Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Transcript

1 Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη ματιά διαπιστώνουμε ότι είναι πολύπλοκο και δεν μπορούμε να ανακαλύψουμε εύκολα σχέσεις μεταξύ δεδομένων και ζητουμένων. Παράδειγμα Δίνονται 833 διαδοχικοί ακέραιοι θετικοί αριθμοί που έχουν άθροισμα Να βρείτε τον μικρότερο και τον μεγαλύτερο από τους 833 αριθμούς. Καλούμαστε να αντιμετωπίσουμε και να διαχειριστούμε ένα μεγάλο πλήθος αριθμών. Στην περίπτωση αυτή προσπαθούμε να βρούμε ένα παρόμοιο πρόβλημα με μικρότερο πλήθος αριθμών και να βγάλουμε συμπεράσματα, τα οποία να τα χρησιμοποιήσουμε στο αρχικό πολύπλοκο πρόβλημα. Μια τέτοια διατύπωση προβλήματος είναι: Δίνονται 5 διαδοχικοί ακέραιοι θετικοί αριθμοί. Να βρείτε τον μικρότερο και τον μεγαλύτερο από τους αριθμούς αυτούς, αν γνωρίζουμε το άθροισμά τους. Ακολουθούμε τον αντίθετο δρόμο επιλέγοντας πέντε διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς π.χ 3,4,5,6,7 που έχουν άθροισμα 25, και προσπαθούμε να ανακαλύψουμε διασυνδέσεις και κανόνες που περιλαμβάνονται στο πρόβλημα. Παρατηρώντας προσεκτικά τους αριθμούς,διαπιστώνουμε ότι ο αριθμός 5 έχει ξεχωριστές ιδιότητες: βρίσκεται ακριβώς στη μέση των αριθμών, δηλαδή αριστερά του και δεξιά του είναι το ίδιο πλήθος αριθμών(2). Αυτό συμβαίνει επειδή το πλήθος των αριθμών είναι περιττός. Τον αριθμό 5 μπορούμε να τον ονομάσουμε Μεσαίο ή Μέσο των δοθέντων αριθμών. Μια άλλη παρατήρηση μας δείχνει ότι αν προσθέσουμε τον μικρότερο και μεγαλύτερο αριθμό,δηλαδή τον 3 και 7 και το άθροισμα διαιρέσουμε με τον 2, προκύπτει πάλι ο 5 δηλαδή ο μέσος αριθμός.

2 Μετά από αυτές τις παρατηρήσεις εγκαταλείπουμε την υπόθεση ότι γνωρίζουμε τους αριθμούς και δεχόμαστε ότι γνωρίζουμε μόνο το πλήθος αυτών(5) και το άθροισμά τους(25) (25). Με x συμβολίσουμε τον μέσο αριθμό, τότε οι 5 αριθμοί συμβολίζονται x 2, x 1, x, x 1, x 2. Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των 5 ακέραιων διαδοχικών αριθμών είναι 25, Λύνοντας την εξίσωση x 2 x 1 x x 1 x 2 25 βρίσκουμε ότι είναι και ο μέσος αριθμός. Μια πιο προσεκτική παρατήρηση μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ο αριθμός 5, είναι το πηλίκο του αθροίσματος των αριθμών δια του πλήθους αυτών, Καταλήγουμε σε ένα πρώτο 5 συμπέρασμα: Αν γνωρίζουμε το άθροισμα και το πλήθος διαδοχικών θετικών ακέραιων αριθμών (περιττό πλήθος),τότε πολύ εύκολα βρίσκουμε τον μέσο αριθμό, διαιρώντας το άθροισμα δια του πλήθους. Αριστερά του μέσου αριθμού βρίσκονται 2 αριθμοί,δηλαδή 25 x 5 5. Αυτός πλήθος Και δεξιά του μεσαίου άλλοι τόσοι αριθμοί. Αν θέλουμε να βρούμε τον μικρότερο από τους 5 αριθμούς, δηλαδή τον x 2 αφαιρούμε από τον μέσο(5) δύο μονάδες όσο είναι και το πλήθος των αριθμών αριστερά του μέσου και προκύπτει ο αριθμός 3. Αν θέλουμε να βρούμε τον μεγαλύτερο από τους 5 αριθμούς, δηλαδή τον x 2, προσθέτουμε στον μέσο δύο μονάδες, όσο είναι το πλήθος των αριθμών δεξιά του μέσου και βρίσκουμε τον αριθμό 7. Ας πάρουμε ένα άλλο παράδειγμα με 9 διαδοχικούς ακέραιους θετικούς αριθμούς, οι οποίοι έχουν άθροισμα 63. Για να βρούμε τον μέσο διαιρούμε το άθροισμα δια του πλήθους των αριθμών Ο αριθμός 7 είναι ο μέσος. Αριστερά του 7 βρίσκονται 4 αριθμοί γιατί και και ο μικρότερος είναι ο Δεξιά του 7 βρίσκονται 4 αριθμοί με μεγαλύτερο τον 11.

3 Γενικεύουμε το πρόβλημα με την αρχική εκφώνηση: Δίνονται 833 διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί που έχουν άθροισμα , Να βρείτε τον μικρότερο και τον μεγαλύτερο από τους 833 αριθμούς. Σύμφωνα με τα συμπεράσματα που βγάλαμε από τα προηγούμενα παραδείγματα μπορούμε να βρούμε τον μέσο αριθμό αν διαιρέσουμε το άθροισμα δια του πλήθους των αριθμών που είναι 833. Η διαίρεση αυτή μας δίνει τον αριθμό 441 που είναι ο μέσος αριθμός. Για να βρούμε πόσοι αριθμοί είναι αριστερά του μέσου αφαιρούμε από το πλήθος των αριθμών μια μονάδα και αυτό το διαιρούμε με το 2, δηλαδή Ο μικρότερος αριθμός προκύπτει αν από τον μεσαίο αριθμό αφαιρέσουμε τον αριθμό 416 που είναι το πλήθος των αριθμών αριστερά του μέσου αριθμού, δηλαδή Αν θέλουμε να βρούμε τον μεγαλύτερο αριθμό, τότε προσθέτουμε στον μέσο αριθμό το πλήθος των αριθμών που είναι δεξιά του μέσου, δηλαδή Ένα άλλο πρόβλημα.. Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι αν γνωρίζουμε το πλήθος και το άθροισμα διαδοχικών ακέραιων αριθμών περιττού πλήθους, τότε από τον μαθηματικό τύπο, όπου Σ είναι το άθροισμα, Π είναι το πλήθος, μπορούμε να βρούμε τον μέσο Μ. Από μετασχηματισμό του μαθηματικού τύπου παίρνουμε. Ένα πρόβλημα που μπορούμε να διατυπώσουμε είναι: να βρούμε το άθροισμα Το πλήθος των αριθμών είναι ,

4 Όπως αποδείξαμε παραπάνω <Μια άλλη παρατήρηση μας δείχνει ότι αν προσθέσουμε τον μικρότερο και μεγαλύτερο αριθμό,από ένα περιττό πλήθος διαδοχικών θετικών ακέραιων αριθμών και το άθροισμα διαιρέσουμε με τον 2, προκύπτει ο μέσος αριθμός > Άρα ο μέσος θα είναι το ημιάθροισμα του πρώτου και του τελευταίου δηλαδή Τώρα γνωρίζουμε το πλήθος και τον μέσο αριθμό. Το 2 άθροισμα σύμφωνα με τον τύπο θα είναι Παρατήρηση Αν έχουμε ένα περιττό πλήθος διαδοχικών θετικών ακέραιων αριθμών π,χ 23,24,25,..555,για να βρούμε το πλήθος αυτών προσθέτουμε στον τελευταίο αριθμό τη μονάδα και από το άθροισμα αυτό αφαιρούμε τον πρώτο αριθμό. Στη περίπτωσή μας το πλήθος είναι (555 1) Αν θέλουμε να βρούμε τον μέσο προσθέτουμε τον μικρότερο και τον μεγαλύτερο και το άθροισμα το διαιρούμε δια 2, δηλαδή Μ 289. Είμαστε έτοιμοι να υπολογίσουμε και το 2 2 άθροισμα. Εφαρμόζουμε τον τύπο Η μεθοδολογία που αναπτύξαμε παραπάνω στηρίζεται στις μαθηματικές γνώσεις που έχετε μέχρι σήμερα. Σε επόμενες τάξεις του λυκείου θα μάθετε και άλλες μεθόδους και τεχνικές με τις οποίες θα λύνετε ευκολότερα προβλήματα αυτής της κατηγορίας. ΠΡΟΤΑΣΗ Προτείνουμε να μελετήσετε, αν ισχύουν τα παραπάνω όταν. α) Το πλήθος των ακεραίων αριθμών είναι άρτιος. β) Οι αριθμοί είναι ακέραιοι θετικοί και αρνητικοί.. Θα χαρούμε πολύ να μας στείλετε τις εργασίες σας.

5 Προτεινόμενη άσκηση Δίνεται το άθροισμα διαδοχικών φυσικών αριθμών περιττού πλήθους Να βρείτε ακόμη δύο αθροίσματα διαδοχικών φυσικών αριθμών περιττού πλήθους με άθροισμα το καθένα τον αριθμό 2001.