Θεωρία Συνόλων - Set Theory

Transcript

1 Θεωρία Συνόλων - Set Theory Ἐπισκόπηση γιὰ τὶς ἀνάγκες τῶν Πρωτοετῶν Φοιτητῶν τοῦ Τµήµατος Διοίκησης, στὸ µάθηµα Γενικὰ Μαθηµατικά. Ὑπὸ Γεωργίου Σπ. Κακαρελίδη, Στὸ Τµῆµα Διοίκησης ΤΕΙ Δυτικῆς Ἑλλάδος Παρουσίαση Βασισµένη στὸ Mathematical Analysis for Decision Making, by A.K.McAdams, 1970, Macmillan Co καὶ στὶς σηµειώσεις τῶν Α. Αργυροῦ & Μ. Παπαδοπούλη τοῦ Πανεπιστηµίου Κρήτης, Ἀκαδ. Ἔτος ΠΡΟΣΟΧΗ! ΣΕ ΚΑΜΜΙΑ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΟ ΠΑΡΟΝ ΔΕΝ ΥΠΟΚΑΘΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ, ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ἤ ΑΛΛΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ. ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΟΝΟΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤῼΝ ΟΣΩΝ ΕΛΕΧΘΗΚΑΝ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ. ΥΦΙΣΤΑΤΑΙ ΑΠΟΠΟΙΗΣΗ ΕΥΘΥΝΗΣ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΤΥΠΟΓΡΑΦΙΚΟ ἤ ΑΛΛΟ ΛΑΘΟΣ 1

2 Περὶ Συνόλων about SETS #1 Ἕνα σύνολο (Set) εἶναι µιὰ, ΚΑΛΑ ΟΡΙΣΜΕΝΗ, συλλογὴ ΞΕΧΩΡΙΣΤΩΝ (διακεκριµένων) ἀντικειµένων, ποὺ ὀνοµάζονται ΣΤΟΙΧΕΙΑ. Συµβολισµὸς: S = {6, 2, 8, 4} ἢ S={x: x εἶναι θετικὸς, ἅρτιος ἀκέραιος µικρότερος τοῦ 10} Ὁµοίως {{2, 1}, {3}, {3, 2, 1}, S}, {1, 2, 3, }, {x R -3 < x < 6}, { Τὰ πάγια στοιχεῖα τῆς Ἑταιρείας Τάδε} ΠΡΟΣΟΧΗ! {1,2} {{1,2}} ΠΡΟΣΟΧΗ!! Τὰ στοιχεῖα συνόλων ΔΕΝ εἶναι διατεταγµένα, ἐκτὸς ἄν ὁρισθεῖ διάταξη 2

3 Περὶ Συνόλων #2 Καλὰ Ὁρισµένη: Δοθέντος στοιχείου x µία καὶ µόνον µία ἀπὸ τὶς ἀκόλουθες, εἶναι ὀρθὴ: εἲτε τὸ στοιχεῖο x ἀνήκει στὸ σύνολο (x S ), ἤ τὸ στοιχεῖο x δὲν ἀνήκει στὸ σύνολο ( x S) Διακεκριµένων : δὲν ὑπάρχουν δύο ἴδια στοιχεῖα στὸ σύνολο 3

4 Περὶ Συνόλων #3, Ἰσχύς, Ἰσότητα Συνόλων S : πληθικὸς ἀριθµὸς ἢ ἰσχύς τοῦ S (cardinal number) εἶναι τὸ πλῆθος τῶν στοιχείων τοῦ S. π.χ. =0, {1,2,3} = 3, {a,b} = 2, {{1,2,3},{4,5}} = 2 Ἰσότητα Συνόλων: Δύο (µὴ διατεταγµένα) σύνολα λέγονται ΙΣΑ, ἐὰν καὶ µόνον ἐὰν ἐµπεριέχουν ΑΚΡΙΒΩΣ τὰ ἴδια στοιχεῖα. 4

5 Εἰδικὰ σύνολα #1, Κενὸ σύνολο (Empty, Null Set) Ἕνα Σύνολο ΧΩΡΙΣ στοιχεῖα, ὀνοµάζεται ΚΕΝΟΝ καὶ συµβολίζεται µὲ ἤ { } ΠΡΟΣΟΧΗ! { 0 } { }, { 0 }, 0 καὶ 0 5

6 Εἰδικὰ σύνολα #2, Ὑποσύνολο (SUBSET) Σύνολο A εἶναι ὑποσύνολο συνόλου B, (καὶ γράφεται A B, ὅταν x, x A x B. A εἶναι γνήσιο ὑποσύνολο B, ὅταν A εἶναι ὑποσύνολο τοῦ B καὶ x B γιὰ τὸ ὁποῖο x A. Ὁπτικὴ ἀναπαράσταση: µέσῳ διαγραµµάτων Venn. Προσοχὴ στὰ (ἐµπεριέχεσθαι) καὶ (ἀνήκειν). 6

7 Εἰδικὰ σύνολα #3 Δυναµοσύνολο, Powerset Τό Δυναµοσύνολο τοῦ A, συµβολίζεται µὲ P (A), εἶναι τὸ σύνολο ὉΛΩΝ τῶν ὑποσυνόλων τοῦ A. P(Α) : {x xα} Θεώρηµα: Ἄν A B, τότε P (A) P (B). Θεώρηµα: Ἄν τὸ σύνολο A ἔχει n στοιχεῖα, τότε τὸ P (A) ἔχει 2 n στοιχεῖα. Προσοχη! Περιλαµβάνονται καὶ τὸ Α καὶ τὸ Προκύπτει ότια: P(Α) > Α, e.g. P(N) > N. Υπάρχουν άπειρα σύνολα µε διαφορετικά µεγέθη! 7

8 Εἰδικὰ σύνολα #3 Δειγµατικὸς Χῶρος, Ὑπερσύνολο, Universe ἤ Population Set Ὁρίζεται ὡς τὸ σύνολο ΟΛΩΝ τῶν στοιχείων, σχετικῶν µὲ ἑνα πρόβληµα, συζήτηση, ἔρευνα. Σηµαίνει τὴν ὁλικότητα τῶν ὑπὸ θεώρησιν στοιχείων. Μπορεῖ νὰ εἶναι ἐξαιρετικὰ µεγάλο, ὁπὸτε ἐνασχόληση µὲ ὑποσύνολὸ του ἤ δεῖγµα εἶναι προσφορότερη. Συµβολίζεται µὲ U 8

9 Πράξεις Συνόλων #1 Ὁρισµοὶ Ἔστω A & B ὑποσύνολα of a universal set U. Ἕνωση Συνὀλων (Union Set) A B = {x U x A ἤ x B } ὅπου ἤ = or = Τοµὴ Συνόλων (Intersection Set) A B = {x U x A καὶ x B } ὅπου καὶ=and= Διαφορὰ Συνόλων (Difference Set) : B A = {x U x B and x A } Συµµετρικὴ διαφορὰ A B : (AUB) (A B) (ἕνωση µεῖον τοµὴ) Συµπλήρωµα Συνόλου ((Complement Set) A c = {x U x A } (συµβολίζεται καὶ Α ) Ἱσότητα Δύο Συνόλων (Equal Sets) A = B A B and B A 9

10 Πράξεις Συνόλων#2 Venn Diagrams A B A B A B A B 10

11 Πράξεις Συνόλων #3- Πορίσµατα Ἔστω A & B ὑποσύνολα of a universal set U. ἡ ἕνωση AB δύο συνόλων Α, Β ἀποτελεῖ ὑπερσύνολο καὶ τοῦ A καὶ τοῦ B (εἶναι τὸ µικρότερο δυνατὸ) : A, B: (AB A) (AB B) ὅπου = καὶ ἡ τοµὴ A B δύο συνόλων Α, Β εἶναι ἓνα ὑποσύνολο καὶ τοῦ A καὶ τοῦ B (τὸ µέγιστο τέτοιο ὑποσύνολο) : A, B: (A B A) (A B B) Μεταβατικότητα ὑποσυνόλων: (A B B C) A C Σηµαντικό: AB = A + B A B 11

12 Ταυτότητες, νόµοι Συνόλων #1 Άντιµεταθετικὴ: A B = B A καὶ A B = B A Προσεταιριστικὴ: (A B) C = A (B C) καὶ (A B) C = A (B C) Ἐπιµεριστικὴ: A (B C) = (A B) (A C) καὶ A (B C) = (A B) (A C) Τοµὴ, Ἕνωση µὲ τὸ Ὑπερσύνολο: A U = A καὶ A U = U 12

13 Ταυτότητες, νόµοι Συνόλων #2 Συµπλήρωµα Συµπληρώµατος: (A c ) c = A Αὐτοδυναµίας: A A = A καὶ A A = A Νόµος DeMorgan s: (A B) c = A c B c καὶ (A B) c = A c B c Νόµος Ἀπορρόφησης: A (A B) = A καὶ A (A B) = A Ἐναλλακτικὴ διατύπωση διαφορᾶς: A B = A B c Τοµὴ & Ἕνωση µὲ ὑποσύνολο: ἄν A B, τότε A B = A καὶ A B = B 13

14 Περὶ κενοῦ συνόλου (συνέχεια) S = {x R x 2 = -1}. X = {1, 3}, Y = {2, 4}, C = X Y. Τὸ κενὸν σύνολο δὲν ἔχει στοιχεῖα. Τὸ { } εἶναι ὑποσύνολο παντὸς συνόλου. Θεώρηµα: Ὑπάρχει ἀκριβῶς 1 κενὸ σύνολο. Ἰδιότητες τοῦ κενοῦ συνόλου: A = A, A = A A c =, A A c = U U c =, c = U 14

15 Διαµέριση Συνόλων- Partinioning Δύο σύνολα λέγονται ΞΕΝΑ ἤ διαζευγµένα ἐὰν δὲν ἔχουν κοινὰ στοιχεῖα ἤτοι (A B= ) πχ {a,b,c} {2,3} = Θεώρηµα: τὰ A B καὶ B εἶναι ξένα. Αν Α, Β ξένα σύνολα, τότε: AB = A + B Μία συλλογὴ συνόλων A 1, A 2,, A n καλεῖται ἀµοιβαἰως ξὲνη ὅταν οἱοδήποτε ζεῦγος στοιχείων (συνόλων) αὐτῆς, αὐτὰ εἶναι ξένα. Μία συλλογὴ µή-κενῶν συνόλων {A 1, A 2,, A n } καλεῖται διαµέριση συνόλου A ἄν ἡ ἕνωση αὐτῶν τῶν συνόλων δίδει τὸ A καὶ ἡ συλλογὴ αὐτὴ ἀποτελεῖται ἀπὸ ἀµοιβαίως ξένα σύνολα. 15

16 Διατεταγµένα Σύνολα Ordered Sets Ὁρισµὸς: Τὸ σύνολο Α καλεῖται διατεταγµένο ἐάν, γιὰ κάθε δύο στοιχεῖα x καὶ y στὸ Α, καθορίζεται ἐπακριβῶς ὅτι: εἴτε τὸ x προηγεῖται τοῦ y, εἴτε τὸ y προηγεῖται τοῦ x Ἐὰν ἔνδιαφέρει ἡ διάταξη τότε τὸ διατεταγµένο σύνολο ἀπεικονίζεται µὲ παρενθέσεις Πχ S={3,2,4,1}, S={1,2,3,4}, ἀλλὰ S=(1,2,3,4) 16

17 Ἀρίθµηση Νὰ ὁρισθῇ ὁ ἀριθµὸς τῶν στοιχείων συνόλου Α. Τρόπος: Ἐκκινοῦµε ἀπὸ ἕνα στοιχεῖο τοῦ Α,στὸ ὁποῖο ἀντιστοιχοῦµε τὸν ἀριθµὸ 1 Έπιλέγουµε ἑπὸµενο καὶ ἀντιστοιχοῦµε τὸν ἀριθµὸ 2 Συνεχίζουµε ἕως ὅτου ἐξαντληθοῦν ὅλα τὰ στοιχεῖα τοῦ συνόλου Α. Ἡ διαδικασία αὐτὴ περιγράφεται µὲ δύο σύνολα: τὸ Α καὶ τὸ σύνολο τῶν θετικῶν ἀκεραίων Ι + 17

18 Αντιστοίχιση Ἑνὸς πρὸς Ἕνα - One to One Correspondence Ὁρισµός: Δύο σύνολα εὑρίσκονται σὲ ἀντιστοιχία ἑνὸς πρὸς ἕνα, ἐὰν τὰ στοιχεῖα τους συνδυἀζονται κατὰ τέτοιο τρόπο ὥστε κάθε στοιχεῖο τοῦ πρώτου συνόλου συνδυάζεται µὲ ἕν καὶ µόνον ἓν στοιχεῖο τοῦ δευτέρου καὶ κάθε στοιχεῖο τοῦ δευτέρου συνόλου συνδυάζεται µὲ ἕν καὶ µόνον ἓν στοιχεῖο τοῦ πρώτου. Ισοδυναµία Συνόλων: Α<->B Δύο σύνολα εἲναι ἰσοδύναµα ἐὰν µποροῦν νὰ τεθοῦν σὲ ἀντιστοιχία ἑνὸς πρὸς ἕνα. 18

19 Ζεύγη Pairs, Καρτεσιανὸ Γινόµενο, Ὁρισµός: Ζεῦγος εἶναι ἓνα σύνολο ἐκ ΔΥΟ στοιχείων Καρτεσιανὸ Γινόµενο Σύνολο ἐκ δύο συνόλων: Τὸ Καρτεσιανὸ Γινόµενο (παραγόµενο) δύο συνόλων Α καὶ Β, εἶναι τὸ σύνολο ὃλων τῶν διατεταγµένων ζευγῶν (x, y), διὰ τὰ ὁποῖα x A καὶ x B Τὸ Καρτεσιανὸ Γινόµενο (Cartesian Product Set of two sets) εἶναι σύνολο καὶ συµβολίζεται ὡς A B : {(a, b) aabb}. π.χ. {a,b} {1,2} = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)} Σηµείωση: A B = A B ἀλλὰ A,B: A B B A 19

20 Σχέσεις - Relations Ὁρισµός: Ἕνα ὑποσύνολο τοῦ καρτεσιανοῦ γινοµένου καλεῖται ΣΧΕΣΗ Πχ τὸ πραγµατικὸ ἐπίπεδο εἶναι τὸ καρτεσιανὸ γινόµενο RxR τοῦ συνόλου τῶν πραγµατικῶν άριθµῶν R. Τὸ 1 ο τεταρτηµόριο, ὥς ὑποσύνολο ὃλου τοῦ πραγµατικοῦ ἐπιπέδου ἀποτελεῖ σχέση. Σηµείωση: ἡ σχέση εἶναι σύνολο! 20

21 Συναρτήσεις - Functions Ὁρισµός: Δοθέντων δύο συνόλων Α καὶ Β καὶ, ἑνὸς κανόνος, ὁ ὁποῖος ἀντιστοιχεῖ γιὰ κάθε ἓνα στοιχεῖο x τοῦ Α, ἕνα µοναδικὰ προσδιοριζόµενο στοιχεῖο y τοῦ Β, τότε αὐτὸς ὁ κανὼν καθορίζει ἓνα σύνολο, f, ἀπὸ διατεταγµένα ζεύγη καὶ αὐτὸ τὸ σύνολο καλεῖται συνάρτηση ἀπὸ τὸ Α στὸ Β. Ἡ συνάρτηση f γράφεται ὡς f = { (x,y) } : γιὰ ὂλα τὰ x Α ὑπάρχει µοναδικὸ y B 21

22 Συναρτήσεις..συνέχεια 1η Μία συνάρτηση εἶναι σύνολο. Συµβολίζεται µὲ f ὅταν ἡ ἔµφαση εἶναι στὰ συναρτησιακὰ χαρακτηριστικὰ καὶ µὲ F στὰ τῶν συνόλων Τὸ στοιχεῖο y µπορεῖ νὰ ἀποδοθῇ καὶ ὡς f(χ) Τὸ σύνολο Α καλεῖται πεδίο Ὁρισµοῦ (Domain) τῆς f. Τὸ σύνολο B καλεῖται πεδίο Τιµῶν (Range) τῆς f Ἡ διαδικασία δηµιουργίας µιᾶς ἀντιστοιχίας, δηλαδὴ τῶν διατεταγµένων ζευγῶν, λέγεται ἀπεικόνιση (mapping) ἤ µετασχηµατισµὸς τοῦ Α στὸ Β καὶ συµβολίζεται A B Ἄν ἡ ἀπεικόνιση αὐτὴ ἐξαντλῇ ὅλα τὰ στοιχεῖα τοῦ Β, τότε τὸ Α εἶναι συνάρτηση Ἐπὶ τοῦ Β. 22

23 Συναρτήσεις..συνέχεια 2α Τὸ καρτεσιανὸ γινόµενο SXT δύο συνόλων S, T, ὅπου τὸ S περιέχει n στοιχεῖα καὶ τὸ Τ m, ἀποτελεῖται ἀπὸ n x m διατεταγµένα ζεύγη Μία σχέση εἶναι ὑποσύνολο τοῦ καρτεσιανοῦ γινοµένου. Μπορεῖ νὰ διατρέχη ἤ µἠ, ὅλα τὰ στοιχεὶα τοῦ S καὶ ὅποιο στοιχεῖο του µπορεῖ νὰ διαταχθῆ µὲ ἕνα ἠ περισσότερα στὸ Τ. Μία συνάρτηση εἶναι ἐπίσης ὑποσύνολο τοῦ καρτεσιανοῦ γινοµένου. Πρέπει ὅµως νὰ ἐξαντλήση ὅλο τὸ πεδίο ὁρισµοῦ της, ὄχι ὅµως κατ ἀνάγκην καὶ τὸ τιµῶν. Στὴν τελευταία περίπτωση καλεῖται ἀµφιµονοσήµανρη (ἕν πρὸς ἕν) συνάρτηση 23

24 Συναρτήσεις..συνέχεια 3η Προσοχὴ: ὁ κανών µιᾶς συνάρτησης µπορεῖ νὰ ἐκφρασθῆ ὥς ἐξίσωση. Ἡ ἐξίσωση ὅµως ΔΕΝ εἶναι ἡ συνάρτηση. Ἡ έξίσωση παρέχει τὸ στοιχεῖο στὸ πεδίο Τιµῶν ποὺ ταιριάζει σὲ µία συγκεκριµένη τιµὴ ἀπὸ τὸ πεδίο ὁρισµοῦ. Μπορεῖ ὅµως νὰ ὑποδεικνύη καὶ τιµὲς ποὺ δὲν ἀποτελοῦν τµῆµα τῆς συνάρτησης. Δεδοµένου ὅτι ἡ συνἀρτηση εἶναι σύνολο διατεταγµὲνων ζευγῶν, αὐτὸ µπορεῖ νὰ ἐπιτευχθῇ καὶ µὲ γράφηµα, πίνακες, διαγράµµατα, προφορικοὺς κανὀνες κτλ. 24

25 Συναρτήσεις..συνέχεια 4η Συνάρτηση σηµείου : ὃταν ὁ κανών µιᾶς συνάρτησης εἶναι τῆς µορφῆς y=f(x). Συνάρτηση συνόλου : ὃταν τὰ στοιχεῖα στὸ πεδίο ὁρισµοῦ εἶναι σύνολα. 25

26 Ἀσκήσεις Εἶναι ἀληθὲς ὅτι (A B) (B C) = A C? Δεῖξτε ὅτι (A B) C = (A C) (B C) Εἶναι ἀληθὲς ὅτι A (B C) = (A B) C? Εἶναι ἀληθὲς ὅτι (A B) (A B) = A? 26