The copyright and the Intellectual Property of the Edition of the Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 (ff. 11r-126r)

Transcript

1 The copyright and the Intellectual Property of the Edition of the Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 (ff. 11r-126r) The Byzantine Mathematics, 3 rd edition Volume Ι Arithmetic, Αlgebra Volume ΙΙ Geometry

2 Τὰ βυζαντινὰ Μαθηματικὰ εἶναι συνήθως ὑποτιμημένα ὡς πρὸς τὴ συνεισφορά τους στὴν ἐξέλιξη τῆς Μαθηματικῆς Ἐπιστήμης ἀνὰ τοὺς αἰῶνες. Οἱ δύο τόμοι τῆς 3 ης Έκδοσης στοχεύουν νὰ ἀποκαταστήσουν στὸ μέτρο τοῦ δυνατοῦ τὴν πραγματικότητα, μιᾶς καὶ πηγὴ γιὰ τὴ συγγραφή τους εἶναι ὁ Ἑλληνικὸς Βιενναῖος κώδικας 65, ἕνα αὐθεντικὸ βυζαντινὸ μαθηματικὸ χειρόγραφο τοῦ 15ου αἰ. μ.χ., τὸ ὁποῖο φυλάσσεται ἐπὶ σειρὰ ἐτῶν στὴν Ἐθνικὴ Βιβλιοθήκη τῆς Αὐστρίας, καὶ τὸ ὁποῖο ἐξέδωσα τὸ 2006 (Κέντρο Βυζαντινῶν Ἐρευνῶν τοῦ Ἀριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης). Μέλη τοῦ Διοικητικοῦ Συμβουλίου τοῦ Κέντρου Βυζαντινῶν Ἐρευνῶν οἱ Καθηγητές τοῦ Ἀριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης κκ.: Γεώργιος Βελένης (Πρόεδρος), Ἀλκμήνη Σταυρίδου-Ζαφράκα, Βασίλειος Κατσαρός, Γεώργιος Νάκος, και Βασίλειος Φανουργάκης.

3

4 Ὁ Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 (ff. 11r-126r) εἶναι ἕνα ὀγκῶδες χειρόγραφο 250 περίπου πυκνογραμμένων σελίδων μεγέθους Α3, ἀνωνύμου συγγραφέα, τὸ περιεχόμενο τοῦ ὁποίου διδασκόταν πρίν τήν Ἅλωση τῆς Κωνσταντινούπολης σὲ εὐρὺ κοινό προερχόμενο ἀπὸ διάφορα κοινωνικὰ στρώματα, ὅπως συνηθιζόταν ἐκείνη τὴν ἐποχή. Ἡ σημασία τοῦ χειρογράφου εἶναι αξιόλογη, ἀφοῦ, ὅπως προέκυψε ἀπὸ τὴν διενεργηθεῖσα ἐπιστημονικὴ ἔρευνα πρόκειται κατ' οὐσίαν γιὰ τὴν Μαθηματικὴ Ἐγκυκλοπαίδεια τῶν Βυζαντινῶν, καὶ μάλιστα τὴν πρώτη Μαθηματικὴ Ἐγκυκλοπαίδεια. Ἐπιπλέον ἕνα δεύτερο στοιχεῖο ποὺ ἐνισχύει τὴν ἄποψη ὅτι πρόκειται γιὰ ἕνα σημαντικὸ ἐπιστημονικὸ ἔργο τῆς ἐποχῆς του εἶναι ὅτι ἀπὸ τὰ μέχρι στιγμῆς ἐπιστημονικὰ εὑρήματα προκύπτει πὼς εἶναι τὸ πρῶτο ἑλληνικὸ χειρόγραφο στὸ ὁποῖο ἐμφανίζεται τὸ πρόβλημα (κεφ. 177 (ροζ)) τῆς κατασκευῆς τετραγώνου ἐγγεγραμμένου σὲ ἰσόπλευρο τρίγωνο, ὥστε ἡ μία του πλευρὰ νὰ ἐφάπτεται μὲ τὴν πλευρὰ τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου. Βέβαια στὸ χειρόγραφο δὲν καταγράφεται τὸ θεωρητικὸ μέρος τῆς κατασκευῆς, ἀλλὰ ζητεῖται μόνο νὰ ὑπολογισθεῖ ἡ πλευρὰ τοῦ τετραγώνου συναρτήσει τῆς πλευρᾶς τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου.

5 Πρέπει να σημειωθεί ότι στο παρελθόν έγιναν διάφορες απόπειρες έκδοσης του χειρόγραφου από Πανεπιστημιακούς Καθηγητές όπως ο Η. Hunger (1978) και ο J. L. Heiberg (1899), οι οποίες είχαν σαν αποτέλεσμα την έκδοση μικρών τμημάτων του, παρά το ότι η εργασία γινόταν συνήθως από επιστημονικές ομάδες. Αυτό όμως θεωρείται αναμενόμενο, διότι η δυσκολία της έκδοσης μιας τέτοιας μελέτης έγκειται στο ότι απαιτούνται σύνθετες γνώσεις Παλαιογραφίας, Μαθηματικών και πολύ καλή γνώση της Ελληνικής γλώσσας της σύγχρονης αλλά και αυτής του 15 ου αι. Εξέδωσα το χειρόγραφο το 2006, ως βελτιωμένη έκδοση της διδακτορικής μου διατριβής που εγκρίθηκε με ομόφωνο άριστα από το Μαθηματικό Τμήμα του Πανεπιστημίου Αθηνών το Εδώ πρέπει να επισημάνω ότι η επταμελής Επιτροπή για την έγκριση της διδακτορικής διατριβής απαρτιζόταν από 7 διακεκριμένους διεθνώς Καθηγητές: Α) Του Μαθηματικού Τμήματος του Πανεπιστημίου Αθηνών, τους κκ. Μαρία Παπαθανασίου, Σταύρο Παπασταυρίδη, Ιωάννη Αραχωβίτη και Παναγιώτη Τσαγκάρη και Β) τους Βυζαντινολόγους κκ. Κωνσταντίνο Μανάφη, Φώτιο Δημητρακόπουλο και Ταξιάρχη Κόλια της Φιλοσοφικής Σχολής του Πανεπιστημίου Αθηνών.

6

7 Η πλήρης έκδοση του 2006 έγινε από το Κέντρο Βυζαντινών Ερευνών του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου της Θεσσαλονίκης τηρουμένων όλων των απαιτήσεων μιας παγκοσμίως αξιόπιστης και μοναδικής έκδοσης. Το βιβλίο αυτό έγινε δεκτό μετά πολλών επαίνων από την επιστημονική κοινότητα, σχολιάστηκε θετικά σε ελληνικά και ξένα περιοδικά και αναφέρεται κατ εξακολούθηση σε δημοσιεύσεις ερευνητών. Προσωπικά έγινα αποδέκτης συγχαρητηρίων επιστολών από Έλληνες και ξένους γνωστούς Καθηγητές Πανεπιστημίων, Ακαδημαϊκούς και Πρυτάνεις. Το βιβλίο δε, ευρίσκεται με το χαρακτηρισμό ΠΗΓΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ στις βιβλιοθήκες πολλών Πανεπιστημίων της χώρας μας αλλά και του εξωτερικού.

8 Whoever carries out the transcription and the scientific study of a manuscript holds the Intellectual Property of the work! Προσφάτως και συγκεκριμένα στις αρχές του 2014 πληροφορήθηκα από διεθνές επιστημονικό forum, ότι κάποιος Γερμανός συγγραφέας που είχε ξεκινήσει προ 20- ετίας τη μεταγραφή υπό την επίβλεψη του Καθηγητή H. Hunger, και ο οποίος τα τελευταία 8 χρόνια μελετούσε την ελληνική έκδοσή μας, κατάφερε να το εκδώσει (;) όπως ισχυρίζεται μεταφρασμένο και στα γερμανικά. Μάλιστα για να διαφημίσει προφανώς το βιβλίο του γράφει, ότι αυτό είναι το πρώτο και μοναδικό αξιόλογο έργο που έχει εκδοθεί μέχρι το Το κατά πόσον είναι ηθικό να κάνει διαφήμιση μέσω δυσφήμισης, δεν φαίνεται να τον απασχολεί ιδιαίτερα. Εδώ βέβαια τίθενται πρωτίστως ερωτήματα σχετικά με το θέμα της μεταγραφής την οποία βρήκε έτοιμη, όπως και τα μαθηματικά σχόλια με τις πρωτότυπες αποδείξεις μου, τα φιλολογικά σχόλια και γενικότερα την πλήρη και διεξοδική πρωτότυπη μελέτη του χειρόγραφου, όπως αυτή εγκρίθηκε από το Πανεπιστήμιο Αθηνών το 2004 και εκδόθηκε από το Αριστοτέλειο το Δευτερευόντως τίθενται ερωτήματα και για τη διασφάλιση μιας έστω ελάχιστης επιστημονικής αξιοπιστίας αυτής της ελεύθερης μετάφρασης ενός μικρού μέρους του ελληνικού έργου μου στα γερμανικά, αφού κάποιοι επιστημονικοί (;) ισχυρισμοί του Γερμανού μεταφραστή, όπως π.χ. ότι η εμφάνιση των δεκαδικών κλασμάτων συνδέεται με την άνοδο της Οθωμανικής Αυτοκρατορίας (sic!), προκαλούν θυμηδία και σκέψεις σχετικά με τα κίνητρα του συγγραφέα της. Dr. Maria Chalkou, Ph.D., M.Sc. in Mathematics, University of Athens Dept. of Mathematics, State High School Advisor

9 Είναι απολύτως κατανοητή η απογοήτευση ορισμένων ανθρώπων, οι οποίοι επί σειρά ετών αγωνίζονταν να φέρουν σε πέρας αυτό το τεράστιο έργο χωρίς κάποιο αποτέλεσμα. Εκείνο που δεν μπορούν όμως να αλλάξουν είναι το γεγονός ότι οι Έλληνες, όταν θέλουμε, έχουμε επανειλημμένα αποδείξει ότι δημιουργούμε επιστημονικές ανακαλύψεις και πρωτότυπα έργα που μένουν στην Ιστορία, αν και δεν μένουν πάντα στην Ελλάδα, αφού πολλά καταλήγουν μετά την αρπαγή τους να κοσμούν μουσεία, βιβλιοθήκες και άλλους τόπους συλλογής δειγμάτων Ελληνικού Πολιτισμού. Και, όπως και να γίνει, δεν μπορούν να αλλάξουν το ότι το συγκεκριμένο έργο ήταν σύμφωνα με όλες τις ενδείξεις έργο Βυζαντινού συγγραφέα και εκδόθηκε αποδεδειγμένα από Ελληνίδα μαθηματικό το 2006 με την εκδοτική σφραγίδα ενός εκ των σημαντικότερων Κέντρων Βυζαντινών Ερευνών-αυτό του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, αφού βέβαια είχε ήδη εγκριθεί με ομόφωνο άριστα ως διδακτορική διατριβή από το Πανεπιστήμιο Αθηνών το Βεβαίως και οι μεταφραστές επιτελούν έργο. Εκείνοι όμως που διαστρεβλώνουν μερικώς ένα μεγάλο έργο, του οποίου μεταφράζουν στη γλώσσα τους ένα μικρό τμήμα και στη συνέχεια το παρουσιάζουν όλο ως δικό τους, προσπαθώντας μάλιστα να απαξιώσουν τον δημιουργό του έργου με εξαιρετικά αστείες και άστοχες παρατηρήσεις, για να διαφημίσουν το αντίγραφό τους, πώς ακριβώς χαρακτηρίζονται; Έντιμοι Επιστήμονες-Ερευνητές, ή μήπως κάτι άλλο;

10 Σε μία τέτοια μελέτη το δυσκολότερο και πιο επίπονο μέρος είναι η μεταγραφή. Για να αντιληφθεί κανείς τί ακριβώς σημαίνει μεταγραφή ενός χειρόγραφου, αρκεί να κατανοήσει ότι χρειάζονται περί τα 3 χρόνια σπουδές Παλαιογραφίας, δηλαδή χρειάζεται να μάθει κάποιος τη γλώσσα των αρχαίων χειρόγραφων για να μεταγράψει το κείμενο, εν προκειμένω του 15 ου αι. στην ελληνική γλώσσα ώστε να μπορεί να γίνει κατανοητό πρωτίστως από τους γνωρίζοντες την ελληνική γλώσσα επιστήμονες, και ασφαλώς από τους Βυζαντινολόγους παγκοσμίως.

11 Δείγμα από το κείμενο του 15 ου αι. Στο πλάι της σελίδας βλέπουμε και τις πράξεις που έχουν γίνει σ αυτό το πρόβλημα του υπολογισμού του όγκου του εικονιζόμενου δοχείου

12 Αφού ολοκληρωθεί η μεταγραφή διαβάζονται προσεκτικά οι διατυπώσεις των προβλημάτων καθώς και οι επιλύσεις που έχουν χρησιμοποιηθεί από τον συγγραφέα του χειρόγραφου. Το τμήμα αυτό της μελέτης παρουσιάζει σοβαρές δυσκολίες, επειδή οι σύγχρονοι μαθηματικοί δεν είμαστε εξοικειωμένοι ούτε με τη γλώσσα του μεταγραμμένου ήδη κειμένου, αλλά ούτε και με τις μεθόδους των επιστημόνων εκείνων των εποχών. Αρκεί να σκεφθεί κανείς, ότι τότε, η επίλυση μιας εξίσωσης επί παραδείγματι δεν περιελάμβανε κάποια μαθηματική σχέση όπως τη γνωρίζουμε σήμερα, αλλά γινόταν περιγραφικά σε όλη την έκτασή της. Για να γίνει κατανοητό αυτό το τμήμα της διαδικασίας της έκδοσης ενός χειρόγραφου, παρουσιάζω για το πρόβλημα 171 (ροα) της γεωμετρίας: 1) Τη διατύπωση και την επίλυσή του από τον συγγραφέα του 15 ου αι. 2) Τμήμα από το κείμενο όπως διαμορφώθηκε μετά τη μεταγραφή, και 3) Τον μαθηματικό σχολιασμό.

13

14 ΤΟ ΚΕΙΜΕΝΟ ΜΕΤΑ ΤΗ ΜΕΤΑΓΡΑΦΗ ροα' Περὶ τοῦ πῶς ἐστὶ ἐντὸς ἡμισφαιρίου σχήματος, τεθῆναι τετράγωνον σχῆμα ἰσόπλευρον καὶ εἰδέναι ἑκάστη πλευρὰν πόσων σπιθαμῶν ἐστί. Ἔστω ἡμισφαίριον σχῆμα ὅπερ ἐστὶ ἡ διάμετρος αὐτοῦ σπιθαμῶν ιβ, τεθημένου δὲ ἐντός, σχῆμα τετράγωνον ἰσόπλευρον κατὰ τὸ ἐγχωροῦν μεῖζον μέγεθος. Ζητεῖς εἰδέναι ἑκάστη πλευρὰν πόσων σπιθαμῶν ἐστί. Ἔχεις δὲ τοῦτο εἰδέναι οὕτως: Πολλαπλασίασον εἰς ἑαυτὴ τὴν διάμετρον τοῦ ἡμισφαιρίου ἥτις ἐστὶ σπιθαμῶν ιβ ὡς εἴπομεν ιβ-κις οὖν ιβ γίνονται ρμδ. Μέρισον ταῦτα πάντοτε μετὰ τῶν ε. Γίνεταί δε νῦν ὁ τούτων διαμερισμὸς κη καὶ δ/ε. Ζήτει τὴν ρίζαν τοῦ κη καὶ δ/ε ἥτις ἐστὶ ε καὶ ια/λ. Τὰ γὰρ ε καὶ ια/λ τεχνικῶς πολλαπλασιαζόμενα εἰς ἑαυτὰ πολλαπλασιάζοσιν κη καὶ ψκα/ϡ ἅπερ ἐστὶ κη καὶ δ/ε. Ἐστὶ δὲ ἑκάστη πλευρὰ τοῦ τετραγώνου τοῦ σχήματος σπιθαμῶν ε καὶ ια/λ μιᾶς σπιθαμῆς

15 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ κεφ (ροα). Μὲ πλευρὰ τμῆμα τῆς διαμέτρου ΑΒ= 12 ἑνός κύκλου, ο συγγραφέας ζητεῖ νὰ κατασκευαστεῖ τετράγωνο μὲ δύο διαδοχικές κορυφὲς ἐπὶ τῆς περιφέρειας καὶ τὶς ἄλλες δύο ἐπὶ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου. Ἔστω ΓΕΖΔ τὸ ζητούμενο τετράγωνο. Τὰ ὀρθογώνια τρίγωνα ΔΖΟ καὶ ΓΕΟ εἶναι ἴσα ἐπειδὴ ἔχουν ΔΖ=ΓΕ (ὡς πλευρὲς τετραγώνου), καὶ ΟΖ=ΟΕ=ρ=6. Ἄρα ΟΔ=ΟΓ=χ/2, ὅπου χ ἡ πλευρὰ τοῦ ζητούμενου τετραγώνου. Ἐφαρμόζουμε τὸ Πυθαγόρειο θεώρημα στὸ ὀρθογώνιο τρίγωνο ΔΖΟ: 6²= χ²+(χ/2)², ἢ χ²= 144/5, ἢ χ= (144/5). Ὁ συγγραφέας τοῦ χειρόγραφου γνωρίζει προφανῶς τή μέθοδο, ἀλλά περιγράφει μόνο τὸ τελευταῖο βῆμα τῆς πιὸ πάνω διαδικασίας, δηλαδὴ ὑπολογίζει κατευθείαν τὸ χ ὡς τὴν τετραγωνικὴ ρίζα τοῦ ΑΒ²/5, χωρὶς κάποια αἰτιολόγηση.

16

17 Σχετικά με την ολοκλήρωση της έκδοσης ενός χειρόγραφου, αφού γίνει η μεταγραφή, η μελέτη των μεθόδων του συγγραφέα, και ο μαθηματικός τους σχολιασμός, εκείνο που απομένει πλέον είναι το κεφάλαιο της ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ, όπου αναλύονται διεξοδικά με αποδεικτικά στοιχεία τα εξής: 1) Η περιγραφή του χειρογράφου 2) Η χρονολογία συγγραφής του 3) Η γλώσσα, η σύνταξη και οι γραμματικές παρατηρήσεις 4) Η ορολογία που χρησιμοποιεί ο συγγραφέας 5) Τα νομίσματα, τα μέτρα και τα σταθμά 6) Οι επιστημονικές επιρροές που έχει δεχθεί ο συγγραφέας 7) Η προσωπικότητα του συγγραφέα, και 8) Οι θεματικές ενότητες του περιεχομένου του χειρογράφου ΟΛΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΩ ΠΕΡΙΕΧΟΝΤΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΤΟ ΚΕΙΜΕΝΟ ΤΗΣ ΟΠΟΙΑΣ ΕΥΡΙΣΚΕΤΑΙ ΕΔΩ ΚΑΙ ΑΡΚΕΤΑ ΧΡΟΝΙΑ ΣΤΟ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗΣ ΚΑΙ ΕΊΝΑΙ ΣΤΗ ΔΙΑΘΕΣΗ ΤΩΝ ΕΡΕΥΝΗΤΩΝ ΓΙΑ ΝΑ ΤΟ ΜΕΛΕΤΗΣΟΥΝ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΩΣ ΟΧΙ ΓΙΑ ΝΑ ΤΟ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΟΥΝ ΩΣ ΔΙΚΟ ΤΟΥΣ ΚΑΝΟΝΤΑΣ ΚΑΠΟΙΕΣ ΑΛΛΑΓΕΣ ΓΙΑ ΝΑ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΗΣΟΥΝ ΤΗΝ ΠΡΑΞΗ ΤΟΥΣ

18 Όσον αφορά στην Γ έκδοση των δύο τόμων των Βυζαντινών Μαθηματικών, σημειώνω ότι πρόκειται για μια πιο εκλαϊκευμένη παρουσίαση της επίσημης έκδοσης του έργου, που έγινε από το Κέντρο Βυζαντινών Ερευνών του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης το Οι δύο αυτοί τόμοι περιέχουν έναν μεγάλο αριθμό προβλημάτων ποικίλης θεματολογίας, γεγονός που επιτρέπει την ασφαλή εξαγωγή συμπερασμάτων σχετικά με τον ρόλο που διαδραμάτισαν οι Βυζαντινοί λόγιοι στην πρόοδο της Επιστήμης των Μαθηματικών και της Μαθηματικής Παιδείας γενικότερα. Επιπλέον, προσφέρει πλήθος πληροφοριών σχετικά με τα προβλήματα που αντιμετώπιζαν οι Βυζαντινοί στην καθημερινή τους ζωή, σχετικά με το εμπόριο, τις συναλλαγές, την αργυροχρυσοχοΐα, την οχυρωματική τέχνη, κ. ά.

19 Στὸν πρῶτο τόμο τῆς Γ ἔκδοσης τοῦ βιβλίου μου τό ὁποῖο ἐκδόθηκε τό 2006 (Α ἔκδοση) μέ τίτλο Τά μαθηματικά στό Βυζάντιο ἀπό τίς Ἐκδόσεις Ἐπικαιρότητα καί ἐπανεκδόθηκε τό 2007 (Β ἔκδοση) ἀπό τίς Ἐκδόσεις Παῦλος, γίνεται ἀναφορὰ στὴν περιγραφὴ τοῦ χειρογράφου καὶ τοῦ περιεχομένου τῶν 10 πρώτων ἑνοτήτων, σχολιάζονται μαθηματικῶς τὰ προβλήματα τῆς Ἀριθμητικῆς καὶ τῆς Ἄλγεβρας, καὶ παρατίθενται μεταγραμμένα τμήματα τοῦ κειμένου τοῦ 15ου αἰ. Σημαντικά στοιχεῖα περιέχονται στά κεφάλαια πού ἀναφέρονται στή Θεωρία Ἀριθμῶν, στὴν πρώιμη μέθοδο ὀλοκλήρωσης και στα κλάσματα, γεγονός πού καταδεικνύει την καθόλου εὐκαταφρόνητη Μαθηματική Παιδεία τῶν Βυζαντινῶν. Στὸν δεύτερο τόμο τῆς Γ ἔκδοσης τοῦ βιβλίου πού ἐκδόθηκε τό 2006 (Α ἔκδοση) μέ τίτλο Τά προβλήματα τῆς Γεωμετρίας στό Βυζάντιο ἀπό τίς Ἐκδόσεις Ἐπικαιρότητα καί ἐπανεκδόθηκε τό 2007 (Β ἔκδοση) ἀπό τίς Ἐκδόσεις Παύλος, περιγράφεται τὸ περιεχόμενο τῶν 3 τελευταίων ἑνοτήτων τῆς Γεωμετρίας, σχολιάζονται μαθηματικῶς τὰ προβλήματα καὶ παρατίθενται τμήματα τοῦ ἀντιστοίχου μεταγραμμένου κειμένου. Καί στούς δύο τόμους τῆς Γ ἔκδοσης ἔχουν προστεθεῖ νέα στοιχεῖα προερχόμενα ἀπό δημοσιεύσεις μου πού ἔγιναν κυρίως κατά τήν τελευταία 8ετία σέ ἐπιστημονικά περιοδικά καθώς καί εἰσηγήσεις μου σέ ἑλληνικά καί διεθνῆ Συνέδρια.

20

21 Παρουσίαση καὶ περιγραφὴ τῆς Β Ἔκδοσης τῶν δύο τόμων ἔγινε καὶ στὸ γερμανικὸ περιοδικὸ Bereitgestellt von/ De Gruyter/TCS, Angemeldet/ , Heruntergeladen am/ , pp.1052,1053, τοῦ 2014 ἀπό τὸν Ἱστορικό καὶ μέλος τῆς Ἐπιτροπῆς Βυζαντινῶν Σπουδῶν τοῦ Ε.Ι.Ε. κ. Ι. Τελέλη, Συνιστᾶται στοὺς ἀναγνῶστες-μελετητὲς τῶν δύο τόμων, νὰ ἀφιερώσουν στὴν ἀρχὴ λίγο χρόνο γιὰ τὴν ἐκμάθηση τοῦ ἀρχαίου ἑλληνικοῦ συστήματος ἀρίθμησης, ὥστε νὰ κατανοοῦν χωρὶς δυσκολία τὶς μεθοδολογίες καὶ τὶς πράξεις τοῦ συγγραφέα τοῦ 15 ου αἰ.

22 α 1 ι 10 ρ 100, α 1000 β 2 κ 20 σ 200,β 2000 γ 3 λ 30 τ 300,γ 3000 δ 4 μ 40 υ 400 ɥ (σε όλες τις εκδόσεις μου συμβολίζεται με το γράμμα u) 0 ε 5 ν 50 φ 500 ς 6 ξ 60 χ 600 ζ 7 ο 70 ψ 700 η 8 π 80 ω 800 θ 9 Ϟ 90 Ϡ 900

23 Σημειώσεις 1. Στοὺς δύο αὐτοὺς τόμους, ὅπως καὶ στὴν ἔκδοση του Κέντρου Βυζαντινῶν Ἐρευνῶν του 2006, ἀλλὰ καὶ στὴ Διδακτορικὴ Διατριβή, τὸ καλλιγραφικὸ ἀνεστραμμένο h ποὺ χρησιμοποιεῖ ὁ συγγραφέας γιὰ τὸ ψηφίο 0, ἔχει συμβολισθεῖ μὲ τὸ γράμμα u. 2. Οἱ ἀριθμοὶ τῶν κάτωθι παραδειγμάτων γράφονται με δύο τρόπους. Ὁ δεύτερος τρόπος μπορεῖ νὰ χρησιμοποιεῖται ἐπειδὴ πρόκειται γιὰ ἀριθμητικὸ σύστημα θέσης, ποὺ σημαίνει ὅτι τὸ κάθε γράμμα λαμβάνει ἀξία ἀνάλογα μὲ τὴ θέση ποὺ ἔχει στὸν ἀριθμό. Παραδείγματα Ὁ ρκγ δηλώνει τὸν ἀριθμὸ 123. Ὅμοια καὶ ὁ αβγ. Ὁ Ϡ Ϟε δηλώνει τὸν ἀριθμὸ 995. Ὅμοια καὶ ὁ θθε. Ὁ ˏετξ δηλώνει τὸν ἀριθμὸ Ὅμοια καὶ ὁ εγςu.

24 Οι δύο τόμοι της 3 ης έκδοσης διατίθενται σε μορφή epub στο ηλεκτρονικό βιβλιοπωλείο Kobo στη διεύθυνση (όρος αναζήτησης : Μαρία Χάλκου) Διατίθενται επίσης και στο ελληνικό ηλεκτρονικό βιβλιοπωλείο yantzi στη διεύθυνση (όρος αναζήτησης : Μαρία Χάλκου) Οι 2 τόμοι και των τριών εκδόσεων ευρίσκονται στη Βιβλιοθήκη του Κέντρου Βυζαντινών Ερευνών Dumbarton Oaks του Πανεπιστημίου Harvard (Όρος αναζήτησης: Chalkou Maria D.)