Ausarbeitung des Seminarvortrags. Trigonometrie

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Τιμοθέα Ουζουνίδης
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1 Veranstaltung: Seminar zur Geometrie Wintersemester 005/06 Martin Epkenhans Universität Paderborn Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema: Trigonometrie vorgelegt von: Marina Müller Eva Maria Sievers Am Almerfeld 0 Marienmünsterweg Paderborn Paderborn Tel.: 0554/68010 Tel.: 0551/67954 marina.i.mueller@web.de evamariasievers@yahoo.de LGG: Mathematik/Geschichte LGG: Mathematik/ Sport Matrikelnummer: Matrikelnummer: Fachsemester 5. Fachsemester Version April 006

2 13: Trigonometrie Das Thema Trigonometrie (gr.: Drei Winkel Messung ) umfasst im allgemeinen Verständnis alle Rechenoperationen, bei denen aus gegebenen Seiten oder Winkeln eines ebenen Dreiecks Winkel oder Seiten oder aber andere Dreiecksgrößen berechnet werden Wiederholung In den vorangegangenen Kapiteln wurden die folgenden c a : Formeln bereits erarbeitet und bewiesen. Da diese in Rahmen der Thematik verwendet werden, erfolgt eine kurze Auflistung. : a b : b c (1) Halber Umfang: S : 1 ABC 1 a b b c c a () Flächeninhalt des Dreiecks: Δ 1 [a,b,c] 1 ABsinγ 1 BCsinα 1 ACsinβ (3) Cosinus Satz: A B + C BCcosα B C + A ACcosβ C A + B ABcosγ (4) Sinus Satz: sin α A sin β B sin γ C Δ ABC (5) Der gemeinsame Wert der Quotienten wird mit δ A sin α B sin β C sin γ. 1 δ bezeichnet, also

3 13. Kongruenz Sätze Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn (SSS) alle drei Seitenlängen oder (SWW) eine Seitenlänge und zwei Winkel oder (SWS) zwei Seitenlängen und der eingeschlossene Winkel oder (SSW) zwei Seitenlängen und der der größeren Seite gegenüberliegende Winkel übereinstimmen. Die entsprechenden Größen im zweiten Dreieck sind mit einem Strich bezeichnet. (SSS) vergleiche Kapitel III, (Feststellung von Kongruenz und Ähnlichkeit: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn die entsprechenden Seitenlängen übereinstimmen.) Die Beweise der folgenden Sätze werden jeweils auf die Feststellung von Kongruenz und Ähnlichkeit zurückgeführt: (SWW) Nach Voraussetzung und dem Winkelsummen Satz gilt A A, α α, β β, γ γ. Der Sinus Satz ergibt: B A sin β sin α sin β ' A sin α' B und C A sin γ sin α sin γ' A sin α' C. Kongruenz der Dreiecke. (SWS) Sei A A, B B und γ γ. Mit dem Cosinus Satz folgt: C A B AB cos γ A' B' A' B'cos γ' C Kongruenz der Dreiecke (SSW) Sei A A, B B, α α und A B. Benutze den Cosinus Satz: A B + C BCcosα C BCcosα + B A 0 C 1/ Bcosα ± B cos α B A C 1 Bcosα + A B B cos α ( C Bcosα A B B cos α ) C Bcosα + A B B cos α Widerspruch zur Voraussetzung: A B und C > 0 1 in: Koecher, Max/ Krieg, Alois: Ebene Geometrie, Berlin u. a. 000, Seite 98. 3

4 B cosα + A' B' B' cos α' C Kongruenz der Dreiecke Die Kongruenzsätze tauchen in dieser oder ähnlicher Formulierung an Gymnasien in NRW bereits in Jahrgangsstufe 7 auf. Auf Beweise wird im schulischen Rahmen jedoch verzichtet Satz (Formel von Heron) Δ S(S A)(S B)(S C) 16 S(S A)(S B)(S C) 16 [ 1 (A + B + C)( 1 (A + B + C) A)( 1 (A + B + C) B)( 1 (A + B + C) C)] 16 [ 1 (A + B + C)( 1 A A + 1 B + 1 C)( 1 A + 1 B B + 1 C)( 1 A + 1 B + 1 C C)] [(A + B + C)( A + B + C)(A B + C)(A + B C)] ( A + AB + AC AB + B +BC AC + BC + C )(A + AB AC AB B +BC + AC + BC C ) ( A + B + C + BC)(A B C + BC) A 4 + A B + A C A BC + A B B 4 B C + B 3 C + A C B C C 4 + BC 3 + A BC B 3 C BC 3 + 4B C A 4 + A B + A C B 4 + B C C 4 4A B (A + B C ) Nach dem Cosinus Satz kann C A + B ABcosγ gesetzt werden: 4A B (A + B C ) 4A B (A + B (A + B ABcosγ)) 4A B (A + B A B + ABcosγ) 4A B 4A B cos γ 4A B (1 cos γ) 4

5 4 (ABsinγ) 16 S(S A)(S B)(S C) 4 (ABsinγ) S(S A)(S B)(S C) ( 1 ABsinγ) S(S A)(S B)(S C) Δ Diese Formel wird im Rahmen der gymnasialen Unter und Mittelstufe nicht behandelt. Eine Formel, die auf der Größe des halben Umfangs eines Dreiecks basiert, erscheint allerdings in Bezug auf den Wissensstand der Schülerinnen und Schüler auch nicht sinnvoll. Auch mit den folgenden Angaben über besondere Winkelgrößen und Winkelverhältnisse wird im schulischen Kontext nicht gearbeitet Satz (Halbwinkel Satz) Für ein Dreieck a, b, c in E gilt: tan α S B S C S S A. tan α sin α cos α S B S C BC S S A BC (nach Definition) S B S C S S A 13.5 Korollar 5

6 tan α S B S C Δ Δ S S A Leite die Behauptung aus dem Halbwinkel Satz (13.4) her: 1) Beh.: tan α S S B S C Δ tan α S B S C S S A Beh. S B S C S S A S B S C S B S C Δ ) Beh.: tan α S S A S B S C S S A tan α S B S C S S A S S A S B S C S S A Beh. Δ S S A Es gilt also: tan α S B S C Δ Δ S S A Tangens Satz (Regel von Napier) tan α β tan αβ A B AB 6

7 Nach dem Sinus Satz gilt: sin α sin β A B. Daraus folgt: sin α sin β sin αsin β A B AB. Verwende die Formeln: sinα sinβ cos αβ sin α β und sinα + sinβ sin αβ cos α β A B cos αβ AB sin αβ sin α β cos α β tan α β tan αβ 13.7 Anwendungen des Cosinus Satzes (1) A Bcosγ + Ccosβ () cotα B C A 4 Δ (1) Verwende den Cosinus Satz für cosβ und cosγ: Bcosγ + Ccosβ B C A B AB C B C A AC BC A B C B C A AB AC C A B B C A A A A A () cot α B C A 4 Δ Wende den Cosinus Satz und die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks an: B C A 4 Δ BC cos α 4 Δ 7

8 BC cos α 4 1 BC sin α BC cos α BC sin α cos α sin α cot α 13.8 Folgerung (Winkel Relationen) Es handelt sich hierbei um Folgerungen aus dem Winkelsummen Satz, da sich der Formel α + β + γ л weitere Relationen zwischen den Winkeln eines Dreiecks anschließen. (1) cos α + cos β + cos γ + cosα cosβ cosγ 1 () tanα + tanβ + tanγ tanα tanβ tanγ (3) cotα cotβ + cotβ cotγ + cotγ cotα 1 (4) sin α sin β + sin γ sinβ sinγ cosα (1) cos(α + β) [ cos(л γ)] cosγ Wende das Additionstheorem an: cosα cosβ + sinα sinβ cosγ sinα sinβ cosα cosβ cosγ sin α sin β ( cosα cosβ cosγ) (1 cos α)(1 cos β) cos αcos β + cosα cosβ cosγ + cos γ 1 cos β cos α + cos α cos β cos α cos β + cosα cosβ cosγ + cos γ cos α + cos β + cos γ + cosα cosβ cosγ 1 () tan(α + β) [ tan(л γ)] tan γ Wende das Additionstheorem an: tan αtan β 1 tan α tan β tan γ 8

9 tan αtan β tan γ1 tan α tan β tan αtan β tan γtan α tan β tan γ tan αtan β tan γtan α tan β tan γ (3) Rechne () um: tan αtan β tan γtan α tan β tan γ sin α cos α sin β cos β sin γ cos γ sin α cos α sin β cos β sin γ cos γ sin α cos β cos γsin β cos α cos γsin γ cos α cos β cos α cos β cos γ sin α sin β sin γ cos α cos β cos γ sin α cos β cos γsin β cos α cos γsin γ cos α cos β cos α cos β cos γ 1 sin αsin β sin γ cos α cos β cos γ sin α cos β cos γ sin αsin β sin γ sin β cos α cos γ sin αsin β sin γ cot β cot γcot α cot γcot α cot β 1 cot α cot β cot β cot γcot γ cot α1 sin γ cos α cos β sin αsin β sin γ 1 (4) Bestimme A, B und C mit Hilfe von 13.1(5): A δ sin α, B δ sin β, C δ sin γ Setze in den Cosinus Satz ein und forme um: A B C BC cos α δ sin αδ sin β δ sin γ δ sin β sin γ cos α δ sin αδ sin β sin γ sin β sin γ cos α sin αsin β sin γ sin β sin γ cos α 13.9 Satz von Morley 9

10 Drittelt man die Winkel eines Dreiecks, so bilden die Schnitt Winkeldreiteilenden ein gleichseitiges Dreieck. Dieses wird Morley Dreieck genannt. punkte abwechselnder Es gilt: 3 (1) sin3 ω 3 sin ω 4 sin ω ( ω R) 4 sin ω(sin π 3 sin ω) Setze α 3 λ, β 3 μ, γ 3 ν, ε π 3. Nach dem Sinus Satz gilt: 4 sinω sin( π 3 ω sin π 3 ω () A δ sinα δ sin3 λ, B δ sin3 μ, C δ sin3ν Nach dem Winkelsummen Satz gilt: (3) a) φ + μ + λ л b) ψ + μ + ν л c) λ + μ + ν ε Setze c) in a) bzw. b) ein: φ ν л ε, ψ λ л ε Bilde sin: (4) sin φ sin(л ε + ν) sin(л ( ε ν)) sinл cos( ε ν) cosл sin( ε ν) sin( ε ν) sin ψ sin(л ε + λ) sin( ε λ) Wende den Sinus Satz auf das Dreieck a, b, w an: X : a w C sin μ sin ϕ Wegen (4), () und (1) gilt: X δ sin 3 νsin μ sin ε ν 4 δ sin νsin π νsin π νsin μ 3 3 sin ε ν Analog: Y : a v 4δ sinν sinμ sin(ε + μ) Wende den Cosinus Satz auf das Dreieck a, v, w an: U X + Y XYcosλ (4δ sinμ sinν sin( ε + ν)) + (4δ sinν sinμ sin( ε + μ)) (4δ sinμ sinν sin( ε + ν))(4δ sinν sinμ sin( ε + μ))cosλ 16δ sin μ sin γ sin (ε + ν) + 16δ sin ν sin μ sin ( ε + μ) 4δ sinν sinμ sin( ε + ν) 10

11 3δ sin μ sin ν sin( ε + ν)sin( ε + μ) cosλ 16δ sin μ sin ν [sin (ε + ν) + sin (ε + μ) sin( ε + ν) sin( ε + μ) cosλ] Nach (3) sind ε + ν, ε + μ und λ Winkel eines Dreiecks, da gilt: ( ε + ν) + ( ε + μ) + λ л 3 л + ν + μ + λ л ν + μ + λ ε Wir können 13.8(4) anwenden und erhalten für U: U 16δ sin μ sin ν [sin ( ε + ν) + sin ( ε + μ) sin( ε + ν) sin( ε + μ) cos λ] U 16δ sin μ sin ν sin U 4δ sinμ sinν sinλ λ Durch zyklische Vertauschung erhält man für V und W den gleichen Wert. Behauptung Bei der Ausarbeitung des Kapitels fiel auf, dass der Begriff Trigonometrie bei Koecher und Krieg andere Themenbereiche umfasst als im schulischen Zusammenhang bearbeitet werden. Nach Definition 3 bildet das rechtwinklige Dreieck die Grundlage der ebenen Trigonometrie, die sich bei der Berechnung von Streckenverhältnissen verschiedener Winkelfunktionen auch trigonometrische Funktionen genannt bedient. Diese sind Hauptbestandteil des schulischen Themenkomplexes Trigonometrie, finden sich aber nur bedingt (Sinus bzw. Cosinus Satz) als Voraussetzung in dem zu bearbeitenden Kapitel wieder. Die Berechnung von Winkeln mit Hilfe von Streckenverhältnissen (An und Gegenkathete sowie Hypotenuse) findet erstaunlicherweise weder in diesem noch in anderen Kapiteln Beachtung. Literaturverzeichnis: Koecher, Max/ Krieg, Alois: Ebene Geometrie, Berlin u. a Meyers Lexikonredaktion [Hrsg.]: Duden Lexikon A Z, Mannheim u. a

12 Koecher, Max/ Krieg, Alois: Ebene Geometrie, Berlin u. a Meyers Lexikonredaktion [Hrsg.]: Duden Lexikon A Z, Mannheim u. a

Σχετικά έγγραφα

Formelsammlung zur sphärischen Trigonometrie

Formelsammlung zur sphärischen Trigonometrie A. Goniometrie A.1. Additionstheoreme für α β für α = β (α ± β) =α cos β ± cos α β ( α) =α cos α cos (α ± β) =cosα cos β β = cos α tan α ± tan β tan (α ± β)