ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Η μεθοδολογία της έρευνας αυτής στηρίζεται στο Νατουραλιστικό υπόδειγμα (Naturalistic Paradigm) (Guba, Lincoln,

Transcript

1 Χιονίδου-Μοσκοφόγλου, Μ. (1999). Τι γνωρίζουν οι δάσκαλοι και οι δασκάλες για τα Προβλήματα Πρόσθεσης και Αφαίρεσης. Στο: A. Gagatsis,et. al (Ed.) Proceedings of the 2 nd Mediterranean Conference on Mathematics Education (pp ). Nicosia Cyprus. ΤΙ ΓΝΩΡΙΖΟΥΝ ΟΙ ΔΑΣΚΑΛΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΔΑΣΚΑΛΕΣ Twenty primary in-service training teachers participated in workshops enabling them to work in a constructivist environment in relation to coping with one step additive structure word problems. The teachers worked individually and in groups of 4 persons for 20 hours. In the context of the workshops, the following questions were addressed: 1) What is Primary teachers knowledge about the semantic categories of one step additive structure world problems? and 2) What kind of approaches did teachers-in groups follow to create one step additive structure world problems? Analysis of the teachers protocols revealed that their knowledge generally was not organized into a coherent network that related distinctions between the types of the one step additive structure world problems. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Eίναι γνωστό ότι ένας από τους πλέον σημαντικούς παράγοντες στην επίδοση των μαθητών είναι η διδασκαλία (Carpenter & Peterson 1988 i ), η οποία είναι μία πολύ σύνθετη και απαιτητική διαδικασία. Για τη μελέτη της διδασκαλίας των Μαθηματικών στην Πρωτοβάθμια εκπαίδευση, πολλοί ερευνητές έχουν εστιαστεί στις διαδικασίες του τρόπου «σκέπτεσθαι» των εκπαιδευτικών (teachers thought processes) (Clark & Peterson 1986 ). ii Ακόμη, πολλοί ερευνητές έχουν ερευνήσει: α) τις διαδικασίες με τις οποίες οι μαθητές μαθαίνουν πρόσθεση και αφαίρεση και τις οποίες ακολουθούν για να λύσουν προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης (Carpenter & Moser & Romberg 1982 iii, De Corte, & Verschaffel 1993 iv, Λεμονίδης v,1998 vi, Καφούση & Ντζιαχρήστος 1997 vii ) β) το μοτίβο ανάπτυξης (developmental pattern) στην ικανότητα επίλυσης προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης (Christou, Phillipou 1996 viii ) γ)την ανάλυση των διαφόρων τύπων λεκτικών προβλημάτων, η οποία κατηγοριοποιεί τα προβλήματα ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους. Oι Romberg & Collis 1987 ix και ο Vergnaud 1982 x κατηγοριοποίησαν τα προβλήματα προσθετικού τύπου ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους (βλ. πίνακα 1 στο παράρτημα). Όλα τα προβλήματα του πίνακα 1 λύνονται με τη λύση των εξισώσεων 5+3=χ, 8-3=χ αλλά το κάθε ένα παρουσιάζει μία διαφορετική ερμηνεία της πρόσθεσης και της αφαίρεσης, η οποία προκύπτει από τις λύσεις που δίνουν οι μαθητές. Όμως, μέχρι σήμερα δεν έχει ερευνηθεί το τι γνώσεις έχουν οι εκπαιδευτικοί της Πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης για τα προβλήματα προσθετικού τύπου και τι είδους προβλήματα προσθετικού τύπου χρησιμοποιούν στη διδασκαλία της πρόσθεσης και αφαίρεσης. Η κατηγοριοποίηση των προβλημάτων προσθετικού τύπου του πίνακα 1 στο παράρτημα, θεωρούμε ότι μας παρέχει ένα καλά δομημένο πλαίσιο για ερευνήσουμε τις γνώσεις τις οποίες έχουν οι δάσκαλοι και δασκάλες για τα προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης. Έτσι, στην έρευνά μας αυτή, θέσαμε τα εξής ερωτήματα : 1. Ποια προβλήματα προσθετικού τύπου χρησιμοποιούν οι δάσκαλοι και δασκάλες στη διδασκαλία της πρόσθεσης και αφαίρεσης; 2. Γιατί χρησιμοποιούν αυτά τα προβλήματα;

2 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Η μεθοδολογία της έρευνας αυτής στηρίζεται στο Νατουραλιστικό υπόδειγμα (Naturalistic Paradigm) (Guba, Lincoln, 1988 xi ). Οι ποιοτικοί μέθοδοι που χρησιμοποιεί είναι 1) η συμπλήρωση ανοιχτών ερωτήσεων από τους συμμετέχοντες στην έρευνα 2) η καταγραφή των συμπερασμάτων των ομάδων εργασίας και 4) η κωδικοποίηση των δεδομένων, σύμφωνα με την οποία τα δεδομένα αναλύονται, κατηγοριοποιούνται, επανασυνδέονται με νέους τρόπους και δημιουργούν τις κατηγορίες απαντήσεων. Συμμετέχοντες και συμμετέχουσες στην έρευνα. Τα άτομα τα οποία συμμετείχαν στη έρευνα ήταν 20 δάσκαλοι και δασκάλες της πρωτοβάθμιας εκπ/σης (12 γυναίκες και 8 άνδρες), ετών, οι οποίοι παρακολουθούσαν προαιρετικά μαθήματα επιμόρφωσης 40 ωρών, κατά τη διάρκεια του σχολικού έτους Διαδικασίες συλλογής δεδομένων Η ερευνήτρια ήταν επιμορφώτρια στους παραπάνω αναφερόμενους εκπ/κούς με θέμα "Στρατηγικές διδασκαλίας στα Μαθηματικά του Δημοτικού σχολείου" Η αίθουσα διδασκαλίας είχε οργανωθεί σε περιβάλλον κονστρουκτιβιστικό (Χιονίδου 1999) δηλαδή, τα θρανία ανά δύο συμμετρικά-αντικριστά ενωμένα σχημάτιζαν ένα τραπέζι με 4 θέσεις έτσι ώστε κάθε εκπαιδευτικός που συμμετείχε έπρεπε να ενταχθεί σε μία τετραμελή ομάδα εργασίας. Έτσι στην αίθουσα διδασκαλίας υπήρχαν 5 ομάδες εργασίας των 4 ατόμων, η σύνθεση των οποίων ήταν κυρίως συμπτωματική. Επάνω στο θρανίο-τραπέζι είχε τοποθετηθεί μία σελίδα με την ανοιχτή-κλειστή ερώτηση «Να γράψετε ένα πρόβλημα από κάθε κατηγορία προβλημάτων, τα οποία χρησιμοποιείτε στις διδασκαλίες σας για να διδάξετε α) πρόσθεση και β) αφαίρεση». Αφού οι εκπαιδευτικοί έγραψαν ο καθένας ξεχωριστά προβλήματα προσθετικού τύπου, χωρίς περιορισμό χρόνου, τους δόθηκε μία φωτοτυπία με την κατηγοριοποίηση των προβλημάτων προσθετικού τύπου, (βλ. παράρτημα, πίνακας 1) και τους ζητήθηκε να απαντήσουν στα εξής: Α. «Καθένας και καθεμία να αναστοχαστεί και να απαντήσει στα παρακάτω θέματα: α)σε ποιες κατηγορίες προσθετικο-αφαιρετικών προβλημάτων δεν έφτιαξε προβλήματα και β)για ποιους λόγους δεν έφτιαξε αυτά τα προβλήματα» Β. «Δουλέψτε σε ομάδες. Να συζητήσετε αυτά που προηγουμένως αναστοχαστήκατε. Ένας παρατηρητής/τρια να γράφει τα συμπεράσματα της ομάδας σας, δηλ. αναφέρατε τους λόγους τους οποίους δε γράψατε προβλήματα σε διάφορες κατηγορίες» Γ. «Δουλέψτε σε ομάδες. Από κάθε κατηγορία, που οποιοδήποτε μέλος της δεν έγραψε ένα πρόβλημα, να γράψετε ένα πρόβλημα το οποίο θα έχει τα εξής χαρακτηριστικά: α) Θα είναι βιωματικό και β) Το θέμα του θα αφορά τα παιδιά» Στην παρουσίαση αυτή θα αναφερθούμε στα δύο πρώτα ερωτήματα και όχι στο τρίτο λόγω έλλειψης χώρου. Τέλος, πρέπει να αναφερθεί ότι η ερευνήτρια συνεχώς παρατηρούσε, συντόνιζε και παρότρυνε με ανοιχτές ερωτήσεις τις ομάδες, ώστε αυτές να αναδείκνυαν τις γνώσεις και τις πεποιθήσεις τους για τις κατηγορίες των προβλημάτων προσθετικού τύπου.

3 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ. Α. Τι γνωρίζουν οι εκπαιδευτικοί για τα προβλήματα προσθετικού τύπου. Στον πίνακα 2 συνοψίζεται το πλήθος των προβλημάτων κάθε κατηγορίας και τα οποία έγραψαν οι εκπαιδευτικοί στην ερώτηση: «Να γράψετε ένα πρόβλημα από κάθε κατηγορία προβλημάτων τα οποία χρησιμοποιείτε στις διδασκαλίες σας για να διδάξετε α) πρόσθεση και β) αφαίρεση». Φαίνεται λοιπόν ότι : 12 από τους 20 εκπαιδευτικούς έγραψαν προβλήματα τύπου Αλλαγής 1, Αλλαγής 2 και Συνδιασμού 1 9 από τους 20 εκπαιδευτικούς αναφέρθηκαν σε προβλήματα τύπου Συνδιασμού 2, ενώ σε προβλήματα τύπου Σύγκρισης 3 και Σύγκρισης 4 αναφέρθηκαν 7 εκπαιδευτικοί.. Μόνο το ένα τέταρτο των εκπαιδευτικών έγραψαν προβλήματα τύπου Σύγκρισης 1 και Σύγκρισης 2. 4 μόνο εκπαιδευτικοί αναφέρθηκαν σε προβλήματα τύπου Εξομοίωσης 1, και Σύγκρισης 5 ενώ 2 εκπαιδευτικοί αναφέρθηκαν σε προβλήματα τύπου Εξομοίωσης 2 Εξομοίωσης 3 και Αλλαγής 5. Τέλος, κανένας εκπαιδευτικός δεν αναφέρθηκε σε προβλήματα τύπου Αλλαγής 6, Εξομοίωσης 4, Εξομοίωσης 5 και Εξομοίωσης 6 ΠΙΝΑΚΑΣ 2. ΤΥΠΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ η τελική κατάσταση Άγνωστος ο μετασχηματισμός (Πλήθος απαντήσεων από 20 δασκάλους) η αρχική κατάσταση (Πλήθος απαντήσεων από 20 δασκάλους) Ενωσης (Πλήθος απαντήσεων από 20 δασκάλους) Αλλαγής 1 : 12 Αλλαγής 3 : 3 Αλλαγής 5 : 2 ΑΛΛΑΓΗΣ Διαχ Αλλαγής 2 : 12 Αλλαγής 4 : 3 Αλλαγής 6 : 0 η τιμή του Άγνωστος ένα υποσύνολο συνδυασμού ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΥ Συνδυασμού 1 : 12 Συνδυασμού 2 : 9 η διαφορά η συγκρινόμενη ποσότητα η αναφερόμενη ποσότητα ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ Σύγκρισης 1 : 5 Σύγκρισης 3 : 7 Σύγκρισης 5 : 4 Σύγκρισης 2 : 5 Σύγκρισης 4 : 7 Σύγκρισης 6 : 1

4 ΕΞΟΜΟΙΩΣΗΣ Εξομοίωσης 1 : 4 Εξομοίωσης 3 : 2 Εξομοίωςης 5 : 0 Εξομοίωσης 2 : 2 Εξομοίωσης 4 : 0 Εξομοίωσης 6 : 0 Β. Γιατί οι εκπαιδευτικοί δεν ανέφεραν προβλήματα από ορισμένες κατηγορίες προβλημάτων προσθετικού τύπου. Παρακάτω αναφέρουμε τις απαντήσεις των ομάδων και κατηγορίες που δημιουργήθηκαν από τις διαδικασίες κωδικοποίησης των δεδομένων τα οποία προήλθαν από τα εξής ερωτήματα που θέσαμε: 1.«Καθένας και καθεμία να αναστοχαστεί στα παρακάτω θέματα: α)σε ποιες κατηγορίες προσθετικο-αφαιρετικών προβλημάτων δεν έφτιαξε προβλήματα και β)για ποιους λόγους δεν έφτιαξε αυτά τα προβλήματα» 2.«Στην ομάδα σας να συζητήσετε αυτά που προηγουμένως αναστοχαστήκατε. Ένας παρατηρητής/τρια να γράφει τα συμπεράσματα της ομάδας σας, δηλ. αναφέρατε τους λόγους για τους οποίους δε γράψατε προβλήματα σε διάφορες κατηγορίες» Οι πέντε ομάδες των εκπαιδευτικών ανέφεραν τα εξής: 1 η ομάδα: Δε σκεφτήκαμε ότι υπάρχουν τόσες κατηγορίες. 2 η ομάδα: 1)Δε χρησιμοποιούσαμε τόσο εξειδικευμένη κατηγοριοποίηση προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης. 2) Οι ομάδες προβλημάτων που χρησιμοποιούν τα σχολικά βιβλία δεν περιλαμβάνουν όλες τις παραπάνω κατηγορίες. 3) Θα μπορούσαμε να καλύψουμε περισσότερες κατηγορίες αν υπήρχε αρκετός χρόνος. 3 η ομάδα: 1) Δεν το σκέφτηκε. Είναι πιο δύσκολα από τις άλλες κατηγορίες. 2) Είναι δύσκολα να τα συλλάβει και να τα ερμηνεύσει το παιδί των μικρών τάξεων τα προβλήματα εξομοίωσης. Διατύπωσα προβλήματα για μικρές τάξεις. Επίσης αυτά τα προβλήματα είναι δύσκολα να τα σκεφτούμε και εμείς οι ίδιοι. 3) Είχα στο νου μου μικρές ηλικίες και έγραψα όσο πιο απλά μπορούσα, γιατί δουλεύω με παιδιά με ειδικές ανάγκες. 4) απουσίαζα 4 η ομάδα: 1) Η γνώση των κατηγοριών 2) Η ανάγκη για πιο απλά και προσιτά προβλήματα 3) Έλλειψη χρόνου 4) Έλλεψη αρκετού ενδιαφέροντος για κατηγορίες 5) Άλλη κατηγοριοποίηση: Αλλαγής (πόσα μου έμεινε;), υπόλοιπο Συνδιασμού (πόσο κάνουν μαζί;), Σύγκριση (περισσότερο, λιγότερο), εξομοίωση(πόσα θέλω ακόμα;). 6) Λεπτές διαφορές στις κατηγορίες μεταξύ τους. 5 η ομάδα: 1)Ενδεχομένως κάποιες κατηγορίες αυτών των προβλημάτων υπήρχαν σε υπολανθάνουσα κατάσταση 2). Κάποιες από αυτές τις κατηγορίες δεν τις γνωρίζαμε Από την κατηγοριοποίηση των ατομικών απαντήσεων των εκπαιδευτικών και από τις συζητήσεις που έγιναν με όλες τις ομάδες εργασίας των εκπαιδευτικών, φαίνεται ότι οι παράγοντες οι οποίοι συνέτειναν στο να μην

5 αναφερθούν οι περισσότερες κατηγορίες προσθετικού τύπου προβλημάτων από τους περισσότερους εκπαιδευτικούς είναι οι εξής: 1 ος παράγοντας : Η έλλειψη χρόνου. Όταν η ερευνήτρια τόνισε ότι δεν είχε θέσει θέμα χρόνου και ότι μπορούσαν να εργαστούν 2,5 ώρες, όσες και το μάθημα της ημέρας, δύο εκπαιδευτικοί οι οποίοι και είχαν θέσει τον παράγοντα αυτό, απάντησαν ότι ήθελαν να τελειώσουν όσο το δυνατόν γρηγορότερα επειδή αισθάνονταν ότι εξετάζονται σε τέστ. 2 ος παράγοντας: Η έλλειψη γνώσης. Δε σκέφτηκα τόσους συνδυασμούς. Λόγω μη σαφούς εικόνας των κατηγοριών στο μυαλό μου. Δε σκέφτηκα ότι τα προβλήματα μπορεί να κατηγοριοποιηθούν 3 ος παράγοντας: Η δυσκολία των προβλημάτων: Είναι πιο δύσκολα από τις άλλες κατηγορίες. Είναι δύσκολα να τα συλλάβει και να τα ερμηνεύσει το παιδί των μικρών τάξεων τα προβλήματα εξομοίωσης Θέλησα να κάνω πιο απλά και προσιτά προβλήματα. Τα προβλήματα της εξομοίωσης είναι δύσκολα στη λύση τους από παιδιά μικρών τάξεων. 4 ος παράγοντας: Οι κατηγορίες και τα προβλήματα δεν αναφέρονται στα βιβλία και στο σχολείο. Οι ομάδες προβλημάτων που χρησιμοποιούν τα σχολικά βιβλία δεν περιλαμβάνουν όλες τις παραπάνω κατηγορίες Δε χρησιμοποιούμε στο σχολείο τόσο εξειδικευμένη κατηγοριοπίηση προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης. Προβλήματα από μερικές κατηγορίες χρησιμοποιούνται λιγότερο ή καθόλου στο σχολείο. 5 ος παράγοντας: Οι προσωπικές επιλογές του εκπαιδευτικού Είχα κάνει άλλη κατηγοριοποίηση. Αλλαγή (πόσα μου έμειναν), Συνδιασμού (πόσο κάνουν μαζί), Σύγκριση (περισσότερο, λιγότερο), εξομοίωση(πόσα θέλω ακόμη). Γιατί με το πρόβλημα Αλλαγής 1 και Αλλαγής 2 έδινα καλύτερα την αφαίρεση και την πρόσθεση 6 ος παράγοντας: Η τάξη με την οποία εργάζεται ο εκπαιδευτικός. Είναι πιο δύσκολα από τις άλλες κατηγορίες και εγώ τώρα δουλεύω με παιδιά Α τάξης. 7 ος παράγοντας: Η έλλειψη ενδιαφέροντος για κατηγορίες. Λόγω έλλειψης ενδιαφέροντος Στη συζήτηση η οποία ακολούθησε ο εκπαιδευτικός διατύπωσε την πεποίθησή του ότι δεν του αρέσει να «κατηγοριοποιεί» και ότι αφήνει τα παιδιά να ανακαλύπτουν τις πράξεις και τις λύσεις στα προβλήματα χωρίς κατηγοριοποιήσεις.

6 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. Οι περισσότεροι εκπαιδευτικοί σε αυτήν την έρευνα φάνηκε ότι δεν έχουν σχηματίσει ένα ενιαίο και επαρκές πλαίσιο για τις διαφορές μεταξύ των κατηγοριών των προβλημάτων της πρόσθεσης και της αφαίρεσης. Τα προβλήματα τα οποία κυρίως χρησιμοποιούν για να διδάξουν πρόσθεση και αφαίρεση είναι προβλήματα τύπου: Αλλαγής 1 (Ο Χ είχε 3 μπίλιες. Ο Ψ του έδωσε 5 μπίλιες. Πόσες μπίλιες έχει τώρα ο Χ;) Αλλαγής 2 (Ο Χ είχε 8 μπίλιες. Έδωσε 5 μπίλιες στον Ψ. Πόσες μπίλιες έχει τώρα ο Χ;) και Συνδιασμού 1 (Ο Χ έχει 3 μπίλιες. Ο Ψ έχει 5. Πόσες μπίλιες έχουν ο Χ και Ψ μαζί;) Είναι εντυπωσιακή η σύμπτωση ότι στα προβλήματα αυτά οι μαθητές δεν παρουσιάζουν δυσκολίες, όπως φαίνεται από αντίστοιχη έρευνα (βλ. Λεμονίδης 1994, σελ. 140) από το Νηπιαγωγείο έως και την Τρίτη Δημοτικού. Αντίθετα οι μαθητές παρουσιάζουν δυσκολίες στους υπόλοιπους τύπους προβλημάτων και κυρίως στα προβλήματα τύπου: Αλλαγής 5 (Ο Χ είχε μπίλιες.ο Ψ του έδωσε άλλες 5.Τώρα ο Χ έχει 8 μπίλιες.πόσες μπίλιες είχε ο Χ στην αρχή; Αλλαγής 6 (Ο Χ είχε μπίλιες.έδωσε 5 μπίλιες στονψ.τώρα ο Χ έχει 3 μπίλιες.πόσες μπίλιες είχε οχστην αρχή; Σύγκρισης 6 μπίλιες έχει ο Ψ;) (Ο Χ έχει 3 μπίλιες. Έχει 5 λιγότερες από τον Ψ. Πόσες Τις τελευταίες αυτές κατηγορίες των προβλημάτων οι εκπαιδευτικοί της έρευνας αυτής δεν ανέφεραν ότι τις χρησιμοποιούν για να διδάξουν προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης. Τίθεται λοιπόν το ερώτημα, αν υπάρχει συσχέτιση α) μεταξύ της γνώσης των εκπαιδευτικών -και της χρήσης από αυτούς- των κατηγοριών των προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης, και β) της επίδοσης των μαθητών στα προβλήματα αυτά. Αν οι εκπαιδευτικοί έχουν ένα καλό θεωρητικό και πρακτικό υπόβαθρο για τις κατηγορίες των προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης, είναι πολύ

7 πιθανόν η ποιότητα της διδασκαλίας τους και η επίδοση των μαθητών τους να είναι πολύ υψηλού βαθμού. i Carpenter,T. P., & Peterson, P.L. Learning mathematics from instruction (Special issue). Educational Psychologist. (1988). ii Clark, C. M., & Peterson, P.L. Teachers thought processes. In W. Wittrock (Ed.), Handbook of research on teaching (3 rd ed., pp ). New York:Macmillan ( 1986). iii Carpenter, T. P., & Moser, J. M. & Romberg, T.A. Addition and subtraction : A cognitive perspective. Hillsdale NJ: Erlbaum ( 1982) iv De Corte, E, & Verschaffel, L. Some factors influencing the solution of addition and subtraction word problems. In K. Durkin &B. Shue (Eds). Language in mathematics education (pp ) Open University Press. (1993) v Λεμονίδης, Χ. Γιατί και πώς χρησιμοποιούν οι μαθητές τα δάκτυλά τους στην εκτέλεση απλών προσθέσεων και αφαιρέσεων. Περιοδικό Διάσταση 2-3, Θεσ/νίκη. (1994) vi Λεμονίδης, Χ. Διαδικασίες που χρησιμοποιούν οι μαθητές της Α τάξης του Δημοτικού σε πράξεις και προβλήματα προσθετικού τύπου. Συμπεράσματα και προτάσεις για τη διδασκαλία. Πρακτικά 1 ης Διημερίδας για τη Διδακτική των Μαθηματικών, σελ Ρέθυμνο Απριλίου. (1998). vii Καφούση, Σ, Ντζιαχρήστος, Β. Οι μαθηματικές γνώσεις των παιδιών της Πρώτης τάξης του Δημοτικού Σχολείου. Παιδαγωγική έρευνα του Πανεπιστημίου Αθηνών. Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης. Τομέας Μαθηματικών και Πληροφορικής. (1997) viii Christou, C., Phillipou, G.. The Developmental Nature of Ability to Solve One- Step Word Problems. Journal of Research in Mathematics Education. Vol 29 (4) (1996) ix Romberg, T. & Collis, K. Different ways children learn to add and subtruct. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. (1987). x Vergnaud, G. A classification of cognitive tasks and operations of thougth involved in addition and subtraction problems. In Carpenter, T.P. - Moser, J.M. - Romberg, T.P. (Eds.), Addition and Sustraction. A cognitive perspective. Hillsdale, Erlbaum. (1982) xi Guba,E., Lincoln, Y. Naturalistic and Rationalistic Enquiry. Στο J., Keeves Educational research, methodology, and measurement. Pergamon Press. σελ. 81 (1988)