήταν τότε η τροχαλία δεν θα είχε γωνιακή επιτάχυνση. Λύση Οι εξισώσεις κίνησης για τις µάζες και m 2 : F x = T 1 = a (1) 1 F y = m 2 + ( T 2 ) = m 2 a 2 (2) Η άγνωστη αντίδραση n 2 δρα στον άξονα περιστροφής και εποµένως έχει ροπή µηδέν. Παίρνουµε τη φορά των δεικτών του ρολογιού σαν θετική. Εποµένως οι ροπές στη τροχαλία δίνουν: τ = T 2 R + ( T 1 R) = Iα = MR 2 ( ) α (3)

8 ΦΥΣ Διαλ.33 8 Παράδειγµα (συνέχεια) Αφού το νήµα δεν γλιστρά η εφαπτοµενική επιτάχυνση της τροχαλίας, α θα είναι ίση µε την γραµµική επιτάχυνση κάθε σώµατος α 1, α 2 : a 1 = a 2 = Rα (4) Η αντίδραση n 2 δρα σε γραμμή που περνά από τον άξονα περιστροφής Εποµένως έχουµε 5 εξισώσεις µε 5 αγνώστους α 1,α 2, α, Τ 1, Τ 2 T 1 = a 1 m 2 T 2 = m 2 a 1 T 2 R T 1 R = MR 2 α T 2 T 1 = Ma 1 (1) (2)&(4) (3)&(4) Προσθέτοντας τις εξισώσεις έχουµε: a 1 = Αντικαθιστώντας στις 2 πρώτες εξισώσεις έχουµε: m T 1 = 1 m 2 T + M 2 = ( + M)m 2 + M m 2 + M = a 2

9 ΦΥΣ Διαλ.33 9 Παράδειγµα - τροχαλία µε µάζα Ένα σώµα 15k και ένα σώµα 10k κρέµονται συνδεδεµένα µεταξύ τους µε σχοινί που περνά από µια τροχαλία ακτίνας 10cm και µάζας 3k. To σχοινί έχει αµελητέα µάζα και δεν γλιστρά στην τροχαλία. Η τροχαλία περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της χωρίς τριβές. Τα σώµατα ξεκινούν έχοντας µεταξύ τους απόσταση 3m. Θεωρήστε την τροχαλία σαν ένα οµοιογενή δίσκο. Προσδιορίστε τις ταχύτητες των δύο σωµάτων καθώς συναντιόνται και προσπερνά το ένα το άλλο µε αντίθετη κατεύθυνση. Δεν υπάρχουν εξωτερικές δυνάµεις στο σύστηµα που να καταναλώνουν έργο και δεν υπάρχουν δυνάµεις τριβής όπου χάνεται ενέργεια. Εποµένως η µηχανική ενέργεια διατηρείται: + U = + U 3m m 2 Θεωρούµε σαν επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας το σηµείο στο οποίο συναντιόνται οι δύο µάζες. Άρα: U = 0 = 0 (τα σώµατα αρχικά είναι ακίνητα) U = U + U = m h + 1 h 1 = 1.5m, h 2 = 1.5m m 2 h 2 (ως προς το σηµείο συνάντησης)

10 ΦΥΣ Διαλ = 1 2 υ m 2υ Iω 2 περιστροφή τροχαλίας Το σύστηµα των δύο µαζών έχει την ίδια επιτάχυνση και άρα οι 2 µάζες κινούνται µε την ίδια ταχύτητα: υ 1 =υ 2 =υ Αφού το σκοινί δεν γλιστρά στην τροχαλία και αυτή περιστρέφεται τα σηµεία επαφής της τροχαλίας µε το σκοινί θα έχουν επίσης ταχύτητα υ. Άρα: ω = υ R Η κινητική ενέργεια των σωµάτων τη στιγµή που συναντιόνται είναι: = 1 2 υ m 2υ MR2 υ 2 R 2 όπου I = 1 2 MR2 Από εξίσωση διατήρησης της µηχανικής ενέργειας έχουµε: + U = + U 1 ( 2 m + 2 )υ Mυ = 0 + h 1 h 2 ( ) M υ 2 = (1.5) ( 1.5) υ 2 = m M υ 2 = υ = 2.36m / s