ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Διδάσκων: Δρ. Εμμανουήλ Θ. Μιχαηλίδης Διάλεξη #2 Δορυφορικές Τροχιές (α)

2 Περιεχόμενα Μαθήματος 2 ΜΕΡΟΣ 1 ο : Εισαγωγή και Ανασκόπηση Βασικών Εννοιών ΜΕΡΟΣ 2 ο : Δορυφορικές Τροχιές ΜΕΡΟΣ 3 ο : Δομή και Βασικά Τμήματα Συστημάτων Δορυφορικών Επικοινωνιών ΜΕΡΟΣ 4 ο : Φαινόμενα και Μηχανισμοί Διάδοσης ΜΕΡΟΣ 5 ο : Ανάλυση και Σχεδίαση Δορυφορικών Ζεύξεων ΜΕΡΟΣ 6 ο : Τεχνικές Μετάδοσης ΜΕΡΟΣ 7 ο : Τεχνικές Πολλαπλής Πρόσβασης

3 Αρχικός Προγραμματισμός Κάλυψης της Ύλης του Μαθήματος 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 1 ο 1 ΜΕΡΟΣ 2 ο 2-3 ΜΕΡΟΣ 3 ο 4-5 ΜΕΡΟΣ 4 ο 6-7 ΜΕΡΟΣ 5 ο 8-9 ΜΕΡΟΣ 6 ο ΜΕΡΟΣ 7 ο 12-13

4 Όρια Έναρξης του Διαστήματος (1/3) 4 Στρώματα της Ατμόσφαιρας Εξώσφαιρα Θερμόσφαιρα ή Ιονόσφαιρα Μεσόσφαιρα Στρατόσφαιρα Τροπόσφαιρα Για την επίτευξη σταθερής τροχιάς γύρω από τη Γη, ένα διαστημικό σκάφος πρέπει να βρίσκεται πέρα από τον όγκο της ατμόσφαιρας της Γης, δηλαδή στο διάστημα ,500 km km km km 0-12 km

5 Όρια Έναρξης του Διαστήματος (2/3) 5 Δεν υπάρχει σαφές όριο ανάμεσα στην ατμόσφαιρα της Γης και στο διάστημα. Για πρακτικούς λόγους υπάρχουν συμβατικά όρια: Σύμφωνα με μερικές διεθνείς συνθήκες, το σύνορο του διαστήματος πάνω από μια δεδομένη χώρα αρχίζει σε ένα ύψος περίπου 160 km. Οι ΗΠΑ ορίζουν επίσημα ως αστροναύτες, όσους ταξιδεύουν σε υψόμετρα μεγαλύτερα των 80 km. Η NASA θεωρεί τα 122 km ως το όριο έναρξης για την επανείσοδο στην ατμόσφαιρα, κατά την επιστροφή στη Γη. Στο ύψος αυτό αρχίζει να γίνεται αισθητή η αντίσταση της ατμόσφαιρας.

6 Όρια Έναρξης του Διαστήματος (3/3) 6 Κάτω από τα 160 km, πρέπει να ζητηθεί άδεια για πτήση πάνω από οποιοδήποτε τμήμα της εν λόγω χώρας. Οι περισσότεροι δορυφόροι, για οποιαδήποτε αποστολή διάρκειας μεγαλύτερης από λίγους μήνες, τοποθετούνται σε τροχιές τουλάχιστον 400 km πάνω από τη γη. Ακόμη και σε αυτό το ύψος, η ατμοσφαιρική αντίσταση είναι σημαντική.

7 Ουράνια Σώματα και Κίνηση (1/9) 7 Ουράνια σώματα είναι τα σώματα, τα οποία συνιστούν το Σύμπαν: Γαλαξίες, νεφελώματα, αστέρες, πλανήτες, δορυφόρους, κομήτες και μετεωρίτες. Από την αρχαιότητα, ο άνθρωπος είχε την έμφυτη τάση να γνωρίσει και να κατανοήσει το Σύμπαν. Οι αρχαίοι Έλληνες πίστευαν ότι τα άστρα ήταν σταθερά και τα απεικόνιζαν στο εσωτερικό μια σφαίρας που περιστρέφονταν, η οποία είχε το σχήμα ενός αναποδογυρισμένου bowl (ουράνιος θόλος). Είχαν παρατηρήσει ότι κάποια σώματα κινούνταν στον ουρανό σε σχέση με τα άλλα σώματα και τα ονόμασαν πλανήτες αστέρες (άστρα που περιπλανιούνται).

8 Ουράνια Σώματα και Κίνηση (2/9) 8 Οι πλανήτες που αναγνωρίζουμε σήμερα είναι 8, ενώ μόνο τους 5 (και τη Γη 6) αναγνώριζαν οι αρχαίοι λόγω της μεγάλης απόστασης από τη Γη του Ουρανού και του Ποσειδώνα.

9 Ουράνια Σώματα και Κίνηση (3/9) 9 Οι πλανήτες έχουν αρχαία ελληνικά ονόματα προς τιμήν των αρχαίων Ελλήνων φιλοσόφων που θεμελίωσαν την αστρονομία. Στην Αγγλική γλώσσα οι ημέρες της εβδομάδας έχουν πάρει τα ονόματά τους από τον Ήλιο, τη Σελήνη και άλλους πλανήτες: Sunday (ημέρα του ήλιου), Mo(o)nday (ημέρα της σελήνης), Tuesday (ημέρα του Άρη - Tys το ισοδύναμο του Άρη στα γερμανικά), Wednesday (ημέρα του Ερμή - από το Wotan που σημαίνει Ερμής), Thursday (ημέρα του Δία - από το Thor ή Jove δηλ. το Δία), Friday (ημέρα της Αφροδίτης - από το Fria δηλ. Αφροδίτη στα γερμανικά) και Satur(n)day (ημέρα του Κρόνου).

10 Ουράνια Σώματα και Κίνηση (4/9) 10 Οι πρώτοι που ασχολήθηκαν με την κίνηση των πλανητών ήταν οι αρχαίοι Έλληνες φιλόσοφοι (6 ο και 7ο αιώνα π.χ.) με πιο γνωστούς το Θαλή και τον Πυθαγόρα. Μέχρι τον 4ο αιώνα π.χ. είχε αναπτυχθεί μια πλήρης θεωρία για την κίνηση των ουράνιων σωμάτων. Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή η Γη βρίσκεται στο κέντρο του σύμπαντος και όλα τα άλλα ουράνια σώματα περιφέρονται γύρω της (γεωκεντρικό μοντέλο). Το μοντέλο αυτό κυριάρχησε για σχεδόν δύο χιλιετίες.

11 Ουράνια Σώματα και Κίνηση (5/9) 11 Ο Αρίσταρχος ο Σάμιος (310 π.χ. 230 π.χ.) πρότεινε το ηλιοκεντρικό μοντέλο του Ηλιακού Συστήματος, θέτοντας τον Ήλιο και όχι τη Γη, στο κέντρο του γνωστού Σύμπαντος. Η θεώρηση αυτή παραμερίστηκε σύντομα, γιατί δεν συμφωνούσε με την καθημερινή λογική ενός γεωκεντρικού συστήματος χρόνια αργότερα ο Κοπέρνικος ( ) υποστήριξε την ηλιοκεντρική θεωρία και άνοιξε το δρόμο για τους αστρονόμους της επόμενης γενιάς.

12 12 Ουράνια Σώματα και Κίνηση (6/9)

13 Ουράνια Σώματα και Κίνηση (7/9) 13 Ο Δανός αστρονόμος Tycho Brahe ( ), κατασκεύασε ένα όργανο (quadrant) εξαιρετικής ακρίβειας με το οποίο μπορούσε να μετρήσει τη γωνιακή θέση ενός πλανήτη με ακρίβεια 1/100 της μοίρας. Οι μεγάλης ακρίβειας παρατηρήσεις του Tycho Brahe οδήγησαν το μαθητή του Johann Kepler ( ) στην ανακάλυψη των πραγματικών κινήσεων των πλανητών. Οι υπολογισμοί του Kepler απέδειξαν ότι η Γη και οι πλανήτες κινούνταν σε ελλειπτικές τροχιές γύρω από τον Ήλιο.

14 Ουράνια Σώματα και Κίνηση (8/9) 14 Το 1609 ο Kepler δημοσίευσε τους δύο πρώτους νόμους του για την κίνηση των πλανητών. Το 1619 ακολουθεί ο τρίτος νόμος. Οι τρεις αυτοί νόμοι αποτελούν σημαντικό ορόσημο στη Μαθηματική θεωρία. Ο Kepler και ο Brahe έθεσαν τις βάσεις για τις σημαντικές ανακαλύψεις του Isaac Newton ( ). Με την ανακάλυψη του πρώτου τηλεσκοπίου από τον Ιταλό αστρονόμο Galileo Galilei ( ), άνοιξε ένα νέο κεφάλαιο στην ιστορία των ερευνών του ανθρώπου. Ο Edwin Hubble ( ) με χρήση τηλεσκοπίου διαμέτρου 2.5 μέτρων αποκάλυψε ότι το Σύμπαν ήταν πολύ πιο τεράστιο απ` ό,τι φανταζόμασταν.

15 Ουράνια Σώματα και Κίνηση (9/9) 15 Η εξήγηση της κίνησης των πλανητών επέτρεψε τον ακριβή προσδιορισμό των δορυφορικών τροχιών και των γωνιών σκόπευσης, τους ακριβείς υπολογισμούς των δορυφόρων, των διαταράξεων που μπορούν να προκληθούν στην τροχιά, καθώς και τα εμπόδια σε θέματα ενέργειας. Η κατανόηση της δυναμικής των τροχιών αποτελεί μια βάση για την αντιμετώπιση θεμάτων, όπως οι τύποι των τροχιών και η καταλληλότητά τους για μια συγκεκριμένη εφαρμογή, η σταθεροποίηση της τροχιάς, η τροχιά διόρθωσης και διατήρηση του σταθμού, οι απαιτήσεις εκτόξευσης και τυπικές τροχιές εκκίνησης για διάφορες τροχιές και η κάλυψη της Γης.

16 Νόμοι του Kepler (1/4) 16 Πρώτος Νόμος (1602): Οι πλανήτες κινούνται σε ένα επίπεδο και οι τροχιές που διαγράφουν είναι ελλείψεις, με τον Ήλιο σε μια εστία. Semi-Latus Rectum p c c b Μικρός Ημι-άξονας Αποαψίδα F a F b Περιαψίδα a Μεγάλος Ημι-άξονας

17 Νόμοι του Kepler (2/4) 17 Δεύτερος Νόμος (1605): Το ακτινικό διάνυσμα από τον Ήλιο στον πλανήτη καλύπτει (σαρώνει) ίσες επιφάνειες σε ίσους χρόνους. 1 μήνας 1 μήνας

18 Νόμοι του Kepler (3/4) 18 Τρίτος Νόμος (1618): Ο λόγος του τετραγώνου της περιόδου (Τ) της περιστροφής ενός πλανήτη γύρω από τον Ήλιο, προς τον κύβο του μεγάλου ημιάξονα (a) της έλλειψης, είναι ο ίδιος για όλους τους πλανήτες. (Ο λόγος (T 2 /a 3 ) είναι σταθερός). Οι Νόμοι του Kepler για τις κινήσεις των πλανητών εφαρμόστηκαν και για την κίνηση των δορυφόρων της Γης με τις ακόλουθες υποθέσεις: Η μάζα του δορυφόρου είναι μικρή σε σχέση με τη μάζα της Γης. Η κίνηση συμβαίνει στον ελεύθερο χώρο. Τα μόνα σώματα που υπάρχουν είναι ο δορυφόρος και η Γη.

19 Νόμοι του Kepler (4/4) 19 Οι θεωρήσεις για τη κίνηση των πλανητών γενικότερα και των δορυφόρων ειδικότερα πρέπει να λάβουν υπόψη ότι: H Γη δεν είναι ούτε σφαιρική ούτε ομογενής Η έλξη του Ήλιου, της Σελήνης και άλλων ουράνιων σωμάτων διαταράσσουν την κίνηση. Οι νόμοι του Kepler στηρίζονται σε πειραματικά και θεωρητικά δεδομένα και δεν εξηγούν τον τρόπο της κίνησης των πλανητών. Οι νόμοι του Isaac Newton ( ) χαρακτηρίζουν τις δυνάμεις που αναγκάζουν τους δορυφόρους να ακολουθούν τροχιές που υπακούουν στους νόμους του Kepler.

20 Νόμοι του Newton (1/3) 20 Πρώτος Νόμος (Αδράνειας): Κάθε σώμα παραμένει σε αδράνεια ή συνεχίζει την ομοιόμορφη κίνησή του σε ευθεία γραμμή, εκτός αν εξαναγκασθεί σε αλλαγή της κατάστασης από εξωτερικές δυνάμεις. Δεύτερος Νόμος: Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής είναι ανάλογος της δύναμης που ασκείται και είναι στην ίδια κατεύθυνση με τη δύναμη (F=ma). Τρίτος Νόμος: Σε κάθε Δράση αντιστοιχεί και μια ίση και αντίθετη Αντίδραση. Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, 1687

21 Νόμοι του Newton (2/3) 21 Για να ικανοποιείται ο 1ος Νόμος του Kepler η δύναμη έπρεπε να είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης πλανήτη-ήλιου. Ο Newton έδειξε ότι ο 2ος Νόμος του Kepler ισχύει αν στους πλανήτες ασκείται ελκτική δύναμη με κατεύθυνση ένα κεντρικό σημείο, τον Ήλιο. Για να ισχύει ο 3ος Νόμος του Kepler έπρεπε η δύναμη να είναι ανάλογη της μάζας του πλανήτη.

22 Νόμοι του Newton (3/3) 22 Οι νόμοι του Newton για την κίνηση μπορούν να συμπτυχθούν σε 4 εξισώσεις Μας βοηθά να κατανοήσουμε την κίνηση ενός δορυφόρου σε σταθερή τροχιά. όπου s είναι η απόσταση που έχει διανυθεί από τη στιγμή t=0, u είναι η αρχική ταχύτητα τη t=0, v είναι η τελική ταχύτητα τη χρονική στιγμή t, a είναι η επιτάχυνση, F είναι η δύναμη και m είναι η μάζα του σώματος.

23 Νόμος της Βαρύτητας (1/3) 23 Έστω δύο σώματα με μάζες m και Μ. Η δύναμη με την οποία έλκουν το ένα το άλλο είναι ανάλογη με τις μάζες τους και αντιστρόφως ανάλογη με το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ τους ως εξής: GMm GMm r Fg rˆ m rˆ r r r r όπου r είναι η απόσταση μεταξύ των δύο μαζών, είναι το διάνυσμα με κατεύθυνση από τη μάζα Μ προς τη μάζα m, G = 6.672x10-11 Nm 2 /kg 2 είναι η Παγκόσμια Σταθερά της Βαρύτητας, Μ = 5.974x10 24 kg είναι η μάζα της Γης, m είναι η μάζα του δορυφόρου και μ = GM = x10 5 km 3 /s 2 είναι η σταθερά Kepler.

24 Νόμος της Βαρύτητας (2/3) 24 Yπάρχουν δύο κύριες δυνάμεις που ενεργούν σε έναν δορυφόρο: Μια κεντρομόλος δύναμη F in λόγω της βαρυτικής έλξης της Γης γύρω από την οποία περιστρέφεται ο δορυφόρος, η οποία προσπαθεί να τραβήξει το δορυφόρο προς τα κάτω. Μια φυγόκεντρος δύναμη F out λόγω της κινητικής ενέργειας του δορυφόρου, η οποία προσπαθεί να ωθήσει το δορυφόρο σε μια υψηλότερη τροχιά. Αν αυτές οι δύο δυνάμεις είναι ίσες (F in = F out ), τότε ο δορυφόρος θα παραμείνει σε σταθερή τροχιά.

25 25 Νόμος της Βαρύτητας (3/3)

26 Διατήρηση της Ενέργειας (1/5) 26 Για κάθε ελλειπτική κίνηση, ο νόμος της διατήρησης της ενέργειας ισχύει σε όλα τα σημεία της τροχιάς (το βαρυτικό πεδίο είναι συντηρητικό). Το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας (μηχανική ενέργεια) ενός δορυφόρου παραμένει πάντα σταθερό και ίσο με: GMm 2a Η δυναμική ενέργεια ενός δορυφόρου αντιπροσωπεύει τη δυνατότητα του δορυφόρου να παράγει έργο ως αποτέλεσμα της θέσης του.

27 Διατήρηση της Ενέργειας (2/5) 27 Η κινητική ενέργεια ενός δορυφόρου αντιπροσωπεύει την ενέργεια που χρειάστηκε να μεταβιβαστεί στον δορυφόρο, ώστε από την κατάσταση μηδενικής ταχύτητας να βρεθεί στην τρέχουσα κατάσταση κίνησης. Η κινητική και η δυναμική ενέργεια ενός δορυφόρου σε οποιοδήποτε σημείο της τροχιάς και σε απόσταση r από το κέντρο της Γης δίνονται από τις εξής σχέσεις: 1 2 Κινητική Ενέργεια mv s 2 GMm Δυναμική Ενέργεια r

28 Διατήρηση της Ενέργειας (3/5) 28 Το αρνητικό πρόσημο στην τύπο της δυναμικής ενέργειας υποδηλώνει ότι η μάζα της Γης έχει την τάση να κρατά δέσμια τη μάζα του δορυφόρου. Άρα, πρέπει να δαπανήσουμε ενέργεια για να τις διαχωρίσουμε. Η δυναμική ενέργεια αυξάνεται στις θέσεις μεγάλης απόστασης από το σημείο έλξης (Γη) με ταυτόχρονη μείωση της κινητικής ενέργειας. Η δυναμική ενέργεια θα πάρει την τιμή 0 όταν r. Αντίθετα, σε μικρότερες αποστάσεις η κινητική ενέργεια αυξάνεται σε βάρος της δυναμικής ενέργειας.

29 Διατήρηση της Ενέργειας (4/5) 29 Στην περίπτωση μηδενικής μηχανικής ενέργειας μπορούμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα διαφυγής (escape velocity) ενός αντικειμένου από την έλξη της Γης: v escape 2GM r 11.2 km/sec Η ταχύτητα αυτή θα μηδενιστεί όταν r.

30 Διατήρηση της Ενέργειας (5/5) 30 Παράδειγμα: Έστω δορυφόρος με μάζα m = 6000 kg που κινείται σε ελλειπτική τροχιά με a = 20,000 km. Η μηχανική ενέργεια θα είναι ίση με x10 10 Joules. 5 x Μηχανική Ενέργεια 2 Κινητική Ενέργεια Ενέργεια (Joules) Δυναμική Ενέργεια MEO GEO -3 LEO r (km) x 10 4

31 Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων του Τροχιακού Επιπέδου 31 Το τροχιακό επίπεδο του δορυφόρου ως επίπεδο αναφοράς. Οι ορθογώνιοι άξονες x 0 και y 0 βρίσκονται στο τροχιακό επίπεδο, ενώ ο άξονας z 0 είναι κάθετος στο τροχιακό επίπεδο. Ο γεωγραφικός άξονας z της Γης που περνά μέσω του βόρειου πόλου και του κέντρου της Γης δεν βρίσκεται στην ίδια κατεύθυνση με τον άξονα z 0, με εξαίρεση τις γεωστατικές τροχιές.

32 Πολικό Σύστημα Συντεταγμένων του Τροχιακού Επιπέδου 32 Καθορίζει τη θέση ενός δορυφόρου σε σχέση με ένα σημείο πάνω στη Γη Ως κέντρο του συστήματος συντεταγμένων λαμβάνεται το κέντρο της Γης και ο άξονας z 0 είναι κάθετος στο τροχιακό επίπεδο. Η θέση του δορυφόρου περιγράφεται από την ακτίνα από το κέντρο της Γης r 0 και τη γωνία φ 0 που δημιουργείται με τον άξονα x 0.

33 Βασικές Αρχές Τροχιάς Δορυφόρου (1/10) 33 Η βαρυτική δύναμη που ασκείται στον δορυφόρο, ισούται με τη μάζα του δορυφόρου επί την επιτάχυνση: 2 dv d r Fg m m 2 dt dt GMm 2 dr g 3 r dt Όμως, F r. Οπότε 2 3 r r 0 Η παραπάνω εξίσωση είναι γραμμική διαφορική εξίσωση 2ης τάξης και η λύση της περιλαμβάνει 6 σταθερές που καλούνται τροχιακά στοιχεία.

34 Βασικές Αρχές Τροχιάς Δορυφόρου (2/10) 34 Αν χρησιμοποιήσουμε τυποποιημένες μαθηματικές διαδικασίες, μπορούμε να βρούμε την εξίσωση για την ακτίνα της τροχιάς ενός δορυφόρου: 2 / r 0 p 1 ecos 0 0 όπου p h είναι η παράμετρος semi-latus rectum της κωνικής τομής, h είναι το μέτρο της τροχιακής στροφορμής του δορυφόρου και 0 είναι μια σταθερά για τον προσανατολισμό της έλλειψης σε σχέση με τους άξονες του τροχιακού επιπέδου x 0 y 0. Η σταθερά e καλείται «εκκεντρότητα» και καθορίζει τον τύπο της κωνικής τομής. Αν e=0 τότε κύκλος, αν 0<e<1 τότε έλλειψη, αν e=1 τότε παραβολή και αν e>1 τότε υπερβολή.

35 Βασικές Αρχές Τροχιάς Δορυφόρου (3/10) 35 Για ευσταθείς δορυφορικές τροχιές πρέπει 0 e<1. Κωνική Τομή είναι η καμπύλη της τομής ενός επιπέδου και ενός ορθού κυκλικού κώνου και αναπαριστά τα μοναδικά πιθανά μονοπάτια για ένα αντικείμενο που βρίσκεται σε τροχιά στο πρόβλημα των 2 σωμάτων.

36 Βασικές Αρχές Τροχιάς Δορυφόρου (4/10) 36 Οι δυνάμεις έλξης είναι κεντρικές. Άρα, η Στροφορμή (ιδιότητα που χαρακτηρίζει την αδράνεια ως προς την κίνηση ενός σώματος γύρω από έναν άξονα) του δορυφόρου ως προς το κέντρο του συστήματος αναφοράς είναι αμετάβλητη (Διατήρηση της Στροφορμής). Το διάνυσμα της Στροφορμής παραμένει σταθερό, άρα τα διανύσματα θέσης και ταχύτητας πρέπει να παραμένουν στο ίδιο επίπεδο, αφού η στροφορμή είναι πάντα κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν τα δύο διανύσματα. Άρα η κίνηση του δορυφόρου γίνεται σε ένα επίπεδο σταθερό στο χώρο, που καλείται τροχιακό επίπεδο. Η διεύθυνσή της Στροφορμής συμπίπτει με τον άξονα περιστροφής του σώματος και η φορά προκύπτει από τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία.

37 Βασικές Αρχές Τροχιάς Δορυφόρου (5/10) 37 Η κατεύθυνση της ροπής μας λέει την κατεύθυνση του άξονα περιστροφής για την γωνιακή επιτάχυνση. Αν συμπίπτει με τον άξονα περιστροφής του σώματος, η γωνιακή ταχύτητα θα μεταβληθεί (αυξηθεί ή ελαττωθεί), διαφορετικά η ροπή θα μεταβάλλειτην κατεύθυνση περιστροφής.

38 Βασικές Αρχές Τροχιάς Δορυφόρου (6/10) 38 Το σημείο στην τροχιά όπου ο δορυφόρος βρίσκεται στη μικρότερη απόσταση από τη Γη ονομάζεται περίγειο. Το σημείο στο οποίο ο δορυφόρος είναι στο πλέον απομακρυσμένο σημείο από τη Γη ονομάζεται απόγειο. Το περίγειο και το απόγειο είναι πάντα ακριβώς απέναντι το ένα από το άλλο. Στις ελλειπτικές τροχιές μπορούμε πάντα να επιλέγουμε τους άξονες x 0 και y 0, ώστε η σταθερά θ 0 να είναι μηδέν. Αρκεί να επιλέξουμε τον άξονα x 0, έτσι ώστε να είναι ο μεγάλος άξονας της έλλειψης και τόσο το απόγειο όσο και το περίγειο να βρίσκονται κατά μήκος του.

39 Βασικές Αρχές Τροχιάς Δορυφόρου (7/10) 39 r 0 p 1 e cos 0 Μεγάλος Ημι-άξονας p a 1 e 2 Μικρός Ημι-άξονας ba 1e 2

40 Βασικές Αρχές Τροχιάς Δορυφόρου (8/10) 40 r 0 a 1e 2 1 ecos 0 Εκκεντρότητα c e a e b 1 a 2

41 Βασικές Αρχές Τροχιάς Δορυφόρου (9/10) 41 Περίγειο p Απόγειο r ac r a ac e r r a a r p r p r r 2a a p r r 2c p a

42 Βασικές Αρχές Τροχιάς Δορυφόρου (10/10) 42 Επαλήθευση 2 ου Νόμου Kepler: Σε χρόνο dt σαρώνεται επιφάνεια da (κάλυψη ίσων επιφανειών σε ίσους χρόνους).

43 Τροχιακή Ταχύτητα και Περίοδος (1/5) 43 Υπολογίζουμε ότι για την ταχύτητα του δορυφόρου ισχύει ότι: 2 v s r a Στην περίπτωση της κυκλικής τροχιάς ισχύει ότι: abr ce0 vs r Ύψος (km) Ακτίνα (km) Περίοδος (sec) Ταχύτητα (m/sec)

44 Τροχιακή Ταχύτητα και Περίοδος (2/5) 44 Αν η τροχιά είναι κυκλική, και r είναι η ακτίνα της τροχιάς από τον δορυφόρο μέχρι το κέντρο του πλανήτη, η απόσταση που διανύεται από έναν δορυφόρο σε μία τροχιά γύρω από έναν πλανήτη είναι 2πr. Αν η απόσταση διαιρεθεί με την ταχύτητα, τότε θα προκύψει ο χρόνος που απαιτείται για να διανυθεί η απόσταση, δηλαδή η περίοδος Τ της τροχιάς του δορυφόρου.

45 Τροχιακή Ταχύτητα και Περίοδος (3/5) 45 Δορυφορικό Σύστημα Ύψος (km) Ταχύτητα (km/s) Τροχιακή Περίοδος h min sec Intelsat (GEO) 35, New-ICO (MEO) 10, Skybridge (LEO) 1, Iridium (LEO) Η μέση ακτίνα της Γης είναι 6, km και η ακτίνα GEO από το κέντρο της Γης είναι ,17 km.

46 Τροχιακή Ταχύτητα και Περίοδος (4/5) 46 Η περίοδος της ελλειπτικής τροχιάς προκύπτει εξισώνοντας την επιφάνεια της έλλειψης (πab) με την επιφάνεια που καλύπτεται σε μία τροχιακή περιστροφή. T a T σταθερό 3 ος Νόμος Kepler a Η εξίσωση καθορίζει την περίοδο της τροχιάς οποιουδήποτε δορυφόρου και χρησιμοποιείται σε κάθε δέκτη GPS στον υπολογισμό των θέσεων των δορυφόρων GPS. Επιπλέον, χρησιμοποιείται για την εύρεση της ακτίνας της τροχιάς ενός δορυφόρου GEO, για τον οποίο η περίοδος πρέπει να γίνει ακριβώς ίση με της Γης.

47 Τροχιακή Ταχύτητα και Περίοδος (5/5) 47 Η τροχιακή περίοδος ενός δορυφόρου GEO είναι ακριβώς ίση με την περίοδο περιστροφής της γης, 23 h 56 min 4,1 s, αλλά, σε έναν παρατηρητή στο έδαφος, ο δορυφόρος φαίνεται να έχει μια άπειρη τροχιακή περίοδο: μένει πάντα στην ίδια θέση στον ουρανό. Για να είναι τέλεια γεωστατική πρέπει: (α) Να είναι ακριβώς κυκλική (e=0) (β) Να είναι στο σωστό ύψος (δηλαδή να έχει τη σωστή περίοδο) (γ) Να βρίσκεται στο επίπεδο του ισημερινού

48 Εντοπισμός του Δορυφόρου στην Τροχιά (1/7) 48 Η γωνία φ 0 μετριέται από τον άξονα x 0 (που θεωρείται ότι διέρχεται από το περίγειο) και ονομάζεται αληθής ανωμαλία (true anomaly) του δορυφόρου.

49 Εντοπισμός του Δορυφόρου στην Τροχιά (2/7) 49 Στο σημείο A μια κάθετη γραμμή τραβηγμένη μέσω της θέσης του δορυφόρου τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο που περιβάλλει την ελλειπτική τροχιά. Η γωνία E ονομάζεται εκκεντρική ανωμαλία (eccentric anomaly) του δορυφόρου. cose e cos 0 1 ecos 0 r0 a 1ecosE

50 Εντοπισμός του Δορυφόρου στην Τροχιά (3/7) 50 Ισχύουν επίσης οι σχέσεις: E 1 e 0 tan tan 2 1 e 2 1 e 0 E 2arctan tan 360, 1 e 2 0, , ΠΡΟΣΟΧΗ: Στον υπολογισμό του arctan πρέπει να λάβουμε υπόψη μας τη συμπεριφορά των calculators ή των PCs. Δίνουν μόνο βασικές τιμές γωνιών, π.χ. arctan(1.732)=60 o, tan(240 o )= Το ίδιο ισχύει για cos και sin.

51 Εντοπισμός του Δορυφόρου στην Τροχιά (4/7) 51 Μέση Κίνηση (Mean Movement) είναι η μέση γωνιακή ταχύτητα του δορυφόρου με περίοδο Τ στην τροχιά του: n 2 T a 3 rad / sec Μέση Ανωμαλία (Mean Anomaly) είναι η αληθής ανωμαλία του δορυφόρου σε μια εγγεγραμμένη κυκλική τροχιά της ίδιας περιόδου Τ. όπου t p περίγειο. 2 M tt p n ttp rad T είναι η χρονική στιγμή διέλευσης από το

52 Εντοπισμός του Δορυφόρου στην Τροχιά (5/7) 52 Η μέση ανωμαλία αποτελεί τη γωνία σε ένα μήκος τόξου που θα διασχίσει ο δορυφόρος από τη διέλευσή του από το περίγειο, αν κινούνταν στον περιγεγραμμένο κύκλο με μέση γωνιακή ταχύτητα n. Η μέση ανωμαλία είναι συσχετισμένη με την εκκεντρική ανωμαλία μέσω της εξίσωσης του Kepler: MEesin E rad Αν γνωρίζουμε το χρόνο του περιγείου t p, την εκκεντρότητα e και το μήκος του μεγάλου ημιάξονα a, έχουμε τις απαραίτητες εξισώσεις για να καθορίσουμε τις συντεταγμένες (r 0, φ 0 ) και (x 0, y 0 ) του δορυφόρου στο τροχιακό επίπεδο.

53 Εντοπισμός του Δορυφόρου στην Τροχιά (6/7) 53 Δεδομένα: Χρόνος του περιγείου t p, εκκεντρότητα e και το μήκος του μεγάλου ημιάξονα a Βήματα 1. Υπολογίζουμε τη μέση κίνηση n rad / sec 3 a 2. Υπολογίζουμε τη μέση ανωμαλία rad Mnt t p 3. Υπολογίζουμε την εκκεντρική ανωμαλία E λύνοντας την εξίσωση MEesin E rad ως προς Ε.

54 Εντοπισμός του Δορυφόρου στην Τροχιά (7/7) Υπολογίζουμε τη θέση της τροχιάς r0 a 1ecosE 5. Υπολογίζουμε την αληθή ανωμαλία λύνοντας την εξίσωση r 0 a 1e 2 1 ecos 0 ως προς φ 0 6. Υπολογίζουμε τις συντεταγμένες x 0 και y 0 ως εξής: x y r cos r sin 0 0 0

55 Εντοπισμός του Δορυφόρου σε Σχέση με τη Γη (1/7) 55 Γεωκεντρικό ισημερινό σύστημα συντεταγμένων Ο περιστροφικός άξονας της γης είναι ο άξονας z i, ο οποίος διέρχεται από τον γεωγραφικό Βόρειο Πόλο. Ο άξονας x i ξεκινάει από το κέντρο της γης και εκτείνεται προς μια σταθερή θέση στο διάστημα που ονομάζεται πρώτο σημείο του Κριού (first point of Aries) και είναι η κατεύθυνση μιας γραμμής από το κέντρο της Γης μέχρι το κέντρο του Ήλιου στην εαρινή ισημερία (περίπου στις 21 Μαρτίου στο βόρειο Ημισφαίριο).

56 Εντοπισμός του Δορυφόρου σε Σχέση με τη Γη (2/7) 56 Γεωκεντρικό ισημερινό σύστημα συντεταγμένων Αυτό το σύστημα συντεταγμένων κινείται στο χώρο δηλαδή μετατοπίζεται καθώς η γη κινείται στην τροχιά της γύρω από τον ήλιο, αλλά δεν περιστρέφεται καθώς η γη περιστρέφεται. Η κατεύθυνση του x i είναι πάντα η ίδια, όποια και να είναι η θέση της γης γύρω από τον ήλιο και βρίσκεται στην κατεύθυνση του πρώτου σημείου του Κριού. Το επίπεδο (x i, y i ) είναι το ισημερινό επίπεδο.

57 Εντοπισμός του Δορυφόρου σε Σχέση με τη Γη (3/7) 57 Γεωκεντρικό ισημερινό σύστημα συντεταγμένων Η γωνιακή απόσταση που μετριέται κινούμενοι ανατολικά στο ισημερινό επίπεδο από τον άξονα x i ονομάζεται ορθή άνοδος (right ascension RA). Η θέση ενός αντικειμένου μπορεί να βρεθεί από την ορθή άνοδό του RA και την απόκλιση του δ.

58 Εντοπισμός του Δορυφόρου σε Σχέση με τη Γη (4/7) 58 Γεωκεντρικό ισημερινό σύστημα συντεταγμένων Τα δύο σημεία στα οποία η τροχιά διαπερνά το ισημερινό επίπεδο ονομάζονται κόμβοι. Ο δορυφόρος κινείται προς τα πάνω (βόρεια) τέμνοντας το ισημερινό επίπεδο στον ανοδικό κόμβο (ascending node) και προς τα κάτω (νότια) τέμνοντας το ισημερινό επίπεδο στον καθοδικό κόμβο (descending node), λαμβάνοντας υπόψη τη συμβατική εικόνα της Γης, με το βορρά στην κορυφή. Η γραμμή που ενώνει τον κόμβο ανόδου με τον κόμβο καθόδου ονομάζεται γραμμή των κόμβων (line of nodes).

59 Εντοπισμός του Δορυφόρου σε Σχέση με τη Γη (5/7) 59 Θέση του δορυφόρου στο γεωκεντρικό ισημερινό σύστημα Το τροχιακό επίπεδο και το ισημερινό επίπεδο τέμνονται στη γραμμή των κόμβων. Η γωνία που σχηματίζει το τροχιακό επίπεδο με το ισημερινό επίπεδο, παρατηρώντας την καθώς ο δορυφόρος κινείται από νότο προς βορρά, ονομάζεται έγκλιση (inclination) i.

60 Εντοπισμός του Δορυφόρου σε Σχέση με τη Γη (6/7) 60 Θέση του δορυφόρου στο γεωκεντρικό ισημερινό σύστημα Η γωνία που σχηματίζεται από τον άξονα Οx i (δηλαδή την κατεύθυνση της εαρινής ισημερίας) και του διανύσματος που ενώνει το κέντρο της γης με τον Ανοδικό Κόμβο ονομάζεται ορθή άνοδος του ανοδικού κόμβου (right ascension of the ascending node) Ω. Η ορθή άνοδος του ανοδικού κόμβου μας δίνει την περιστροφή του τροχιακού επιπέδου ως προς τον άξονα Οz i, μετρούμενη από τον Οx i. Οι γωνίες Ω και i καθορίζουν μαζί τη θέση του τροχιακού επιπέδου σε σχέση με το ισημερινό επίπεδο.

61 Εντοπισμός του Δορυφόρου σε Σχέση με τη Γη (7/7) 61 Θέση του δορυφόρου στο γεωκεντρικό ισημερινό σύστημα Για να εντοπίσουμε τη θέση της τροχιάς στο Τροχιακό Επίπεδο χρησιμοποιούμε το Όρισμα του Περιγείου (Argument of Perigee) ω. Το Όρισμα του Περιγείου είναι η γωνία μεταξύ της διεύθυνσης του Ανοδικού Κόμβου και της διεύθυνσης του Περιγείου.

62 Συμπέρασμα 62 Για τον πλήρη προσδιορισμό της θέσης ενός δορυφόρου απαιτείται η πληροφορία των έξι (6) κατ ελάχιστο τροχιακών στοιχείων: Γνώση του τύπου της Τροχιάς (Δύο από τις παραμέτρους a,b,c,e,r p,r a ) Θέση του Δορυφόρου στην Τροχιά (Μία από τις Ανωμαλίες-Γωνίες) Θέση της Τροχιάς στο Τροχιακό Επίπεδο (Όρισμα του Περιγείου) Θέση Τροχιακού Επιπέδου στο Χώρο (Έγκλιση και Ορθή Άνοδος του Ανοδικού Κόμβου)

63 Ευχαριστώ για την προσοχή σας!