ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017

Transcript

1 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 3. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι). 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 5. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Πρόβλημα 1 Δύο φίλοι, οι και, έχουν από μια υπολογιστική μηχανή και αρχίζουν να κάνουν πράξεις ταυτόχρονα. Ο ξεκινά με τον αριθμό και σε κάθε βήμα προσθέτει, ενώ ο ξεκινά με τον αριθμό και σε κάθε βήμα αφαιρεί. Ύστερα από βήματα, οι δύο φίλοι καταλήγουν στο ίδιο αποτέλεσμα. (α) Να βρείτε την τιμή του. (β) Ποιο είναι το κοινό αποτέλεσμα στο οποίο καταλήγουν οι δύο φίλοι; Πρόβλημα 2 Στο διπλανό σχήμα δίνεται τρίγωνο. Το είναι ύψος του τριγώνου, το είναι το μέσο του και το είναι σημείο του, ώστε το μήκος του να είναι διπλάσιο από το μήκος του. Αν το εμβαδόν του τριγώνου είναι και το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου. Πρόβλημα 3 Τρία δοχεία, τα και, περιέχουν διάλυμα νερού με οξύ. Το δοχείο περιέχει διάλυμα με περιεκτικότητα σε οξύ. Το δοχείο περιέχει διάλυμα με περιεκτικότητα σε οξύ. Το δοχείο περιέχει διάλυμα με άγνωστη περιεκτικότητα σε οξύ. Αδειάζουμε όλη την ποσότητα διαλύματος του δοχείου στα δύο πρώτα δοχεία, ώστε και τα δύο να έχουν τώρα διάλυμα με περιεκτικότητα σε οξύ το καθένα. Να υπολογίσετε την ποσότητα (σε ) από διάλυμα που προσθέσαμε στο δοχείο. Πρόβλημα 4 Να βρείτε όλους τους φυσικούς αριθμούς που είναι μικρότεροι του και οι οποίοι όταν διαιρεθούν με τους αριθμούς και αφήνουν υπόλοιπα και, αντίστοιχα.

2 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 3. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι). 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 5. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Πρόβλημα 1 Στο διπλανό σχήμα δίνεται τρίγωνο. Το είναι ύψος του τριγώνου, το είναι το μέσο του και το είναι σημείο του, ώστε το μήκος του να είναι διπλάσιο από το μήκος του. Αν το εμβαδόν του τριγώνου είναι και το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου. Πρόβλημα 2 Τρεις φίλοι, οι και, έχουν από μια υπολογιστική μηχανή και αρχίζουν να κάνουν πράξεις ταυτόχρονα. Ο ξεκινά με τον αριθμό και σε κάθε βήμα προσθέτει, ο ξεκινά με τον αριθμό και σε κάθε βήμα αφαιρεί, ενώ ο ξεκινά με τον αριθμό και στο πρώτο βήμα προσθέτει, στο δεύτερο βήμα, στο τρίτο βήμα, κ.ο.κ. Αν ύστερα από βήματα οι τρεις φίλοι καταλήγουν στο ίδιο αποτέλεσμα, να βρείτε τον αριθμό. Πρόβλημα 3 Ο Γιώργος χρωστά στον Γιάννη. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί ο Γιώργος να ξεπληρώσει το χρέος του, χρησιμοποιώντας κέρματα του και χαρτονομίσματα των και ; Σημείωση: Σε κάθε τρόπο μας ενδιαφέρει το πλήθος των νομισμάτων και όχι η σειρά με την οποία επιλέγονται π.χ. ένας τρόπος είναι «κέρματα του και χαρτονομίσματα των». Πρόβλημα 4 (α) Να δείξετε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς ισχύει ότι: (β) Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει ότι. i. Να δείξετε ότι. ii. Να δείξετε ότι ο είναι ακέραιος αριθμός.

3 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 3. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι). 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 5. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Πρόβλημα 1 Δίνονται θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε ο αριθμός να είναι ακέραιος και να ισχύει ότι: Να βρείτε τον αριθμό. Πρόβλημα 2 Στο διπλανό σχήμα το είναι τετράγωνο πλευράς και το είναι τόξο με κέντρο το και ακτίνα. Ο κύκλος με κέντρο το και ακτίνα εφάπτεται στις πλευρές, και στο τόξο. (α) Να δείξετε ότι ( ). (β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής. Πρόβλημα 3 Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Πρόβλημα 4 Έστω ακέραιοι αριθμοί, για τους οποίους ισχύει ότι. Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο ακέραιου αριθμού.

4 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: 2/12/17 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) 3. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. Πρόβλημα 1: Να απλοποιήσετε την παράσταση Πρόβλημα 2: Έστω ένας θετικός ακέραιος. Να αποδείξετε ότι: (i) Το άθροισμα των άρτιων αριθμών, που βρίσκονται μεταξύ των θετικών ακεραίων και, είναι. (ii) Ο ακέραιος διαιρείται με το 3. Πρόβλημα 3: Θεωρούμε δύο κύκλους και, που εφάπτονται εξωτερικά στο και φέρουμε τις διαμέτρους τους και, αντίστοιχα. Γράφουμε τον κύκλο, διαμέτρου. Έστω σημείο ενός από τα δύο ημικύκλια, διαμέτρου του κύκλου. Η ευθεία τέμνει τον στο και τον στα σημεία, ώστε το να βρίσκεται μεταξύ και. Από το κέντρο του κύκλου φέρουμε την κάθετη στην, που τέμνει τον κύκλο στο. Να αποδείξετε ότι. Πρόβλημα 4: Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη θετικών και πρώτων ακεραίων, για τα οποία ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο θετικού ακεραίου. (Ένας θετικός ακέραιος είναι τέλειο τετράγωνο θετικού ακεραίου, όταν υπάρχει θετικός ακέραιος, ώστε ).

5 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: 2/12/17 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα.κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) 3. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. Πρόβλημα 1: (α) Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου για την οποία η συνάρτηση με είναι σταθερή. (β) Να βρείτε την τιμή της. Πρόβλημα 2: Δίνεται γωνία και η διχοτόμος της. Στην πλευρά παίρνουμε τμήμα με, στη διχοτόμο παίρνουμε τμήμα με και στην πλευρά παίρνουμε τμήμα με. Αν το σημείο είναι το μέσον του και το σημείο είναι το μέσον του, να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια. Πρόβλημα 3: Θεωρούμε ορθογώνιο με διαστάσεις με. Από τις κορυφές φέρουμε παράλληλες ευθείες, οι οποίες δεν έχουν άλλο κοινό σημείο με το ορθογώνιο και στη συνέχεια φέρουμε από τις κορυφές ευθείες κάθετες στις. Οι ευθείες σχηματίζουν ένα νέο ορθογώνιο, του οποίου το εμβαδόν συμβολίζουμε με. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του. Πρόβλημα 4: Δίνεται το σύνολο { { }}. Να βρείτε το ελάχιστο στοιχείο του συνόλου.

6 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: 2/12/17 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα.κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) 3. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. Πρόβλημα 1: Δίνεται η συνάρτηση [ ), με τις ιδιότητες: (i) συνεχής στο [ ) (ii) παραγωγίσιμη στο (iii) (iv) Η γραφική παράσταση της στρέφει τα κοίλα πάνω στο. Ορίζουμε τη συνάρτηση, με Να αποδείξετε ότι. Πρόβλημα2: Θεωρούμε ορθογώνιο με διαστάσεις με. Από τις κορυφές φέρουμε παράλληλες ευθείες, οι οποίες δεν έχουν άλλο κοινό σημείο με το ορθογώνιο και στη συνέχεια φέρουμε από τις κορυφές ευθείες κάθετες στις. Οι ευθείες σχηματίζουν ένα νέο ορθογώνιο, του οποίου το εμβαδόν συμβολίζουμε με. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του. Πρόβλημα 3: Δίνεται το σύνολο { { }}. Να βρείτε το ελάχιστο στοιχείο του συνόλου.. Πρόβλημα 4: Δίνεται τετράπλευρο, με. Οι διχοτόμοι των γωνιών και τέμνονται στο σημείο και τέμνουν τις πλευρές και στα σημεία και, αντίστοιχα. Έστω το περίκεντρο του τριγώνου. Η ευθεία τέμνει τις ευθείες και στα σημεία και, αντίστοιχα. Σημειώνουμε με το σημείο τομής των διαγωνίων του και έστω ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει για δεύτερη φορά τις ευθείες και στα σημεία και, αντίστοιχα. Αν το σημείο τομής των ευθειών και, να αποδείξετε ότι τα σημεία βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο.

7 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 3. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι). 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 5. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα 1 Δύο φίλοι, οι και, έχουν από μια υπολογιστική μηχανή και αρχίζουν να κάνουν πράξεις ταυτόχρονα. Ο ξεκινά με τον αριθμό και σε κάθε βήμα προσθέτει, ενώ ο ξεκινά με τον αριθμό και σε κάθε βήμα αφαιρεί. Ύστερα από βήματα, οι δύο φίλοι καταλήγουν στο ίδιο αποτέλεσμα. (α) Να βρείτε την τιμή του. (β) Ποιο είναι το κοινό αποτέλεσμα στο οποίο καταλήγουν οι δύο φίλοι; Προτεινόμενη Λύση (α) Ύστερα από βήματα, ο καταλήγει στον αριθμό, ενώ ο στον αριθμό. Αφού οι και καταλήγουν στον ίδιο αριθμό, τότε: (β) Το κοινό αποτέλεσμα των δύο φίλων είναι. Πρόβλημα 2 Στο διπλανό σχήμα δίνεται τρίγωνο. Το είναι ύψος του τριγώνου, το είναι το μέσο του και το είναι σημείο του, ώστε το μήκος του να είναι διπλάσιο από το μήκος του. Αν το εμβαδόν του τριγώνου είναι και το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου.

8 Προτεινόμενη Λύση Το τρίγωνο έχει ίδιο ύψος και διπλάσια βάση από το τρίγωνο Άρα: Από τα δεδομένα της άσκησης, έχουμε ότι: Θα υπολογίσουμε τι μέρος του τριγώνου είναι το τρίγωνο και το τετράπλευρο. Έχουμε: Άρα: Από τις και, παίρνουμε: Πρόβλημα 3 Τρία δοχεία, τα και, περιέχουν διάλυμα νερού με οξύ. Το δοχείο περιέχει διάλυμα με περιεκτικότητα σε οξύ. Το δοχείο περιέχει διάλυμα με περιεκτικότητα σε οξύ. Το δοχείο περιέχει διάλυμα με άγνωστη περιεκτικότητα σε οξύ. Αδειάζουμε όλη την ποσότητα διαλύματος του δοχείου στα δύο πρώτα δοχεία, ώστε και τα δύο να έχουν τώρα διάλυμα με περιεκτικότητα σε οξύ το καθένα. Να υπολογίσετε την ποσότητα (σε ) από διάλυμα που προσθέσαμε στο δοχείο. Προτεινόμενη Λύση Έστω ότι: η περιεκτικότητα του οξέος στο δοχείο. Από τα δεδομένα του προβλήματος, προκύπτει Το δοχείο περιέχει οξύ και νερό. Το δοχείο περιέχει οξύ και νερό. Το δοχείο περιέχει οξύ και νερό. Αφού αδειάσουμε το περιεχόμενο του δοχείου στα δοχεία και, η περιεκτικότητα οξέος στο καθένα από τα δύο δοχεία θα γίνει. Επομένως, στο άθροισμα του περιεχομένου των δύο δοχείων, η περιεκτικότητα του οξέος θα είναι επίσης. Έτσι, η συνολική ποσότητα οξέος και στα τρία δοχεία θα είναι ίση με την ποσότητα νερού που περιέχουν. Δηλαδή:

9 Αφού η περιεκτικότητα του οξέος στο δοχείο είναι, προκύπτει ότι ο λόγος του οξέος προς το νερό είναι προς ή ισοδύναμα προς. Δηλαδή, κάθε διάλυμα από το δοχείο, τα θα είναι οξύ και τα νερό. Έστω ότι τοποθετήσαμε διάλυμα από το δοχείο στο δοχείο. Τότε, το μείγμα που προκύπτει θα περιέχει οξύ και νερό. Το οξύ έχει περιεκτικότητα. Άρα: Επομένως, τοποθετήσαμε διάλυμα από το δοχείο στο δοχείο. Πρόβλημα 4 Να βρείτε όλους τους φυσικούς αριθμούς που είναι μικρότεροι του και οι οποίοι όταν διαιρεθούν με τους αριθμούς και αφήνουν υπόλοιπα και, αντίστοιχα. Προτεινόμενη Λύση Έστω φυσικός αριθμός μικρότερος του τέτοιος, ώστε να αφήνει υπόλοιπα και, όταν διαιρεθεί με τους αριθμούς και, αντίστοιχα. Αφού ο διαιρείται με το και αφήνει υπόλοιπο, τότε υπάρχει ακέραιος τέτοιος, ώστε. Άρα, ο είναι πολλαπλάσιο του. Ομοίως, προκύπτει ότι ο είναι πολλαπλάσιο του και του. Επομένως, ο είναι πολλαπλάσιο του [ ] και μικρότερος από το. Άρα: { } { }

10 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 3. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι). 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 5. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα 1 Στο διπλανό σχήμα δίνεται τρίγωνο. Το είναι ύψος του τριγώνου, το είναι το μέσο του και το είναι σημείο του, ώστε το μήκος του να είναι διπλάσιο από το μήκος του. Αν το εμβαδόν του τριγώνου είναι και το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου. Προτεινόμενη Λύση Το τρίγωνο έχει ίδιο ύψος και διπλάσια βάση από το τρίγωνο Άρα: Από τα δεδομένα της άσκησης, έχουμε ότι: Θα υπολογίσουμε τι μέρος του τριγώνου είναι το τρίγωνο και το τετράπλευρο. Έχουμε: Άρα: Από τις και, παίρνουμε:

11 Πρόβλημα 2 Τρεις φίλοι, οι και, έχουν από μια υπολογιστική μηχανή και αρχίζουν να κάνουν πράξεις ταυτόχρονα. Ο ξεκινά με τον αριθμό και σε κάθε βήμα προσθέτει, ο ξεκινά με τον αριθμό και σε κάθε βήμα αφαιρεί, ενώ ο ξεκινά με τον αριθμό και στο πρώτο βήμα προσθέτει, στο δεύτερο βήμα, στο τρίτο βήμα, κ.ο.κ. Αν ύστερα από βήματα οι τρεις φίλοι καταλήγουν στο ίδιο αποτέλεσμα, να βρείτε τον αριθμό. Προτεινόμενη Λύση Ύστερα από βήματα, ο καταλήγει στον αριθμό, ενώ ο στον αριθμό. Αφού οι και καταλήγουν στον ίδιο αριθμό, τότε: Αφού ο ξεκινά από τον αριθμό, καταλήγει στον αριθμό: Πρέπει λοιπόν: Άρα: Πρόβλημα 3 Ο Γιώργος χρωστά στον Γιάννη. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί ο Γιώργος να ξεπληρώσει το χρέος του, χρησιμοποιώντας κέρματα του και χαρτονομίσματα των και ; Σημείωση: Σε κάθε τρόπο μας ενδιαφέρει το πλήθος των νομισμάτων και όχι η σειρά με την οποία επιλέγονται π.χ. ένας τρόπος είναι «κέρματα του και χαρτονομίσματα των». Προτεινόμενη Λύση 1 Αφού δεν παίζει ρόλο η σειρά με την οποία δίνονται τα νομίσματα, μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο Γιώργος πρώτα δίνει τα κέρματα του. Όταν τα δώσει αυτά, το ποσό που παραμένει πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του. Επομένως, πρέπει ακόμη να πληρωθούν ή ή, ή ή μόνο σε χαρτονομίσματα των και. Αν πρέπει να πληρώσει ή, τότε ο Γιώργος δεν μπορεί να δώσει κανένα χαρτονόμισμα των. Άρα, υπάρχει μόνο ένας τρόπος να πληρώσει το ποσό σε κάθε μία από αυτές τις περιπτώσεις. Αν πρέπει να πληρώσει ή, τότε ο Γιώργος μπορεί να δώσει είτε μηδέν είτε ένα χαρτονόμισμα των. Άρα, υπάρχουν δύο τρόποι να πληρώσει το ποσό σε κάθε μία από αυτές τις περιπτώσεις. (Π.χ. για τα οι δύο τρόποι είναι είτε να δώσει μηδέν χαρτονομίσματα των και χαρτονομίσματα των είτε να δώσει ένα χαρτονόμισμα των και ένα των.)

12 Αν πρέπει να πληρώσει ή, τότε ο Γιώργος μπορεί να δώσει από μηδέν μέχρι δώδεκα χαρτονομίσματα των. Άρα, υπάρχουν τρόποι να πληρώσει το ποσό σε κάθε μία από αυτές τις περιπτώσεις. Αν πρέπει να πληρώσει, τότε ο Γιώργος μπορεί να δώσει από μηδέν μέχρι δεκατρία χαρτονομίσματα των. Άρα, υπάρχουν τρόποι να πληρώσει το ποσό σε κάθε μία από αυτές τις περιπτώσεις. Συνολικά, υπάρχουν διαφορετικοί τρόποι για να πληρωθεί το ποσό. Προτεινόμενη Λύση 2 Κάθε τρόπος εξόφλησης του χρέους του Γιώργου αντιστοιχεί με μια λύση της εξίσωσης, όπου το πλήθος των νομισμάτων του και το πλήθος των χαρτονομισμάτων των, αντίστοιχα. Δηλαδή, το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το να βρούμε το πλήθος των μη αρνητικών ακέραιων λύσεων της μορφής της εξίσωσης. Έχουμε: Άρα, οι τιμές που μπορεί να πάρει το είναι και. Για, παίρνουμε. Λύσεις: [ λύσεις] Για, παίρνουμε. Λύσεις: [ λύσεις] Για, παίρνουμε. Λύσεις: [ λύσεις] Για, παίρνουμε. Λύσεις: [ λύσεις] Για, παίρνουμε. Λύσεις: [ λύσεις] Για, παίρνουμε. Λύσεις: [ λύση] Για, παίρνουμε. Λύσεις: [ λύση] Έτσι, έχουμε διαφορετικούς τρόπους.

13 Πρόβλημα 4 (α) Να δείξετε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς ισχύει ότι: (β) Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει ότι. i. Να δείξετε ότι. ii. Να δείξετε ότι ο είναι ακέραιος αριθμός. Προτεινόμενη Λύση (α) Ξεκινάμε κάνοντας τις πράξεις στο δεξί μέλος: (β) Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα από το (α) ερώτημα, έχουμε: Επειδή οι είναι θετικοί, τότε. Έτσι, μπορούμε να διαιρέσουμε με το. Διαιρώντας, παίρνουμε. Άρα,. Επομένως: και Αφού, παίρνουμε: Διαιρώντας την πιο πάνω σχέση με, το οποίο επιτρέπεται αφού, λαμβάνουμε το ζητούμενο του (i). Για το (ii) παρατηρούμε ότι: Επομένως: Άρα που είναι ακέραιος, όπως θέλαμε να δείξουμε.

14 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2017 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 02/12/2017 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 3. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι). 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 5. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα 1 Δίνονται θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε ο αριθμός να είναι ακέραιος και να ισχύει ότι: Να βρείτε τον αριθμό. Προτεινόμενη Λύση Αρχικά, έχουμε αφού ο είναι ακέραιος. Επίσης, έχουμε αφού ο είναι ακέραιος. Από τις και έπεται ότι Πρόβλημα 2 Στο διπλανό σχήμα το είναι τετράγωνο πλευράς και το είναι τόξο με κέντρο το και ακτίνα. Ο κύκλος με κέντρο το και ακτίνα εφάπτεται στις πλευρές, και στο τόξο. (α) Να δείξετε ότι ( ). (β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής.

15 Προτεινόμενη Λύση (α) Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο : Επομένως, ( ). Φέρουμε τις ακτίνα, όπου τα σημείο επαφής του κύκλου με τις αντίστοιχα. Έχουμε ότι και, από το Θεώρημα Ακτίνας και Εφαπτομένης. Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο : Επομένως: (β) Έχουμε: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Έστω το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής. Έχουμε: ( ) ( ) (( ) ) Πρόβλημα 3 Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Προτεινόμενη Λύση Θέτουμε και. Επομένως:

16 Παρατηρούμε ότι. Επομένως, από την έχουμε: Πρόβλημα 4 Έστω ακέραιοι αριθμοί, για τους οποίους ισχύει ότι. Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο ακέραιου αριθμού. Προτεινόμενη Λύση 1 Έστω ακέραιοι αριθμοί, για τους οποίους ισχύει ότι. Έχουμε: [ ] [ ] [ ] Προτεινόμενη Λύση 2 Έστω ακέραιοι αριθμοί, για τους οποίους ισχύει ότι. Έχουμε: [ ]

17 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: 2/12/17 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) 3. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα 1: Να απλοποιήσετε την παράσταση Λύση Είναι και έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Πρόβλημα 2: Έστω ένας θετικός ακέραιος. Να αποδείξετε ότι: (i) Το άθροισμα των άρτιων αριθμών, που βρίσκονται μεταξύ των θετικών ακεραίων και, είναι. (ii) Ο ακέραιος διαιρείται με το 3. Λύση (i) Έχουμε, και, οπότε και οι δύο είναι θετικοί ακέραιοι, για κάθε. Άρα ο ελάχιστος θετικός άρτιος μεταξύ των θετικών ακεραίων και, είναι ο και ο μέγιστος ο. Έτσι, έχουμε:

18 ( ) ( ). (ii). Είναι ή ή,. Αν, τότε, άρα. Αν, τότε, άρα. Αν, τότε, άρα. Πρόβλημα 3: Θεωρούμε δύο κύκλους και, που εφάπτονται εξωτερικά στο και φέρουμε τις διαμέτρους τους και, αντίστοιχα. Γράφουμε τον κύκλο, διαμέτρου. Έστω σημείο ενός από τα δύο ημικύκλια, διαμέτρου του κύκλου. Η ευθεία τέμνει τον στο και τον στα σημεία, ώστε το να βρίσκεται μεταξύ και. Από το κέντρο του κύκλου φέρουμε την κάθετη στην, που τέμνει τον κύκλο στο. Να αποδείξετε ότι. Λύση Από τις συμπεραίνουμε ότι τα τρίγωνα. Η είναι κάθετη στη χορδή, άρα είναι η μεσοκάθετη του. Έτσι, το τρίγωνο είναι ισοσκελές, απ όπου και. (εγγεγραμμένη του, που βαίνει σε ημικύκλιο) και (εγγεγραμμένη του, που βαίνει σε ημικύκλιο). Άρα, δηλαδή το τετράπλευρο είναι τραπέζιο, με βάσεις. Το είναι το μέσον της μίας διαγωνίου του τραπεζίου και, επειδή, το είναι το μέσον της άλλης διαγωνίου του τραπεζίου. Άρα,. είναι ίσα, συνεπώς

19 Πρόβλημα 4: Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη θετικών και πρώτων ακεραίων, για τα οποία ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο θετικού ακεραίου. (Ένας θετικός ακέραιος είναι τέλειο τετράγωνο θετικού ακεραίου, όταν υπάρχει θετικός ακέραιος, ώστε ). Λύση Θέλουμε, με θετικό ακέραιο.. Ο δεύτερος παράγοντας είναι μεγαλύτερος του και του και, από την τελευταία ισότητα, διαιρέτης του. Επειδή οι αριθμοί και είναι πρώτοι, έχουμε: και. Αφαιρούμε τις τελευταίες κατά μέλη: Είναι,, άρα από τη (2) είναι και. Από τη (2) έχουμε: { {, που απορρίπτεται,αφού ο είναι πρώτος. { { Άρα και.

20 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: 2/12/17 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα.κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) 3. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα 1: (α) Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου για την οποία η συνάρτηση με είναι σταθερή. (β) Να βρείτε την τιμή της. Λύση (α) H σταθερή, όταν, απ όπου ( ) (β) ( ), για κάθε.

21 Πρόβλημα 2: Δίνεται γωνία και η διχοτόμος της. Στην πλευρά παίρνουμε τμήμα με, στη διχοτόμο παίρνουμε τμήμα με και στην πλευρά παίρνουμε τμήμα με. Αν το σημείο είναι το μέσον του και το σημείο είναι το μέσον του, να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια. Λύση Για τα τρίγωνα έχουν και Από τα προηγούμενα συμπεραίνουμε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια και επομένως θα έχουμε και Αλλά έχουμε Άρα, Τότε από την έχουμε Από τις και συμπεραίνουμε ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια.

22 Πρόβλημα 3: Θεωρούμε ορθογώνιο με διαστάσεις με. Από τις κορυφές φέρουμε παράλληλες ευθείες, οι οποίες δεν έχουν άλλο κοινό σημείο με το ορθογώνιο και στη συνέχεια φέρουμε από τις κορυφές ευθείες κάθετες στις. Οι ευθείες σχηματίζουν ένα νέο ορθογώνιο, του οποίου το εμβαδόν συμβολίζουμε με. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του. Λύση 1 η : Παρατηρούμε ότι από τις κορυφές του ορθογωνίου διέρχονται κύκλοι διαμέτρου αντίστοιχα. Επειδή οι βάσεις των τριγώνων έχουν σταθερό μήκος για τις βάσεις τους, θα έχουμε το μέγιστο εμβαδόν τους όταν τα ύψη τους προς τις βάσεις τους έχουμε μέγιστο μήκος. Αυτό γίνεται όταν τα ύψη ισούνται με τις ακτίνες των κύκλων, δηλαδή Τότε θα έχουμε Λύση 2 η (με ανάλυση) Αν ονομάσουμε τα τμήματα με αντίστοιχα θα έχουμε από την ομοιότητα των τριγώνων ότι Επίσης από το Πυθαγόρειο θεώρημα θα έχουμε Το του ορθογώνιου είναι Η μας δίνει, και λόγω αυτής από την παίρνουμε Η τελευταία ισότητα λόγω της μας δίνει Από τις και έχουμε

23 Αντικαθιστώντας από την το έχουμε Επομένως η λόγω των γίνεται Παραγωγίζοντας την συνάρτηση έχουμε ( ) Επειδή, ( ) και ( ) θα έχουμε μέγιστη τιμή για το στο για. Από τα προηγούμενα θα έχουμε Επομένως, Πρόβλημα 4: Δίνεται το σύνολο { { }}. Να βρείτε το ελάχιστο στοιχείο του συνόλου. Λύση: Αρκεί να βρούμε το ελάχιστο στοιχείο του { }. Αφού το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι το και το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι το, τότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν τότε το τελευταίο ψηφίο της διαφοράς θα είναι το Αν τότε το τελευταίο ψηφίο της διαφοράς θα είναι το Εξετάζουμε την περίπτωση η διαφορά να είναι μονοψήφιος αριθμός. Αν. Τότε ο αριθμός θα πρέπει να είναι δύναμη του, που είναι άτοπο.

24 Ο αριθμός δεν μπορεί να είναι ούτε ούτε Αν [ ] που είναι άτοπο. Επομένως για θα έχουμε, που είναι ο ελάχιστος αριθμός αυτής της μορφής. Άρα το ελάχιστο στοιχείο του συνόλου είναι το

25 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: 2/12/17 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα.κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) 3. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα 1: Δίνεται η συνάρτηση [ ), με τις ιδιότητες: (i) συνεχής στο [ ) (ii) παραγωγίσιμη στο (iii) (iv) Η γραφική παράσταση της στρέφει τα κοίλα πάνω στο. Ορίζουμε τη συνάρτηση, με Να αποδείξετε ότι. Λύση Για την συνάρτηση ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο διάστημα [ ]. Επομένως θα έχουμε Υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο ώστε Παραγωγίζοντας την και από την προηγούμενη ισότητα θα έχουμε. θα έχουμε ( ) ( ) Όμως από την υπόθεση ότι η στρέφει τα κοίλα πάνω στο θα έχουμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο [ ). Επομένως Άρα, δηλαδή η γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο. Επομένως

26 Πρόβλημα 2: Θεωρούμε ορθογώνιο με διαστάσεις με. Από τις κορυφές φέρουμε παράλληλες ευθείες, οι οποίες δεν έχουν άλλο κοινό σημείο με το ορθογώνιο και στη συνέχεια φέρουμε από τις κορυφές ευθείες κάθετες στις. Οι ευθείες σχηματίζουν ένα νέο ορθογώνιο, του οποίου το εμβαδόν συμβολίζουμε με. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του. Λύση 1 η : Παρατηρούμε ότι από τις κορυφές του ορθογωνίου διέρχονται κύκλοι διαμέτρου αντίστοιχα. Επειδή οι βάσεις των τριγώνων έχουν σταθερό μήκος για τις βάσεις τους, θα έχουμε το μέγιστο εμβαδόν τους όταν τα ύψη τους προς τις βάσεις τους έχουμε μέγιστο μήκος. Αυτό γίνεται όταν τα ύψη ισούνται με τις ακτίνες των κύκλων, δηλαδή Τότε θα έχουμε Λύση 2 η (με ανάλυση) Αν ονομάσουμε τα τμήματα με αντίστοιχα θα έχουμε από την ομοιότητα των τριγώνων ότι Επίσης από το Πυθαγόρειο θεώρημα θα έχουμε Το του ορθογώνιου είναι Η μας δίνει, και λόγω αυτής από την παίρνουμε Η τελευταία ισότητα λόγω της μας δίνει Από τις και έχουμε Αντικαθιστώντας από την το έχουμε

27 Επομένως η λόγω των γίνεται Παραγωγίζοντας την συνάρτηση έχουμε ( ) Επειδή, ( ) και ( ) θα έχουμε μέγιστη τιμή για το στο για. Από τα προηγούμενα θα έχουμε Επομένως, Πρόβλημα 3: Δίνεται το σύνολο { { }}. Να βρείτε το ελάχιστο στοιχείο του συνόλου. Λύση: Αρκεί να βρούμε το ελάχιστο στοιχείο του { }. Αφού το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι το και το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι το, τότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν τότε το τελευταίο ψηφίο της διαφοράς θα είναι το Αν τότε το τελευταίο ψηφίο της διαφοράς θα είναι το Εξετάζουμε την περίπτωση η διαφορά να είναι μονοψήφιος αριθμός. Αν. Τότε ο αριθμός θα πρέπει να είναι δύναμη του, που είναι άτοπο. Ο αριθμός δεν μπορεί να είναι ούτε ούτε Αν ( ) [ ] που είναι άτοπο. Επομένως για θα έχουμε, που είναι ο ελάχιστος αριθμός αυτής της μορφής. Άρα το ελάχιστο στοιχείο του συνόλου είναι το

28 Πρόβλημα 4: Δίνεται τετράπλευρο, με. Οι διχοτόμοι των γωνιών και τέμνονται στο σημείο και τέμνουν τις πλευρές και στα σημεία και, αντίστοιχα. Έστω το περίκεντρο του τριγώνου. Η ευθεία τέμνει τις ευθείες και στα σημεία και, αντίστοιχα. Σημειώνουμε με το σημείο τομής των διαγωνίων του και έστω ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει για δεύτερη φορά τις ευθείες και στα σημεία και, αντίστοιχα. Αν το σημείο τομής των ευθειών και, να αποδείξετε ότι τα σημεία βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο. Λύση Στο σχήμα μας θα αποδείξουμε ότι τα σημεία βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο αρκεί να αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Επειδή τα σημεία είναι ομοκυκλικά και, θα έχουμε ότι Επομένως αρκεί να δείξουμε ότι Έστω οι ορθές προβολές των σημείων πάνω στην Τότε το είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου και έστω τα σημεία επαφής του με τις πλευρές αντίστοιχα. Επειδή η είναι διχοτόμος της τότε και για τα εφαπτόμενα τμήματα προς τον εγγεγραμμένο κύκλο θα έχουμε Αφαιρώντας τις παραπάνω ισότητες έχουμε Όμοια, Επειδή η είναι διχοτόμος της τότε και για τα εφαπτόμενα τμήματα προς τον εγγεγραμμένο κύκλο θα έχουμε Αφαιρώντας τις τελευταίες ισότητες έχουμε Επομένως, Δηλαδή το είναι το μέσον του Από το θεώρημα του Θαλή συμπεραίνουμε ότι η θα περνά από το μέσον του που είναι το σημείο αφού το είναι ορθογώνιο. Άρα. Επομένως Δηλαδή, το τετράπλευρο και άρα τα σημεία βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο.