ΣΟΦΙΑΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΑΤΟΥ Πτυχιούχου Γεωπόνου, Διπλωματούχου Μεταπτυχιακών Σπουδών

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ ΓΕΩΡΓΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΣΟΦΙΑΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΑΤΟΥ Πτυχιούχου Γεωπόνου, Διπλωματούχου Μεταπτυχιακών Σπουδών ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΒΙΩΣΙΜΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΩΝ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΝΕΡΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ GIS ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2007

2 ΣΟΦΙΑΣ ΚΑΒΑΛΙΕΡΑΤΟΥ Πτυχιούχου Γεωπόνου, Διπλωματούχου Μεταπτυχιακών Σπουδών ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΒΙΩΣΙΜΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΩΝ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΝΕΡΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ GIS ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Υποβλήθηκε στη Γεωπονική Σχολή Ημερομηνία Προφορικής Εξέτασης: 4 Οκτωβρίου 2007 \ Εξεταστική Επιτροπή Καθηγητής Χ. Μπαμπατζιμόπουλος, Επιβλέπων Καθηγητής Δ. Καραμούζης, Μέλος Τριμελούς Συμβουλευτικής Επιτροπής Καθηγητής Θ. Ζήσης, Μέλος Τριμελούς Συμβουλευτικής Επιτροπής Καθηγητής Ν. Συλλαίος Καθηγητής Κ. Κατσιφαράκης Καθηγητής Π. Λατινόπουλος Αν. Καθηγητής Ε. Μπαλτάς

3 Σοφία Καβαλιεράτου Α.Π.Θ. Ανάλυση και διερεύνηση της βιώσιμης διαχείρισης των υπόγειων νερών με μαθηματικά μοντέλα, σε περιβάλλον GIS ISBN "Η έγκριση της παρούσας Διδακτορικής Διατριβής από τη Γεωπονική Σχολή του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωμών του Συγγραφέως" (Ν. 5343/1932, άρθρο 202, παρ. 2)

4 στους γονείς μου

5 "theories cannot be verified, only falsified" (Popper (1959), 'The logic of scientific discovery') "we don t know what we don t know, and we can t measure errors that we don t know we ve made" (Oreskes and Belitz (2001), 'Philosophical issues in model assessment')

6 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι υδατικοί πόροι παίζουν σημαντικό ρόλο για την ισορροπία στη φύση αλλά και την οικονομική ανάπτυξη μιας περιοχής. Στην εποχή μας, σε παγκόσμιο επίπεδο, λόγω της υποβάθμισης, ρύπανσης και εξάντλησης των υδατικών αποθεμάτων και του ανταγωνισμού μεταξύ των επιμέρους χρήσεών τους, καθίσταται επιτακτική η ανάγκη διαμόρφωσης αποτελεσματικών, περιβαλλοντικά βιώσιμων και δίκαιων πολιτικών διαχείρισης. Για να επιτευχθεί ο στόχος της βιώσιμης διαχείρισης, απαιτείται ολοκληρωμένη ανάλυση του συστήματος των υδατικών πόρων μιας περιοχής. Απαιτείται επίσης τεκμηριωμένη πληροφόρηση στους λήπτες αποφάσεων, ώστε να επιλέξουν τη βέλτιστη διαχειριστική πολιτική, αλλά και στους χρήστες, ώστε να κατανοήσουν, να αποδεχθούν και να υποστηρίξουν την πολιτική αυτή. Tα μαθηματικά μοντέλα έχουν καθιερωθεί ως το κύριο εργαλείο για το σκοπό αυτό. Η διαμόρφωση των σχεδίων διαχείρισης των υδατικών πόρων στηρίζεται σε μοντέλα υποστήριξης αποφάσεων, τα οποία με τη σειρά τους στηρίζονται σε μοντέλα πρόβλεψης της αντίδρασης των συστημάτων των επιφανειακών και υπόγειων νερών στις προτεινόμενες διαχειριστικές δράσεις. Τα υπόγεια νερά αποτελούν σημαντικό τμήμα των υδατικών πόρων. Λειτουργούν ως δεξαμενή από την οποία μπορεί να αντληθεί νερό καλής ποιότητας για παραγωγή πόσιμου νερού και νερού άλλων χρήσεων. Επίσης, αποτελούν ρυθμιστικό παράγοντα για την ύπαρξη και διατήρηση ποταμών και υγροτόπων, ιδιαίτερα σε περιόδους ξηρασίας. Η ποσοτική και ποιοτική υποβάθμιση των υπόγειων νερών, η οποία επηρεάζει και τα υδάτινα και χερσαία οικοσυστήματα που άμεσα ή έμμεσα εξαρτώνται από αυτά, δύσκολα αναστρέφεται και η αποκατάσταση απαιτεί πολύ χρόνο και σημαντικό κόστος. Συνεπώς, είναι ζωτικής σημασίας η πρόληψη της ρύπανσης και της εξάντλησής τους, γι αυτό η εκμετάλλευσή τους πρέπει να γίνεται στα πλαίσια κατάλληλων σχεδίων διαχείρισης. Η κατάρτιση των σχεδίων διαχείρισης ενός υδροφορέα ή συστήματος υδροφορέων μιας περιοχής, στηρίζεται σε μαθηματικά μοντέλα προσομοίωσης της λειτουργίας του. Η ανάπτυξη ενός μαθηματικού μοντέλου υπόγειων νερών είναι μια σύνθετη διαδικασία. Απαιτεί τη συγκέντρωση πλήθους δεδομένων πεδίου (π.χ. γεωλογικά, υδρολογικά, μετεωρολογικά, μετρήσεις στάθμης και παροχών), συνδέεται άμεσα με τη χρήση κατάλληλων εξειδικευμένων υπολογιστικών εργαλείων (π.χ. κώδικας επίλυσης του μαθηματικού μοντέλου) και κυρίως προϋποθέτει την ικανοποιητική σε βάθος γνώση του φυσικού προβλήματος. Και οι τρεις αυτοί παράγοντες είναι καθοριστικοί για την ποιότητα, την αποτελεσματικότητα και τελικά τη χρησιμότητα του μοντέλου που αναπτύσσεται. Συχνά παρουσιάζονται μοντέλα στηριγμένα σε ανεπαρκή δεδομένα πεδίου, με σφάλματα ή αδιαφάνεια στα ενδιάμεσα στάδια

7 ii κατάρτισης και ελλιπή αξιολόγηση, που εφαρμόζονται παραβιάζοντας τις παραδοχές και τις οριακές συνθήκες που ενυπάρχουν σ' αυτά. Οι αποφάσεις διαχείρισης των υπόγειων νερών που στηρίζονται σε τέτοιου είδους μοντέλα και στα αποτελέσματά τους, μπορεί να είναι καταστροφικές. Η εκτεταμένη χρήση των μοντέλων υπόγειων νερών οδήγησε στην ανάπτυξη πακέτων λογισμικού, τα οποία περιέχουν έναν κώδικα επίλυσης του μαθηματικού μοντέλου, συνδεμένο με βάση δεδομένων και ενσωματωμένο σε περιβάλλον GIS. Τα πακέτα αυτά δίνουν τη δυνατότητα καταγραφής, ελέγχου, επεξεργασίας και μορφοποίησης των δεδομένων που είναι απαραίτητα για τη λειτουργία ενός μοντέλου, διευκολύνουν την εφαρμογή του κώδικα επίλυσης, παρέχουν τα μέσα για την οπτικοποίηση των αποτελεσμάτων και είναι σχετικά εύκολα στη χρήση τους. Η ευκολία εφαρμογής τους όμως, πολλές φορές οδηγεί σε λανθασμένη χρήση τους. Η κατάρτιση μοντέλων από χρήστες που δεν γνωρίζουν ικανοποιητικά το φυσικό πρόβλημα, μπορεί να οδηγήσει σε αληθοφανή αλλά εσφαλμένα και παραπλανητικά αποτελέσματα. Τα στάδια που περιλαμβάνει η διαδικασία κατάρτισης ενός μοντέλου υπόγειων νερών είναι η ανάπτυξη του θεμελιώδους μοντέλου, η δόμηση του μαθηματικού μοντέλου, η ρύθμισή του, η αξιολόγησή του, η ανάλυση ευαισθησίας των παραμέτρων του και η επαλήθευσή του. Το κάθε στάδιο από αυτά περιλαμβάνει επιμέρους διαδικασίες, που στοχεύουν στην κατά το δυνατό καλύτερη προσέγγιση του φυσικού συστήματος και της λειτουργίας του, με προϋπόθεση πάντα την ύπαρξη επαρκών και αξιόπιστων δεδομένων. Κάθε επιλογή που γίνεται στα πλαίσια αυτών των επί μέρους διαδικασιών επηρεάζει το τελικό αποτέλεσμα, σε μικρό ή μεγάλο βαθμό. Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται επίσης κατά την εφαρμογή ενός μοντέλου για την πρόβλεψη της αντίδρασης ενός υδροφορέα σε διάφορες συνθήκες εκμετάλλευσής του. Ακόμα κι όταν ένα συγκεκριμένο μοντέλο θεωρείται ότι προσομοιώνει ικανοποιητικά τη λειτουργία ενός συστήματος με βάση τα υπάρχοντα ιστορικά δεδομένα, η εφαρμογή του για πρόβλεψη υπόκειται σε περιορισμούς. Κάθε μοντέλο στηρίζεται σε παραδοχές και προϋποθέσεις, που πρέπει να ισχύουν και κατά την προσομοίωση υποθετικών μελλοντικών συνθηκών. Τα αποτελέσματα κάθε πρόβλεψης χαρακτηρίζονται από αβεβαιότητα, η οποία θα πρέπει να μπορεί να εκτιμηθεί. Στα πλαίσια της διαχείρισης των υδατικών πόρων, στόχος της κατάρτισης ενός μοντέλου υπόγειων νερών είναι, όπως αναφέρθηκε, το να παρέχονται οι απαραίτητες πληροφορίες στους αρμόδιους για το σχεδιασμό των διαχειριστικών δράσεων, αλλά και στους ίδιους τους χρήστες. Συνεπώς, είναι ιδιαίτερα σημαντική η τεκμηρίωση ενός μοντέλου και των αποτελεσμάτων του, και ο τρόπος παρουσίασής τους. Όλες οι επιλογές και οι παραδοχές

8 iii που γίνονται πρέπει να γνωστοποιούνται και να αιτιολογούνται επαρκώς. Τα αποτελέσματα πρέπει να παρουσιάζονται έτσι ώστε να είναι άμεσα αντιληπτά και να κατανοείται η φυσική σημασία τους. Τα συμπεράσματα που εξάγονται πρέπει να προκύπτουν με σαφήνεια από την ανάλυση που παρουσιάζεται. Όπως φαίνεται από τα προηγούμενα, οι προϋποθέσεις που πρέπει να πληρούνται ώστε να μπορεί ένα μοντέλο υπόγειων νερών να χρησιμοποιηθεί για την διαχείριση ενός υδροφορέα, είναι πολλές. Αντικείμενο της διατριβής αυτής είναι η ανάλυση και διερεύνηση όλων των σταδίων της διαδικασίας κατάρτισης και εφαρμογής ενός μαθηματικού μοντέλου υπόγειων νερών. Μέρος αυτής της ανάλυσης αποτελεί και ο εντοπισμός και η αντιμετώπιση σφαλμάτων που συχνά πραγματοποιούνται και οδηγούν σε τελείως λανθασμένα αποτελέσματα. Η διερεύνηση αυτή πραγματοποιήθηκε μέσω της κατάρτισης κι εφαρμογής ενός μοντέλου για τα υπόγεια νερά της πεδιάδας Πιερίας. Σημαντική συμβολή στην ανάλυση αυτή αποτέλεσε η εμπειρία που αποκτήθηκε από την εφαρμογή του μαθηματικού μοντέλου πεπερασμένων διαφορών της πεδιάδας Πιερίας, του Εργαστηρίου Γενικής και Γεωργικής Υδραυλικής και Βελτιώσεων. Το μοντέλο αυτό είχε εμπλουτισθεί με μια διαδικασία αυτόματης ρύθμισης, στα πλαίσια της μεταπτυχιακής διατριβής της υποφαινόμενης. Στην παρούσα διατριβή, το λογισμικό που χρησιμοποιείται για την ανάπτυξη του μοντέλου είναι το MODFLOW, ενσωματωμένο σε περιβάλλον GIS. Η εφαρμογή στηρίχτηκε σε δεδομένα της χρονικής περιόδου από το Σεπτέμβριο του 1992 ως τον Αύγουστο του 1995, τα οποία είχαν συλλεχθεί στα πλαίσια του ερευνητικού έργου "Αναρρύθμιση του μαθηματικού μοντέλου υπόγειων νερών πεδιάδας Πιερίας (Κατερίνης)", με επιστημονικά υπεύθυνους τους καθηγητές Γ. Τερζίδη και Χ. Μπαμπατζιμόπουλο. Η διατριβή αυτή πραγματοποιήθηκε υπό την επίβλεψη του καθηγητή κ. Χρήστου Μπαμπατζιμόπουλου, τον οποίο ευχαριστώ θερμά για τη συνεχή στήριξη και την καθοδήγηση σε καίρια σημεία της πορείας εκπόνησης αυτής της εργασίας. Επίσης, αισθάνομαι την υποχρέωση να ευχαριστήσω τους καθηγητές κ. Θωμά Ζήση και κ. Διαμαντή Καραμούζη, μέλη της συμβουλευτικής επιτροπής, για τις σημαντικές συμβουλές και υποδείξεις τους, καθώς και τα υπόλοιπα μέλη της εξεταστικής επιτροπής για τα εποικοδομητικά τους σχόλια, που συνέβαλλαν στην αρτιότερη παρουσίαση της διατριβής. Σοφία Καβαλιεράτου Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 2007

9 iv Περίληψη Αντικείμενο της διατριβής αυτής είναι η ανάλυση και διερεύνηση όλων των σταδίων της διαδικασίας κατάρτισης και εφαρμογής ενός μαθηματικού μοντέλου υπόγειων νερών. Μέρος αυτής της ανάλυσης αποτελεί και ο εντοπισμός και η αντιμετώπιση σφαλμάτων που συχνά πραγματοποιούνται και οδηγούν σε τελείως λανθασμένα αποτελέσματα. Η διερεύνηση πραγματοποιείται μέσω της κατάρτισης κι εφαρμογής ενός μοντέλου για τα υπόγεια νερά της πεδιάδας Πιερίας. Στα πλαίσια της διατριβής αναλύθηκαν τα στάδια: ανάπτυξης του θεμελιώδους μοντέλου, κατάρτισης του μαθηματικού μοντέλου, το οποίο περιλαμβάνει: την επιλογή της χωρικής και χρονικής διακριτοποίησης, τον ορισμό της αρχικής συνθήκης, των οριακών συνθηκών, του εμπλουτισμού του συστήματος, της εκφόρτισής του, του τρόπου προσομοίωσης επιμέρους υδρογεωλογικών χαρακτηριστικών του συστήματος, την περιγραφή της χωρικής δομής των υδρογεωλογικών παραμέτρων, την επιλογή της μεθόδου επίλυσης της εξίσωσης που περιγράφει την υπόγεια ροή και των κατάλληλων κριτηρίων σύγκλισης της μεθόδου, ρύθμισης του μοντέλου, ανάλυσης ευαισθησίας των παραμέτρων του, επαλήθευσής του και τέλος εφαρμογής του για την πρόβλεψη της αντίδρασης του συστήματος σε διάφορες συνθήκες λειτουργίας του. Το μοντέλο που αναπτύχθηκε καλύπτει μια έκταση περίπου 256 km 2, προσομοιώνει διδιάστατη μη μόνιμη ροή και αποτελείται από 1759 ενεργά κελιά, διαστάσεων 350m 350m. Για την κατάρτισή του χρησιμοποιήθηκε το MODFLOW 2000, μέσα από το γραφικό περιβάλλον του Argus-ONE, σε συνεργασία με το σύστημα γεωγραφικής πληροφορίας του ArcGIS. Για την περιγραφή της χωρικής δομής των υδρογεωλογικών παραμέτρων του υδροφορέα, χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος διαχωρισμού κάθε παραμέτρου σε ζώνες ίσης τιμής. Η υδραυλική αγωγιμότητα στη -διεύθυνση χωρίστηκε σε 11 ζώνες, ο συντελεστής οριζόντιας ανισοτροπίας σε 6, η ειδική αποθηκευτικότητα και η ειδική απόδοση σε νερό σε 4 ζώνες η καθεμιά. Οι τιμές των 25 υδρογεωλογικών παραμέτρων προσδιορίστηκαν κατά τη ρύθμιση του μοντέλου. Η ρύθμιση έγινε με τη μέθοδο Gauss-Levenberg-Marquardt με περιορισμούς, όπως αυτή εφαρμόζεται με το PEST, και βασίστηκε σε μηνιαία δεδομένα της περιόδου Σεπτεμβρίου Απριλίου Συγκεκριμένα, χρησιμοποιήθηκαν 1173 παρατηρήσεις φορτίου σε 43 γεωτρήσεις της περιοχής μελέτης και 26 παρατηρήσεις παροχής των πηγών Δίου-Καρίτσας. Το μοντέλο αξιολογήθηκε με ποσοτικά και ποιοτικά κριτήρια (στατιστικές παράμετροι και γραφικές παραστάσεις διαφόρων μορφών των αποτελεσμάτων). Από την αξιολόγηση προέκυψε ότι το μοντέλο προσομοιώνει ικανοποιητικά τη λειτουργία του φυσικού συστήματος. Με την ανάλυση ευαισθησίας ελέγχθηκε η επίδραση κάθε μιας από τις 38 παραμέτρους του μοντέλου (25 υδρογεωλογικές παράμετροι και 13 παράμετροι παροχών εμπλουτισμού). Για την επαλήθευση του μοντέλου χρησιμοποιήθηκαν μηνιαία δεδομένα της περιόδου Μαΐου Αυγούστου 1995 (118 παρατηρήσεις φορτίου και 4 παρατηρήσεις παροχής). Η αξιολόγηση της επαλήθευσης βασίστηκε στα ίδια στατιστικά κριτήρια και γραφήματα με αυτά της αξιολόγησης των αποτελεσμάτων της ρύθμισης. Με την επαλήθευση

10 v επιβεβαιώθηκαν τα συμπεράσματα της ρύθμισης και της ανάλυσης ευαισθησίας. Στη συνέχεια, το μοντέλο εφαρμόστηκε για την πρόβλεψη του φορτίου του υδροφορέα, για τρία έτη (Σεπτέμβριος Αύγουστος 1998), με στόχο τον έλεγχο δύο σεναρίων που αφορούν τις αντλήσεις για την κάλυψη των αρδευτικών αναγκών της περιοχής. Κατά την ανάπτυξη του μοντέλου της Πιερίας, για την επιλογή της κατάλληλης χρονικής διακριτοποίησης, διερευνήθηκε η χρήση σταθερών χρονικών βημάτων και χρονικών βημάτων που σχηματίζουν γεωμετρική πρόοδο, όσον αφορά τον απαιτούμενο υπολογιστικό χρόνο και την εμφάνιση αποκλίσεων στα υπολογιζόμενα φορτία. Από τη διερεύνηση αυτή προέκυψε ότι η χρήση γεωμετρικής προόδου χρονικών βημάτων (εφόσον δεν επηρεάζει την ευστάθεια ή τη σύγκλιση της λύσης) μειώνει δραστικά τον απαιτούμενο χρόνο, παρουσιάζονται όμως αποκλίσεις των υπολογιζόμενων φορτίων από τα φορτία που υπολογίζονται με σταθερό χρονικό βήμα. Η τελική επιλογή εξαρτάται από τις διαστάσεις του προβλήματος, θα πρέπει όμως σε κάθε περίπτωση να ελέγχεται το μέγεθος και η επίδραση αυτών των αποκλίσεων. Επίσης, όπως φάνηκε και από τη σχετική διερεύνηση, στα μοντέλα μη μόνιμης ροής θα πρέπει να ελέγχεται η διάρκεια επίδρασης της αρχικής συνθήκης, όταν αυτή προκύπτει με παρεμβολή σε υπάρχουσες μετρήσεις φορτίου. Είναι πιθανό τα σφάλματα που εισάγονται από τη χρήση μιας τέτοιας αυθαίρετης αρχικής κατανομής του φορτίου να επηρεάζουν τα υπολογιζόμενα φορτία μέχρι το τέλος της προσομοίωσης. Η επίδραση της οριακής συνθήκης γνωστού οριακού φορτίου στο υδατικό ισοζύγιο του υδροφορέα πρέπει να ελέγχεται, ιδιαίτερα κατά τη διάρκεια των εκτελέσεων ρύθμισης, αφού αυτή η οριακή συνθήκη αποτελεί μια ανεξάντλητη πηγή νερού για τον υδροφορέα. Η ανάλυση ευαισθησίας είναι απαραίτητη για να προσδιοριστεί το μέγεθος αλλά και η χωρική κατανομή αυτής της επίδρασης. Η ιδιαιτερότητα αυτού του τύπου οριακής συνθήκης πρέπει να λαμβάνεται υπόψη και στις εκτελέσεις πρόβλεψης του φορτίου. Οι γραφικές παραστάσεις της χρονικής μεταβολής της υπολογιζόμενης εισροής/εκροής από κάθε κελί που ανήκει στο όριο γνωστού φορτίου, μπορούν να βοηθήσουν στην εκτίμηση του οριακού φορτίου στις εκτελέσεις πρόβλεψης. Με βάση τα αποτελέσματα της διερεύνησης για την επίδραση του γνωστού οριακού φορτίου στα υπολογιζόμενα φορτία και στο υδατικό ισοζύγιο του μοντέλου, προτείνεται η ενσωμάτωση της οριακής συνθήκης γνωστού φορτίου στη διαδικασία της ρύθμισης, εφόσον κατά μήκος αυτού του ορίου παρατηρείται το φαινόμενο του αρτεσιανισμού. Στο μοντέλο της Πιερίας αυτό επιτεύχθηκε με τη βοήθεια τεχνητών παρατηρήσεων μηδενικής εισροής από τα κελιά που ανήκουν στο όριο γνωστού φορτίου. Η συμμετοχή αυτής της οριακής συνθήκης στη ρύθμιση του μοντέλου συνέβαλε στην καλύτερη δυνατή προσέγγιση του τρόπου λειτουργίας του φυσικού συστήματος. Επίσης, η χρήση των τεχνητών παρατηρήσεων συνέβαλε και στον ανεξάρτητο προσδιορισμό των παραμέτρων που οι τιμές τους προσδιορίζονται κατά τη ρύθμιση του μοντέλου. Όπως φάνηκε από τις σχετικές διερευνήσεις, ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δίνεται στην επιλογή του κριτηρίου σύγκλισης της μεθόδου επίλυσης της εξίσωσης της υπόγειας ροής, που αφορά το φορτίο. Η βέλτιστη τιμή του κριτηρίου αυτού διαφοροποιείται ανάλογα με τη μέθοδο επίλυσης που επιλέγεται. Για να αποφασιστεί αν η τιμή του κριτηρίου σύγκλισης του φορτίου είναι ικανοποιητική, θα πρέπει πάντα να ελέγχεται και το υδατικό ισοζύγιο του μοντέλου, το σφάλμα του οποίου δεν πρέπει να ξεπερνά το 0.1%.

11 vi Η συμμετοχή διαφορετικών ειδών παρατηρήσεων στη διαδικασία της ρύθμισης του μοντέλου, βοηθά στον περιορισμό της συσχέτισης μεταξύ των παραμέτρων των οποίων οι τιμές προσδιορίζονται κατά τη ρύθμιση και στην εύρεση μιας μοναδικής λύσης στο αντίστροφο πρόβλημα. Το πλήθος και η ποιότητα των διαθέσιμων δεδομένων για την περιοχή μελέτης είναι καθοριστικής σημασίας για την κατάρτιση ενός μαθηματικού μοντέλου υπόγειων νερών και την αποτελεσματική προσομοίωση της λειτουργίας του φυσικού συστήματος. Για τη ρύθμιση ενός μοντέλου μη μόνιμης ροής, πρέπει να χρησιμοποιηθεί αρκετά μεγάλος αριθμός παρατηρήσεων, με ικανοποιητική για τις διαστάσεις του προβλήματος χωρική και χρονική κατανομή, που να αντιπροσωπεύουν την αντίδραση του συστήματος κάτω από διαφορετικές συνθήκες. Έτσι αυξάνεται η αξιοπιστία των προβλέψεων του μοντέλου. Η αξιολόγηση ενός αυτόματα ρυθμισμένου μοντέλου πρέπει να στηρίζεται σε στατιστικά κριτήρια που αφορούν συνολικά το μοντέλο, τα υπόλοιπα μεταξύ των παρατηρήσεων και των αντίστοιχων υπολογισμένων τιμών, τις απόλυτες τιμές αυτών των υπολοίπων και τις τελικές τιμές των παραμέτρων που προσδιορίστηκαν με τη ρύθμιση. Επίσης απαραίτητη είναι και η παρουσίαση του υδατικού ισοζυγίου του μοντέλου. Η χρήση πολλών κριτηρίων θεωρείται απαραίτητη, γιατί κάθε ένα από αυτά ελέγχει το μοντέλο από διαφορετική σκοπιά και επίσης γιατί τα περισσότερα από αυτά τα κριτήρια προέρχονται από την ανάλυση χρονοσειρών και η εξαγωγή τους βασίζεται σε μεγαλύτερο πλήθος δεδομένων από όσα είναι συνήθως διαθέσιμα στα μοντέλα υπόγειων νερών. Όπως φάνηκε από την ανάλυση όλων των σταδίων, κατά την κατάρτιση μοντέλων υπόγειων νερών με τη βοήθεια σύγχρονων πακέτων λογισμικού, όλες οι διαδικασίες που γίνονται αυτόματα (π.χ. παρεμβολές σε μετρήσεις) και όλες οι προεπιλογές του λογισμικού κατάρτισης πρέπει να ελέγχονται και ο χρήστης να γνωρίζει τον τρόπο λειτουργίας τους και το θεωρητικό τους υπόβαθρο. Το ίδιο ισχύει και για την αυτόματη ρύθμιση ενός μοντέλου με τη βοήθεια εμπορικού ή κοινής κτήσης λογισμικού. Ο χρήστης δεν πρέπει να αρκείται στην απλή εφαρμογή του προγράμματος, βασιζόμενος στις προεπιλεγμένες τιμές των παραμέτρων της μεθόδου βελτιστοποίησης. Οι κατάλληλες τιμές αυτών παραμέτρων, για κάθε συγκεκριμένο μοντέλο, προκύπτουν μετά από διερεύνηση.

12 vii Abstract The objective of this dissertation is a critical review of all the required stages for the development of a sound groundwater mathematical model. Towards this objective a groundwater model is developed and implemented for the management of the Pieria aquifer, Greece. The stages of the modeling process which are analyzed in this dissertation are the following: development of the conceptual model, construction of the numerical model, which includes the definition of the space and time discretization, the initial and boundary conditions, the recharge and discharge of the system, the representation of hydrogeologic features of the system, the spatial structure of the aquifer's hydrogeologic parameters, the selection of the method for the solution of the groundwater flow equation and the convergence criteria for this method, calibration of the model, evaluation of the model, sensitivity analysis, validation of the calibrated model and application of the model to predict the system's response under various conditions. The model which was developed for the Pieria aquifer is a two-dimensional transient flow model. It covers an area of 256 km 2 and it has 1759 active cells, with a size of 350 m X 350 m each. Software packages which were used for the construction of the model are: MODFLOW 2000, Argus ONE, ArcGIS and PEST. The zonation method was used for the description of the hydrogeologic parameters' spatial variability. The grid was divided in 11 zones of uniform hydraulic conductivity in the -direction, 6 zones of uniform horizontal anisotropy, 4 zones of uniform specific storage and 4 zones of uniform specific yield. The values of the 25 hydrogeologic parameters resulted from the calibration process. The model was calibrated against 1173 piezometric head observations and 26 spring flow observations with the Gauss-Levenberg-Marquardt method. The piezometric head and the spring flow observations were collected from September 1992 to April 1995, on a monthly basis. Both qualitative and quantitative criteria were used for the evaluation of the calibrated model. The results which we obtained show that the model represents adequately the simulated system. The effect of each one of the 38 model parameters (25 hydrogeologic and 13 recharge parameters) was eamined with the sensitivity analysis process. A second set of monthly data (118 head observations and 4 spring discharge observations, from May 1995 to August 1995) were used for the validation of the calibrated model. The validation process verified that the calibrated model describes accurately the water dynamics of the Pieria aquifer. Finally, the calibrated model was applied for a period of 3 years to assess the consequences of two pumping scenarios concerning the location of irrigation wells. The proper time discretization was eamined by using a number of uniform and geometrically increased time steps. The comparison of total eecution time and computed heads revealed that increasing the length of the time step geometrically, can reduce eecution time significantly, but the corresponding heads diverge from those computed with uniform time steps. It is concluded that the time discretization depends on the special

13 viii characteristics of the model and must be investigated thoroughly in any groundwater mathematical model. The initial condition of the computations must be also eamined very carefully. An arbitrarily defined initial condition (i.e. interpolation from field measurements), sometimes can influence the results until the end of the whole simulation period. The known head boundary condition constitutes an inehaustible water source for the model, so its contribution to the model's water balance should also be eamined and taken into account during the calibration of the model. Sensitivity analysis of this boundary condition, in order to assess the magnitude and the spatial distribution of its influence, is an essential prerequisite for the model construction. The particularity of this boundary condition should also be taken into consideration during predictive simulations. Plots of the computed recharge/discharge from every known head boundary cell with respect to time can be a valuable tool for the estimation of the known head cell values in predictive simulations. It is concluded that the integration of this boundary condition in the calibration process leads to a more accurate representation of the real system. In our case this was accomplished using artificial observations of zero inflow from the known head boundary cells. The head convergence criterion is very important and depends on the solution method. It must always be eamined in conjunction with the computed water balance error. In our case this error never eceeded 0.1%. It was found that the use of different kind of observations in the calibration process decreased the correlation between the estimated parameters and thus it led to a unique solution of the inverse problem. Model efficacy in predicting the response of the system depends on the quality and quantity of available data. A transient model should be calibrated against a considerable number of observations with satisfactory spatial and temporal distribution, representing the system response under various conditions. The evaluation of a calibrated model must be based on statistical criteria referring to the residuals between observations and corresponding computed values, to the absolute residuals and to the final parameter values resulted from the calibration process. The water balance of the model should also be considered. Most of the commonly used statistical criteria come from time series analyses where large data sets are usually available. In groundwater models, however, availability of such data sets is rare. It is thus important to use several criteria to get a better evaluation of the model. Software's automated procedures for data handling and parameter default values often mislead the development of a groundwater model. Appropriate interpolation techniques and parameter values are problem depended and should be decided after investigation.

14 i ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Εισαγωγή Διαχείριση υπόγειων υδατικών πόρων Μαθηματικά μοντέλα και διαχείριση υπόγειων υδατικών πόρων Αντικείμενο και δομή της διατριβής Στάδια ανάπτυξης ενός μοντέλου υπόγειων νερών Θεμελιώδες μοντέλο Μαθηματικό μοντέλο Εξίσωση κίνησης του υπόγειου νερού Επιλογή του τύπου του μοντέλου Διακριτοποίηση Οριακές συνθήκες Αρχική συνθήκη Μέθοδοι επίλυσης Strongly implicit procedure (SIP) Slice-successive over-relaation (SSOR) Preconditioned conjugate gradient method (PCG) Direct method Ακρίβεια της λύσης Ρύθμιση του μοντέλου Μέθοδος δοκιμής - σφάλματος Αυτόματη ρύθμιση Άμεση μέθοδος Έμμεση μέθοδος Μέθοδος Gauss-Levenberg-Marquardt Ανάλυση ευαισθησίας Υπολογισμός των συντελεστών ευαισθησίας Μέθοδος της εξίσωσης ευαισθησίας (sensitivity equation method) Αξιολόγηση του μοντέλου Επαλήθευση του μοντέλου Λογισμικό μοντελοποίησης υπόγειων νερών MODFLOW Γενική διαδικασία Διαδικασία ροής του υπόγειου νερού Διαδικασία παρατηρήσεων Διαδικασία ευαισθησίας Διαδικασία εκτίμησης παραμέτρων Λειτουργίες (modes) του προγράμματος ARGUS ONE MODFLOW GUI ArcGIS Desktop PEST...79

15 4. Περιοχή μελέτης Θέση και όρια της περιοχής μελέτης Μορφολογία Γεωλογία Υδρογεωλογία Υδρολογικές λεκάνες Υδρογραφικό δίκτυο Μετεωρολογικά δεδομένα Καλλιέργειες Εφαρμογή Θεμελιώδες μοντέλο της περιοχής μελέτης Κατάρτιση του μαθηματικού μοντέλου Χωρική διακριτοποίηση Χρονική διακριτοποίηση Αρχική συνθήκη Οριακή συνθήκη γνωστού φορτίου Οριακή συνθήκη γνωστής πλευρικής εισροής Επαναπλήρωση από βροχοπτώσεις Εκφόρτιση του υδροφορέα Υδρογεωλογικές παράμετροι Μέθοδος επίλυσης της εξίσωσης υπόγειας ροής - παράμετροι της μεθόδου Ρύθμιση του μοντέλου Παρατηρήσεις Τιμές των παραμέτρων της μεθόδου βελτιστοποίησης Κριτήρια σύγκλισης της μεθόδου βελτιστοποίησης Αρχικές και οριακές τιμές των υδρογεωλογικών παραμέτρων του μοντέλου Αποτελέσματα της ρύθμισης - Αξιολόγηση Ανάλυση ευαισθησίας Επαλήθευση του μοντέλου Σενάρια διαχείρισης Συμπεράσματα ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...222

16 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1. Εισαγωγή Η πολιτική βιώσιμης διαχείρισης του περιβάλλοντος έχει παγκόσμια χαρακτηριστικά. Η διαχείριση των υδατικών πόρων, του σημαντικότερου ίσως φυσικού πόρου, θα πρέπει να αντιμετωπίζεται σ' αυτό το συνολικό πλαίσιο. Οι υδατικοί πόροι αποτελούν βασική παράμετρο της αναπτυξιακής διαδικασίας και της ισορροπίας των οικοσυστημάτων. Παγκοσμίως εντοπίζονται σημαντικά προβλήματα γύρω από την επάρκεια και τη διαχείρισή τους. Βασικοί παράγοντες αυτής της έντασης είναι η αύξηση της κατανάλωσης, λόγω της πληθυσμιακής αύξησης και της βελτίωσης του βιοτικού επιπέδου, και η υιοθέτηση παραγωγικών και αναπτυξιακών μοντέλων αδιάφορων για τους φυσικούς πόρους. Στην Ευρωπαϊκή Ένωση, αναγνωρίζεται η ανάγκη δράσης για την αποφυγή μακροπρόθεσμης επιδείνωσης της ποιότητας και της ποσότητας των γλυκών υδάτων, και τη διαμόρφωση μιας συνολικής πολιτικής για την προστασία τους. Μιας πολιτικής που στοχεύει στη διατήρηση και τη βελτίωση του υδάτινου περιβάλλοντος. Η υδατική πολιτική, που διαμορφώθηκε με την Οδηγία 2000/60/ΕΚ της , θεωρείται ότι πρέπει να αποβλέπει στην Ολοκληρωμένη Διαχείριση των Υδατικών Πόρων. H πολιτική της Ευρωπαϊκής Ένωσης στον τομέα του περιβάλλοντος συμβάλλει στην επιδίωξη των στόχων "διατήρησης, πρoστασίας και βελτίωσης της πoιότητας τoυ περιβάλλovτoς, καθώς και συvετής και oρθoλoγικής χρησιμoπoίησης των φυσικών πόρων, με βάση τις αρχές της προφύλαξης και της προληπτικής δράσης, την αρχή της επανόρθωσης των καταστροφών του περιβάλλοντος, κατά προτεραιότητα, στην πηγή καθώς και την αρχή "ο ρυπαίνων πληρώνει"". Στην Ευρωπαϊκή Ένωση υπάρχει ποικιλία συνθηκών και αναγκών, οι οποίες απαιτούν διαφορετικές ειδικές λύσεις. Η πoικιλoμoρφία αυτή λαμβάνεται υπόψη υιοθετώντας τη Λεκάνη Απορροής Ποταμού ως πλαίσιο σχεδιασμού και εκτέλεσης μέτρωv πρoστασίας και βιώσιμης χρήσης τoυ ύδατoς. Στην Ελλάδα, οι διαφορετικές ανά περιοχή υδρολογικές και γεωμορφολογικές συνθήκες, σε συνδυασμό με την άνιση κατανομή των υδατικών πόρων και του πληθυσμού και την

17 2 εποχικότητα της ζήτησης, δεν ευνοούν την κάλυψη των αναγκών για τις διάφορες χρήσεις του νερού. Η διαχείριση των υδατικών πόρων γίνεται αποσπασματικά, από πολλούς φορείς, με αλληλοκαλυπτόμενες αρμοδιότητες. Στα πλαίσια του Ν. 1739/87 καθορίστηκαν τα υδατικά διαμερίσματα της χώρας καθώς και οι βασικές αρχές προγραμματισμού, διαχείρισης, αξιοποίησης, χρήσης και προστασίας των υδατικών πόρων. Με στόχο την εναρμόνιση του Εθνικού Δικαίου με την Οδηγία 2000/60/ΕΚ για τα νερά, διαμορφώθηκε το νέο θεσμικό πλαίσιο για την προστασία και διαχείριση των υδάτων (Ν. 3199/2003) με τις ακόλουθες βασικές αρχές: Ολοκληρωμένη και βιώσιμη διαχείριση των υδατικών πόρων. Ανάκτηση του κόστους για τις παρεχόμενες υπηρεσίες υδάτων καθώς και του περιβαλλοντικού και κοινωνικού κόστους με βάση την αρχή "ο ρυπαίνων πληρώνει", αφού συνεκτιμηθούν και τα κοινωνικά, περιβαλλοντικά και οικονομικά αποτελέσματα της ανάκτησης, καθώς και οι γεωγραφικές και κλιματολογικές συνθήκες της κάθε περιοχής. Συμμετοχή στη διαχείριση του νερού όλων των ενδιαφερόμενων μερών. Ένταξη, ενεργοποίηση και συμμετοχή στη λήψη των αποφάσεων όλων των φορέων της τοπικής κοινωνίας και των χρηστών του νερού. Η γεωργία αποτελεί για την Ελλάδα το σημαντικότερο χρήστη νερού, όπως φαίνεται και από τον Πίνακα 1.1 (Μπαλτάς και Μιμίκου, 2006), λόγω της αύξησης των αρδευόμενων εκτάσεων και της χρήσης δυναμικών καλλιεργειών με αυξημένες ανάγκες σε νερό. Πίνακας 1.1. Χρήσεις νερού στην Ελλάδα Αστική (Χ10 6 ) m 3 Αγροτική Βιομηχανική Ενεργειακή Σύνολο (Χ10 6 ) m 3 (Χ10 6 ) m 3 (Χ10 6 ) m 3 (Χ10 6 ) m Αστική % Αγροτική % Βιομηχανική % Ενεργειακή % Σύνολο % Σε πολλές περιοχές της Ελλάδας, η πλήρης κάλυψη των αναγκών της άρδευσης από επιφανειακά νερά δεν είναι εφικτή, γιατί η αιχμή της ζήτησης συμπίπτει με την ξηρή περίοδο, κατά την οποία οι παροχές των επιφανειακών νερών ελαττώνονται ή μηδενίζονται. Αυτό οδήγησε στην κάλυψη μέρους ή του συνόλου των αρδευτικών αναγκών από τα υπόγεια νερά. Η ραγδαία αύξηση των αντλήσεων, χωρίς την ύπαρξη σχεδίων βιώσιμης διαχείρισης των υδροφορέων, είχε ως συνέπεια την εξάντληση και την ποιοτική υποβάθμιση του υπόγειου υδατικού δυναμικού πολλών περιοχών. Για παράδειγμα, ποσοστό 85% των

18 3 παράκτιων υδροφορέων έχει υποστεί υφαλμύριση η οποία οφείλεται στην ανθρώπινη δραστηριότητα (Βουδούρης κ.α., 2005) Διαχείριση υπόγειων υδατικών πόρων Τα υπόγεια νερά αποτελούν σημαντικό τμήμα των υδατικών πόρων. Η διαχείριση των υπόγειων νερών έχει ως στόχο την ισορροπημένη και ορθολογική εκμετάλλευσή τους, όσον αφορά την ποσότητα και την ποιότητά τους, καθώς και την αλληλεπίδρασή τους με τα επιφανειακά νερά. Οι συνέπειες της αλόγιστης εκμετάλλευσης γίνονται αντιληπτές από τους φορείς διαχείρισης και τους χρήστες όταν παρουσιαστεί μείωση της απόδοσης των γεωτρήσεων ή και υποβάθμιση της ποιότητας του αντλούμενου νερού. Αν συνεχιστεί η υπεράντληση μπορεί να προκληθεί σοβαρή πτώση της στάθμης του υπόγειου νερού, διείσδυση αλμυρού νερού αν ο υδροφορέας βρίσκεται σε επαφή με τη θάλασσα, ακόμα και καθίζηση εδαφών. Είναι ουσιώδους σημασίας να αναγνωριστεί ότι η διαχείριση του υπόγειου νερού αφορά τόσο τη διαχείριση της ζήτησης (χρήστες του νερού) όσο και τη διαχείριση του υδροφορέα: η κοινωνικοοικονομική διάσταση είναι εξίσου σημαντική με την υδρογεωλογική διάσταση. Το υπόγειο νερό χρησιμοποιείται στη γεωργία, στη βιομηχανία και την παραγωγή πόσιμου νερού. Εξασφαλίζει επίσης τη μόνιμη ροή των επιφανειακών υδάτων. Χερσαία και υδάτινα οικοσυστήματα επηρεάζονται άμεσα ή έμμεσα από τη διαθεσιμότητα και την ποιότητα του υπόγειου νερού. Η διαχείριση των υπόγειων νερών, ως κομμάτι της διαχείρισης των υδατικών πόρων, θα πρέπει να επιτυγχάνει την εξισορρόπηση του κόστους και του οφέλους που προκύπτουν από τις διαχειριστικές δράσεις. Θα πρέπει δηλαδή να εξασφαλίζει, κατά το δυνατό, τις ανάγκες των διαφόρων χρηστών (συμπεριλαμβανομένων των οικοσυστημάτων που άμεσα ή έμμεσα εξαρτώνται από αυτά), αποτρέποντας την υποβάθμιση του υδρογεωλογικού συστήματος από το οποίο καλύπτονται οι ανάγκες αυτές. Από την υδρογεωλογική σκοπιά, θα πρέπει να κατανοηθεί η λειτουργία κάθε υδροφορέα ή συστήματος υδροφορέων και η δυνατότητα ανταπόκρισης του συγκεκριμένου υδροφορέα ή συστήματος σε διαφορετικά επίπεδα ζήτησης, καθώς επίσης και η αλληλεπίδρασή του με επιφανειακά νερά (φόρτιση-εκφόρτιση). Τα αποτελέσματα της υπεράντλησης μπορεί να είναι βραχυπρόθεσμα και αναστρέψιμα ή μακροπρόθεσμα και σχεδόν μη αναστρέψιμα. Στο Σχήμα 1.1 παρουσιάζονται τα διάφορα στάδια ανάπτυξης ενός υδροφορέα και οι αντίστοιχες ανάγκες διαχείρισης (Tuinhof et al.,-). Σε πρακτικό επίπεδο, διευκολύνει η διάκριση επιπέδων ανάπτυξης των υπόγειων υδατικών πόρων και αντίστοιχων εργαλείων και δράσεων διαχείρισης, με στόχο πάντα την πρόληψη της υποβάθμισής τους και την προστασία τους, προς όφελος των σημερινών αλλά και των μελλοντικών αναγκών. Τα τεχνικά εργαλεία τα

19 4 οποία είναι απαραίτητο να αναπτυχθούν για τη διαχείριση ενός υδροφορέα εξελίσσονται σταδιακά, ξεκινώντας από τη βασική κατανόηση και γνώση του υδροφορέα, τη διαμόρφωση ενός θεωρητικού μοντέλου βασιζόμενου σε δεδομένα πεδίου (conceptual model), την κατάρτιση μαθηματικού μοντέλου για την προσομοίωση διαφόρων σεναρίων άντλησης και τέλος τη σύνδεση του μοντέλου αυτού με μοντέλα λήψης απόφασης χρησιμοποιούμενα για τη διαχείριση του υπόγειου νερού (decision support models). Παράλληλα εξελίσσονται και τα τεχνικά εργαλεία που αφορούν την ποιότητα του υπόγειου νερού, καθώς και το δίκτυο ποσοτικής και ποιοτικής παρακολούθησης του υδροφορέα. βιώσιμη ανάπτυξη πόρου (με αποδεκτές για τις παρούσες συνθήκες επιπτώσεις) ρυθμός άντλησης αριθμός γεωτρήσεων 0: βασική κατάσταση η διαθεσιμότητα υπόγειου νερού καλής ποιότητας υπερβαίνει κατά πολύ τη μικρή διάσπαρτη ζήτηση απαιτείται η καταγραφή γεωτρήσεων και πηγών και η χαρτογράφηση των διαθέσιμων προς χρήση πόρων 1: αρχόμενη πίεση αύξηση αντλήσεων μικρές τοπικές συγκρούσεις μεταξύ γειτονικών χρηστών εφαρμογή απλών εργαλείων διαχείρισης (πχ. ορισμός απόστασης γεωτρήσεων) χρόνος 2: σημαντική πίεση ραγδαία αύξηση αντλήσεων με επιπτώσεις στο φυσικό σύστημα και έντονη εξάρτηση των χρηστών από τον πόρο απαραίτητη η ύπαρξη ρυθμιστικού πλαισίου επιβολή εισφοράς μετά από αξιολόγηση/αποτίμηση 3Α: ασταθής ανάπτυξη εκτεταμένη υπεράντληση μη αναστρέψιμη επιδείνωση του υδροφορέα και έντονες συγκρούσεις μεταξύ των χρηστών επείγουσα ανάγκη για ρυθμιστικό πλαίσιο διαχείριση της ζήτησης τεχνητή επαναπλήρωση 3Β: σταθερότηταυψηλή ανάπτυξη υψηλός ρυθμός άντλησης αλλά εξισορρόπηση της ζήτησης για ανταγωνιστικές χρήσεις και των αναγκών του οικοσυστήματος ολοκληρωμένη διαχείριση πόρου με εθελοντική συμμόρφωση χρηστών καθοδηγούμενη από μοντέλο και δίκτυο παρακολούθησης του υδροφορέα Σχήμα 1.1 Στάδια ανάπτυξης ενός υδροφορέα και αντίστοιχες ανάγκες διαχείρισης. Προέλευση: Tuinhof et al. ( - ) μετά από προσαρμογή 1.3. Μαθηματικά μοντέλα και διαχείριση υπόγειων υδατικών πόρων Τα μαθηματικά μοντέλα υπόγειων νερών προσομοιώνουν την κίνηση του νερού έμμεσα, χρησιμοποιώντας μια εξίσωση αντιπροσωπευτική των φυσικών διαδικασιών του συστήματος, μαζί με εξισώσεις που περιγράφουν το φορτίο ή την παροχή στα όρια του μοντέλου (οριακές συνθήκες). Αν το πρόβλημα είναι εξαρτώμενο και από το χρόνο, χρησιμοποιείται και μια εξίσωση που περιγράφει την αρχική κατανομή του φορτίου στο σύστημα (αρχική συνθήκη). Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί, συνήθως με τη χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή, είτε αναλυτικά (αναλυτικά μοντέλα) είτε με χρήση μιας

20 5 αριθμητικής μεθόδου (αριθμητικά μοντέλα). Η χρήση αναλυτικών μοντέλων προϋποθέτει το να ισχύουν κάποιες παραδοχές που απλοποιούν το πρόβλημα και για το λόγο αυτό εφαρμόζονται συνήθως σε προβλήματα πολύ μικρής κλίμακας. Για προβλήματα μεγαλύτερης κλίμακας και περισσότερο σύνθετα χρησιμοποιούνται τα αριθμητικά μοντέλα. Η χρήση των αριθμητικών μοντέλων άρχισε τη δεκαετία του 1960, επεκτάθηκε τη δεκαετία του 1980 με την αύξηση της υπολογιστικής ισχύος και μνήμης των υπολογιστών και στην εποχή μας έχει πλέον γενικευθεί. Το σύνολο των εντολών που χρησιμοποιούνται για την επίλυση ενός μοντέλου με υπολογιστή αποτελούν το πρόγραμμα ή κώδικα. Το πρόγραμμα είναι γενικής χρήσης, ενώ ένα νέο μοντέλο σχεδιάζεται για κάθε εφαρμογή και περιλαμβάνει τις αρχικές και οριακές συνθήκες, το δίκτυο υπολογισμών και τις τιμές των παραμέτρων του προγράμματος συγκεκριμένα για την περιοχή εφαρμογής και τις υδρολογικές πιέσεις που ασκούνται στο υπό μελέτη σύστημα. Τα μαθηματικά μοντέλα υπόγειων νερών χρησιμοποιούνται ως πλαίσιο εργασίας για την οργάνωση δεδομένων πεδίου, καθώς και ως εργαλεία για τον προσδιορισμό της θέσης και των χαρακτηριστικών των ορίων του, την αποτίμηση της δυναμικότητάς του. Στις περισσότερες περιπτώσεις στόχος της κατάρτισης ενός μοντέλου υπόγειων νερών είναι η πρόβλεψη των συνεπειών μιας προτεινόμενης δράσης και με αυτή την έννοια τα μοντέλα υπόγειων νερών είναι αναπόσπαστο και ιδιαίτερης σημασίας κομμάτι οποιουδήποτε σχεδίου διαχείρισης υδατικών πόρων. Αυτό επιβεβαιώνεται και από τη σύγχρονη διεθνή τάση οι αποφάσεις που αφορούν τη διαχείριση να στηρίζονται σε αποτελέσματα μοντέλων πρόβλεψης. Ειδικότερα για τα κράτη μέλη της Ευρωπαϊκής Ένωσης, η Οδηγία 2000/60/ΕΚ απαιτεί τα σχέδια διαχείρισης των υδατικών πόρων και οι σχετικές αποφάσεις που λαμβάνονται στα πλαίσια αυτών, να στηρίζονται σε μοντέλα των υδατικών πόρων (επιφανειακών και υπόγειων) (Wasson et al., 2003, Irvine et al., 2004). Ταυτόχρονα, υπάρχει διεθνώς και μια τάση αμφισβήτησης της αξιοπιστίας των μοντέλων και της χρησιμότητάς τους ως εργαλεία υποστήριξης αποφάσεων, γενικότερα (Scholten and Udink ten Cate, 1996), αλλά και ειδικότερα όσο αφορά τα μοντέλα υπόγειων νερών. Υπάρχουν αρκετά παραδείγματα σφαλμάτων, είτε στην κατάρτιση του μοντέλου είτε στην εφαρμογή του, αδυναμίας υποστήριξης του μοντέλου και των αποτελεσμάτων του, αδιαφάνειας όσον αφορά τα ενδιάμεσα στάδια κατάρτισης και τα δεδομένα στα οποία στηρίχτηκε αυτή (Anderson and Woessner, 1992, Middlemis, 2000, Refsgaard and Henriksen, 2002, Ardito et al., 2004). Συχνά το μοντέλα χρησιμοποιούνται χωρίς να είναι γνωστή εκ των προτέρων η αξιοπιστία των προβλέψεών τους ή παραβιάζοντας τις παραδοχές και τις οριακές συνθήκες που ενυπάρχουν σ' αυτά (ASTM, 1992). Όλα αυτά έχουν ως

21 6 αποτέλεσμα την έλλειψη εμπιστοσύνης στα μοντέλα ως εργαλεία υποστήριξης αποφάσεων. Αυτό είναι περισσότερο έντονο όχι τόσο στην επιστημονική κοινότητα, αλλά στους φορείς που είναι υπεύθυνοι για την χάραξη και εφαρμογή της διαχειριστικής πολιτικής και ιδίως στο ευρύτερο κοινό, που καλείται να αποδεχτεί και να υποστηρίξει την πολιτική αυτή. Οι δύο προαναφερθείσες αντίθετες μεταξύ τους τάσεις, από τη μία η επεκτεινόμενη χρήση των μοντέλων και από την άλλη η έλλειψη εμπιστοσύνης στα αποτελέσματά τους, καθιστούν επιτακτική την ανάγκη για υιοθέτηση κατευθυντήριων γραμμών και διαδικασιών για την κατάρτιση και εφαρμογή των μοντέλων υπόγειων νερών, αλλά και για τον έλεγχο και την αξιολόγησή τους. Η ανάγκη για οδηγίες κατάρτισης μοντέλων υπόγειων νερών διαφέρει από χώρα σε χώρα, κυρίως γιατί δε βρίσκονται όλες οι χώρες στο ίδιο στάδιο ανάπτυξης όσον αφορά τη δημιουργία και τη χρήση μοντέλων υπόγειων νερών. Για παράδειγμα, οι ΗΠΑ ήταν από τις πρωτοπόρες στη σύνταξη οδηγιών, από τις αρχές της δεκαετίας του 1990, γιατί η πρακτική εφαρμογή των μοντέλων υπόγειων νερών είχε ήδη προοδεύσει εκεί περισσότερο από ότι σε οποιαδήποτε άλλη χώρα. Συστηματική αναφορά στις λίγες υπάρχουσες δημοσιευμένες οδηγίες που εφαρμόζονται στα διάφορα κράτη, γίνεται από τον Middlemis (2000) και τους Refsgaard και Henriksen (2002). Στις ΗΠΑ οι σχετικές οδηγίες έχουν σχεδιαστεί από την American Society for Testing and Materials (ASTM), σε μια περίοδο από το 1993 ως το 1997 και περιέχονται σε συνολικά δέκα επιμέρους οδηγίες που αφορούν διαφορετικά στάδια της διαδικασίας κατάρτισης ενός μοντέλου υπόγειων νερών: o ASTM D Standard Guide for Application of a Ground-Water Flow Model to a Site- Specific Problem. o ASTM D Standard Guide for Comparing Ground-Water Flow Model Simulations to Site Specific Information o ASTM D Standard Guide for Defining Initial Conditions in Ground-Water Flow Modelling o ASTM D Standard Guide for Conducting a Sensitivity Analysis for a Ground-Water Flow Model Application o ASTM D Standard Guide for Documenting a Ground-Water Flow Model Application o ASTM D Standard Guide for Subsurface Flow and Transport Modelling o ASTM D Standard Guide for Conceptualization and Characterization of Ground- Water Systems o ASTM D Standard Guide for Calibrating a Ground-Water Flow Model Application

22 7 o ASTM D Standard Guide for Developing and Evaluating Ground-Water Modeling Codes o ASTM D Standard Guide for Documenting a Ground-Water Modelling Code Επίσης, μια ειδική έκδοση της ASTM, "Subsurface fluid flow (ground-water and vadose zone) modeling" (1996), περιέχει 24 εργασίες από ένα συμπόσιο στο Denver του Colorado, οι οποίες αναφέρονται στα τυπικά στάδια της διαδικασίας κατάρτισης ενός μοντέλου υπόγειων νερών και στην εφαρμογή των προαναφερθεισών οδηγιών της ASTM. Στο Ενωμένο Βασίλειο η κατάρτιση μοντέλων υπόγειων νερών γίνεται από ιδιωτικές εταιρείες. Στην Αγγλία και την Ουαλία ο έλεγχος των μοντέλων γίνεται από την Environment Agency (EA), ενώ στην Σκοτία από την Scottish Environment Protection Agency (SEPA) (Packman, 2002). Η ΕΑ έχει καθορίσει τα στάδια που πρέπει να ακολουθούνται και τα κριτήρια που πρέπει να πληρούν τα μοντέλα, τόσο κατά την κατάρτιση όσο και κατά τον έλεγχο αυτών (Modelling Guidance Notes - Groundwater, Template Project Brief - Groundwater modelling, 1999). Οι ολλανδικές οδηγίες (Van Waveren et al., 2000) είναι γενικής μορφής, αναπτύχθηκαν με τη συνεργασία όλων των ενδιαφερόμενων μερών (πανεπιστήμια, ερευνητικά ινστιτούτα, σύμβουλοι και τελικοί χρήστες) και αφορούν ένα γενικό πλαίσιο, που περιλαμβάνει μοντέλα βροχής-απορροής, υδροδυναμικά, υπόγειων νερών, ποιότητας νερού κλπ. Στην Αυστραλία, οι οδηγίες (Middlemis, 2000) δομήθηκαν πάνω στη διαδικασία κατάρτισης ενός μοντέλου υπόγειων νερών και καλύπτουν με αρκετή λεπτομέρεια κάθε στάδιο αυτής. Για τη Δανία οι οδηγίες συνίστανται από ένα εγχειρίδιο καλής πρακτικής (Good modelling practice handbook, Henriksen, 2001), το οποίο περιλαμβάνει λεπτομερείς τεχνικές συμβουλές για διάφορα θέματα σχετικά με την κατάρτιση των μοντέλων υπόγειων νερών. Όσον αφορά τα κράτη της κεντρικής και ανατολικής Ευρώπης και την Ελλάδα, δεν υπάρχουν αντίστοιχες οδηγίες που να αφορούν είτε την κατάρτιση μοντέλων υπόγειων νερών είτε κάποια προβλεπόμενη διαδικασία ελέγχου αυτών από αρμόδιους φορείς. Από την Ευρωπαϊκή Ένωση χρηματοδοτήθηκε το ερευνητικό έργο με τίτλο "Harmonising Quality Assurance in model based catchment and river basin management" (HarmoniQuA, ), στο οποίο συμμετείχαν φορείς από 10 χώρες (Ολλανδία, Δανία, Ελλάδα, Ενωμένο Βασίλειο, Γαλλία, Γερμανία, Σουηδία, Ουγγαρία, Πορτογαλία και Τσεχία), με στόχο την ανάπτυξη γενικών οδηγιών, που να καλύπτουν όλα τα πεδία που περιλαμβάνονται στην Οδηγία 2000/60/EK, μεταξύ αυτών και τα υπόγεια νερά. Αποτέλεσμα αυτού του προγράμματος ήταν η δημιουργία γνωσιακής βάσης (knowledge base) και λογισμικού

23 8 (Modeling Supporting Tool - MoST) ως εργαλεία για την υποστήριξη της κατάρτισης μοντέλων διαχείρισης των υδατικών πόρων σε επίπεδο υδρολογικής λεκάνης. Πολύ σημαντική συμβολή στη σύνθεση της διαδικασίας κατάρτισης ενός μοντέλου υπόγειων νερών, υπήρξε το πρωτόκολλο των Anderson και Woessner (1992), το οποίο ενέπνευσε τις περισσότερες από τις μεταγενέστερες οδηγίες. Το πρωτόκολλο αυτό παρουσιάζεται στο Σχήμα 1.2. Περιγράφει τα κύρια σημεία μιας μεθοδολογίας για όλα τα στάδια δημιουργίας ενός μοντέλου. Σχήμα 1.2 Πρωτόκολλο κατάρτισης ενός μοντέλου υπόγειων νερών. Προέλευση: Anderson and Woessner (1992) μετά από προσαρμογή Την ίδια περίπου δομή ακολουθούν και οι προαναφερθείσες οδηγίες, οι οποίες έχουν ένα επιπλέον βασικό κοινό χαρακτηριστικό, το ότι προβλέπουν-απαιτούν κύκλους επανάληψης κάποιων σταδίων με βάση τα αποτελέσματα των επόμενων (feedback) ή και τη συλλογή νέων δεδομένων. Αυτοί οι κύκλοι ανάδρασης μεταξύ των σταδίων κατάρτισης ενός

24 9 μοντέλου είναι εμφανείς στο διάγραμμα ροής που παρουσιάζεται στο Σχήμα 1.3 (HarmoniQuA, Old 2005). Η δημιουργία και η χρήση ενός μοντέλου δεν είναι μια πορεία ευθύγραμμη. Κάθε μοντέλο, για να παραμένει ένα χρήσιμο εργαλείο, θα πρέπει να εμπλουτίζεται συνεχώς με νέα δεδομένα και, αν απαιτείται, να τροποποιείται με βάση αυτά. Είναι πιθανό, να χρειαστεί αλλαγή στο σχεδιασμό του αριθμητικού μοντέλου, στον κώδικα που έχει επιλεχθεί ή ακόμα και στο θεωρητικό μοντέλο πάνω στο οποίο στηρίχτηκε το αριθμητικό μοντέλο, καθώς η γνώση για την περιοχή μελέτης εμπλουτίζεται από τα νέα δεδομένα πεδίου (Sun 1994, Hill 1998, Bredehoeft 2005). Η δημιουργία μοντέλων συνδέεται άμεσα με την εφαρμογή κάποιου λογισμικού. Το λογισμικό αυτό γενικά μπορεί να διακριθεί σε τρεις κατηγορίες: ερευνητικό, κοινής κτήσης (public domain) και εμπορικό. Το ερευνητικό λογισμικό διαμορφώνεται από τους ίδιους τους ερευνητές και είναι πιο εξειδικευμένο. Σ' αυτήν την περίπτωση, της δημιουργίας του κώδικα που χρησιμοποιεί ένα μοντέλο, είναι πολύ σημαντική η διαδικασία ελέγχου της αξιοπιστίας του κώδικα, πριν αυτός χρησιμοποιηθεί σε οποιαδήποτε εφαρμογή. Το λογισμικό κοινής κτήσης συνήθως δεν είναι ιδιαίτερα φιλικό προς το χρήστη, σε πολλές περιπτώσεις όμως δίνεται στο χρήστη η δυνατότητα τροποποίησης του κώδικα, ώστε να προσαρμοστεί στις ανάγκες μιας συγκεκριμένης εφαρμογής. Συνήθως η χρήση του απαιτεί εξειδικευμένες γνώσεις. Στο εμπορικό λογισμικό ο χρήστης δεν έχει πρόσβαση στον κώδικα. Στις ΗΠΑ το εμπορικό λογισμικό συνήθως βασίζεται σε κάποιον κώδικα κοινής κτήσης (διατιθέμενο από πανεπιστήμια ή κυβερνητικές υπηρεσίες), ο οποίος ενσωματώνεται σε ένα Σύστημα Γεωγραφικής Πληροφορίας (περιβάλλον GIS) και συνδέεται με βάση δεδομένων. Στην Ευρώπη, συνήθως ο κώδικας στον οποίο βασίζεται το εμπορικό λογισμικό αποτελεί ιδιοκτησία της εταιρείας και είναι ενσωματωμένος σε κάποιο γραφικό περιβάλλον διασύνδεσης με το χρήστη (Graphical User Interface - GUI), μαζί με κάποια βάση δεδομένων. Γενικά, η χρήση των εμπορικών πακέτων λογισμικού δεν απαιτεί ιδιαίτερες γνώσεις: η κατάρτιση ενός μοντέλου με τη χρήση λογισμικού μπορεί εύκολα να καταλήξει σε απλή ενημέρωση της βάσης δεδομένων με τα δεδομένα που αφορούν την περιοχή μελέτης (Gijsbers, 2002), καθώς τα εμπορικά πακέτα εμπεριέχουν και προκαθορισμένες τιμές για τις παραμέτρους του κώδικα που χρησιμοποιούν. Γι' αυτό από καιρό έχουν εκφραστεί ανησυχίες που αφορούν την εφαρμογή σύνθετου και εξειδικευμένου λογισμικού από άπειρους ή και με ελλιπή κατάρτιση χρήστες, η οποία μπορεί να οδηγήσει σε εσφαλμένα και παραπλανητικά αποτελέσματα (Middlemis, 2000). Οι ίδιες ανησυχίες εκφράζονται και από την ελληνική επιστημονική κοινότητα. Το ότι στην Ελλάδα δεν υπάρχουν επίσημες οδηγίες-προδιαγραφές κατάρτισης και τεκμηρίωσης των μοντέλων, επιτείνει το πρόβλημα.

25 10 Σχήμα 1.3 Διάγραμμα ροής της διαδικασίας κατάρτισης ενός μοντέλου (HarmoniQuA). Προέλευση: Old (2005)

26 11 Κατά την κατάρτιση ενός μοντέλου, η επιλογή του κώδικα στηρίζεται στη δυνατότητά του να αναπαραστήσει ικανοποιητικά τις διαδικασίες ροής του υπό μελέτη συστήματος υπόγειων νερών και στο είδος, το πλήθος και την ποιότητα των δεδομένων. Το MODFLOW, το οποίο αναπτύχθηκε από την U.S. Geological Survey (McDonald and Harbaugh, 1988), ανήκει στην κατηγορία του λογισμικού κοινής κτήσης και θεωρείται ως πρόγραμμα-οδηγός για την εξέλιξη των αριθμητικών μοντέλων υπόγειων νερών. Αυτό οφείλεται στο ότι ο κώδικάς του έχει επαληθευτεί με συγκρίσεις με πολλές αναλυτικές λύσεις, έχει αξιολογηθεί από πολλούς ανεξάρτητους κριτές (peer reviews) και έχει χρησιμοποιηθεί επιτυχώς για την προσομοίωση πολλών διαφορετικών υδρογεωλογικών συστημάτων σε όλο τον κόσμο (Middlemis, 2000). Το σημαντικότερο ίσως πλεονέκτημά του είναι η αρθρωτή δομή του: αποτελείται από υπομονάδες (modules), οι οποίες ενεργοποιούνται ή απενεργοποιούνται από το χρήστη, ανάλογα με το ποιες υδρολογικές διαδικασίες είναι απαραίτητο να προσομοιωθούν. Αυτό, σε συνδυασμό με το ότι ο κώδικας διατίθεται ελεύθερα στο διαδίκτυο, διευκολύνει τη συνεχή βελτίωση του προγράμματος με τροποποιήσεις των παλιών ή προσθήκες νέων διαδικασιών και βελτιωμένων αριθμητικών μεθόδων. Η ευρεία διάδοσή του και το πλήθος των απαιτούμενων για την εφαρμογή του δεδομένων, οδήγησε στη δημιουργία προγραμμάτων για την εισαγωγή των δεδομένων αυτών μέσα από γραφικό περιβάλλον (PMWin, Modflow-GUI for Argus ONE, Visual Modflow, GMS, Groundwater Vistas). Η κατάρτιση αριθμητικών μοντέλων υπόγειων νερών απαιτεί τη συλλογή πολλών υδρογεωλογικών δεδομένων πεδίου και δεδομένων που προέρχονται από την ποσοτικοποίηση πληροφοριών, την ταξινόμησή τους και τον έλεγχο της ποιότητάς τους. Τα δεδομένα αυτά είναι στην πλειοψηφία τους χωρικά και σε μερικές περιπτώσεις και χρονικά κατανεμημένα. Λόγω της χωρικής κατανομής τους, ο χειρισμός τους είναι πολύ πιο αποτελεσματικός μέσα από το περιβάλλον ενός συστήματος γεωγραφικής πληροφορίας (geographic information system - GIS), το οποίο παρέχει επίσης τη δυνατότητα της γραφικής απεικόνισης των αποτελεσμάτων (Pinder, 2002). Μια τεχνική σύνδεσης ενός μοντέλου υπόγειων νερών με GIS είναι η επικοινωνία τους με κατάλληλα διαμορφωμένα αρχεία εισόδου/εξόδου. Η τεχνική αυτή έχει το πλεονέκτημα ότι τα δύο προγράμματα παραμένουν ανεξάρτητα και μπορούν να εξελίσσονται με διαφορετικό ρυθμό. Μια άλλη τεχνική είναι η ενσωμάτωση του μοντέλου σε ένα περιβάλλον GIS (ή και το αντίστροφο). Η τεχνική αυτή απαιτεί πιο εξειδικευμένες γνώσεις προγραμματισμού και διαχείρισης δεδομένων και αυτό σε κάποιες περιπτώσεις περιορίζει τη δυνατότητα μελλοντικών αλλαγών, η ανταλλαγή δεδομένων όμως είναι πλήρως αυτοματοποιημένη (Gogu et al, 2001).

27 Αντικείμενο και δομή της διατριβής Σκοπός της διατριβής αυτής είναι η διερευνητική ανάλυση όλων των σταδίων της κατάρτισης και εφαρμογής ενός μαθηματικού μοντέλου υπόγειων νερών. Ο εντοπισμός και η αντιμετώπιση σφαλμάτων, που συχνά πραγματοποιούνται και οδηγούν σε τελείως λανθασμένα αποτελέσματα, αποτελεί μέρος αυτής της ανάλυσης. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιείται το γνωστό πακέτο MODFLOW ενσωματωμένο σε περιβάλλον GIS. Σημαντική συμβολή στην ανάλυση αυτή αποτελεί η εμπειρία που αποκτήθηκε από το μαθηματικό μοντέλο πεπερασμένων διαφορών που αναπτύχθηκε στο Εργαστήριο Γενικής και Γεωργικής Υδραυλικής και Βελτιώσεων και εφαρμόσθηκε στον υδροφορέα της πεδιάδας Πιερίας. Στα πλαίσια της μεταπτυχιακής διατριβής της υποφαινόμενης το μοντέλο αυτό εμπλουτίσθηκε με μια διαδικασία αυτόματης ρύθμισης και εφαρμόσθηκε με μετρήσεις της περιόδου Σεπτεμβρίου Αυγούστου Στα πλαίσια της παρούσας διατριβής η εφαρμογή του μοντέλου γίνεται στον υπόγειο υδροφορέα της πεδιάδας Πιερίας με δεδομένα της περιόδου Σεπτεμβρίου Αυγούστου Στα δεδομένα αυτά συμπεριλαμβάνονται μηνιαίες μετρήσεις της πιεζομετρικής στάθμης και κατανομή των καλλιεργειών του έτους Μελετώνται σενάρια χρησιμοποίησης των υπόγειων νερών και προβλέπονται οι συνέπειες από κάθε ένα από αυτά τα σενάρια. Στο επόμενο κεφάλαιο αναλύονται τα στάδια της κατάρτισης ενός μοντέλου υπόγειων νερών. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται το λογισμικό που χρησιμοποιήθηκε για την ανάπτυξη του μοντέλου υπόγειων νερών της πεδιάδας Πιερίας. Το τέταρτο κεφάλαιο περιλαμβάνει την περιγραφή της περιοχής μελέτης και την παρουσίαση των δεδομένων που χρησιμοποιήθηκαν για την κατάρτιση και την εφαρμογή του μοντέλου. Στο πέμπτο κεφάλαιο περιγράφονται τα στάδια της διαδικασίας που ακολουθήθηκε για την κατάρτιση του μοντέλου και παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της εφαρμογής του. Τέλος, το έκτο κεφάλαιο περιλαμβάνει τα συμπεράσματα που εξάγονται από αυτήν την εργασία και προτάσεις για τη συνέχιση της έρευνας.

28 13 2. Στάδια ανάπτυξης ενός μοντέλου υπόγειων νερών Τα στάδια της διαδικασίας ανάπτυξης ενός μοντέλου υπόγειων νερών μπορούν να συνοψισθούν στα ακόλουθα: ανάπτυξη του θεμελιώδους (ή θεωρητικού) μοντέλου, δόμηση του μαθηματικού μοντέλου, ρύθμιση, αξιολόγηση του μοντέλου, ανάλυση ευαισθησίας των παραμέτρων του και επαλήθευση του μοντέλου. Τα στάδια αυτά αναλύονται στη συνέχεια Θεμελιώδες μοντέλο Ένα μαθηματικό μοντέλο υπόγειων νερών είναι μια αναπαράσταση ενός φυσικού συστήματος υπόγειων νερών με μαθηματικούς όρους. Η βασική ιδέα, στην οποία στηρίζεται η προσομοίωση των φυσικών συστημάτων με μοντέλα, είναι ότι η κατανόηση των βασικών φυσικών νόμων και η κατά το δυνατόν ακριβής περιγραφή των χαρακτηριστικών και των ιδιοτήτων του υπό μελέτη συστήματος μπορούν να οδηγήσουν στην κατανόηση και την ποσοτική έκφραση των σχέσεων αιτίου-αποτελέσματος που διέπουν τη λειτουργία του. Αυτή η ποσοτική έκφραση των σχέσεων αιτίου-αποτελέσματος μας δίνει τη δυνατότητα να προβλέψουμε την αντίδραση του συστήματος κάτω από διάφορες συνθήκες. Το πρώτο βήμα για την κατάρτιση ενός μαθηματικού μοντέλου είναι η ανάπτυξη του θεμελιώδους μοντέλου με βάση το σύνολο των ποιοτικών και ποσοτικών δεδομένων που αφορούν την περιοχή μελέτης. Το θεμελιώδες μοντέλο είναι μια απλοποιημένη σχηματική απεικόνιση του φυσικού συστήματος. Η ανάπτυξη του θεμελιώδους μοντέλου περιλαμβάνει τον προσδιορισμό της θέσης και των ορίων του μοντέλου, των περιοχών που θεωρούνται ότι έχουν ίδια υδρογεωλογικά χαρακτηριστικά, των κύριων διευθύνσεων της υπόγειας ροής, του είδους των οριακών συνθηκών και των διαδικασιών της υπόγειας ροής που θεωρούνται σημαντικές για το υπό μελέτη σύστημα και που θα πρέπει να συμπεριληφθούν στο μαθηματικό μοντέλο (Anderson and Woessner 1992, Reilly 2001). Η έκταση του δικτύου πρέπει να περιλαμβάνει όλη την περιοχή όπου αναμένεται σημαντική μεταβολή του φορτίου ως συνέπεια των εφαρμοζόμενων στο σύστημα πιέσεων (Pinder, 2002). Τα όρια του μοντέλου θα πρέπει να συμπίπτουν με τα φυσικά υδρολογικά

29 14 όρια του συστήματος. Όταν αυτό δεν είναι δυνατό (π.χ. λόγω της μεγάλης απόστασής τους από την περιοχή ενδιαφέροντος), είναι επιθυμητό να επιλέγονται ως όρια του μοντέλου φυσικά υδρολογικά ή γεωλογικά χαρακτηριστικά του συστήματος. Πολύ συχνά η έλλειψη τέτοιων φυσικών χαρακτηριστικών καθιστά αναγκαία τη χρήση τεχνητών ορίων. Κατά την ανάπτυξη του θεμελιώδους μοντέλου, θα πρέπει σε κάθε περίπτωση να προσδιορίζονται τα φυσικά όρια του συστήματος και να ελέγχεται η καταλληλότητα της θέσης και του είδους των προτεινόμενων ορίων του μοντέλου. Τα σφάλματα στα θεμελιώδη μοντέλα οφείλονται στις απλοποιήσεις των φυσικών διαδικασιών που υιοθετούνται και στις μαθηματικές εκφράσεις με τις οποίες προσεγγίζονται αυτές τις διαδικασίες (Hojberg and Refsgaard 2005, Gaganis and Smith 2006). Για την αντιμετώπιση αυτών των σφαλμάτων είναι σημαντικό, λαμβάνοντας πάντα υπόψη και το σκοπό για τον οποίο δημιουργείται ένα μοντέλο, στην ανάπτυξη του θεμελιώδους μοντέλου να αξιοποιούνται όλες οι διαθέσιμες ποιοτικές και ποσοτικές πληροφορίες και οι γνώσεις που αφορούν τους φυσικούς νόμους και τις φυσικές διαδικασίες του συστήματος. Το θεμελιώδες μοντέλο αντιπροσωπεύει τη βασική ιδέα του ερευνητή για τον τρόπο λειτουργίας του συστήματος και βασίζεται κυρίως στην κρίση του. Το κατά πόσο όμως αναπαριστά ικανοποιητικά το φυσικό σύστημα δεν μπορεί να ελεγχθεί, παρά μόνο όταν δομηθεί το μαθηματικό μοντέλο και συγκριθούν τα αποτελέσματά του με μετρήσεις πεδίου. Από αυτήν την άποψη το μαθηματικό μοντέλο είναι ένα εργαλείο για τον έλεγχο του θεμελιώδους μοντέλου, αλλά και για τη βελτίωσή του: η τροποποίηση του θεμελιώδους μοντέλου στηρίζεται στη συλλογή νέων δεδομένων πεδίου και το μαθηματικό μοντέλο μπορεί να βοηθήσει στον προσδιορισμό των κατάλληλων θέσεων λήψης αυτών των δεδομένων. Η κατάρτιση του θεμελιώδους και με βάση αυτό του μαθηματικού μοντέλου είναι μια επαναληπτική διαδικασία με στόχο τον διαρκή εκσυγχρονισμό του θεμελιώδους μοντέλου (Zheng and Bennet, 1995). Παρά το ότι ένα θεμελιώδες μοντέλο βασίζεται σε μια υποκειμενική κρίση, σε περιορισμένο αριθμό δεδομένων και σε απλοποιήσεις σύνθετων φυσικών διαδικασιών, πολλοί ερευνητές τείνουν να θεωρούν ως αμετάβλητα τα θεμελιώδη μοντέλα που αναπτύσσουν. Ωστόσο, ακόμα κι ένα καλά ρυθμισμένο μαθηματικό μοντέλο δεν εγγυάται ότι το θεμελιώδες μοντέλο στο οποίο βασίστηκε είναι σωστό, με την έννοια ότι είναι πιθανό να προκύψουν νέα δεδομένα τα οποία να προκαλούν την αναθεώρησή του (Bredehoeft, 2003).

30 Μαθηματικό μοντέλο Εξίσωση κίνησης του υπόγειου νερού Η προσομοίωση των συστημάτων υπόγειας ροής με μαθηματικά μοντέλα στηρίζεται στην ιδέα ότι οι φυσικές διαδικασίες του συστήματος μπορούν να περιγραφούν από μία ή περισσότερες αντιπροσωπευτικές εξισώσεις. Το πρώτο βήμα για την ανάπτυξη του μαθηματικού μοντέλου είναι ο ορισμός των εξισώσεων για την περιγραφή του θεμελιώδους μοντέλου με μαθηματικούς όρους. Η γενική μορφή της εξίσωσης για τη μελέτη της κίνησης νερού σταθερής πυκνότητας μέσω ετερογενούς και ανισότροπου πορώδους υλικού, η οποία χρησιμοποιείται στα τριδιάστατα μοντέλα υπόγειων νερών, περιγράφεται από την ακόλουθη μερική διαφορική εξίσωση (Καραμούζης, 2005, Harbaugh et al, 2000): K h + K y y h + K y z z h z W = S s h t (2.1) όπου: K, K y, και K z είναι η υδραυλική αγωγιμότητα (L/T) κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων, y και z, οι οποίοι θεωρούνται ότι είναι παράλληλοι με τις κύριες διευθύνσεις ροής, h είναι το πιεζομετρικό φορτίο (L), W είναι παροχή ανά μονάδα όγκου (T -1 ) και αντιπροσωπεύει την είσοδο ή έξοδο νερού, S S είναι η ειδική αποθηκευτικότητα (L -1 ) του πορώδους μέσου και t είναι ο χρόνος (T). Η εξίσωση (2.1) αναφέρεται τόσο σε κλειστούς όσο και σε ελεύθερους υδροφορείς. Στους κλειστούς υδροφορείς (Τερζίδης και Καραμούζης, 1985), όταν η ροή μπορεί να θεωρηθεί διδιάστατη, οι συνιστώσες της υδραυλικής αγωγιμότητας μπορούν να αντικατασταθούν από τις αντίστοιχες συνιστώσες της διοχετευτικότητας (Τ) του υδροφορέα: T = Kb (2.2.α) Ty = Kyb (2.2.β) όπου b το πάχος του υδροφορέα. Σ αυτήν την περίπτωση η εξίσωση (2.1) παίρνει τη μορφή: T h + T y y h W y h = S t (2.3) όπου S ο αδιάστατος συντελεστής αποθήκευσης του πορώδους μέσου. Στους ελεύθερους υδροφορείς, για διδιάστατη ροή, η εξίσωση (2.1) παίρνει τη μορφή (Τερζίδης και Καραμούζης, 1985):

31 16 h K h + h K yh W y y = S y h t (2.4) όπου S y η αδιάστατη ειδική απόδοση σε νερό του υδροφορέα. Στη συνέχεια η ανάλυση αναφέρεται στη γενική εξίσωση της ροής (2.1). Στη γενική μορφή, η ειδική αποθηκευτικότητα και οι συνιστώσες της υδραυλικής αγωγιμότητας είναι συναρτήσεις του χώρου και η εισροή ή εκροή είναι συνάρτηση του χώρου και του χρόνου. Για την μαθηματική περιγραφή της ροής του υπόγειου νερού, εκτός από την εξίσωση (2.1), είναι απαραίτητη και η γνώση των οριακών συνθηκών. Η λύση της εξίσωσης (2.1) είναι μια αλγεβρική έκφραση του φορτίου h(,y,z,t) τέτοια ώστε να ικανοποιεί την εξίσωση και τις οριακές συνθήκες. Επειδή σε πολύ λίγες περιπτώσεις είναι δυνατή η αναλυτική λύση της εξίσωσης (2.1), χρησιμοποιούνται διάφορες αριθμητικές μέθοδοι για την εύρεση προσεγγιστικών λύσεων, με πιο διαδεδομένες τις μεθόδους πεπερασμένων διαφορών και πεπερασμένων στοιχείων. Το επόμενο βήμα στη δόμηση του μαθηματικού μοντέλου είναι η επιλογή της αριθμητικής μεθόδου που θα χρησιμοποιηθεί για τη λύση της εξίσωσης (2.1) και των εξισώσεων των οριακών συνθηκών. Η παρούσα εργασία αναφέρεται στα μοντέλα πεπερασμένων διαφορών, αν και οι αρχές που διέπουν την κατάρτιση των μοντέλων είναι ανεξάρτητες από την αριθμητική μέθοδο που επιλέγεται. Με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών το συνεχές σύστημα που περιγράφεται από την εξίσωση (2.1) αντικαθίσταται από ένα πεπερασμένο αριθμό σημείων στο χώρο και το χρόνο και οι μερικές παράγωγοι αντικαθίστανται από όρους που υπολογίζονται από τις διαφορές φορτίου στα σημεία αυτά. Η διαδικασία καταλήγει σε ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων, η επίλυση του οποίου παρέχει τιμές φορτίου στα συγκεκριμένα χωρικά και χρονικά σημεία. Οι τιμές αυτές αποτελούν μια προσέγγιση της αναλυτικής λύσης της μερικής διαφορικής εξίσωσης (2.1). Στο Σχήμα 2.1 παρουσιάζεται η χωρική διακριτοποίηση ενός υποθετικού συστήματος υδροφορέων η οποία συνίσταται από ένα πλέγμα ή δίκτυο υπολογισμών (grid), αποτελούμενο από κελιά, η θέση των οποίων καθορίζεται με βάση τις σειρές, τις στήλες και τις στρώσεις του πλέγματος. Χρησιμοποιείται ένα σύστημα τριών δεικτών, i, j, k, όπου, για ένα σύστημα που αποτελείται από "nrow" σειρές, "ncol" στήλες και "nlay" στρώσεις, i είναι ο δείκτης των σειρών (i = 1,2,...nrow), j είναι ο δείκτης των στηλών (j = 1,2,...,ncol) και k είναι ο δείκτης των στρώσεων (k = 1,2,...,nlay). Στο Σχήμα 2.1 φαίνονται επίσης οι διαστάσεις των κελιών στις τρεις διευθύνσεις: Δr j στη διεύθυνση (κατά μήκος των σειρών), Δc j στη διεύθυνση y (κατά μήκος των στηλών) και Δv k στη διεύθυνση z (κατά μήκος των στρώσεων). Το φορτίο υπολογίζεται σε κάθε κόμβο, όπου κόμβος το κέντρο κάθε κελιού.

32 17 Στήλες (j) ενεργό κελί Σειρές (i) 3 2 Δv k Στρώσεις (k) Δc i Δr j Σχήμα 2.1 Διακριτοποίηση ενός υποθετικού συστήματος υδροφορέων. Στην εξίσωση 2.1 το φορτίο είναι συνάρτηση και του χρόνου, επομένως για την εφαρμογή του σχήματος των πεπερασμένων διαφορών απαιτείται διακριτοποίηση και του χρόνου. Η εξίσωση ροής του υπόγειου νερού με τη μορφή πεπερασμένων διαφορών προκύπτει με την εφαρμογή της εξίσωσης συνέχειας, σύμφωνα με την οποία το αλγεβρικό άθροισμα των εισερχόμενων και εξερχόμενων παροχών σε κάθε κελί, πρέπει να ισούται με το ρυθμό μεταβολής του όγκου του νερού που είναι αποθηκευμένο στο κελί, με την παραδοχή ότι η πυκνότητα του υπόγειου νερού είναι σταθερή. Αυτό εκφράζεται μαθηματικά με τη σχέση: Δh Q i = SS ΔV (2.5) Δt όπου: Q i είναι η παροχή που εισέρχεται (θετική) ή εξέρχεται (αρνητική) από το κελί (L 3 t -1 ) SS είναι η ειδική αποθηκευτικότητα (L -1 ) ΔV είναι ό όγκος του κελιού (L 3 ) Δh είναι η μεταβολή του φορτίου σε χρονικό διάστημα Δt Από την εξίσωση (2.5) και τον νόμο του Darcy και χρησιμοποιώντας προς τα πίσω διαφορές για την προσέγγιση της παραγώγου ως προς το χρόνο, προκύπτει η ακόλουθη

33 18 γενική μορφή της εξίσωσης ροής του υπόγειου νερού με τη μορφή πεπερασμένων διαφορών, για το κελί (i,j,k), όπως εφαρμόζεται και στο MODFLOW (McDonald and Harbaugh, 1988): όπου: CR + CC + CV + P i,j,k i,j 1/ 2,k i 1/ 2,j,k i,j,k 1/ 2 h m i,j,k m m m m ( hi,j 1,k hi,j,k ) + CRi,j+ 1/ 2,k ( hi,j+ 1,k hi,j,k ) m m m m ( hi 1,j,k hi,j,k ) + CCi+ 1/ 2,j,k ( hi+ 1,j,k hi,j,k ) m m m m ( h h ) + CV ( h h ) + Q i,j,k 1 i,j,k i,j,k = SS i,j,k ( Δr Δc Δv ) j i,j,k + 1/ 2 i k i,j,k + 1 h m i,j,k t m h t i,j,k m 1 i,j,k m 1 (2.6) m h i,j,k, m h, h +, m i 1,j,k i 1,j,k h, m i,j 1,k h +, m i,j 1,k h, m i,j,k 1 h m i,j,k 1 + τα φορτία στο κελί (i,j,k) και τα γειτονικά του, για το τρέχον χρονικό βήμα m 1 h i,j,k το φορτίο στο κελί (i,j,k) κατά το προηγούμενο χρονικό βήμα t m το τρέχον χρονικό βήμα t m-1 το προηγούμενο χρονικό βήμα Δr j Δc i Δv k ο όγκος του κελιού (i,j,k) SS i,j,k η ειδική αποθηκευτικότητα του κελιού (i,j,k) Οι όροι m P i,j,kh i,j,k και i,j, k Q αντιπροσωπεύουν τις παροχές που εισέρχονται (ή εξέρχονται) στο κελί από εξωτερικές πηγές. Ο όρος P h αφορά πηγές που η παροχή τους εξαρτάται i,j,k m i,j,k από το φορτίο στο κελί (π.χ. επαφή με τον πυθμένα ποταμού ή λίμνης, εξατμισοδιαπνοή κλπ), ενώ ο όρος Q i,j, k αφορά παροχές που εμπλουτίζουν τον υδροφορέα ή αντλούνται από αυτόν και δεν εξαρτώνται από το φορτίο (π.χ. γεωτρήσεις). Οι συντελεστές των όρων των φορτίων καλούνται "αγωγιμότητες" (conductances), αντιπροσωπεύουν σταθερούς όρους που συνδυάζουν τις συνιστώσες της υδραυλικής αγωγιμότητας σε κάθε διεύθυνση και τις διαστάσεις του πλέγματος και δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: CR i,j 1/ 2,k KR Δc Δv i k = i,j 1/ 2,k (2.7α) Δrj 1/ 2 CR i,j+ 1/ 2,k KR Δc Δv i k = i,j+ 1/ 2,k (2.7β) Δrj+ 1/ 2 CC i 1/ 2,j,k ΔrjΔv k = KCi 1/ 2,j,k (2.7γ) Δc i 1/ 2

34 19 CC CV CV i+ 1/ 2,j,k i,j,k 1/ 2 i,j,k + 1/ 2 ΔrjΔv k = KCi+ 1/ 2,j,k (2.7δ) Δc i+ 1/ 2 ΔrjΔc i = KVi,j,k 1/ 2 (2.7ε) Δv k 1/ 2 ΔrjΔc i = KVi,j,k + 1/ 2 (2.7ζ) Δv k+ 1/ 2 όπου KR i,j-1/2,k είναι η υδραυλική αγωγιμότητα κατά μήκος της σειράς i (διεύθυνση ) μεταξύ των κόμβων i,j,k και i,j-1,k (Lt -1 ) (Σχήμα 2.2). Αντίστοιχα ορίζονται και οι υπόλοιπες συνιστώσες της υδραυλικής αγωγιμότητας. κελί i,j-1,k κελί i,j,k Δv k q i,j-1/2,k Δc i Δr j-1 Δr j Δr j-1/2 Σχήμα 2.2 Εισροή στο κελί (i,j,k) από το κελί (i,j-1,k) Επιλογή του τύπου του μοντέλου Ως προς τη χωρική τους διάσταση, τα μοντέλα διακρίνονται σε μονοδιάστατα, διδιάστατα, ημιτριδιάστατα (quasi three-dimensional) και (πλήρως) τριδιάστατα. Η χωρική διάσταση του μοντέλου επιλέγεται με βάση το θεμελιώδες μοντέλο που έχει αναπτυχθεί και τα διαθέσιμα δεδομένα πεδίου. Επίσης με βάση αυτά αποφασίζεται αν το μοντέλο θα είναι σταθερής κατάστασης ή μεταβαλλόμενης με το χρόνο. Η εμπειρία του ερευνητή βοηθά στην επιλογή του καταλληλότερου τύπου μοντέλου για τη μελέτη του συγκεκριμένου συστήματος. Η κατανόηση του φυσικού προβλήματος, η οποία απορρέει από τη μελέτη αναλυτικών λύσεων απλούστερων προβλημάτων, και η εξαγωγή από αυτές εμπειρικών κανόνων, μπορούν να βοηθήσουν στην επιλογή του κατάλληλου τύπου μοντέλου. Για παράδειγμα, ένα

35 20 διδιάστατο μοντέλο μπορεί να επιλεγεί αντί ενός τριδιάστατου όταν η απόσταση L μεταξύ των ορίων του μοντέλου είναι αρκετά μεγάλη (Haitjema, 2003): L K h > 5 B (2.8) K v όπου K h, K v η οριζόντια και η κατακόρυφη υδραυλική αγωγιμότητα και Β το πάχος του υδροφορέα. Η χρονική παράμετρος τ είναι μια χαρακτηριστική αδιάστατη παράμετρος, η οποία ορίζεται από τη σχέση (Townley, 1995): τ = SL 2 /4KΒP (2.9) όπου S (-) είναι η αποθηκευτικότητα του υδροφορέα, L (m) είναι η μέση απόσταση μεταξύ των ορίων εισροής, K (m/day) είναι η υδραυλική αγωγιμότητα, Β (m) το πάχος του υδροφορέα και P (days) είναι το χρονικό διάστημα που διαρκεί η ασκούμενη πίεση. Ένας εμπειρικός κανόνας για την επιλογή μοντέλου μόνιμης (σταθερής) ή μη μόνιμης (ασταθούς) ροής βασίζεται στην τιμή της τ, η οποία αντιπροσωπεύει το χρόνο αντίδρασης του υδροφορέα στην περιοδική άσκηση υδρολογικών πιέσεων (Haitjema, 2003): τ > 1 : μοντέλο μόνιμης ροής με χρήση μέσων όρων για τις οριακές συνθήκες και τις ασκούμενες υδρολογικές πιέσεις 0.1<τ<1 : μοντέλο μη μόνιμης ροής με μεταβαλλόμενες χρονικά οριακές συνθήκες και υδρολογικές πιέσεις τ < 0.1 : μοντέλο μόνιμης ροής με στιγμιαίες οριακές συνθήκες και υδρολογικές πιέσεις (π.χ. που αντιπροσωπεύουν την ξηρή ή την υγρή περίοδο) Διακριτοποίηση Για την εφαρμογή της αριθμητικής μεθόδου σχεδιάζεται το δίκτυο υπολογισμών το οποίο αποτελείται από κόμβους. Στα δίκτυα πεπερασμένων διαφορών οι κόμβοι βρίσκονται είτε στα κέντρα των αντίστοιχων κελιών (block-centered grid) είτε στις κορυφές τους (meshcentered grid). Οι δύο τύποι δικτύου διαφέρουν κυρίως στον τρόπο που χειρίζονται τα όρια του μοντέλου. Στα πρώτα, τα κελιά σχεδιάζονται έτσι ώστε το αδιαπέρατο όριο να συμπίπτει με την εξωτερική πλευρά του κελιού, ενώ το όριο γνωστού φορτίου να συμπίπτει με τον κόμβο (μέσο του κελιού). Στα δεύτερα και τα δύο είδη ορίων συμπίπτουν με τους οριακούς κόμβους του δικτύου. Στα μοντέλα υπόγειων νερών οι περισσότεροι κώδικες πεπερασμένων διαφορών χρησιμοποιούν τον πρώτο τύπο δικτύου υπολογισμών (block-centered) γιατί αυτός ο τρόπος ορισμού των ορίων είναι πιο εύκολος στο χειρισμό του από μαθηματική άποψη (Anderson and Woessner, 1992).

36 21 Ο προσανατολισμός των δικτύων πεπερασμένων διαφορών πρέπει να είναι τέτοιος ώστε οι και y διευθύνσεις να είναι παράλληλες με τις κύριες διευθύνσεις της ροής. Αυτό συντελεί στο να ελαχιστοποιείται το σφάλμα στο ισοζύγιο νερού (Wylie, 2003). Η επιλογή του βήματος της χωρικής διακριτοποίησης παίζει σημαντικό ρόλο στο σχεδιασμό του δικτύου και στην αποτελεσματικότητα του μοντέλου να προσεγγίσει την ελεύθερη επιφάνεια του νερού στον υδροφορέα (ή την πιεζομετρική επιφάνεια). Γενικά, η αναμενόμενη κλίση του φορτίου σε κάθε διεύθυνση καθορίζει το μέγεθος του επιλεγόμενου βήματος, σε συνδυασμό με το μέγεθος της έκτασης που καταλαμβάνει το μοντέλο. Επίσης, το χωρικό βήμα καθορίζεται και από τα υδρολογικά και γεωλογικά χαρακτηριστικά του συστήματος που πρέπει να προσομοιωθούν. Για παράδειγμα, στο θεμελιώδες μοντέλο ένα ρέμα απεικονίζεται με μια γραμμή, ενώ στο δίκτυο υπολογισμών από μια συνέχεια κελιών που πρέπει να είναι σε επαφή μεταξύ τους. Το μέγεθος των κελιών θα καθορίσει το πόσο αντιπροσωπευτική είναι αυτή η απεικόνιση. Το βήμα κατά μήκος των διευθύνσεων και y μπορεί να είναι το ίδιο ή διαφορετικό. Επίσης, το βήμα κάθε διεύθυνσης μπορεί να είναι σταθερό ή μεταβαλλόμενο κατά μήκος της διεύθυνσης. Στην περίπτωση που μεταβάλλεται, ο λόγος της διάστασης σ' αυτή τη διεύθυνση δύο γειτονικών κελιών (μεγαλύτερο/μικρότερο) δεν πρέπει να ξεπερνά το 1.5 (Anderson and Woessner, 1992). Εξίσου σημαντική είναι και η επιλογή του χρονικού βήματος στα μοντέλα μη μόνιμης ροής. Κάποιες τεχνικές επίλυσης δεν επιτρέπουν την αύξηση του χρονικού βήματος πέρα από ένα όριο γιατί η λύση γίνεται ασταθής. Η επίδραση της χρονικής διακριτοποίησης πρέπει να ελέγχεται δοκιμάζοντας διαφορετικά χρονικά βήματα και συγκρίνοντας τα αποτελέσματα του μοντέλου. Το μέγεθος του χρονικού βήματος δεν είναι απαραίτητο να είναι σταθερό σε όλη τη διάρκεια της προσομοίωσης. Επειδή η λύση είναι πιο ευαίσθητη στις αυξομειώσεις του φορτίου που οφείλονται στη μεταβολή των πιέσεων που ασκούνται στο σύστημα, μια πρακτική που εφαρμόζεται σε πολλούς κώδικες είναι η χρήση μικρότερων χρονικών βημάτων όταν εισάγεται μια νέα ή μεταβάλλεται μια από τις ήδη ασκούμενες πιέσεις και η σταδιακή αύξηση του χρονικού βήματος στη συνέχεια. Τα χρονικά βήματα αυξάνονται με γεωμετρική πρόοδο, συνήθως με λόγο Το επιλογή (Anderson and Woessner, 1992). 2 θεωρείται από κάποιους ερευνητές μια καλή Οριακές συνθήκες Τα φυσικά υδρολογικά και γεωλογικά όρια του υπό μελέτη συστήματος, καθώς και τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος που μπορούν να παίξουν το ρόλο ορίων, έχουν προσδιοριστεί στα πλαίσια της ανάπτυξης του θεμελιώδους μοντέλου. Τα φυσικά όρια μπορούν να αναπαρασταθούν μαθηματικά με διάφορους τρόπους (Reilly, 2001). Στο στάδιο

37 22 της κατάρτισης του μαθηματικού μοντέλου επιλέγεται η μαθηματική έκφραση των ορίων η οποία θεωρείται καταλληλότερη για τις ανάγκες της συγκεκριμένης εφαρμογής. Ανάλογες μαθηματικές εκφράσεις χρησιμοποιούνται και για τα τεχνητά όρια. Γενικά οι οριακές συνθήκες κατατάσσονται σε τρεις κατηγορίες: (α) γνωστού φορτίου (τύπου Dirichlet), (β) γνωστής παροχής (τύπου Newman) και (γ) μικτού τύπου ή παροχής εξαρτώμενης από το φορτίο. Μια ανάλυση ευαισθησίας μπορεί να είναι απαραίτητη για τον έλεγχο της καταλληλότητας του είδους και της θέσης των ορίων που επιλέχθηκαν (Franke et al, 1987). Το πρώτο είδος οριακής συνθήκης παρέχει μια ανεξάντλητη πηγή νερού για το σύστημα. Για παράδειγμα, όσο κι αν αυξηθούν οι αντλήσεις το όριο γνωστού φορτίου θα παρέχει την απαιτούμενη ποσότητα νερού για τη διατήρηση του φορτίου στη δεδομένη τιμή, όσο υπερβολική κι αν είναι αυτή η ποσότητα για το σύστημα. Αυτό το χαρακτηριστικό θα πρέπει να ελέγχεται κατά την εφαρμογή του μοντέλου (Franke et al, 1987). Η επίδραση των οριακών συνθηκών μπορεί να ελεγχθεί αλλάζοντας το όριο γνωστού φορτίου σε όριο γνωστής παροχής και το αντίστροφο. Αν η επίδραση στα οριακά φορτία και παροχές είναι ασήμαντη, οι οριακές συνθήκες δεν επηρεάζουν σημαντικά τη λύση (Anderson and Woessner, 1992). Αν οι οριακές συνθήκες ενός μοντέλου εξαρτώνται από τις ασκούμενες πιέσεις, το μοντέλο δεν μπορεί να θεωρηθεί ως εργαλείο γενικής χρήσης και θα πρέπει να τροποποιηθεί αν οι ασκούμενες πιέσεις μεταβληθούν (Frank et al, 1987) Αρχική συνθήκη Στα μοντέλα που προσομοιώνουν μη μόνιμες ροές, εκτός από τον ορισμό των οριακών συνθηκών απαιτείται και ο ορισμός της αρχικής συνθήκης, δηλαδή του αρχικού φορτίου σε όλη την περιοχή ροής που καλύπτει το δίκτυο υπολογισμών. Ως αρχική συνθήκη είναι προτιμότερο να χρησιμοποιείται η κατανομή του φορτίου που προκύπτει από την εφαρμογή ενός ρυθμισμένου μοντέλου σταθερής κατάστασης. Αυτό εξασφαλίζει ότι το αρχικό φορτίο είναι σύμφωνο με τις χρησιμοποιούμενες παραμέτρους και τα υδρολογικά δεδομένα που εισάγονται στο μοντέλο. Διαφορετικά, στα πρώτα χρονικά βήματα η αντίδραση του μοντέλου θα οφείλεται όχι μόνο στις ασκούμενες υδρολογικές πιέσεις αλλά και στην τάση να εξαλειφθεί η ασυμφωνία του αρχικού φορτίου με το μοντέλο (Franke et al, 1987). Όταν δεν υπάρχει ένα ρυθμισμένο μοντέλο από το οποίο να μπορεί να υπολογιστεί η αρχική κατανομή του φορτίου, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια αυθαίρετη κατανομή, η οποία συνήθως προκύπτει με παρεμβολή σε υπάρχουσες μετρήσεις φορτίου. Μετά τη διαδικασία ρύθμισης του μοντέλου της μη μόνιμης ροής, τα υπολογιζόμενα από αυτό φορτία μπορούν να χρησιμοποιηθούν σαν αρχική συνθήκη σε εκτελέσεις πρόβλεψης (Watts, 1989). Αυτή η

38 23 τεχνική στηρίζεται στο ότι η επίδραση της αρχικής συνθήκης ελαττώνεται όσο προχωρά η προσομοίωση, οπότε τα σφάλματα που σχετίζονται με την πιθανά λανθασμένη αρχική κατανομή του φορτίου θα είναι μικρά αν η προσομοίωση έχει διαρκέσει αρκετό χρόνο. Ένας τρόπος για να ελεγχθεί η σημασία και η διάρκεια της επίδρασης μιας λανθασμένης αρχικής συνθήκης είναι η εκτέλεση του μοντέλου με διαφορετικές αρχικές συνθήκες. Αν όλες δίνουν τα ίδια αποτελέσματα μετά από κάποια χρονικά βήματα, μπορούμε να υποθέσουμε ότι η επίδραση της αρχικής συνθήκης είναι αμελητέα αν τα αποτελέσματα που μας ενδιαφέρουν δεν εμπίπτουν σ' αυτά τα πρώτα χρονικά βήματα. Ένας άλλος τρόπος ελέγχου της διάρκειας επίδρασης της αρχικής συνθήκης στηρίζεται στον υπολογισμό της χρονικής σταθεράς Τ (time constant) του υπό μελέτη συστήματος, η οποία όμως ορίζεται για ομογενή υδροφορέα, κλειστό (Domenico and Schwartz, 1998) ή ελεύθερο (Reilly and Harbaugh, 2004): κλειστός υδροφορέας: T 2 SSL = (2.10) K ελεύθερος υδροφορέας: T 2 S yl = (2.11) BK όπου Τ (Τ) είναι η χρονική σταθερά, S s (L -1 ) είναι ο συντελεστής ειδικής αποθήκευσης ενός κλειστού υδροφορέα, L (L) είναι ένα χαρακτηριστικό μήκος του συστήματος, Κ (m/t) είναι η υδραυλική αγωγιμότητα του υδροφορέα, S y είναι η ειδική απόδοση ενός ελεύθερου υδροφορέα και Β (m) είναι το πάχος του. Ως L συνήθως επιλέγεται η απόσταση μεταξύ των ορίων του μοντέλου. Τα φυσικά συστήματα σπάνια είναι ομογενή, η χρονική σταθερά όμως μπορεί να δώσει μια εκτίμηση της τάξης μεγέθους του χρόνου πέρα από τον οποίο δεν παρατηρείται στα αποτελέσματα η επίδραση της αρχικής συνθήκης. Ο χρόνος που μεσολαβεί από την αρχική συνθήκη μέχρι την περίοδο για την οποία ενδιαφερόμαστε πρέπει να είναι σημαντικά μεγαλύτερος από τη χρονική σταθερά Μέθοδοι επίλυσης Το σύστημα των εξισώσεων που προκύπτουν από την εφαρμογή του σχήματος των πεπερασμένων διαφορών, δηλαδή την εφαρμογή της εξίσωσης (2.6) σε κάθε κελί του πλέγματος υπολογισμών, μπορεί να γραφεί με τη μορφή (McDonald and Harbaugh, 1988): [A]{h}={q} (2.12) όπου [A] είναι ο πίνακας των συντελεστών του φορτίου, {h} είναι το διάνυσμα των τιμών του φορτίου, και {q} είναι το διάνυσμα των σταθερών όρων.

39 24 Το επόμενο βήμα στην ανάπτυξη του μαθηματικού μοντέλου είναι η λύση του συστήματος αυτού με μια από τις αριθμητικές μεθόδους που έχουν αναπτυχθεί γι' αυτό το σκοπό. Είναι πιθανό να χρειαστεί να δοκιμαστούν διάφορες μέθοδοι, ώστε να επιλεχθεί η καταλληλότερη για το συγκεκριμένο πρόβλημα. Η ανάγκη χρήσης διαφορετικών μεθόδων προκύπτει από το γεγονός ότι είναι πιθανό είτε μια μέθοδος να μην μπορεί να λύσει σωστά ένα πρόβλημα, είτε να είναι λιγότερο αποτελεσματική από άλλες, όσον αφορά την ταχύτητα επίλυσης και την απαιτούμενη υπολογιστική ισχύ ή μνήμη. Οι μέθοδοι αριθμητικής επίλυσης χωρίζονται γενικά σε δύο κατηγορίες, τις άμεσες και τις έμμεσες ή επαναληπτικές. Οι άμεσες μέθοδοι επιλύουν το σύστημα των εξισώσεων με κάποιο αλγόριθμο αλγεβρικών χειρισμών των εξισώσεων και η λύση που προκύπτει είναι θεωρητικά ακριβής. Στη πράξη ο βαθμός της ακρίβειας που μπορεί να επιτευχθεί περιορίζεται από τα σφάλματα στρογγυλοποίησης που υπεισέρχονται κατά την διάρκεια των υπολογισμών (Μπαμπατζιμόπουλος, 1999). Μια ευρέως γνωστή μέθοδος άμεσης επίλυσης είναι η μέθοδος απαλοιφής του Gauss. Οι έμμεσες μέθοδοι επιλύουν το σύστημα των εξισώσεων μέσω διαδοχικών προσεγγιστικών λύσεων. Κάθε προσεγγιστική λύση καλείται επανάληψη και η διαδικασία είναι σχεδιασμένη έτσι ώστε επιτυχημένες επαναλήψεις να βελτιώνουν την ακρίβεια της λύσης. Μια επαναληπτική μέθοδος είναι αποτελεσματική όταν συγκλίνει στη σωστή λύση, με αποδεκτή ακρίβεια, ελαχιστοποιώντας τον απαιτούμενο αριθμό επαναλήψεων. Ο χρόνος εκτέλεσης και η απαιτούμενη υπολογιστική μνήμη και για τις δύο κατηγορίες μεθόδων εξαρτώνται από τη γραμμικότητα ή μη των εξισώσεων που επιλύονται και το μέγεθος του δικτύου υπολογισμών. Το σύστημα των εξισώσεων της ροής είναι μη γραμμικό όταν κάποιοι από τους όρους στον πίνακα των συντελεστών του φορτίου ή και στο διάνυσμα των σταθερών όρων εξαρτώνται από το φορτίο. Στο MODFLOW (McDonald and Harbaugh, 1988) για την αντιμετώπιση της μη γραμμικότητας χρησιμοποιείται μια επαναληπτική διαδικασία (Picard iteration, Remson et al., 1971): οι εξισώσεις γραμμικοποιούνται χρησιμοποιώντας για τον υπολογισμό των μη γραμμικών όρων την τιμή του φορτίου από την προηγούμενη επανάληψη και το νέο σύστημα των εξισώσεων επιλύεται ως γραμμικό. Εφόσον η επαναληπτική διαδικασία συγκλίνει, κάθε νέα επανάληψη βελτιώνει την ακρίβεια με την οποία υπολογίζονται το φορτίο και οι από αυτό εξαρτώμενοι όροι. Η αντιμετώπιση της μη γραμμικότητας με αυτόν τον τρόπο, αυξάνει σημαντικά το χρόνο εκτέλεσης όταν για την επίλυση του συστήματος των εξισώσεων χρησιμοποιείται μια άμεση μέθοδος. Αντίθετα, η ενσωμάτωση αυτής της τεχνικής στο επαναληπτικό σχήμα μιας έμμεσης μεθόδου επιβραδύνει

40 25 λιγότερο την επίτευξη λύσης. Υπάρχει όμως η πιθανότητα, εξαιτίας των μη γραμμικών όρων, μια έμμεση μέθοδος να μη συγκλίνει (Harbaugh, 1995). Το μέγεθος του δικτύου υπολογισμών είναι επίσης καθοριστικό για το χρόνο εκτέλεσης και την απαιτούμενη υπολογιστική μνήμη. Οι άμεσες μέθοδοι επηρεάζονται πολύ περισσότερο σε σχέση με τις έμμεσες από την αύξηση των διαστάσεων του πλέγματος υπολογισμών (Harbaugh, 1995). Ο χρήστης του MODFLOW έχει τη δυνατότητα να επιλέξει μία από τις ακόλουθες τέσσερις μεθόδους αριθμητικής επίλυσης του συστήματος των εξισώσεων ροής, οι οποίες περιγράφονται στη συνέχεια αυτού του κεφαλαίου: Strongly implicit procedure (SIP) Slice-successive over-relaation (SSOR) Preconditioned conjugate gradient method (PCG2) o modified incomplete Cholesky preconditioner o least-squares polynomial preconditioner Direct method (DE4) Από συγκρίσεις των μεθόδων επίλυσης που έχουν γίνει (Osiensky and Williams (1996), Harbaugh (1995), Hill (1990c)), επιβεβαιώνεται ότι είναι πολύ σημαντικό να ελέγχεται το ισοζύγιο νερού πριν από την αποδοχή οποιασδήποτε λύσης, που προκύπτει από την εφαρμογή του μοντέλου, ως σωστής. Η μέθοδος επίλυσης PCG2 εμφανίζεται ως η πιο αξιόπιστη, πιθανόν επειδή ένα από τα κριτήρια σύγκλισης που χρησιμοποιεί σχετίζεται με το ισοζύγιο νερού. Οι άλλες μέθοδοι δεν περιλαμβάνουν ένα παρόμοιο κριτήριο. Επίσης, η μέθοδος PCG2 θεωρείται ως η καλύτερη επιλογή αν αξιοποιείται η δυνατότητα επανύγρανσης (σε ελεύθερους υδροφορείς, η δυνατότητα να ανέβει η στάθμη σε κελιά που σε προηγούμενο χρονικό βήμα είχαν βρεθεί πάνω από αυτή, rewetting). Σ' αυτές τις περιπτώσεις η μέθοδος SSOR είναι συνήθως ακατάλληλη. Η μέθοδος PCG2 συνήθως συγκλίνει γρηγορότερα από τις υπόλοιπες. Η least-squares polynomial preconditioner απαιτεί περισσότερο χρόνο αλλά λιγότερη υπολογιστική μνήμη. Η άμεση μέθοδος DE4 είναι γρήγορη μόνο σε μικρά γραμμικά προβλήματα, μπορεί όμως να αποδειχθεί χρήσιμη σε προβλήματα που οι άλλες μέθοδοι δεν επιτυγχάνουν σύγκλιση. Υπάρχει η δυνατότητα χρήσης άλλης μιας μεθόδου (Algebraic Multigrid AMG), η οποία έχει αναπτυχθεί από το GMD German National Research Center for Information Technology (Mehl and Hill, 2001). Η μέθοδος αυτή δεν διατίθεται πλέον ελεύθερα και γι' αυτό δεν αναφέρεται. Για προβλήματα με μεγάλα δίκτυα υπολογισμών (περισσότερα από κελιά) ή και μεγάλες διαφοροποιήσεις της υδραυλικής αγωγιμότητας, ο χρόνος εκτέλεσης που απαιτεί η μέθοδος AMG είναι 2 ως 25 φορές μικρότερος από το χρόνο που απαιτεί η μέθοδος modified incomplete Cholesky, η

41 26 απαιτούμενη υπολογιστική μνήμη όμως είναι 3 ως 8 φορές μεγαλύτερη (Detwiler et al., 2002) Strongly implicit procedure (SIP) Ένα σύστημα εξισώσεων με τη μορφή της εξίσωσης (2.12) μπορεί να λυθεί με άμεσες μεθόδους αν ο πίνακας [Α] μπορεί να αναλυθεί σε δύο πίνακες [L] και [U], τέτοιους ώστε ο [L] να είναι κάτω τριγωνικός, ο [U] να είναι άνω τριγωνικός και όλα τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου του πίνακα [U] να είναι ίσα με τη μονάδα. Η λύση ολοκληρώνεται με εφαρμογή της τεχνικής της "εμπρός και πίσω αντικατάστασης". Μία δυσκολία που προκύπτει κατά την εφαρμογή αυτής της διαδικασίας είναι το ότι, αν και ο πίνακας [Α] έχει λίγα μη μηδενικά στοιχεία, δεν ισχύει το ίδιο για τους πίνακες [L] και [U], με συνέπεια να απαιτείται σημαντική υπολογιστική ισχύς και μνήμη για τον υπολογισμό των μη μηδενικών στοιχείων τους (McDonald and Harbaugh, 1988). Επίσης είναι πιθανό τα σφάλματα στρογγυλοποίησης να αυξηθούν υπερβολικά. Η μέθοδος "strongly implicit procedure" βασίζεται στην προηγούμενη διαπίστωση και αναζητά έναν πίνακα [B] τέτοιο ώστε ο πίνακας του αθροίσματος [Α+Β] να ισούται με το γινόμενο δύο πινάκων [L] και [U]. Για τους πίνακες [Α+Β], [L] και [U] πρέπει να ισχύουν οι ακόλουθες προϋποθέσεις: ο πίνακας [Α+Β] να είναι "κοντά" στον [Α] ("close" to [A]) ο πίνακας [L] να είναι κάτω τριγωνικός, ο [U] να είναι άνω τριγωνικός και όλα τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου του πίνακα [U] να είναι ίσα με τη μονάδα τα περισσότερα στοιχεία των πινάκων [L] και [U] να είναι μηδενικά και οι δύο πίνακες [L] και [U] να έχουν μόνο τέσσερις μη μηδενικές διαγωνίους Αν είναι δυνατό να βρεθεί ο πίνακας [Α+Β], τότε αυτός μπορεί να αποτελέσει τη βάση μιας επαναληπτικής διαδικασίας για τον υπολογισμό του πίνακα [Α] (Remson et al., 1971). Η μέθοδος περιγράφεται αναλυτικά από τους από τους Weinstein, Stone και Kwan (1969), από τους οποίους και αναπτύχθηκε. Σύντομη περιγραφή της με τη μορφή που ενσωματώθηκε στο MODFLOW δίνεται από τους McDonald και Harbaugh (1988). Κάθε μια εξίσωση του συστήματος (2.6) αντιστοιχεί σε ένα κελί του δικτύου υπολογισμών και εκφράζει τη σχέση του φορτίου του αντίστοιχου κελιού με τα φορτία των κελιών που το περιβάλλουν και βρίσκονται σε άμεση επαφή με αυτό (π.χ. σε διδιάστατο δίκτυο τα τέσσερα κελιά με τα οποία μοιράζεται από μία κοινή πλευρά ή σε τριδιάστατο δίκτυο τα έξι κελιά με τα οποία μοιράζεται από μία κοινή έδρα). Η χρήση του πίνακα [Α+Β] εισάγει στο σύστημα νέους όρους (6 για τριδιάστατο δίκτυο), οι οποίοι προέρχονται από τον πίνακα [Β] και αφορούν φορτία σε μη γειτονικά κελιά. Για να μειωθεί η επίδραση των όρων

42 27 αυτών, χρησιμοποιείται μια παράμετρος επιτάχυνσης ω (acceleration parameter), η οποία παίρνει τιμές από 0 ως 1 και η τιμή της μεταβάλλεται μεταξύ των επαναλήψεων. Η διαδικασία που ακολουθείται στο MODFLOW, για τον υπολογισμό των διαδοχικών τιμών της παραμέτρου ω, διαφέρει από την προτεινόμενη από τους Weinstein et al (1969), αλλά οι τιμές που παράγονται είναι παρόμοιες (McDonald and Harbaugh, 1988). Οι τιμές της παραμέτρου επηρεάζουν σημαντικά τον ρυθμό σύγκλισης της μεθόδου, όχι όμως την τελική λύση στην οποία συγκλίνει η μέθοδος. Για τον υπολογισμό των τιμών της ω χρησιμοποιείται η σχέση (2.13): ( ) ( ) ( λ 1 = 1 WSEED ) /( NPARM 1) ω λ λ = 1,2...NPARM (2.13) όπου ω(λ) είναι η τιμή της παραμέτρου ω που αντιστοιχεί στην επανάληψη λ, NPARM είναι ο συνολικός αριθμός των τιμών της ω που πρόκειται να χρησιμοποιηθούν, λ είναι ένας δείκτης ο οποίος παίρνει ακέραιες τιμές από 1 ως NPARM και WSEED μια παράμετρος της επαναληπτικής διαδικασίας η οποία χρησιμοποιείται ως βάση για τον υπολογισμό της ακολουθίας των τιμών των παραμέτρων. Η τιμή της WSEED είτε δίνεται αυθαίρετα από τον χρήστη είτε υπολογίζεται από το πρόγραμμα. Στο MODFLOW χρησιμοποιείται άλλη μία παράμετρος (ACCL) που αφορά την επαναληπτική διαδικασία. Η παράμετρος έχει σταθερή τιμή, αρχικά ίση με 1 και δεν επηρεάζει τους υπολογισμούς. Η προσπάθεια βελτίωσης του ρυθμού σύγκλισης γίνεται αυξάνοντας ή μειώνοντας την τιμή της WSEED, όταν αντίστοιχα το υπολογιζόμενο φορτίο τείνει να είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από το αναμενόμενο. Αν δεν μπορεί να επιτευχθεί σύγκλιση, τότε δοκιμάζεται νέα τιμή για την ACCL και επαναλαμβάνεται η διαδικασία των δοκιμών για τον προσδιορισμό της τιμής της WSEED Slice-successive over-relaation (SSOR) Είναι μια έμμεση μέθοδος, για την εφαρμογή της οποίας το τριδιάστατο δίκτυο υπολογισμών χωρίζεται κάθετα σε τομές, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.3, και οι εξισώσεις στους κόμβους του δικτύου ομαδοποιούνται ώστε κάθε ομάδα εξισώσεων να αντιστοιχεί σε μία τομή. Σε κάθε επανάληψη, αντιμετωπίζεται ξεχωριστά κάθε ομάδα εξισώσεων δίνοντας τη νέα προσέγγιση του φορτίου για κάθε τομή. Για κάθε τομή, οι εξισώσεις τροποποιούνται ώστε οι όροι τους να εκφράζουν την μεταβολή του υπολογιζόμενου φορτίου μεταξύ δύο διαδοχικών επιτυχημένων επαναλήψεων. Η ομάδα των εξισώσεων που αντιστοιχεί σε μία τομή επιλύεται άμεσα με τη μέθοδο απαλοιφής του Gauss, θεωρώντας τις τιμές του φορτίου στις γειτονικές τομές γνωστές (ίσες με τις τελευταία υπολογισμένες τιμές). Οι τιμές της μεταβολής του φορτίου που προκύπτουν, πολλαπλασιάζονται με μία παράμετρο επιτάχυνσης, και θεωρούνται οι τελικές τιμές

43 28 μεταβολής του φορτίου σ' αυτήν την επανάληψη για τη συγκεκριμένη τομή. Προστίθενται στις αντίστοιχες τιμές φορτίου που είχαν προκύψει από την προηγούμενη επανάληψη και δίνουν τις τελικές τιμές φορτίου σ' αυτήν την επανάληψη για τη συγκεκριμένη τομή. Ένας κύκλος επανάληψης ολοκληρώνεται όταν η διαδικασία αυτή έχει επαναληφθεί για όλες τις τομές που αποτελούν το τριδιάστατο δίκτυο υπολογισμών. Η επαναληπτική διαδικασία σταματά όταν, για όλους τους κόμβους του δικτύου, η διαφορά φορτίου μεταξύ δύο διαδοχικών επαναλήψεων είναι μικρότερη από το κριτήριο σύγκλισης. Η παράμετρος επιτάχυνσης (ω) παίρνει τιμές από 1 ως 2. Η τιμή της προκύπτει με δοκιμές. Σειρά 2 Σειρά 1 Στήλη 1 Στήλη 2 Στήλη 3 Στήλη 4 Σειρά 3 Σειρά 4 Σειρά 5 Σειρά 6 Στρώση 1 Στρώση 2 Στρώση 3 Στρώση 4 Τομή 4 Σχήμα 2.3 Χωρισμός του τριδιάστατου δικτύου υπολογισμών σε κάθετες τομές για την εφαρμογή της μεθόδου slice-successive over-relaation Preconditioned conjugate gradient method (PCG) Η επαναληπτική αυτή μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων, αν ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος (positive-definite), ιδιότητα που ισχύει πάντα για τον πίνακα [Α] της εξίσωσης Ένα σημαντικό πλεονέκτημα της μεθόδου σε σχέση με τις προαναφερθείσες είναι το ότι οι παράμετροι που αφορούν την επαναληπτική διαδικασία υπολογίζονται από την ίδια τη διαδικασία και δε χρειάζεται να εκτιμηθεί η τιμή τους μέσα από δοκιμές (Hill, 1990b). Άλλο ένα πλεονέκτημα της μεθόδου, όπως εφαρμόζεται στο MODFLOW, είναι το ότι σε αυτή έχει συμπεριληφθεί ένα επιπλέον κριτήριο σύγκλισης, το οποίο ελέγχει το ισοζύγιο μεταξύ της παροχής που εισέρχεται και εξέρχεται από κάθε ενεργό κελί και της ποσότητας του νερού

44 29 που αποθηκεύεται σ' αυτό. Η μεγαλύτερη από αυτές τις τιμές ελέγχεται για να αποφασιστεί αν η τρέχουσα λύση είναι αποδεκτή, με βάση το κριτήριο που ορίζει ο χρήστης. Γενικά, στα περισσότερα προβλήματα υπόγειων νερών, σφάλματα στο συνολικό ισοζύγιο νερού μεγαλύτερα από 1% δεν θεωρούνται αποδεκτά (Hill 1990b, Middlemis 2000). Η μέθοδος PCG προϋποθέτει ότι ο πίνακας [Α] της εξίσωσης (2.12) μπορεί να χωριστεί σε άθροισμα δύο πινάκων [Μ] και [Ν] : [Α] = [Μ] +[Ν] (2.14) Ο πίνακας [Μ] καλείται "preconditioned form" ή "preconditioner" του [Α] και πρέπει είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος (Remson et al., 1971). Η βασική επαναληπτική εξίσωση προκύπτει συνδυάζοντας τις εξισώσεις (2.12) και (2.14): [Μ] {h} k+1 = [M] {h} k + {q} - [A] {h} k (2.15) όπου k ο δείκτης της επανάληψης. Η εξίσωση (2.15) μπορεί να γραφεί με τη μορφή: [M] {s} k = {r} k (2.16) όπου {r} k το υπόλοιπο του αρχικού συστήματος εξισώσεων στην k επανάληψη και {s} k = {h} k+1 - {h} k. Από την (2.16) προκύπτει: {s} k = [M] -1 {r} k (2.17α) Οι μέθοδοι συζυγών κλίσεων είναι επαναληπτικές μέθοδοι δεύτερης τάξης γιατί σε κάθε επανάληψη η νέα μεταβολή του {h}, οριζόμενη ως {p} k, υπολογίζεται από την μεταβολή του {h} κατά την προηγούμενη επανάληψη {p} k-1 και το {s} k. Η εφαρμογή της μεθόδου ξεκινά με τον υπολογισμό του {r} 0 = {q} - [A] {h} 0. Σε κάθε επανάληψη εκτελούνται τα ακόλουθα βήματα (Hill, 1990): {s} k = [M] -1 {r} k (2.17α) για k=0 {p}k = {s}k (2.17β) για k > 0 k k {} s T {} r {} k s 1 {} r k 1 k β = (2.17γ) k k k {} p {} s + β { p} k 1 = (2.17δ)

45 30 k k {} s T {} r k {} p T [ A]{} p k k α = (2.17ε) {h} k+1 = {h} k + α k {p} k {r} k+1 = {r} k + α k [A] {p} k (2.17ζ) (2.17η) Το αν η μέθοδος συγκλίνει και το πόσο γρήγορα επιτυγχάνεται η σύγκλιση εξαρτάται από τον πίνακα [Μ] και τη σχέση με την οποία υπολογίζονται οι νέες τιμές του {h} (Remson et al., 1971). Διάφορες μέθοδοι έχουν προταθεί για τον προσδιορισμό του πίνακα [Μ], στις οποίες όμως συχνά η βελτίωση της αποτελεσματικότητάς τους συνοδεύεται από αύξηση της απαιτούμενης υπολογιστικής μνήμης. Στο MODFLOW περιλαμβάνονται δύο μέθοδοι των οποίων οι απαιτήσεις σε μνήμη είναι μικρότερες ή ίσες με αυτές της μεθόδου SIP (Hill, 1990), δηλαδή με τέσσερις πίνακες διαστάσεων ίσων με τον αριθμό των κόμβων του δικτύου υπολογισμών (McDonald and Harbaugh, 1988). Οι μέθοδοι αυτές είναι η "modified incomplete Cholesky", η οποία αναπτύχθηκε από τους Aelsson και Lindskog (1986) και η "least-squares polynomial" όπως αυτή παρουσιάστηκε από τον Saad (1985), περιγράφονται δε συνοπτικά από τη Hill (1990b) Direct method Το MODFLOW δίνει τη δυνατότητα χρήσης μιας άμεσης μεθόδου για την επίλυση του συστήματος των εξισώσεων ροής (2.12), η οποία εφαρμόζει τη μέθοδο απαλοιφής του Gauss σε συνδυασμό με ένα εναλλακτικό σχήμα αρίθμησης των εξισώσεων, περισσότερο αποτελεσματικό από τον καθιερωμένο τρόπο αρίθμησης (Harbaugh, 1995). Για την εφαρμογή της μεθόδου, η εξίσωση (2.12) γράφεται έτσι ώστε η άγνωστη μεταβλητή να είναι η μεταβολή του φορτίου μεταξύ δύο διαδοχικών λύσεων: [Α m ] {ξ m } = {b m } (2.18) όπου o εκθέτης m υποδηλώνει μια συγκεκριμένη λύση από μια σειρά λύσεων, {ξ m } = {h m } {h m-1 } είναι η μεταβολή του φορτίου και {b m } = {q m } [A m ] {h m-1 } (2.19) Το φορτίο για τη λύση m ισούται με {h m } = {h m -1}+{ξ m } (2.20) Για m=1, {h m-1 } = {h 0 }, όπου {h 0 } είναι το αρχικό φορτίο, το οποίο ορίζεται από το χρήστη (αρχική συνθήκη).

46 31 Σύμφωνα με τη μέθοδο απαλοιφής του Gauss (Μπαμπατζιμόπουλος, 1999), η εξίσωση 2.18 τροποποιείται έτσι ώστε όλα τα στοιχεία του [Α] που βρίσκονται αριστερά της διαγωνίου να μετατραπούν σε μηδενικά, δηλαδή ο [Α] μετατρέπεται σε άνω τριγωνικό. Στη συνέχεια, οι τιμές του {ξ} προκύπτουν χρησιμοποιώντας την τεχνική της πίσω αντικατάστασης (Μπαμπατζιμόπουλος, 1999), δηλαδή με αντίστροφη σειρά, ξεκινώντας από την τελευταία τιμή: επειδή ο [Α] είναι άνω τριγωνικός, κάθε εξίσωση περιέχει μία μόνο άγνωστη τιμή του ξ. Η αποτελεσματικότητα της μεθόδου απαλοιφής του Gauss εξαρτάται από τη σειρά αρίθμησης των εξισώσεων, δηλαδή των κελιών του δικτύου υπολογισμών. Το σχήμα αρίθμησης που χρησιμοποιείται για την εφαρμογή της άμεσης μεθόδου στο MODFLOW, ονομάζεται D4 (Price and Coats, 1974). Στο Σχήμα 2.4 παρουσιάζεται ο καθιερωμένος τρόπος αρίθμησης και η αρίθμηση με βάση το σχήμα D4 για ένα διδιάστατο δίκτυο υπολογισμών με 6 σειρές και 5 στήλες (Harbaugh, 1995). Col.1 Col. 5 Col. 1 Col. 5 Row Row Row Row 6 καθιερωμένη αρίθμηση σχήμα αρίθμησης D4 Σχήμα 2.4 Καθιερωμένος τρόπος αρίθμησης και αρίθμηση με βάση το σχήμα D4 για ένα διδιάστατο δίκτυο υπολογισμών με 6 σειρές και 5 στήλες Η μορφή του [Α] όπως προκύπτει (α) με τον καθιερωμένο τρόπο αρίθμησης και (β) με το σχήμα D4, παρουσιάζεται στο Σχήμα 2.5 (Harbaugh, 1995). Όπως φαίνεται και στο σχήμα αυτό, με την εφαρμογή του σχήματος αρίθμησης D4 το πάνω μέρος του [Α] είναι ήδη σε μορφή άνω τριγωνική, με αποτέλεσμα η επεξεργασία των εξισώσεων που απαιτείται για το μετασχηματισμό του [Α] σε άνω τριγωνική μορφή, στη (β) περίπτωση να είναι 0.2 ως 0.5 της επεξεργασίας που απαιτείται στην (α) περίπτωση και η απαιτούμενη υπολογιστική μνήμη περίπου η μισή.

47 32 (α) καθιερωμένη αρίθμηση (β) σχήμα D4 Σχήμα 2.5 Μη μηδενικά στοιχεία του πίνακα [Α] για διδιάστατο δίκτυο αποτελούμενο από 6 σειρές και 5 στήλες. Η διαδικασία επίλυσης της εξίσωσης (2.18) περιλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα: 1.υπολογισμός του {b} με την εξίσωση (2.19) 2.αν ο [Α] έχει μεταβληθεί από την προηγούμενη λύση, εφαρμογή της κατά Gauss απαλοιφής στον πίνακα [Α] 3.τροποποίηση του {b} ώστε να αντιστοιχεί στον [Α] όπως προέκυψε μετά την απαλοιφή κατά Gauss 4.υπολογισμός του {ξ} με προς τα πίσω αντικατάσταση 5.υπολογισμός της νέας τιμής του {h} με την εξίσωση (2.20) Ακρίβεια της λύσης Σ' ένα μαθηματικό μοντέλο υπόγειων νερών η εξίσωση της ροής ισοδυναμεί με ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων, για τη λύση του οποίου μπορούν να χρησιμοποιηθούν διάφορες μέθοδοι. Οι μέθοδοι αυτές συνήθως περιλαμβάνουν μια επαναληπτική διαδικασία η οποία τερματίζεται όταν βρεθεί μια ικανοποιητική λύση. Το κριτήριο που χρησιμοποιείται από όλες σχεδόν τις μεθόδους για να αποφασιστεί το πότε η λύση είναι ικανοποιητική είναι η μεταβολή του φορτίου. Όταν σε μια επανάληψη η μέγιστη απόλυτη τιμή της μεταβολής του φορτίου σε όλους τους κόμβους του δικτύου υπολογισμών είναι μικρότερη ή ίση από το επιλεγμένο κριτήριο, η επαναληπτική διαδικασία σταματά. Ένας εμπειρικός κανόνας για την επιλογή του κριτηρίου μεταβολής του φορτίου είναι ότι αυτό θα πρέπει να τίθεται ένα με δύο

48 33 τάξεις μεγέθους μικρότερο από την επιθυμητή ακρίβεια της λύσης (Anderson and Woessner, 1992). Το αν το κριτήριο μεταβολής του φορτίου που επιλέχθηκε είναι κατάλληλο για την ικανοποιητική προσέγγιση της λύσης μπορεί να ελεγχθεί με βάση το ισοζύγιο νερού. Ως κριτήριο για το ισοζύγιο νερού χρησιμοποιείται η διαφορά μεταξύ της συνολικής εισροής και της συνολικής εκροής, διαιρούμενη είτε με τη συνολική εισροή, είτε με τη συνολική εκροή, είτε με το ημιάθροισμα αυτών. Για καλύτερα αποτελέσματα το σφάλμα στο ισοζύγιο νερού θα πρέπει να είναι μικρότερο από 0.1% (Konokow, 1978). Από άλλους ερευνητές θεωρείται ικανοποιητικό το σφάλμα να είναι μικρότερο από 0.5% (Reilly and Harbaugh, 2004). Γενικά, δεν θεωρούνται αποδεκτές τιμές μεγαλύτερες από 1% (Anderson and Woessner 1992, Hill 1990b, Midlemis 2000) Ρύθμιση του μοντέλου Κατά την δημιουργία ενός μοντέλου, από τη χωρική διακριτοποίηση της περιοχής μελέτης για την εφαρμογή μιας αριθμητικής μεθόδου επίλυσης της εξίσωσης ροής του υπόγειου νερού, προκύπτει ένας μεγάλος αριθμός χωρικά διακριτών μονάδων (κελιά ή στοιχεία). Για κάθε διακριτή μονάδα πρέπει είναι γνωστές οι τιμές των υδρογεωλογικών παραμέτρων. Ακριβής γνώση της τιμής κάθε παραμέτρου και της κατανομής της στο χώρο δεν είναι δυνατό να προκύψει με γεωλογικές μεθόδους. Έτσι προκύπτει το αντίστροφο πρόβλημα (inverse problem) των υπόγειων νερών, το οποίο συνίσταται στην προσαρμογή των τιμών των παραμέτρων του μοντέλου, ώστε τα αποτελέσματα του μοντέλου να συμφωνούν με μετρήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής (φορτίου). Η διαδικασία αυτή καλείται και ρύθμιση του μοντέλου (calibration) και μπορεί να γίνει είτε με τη μέθοδο δοκιμής - σφάλματος είτε με κάποια μέθοδο "αυτόματης" ρύθμισης, όπως περιγράφεται στις επόμενες παραγράφους. Ο αριθμός των μετρήσεων της εξαρτημένης μεταβλητής γενικά είναι περιορισμένος και πολύ μικρότερος του αριθμού των παραμέτρων του μοντέλου που πρέπει να εκτιμηθούν, με αποτέλεσμα το πρόβλημα που επιλύεται να έχει πολύ μεγάλο αριθμό βαθμών ελευθερίας και επομένως να είναι αδύνατο να λυθεί. Η διαδικασία μείωσης του αριθμού των παραμέτρων ώστε να είναι δυνατή η επίλυση του αντίστροφου προβλήματος, ονομάζεται παραμετροποίηση. Η παραμετροποίηση αναφέρεται στη διαδικασία προσέγγισης μιας χωρικά κατανεμημένης παραμέτρου με μια συνάρτηση με μικρό αριθμό βαθμών ελευθερίας. Η ακόλουθη σχέση είναι μια γενική αναπαράσταση της παραμετροποίησης (Sun and Sun, 2002):

49 34 m j= 1 ( ) θ( ) = θ φ v (2.21) j j, όπου m είναι η διάσταση παραμετροποίησης, θ j (j=1,2,...,m) είναι συντελεστές βαρύτητας, φ είναι ένα σύνολο συναρτήσεων βάσης (basis functions) με ένα σύνολο και (,v) j παραμέτρων μορφής (shape parameters) v (διάνυσμα). Η διάσταση της παραμετροποίησης μαζί με τις συναρτήσεις βάσης ορίζουν τη δομή της παραμέτρου (parameter structure). Οι διάφορες μέθοδοι παραμετροποίησης που χρησιμοποιούνται στην κατάρτιση των μοντέλων, όπως η μέθοδος διαχωρισμού σε ζώνες, η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων, άλλες μέθοδοι παρεμβολής (spline, kriging) μπορούν να θεωρηθούν ειδικές περιπτώσεις της (2.21). Στη μέθοδο διαχωρισμού σε ζώνες (zonation method), η περιοχή ροής χωρίζεται σε m ζώνες (υποπεριοχές) (Ω j ) (j=1,2,...,m), και κάθε ζώνη χαρακτηρίζεται από μία σταθερή τιμή της παραμέτρου. Η συνάρτηση δηλαδή θ(), η οποία προσεγγίζει την παράμετρο, είναι μια συνάρτηση σταθερή κατά τμήματα (piecewise constant function). Η διάσταση παραμετροποίησης m ισούται με τον αριθμό των ζωνών, θ j είναι η τιμή της θ() στη ζώνη (Ω j ) και η συνάρτηση βάσης που αντιστοιχεί στη ζώνη j ισούται με φ j (,v) = 1, όταν (Ω j ), φ διαφορετικά (, v) 0 j =. Η παράμετρος μορφής v καθορίζει το σχήμα των ζωνών. Στη μέθοδο παρεμβολής με πεπερασμένα στοιχεία (Yeh and Yoon, 1981), η περιοχή ροής χωρίζεται σε στοιχεία τα οποία συνδέονται με έναν αριθμό κόμβων (m), θ j είναι η τιμή της συνάρτησης θ() στον κόμβο j και (,v) φ είναι η συνάρτηση βάσης που αντιστοιχεί στον j κόμβο j. Η παράμετρος μορφής v καθορίζεται από την κατανομή των κόμβων. Σε επίπεδο εφαρμογών, τα προβλήματα μεγάλης κλίμακας βασίζονται συνήθως στη μέθοδο διαχωρισμού σε ζώνες (Carrera et al, 2005). Ο διαχωρισμός σε ζώνες είναι η παλαιότερη και ακόμα και σήμερα συχνότερα χρησιμοποιούμενη μέθοδος παραμετροποίησης (Emsellem and de Marsily 1971, Yeh and Yoon 1976, Sun and Yeh 1985, Yobbi 2000). Η μέθοδος διαχωρισμού σε ζώνες μπορεί να συνδυαστεί με μεθόδους παρεμβολής, έτσι ώστε στο εσωτερικό κάθε ζώνης η τιμή της παραμέτρου να μεταβάλλεται με προκαθορισμένο τρόπο (π.χ. γεωστατιστική, Clifton and Neuman, 1982). Το κύριο πλεονέκτημα της μεθόδου είναι η γενικότητά της και η ευκολία με την οποία μπορεί να προσαρμοστεί σε γεωλογικά δεδομένα (Carrera et al, 2005). Συχνά όμως, τα γεωλογικά δεδομένα δεν είναι αρκετά για να προσδιοριστεί το σχήμα των ζωνών (zonation pattern). Ένας απλός τρόπος δημιουργίας ενός αρχικού σχήματος ζωνών, με βάση τη διανομή στην περιοχή ροής σημείων όπου θεωρείται γνωστή η τιμή μιας παραμέτρου (σημεία βάσης - basis points), είναι η μέθοδος Voronoi ή nearest neighbor partition (Sambridge 2001, Sun and Sun 2002, Tsai et al 2003, Tung and

50 35 Tan 2005). Στη συνέχεια διάφοροι αλγόριθμοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη βελτιστοποίηση της γεωμετρίας των ζωνών (π.χ. γεωστατιστική, Roggero and Hu, 1998) Μέθοδος δοκιμής - σφάλματος Η απλούστερη μέθοδος για τη λύση του αντίστροφου προβλήματος είναι η μέθοδος δοκιμής - σφάλματος (trial and error method). Το φορτίο που υπολογίζεται με την εφαρμογή του μοντέλου συγκρίνεται με τις υπάρχουσες μετρήσεις φορτίου. Οι παράμετροι μεταβάλλονται και η διαδικασία επαναλαμβάνεται ωσότου η προσέγγιση υπολογιζόμενων φορτίων και μετρήσεων να θεωρηθεί ικανοποιητική. Η μέθοδος αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για κάθε τύπο προβλήματος. Η επιτυχία της βασίζεται σε μεγάλο βαθμό στην εμπειρία και ικανότητα του μελετητή. Απαιτούνται πολύ καλή γνώση του υπό εξέταση υδροφορέα και ικανοποιητικές αρχικές εκτιμήσεις των παραμέτρων του μοντέλου. Κάποιοι εμπειρικοί κανόνες που βοηθούν στη ρύθμιση με τη μέθοδο δοκιμής και σφάλματος είναι οι ακόλουθοι (Hill 1998, Pinder 2002): o Οι χάρτες ισοπιεζομετρικών καμπυλών που βασίζονται σε μετρήσεις φορτίου στην περιοχή μελέτης, είναι ενδεικτικοί της διεύθυνσης και του μεγέθους της υπόγειας ροής: η διεύθυνση της ροής είναι κάθετη στις καμπύλες και το μέγεθός της είναι αντιστρόφως ανάλογο της απόστασης δύο διαδοχικών καμπυλών. o Στις περιοχές όπου η απόσταση μεταξύ των ισοπιεζομετρικών καμπυλών είναι μικρότερη, αναμένεται η διοχετευτικότητα να έχει μικρότερη τιμή από ότι σε περιοχές που οι καμπύλες απέχουν περισσότερο μεταξύ τους, εφόσον το πάχος του υδροφορέα δεν μεταβάλλεται σημαντικά. o Απότομη μεταβολή της υδραυλικής αγωγιμότητας έχει ως αποτέλεσμα ραγδαία μεταβολή της κλίσης του φορτίου. o Όταν απαιτούνται μεγάλης κλίμακας διορθώσεις στα υπολογιζόμενα φορτία, αυτό συχνά υποδεικνύει ότι απαιτείται διόρθωση των οριακών συνθηκών. o Σε προβλήματα ασταθούς ροής, αύξηση της μεταβολής του φορτίου με το χρόνο επιτυγχάνεται με αύξηση της παροχής ή ελάττωση της διοχετευτικότητας. o Αν η απόκλιση των υπολογιζόμενων φορτίων από τις μετρήσεις αυξάνεται ή μειώνεται με το χρόνο, η τιμή του συντελεστή αποθήκευσης είναι η πιθανότερη αιτία. o Τοπικές μεταβολές της τιμής της υδραυλικής αγωγιμότητας έχουν δυσανάλογα μικρή επίδραση στο υπολογιζόμενο φορτίο. Η εφαρμογή αυτής της μεθόδου είναι ιδιαίτερα δύσκολη σε προβλήματα πολλών μεταβλητών, η προσέγγιση της βέλτιστης λύσης δε γίνεται με συστηματικό τρόπο και στην πράξη ποτέ δεν είναι βέβαιο ότι η τελική εκτίμηση είναι η βέλτιστη (Bear, 1979). Ωστόσο η

51 36 χρήση της εξακολουθεί να είναι πολύ διαδεδομένη σε προβλήματα εφαρμογών κι ένας από τους βασικούς λόγους γι' αυτό είναι η έλλειψη ικανοποιητικού αριθμού δεδομένων για την εφαρμογή άλλων μεθόδων (Hill, 1998). Στην πράξη, ακόμα και στην περίπτωση που η ρύθμιση του μοντέλου γίνεται αυτόματα, η μέθοδος δοκιμής και σφάλματος χρησιμοποιείται για την επιλογή του χωρικού και χρονικού βήματος, των οριακών συνθηκών, της αρχικής συνθήκης, της δομής και των αρχικών τιμών των παραμέτρων και γενικά σε όλες τις φάσεις της ανάπτυξης του μαθηματικού μοντέλου, για τη διαμόρφωση του "σημείου εκκίνησης" της αυτόματης ρύθμισης. Η ρύθμιση ενός μοντέλου θεωρείται τόσο επιστήμη όσο και τέχνη. Λέξεις όπως "διαίσθηση" (intuition) ή "ενόραση" ή "βαθειά γνώση" (insight) χρησιμοποιούνται για να χαρακτηρίσουν την ικανότητα του ερευνητή να μορφοποιεί το μοντέλο ώστε να προσεγγίζει καλύτερα την πραγματικότητα (Midlemis 2000, Pinder 2002, Reilly and Harbaugh 2004). Η μέθοδος δοκιμής και σφάλματος στηρίζεται σε μεγάλο βαθμό στην εμπειρία του ερευνητή, αλλά και τη διαμορφώνει: κατά την εφαρμογή της ο ερευνητής αποκτά μια καλύτερη "αίσθηση" του προβλήματος (Haitjema, 2003) Αυτόματη ρύθμιση Διάφορες αριθμητικές μέθοδοι έχουν αναπτυχθεί για την επίλυση του αντίστροφου προβλήματος με συστηματικό τρόπο. Με τις μεθόδους αυτές επιλέγεται, από το σύνολο των δυνατών συνδυασμών των τιμών των παραμέτρων ενός μοντέλου, ο συνδυασμός που δίνει την καλύτερη προσέγγιση των ιστορικών δεδομένων. Ανασκόπηση των μεθόδων που έχουν χρησιμοποιηθεί για την επίλυση του αντίστροφου προβλήματος των υπόγειων νερών έχει γίνει από πολλούς ερευνητές από το παρελθόν μέχρι σήμερα. Ενδεικτικά αναφέρονται οι McLaughlin (1975), Yeh (1986), Kuiper (1986), Carrera (1987), Ginn and Cushman (1990), Sun (1994), McLaughlin and Townley (1996), Zimmerman et al (1998), Marsily et al (2000), Carrera et al (2005). Ένα δεδομένο αντίστροφο πρόβλημα μπορεί να δώσει μια αποδεκτή λύση στην πράξη αν το πρόβλημα αυτό είναι "καλά τοποθετημένο" (well-posed), αν δηλαδή ισχύουν οι ακόλουθες προϋποθέσεις (Tikhonov and Arsenin, 1977): (1) για κάθε σύνολο παρατηρήσεων της εξαρτημένης μεταβλητής που ανήκει στο πεδίο ορισμού τους υπάρχει μία λύση του προβλήματος, δηλαδή ένα σύνολο παραμέτρων που ανήκει στο πεδίο ορισμού τους και ικανοποιεί τις εξισώσεις που διέπουν το πρόβλημα και τις βοηθητικές συνθήκες. (2) Η λύση αυτή είναι μοναδική. (3) Το αντίστροφο πρόβλημα είναι σταθερό στα πεδία ορισμού των παρατηρήσεων και των παραμέτρων, δηλαδή μικρές μεταβολές στις παρατηρήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής προκαλούν μικρές μεταβολές στις τιμές των παραμέτρων. Οι δύο

52 37 πρώτες προϋποθέσεις εξασφαλίζουν ότι υπάρχει μία μοναδική λύση με την αυστηρά μαθηματική έννοια των όρων. Η τρίτη προϋπόθεση αφορά τη φυσική σημασία της λύσης του αντίστροφου προβλήματος κι εξασφαλίζει ότι η λύση αυτή δεν είναι ιδιαίτερα ευαίσθητη στα σφάλματα που εμπεριέχονται στις παρατηρήσεις (McLaughlin and Townley, 1996). Το ότι ένα αντίστροφο πρόβλημα δεν είναι καλά τοποθετημένο (ill-posed) σημαίνει ότι, για να είναι δυνατή η εύρεση μιας αποδεκτής λύσης, η διατύπωση του προβλήματος πρέπει να διαφοροποιηθεί ή να συμπληρωθεί. Αυτό γίνεται με τροποποίηση των εξισώσεων που εκφράζουν τη σχέση μεταξύ των παρατηρήσεων και των παραμέτρων και αλλαγή των πεδίων ορισμού τους (Banks and Kunisch, 1989). Στην πράξη οι τροποποιήσεις αυτές γίνονται με τη χρησιμοποίηση περισσότερων ή άλλου είδους μετρήσεων ή κατάλληλων σταθμιστικών συντελεστών (π.χ. Wagner and Gorelick 1987, Anderman and Hill 1999), χρήση περιορισμών για τις τιμές των παραμέτρων, χρήση μετρήσεων που αφορούν τις ίδιες τις παραμέτρους κ.α. Μερικά παραδείγματα χρησιμοποίησης διαφορετικών τύπων δεδομένων για τη βελτίωση της τοποθέτησης του αντίστροφου προβλήματος είναι οι εργασίες των Woodbury et al (1987), Hill (1992), Varni and Carrera (1998), Larocque et al (1999), Chen et al (2003). Οι τροποποιήσεις αυτού του είδους δεν έχουν ως στόχο την εύρεση των πραγματικών τιμών των υδρογεωλογικών παραμέτρων τις οποίες αντιπροσωπεύουν οι παράμετροι του μοντέλου. Είναι τεχνικές που βοηθούν στο να βρεθεί μία μοναδική σταθερή λύση στο αντίστροφο πρόβλημα, η οποία να είναι σύμφωνη με την αρχική τοποθέτηση του προβλήματος. Σε πρακτικές εφαρμογές οι τεχνικές αυτές θα πρέπει να εφαρμόζονται με τέτοιο τρόπο ώστε να αντιπροσωπεύουν τις ιδιότητες του υπό μελέτη υδρογεωλογικού συστήματος στο βαθμό που αυτές είναι γνωστές. Η κάθε αριθμητική μέθοδος επίλυσης του αντίστροφου προβλήματος χαρακτηρίζεται από 1) τη μέθοδο παραμετροποίησης που εφαρμόζει, δηλαδή τον τρόπο με τον οποίο περιγράφει τη χωρική μεταβλητότητα των παραμέτρων του μοντέλου, 2) την εξίσωση του ευθέως προβλήματος που χρησιμοποιεί, η οποία εκφράζει τη σχέση μεταξύ των παραμέτρων του μοντέλου και της εξαρτημένης μεταβλητής, 3) το κριτήριο που χρησιμοποιεί για να ορίσει ποια λύση (σύνολο εκτιμημένων τιμών των παραμέτρων) θεωρείται ικανοποιητική και 4) την τεχνική επίλυσης που χρησιμοποιεί για την εύρεση αυτών των ικανοποιητικών εκτιμήσεων. Με βάση το κριτήριο που χρησιμοποιείται για τη διατύπωση του αντίστροφου προβλήματος, διακρίνονται δύο κατηγορίες μεθόδων, η άμεση και η έμμεση (Neuman 1973, Chavent 1979, Yeh 1986). Η άμεση μέθοδος χρησιμοποιεί ως κριτήριο το σφάλμα της εξίσωσης που προκύπτει αν θεωρήσουμε ως εξαρτημένες μεταβλητές τις παραμέτρους του μοντέλου (equation error criterion), ενώ η έμμεση κάποιο μέτρο της διαφοράς μεταξύ των μετρήσεων της εξαρτημένης μεταβλητής (φορτίο ή και παροχή) και των αντίστοιχων τιμών

53 38 που υπολογίζονται από το μοντέλο (output error criterion). Οι μέθοδοι αυτές περιγράφονται στις επόμενες παραγράφους. Αν το σφάλμα των μετρήσεων, στις οποίες στηρίζεται η εκτίμηση των παραμέτρων ενός μοντέλου, θεωρηθεί ως τυχαία μεταβλητή, τότε και οι παράμετροι του μοντέλου μπορούν να θεωρηθούν ως τυχαίες μεταβλητές. Σ' αυτήν την περίπτωση διάφορα στατιστικά κριτήρια μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εκτίμηση των παραμέτρων, ανάλογα με τις παραδοχές που γίνονται για την κατανομή που ακολουθούν οι παράμετροι (Sun and Sun, 2002). Δύο από τις στατιστικές μεθόδους που έχουν χρησιμοποιηθεί σε προβλήματα υπόγειων νερών είναι (α) η μέθοδος "maimum a posteriori - MAP" (Gavalas et al, 1976), η οποία στηρίζεται στη μεγιστοποίηση της a posteriori συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας (a posteriori probability density function) των παραμέτρων του μοντέλου, και (β) η μέθοδος "maimum likelihood estimation - MLE" (Carrera and Neuman, 1986), η οποία στηρίζεται στην ιδέα ότι είναι δυνατό να μελετηθεί η πιθανότητα (probability) για ένα συγκεκριμένο σύνολο τιμών των παραμέτρων να μπορεί να βρεθεί ένα σύνολο τιμών των φορτίων μέσα σε συγκεκριμένα όρια γύρω από τις μετρημένες τιμές φορτίου. Η πιθανότητα αυτή καλείται "η πιθανότητα των παραμέτρων γνωρίζοντας τα δεδομένα" (the likelihood of the parameters, knowing the data) και η μέθοδος συνίσταται στην εύρεση των παραμέτρων που μεγιστοποιούν αυτή την πιθανότητα. Οι προηγούμενες στατιστικές μέθοδοι αντιμετωπίζουν τις παραμέτρους ως τυχαίες μεταβλητές λόγω των τυχαίων σφαλμάτων που εμπεριέχονται στις παρατηρήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής. Μια άλλη στατιστική μέθοδος που εφαρμόζεται για την επίλυση του αντίστροφου προβλήματος των υπόγειων νερών είναι η γεωστατιστική, σύμφωνα με την οποία μια χωρικά κατανεμημένη φυσική παράμετρος, όπως για παράδειγμα η υδραυλική αγωγιμότητα, είναι "από τη φύση της" μια τυχαία μεταβλητή, λόγω της τυχαίας χωρικής μεταβλητότητας των φυσικών σχηματισμών (Sun and Sun, 2002). Η μέθοδος της γεωστατιστικής θεωρεί μια χωρικά κατανεμημένη παράμετρο ως ένα ενδεχόμενο μιας τυχαίας συνάρτησης που ορίζεται από τη συνολική συνάρτηση κατανομής πιθανοτήτων (joint probability distribution) για όλα τα σημεία του μέσου (Marsily et al, 2000). Η εκτίμηση αυτής της τυχαίας συνάρτησης σ' ένα συγκεκριμένο σημείο, με δεδομένο ένα σύνολο μετρήσεων, ισοδυναμεί με υπολογισμό της conditional epectation σ' αυτό το σημείο. Στη γεωστατιστική ο βέλτιστος εκτιμητής (best estimator) καλείται kriging και παίρνει διαφορετικές μορφές ανάλογα με τις παραδοχές που γίνονται σχετικά με τις ιδιότητες της τυχαίας συνάρτησης (Kitanidis 1997, Marsily et al 2000). Ο Delhomme (1979) ήταν ο πρώτος που εισήγαγε και χρησιμοποίησε τη γεωστατιστική στην υδρολογία των υπόγειων νερών. Έκτοτε έχει χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό των παραμέτρων στα μοντέλα υπόγειων νερών, σε

54 39 συνθήκες μόνιμης ροής (Kitanidis and Vomvoris 1983, Dagan 1985) αλλά και μη μόνιμης (Sun and Yeh, 1992). Η μέθοδος co-kriging (Kitanidis, 1997) δίνει τη δυνατότητα να χρησιμοποιηθούν, εκτός από μετρήσεις πεδίου των παραμέτρων, και μετρήσεις φορτίου, συγκεντρώσεων κλπ (Rubin et al., 1992, Sun et al., 1995, Harvey and Gorelick, 1995). Η εφαρμογή της γεωστατιστικής μπορεί να γίνει με διάφορες τεχνικές (Zimmerman et al., 1998). Μία από τις τεχνικές αυτές είναι και η μέθοδος των οδηγών σημείων (pilot points) (Marsily et al 1984, Ramarao et al 1995, Vesselinov et al 2001, Hernandez et al 2003, Doherty 2003), η οποία θεωρείται εύκολη στην εφαρμογή της και ευέλικτη κι έχει καθιερωθεί ως μη γραμμική γεωστατιστική μέθοδος επίλυσης του αντίστροφου προβλήματος (Carrera et al,. 2005). Σε επίπεδο εφαρμογών, διαπιστώνεται η τάση (Carrera et al, 2005) η γεωστατιστική να χρησιμοποιείται περισσότερο σε προβλήματα μικρής κλίμακας, καθώς δεν μπορεί να αξιοποιήσει γεωλογικές πληροφορίες και γι' αυτό δεν μπορεί να αναπαράγει την μεταβλητότητα που παρουσιάζουν οι υδρογεωλογικές παράμετροι σε προβλήματα μεγάλης κλίμακας Άμεση μέθοδος Για τη λύση του ευθέως ή ορθού προβλήματος (direct problem) χρησιμοποιείται συνήθως μία από τις μεθόδους επίλυσης προβλημάτων πεδίου και η εξίσωση που περιγράφει το πρόβλημα μετατρέπεται σε ένα σύνολο εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών ή πεπερασμένων στοιχείων. Για την εφαρμογή της άμεσης μεθόδου, με αναδιάταξη των εξισώσεων αυτών έτσι ώστε οι παράμετροι να θεωρούνται οι άγνωστες μεταβλητές, παίρνουμε εξισώσεις της μορφής (Sun, 1994): X p - c = 0 (2.22) όπου X ένας πίνακας διαστάσεων mn, p το διάνυσμα των παραμέτρων (διάστασης n), c ένα διάνυσμα διάστασης m, m ο αριθμός των παρατηρήσεων και n ο αριθμός των αγνώστων παραμέτρων. Ο πίνακας X και το διάνυσμα c εξαρτώνται από όλες τις τιμές των μεταβλητών κατάστασης στους κόμβους. Είναι δυνατόν ο αριθμός των παρατηρήσεων να είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των αγνώστων παραμέτρων (m>n). Η ύπαρξη σφαλμάτων στις παρατηρήσεις αλλά και το ότι το μοντέλο δεν αποτελεί μια ακριβή αναπαράσταση της πραγματικότητας έχουν σαν αποτέλεσμα το να μην υπάρχει τιμή του p που να ικανοποιεί όλες τις εξισώσεις. Έστω ότι μ i (p) είναι το σφάλμα της i-εξίσωσης: μ i (p) = X i1 p 1 + X i2 p X in p n -c i, (i=1,2,...,m) (2.23)

55 40 Μία αποδεκτή λύση των εξισώσεων (2.22) είναι ένα διάνυσμα ελαχιστοποιεί αυτά τα σφάλματα, δηλαδή το και ελαχιστοποιεί το πρόβλημα : mind(p), p P όπου D( ) [ i ( p) ] = m i= 1 2 p τέτοιο ώστε να p ανήκει στο πεδίο ορισμού των παραμέτρων p μ (2.24) τότε αποδεχόμαστε το p σαν λύση της εξίσωσης (2.22). Έτσι το αντίστροφο πρόβλημα μετατρέπεται σε πρόβλημα βελτιστοποίησης. Έστω P: p j p j _ p j, (j=1,2,...,n), όπου p j και p τα εκτιμώμενα κάτω και άνω j αντίστοιχα όρια της παραμέτρου p j.τότε το πρόβλημα (2.24) μπορεί να λυθεί από έναν υποαλγόριθμο τετραγωνικού προγραμματισμού. Σ αυτή τη διαδικασία δεν χρειαζόμαστε υποαλγόριθμο για τη λύση του ευθέως προβλήματος. Η λύση του αντίστροφου επιτυγχάνεται απευθείας με τη λύση των εξισώσεων (2.23), γι αυτό και η μέθοδος ονομάστηκε άμεση (Neuman, 1973). Για τη λύση του αντίστροφου προβλήματος με την άμεση μέθοδο είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τα φορτία σ' όλους τους κόμβους και σε όλα τα χρονικά βήματα. Μετρήσεις συνήθως είναι διαθέσιμες σε συγκεκριμένα σημεία. Έτσι είναι απαραίτητος ο υπολογισμός των τιμών στους κόμβους του δικτύου με παρεμβολή στις υπάρχουσες μετρημένες τιμές, αυτό όμως εισάγει επιπλέον σφάλματα και η λύση είναι ασταθής (Carrera et al, 2005). Οι περισσότεροι ερευνητές θεωρούν ότι η άμεση μέθοδος δεν είναι η κατάλληλη επιλογή εφόσον οι μετρήσεις δεν είναι απαλλαγμένες από σφάλματα (Tikhonov and Arsenin 1977, Tarantola 1987, Banks and Kunisch, 1989, McLaughlin and Townley 1996) Έμμεση μέθοδος Στην έμμεση μέθοδο ως κριτήριο για τη διατύπωση του αντίστροφου προβλήματος χρησιμοποιείται μια συνάρτηση η οποία αποτιμά την επιτυγχανόμενη από το μοντέλο προσέγγιση των μετρήσεων της εξαρτημένης μεταβλητής. Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται αντικειμενική συνάρτηση και αποτελεί ένα μέτρο της διαφοράς μεταξύ των μετρήσεων της εξαρτημένης μεταβλητής (φορτίο ή/και παροχή) και των αντίστοιχων τιμών που υπολογίζονται από το μοντέλο. Ως τέτοιο μέτρο μπορεί να χρησιμοποιηθεί η απόλυτη τιμή της διαφοράς μετρημένων και υπολογισμένων φορτίων ή το τετράγωνο των διαφορών μεταξύ των μετρημένων και των υπολογισμένων φορτίων. Το πρώτο είναι πιο δύσκολο στην εφαρμογή του (Woodbury et al 1987, Xiang et al 1992). Το δεύτερο είναι το συνηθέστερα χρησιμοποιούμενο, αν και είναι πιο ευαίσθητο σε ακραίες τιμές (Marsily et al 2000, Carrera et

56 41 al, 2005). Σε αυτήν την περίπτωση η αντικειμενική συνάρτηση έχει τη μορφή (Carrera et al, 2005): όπου Fh = 1 h * T 1 * ( h h ) C ( h h ) h (2.25) C είναι ένας πίνακας συντελεστών στάθμισης των μετρημένων φορτίων (weighting matri), h και h * είναι τα διανύσματα των υπολογισμένων και μετρημένων φορτίων αντίστοιχα και ο εκθέτης Τ συμβολίζει τον ανάστροφο πίνακα. Όταν η (2.25) χρησιμοποιείται ως αντικειμενική συνάρτηση, το αντίστροφο πρόβλημα συχνά δεν είναι καλά τοποθετημένο και η χρήση περιορισμών στις τιμές που μπορεί να πάρουν οι παράμετροι δεν αρκεί για να βελτιωθεί η τοποθέτηση του προβλήματος. Αυτό οδήγησε στην προσθήκη ενός ακόμη όρου στην αντικειμενική συνάρτηση, του όρου "αληθοφάνειας" (plausibility term - Neuman, 1973), θεωρώντας ότι οι βέλτιστες τιμές των παραμέτρων δεν θα πρέπει να διαφέρουν πολύ από αυτές που εκ των προτέρων (a priori) αναμένονται με βάση τη γεωλογία της περιοχής μελέτης, μετρημένες τιμές σε σημεία της περιοχής και άλλες παρόμοιες πληροφορίες. Η χρήση του όρου αυτού στην αντικειμενική συνάρτηση έχει καθιερωθεί και συνήθως ονομάζεται "χρήση προϋπάρχουσας πληροφορίας" (use of prior information) και μπορεί να θεωρηθεί ως όρος "ομαλοποίησης" (regularization) κατά Tikhonov (McLaughlin and Townley 1996, Marsily et al 2000, Carrera et al 2005). Ο όρος αυτός συνήθως έχει ίδια μορφή με τον όρο που αφορά τα φορτία: Fp = * T 1 * ( p p ) C ( p p ) p (2.26) όπου C είναι ένας πίνακας συντελεστών στάθμισης των p *, p * είναι το διάνυσμα των 1 p "προηγούμενων" τιμών των παραμέτρων και p είναι το διάνυσμα των τιμών των παραμέτρων που προκύπτουν από τη βελτιστοποίηση. Με την προσθήκη αυτού του όρου η αντικειμενική συνάρτηση παίρνει τη μορφή: F = F h + λf p (2.27) όπου λ ένας συντελεστής που καθορίζει τη σχετική βαρύτητα του κάθε όρου της αντικειμενικής συνάρτησης στην ελαχιστοποίηση. Ο προσδιορισμός της βέλτιστης τιμής του λ σε προβλήματα εφαρμογής εξακολουθεί να είναι αντικείμενο διερεύνησης (Vogel 2002, Sun and Sun 2005). Η λύση του αντίστροφου προβλήματος επιτυγχάνεται με τη μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης, επομένως για τη λύση του αντίστροφου προβλήματος μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια από τις μεθόδους βελτιστοποίησης.

57 42 Οι μέθοδοι βελτιστοποίησης πολλών μεταβλητών ακολουθούν μια επαναληπτική διαδικασία που περιλαμβάνει τα ακόλουθα στάδια (Sun and Sun, 2002): 1. Επιλογή του σημείου εκκίνησης: ορισμός των αρχικών τιμών των παραμέτρων p 0 2. Επίλυση του ευθέως προβλήματος h(p i ), υπολογισμός της αντικειμενικής συνάρτησης F i, και, ανάλογα με τις ανάγκες κάθε μεθόδου, της κλίσης της g i και του Ιακωβιανού μητρώου ή μητρώου ευαισθησίας (Jacobian or sensitivity matri) J hp (για τον τρόπο υπολογισμού του βλ. παρ. 2.4) 3. Υπολογισμός της διεύθυνσης μετακίνησης d i και το μέγεθος του βήματος κατά μήκος αυτής της διεύθυνσης λ i. 4. Υπολογισμός των νέων τιμών των παραμέτρων: p i +1 = p i + λ i d i 5. Έλεγχος ικανοποίησης του κριτηρίου σύγκλισης. Αν ικανοποιείται έχει επιτευχθεί η σύγκλιση και η διαδικασία σταματά, αν όχι η διαδικασία επαναλαμβάνεται επιστρέφοντας στο στάδιο 2. Οι μέθοδοι βελτιστοποίησης διαφοροποιούνται ανάλογα με τον αλγόριθμο που εφαρμόζουν για τον υπολογισμό της διεύθυνσης και του βήματος μετακίνησης. Στις μεθόδους αναζήτησης (search methods) σε κάθε επανάληψη υπολογίζεται μόνο η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Οι μέθοδοι κλίσης (gradient methods) απαιτούν τον υπολογισμό της κλίσης της αντικειμενικής συνάρτησης (πρώτες μερικές παράγωγοι της συνάρτησης ως προς τις παραμέτρους). Όταν σε κάθε επανάληψη απαιτείται ο υπολογισμός των δεύτερων μερικών παραγώγων της αντικειμενικής συνάρτησης ως προς τις παραμέτρους (μητρώο Hess - Hessian matri), καλούνται μέθοδοι δεύτερης τάξης. Στα προβλήματα υπόγειων νερών δεν είναι δυνατός ο υπολογισμός των δευτέρων παραγώγων σε κάθε επανάληψη, γι' αυτό και δεν χρησιμοποιούνται μέθοδοι δεύτερης τάξης με την κλασσική τους μορφή (π.χ. μέθοδος Newton). Μπορούν να χρησιμοποιηθούν μέθοδοι στις οποίες το μητρώο του Hess αντικαθίσταται από μία προσέγγισή του (μέθοδοι quasi- Newton). Για την προσέγγιση αυτή χρησιμοποιείται σε κάθε επανάληψη το μοναδιαίο μητρώο Ι και το διάνυσμα της κλίσης g i. Για τον υπολογισμό του διανύσματος της κλίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί η προσέγγιση με πρώτης τάξης πεπερασμένες διαφορές (Sun and Sun, 2002). Από το πλήθος των αριθμητικών μεθόδων βελτιστοποίησης που συναντώνται στην βιβλιογραφία, λίγες έχουν βρει ευρεία εφαρμογή στη λύση του αντίστροφου προβλήματος των υπόγειων νερών. Μπορούν γενικά να διακριθούν τρεις ομάδες (Carrera et al., 2005): a)gauss-newton, Marquardt (Cooley, 1977), b) συζυγών κλίσεων (conjugate gradients - Carrera and Neuman, 1986) και γ) προσομοιωμένη ανόπτηση (simulated annealing), γενετικοί αλγόριθμοι (genetic algorithms) (Rao et al 2003, Karpouzos et al 2001, Tsai et al 2003). Η πρώτη θεωρείται ιδιαίτερα αποτελεσματική γιατί συγκλίνει με μικρό αριθμό

58 43 επαναλήψεων, αν και δαπανηρή σε χρόνο και πόρους γιατί απαιτεί τον υπολογισμό του Ιακωβιανού μητρώου. Η μέθοδος αυτή αναπτύσσεται στην επόμενη παράγραφο, καθώς σ' αυτή την ομάδα ανήκει και η μέθοδος που χρησιμοποιήθηκε για την αυτόματη ρύθμιση του μοντέλου που καταρτίσθηκε στα πλαίσια της παρούσας εργασίας. Η δεύτερη ομάδα στηρίζεται στο συνδυασμό μεθόδων quasi-newton και συζυγών κλίσεων. Δε θεωρούνται τόσο ισχυρές όσο οι μέθοδοι της πρώτης ομάδας αλλά απαιτούν τον υπολογισμό μόνο της κλίσης της αντικειμενικής συνάρτησης. Η επιλογή εξαρτάται από τις ιδιαιτερότητες κάθε προβλήματος, αλλά γενικά οι μέθοδοι της πρώτης ομάδας θεωρούνται καλύτερες μετά από συγκρίσεις που έχουν γίνει από διάφορους ερευνητές (Cooley 1985, Hill 1990c). Η τρίτη ομάδα περιλαμβάνει μεθόδους που βασίζονται σε παραλλαγές της τυχαίας αναζήτησης, οι οποίες αναπτύχθηκαν στην προσπάθεια να ξεπεραστεί το πρόβλημα του εγκλωβισμού σε κάποιο τοπικό ελάχιστο, που συχνά αντιμετωπίζουν οι μέθοδοι των άλλων δύο ομάδων. Οι Solomatine et al (1999) συγκρίνουν αλγόριθμους "ολικής" βελτιστοποίησης (global optimization) και την εφαρμογή τους σε μοντέλα υπόγειων νερών. Οι μέθοδοι αυτές δεν έχουν ευρεία εφαρμογή στην πράξη, κυρίως γιατί δεν είναι πολύ αποτελεσματικές σε προβλήματα με μεγάλο αριθμό παραμέτρων (π.χ. μεγαλύτερο από 20), κάτι που συναντάται συχνά σε μοντέλα υπόγειων νερών (Carrera et al, 2005) Μέθοδος Gauss-Levenberg-Marquardt Η μέθοδος αυτή αποτελεί μια τροποποίηση της μεθόδου Gauss-Newton και ανήκει στην πρώτη από τις προαναφερθείσες ομάδες μεθόδων. Η περιγραφή της βασίζεται στους Doherty (2004) και Cooley και Naff (1990). Έστω ότι ένα σύστημα περιγράφεται από τη γραμμική εξίσωση: Xp = c (2.28) όπου X ένας πίνακας m n, τα στοιχεία του οποίου είναι ανεξάρτητα από τα στοιχεία του p, p ένα διάνυσμα τάξης n, τα στοιχεία του οποίου αντιπροσωπεύουν τις παραμέτρους του συστήματος και c ένα διάνυσμα τάξης m, τα στοιχεία του οποίου αντιπροσωπεύουν την αντίδραση του συστήματος στο σύνολο των ερεθισμάτων που εμπεριέχονται στον πίνακα Χ και για τα οποία μπορούμε να έχουμε αντίστοιχες μετρήσεις πεδίου (εξαρτημένη μεταβλητή). Το ζητούμενο είναι να προσδιοριστούν τα στοιχεία του p έτσι ώστε οι υπολογιζόμενες από το μοντέλο τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής να προσεγγίζουν κατά το δυνατό καλύτερα τις αντίστοιχες μετρήσεις. Ως βέλτιστο σύνολο παραμέτρων ορίζεται αυτό για το οποίο ελαχιστοποιείται το άθροισμα των τετραγώνων των διαφορών μεταξύ υπολογισμένων και μετρημένων τιμών: θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε τη συνάρτηση (αντικειμενική συνάρτηση):

59 44 F = (c - Xp) T (c-xp) (2.29) όπου το διάνυσμα c περιέχει τις μετρήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής. Το διάνυσμα που ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση F δίνεται από τη σχέση: p = (X T X) -1 X T c (2.30) Εφόσον ο αριθμός των μετρήσεων m είναι ίσος ή μεγαλύτερος από τον αριθμό των παραμέτρων n, η εξίσωση (2.30) δίνει μια μοναδική λύση στο πρόβλημα της εκτίμησης των παραμέτρων του συστήματος, η οποία μπορεί να προκύψει σχετικά εύκολα με τη χρήση μιας αριθμητικής μεθόδου, καθώς ο πίνακας (X T X) με τις συνθήκες αυτού του προβλήματος είναι θετικά ορισμένος. Το διάνυσμα p της εξίσωσης (2.30) είναι ένας "βέλτιστος γραμμικός αμερόληπτος εκτιμητής" (best linear unbiased estimator) των πραγματικών παραμέτρων του συστήματος (διάνυσμα p της εξίσωσης (2.28)). Ως εκτιμητής, είναι ένα ενδεχόμενο (realisation) του n- διάστατου τυχαίου διανύσματος p, υπολογισμένο από το m-διάστατο τυχαίο διάνυσμα c των μετρήσεων, ένα ενδεχόμενο του οποίου είναι οι συγκεκριμένες μετρήσεις. Αν θεωρήσουμε τα στοιχεία του c ανεξάρτητα μεταξύ τους, η διακύμανση (variance) κάθε στοιχείου του c μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση: σ 2 = F/(m-n) (2.31) όπου η διαφορά (m-n) μεταξύ του αριθμού των μετρήσεων και του αριθμού των παραμέτρων αντιπροσωπεύει τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας του προβλήματος. Ο πίνακας των συντελεστών μεταβλητότητας (covariance matri) του p δίνεται από τη σχέση: C(p) = σ 2 (X T X) -1 (2.32) Στο συγκεκριμένο πρόβλημα, επειδή τα στοιχεία του c θεωρούνται ανεξάρτητα μεταξύ τους, ο πίνακας των συντελεστών μεταβλητότητας του c περιέχει μόνο διαγώνια στοιχεία. Ο πίνακας όμως των συντελεστών μεταβλητότητας του p δεν είναι απαραίτητα διαγώνιος. Στα περισσότερα προβλήματα οι παράμετροι συσχετίζονται μεταξύ τους και το αποτέλεσμα της διαδικασίας εκτίμησής τους είναι η εκτίμηση κάποιου γραμμικού συνδυασμού των συσχετιζόμενων παραμέτρων. Όταν το φαινόμενο της συσχέτισης των παραμέτρων παίρνει ακραίες διαστάσεις, η ορίζουσα του πίνακα (X T X) της εξίσωσης (2.32) γίνεται μηδενική (singular matri) και η εκτίμηση των παραμέτρων είναι αδύνατη. Η ύπαρξη συσχέτισης μεταξύ των παραμέτρων περιγράφεται καλύτερα από τον πίνακα των συντελεστών

60 45 συσχέτισης (correlation coefficient matri), του οποίου τα στοιχεία υπολογίζονται από τη σχέση: σ ij ρ ij = (2.33) σ σ ii jj όπου το σ ij αντιπροσωπεύει το στοιχείο της i σειράς και j στήλης του πίνακα C(p). Τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα των συντελεστών συσχέτισης είναι πάντα ίσα με 1. Τα υπόλοιπα στοιχεία του κυμαίνονται μεταξύ -1 και 1. Όσο πλησιέστερα στο 1 ή στο -1 είναι κάποιο από τα μη διαγώνια στοιχεία τόσο μεγαλύτερος ο βαθμός συσχέτισης των αντίστοιχων παραμέτρων. Όλες οι μετρήσεις δεν έχουν πάντα την ίδια "βαρύτητα" στη διαδικασία της εκτίμησης των παραμέτρων, είτε γιατί κάποιες περιέχουν μεγαλύτερα σφάλματα είτε γιατί όταν χρησιμοποιούνται διαφορετικού τύπου μετρήσεις μπορεί να διαφέρουν σημαντικά σε μέγεθος (π.χ. παροχές και φορτία). Σ' αυτές τις συνθήκες η μεταβλητή που αντιπροσωπεύεται από μεγαλύτερες τιμές θα έχει το προβάδισμα στη διαδικασία βελτιστοποίησης. Το πρόβλημα αυτό αντιμετωπίζεται με τη χρήση ενός σταθμιστικού συντελεστή (weighting factor) για κάθε μέτρηση της εξαρτημένης μεταβλητής. Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του συντελεστή μιας μέτρησης τόσο μεγαλύτερη είναι και η συμβολή της στην αντικειμενική συνάρτηση. Με τη χρήση των συντελεστών στάθμισης η αντικειμενική συνάρτηση (2.29) παίρνει τη μορφή: F = (c - Xp) T Q(c-Xp) (2.29α) όπου ο πίνακας Q είναι ένας τετραγωνικός διαγώνιος πίνακας διάστασης m και το στοιχείο του q ij ισούται με το τετράγωνο του συντελεστή στάθμισης της i μέτρησης. Η εξίσωση (2.29α) μπορεί να γραφεί με τη μορφή αθροίσματος: ( w i r i ) = m i= 1 2 F (2.29β) όπου r i είναι το υπόλοιπο (residual) που εκφράζει τη διαφορά μεταξύ της υπολογισμένης από το μοντέλο τιμής της εξαρτημένης μεταβλητής και της αντίστοιχης μέτρησης i. Αν οι συντελεστές στάθμισης ορίζονται έτσι ώστε ο καθένας να είναι αντιστρόφως ανάλογος της τυπικής απόκλισης της μέτρησης την οποία αφορά, η εξίσωση (2.29α) είναι ισοδύναμη με την ακόλουθη: F = (c - Xp) T P -1 (c-xp) (2.34) όπου P ( = Q -1 ) = C(c) / σ 2 (2.35)

61 46 Ο πίνακας C(c) είναι ο πίνακας των συντελεστών μεταβλητότητας του m-διάστατου τυχαίου διανύσματος των παρατηρήσεων, του οποίου το διάνυσμα των μετρήσεών μας είναι ένα ενδεχόμενο. Όπως και ο Q, o P είναι ένας διαγώνιος πίνακας, έτσι ώστε οι μετρήσεις να παραμένουν ανεξάρτητες. Με τη χρήση των συντελεστών στάθμισης η εξίσωση (2.30) με την οποία υπολογίζονται οι βέλτιστες τιμές των παραμέτρων παίρνει τη μορφή: p = (X T QX) -1 X T Qc (2.36) και η εξίσωση (2.32) του πίνακα των συντελεστών μεταβλητότητας των παραμέτρων παίρνει τη μορφή: C(p) = σ 2 (X T QX) -1 (2.37) Τα μοντέλα υπόγειων νερών είναι συνήθως μη γραμμικά και δεν μπορούν να περιγραφούν με μια σχέση της μορφής της (2.28). Για να είναι δυνατή η εκτίμηση των παραμέτρων τους με τον τρόπο που παρουσιάστηκε, πρέπει να γραμμικοποιηθούν. Έστω Μ η συνάρτηση που αντιστοιχεί το n-διάστατο πεδίο ορισμού των παραμέτρων στο m-διάστατο πεδίο ορισμού των μετρήσεων, η οποία είναι συνεχώς διαφορήσιμη (continuously differentiable) ως προς τις παραμέτρους που θέλουμε να εκτιμήσουμε. Έστω ότι για ένα σύνολο παραμέτρων που αποτελούν το διάνυσμα p 0, το αντίστοιχο διάνυσμα των υπολογιζόμενων από το μοντέλο τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής, που παράγονται από τη συνάρτηση Μ και αντιστοιχούν στις μετρήσεις, είναι το c 0 : c 0 = M(p 0 ) (2.38) Ένα νέο σύνολο παραγόμενων από το μοντέλο τιμών c που αντιστοιχεί στο διάνυσμα των παραμέτρων p το οποίο διαφέρει ελάχιστα από το p 0 μπορεί, με βάση το θεώρημα του Taylor, να υπολογιστεί από την ακόλουθη σχέση: c = c 0 + J(p-p 0 ) (2.39) όπου J είναι το Ιακωβιανό μητρώο της συνάρτησης Μ: το στοιχείο J ij είναι η παράγωγος της i μέτρησης ως προς τη j παράμετρο. Τα στοιχεία του πίνακα J καλούνται συντελεστές ευαισθησίας και ο πίνακας J καλείται πίνακας ευαισθησίας. Οι τρόποι υπολογισμού τους αναφέρονται στην παράγραφο 2.4. Η εξίσωση (2.39) αποτελεί μια γραμμικοποίηση της (2.38). Το ζητούμενο είναι να προσδιορίσουμε ένα σύνολο παραμέτρων του μοντέλου τέτοιο ώστε οι παραγόμενες από το μοντέλο τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής να προσεγγίζουν όσο γίνεται περισσότερο το σύνολο των μετρήσεων. Χρησιμοποιώντας ως μέτρο αυτής της

62 47 προσέγγισης το κριτήριο των σταθμισμένων ελαχίστων τετραγώνων, θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε τη συνάρτηση: F = (c - c 0 - J(p-p 0 )) Τ Q(c - c 0 - J(p-p 0 )) (2.40) όπου το διάνυσμα c περιέχει τις μετρήσεις. Η εξίσωση (2.40) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση (2.29α) αν ο όρος c της (2.29α) αντικατασταθεί από τον όρο (c - c 0 ) της (2.40) και ο όρος p από τον (p-p 0 ) αντίστοιχα. Άρα η θεωρία που παρουσιάστηκε για τη γραμμική εκτίμηση παραμέτρων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του διανύσματος u=(p-p 0 ) από το διάνυσμα (c - c 0 ). Η εξίσωση (2.36) παίρνει τη μορφή: u = (J T QJ) -1 J T Q(c - c 0 ) (2.41) και η εξίσωση (2.37) του πίνακα των συντελεστών μεταβλητότητας των παραμέτρων γίνεται: C(p) = σ 2 (J T QJ) -1 (2.42) Οι γραμμικές εξισώσεις που αντιπροσωπεύει η εξίσωση πινάκων (2.42) καλούνται "κανονικές εξισώσεις" (normal equations) και ο πίνακας (J T QJ) "κανονικός πίνακας" (normal matri). Επειδή η εξίσωση (2.39) στην οποία στηρίχτηκε η εξαγωγή της εξίσωσης (2.41) είναι μόνο κατά προσέγγιση σωστή, το νέο διάνυσμα p που προκύπτει προσθέτοντας το διάνυσμα u στο p 0 δεν είναι βέβαιο ότι ελαχιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση. Γι' αυτό και η διαδικασία επαναλαμβάνεται υπολογίζοντας νέα u και p μέχρι να φτάσουμε στο ολικό ελάχιστο της F. Η εξίσωση (2.41), η οποία αποτελεί τη βάση της διαδικασίας εκτίμησης των παραμέτρων με μη γραμμικά σταθμισμένα ελάχιστα τετράγωνα, μπορεί να γραφεί με τη μορφή: u = (J T QJ) -1 J T Qr (2.43) όπου u το διάνυσμα ανανέωσης των τιμών των παραμέτρων και r το αντίστοιχο διάνυσμα των υπολοίπων. Αν η κλίση της συνάρτησης F στο χώρο των παραμέτρων συμβολίζεται με το διάνυσμα g, το i στοιχείο του g ορίζεται από την εξίσωση: g i F = (2.44) b i δηλαδή από τη μερική παράγωγο της αντικειμενικής συνάρτησης ως προς την i παράμετρο. Η διεύθυνση -g ορίζει τη διεύθυνση της μέγιστης μείωσης της συνάρτησης F (steepest descent

63 48 direction). Στα περισσότερα προβλήματα εκτίμησης παραμέτρων είναι επιθυμητό στα αρχικά στάδια της διαδικασίας η διεύθυνση του διανύσματος u να προσεγγίζει αυτή της μέγιστης μείωσης της αντικειμενικής συνάρτησης, γιατί ο ρυθμός σύγκλισης σ' αυτήν την περίπτωση είναι πολύ γρήγορος. Πλησιάζοντας τη βέλτιστη τιμή, ο ρυθμός σύγκλισης γίνεται εξαιρετικά αργός, ιδιαίτερα αν οι καμπύλες ίσης τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης έχουν σχήμα πολύ επίμηκες, οπότε στα επόμενα στάδια αυτή η διεύθυνση είναι προτιμότερο να εγκαταλείπεται. Αυτό επιτυγχάνεται με τη χρήση μιας παραμέτρου η οποία ονομάζεται "παράμετρος Marquardt" από τον Marquardt (1963), αν και η χρήση της προτάθηκε για πρώτη φορά από τον Levenberg (1944). Εισάγοντας αυτήν την παράμετρο στην εξίσωση (2.43) παίρνουμε την εξίσωση: u = (J T QJ + αi) -1 J T Qr (2.45) όπου α είναι η παράμετρος Marquardt και Ι είναι ο μοναδιαίος πίνακας διάστασης n n. Το διάνυσμα της κλίσης μπορεί να εκφραστεί με τη σχέση: g = -2J T Qr (2.46) Όπως φαίνεται από τις εξισώσεις (2.45) και (2.46), όσο μεγαλύτερη γίνεται η τιμή του α τόσο η διεύθυνση του u προσεγγίζει τη διεύθυνση μέγιστης μείωσης, ενώ για α = 0 η (2.45) είναι ισοδύναμη με τη (2.43). Έτσι στην αρχή της επαναληπτικής διαδικασίας το α παίρνει μεγάλες τιμές οι οποίες μειώνονται όσο πλησιάζουμε τη βέλτιστη λύση. Σε πολλά προβλήματα υπόγειων νερών οι τύποι των μετρήσεων και των παραμέτρων που χρησιμοποιούνται διαφέρουν πολύ μεταξύ τους σε τάξη μεγέθους, με συνέπεια να διαφέρουν πολύ μεταξύ τους σε μέγεθος και τα στοιχεία του Ιακωβιανού μητρώου, γεγονός που μπορεί να οδηγήσει σε σημαντικά σφάλματα στρογγυλοποίησης κατά τον υπολογισμό του u με τη σχέση (2.45). Αυτό είναι δυνατό να αποφευχθεί με τη χρήση ενός πίνακα "κλιμάκωσης" (scaling matri) S, διαγώνιου, με διάσταση n n, που τα στοιχεία της διαγωνίου του δίνονται από τη σχέση: S ii = (J T QJ) ii -1/2 (2.47) Εισάγοντας τον πίνακα S στην εξίσωση (2.45) παίρνουμε την ισοδύναμη εξίσωση: S -1 u = ((JS) T QJS + αs T S) -1 (JS) T Qr (2.48) Αν α = 0, ο πίνακας (JS) T QJS + αs T S έχει όλα τα διαγώνια στοιχεία του ίσα με τη μονάδα. Αν α 0 τα διαγώνια στοιχεία του (JS) T QJS + αs T S είναι μεγαλύτερα από τη μονάδα (όχι ίσα μεταξύ τους). Αν συμβολίσουμε με λ το στοιχείο του πίνακα αs T S με τη

64 49 μεγαλύτερη τιμή (το οποίο ονομάζεται από διάφορους ερευνητές "Marquardt λ"), τότε το διαγώνιο στοιχείο του (JS) T QJS + αs T S με τη μεγαλύτερη τιμή θα είναι ίσο με 1 + λ. Η χρήση της παραμέτρου Marquardt έχει σαν αποτέλεσμα το διάνυσμα u να έχει την επιθυμητή διεύθυνση, θα πρέπει όμως να έχει και το βέλτιστο μέγεθος. Με την παραδοχή της γραμμικότητας, με την οποία έχουν εξαχθεί όλες οι προηγούμενες εξισώσεις, το βέλτιστο διάνυσμα "μετακίνησης" δίνεται από το διάνυσμα βu, όπου το u ορίζεται από την εξίσωση (2.48) και το β υπολογίζεται με τη σχέση: β m ( ci c0i ) i= 1 = m ( w iγi ) i= 1 w 2 2 i γ i (2.49) όπου το διάνυσμα c αντιπροσωπεύει τις μετρήσεις, το διάνυσμα c 0 αντιπροσωπεύει τις αντίστοιχες υπολογιζόμενες από το μοντέλο τιμές, w i είναι ο συντελεστής στάθμισης της μέτρησης i και το γ i δίνεται από τη σχέση: n c0i γ i = Ju = u (2.50) p j j= 1 j Αν p 0 είναι το διάνυσμα με τις τρέχουσες τιμές των παραμέτρων, το νέο διάνυσμα των ανανεωμένων τιμών των παραμέτρων υπολογίζεται με την εξίσωση: p = p 0 + βu (2.51) 2.4. Ανάλυση ευαισθησίας Διάφορες μέθοδοι ανάλυσης ευαισθησίας (Frey and Patil, 2001) έχουν αναπτυχθεί και εφαρμόζονται σε διάφορα επιστημονικά πεδία, σε συνδυασμό με την ανάπτυξη και εφαρμογή μοντέλων. Στα πλαίσια των μαθηματικών μοντέλων υπόγειων νερών, η ανάλυση ευαισθησίας συνήθως αναφέρεται στη διαδικασία κατά την οποία η τιμή κάθε μιας από τις παραμέτρους του μοντέλου μεταβάλλεται με συστηματικό τρόπο, μέσα στα όρια των αποδεκτών τιμών της, ενώ οι υπόλοιπες παράμετροι παραμένουν σταθερές. Το μέγεθος της μεταβολής του φορτίου από τη βασική κατάσταση, που προκύπτει από τη μεταβολή της παραμέτρου, είναι ένα μέτρο της ευαισθησίας της λύσης ως προς τη συγκεκριμένη παράμετρο. Η "βασική κατάσταση" αναφέρεται στις τιμές των παραμέτρων που προέκυψαν από τη ρύθμιση του μοντέλου. Τα αποτελέσματα της ανάλυσης ευαισθησίας εκφράζονται με την αντίστοιχη μεταβολή της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης που χρησιμοποιήθηκε για τη ρύθμιση του μοντέλου. Σύμφωνα με τους Anderson και Woessner (1992), θα πρέπει να εξετάζεται και η

65 50 επίδραση στη χωρική κατανομή των υπολοίπων του φορτίου, αλλά αυτό συνήθως δε συναντάται στις διάφορες εφαρμογές. Τα αποτελέσματα της ανάλυσης ευαισθησίας παρουσιάζονται είτε γραφικά είτε με μορφή πινάκων. Η χρήση πινάκων δεν ενδείκνυται για μεγάλο αριθμό παραμέτρων. Η γραφική παρουσίαση μπορεί να περιλαμβάνει: (α) γραφική παράσταση της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης (ή της ποσοστιαίας μεταβολής της) ως προς την ποσοστιαία μεταβολή των παραμέτρων, (β) γραφική παράσταση των καμπυλών του φορτίου κατά μήκος μιας σειράς ή στήλης του δικτύου υπολογισμών για τις διαφορετικές τιμές μιας παραμέτρου, (γ) σε μοντέλα μη μόνιμης ροής, γραφική παράσταση των καμπυλών του φορτίου σε ένα κόμβο ως προς το χρόνο για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων. Μια περισσότερο μεθοδική ανάλυση ευαισθησίας πραγματοποιείται με τον υπολογισμό των συντελεστών ευαισθησίας, με βάση τους οποίους σχεδιάζονται χάρτες ευαισθησίας, στους οποίους φαίνονται ευκρινώς οι περιοχές όπου το μοντέλο είναι πιο ευαίσθητο σε μεταβολές μιας συγκεκριμένης παραμέτρου (Hill et al, 2000). Οι μέθοδοι υπολογισμού των συντελεστών ευαισθησίας περιγράφονται στην επόμενη παράγραφο. Και στις δύο περιπτώσεις, την αυθαίρετη συστηματική μεταβολή των τιμών των παραμέτρων και τον υπολογισμό συντελεστών ευαισθησίας, δεν ελέγχεται η συνδυασμένη επίδραση δύο ή περισσότερων παραμέτρων, η οποία μπορεί να είναι σημαντική (Frey and Patil, 2001). Η συνδυασμένη ανάλυση δίνει τη δυνατότητα να οριστεί ένα ευρύτερο πεδίο αληθοφανών λύσεων (Anderson and Woessner, 1992). Η ανάλυση ευαισθησίας παίζει σημαντικό ρόλο και κατά τη διάρκεια της ρύθμισης του μοντέλου. Όταν η ρύθμιση γίνεται με τη μέθοδο δοκιμής και σφάλματος, η ανάλυση ευαισθησίας του μοντέλου ως προς τις τρέχουσες τιμές των παραμέτρων μιας δοκιμής βοηθά στον προσδιορισμό των παραμέτρων που η μεταβολή τους θα οδηγήσει σε καλύτερη προσέγγιση των μετρήσεων φορτίου, καθώς και στον προσδιορισμό του μεγέθους αυτής της μεταβολής. Πολλές από τις μεθόδους αυτόματης ρύθμισης λαμβάνουν επίσης υπόψη τους την ευαισθησία των παραμέτρων προκειμένου να προσδιορίσουν τη διεύθυνση προς την οποία θα κινηθούν με στόχο τη μείωση της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης Υπολογισμός των συντελεστών ευαισθησίας Συντελεστές ευαισθησίας (sensitivity coefficients) ή ευαισθησίες (sensitivities) καλούνται οι μερικές παράγωγοι του υπολογιζόμενου φορτίου ως προς τις παραμέτρους του μοντέλου (Yeh, 1986). Ανεξάρτητα από το ποια αριθμητική μέθοδος χρησιμοποιείται για την προσομοίωση της ροής, για τον υπολογισμό των συντελεστών ευαισθησίας χρησιμοποιούνται

66 51 κυρίως τρεις μέθοδοι (Carrera et al, 2005): η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών, η μέθοδος της εξίσωσης ευαισθησίας και η "adjoint state method". Όταν για την επίλυση της εξίσωσης της ροής χρησιμοποιείται η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών, υπολογίζονται με οποιαδήποτε από τις τρεις προαναφερθείσες μεθόδους οι συντελεστές ευαισθησίας του προσομοιωμένου φορτίου σε κάθε κόμβο ως προς κάθε παράμετρο (grid sensitivities). Οι συντελεστές αυτοί δείχνουν το πόσο επηρεάζεται το υπολογιζόμενο φορτίο σε κάθε κόμβο από την κάθε παράμετρο, μπορούν επομένως να χρησιμεύσουν στην επιλογή των θέσεων όπου η λήψη παρατηρήσεων φορτίου θα βοηθούσε περισσότερο στη ρύθμιση του μοντέλου με παλινδρόμηση. Οι συντελεστές αυτοί χρησιμοποιούνται επίσης για τον υπολογισμό των συντελεστών ευαισθησίας των παρατηρήσεων (observation sensitivities). Συντελεστές ευαισθησίας ή ευαισθησίες των παρατηρήσεων ονομάζονται οι παράγωγοι των προσομοιωμένων ισοδύναμων τιμών των παρατηρήσεων ως προς τις παραμέτρους. Χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό των παραμέτρων που η τιμή τους δεν μπορεί να εκτιμηθεί με παλινδρόμηση με βάση τις υπάρχουσες παρατηρήσεις και στην αξιολόγηση των προτεινόμενων θέσεων λήψης νέων παρατηρήσεων (Hill et al, 2000). Από τις τρεις μεθόδους υπολογισμού των συντελεστών ευαισθησίας, η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών είναι η πιο εύκολη στην εφαρμογή της και μπορεί να χρησιμοποιηθεί ανεξάρτητα από τον κώδικα που χρησιμοποιείται για την προσομοίωση της ροής, γι' αυτό και σ' αυτή βασίζονται ανεξάρτητα προγράμματα για την εκτίμηση παραμέτρων, όπως το PEST (Doherty, 2004) και το UCODE (Poeter et al, 2005). Μπορούν να χρησιμοποιηθούν είτε προς τα εμπρός διαφορές είτε κεντρικές. Οι κεντρικές προτιμούνται γιατί είναι περισσότερο ακριβείς, απαιτούν όμως διπλάσιο υπολογιστικό χρόνο. Μια τεχνική που εφαρμόζεται είναι η χρήση προς τα εμπρός διαφορών στις πρώτα στάδια της ρύθμισης, κατά τα οποία η αντικειμενική συνάρτηση απέχει πολύ από την ελάχιστη τιμή της, και στη συνέχεια, όταν απαιτείται μεγαλύτερη ακρίβεια, χρήση των κεντρικών διαφορών. Η "adjoint state method" (Sun and Sun, 2002) πλεονεκτεί όταν ο αριθμός των παραμέτρων είναι πολύ μεγαλύτερος από τον αριθμό των παρατηρήσεων φορτίου και όταν η μέθοδος αυτόματης ρύθμισης που χρησιμοποιείται απαιτεί τον υπολογισμό των δεύτερης τάξης μερικών παραγώγων της αντικειμενικής συνάρτησης ως προς τις παραμέτρους (Carrera et al, 2005). Όταν ο αριθμός των παρατηρήσεων φορτίου είναι πολύ μεγαλύτερος από τον αριθμό των παραμέτρων, οι μέθοδοι των πεπερασμένων διαφορών και της εξίσωσης ευαισθησίας είναι καταλληλότερες από την "adjoint state method" (Sun and Sun, 2002). Η μέθοδος της εξίσωσης ευαισθησίας, η οποία είναι πιο ακριβής από τη μέθοδο των πεπερασμένων

67 52 διαφορών και θα πρέπει να προτιμάται όταν αυτό είναι δυνατό (Hill et al. 2000, Doherty 2004), περιγράφεται στην επόμενη παράγραφο Μέθοδος της εξίσωσης ευαισθησίας (sensitivity equation method) Η μέθοδος της εξίσωσης ευαισθησίας βασίζεται στην άμεση παραγώγιση της εξίσωσης που περιγράφει τη ροή του υπόγειου νερού (Yeh, 1986). Όταν για την προσομοίωση της ροής χρησιμοποιείται η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών, η εξίσωση ροής παίρνει τη μορφή της εξίσωσης (2.6) (παράγραφος 2.2): CR + CC + CV + P i,j,k i,j 1/ 2,k i 1/ 2,j,k i,j,k 1/ 2 h m i,j,k m m m m ( hi,j 1,k hi,j,k ) + CRi,j+ 1/ 2,k ( hi,j+ 1,k hi,j,k ) m m m m ( hi 1,j,k hi,j,k ) + CCi+ 1/ 2,j,k ( hi+ 1,j,k hi,j,k ) m m m m ( h h ) + CV ( h h ) + Q i,j,k 1 i,j,k i,j,k = SS i,j,k ( Δr Δc Δv ) j i,j,k + 1/ 2 i k i,j,k + 1 h m i,j,k t m h t i,j,k m 1 i,j,k m 1 (2.6) Συγκεντρώνοντας τους όρους του φορτίου στο τρέχον χρονικό βήμα στο αριστερό σκέλος της εξίσωσης παίρνουμε: CR + CC + CV + P i,j,k i,j 1/ 2,k i 1/ 2,j,k i,j,k 1/ 2 h m i,j,k m m m m ( hi,j 1,k hi,j,k ) + CR i,j+ 1/ 2,k ( hi,j+ 1,k hi,j,k ) m m m m ( hi 1,j,k hi,j,k ) + CCi+ 1/ 2,j,k ( hi+ 1,j,k hi,j,k ) m m m m ( hi,j,k 1 hi,j,k ) + CVi,j,k + 1/ 2 ( hi,j,k + 1 hi,j,k ) ( ΔrjΔc iδv k ) ( ΔrjΔc iδv k ) m m 1 SS i,j,k t m t m 1 h i,j,k = Q i,j,k SS i,j,k t m t m 1 h i,j,k (2.52) Το σύστημα των εξισώσεων, που προκύπτει από την εφαρμογή της εξίσωσης (2.52) για κάθε κελί, μπορεί να γραφεί με τη μορφή (Hill et al, 2000): όπου: {} m m m [ K]{} h [ P] {} h [ S] m [ S] m m m m {} {} {} m + + h = q + h 1 (2.53) m m Δt Δt h και {} m 1 h τα διανύσματα του φορτίου στους κόμβους για τα χρονικά βήματα m και m-1 (L), [ K ] ο πίνακας των αγωγιμοτήτων (L 2 /T), [ P ] m ο πίνακας των αγωγιμοτήτων των κελιών όπου ισχύει η οριακή συνθήκη παροχής που εξαρτάται από το φορτίο (L 2 /T), {} q m το διάνυσμα που περιέχει τους όρους -Q i,j,k, δηλαδή τη γνωστή εισροή ή εκροή που είναι ανεξάρτητη από το φορτίο (L 3 /T), και Δt m το μέγεθος του χρονικού βήματος m (Τ). Κάθε στοιχείο του πίνακα [ S ] m είναι το γινόμενο της ειδικής αποθηκευτικότητας του κελιού επί τον όγκο του όταν ο υδροφορέας είναι κλειστός, ή το γινόμενο της ειδικής απόδοσης του κελιού επί την επιφάνειά του όταν ο υδροφορέας είναι ελεύθερος (L 2 ).

68 53 m [ S] ( ) m m 2 Θέτοντας [ A] = [ K] + [ P] + L T και [ B] (2.53) παίρνει τη μορφή: Δt m m m [ S] 2 ( L T) =, η εξίσωση m Δt [ ] m {} m {} m [ ] m {} m A h q + B h 1 = (2.54) Για την εφαρμογή της μεθόδου εξίσωσης ευαισθησίας, η εξίσωση (2.54) παραγωγίζεται ως προς b n, όπου b n (n=1,2,...,n) οι παράμετροι του μοντέλου: [ A] b n m m {} h + [ A] m m m {} h {} q [ B] b n = b n + b n m m 1 {} h + [ B] m { h} b m 1 n (2.55) Με αναδιάταξη των όρων, η (2.55) μπορεί να πάρει τη μορφή της (2.54): [ A] m m {} h [ A] b n = b n m {} h m m {} q [ B] b n + b n m m 1 {} h + [ B] m { h} b m 1 n (2.56) Το σύστημα αυτών των εξισώσεων μπορεί να λυθεί, μετά από παραγώγιση και των οριακών συνθηκών, με τον ίδιο αλγόριθμο που χρησιμοποιείται για την επίλυση της (2.54), ώστε να προκύψουν οι τιμές των συντελεστών ευαισθησίας { h} b n Αξιολόγηση του μοντέλου Ο τρόπος αξιολόγησης των αποτελεσμάτων της ρύθμισης εξαρτάται από τη μέθοδο που εφαρμόστηκε για τη ρύθμιση. Α. Όταν για τη ρύθμιση του μοντέλου χρησιμοποιείται η μέθοδος δοκιμής - σφάλματος, κατά τη διαδικασία της ρύθμισης τα αποτελέσματα κάθε δοκιμής αξιολογούνται τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά. Για την ποιοτική αξιολόγηση χρησιμοποιούνται χάρτες ισοπιεζομετρικών καμπυλών με βάση τα υπολογισμένα και τα μετρημένα φορτία, οι οποίοι δίνουν μια εικόνα της χωρικής κατανομής του σφάλματος της ρύθμισης. Για μοντέλα που προσομοιώνουν μη μόνιμες ροές, η γραφική παράσταση των υπολοίπων μεταξύ μετρημένων και υπολογισμένων φορτίων σε σχέση με το χρόνο δίνει αντίστοιχα μια εικόνα της χρονικής κατανομής του σφάλματος της ρύθμισης. Η γραφική παράσταση των μετρημένων φορτίων ως προς τα υπολογισμένα είναι επίσης ένας τρόπος απεικόνισης της επιτυγχανόμενης προσέγγισης. Σ' αυτό το γράφημα οι αποκλίσεις των σημείων από την ευθεία γραμμή θα πρέπει να είναι τυχαία κατανεμημένες. Η ποιοτική αξιολόγηση της ρύθμισης βοηθά στη διαπίστωση της ύπαρξης συστηματικών σφαλμάτων στη ρύθμιση (bias), είναι όμως υποκειμενική και δεν αρκεί για να αποφασιστεί το αν η προσέγγιση που επιτυγχάνεται είναι ικανοποιητική (Anderson and Woessner 1992, Hill 1998).

69 54 Συνήθη ποσοτικά κριτήρια για την αξιολόγηση της προσέγγισης που επιτυγχάνεται με κάθε δοκιμή είναι το μέσο σφάλμα (μέσος όρος των διαφορών μεταξύ μετρημένων και υπολογισμένων φορτίων), το μέσο απόλυτο σφάλμα (μέσος όρος των απόλυτων τιμών των διαφορών των μετρημένων και υπολογισμένων φορτίων, ΜΑΕ) και η τετραγωνική ρίζα της μέσης τετραγωνικής διαφοράς μετρημένων και υπολογισμένων φορτίων (RMSE). Το τελευταίο είναι το συνηθέστερα χρησιμοποιούμενο και θεωρείται το καλύτερο αν τα σφάλματα είναι κανονικά κατανεμημένα (Anderson and Woessner, 1992). Το μέγιστο αποδεκτό σφάλμα συνήθως αποφασίζεται κατά τη διάρκεια της ρύθμισης, θα έπρεπε όμως να ορίζεται πριν από την έναρξη αυτής της διαδικασίας. Η μέγιστη αποδεκτή τιμή εξαρτάται από το μέγεθος της διαφοράς φορτίου σε όλη την έκταση του μοντέλου. Αν ο λόγος του RMSE προς τη συνολική διαφορά φορτίου είναι μικρός, το σφάλμα της ρύθμισης είναι μικρό τμήμα της συνολικής ανταπόκρισης του μοντέλου (Woessner and Anderson, 1990). Β. Όταν για τη ρύθμιση του μοντέλου χρησιμοποιείται μια μέθοδος αυτόματης ρύθμισης, οι επαναλήψεις συγκρίνονται μεταξύ τους με κριτήριο την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Μετά την ολοκλήρωση της επαναληπτικής διαδικασίας, είναι απαραίτητο να αξιολογηθεί το μοντέλο και οι παράμετροι που προέκυψαν από αυτή. Οι γραφικές παραστάσεις που χρησιμοποιούνται για την αξιολόγηση των αποτελεσμάτων ενός μοντέλου που ρυθμίστηκε με δοκιμές, χρησιμοποιούνται και για τα αποτελέσματα ενός αυτόματα ρυθμισμένου μοντέλου. Ο κύριος ρόλος τους είναι η παρουσίαση των αποτελεσμάτων με τέτοιο τρόπο ώστε να γίνονται άμεσα αντιληπτά και να κατανοείται η φυσική σημασία τους. Η αξιολόγηση όμως ενός μοντέλου στηρίζεται σε στατιστικά κριτήρια, τα κυριότερα από τα οποία περιγράφονται στη συνέχεια. Η ποιότητα ενός μοντέλου καθορίζεται από τρεις παράγοντες (Beck, 1987): (1) την αβεβαιότητα που αφορά τη δομή του μοντέλου, (2) την αβεβαιότητα που αφορά τις τιμές των παραμέτρων μιας συγκεκριμένης δομής και (3) την αβεβαιότητα που σχετίζεται με τις προβλέψεις της μελλοντικής συμπεριφοράς του συστήματος οι οποίες γίνονται με εφαρμογή του ρυθμισμένου μοντέλου. Ο όρος "αβεβαιότητα" (uncertainty) αναφέρεται στα τυχαία αλλά και στα συστηματικά σφάλματα (biases in errors) (Carrera et al, 2005). (1) Η αβεβαιότητα που αφορά τη δομή του μοντέλου οφείλεται σε πολλούς παράγοντες, όπως οι παραδοχές στις οποίες στηρίζεται η ανάπτυξη του μοντέλου, τα σφάλματα που εισάγονται με την διακριτοποίηση της περιοχής μελέτης, με την παραμετροποίηση, με την αρχική και τις οριακές συνθήκες κλπ. Ο μόνος τρόπος αντιμετώπισης είναι η δοκιμή διαφορετικών ως προς τη δομή τους μοντέλων (Hill 1998, Carrera et al 2005). Στη συνέχεια περιγράφονται τα κυριότερα κριτήρια τα οποία χρησιμοποιούνται για τη σύγκριση διαφορετικών μοντέλων υπόγειων νερών.

70 55 Η αντικειμενική συνάρτηση είναι εξ' ορισμού ένα μέτρο της προσαρμογής του μοντέλου στις υπάρχουσες μετρήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής, αλλά δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μέτρο σύγκρισης μεταξύ μοντέλων που διαφέρουν ως προς τον αριθμό των παραμέτρων και τον αριθμό των παρατηρήσεων που χρησιμοποιήθηκαν κατά τη ρύθμισή τους. Ένα άλλο μέτρο αξιολόγησης ενός μοντέλου (Cooley και Naff, 1990) είναι ο συντελεστής συσχέτισης R (correlation coefficient). Όταν σχεδιάζονται οι σταθμισμένες παρατηρήσεις έναντι των αντίστοιχων σταθμισμένων τιμών που υπολογίζονται από το ρυθμισμένο μοντέλο, θα πρέπει όλα τα σημεία να βρίσκονται κοντά στη γραμμή που περνά από το μηδέν κι έχει κλίση ίση με τη μονάδα. Η στατιστική παράμετρος που δείχνει κατά πόσο αυτό συμβαίνει είναι ο συντελεστής συσχέτισης, ο οποίος είναι ανεξάρτητος από τον αριθμό των παρατηρήσεων που συμμετείχαν στη διαδικασία της εκτίμησης των παραμέτρων και από το απόλυτο μέγεθος της αβεβαιότητας που συνδέεται με αυτές τις παρατηρήσεις. Γι' αυτό και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την άμεση σύγκριση μοντέλων (Doherty, 2004). Ο συντελεστής συσχέτισης υπολογίζεται από τη σχέση: R i i i 0i 0 = (2.57) 2 2 [ (w c m) (w c m ) ] 1/ 2 i (w c m)(w c i i 0i m 0 ) όπου:c i είναι η τιμή της i παρατήρησης c 0i είναι η αντίστοιχη τιμή της i παρατήρησης που υπολογίζεται από το μοντέλο m είναι ο μέσος όρος των σταθμισμένων παρατηρήσεων m 0 είναι ο μέσος όρος των παραγόμενων από το μοντέλο αντίστοιχων με τις παρατηρήσεις σταθμισμένων τιμών w i είναι ο σταθμιστικός παράγοντας της i παρατήρησης Γενικά η τιμή του συντελεστή συσχέτισης πρέπει να είναι μεγαλύτερη από 0.9 για να θεωρείται αποδεκτή η προσέγγιση των παρατηρήσεων που επιτυγχάνεται από το μοντέλο (Hill, 1998). Μια άλλη παράμετρος που συχνά χρησιμοποιείται και είναι ενδεικτική του συνολικού μεγέθους των σταθμισμένων υπολοίπων είναι η διακύμανσή τους (variance, εξίσωση (2.31)). Η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης καλείται "τυπικό σφάλμα της παλινδρόμησης" (standard error of the regression). Μικρότερες τιμές αυτών των δύο παραμέτρων δείχνουν καλύτερη προσέγγιση των παρατηρήσεων. Όταν η προσαρμογή που επιτυγχάνεται από την παλινδρόμηση είναι σύμφωνη με την ακρίβεια των μετρήσεων όπως αυτή αντανακλάται στους σταθμιστικούς παράγοντες, η αναμενόμενη τιμή και των δύο παραμέτρων είναι ίση με 1. Σημαντικές αποκλίσεις από αυτήν την τιμή είναι ενδεικτικές του ότι η προσαρμογή δεν είναι σύμφωνη με τη στάθμιση των παρατηρήσεων (Hill, 1998). Για τη διακύμανση

71 56 σημαντική θεωρείται η απόκλιση από τη μονάδα αν η τιμή αυτή βρίσκεται έξω από το διάστημα εμπιστοσύνης με όρια (Ott, 1993): Nσ χ 2 2 u Nσ ; χ 2 2 l (2.58) όπου σ 2 η διακύμανση, Ν οι βαθμοί ελευθερίας και: χ 2 u άνω όριο μιας χ 2 κατανομής με Ν βαθμούς ελευθερίας, με εμβαδόν προς τα δεξιά ίσο με το ½ του επιπέδου σημαντικότητας του διαστήματος εμπιστοσύνης (το επίπεδο σημαντικότητας είναι 0.05 για διάστημα εμπιστοσύνης 95%) χ 2 l κάτω όριο μιας χ 2 κατανομής με Ν βαθμούς ελευθερίας με εμβαδόν προς τα αριστερά ίσο με το ½ του επιπέδου σημαντικότητας. Δύο άλλα κριτήρια επιλογής μοντέλων που προέρχονται επίσης από την ανάλυση χρονοσειρών αλλά έχουν εφαρμοστεί και σε μοντέλα υπόγειων νερών, είναι οι στατιστικές AIC (Akaike, 1974) και BIC (Akaike, 1978), οι οποίες λαμβάνουν υπόψη τους το γεγονός ότι η αύξηση του αριθμού των παραμέτρων, αν και συνήθως οδηγεί σε μικρότερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, αυξάνει την αβεβαιότητα των εκτιμώμενων παραμέτρων. Οι στατιστικές αυτές υπολογίζονται ως άθροισμα της αντικειμενικής συνάρτησης μέγιστης πιθανότητας (maimum-likelihood objective function) και κάποιων όρων που αυξάνονται όσο αυξάνει ο αριθμός των παραμέτρων (Carrera and Neuman 1986, Hill 1998). Μοντέλα που δίνουν μικρότερες τιμές αυτών των στατιστικών θεωρούνται καλύτερα. Ο συντελεστής συσχέτισης έχει το μειονέκτημα ότι είναι περισσότερο ευαίσθητος σε παρατηρήσεις που απέχουν πολύ από το μέσο όρο των παρατηρήσεων (outliers) απ' ότι σε παρατηρήσεις που βρίσκονται κοντά στο μέσο όρο (Hassan, 2003). Επίσης, δεν είναι ευαίσθητος σε προσθετικές και αναλογικές διαφορές μεταξύ των υπολογιζόμενων από το μοντέλο τιμών και των αντίστοιχων παρατηρήσεων: αν c 0i = (Αc i + B), για οποιαδήποτε μη μηδενική τιμή του Α και οποιαδήποτε τιμή του Β ο συντελεστής παίρνει τιμή ίση με τη μονάδα και το μοντέλο φαίνεται να προσεγγίζει τέλεια τις παρατηρήσεις, παρόλο που οι υπολογισμένες τιμές μπορεί να απέχουν πολύ από αυτές. Οι Legates and McCabe (1999) προτείνουν τη χρήση δύο άλλων συντελεστών για την αξιολόγηση των μοντέλων, οι οποίοι είναι απαλλαγμένοι από τα μειονεκτήματα του συντελεστή συσχέτισης: του τροποποιημένου συντελεστή αποτελεσματικότητας Ε1 (modified coefficient of efficiency) και του τροποποιημένου δείκτη συμφωνίας d1 (modified inde of agreement), οι οποίοι υπολογίζονται, αντίστοιχα, με τις σχέσεις: E1 = 1.0 c c i c m i 0i (2.59)

72 57 d1 = 1.0 c c i 0i ( c 0i m + c i m ) (2.60) Ο τροποποιημένος συντελεστής αποτελεσματικότητας κυμαίνεται από μείον άπειρο (ανεπαρκές μοντέλο) ως τη μονάδα (τέλειο μοντέλο), ενώ τα αντίστοιχα όρια του τροποποιημένου δείκτη συμφωνίας είναι 0 και 1. Η χρήση των αδιάστατων αυτών συντελεστών δεν θεωρείται επαρκής για την αξιολόγηση ενός μοντέλου: θεωρείται απαραίτητο στην αξιολόγηση να περιλαμβάνεται και τουλάχιστον ένα απόλυτο μέτρο σφάλματος του μοντέλου (ΜΑΕ ή RMSE). Η ανάλυση των Legates and McCabe αναφέρεται σε υδρολογικά μοντέλα για τα οποία συνήθως υπάρχει μεγάλος αριθμός παρατηρήσεων. Τα μοντέλα υπόγειων νερών δεν διαθέτουν τέτοιο πλήθος παρατηρήσεων, γι' αυτό θεωρείται σημαντικό να μη βασίζεται η αξιολόγηση ενός μοντέλου σε ένα μόνο κριτήριο, αλλά να ελέγχονται κατά το δυνατόν περισσότερα, ώστε να θεμελιώνεται καλύτερα η εμπιστοσύνη στις προβλέψεις του μοντέλου (Hassan, 2003). (2) Η αβεβαιότητα που αφορά τις τιμές των παραμέτρων ενός μοντέλου μπορεί να προέρχεται από την όχι αρκετά καλή προσέγγιση μεταξύ των παρατηρήσεων και των αντίστοιχων τιμών που υπολογίζονται από το μοντέλο, από το μεγάλο βαθμό συσχέτισης κάποιων από τις παραμέτρους, από την έλλειψη ευαισθησίας ως προς μερικές από τις παραμέτρους ή και από όλους αυτούς τους παράγοντες ταυτόχρονα (Doherty, 2004). Οι στατιστικές που συνήθως χρησιμοποιούνται για την αξιολόγηση των τιμών των παραμέτρων είναι ο πίνακας των συντελεστών μεταβλητότητας των παραμέτρων και οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα αυτού, ο πίνακας των συντελεστών συσχέτισης, οι σύνθετες υπό κλίμακα ευαισθησίες των παραμέτρων, και τα διαστήματα εμπιστοσύνης των παραμέτρων. Η μη ικανοποιητική προσέγγιση των παρατηρήσεων μπορεί να οφείλεται στο ότι η δομή του μοντέλου δεν είναι η κατάλληλη ή στο ότι ο αριθμός των παρατηρήσεων δεν είναι αρκετός. Και στις δύο περιπτώσεις η αντιμετώπιση (αλλαγή στο σχεδιασμό του μοντέλου και συλλογή επιπλέον μετρήσεων) δεν είναι εύκολη στην πράξη (Hill, 1998). Ο πίνακας των συντελεστών συσχέτισης και οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα των συντελεστών μεταβλητότητας χρησιμοποιούνται για τον εντοπισμό των παραμέτρων που παρουσιάζουν υψηλό βαθμό συσχέτισης μεταξύ τους. Όπως αναφέρθηκε (παρ ), τιμές των συντελεστών συσχέτισης που πλησιάζουν κατά απόλυτη τιμή τη μονάδα είναι ενδεικτικές του υψηλού βαθμού συσχέτισης των αντίστοιχων παραμέτρων. Ωστόσο, μικρότερες τιμές δεν εξασφαλίζουν ότι οι παράμετροι δεν συσχετίζονται μεταξύ τους (Hill and Osterby, 2003). Τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα των συντελεστών μεταβλητότητας αποτελούν ένα σύνολο ορθογώνιων διανυσμάτων, το καθένα από τα οποία συνδέεται με μία

73 58 ιδιοτιμή. Το διάνυσμα που συνδέεται με τη μεγαλύτερη ιδιοτιμή αντιπροσωπεύει το γραμμικό συνδυασμό των παραμέτρων με τη μεγαλύτερη αβεβαιότητα, ενώ το διάνυσμα με τη μικρότερη ιδιοτιμή ορίζει τη διεύθυνση με τη μικρότερη αβεβαιότητα. Αν οι ιδιοτιμές διαφέρουν πολύ μεταξύ τους είναι πολύ πιθανό να εμφανίζονται προβλήματα αστάθειας, ένα από τα οποία είναι και η συσχέτιση μεταξύ των παραμέτρων (Carrera et al, 2005). Η στατιστική παράμετρος που χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της ευαισθησίας των παραμέτρων είναι η σύνθετη υπό κλίμακα ευαισθησία κάθε παραμέτρου, η οποία είναι ενδεικτική για το σύνολο της πληροφορίας που παρέχουν οι μετρήσεις για την εκτίμηση της παραμέτρου (Hill et al 1998, Doherty 2004). Αποτέλεσμα της έλλειψης ευαισθησίας είναι ότι οι τιμές αυτών των παραμέτρων μπορεί να κυμαίνονται σε ένα αρκετά μεγάλο εύρος επηρεάζοντας ελάχιστα τα αποτελέσματα του μοντέλου. Η αβεβαιότητα των παραμέτρων που οφείλεται είτε στη συσχέτιση των παραμέτρων μεταξύ τους είτε στην έλλειψη ευαισθησίας τους μπορεί να μειωθεί αν συμπεριληφθούν στη ρύθμιση του μοντέλου νέες μετρήσεις, ειδικά αν οι θέσεις λήψης των νέων μετρήσεων έχουν επιλεγεί έτσι ώστε οι μετρήσεις να "στοχεύουν" στις παραμέτρους που δημιουργούν αυτά τα προβλήματα. Επίσης πολύ αποτελεσματική μπορεί να αποδειχθεί και η χρήση "προηγούμενης" πληροφορίας γι' αυτές τις παραμέτρους (Hill 1998, Doherty 2004, Carrera et al 2005). Το διάστημα εμπιστοσύνης μιας παραμέτρου είναι ένα διάστημα μέσα στο οποίο υπάρχει ορισμένη πιθανότητα να περιέχεται η άγνωστη πραγματική τιμή της παραμέτρου που προσπαθούμε να εκτιμήσουμε. Το εύρος του διαστήματος εμπιστοσύνης μπορούμε να το θεωρήσουμε ως μέτρο της πιθανής ακρίβειας της εκτιμημένης τιμής της παραμέτρου: μικρό εύρος αντιστοιχεί σε μεγαλύτερη ακρίβεια (Hill, 1998). Τα γραμμικά διαστήματα εμπιστοσύνης είναι εύκολο σχετικά να υπολογιστούν, αλλά τα περισσότερα μοντέλα δεν είναι "αρκετά γραμμικά" και σ' αυτή την περίπτωση τα γραμμικά διαστήματα δεν είναι ακριβή. Η μη γραμμικότητα του μοντέλου μπορεί να έχει ως αποτέλεσμα τα μη γραμμικά διαστήματα να είναι ασύμμετρα και είτε μεγαλύτερα είτε μικρότερα από τα γραμμικά (Christensen and Cooley, 1999). Ο υπολογισμός μη γραμμικών διαστημάτων είναι πιο δύσκολο να εφαρμοστεί. Μια πρακτική που εφαρμόζεται είναι ο υπολογισμός γραμμικών διαστημάτων εμπιστοσύνης για τις παραμέτρους και ο υπολογισμός μη γραμμικών διαστημάτων για επιλεγμένες προβλέψεις. (3) Η αβεβαιότητα των προβλέψεων προκύπτει από την αβεβαιότητα της δομής του μοντέλου και την αβεβαιότητα των παραμέτρων. Η αβεβαιότητα της δομής του μοντέλου είναι δύσκολο να εκτιμηθεί, αφού αυτό προϋποθέτει την ανάπτυξη κατά το δυνατό περισσότερων διαφορετικών μοντέλων για την αποτίμηση του εύρους των προβλέψεων. Έτσι ο προσδιορισμός της αβεβαιότητας των προβλέψεων αναφέρεται στην επίδραση των

74 59 παραμέτρων και γίνεται, όπως και για τις παραμέτρους, προσδιορίζοντας γραμμικά ή μη γραμμικά διαστήματα εμπιστοσύνης για τις προβλέψεις (Doherty, 2004). Είναι πιθανό στην πράξη η επίδραση της αβεβαιότητας των παραμέτρων να μην επηρεάζει σημαντικά την αβεβαιότητα των προβλέψεων: αν το μοντέλο εφαρμοστεί με στόχο προβλέψεις ίδιου τύπου με τις μετρήσεις που χρησιμοποιήθηκαν για τη ρύθμισή του και κάτω από συνθήκες παρόμοιες με αυτές τις ρύθμισης όσον αφορά τις ασκούμενες πιέσεις στο σύστημα. Ωστόσο, αν οποιαδήποτε από αυτές τις συνθήκες δεν ισχύει, η αβεβαιότητα των προβλέψεων μπορεί να είναι εξαιρετικά μεγάλη (Doherty, 2004) Επαλήθευση του μοντέλου Ένα μοντέλο υπόγειων νερών είναι πιθανό, παρά τη ρύθμισή του, να μην αντιπροσωπεύει ικανοποιητικά την αντίδραση του υπό μελέτη συστήματος κάτω συνθήκες διαφορετικές από αυτές για τις οποίες ρυθμίστηκε. Η επαλήθευση αναφέρεται στη σύγκριση των αποτελεσμάτων του ρυθμισμένου μοντέλου με μετρήσεις πεδίου, για μια περίοδο διαφορετική από αυτή της ρύθμισης. Αν κατά την επαλήθευση η προσέγγιση μετρημένων και υπολογισμένων τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής δεν είναι ικανοποιητική, θα πρέπει η ρύθμιση να επαναληφθεί συμπεριλαμβάνοντας και τα δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν για την επαλήθευση. Σ' αυτήν την περίπτωση, για την επαλήθευση της νέας ρύθμισης πρέπει να συλλεχθούν νέα δεδομένα. Όταν η επαλήθευση ενός μοντέλου δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί λόγω έλλειψης δεδομένων, το ρυθμισμένο μοντέλο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για προβλέψεις, η αβεβαιότητα όμως αυτών των προβλέψεων θεωρείται αυξημένη (Anderson and Woessner, 1992). Η αξιοπιστία ενός μοντέλου, ακόμα και μετά την επαλήθευσή του, θα πρέπει να ελέγχεται. Σύμφωνα με τους Faust et al (1981) ένα μοντέλο μπορεί να χρησιμοποιείται για μελλοντικές προβλέψεις για μια περίοδο όχι μεγαλύτερη από το διπλάσιο της περιόδου για την οποία ρυθμίστηκε. Στην πράξη, για τη διαχείριση ενός υδροφορέα είναι απαραίτητο να υπάρχει εκτός από το μοντέλο και ένα δίκτυο παρακολούθησης της κατάστασης του υδροφορέα και των συνθηκών που την επηρεάζουν. Τα δεδομένα που συλλέγονται θα πρέπει περιοδικά να χρησιμοποιούνται για να επιβεβαιώνεται η αξιοπιστία του μοντέλου. Αν λόγω της μεταβολής των συνθηκών, η προβλεπόμενη από το μοντέλο συμπεριφορά του συστήματος πάψει να ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα, θα πρέπει να ρυθμιστεί ξανά το μαθηματικό μοντέλο ή ακόμα και να αναθεωρηθεί το θεμελιώδες μοντέλο στο οποίο βασίστηκε.

75 60 3. Λογισμικό μοντελοποίησης υπόγειων νερών Κάθε στάδιο της διαδικασίας κατάρτισης ενός μοντέλου υπόγειων νερών συνδέεται άμεσα με την εφαρμογή κάποιου λογισμικού. Τα δεδομένα πεδίου που συλλέγονται αποθηκεύονται σε βάσεις δεδομένων, όπου μπορεί να γίνει και η επεξεργασία, ανάλυση και τροποποίησή τους, ώστε να είναι διαθέσιμα με την κατάλληλη μορφή για την εισαγωγή τους στο μοντέλο. Το σύστημα των εξισώσεων, που αποτελούν το μαθηματικό μοντέλο, λύνεται με τη χρήση κάποιου κώδικα αριθμητικής επίλυσης προβλημάτων πεδίου. Το μοντέλο, συνήθως, ρυθμίζεται και αξιολογείται και πάλι με τη χρήση κατάλληλου κώδικα. Τα αποτελέσματα του μοντέλου και της ρύθμισής του παρουσιάζονται και αξιολογούνται γραφικά με τη βοήθεια λογισμικού. Όλες αυτές οι λειτουργίες μπορούν είτε να είναι πλήρως ενσωματωμένες σε ένα μόνο λογισμικό πακέτο, είτε να πραγματοποιούνται με τη χρήση ανεξάρτητων προγραμμάτων τα οποία επικοινωνούν μεταξύ τους με κατάλληλης μορφής αρχεία. Το βασικό λογισμικό που χρησιμοποιήθηκε στα πλαίσια αυτής της διατριβής για την κατάρτιση του μαθηματικού μοντέλου της πεδιάδας Πιερίας ήταν το MODFLOW, το Argus ΟΝΕ - MODFLOW GUI, το ArcGIS και το PEST. Τα προγράμματα αυτά περιγράφονται συνοπτικά στη συνέχεια MODFLOW Το MODFLOW είναι ίσως ο ευρύτερα χρησιμοποιούμενος κώδικας στη μελέτη των υπόγειων νερών για την ανάπτυξη τριδιάστατων μοντέλων πεπερασμένων διαφορών. Αναπτύχθηκε από την Αμερικανική Γεωλογική Υπηρεσία (U.S. Geological Survey) και είναι γραμμένο σε γλώσσα προγραμματισμού FORTRAN. Ένα βασικό χαρακτηριστικό του, που βοήθησε στη συνεχή βελτίωση και επέκτασή του και στην ευρεία διάδοσή του, είναι το ότι είναι δομημένο από ανεξάρτητες υπομονάδες. Στην αρχική του μορφή κυκλοφόρησε το 1983 (McDonald and Harbaugh, 1983) σε γλώσσα FORTRAN 66. Στη συνέχεια κυκλοφόρησε ως MODFLOW-88 (McDonald and Harbaugh, 1988) σε γλώσσα FORTRAN 77, χωρίς αλλαγές ως προς τη δομή ή τη λειτουργία του. Στην επόμενη έκδοσή του, το MODFLOW-96 (Harbaugh

76 61 and McDonald, 1996a και 1996b), ενσωματώθηκαν βελτιώσεις οι οποίες όμως σε μικρό βαθμό αφορούσαν την προσομοίωση της ροής. Στις εκδόσεις αυτές η αρθρωτή δομή του προγράμματος ήταν προσανατολισμένη στο να διευκολύνει τις προσθήκες στον κώδικα που αφορούσαν τη λύση της εξίσωσης της υπόγειας ροής. Στην τρέχουσα μορφή, MODFLOW (Harbaugh et al, 2000), η δομή του προγράμματος επεκτάθηκε ώστε να είναι δυνατό να συμπεριληφθούν προσθήκες που αφορούν τη λύση και άλλων εξισώσεων. Σημαντική διαφοροποίηση της νέας δομής του προγράμματος αποτελεί η προσθήκη της δυνατότητας χρήσης παραμέτρων για τον ορισμό διαφόρων ιδιοτήτων των κελιών του δικτύου υπολογισμών, σε συνδυασμό με τη δυνατότητα εκτίμησης των τιμών των παραμέτρων αυτών. Ως παράμετρος ορίζεται μια μεταβλητή της εξίσωσης ροής πεπερασμένων διαφορών, η οποία αφορά είτε το σύνολο των κελιών του δικτύου υπολογισμών είτε ορισμένα από αυτά. Για παράδειγμα μια παράμετρος μπορεί να αντιπροσωπεύει την υδραυλική αγωγιμότητα μιας ομάδας κελιών μιας στρώσης του δικτύου υπολογισμών (παράγραφος 3.1.2). Τα δομικά στοιχεία του προγράμματος είναι οι υπομονάδες (modules), τα πακέτα (packages), οι διεργασίες (procedures) και οι διαδικασίες (processes). Οι υπομονάδες είναι το μικρότερο δομικό στοιχείο. Κάθε υπομονάδα είναι μια ανεξάρτητη υπορουτίνα (subroutine). Οι υπομονάδες είναι ομαδοποιημένες σε πακέτα. Ένα πακέτο περιέχει όλες τις υπομονάδες που είναι απαραίτητες για την προσομοίωση μιας υδρολογικής διαδικασίας ή για την εφαρμογή μιας μεθόδου επίλυσης της εξίσωσης της ροής ή άλλης εξίσωσης (π.χ. πακέτο εξατμισοδιαπνοής, πακέτο άμεσης μεθόδου DE4). Επίσης, οι υπομονάδες που αφορούν την ίδια λειτουργία μπορούν να ομαδοποιηθούν σε μια διεργασία. Για παράδειγμα η "διεργασία ανάγνωσης και προετοιμασίας" (read and prepare procedure) περιλαμβάνει τις υπομονάδες ανάγνωσης και προετοιμασίας των δεδομένων του πακέτου εξατμισοδιαπνοής, του πακέτου γνωστού φορτίου κλπ. Οι διαδικασίες ως δομική μονάδα δεν υπήρχαν στις προηγούμενες εκδόσεις του προγράμματος. Προστέθηκαν στο MODFLOW-2000 για να δοθεί η δυνατότητα ενσωμάτωσης λύσεων άλλων εξισώσεων. Μια διαδικασία (process) περιέχει το τμήμα του κώδικα που αφορά τη λύση μιας εξίσωσης με μια αριθμητική μέθοδο. Για παράδειγμα η λύση της εξίσωσης της ροής του υπόγειου νερού με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών, δηλαδή ο κώδικας που στις προηγούμενες εκδόσεις ήταν όλο το MODFLOW, στην τρέχουσα έκδοση αποτελεί τη "διαδικασία ροής του υπόγειου νερού" (ground-water flow process - GWF Process). Στο MODFLOW-2000-GWT (Konikow et al, 1996) έχει ενσωματωθεί μια διαδικασία για τη λύση της εξίσωσης μεταφοράς ρύπων με τη μέθοδο των χαρακτηριστικών (groundwater transport process - GWT). Κάθε νέα διαδικασία που ενσωματώνεται πρέπει να είναι

77 62 συμβατή με τη διαδικασία ροής του υπόγειου νερού, αλλά δεν είναι απαραίτητο να είναι συμβατή με άλλες νέες διαδικασίες. Άλλωστε το να είναι συμβατές μεταξύ τους οι νέες διαδικασίες δεν θα ήταν εφικτό στην πράξη, αφού οι προσθήκες νέων διαδικασιών γίνονται πολλές φορές από ανεξάρτητους ερευνητές, οι οποίοι τροποποιούν τη βασική έκδοση του προγράμματος. Στην τρέχουσα έκδοση του MODFLOW-2000 περιλαμβάνονται, εκτός από τη διαδικασία ροής του υπόγειου νερού, άλλες τέσσερις διαδικασίες: η γενική διαδικασία (Global Process - GLO), η διαδικασία παρατηρήσεων (Observation Process - OBS), η διαδικασία ευαισθησίας (Sensitivity Process - SEN) και η διαδικασία εκτίμησης παραμέτρων (Parameter Estimation Process - PES). Η γενική διαδικασία ελέγχει τη συνολική λειτουργία του προγράμματος και μορφοποιεί τα δεδομένα που είναι κοινά για τις υπόλοιπες διαδικασίες. Οι άλλες τρεις διαδικασίες (Hill et al, 2000) είναι απαραίτητες για την αυτόματη ρύθμιση του μοντέλου. Η διαδικασία παρατηρήσεων υπολογίζει τις προσομοιωμένες τιμές που αντιστοιχούν στις παρατηρήσεις, το άθροισμα των τετραγώνων των σταθμισμένων διαφορών μεταξύ των παρατηρήσεων και των αντίστοιχων προσομοιωμένων τιμών και τις ευαισθησίες των παραμέτρων ως προς τις παρατηρήσεις. Η διαδικασία ευαισθησίας λύνει την εξίσωση ευαισθησίας του υπολογιζόμενου φορτίου σε όλο το δίκτυο υπολογισμών. Η διαδικασία εκτίμησης παραμέτρων χρησιμοποιείται για την εύρεση των βέλτιστων τιμών των παραμέτρων με μια τροποποίηση της μεθόδου Gauss Levenberg-Marquardt χωρίς περιορισμούς. Ως αντικειμενική συνάρτηση χρησιμοποιείται το άθροισμα των τετραγώνων των σταθμισμένων διαφορών μεταξύ των παρατηρήσεων και των αντίστοιχων προσομοιωμένων τιμών. Στο Σχήμα 3.1 παρουσιάζεται το διάγραμμα ροής του MODFLOW (Harbaugh et al., 2000), στο οποίο διακρίνονται οι πέντε διαδικασίες που περιλαμβάνονται στο MODFLOW. Όπως φαίνεται στο διάγραμμα ροής, ο κώδικας του προγράμματος είναι μια αλληλουχία από διεργασίες. Στα πλαίσια της πρώτης διεργασίας ορίζονται τα πακέτα που ενεργοποιούνται στο συγκεκριμένο μοντέλο. Κάθε μία από τις υπόλοιπες διεργασίες περιλαμβάνει τις αντίστοιχες υπομονάδες των ενεργοποιημένων πακέτων. Για παράδειγμα, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.1, η δεύτερη διεργασία είναι η GWF AL, δηλαδή η δέσμευση χώρου στη μνήμη του υπολογιστή για την αποθήκευση των δεδομένων της διαδικασίας υπόγειας ροής. Αν από τα πακέτα της διαδικασίας υπόγειας ροής έχει ενεργοποιηθεί μόνο το πακέτο που αφορά την προσομοίωση της εξατμισοδιαπνοής, από την διεργασία GWF AL θα χρησιμοποιηθεί η υπομονάδα AL μόνο αυτού του πακέτου. Αν έχει ενεργοποιηθεί και το πακέτο που αφορά την προσομοίωση γεωτρήσεων, από την διεργασία GWF AL θα χρησιμοποιηθούν οι υπομονάδες AL και των δύο πακέτων.

78 63 Σχήμα 3.1 Διάγραμμα ροής του MODFLOW. Προέλευση: Harbaugh et al. (2000) Στις επόμενες παραγράφους περιγράφονται συνοπτικά οι πέντε προαναφερθείσες διαδικασίες που περιλαμβάνονται στη βασική έκδοση του MODFLOW.

79 Γενική διαδικασία Η γενική διαδικασία είναι πάντα ενεργή. Στα πλαίσια αυτής, εισάγονται τα δεδομένα που αφορούν τη γενική λειτουργία του προγράμματος. Τα δεδομένα αυτά περιλαμβάνουν τις μεταβλητές που ορίζουν ποιες από τις υπόλοιπες διαδικασίες θα χρησιμοποιηθούν και ποια πακέτα των διαδικασιών θα ενεργοποιηθούν. Επίσης, στα δεδομένα αυτά περιλαμβάνονται οι μονάδες μήκους και χρόνου και τα δεδομένα που αφορούν τη χωρική και χρονική διακριτοποίηση του μοντέλου. Το δίκτυο υπολογισμών είναι πάντα ορθογώνιο στο οριζόντιο επίπεδο, όχι όμως υποχρεωτικά και στο κατακόρυφο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.2. Απαιτείται ο πλήρης ορισμός της γεωμετρίας κάθε κελιού. Στο οριζόντιο επίπεδο αυτό γίνεται μέσω του πλάτους των σειρών και των στηλών. Στην κατακόρυφη διεύθυνση ορίζονται τα υψόμετρα του άνω ορίου της πρώτης στρώσης (επιφάνεια εδάφους ή άνω όριο ενός κλειστού υδροφορέα) και τα υψόμετρα των πυθμένων όλων των στρώσεων. Όσον αφορά τη χρονική διακριτοποίηση, ο συνολικός χρόνος της προσομοίωσης στο MODFLOW-2000 διαιρείται σε περιόδους (stress periods). Η κάθε περίοδος χωρίζεται σε χρονικά βήματα, τα οποία σχηματίζουν γεωμετρική πρόοδο. Ο χρήστης ορίζει τη διάρκεια της περιόδου με βάση τη χρονική μονάδα που έχει επιλεχθεί: π.χ. αν ως χρονική μονάδα έχει επιλεχθεί η ημέρα, η διάρκεια μιας περιόδου ενός μήνα είναι 30 ημέρες, ενώ αν ως χρονική μονάδα έχει επιλεχθεί η ώρα, η διάρκεια της ίδιας περιόδου είναι 720 ώρες. Επίσης ο χρήστης ορίζει τον αριθμό των χρονικών βημάτων στα οποία χωρίζεται η περίοδος και έναν "πολλαπλασιαστή" (multiplier), ο οποίος ισούται με το λόγο του μήκους του χρονικού βήματος προς το μήκος του προηγούμενου χρονικού βήματος. Ο πολλαπλασιαστής είναι ένας αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος με τη μονάδα. Το μήκος του πρώτου χρονικού βήματος της περιόδου υπολογίζεται με βάση τη διάρκεια της περιόδου, τον αριθμό των χρονικών βημάτων της περιόδου και τον πολλαπλασιαστή: PERLEN*( 1 TSMULT) Delt( 1 ) = (3.1) NSTP 1 TSMULT όπου Delt(1) = το μήκος του πρώτου χρονικού βήματος της περιόδου PERLEN = το μήκος της περιόδου (με βάση τη χρονική μονάδα που έχει επιλεχθεί) TSMULT = ο πολλαπλασιαστής (της περιόδου) NSTP = ο αριθμός των χρονικών βημάτων στα οποία χωρίζεται η περίοδος Τα επόμενα χρονικά βήματα υπολογίζονται με τη σχέση: Delt (m +1 ) = TSMULT * Delt(m) (3.2)

80 65 Στήλη 1 Στήλη 2 Στήλη 3 Στήλη 4 Στήλη 5 Σειρά 1 DELC 1 Σειρά 2 DELC 2 Σειρά 3 DELC 3 Σειρά 4 DELC 4 Σειρά 5 DELC 5 DELR 1 DELR 2 DELR 3 DELR 4 DELR 5 (α) κάτοψη του δικτύου DELR 1 DELR 2 DELR 3 DELR 4 DELR 5 Στρώση 1 Στρώση 2 Στρώση 3 (α) τομή του δικτύου κατά μήκος μιας σειράς Σχήμα 3.2 Κάτοψη και τομή δικτύου υπολογισμών με 5 σειρές, 5 στήλες και 3 στρώσεις.

81 66 Η ροή σε κάθε περίοδο μπορεί να είναι είτε μόνιμη είτε μη μόνιμη. Είναι δηλαδή δυνατό οι περίοδοι μόνιμης και μη μόνιμης ροής να εναλλάσσονται. Η δυνατότητα αυτή μπορεί να αξιοποιηθεί για τη χρήση ως αρχικής συνθήκης της κατανομής του φορτίου που προκύπτει από την προσομοίωση μόνιμης ροής. Σε κάθε περίοδο η φόρτιση ή εκφόρτιση του υδροφορέα (γεωτρήσεις, πηγές, εξατμισοδιαπνοή, αλληλεπίδραση με σώματα επιφανειακού νερού κ.λπ.) παραμένουν σταθερές. Οι οριακές συνθήκες γνωστής εισροής και γνωστού φορτίου δεν είναι απαραίτητο να μεταβάλλονται στην αρχή κάποιας περιόδου. Ορίζονται οι χρόνοι στους οποίους μεταβάλλονται οι τιμές τους και το πρόγραμμα υπολογίζει με παρεμβολή την κατάλληλη τιμή για κάθε χρονικό βήμα σε κάθε περίοδο. Όταν είναι ενεργές οι διαδικασίες παρατηρήσεων και ευαισθησίας, ο αριθμός των χρονικών βημάτων που εκτελούνται σε κάθε περίοδο μπορεί να είναι μικρότερος από τον αριθμό που έχει οριστεί από το χρήστη, γιατί εκτελούνται μόνο τα χρονικά βήματα που είναι απαραίτητα για την προσομοίωση των παρατηρήσεων Διαδικασία ροής του υπόγειου νερού Στα πλαίσια της διαδικασίας της ροής του υπόγειου νερού, μέσω των αντίστοιχων πακέτων (α) ορίζονται οι ιδιότητες των κελιών που αφορούν τη ροή (υδραυλική αγωγιμότητα, διοχετευτικότητα, αποθηκευτικότητα), οι οριακές συνθήκες, η αρχική συνθήκη, οι υδρολογικές διαδικασίες που προσομοιώνονται για την περιγραφή των εισροών και εκροών, η μέθοδος επίλυσης των εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών, (β) μορφοποιούνται οι εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών και (γ) λύνεται το σύστημα αυτών των εξισώσεων με την επιλεγμένη μέθοδο. Όπως αναφέρθηκε, στο MODFLOW-2000 δίνεται η δυνατότητα χρήσης παραμέτρων για τον ορισμό κάποιων από τις μεταβλητές που αντιστοιχούν στις ιδιότητες των κελιών. Η χρήση παραμέτρων είναι απαραίτητη για τις μεταβλητές των οποίων τις τιμές θέλουμε να προσδιορίσουμε κατά την αυτόματη ρύθμιση του μοντέλου. Συγκεκριμένα είδη μεταβλητών μπορούν να οριστούν με παραμέτρους, αντίστοιχου τύπου: η υδραυλική αγωγιμότητα στη - διεύθυνση (τύπος παραμέτρου ΗΚ), ο συντελεστής οριζόντιας ανισοτροπίας ο οποίος ισούται με το λόγο της υδραυλικής αγωγιμότητας στην y-διεύθυνση προς την υδραυλική αγωγιμότητα στη -διεύθυνση (HANI), η υδραυλική αγωγιμότητα στην κατακόρυφη διεύθυνση (VK), ο συντελεστής κατακόρυφης ανισοτροπίας (VANI), η ειδική αποθηκευτικότητα (SS), η ειδική απόδοση (SY), η παροχή γεωτρήσεων (Q), επαναπλήρωσης (RCH) και εξατμισοδιαπνοής (EVT ή ETS), το φορτίο στην αρχή και στο τέλος ενός ορίου γνωστού φορτίου (CHD) και η αγωγιμότητα των κελιών που ανήκουν σε γενικό όριο φορτίου (GHB), αδιαπέρατο όριο (HFB), στραγγιστικό κανάλι (DRN ή DRT) και υδατόρευμα (RIV). Οι

82 67 μεταβλητές που αντιπροσωπεύουν τις υδρογεωλογικές ιδιότητες των κελιών κάθε στρώσης του δικτύου θεωρούνται σταθερές κατά τμήματα (ζώνες). Οι ζώνες μιας μεταβλητής δεν είναι απαραίτητο να ταυτίζονται με τις ζώνες των άλλων μεταβλητών. Επίσης δεν είναι απαραίτητο να ταυτίζονται οι ζώνες μιας μεταβλητής σε μια στρώση του δικτύου με τις ζώνες της ίδιας μεταβλητής στις άλλες στρώσεις του δικτύου. Όταν μια από αυτές τις μεταβλητές ορίζεται με παραμέτρους, μία παράμετρος αντίστοιχου τύπου πρέπει να χρησιμοποιηθεί για κάθε ζώνη σε κάθε στρώση. Τα κυριότερα πακέτα που περιλαμβάνονται στη διαδικασία ροής του υπόγειου νερού είναι τα ακόλουθα: Πακέτα υπόγειας ροής (groundwater flow packages) Υπάρχουν τρία πακέτα που αντιστοιχούν σε τρεις διαφορετικούς τρόπους ορισμού των ιδιοτήτων των κελιών που ελέγχουν τη ροή. Σε κάθε μοντέλο χρησιμοποιείται ένα μόνο από αυτά. BCF6 Block Centered Flow: αντιστοιχεί στον τρόπο με τον οποίο ορίζονταν οι ιδιότητες των κελιών στις παλιότερες εκδόσεις του MODFLOW. Δεν υποστηρίζει τη χρήση παραμέτρων κι επομένως δεν μπορεί να συνδυαστεί με τις διαδικασίες ευαισθησίας και εκτίμησης παραμέτρων (τεκμηρίωση: Harbaugh et al, 2000, Goode and Appel, 1992, McDonald et al, 1992, McDonald and Harbaugh, 1988). LPF Layer Property Flow: οι ιδιότητες που ελέγχουν τη ροή μεταξύ των κελιών καθορίζονται με βάση τις ιδιότητες των στρώσεων, είτε απευθείας είτε με τη χρήση παραμέτρων. Τα δεδομένα εισόδου δεν περιλαμβάνουν τη διοχετευτικότητα: διαβάζεται πάντα μόνο η υδραυλική αγωγιμότητα και η διοχετευτικότητα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας το πάχος του κελιού που προκύπτει από τα υψόμετρα των στρώσεων (τεκμηρίωση: Harbaugh et al, 2000). HUF2 Hydrogeologic Unit Flow: ο ορισμός των ιδιοτήτων που ελέγχουν τη ροή μεταξύ των κελιών γίνεται ανά "υδρογεωλογική μονάδα", είτε απευθείας είτε με παραμέτρους. Τα όρια των υδρογεωλογικών μονάδων δεν είναι απαραίτητο να συμπίπτουν με τα όρια των στρώσεων. Οι ιδιότητες κάθε κελιού προκύπτουν από τη σύνθεση των ιδιοτήτων των υδρογεωλογικών μονάδων που το κελί περιλαμβάνει (τεκμηρίωση: Anderman and Hill, 2000, Anderman et al, 2002, Anderman and Hill, 2003). Στο μοντέλο που αναπτύχθηκε στα πλαίσια της διατριβής αυτής, για την προσομοίωση της υπόγειας ροής χρησιμοποιήθηκε το πακέτο LPF. Πακέτα επίλυσης (Solvers) χρησιμοποιούνται (ένα από αυτά) για την επίλυση των εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών. Όταν η διαδικασία ευαισθησίας είναι ενεργή, το ίδιο πακέτο επίλυσης χρησιμοποιείται και για την επίλυση της εξίσωσης ευαισθησίας. Σ' αυτήν

83 68 την περίπτωση θα πρέπει να επιλεχθεί ένα από τα πακέτα DE4 και PCG2, γιατί αυτά είναι συμβατά και με τις δύο διαδικασίες. SIP5 Strongly Implicit Procedure (McDonald and Harbaugh, 1988) SOR5 Slice-Successive Over-relaation (McDonald and Harbaugh, 1988) DE45 Direct Solver (Harbaugh, 1995) PCG2 Preconditioned Conjugate-Gradient (Hill, 1990b) Οι αντίστοιχες μέθοδοι έχουν περιγραφεί στο 2ο κεφάλαιο. Στο μοντέλο που καταρτίσθηκε χρησιμοποιείται το πακέτο PCG2. Πακέτα οριακών συνθηκών ανεξάρτητων από το φορτίο FHB1 Flow and Head Boundary: γενικό πακέτο που χρησιμοποιείται όταν έχουμε όρια γνωστής παροχής (μονάδες L 3 /Τ) ή/και γνωστού φορτίου, που μεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου (Leake and Lilly, 1997). HFB6 Horizontal Flow Barrier: προσομοίωση αδιαπέρατων ορίων (Hsieh and Freckleton, 1993). CHD6 Constant-Head Boundary: προσομοίωση ορίων γνωστού φορτίου (Leake and Prudic, 1991). RCH6 Recharge: προσομοίωση επαναπλήρωσης/εκφόρτισης ως γνωστή εισροή/εκροή κατανεμημένη στην επιφάνεια του μοντέλου (McDonald and Harbaugh, 1988). WEL6 Well: προσομοίωση λειτουργίας γεώτρησης ως γνωστή (μεταβαλλόμενη ανά χρονική περίοδο) εισροή/εκροή σε μεμονωμένα κελιά (McDonald and Harbaugh, 1988). Στο μοντέλο που καταρτίσθηκε χρησιμοποιήθηκαν όλα αυτά τα πακέτα, εκτός του CHD6. Πακέτα οριακών συνθηκών εξαρτώμενων από το φορτίο GHB6 General-Head Boundary: η παροχή είναι πάντα ανάλογη της διαφοράς φορτίου (McDonald and Harbaugh, 1988). DRN6 Drain: προσομοίωση στραγγιστικών καναλιών στα οποία αν το φορτίο σε ένα κελί πέφτει κάτω από μία ορισμένη τιμή, η παροχή από το κελί αυτό μηδενίζεται (McDonald and Harbaugh, 1988). DRT1 Drain Return: προσομοίωση στραγγιστικών καναλιών από τα οποία μέρος του νερού επαναπληρώνει τον υδροφορέα (Banta, 2000). RIV6 River: προσομοίωση εισροής από υδατορρεύματα: αν το φορτίο σε ένα κελί πέφτει κάτω από μία ορισμένη τιμή, η παροχή από το κελί αυτό τίθεται ίση με ένα συγκεκριμένο κατώτερο όριο (McDonald and Harbaugh, 1988). EVT6 Evapotranspiration: προσομοίωση εξατμισοδιαπνοής: εξαρτώμενη από το φορτίο εκροή κατανεμημένη στην επιφάνεια του μοντέλου (McDonald and Harbaugh, 1988).

84 69 ETS1 Evapotranspiration Segments: υπολογισμός της εξατμισοδιαπνοής με βάση οριζόμενη από το χρήστη σχέση εξατμισοδιαπνοής και φορτίου (Banta, 2000). RES1 Reservoir: προσομοιώνει τη διαρροή μεταξύ μιας δεξαμενής και του υποκείμενου συστήματος υπόγειου νερού καθώς η επιφάνεια της δεξαμενής μεταβάλλεται λόγω της μεταβολής της στάθμης της, όπου ο χρήστης ορίζει την αρχική και τελική κατάσταση της δεξαμενής (Fenske et al, 1996). LAK3 Lake: προσομοίωση αλληλεπίδρασης υδροφορέα-λίμνης (Merritt and Konikow, 2000). STR6 Stream flow-routing: προσομοίωση υδατορρευμάτων στα οποία η ροή κατευθύνεται ακαριαία προς τα κατάντη (Prudic, 1989). MNW1 Multi-Node Drawdown-Limited Well: προσομοίωση γεωτρήσεων που εκτείνονται σε περισσότερες από μια στρώσεις (Halford and Hanson, 2002). Από τα πακέτα αυτά, στην παρούσα εφαρμογή χρησιμοποιήθηκε μόνο το DRN6 για την προσομοίωση σημειακών εκφορτίσεων. Τα υπόλοιπα δεν χρησιμοποιήθηκαν, είτε γιατί στην περιοχή μελέτης δεν υπάρχουν οι αντίστοιχες υδρολογικές συνθήκες, είτε γιατί δεν υπήρχαν τα κατάλληλα δεδομένα και οι σχετικές υδρολογικές συνθήκες προσομοιώθηκαν με διαφορετικό τρόπο Διαδικασία παρατηρήσεων Στα πλαίσια της διαδικασίας παρατηρήσεων υπολογίζονται οι αντίστοιχες με τις υπάρχουσες παρατηρήσεις προσομοιωμένες τιμές, συγκρίνονται οι υπολογισμένες τιμές με τις παρατηρήσεις και, όταν είναι ενεργή και η διαδικασία ευαισθησίας, υπολογίζονται οι ευαισθησίες των παρατηρήσεων (observation sensitivities) από τις ευαισθησίες που έχουν υπολογιστεί μέσω της διαδικασίας ευαισθησίας για όλο το δίκτυο υπολογισμών (grid sensitivities). Ο υπολογισμός των προσομοιωμένων τιμών φορτίου που αντιστοιχούν στις παρατηρήσεις γίνεται με παρεμβολή στις προσομοιωμένες τιμές φορτίου των τεσσάρων κόμβων του δικτύου που περιβάλλουν τη θέση λήψης της παρατήρησης, χρησιμοποιώντας τετραπλευρικές συναρτήσεις βάσης (quadrilateral basis functions). Αν ένας από τους τέσσερις κόμβους ανήκει σε μη ενεργό κελί, χρησιμοποιούνται τριγωνικές συναρτήσεις βάσης (triangular basis functions). Αν δύο από τους κόμβους ανήκουν σε μη ενεργά κελιά ή η θέση λήψης της παρατήρησης βρίσκεται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο κόμβους, χρησιμοποιούνται γραμμικές μονοδιάστατες συναρτήσεις βάσης (linear one-dimensional basis functions), που ισοδυναμούν με απλή γραμμική παρεμβολή. Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζονται

85 70 οι ευαισθησίες των παρατηρήσεων από τις ευαισθησίες του υπολογιζόμενου φορτίου στους κόμβους του δικτύου. Κατά τον υπολογισμό των φορτίων με παρεμβολή δεν λαμβάνονται υπόψη οι μεταβολές της υδραυλικής αγωγιμότητας. Αυτό μπορεί να εισάγει σημαντικά σφάλματα στα υπολογιζόμενα φορτία όταν οι υδραυλικές ιδιότητες των γειτονικών κελιών διαφέρουν πολύ μεταξύ τους και οι διαστάσεις των κελιών είναι μεγάλες. Τα σφάλματα αυτά μπορεί να επηρεάσουν και τις τιμές των παραμέτρων που προκύπτουν από την αυτόματη ρύθμιση του μοντέλου. Ο χρόνος λήψης κάθε παρατήρησης προσδιορίζεται με βάση μια χρονική περίοδο αναφοράς (reference stress period) και τη χρονική μετατόπιση σε σχέση με την έναρξη αυτής της περιόδου (time offset) και συνήθως εμπίπτει στο χρονικό διάστημα που διαρκεί κάποιο χρονικό βήμα κι όχι στην αρχή ή στο τέλος του βήματος (που υπολογίζονται τα φορτία στους κόμβους). Σ' αυτήν την περίπτωση, για τον υπολογισμό της ισοδύναμης προσομοιωμένης τιμής του φορτίου σε κάθε κόμβο χρησιμοποιείται γραμμική παρεμβολή μεταξύ των φορτίων στην αρχή και στο τέλος του χρονικού βήματος. Τα είδη των παρατηρήσεων που υποστηρίζονται από αυτή τη διαδικασία είναι: (α) παρατηρήσεις φορτίου ή μεταβολής του φορτίου με το χρόνο, (β) παρατηρήσεις εισροής ή εκροής που προκύπτει από την αλληλεπίδραση με επιφανειακά νερά όταν για την προσομοίωση αυτής της αλληλεπίδρασης έχει χρησιμοποιηθεί ένα από τα πακέτα GHB, DRN, ή RIV, (γ) παρατηρήσεις εισροής ή εκροής από ή προς κελιά γνωστού φορτίου και (δ) παρατηρήσεις μεταφοράς μάζας. Η τεκμηρίωση της χρήσης παρατηρήσεων του τελευταίου τύπου έχει γίνει από τους Anderman και Hill (1997), ενώ συνολικά η διαδικασία παρατηρήσεων καθώς και η χρήση των άλλων τύπων παρατηρήσεων περιγράφονται από τους Hill et al (2000). Οι παρατηρήσεις πρέπει να σταθμίζονται έτσι ώστε να λαμβάνεται υπόψη η σχετική ακρίβεια των μετρήσεων. Στην περίπτωση που υπάρχουν διαθέσιμες μετρήσεις διαφορετικού είδους (φορτία και παροχές), οι συντελεστές στάθμισης χρησιμοποιούνται και για την ομογενοποίηση των μονάδων των παρατηρήσεων. Έτσι, τα σταθμισμένα υπόλοιπα (weighted residuals), που προκύπτουν από τη σύγκριση υπολογισμένων τιμών και παρατηρήσεων, έχουν τις ίδιες μονάδες και μπορούν να υψωθούν στο τετράγωνο και να αθροιστούν για το σχηματισμό της αντικειμενικής συνάρτησης ελαχίστων τετραγώνων, όπως απαιτεί η διαδικασία εκτίμησης παραμέτρων. Τα πακέτα που περιλαμβάνονται στη διαδικασία παρατηρήσεων είναι τα ακόλουθα:

86 71 Πακέτα δεδομένων παρατηρήσεων OBS Observations: γενικό πακέτο, χρησιμοποιείται πάντα όταν εισάγονται οποιουδήποτε είδους παρατηρήσεις. HOB Head-Observation: παρατηρήσεις φορτίου ή μεταβολής φορτίου με το χρόνο. DROB Drain Observation: παρατηρήσεις παροχής μέσω ορίων στράγγισης (τα οποία προσομοιώνονται με το πακέτο DRN). DTOB Drain Return Observation: παρατηρήσεις εκροής προς κανάλια νερό των οποίων επαναπληρώνει τον υδροφορέα (προσομοίωση με το πακέτο DRT). RVOB River Observation: παρατηρήσεις παροχής για το αντίστοιχο πακέτο οριακής συνθήκης (RIV). GBOB General-Head-Boundary Observation: παρατηρήσεις παροχής για το αντίστοιχο πακέτο οριακής συνθήκης (GHB). CHOB Constant-Head Flow Observation: παρατηρήσεις παροχής για το αντίστοιχο πακέτο οριακής συνθήκης (CHB). STOB Streamflow-Routing Observation: παρατηρήσεις παροχής για το αντίστοιχο πακέτο οριακής συνθήκης (STR). ADV Advective Transport: παρατηρήσεις μεταφοράς μάζας Από τα πακέτα αυτά χρησιμοποιήθηκαν τα τρία πρώτα Διαδικασία ευαισθησίας Με τη διαδικασία αυτή υπολογίζονται οι μερικές παράγωγοι του υπολογιζόμενου φορτίου ως προς τις παραμέτρους του μοντέλου σε όλους τους κόμβους του δικτύου υπολογισμών, με τη μέθοδο της εξίσωσης ευαισθησίας. Για την επίλυση της εξίσωσης ευαισθησίας χρησιμοποιείται η ίδια μέθοδος επίλυσης που χρησιμοποιείται και για την εξίσωση της υπόγειας ροής. Επειδή το πακέτο της ανάλυσης ευαισθησίας μπορεί να συνεργαστεί μόνο με τα πακέτα επίλυσης PCG2 και DE45, όταν η διαδικασία αυτή είναι ενεργή μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο ένα από αυτά τα πακέτα επίλυσης. Η άμεση μέθοδος (πακέτο DE45) είναι συνήθως πιο αργή στην επίλυση της εξίσωσης της ροής, στην περίπτωση όμως της επίλυσης της εξίσωσης ευαισθησίας είναι πιο γρήγορη (Hill et al, 2000). Σε κάποια προβλήματα μπορεί η χρήση της να μειώνει το συνολικό χρόνο που απαιτείται για την ολοκλήρωση της εκτέλεσης. Η διαδικασία ανάλυσης ευαισθησίας περιλαμβάνει ένα μόνο πακέτο, το Πακέτο ανάλυσης ευαισθησίας SEN Sensitivity (τεκμηρίωση: Hill et al, 2000).

87 Διαδικασία εκτίμησης παραμέτρων Η διαδικασία εκτίμησης παραμέτρων χρησιμοποιεί ως αντικειμενική συνάρτηση το άθροισμα των τετραγώνων των σταθμισμένων υπολοίπων των υπολογισμένων τιμών των εξαρτημένων μεταβλητών από τις αντίστοιχες παρατηρήσεις και των σταθμισμένων υπολοίπων των υπολογιζόμενων τιμών των παραμέτρων από τις τιμές των παραμέτρων που δίνονται ως προηγούμενη πληροφορία. Τα σταθμισμένα υπόλοιπα που αφορούν τις εξαρτημένες μεταβλητές υπολογίζονται από τη διαδικασία των παρατηρήσεων, ενώ τα σταθμισμένα υπόλοιπα που αφορούν τις παραμέτρους υπολογίζονται από τη διαδικασία εκτίμησης των παραμέτρων. Για την ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης χρησιμοποιείται με μια μορφή της μεθόδου Gauss-Levenberg-Marquardt χωρίς περιορισμούς. Από το χρήστη παρέχονται τα άνω και κάτω όρια των τιμών των παραμέτρων, δεν λαμβάνονται όμως υπόψη από τη διαδικασία βελτιστοποίησης, απλώς στο αρχείο των αποτελεσμάτων επισημαίνονται οι εκτιμημένες τιμές των παραμέτρων που βρίσκονται εκτός των αναμενόμενων ορίων. Δίνεται η δυνατότητα του λογαριθμικού μετασχηματισμού των παραμέτρων, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ως μέσο για να αποφευχθεί το ενδεχόμενο μια παράμετρος να πάρει αρνητικές τιμές. Η διαδικασία εκτίμησης παραμέτρων περιλαμβάνει ένα μόνο πακέτο, το Πακέτο εκτίμησης παραμέτρων PES Parameter Estimation (τεκμηρίωση: Hill et al, 2000) Λειτουργίες (modes) του προγράμματος Κατά την εκτέλεση του MODFLOW-2000 η γενική διαδικασία και η διαδικασία υπόγειας ροής είναι πάντα ενεργές ενώ οι υπόλοιπες τρεις διαδικασίες ενεργοποιούνται με επιλογή του χρήστη. Από τους διαφορετικούς συνδυασμούς των διαδικασιών παρατηρήσεων, ευαισθησίας και εκτίμησης παραμέτρων προκύπτουν οι ακόλουθοι τρόποι λειτουργίας (modes) του προγράμματος: 1. Forward: καμία από τις προαναφερθείσες διαδικασίες δεν είναι ενεργή. Αποτελέσματα του μοντέλου που συνήθως χρησιμοποιούνται είναι οι χάρτες ισοπιεζομετρικού φορτίου και οι όροι του υδατικού ισοζυγίου. 2. Forward with observations: η διαδικασία των παρατηρήσεων είναι ενεργή. Αποτελέσματα του μοντέλου που συνήθως χρησιμοποιούνται είναι οι χάρτες ισοπιεζομετρικού φορτίου, οι όροι του υδατικού ισοζυγίου και ο έλεγχος της προσέγγισης των προσομοιωμένων τιμών και των παρατηρήσεων. 3. Parameter Sensitivity: η διαδικασία ευαισθησίας είναι ενεργή. Αποτελέσματα του μοντέλου που συνήθως χρησιμοποιούνται είναι οι χάρτες καμπυλών ίσης εκατοστιαίας υπό κλίμακα ευαισθησίας του δικτύου υπολογισμών.

88 73 4. Parameter Sensitivity with observations: οι διαδικασίες παρατηρήσεων και ευαισθησίας είναι ενεργές. Αποτελέσματα του μοντέλου που συνήθως ενδιαφέρουν είναι η προσαρμογή των προσομοιωμένων τιμών στις παρατηρήσεις, οι χάρτες καμπυλών ίσης εκατοστιαίας υπό κλίμακα ευαισθησίας και οι σύνθετες υπό κλίμακα ευαισθησίες. 5. Sensitivity Analysis: και οι τρεις προαναφερθείσες διαδικασίες είναι ενεργές, αλλά ο μέγιστος αριθμός επαναλήψεων της διαδικασίας εκτίμησης παραμέτρων είναι ίσος με μηδέν. Τα αποτελέσματα του μοντέλου που συνήθως ενδιαφέρουν είναι η προσαρμογή των προσομοιωμένων τιμών στις παρατηρήσεις, οι σύνθετες υπό κλίμακα ευαισθησίες και οι συντελεστές συσχέτισης των παραμέτρων. 6. Parameter Estimation: και οι τρεις διαδικασίες είναι ενεργές, οι αρχικές τιμές των παραμέτρων ορίζονται στη διαδικασία ευαισθησίας και στη συνέχεια χρησιμοποιούνται οι τιμές των παραμέτρων που υπολογίζονται από την παλινδρόμηση. Τα αποτελέσματα του μοντέλου που συνήθως ενδιαφέρουν είναι οι βέλτιστες τιμές των παραμέτρων ή, σε περίπτωση που δεν επιτευχθεί σύγκλιση, ενδιάμεσα δεδομένα από τις επαναλήψεις εκτίμησης των παραμέτρων για τη διάγνωση προβλημάτων. Εκατοστιαίες υπό κλίμακα ευαισθησίες του δικτύου υπολογισμών (One-percent scaled grid-sensitivities) Το MODFLOW υπολογίζει, με τη μέθοδο της εξίσωσης ευαισθησίας, τις ευαισθησίες του υπολογιζόμενου υδραυλικού φορτίου ως προς κάθε παράμετρο σ όλο το δίκτυο υπολογισμών. Οι τιμές αυτές πολλαπλασιάζονται με την απόλυτη τιμή της παραμέτρου διαιρεμένη με το 100. Έτσι προκύπτουν οι εκατοστιαίες υπό κλίμακα ευαισθησίες του δικτύου υπολογισμών, οι οποίες δίνουν, κατά προσέγγιση, την μεταβολή του φορτίου που προκύπτει από την κατά 1% αύξηση της τιμής της κάθε παραμέτρου. Οι συντελεστές αυτοί μπορούν να παρασταθούν με χάρτες καμπυλών ίσης εκατοστιαίας υπό κλίμακα ευαισθησίας, οι οποίοι χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό των περιοχών όπου η ύπαρξη παρατηρήσεων φορτίου είναι περισσότερο χρήσιμη για τη ρύθμιση του μοντέλου. Αδιάστατες υπό κλίμακα ευαισθησίες (Dimensionless scaled sensitivities) Προκύπτουν πολλαπλασιάζοντας την ευαισθησία κάθε παρατήρησης ως προς μια παράμετρο με την τιμή της παραμέτρου και την τετραγωνική ρίζα του συντελεστή στάθμισης της παρατήρησης. Χρησιμοποιούνται για τη σύγκριση της επίδρασης διαφορετικών παρατηρήσεων στην εκτίμηση μιας παραμέτρου.

89 74 Σύνθετες υπό κλίμακα ευαισθησίες (Composite scaled sensitivities) Υπολογίζονται για κάθε παράμετρο από τις αδιάστατες υπό κλίμακα ευαισθησίες για το σύνολο των παρατηρήσεων και δείχνουν τη συνολική πληροφορία που παρέχουν οι παρατηρήσεις για την εκτίμηση κάθε παραμέτρου ARGUS ONE MODFLOW GUI Το Argus ONE (Open Numerical Environment) είναι ένα περιβάλλον GIS για την κατάρτιση αριθμητικών μοντέλων πεπερασμένων διαφορών και πεπερασμένων στοιχείων. Με την τεχνολογία των "plug-in etension" (PIE) οποιοδήποτε πρόγραμμα ανάπτυξης αριθμητικών μοντέλων μπορεί να ενσωματωθεί πλήρως στο Argus ONE με τη δημιουργία του αντίστοιχου περιβάλλοντος διασύνδεσης με το χρήστη (graphical user interface, GUI). Το GUI για το MODFLOW έχει κατασκευαστεί από την Αμερικανική Γεωλογική Υπηρεσία και διατίθεται ελεύθερα στο διαδίκτυο, όπως και το MODFLOW. Κάθε νέα έκδοση στο MODFLOW ακολουθείται συνήθως άμεσα από την αντίστοιχη έκδοση του GUI. Στο περιβάλλον του Argus ONE παρέχονται εργαλεία για τη δημιουργία και τροποποίηση δικτύων πεπερασμένων στοιχείων και πλεγμάτων πεπερασμένων διαφορών, για τον ορισμό, το χειρισμό και την εφαρμογή διαφόρων τύπων οριακών συνθηκών, αρχικών συνθηκών και παραμέτρων των δικτύων/πλεγμάτων, την εξαγωγή αυτών των πληροφοριών με τη μορφή αρχείων εισόδου του μαθηματικού μοντέλου και την οπτικοποίηση των αποτελεσμάτων του μοντέλου. Τα εργαλεία αυτά είναι οργανωμένα στα ακόλουθα modules: GIS module, Mesh and Grid modules, Programmable Eport module. Οι πληροφορίες που αφορούν την περιοχή μελέτης και το αναπτυσσόμενο αριθμητικό μοντέλο οργανώνονται σε επίπεδα (layers). Κάθε υπομονάδα δημιουργεί-συνδέεται με συγκεκριμένου είδους επίπεδα. Το GIS module περιλαμβάνει επίπεδα πληροφορίας (information layers), επίπεδα δεδομένων (data layers) και επίπεδα χαρτών (map layers). Το Mesh module δημιουργεί το επίπεδο του δικτύου πεπερασμένων στοιχείων, ενώ το Grid module το επίπεδο του πλέγματος πεπερασμένων διαφορών. Το Programmable Eport module δίνει τη δυνατότητα να αυτοματοποιηθεί η εξαγωγή των δεδομένων σε αρχεία με την κατάλληλη μορφή προκειμένου αυτά να χρησιμοποιηθούν από άλλα προγράμματα. Οι πληροφορίες που αφορούν την περιοχή μελέτης εισάγονται είτε σε επίπεδα δεδομένων, ως σημειακές τιμές, είτε σε επίπεδα πληροφορίας. Ένα επίπεδο πληροφορίας περιέχει ένα από τα είδη των αντικειμένων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να απεικονίσουν τα χαρακτηριστικά του μοντέλου (σημεία, γραμμές ή πολύγωνα). Τα αντικείμενα αυτά είτε ψηφιοποιούνται με τη βοήθεια χαρτών, οι οποίοι εισάγονται σε επίπεδα χαρτών, είτε εισάγονται με τη μορφή αρχείων shapefile.

90 75 Η εγκατάσταση του MODFLOW-GUI προσθέτει στον κατάλογο επιλογών (menu) των PIE, που εμφανίζεται στη γραμμή των menu του περιβάλλοντος του Argus ONE, την εντολή "New MODFLOW Project". Με τη δημιουργία ενός νέου ή το άνοιγμα ενός αποθηκευμένου project του MODFLOW, στο menu των PIE εμφανίζονται όλες οι σχετικές με το MODFLOW εντολές και στο παράθυρο των επιπέδων εμφανίζονται όλα τα επίπεδα που μπορεί να χρειάζονται για την ανάπτυξη ενός μοντέλου. Τα επίπεδα αυτά διαφοροποιούνται σε κάθε project ανάλογα με το ποια πακέτα του MODFLOW επιλέγει ο χρήστης να χρησιμοποιήσει. Οι επιλογές αυτές ορίζονται κατά τη δημιουργία ενός νέου project, αλλά μπορούν στη συνέχεια να τροποποιούνται. Ο ορισμός και η τροποποίηση των επιλογών του χρήστη που αφορούν το MODFLOW γίνονται μέσα από το παράθυρο "MODFLOW Project Information" (Σχήμα 3.3). Σχήμα 3.3 Εμφάνιση του παράθυρου "MODFLOW Project Information". Το πλέγμα υπολογισμών δημιουργείται είτε αυτόματα είτε από το χρήστη. Η δημιουργία των αρχείων εισόδου του MODFLOW γίνεται αυτόματα, μετατρέποντας τις τιμές των μεταβλητών που συνδέονται με τα αντικείμενα των επιπέδων πληροφορίας σε τιμές των αντίστοιχων μεταβλητών του MODFLOW στους κόμβους του δικτύου. Για κάθε επίπεδο πληροφορίας, ο χρήστης ορίζει αν θα χρησιμοποιηθεί η ακριβής τιμή της μεταβλητής ή η τιμή που προκύπτει με παρεμβολή στις τιμές όλων των αντικειμένων του επιπέδου. Παρέχονται αρκετές μέθοδοι παρεμβολής από τις οποίες μπορεί να επιλέξει ο χρήστης. Το Argus ONE

91 76 δέχεται ως αρχεία εισόδου αρχεία shapefile, αρχεία λογιστικών φύλλων (π.χ. του Ecel), αρχεία κειμένου (που περιέχουν τις ιδιότητες αντικειμένων ή αρχεία δεδομένων του MODFLOW) και αρχεία df. Η ανάπτυξη ενός μοντέλου υπόγειων νερών με τη χρήση επιπέδων πληροφορίας αντιστοιχεί κατά κάποιο τρόπο με τη δημιουργία του θεμελιώδους μοντέλου της περιοχής μελέτης και διευκολύνει την πιθανή τροποποίηση του αριθμητικού μοντέλου, αφού οι τροποποιήσεις γίνονται γραφικά και τα νέα αρχεία δεδομένων δημιουργούνται αυτόματα. Το Argus ONE μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τη γραφική απεικόνιση των αποτελεσμάτων του μοντέλου. Τα είδη των αρχείων αποτελεσμάτων του MODFLOW που μπορεί να επιλέξει ο χρήστης μέσα από το αντίστοιχο παράθυρο του MODFLOW-GUI φαίνονται στο Σχήμα 3.4. Σχήμα 3.4. Παράθυρο επιλογής ενός αρχείου αποτελεσμάτων του MODFLOW για τη γραφική απεικόνισή του. Το Argus ONE παρέχει ένα ικανοποιητικό περιβάλλον GIS για το MODFLOW. Δεν καλύπτει όμως το σύνολο των αναγκών που μπορεί να προκύψουν κατά την ανάπτυξη ενός μοντέλου για μια περιοχή, όπως η δημιουργία του ψηφιακού ανάγλυφου της περιοχής μελέτης και η εξαγωγή από αυτό του υδρογραφικού δικτύου και των χαρακτηριστικών του. Επίσης, είναι μεν δυνατή η εισαγωγή χαρτών ώστε να χρησιμοποιηθούν ως υπόβαθρο για την

92 77 ψηφιοποίηση αντικειμένων, δεν παρέχει όμως εργαλεία για τη δημιουργία χαρτών ή την επεξεργασία τους. Άλλωστε, στα πλαίσια της μελέτης του συνόλου των υδατικών πόρων μιας περιοχής, θα πρέπει τα επίπεδα πληροφορίας και τα αποτελέσματα του μοντέλου των υπόγειων νερών να εισαχθούν σε ένα ενιαίο περιβάλλον GIS μαζί με τα αντίστοιχα στοιχεία άλλων μοντέλων της περιοχής (π.χ. επιφανειακών νερών). Για την κάλυψη αυτών των αναγκών, στα πλαίσια αυτής της διατριβής χρησιμοποιήθηκε το ArcGIS. Η συνεργασία των δύο προγραμμάτων είναι άμεση, αφού και τα δύο μπορούν να χειριστούν αρχεία shapefile ArcGIS Desktop Το ArcGIS Desktop (έκδοση 9.0) παρέχει ένα πλαίσιο εργασίας για την εφαρμογή ενός Συστήματος Γεωγραφικής Πληροφορίας (Geographical Information System-GIS). Αποτελείται από ένα σύνολο εφαρμογών GIS όπως τα προγράμματα ArcMap και ArcCatalog και η "εργαλειοθήκη" ArcToolbo. Οι εφαρμογές αυτές δίνουν τη δυνατότητα πραγματοποίησης οποιασδήποτε απλής ή σύνθετης εργασίας στο GIS περιβάλλον, όπως δημιουργία χαρτών, γεωγραφική ανάλυση, επεξεργασία και διαχείριση δεδομένων, απεικόνιση και γεωεπεξεργασία (geoprocessing). Οι εφαρμογές του ArcGIS βασίζονται σε μια κοινή βιβλιοθήκη αποτελούμενη από υπομονάδες λογισμικού που ονομάζονται ArcObjects. Τα ArcObjects αποτελούν ένα σύνολο προγραμματιζόμενων εργαλείων, τα οποία δίνουν τη δυνατότητα ανάπτυξης μιας εφαρμογής με λειτουργίες GIS. Με αυτόν τον τρόπο έχουν δομηθεί και οι εφαρμογές που περιλαμβάνει το ArcGIS. Η κεντρική εφαρμογή του ArcGIS είναι το ArcMap. Το ArcMap, το οποίο χρησιμοποιείται για όλες τις εργασίες που βασίζονται σε χάρτες, παρέχει δύο πλαίσια απεικόνισης (views): ένα πλαίσιο απεικόνισης των γεωγραφικών δεδομένων (geographic data view) και ένα πλαίσιο σελιδοποίησης (page layout view). Στο πρώτο εισάγονται ή δημιουργούνται με ψηφιοποίηση, αναλύονται και συνθέτονται δεδομένα γεωγραφικής πληροφορίας, οργανωμένα σε επίπεδα. Στο δεύτερο γίνεται η μορφοποίηση της σελίδας του χάρτη, η οποία περιλαμβάνει το πλαίσιο της απεικόνισης των γεωγραφικών δεδομένων και άλλα στοιχεία χαρτών όπως κλίμακα, υπόμνημα, ένδειξη Βορρά κλπ. Το ArcCatalog χρησιμοποιείται για την οργάνωση και διαχείριση των αρχείων των γεωγραφικών δεδομένων, την προεπισκόπησή τους, το σχεδιασμό και τη δόμηση γεωγραφικών βάσεων δεδομένων (γεωβάσεις geographic databases ή geodatabases). Μια γεωγραφική βάση δεδομένων είναι το μοντέλο γεωγραφικής πληροφορίας που χρησιμοποιείται για την οργάνωση των γεωγραφικών δεδομένων σε θεματικά επίπεδα και την χωρική απεικόνισή τους. Εκτός από τα βασικά αντικείμενα (features), όπως σημεία, γραμμές και περιοχές, μια γεωγραφική βάση δεδομένων μπορεί να περιλαμβάνει και αντικείμενα

93 78 προσαρμοσμένα στις ανάγκες μιας εφαρμογής ώστε να αντιπροσωπεύουν καλύτερα τις ιδιότητες πραγματικών αντικειμένων. Η γεωεπεξεργασία είναι η κύρια λειτουργία ενός συστήματος γεωγραφικής πληροφορίας. Αναφέρεται στις διαδικασίες άντλησης πληροφοριών από τα υπάρχοντα γεωγραφικά δεδομένα μέσω της ανάλυσής τους. Στο περιβάλλον του ArcGIS η γεωεπεξεργασία γίνεται μέσω του ArcToolbo και του Modelbuilder. Το ArcToolbo περιλαμβάνει εργαλεία για τη μετατροπή των δεδομένων σε διάφορους τύπους, τη διαχείριση των δεδομένων, εργαλεία γεωκωδικοποίησης (geocoding), στατιστικής ανάλυσης και ανάλυσης διανυσματικών δεδομένων. Το ModelBuilder παρέχει, μέσα από το περιβάλλον του ArcToolbo, τη δυνατότητα δημιουργίας μοντέλων γεωεπεξεργασίας με γραφικό τρόπο. Ένα μοντέλο γεωεπεξεργασίας δημιουργείται για την αυτοματοποίηση μιας διαδικασίας γεωεπεξεργασίας: είναι ένα διάγραμμα ροής δεδομένων (data flow diagram) που συνδέει και ορίζει την αλληλουχία των εργαλείων και των δεδομένων που απαιτούνται για την ολοκλήρωση της διαδικασίας αυτής. Το ArcGIS μπορεί να αποθηκεύσει και να διαχειριστεί γεωγραφικά δεδομένα διαφόρων τύπων, όπως διανυσματικά δεδομένα (vector data), δεδομένα καννάβου (raster data), τριγωνικά δίκτυα (Triangular Irregular Network - TIN) και δεδομένα σε μορφή πίνακα. Τα διανυσματικά δεδομένα αναπαριστούν γεωγραφικά φαινόμενα με σημεία, γραμμές και πολύγωνα. Τα σημεία αντιστοιχούν σε ζεύγη συντεταγμένων (,y), οι γραμμές είναι ομάδες ζευγών συντεταγμένων που ορίζουν ένα σχήμα και τα πολύγωνα είναι ομάδες ζευγών συντεταγμένων που ορίζουν τη γραμμή που περικλείει μια περιοχή. Οι συντεταγμένες μπορεί να δίνονται σε τριάδες περιλαμβάνοντας και το υψόμετρο (,y,z). Τα διανυσματικά δεδομένα αποθηκεύονται σε shapefile αρχεία και τα χαρακτηριστικά τους (attributes) σε πίνακες δεδομένων (data tables). Ένα raster dataset είναι ένα πλέγμα τετράγωνων και ίσων μεταξύ τους κελιών (grid of cells). Κάθε κελί έχει μία τιμή η οποία αντιπροσωπεύει την ιδιότητα που απεικονίζεται με το πλέγμα. Η θέση ενός κελιού ορίζεται από την αντίστοιχη σειρά και στήλη του πλέγματος. Το πλέγμα αυτό αντιπροσωπεύεται από ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων όπου οι σειρές του πλέγματος είναι παράλληλες με το -άξονα και οι στήλες του πλέγματος είναι παράλληλες με τον y-άξονα. Με τη διαδικασία της γεωαναφοράς (georeference) οι καρτεσιανές συντεταγμένες μπορούν να μετατραπούν σε γεωγραφικές. Ένα τριγωνικό δίκτυο (ΤΙΝ) αποτελείται από συνδεόμενα τρίγωνα που σχηματίζονται από ακανόνιστα κατανεμημένα στο χώρο σημεία με τιμές (,y,z). Τα ΤΙΝs είναι ένας αποτελεσματικός τρόπος αποθήκευσης και ανάλυσης επιφανειών, ιδιαίτερα όταν αυτές παρουσιάζουν μεγάλες διαφορές στο ανάγλυφό τους κατά περιοχές.

94 79 Οι εργασίες που πραγματοποιήθηκαν στο περιβάλλον του ArcGIS στα πλαίσια της παρούσας διατριβής αφορούσαν (α) την ευρύτερη περιοχή μελέτης (εισαγωγή και γεωαναφορά τοπογραφικών και γεωλογικών χαρτών, ψηφιοποιήσεις, παραγωγή του ψηφιακού μοντέλου εδάφους (Digital Terrain Model - DTM) και του υδρογραφικού δικτύου), και (β) το μαθηματικό μοντέλο υπόγειων νερών της περιοχής (υπολογισμός υψομέτρων και φορτίων, απεικόνιση αποτελεσμάτων). Χρησιμοποιήθηκαν διανυσματικά και raster δεδομένα και δεδομένα με τη μορφή πινάκων. Οι εργασίες αυτές περιγράφονται στο επόμενο κεφάλαιο PEST Το PEST είναι ένα ανεξάρτητο πρόγραμμα που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση των τιμών των παραμέτρων οποιουδήποτε μοντέλου, εφόσον είναι διαθέσιμες παρατηρήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής την οποία προσομοιώνει το μοντέλο. Χρησιμοποιεί μια μη γραμμική μέθοδο παλινδρόμησης για την ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των τετραγώνων των διαφορών μεταξύ μετρημένων και υπολογισμένων από το μοντέλο τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής. Για να είναι δυνατή η "συνεργασία" του PEST με κάποιο μοντέλο, απαραίτητη προϋπόθεση είναι το μοντέλο να χρησιμοποιεί απλά αρχεία κειμένου για την είσοδο των τιμών των παραμέτρων που θέλουμε να προσδιορίσουμε και για την έξοδο των υπολογισμένων τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής που πρέπει να συγκριθούν με τις αντίστοιχες παρατηρήσεις. Η μέθοδος που εφαρμόζει το PEST για τη βελτιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης ελαχίστων τετραγώνων είναι η Gauss-Levenberg-Marquardt, με τη μορφή που αυτή περιγράφηκε στην παράγραφο Η μέθοδος είναι περίπου η ίδια με αυτή που χρησιμοποιείται στη διαδικασία εκτίμησης παραμέτρων του MODFLOW, με τη διαφορά ότι στο PEST οι περιορισμοί που θέτονται στις τιμές των παραμέτρων λαμβάνονται υπόψη κατά τη διαδικασία της παλινδρόμησης, ενώ στο MODFLOW απλώς ελέγχεται, στο τέλος της διαδικασίας, το αν οι εκτιμώμενες ως βέλτιστες τιμές ανήκουν στο διάστημα των επιτρεπτών τιμών. Η έκδοση του προγράμματος που χρησιμοποιήθηκε είναι η Στη συνέχεια περιγράφονται συνοπτικά τα κυριότερα χαρακτηριστικά του προγράμματος σύμφωνα με το εγχειρίδιο χρήσης του (Doherty, 2004). Για τη λειτουργία του PEST απαιτούνται τρία είδη αρχείων εισόδου δεδομένων: αρχεία "φόρμας" (template files), αρχεία οδηγιών (instruction files) και ένα αρχείο ελέγχου (control file). Ο ρόλος τους φαίνεται από την παρακάτω περιγραφή της διαδικασίας που ακολουθείται από το PEST: Διαβάζονται από το αρχείο ελέγχου τα δεδομένα εισόδου που αφορούν τις μεταβλητές ελέγχου του προγράμματος, καθώς και ο αριθμός, τα ονόματα και οι αρχικές τιμές των παραμέτρων του μοντέλου, ο αριθμός, τα ονόματα, οι τιμές και οι συντελεστές

95 80 στάθμισης των παρατηρήσεων, τα ονόματα των αντίστοιχων αρχείων εισόδου και εξόδου του μοντέλου και η εντολή εκτέλεσης του μοντέλου. Το PEST δημιουργεί τα αρχεία εισόδου του μοντέλου που αφορούν τις παραμέτρους, σύμφωνα με τη μορφή των αντίστοιχων αρχείων φόρμας. Αν για παράδειγμα οι παράμετροι εισάγονται στο μοντέλο από δύο αρχεία, θα πρέπει να έχουν δημιουργηθεί δύο αντίστοιχα αρχεία φόρμας ώστε το PEST να δημιουργήσει τα αρχεία εισόδου του μοντέλου με την κατάλληλη μορφή. Στη συνέχεια το PEST καλεί το μοντέλο, το οποίο εκτελείται με τα δεδομένα εισόδου που δημιούργησε το PEST και αποθηκεύει τα αποτελέσματά του σε ένα ή περισσότερα αρχεία. Τα αποτελέσματα που ενδιαφέρουν το PEST είναι οι υπολογισμένες τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής που αντιστοιχούν στις παρατηρήσεις. Το PEST διαβάζει από το κατάλληλο αρχείο αποτελεσμάτων του μοντέλου τις τιμές που χρειάζεται, σύμφωνα με τις οδηγίες που του παρέχονται από το αντίστοιχο αρχείο οδηγιών. Για παράδειγμα ένα αρχείο οδηγιών μπορεί να κατευθύνει το PEST να διαβάσει τις τιμές που περιέχονται από την 10η ως την 20η σειρά ενός αρχείου αποτελεσμάτων. Στη συνέχεια το PEST υπολογίζει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ελαχίστων τετραγώνων, εφαρμόζει τη μέθοδο για τον προσδιορισμό ενός νέου σετ τιμών των παραμέτρων και η διαδικασία επαναλαμβάνεται. Κάθε παράμετρος του μοντέλου ορίζεται στο αρχείο ελέγχου του PEST ως μημετασχηματισμένη (untransformed), λογαριθμικά μετασχηματισμένη (log-transformed), αμετάβλητη (fied) ή δεσμευμένη (tied) με κάποια από τις παραμέτρους που δεν είναι αμετάβλητη ή δεσμευμένη. Η χρήση των λογαρίθμων των παραμέτρων έχει πολλές φορές ως αποτέλεσμα την επιτάχυνση και σταθεροποίηση της διαδικασίας της βελτιστοποίησης. Θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη ότι η χρήση λογαρίθμων δεν επιτρέπει σε μια παράμετρο να πάρει αρνητικές τιμές ή να μηδενιστεί. Πιο περίπλοκοι μετασχηματισμοί μπορούν να εφαρμοστούν με τη χρήση ενός βοηθητικού προγράμματος που συνοδεύει το PEST. Ως αμετάβλητη ορίζεται μια παράμετρος η οποία δεν θέλουμε να συμμετέχει στη διαδικασία της βελτιστοποίησης. Η τιμή μιας δεσμευμένης παραμέτρου δεν προκύπτει από τη διαδικασία της βελτιστοποίησης αλλά υπολογίζεται ώστε να διατηρείται η αναλογία της με την τιμή της παραμέτρου με την οποία είναι δεσμευμένη. Στο αρχείο ελέγχου ορίζονται μαζί με κάθε παράμετρο το ανώτερο και το κατώτερο όριο της τιμής της. Όταν η νέα τιμή μιας παραμέτρου βρίσκεται εκτός του άνω (ή κάτω) ορίου της, οι νέες τιμές όλων των παραμέτρων προσαρμόζονται ώστε η παράμετρος αυτή να βρίσκεται ακριβώς στο άνω (ή κάτω) όριο. Στις επόμενες επαναλήψεις, αν το διάνυσμα της μεταβολής των τιμών και το διάνυσμα της κλίσης είναι και τα δύο τέτοια που να βγάζουν την παράμετρο εκτός του ορίου, τότε η παράμετρος προσωρινά "παγώνει" (frozen) και το πρόβλημα της εκτίμησης των παραμέτρων ανασχηματίζεται με την παράμετρο αυτή να

96 81 ορίζεται ως αμετάβλητη και ίση με την οριακή τιμή της. Στην αρχή της επόμενης επανάληψης ελέγχονται και πάλι τα διανύσματα της μεταβολής των τιμών και της κλίσης και είτε η "παγωμένη" παράμετρος επιστρέφει στην επιτρεπόμενη περιοχή τιμών είτε παραμένει "παγωμένη" στην οριακή τιμή της. Εκτός από τους περιορισμούς, στο αρχείο ελέγχου ορίζονται για κάθε παράμετρο δύο μεταβλητές, η κλίμακα (scale) και η μετατόπιση (offset). Οι μεταβλητές αυτές αγνοούνται από το πρόγραμμα στη διαδικασία της εκτίμησης των τιμών των παραμέτρων μέχρι τη στιγμή που δημιουργείται το αρχείο εισόδου του μοντέλου με τις νέες τιμές των παραμέτρων. Τότε για κάθε παράμετρο η τιμή που έχει προκύψει από την τρέχουσα επανάληψη της διαδικασίας βελτιστοποίησης πολλαπλασιάζεται με την κλίμακα της παραμέτρου, στο γινόμενο προστίθεται η μετατόπιση και το άθροισμα αυτό γράφεται στο αρχείο εισόδου του μοντέλου. Όπως αναφέρθηκε, το PEST χρησιμοποιεί ως αντικειμενική συνάρτηση το άθροισμα των τετραγώνων των διαφορών των παρατηρήσεων από τις υπολογισμένες τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής. Αν υπάρχουν τιμές των παραμέτρων με τη μορφή προηγούμενης πληροφορίας, τα τετράγωνα των διαφορών αυτών των τιμών από τις υπολογισμένες τιμές των παραμέτρων συμμετέχουν στο σχηματισμό της αντικειμενικής συνάρτησης. Το PEST υπολογίζει τη συνεισφορά κάθε ομάδας παρατηρήσεων (observation groups) στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Αν είναι επιθυμητό να γνωρίζουμε αυτή τη συνεισφορά για μια ή περισσότερες από τις παρατηρήσεις, μπορούμε να τις εντάξουμε σε διαφορετική από τις υπόλοιπες ομάδα παρατηρήσεων. Το PEST χρησιμοποιεί διάφορα κριτήρια για να αποφασιστεί το πότε σταματά η επαναληπτική διαδικασία που έχει ως στόχο τη μείωση της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης. Οι τιμές των κριτηρίων αυτών ορίζονται από το χρήστη ανάλογα με το πρόβλημα. Μια ένδειξη για το ότι η αντικειμενική συνάρτηση βρίσκεται ή έχει πλησιάσει πολύ στην ελάχιστη τιμή της (ή δεν μπορεί να την πλησιάσει όσο κι αν συνεχιστεί η επαναληπτική διαδικασία), είναι η μεταβολή της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης. Τα δύο ακόλουθα κριτήρια σχετίζονται με αυτή τη μεταβολή. Αν για έναν αριθμό συνεχόμενων επαναλήψεων (NPHINORED) η τιμή της συνάρτησης δεν μειώνεται, η εκτέλεση του προγράμματος σταματά. Αν ένας αριθμός (NPHISTP) τιμών της συνάρτησης, στο σύνολο των επαναλήψεων που έχουν πραγματοποιηθεί (όχι απαραίτητα συνεχόμενων), διαφέρουν από την ελάχιστη μέχρι στιγμής τιμή της κατά μια ποσότητα μικρότερη ή ίση με PHIREDSTP, τότε και πάλι σταματά η εκτέλεση του προγράμματος. Μια άλλη ένδειξη για το ότι η συνέχιση της επαναληπτικής διαδικασίας δε μπορεί να βελτιώσει τη λύση σχετίζεται με τις τιμές των παραμέτρων. Αν συνεχείς επιτυχημένες επαναλήψεις έχουν ως αποτέλεσμα πολύ μικρή μεταβολή των τιμών των παραμέτρων, η επαναληπτική διαδικασία διακόπτεται. Για την

97 82 εφαρμογή αυτού του κριτηρίου χρησιμοποιούνται δύο μεταβλητές, η RELPARSTP και η NRELPAR. Αν η μέγιστη από τις σχετικές μεταβολές των παραμέτρων στις NRELPAR τελευταίες επαναλήψεις, είναι ίση ή μικρότερη από RELPARSTP, το PEST δεν θα προχωρήσει στην επόμενη επανάληψη. Η μεταβλητή NOPTMAX θέτει ένα άνω όριο στον αριθμό των επαναλήψεων που μπορούν να πραγματοποιηθούν. Η εκτέλεση σταματά μετά από NOPTMAX επαναλήψεις, ανεξάρτητα από την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης και τις τιμές των παραμέτρων. Για την εφαρμογή της μεθόδου Gauss-Levenberg-Marquardt είναι απαραίτητος ο υπολογισμός των παραγώγων της εξαρτημένης μεταβλητής ως προς τις παραμέτρους του μοντέλου. Για τον υπολογισμό αυτών των παραγώγων στο PEST χρησιμοποιούνται διαφορές προς τα εμπρός ή κεντρικές διαφορές, δίνεται όμως η δυνατότητα, όταν το μοντέλο με το οποίο θα συνεργαστεί το PEST υπολογίζει αυτές τις παραγώγους με μια πιο ακριβή μέθοδο, να χρησιμοποιηθούν οι παράγωγοι που υπολογίζονται από το μοντέλο, αρκεί να γράφονται σε ένα αρχείο κειμένου με τη μορφή που απαιτείται από το PEST. Υπάρχει επίσης η δυνατότητα να συνδυαστούν οι δύο τρόποι υπολογισμού των παραγώγων χρησιμοποιώντας το μοντέλο για κάποιες από αυτές και το PEST για τις υπόλοιπες. Εκτός από την εκτίμηση των τιμών των παραμέτρων, το PEST παρέχει μια λειτουργία που καλείται "Predictive Analysis Mode". Στις περισσότερες εφαρμογές δεν είναι βέβαιο ότι οι τιμές των παραμέτρων ενός μοντέλου που προέκυψαν από τη διαδικασία εκτίμησης παραμέτρων είναι πράγματι οι βέλτιστες, γιατί περισσότερα από ένα σετ τιμών παραμέτρων μπορεί να δίνουν παραπλήσιες τιμές αντικειμενικής συνάρτησης. Όταν το μοντέλο αυτό πρόκειται να χρησιμοποιηθεί για την πρόβλεψη της αντίδρασης του συστήματος που προσομοιώνει σε διάφορες συνθήκες, αυτό που κυρίως ενδιαφέρει είναι πόσο διαφορετικές είναι οι προβλέψεις αυτές όταν χρησιμοποιούνται διαφορετικά σετ παραμέτρων που μπορούν να θεωρηθούν ότι "ρυθμίζουν" ικανοποιητικά το μοντέλο. Όταν το PEST λειτουργεί σε "Predictive Analysis Mode", μεταβάλλει τις τιμές των παραμέτρων του μοντέλου ώστε να μεγιστοποιείται ή να ελαχιστοποιείται (κατ' επιλογή του χρήστη) η τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής που αντιστοιχεί σε μια μόνο από τις παρατηρήσεις, η οποία ορίζεται από το χρήστη ως "πρόβλεψη", διατηρώντας ταυτόχρονα την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης μικρότερη ή ίση από μια τιμή. Η τιμή αυτή της συνάρτησης ορίζεται επίσης από το χρήστη και εξασφαλίζει ότι το μοντέλο παραμένει ρυθμισμένο. Με τον τρόπο αυτό μπορεί να προσδιοριστεί ένα εύρος μέσα στο οποίο θα κινηθεί η τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής που αντιστοιχεί στην παρατήρηση που θεωρούμε μεγαλύτερου ενδιαφέροντος. Το εύρος αυτό αντιπροσωπεύει την αβεβαιότητα της πρόβλεψης που οφείλεται στην αβεβαιότητα των τιμών των παραμέτρων.

98 83 4. Περιοχή μελέτης Η διερεύνηση των σταδίων της κατάρτισης ενός μαθηματικού μοντέλου υπόγειων νερών και της εφαρμογής του στα πλαίσια της διαχείρισης ενός υδροφορέα, αποτελεί το αντικείμενο αυτής της διατριβής. Η διερεύνηση αυτή πραγματοποιήθηκε μέσω της κατάρτισης ενός τέτοιου μοντέλου και της εφαρμογής του για την πρόβλεψη του πιεζομετρικού φορτίου, κάτω από διάφορες συνθήκες εκμετάλλευσης του φυσικού συστήματος. Ως περιοχή μελέτης επιλέχθηκε η πεδιάδα της Κατερίνης (Πιερίας). Το ενδιαφέρον για την αξιοποίηση των υπόγειων νερών της πεδιάδας Κατερίνης χρονολογείται από τα μέσα της δεκαετίας του 1970, όπως φαίνεται και από τις ακόλουθες μελέτες που έχουν διεξαχθεί στο παρελθόν και αφορούν το υπόγειο υδατικό δυναμικό της περιοχής: Υδρογεωλογική Προμελέτη Περιοχής Κατερίνης-Πιερίας (ΥΔΡΟΓΑΙΑ, 1975) Άρδευση Περιοχής Κατερίνης από Υπόγεια Νερά (ΥΔΡΟΕΡΕΥΝΑ Α.Ε., 1981) Έκθεση για τα Υπόγεια Νερά Περιοχής Κατερίνης και την εκμετάλλευσή τους για τις Αρδεύσεις (Παύλου Μαρίνου, 1985) Έργα Άρδευσης Περιοχής Κατερίνης από Υπόγεια Νερά, Προμελέτη (ΟΤΜΕ, ΥΔΡΟΕΞΥΓΙΑΝΤΙΚΗ, 1985). Από το σύνολο αυτών των μελετών προέκυπτε ότι το υπόγειο υδατικό δυναμικό της περιοχής είναι σημαντικό και θα μπορούσε να καλύψει τις τρέχουσες αλλά και τις μελλοντικές ανάγκες της περιοχής σε νερό άρδευσης. Σύμφωνα με την τελευταία προμελέτη, προβλεπόταν η κατασκευή ενός συλλογικού αρδευτικού δικτύου για την άρδευση της πεδιάδας της Κατερίνης, το οποίο θα τροφοδοτούνταν από γεωτρήσεις. Στα πλαίσια του έργου αυτού, ανατέθηκε από το Υπουργείο Γεωργίας στο Εργαστήριο Γενικής και Γεωργικής Υδραυλικής και Βελτιώσεων του ΑΠΘ, η κατάρτιση ενός μαθηματικού μοντέλου για την ορθολογική αξιοποίηση του υπόγειου υδατικού δυναμικού της πεδιάδας Κατερίνης (Τερζίδης και Μπαμπατζιμόπουλος, 1987). Το μοντέλο πεπερασμένων διαφορών που αναπτύχθηκε, χρησιμοποιήθηκε για τον έλεγχο διαφόρων σεναρίων εκμετάλλευσης του υπόγειου νερού,

99 84 από τα οποία προέκυπτε η ευρύτερη περιοχή όπου θα έπρεπε να κατασκευαστούν οι γεωτρήσεις που θα τροφοδοτούσαν το αρδευτικό δίκτυο, ώστε να επιτυγχάνεται η βιώσιμη ανάπτυξη του πόρου. Στα πλαίσια της μεταπτυχιακής διατριβής της υποφαινόμενης, το μαθηματικό μοντέλο του Εργαστηρίου εμπλουτίσθηκε με μια διαδικασία αυτόματης ρύθμισης και εφαρμόστηκε με μετρήσεις της περιόδου Σεπτέμβριος Αύγουστος 1994 (Καβαλιεράτου, 1998). Οι μετρήσεις αυτές είχαν πραγματοποιηθεί στα πλαίσια του ερευνητικού προγράμματος "Αναρρύθμιση του μαθηματικού μοντέλου πεδιάδας Κατερίνης (Πιερίας)" (Τερζίδης και Μπαμπατζιμόπουλος, 1995). Η μελέτη για την κατασκευή του συλλογικού αρδευτικού δικτύου δεν προχώρησε στο στάδιο της εφαρμογής. Οι συνεχώς αυξανόμενες αρδευτικές ανάγκες δεν ήταν δυνατό να καλυφθούν από επιφανειακά νερά, γιατί η επιφανειακή απορροή στην ευρύτερη περιοχή μελέτης είναι πολύ μικρή ως μηδενική, ιδιαίτερα κατά την ξηρή περίοδο. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα την κάλυψη των αρδευτικών αναγκών της πεδιάδας Πιερίας από υπόγεια νερά με την ανόρυξη ιδιωτικών γεωτρήσεων. Επίσης, τα τελευταία χρόνια αυξήθηκε και ο αριθμός των δημοτικών γεωτρήσεων που χρησιμοποιούνται για ύδρευση, αλλά και για την τροφοδότηση μικρών τοπικών συλλογικών αρδευτικών δικτύων. Σύμφωνα με πρόσφατη καταγραφή, η οποία πραγματοποιήθηκε στα πλαίσια του ερευνητικού έργου "Έρευνα της υδρολογικής κατάστασης του νομού Πιερίας" (Μπαμπατζιμόπουλος, 2005 και 2006), οι ιδιωτικές αρδευτικές γεωτρήσεις στο Νομό Πιερίας φτάνουν σχεδόν τις 3000, και από αυτές περίπου οι 2000 βρίσκονται στην περιοχή που καλύπτει το μαθηματικό μοντέλο (Σχήμα 4.1). Παράλληλα με την καταγραφή των γεωτρήσεων, άρχισε ξανά η παρακολούθηση της μεταβολής της στάθμης (φορτίου) σε 33 γεωτρήσεις της πεδιάδας της Κατερίνης. Ενδεικτικά, στο Σχήμα 4.2 φαίνεται ευδιάκριτα η θέση 5 γεωτρήσεων και στα Σχήματα παρουσιάζεται η μεταβολή της στάθμης των γεωτρήσεων αυτών από το 1985 ως το Όπως φαίνεται και στα σχήματα αυτά, η στάθμη στις γεωτρήσεις εμφανίζει πτωτική τάση, ιδιαίτερα για συνεχόμενα έτη με λίγες βροχοπτώσεις. Το πρόβλημα αυτό είναι περισσότερο έντονο στις γεωτρήσεις Κατερίνης και Περίστασης. Μέχρι πρόσφατα (καλοκαίρι 2006) δεν είχαν παρατηρηθεί προβλήματα υφαλμύρισης του υπόγειου νερού στην περιοχή μελέτης, φαίνεται όμως ότι είναι απαραίτητη η ολοκληρωμένη διαχείριση του υπόγειου υδατικού δυναμικού της περιοχής, ώστε να αποφευχθεί το φαινόμενο της διείσδυσης του θαλασσινού νερού. Το μαθηματικό μοντέλο είναι απαραίτητο εργαλείο για το σκοπό αυτό, σε συνδυασμό με το δίκτυο παρακολούθησης της κατάστασης του υδροφορέα και των επιφανειακών νερών της περιοχής, καθώς επίσης και το δίκτυο συλλογής των μετεωρολογικών δεδομένων.

100 85 Σχήμα 4.1. Καταγραφή γεωτρήσεων στο Νομό Πιερίας.

101 Σχήμα 4.2. Θέση των γεωτρήσεων 99, 154, 166, 202, 212. Υ/Γ Νο 99 (ΔΙΟΝ) Νοε-84 Μαρ-85 Ιουλ-85 Νοε-85 Μαρ-86 Ιουλ-86 Νοε-86 Μαρ-87 Ιουλ-87 Νοε-87 Μαρ-88 Ιουλ-88 Νοε-88 Μαρ-89 Ιουλ-89 Νοε-89 Μαρ-90 Ιουλ-90 Νοε-90 Μαρ-91 Ιουλ-91 Νοε-91 Μαρ-92 Ιουλ-92 Νοε-92 Μαρ-93 Ιουλ-93 Νοε-93 Μαρ-94 Ιουλ-94 Νοε-94 Μαρ-95 Ιουλ-95 Νοε-95 Μαρ-96 Ιουλ-96 Νοε-96 Μαρ-97 Ιουλ-97 Νοε-97 Μαρ-98 Ιουλ-98 Νοε-98 Μαρ-99 Ιουλ-99 Νοε-99 Μαρ-00 Ιουλ-00 Νοε-00 Μαρ-01 Ιουλ-01 Νοε-01 Μαρ-02 Ιουλ-02 Νοε-02 Μαρ-03 Ιουλ-03 Νοε-03 Μαρ-04 Ιουλ-04 Νοε-04 Μαρ-05 Ιουλ-05 Νοε-05 Μαρ-06 Ιουλ-06 Νοε-06 Μαρ-07 Σχήμα 4.3. Μεταβολή της στάθμης με το χρόνο, στη γεώτρηση Νο 99 (Δίον).

102 87 Υ/Γ Νο 154 (ΠΕΡΙΣΤΑΣΗ) Νοε-84 Μαρ-85 Ιουλ-85 Νοε-85 Μαρ-86 Ιουλ-86 Νοε-86 Μαρ-87 Ιουλ-87 Νοε-87 Μαρ-88 Ιουλ-88 Νοε-88 Μαρ-89 Ιουλ-89 Νοε-89 Μαρ-90 Ιουλ-90 Νοε-90 Μαρ-91 Ιουλ-91 Νοε-91 Μαρ-92 Ιουλ-92 Νοε-92 Μαρ-93 Ιουλ-93 Νοε-93 Μαρ-94 Ιουλ-94 Νοε-94 Μαρ-95 Ιουλ-95 Νοε-95 Μαρ-96 Ιουλ-96 Νοε-96 Μαρ-97 Ιουλ-97 Νοε-97 Μαρ-98 Ιουλ-98 Νοε-98 Μαρ-99 Ιουλ-99 Νοε-99 Μαρ-00 Ιουλ-00 Νοε-00 Μαρ-01 Ιουλ-01 Νοε-01 Μαρ-02 Ιουλ-02 Νοε-02 Μαρ-03 Ιουλ-03 Νοε-03 Μαρ-04 Ιουλ-04 Νοε-04 Μαρ-05 Ιουλ-05 Νοε-05 Μαρ-06 Ιουλ-06 Νοε-06 Μαρ-07 Σχήμα 4.4. Μεταβολή της στάθμης με το χρόνο, στη γεώτρηση Νο 154 (Περίσταση). Υ/Γ Νο 166 (ΚΑΤΕΡΙΝΗ) Νοε-84 Μαρ-85 Ιουλ-85 Νοε-85 Μαρ-86 Ιουλ-86 Νοε-86 Μαρ-87 Ιουλ-87 Νοε-87 Μαρ-88 Ιουλ-88 Νοε-88 Μαρ-89 Ιουλ-89 Νοε-89 Μαρ-90 Ιουλ-90 Νοε-90 Μαρ-91 Ιουλ-91 Νοε-91 Μαρ-92 Ιουλ-92 Νοε-92 Μαρ-93 Ιουλ-93 Νοε-93 Μαρ-94 Ιουλ-94 Νοε-94 Μαρ-95 Ιουλ-95 Νοε-95 Μαρ-96 Ιουλ-96 Νοε-96 Μαρ-97 Ιουλ-97 Νοε-97 Μαρ-98 Ιουλ-98 Νοε-98 Μαρ-99 Ιουλ-99 Νοε-99 Μαρ-00 Ιουλ-00 Νοε-00 Μαρ-01 Ιουλ-01 Νοε-01 Μαρ-02 Ιουλ-02 Νοε-02 Μαρ-03 Ιουλ-03 Νοε-03 Μαρ-04 Ιουλ-04 Νοε-04 Μαρ-05 Ιουλ-05 Νοε-05 Μαρ-06 Ιουλ-06 Νοε-06 Μαρ-07 Σχήμα 4.5. Μεταβολή της στάθμης με το χρόνο, στη γεώτρηση 166 (Κατερίνη).

103 88 Υ/Γ Νο 202 (ΑΓ. ΣΠΥΡΙΔΩΝΑΣ) Νοε-84 Μαρ-85 Ιουλ-85 Νοε-85 Μαρ-86 Ιουλ-86 Νοε-86 Μαρ-87 Ιουλ-87 Νοε-87 Μαρ-88 Ιουλ-88 Νοε-88 Μαρ-89 Ιουλ-89 Νοε-89 Μαρ-90 Ιουλ-90 Νοε-90 Μαρ-91 Ιουλ-91 Νοε-91 Μαρ-92 Ιουλ-92 Νοε-92 Μαρ-93 Ιουλ-93 Νοε-93 Μαρ-94 Ιουλ-94 Νοε-94 Μαρ-95 Ιουλ-95 Νοε-95 Μαρ-96 Ιουλ-96 Νοε-96 Μαρ-97 Ιουλ-97 Νοε-97 Μαρ-98 Ιουλ-98 Νοε-98 Μαρ-99 Ιουλ-99 Νοε-99 Μαρ-00 Ιουλ-00 Νοε-00 Μαρ-01 Ιουλ-01 Νοε-01 Μαρ-02 Ιουλ-02 Νοε-02 Μαρ-03 Ιουλ-03 Νοε-03 Μαρ-04 Ιουλ-04 Νοε-04 Μαρ-05 Ιουλ-05 Νοε-05 Μαρ-06 Ιουλ-06 Νοε-06 Μαρ-07 Σχήμα 4.6. Μεταβολή της στάθμης με το χρόνο, στη γεώτρηση 202 (Άγιος Σπυρίδωνας). Υ/Γ Νο 212 (ΣΒΟΡΩΝΟΣ) Αυγ-92 Νοε-92 Φεβ-93 Μαϊ-93 Αυγ-93 Νοε-93 Φεβ-94 Μαϊ-94 Αυγ-94 Νοε-94 Φεβ-95 Μαϊ-95 Αυγ-95 Νοε-95 Φεβ-96 Μαϊ-96 Αυγ-96 Νοε-96 Φεβ-97 Μαϊ-97 Αυγ-97 Νοε-97 Φεβ-98 Μαϊ-98 Αυγ-98 Νοε-98 Φεβ-99 Μαϊ-99 Αυγ-99 Νοε-99 Φεβ-00 Μαϊ-00 Αυγ-00 Νοε-00 Φεβ-01 Μαϊ-01 Αυγ-01 Νοε-01 Φεβ-02 Μαϊ-02 Αυγ-02 Νοε-02 Φεβ-03 Μαϊ-03 Αυγ-03 Νοε-03 Φεβ-04 Μαϊ-04 Αυγ-04 Νοε-04 Φεβ-05 Μαϊ-05 Αυγ-05 Νοε-05 Φεβ-06 Μαϊ-06 Αυγ-06 Νοε-06 Φεβ-07 Σχήμα 4.7. Μεταβολή της στάθμης με το χρόνο, στη γεώτρηση 212 (Σβορώνος).

104 89 Στα πλαίσια της παρούσας διατριβής μελετήθηκαν όλες οι πληροφορίες οι οποίες αφορούν την πεδιάδα της Κατερίνης και περιέχονταν στις μελέτες που προαναφέρθηκαν, με στόχο την κατά το δυνατό πληρέστερη περιγραφή της και την αποτελεσματικότερη ενσωμάτωση αυτών των πληροφοριών στο μαθηματικό μοντέλο που αναπτύχθηκε. Παρά το ότι ξεκίνησε ξανά η συλλογή δεδομένων πεδίου στην περιοχή μελέτης, δεν στάθηκε δυνατό να συγκεντρωθούν έγκαιρα επαρκή δεδομένα για τη ρύθμιση του μοντέλου σύμφωνα με τις νέες συνθήκες που έχουν διαμορφωθεί στην περιοχή μελέτης. Γι' αυτό, για τη ρύθμιση και εφαρμογή του μαθηματικού μοντέλου χρησιμοποιήθηκαν δεδομένα της περιόδου Σεπτέμβριος Αύγουστος Στα δεδομένα αυτά συμπεριλαμβάνονται μηνιαίες μετρήσεις στάθμης/πιεζομετρικού φορτίου σε γεωτρήσεις της περιοχής, μηνιαίες μετρήσεις επιφανειακής απορροής, μηνιαίες τιμές κλιματολογικών δεδομένων και η κατανομή των καλλιεργειών της περιοχής μελέτης για το έτος Τα δεδομένα αυτά είχαν συλλεχθεί στα πλαίσια του προγράμματος "Αναρρύθμιση μαθηματικού μοντέλου πεδιάδας Πιερίας (Κατερίνης)" (Τερζίδης και Μπαμπατζιμόπουλος, 1995 και 1997). Στη συνέχεια αυτού του κεφαλαίου παρουσιάζονται όλα τα διαθέσιμα στοιχεία που αφορούν την ευρύτερη περιοχή μελέτης Θέση και όρια της περιοχής μελέτης Η περιοχή μελέτης καλύπτει το σύνολο σχεδόν της πεδιάδας Κατερίνης και πιο συγκεκριμένα: α)το μεγαλύτερο τμήμα των καλλιεργούμενων εκτάσεων των Δήμων Λιτόχωρου και Κατερίνης και των Κοινοτήτων Βροντούς, Αγ. Σπυρίδωνα, Κονταριώτισσας, Νέας Εφέσου και Γανόχωρας και β) το σύνολο των καλλιεργούμενων εκτάσεων των Κοινοτήτων Δίου, Καρίτσας, Περίστασης, Παραλίας και Καλλιθέας. Προς τα ΝΔ της περιοχής εκτείνεται ο Όλυμπος, Β και ΒΔ εκτείνονται οι λοφώδεις νεογενείς σχηματισμοί που είναι προέκταση των Πιερίων και Α αυτής βρίσκεται ο Θερμαϊκός κόλπος. Στο Σχήμα 4.8 παρουσιάζεται ο χάρτης της ευρύτερης περιοχής και το όριο του μοντέλου. Στη συνέχεια περιγράφονται τα χαρακτηριστικά της λεκάνης της Κατερίνης, της ευρύτερης δηλαδή περιοχής στην οποία ανήκει η περιοχή μελέτης. Η περιγραφή βασίζεται στις προαναφερθείσες παλιότερες μελέτες.

105 90 Σχήμα 4.8. Χάρτης της ευρύτερης περιοχής.

106 Μορφολογία Η λεκάνη της Κατερίνης είναι δυνατό να διακριθεί στις ακόλουθες μορφολογικές ενότητες (ΥΔΡΟΓΑΙΑ, 1975): Όλυμπος - Πιέρια - Λοφώδης περιοχή των νεογενών - περίμετρος του Ολύμπου - πεδιάδα Κατερίνης. Ο ορεινός όγκος του Ολύμπου δεσπόζει στο νότιο τμήμα της περιοχής. Χαρακτηρίζεται από έντονο ανάγλυφο και σχετικά πυκνό υδρογραφικό δίκτυο με βαθιές ρηγματογενείς κοιλάδες με μεγάλες κλίσεις πρανών. Βορειοδυτικά του Ολύμπου εκτείνεται ο ορεινός όγκος των Πιερίων, με ανάγλυφο απαλότερο γενικά από του Ολύμπου και βαθιές διαβρωσιγενείς κοιλάδες που έχουν μικρές κλίσεις πρανών. Μεταξύ των Πιερίων, της ακτής και της κοιλάδας του Ξερόλακκα εκτείνεται η λοφώδης σειρά των νεογενών που έχουν γενικά μικρό ύψος (μεταξύ 100 και 300 m) και έντονο ανάγλυφο. Οι βαθιές και πυκνές χαραδρώσεις τους οφείλονται στην εύκολη αποσάθρωση των σχηματισμών αυτών. Τα βαθύτερα σημεία αυτών καλύπτονται από αποθέσεις και αναβαθμίδες κοιλαδογενείς και ποτάμιες. Η περίμετρος του Ολύμπου αποτελεί μια περιοχή μεγάλης έκτασης που εκτείνεται κατά μήκος προς τις Α και ΒΑ υπώρειες από Πλαταμώνα μέχρι Πέτρα. Το πλάτος της έκτασης αυτής είναι γενικά μικρό (4-5 km) εκτός από την περιοχή Βροντούς - Ξερόλακκα όπου ξεπερνά τα 10 km. Έχει σχετικά μικρή κλίση, βαθιές χαραδρώσεις και καλύπτεται από αδρομερή προϊόντα της αποσάθρωσης των σχηματισμών του Ολύμπου. Η πεδινή περιοχή αποτελεί μια σχεδόν επίπεδη επιφάνεια τριγωνικού σχήματος μεταξύ ακτής, λόφων του νεογενούς και σχηματισμών Λιτοχώρου - Δίου, με πολύ μικρή κλίση. Τμήματα της ζώνης αυτής στο παρελθόν κατακλύζονταν και σχημάτιζαν έλη Γεωλογία Η ευρύτερη περιοχή που επηρεάζει τη συμπεριφορά της λεκάνης Κατερίνης, μέρος της οποίας αποτελεί η περιοχή μελέτης, μπορεί να χωριστεί με βάση την πετρολογική σύσταση σε τρεις κατηγορίες: α) σχηματισμοί της ορεινής περιοχής Ολύμπου - Πιερίων, β) τριτογενείς αποθέσεις και γ) νεότεροι σχηματισμοί. Τα βασικά πετρώματα των σχηματισμών που περιλαμβάνονται στην πρώτη κατηγορία είναι μάρμαρα, γνεύσιοι, σχιστόλιθοι, ασβεστόλιθοι και οφειόλιθοι. Τα ποικίλης μορφής μάρμαρα καταλαμβάνουν το μεγαλύτερο μέρος του όγκου του Ολύμπου. Τα πετρώματα αυτά είναι σε μεγάλο βαθμό αποκαρστωμένα, γι' αυτό και η επιφανειακή απορροή αρκετών υπολεκανών είναι σχεδόν μηδενική. Οι γνεύσιοι, που είναι ποικίλης μορφής και σύστασης, αναπτύσσονται στον κάτω Όλυμπο, στις νότιες και δυτικές υπώρειές του και στα Πιέρια. Στον

107 92 Όλυμπο καλύπτονται από μανδύα σημαντικού πάχους με ογκόλιθους, κροκάλες και αργιλικά λευκοκίτρινα εδάφη. Μέσα στο γνευσιακό σύστημα παρατηρήθηκαν και εστίες γρανίτη, όπως και σημαντικής έκτασης φακοειδείς και ταινιοειδείς μορφές μαρμάρου. Στην κατηγορία των τριτογενών αποθέσεων περιλαμβάνονται το κροκαλοπαγές του Μοσχοπόταμου, οι μαργαϊκές αποθέσεις της περιοχής μεταξύ Πιερίων, Ξερόλακκα και πεδιάδας Κατερίνης και τους νεότερους σχηματισμούς. Το κροκαλοπαγές του Μοσχοπόταμου είναι συνεκτικό, με καλά διαμορφωμένη στρώση, βρίσκεται κάτω από τις μαργαϊκές αποθέσεις και αποτελεί τη βάση των τριτογενών σχηματισμών. Μέσα στο κροκαλοπαγές διακρίνονται ορίζοντες από χονδρόκοκκη άμμο και ψηφίδες. Οι μαργαϊκές αποθέσεις είναι σχηματισμοί ποικίλης πετρολογικής σύστασης, με καλά διαμορφωμένη στρώση. Στα ανατολικά οι μαργαϊκοί σχηματισμοί γίνονται πιο λεπτομερείς και χαλαρότεροι. Στους νεότερους σχηματισμούς, οι οποίοι αποτελούν την τρίτη κατηγορία πετρολογικής σύστασης, περιλαμβάνονται το κροκαλοπαγές του Ολύμπου και οι νεώτερες αποθέσεις πάνω σ' αυτό, οι ποτάμιες αναβαθμίδες των κοιλάδων του Αίσονα και του Μοσχοπόταμου, η αναβαθμίδα ανατολικά της περιμέτρου του Ολύμπου και οι αργιλομαργαϊκές αποθέσεις της πεδιάδας Κατερίνης. Το κροκαλοπαγές του Ολύμπου αποτελείται από τα αδρομερή υλικά της αποσάθρωσης των πετρωμάτων του Ολύμπου και καταλαμβάνει μεγάλη έκταση στην Α και ΒΑ παρυφή του. Στις νεότερες αποθέσεις πάνω στο κροκαλοπαγές του Ολύμπου, οι οποίες είναι προϊόντα της αποσάθρωσής του, επικρατεί η κόκκινη άργιλος και σε ορισμένες μόνο θέσεις υπάρχουν ασβεστολιθικές κροκάλες. Οι παλιές ποτάμιες αναβαθμίδες του Αίσονα και του Μοσχοπόταμου αποτελούνται από αμμομαργαϊκά υλικά και γνευσιακές κροκάλες και ογκόλιθους. Από την επαναδιάβρωση αυτών προέρχονται και οι νεότερες αποθέσεις γύρω από την πόλη της Κατερίνης, οι οποίες αποτελούνται από αμμομαργαϊκά ή αργιλομαργαϊκά λεπτομερή και χαλαρά υλικά. Η αναβαθμίδα ανατολικά της περιμέτρου του Ολύμπου (αναβαθμίδα Λιτοχώρου - Άγιου Σπυρίδωνα) φτάνει μέχρι τη θάλασσα και περιλαμβάνει σχηματισμούς που μεταβαίνουν βαθμιαία από αμμώδεις σε ασβεστολιθικές κροκάλες και τέλος σε αργιλικούς σχηματισμούς. Τα υλικά αυτά προέρχονται από τη διάβρωση και απόπλυση του υλικού της περιμέτρου του Ολύμπου. Η πεδιάδα της Κατερίνης καλύπτεται από τεταρτογενείς αργιλομαργαϊκές αποθέσεις, οι οποίες περιέχουν ορίζοντες με άμμο, ψηφίδες και κροκάλες. Οι ορίζοντες αυτοί αποτελούν σημαντικούς υπό πίεση υδροφορείς ποικίλου πάχους, οι οποίοι διακόπτονται από αργιλικές παρεμβολές, βρίσκονται όμως σε πλευρική επαφή και μπορούν να θεωρηθούν ως ένα ενιαίο υδροφόρο σύστημα. Στο Σχήμα 4.9 παρουσιάζεται ο γεωλογικός χάρτης της ευρύτερης περιοχής, ο οποίος βασίζεται στους ακόλουθους γεωλογικούς χάρτες, κλίμακας 1:50000, του ΙΓΜΕ: Κατερίνης, Κολινδρού, Βελβεντού, Λιτοχώρου-Κονταριώτισσας και Λιβαδιού.

108 93 Σχήμα 4.9. Γεωλογικός χάρτης της ευρύτερης περιοχής

109 Υδρογεωλογία Η λεκάνη της Κατερίνης με βάση τους υδρολιθολογικούς χαρακτήρες των πετρωμάτων είναι δυνατό να διακριθεί σε δύο υδροφόρα συστήματα: του Αίσονα - Κορινού και του Ολύμπου (ΥΔΡΟΓΑΙΑ, 1975), όπως φαίνεται στο χάρτη του Σχήματος Το υδροφόρο σύστημα Αίσονα - Κορινού εκτείνεται στο βόρειο τμήμα της λεκάνης μεταξύ της λοφώδους περιοχής, της ακτής και της νοητής ζώνης Αίσονα Ξερόλακκα. Σύμφωνα με την υδρογεωλογική προμελέτη της περιοχής (ΥΔΡΟΓΑΙΑ, 1975), η ανάπτυξη του υδροφόρου συστήματος Αίσονα - Κορινού γίνεται μέσα στα τεταρτογενή, των οποίων η διοχετευτικότητα ελαττώνεται προς βορρά. Η τροφοδοσία του συστήματος εξασφαλίζεται με τη διήθηση των νερών των ρεμάτων στα τμήματα της κοίτης τους πριν από το όριο της αργιλικής επικάλυψης. Στην περιοχή του Αίσονα, θεωρείται πιθανή η υπόγεια επικοινωνία των υπό πίεση υδροφόρων οριζόντων των δύο υδρογεωλογικών λεκανών. Τα νεογενή της λοφώδους περιοχής αποτελούν το δυτικό όριο του συστήματος Αίσονα Κορινού. Μέσα στα νεογενή αναπτύσσεται υδροφορία σε θέσεις που επικρατούν αδρομερή υλικά, η τροφοδοσία τους όμως θεωρείται περιορισμένη. Η οροφή των νεογενών κάτω από τα τεταρτογενή αποτελεί το αδιαπέρατο υπόβαθρο αυτής της υδρογεωλογικής λεκάνης. Σε μεταγενέστερη έκθεση για τα υπόγεια νερά της περιοχής (Μαρίνος, 1985), αμφισβητείται η ύπαρξη αδιαπέρατου υποβάθρου, τουλάχιστον στην πεδινή περιοχή. Αντίθετα, θεωρείται ότι υπάρχει υπόγεια τροφοδοσία και από τον Όλυμπο, διαμέσου των οριζόντων της νότιας περιοχής, που αποτελούν συνέχεια των ριπιδίων του Ολύμπου, με έντονη ετερογένεια προς την Α και τη ΒΑ διεύθυνση. Η συνέχεια των ριπιδίων θεωρείται ότι εκτείνεται μέχρι την περιοχή του Κορινού, σε βάθος όμως που ξεπερνά τα m. Αυτή η θεώρηση επιβεβαιώνεται και από τις τομές τριών, νέων τότε, βαθιών υδρογεωτρήσεων στην περιοχή της Περίστασης, μια από τις οποίες παρουσιάζεται στο Σχήμα Στα Σχήματα 4.12 και 4.13 παρουσιάζονται οι τομές δύο υδρογεωτρήσεων που βρίσκονται βορειοδυτικά της Κατερίνης, κοντά στο όριο της περιοχής που καλύπτει το μαθηματικό μοντέλο (η θέση τους παρουσιάζεται στο Σχήμα 4.14, μαζί με τις θέσεις των υπόλοιπων διαθέσιμων τομών). Σύμφωνα με την προμελέτη της ΥΔΡΟΓΑΙΑ, σ' αυτό το τμήμα το αδιαπέρατο υπόβαθρο βρίσκεται σε βάθος μικρότερο από 50 m από την επιφάνεια. Όπως φαίνεται όμως από αυτές τις τομές, κάποιες από τις γεωτρήσεις της περιοχής εκμεταλλεύονται και τα υδροφόρα στρώματα που βρίσκονται σε μεγαλύτερα βάθη. Από τις μετρήσεις στάθμης προκύπτει ότι η δίαιτα αυτών των γεωτρήσεων είναι παρόμοια με τη δίαιτα γειτονικών τους μικρότερου βάθους, γι' αυτό η υδροφορία και σ' αυτό το τμήμα θεωρείται ενιαία.

110 Σχήμα Τα υδροφόρα συστήματα της ευρύτερης περιοχής μελέτης και τα όρια του μαθηματικού μοντέλου. 95

111 Σχήμα Τομή υδρογεώτρησης στην περιοχή της Περίστασης. 96

112 Σχήμα Τομή υδρογεώτρησης στην περιοχή ΒΔ της Κατερίνης (Υδρογεώτρηση Α στο Σχήμα 4.14) 97

113 Σχήμα Τομή υδρογεώτρησης στην περιοχή ΒΔ της Κατερίνης. (Υδρογεώτρηση Β στο Σχήμα 4.14) 98

114 99 Το υδροφόρο σύστημα του Ολύμπου εκτείνεται στο νότιο μέρος της περιοχής και αποτελείται από τον ορεινό όγκο του Ολύμπου, τους σχηματισμούς της περιμέτρου και τμήμα της πεδιάδας μέχρι τη ζώνη του Αίσονα. Αδιαπέρατο υπόβαθρο στην περιοχή του καρστικού όγκου δεν έχει εντοπιστεί. Στη μελέτη της ΥΔΡΟΓΑΙΑ (1975) αναφέρεται ότι στην πεδινή περιοχή μπορεί να θεωρηθεί ότι υπάρχει ένα αδιαπέρατο υπόβαθρο σε βάθος γύρω στα 200 m. Αντίθετα, στην έκθεση του Μαρίνου (1985) θεωρείται ότι αδιαπέρατο υπόβαθρο δεν υπάρχει, αλλά τα ριπίδια συνεχίζονται και μάλιστα στην περιοχή του Αίσονα παρουσιάζουν μια κάμψη, με αποτέλεσμα να συναντώνται σε μικρότερα βάθη. Η κάμψη αυτή θεωρείται ότι δεν διακόπτει την έμμεση συνέχεια των ριπιδίων και βόρεια του Αίσονα. Ο υδροφόρος ορίζοντας της λεκάνης εντοπίζεται στους αδρομερείς σχηματισμούς της περιμέτρου του Ολύμπου και στις ενστρώσεις άμμων και κροκάλων της πεδιάδας. Στους σχηματισμούς της περιμέτρου ο υδροφόρος ορίζοντας είναι συνεχής και συμπεριφέρεται σαν ορίζοντας ελεύθερης επιφάνειας, ενώ στο χαμηλό πεδινό τμήμα της λεκάνης, λόγω της αργιλικής επικάλυψης, ο υδροφόρος ορίζοντας βρίσκεται υπό πίεση. Στην πεδιάδα οι αμμώδεις ενστρώσεις μέσα στις οποίες εντοπίζεται η υδροφορία διακόπτονται από αργιλικές παρεμβολές, αλλά βρίσκονται σε επικοινωνία και πλευρική επαφή μεταξύ τους και με τους αδρομερείς σχηματισμούς της περιμέτρου με αποτέλεσμα κι εδώ η υδροφορία να είναι ενιαία. Η τροφοδοσία των υδροφόρων οριζόντων αυτού του συστήματος είναι πλευρική, από τον καρστικό όγκο του Ολύμπου και τους αδρομερείς σχηματισμούς της περιμέτρου (ριπίδια Ολύμπου). Ένα μέρος του υδατικού δυναμικού του Ολύμπου εκφορτίζεται με τις πηγές Καρίτσας - Δίου ενώ το μεγαλύτερο μέρος φαίνεται να εκτονώνεται στο θαλάσσιο χώρο μακριά από την ακτή και κατά διάχυτο τρόπο. Στο παρελθόν, και τα δύο υδροφόρα συστήματα παρουσίαζαν αρτεσιανισμό στη χαμηλή πεδινή περιοχή, όλη σχεδόν τη διάρκεια του έτους. Η ζώνη του αρτεσιανισμού κάλυπτε την περιοχή μεταξύ τάφρου Λιτοχώρου, Καρίτσας, Ν. Εφέσου, Καλλιθέας και ακτής. Λόγω όμως της εντατικής εκμετάλλευσης, το πλάτος της ζώνης του αρτεσιανισμού έχει περιοριστεί σημαντικά, ιδιαίτερα κατά την αρδευτική περίοδο κατά την οποία το φαινόμενο παρατηρείται σε λίγες παραλιακές γεωτρήσεις. Το σύστημα των πηγών Δίου - Καρίτσας είναι η μοναδική αξιόλογη ανάβλυση νερού στην περιοχή μελέτης. Πρόκειται για μια εκδήλωση πηγών σε μήκος 5 χιλιομέτρων περίπου στην περιοχή επαφής των αδρομερών σχηματισμών της περιμέτρου του Ολύμπου και της αναβαθμίδας με την αργιλική επικάλυψη της πεδιάδας Κατερίνης. Αποτελούν μια εκφόρτιση του βασικού υδροφορέα του Ολύμπου, που οφείλεται στη διαφορά διαπερατότητας των δύο σχηματισμών. Ο μηχανισμός της λειτουργίας τους τις κατατάσσει στις πηγές υπερπλήρωσης,

115 100 αφού είναι δυνατό να επηρεαστεί η δίαιτά τους από την εντατική άντληση του κατάντη υπό πίεση υδροφορέα. Στη φάση της συλλογής και διερεύνησης των υπαρχόντων στοιχείων για την περιοχή, έγινε προσπάθεια να συγκεντρωθούν τομές βαθιών γεωτρήσεων με στόχο την κατάρτιση τριδιάστατου μοντέλου, που να ανταποκρίνεται καλύτερα στη γεωλογική δομή του φυσικού συστήματος. Το Τμήμα Εγγείων Βελτιώσεων της Νομαρχιακής Αυτοδιοίκησης Πιερίας, το οποίο είναι αρμόδιο για την αδειοδότηση των αρδευτικών γεωτρήσεων, δεν διαθέτει πλήρες και οργανωμένο αρχείο των αδειών που εγκρίνει. Από το αρχείο αυτό συγκεντρώθηκαν τομές από 100 περίπου γεωτρήσεις της ευρύτερης περιοχής, η θέση των οποίων όμως δεν ήταν γνωστή ούτε κατά προσέγγιση. Τα μόνα γνωστά στοιχεία ήταν το όνομα του ιδιοκτήτη και η κοινότητα στην οποία ανήκε η γεώτρηση. Κατά την καταγραφή των γεωτρήσεων που είχε γίνει στο παρελθόν από το Εργαστήριο Γενικής και Γεωργικής Υδραυλικής και Βελτιώσεων, είχαν τοποθετηθεί σε χάρτες 1: γεωτρήσεις, για τις οποίες ήταν γνωστό το όνομα του ιδιοκτήτη και το βάθος της γεώτρησης (Τερζίδης και Μπαμπατζιμόπουλος, 1987). Συγκρίνοντας τα στοιχεία των τομών με τη λίστα των καταγραμμένων γεωτρήσεων, στάθηκε δυνατό να προσδιοριστεί η θέση 12 μόνο γεωτρήσεων. Επίσης, από τη μελέτη της ΥΔΡΟΓΑΙΑ, υπήρχαν διαθέσιμες 28 τομές γεωτρήσεων, οι οποίες όμως ήταν συγκεντρωμένες σε μία περιοχή. Ο αριθμός των τομών που τελικά συγκεντρώθηκαν δεν ήταν ικανοποιητικός, ούτε και η διασπορά τους στην έκταση του μοντέλου, γι' αυτό επιλέχθηκε οι υδροφορείς της περιοχής μελέτης να προσομοιωθούν με διδιάστατο μοντέλο. Στο Σχήμα 4.14 φαίνονται οι θέσεις των διαθέσιμων τομών γεωτρήσεων. Στα Σχήματα παρουσιάζονται ενδεικτικά 5 από αυτές τις τομές.

116 101 Β Α Σχήμα Τα όρια του μοντέλου και οι θέσεις των διαθέσιμων τομών γεωτρήσεων (oι τομές 1-5 παρουσιάζονται στα επόμενα σχήματα).

117 Σχήμα Τομή υδρογεώτρησης Νο 1 (υδροφόρο σύστημα Αίσονα-Κορινού). 102

118 Σχήμα Τομή υδρογεώτρησης Νο 2 (υδροφόρο σύστημα Αίσονα-Κορινού). 103

119 Σχήμα Τομή υδρογεώτρησης Νο 3 (υδροφόρο σύστημα Αίσονα-Κορινού). 104

120 Σχήμα Τομή υδρογεώτρησης Νο 4 (υδροφόρο σύστημα Ολύμπου τμήμα υπό πίεση). 105

121 Σχήμα Τομή υδρογεώτρησης Νο 5 (υδροφόρο σύστημα Ολύμπου ελεύθερος δροφορέας). 106

122 Υδρολογικές λεκάνες Η λεκάνη της Κατερίνης δεν αποτελεί ενιαία υδρολογική λεκάνη, αλλά ένα σύστημα από μικρότερες που τα νερά τους διηθούνται μέσα στις αδρομερείς αποθέσεις, ή συμβάλλουν σε γειτονικές κοίτες ή τέλος χύνονται απ' ευθείας στη θάλασσα. Τα όρια των λεκανών αυτών φαίνονται στο Σχήμα 4.8. Στις λεκάνες που αναπτύσσονται πάνω σε υδατοπερατούς σχηματισμούς το φαινόμενο της κατείσδυσης του νερού είναι έντονο και η επιφανειακή απορροή μειώνεται, σε αντίθεση με τις λεκάνες που αναπτύσσονται πάνω από υδατοστεγείς σχηματισμούς. Οι μικρές λεκάνες οι οποίες αποχετεύουν κυρίως τα νερά των πηγών Δίου - Καρίτσας και απορρέουν προς το στραγγιστικό δίκτυο Βαρικού-Λιτοχώρου, αναπτύσσονται πάνω σε μάρμαρα - ασβεστόλιθους (υδατοπερατούς σχηματισμούς). Η υδρολογική λεκάνη του Αίσονα στο μεγαλύτερο μέρος της αναπτύσσεται πάνω σε νεογενή πετρώματα-γνεύσιους (υδατοστεγή πετρώματα), με εξαίρεση το τμήμα που αποστραγγίζεται από τον Ξερόλακκα, το οποίο αναπτύσσεται πάνω στο κροκαλοπαγές του Ολύμπου (υδατοπερατό). Η λεκάνη της τάφρου Κορινού αναπτύσσεται επίσης σε υδατοστεγή πετρώματα (νεογενή - γνεύσιους). Η οριοθέτηση των υδρολογικών λεκανών της ευρύτερης περιοχής έγινε στο ArcMap, με βάση το ψηφιακό μοντέλο του αναγλύφου του εδάφους (Digital Terrain Model - DTM) που προέκυψε από τις ψηφιοποιημένες ισοϋψείς και το ψηφιοποιημένο υδρογραφικό δίκτυο των χαρτών της Γ.Υ.Σ. κλίμακας 1:100,000 που καλύπτουν την περιοχή. Η έκταση που καταλαμβάνει το μαθηματικό μοντέλο υπόγειων νερών που αναπτύχθηκε στα πλαίσια αυτής της διατριβής, περιλαμβάνει τμήματα αυτών των λεκανών, όπως φαίνεται στο χάρτη του Σχήματος Υδρογραφικό δίκτυο Το σημαντικότερο δίκτυο επιφανειακής απορροής στη λεκάνη της Κατερίνης είναι αυτό του Αίσονα (Σχήμα 4.8), καθώς είναι το μόνο συνεχούς ροής σε όλη σχεδόν τη διάρκεια του έτους. Συνεχούς ροής είναι και οι τάφροι Βαρικού και Λιτοχώρου, οι οποίες αποστραγγίζουν κυρίως τα νερά των πηγών της περιοχής Δίου - Καρίτσας, η παροχή τους όμως είναι μικρή. Η περιοχή βόρεια του Αίσονα απορρέει προς τη θάλασσα με μικρούς χείμαρρους. Σημαντικότερος από αυτούς είναι ο χείμαρρος Κορινού (Τάφρος Κορινού), στον οποίο, όπως και στο υπόλοιπο δίκτυο, παροχή παρατηρείται μόνο μετά από βροχοπτώσεις. Ο Αίσονας σχηματίζεται με τη συμβολή τριών υδατορρευμάτων, του Πατσιάρη, του Πέλεκα (ή Μοσχοπόταμου) και του Μαυρονερίου. Ο Πατσιάρης πηγάζει από βορειοδυτικά και χύνεται στον Πέλεκα κοντά στο Ν. Κεραμίδι. Κατά τη μεγαλύτερη περίοδο του έτους είναι ξηρός. Οι πηγές του Πέλεκα είναι κοντά στο χωριό Μοσχοπόταμος. Αφού παραλάβει και τα

123 108 νερά του Πατσιάρη, περνάει έξω από την πόλη της Κατερίνης και συμβάλλει με το Μαυρονέρι κοντά στη Ν. Έφεσο. Και ο χείμαρρος αυτός είναι ξηρός κατά τη μεγαλύτερη περίοδο του έτους. Το Μαυρονέρι είναι συνεχούς ροής. Κοντά στη Ν. Έφεσο συμβάλει με τον Πέλεκα. Το υδατόρρευμα που προκύπτει μετά από αυτή τη συμβολή και που τελικά καταλήγει στη θάλασσα, ονομάζεται Αίσονας. Τα νερά ενός ακόμα χειμάρρου, του Ξερόλακκα, παραλαμβάνονται επίσης από τον Αίσονα, λίγο μετά τη συμβολή των Πέλεκα και Μαυρονερίου. Σ' αυτόν το χείμαρρο εμφανίζονται παροχές μόνο μετά από ιδιαίτερα ραγδαίες βροχοπτώσεις. Στα πλαίσια ερευνητικών προγραμμάτων του εργαστηρίου (παράγραφος 4.1), είχαν επιλεχθεί 13 θέσεις μέτρησης της επιφανειακής απορροής στην περιοχή του μοντέλου: δυο θέσεις στην τάφρο Κορινού, από μία θέση σε Πατσιάρη, Πέλεκα, Μαυρονέρι και Ξερόλακκα, μία θέση μετά τη συμβολή Πατσιάρη και Πέλεκα, μια θέση μετά τη συμβολή αυτών με το Μαυρονέρι, μία στον Αίσονα μετά τη συμβολή όλων των παραποτάμων του και από δυο θέσεις στις τάφρους Βαρικού και Λιτοχώρου, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 4.8. Οι μετρήσεις πραγματοποιούνταν σε μηνιαία βάση, για τα έτη Το Νοέμβριο του 2005 άρχισαν ξανά οι μετρήσεις επιφανειακής απορροής σε μηνιαία βάση, διαπιστώθηκε όμως ότι στον Πατσιάρη (ΜΙΙ), τον Πέλεκα (ΜIV), το Μαυρονέρι (AIV) και τη συμβολή τους (ΑπΙ) δεν είναι δυνατό να πραγματοποιηθούν μετρήσεις κατά το μεγαλύτερο διάστημα του έτους, λόγω του μεγάλου βάθους και της μεγάλης ταχύτητας ροής. Επίσης, η θέση μέτρησης στον Αίσονα (ΑΙ) δεν είναι πλέον προσβάσιμη, λόγω των έργων οδοποιίας των τελευταίων ετών. Στον Ξερόλακκα (ΑΙΙ) και στην θέση ΤπΙΙ της τάφρου Κορινού δεν παρατηρείται ποτέ ροή, παρά μόνο μετά από ιδιαίτερα ραγδαίες βροχοπτώσεις. Σ' αυτές τις περιπτώσεις δεν είναι δυνατό να μετρηθεί η παροχή τους. Επομένως, η παρακολούθηση της επιφανειακής απορροής στην περιοχή μελέτης θα είναι δυνατή μόνο μετά από τεχνικές επεμβάσεις στις κοίτες του Αίσονα και των παραποτάμων του. Για το μαθηματικό μοντέλο των υπόγειων νερών της περιοχής, είναι ιδιαίτερης σημασίας οι μετρήσεις των παροχών των τάφρων Βαρικού και Λιτοχώρου, γιατί οι παροχές αυτές αντιπροσωπεύουν την εκφόρτιση του υδροφορέα στην περιοχή των πηγών Δίου- Καρίτσας. Προς το παρόν, οι μετρήσεις αυτές δεν είναι δυνατό να πραγματοποιηθούν, γιατί δεν καθαρίζονται οι τάφροι από την υδροχαρή βλάστηση και έχει καταστραφεί ο εναέριος μηχανισμός στην τάφρο Βαρικού (θέση Β1) Μετεωρολογικά δεδομένα Στο νομό υπάρχουν εγκαταστημένοι και λειτουργούν οι μετεωρολογικοί σταθμοί Αγίου Δημητρίου, Βροντούς, Μοσχοπόταμου και Καπνικού Σταθμού Κατερίνης και οι βροχομετρικοί

124 109 σταθμοί Κολινδρού και Λόφου. Μέχρι το 1995 λειτουργούσε και ο βροχομετρικός σταθμός του Σιδηροδρομικού Σταθμού Λιτοχώρου. Η θέση τους φαίνεται στο Σχήμα 4.8. Τα διαθέσιμα μετεωρολογικά δεδομένα είναι τα ακόλουθα: Μετεωρολογικός Σταθμός Αγίου Δημητρίου Μηνιαίο ύψος βροχής (βροχογράφος από το 1974 και βροχόμετρο από το 1984) Μέση μέγιστη μηνιαία θερμοκρασία αέρος, από το 1975 Μέση ελάχιστη μηνιαία θερμοκρασία αέρος, από το 1974 Μέση μηνιαία θερμοκρασία αέρος, από το 1975 Μετεωρολογικός Σταθμός Βροντούς Μηνιαίο ύψος βροχής (βροχόμετρο και βροχογράφος), από το 1974 Μέση μέγιστη μηνιαία θερμοκρασία αέρος, από το 1974 Μέση ελάχιστη μηνιαία θερμοκρασία αέρος, από το 1974 Μέση μηνιαία θερμοκρασία αέρος, από το 1974 Μηνιαία εξάτμιση, από το 1974 Μηνιαία ηλιοφάνεια (ώρες), από το 1987 Μέση μηνιαία ταχύτητα ανέμου (km/24ωρο), από το 1987 Μετεωρολογικός Σταθμός Μοσχοπόταμου Μηνιαίο ύψος βροχής (βροχόμετρο και βροχογράφος), από το 1968 Μέση μέγιστη μηνιαία θερμοκρασία αέρος, από το 1974 Μέση ελάχιστη μηνιαία θερμοκρασία αέρος, από το 1974 Μέση μηνιαία θερμοκρασία αέρος, από το 1974 Μετεωρολογικός Σταθμός Καπνικού Σταθμού Κατερίνης Μηνιαίο ύψος βροχής (βροχόμετρο), από το 1951 Μέση μέγιστη μηνιαία θερμοκρασία αέρος, από το 1987 Μέση ελάχιστη μηνιαία θερμοκρασία αέρος, από το 1987 Μέση μηνιαία θερμοκρασία αέρος, από το 1987 Μηνιαία ηλιοφάνεια (ώρες), από το 1987 ως το 1997 Μέση μηνιαία ταχύτητα ανέμου (km/24ωρο), από το 1990 ως το 1998 Μέση μέγιστη μηνιαία σχετική υγρασία, από το 1987 ως το 1998 Μέση μηνιαία σχετική υγρασία, από το 1987 ως το 1998

125 110 Βροχομετρικός Σταθμός Κολινδρού Μηνιαίο ύψος βροχής (βροχόμετρο και βροχογράφος), από το 1967 Βροχομετρικός Σταθμός Λόφου Μηνιαίο ύψος βροχής (βροχόμετρο), από το 1974 Βροχομετρικός Σταθμός Λιτοχώρου Μηνιαίο ύψος βροχής (βροχόμετρο), από το 1954 ως το 1995 Όπως φαίνεται, μόνο στο σταθμό της Βροντούς καταγράφονται όλες οι κλιματικές παράμετροι που απαιτούνται για τον υπολογισμό της εξατμισοδιαπνοής, εκτός από τη σχετική υγρασία, η οποία δεν μετράται πλέον σε κανένα σταθμό. Ο σταθμός που θεωρούνταν ο περισσότερο αντιπροσωπευτικός για την πεδινή περιοχή, την οποία καλύπτει το μοντέλο, ήταν ο μετεωρολογικός σταθμός του Καπνικού Σταθμού Κατερίνης, ο οποίος όμως δεν διαθέτει πλήρη σειρά δεδομένων μέχρι σήμερα. Άλλωστε και η θέση του δεν κρίνεται πλέον κατάλληλη, λόγω της πυκνής δόμησης που αναπτύχθηκε τα τελευταία χρόνια στην περιοχή. Απαιτείται επομένως συμπλήρωση και επέκταση του δικτύου των μετεωρολογικών σταθμών της ευρύτερης περιοχής, για να είναι δυνατός ο υπολογισμός των υδατικών αναγκών των καλλιεργειών της περιοχής μελέτης Καλλιέργειες Για την αποτελεσματική διαχείριση του υπόγειου υδατικού δυναμικού της περιοχής μελέτης, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την ποσότητα του υπόγειου νερού που καταναλώνεται για την εξυπηρέτηση των αρδευτικών αναγκών της περιοχής. Εκτός από τις κλιματολογικές συνθήκες, οι ανάγκες σε νερό άρδευσης εξαρτώνται από τα είδη των καλλιεργειών, την κατανομή τους στην περιοχή και την έκτασή τους. Με βάση τα στοιχεία της Διεύθυνσης Γεωργίας της Νομαρχιακής Αυτοδιοίκησης Πιερίας για το έτος 1992, η περιοχή μελέτης είχε χωριστεί σε τρεις υποπεριοχές στις οποίες η κατανομή των καλλιεργειών θεωρούνταν ομοιόμορφη. Οι εκτάσεις των καλλιεργειών σε κάθε υποπεριοχή και συνολικά στην περιοχή του μοντέλου, για το 1992, παρουσιάζονται στον Πίνακα 4.1 (Τερζίδης και Μπαμπατζιμόπουλος, 1995). Τα όρια των υποπεριοχών φαίνονται στο Σχήμα 4.20.

126 111 Πίνακας 4.1. Έκταση των κύριων καλλιεργειών της περιοχής μελέτης, ανά υποπεριοχή ομοιόμορφης κατανομής και συνολικά, για το έτος ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΑ Π.ΒΡΟΝΤΟΥΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ Π. Π.ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ Σύνολο ΣΙΤΗΡΑ ΚΑΛΑΜΠΟΚΙ ΚΑΠΝΟΣ ΤΕΥΤΛΑ ΕΛΙΕΣ ΔΕΝΔΡΩΔΗ ΑΜΠΕΛΙΑ ΜΗΔΙΚΗ ΦΑΣΟΛΙΑ ΚΗΠΕΥΤΙΚΑ ΒΟΣΚΕΣ ΒΑΜΒΑΚΙ ΣΥΝΟΛΟ Δεν υπάρχουν δεδομένα για τις αρδευόμενες εκτάσεις και την κατανομή τους στην περιοχή του μοντέλου. Με βάση μεταγενέστερα στοιχεία, της περιόδου , οι αρδευόμενες εκτάσεις αντιστοιχούν στο 86% των καλλιεργούμενων εκτάσεων (ΕΣΥΕ). Για το διάστημα από το Σεπτέμβριο του 1992 ως τον Αύγουστο του 1995, εκτιμήθηκε ότι αρδεύεται περίπου το 80% της συνολικής καλλιεργούμενης έκτασης, λαμβάνοντας υπόψη και την χωρική κατανομή των γεωτρήσεων στην περιοχή μελέτης. Συνολικά, θεωρήθηκε ότι αρδεύονται περίπου 141 χιλιάδες στρέμματα. Για την κατανομή των καλλιεργειών ανά υποπεριοχή, διατηρήθηκαν οι αναλογίες του Πίνακα 4.1. Οι εκτάσεις των καλλιεργειών που τελικά χρησιμοποιήθηκαν, ανά υποπεριοχή ομοιόμορφης κατανομής και συνολικά, παρουσιάζονται στον Πίνακα 4.2. Πίνακας 4.2. Αρδευόμενες εκτάσεις των κύριων καλλιεργειών της περιοχής μελέτης, ανά υποπεριοχή ομοιόμορφης κατανομής και συνολικά, για το διάστημα Σεπτέμβριος 1992 Αύγουστος 1995 (στρέμματα). ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΑ Π.ΒΡΟΝΤΟΥΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ Π. Π.ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ Σύνολο ΣΙΤΗΡΑ ΚΑΛΑΜΠΟΚΙ ΚΑΠΝΟΣ ΤΕΥΤΛΑ ΕΛΙΕΣ ΔΕΝΔΡΩΔΗ ΑΜΠΕΛΙΑ ΜΗΔΙΚΗ ΦΑΣΟΛΙΑ ΚΗΠΕΥΤΙΚΑ ΒΟΣΚΕΣ ΒΑΜΒΑΚΙ ΣΥΝΟΛΟ

127 Σχήμα Τα όρια των υποπεριοχών ομοιόμορφης κατανομής των καλλιεργειών για το έτος 1992 (Πίνακας 4.1). 112

128 Εφαρμογή Στα πλαίσια της διατριβής αυτής αναπτύχθηκε ένα μαθηματικό μοντέλο πεπερασμένων διαφορών για τα υπόγεια νερά της πεδιάδας της Κατερίνης, με στόχο τη διερεύνηση σε βάθος όλων των σταδίων που περιλαμβάνει η κατάρτιση και εφαρμογή ενός μαθηματικού μοντέλου, και τον εντοπισμό και την αντιμετώπιση σφαλμάτων που συχνά πραγματοποιούνται και οδηγούν σε "αληθοφανή" αλλά τελείως λανθασμένα αποτελέσματα. Βασικό οδηγό για την κατάρτιση του μοντέλου αποτέλεσε η εμπειρία που αποκτήθηκε από την εφαρμογή του μαθηματικού μοντέλου του Εργαστηρίου Γενικής και Γεωργικής Υδραυλικής και Βελτιώσεων για την ίδια περιοχή μελέτης, στα πλαίσια της μεταπτυχιακής διατριβής της υποφαινόμενης. Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η διαδικασία κατάρτισης του μαθηματικού μοντέλου της πεδιάδας της Κατερίνης. Η διαδικασία αυτή περιλαμβάνει τα ακόλουθα στάδια: α) Την κατάρτιση του θεμελιώδους μοντέλου των υπόγειων νερών της περιοχής μελέτης, με βάση όλα τα διαθέσιμα ποιοτικά και ποσοτικά δεδομένα που αφορούν την υδρογεωλογία της περιοχής, τα οποία παρουσιάστηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο. β) Τη δόμηση του μαθηματικού μοντέλου, με βάση το θεμελιώδες μοντέλο που καταρτίσθηκε, τα διαθέσιμα δεδομένα και τις δυνατότητες και απαιτήσεις του κώδικα που επιλέχθηκε να χρησιμοποιηθεί (MODFLOW 2000). Το στάδιο αυτό περιλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα: την επιλογή της χωρικής και χρονικής διακριτοποίησης, τον ορισμό της αρχικής συνθήκης και των οριακών συνθηκών, τον ορισμό των υδρογεωλογικών παραμέτρων του μοντέλου, την επιλογή της μεθόδου επίλυσης της εξίσωσης της υπόγειας ροής και τον ορισμό των κριτηρίων σύγκλισης αυτής της μεθόδου ώστε η ακρίβεια της λύσης να είναι ικανοποιητική. Οι διερευνήσεις που έγιναν για καθένα από τα βήματα αυτά παρουσιάζονται στις αντίστοιχες παραγράφους, ώστε να τεκμηριώνεται η τελική επιλογή. Οι υδρογεωλογικές παράμετροι του υδροφορέα και οι εισροές και εκροές από αυτόν ορίστηκαν με παραμέτρους,

129 114 ώστε να είναι δυνατός ο προσδιορισμός της τιμής τους με τη διαδικασία της αυτόματης ρύθμισης. Συνολικά, χρησιμοποιήθηκαν 38 παράμετροι, 25 από τις οποίες αφορούν τα υδρογεωλογικά χαρακτηριστικά του υδροφορέα και 13 αφορούν τις παροχές φόρτισης και εκφόρτισής του. γ) Την αυτόματη ρύθμιση του μαθηματικού μοντέλου. Η ρύθμιση έγινε με τη μέθοδο Gauss-Levenberg-Marquardt. Αρχικά χρησιμοποιήθηκε η μορφή της μεθόδου χωρίς περιορισμούς (όπως εφαρμόζεται από το MODFLOW 2000), στη συνέχεια όμως προτιμήθηκε η εφαρμογή της μεθόδου αυτής με χρήση περιορισμών (PEST). Με τη διαδικασία της αυτόματης ρύθμισης προσδιορίστηκαν οι τιμές των 25 υδρογεωλογικών παραμέτρων και 1 παραμέτρου που αφορά την εκφόρτιση του υδροφορέα από τις πηγές της περιοχής Δίου - Καρίτσας. Το μοντέλο ρυθμίστηκε με δεδομένα της περιόδου 1/9/ /4/1995. Χρησιμοποιήθηκαν μηνιαίες μετρήσεις στάθμης/φορτίου σε 43 γεωτρήσεις της περιοχής μελέτης και μηνιαίες μετρήσεις παροχών εκφόρτισης του υδροφορέα από τις πηγές. δ) Την αξιολόγηση του μοντέλου με βάση τα αποτελέσματα της ρύθμισής του. Για την αξιολόγηση χρησιμοποιήθηκαν στατιστικές παράμετροι που αφορούν συνολικά το μοντέλο, τα υπόλοιπα μεταξύ μετρημένων και υπολογισμένων φορτίων (μη σταθμισμένα και σταθμισμένα) και τις απόλυτες τιμές αυτών των υπολοίπων. ε) Την ανάλυση ευαισθησίας των παραμέτρων του μοντέλου. Η ανάλυση ευαισθησίας έγινε με τον υπολογισμό των συντελεστών ευαισθησίας των παραμέτρων του μοντέλου και με συστηματική μεταβολή της τιμής κάθε παραμέτρου διατηρώντας σταθερές τις υπόλοιπες. στ) Την επαλήθευση του μοντέλου, μέσω της εφαρμογής του για χρονικό διάστημα διαφορετικό από αυτό για το οποίο ρυθμίστηκε. Για την επαλήθευση του μοντέλου χρησιμοποιήθηκαν μηνιαίες μετρήσεις στάθμης/φορτίου, για την περίοδο 1/5/ /8/1995, στις ίδιες γεωτρήσεις με αυτές που χρησιμοποιήθηκαν και για τη ρύθμιση. Στο τέλος του κεφαλαίου παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της εφαρμογής του μοντέλου για την πρόβλεψη του φορτίου κάτω από διαφορετικές συνθήκες εκμετάλλευσης του υδροφορέα Θεμελιώδες μοντέλο της περιοχής μελέτης Το μαθηματικό μοντέλο που αναπτύχθηκε περιλαμβάνει τμήματα των δύο υδροφόρων συστημάτων της ευρύτερης περιοχής (Αίσονα - Κορινού και Ολύμπου), τα οποία συνιστούν τους δύο ακόλουθους υδροφορείς: α) Τον υπό πίεση υδροφορέα, που εκτείνεται στο μεγαλύτερο μέρος της πεδιάδας Κατερίνης και έχει σαν επάνω όριο ένα αργιλικό στρώμα, μέσα στο οποίο αναπτύσσεται επίσης ένας ορίζοντας περιορισμένης δυναμικότητας. Κάτω από την αργιλική επικάλυψη

130 115 αναπτύσσονται οι εναλλαγές από αδρομερείς και λεπτομερείς αποθέσεις, που σχηματίζουν το θεωρούμενο ενιαίο (λόγω επικοινωνίας των επιμέρους στρωμάτων) υπό πίεση υδροφορέα. Αυτός τροφοδοτείται δυτικά-βορειοδυτικά από τα Πιέρια και την μερική κατείσδυση των νερών των ποταμών Μαυρονερίου και Μοσχοπόταμου και νοτιοδυτικά, μέσω της επικοινωνίας του με τον ελεύθερο υδροφορέα, από τον καρστικό Όλυμπο. β) Τον ελεύθερο υδροφορέα, που καλύπτει την περιοχή της αναβαθμίδας Λιτόχωρου - Αγ. Σπυρίδωνα. Συνίσταται από πολύ αδρομερές ασβεστολιθικό υλικό. Τροφοδοτείται πλευρικά από τον Όλυμπο, επικοινωνεί με τον κλειστό υδροφορέα και εκφορτίζεται κατά ένα μέρος από τις πηγές Δίου - Καρίτσας. Ο κλειστός υδροφορέας καταλαμβάνει τη μεγαλύτερη έκταση, το βόρειο και κεντρικό τμήμα της περιοχής μελέτης, ενώ ο ελεύθερος υδροφορέας καταλαμβάνει το νότιο τμήμα της. Η έκταση που καταλαμβάνει το μοντέλο (περίπου 256 km 2 ) ορίζεται βόρεια από την Τάφρο Κορινού, ανατολικά από την ακτή και νότια από τον ορεινό όγκο του Ολύμπου. Δυτικά εκτείνεται σε απόσταση περίπου 13 χιλιόμετρα από την ακτή. Με βάση την υδρογεωλογία της περιοχής, η ροή θεωρήθηκε οριζόντια με τις κύριες συνιστώσες της παράλληλα (-διεύθυνση) και κάθετα (y-διεύθυνση) προς την ακτή (Σχήμα 5.1). Το σύστημα των δύο υδροφορέων τροφοδοτείται πλευρικά, κατά μήκος του νότιου και του δυτικού ορίου (φυσικά όρια). Στο νότιο τμήμα του (ελεύθερος υδροφορέας) και εν μέρει στο βορειοδυτικό (ζώνες με υψηλή περατότητα, κυρίως κατά μήκος των ρεμάτων), εμπλουτίζεται και από τη διήθηση μέρους των βροχοπτώσεων. Σε μικρό βαθμό εκφορτίζεται στην περιοχή των πηγών. Το ανατολικό όριο του μοντέλου δεν ταυτίζεται με ένα φυσικό υδρολογικό όριο. Επειδή υπάρχουν μηνιαίες μετρήσεις στάθμης/φορτίου σε γεωτρήσεις κατά μήκος του ορίου αυτού, από τις οποίες, με παρεμβολή, μπορεί να εκτιμηθεί το φορτίο στους οριακούς κόμβους, το όριο αυτό προσομοιώθηκε ως όριο γνωστού φορτίου (τεχνητό όριο). Λόγω της διαφορετικής πετρολογικής σύστασής τους, η υδατοπερατότητα των σχηματισμών που αποτελούν τους δύο υδροφορείς της περιοχής μελέτης ποικίλει. Εξ αιτίας της έντονης ετερογένειας, οι υδρογεωλογικές παράμετροι (K, K y ή T, T y, S y ή S s ) κάθε υδροφορέα δεν μπορεί να θεωρηθεί ότι έχουν ενιαία τιμή, ούτε και ότι μεταβάλλονται ομαλά. Θεωρήθηκε ότι η τιμή τους είναι σταθερή κατά τμήματα (ζώνες), τα όρια των ζωνών όμως δεν είναι γνωστά και πρέπει να προσδιοριστούν με δοκιμές.

131 Σχήμα 5.1. Το θεμελιώδες μοντέλο της περιοχής μελέτης. 116

132 Κατάρτιση του μαθηματικού μοντέλου Για την κατάρτιση του μαθηματικού μοντέλου χρησιμοποιήθηκε το MODFLOW μέσα από το περιβάλλον GIS του Argus ONE. Για την προσομοίωση της υπόγειας ροής χρησιμοποιήθηκε το πακέτο LPF. Επειδή η ροή προσομοιώθηκε ως διδιάστατη, το πλέγμα υπολογισμών που δημιουργήθηκε αποτελείται από μία στρώση. Σύμφωνα με το θεμελιώδες μοντέλο, η περιοχή μελέτης αποτελείται από δύο υδροφορείς, έναν κλειστό και έναν ελεύθερο. Το πακέτο LPF όμως δεν δίνει τη δυνατότητα τμήματα μιας στρώσης να χαρακτηρίζονται ως διαφορετικού είδους υδροφορείς. Αυτό αντιμετωπίστηκε θεωρώντας ότι η περιοχή μελέτης αποτελείται από έναν ενιαίο υδροφορέα, ο οποίος ορίστηκε ως μετατρέψιμος: όταν σε ένα κελί το υπολογιζόμενο φορτίο είναι μικρότερο από το υψόμετρο του άνω ορίου του, το κελί θεωρείται ότι ανήκει σε ελεύθερο υδροφορέα, διαφορετικά θεωρείται ότι ανήκει σε κλειστό Χωρική διακριτοποίηση Το μοντέλο υπόγειας ροής που καταρτίσθηκε για την πεδιάδα της Κατερίνης αποτελείται από μία στρώση. Σ αυτήν την περίπτωση, για τον πλήρη ορισμό της γεωμετρίας των κελιών του πλέγματος υπολογισμών, εκτός από το πλάτος των σειρών και των στηλών του πλέγματος, πρέπει να οριστεί το υψόμετρο του άνω ορίου και του πυθμένα κάθε κελιού. Στο νότιο τμήμα του μοντέλου (ελεύθερος υδροφορέας), το άνω όριο ταυτίζεται με την επιφάνεια του εδάφους. Το άνω όριο του κλειστού υδροφορέα ταυτίζεται με το βάθος στο οποίο φτάνει η αργιλική επικάλυψη της πεδιάδας, το οποίο όμως ποικίλει κατά τόπους και δεν μπορεί να θεωρηθεί γνωστό. Επιπλέον, οι γεωτρήσεις της περιοχής στις οποίες μετράται η στάθμη συνήθως εκμεταλλεύονται όλα τα υδροφόρα στρώματα που συναντούν και επομένως η μέτρηση δεν μπορεί να θεωρηθεί ότι αντιπροσωπεύει έναν από τους δύο υδροφορείς. Γι αυτό, και σ' αυτό το τμήμα του μοντέλου θεωρήθηκε ως άνω όριο η επιφάνεια του εδάφους. Οι χάρτες κλίμακας 1:100,000 που χρησιμοποιήθηκαν ως υπόβαθρο για την παραγωγή του DTM της ευρύτερης περιοχής δεν περιέχουν αρκετή πληροφορία για τα υψόμετρα της πεδινής περιοχής την οποία καλύπτει το μοντέλο των υπόγειων νερών, γι' αυτό θεωρήθηκε αναγκαία η δημιουργία ενός νέου DTM για την περιοχή μελέτης. Για το σκοπό αυτό ψηφιοποιήθηκαν οι ισοϋψείς και το υδρογραφικό δίκτυο από τους 33 χάρτες κλίμακας 1:5000 που καλύπτουν την περιοχή του μοντέλου (Σχήμα 5.2). Όπου ήταν απαραίτητο, λόγω των πολύ μικρών κλίσεων, ψηφιοποιήθηκαν και τα διαθέσιμα σημεία γνωστού υψομέτρου από τους χάρτες αυτούς. Από τα ψηφιοποιημένα διανυσματικά (vector) δεδομένα προέκυψε το DTM με τη μορφή αρχείου grid (raster). Στο περιβάλλον του ArcMap έγινε επίσης εισαγωγή των κέντρων των κελιών του δικτύου, με τη μορφή αρχείου shapefile. Από το συνδυασμό

133 118 αυτών των δύο αρχείων προέκυψαν τα υψόμετρα της επιφάνειας του εδάφους σε σημεία με συντεταγμένες που αντιστοιχούν στα κέντρα των κελιών, με τη μορφή αρχείου shapefile. Σχήμα 5.2. Το όριο του μοντέλου και τα φύλλα χαρτών κλίμακας 1:5000 που χρησιμοποιήθηκαν ως υπόβαθρο για τη δημιουργία του DTM και τον υπολογισμό των υψομέτρων της επιφάνειας του εδάφους στην έκταση που καλύπτει το μοντέλο. Το υψόμετρο του πυθμένα των κελιών προσδιορίστηκε συνδυάζοντας το υψόμετρο της επιφάνειας του εδάφους και το θεωρητικό πάχος των δύο υδροφορέων όπως προκύπτει από

134 119 τη βιβλιογραφία (ΥΔΡΟΓΑΙΑ, 1975, Μαρίνος 1985), λαμβάνοντας υπόψη και τις διαθέσιμες τομές υδρογεωτρήσεων. Η έκταση του δικτύου υπολογισμών είναι ίδια με την έκταση του δικτύου του μοντέλου του Εργαστηρίου που, όπως αναφέρθηκε, είχε καταρτισθεί για την ίδια περιοχή. Για να είναι δυνατή η σύγκριση των δύο μοντέλων, το πλάτος των σειρών και των στηλών επιλέχθηκε αρχικά να είναι ίσο με 700 m. Δεν δοκιμάστηκε μεγαλύτερο μέγεθος κελιού, γιατί θα είχε ως αποτέλεσμα κάποιες από τις γεωτρήσεις στις οποίες υπήρχαν μετρήσεις στάθμης να βρεθούν στο ίδιο κελί. Άλλωστε, το μέγεθος του δικτύου δεν είναι τέτοιο που να δημιουργούνται προβλήματα με την απαιτούμενη μνήμη και τους χρόνους εκτέλεσης. Δοκιμάστηκε η χρησιμοποίηση μικρότερου μεγέθους κελιού, 350 m, το οποίο και τελικά προτιμήθηκε, γιατί δεν επιβαρύνει τη διάρκεια των εκτελέσεων ρύθμισης τόσο που ο συνολικός χρόνος να είναι απαγορευτικός και δίνει μεγαλύτερη ευελιξία στο σχεδιασμό των ζωνών των υδρογεωλογικών παραμέτρων. Δεν χρησιμοποιήθηκε μέγεθος κελιού μικρότερο από 350 m λόγω της αύξησης της διάρκειας των εκτελέσεων ρύθμισης. Το δίκτυο πεπερασμένων διαφορών που χρησιμοποιήθηκε τελικά αποτελείται από μία στρώση (μεταβαλλόμενου πάχους), 36 σειρές και 58 στήλες, με σταθερό πλάτος 350 m και στις δύο διευθύνσεις. Συνολικά το πλέγμα υπολογισμών αποτελείται από 2088 κελιά, από τα οποία τα 1759 είναι ενεργά (Σχήμα 5.3) Χρονική διακριτοποίηση Η προσομοίωση της λειτουργίας του υδροφορέα ξεκινά την 1 η Σεπτεμβρίου 1992 και σταματά την 31 η Αυγούστου του Ένα μέρος της συνολικής διάρκειας της προσομοίωσης χρησιμοποιείται για τη ρύθμιση του μοντέλου, ενώ το υπόλοιπο χρησιμοποιείται για την επαλήθευσή του. Ως μονάδα χρόνου επιλέχθηκε η ημέρα. Η διάρκεια της προσομοίωσης διαιρέθηκε σε 36 περιόδους, οι οποίες αντιστοιχούν στους μήνες που διαρκεί η προσομοίωση. Η διάρκεια κάθε περιόδου είναι ίση με τον αριθμό των ημερών του αντίστοιχου μήνα. Οι ασκούμενες υδρολογικές πιέσεις μεταβάλλονται στην έναρξη κάθε περιόδου και διατηρούνται σταθερές στη διάρκειά της. Το χρονικό βήμα επιλέχθηκε να είναι ίσο με 1 ημέρα, μετά από δοκιμές, οι οποίες περιγράφονται στη συνέχεια. Η διάρκεια της προσομοίωσης σ' αυτές τις δοκιμές ήταν ίση με 24 περιόδους (Σεπτέμβριος 1992 Αύγουστος 1994). Για την επιλογή της κατάλληλης χρονικής διακριτοποίησης, δοκιμάστηκε η χρήση σταθερού χρονικού βήματος, ίσου με 1 ώρα, 6 ώρες και 1 ημέρα. Επίσης δοκιμάστηκε η χρήση γεωμετρικής προόδου χρονικών βημάτων, με πολλαπλασιαστή ίσο με 1.1, 1.2 και 1.4 και αριθμό χρονικών βημάτων ανά περίοδο 45, 27 και 17 αντίστοιχα. Ο αριθμός των

135 120 χρονικών βημάτων επιλέχτηκε έτσι ώστε το αρχικό βήμα να είναι περίπου ίσο με 1 ώρα. Το μέγεθος του τελικού βήματος ήταν περίπου 2.7, 5 και 8.6 ημέρες αντίστοιχα. ενεργό κελί μη ενεργό κελί DELR = 350 m C i DELC = 350 m (στήλες) R i (σειρές) Σχήμα 5.3. Πλέγμα υπολογισμών του μοντέλου υπόγειων νερών της πεδιάδας Πιερίας. Μία εκτέλεση ρύθμισης του μοντέλου περιλαμβάνει εκτελέσεις επίλυσης της εξίσωσης κίνησης και εκτελέσεις υπολογισμού των συντελεστών ευαισθησίας. Μια εκτέλεση του μοντέλου για την επίλυση της εξίσωσης κίνησης διαρκεί περίπου 10''. Ο χρόνος αυτός, όσο κι αν μεταβληθεί λόγω της χρήσης διαφορετικών χρονικών βημάτων, δεν επηρεάζει σημαντικά

136 121 τη συνολική διάρκεια μιας εκτέλεσης ρύθμισης. Επομένως, ο χρόνος που απαιτείται για την ολοκλήρωση μιας εκτέλεσης ρύθμισης καθορίζεται κατά κύριο λόγο από το χρόνο που απαιτείται για τον υπολογισμό των συντελεστών ευαισθησίας. Ο υπολογισμός των συντελεστών ευαισθησίας γίνεται είτε με τη μέθοδο της εξίσωσης ευαισθησίας είτε με κεντρικές διαφορές (παρ ). Όταν για τον υπολογισμό των συντελεστών ευαισθησίας χρησιμοποιείται η πρώτη μέθοδος, η διάρκεια εκτέλεσης είναι περίπου ίση με 1.5 ώρα για σταθερό χρονικό βήμα ίσο με 1 ώρα, 23' για σταθερό βήμα 6 ωρών και 7' για σταθερό βήμα 1 ημέρας. Οι αντίστοιχοι χρόνοι με χρήση των πολλαπλασιαστών 1.1, 1.2 και 1.4 είναι περίπου 8.5', 5' και 3' (Πίνακας 5.1). Η διαφορά οφείλεται στον αριθμό χρονικών βημάτων που απαιτούνται για τη συμπλήρωση της διάρκειας κάθε περιόδου. Πίνακας 5.1. Διάρκεια της εκτέλεσης ανάλυσης ευαισθησίας για διάφορες χρονικές διακριτοποιήσεις. Σύγκριση με βάση τη διάρκεια της εκτέλεσης με χρονικό βήμα 6 ωρών. σταθερό χρονικό βήμα t (min) % γεωμετρικά αυξανόμενο χρονικό βήμα t (min) % dt = 6 h m = 1.1, n = dt = 1 h m = 1.2, n = dt = 1 d 7 30 m = 1.4, n = Ανάλογη είναι η επίδραση του χρονικού βήματος και στην περίπτωση που για τον υπολογισμό των συντελεστών ευαισθησίας χρησιμοποιείται η μέθοδος των κεντρικών πεπερασμένων διαφορών. Για μια εκτέλεση ρύθμισης, με το PEST μπορεί να απαιτηθούν μέχρι 30 επαναλήψεις ανάλυσης ευαισθησίας, ενώ με το MODFLOW ο αριθμός των απαιτούμενων επαναλήψεων μπορεί να φτάσει το διπλάσιο του αριθμού των παραμέτρων που συμμετέχουν στη ρύθμιση. Είναι φανερό επομένως ότι η διάρκεια του υπολογισμού των συντελεστών ευαισθησίας είναι καθοριστική για την τελική επιλογή του κατάλληλου χρονικού βήματος. Το σταθερό χρονικό βήμα 1 ώρας δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για εκτελέσεις ρύθμισης γιατί ο συνολικός απαιτούμενος χρόνος είναι απαγορευτικός. Χρησιμοποιήθηκε όμως ως βάση σύγκρισης των φορτίων που προέκυψαν από τις διαφορετικές χρονικές διακριτοποιήσεις. Τα αποτελέσματα των συγκρίσεων αυτών παρουσιάζονται στον Πίνακα 5.2. Όπως φαίνεται και στον Πίνακα 5.2, οι αποκλίσεις των φορτίων που υπολογίστηκαν με σταθερά χρονικά βήματα 6 ωρών και 1 ημέρας από το φορτίο που υπολογίστηκε με βήμα 1 ώρας είναι μικρές και επομένως αυτά τα χρονικά βήματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν χωρίς να επηρεάζεται σημαντικά η ακρίβεια της λύσης της εξίσωσης κίνησης.

137 122 Πίνακας 5.2. Σύγκριση των φορτίων που προκύπτουν από διαφορετικές χρονικές διακριτοποιήσεις με το φορτίο που προκύπτει με χρονικό βήμα 1 ώρας. H(6h) - H(1h) H(1d) - H(1h) H(m=1.1,n=45) - H(1h) H(m=1.2,n=27) - H(1h) H(m=1.4,n=17) - H(1h) (m) (m) (m) (m) (m) min ma mean mean(abs) Όσον αφορά τα γεωμετρικά αυξανόμενα χρονικά βήματα, παρατηρείται ότι οι απόλυτες τιμές των αποκλίσεων αυξάνονται σημαντικά όσο αυξάνεται η τιμή του πολλαπλασιαστή. Η αύξηση αυτή των αποκλίσεων αποδίδεται στο μέγεθος του τελικού χρονικού βήματος, αφού το αρχικό βήμα είναι περίπου ίδιο και για τους τρεις πολλαπλασιαστές. Με βάση αυτά τα αποτελέσματα, επιλέχθηκε να χρησιμοποιηθεί το σταθερό χρονικό βήμα ίσο με 1 ημέρα Αρχική συνθήκη Η αρχική κατανομή του φορτίου στο υπό μελέτη σύστημα, δηλαδή το φορτίο σε όλα τα ενεργά κελιά την 1η Σεπτεμβρίου του 1992, υπολογίστηκε με παρεμβολή στις μετρήσεις στάθμης που είχαν πραγματοποιηθεί σε 32 γεωτρήσεις της περιοχής μελέτης την 28η Αυγούστου Η παρεμβολή έγινε με τη μέθοδο Kriging, χρησιμοποιώντας το γραμμικό μοντέλο για την περιγραφή της χωρικής δομής του φορτίου, λόγω του μικρού αριθμού των διαθέσιμων παρατηρήσεων (Kitanidis, 1997). Όπως αναφέρθηκε (παρ ), όταν μια αυθαίρετη κατανομή του πιεζομετρικού φορτίου, που προκύπτει με παρεμβολή σε μετρήσεις φορτίου, χρησιμοποιείται ως αρχική συνθήκη, εισάγονται σφάλματα, τα οποία όμως απαλείφονται αν η διάρκεια της προσομοίωσης είναι μεγαλύτερη από τη διάρκεια επίδρασης της αρχικής συνθήκης. Για να ελεγχθεί η διάρκεια της επίδρασης της αρχικής συνθήκης που υπολογίστηκε με την παρεμβολή (αρχική συνθήκη αναφοράς), έγιναν εκτελέσεις χρησιμοποιώντας άλλες 2 κατανομές φορτίου ως αρχικές. Η πρώτη ήταν η αρχική συνθήκη που είχε χρησιμοποιηθεί στις εκτελέσεις του μοντέλου του Εργαστηρίου. Στο μοντέλο του Εργαστηρίου η ισαποχή του πλέγματος υπολογισμών ήταν ίση με 700 m και οι κόμβοι βρίσκονταν στις κορυφές των κελιών. Έγινε εισαγωγή των σημείων αυτών στο επίπεδο πληροφορίας του Argus ONE που αφορά την αρχική συνθήκη και τα φορτία στα κέντρα των κελιών του νέου πλέγματος υπολογίστηκαν με παρεμβολή (test1). Η δεύτερη αρχική κατανομή φορτίου προέκυψε με παρεμβολή στις μετρήσεις φορτίου με τη μέθοδο kriging, αλλά το μοντέλο που χρησιμοποιήθηκε για την προσέγγιση των δεδομένων ήταν το γραμμικό μοντέλο με γραμμική τάση (test2). Το μοντέλο αυτό, σύμφωνα

138 123 με τη βιβλιογραφία, είναι συνήθως το καταλληλότερο για την περιγραφή της χωρικής συσχέτισης δεδομένων φορτίου (Kitanidis, 1997), δεν προτιμήθηκε όμως γιατί, όπως αναφέρθηκε, ο αριθμός των δεδομένων είναι μικρός και δεν θεωρείται ικανοποιητικός για την εκτίμηση αυτής της τάσης. Χρησιμοποιήθηκε μόνο για τον έλεγχο της διάρκειας επίδρασης της αρχικής συνθήκης. Τα διαθέσιμα δεδομένα καλύπτουν τρία υδρολογικά έτη (Σεπτέμβριος 1992 Αύγουστος 1995). Ο αρχικός σχεδιασμός ήταν να χρησιμοποιηθούν τα δεδομένα των δύο πρώτων ετών για τη ρύθμιση του μοντέλου και τα δεδομένα του τρίτου έτους για την επαλήθευσή του, γι' αυτό η διάρκεια της προσομοίωσης για τη σύγκριση των διαφορετικών αρχικών συνθηκών ήταν 2 έτη (24 περίοδοι). Η σύγκριση των αρχικών συνθηκών test1 και test2 με την αρχική συνθήκη αναφοράς έγινε σχεδιάζοντας τις ισοπιεζομετρικές καμπύλες στο τέλος της κάθε χρονικής περιόδου της προσομοίωσης. Στο Σχήμα 5.4 παρουσιάζονται οι ισοπιεζομετρικές καμπύλες που προκύπτουν με την αρχική κατανομή φορτίου του μοντέλου και με την αρχική κατανομή φορτίου test1 (μαύρες καμπύλες), για την 24 η χρονική περίοδο. Επίσης φαίνονται οι θέσεις των γεωτρήσεων στις οποίες υπάρχουν μετρήσεις στάθμης/φορτίου. Όπως φαίνεται στο σχήμα, υπάρχει ένα τμήμα του μοντέλου στο οποίο οι καμπύλες δεν ταυτίζονται. Το ίδιο παρατηρείται, για την ίδια περιοχή, και στο Σχήμα 5.5, στο οποίο έχουν σχεδιαστεί οι ισοπιεζομετρικές καμπύλες της 24 ης περιόδου για τη σύγκριση της test2 με την αρχική συνθήκη αναφοράς. Στις περιοχές κοντά στα όρια του μοντέλου, όπου η επίδραση των οριακών συνθηκών είναι πιο έντονη, η επίδραση της αρχικής συνθήκης εξουδετερώνεται νωρίτερα (μετά τη 14 η περίοδο για την test1 και την 20 η περίοδο για την test2). Προς το κέντρο του μοντέλου και στην περιοχή όπου υπάρχουν λιγότερες θέσεις μέτρησης της στάθμης/φορτίου, η επίδραση της αρχικής συνθήκης διατηρείται. Για να απαλειφθούν κατά το δυνατό τα σφάλματα που εισάγονται από τη χρήση της αυθαίρετης αρχικής κατανομής του φορτίου, αποφασίστηκε να επεκταθεί το χρονικό διάστημα της ρύθμισης μέχρι και τον Απρίλιο του 1995 (32 περίοδοι) και για την επαλήθευση του μοντέλου να χρησιμοποιηθούν τα δεδομένα των τεσσάρων μηνών της αρδευτικής περιόδου του τρίτου έτους (Μάιος 1995 Αύγουστος 1995). Οι αντίστοιχες ισοπιεζομετρικές καμπύλες για την 32 η χρονική περίοδο, παρουσιάζονται στα Σχήματα 5.6. και 5.7, από τα οποία φαίνεται ότι η επίδραση της αρχικής κατανομής φορτίου εξακολουθεί να υφίσταται σε ένα τμήμα του μοντέλου.

139 124 Σχήμα 5.4. Ισοπιεζομετρικές καμπύλες που προκύπτουν με την αρχική κατανομή φορτίου του μοντέλου και με την αρχική κατανομή φορτίου test1 (μαύρες καμπύλες), για την 24 η χρονική περίοδο.

140 125 Σχήμα 5.5. Ισοπιεζομετρικές καμπύλες που προκύπτουν με την αρχική κατανομή φορτίου του μοντέλου και με την αρχική κατανομή φορτίου test2 (μαύρες καμπύλες), για την 24 η χρονική περίοδο.

141 126 Σχήμα 5.6. Ισοπιεζομετρικές καμπύλες που προκύπτουν με την αρχική κατανομή φορτίου του μοντέλου και με την αρχική κατανομή φορτίου test1 (μαύρες καμπύλες), για την 32 η χρονική περίοδο.

142 127 Σχήμα 5.7. Ισοπιεζομετρικές καμπύλες που προκύπτουν με την αρχική κατανομή φορτίου του μοντέλου και με την αρχική κατανομή φορτίου test2 (μαύρες καμπύλες), για την 32 η χρονική περίοδο.

143 Οριακή συνθήκη γνωστού φορτίου Το ανατολικό όριο του μοντέλου, κατά μήκος της ακτής, σύμφωνα με το θεμελιώδες μοντέλο, θεωρήθηκε όριο γνωστού φορτίου μεταβαλλόμενου με το χρόνο. Ανανεωμένες τιμές φορτίου δίνονται στο τέλος κάθε περιόδου. Οι τιμές αυτές υπολογίστηκαν με kriging από τις διαθέσιμες μετρήσεις φορτίου στις γεωτρήσεις της περιοχής μελέτης. Στο Argus ONE χρησιμοποιείται ένα επίπεδο πληροφορίας με τα σημεία όπου το φορτίο θεωρείται γνωστό (Σχήμα 5.8) και με 32 παραμέτρους για κάθε σημείο, οι οποίες αντιστοιχούν στα φορτία των 32 περιόδων. πλευρική εισροή από Πιέρια ζώνη επαναπλήρωσης από βροχοπτώσεις (Β) όριο γνωστού φορτίου πλευρική εισροή από Όλυμπο ζώνη επαναπλήρωσης από βροχοπτώσεις (Α) Σχήμα 5.8. Όρια του μοντέλου υπόγειων νερών πεδιάδας Πιερίας.

144 129 Για τον ορισμό της συνθήκης γνωστού φορτίου στο Argus ONE, αντί για ένα επίπεδο πληροφορίας σημείων, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένα επίπεδο πληροφορίας γραμμών. Σ' αυτήν την περίπτωση, δίνεται το φορτίο στα δύο άκρα του ευθύγραμμου τμήματος και κατά μήκος του το φορτίο θεωρείται ότι μεταβάλλεται γραμμικά. Επειδή στο MODFLOW εισάγονται τα φορτία των κέντρων των κελιών, το Argus ONE υπολογίζει με γραμμική παρεμβολή τα φορτία στα σημεία αυτά για τα κελιά που διασχίζει το ευθύγραμμο τμήμα που αντιπροσωπεύει το όριο γνωστού φορτίου. Αυτός ο τρόπος ορισμού της οριακής συνθήκης θεωρείται γενικά προτιμότερος γιατί έχει το πλεονέκτημα να μη χρειάζεται τροποποίηση σε περίπτωση μεταβολής του πλάτους των κελιών. Στη συγκεκριμένη εφαρμογή, που οι τιμές στα κέντρα των κελιών ήταν πιο εύκολο να υπολογιστούν απευθείας από την παρεμβολή με kriging, και δεν ήταν εύκολο να χωριστούν τμήματα κατά μήκος των οποίων το γνωστό φορτίο να μεταβάλλεται γραμμικά, προτιμήθηκε η χρήση ενός επιπέδου πληροφορίας σημείων. Σε περίπτωση αλλαγής του πλάτους των κελιών, θα πρέπει να οριστούν νέα σημεία στα οποία θα είναι γνωστό το φορτίο, ώστε αυτά να συμπίπτουν με τα κέντρα των οριακών κελιών, όπως απαιτείται από το MODFLOW και οι τιμές του γνωστού φορτίου στα σημεία αυτά να υπολογιστούν και πάλι από την παρεμβολή με kriging. Για να ελεγχθεί η επίδραση αυτής της οριακής συνθήκης, έγιναν δοκιμαστικές εκτελέσεις με φορτία ±10% και ±20% του γνωστού φορτίου που υπολογίστηκε με παρεμβολή στις μετρήσεις (γνωστό φορτίο αναφοράς). Οι μεγαλύτερες σε απόλυτη τιμή αποκλίσεις εμφανίζονται την 20 η χρονική περίοδο. Η χωρική κατανομή των απόλυτων τιμών των αποκλίσεων μεταξύ του φορτίου που υπολογίζεται με το μειωμένο κατά 20% γνωστό οριακό φορτίο και με το γνωστό φορτίο αναφοράς, παρουσιάζεται με τη μορφή καμπυλών ίσης τιμής στο Σχήμα 5.9. Στο ίδιο σχήμα, στο υπόμνημα, φαίνονται η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή αυτών των αποκλίσεων. Αντίστοιχα σχήματα παρουσιάζονται και για τις υπόλοιπες δοκιμαστικές εκτελέσεις, με οριακό φορτίο: μειωμένο κατά 10% (Σχήμα 5.10), αυξημένο κατά 10% (Σχήμα 5.11) και αυξημένο κατά 20% (Σχήμα 5.12). Παρατηρούμε ότι ίσες κατά απόλυτη τιμή μεταβολές του οριακού φορτίου προκαλούν ίσες κατά απόλυτη τιμή αποκλίσεις του υπολογιζόμενου φορτίου. Η χωρική κατανομή των αποκλίσεων όμως διαφοροποιείται στο νοτιοδυτικό τμήμα του μοντέλου: η καμπύλη της ελάχιστης κατά απόλυτη τιμή απόκλισης στο τμήμα αυτό "μετακινείται" προς τα αριστερά όσο περισσότερο μειώνεται το οριακό φορτίο και προς τα δεξιά όσο αυτό αυξάνεται. Αυτό σημαίνει ότι στο νοτιοδυτικό τμήμα του μοντέλου η επίδραση της μείωσης του οριακού φορτίου εκτείνεται μακρύτερα από την επίδραση της αύξησής του. Στο υπόλοιπο μοντέλο, η χωρική κατανομή των αποκλίσεων είναι η ίδια και στις τέσσερις δοκιμές.

145 130 Σχήμα 5.9. Χωρική κατανομή των απόλυτων τιμών των αποκλίσεων (m) μεταξύ των φορτίων που υπολογίστηκαν με οριακό φορτίο μειωμένο κατά 20% και των φορτίων που υπολογίστηκαν με το γνωστό φορτίο αναφοράς.

146 131 Σχήμα Χωρική κατανομή των απόλυτων τιμών των αποκλίσεων (m) μεταξύ των φορτίων που υπολογίστηκαν με οριακό φορτίο μειωμένο κατά 10% και των φορτίων που υπολογίστηκαν με το γνωστό φορτίο αναφοράς.

147 132 Σχήμα Χωρική κατανομή των απόλυτων τιμών των αποκλίσεων (m) μεταξύ των φορτίων που υπολογίστηκαν με οριακό φορτίο αυξημένο κατά 10% και των φορτίων που υπολογίστηκαν με το γνωστό φορτίο αναφοράς.

148 133 Σχήμα Χωρική κατανομή των απόλυτων τιμών των αποκλίσεων (m) μεταξύ των φορτίων που υπολογίστηκαν με οριακό φορτίο αυξημένο κατά 20% και των φορτίων που υπολογίστηκαν με το γνωστό φορτίο αναφοράς.

149 134 Η ιδιαιτερότητα αυτού του τύπου οριακής συνθήκης είναι ότι το όριο γνωστού φορτίου αποτελεί μια ανεξάντλητη πηγή νερού για τον υδροφορέα. Στις δοκιμαστικές εκτελέσεις που έγιναν για τη σύγκριση διαφορετικών δομών παραμέτρων, ελέγχονταν οι παροχές και οι όγκοι νερού που εισέρχονταν στο σύστημα από τους οριακούς κόμβους γνωστού φορτίου, ανά χρονική περίοδο και αθροιστικά, ώστε η επίδραση αυτής της οριακής συνθήκης στο υδατικό ισοζύγιο του μοντέλου να είναι η μικρότερη δυνατή. Στον Πίνακα 5.3 παρουσιάζονται τα υδατικά ισοζύγια των δοκιμαστικών εκτελέσεων που έγιναν για τον έλεγχο της επίδρασης της οριακής συνθήκης γνωστού φορτίου. Στον Πίνακα 5.4 παρουσιάζονται οι συνιστώσες των υδατικών ισοζυγίων με τη μορφή ποσοστών. Πίνακας 5.3. Υδατικά ισοζύγια των δοκιμαστικών εκτελέσεων για τον έλεγχο της επίδρασης της οριακής συνθήκης γνωστού φορτίου - Αθροιστικοί όγκοι (m 3 ) στο τέλος της 24ης χρονικής περιόδου. γνωστό φορτίο 100% γνωστό φορτίο 80% γνωστό φορτίο 120% γνωστό φορτίο 90% γνωστό φορτίο 110% αποθήκευση 136,581, ,052, ,448, ,235, ,999,104 γνωστό ορ. φορτίο 3,461,637 1,475,687 7,988,674 2,262,266 5,278,702 πλευρικές εισροές 340,142, ,142, ,142, ,142, ,142,368 βροχοπτώσεις 29,599,658 29,599,658 29,599,658 29,599,658 29,599,658 σύνολο εισροών 509,784, ,269, ,178, ,240, ,019,832 αποθήκευση 145,823, ,006, ,015, ,826, ,899,184 γνωστό ορ. φορτίο 103,767, ,101,152 92,828, ,253,128 97,865,760 αντλήσεις 180,604, ,604, ,604, ,604, ,604,144 πηγές 79,591,056 73,558,136 85,730,992 76,556,768 82,651,072 σύνολο εκροών 509,785, ,270, ,179, ,240, ,020,160 εισροές-εκροές διαφορά % 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% Πίνακας 5.4. Υδατικά ισοζύγια των δοκιμαστικών εκτελέσεων για τον έλεγχο της επίδρασης της οριακής συνθήκης γνωστού φορτίου, με τη μορφή ποσοστών (στο τέλος της 24ης χρονικής περιόδου). γνωστό φορτίο γνωστό φορτίο γνωστό φορτίο γνωστό φορτίο γνωστό φορτίο 100% 80% 120% 90% 110% αποθήκευση 26.79% 27.11% 26.39% 26.95% 26.61% γνωστό ορ. φορτίο 0.68% 0.29% 1.56% 0.44% 1.03% πλευρικές εισροές 66.72% 66.79% 66.28% 66.79% 66.56% βροχοπτώσεις 5.81% 5.81% 5.77% 5.81% 5.79% σύνολο εισροών 100% 100% 100% 100% 100% αποθήκευση 28.60% 27.10% 30.01% 27.85% 29.33% γνωστό ορ. φορτίο 20.36% 22.99% 18.09% 21.65% 19.15% αντλήσεις 35.43% 35.46% 35.19% 35.47% 35.34% πηγές 15.61% 14.44% 16.71% 15.03% 16.17% σύνολο εκροών 100% 100% 100% 100% 100% Στον Πίνακα 5.5 φαίνονται οι ποσοστιαίες μεταβολές των συνιστωσών των υδατικών ισοζυγίων λόγω της μεταβολής της οριακού φορτίου.

150 135 Πίνακας 5.5. Ποσοστιαίες μεταβολές των συνιστωσών του υδατικού ισοζυγίου λόγω της μεταβολής της οριακής συνθήκης γνωστού φορτίου. -20% +20% -10% +10% αποθήκευση 0.32% -0.40% 0.16% -0.18% γνωστό ορ. φορτίο -0.39% 0.88% -0.23% 0.35% πλευρικές εισροές 0.07% -0.44% 0.07% -0.16% βροχοπτώσεις 0.01% -0.04% 0.01% -0.01% σύνολο εισροών 0% 0% 0% 0% αποθήκευση -1.51% 1.41% -0.75% 0.73% γνωστό ορ. φορτίο 2.64% -2.27% 1.30% -1.20% αντλήσεις 0.04% -0.23% 0.04% -0.09% πηγές -1.17% 1.09% -0.58% 0.56% σύνολο εκροών 0% 0% 0% 0% Όπως φαίνεται και στους πίνακες, η αύξηση του φορτίου στο όριο επηρεάζει περισσότερο το υδατικό ισοζύγιο από ότι η μείωσή του. Γενικά, η συμμετοχή της εισερχόμενης από το όριο γνωστού φορτίου παροχής στο σύνολο του υδατικού ισοζυγίου είναι μικρή, και ιδιαίτερα στα αποτελέσματα που παρουσιάζονται εδώ, γιατί, όπως αναφέρθηκε, οι λύσεις ελέγχονταν ώστε να επιλέγονται αυτές στις οποίες η εισροή από αυτό το όριο ήταν η μικρότερη δυνατή. Η εισροή αυτή όμως είναι σημαντική, γιατί το όριο γνωστού φορτίου βρίσκεται προς την πλευρά της ακτής. Εισροή από αυτό το όριο θα μπορούσε να σημαίνει εισροή θαλασσινού νερού. Για το χρονικό διάστημα της εφαρμογής, από τα δεδομένα πεδίου δεν υπάρχουν ενδείξεις για την ύπαρξη τέτοιου φαινομένου. Θα πρέπει επομένως κατά τη ρύθμιση του μοντέλου, το δυναμικό του υδροφορέα να είναι αρκετό για την αποτροπή της εισροής από το όριο γνωστού φορτίου Οριακή συνθήκη γνωστής πλευρικής εισροής Για την προσομοίωση της πλευρικής εισροής, θεωρήθηκε ότι υπάρχει σε κάθε κελί που ανήκει στο όριο αυτό μία γεώτρηση η παροχή της οποίας εμπλουτίζει τον υδροφορέα και ότι στην εξωτερική (ως προς το μοντέλο) πλευρά του κελιού υπάρχει αδιαπέρατο όριο. Χρησιμοποιήθηκαν 3 γεωτρήσεις σε κάθε κελί, μία για κάθε έτος της προσομοίωσης (Σχήμα 5.8). Η ετήσια παροχή μοιράζεται εξίσου στα κελιά και ορίζεται με παραμέτρους, ώστε να είναι δυνατή η συμμετοχή της στις διαδικασίες ανάλυσης ευαισθησίας και ρύθμισης. Χρησιμοποιήθηκαν 6 παράμετροι: Q_Oly1, Q_Oly2, Q_Oly3 για τις ετήσιες πλευρικές εισροές από τον Όλυμπο και Q_Pier1, Q_Pier2, Q_Pier3 για τις ετήσιες πλευρικές εισροές από τα Πιέρια. Οι τιμές των παραμέτρων αυτών (Πίνακας 5.6) εκτιμήθηκαν με βάση τις βροχοπτώσεις και δεν συμμετείχαν στη διαδικασία της αυτόματης ρύθμισης, ώστε να είναι δυνατός ο προσδιορισμός των τιμών των υδρογεωλογικών παραμέτρων σε όλη την έκταση του μοντέλου. Η επίδραση της πλευρικής εισροής ελέγχθηκε στα πλαίσια της ανάλυσης

151 136 ευαισθησίας των παραμέτρων του μοντέλου, η οποία περιγράφεται στην αντίστοιχη παράγραφο που ακολουθεί (παρ. 5.4). Πίνακας 5.6. Ετήσιες πλευρικές εισροές από Όλυμπο και Πιέρια. (m 3 ) (m 3 /κελί) Q_Oly1 101,557,080 2,256,824 Q_Oly2 180,000,000 4,000,000 Q_Oly3 125,734,500 2,794,100 Q_Pier1 27,557,200 1,252,600 Q_Pier2 31,028,800 1,410,400 Q_Pier3 26,840,000 1,220,000 Η ετήσια πλευρική εισροή από τον Όλυμπο και τα Πιέρια κατανέμεται στους δώδεκα μήνες με τη χρήση ποσοστών τα οποία εκτιμήθηκαν με βάση τις αναπτυσσόμενες υδραυλικές κλίσεις (Πίνακας 5.7). Πίνακας 5.7. Μηνιαία κατανομή των ετήσιων πλευρικών εισροών από Όλυμπο και Πιέρια, για τα τρία έτη της προσομοίωσης. Μήνας Όλυμπος Πιέρια 1 ο έτος 2 ο έτος 3 ο έτος 1 ο έτος 2 ο έτος 3 ο έτος Σεπτέμβριος Οκτώβριος Νοέμβριος Δεκέμβριος Ιανουάριος Φεβρουάριος Μάρτιος Απρίλιος Μάιος Ιούνιος Ιούλιος Αύγουστος Στο μοντέλο του εργαστηρίου δίνονταν οι συνιστώσες των πλευρικών εισροών στη και y διεύθυνση, η εκτίμηση των οποίων γινόταν με βάση τις αναπτυσσόμενες υδραυλικές κλίσεις στα όρια του μοντέλου (Τερζίδης και Μπαμπατζιμόπουλος, 1995). Στο μοντέλο που αναπτύχθηκε στα πλαίσια της παρούσας διατριβής, οι πλευρικές εισροές δεν χωρίζονται σε συνιστώσες. Έγιναν όμως δοκιμαστικές εκτελέσεις ρύθμισης χρησιμοποιώντας τις αναλογίες για τις δύο διευθύνσεις που είχαν χρησιμοποιηθεί στο μοντέλο του εργαστηρίου. Ως παράμετροι χρησιμοποιήθηκαν και πάλι οι συνολικές ετήσιες εισροές από Όλυμπο και Πιέρια και η διαφοροποίηση των παροχών στις δύο διευθύνσεις έγινε μέσω των μηνιαίων συντελεστών στους οποίους ενσωματώθηκε και ο κατάλληλος συντελεστής για κάθε διεύθυνση. Οι δοκιμές αυτές δεν οδήγησαν σε καλύτερη προσέγγιση των διαθέσιμων μετρήσεων φορτίου, γι' αυτό τελικά η χρήση των συνιστωσών των πλευρικών εισροών δεν προτιμήθηκε. Επιπλέον, θεωρήθηκε ότι η χρήση των συνιστωσών αυτών θα εισήγαγε

152 137 μεγαλύτερη αβεβαιότητα, ιδιαίτερα κατά την εφαρμογή του μοντέλου για πρόβλεψη της μελλοντικής κατάστασης του υδροφορέα Επαναπλήρωση από βροχοπτώσεις Σύμφωνα με το θεωρητικό μοντέλο, επαναπλήρωση του υδροφορέα από βροχοπτώσεις παρατηρείται στο νότιο τμήμα και σε ζώνες με υψηλή περατότητα στο βορειοδυτικό τμήμα. Γι' αυτό το μοντέλο χωρίστηκε σε τρεις ζώνες επαναπλήρωσης. Στην πρώτη ζώνη η παροχή επαναπλήρωσης είναι πάντα μηδενική. Στη δεύτερη και την τρίτη ζώνη (Σχήμα 5.8, ζώνες Α και Β αντίστοιχα), η παροχή επαναπλήρωσης ορίστηκε με παραμέτρους, ώστε να είναι δυνατή η συμμετοχή της στην ανάλυση ευαισθησίας και τη ρύθμιση. Χρησιμοποιήθηκαν τρεις παράμετροι για κάθε ζώνη, μία ανά έτος προσομοίωσης: ΑRCH_1, ΑRCH_2, ΑRCH_3 για τη ζώνη Α και ΒRCH_1, ΒRCH_2, ΒRCH_3 για τη ζώνη Β. Η τιμή που αναλογεί σε κάθε χρονική περίοδο υπολογίζεται με τη βοήθεια πολλαπλασιαστών. Οι μηνιαίες τιμές της επαναπλήρωσης για τα τρία υδρολογικά έτη που διαρκεί η προσομοίωση είχαν υπολογιστεί με βάση το ισοζύγιο της εδαφικής υγρασίας του υδροφορέα στα πλαίσια του ερευνητικού έργου "Αναρρύθμιση μαθηματικού μοντέλου πεδιάδας Πιερίας (Κατερίνης)" (Τερζίδης και Μπαμπατζιμόπουλος, 1995). Από αυτές προέκυψαν οι ετήσιες τιμές και από το λόγο των μηνιαίων τιμών προς την αντίστοιχη ετήσια προέκυψαν οι τιμές των πολλαπλασιαστών για κάθε μήνα της προσομοίωσης. Στη συνέχεια, οι ετήσιες τιμές τροποποιήθηκαν με δοκιμές. Στον Πίνακα 5.8 παρουσιάζονται οι τελικές τιμές των παραμέτρων και οι αντίστοιχοι όγκοι νερού που εισέρχονται στο σύστημα ανά έτος: Πίνακας 5.8. Οι τιμές των παραμέτρων ετήσιας επαναπλήρωσης από βροχοπτώσεις και οι αντίστοιχοι όγκοι νερού που εισέρχονται στο σύστημα. (m 3 /m 2 ) όγκος νερού (m 3 ) (m 3 /m 2 ) όγκος νερού (m 3 ) (m 3 /m 2 ) όγκος νερού (m 3 ) ARCH_ ,194,000 ARCH_ ,776,000 ARCH_ ,426,800 BRCH_ ,978,400 BRCH_ ,756,275 BRCH_ ,223, Εκφόρτιση του υδροφορέα Στην περιοχή μελέτης υπάρχουν κοινοτικές/δημοτικές υδρευτικές γεωτρήσεις για τις οποίες είναι γνωστός ο χρόνος λειτουργίας τους και οι αντλούμενες ποσότητες. Για την εισαγωγή αυτών των δεδομένων στο Argus ONE χρησιμοποιήθηκε ένα επίπεδο πληροφορίας σημειακών γεωτρήσεων (Σχήμα 5.13).

153 138 περιοχές άντλησης για την κάλυψη αρδευτικών αναγκών (area wells) δημοτικές υδρευτικές γεωτρήσεις σημειακές πηγές Σχήμα Εκφόρτιση του υδροφορέα. Η εκφόρτιση του υδροφορέα στο μεγαλύτερο ποσοστό της οφείλεται στις αντλούμενες ποσότητες για την κάλυψη αρδευτικών αναγκών, από τις πολλές διάσπαρτες υδρογεωτρήσεις της περιοχής μελέτης. Δεν υπάρχουν στοιχεία για το μέγεθος αυτών των ποσοτήτων, γι' αυτό εκτιμούνται έμμεσα: οι τιμές των παροχών εκφόρτισης προέκυψαν από την πραγματική εξατμισοδιαπνοή των καλλιεργειών της περιοχής μελέτης. Η πραγματική εξατμισοδιαπνοή

154 139 υπολογίστηκε με την τροποποιημένη μέθοδο Penman και τους κατάλληλους φυτικούς συντελεστές για τις καλλιέργειες της περιοχής μελέτης, οι οποίοι παρουσιάζονται στον Πίνακα 5.9 (Παπαζαφειρίου, 1991). Στο Argus ONE χρησιμοποιήθηκε ένα επίπεδο πληροφορίας πολυγώνων (area wells) (Σχήμα 5.13). Σ' αυτήν την περίπτωση η παροχή που αντιστοιχεί στο πολύγωνο μοιράζεται εξίσου στα κελιά που αυτό περικλείει. Πίνακας 5.9. Φυτικοί συντελεστές των καλλιεργειών της περιοχής μελέτης. Σιτηρά Καλαμπόκι Καπνός Τεύτλα Ελιές Δένδρα Αμπέλια Μηδική Φασόλια Κηπευτικά Βοσκές Βαμβάκι Ιανουάριος Φεβρουάριος Μάρτιος Απρίλιος Μάιος Ιούνιος Ιούλιος Αύγουστος Σεπτέμβριος Οκτώβριος Νοέμβριος Δεκέμβριος Εκφόρτιση επίσης του υδροφορέα παρατηρείται και στην περιοχή των πηγών Δίου- Καρίτσας. Αρχικά, για την προσομοίωση των πηγών χρησιμοποιήθηκαν σημειακές γεωτρήσεις, οι παροχές των οποίων εκτιμήθηκαν από τις μηνιαίες μετρήσεις των παροχών των τάφρων Βαρικού και Λιτοχώρου και των δύο κυριότερων από τις μικρότερες τάφρους της περιοχής. Οι παροχές των γεωτρήσεων ορίστηκαν με παραμέτρους για να είναι δυνατή η συμμετοχή τους στη διαδικασία της ανάλυσης ευαισθησίας και της ρύθμισης. Η προσομοίωση με αυτόν τον τρόπο όμως, δημιουργεί προβλήματα στην εφαρμογή του μοντέλου για πρόβλεψη, γιατί οι παροχές των γεωτρήσεων που αντιπροσωπεύουν τις πηγές θα πρέπει να δίνονται κατ' εκτίμηση, και θα υπάρχει πάντα εκροή από αυτές ακόμα κι αν το φορτίο στην περιοχή πέσει κάτω από το υψόμετρο του εδάφους. Γι' αυτό το λόγο προτιμήθηκε τελικά να χρησιμοποιηθεί το πακέτο DRN για την προσομοίωση των πηγών. Οι θέσεις των πηγών προσδιορίστηκαν με ένα επίπεδο σημείων (Σχήμα 5.13). Η παροχή που εκρέει από κάθε κελί στο οποίο τοποθετήθηκε μια σημειακή πηγή είναι ανάλογη της διαφοράς του υπολογιζόμενου φορτίου του κελιού και του υψομέτρου του εδάφους. Η αναλογία αυτή καθορίζεται από μία παράμετρο, την DCOND1, η τιμή της οποίας προσδιορίστηκε με τη διαδικασία της ρύθμισης. Αν το φορτίο σε ένα κελί είναι μικρότερο από το υψόμετρο του εδάφους, η παροχή από το κελί αυτό μηδενίζεται. Με τον τρόπο αυτό εξασφαλίζεται η σωστή λειτουργία των πηγών και σε εκτελέσεις πρόβλεψης. Οι μετρήσεις παροχών στις τάφρους

155 140 συμμετέχουν στη ρύθμιση ως παρατηρήσεις, συγκρινόμενες με την υπολογιζόμενη συνολική εκφόρτιση του υδροφορέα από τις σημειακές πηγές Υδρογεωλογικές παράμετροι Λόγω της ετερογένειας των στρωμάτων που αποτελούν τους υδροφορείς της περιοχής μελέτης, οι υδρογεωλογικές παράμετροί τους παρουσιάζουν μεγάλες διαφορές από θέση σε θέση και μεταβάλλονται απότομα, γι' αυτό και χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος διαχωρισμού σε ζώνες ως μέθοδος παραμετροποίησης. Όπως αναφέρθηκε στην παράγραφο 5.2, το σύστημα των δύο υδροφορέων της περιοχής μελέτης προσομοιώθηκε ως ένας μετατρέψιμος υδροφορέας. Στους υδροφορείς αυτούς το MODFLOW ελέγχει αν η υπολογιζόμενη στάθμη είναι πάνω ή κάτω από το υψόμετρο του άνω ορίου του κελιού, που είναι η επιφάνεια του εδάφους. Αν είναι κάτω τότε το κελί θεωρείται ότι ανήκει σε ελεύθερο υδροφορέα. Αν είναι πάνω θεωρείται ότι ανήκει σε κλειστό υδροφορέα. Άρα για κάθε κελί πρέπει να δίνονται όλες οι παράμετροι που χρειάζονται για την επίλυση της εξίσωσης κίνησης του υπόγειου νερού. Οι παράμετροι αυτές είναι: η υδραυλική αγωγιμότητα στη -διεύθυνση (ΗΚ), ο συντελεστής οριζόντιας ανισοτροπίας (HA), η ειδική απόδοση σε νερό (SY) και η ειδική αποθηκευτικότητα (SS) του υδροφορέα. Ο συντελεστής οριζόντιας ανισοτροπίας ισούται με το λόγο της υδραυλικής αγωγιμότητας στην y-διεύθυνση προς την υδραυλική αγωγιμότητα στη -διεύθυνση. Η διοχετευτικότητα δεν εισάγεται ως δεδομένο, αλλά σε κάθε κελί υπολογίζεται ως γινόμενο της υδραυλικής αγωγιμότητας και του πάχους του κελιού. Σύμφωνα με το θεμελιώδες μοντέλο, κάθε υδρογεωλογική παράμετρος χωρίστηκε σε ζώνες στις οποίες η τιμή της είναι σταθερή. Ο αριθμός και τα όρια των ζωνών των παραμέτρων δεν συμπίπτουν. Όλες οι τιμές των υδρογεωλογικών παραμέτρων προσδιορίστηκαν με τη διαδικασία εκτίμησης παραμέτρων. Από τις παλιότερες μελέτες δεν προέκυψαν στοιχεία για τα όρια των ζωνών και τις τιμές των υδρογεωλογικών παραμέτρων, εκτός από τα όρια και τις τιμές που είχαν προσδιοριστεί κατά την πρώτη και δεύτερη ρύθμιση του μοντέλου του Εργαστηρίου, τα οποία όμως μόνο ως ενδεικτικά μπορούν να θεωρηθούν, γιατί αντιπροσωπεύουν ένα συγκεκριμένο μοντέλο και συγκεκριμένες συνθήκες ρύθμισης. Ο αριθμός και το σχήμα των ζωνών των υδρογεωλογικών παραμέτρων προέκυψαν μετά από μεγάλο αριθμό δοκιμών. Η διαδικασία που ακολουθήθηκε περιγράφεται στη συνέχεια, μαζί με τη διαδικασία της ρύθμισης του μοντέλου (παρ 5.3). Τελικά, η παράμετρος της υδραυλικής αγωγιμότητας στη -διεύθυνση χωρίστηκε σε 11 ζώνες, τα όρια των οποίων παρουσιάζονται στο Σχήμα 5.14.

156 Σχήμα Οι ζώνες της υδραυλικής αγωγιμότητας στη -διεύθυνση (ΗΚ). Η παράμετρος που αντιπροσωπεύει τον συντελεστή οριζόντιας ανισοτροπίας χωρίστηκε σε 6 ζώνες (Σχήμα 5.15) και η ειδική απόδοση σε 4 ζώνες (Σχήμα 5.16).

157 Σχήμα Οι ζώνες του συντελεστή οριζόντιας ανισοτροπίας (ΗΑ).

158 Σχήμα Οι ζώνες της ειδικής απόδοσης σε νερό (SY). Η παράμετρος που αντιπροσωπεύει την ειδική αποθηκευτικότητα χωρίστηκε σε 4 ζώνες, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.17.

159 Σχήμα Οι ζώνες της ειδικής αποθηκευτικότητας (SS). Η ειδική αποθηκευτικότητα (παράμετρος SS) χρησιμοποιείται στα κελιά στα οποία η υπολογιζόμενη στάθμη είναι πάνω από το άνω όριό τους (επιφάνεια του εδάφους). Η συνθήκη αυτή ικανοποιείται μόνο κατά μήκος μιας ζώνης παράλληλης προς την ακτή (ανατολικό όριο του υδροφορέα). Το πλάτος της ζώνης αυτής μεταβάλλεται κι

160 145 ελαχιστοποιείται από τα μέσα της αρδευτικής περιόδου μέχρι το τέλος της, το διάστημα δηλαδή που παρατηρούνται τα χαμηλότερα φορτία λόγω των αντλήσεων (Σχήμα 5.18). Σχήμα Ζώνη αρτεσιανισμού (κελιά μπλε χρώματος χωρίς διαγράμμιση) - Αύγουστος 1993.

161 146 Το μεγαλύτερο πλάτος της ζώνης αρτεσιανισμού παρατηρείται την άνοιξη στην περιοχή των πηγών (Σχήμα 5.19). Σχήμα Ζώνη αρτεσιανισμού (κελιά μπλε χρώματος χωρίς διαγράμμιση) - Απρίλιος 1994.

162 Μέθοδος επίλυσης της εξίσωσης υπόγειας ροής - παράμετροι της μεθόδου Όπως αναφέρθηκε (παρ ), από τις τέσσερις μεθόδους επίλυσης της εξίσωσης υπόγειας ροής που παρέχει το MODFLOW, συμβατές με τη διαδικασία εκτίμησης παραμέτρων είναι η preconditioned conjugate gradient (PCG) και η άμεση μέθοδος (DE4). Η PCG επιλέχθηκε ως μέθοδος επίλυσης γιατί θεωρείται περισσότερο κατάλληλη για μη γραμμικά προβλήματα. Για την εφαρμογή αυτής της μεθόδου, πρέπει να οριστούν από το χρήστη οι παράμετροι που αφορούν το μέγιστο αριθμό εξωτερικών επαναλήψεων (MXITER), το μέγιστο αριθμό εσωτερικών επαναλήψεων (ITER1), τη μέθοδο που θα χρησιμοποιηθεί για την "προετοιμασία" του πίνακα των συντελεστών που είναι απαραίτητη για την εφαρμογή της μεθόδου (matri preconditioning method) και τα κριτήρια σύγκλισης. Στα μη γραμμικά προβλήματα οι εξωτερικές επαναλήψεις αναφέρονται στις επαναλήψεις Picard που πραγματοποιούνται για την αντιμετώπιση της μη γραμμικότητας (παρ ). Σ' αυτές τις περιπτώσεις η σύγκλιση επιτυγχάνεται πιο γρήγορα όταν χρησιμοποιείται μικρός αριθμός εσωτερικών επαναλήψεων (3-10) και η προσέγγιση της λύσης βελτιώνεται μέσω των εξωτερικών επαναλήψεων, ο αριθμός των οποίων μπορεί να φτάνει και τις 100. Ο μέγιστος αριθμός εξωτερικών επαναλήψεων τέθηκε ίσος με 50 και ο μέγιστος αριθμός εσωτερικών επαναλήψεων ίσος με 20. Μια άλλη παράμετρος που η τιμή της ορίζεται από το χρήστη είναι η NPCOND, η οποία χρησιμοποιείται για την επιλογή preconditioner. Αν η τιμή της είναι ίση με 1 χρησιμοποιείται η μέθοδος modified incomplete Cholesky, ενώ αν η τιμή της είναι ίση με 2 χρησιμοποιείται η πολυωνυμική μέθοδος. Η δεύτερη μέθοδος είναι πολύ πιο αργή και χρησιμοποιείται μόνο για εξοικονόμηση πόρων σε διανυσματικούς υπολογιστές (vector computers) ή παράλληλα συνδεμένους βαθμωτούς υπολογιστές (scalar computers) όπως είναι όλοι οι προσωπικοί υπολογιστές (PC). Στην παρούσα εφαρμογή χρησιμοποιήθηκε η modified incomplete Cholesky. Η μέθοδος PCG, όπως εφαρμόζεται στο MODFLOW, περιλαμβάνει δύο κριτήρια σύγκλισης. Το ένα αφορά τη διαφορά του φορτίου των κελιών μεταξύ δύο επαναλήψεων (HCLOSE). Το δεύτερο (RCLOSE) αφορά την απόλυτη τιμή της διαφοράς της εισερχόμενης ή εξερχόμενης παροχής κάθε κελιού μεταξύ δύο επαναλήψεων. Όταν ικανοποιούνται και τα δύο κριτήρια η εκτέλεση του προγράμματος συνεχίζεται ξεκινώντας την επόμενη εξωτερική επανάληψη. Αν στην πρώτη εσωτερική επανάληψη της νέας εξωτερικής επανάληψης ικανοποιούνται πάλι και τα δύο κριτήρια, θεωρείται ότι έχει βρεθεί μια ικανοποιητική προσέγγιση της λύσης για το τρέχον χρονικό βήμα και η εκτέλεση του προγράμματος

163 148 συνεχίζεται ξεκινώντας τις επαναλήψεις για το επόμενο χρονικό βήμα. Οι τυπικές τιμές των κριτηρίων είναι m για το HCLOSE και 25 m 3 /day για το RCLOSE. Για να ελεγχθεί αν οι τυπικές τιμές των κριτηρίων σύγκλισης είναι ικανοποιητικές για το πρόβλημα που επιλύεται, έγιναν δοκιμαστικές εκτελέσεις με τιμές HCLOSE = m και RCLOSE = 1 m 3 /day. Ο έλεγχος βασίστηκε α) στη σύγκριση των υπολογιζόμενων φορτίων στο τέλος κάθε χρονικής περιόδου και β) στο υδατικό ισοζύγιο ανά χρονική περίοδο και στο σύνολο της προσομοίωσης. Στους Πίνακες 5.10 και 5.11 παρουσιάζονται η ελάχιστη, η μέγιστη, η μέση και η μέση απόλυτη διαφορά ανά χρονική περίοδο, μεταξύ των φορτίων που υπολογίστηκαν με HCLOSE = m και HCLOSE = m, και RCLOSE = 25 m 3 /day και RCLOSE = 1 m 3 /day, αντίστοιχα. Όπως φαίνεται στους πίνακες αυτούς, οι αποκλίσεις των φορτίων μπορούν να θεωρηθούν αμελητέες. Όσον αφορά το υδατικό ισοζύγιο, με τις τυπικές τιμές των κριτηρίων το απόλυτο σφάλμα (η απόλυτη τιμή της επί τοις εκατό διαφοράς εισερχόμενων - εξερχόμενων παροχών) σε καμιά χρονική περίοδο δεν ξεπέρασε το 0.02% και για τη συνολική διάρκεια της προσομοίωσης ήταν %. Όπως αναφέρθηκε στην παράγραφο 2.2.7, σύμφωνα με τη διεθνή βιβλιογραφία το σφάλμα στο υδατικό ισοζύγιο πρέπει να είναι μικρότερο από 0.1%. Συνεπώς, οι τυπικές τιμές των κριτηρίων κρίθηκαν ικανοποιητικές και αυτές χρησιμοποιήθηκαν σε όλες τις εκτελέσεις. Πίνακας Ελάχιστη, μέγιστη, μέση και μέση απόλυτη διαφορά ανά χρονική περίοδο μεταξύ των φορτίων που υπολογίστηκαν με HCLOSE = m και HCLOSE = m. Stress period min ma mean mean(abs) E E E Ε E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-04

164 149 Πίνακας Ελάχιστη, μέγιστη, μέση και μέση απόλυτη διαφορά (m) ανά χρονική περίοδο μεταξύ των φορτίων που υπολογίστηκαν με RCLOSE=25 m 3 /d και RCLOSE=1 m 3 /d. Stress period min ma mean mean(abs) E E E Ε E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-04 Η μέθοδος PCG συγκρίθηκε με τις υπόλοιπες μεθόδους που το MODFLOW δίνει τη δυνατότητα να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση της εξίσωσης της υπόγειας ροής, στις οποίες δεν χρησιμοποιείται κάποιο κριτήριο που να αφορά το σφάλμα του υδατικού ισοζυγίου. Στον Πίνακα 5.12 παρουσιάζονται η ελάχιστη, η μέγιστη και η μέση διαφορά, ανά χρονική περίοδο, μεταξύ των φορτίων που υπολογίστηκαν με τη μέθοδο PCG και με τις μεθόδους DE4, SIP και SSOR, με κριτήριο σύγκλισης του φορτίου HCLOSE = m. Από τον Πίνακα 5.12 φαίνεται ότι η απόκλιση του φορτίου που υπολογίζεται με τη μέθοδο DE4 από το φορτίο που υπολογίζεται με τη μέθοδο PCG μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα. Η απόκλιση του φορτίου που υπολογίζεται με τη μέθοδο SIP είναι ελαφρώς μεγαλύτερη, αλλά θα μπορούσε επίσης να θεωρηθεί ικανοποιητικά μικρή. Το φορτίο που υπολογίζεται με τη μέθοδο SSOR διαφέρει σημαντικά από το φορτίο που υπολογίζεται με τη μέθοδο PCG. Και στις τρεις περιπτώσεις όμως, για να αποφασιστεί αν η λύση που προκύπτει από την κάθε μέθοδο είναι σωστή, θα πρέπει να ελεγχθεί και το σφάλμα στο υδατικό ισοζύγιο. Στον Πίνακα 5.13 παρουσιάζεται το σφάλμα στο υδατικό ισοζύγιο ανά χρονική περίοδο και αθροιστικά, για τις τέσσερις μεθόδους.

165 150 Πίνακας Αποκλίσεις (m) μεταξύ των φορτίων που υπολογίστηκαν με τη μέθοδο PCG και με τις μεθόδους DE4, SIP και SSOR, ανά χρονική περίοδο. Stress PCG - DE4 PCG - SIP PCG - SSOR period min ma mean m(abs) min ma mean m(abs) min ma mean m(abs) 1-2.0E E E Ε E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-01 Πίνακας Επί τοις εκατό διαφορά εισερχόμενων - εξερχόμενων παροχών ανά χρονική περίοδο (RATES) και αθροιστικά (CUMULATIVE) με τις μεθόδους PCG, DE4, SIP και SSOR. Stress RATES CUMULATIVE period PCG DE4 SIP SSOR PCG DE4 SIP SSOR

166 151 Όπως φαίνεται στον Πίνακα 5.13, το σφάλμα στο υδατικό ισοζύγιο με τη μέθοδο DE4 είναι μηδενικό. Αντίθετα, το σφάλμα του υδατικού ισοζυγίου της μεθόδου SIP δεν μπορεί να θεωρηθεί αμελητέο, παρόλο που τα φορτία που υπολογίστηκαν με αυτή τη μέθοδο διέφεραν ελάχιστα από τα φορτία που υπολογίστηκαν με την PCG. Το σφάλμα στο υδατικό ισοζύγιο με τη μέθοδο SSOR είναι σημαντικό. Η μείωση των σφαλμάτων του υδατικού ισοζυγίου επιτυγχάνεται μειώνοντας το κριτήριο σύγκλισης του φορτίου. Για τις μεθόδους SIP και SSOR έγιναν εκτελέσεις με μικρότερο κριτήριο σύγκλισης, τα αποτελέσματα των οποίων παρουσιάζονται στους Πίνακες 5.14 και Από τις εκτελέσεις αυτές προκύπτει ότι με τη μέθοδο SIP το κριτήριο σύγκλισης θα πρέπει να είναι μικρότερο κατά μία τάξη μεγέθους, ενώ με τη μέθοδο SSOR το κριτήριο σύγκλισης θα πρέπει να μειωθεί κατά δύο τάξεις μεγέθους, ώστε το σφάλμα στο υδατικό ισοζύγιο να είναι αμελητέο. Πίνακας Επί τοις εκατό διαφορά εισερχόμενων - εξερχόμενων παροχών ανά χρονική περίοδο (RATES) και αθροιστικά (CUMULATIVE) με τη μέθοδο SIP, για διαφορετικές τιμές του κριτηρίου σύγκλισης του φορτίου (HCLOSE). HCLOSE Stress period RATES CUMULATIVE RATES CUMULATIVE RATES CUMULATIVE

167 152 Πίνακας Επί τοις εκατό διαφορά εισερχόμενων - εξερχόμενων παροχών ανά χρονική περίοδο (RATES) και αθροιστικά (CUMULATIVE) με τη μέθοδο SSOR, για διαφορετικές τιμές του κριτηρίου σύγκλισης του φορτίου (HCLOSE). HCLOSE Stress period RATES CUMULATIVE RATES CUMULATIVE RATES CUMULATIVE RATES CUMULATIVE Ρύθμιση του μοντέλου Η ρύθμιση του μοντέλου πραγματοποιήθηκε αρχικά με μια μορφή της μεθόδου Gauss- Levenberg-Marquardt χωρίς περιορισμούς που περιέχεται στο MODFLOW, στη συνέχεια όμως προτιμήθηκε η εφαρμογή της ίδιας μεθόδου αλλά με περιορισμούς, που περιέχεται στο PEST. Όπως αναφέρθηκε στις παραγράφους 5.1 και 5.2.8, ο αριθμός και το σχήμα των ζωνών των υδρογεωλογικών παραμέτρων στις οποίες διαιρέθηκε το μοντέλο προέκυψαν μετά από δοκιμές. Για κάθε νέα δομή παραμέτρων δοκιμάστηκαν διάφορα σετ αρχικών τιμών των παραμέτρων, με βάση την πετρολογική σύσταση των υδροφορέων και τις τιμές των παραμέτρων του μοντέλου του Εργαστηρίου. Σε κάθε δοκιμή γινόταν πρώτα μια εκτέλεση ανάλυσης ευαισθησίας, ώστε να προσδιοριστεί η σύνθετη υπό κλίμακα ευαισθησία κάθε παραμέτρου (παρ ) και να επιλεγούν αυτές που μπορούσαν να συμμετέχουν στη διαδικασία της ρύθμισης. Γενικά παρατηρήθηκε ότι δεν μπορούσαν να προσδιοριστούν οι τιμές παραμέτρων με σύνθετη υπό κλίμακα ευαισθησία μικρότερη από το 10% της μέγιστης. Συνήθως στην πρώτη εκτέλεση ρύθμισης συμμετείχαν οι παράμετροι με σύνθετες υπό κλίμακα ευαισθησίες μέχρι 60% της μέγιστης και οι υπόλοιπες με μικρότερες ευαισθησίες προσδιορίζονταν από μια δεύτερη εκτέλεση ρύθμισης κατά την οποία οι τιμές των

168 153 παραμέτρων που είχαν προσδιοριστεί με την πρώτη εκτέλεση παρέμεναν σταθερές στις "ρυθμισμένες" τιμές. Εκτελέσεις ανάλυσης ευαισθησίας γίνονταν πριν και μετά από κάθε εκτέλεση ρύθμισης, γιατί οι τιμές των συντελεστών ευαισθησίας των παραμέτρων μεταβάλλονται όταν μεταβάλλονται οι τιμές των παραμέτρων και αυτό είχε ως συνέπεια να διαφοροποιούνται οι παράμετροι που θα μπορούσαν να συμμετέχουν στην επόμενη εκτέλεση ρύθμισης. Τα αποτελέσματα κάθε εκτέλεσης ρύθμισης ελέγχονταν γραφικά από τις ισοπιεζομετρικές καμπύλες του τελικού χρονικού βήματος κάθε περιόδου και τις γραφικές παραστάσεις α) των μετρημένων τιμών φορτίου ως προς τις αντίστοιχες υπολογισμένες τιμές, β) των υπολοίπων (διαφορές υπολογισμένων από μετρημένα φορτία) ως προς το χρόνο, γ) των υπολοίπων ως προς τις υπολογισμένες τιμές του φορτίου και δ) των υπολοίπων ως προς μια τυπική κανονική κατανομή. Επίσης σχεδιάζονταν για κάθε γεώτρηση στην οποία υπήρχαν μετρήσεις, η μετρημένη και η υπολογισμένη στάθμη της ως προς το χρόνο και η μεταβολή της τετραγωνικής ρίζας του μέσου τετραγωνικού (μη σταθμισμένου) σφάλματος ως προς το χρόνο. Εκτός από τα γραφήματα αυτά, τα αποτελέσματα που παράγονται από το πρόγραμμα και ελέγχονταν για την αξιολόγηση κάθε εκτέλεσης ρύθμισης, ήταν το μέγιστο, το ελάχιστο και το μέσο σταθμισμένο υπόλοιπο των φορτίων, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, οι τιμές των στατιστικών AIC και BIC (παρ. 2.5) και η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης μέγιστης πιθανότητας (maimum likelihood objective function), καθώς και τα στατιστικά στοιχεία της παλινδρόμησης: η διακύμανση των σφαλμάτων, το τυπικό σφάλμα και ο συντελεστής συσχέτισης. Επίσης, ελέγχονταν οι συντελεστές συσχέτισης μεταξύ των παραμέτρων. Οι δοκιμές ξεκίνησαν από το απλούστερο σχήμα που δικαιολογείται από τη γεωλογία της περιοχής μελέτης: όλες οι παράμετροι χωρίστηκαν σε δύο ζώνες με όριο το όριο μεταξύ υπό πίεση και ελεύθερου υδροφορέα. Η αρχική αυτή δομή έγινε σταδιακά περισσότερο σύνθετη λαμβάνοντας υπόψη τη χωρική κατανομή των σφαλμάτων και τις προκύπτουσες ευαισθησίες των παραμέτρων, όπως αυτές διαμορφώνονταν μετά από κάθε τροποποίηση του αριθμού και του σχήματος των ζωνών των παραμέτρων. Επίσης, δοκιμάστηκαν δομές που προσέγγιζαν τις δομές των αντίστοιχων παραμέτρων του μοντέλου του Εργαστηρίου όπως είχαν προκύψει από την πρώτη και τη δεύτερη ρύθμισή του. Η τελική δομή που επιλέχτηκε βασίστηκε σε ομαδοποίηση των γεωτρήσεων όπου λαμβάνονταν οι μετρήσεις στάθμης με βάση τη μορφή των καμπυλών της στάθμης τους ως προς το χρόνο, για το σύνολο των ετών που υπήρχαν διαθέσιμες παρατηρήσεις φορτίου (μηνιαίες τιμές από το Νοέμβριο του 1984). Η δομή αυτή τροποποιήθηκε, και πάλι με δοκιμές, και κατέληξε στη μορφή που περιγράφηκε στην παράγραφο

169 154 Η διαδικασία αυτή των δοκιμών αποδείχτηκε ιδιαίτερα χρονοβόρα και κοπιαστική, αφού στην πράξη η ρύθμιση με το MODFLOW δεν μπορεί να χαρακτηριστεί ακριβώς ως "αυτόματη". Επιπλέον, το ότι η μέθοδος παλινδρόμησης στο MODFLOW δεν δέχεται περιορισμούς στις τιμές που μπορούν να πάρουν οι παράμετροι, είχε πολλές φορές ως αποτέλεσμα κάποια παράμετρος να παίρνει υπερβολικά μεγάλες ή μικρές τιμές (ακόμα και αρνητικές) και η εκτέλεση να διακόπτεται λόγω σφαλμάτων ή να συνεχίζεται για πολλές ώρες σε λάθος κατεύθυνση που την καθιστούσε άχρηστη. Βέβαια, αυτή η σε ένα βαθμό "χειροκίνητη" ρύθμιση βοήθησε στο να αποκτηθεί μια καλύτερη εικόνα για τη λειτουργία του υπό ανάπτυξη μοντέλου. Λόγω των προηγούμενων δυσκολιών, προτιμήθηκε η χρησιμοποίηση του PEST για την αυτόματη ρύθμιση του μοντέλου, το οποίο χρησιμοποιεί μια άλλη μορφή της μεθόδου Gauss-Levenberg-Marquardt, η οποία δέχεται περιορισμούς στις τιμές των παραμέτρων. Ο κυριότερος όμως λόγος επιλογής του PEST για τη ρύθμιση του μοντέλου ήταν ότι κρίθηκε απαραίτητο να λαμβάνεται υπόψη για την επιλογή του βέλτιστου σετ τιμών των παραμέτρων η εισροή από το όριο γνωστού φορτίου. Αρχικά, οι λύσεις που προέκυπταν από τις διάφορες εκτελέσεις ρύθμισης συγκρίνονταν με βάση τις εισερχόμενες από το όριο παροχές, ώστε να επιλέγεται αυτή για την οποία η οριακή συνθήκη γνωστού φορτίου είχε τη μικρότερη επίδραση στο υδατικό ισοζύγιο του μοντέλου. Επειδή όμως το γνωστό οριακό φορτίο επηρεάζει τη ρύθμιση του μοντέλου, κάποιες φορές με τρόπο αντίθετο από τον αναμενόμενο (μείωση του γνωστού φορτίου στο όριο μπορεί να οδηγήσει τη ρύθμιση σε τιμές παραμέτρων τέτοιες που να αυξάνουν την εισερχόμενη παροχή), ο έλεγχος για την εισροή από το όριο γνωστού φορτίου ενσωματώθηκε στη ρύθμιση με την ακόλουθη διαδικασία: Δίνεται ως παρατήρηση η παροχή από το όριο γνωστού φορτίου σε κάθε χρονικό βήμα, με τιμή ίση με μηδέν (972 παρατηρήσεις, όσα και τα χρονικά βήματα της περιόδου ρύθμισης). Το PEST διαβάζει από το αρχείο αποτελεσμάτων του MODFLOW τις αντίστοιχες υπολογισμένες τιμές των παροχών αυτών. Οι διαφορές παρατηρήσεων και υπολογισμένων τιμών παροχών υψώνονται στο τετράγωνο και αθροίζονται, μαζί με τις υπόλοιπες διαφορές (π.χ. μετρημένων και υπολογισμένων φορτίων), σχηματίζοντας την αντικειμενική συνάρτηση. Η χρήση άλλου λογισμικού ήταν απαραίτητη γιατί αυτές οι παροχές δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως παρατηρήσεις στο MODFLOW. Για τον ίδιο λόγο, δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος της εξίσωσης ευαισθησίας για τον υπολογισμό των συντελεστών ευαισθησίας. Ο υπολογισμός των συντελεστών αυτών γίνεται από το PEST, με τη μέθοδο των κεντρικών πεπερασμένων διαφορών. Με αυτή τη διαδικασία επιτυγχάνεται ελαχιστοποίηση της εισερχόμενης από το όριο γνωστού φορτίου παροχής, σε συνδυασμό με την καλύτερη δυνατή προσέγγιση και των υπόλοιπων παρατηρήσεων.

170 155 Οι επόμενες παράγραφοι αναφέρονται στην εκτίμηση των τιμών των παραμέτρων της τελικής δομής με τη χρήση του PEST Παρατηρήσεις Για τη ρύθμιση του μοντέλου χρησιμοποιήθηκαν μηνιαίες παρατηρήσεις φορτίου και παροχής για το χρονικό διάστημα 1/9/ /4/1995. Οι μετρήσεις στάθμης/φορτίου λαμβάνονταν σε 43 γεωτρήσεις της περιοχής μελέτης, η θέση των οποίων παρουσιάζεται στο Σχήμα Χρησιμοποιήθηκαν συνολικά 1173 παρατηρήσεις φορτίου. γεωτρήσεις μέτρησης του φορτίου περιοχή μέτρησης των παροχών των πηγών Σχήμα Οι θέσεις λήψης των παρατηρήσεων στάθμης/φορτίου και παροχής, που χρησιμοποιήθηκαν για τη ρύθμιση του μοντέλου.

171 156 Οι περισσότερες από τις γεωτρήσεις στις οποίες μετριέται η στάθμη χρησιμοποιούνται για άρδευση, αλλά και αυτές που δεν αντλούνται βρίσκονται πολύ κοντά σε άλλες αντλούμενες γεωτρήσεις. Κατά συνέπεια, οι μετρήσεις που έγιναν στην αρδευτική περίοδο θεωρήθηκε ότι περιέχουν μεγαλύτερα σφάλματα από τις υπόλοιπες, αφού δε γνωρίζουμε αν είχε προηγηθεί άντληση στις ίδιες ή στις γειτονικές τους κι αν είχε αποκατασταθεί η στάθμη σε αυτές. Η αυξημένη αβεβαιότητα αυτών των μετρήσεων λήφθηκε υπόψη με τη χρήση μικρότερων συντελεστών στάθμισης. Οι τιμές των συντελεστών στάθμισης που τελικά χρησιμοποιήθηκαν προέκυψαν μετά από δοκιμές και ήταν ίσες με 1 για τους μήνες εκτός της αρδευτικής περιόδου, 0.8 για τους μήνες Μάιο και Σεπτέμβριο και 0.7 για τους μήνες Ιούνιο, Ιούλιο και Αύγουστο. Στη ρύθμιση χρησιμοποιήθηκαν επίσης 26 μηνιαίες μετρήσεις των παροχών των πηγών. Οι μετρήσεις λαμβάνονταν σε 4 θέσεις στις τάφρους που αποστραγγίζουν τα νερά των πηγών. Το άθροισμα των παροχών των τεσσάρων θέσεων μέτρησης θεωρείται ότι αντιπροσωπεύει το σύνολο της εκροής από τις σημειακές πηγές (παρ ) και γι' αυτό η θέση λήψης των παρατηρήσεων παροχής ορίζεται ως πολύγωνο (Σχήμα 5.20). Όπως αναφέρθηκε και στην παράγραφο 5.3, στη ρύθμιση λαμβάνονται υπόψη και 972 "τεχνητές" ημερήσιες παρατηρήσεις εισροής από το όριο γνωστού φορτίου. Όλες οι παρατηρήσεις παροχής εκφράζονται σε m 3 /d και είναι της τάξης των δεκάδων ως εκατοντάδων χιλιάδων. Για να είναι δυνατή η συμμετοχή τους στον σχηματισμό της αντικειμενικής συνάρτησης μαζί με τις παρατηρήσεις φορτίου, ο συντελεστής στάθμισής τους τέθηκε ίσος με Τιμές των παραμέτρων της μεθόδου βελτιστοποίησης Κατά τη ρύθμιση του μοντέλου με το PEST, η μείωση της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης επιτυγχάνεται με τη χρήση διαφορετικών τιμών της παραμέτρου Marquardt λ (παρ ). Η αρχική τιμή του λ, συνήθως από 1 ως 10, ορίζεται από το χρήστη στο αρχείο ελέγχου του PEST με την παράμετρο RLAMBDA1. Όταν οι αρχικές τιμές των παραμέτρων του μοντέλου δίνονται αυθαίρετα και μπορεί να απέχουν πολύ από τις βέλτιστες, επιλέγεται μεγάλη αρχική τιμή για το λ, ώστε να επιταχύνεται η σύγκλιση. Στην πορεία της ρύθμισης, το PEST μειώνει την τιμή του λ όσο προσεγγίζεται η βέλτιστη λύση ή την αυξάνει αν δεν επιτυγχάνεται μείωση της αντικειμενικής συνάρτησης. Η νέα τιμή του λ υπολογίζεται διαιρώντας ή πολλαπλασιάζοντας την προηγούμενη τιμή του με την παράμετρο RLAMFAC, η τιμή της οποίας δίνεται από το χρήστη και πρέπει να είναι μεγαλύτερη από 1.0. Στην παρούσα εφαρμογή η RLAMFAC έχει την τιμή 2.0.

172 157 Κατά τη διαδικασία της βελτιστοποίησης, σε κάθε επανάληψη υπολογίζονται τα διανύσματα νέων τιμών των παραμέτρων που προκύπτουν με τη χρήση διαφορετικών τιμών του λ και ελέγχεται η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Αν ο λόγος της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης στην αρχή της τρέχουσας επανάληψης προς τη νέα τιμή της είναι μικρότερος από ένα ορισμένο από το χρήστη κριτήριο, η τρέχουσα επανάληψη ολοκληρώνεται και ξεκινά η επόμενη. Το κριτήριο για την ολοκλήρωση μιας επανάληψης της διαδικασίας βελτιστοποίησης αντιπροσωπεύεται από την παράμετρο PHIRATSUF (phi ratio sufficient). Μια συνήθως ικανοποιητική τιμή γι' αυτήν την παράμετρο είναι το 0.3. Όταν στη διάρκεια μιας επανάληψης δεν επιτυγχάνεται μείωση της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης τέτοια ώστε να ικανοποιείται το προηγούμενο κριτήριο, χρησιμοποιείται ένα κριτήριο (PHIREDLAM) που σχετίζεται με τις διαδοχικές τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης που προκύπτουν από τις διαδοχικές μεταβολές του λ: αν η σχετική μείωση της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης για δύο διαδοχικές τιμές λ είναι μικρότερη από PHIREDLAM, η τρέχουσα επανάληψη ολοκληρώνεται. Συνήθως το κριτήριο αυτό τίθεται ίσο με Η παράμετρος NUMLAM θέτει ένα όριο στον αριθμό των λ που μπορεί να δοκιμαστούν κατά τη διάρκεια μιας επανάληψης της διαδικασίας βελτιστοποίησης. Συνήθως 5 ως 10 δοκιμές με διαφορετικά λ θεωρούνται αρκετές. Περισσότερες τιμές του λ πρέπει να δοκιμάζονται όταν οι τιμές των παραμέτρων βρίσκονται κοντά στα όριά τους. Η παράμετρος FACPARMAX θέτει ένα όριο στη μέγιστη μεταβολή της τιμής μιας παραμέτρου μεταξύ δύο διαδοχικών επαναλήψεων της διαδικασίας βελτιστοποίησης. Η FACPARMAX αντιπροσωπεύει το λόγο της μεγαλύτερης από τις δύο διαδοχικές τιμές της παραμέτρου προς τη μικρότερη. Είναι πάντα μεγαλύτερη από 1.0 και συνήθως τίθεται ίση με 5.0. Για προβλήματα που είναι σε μεγάλο βαθμό μη γραμμικά, η τιμή της θα πρέπει να τείνει προς τη μονάδα Κριτήρια σύγκλισης της μεθόδου βελτιστοποίησης Οι παράμετροι που αντιπροσωπεύουν τα κριτήρια σύγκλισης της μεθόδου βελτιστοποίησης (παρ. 3.4) και οι τιμές τους που τελικά χρησιμοποιήθηκαν κατά τη ρύθμιση του μοντέλου, είναι: PHIREDSTP = και NPHISTP = 4 NPHINORED = 4 RELPARSTP = 0.01 και NRELPAR = 4. Αρχικά δοκιμάστηκαν μικρότερες τιμές για τις παραμέτρους PHIREDSTP (0.001) και RELPARSTP (0.001), διαπιστώθηκε όμως ότι αυξανόταν κατά πολύ ο αριθμός των

173 158 απαιτούμενων για την επίτευξη σύγκλισης επαναλήψεων, χωρίς να επιτυγχάνεται ανάλογη βελτίωση της τιμής της συνάρτησης, γι' αυτό και η τιμή τους αυξήθηκε. Παρά τη σχετική αύξησή της, η τιμή της PHIREDSTP διατηρήθηκε αρκετά μικρή για να αποφευχθεί το ενδεχόμενο να ερμηνευτούν ως σύγκλιση της διαδικασίας στη βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης οι διαδοχικές μικρές μεταβολές της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης που προκύπτουν όταν κάποιες από τις παραμέτρους πλησιάζουν πολύ τις οριακές τους τιμές Αρχικές και οριακές τιμές των υδρογεωλογικών παραμέτρων του μοντέλου Στο μοντέλο που αναπτύχθηκε συνολικά 38 μεταβλητές ορίστηκαν με παραμέτρους. Από αυτές, οι 25 αφορούσαν τις υδρογεωλογικές ιδιότητες του υδροφορέα και οι τιμές τους προσδιορίστηκαν με τη διαδικασία της ρύθμισης: η υδραυλική αγωγιμότητα στη -διεύθυνση στις 11 ζώνες στις οποίες χωρίστηκε το πλέγμα υπολογισμών (ΗΚ1 ΗΚ11), οι συντελεστές οριζόντιας ανισοτροπίας ΗΑ1 - ΗΑ6, η ειδική απόδοση στις 4 αντίστοιχες ζώνες (SY1 SY4) και η ειδική αποθηκευτικότητα στις 4 επίσης αντίστοιχες ζώνες (SS1-SS4). Στα πλαίσια της ρύθμισης δοκιμάστηκαν διάφορα σετ αρχικών τιμών για τις παραμέτρους αυτές, γιατί η μέθοδος Gauss-Levenberg-Marquardt δεν είναι βέβαιο ότι συγκλίνει στο ολικό ελάχιστο της αντικειμενικής συνάρτησης. Τα άνω και κάτω όρια των τιμών των παραμέτρων του μοντέλου που αντιπροσωπεύουν τις υδρογεωλογικές ιδιότητες του υπό μελέτη συστήματος πάρθηκαν από τη βιβλιογραφία (Freeze and Cherry, 1979, Marsily, 1986, Fetter, 2001) με βάση τη λιθολογική σύσταση των υδροφόρων στρωμάτων και παρατίθενται στον Πίνακα Πίνακας Τα όρια που χρησιμοποιήθηκαν κατά τη ρύθμιση των υδρογεωλογικών παραμέτρων του μοντέλου. κάτω όριο άνω όριο υδραυλική αγωγιμότητα στη -διεύθυνση (m/d) - ελεύθερος υδροφορέας υδραυλική αγωγιμότητα στη -διεύθυνση (m/d) - κλειστός υδροφορέας συντελεστής οριζόντιας ανισοτροπίας ειδική αποθηκευτικότητα (m -1 ) ειδική απόδοση Αποτελέσματα της ρύθμισης - Αξιολόγηση Στόχος της ρύθμισης είναι ο προσδιορισμός των τιμών των παραμέτρων του μοντέλου που δίνουν την καλύτερη δυνατή προσέγγιση των διαθέσιμων παρατηρήσεων. Αυτό επιτυγχάνεται με την ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης. Στο μοντέλο που καταρτίστηκε για την πεδιάδα Πιερίας, ως αντικειμενική συνάρτηση χρησιμοποιείται το άθροισμα των τετραγώνων των σταθμισμένων υπολοίπων φορτίου και παροχής. Οι

174 159 παράμετροι που συμμετέχουν στη διαδικασία της ρύθμισης είναι οι υδρογεωλογικές παράμετροι του υδροφορέα, οι τελικές τιμές των οποίων παρουσιάζονται στον Πίνακα Επίσης, στον ίδιο πίνακα παρουσιάζονται το γραμμικό διάστημα εμπιστοσύνης για κάθε παράμετρο και η τυπική της απόκλιση. Πίνακας Οι τελικές τιμές των υδρογεωλογικών παραμέτρων και τα αντίστοιχα γραμμικά διαστήματα εμπιστοσύνης. παράμετρος τελική τιμή γραμμικό διάστημα εμπιστοσύνης 95% τυπική απόκλιση κάτω όριο άνω όριο εύρος εύρος υπό κλίμακα (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) HK ΗΚ ΗΚ ΗΚ HK ΗΚ ΗΚ ΗΚ ΗΚ ΗΚ ΗΚ ΗΑ ΗΑ ΗΑ ΗΑ ΗΑ ΗΑ SY SY SY SY SS SS SS SS Τα γραμμικά διαστήματα εμπιστοσύνης, παρόλο που δεν θεωρούνται ακριβή λόγω της μη γραμμικότητας του μοντέλου, είναι ενδεικτικά της αβεβαιότητας που χαρακτηρίζει τις τιμές των παραμέτρων. Κατά τον υπολογισμό τους δεν λαμβάνονται υπόψη τα όρια των τιμών παραμέτρων που χρησιμοποιήθηκαν για τη ρύθμιση του μοντέλου ή τα "φυσικά" όρια των τιμών, γι' αυτό εμφανίζονται και αρνητικές τιμές. Για να είναι συγκρίσιμα, τα άνω και κάτω όρια έχουν διαιρεθεί με τις αντίστοιχες τιμές των παραμέτρων, και παρουσιάζονται στο Σχήμα Το υπερβολικά μεγάλο εύρος του διαστήματος εμπιστοσύνης της παραμέτρου SY2 δείχνει ότι η τιμή αυτής της παραμέτρου χαρακτηρίζεται από μεγάλη αβεβαιότητα. Αυτό μπορεί να οφείλεται στη συσχέτισή της με μία ή περισσότερες από τις άλλες παραμέτρους, στο ότι παρουσιάζει μειωμένη ευαισθησία στις υπάρχουσες παρατηρήσεις, ή στον τρόπο με

175 160 τον οποίο έγινε η παραμετροποίηση. Τα αίτια διερευνώνται στη συνέχεια, κατά την ανάλυση ευαισθησίας (παρ. 5.4). Scaled Linear Confidence Limits HK1 ΗΚ2 ΗΚ3 ΗΚ4 HK5 ΗΚ6 ΗΚ7 ΗΚ8 ΗΚ9 ΗΚ10 ΗΚ11 ΗΑ1 ΗΑ2 ΗΑ3 ΗΑ4 ΗΑ5 ΗΑ6 SY1 SY2 SY3 SY4 SS1 SS2 SS3 SS4 Σχήμα Τα γραμμικά διαστήματα εμπιστοσύνης των τιμών των υδρογεωλογικών παραμέτρων (υπό κλίμακα). Στον Πίνακα 5.18 παρουσιάζονται τα ζευγάρια των παραμέτρων με υψηλό συντελεστή συσχέτισης. Το μόνο ζευγάρι παραμέτρων με συντελεστή συσχέτισης μεγαλύτερο από 0.95 είναι οι HA1 και ΗΚ11. Για να ελεγχθεί αν οι τιμές των δύο αυτών παραμέτρων προσδιορίζονται ανεξάρτητα, πραγματοποιήθηκε μια εκτέλεση ρύθμισης με αρχικές τιμές παραμέτρων που απείχαν από τις τελικές περισσότερο από 2 τυπικές αποκλίσεις. Οι νέες τιμές των ΗΑ1 και ΗΚ11 ήταν αντίστοιχα 0.95 και 17.45, απείχαν δηλαδή λιγότερο από διάστημα μιας τυπικής απόκλισης από τις τελικές τιμές και επομένως μπορούμε να θεωρήσουμε ότι παράμετροι αυτές προσδιορίζονται ανεξάρτητα η μία από την άλλη. Για να ελεγχθεί αν η χρήση των παρατηρήσεων παροχής συμβάλλει στο να είναι δυνατός ο ανεξάρτητος προσδιορισμός των παραμέτρων, υπολογίστηκαν οι συντελεστές συσχέτισης των παραμέτρων λαμβάνοντας υπόψη μόνο τις παρατηρήσεις φορτίου. Στη στήλη (3) του Πίνακα 5.18 παρουσιάζονται τα ζευγάρια των παραμέτρων που σ' αυτή τη δοκιμή εμφάνισαν συντελεστή συσχέτισης μεγαλύτερο από 0.95 και στη στήλη (4) οι αντίστοιχοι συντελεστές. Από τα δεδομένα του πίνακα φαίνεται ότι η χρήση των παρατηρήσεων παροχών βοήθησε στον περιορισμό της συσχέτισης μεταξύ των παραμέτρων του μοντέλου.

176 161 Πίνακας Τα ζευγάρια των παραμέτρων με συντελεστή συσχέτισης μεγαλύτερο από παράμετροι συντ. συσχέτισης παράμετροι συντ. συσχέτισης (χωρίς παρατηρήσεις παροχής) (1) (2) (3) (4) HA1 - HK ΗA6 - HK HA1 - HK HA4 - HK Με αυτές τις τιμές υδρογεωλογικών παραμέτρων, η αντικειμενική συνάρτηση, δηλαδή το άθροισμα των σταθμισμένων υπολοίπων φορτίων, εκροών από τις πηγές και εισροών από το όριο γνωστού φορτίου, παίρνει την ελάχιστη τιμή της, ίση με Η συνεισφορά κάθε είδους παρατηρήσεων στην τελική τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ήταν: φορτία (F) 1444 εκροές από τις πηγές (F s ) 185 εισροές από το όριο γνωστού φορτίου (F hb ) 341 σύνολο (F t ) 1970 Η πολύ μικρότερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης που αναλογεί στις παρατηρήσεις παροχών, οφείλεται στους συντελεστές στάθμισής τους. Υπενθυμίζεται ότι, λόγω της διαφοράς σε τάξη μεγέθους μεταξύ των παρατηρήσεων παροχών και φορτίων, οι συντελεστές των παρατηρήσεων παροχών τέθηκαν ίσοι με 10-4, ενώ οι συντελεστές των παρατηρήσεων φορτίου κυμαινόταν από 0.7 ως 1. Επιπλέον, οι παρατηρήσεις των παροχών χαρακτηρίζονται από μεγαλύτερη αβεβαιότητα. Γι αυτό το λόγο, στη συνέχεια η αξιολόγηση αναφέρεται στην προσέγγιση των φορτίων, και ο όρος "αντικειμενική συνάρτηση" αναφέρεται στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης που αντιστοιχεί σε αυτά (F). Στον Πίνακα 5.19 παρουσιάζεται η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης (F) για κάθε μήνα της προσομοίωσης. Στη στήλη (3) δίνεται η αντίστοιχη τιμή της F για μη σταθμισμένα υπόλοιπα (μόνο για τους μήνες που οι συντελεστές στάθμισης είναι διαφορετικοί από 1). Όπως φαίνεται στον πίνακα αυτό, οι μεγαλύτερες αποκλίσεις εμφανίζονται το διάστημα από το Μάρτιο ως το Μάιο του 1994, την περίοδο δηλαδή που εμφανίζονται τα υψηλότερα φορτία, λόγω της πολύ αυξημένης πλευρικής εισροής.

177 162 Πίνακας Τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ανά μήνα. F F F (1) (2) (3) (1) (2) (3) (1) (2) (3) 9/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / Η συνεισφορά κάθε γεώτρησης, στην οποία λαμβάνονταν οι μετρήσεις φορτίου, στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, παρουσιάζεται στον Πίνακα 5.20 και στο Σχήμα Πίνακας Τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ανά γεώτρηση. F F (1) (2) (1) (2) Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο Γεώτρηση Νο

178 163 Σχήμα Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ανά γεώτρηση. Οι μεγαλύτερες αποκλίσεις μεταξύ υπολογισμένων και μετρημένων φορτίων εμφανίζονται στην περιοχή που περιλαμβάνει τις γεωτρήσεις 212, 211 και 123. Είναι η περιοχή με τη μικρότερη πυκνότητα θέσεων λήψης παρατηρήσεων φορτίου, για την οποία είχε επίσης παρατηρηθεί ότι η διάρκεια της προσομοίωσης δεν επαρκεί για την απαλοιφή των σφαλμάτων που εισάγονται λόγω της αυθαίρετης αρχικής κατανομής του φορτίου (παρ ). Στα Σχήματα παρουσιάζονται, ενδεικτικά, τα μη σταθμισμένα μετρημένα και υπολογισμένα φορτία σε 8 από τις 43 γεωτρήσεις που χρησιμοποιήθηκαν στη ρύθμιση.

179 164 Well No head (m) simulated observed time (days from start) Σχήμα Μη σταθμισμένα μετρημένα και υπολογισμένα φορτία στη Γεώτρηση Νο 202 (F = 18.8). Well No head (m) observed simulated time (days from start) Σχήμα Μη σταθμισμένα μετρημένα και υπολογισμένα φορτία στη Γεώτρηση Νο 216. (F = 12.84).

180 165 Well No head (m) simulated observed time (days from start) Σχήμα Μη σταθμισμένα μετρημένα και υπολογισμένα φορτία στη Γεώτρηση Νο 217. (F = 57.94). Well No head (m) simulated observed time (days from start) Σχήμα Μη σταθμισμένα μετρημένα και υπολογισμένα φορτία στη Γεώτρηση Νο 57. (F = 6.376).

181 166 Well No head (m) 6 4 simulated observed time (days from start) Σχήμα Μη σταθμισμένα μετρημένα και υπολογισμένα φορτία στη Γεώτρηση Νο 40. (F = 5.667). Well No head (m) simulated observed time (days from start) Σχήμα Μη σταθμισμένα μετρημένα και υπολογισμένα φορτία στη Γεώτρηση Νο 178. (F = 36.01).

182 167 Well No head (m) simulated observed time (days from start) Σχήμα Μη σταθμισμένα μετρημένα και υπολογισμένα φορτία στη Γεώτρηση Νο 154. (F = 19.23). Well No head (m) time (days from start) simulated observed Σχήμα Μη σταθμισμένα μετρημένα και υπολογισμένα φορτία στη Γεώτρηση Νο 212. (F = 150.1).

183 168 Για τη γραφική απεικόνιση της προσέγγισης που επιτυγχάνεται, σχεδιάστηκαν οι μη σταθμισμένες παρατηρήσεις φορτίου ως προς τις αντίστοιχες υπολογισμένες τιμές (Σχήμα 5.31). Οι αποκλίσεις από την ευθεία γραμμή μπορούν να θεωρηθούν σχετικά μικρές και τυχαία κατανεμημένες, με εξαίρεση κάποια από τα σημεία που αντιστοιχούν σε υπολογισμένο φορτίο πάνω από 17 m. Αυτά τα σημεία αντιπροσωπεύουν μετρήσεις στάθμης στη γεώτρηση Νο 212, η οποία είναι και η μόνη με τόσο υψηλά φορτία. Οι αντίστοιχες σταθμισμένες τιμές παρουσιάζουν ελαφρώς μικρότερο εύρος, όπως φαίνεται στο Σχήμα UNWEIGHTED OBSERVATION UNWEIGHTED SIMULATED EQUIVALENT Σχήμα Μη σταθμισμένες παρατηρήσεις φορτίου ως προς τις αντίστοιχες μη σταθμισμένες υπολογισμένες τιμές. Στο Σχήμα 5.33 δίνεται μια εικόνα της χρονικής κατανομής του σφάλματος της ρύθμισης, με το σχεδιασμό των υπολοίπων μεταξύ μη σταθμισμένων μετρημένων και υπολογισμένων φορτίων σε σχέση με το χρόνο. Στο γράφημα αυτό φαίνεται ότι το μοντέλο υπερεκτιμά το φορτίο κατά το πρώτο έτος της ρύθμισης, ενώ αντίθετα το υποεκτιμά κατά το δεύτερο έτος. Το τρίτο έτος παρατηρείται μια εξισορρόπηση θετικών και αρνητικών τιμών των υπολοίπων σε σχέση με το δεύτερο έτος.

184 169 WEIGHTED OBSERVATION WEIGHTED SIMULATED EQUIVALENT Σχήμα Σταθμισμένες παρατηρήσεις φορτίου ως προς τις αντίστοιχες σταθμισμένες υπολογισμένες τιμές UNWEIGHTED SIM. EQUIV. MINUS OBS TIME Σχήμα Υπόλοιπα μεταξύ μη σταθμισμένων υπολογισμένων φορτίων και παρατηρήσεων, σε σχέση με το χρόνο.

185 170 Στο Σχήμα 5.34 παρουσιάζεται η γραφική παράσταση των σταθμισμένων υπολοίπων ως προς τα σταθμισμένα υπολογισμένα φορτία. Οι αποκλίσεις είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες και δεν διακρίνεται η ύπαρξη συστηματικών σφαλμάτων σε σχέση με το μέγεθος των υπολογιζόμενων φορτίων WEIGHTED RESIDUAL WEIGHTED SIMULATED EQUIVALENT Σχήμα Σταθμισμένα υπόλοιπα ως προς τα αντίστοιχα σταθμισμένα υπολογισμένα φορτία. Στο Σχήμα 5.35 παρουσιάζεται η χωροχρονική κατανομή των υπολοίπων μεταξύ των σταθμισμένων υπολογισμένων και μετρημένων φορτίων. Για κάθε γεώτρηση φαίνονται 32 μπάρες που αντιστοιχούν στους 32 μήνες της προσομοίωσης: οι πράσινες για τους μήνες Σεπτέμβριο Αύγουστο 1993, οι πορτοκαλί για τους μήνες Σεπτέμβριο Αύγουστο 1994 και οι κόκκινες για τους μήνες Σεπτέμβριο Απρίλιο Οι μπάρες που κατευθύνονται προς τα κάτω συμβολίζουν αρνητικά υπόλοιπα μεταξύ παρατηρήσεων και αντίστοιχων υπολογισμένων τιμών (υπερεκτίμηση του φορτίου από το μοντέλο), ενώ αυτές που κατευθύνονται προς τα πάνω συμβολίζουν θετικά υπόλοιπα (υποεκτίμηση του φορτίου). Το ύψος είναι ανάλογο του μεγέθους του αντίστοιχου υπόλοιπου. Η ακριβής θέση κάθε γεώτρησης συμβολίζεται με μια γαλάζια κουκίδα που συνοδεύεται από τον αριθμό της γεώτρησης. Οι μπάρες που, λόγω έλλειψης χώρου, έχουν τοποθετηθεί σε κάποια απόσταση από τη γεώτρηση στην οποία αντιστοιχούν, συνδέονται με αυτή με μια γραμμή - οδηγό.

186 171 Σχήμα 5.35.Χωροχρονική κατανομή των σταθμισμένων υπολοίπων μεταξύ υπολογισμένων φορτίων και παρατηρήσεων.

187 172 Για την αξιολόγηση του μοντέλου χρησιμοποιήθηκαν οι στατιστικές παράμετροι του Πίνακα Πίνακας Στατιστικές παράμετροι αξιολόγησης των αποτελεσμάτων της ρύθμισης. στατιστικές παράμετροι παρατηρήσεων φορτίου αντικειμενική συνάρτηση ελαχίστων τετραγώνων 1444 διακύμανση τυπική απόκλιση 1.11 συντελεστής συσχέτισης 0.98 αντικειμενική συνάρτηση μέγιστης πιθανότητας 3806 στατιστική παράμετρος AIC 3858 στατιστική παράμετρος BIC 3990 ελάχιστο μη σταθμισμένο υπόλοιπο μέγιστο μη σταθμισμένο υπόλοιπο 4.03 μέσο μη σταθμισμένο υπόλοιπο ελάχιστο σταθμισμένο υπόλοιπο μέγιστο σταθμισμένο υπόλοιπο 4.03 μέσο σταθμισμένο υπόλοιπο ελάχιστο απόλυτο μη σταθμισμένο μέσο απόλυτο μη σταθμισμένο 0.93 rms μη σταθμισμένων υπολοίπων 1.20 ελάχιστο απόλυτο σταθμισμένο μέσο απόλυτο σταθμισμένο 0.85 rms σταθμισμένων υπολοίπων 1.11 τροπ. συντελεστής αποτελεσματικότητας (μη σταθμισμένα υπόλοιπα) 0.62 τροπ. δείκτης συμφωνίας (μη σταθμισμένα υπόλοιπα) 0.82 τροπ. συντελεστής αποτελεσματικότητας (σταθμισμένα υπόλοιπα) 0.65 τροπ. δείκτης συμφωνίας (σταθμισμένα υπόλοιπα) 0.84 Η τιμή του συντελεστή συσχέτισης μπορεί να θεωρηθεί ικανοποιητική, αφού σύμφωνα με τη βιβλιογραφία θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από 0.9. Ικανοποιητική κρίνεται και η τιμή της τετραγωνικής ρίζας της μέσης τετραγωνικής διαφοράς μεταξύ μετρημένων και υπολογισμένων φορτίων (rms = 1.11), ιδιαίτερα αν λάβουμε υπόψη ότι η μεταβολή του (μετρημένου) φορτίου σε κάθε γεώτρηση, στο διάστημα των 32 μηνών, κυμαίνεται από 1.41 ως 10.5 m. Στον Πίνακα 5.22 παρουσιάζεται το υδατικό ισοζύγιο για τη συνολική διάρκεια της προσομοίωσης (32 μήνες). Επίσης παρουσιάζεται κάθε συνιστώσα των εισροών και εκροών εκφρασμένη ως ποσοστό του συνόλου των εισροών ή των εκροών αντίστοιχα. Με τον ίδιο τρόπο παρουσιάζονται, στον Πίνακα 5.23, οι εισροές και εκροές συνολικά για το 1 ο, 2 ο και 3 ο έτος της προσομοίωσης.

188 173 Στον Πίνακα 5.22 παρατηρούμε ότι η εισροή από το όριο γνωστού φορτίου ξεπέρασε τα 4,500,000 m 3, αντιστοιχεί όμως σε πολύ μικρό ποσοστό του συνολικού υδατικού ισοζυγίου. Στο τέλος της προσομοίωσης, ο αποθηκευμένος όγκος νερού στον υδροφορέα έχει αυξηθεί περίπου κατά 36,000,000 m 3. Σημαντικό ποσοστό εκρέει από τον υδροφορέα στο όριο προς την πλευρά της ακτογραμμής. Σημαντική επίσης είναι και η εκφόρτιση του υδροφορέα από τις πηγές. Πίνακας Υδατικό ισοζύγιο - Αθροιστικοί όγκοι (m 3 ) στο τέλος της προσομοίωσης. storage (αποθήκευση) 152,508, % constant head (εισροή από το όριο γνωστού φορτίου) 4,672, % wells (πλευρικές εισροές) 432,844, % recharge (επαναπλήρωση από βροχοπτώσεις) 43,923, % TOTAL IN 633,949, % storage (αποθήκευση) 188,498, % constant head (εκροή από το όριο γνωστού φορτίου) 145,550, % wells (αρδευτικές και υδρευτικές γεωτρήσεις) 181,827, % drains (εκφόρτιση από τις πηγές) 118,073, % TOTAL OUT 633,950, % IN - OUT -654 PERCENT DISCREPANCY 0.00 Πίνακας Υδατικό ισοζύγιο κάθε έτους της προσομοίωσης. 1 ο έτος 2 ο έτος 3 ο έτος (8 μήνες) storage % storage % storage % constant head % constant head % constant head % wells % wells % wells % recharge % recharge % recharge % TOTAL IN % TOTAL IN % TOTAL IN % storage % storage % storage % constant head % constant head % constant head % wells % wells % wells % drains % drains % drains % TOTAL OUT % TOTAL OUT % TOTAL OUT % IN - OUT 1 IN - OUT -362 IN - OUT -293 PERCENT 0.00 PERCENT 0.00 PERCENT 0.00 DISCREPANCY DISCREPANCY DISCREPANCY Στον Πίνακα 5.23 βλέπουμε ότι η εισροή από το όριο γνωστού φορτίου είναι στο χαμηλότερο επίπεδό της το πρώτο έτος της προσομοίωσης, ενώ το ποσοστό της στο υδατικό ισοζύγιο αυξάνεται τα δύο επόμενα χρόνια, αν και παραμένει χαμηλό (μικρότερο από 1%). Ο απαιτούμενος όγκος νερού για τη διατήρηση του γνωστού φορτίου στο όριο, το πρώτο έτος, καλύπτεται από το νερό που υπάρχει αποθηκευμένο στον υδροφορέα στην έναρξη της προσομοίωσης, κυρίως στο βόρειο τμήμα του μοντέλου. Στα επόμενα έτη το φορτίο στο βόρειο τμήμα είναι χαμηλότερο από το απαιτούμενο, με αποτέλεσμα να αυξάνεται η εισροή από το όριο σ' αυτήν την περιοχή. Ταυτόχρονα, μεγαλύτερο ποσοστό του διαθέσιμου νερού

189 174 από το νότιο τμήμα κινείται προς το βόρειο, με αποτέλεσμα να μειώνεται το διαθέσιμο φορτίο για την κάλυψη του γνωστού φορτίου και στο νότιο τμήμα του μοντέλου και συνεπώς να αυξάνεται η εισροή από το όριο και σ' αυτήν την περιοχή. Σημαντικό ποσοστό πάντως του ετήσιου υδατικού ισοζυγίου, κάθε χρόνο, εκρέει προς τη θάλασσα, αλλά και από τις πηγές. Οι πηγές βρίσκονται κοντά στο νότιο όριο του μοντέλου. Βλέπουμε ότι κατά το 3 ο έτος της προσομοίωσης (τελευταίοι 8 μήνες) το ποσοστό εκφόρτισης από τις πηγές είναι ιδιαίτερα αυξημένο. Αυτό οφείλεται στο ότι η προσομοίωση σταματά τον Απρίλιο, όταν ήδη έχει εισρεύσει στο σύστημα μεγάλο μέρος των πλευρικών εισροών και το φορτίο στην περιοχή των πηγών έχει ανέβει σημαντικά. Η εκροή από τις πηγές είναι ανάλογη του φορτίου και μειώνεται τους καλοκαιρινούς μήνες, κατά τους οποίους παρατηρείται πτώση του φορτίου λόγω των αντλήσεων για την κάλυψη των αρδευτικών αναγκών. Επομένως, σε ετήσια βάση, το ποσοστό αυτής της συνιστώσας του υδατικού ισοζυγίου αναμένεται να κυμανθεί σε επίπεδο παρόμοιο με των άλλων ετών Ανάλυση ευαισθησίας Η ανάλυση ευαισθησίας πραγματοποιήθηκε με δύο τρόπους: α) με τον υπολογισμό των συντελεστών ευαισθησίας των παραμέτρων ως προς τις παρατηρήσεις. Αυτή η ανάλυση αφορά μόνο τις υδρογεωλογικές παραμέτρους του μοντέλου, οι οποίες συμμετείχαν στη διαδικασία της ρύθμισης. β) Με τη συστηματική μεταβολή της τιμής κάθε παραμέτρου διατηρώντας τις υπόλοιπες σταθερές και ίσες με τις βέλτιστες τιμές τους. Με αυτή τη μέθοδο συμμετείχαν στην ανάλυση ευαισθησίας όλες οι παράμετροι του μοντέλου, ώστε να ελεγχθεί και η επίδραση των παραμέτρων που η τιμή τους δεν προσδιορίστηκε με τη ρύθμιση, δηλαδή των παραμέτρων που εκφράζουν τη φόρτιση του υδροφορέα. Στο Σχήμα 5.36 παρουσιάζονται οι σύνθετες υπό κλίμακα ευαισθησίες των υδρογεωλογικών παραμέτρων του μοντέλου, οι οποίες υπολογίζονται από το PEST. Μικρή τιμή σύνθετης υπό κλίμακα ευαισθησίας μιας παραμέτρου σημαίνει ότι οι διαθέσιμες παρατηρήσεις δεν περιέχουν αρκετή πληροφορία για τη συγκεκριμένη παράμετρο και ότι ακόμη και μεγάλη μεταβολή της τιμής της παραμέτρου δεν επηρεάζει σημαντικά την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Οι παράμετροι με τις μικρότερες σύνθετες υπό κλίμακα ευαισθησίες είναι αυτές που οι τιμές τους παρουσιάζουν τη μεγαλύτερη αβεβαιότητα, όπως φάνηκε και από τα διαστήματα εμπιστοσύνης (Σχήμα 5.21).

190 175 Composite Scaled Sensitivities 1.80E E E E E E E E E E+00 ha1 ha2 ha3 ha4 ha5 ha6 hk1 hk2 hk3 hk4 hk5 hk6 hk7 hk8 hk9 hk10 hk11 ss1 ss2 ss3 ss4 sy1 sy2 sy3 sy4 Σχήμα Σύνθετες υπό κλίμακα ευαισθησίες των παραμέτρων του μοντέλου που υπολογίστηκαν κατά τη ρύθμιση. Στο Σχήμα 5.37α παρουσιάζονται οι σύνθετες υπό κλίμακα ευαισθησίες των υδρογεωλογικών παραμέτρων ανά ομάδα παρατηρήσεων (φορτία, παροχές πηγών, εισροές από το όριο γνωστού φορτίου), ώστε να φανεί η σχετική επίδραση των διαφορετικών ειδών παρατηρήσεων που χρησιμοποιήθηκαν για τη ρύθμιση του μοντέλου. Είναι φανερό ότι η ύπαρξη μετρήσεων για τις παροχές των πηγών είναι πολύ σημαντική για την ρύθμιση του μοντέλου. Οι ίδιες παράμετροι παρουσιάζονται και στο Σχήμα 5.37β, έχει αφαιρεθεί όμως η ομάδα των παροχών των πηγών για να φανεί η σχετική επίδραση των δύο άλλων ομάδων παρατηρήσεων. Οι "τεχνητές" παρατηρήσεις εισροής από το όριο γνωστού φορτίου επηρεάζουν τις τιμές των υδρογεωλογικών παραμέτρων λιγότερο από ότι οι μετρήσεις φορτίου. Η συμμετοχή τους όμως είναι σημαντική για κάποιες από τις παραμέτρους. Για παράδειγμα, οι παράμετροι HA3, HK2 και SS4, παρουσιάζουν την ίδια περίπου - σχετικά μικρή - ευαισθησία στις παρατηρήσεις φορτίου. Η ευαισθησία της HK2 στις παρατηρήσεις των παροχών των πηγών είναι περίπου διπλάσια από αυτή της HA3, ενώ η SS4 δεν επηρεάζεται καθόλου από αυτές. Λόγω όμως της αυξημένης ευαισθησίας της SS4 στις παρατηρήσεις εισροής από το όριο γνωστού φορτίου, η τιμή της προσδιορίζεται με αρκετά μικρότερη αβεβαιότητα (μικρό διάστημα εμπιστοσύνης) από ότι οι τιμές των άλλων δύο παραμέτρων.

191 176 Composite scaled sensitivities ha1 ha2 ha3 ha4 ha5 ha6 hk1 hk2 hk3 hk4 hk5 hk6 hk7 hk8 hk9 hk10 hk11 ss1 ss2 ss3 ss4 sy1 sy2 sy3 sy4 heads sources hb Σχήμα 5.37 α. Σύνθετες υπό κλίμακα ευαισθησίες των υδρογεωλογικών παραμέτρων ως προς τα διαφορετικά είδη παρατηρήσεων: φορτία (heads), παροχές πηγών (sources) και εισροές από το όριο γνωστού φορτίου (hb). Composite scaled sensitivities ha1 ha2 ha3 ha4 ha5 ha6 hk1 hk2 hk3 hk4 hk5 hk6 hk7 hk8 hk9 hk10 hk11 ss1 ss2 ss3 ss4 sy1 sy2 sy3 sy4 heads hb Σχήμα 5.37 β. Σύνθετες υπό κλίμακα ευαισθησίες των υδρογεωλογικών παραμέτρων ως προς τα διαφορετικά είδη παρατηρήσεων: φορτία (heads), και εισροές από το όριο γνωστού φορτίου (hb).

192 177 Το MODFLOW δίνει τη δυνατότητα υπολογισμού των εκατοστιαίων υπό κλίμακα ευαισθησιών του δικτύου υπολογισμών για κάθε παράμετρο σε κάθε χρονικό βήμα της προσομοίωσης, οι οποίες δείχνουν τη μεταβολή του φορτίου που προκύπτει από την κατά 1% αύξηση της τιμής κάθε παραμέτρου. Θετικές τιμές του συντελεστή σημαίνουν ότι αύξηση της τιμής της παραμέτρου συνεπάγεται αύξηση του φορτίου, ενώ αρνητικές τιμές σημαίνουν ότι αύξηση της τιμής της παραμέτρου συνεπάγεται μείωση του φορτίου. Οι συντελεστές αυτοί μπορούν να σχεδιαστούν με τη μορφή καμπυλών ίσης τιμής, δίνοντας πληροφορίες για τις θέσεις στις οποίες η ύπαρξη παρατηρήσεων φορτίου είναι περισσότερο χρήσιμη για τη ρύθμιση του μοντέλου. Ενδεικτικά, στα Σχήματα 5.37 και 5.38, παρουσιάζονται οι χάρτες καμπυλών ίσης εκατοστιαίας υπό κλίμακα ευαισθησίας για την παράμετρο SY2 στο 22 ο χρονικό βήμα της πρώτης περιόδου της προσομοίωσης (22 η ημέρα από την έναρξη) και στο 26 ο χρονικό βήμα της δέκατης ένατης περιόδου (572 η ημέρα από την έναρξη). Οι ρόμβοι συμβολίζουν τις θέσεις των γεωτρήσεων στις οποίες λαμβάνονταν οι παρατηρήσεις φορτίου: με μπλε χρώμα συμβολίζονται οι γεωτρήσεις στις οποίες δεν υπήρχε μέτρηση την ημέρα στην οποία αντιστοιχεί το συγκεκριμένο χρονικό βήμα, δηλαδή στις 22/9/1992 (Σχήμα 5.38) και στις 26/3/1994 (Σχήμα 5.39). Στο Σχήμα 5.38 παρατηρούμε ότι σε 7 γεωτρήσεις που βρίσκονται στη ζώνη επίδρασης της παραμέτρου δεν έχει ληφθεί μέτρηση. Στο Σχήμα 5.39 βλέπουμε ότι πολλές από τις γεωτρήσεις στις οποίες υπάρχουν μετρήσεις φορτίου τη συγκεκριμένη ημέρα, βρίσκονται στη ζώνη επίδρασης της παραμέτρου. Όπως φαίνεται όμως από τα υπομνήματα των δύο σχημάτων, η μέγιστη αύξηση και η μέγιστη μείωση του φορτίου που προκαλούνται από την αύξηση της τιμής της SY2 κατά 1%, είναι μόλις μερικά δέκατα του χιλιοστού. Επομένως, η λήψη μετρήσεων φορτίου σε άλλες θέσεις δεν θα βοηθήσει στο να μειωθεί η αβεβαιότητα της τιμής αυτής της παραμέτρου.

193 178 θέσεις λήψης παρατηρήσεων φορτίου Σχήμα Χάρτης καμπυλών ίσης εκατοστιαίας υπό κλίμακα ευαισθησίας της παραμέτρου SY2, για το 22 ο χρονικό βήμα της πρώτης περιόδου της προσομοίωσης (22/9/1992).

194 Σχήμα Χάρτης καμπυλών ίσης εκατοστιαίας υπό κλίμακα ευαισθησίας της παραμέτρου SY2 για το 26 ο χρονικό βήμα της δέκατης ένατης περιόδου της προσομοίωσης (26/3/1994). 179

195 180 Στα πλαίσια της ανάλυσης ευαισθησίας των παραμέτρων, ελέγχθηκε η επίδραση της μεταβολής της τιμής κάθε παραμέτρου α) στην ολική τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης F t (με τη συμμετοχή και των τριών ειδών παρατηρήσεων) και β) στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης που αναλογεί στις παρατηρήσεις φορτίου (F). Η τιμή κάθε υδρογεωλογικής παραμέτρου μεταβλήθηκε κατά ±20% και ±40%, ενώ η τιμή κάθε παραμέτρου παροχής μεταβλήθηκε κατά ±10% και ±20%. Τα αποτελέσματα της ανάλυσης ευαισθησίας όσον αφορά τη μεταβολή της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης, παρουσιάζονται γραφικά, στα Σχήματα Σε κάθε σχήμα αριστερά παρουσιάζεται το γράφημα που αναφέρεται στην ολική τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης και δεξιά το αντίστοιχο γράφημα που αναφέρεται στην αντικειμενική συνάρτηση των παρατηρήσεων φορτίου. Οι γραμμές που ενώνουν τα σημεία που αντιστοιχούν σε κάθε παράμετρο δεν έχουν την έννοια της γραμμικής μεταβολής, χρησιμοποιήθηκαν μόνο για να κάνουν το γράφημα πιο ευανάγνωστο. Οι τελικές τιμές των παραμέτρων ΗΚ6 και ΗΚ8 (οριζόντια υδραυλική αγωγιμότητα στη -διεύθυνση στις ζώνες 6 και 8) είναι ίσες με την αντίστοιχη κατώτερη επιτρεπόμενη τιμή τους. Στην ανάλυση ευαισθησίας όμως ελέγχθηκε η επίδραση της μείωσής τους στις τιμές των F t και F. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.40, μείωση της τιμής της HK6 μειώνει την τιμή της F t μέχρι περίπου 1.2%, ενώ αυξάνει την τιμή της F μέχρι περίπου 2.7%. Προφανώς, η μείωση της ολικής τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης οφείλεται στη μείωση των συνιστωσών της που αφορούν τις παρατηρήσεις παροχής. Η προσέγγιση όμως των μετρήσεων φορτίου είναι περισσότερο σημαντική. Όσον αφορά την παράμετρο ΗΚ8, μείωση της τιμής της θα μείωνε και την τιμή της F (μέχρι περίπου 1%), θα αύξανε όμως τη συνολική τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης (μέχρι περίπου 1.9%). Επομένως, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι τα κατώτερα όρια των τιμών αυτών των παραμέτρων δεν επηρεάζουν αρνητικά τη διαδικασία της ελαχιστοποίησης της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης. Οι ζώνες 7, 8, 9, και 10 της οριζόντιας υδραυλικής αγωγιμότητας στη -διεύθυνση καλύπτουν το βόρειο μισό τμήμα του δικτύου υπολογισμών, στο οποίο το μοντέλο φαίνεται να υποεκτιμά το φορτίο σε σχέση με τις υπάρχουσες μετρήσεις. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.40, μείωση της τιμής των αντίστοιχων παραμέτρων (ΗΚ7, ΗΚ8, ΗΚ9 και ΗΚ10) θα βελτίωνε την προσέγγιση των παρατηρήσεων φορτίου, θα αυξανόταν όμως η συνολική τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Η αύξηση της F t θα οφειλόταν στην αύξηση της εισροής από το όριο γνωστού φορτίου, η οποία όμως ιδιαίτερα στη φάση της ρύθμισης πρέπει να διατηρηθεί στο χαμηλότερο δυνατό επίπεδο. Για την αύξηση της τιμής της παραμέτρου ΗΚ4, ισχύει κατ' αναλογία ό,τι για τη μείωση της τιμής της ΗΚ6.

196 181 10% 8% 8% 6% 6% 4% 4% 2% 2% 0% 0% -2% -2% 60% 80% 100% 120% 140% -4% 60% 80% 100% 120% 140% HK1 HK2 HK3 HK4 HK5 HK6 HK7 HK8 HK9 HK10 HK11 HK1 HK2 HK3 HK4 HK5 HK6 HK7 HK8 HK9 HK10 HK11 Σχήμα Επίδραση της μεταβολής των τιμών των παραμέτρων της υδραυλικής αγωγιμότητας στη -διέυθυνση, στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης 16% 10% 14% 8% 12% 10% 6% 8% 4% 6% 4% 2% 2% 0% 0% -2% -2% 40% 60% 80% 100% 120% 140% 160% 60% 80% 100% 120% 140% HA1 HA2 HA3 HA4 HA5 HA6 HA1 HA2 HA3 HA4 HA5 HA6 Σχήμα Επίδραση της μεταβολής των τιμών των παραμέτρων του συντελεστή οριζόντιας ανισοτροπίας, στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης.

197 % 2.0% 1.2% 1.0% 1.5% 0.8% 0.6% 1.0% 0.4% 0.2% 0.5% 0.0% -0.2% 0.0% -0.4% -0.5% 60% 80% 100% 120% 140% -0.6% 60% 80% 100% SS1 SS2 SS3 SS4 120% 140% SS1 SS2 SS3 SS4 Σχήμα Επίδραση της μεταβολής της τιμής της ειδικής αποθηκευτικότητας στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. 8% 13% 6% 8% 4% 2% 3% 0% -2% -2% -7% 60% 80% 100% 120% 140% -4% 60% 80% 100% 120% 140% SY1 SY3 SY4 SY2 SY1 SY2 SY3 SY4 Σχήμα Επίδραση της μεταβολής της τιμής της ειδικής απόδοσης στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης.

198 183 30% 15% 25% 10% 20% 15% 5% 10% 5% 0% 0% -5% -5% -10% 80% 90% 100% 110% 120% -10% 80% 90% 100% 110% 120% Q_OLY1 Q_OLY2 Q_OLY3 Q_PIER1 Q_PIER2 Q_PIER3 Q_OLY1 Q_OLY2 Q_OLY3 Q_PIER1 Q_PIER2 Q_PIER3 Σχήμα Επίδραση της μεταβολής των τιμών των παροχών πλευρικής εισροής από Όλυμπο και Πιέρια στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. 2.0% 2.0% 1.5% 1.5% 1.0% 1.0% 0.5% 0.5% 0.0% 0.0% -0.5% -0.5% -1.0% -1.0% -1.5% 80% 90% 100% 110% 120% -1.5% 80% 90% 100% 110% 120% ARCH_1 ARCH_2 ARCH_3 BRCH_1 BRCH_2 BRCH_3 ARCH_1 ARCH_2 ARCH_3 BRCH_1 BRCH_2 BRCH_3 Σχήμα Επίδραση της μεταβολής των τιμών των παροχών επαναπλήρωσης από βροχοπτώσεις στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης.

199 184 Με ανάλογο τρόπο ερμηνεύονται τα αποτελέσματα της ανάλυσης ευαισθησίας και για τις υπόλοιπες υδρογεωλογικές παραμέτρους (Σχήματα 5.41, ). Γενικά παρατηρείται ότι οι μεταβολές των τιμών των παραμέτρων της ειδικής αποθηκευτικότητας επηρεάζουν λιγότερο την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης από ότι η μεταβολή των υπόλοιπων υδρογεωλογικών παραμέτρων. Επίσης, διαπιστώνεται ότι στην περιοχή που το μοντέλο φαίνεται να υποεκτιμά το φορτίο, η προσέγγιση των μετρήσεων φορτίου μπορεί να βελτιωθεί αν δεν χρησιμοποιηθούν οι "τεχνητές" παρατηρήσεις εισροής από το όριο γνωστού φορτίου. Η βελτίωση όμως θα οφείλονταν στην αύξηση της εισροής από το όριο γνωστού φορτίου, επομένως δεν μπορεί να θεωρηθεί ότι το μοντέλο θα αναπαριστούσε καλύτερα την πραγματική κατάσταση. Στα Σχήματα 5.44 και 5.45 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της ανάλυσης ευαισθησίας για τις παραμέτρους των ετήσιων πλευρικών εισροών και των ετήσιων παροχών επαναπλήρωσης από βροχοπτώσεις, οι τιμές των οποίων όμως δεν προέκυψαν από τη ρύθμιση του μοντέλου. Για την πλευρική εισροή από τον Όλυμπο κατά το πρώτο έτος της προσομοίωσης, παρατηρούμε (Σχήμα 5.44) ότι είτε αύξηση είτε μείωσή της αυξάνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, αν και η μείωσή της βελτιώνει λίγο την προσέγγιση των φορτίων. Αυτό είναι αναμενόμενο, αφού σ' αυτές τις δοκιμές οι υπόλοιπες παράμετροι παραμένουν σταθερές στις τελικές τιμές τους (οι οποίες υπολογίστηκαν διατηρώντας σταθερές τις πλευρικές εισροές στο 100% της τιμής τους). Το ίδιο ισχύει για τις πλευρικές εισροές από τον Όλυμπο και για τα δύο επόμενα έτη της προσομοίωσης, με την Q_OLY2 να φαίνεται ότι είναι η σημαντικότερη παράμετρος γενικά, για το συγκεκριμένο μοντέλο. Η επίδραση όμως της μεταβολής των ετήσιων πλευρικών εισροών από τα Πιέρια, παρουσιάζεται διαφορετική από την αναμενόμενη: όσο μειώνονται οι τιμές αυτών των παραμέτρων, μειώνεται και η συνολική τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης (F t ). Όπως φαίνεται όμως στο δεξιό γράφημα του σχήματος 5.44, η μείωσή τους συνεπάγεται πολύ μεγάλη αύξηση της συνιστώσας της αντικειμενικής συνάρτησης που οφείλεται στις παρατηρήσεις φορτίου (F). Αντίστοιχα, η μείωση της F που προκαλείται από την αύξηση αυτών των παραμέτρων, αντισταθμίζεται από την αύξηση της F t. Υπενθυμίζεται ότι οι ετήσιες πλευρικές εισροές από τα Πιέρια τροφοδοτούν το βόρειο μισό τμήμα του μοντέλου, στο οποίο, όπως αναφέρθηκε, παρατηρείται η μεγαλύτερη υποεκτίμηση του φορτίου σε σχέση με τις υπάρχουσες μετρήσεις. Όσον αφορά τις ετήσιες παροχές επαναπλήρωσης από βροχοπτώσεις στις ζώνες Α (ARCH_1, ARCH_2, ARCH_3) και Β (BRCH_1, BRCH_2, BRCH_3), παρατηρούμε ότι, αν και η επίδρασή τους είναι σχετικά μικρή, όσο αυξάνονται οι τιμές τους μειώνονται και η F t και η F.

200 185 Η επίδραση της επαναπλήρωσης από βροχοπτώσεις στη ζώνη Β (στο βορειοδυτικό τμήμα του μοντέλου), είναι μεγαλύτερη από αυτή στη ζώνη Α (νότιο τμήμα), κάτι που είναι σύμφωνο και με τα συμπεράσματα για τις υπόλοιπες παραμέτρους για την περιοχή αυτή Επαλήθευση του μοντέλου Η επαλήθευση ενός μαθηματικού μοντέλου είναι μια απαραίτητη διαδικασία πριν από την εφαρμογή του για την πρόβλεψη της μελλοντικής αντίδρασης του συστήματος που περιγράφει κάτω από διάφορες συνθήκες εκμετάλλευσής του. Η διαδικασία αυτή αναφέρεται στη σύγκριση των αποτελεσμάτων του μοντέλου με αντίστοιχες μετρήσεις για χρονική περίοδο διαφορετική από αυτή της ρύθμισης. Για την επαλήθευση του μοντέλου που αναπτύχθηκε για την πεδιάδα της Κατερίνης χρησιμοποιήθηκαν 118 μετρήσεις φορτίου της περιόδου Μάιος Αύγουστος 1995, σε 36 από τις γεωτρήσεις που χρησιμοποιήθηκαν και στη ρύθμιση και 4 μετρήσεις παροχής των πηγών. Επίσης, για να υπάρχει ομοιότητα στον τρόπο σχηματισμού της αντικειμενικής συνάρτησης, χρησιμοποιήθηκαν και 123 "τεχνητές" παρατηρήσεις εισροής από το όριο γνωστού φορτίου. Tο χρονικό διάστημα της επαλήθευσης είναι μικρό, αφορά όμως μια περίοδο με σημαντικές μεταβολές φορτίου, αφού αντιστοιχεί στην αρδευτική περίοδο του 3 ου έτους της προσομοίωσης. Χρονικά η εκτέλεση επαλήθευσης ξεκίνησε με το τέλος της ρύθμισης, γι' αυτό ως αρχική συνθήκη θεωρείται η κατανομή φορτίου της τελευταίας ημέρας της προσομοίωσης της ρύθμισης. Στην πράξη, επειδή οι παράμετροι φόρτισης του υδροφορέα είναι ετήσιες και η κατανομή ανά μήνα γίνεται με τη χρήση συντελεστών, παρατάθηκε η διάρκεια της προσομοίωσης, που ήταν 32 χρονικές περίοδοι (μήνες) για τη ρύθμιση, στις 36 περιόδους. Οι τιμές του γνωστού φορτίου στο ανατολικό όριο του μοντέλου για κάθε χρονική περίοδο υπολογίστηκαν, όπως και για την περίοδο ρύθμισης, με παρεμβολή στις υπάρχουσες μηνιαίες μετρήσεις στάθμης. Όσον αφορά την εκφόρτιση του υδροφορέα, χρησιμοποιήθηκαν ίδιοι χρόνοι λειτουργίας των κοινοτικών αρδευτικών και υδρευτικών γεωτρήσεων και ίδιες αντλούμενες ποσότητες με την περίοδο ρύθμισης και οι παροχές που αντλούνταν για την κάλυψη αρδευτικών αναγκών εκτιμήθηκαν από την πραγματική εξατμισοδιαπνοή των καλλιεργειών της περιοχής. Θεωρήθηκε ότι η κατανομή των καλλιεργειών στην περιοχή μελέτης δεν μεταβλήθηκε. Οι συντελεστές στάθμισης των παρατηρήσεων φορτίου ήταν, όπως και στις εκτελέσεις ρύθμισης, ίσοι με 0.8 για το Μάιο και 0.7 για τον Ιούνιο, Ιούλιο και Αύγουστο. Οι συντελεστές στάθμισης των παρατηρήσεων παροχής ήταν ίσοι με 10-4.

201 186 Με αυτά τα δεδομένα, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης για την περίοδο της επαλήθευσης, για κάθε συνιστώσα της και συνολικά, ήταν: φορτία (F) εκροές από τις πηγές (F s ) 15.8 εισροές από το όριο γνωστού φορτίου (F hb ) 17.2 σύνολο (F t ) Τα αποτελέσματα της επαλήθευσης παρουσιάζονται με τα γραφήματα που ακολουθούν. Επειδή ο αριθμός των παρατηρήσεων είναι μικρός και για να είναι πιο εύκολη η σύγκριση των αποτελεσμάτων της επαλήθευσης με αυτά της ρύθμισης, στις γραφικές παραστάσεις παρουσιάζεται το σύνολο των παρατηρήσεων φορτίου. Οι παρατηρήσεις που χρησιμοποιήθηκαν στην επαλήθευση συμβολίζονται με διαφορετικό χρώμα. Στο Σχήμα 5.46 παρουσιάζεται η γραφική παράσταση των μη σταθμισμένων παρατηρήσεων φορτίου ως προς τις αντίστοιχες μη σταθμισμένες υπολογισμένες τιμές. Το αντίστοιχο γράφημα για τις σταθμισμένες τιμές παρουσιάζεται στο Σχήμα Στο Σχήμα 5.48 φαίνεται η χρονική κατανομή των μη σταθμισμένων υπολοίπων μεταξύ υπολογισμένων και μετρημένων φορτίων. Οι τέσσερις τελευταίες στήλες αντιστοιχούν στους 4 μήνες της επαλήθευσης. Στο Σχήμα 5.49 παρουσιάζεται η γραφική παράσταση των σταθμισμένων υπολοίπων ως προς τα αντίστοιχα υπολογισμένα φορτία. Με βάση τα γραφήματα αυτά, η προσέγγιση των παρατηρήσεων φορτίου φαίνεται να είναι παρόμοια με αυτή που επιτυγχάνεται με τη ρύθμιση. Το ίδιο συμπέρασμα εξάγεται και από τα Σχήματα , στα οποία έχει σχεδιαστεί η μεταβολή του υπολογισμένου και μετρημένου φορτίου για τα τρία χρόνια προσομοίωσης (ρύθμιση + επαλήθευση). Τα σχήματα αυτά αφορούν 6 από τις 8 γεωτρήσεις που χρησιμοποιήθηκαν για την παρουσίαση των αποτελεσμάτων της ρύθμισης, αφού στις υπόλοιπες δύο δεν υπήρχαν μετρήσεις φορτίου για την περίοδο της επαλήθευσης.

202 187 UNWEIGHTED OBSERVATION UNWEIGHTED SIMULATED EQUIVALENT Σχήμα Μη σταθμισμένες παρατηρήσεις φορτίου ως προς τις αντίστοιχες μη σταθμισμένες υπολογισμένες τιμές (με μπλε χρώμα η επαλήθευση του μοντέλου). WEIGHTED OBSERVATION WEIGHTED SIMULATED EQUIVALENT Σχήμα Σταθμισμένες παρατηρήσεις φορτίου ως προς τις αντίστοιχες σταθμισμένες υπολογισμένες τιμές (με μπλε χρώμα η επαλήθευση του μοντέλου).

203 188 UNWEIGHTED SIM. EQUIV. MINUS OBS TIME Σχήμα Υπόλοιπα μεταξύ μη σταθμισμένων υπολογισμένων φορτίων και 600 παρατηρήσεων, σε σχέση με το χρόνο (οι τέσσερις τελευταίες στήλες αφορούν την επαλήθευση του μοντέλου) ,000 WEIGHTED RESIDUAL WEIGHTED SIMULATED EQUIVALENT Σχήμα Σταθμισμένα υπόλοιπα ως προς τα αντίστοιχα σταθμισμένα υπολογισμένα φορτία (με μπλε χρώμα η επαλήθευση του μοντέλου)

204 189 Well head (m) sim obs time (days from start) Σχήμα Μη σταθμισμένα μετρημένα και υπολογισμένα φορτία στη Γεώτρηση Νο 202, από 1/9/1992 ως 31/8/1995. Well head (m) obs sim time (days from start) Σχήμα Μη σταθμισμένα μετρημένα και υπολογισμένα φορτία στη Γεώτρηση Νο 216, από 1/9/1992 ως 31/8/1995.

205 190 Well head (m) sim obs time (days from start) Σχήμα Μη σταθμισμένα μετρημένα και υπολογισμένα φορτία στη Γεώτρηση Νο 57, από 1/9/1992 ως 31/8/1995. Well head (m) sim obs time (days from start) Σχήμα Μη σταθμισμένα μετρημένα και υπολογισμένα φορτία στη Γεώτρηση Νο 40, από 1/9/1992 ως 31/8/1995.

206 191 Well head (m) sim obs time (days from start) Σχήμα Μη σταθμισμένα μετρημένα και υπολογισμένα φορτία στη Γεώτρηση Νο 154, από 1/9/1992 ως 31/8/1995. Well head (m) 10 5 obs sim time (days from start) Σχήμα Μη σταθμισμένα μετρημένα και υπολογισμένα φορτία στη Γεώτρηση Νο 212, από 1/9/1992 ως 31/8/1995.

207 192 Η αξιολόγηση των αποτελεσμάτων της επαλήθευσης έγινε με βάση τις ίδιες στατιστικές παραμέτρους που χρησιμοποιήθηκαν και για την αξιολόγηση των αποτελεσμάτων της ρύθμισης του μοντέλου. Οι παράμετροι αυτές παρουσιάζονται στον Πίνακα 5.24, μαζί με τις αντίστοιχες τις ρύθμισης. Συγκρίνοντας τις τιμές των στατιστικών παραμέτρων με τις αντίστοιχες της ρύθμισης (Πίνακας 5.24), επιβεβαιώνεται το συμπέρασμα ότι τα αποτελέσματα της επαλήθευσης του μοντέλου είναι εξίσου ικανοποιητικά με αυτά της ρύθμισης. Πίνακας Στατιστικές παράμετροι για την αξιολόγηση της επαλήθευσης του μοντέλου. Ρύθμιση Επαλήθευση αριθμός παρατηρήσεων φορτίου αντικειμενική συνάρτηση ελαχίστων τετραγώνων διακύμανση τυπική απόκλιση συντελεστής συσχέτισης αντικειμενική συνάρτηση μέγιστης πιθανότητας στατιστική παράμετρος AIC στατιστική παράμετρος BIC ελάχιστο μη σταθμισμένο υπόλοιπο μέγιστο μη σταθμισμένο υπόλοιπο μέσο μη σταθμισμένο υπόλοιπο ελάχιστο σταθμισμένο υπόλοιπο μέγιστο σταθμισμένο υπόλοιπο μέσο σταθμισμένο υπόλοιπο ελάχιστο απόλυτο μη σταθμισμένο υπόλοιπο μέσο απόλυτο μη σταθμισμένο υπόλοιπο rms μη σταθμισμένων υπολοίπων ελάχιστο απόλυτο σταθμισμένο υπόλοιπο μέσο απόλυτο σταθμισμένο υπόλοιπο rms σταθμισμένων υπολοίπων τροπ. συντελεστής αποτελεσματικότητας (μη σταθμισμένα υπόλοιπα) τροπ. δείκτης συμφωνίας (μη σταθμισμένα υπόλοιπα) τροπ. συντελεστής αποτελεσματικότητας (σταθμισμένα υπόλοιπα) τροπ. δείκτης συμφωνίας (σταθμισμένα υπόλοιπα) Στον Πίνακα 5.25 παρουσιάζεται ο υδατικό ισοζύγιο για τους 4 μήνες που διαρκεί η επαλήθευση. Ο Πίνακας 5.26 είναι αντίστοιχος με τον Πίνακα 5.23, το ισοζύγιο όμως του 3 ου έτους είναι το συνολικό: συμπεριλαμβάνονται και οι 4 μήνες της επαλήθευσης. Οι στήλες που αφορούν τα πρώτα 2 έτη δεν έχουν μεταβληθεί, παρουσιάζονται όμως ξανά για να είναι δυνατή η σύγκριση με το 3 ο έτος. Παρατηρούμε ότι για το διάστημα της επαλήθευσης, που αντιστοιχεί στη θερινή περίοδο του 3 ου έτους, η επαναπλήρωση από βροχοπτώσεις έχει σχεδόν μηδενιστεί και το σύνολο του διαθέσιμου νερού προέρχεται από τις πλευρικές εισροές (wells) και το νερό που είναι ήδη αποθηκευμένο στον υδροφορέα (storage). Η εισροή από το όριο εμφανίζεται

208 193 αυξημένη, αλλά σε ετήσια βάση δεν ξεπερνά το 1%, όπως και τα 2 πρώτα έτη της προσομοίωσης. Στη διάρκεια αυτών των 4 μηνών μειώνεται στο ελάχιστο η αποθήκευση νερού στον υδροφορέα. Επίσης, μειώνονται κατά πολύ οι ποσότητες νερού που εκρέουν προς τη θάλασσα και η εκφόρτιση του υδροφορέα από τις πηγές. Οι αντλήσεις για την κάλυψη των αρδευτικών αναγκών φτάνουν το 70% του διαθέσιμου γι' αυτήν την περίοδο νερού. Πίνακας Υδατικό ισοζύγιο των 4 μηνών της επαλήθευσης. επαλήθευση (4 μήνες) storage (αποθήκευση) % constant head (εισροή από το όριο γνωστού φορτίου) % wells (πλευρικές εισροές) % recharge (επαναπλήρωση από βροχοπτώσεις) % TOTAL IN % storage (αποθήκευση) % constant head (εκροή από το όριο γνωστού φορτίου) % wells (αρδευτικές και υδρευτικές γεωτρήσεις) % drains (εκφόρτιση από τις πηγές) % TOTAL OUT % IN - OUT -972 PERCENT DISCREPANCY 0.00% Πίνακας Ετήσιο υδατικό ισοζύγιο για τη συνολική διάρκεια της προσομοίωσης (ρύθμιση + επαλήθευση). 1 ο έτος 2 ο έτος 3 ο έτος (σύνολο) storage % storage % storage % constant head % constant head % constant head % wells % wells % wells % recharge % recharge % recharge % TOTAL IN % TOTAL IN % TOTAL IN % storage % storage % storage % constant head % constant head % constant head % wells % wells % wells % drains % drains % drains % TOTAL OUT % TOTAL OUT % TOTAL OUT IN - OUT 1 IN - OUT -362 IN - OUT PERCENT 0.00 PERCENT 0.00 PERCENT 0.00 DISCREPANCY DISCREPANCY DISCREPANCY Σε ετήσια βάση, βλέπουμε ότι το 3 ο έτος η επαναπλήρωση του υδροφορέα από τις πλευρικές εισροές και τις βροχοπτώσεις μειώνεται σε σχέση με το 2 ο έτος, με συνέπεια να απαιτείται μεγαλύτερη ποσότητα αποθηκευμένου νερού για την εξισορρόπηση εισροώνεκροών. Οι αντλήσεις του 3 ου έτους είναι μειωμένες κατά απόλυτη τιμή, το ποσοστό τους όμως στο ετήσιο ισοζύγιο είναι αυξημένο. Η αποθήκευση νερού παρουσιάζει τη χαμηλότερη

209 194 ετήσια τιμή και ως όγκος νερού και ως ποσοστό του ισοζυγίου, σε αντίθεση με την εκροή προς τη θάλασσα και την εκφόρτιση από τις πηγές. Αυτό οφείλεται στο ότι το φορτίο στο νότιο τμήμα του υδροφορέα διατηρείται αρκετά υψηλό, ενώ κατά περιοχές στο βόρειο τμήμα είναι χαμηλότερο από το αναμενόμενο (σύμφωνα με τις υπάρχουσες μετρήσεις). Όπως φάνηκε από τα αποτελέσματα της ρύθμισης και της ανάλυσης ευαισθησίας και επιβεβαιώθηκε από τα αποτελέσματα της επαλήθευσης, παρουσιάζεται μια άνιση κατανομή του διαθέσιμου νερού μεταξύ του νότιου τμήματος και ενός μέρους του βόρειου τμήματος του μοντέλου. Οι σημαντικότεροι παράγοντες που συμβάλλουν σ' αυτό σχετίζονται με τις κύριες συνιστώσες του υδατικού ισοζυγίου, την αποθήκευση στον υδροφορέα, τις πλευρικές εισροές και τις αντλήσεις για την κάλυψη των αρδευτικών αναγκών. Το υψόμετρο του πυθμένα, το οποίο, σε συνδυασμό με το υψόμετρο του εδάφους, καθορίζει το πάχος του υδροφορέα, επηρεάζει σημαντικά τον όγκο του νερού που αποθηκεύεται στο σύστημα. Ο ορισμός αυτού του υψομέτρου, στηρίζεται σε ελλιπείς πληροφορίες, λόγω του μικρού αριθμού διαθέσιμων τομών μεγάλου βάθους και λόγω της αδυναμίας άλλων μεθόδων (π.χ. ηλεκτρικών διασκοπήσεων) να βεβαιώσουν την ύπαρξη και να προσδιορίσουν τη θέση αδιαπέρατου υποβάθρου. Σ' ένα βαθμό, το σφάλμα που εισάγεται με αυτόν τον τρόπο στο μοντέλο ενσωματώνεται στις τιμές των υδρογεωλογικών παραμέτρων. Μπορεί πάντως να επηρεάζει σε διαφορετικό βαθμό την αποτελεσματικότητα του μοντέλου κατά περιοχές. Ο υπολογισμός των ετήσιων πλευρικών εισροών βασίζεται στις ετήσιες βροχοπτώσειςχιονοπτώσεις, στην έκταση που θεωρείται ότι συνεισφέρει στην τροφοδοσία του υδροφορέα και στο ποσοστό κατείσδυσης, που εξαρτάται από το είδος των πετρωμάτων. Στην περιοχή του Ολύμπου το ποσοστό κατείσδυσης θεωρήθηκε ίσο με 45%. Είναι μια συντηρητική εκτίμηση, αφού σε καρστικά πετρώματα θεωρείται ότι το ποσοστό αυτό κυμαίνεται από 45% ως 55%. Αλλά και το ετήσιο ύψος βροχόπτωσης είναι θεωρητικά μικρότερο από το πραγματικό, αφού, λόγω έλλειψης δεδομένων άλλων σταθμών, χρησιμοποιήθηκαν τα δεδομένα του σταθμού του Αγίου Δημητρίου, τα οποία είναι συνήθως χαμηλότερα από αυτά των γειτονικών του. Επειδή, από το συνολικό όγκο του νερού που τροφοδοτεί το σύστημα του Ολύμπου, το ποσοστό που κατευθύνεται πιο νότια από τα όρια του μοντέλου είναι δύσκολο να εκτιμηθεί, προτιμήθηκε η συντηρητική επιλογή στον τελικό υπολογισμό των πλευρικών εισροών από τον Όλυμπο, αυτό όμως δεν φαίνεται να δημιουργεί πρόβλημα στη λειτουργία του μοντέλου. Στην περιοχή των Πιερίων, οι ετήσιες πλευρικές εισροές αντιπροσωπεύουν την κατείσδυση των νερών των ρεμάτων πριν από το βορειοδυτικό όριο του μοντέλου, αλλά και ένα ποσοστό της κατείσδυσης στα νεογενή στην ίδια περιοχή. Το ποσοστό κατείσδυσης των βροχοπτώσεων στα νεογενή θεωρείται ότι κυμαίνεται μεταξύ 15%

210 195 και 25%. Και σ' αυτήν την περίπτωση προτιμήθηκε η συντηρητική επιλογή του 15%, γιατί στις υπάρχουσες μελέτες δεν περιλαμβάνεται εκτίμηση του όγκου του νερού που εισρέει με αυτόν τον τρόπο στο σύστημα, ούτε και εκτίμηση της έκτασης που συνεισφέρει σ' αυτό. Η περιοχή στην οποία το μοντέλο υποεκτιμά το φορτίο, τροφοδοτείται κυρίως από τα Πιέρια και επηρεάζεται σημαντικά από τις τιμές των ετήσιων πλευρικών εισροών από αυτά. Για να ελεγχθεί η επίδραση αυτών των δύο παραγόντων έγιναν δοκιμές με διαφορετικά κατά περιοχές υψόμετρα πυθμένα, αυξημένες τιμές πλευρικών εισροών από τα Πιέρια και συνδυασμούς των δύο παραγόντων. Βελτίωση της επιτυγχανόμενης προσέγγισης των παρατηρήσεων φορτίου στο βορειοδυτικό τμήμα του μοντέλου είναι δυνατή κυρίως με την αύξηση των εισροών από τα Πιέρια. Η αύξηση αυτή δεν υιοθετήθηκε ως λύση γιατί έρχεται σε αντίθεση με τις υπάρχουσες υδρογεωλογικές μελέτες. Θα πρέπει να συγκεντρωθούν περισσότερα υδρογεωλογικά δεδομένα για το τμήμα αυτό του υδροφορέα και βάσει αυτών να αναπροσαρμοστεί το μοντέλο και το υδατικό ισοζύγιό του. Οι αντλήσεις για την κάλυψη των αρδευτικών αναγκών εκτιμήθηκαν με βάση την εξατμισοδιαπνοή, την κατανομή των καλλιεργειών και τις αντίστοιχες αρδευόμενες εκτάσεις αυτών. Πιθανά όμως να έχουν υπερεκτιμηθεί οι αντλούμενες ποσότητες στην περιοχή που παρουσιάζεται η υποεκτίμηση του φορτίου σε σχέση με τις μετρήσεις. Καταλήγοντας, μπορούμε να θεωρήσουμε ικανοποιητικά τα αποτελέσματα του μοντέλου, με βάση τις στατιστικές παραμέτρους που χρησιμοποιούνται για την αξιολόγησή του, ιδιαίτερα αν λάβουμε υπόψη τις ελλείψεις των δεδομένων που είναι απαραίτητα για την καλύτερη δυνατή αναπαράσταση του πραγματικού φυσικού συστήματος Σενάρια διαχείρισης Στόχος της βιώσιμης διαχείρισης ενός υδροφορέα ή συστήματος υδροφορέων είναι να εξασφαλίσει την κάλυψη των αναγκών των χρηστών, αποτρέποντας ταυτόχρονα την υποβάθμιση της ποιότητας του υπόγειου νερού και την εξάντληση των αποθεμάτων του. Στην πεδιάδα της Κατερίνης, που αποτελεί την περιοχή μελέτης της παρούσας εργασίας, ο κύριος χρήστης νερού είναι η αρδευόμενη γεωργία. Η κάλυψη των αρδευτικών αναγκών της περιοχής γίνεται σχεδόν αποκλειστικά από υπόγεια νερά, με ιδιωτικές γεωτρήσεις, οι οποίες είναι διάσπαρτες, με μεγάλη πυκνότητα, σε όλη την πεδινή περιοχή. Σε μελέτη που έγινε στο παρελθόν για την αξιοποίηση του υπόγειου υδατικού δυναμικού της πεδιάδας της Κατερίνης, οι μελλοντικές ανάγκες άρδευσης υπολογίζονταν περίπου στα 70,000,000 m 3 (ΟΤΜΕ, ΥΔΡΟΕΞΥΓΙΑΝΤΙΚΗ, 1985). Σήμερα, οι αρδευτικές ανάγκες φτάνουν και ξεπερνούν τα 90,000,000 m 3. Παράλληλα, αυξάνεται και η ζήτηση για την κάλυψη των υδρευτικών αναγκών, καθώς όλο και περισσότεροι δήμοι της περιοχής τροφοδοτούν τα δίκτυά τους από

211 196 γεωτρήσεις. Ωστόσο, αν και οι αρνητικές συνέπειες της παρούσας κατάστασης γίνονται αισθητές, ιδιαίτερα στο βόρειο μισό της περιοχής μελέτης, μετά από συνεχόμενα ξηρά έτη, δεν έχει παρατηρηθεί μόνιμη υποβάθμιση της ποιότητας του υπόγειου νερού ή διείσδυση του θαλάσσιου νερού στον υδροφορέα και η παρατηρούμενη πτώση της στάθμης είναι σε ανεκτά ακόμη επίπεδα. Είναι φανερό όμως ότι πρέπει να ληφθούν μέτρα ώστε να αποφευχθεί η επιδείνωση της κατάστασης, πριν φτάσουν οι αρνητικές συνέπειες να είναι μη αναστρέψιμες. Το μαθηματικό μοντέλο για τα υπόγεια νερά της περιοχής είναι ένα απαραίτητο εργαλείο σ' αυτήν την προσπάθεια, σε συνδυασμό με το δίκτυο παρακολούθησης της κατάστασης του υδροφορέα και καταγραφής των απαραίτητων δεδομένων. Στην πεδιάδα της Κατερίνης δεν μπορεί ουσιαστικά να εφαρμοσθεί κανένα πλάνο διαχείρισης του υπόγειου υδατικού δυναμικού όσο η άρδευση των καλλιεργειών της περιοχής στηρίζεται στη χρήση ιδιωτικών γεωτρήσεων, αφού στην πράξη είναι αδύνατος ο έλεγχος της λειτουργίας τους. Μακροπρόθεσμα, οι αρδευτικές ανάγκες θα πρέπει να καλυφθούν από ένα ή περισσότερα συλλογικά αρδευτικά δίκτυα, τροφοδοτούμενα είτε από υπάρχουσες είτε και από νέες γεωτρήσεις. Στα πλαίσια αυτής της διατριβής, το μαθηματικό μοντέλο που καταρτίστηκε για τα υπόγεια νερά της πεδιάδας της Κατερίνης, ενδεικτικά, χρησιμοποιήθηκε για τον έλεγχο 2 βασικών σεναρίων, που αφορούν τον τρόπο κάλυψης των αρδευτικών αναγκών της περιοχής: Σενάριο Α: οι ανάγκες άρδευσης εξακολουθούν να καλύπτονται, όπως και στις εκτελέσεις ρύθμισης και επαλήθευσης, από τις διάσπαρτες ιδιωτικές γεωτρήσεις. Οι αντλούμενες παροχές θεωρούνται ίδιες με αυτές του 1ου έτους της ρύθμισης κι έχουν υπολογιστεί με βάση την πραγματική εξατμισοδιαπνοή και τις εκτάσεις των καλλιεργειών ανά υποπεριοχή ομοιόμορφης κατανομής τους (παρ. 4.8 και 5.2.7). Στο Σχήμα 5.56 φαίνονται τα πολύγωνα (area wells) που απεικονίζουν τις υποπεριοχές άντλησης και στον Πίνακα 5.27 παρουσιάζονται οι παροχές (m 3 /d) που αντλούνται από κάθε υποπεριοχή για κάθε μήνα της αρδευτικής περιόδου. Η παροχή που αντιστοιχεί σε κάθε πολύγωνο μοιράζεται εξίσου στα κελιά που αυτό περικλείει. Πίνακας Οι ημερήσιες παροχές άντλησης για την κάλυψη αρδευτικών αναγκών, ανά περιοχή, για κάθε μήνα της αρδευτικής περιόδου - σενάριο Α. περιοχή παροχή άντλησης (m 3 /d) Μάιος Ιούνιος Ιούλιος Αύγουστος 1α β α β γ δ συνολική παροχή

212 197 1β 1α 2 3γ 3α 3δ 3β Σχήμα Περιοχές άντλησης για την κάλυψη των αρδευτικών αναγκών - σενάριο Α. Σενάριο Β: το σύνολο των αρδευτικών αναγκών καλύπτεται από γεωτρήσεις στο νότιο τμήμα του μοντέλου. Η περιοχή άντλησης φαίνεται στο Σχήμα Η ημερήσια αντλούμενη παροχή για κάθε μήνα της αρδευτικής περιόδου είναι ίση με το άθροισμα των παροχών που αντλούνται από τις υποπεριοχές του σεναρίου Α (τελευταία σειρά του Πίνακα 5.27).

213 198 Σχήμα Περιοχή άντλησης για την κάλυψη των αρδευτικών αναγκών - σενάριο Β. Η προσομοίωση ξεκίνησε την 1 η Σεπτεμβρίου Ως αρχική συνθήκη χρησιμοποιήθηκε η κατανομή του φορτίου που υπολογίστηκε από το μοντέλο για την 31 η Αυγούστου 1995 (τέλος της επαλήθευσης). Επειδή η αβεβαιότητα των προβλέψεων αυξάνεται όταν οι συνθήκες διαφέρουν πολύ από αυτές για τις οποίες έχει ρυθμιστεί ένα μοντέλο, οι οριακές συνθήκες και οι ασκούμενες πιέσεις στο σύστημα επιλέχθηκε να είναι ίδιες με αυτές του 1 ου έτους της προσομοίωσης ρύθμισης, που ήταν και το πιο ξηρό από τα τρία έτη. Η διάρκεια της προσομοίωσης ήταν ένα έτος (1/9/ /8/1996). Ο χρόνος

214 199 διαιρέθηκε σε μηνιαίες χρονικές περιόδους και το χρονικό βήμα σε κάθε περίοδο ήταν σταθερό και ίσο με 1 ημέρα. Ανανεωμένες τιμές γνωστού φορτίου στο ανατολικό όριο του μοντέλου δίνονταν για την τελευταία ημέρα κάθε μήνα. Τα πιεζομετρικά φορτία την 31 η Αυγούστου 1996, όπως υπολογίστηκαν με το σενάριο Α και το σενάριο Β, παρουσιάζονται αντίστοιχα στα Σχήματα 5.58 και Η πιεζομετρική πτώση σε σχέση με την αρχική συνθήκη, για την ίδια ημερομηνία, φαίνεται στο Σχήμα 5.60 για το σενάριο Α και στο Σχήμα 5.61 για το σενάριο Β. Σχήμα Ισοπιεζομετρικές καμπύλες την 31/8/ σενάριο Α.

215 Σχήμα Ισοπιεζομετρικές καμπύλες την 31/8/ σενάριο Β. 200

216 201 Σχήμα Πιεζομετρική πτώση σε σχέση με την αρχική συνθήκη, την 31/8/1996 (1ο έτος πρόβλεψης - σενάριο Α).

217 202 Σχήμα Πιεζομετρική πτώση σε σχέση με την αρχική συνθήκη, την 31/8/1996 (1 ο έτος πρόβλεψης - σενάριο Β). Όπως είναι αναμενόμενο, με το σενάριο Α παρατηρείται πτώση του φορτίου σε όλη την έκταση του μοντέλου. Η πιεζομετρική πτώση είναι μεγαλύτερη στο νότιο τμήμα από ότι στο βόρειο. Με το σενάριο Β το φορτίο στο βόρειο τμήμα αυξάνεται και στο νότιο μειώνεται μέχρι περίπου 8 m. Όπως φαίνεται από τα υδατικά ισοζύγια των δύο σεναρίων (Πίνακας 5.28), η εισροή από το όριο γνωστού φορτίου είναι μεγαλύτερη για το σενάριο Α από ότι για

218 203 το σενάριο Β. Υπενθυμίζεται ότι το όριο γνωστού φορτίου βρίσκεται προς την πλευρά της ακτής και η εισροή από αυτό το όριο θα μπορούσε να σημαίνει διείσδυση θαλασσινού νερού. Πίνακας Το υδατικό ισοζύγιο των σεναρίων Α και Β (διάρκεια προσομοίωσης = 1 έτος) σενάριο Α σενάριο Β storage (αποθήκευση) constant head (εισροή από το όριο γνωστού φορτίου) wells (πλευρικές εισροές) recharge (επαναπλήρωση από βροχοπτώσεις) TOTAL IN storage (αποθήκευση) constant head (εκροή από το όριο γνωστού φορτίου) wells (αρδευτικές και υδρευτικές γεωτρήσεις) drains (εκφόρτιση από τις πηγές) TOTAL OUT IN - OUT PERCENT DISCREPANCY Στα Σχήματα 5.62 και 5.63 παρουσιάζεται ενδεικτικά η παροχή που εισέρχεται ή εξέρχεται από το όριο γνωστού φορτίου σε 2 από τα 58 κελιά του ορίου, για καθένα από τα δύο σενάρια. Το Σχήμα 5.62 αφορά το κελί (46,7), το οποίο βρίσκεται στο βόρειο τμήμα, ενώ το Σχήμα 5.63 αφορά το κελί (21,3) του νότιου τμήματος. Στον άξονα των y έχουμε την παροχή που εισέρχεται ή εξέρχεται από το κελί (θετικές ή αρνητικές τιμές αντίστοιχα) από το όριο και στον άξονα των το χρόνο προσομοίωσης (σε ημέρες). Μέχρι την 243 η ημέρα (30 Απριλίου 1996) τα γραφήματα Α και Β και στα δύο σχήματα είναι ίδια μεταξύ τους, γιατί όλες οι συνθήκες είναι ίδιες για τα δύο σενάρια, εκτός από τις αντλήσεις των αρδεύσεων, οι οποίες ξεκινούν την 1 η Μαΐου. Στο κελί (46,7) παρατηρείται εισροή στην έναρξη της προσομοίωσης (time = 0, αρχική συνθήκη). Η τιμή του φορτίου στις 30 Σεπτεμβρίου (30 η μέρα) είναι χαμηλή, γι' αυτό η εισροή σε κάθε βήμα μειώνεται και μετατρέπεται σε εκροή. Αντίστροφα, το φορτίο στις 31 Οκτωβρίου (61 η μέρα) είναι υψηλό και γι' αυτό παρατηρείται και πάλι εισροή από το όριο. Στη συνέχεια και μέχρι το τέλος Απριλίου, σ' αυτό το κελί το νερό εκρέει από τον υδροφορέα. Η τιμή του φορτίου που δίνεται γι' αυτό το κελί την 31 η Μαΐου (274 η μέρα) είναι η ίδια και στα δύο σενάρια, στο σενάριο Α όμως για να επιτευχθεί αυτή η τιμή απαιτείται εισροή νερού, ενώ στο σενάριο Β συνεχίζεται η εκροή. Το ίδιο ισχύει και για την 31 η Ιουλίου και την 31 η Αυγούστου (335 η και 366 η μέρα αντίστοιχα).

219 (A) Flow Rates: scen1a.bud (col 46, row 7) Flow Rate Time Flow Rate ,000-1,100-1,200 (B) Flow Rates: scen2a.bud (col 46, row 7) Time Σχήμα Παροχή (m 3 /day) που εισέρχεται ή εξέρχεται από το όριο γνωστού φορτίου για το κελί (46,7), με το σενάριο Α (Α) και με το σενάριο Β (Β). Αντίστοιχα, στο κελί (21,3) τα φορτία που δίνονται για τους μήνες Μάιο ως Αύγουστο (274 η, 304 η, 335 η, 366 η μέρα) για το σενάριο Α θεωρούνται σχετικά ψηλά, με αποτέλεσμα η εκροή να μειώνεται σταδιακά και στο τέλος να μετατρέπεται σε εισροή. Για το σενάριο Β, τα φορτία του Ιουλίου και του Αυγούστου προκαλούν τη μείωση της εκροής, χωρίς όμως τελικά να αλλάξει κατεύθυνση η κίνηση του νερού. Από τη σύγκριση των υδατικών ισοζυγίων όλων των κελιών που ανήκουν στο όριο γνωστού φορτίου, προκύπτει ότι η αύξηση της εισροής του σεναρίου Α παρατηρείται σε όλα τα οριακά κελιά, είναι όμως μεγαλύτερη για τα κελιά που βρίσκονται στο βόρειο μισό του ορίου. Επομένως, στην πραγματικότητα, η πτώση της στάθμης με το σενάριο Α θα είναι κάπως μεγαλύτερη από αυτή του Σχήματος 5.60, ιδιαίτερα στο βόρειο τμήμα.

220 205 (A) Flow Rates: scen1a.bud (col 21, row 3) ,000-1,500 Flow Rate -2,000-2,500-3,000-3,500-4,000-4,500-5, Time (B) Flow Rates: scen2a.bud (col 21, row 3) -1,000-1,500-2,000 Flow Rate -2,500-3,000-3,500-4,000-4,500-5, Time Σχήμα Παροχή (m 3 /day) που εισέρχεται ή εξέρχεται από το όριο γνωστού φορτίου για το κελί (21,3), με το σενάριο Α (Α) και με το σενάριο Β (Β). Όπως αναφέρθηκε στην αρχή της παραγράφου, οι τιμές του γνωστού φορτίου στο όριο είναι οι ίδιες με αυτές του πρώτου έτους της προσομοίωσης ρύθμισης (είχαν προκύψει με παρεμβολή σε μετρήσεις φορτίου παραλιακών γεωτρήσεων για τους αντίστοιχους μήνες), επομένως δεν αντιστοιχούν στις συνθήκες της προσομοίωσης. Γι' αυτό, μειώθηκαν ποσοστιαία, με δοκιμές, βάσει των αντίστοιχων γραφημάτων εισροής/εκροής για κάθε κελί του ορίου και για κάθε σενάριο, ώστε να απαλειφθεί κατά το δυνατόν η επίδραση αυτής της οριακής συνθήκης. Η διάρκεια της προσομοίωσης παρατάθηκε στα 3 έτη, με τα ίδια ετήσια δεδομένα πλευρικών εισροών, εμπλουτισμού από βροχοπτώσεις και αντλήσεων. Στο Σχήμα 5.64 παρουσιάζεται το φορτίο την 31 η Αυγούστου 1998, όπως υπολογίστηκε με το σενάριο Α, με τη μορφή ισοπιεζομετρικών καμπυλών. Η αντίστοιχη πιεζομετρική πτώση σε σχέση με την αρχική συνθήκη, παρουσιάζεται στο Σχήμα Παρατηρούμε ότι η

221 206 μέγιστη πιεζομετρική πτώση είναι περίπου 7 m, το φορτίο όμως σε τμήματα κατά μήκος του ανατολικού ορίου πέφτει κάτω από τα 10 cm και στο βόρειο άκρο του μοντέλου παίρνει αρνητικές τιμές. Σχήμα Ισοπιεζομετρικές καμπύλες την 31/8/1998 (3 ο έτος πρόβλεψης - σενάριο Α).

222 Σχήμα Πιεζομετρική πτώση (m) σε σχέση με την αρχική συνθήκη, την 31/8/1998 (3 ο έτος πρόβλεψης - σενάριο Α). 207

223 208 Στα Σχήματα 5.66 και 5.67 φαίνονται το φορτίο για την ίδια ημερομηνία και η αντίστοιχη πιεζομετρική πτώση, υπολογισμένα με το σενάριο Β. Σ' αυτή την περίπτωση, η μέγιστη πιεζομετρική πτώση είναι μεγαλύτερη (σχεδόν 11 m), δεν παρατηρούνται όμως αρνητικές τιμές φορτίου και το φορτίο σε όλο σχεδόν το μήκος του ανατολικού ορίου είναι περίπου 2 m. Σχήμα Ισοπιεζομετρικές καμπύλες την 31/8/1998 (3 ο έτος πρόβλεψης - σενάριο Β).