ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Διδάσκων: Δρ. Εμμανουήλ Θ. Μιχαηλίδης Ασκήσεις #1 Δορυφορικές Τροχιές

2 Άσκηση 1 2 Η Γη περιστρέφεται μία φορά ανά αστρική ημέρα των 23 h, 56 min, 4.09 s. Αποδείξτε ότι η ακτίνα ενός GEO είναι 42, km. Σημείωση: Υποθέστε ότι η σταθερά μ έχει την τιμή km 3 /s 2. Λύση: Ισχύει ότι T T a 2 a 2 4 Για μια αστρική μέρα, T= 86,164.09sec. Άρα, a 42, km Αυτή είναι η ακτίνα τροχιάς για ένα γεωστατικό δορυφόρο.

3 Άσκηση 2 3 Το Space Shuttle (διαστημικό λεωφορείο) είναι ένα παράδειγμα δορυφόρου χαμηλής τροχιάς (LEO).

4 Άσκηση 2 4 Μερικές φορές, βρίσκεται σε τροχιά σε ένα ύψος 250 km πάνω από την επιφάνεια της Γης, όπου εξακολουθεί να υπάρχει ένας πεπερασμένος αριθμός μορίων από την ατμόσφαιρα. Η μέση ακτίνα της Γης είναι περίπου 6, km. Χρησιμοποιώντας αυτούς τους αριθμούς, υπολογίστε την περίοδο της τροχιάς του διαστημικού λεωφορείου όταν το ύψος είναι 250 km και η τροχιά είναι κυκλική. Βρείτε επίσης τη γραμμική ταχύτητα του διαστημικού λεωφορείου κατά μήκος της τροχιάς του. Σημείωση: Υποθέστε ότι η μέση ακτίνα της Γης είναι 6, km και ότι η σταθερά μ έχει την τιμή km 3 /s 2.

5 Άσκηση 2 5 Λύση: Η ακτίνα της τροχιάς του Space Shuttle σε ύψος 250 km είναι ίση με: rre h6, , km Η περίοδος της τροχιάς είναι ίση με: 3 a T 2 5, sec 89 minutes 30.3 sec. Αυτή η περίοδος είναι περίπου η μικρότερη δυνατή. Σε ένα χαμηλότερο ύψος, η τριβή με την ατμόσφαιρα της Γης θα επιβραδύνει γρήγορα το Shuttle και αυτό θα επιστρέψει στη Γη. Έτσι, όλα τα διαστημικά σκάφη σε σταθερή γήινη τροχιά έχουν τροχιακές περιόδους άνω των 89 minutes 30 sec.

6 Άσκηση 2 6 Η περιφέρεια της τροχιάς είναι: 2a 41, km Άρα, η ταχύτητα του Shuttle σε τροχιά είναι: 2a v km/sec T Εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο τύπος v s r Μια ταχύτητα περίπου 7.8 km/sec είναι μια αντιπροσωπευτική ταχύτητα για ένα δορυφόρο χαμηλής τροχιάς (LEO). Φροντίστε να διατηρείτε τις μονάδες ίδιες κατά τους υπολογισμούς σας!!!

7 Άσκηση 3 7 Ένας δορυφόρος είναι σε ελλειπτική τροχιά με περίγειο km και απόγειο km. Χρησιμοποιώντας μια μέση ακτίνα Γης 6, km, βρείτε την περίοδο της τροχιάς σε ώρες, λεπτά και δευτερόλεπτα, καθώς και την εκκεντρότητα της τροχιάς. Σημείωση: Υποθέστε ότι η σταθερά μ έχει την τιμή km 3 /s 2. Λύση: Ο μεγάλος άξονας της ελλειπτικής τροχιάς είναι μια ευθεία γραμμή μεταξύ του απογείου και του περιγείου.

8 Άσκηση 3 8 Άρα, το μήκος του μεγάλου ημιάξονα της έλλειψης είναι: a 2r r r E p a 2 8, km H τροχιακή περίοδος είναι ίση με: 3 a T 2 8, sec 138 min sec 2 h 18 min sec

9 Άσκηση 3 9 Η εκκεντρότητα της τροχιάς δίνεται από το e, το οποίο μπορεί να βρεθεί λαμβάνοντας υπόψη τη στιγμή στην οποία ο δορυφόρος βρίσκεται στο περίγειο. Τότε, η εκκεντρική ανωμαλία E = 0 και r 0 = r E + r p.

10 Άσκηση 3 10 Άρα, έχουμε ότι: r0 a 1ecosE r r a 1ecos0 E p r r a 1e E p re r e 1 a e p

11 Άσκηση 4 11 Ένας δορυφόρος είναι σε κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη. Το ύψος της τροχιάς του δορυφόρου πάνω από την επιφάνεια της Γης είναι 1,400 km. (i) Ποια είναι η κεντρομόλος και η φυγόκεντρος επιτάχυνση που ενεργεί στο δορυφόρο στην τροχιά του; Δώστε την απάντησή σας σε m/s 2. (ii) Ποια είναι η ταχύτητα του δορυφόρου σε αυτή την τροχιά; Δώστε την απάντησή σας σε km/s. (iii) Ποια είναι η τροχιακή περίοδος του δορυφόρου σε αυτή την τροχιά; Δώστε την απάντησή σας σε ώρες, λεπτά και δευτερόλεπτα. Σημείωση: Υποθέστε ότι η μέση ακτίνα της Γης είναι 6, km και ότι η σταθερά μ έχει την τιμή km 3 /s 2.

12 Άσκηση 4 12 Λύση: i) Αφού ο δορυφόρος είναι σε σταθερή τροχιά, επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας α β και η φυγόκεντρος επιτάχυνση α φ είναι ίσες. Σε απόσταση r από το κέντρο της Γης ισχύει ότι: a / r Όμως, r = 6, ,400 = 7, km. Συνεπώς, α β = m/s 2. 2 ii) Για την ταχύτητα του δορυφόρου σε μια κυκλική τροχιά ισχύει ότι: v / r k m/s iii) Τέλος, για την τροχιακή περίοδο ισχύει ότι: T 2r 3/2 1 hour 53 minutes seconds

13 Άσκηση 5 13 Ένας δορυφόρος σε μια ελλειπτική τροχιά γύρω από τη Γη έχει απόγειο 39,152 km και περίγειο 500 km. Ποια είναι η τροχιακή περίοδος αυτού του δορυφόρου; Δώστε την απάντησή σας σε ώρες. Σημείωση: Υποθέστε ότι η μέση ακτίνα της Γης είναι 6, km και ότι η σταθερά μ έχει την τιμή km 3 /s 2.

14 Άσκηση 5 14 Λύση: Ισχύει ότι: a = (39,152 + (2x6, ) + 500)/2 = 26, km Άρα, η περίοδος της τροχιάς είναι ίση με: T 2a 3/2 11 hours 43 minutes 34.9 seconds

15 Άσκηση 6 15 Μια συγκεκριμένη αποστολή διαστημικού οχήματος εκτόξευσε ένα δορυφόρο «Tracking and Data Relay Satellite System TDRSS)» σε κυκλική χαμηλή τροχιά, με ύψος τροχιάς 270 km. Η τροχιά του διαστημικού οχήματος ήταν κεκλιμένη ως προς τον ισημερινό της Γης κατά 28 περίπου. Ο δορυφόρος TDRSS έπρεπε να τοποθετηθεί σε γεωστατική τροχιά μεταφοράς (GTO) μόλις θα εκτοξευόταν από το θαλαμίσκο μεταφοράς φορτίου του διαστημικού λεωφορείου, με το απόγειο της GTO σε γεωστατικό ύψος και το περίγειο στο ύψος της τροχιάς του διαστημικού λεωφορείου. (i) Ποια ήταν η εκκεντρότητα της GTO; (ii) Ποια ήταν η περίοδος της GTO; (iii) Ποια ήταν η διαφορά στην ταχύτητα του δορυφόρου στην GTO μεταξύ απογείου και περιγείου; Σημείωση: Υποθέστε ότι η μέση ακτίνα της Γης είναι 6, km και ότι η σταθερά μ έχει την τιμή km 3 /s 2.

16 16 Άσκηση 6

17 Άσκηση 6 17 Λύση: (i) Η γεωστατική τροχιά μεταφοράς θα έχει απόγειο ίσο με 35, km (το ύψος που αντιστοιχεί στη γεωστατική τροχιά) και περίγειο 270 km (το ύψος στο οποίο αφέθηκε ο δορυφόρος TDRSS). Για τον μεγάλο ημιάξονα ισχύει ότι a = (2r e + r p + r a )/2 = 24, km. Επιπλέον, όταν ο δορυφόρος βρίσκεται στο περίγειο, η εκκεντρική ανωμαλία είναι ίση με E = 0 και r 0 = r E + r p (Άσκηση 3). Επιπλέον, r0 a1ecos E. Άρα, η εκκεντρότητα της γεωστατικής τροχιάς μεταφοράς είναι ίση με: e = 1 (r e + r p )/a = (ii) Η περίοδος της τροχιάς είναι ίση με: T 2a 3/2 10 hours 32 minutes seconds (iii) Homework!!!

18 Άσκηση 7 18 Ένας επίγειος σταθμός που βρίσκεται στα Docklands του Λονδίνου χρειάζεται να υπολογίσει τη γωνία σκόπευσης προς ένα γεωστατικό δορυφόρο στον Ινδικό ωκεανό που εκμεταλλεύεται ο Intelsat. Οι λεπτομέρειες της τοποθεσίας του επίγειου σταθμού και του δορυφόρου είναι οι εξής: Το γεωγραφικό πλάτος και το γεωγραφικό μήκος του επίγειου σταθμού είναι 52.0 N και 0. Το γεωγραφικό μήκος του δορυφόρου (υποδορυφορικό σημείο) είναι 66.0 E. i) Βρείτε την κεντρική γωνία γ ii) Βρείτε τη γωνία ανύψωσης El iii) Βρείτε την ενδιάμεση γωνία α iv) Βρείτε τη γωνία αζιμουθίου Az

19 Άσκηση 7 19 Λύση: i) Ισχύει ότι: Άρα, έχουμε ότι: l l L cos cos cos SSP ES ES cos 50 cos Η κεντρική γωνία γ είναι μικρότερη από 81.3 κι έτσι ο δορυφόρος είναι ορατός από τον επίγειο σταθμό. ii) Ισχύει ότι: EL arctan cos / sin arctan / sin

20 Άσκηση 7 20 iii) Ισχύει ότι: tan lssp l tan66 ES arctan arctan sinl ES sin52 iv) Ο επίγειος σταθμός είναι στο βόρειο ημισφαίριο και ο δορυφόρος βρίσκεται στα νοτιοανατολικά του επίγειου σταθμού. Άρα, έχουμε ότι: AZ (δεξιόστροφα από το γεωγραφικό βορρά)

21 Άσκηση 8 21 Για διάφορους λόγους, οι τυπικές ελάχιστες γωνίες ανύψωσης που χρησιμοποιούνται από επίγειους σταθμούς που λειτουργούν στις ζώνες συχνοτήτων των εμπορικών σταθερών υπηρεσιών μέσω δορυφόρου (FSS) είναι οι εξής: C-band: 5, Ku-band: 10 και Ka-band: 20. (i) Υπολογίστε τη μέγιστη και ελάχιστη απόσταση σε χιλιόμετρα από έναν επίγειο σταθμό προς ένα γεωστατικό δορυφόρο στις τρεις ζώνες. (ii) Σε ποιους χρόνους διαδρομής μετ επιστροφής (roundtrip times) διάδοσης σήματος αντιστοιχούν αυτές οι αποστάσεις; Μπορείτε να υποθέσετε ότι το σήμα διαδίδεται με την ταχύτητα του φωτός (3x10 8 m/sec) στο κενό ακόμα και στη χαμηλότερη ατμόσφαιρα της Γης.

22 Άσκηση 8 22 Λύση: Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζεται το σενάριο για την περίπτωση της Ku-band (10 o ελάχιστη γωνία ανύψωσης). S max : Η θέση του γεωστατικού δορυφόρου με μέγιστη απόσταση από τον επίγειο σταθμό S min : Η θέση του γεωστατικού δορυφόρου με ελάχιστη απόσταση από τον επίγειο σταθμό E: Επίγειος σταθμός C: Κέντρο της Γης CE: Ακτίνα της Γης, 6, km ES min : Ύψος του δορυφόρου, 35, km

23 Άσκηση 8 23 (i) Αν εφαρμόσουμε το νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο CES max βρίσκουμε ότι: Επιπλέον, βρίσκουμε ότι: CSmax / sin100 CE / sin (35, , ) / sin100 6, / sin sin Αν εφαρμόσουμε ξανά το νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο CES max βρίσκουμε ότι: E S / sin CS / sin100 max ES max max 40, km

24 Άσκηση 8 24 Ομοίως, για ελάχιστη γωνία ανύψωσης 5 o έχουμε ότι: ES max 41, km και για ελάχιστη γωνία ανύψωσης 20 o έχουμε ότι: ES max 39, km Η ελάχιστη απόσταση μεταξύ δορυφόρου και επίγειου σταθμού είναι ίδια για όλες τις συχνότητες (35, km), θεωρώντας ότι ο επίγειος σταθμός είναι στον ισημερινό και ο δορυφόρος είναι ακριβώς πάνω από τον επίγειο σταθμό.

25 Άσκηση 8 25 ii) Οι χρόνοι διαδρομής μετ επιστροφής (roundtrip times) διάδοσης σήματος που αντιστοιχούν αυτές οι αποστάσεις είναι οι εξής: (C-band) απόσταση 2x41, km msec 8 ταχύτητα 3x10 m/s (Ku-band) απόσταση 2x40, km msec 8 ταχύτητα 3x10 m/s (Ka-band) απόσταση 2x39, km msec 8 ταχύτητα 3x10 m/s

26 Άσκηση 9 26 Ένας δορυφόρος παρατήρησης πρόκειται να τοποθετηθεί σε μια κυκλική ισημερινή τροχιά ώστε να κινείται στην ίδια κατεύθυνση με την περιστροφή της Γης. Χρησιμοποιώντας ένα σύστημα ραντάρ συνθετικού ανοίγματος (Synthetic Aperture Radar SAR), ο δορυφόρος θα αποθηκεύει δεδομένα για τη βαρομετρική πίεση επιφανείας, και άλλες σχετικές με τον καιρό παραμέτρους, καθώς θα πετά από πάνω. Η SAR είναι μια ειδική τεχνική ραντάρ που επιτρέπει στους χρήστες να λαμβάνουν υψηλής ανάλυσης εικόνες ραντάρ από μεγάλες αποστάσεις, π.χ. από το διάστημα. Η τεχνική ραντάρ χρησιμοποιεί μικροκύματα για τη μέτρηση αποστάσεων (περιοχών). Οι εικόνες SAR είναι χρήσιμες για τη μελέτη των χαρακτηριστικών του πάγου και του χιονιού, καθώς και των μεταβολών τους στο χρόνο.

27 Άσκηση 9 27 Αυτά τα δεδομένα θα αναπαράγονται αργότερα σε έναν επίγειο σταθμό ελέγχου μετά από κάθε ταξίδι ανά τον κόσμο. Η τροχιά θα σχεδιαστεί ώστε ο δορυφόρος να είναι ακριβώς πάνω από τον επίγειο σταθμό ελέγχου, ο οποίος βρίσκεται στον ισημερινό, μία φορά κάθε τέσσερις ώρες. Η κεραία του επίγειου σταθμού ελέγχου δεν μπορεί να λειτουργεί κάτω από μια γωνία ανύψωσης 10 ως προς το οριζόντιο επίπεδο σε οποιαδήποτε κατεύθυνση. Θεωρώντας ότι η περίοδος περιστροφής της Γης είναι ακριβώς 24 ώρες, βρείτε τις παρακάτω ποσότητες: α. Τη γωνιακή ταχύτητα του δορυφόρου σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο. β. Την τροχιακή περίοδο σε ώρες. γ. Την ακτίνα τροχιάς σε χιλιόμετρα.

28 Άσκηση 9 28 δ. Το ύψος της τροχιάς σε χιλιόμετρα. ε. Τη γραμμική ταχύτητα του δορυφόρου σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο. στ. Το χρονικό διάστημα σε λεπτά για το οποίο ο επίγειος σταθμός ελέγχου μπορεί να επικοινωνεί με το δορυφόρο σε κάθε πέρασμα. Σημείωση: Υποθέστε ότι η μέση ακτίνα της Γης είναι 6, km και ότι η σταθερά μ έχει την τιμή km 3 /s 2.

29 Άσκηση 9 29 Λύση: α) Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζεται η κίνηση του δορυφόρου και η θέση του επίγειου σταθμού, θεωρώντας ότι ο ισημερινός είναι στο επίπεδο της οθόνης. E: Επίγειος σταθμός S: Δορυφόρος r e : Ακτίνα της Γης, 6, km r s : Ακτίνα της τροχιάς σε km Σημείωση: Τα βέλη πάνω από τον επίγειο σταθμό (Ε) και το δορυφόρο (S) δείχνουν την κατεύθυνση της κίνησης τους.

30 Άσκηση 9 30 Έστω ότι η S είναι η γωνιακή ταχύτητα του δορυφόρου και η e είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της Γης. Τότε έχουμε ότι: e 2 radians 2 radians radians/sec 24 hours 86,400 sec Ο γωνιακός διαχωρισμός τους (angular separation) θα ήταν Δ φ = (η S η e )t. Για την πρώτη φορά που δορυφόρος θα είναι ακριβώς πάνω από τον επίγειο σταθμό έχουμε Δ φ = 0. Τη δεύτερη φορά που ο δορυφόρος θα ξαναβρεθεί πάνω ακριβώς από τον επίγειο σταθμό θα έχουμε ότι Δ φ = ± 2π.

31 Άσκηση 9 31 Θέλουμε, όμως, να ισχύει Δ φ = ± 2π τη χρονική στιγμή t = 4 hours = 14,400 sec. Οπότε, S et 2 S e 14, radia S e ns/ sec Οι πιθανές λύσεις είναι: (i) (ii) S radians/sec radians/sec S Όμως, ο δορυφόρος κινείται στην ίδια κατεύθυνση με την περιστροφή της Γης. Άρα, radians/sec. S

32 Άσκηση 9 32 Εναλλακτική λύση: Σε 4 ώρες η γη περιστρέφεται 60 o ή π/3 ακτίνια. Ένας δορυφόρος που κινείται σύμφωνα με την φορά περιστροφής της Γης θα πρέπει να καλύψει (2π + π/3) σε 4 ώρες για να βρεθεί πάνω ακριβώς από τον επίγειο σταθμό (δηλαδή μια πλήρη περιστροφή και την πρόσθετη απόσταση λόγω περιστροφής της Γης). Οπότε, η γωνιακή ταχύτητα είναι ίση με: η S =(2π + π/3)/4 hours = (2π + π/3)/14,400 = radians/sec. β) Η περίοδος της τροχιάς είναι ίση με T = 2π/η S = 2π/ = 12, sec = 3 hours 25 min sec.

33 Άσκηση 9 33 γ) Η τροχιά του δορυφόρου είναι κυκλική, οπότε η ακτίνα της τροχιάς είναι ίση με τη παράμετρο a. Ισχύει ότι: 2 S 3 T a 2 S 3 a a a 1/3 2/3 S /3 a 11, km 1/3

34 Άσκηση 9 34 δ) Το ύψος της τροχιάς είναι ίσο με την ακτίνα της τροχιάς (από το κέντρο της Γης) μείον την ακτίνα της Γης, δηλαδή: h ar 11, , , km S e ε) Η γραμμική ταχύτητα του δορυφόρου μπορεί να βρεθεί με δύο τρόπους: i) Η ταχύτητα της τροχιάς είναι ίση με v s r km/s ii) Εναλλακτικά, v s a S km/s

35 Άσκηση 9 35 στ) Θεωρούμε το παρακάτω σενάριο:

36 Άσκηση 9 36 Η επικοινωνία μετυαξύ του επίγειου σταθμού και του δορυφόρου είναι εφικτή εάν: φ φ 0 Αν εφαρμόσουμε το νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο CEΑ βρίσκουμε ότι: a/ sin100 r / sin 11, / sin100 6, / sin sin Οπότε, η γωνία ACE είναι ίση με 180 ο 100 ο ο = o. e

37 Άσκηση 9 37 Ο δορυφόρος μετακινείται από τη θέση με γωνία ανύψωσης 90 o στη θέση με γωνία ανύψωσης 10 ο σε χρόνο ίσο με: ACE ˆ radians t Σχετική Γωνιακή Ταχύτητα Δορυφόρου t t , sec min t Οπότε, το χρονικό διάστημα σε λεπτά για το οποίο ο επίγειος σταθμός ελέγχου μπορεί να επικοινωνεί με το δορυφόρο σε κάθε πέρασμα είναι ίσο με 2 t min. 0 10

38 Άσκηση Αναπτύσσεται ένα διαδραστικό πείραμα μεταξύ του Πανεπιστημίου της Υόρκης στην Αγγλία (περίπου E, 53.5 N) και του Τεχνικού Πανεπιστημίου του Γκραζ στην Αυστρία (περίπου 15 E, 47.5 N), όπου θα χρησιμοποιηθεί ένας γεωστατικός δορυφόρος. Οι επίγειοι σταθμοί και στα δύο πανεπιστήμια περιορίζονται να λειτουργούν μόνο πάνω από γωνίες ανύψωσης 20 λόγω των κτιρίων κ.λπ., κοντά στις τοποθεσίες τους. Οι ομάδες στα δύο πανεπιστήμια πρέπει να βρουν ένα γεωστατικό δορυφόρο που θα είναι ορατός ταυτόχρονα και από τα δύο πανεπιστήμια, με τους δύο επίγειους σταθμούς να λειτουργούν σε ή πάνω από μια γωνία ανύψωσης 20. Ποια είναι η απόσταση των υποδορυφορικών σημείων μεταξύ των οποίων πρέπει να βρίσκεται ο επιλεγμένος γεωστατικός δορυφόρος;

41 Άσκηση Λύση: Με δεδομένο ότι τα γεωγραφικά πλάτη των υποδορυφορικών σημείων είναι 0 (βρίσκονται στον ισημερινό), αρκεί να βρούμε τα γεωγραφικά μήκη. Για τους γεωστατικούς δορυφόρους ισχύει η σχέση: l l L cos cos cos SSP ES ES Επίσης, για την γωνία ανύψωσης στους γεωστατικούς δορυφόρους ισχύει η εξής σχέση: sin cosel cos Άρα, πρέπει να βρούμε τη γωνία γ!

42 Άσκηση Έστω Χ = cos(γ), C = cos (El), A = και B = Έχουμε ότι: Αν λύσουμε την εξίσωση βρίσκουμε ότι: 2 BX sin 2 sin C C 1/2 ABX A X C X C B X AC 1 0 ABX X C 2 B C 4 B 2 4 AC 2 1 2

43 Άσκηση Η σωστή λύση είναι αυτή με την θετική ρίζα. Για ελάχιστη γωνία ανύψωσης 20 o, C = και X = Οπότε, γ = arccos( ) = o. i) Για το York έχουμε ότι: cos cos53.5coslssp les cosl l l SSP SSP l ES ES Άρα, η διαφορά μεταξύ των γεωγραφικών πλατών του York και του υποδορυφορικού σημείου είναι o. Το York έχει γεωγραφικό μήκος o E. Οπότε, υπάρχουν δύο λύσεις για την τοποθέτηση του δορυφόρου, μία ανατολικά και μία δυτικά του York. Ωστόσο, ο δορυφόρος θα είναι ορατός από το Graz όταν τοποθετηθεί ανατολικά του York. Άρα: l Ε SSP

44 Άσκηση Για το Gratz έχουμε ότι: cos cos47.5coslssp les cosl l l SSP SSP l ES ES Άρα, η διαφορά μεταξύ των γεωγραφικών πλατών του Gratz και του υποδορυφορικού σημείου είναι o. Το Gratz έχει γεωγραφικό μήκος 15 o E. Οπότε, υπάρχουν δύο λύσεις για την τοποθέτηση του δορυφόρου, μία ανατολικά και μία δυτικά του Gratz. Ωστόσο, ο δορυφόρος θα είναι ορατός από το York όταν τοποθετηθεί δυτικά του Gratz. Άρα έχουμε ότι l E Συνεπώς, το εύρος των υποδορυφορικών σημείων που παρέχουν γωνίες ανύψωσης τουλάχιστον 20 o στο York και στο Graz είναι από o E έως o E. SSP