Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit
|
|
- Πολύμνια Κολιάτσος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 rkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS TAMPRN YLIOPISTO D TAMPR 2009
2 TAMPRN YLIOPISTO TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS JULKAISUSARJA D VRKKOJULKAISUT D , TOUKOKUU 2009 rkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit 2. korjattu painos TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS TAMPRN YLIOPISTO ISBN ISSN
3 !"##""$%" %&'$(")"*+*", -# $"./*0$""%/. 1 2$3%&%($4")/5$6%( &*"'*$% $%"* 7 1 &+*.'%%(!%&.".+* &*"'*$% $(%( 7 1 2$3%&%($4")/5(!.&'* $(%( &))( 4")/5/.#'*( /%$(%( &*"'*$. : 17 -*+%((. %(%"%/ ) 1 7 ;*#$"%"". +**"$+..*(*/$ 1 < =.'*.".+$"* "$%"#&*'%("%$"* : < -%+$""+)!.. 1> <?$(# '** 9$ %&''$ */*&*0#$"* 18 A 1 B*0#"* 0* 4*//$"% 7 1 2(** $(%( #40%/ #$("$ (%%" */C#&$" $" D%&..""*+*" */C#&$" $" 7: 17 D%/$!.." 0* α β '*&$("* 7: 17 F&*(G4 *(6 H #.(6 < 1< D*$'*//$%%( %"$("))(!%&.".+*" */C#&$" $" < 1< I$./#$". 0))46" <1 1< J%(%%""$%" */C#&$" $" <7 1@ K(6.'"$##(!%&.".+* */C#&$" $%(..(($""%/. <@ 18!!&#'$ #$("$*/C#&$" %$"* <: 18 L!"$ #$("$#(C%/ 18 A MN O O PQ 7 9&$//$"%( 0#.''#0%( ')$""%/#(C%/
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a m 0* n #+*" &%**/$/.'.0* a 0 ($$( a 0 = 1 a 1 a 1 = a = 1 a (a m ) n = a mn = (a n ) m a m a n = a m+n. # /#C*&$" $( '*("*/.+.//* %$ #/% %&'$"") ($$( '*("*/.'. 0)"%"))( %&'$"% )"") )$( "%46))(.%$( %$ %&'$'$ *!"##""$"%( %&'$("50%( 4"%6%) # a b 0* c #+*" 1
6 (#//**..&%!$* &%**/$/.'.0* ($$( a = b log b a log 1 = 0 log(ab) = log a + log b log b a = a log b a log b = b log a log b a = log c a log c b 1 log b a = log b a 1 = log b a 1 log b a = log a b log log n = log(log n) log k n = (log n) k. =%&'$(") a "*&'#$""**..&$("* '#'#(*$/.'.* x 0#//*!)"%% x a?*"**"$ a "*&'#$""**!$%($(") '#'#(*$/.'.* x a I%.&**+$*. *'**+#0* "*&+$"**( 5 "#$".+*"$ n i = i=1 n i 2 = i=1 n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) 6 n 2 i = 2 n+1 1 i=0 n i=0 a i = an+1 1 a 1, 0# a 1 0* n ia i i=0 = nan+2 (n + 1)a n+1 + a (a 1) 2, 0# a 1 7
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
8 @
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x P 2 G 0#'$( +%&''# L('# G +)&$"%"")+$) k //* +)&$//) L/'##( P 3 S 0#.''# '#'#(*$/.'.0* 9"$ 0#.'#( S %6$**($ L(C%/ $$( P1 /$$""+$) "!$//$$) */C#&$" $"%#&%%""$$* ' '$) #+*" %$ %&'$'$ P %.&**+*" L('# #/% 3 ** */C#&$" $* 0#'* &*"'*$%% #(C%/ *( P D*/0#('# ( &*"'*$% P $%%( './.. *$'** 0* "$/** '.( ')"%"))( *((%"".* */C#&$" $* D*/0#('# P ( &*"'*$% 8
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n ;$/*( "%%"* &$$!!.%( n +#$ #//* %$ %&'$'$ "*!*.'%( %$"") $%%( "*&+$""*+$%(.$"$!*$''#0%( "*$ H $""$%( /.'. ))&) "*$ 0#'$(.. #!$+*"$ +*/$""...&% ;$/*("%%"* &$$!!.%( *46#/ /$$* +*/$("#0* +#$+*" #//* %$ %&'$'$ +%&"*$/.0%( /.'. ))&) "$%"( $/.'*(.#&$".'%&"#0%( ))&) */$#40%/ *( '.".'%&"#0%( ))&) "*$ %$()'%//#*$'* %/$ */C#&$" $(.#&$""* $%%( "#6%//$..6%* './.+* *$'* /C#&$" $( A *(*/$( "*&'#$".'%(* #( %/+$"")) '.$('*!*/0#( A /.+.( n.(' "$#(* "*&+$"%% *$'** 0* "$/** 44 0* "*!*.'%* %$( "6"))( 0#4"* **( *!"##""$$* /)&*0* *&+$#$"* 0#"'* $/ *$%+*" $"%( *$'* "*$ "$/*+**"$. ')"")" '.( n '*+** &*0*""* /C#&$" $%( *$'* 0* "$/*+**"$."%( "*&''* /*'% $(%( #(.%$( +*$'%** /%%() &$$" ")) %"") "$%6%"))( '*+.( "!!$ ;)") +*&"%( ))&$"%//))( '#/ % %&'$(")"*!** 0#$* "*&''#0* '%&"#$ $* %$ 4.# $#$6* ;*&'*"%//**(.('"$#$"* f : N R 0* g : N R ;)//5$( ))&$"%//))( f #( O(g) 0# #( #/% ** %//*$%"!#$"$$+$%" +*'$#" c 0* n 0 %"") f(n) c g(n) '.( n n 0 f #( Ω(g) 0# #( #/% ** %//*$%"!#$"$$+$%" +*'$#" c 0* n 0 %"") f(n) c g(n) '.( n n 0 f #( Θ(g) 0# #( #/% ** %//*$%"!#$"$$+$%" +*'$#" c 1 c2 0* n0 %"") c 1 g(n) f(n) c 2 g(n) '.( n n 0,
11 =))&$"%/ $) #/%+$"* $"%$*&+# %&'%$")!))")$$$( 0# #/%"%""*$$$( %"").('"$#" **+*" +*$( %$ (%C*"$$+$$* *&+#0* ;)//*$(%( #/%". #( ")$( *46#//$(%( $//) *! "##""$$* %&'$("50) ')"%"))( 0*"'#* +*$( &%.&$+**"$."%( 4"%6%) /%%() "*& +$"**( %&'$(")) O(g) 0#"* ')"%"))( 0#'. $//#$('$( '.( 5 Θ(g) #!$$ 96%//) %&'$""$$( f #( O(g).%$( %&'$"))( 5 f = O(g) ;)) %$ '.$"%('**( #/% '% "*+*(# *$%"* 4")..&..6%"* $') #( ") 4.# $#$6* ')$"%/")%) O %&'$( "50) $)/")+$) /*.%''%$"* I* *!)"%% "$%"%('$( 5 Ω 0* Θ %&'$((5$//% ;*&''**( #""*%( //) ))&$"%//" '#/ % %&'$(")"*!** ))&$""%/%+)" '.'$(.('"$#$6%( 0#.''#0* 9$ %&'$'$ %&'$(()//) O(n ))&$"%//))( %//*$(%(.('"$#$6%( 0#.''# 0#4#( '../.+*" 2 ) '*$''$ (%.('"$#" 0#$//% +#$6**( +*/$"* //) #/%+*" %46#" ")"")+)" +*'$#" c 0* n0 '.( -*.%''%%* g(n) = n 2 2n 3 + 4n 2 + n 3 = 2n 3 + O(n 2 ) O %&'$(") "./'$"**( ($$( %"") O(n +#$"*$$$( "*&+$""*%* '#&+*"* 0#//*$( '# 0#.''##( 2 ) '../.+*//*.('"$#//*.""* ")) 4"%6%) %$ #//* '$$((#".(%$"* $') ($ %(# *$(%(.('"$# % #/$$ O %&'$(()//%!)"%+)" %$ %&'$'$ ))((5" f(n) = O(f(n)) '.( #( +*'$# co(f(n)) = O(f(n)) = O(cf(n)) c O(f(n)) + O(f(n)) = O(f(n)) O(O(f(n))) = O(f(n)) O(f(n))O(g(n)) = O(f(n)g(n)) O(f(n)g(n)) = f(n)o(g(n)) #'. '$&0*//$..6%* ')"%"))(!$''. o "* "*&'#$""* **( %$ "$.''** O "* %.&** +*"$ f #( o(g) 0# '*$'$//* +*'$#$//* c > 0 #( #/% ** %//*$(%(!#$"$$+$(%( +*'$# n 0 %"") f(n) c g(n) '.( n n0 9$ %&'$'$ 2n #(.""* o(n %$ #/%?*"**+*"$ ))&$"%//))( "*&'#$""* 2 ) 2n 2 o(n 2 ) ω **( %$ "$.''** Ω * -#C*&$" $( '*("*/.+.//* %$ O %&'$(()( 4"%6%) #/% %&'$"") '.(4*( '*("*/.'. #( ''5")..&%!$ +*'$# ;) ) 0#4".. $$") %"") '*("*/.+.(..((# +*"** +*'$#//* '%&"# $"* ''5")!$%(%!$%( 0* %$ +*'$#$"%( '*("*/.'.0%( /$)'$ %$ 5'))( %'!# (%("$* #/%+** /#C*&$" $( '*("*/.'.* +#$ '.$"%('**( '#&+*"* "#$%//*!"##""$%" %&'$(")"*+*" /$$""+)" /)4%$%"$ &*0* *&+#( ')$""%%%%(?#$6**( %$ %&'$'$ "#6$"** %"") 0# lim n f(n) g(n) = a, :
12 '.( a #(!#$"$$+$(%( &%**/$/.'. ($$( f(n) #( Θ(g)?*"**+*"$ "*!*.'%%( f(n) lim n g(n) = 0 /$$"" # $(*$.. f(n) #( o(g(n)) 0* "*!*.'%%( f(n) lim n g(n) = # $(*$.. f(n) #( ω(g(n)) $//) '.( L/'##( f(n) = am D#/(# $ n m + a m 1 n m a 1 n + a 0 f(n) #( +#$6**( '$&0#$""** O(n m ) n 1 f(n) a m n m + a m 1 n m a 1 n + a 0 = ( a m + a m 1 /n a 1 /n m 1 + a 0 /n m )n m ( a m + a m a 1 + a 0 )n m. 96%//) #/%+*( ))&$"%/ )( %($ )$%( '#46*( +*'$#" +#$6**( (" +*/$"* %.&**+*"$ c = a m + a m a 1 + a 0 0* n0 = 1 ;*+*//$$* &%.&$+**"$.'$* %$$("+$).('"$#$6%( '*+.+*.4"%0* #+*" %$ %&'$'$ %.&**+*" +*'$# %/$ 5""%%( '#'# %$ +*$'."* &%.&$"*&!%%%%( O(1) /#C*&$" $(%( ")//5$( 5"%"") %$ +#$6* /.'%* '#'#(**( O(log n) /$(%**&$(%( O(n) %$ %&'$'$ #(%" /*0$""%/.*/C#&$" $" O(n logn) O(n 2 ) (%/$5//$(%(.*6&*"$G O(n 3 ) '.."$#//$(%( G. H $G ')")((5//$(%( %())!$%($//) n ( *&+#$//* O(2 n ) %'!#(%("$**/$(%( O(n!)?*$''* *!"##""$%" *$'*+**"$."%( /)&*0*" #+*"'$(.%$( ")&'%$ )" */C#&$" $%( +%&"*$/.!%&."%%" ($$( #( ") #""** 4.# $##( %"") 0#$6%('$( */C#&$" $%(!*4$ *" "*!*.'%" %$$("+)" ')")((5( "$/*("%$* ($$( 4*& +#$( %"") +#$6**( "#$ $* '%'$ ))&)$"%( *$'*+**"$."%(!%&."%%//* 0# */C#&$" $* ".//**( ')"") ))( 4*&+#$( #( #40%/ #$(($( 4%/!!#. ")&'%)) >
13 !$%($//) ( *&+#$//* +#$ *!"##""$%"$ "%4#'* */C#&$" $ "#$ $* 4%$'#"$ n (#!%* */C#&$" $ +#$ "*&+$"* %(% )( "$/** '.$( 4$"**!$ */C#&$" $ 0* (. %%&$%( */C#&$" $( "*&''.. 0* (. %%&$(%( "* H $$/$.. #+*" 4") ")&'%$") '.$( */C#&$" $( (#!%.!"##""$"%( /)&*0#0%( ')""55( /$$"" % %/'%) %". %"") "./#'%" #+*" &$$!!. *""# $* "#"%.".'%"* $//) &%.&$"*&+% $/ *$"**( 0#('.( "*!*.'%%( /$$""+)(..&%%( *+.//* ;#$**/"* *!"##""$(%( "./# %$ +)/"") )"") '%&&# $"))( */C#&$" $( ')"") " $%") ')")((5( "$/*("%$* $//) +*'$# n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n */'$#$%"* '#'#(*$/.'."*./.'#"* *&+#* # L x #( "*./.'#* ($$(!*/*."%"**( %(!*$''* "*./.'#*.."#$(!*/*."%"**( *&+# > x ;*!*.'%( '##'$ +#$6**( +*/$"* */'$#$6%( /.'. ))&) n )"%"))( '.+*( */C#&$" $* j := 1 j n L(j) x j := j j > n j := 0 7 j.+* 9"$(") $+$" 0* 1.#&$"%"**( '%&&*( 0* #/%!$%(.#&$".'%%( './.. 0#'$( +*'$#*$ '* /C#&$" $( *$'*+**"$. &$$!!.. $$ &$+$(.#&$".'%&&#$"* D*4$ ** "*!*.' %*.#&$".'%&"#0* #( n 0*!*&4*** "*!*.'%* %'$ ))&)$(%(.#&$".'%&"#0%( /.'. ))&) ()"")$$ #/%+*( (#$( n/2 0#"* %.&*$$ '%'$ ))&)$%( "*!*.'%( *$'*+**"$.'%'$ O(n) ;*&'*"%//**( '%'$ ))&)$%( "*!*.'%( *$'*+**"$."* '.$"%('$( 4$% *( "*&'% $( ;*&'#$""*'##( q "#6%(()'5$"") %"") x #( "*./.'#* L 0* #/'##( Ii "*!*. 0#* x #( "*./.'#(!*$'** i.( #/%"%"**( %"") */'$#$6%( $0*$("$ "*./.'#* #(
14 "**$%"$ 0*'*.".(." +#$6**( +%&"*$/.0%( /.'. ))&) '%'$ ))&)$%) "*!*.'%* k '$&0#$""**.#6#* k = = q n = n p(i i )i + (1 q)(n + 1) = i=1 n i=1 q(n + 1) 2 n i=1 q i + (1 q)(n + 1) n i + (1 q)(n + 1) = q n(n + 1) + (1 q)(n + 1) n 2 + (1 q)(n + 1) = ( 1 q 2) (n + 1). # "$%6%"))( %"") x #( "*./.'#* " q = 1 ($$( k = (n + 1)/2 # "** %$ %&'$'$ ($$( q = 1/2 k = 3(n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n) +#$6**( %$"")) 6$3%&%($4")/5() T(n) { c 1, 2T(n/2) + c 2 n, '.( n = 1 '.( n > 1.
15 #&" i, j i = j xi 1 m := (i + j 1)/2; 7 %&C%(#&" i, m #&" ) < m + 1, j).+* -# $"./*0$""%/. 2$3%&%($4")/5( #** T(1) c1 *(#"**( &%.(*%46#'$ /% ** #** $/ #$""** &%'.&$$+$$$( '.".$4$( './.+*( *0*( 0* '*$''%%(..4.( /*'%("**( 2T(n/2) +%& c2 n "*$/." /$"*( 0*'* $(%( 0* 46$") $(%( './.+*( *0*(.( #/%"%"**( %"") n #( '*''#%(!#"%($ ($$( #(C%/ *( 0*'# %(%% "**( =5 4% $( 4.# *"**( %"") ") ) #/%". %$ /#.''** "*&'*"%/.( /%$"") ;*+#$""%%(* #( %$""))) T(n)./0%".*.#6#* %/$ n ( 0* +*'$#$6%( *+.//* ' $('%&"*$(%( "*!* 6$3%&%($4")/5( &*"'*$% $%'$ #( *&+*"* #$'%* &*"'*$. 0* %( 0)/ '%%( +*& $".* *&+*.'%( #$'%%//$..6%"* &+*"**( (" %"") T(n) an log n+b 0#$//*$( +*'$#$//* a 0* b 0* #"%"**( "%4")+)'$ ##$""** *&+*. $(6.'"$#( *+.//* #$'%*'$.( n = 1 ($$(?*'$#( c1 #( $$ #/"*+* +)4$("))( 4")..&$ a 1 log 1 + b = b b '.$( c1 ;%46))( $(6.'"$# #/%". '.( 0* +)$"%"))( %"") T(k) ak log k + b k < n?#$6**( '$&0#$""** T(n) an log n + b. T(n) 2T(n/2) + c 2 n 2(a n 2 log n 2 + b) + c 2n = an log n 2 + 2b + c 2n = an(log n log 2) + 2b + c 2 n = an log n an + 2b + c 2 n. K(6.'"$#"#6$". #/$$ +*/ $ 0# +$$ %'$ '$&0#$"%"".* /*.%'%""* +#$"*$$$( *&+$#$6* /5!)$( /*.%''%%//* an log n + b ;) ) #( *46#//$"* 0# +*'$# a +*/$"**( #!$+*"$ I%/+$ "%"))( $//*$(%( *&+# +*'$#//% a #( *((%""*+* 9!)4")/5 #( +#$ ** 0# an log n an + 2b + c 2 n an log n + b an + b + c 2 n 0 %/$ a c 2 + b/n. #'* #/%"%""$$( %"") n > 1 ($$( +#$6**( +*/$"* a c2 + b. # $$ +*/$"**( b = c 1 0* a = c 1 + c 2 ($$( #( +#$ ** T(n) (c 1 + c 2 )n log n + c 1 %/$ /# $"./*0$""%/.( *$'*+**"$. #( O(n log n). 1
16 2$3%&%($4")/5( &*"'*$. *&+*.'%%(!%&.".+*//* %(%"%/ )//) */'** /%%() $//) %"") /*'%"**( &*"'*$. 0#$//*$(!$%($//) "*!*.'$//* 0*!&$"))(!))""%/% ))( &*"'*$.( /%$(%(.#"# -5"(%%( &*"'*$.( #$'%%//$.. #( "$%"%('$( "#6$"%""*+* "*+*//$%"$ ')"%"))( $(6.'"$#"* ;*&'*"%//**( %$ %&''$()!$'*/*0$""%/.(.$G'#&" '%'$ ))&)$") *$'*+**"$."* ;)) %$ %&'$) *&+*. %$!%&.".!$%("%( "*!*."%( "."'$ $%%( +**( *$'*$%!**( "$%"## %!$'*/*0$""%/."* D$'*/*0$""%/.*4*( /*0$"%//**( "*./.''# A[1...j] %.&**+*"$?*/$"**( 0*'#*/'$#'$ 0#'$( /*0$"%/"*+$"* /.+.$"* )&0%"%"))( "*./.''# ($$( %"") #*"*./.''# A[1...k 1] $)/")) 0*'#*/'$#"*!$% (% )" 0* A[k...j] $")..&% *" "*$ 4")..&%" */'$#" 1 *"'%"**( &%'.&$$+$%"$ #*"*./.'#$"* A[1...k 1] 0* A[k...j]. *'# #$$( A[1...k 1] 0* A[k...j] +#$6**( "%46).('"$#//*!*&"$"$#( 0#'* %$"%"))( '.+** 1.".(!*&"$"$#( i, j *$'*+**"$. #( O(j i 1). $("%C%&!*&"$"$#( i, j $("%C%&!$+#" */'$# $("%C%& l, r l := i r := j 1 *! A[l], A[r] 7 A[l].alkio <!$+#" l := l + 1 < A[r].alkio!$+#" r := r 8 l > r l.+* 1 -$"*( #$". *'#*/'$# +#$6**( +*/$"* #(%//* %&$ "*+*//* I%.&**+** #/%"%"**( ')"%"")+)( %/ /*$"* %(%""%/) %"") %"$"))( "*./.'#( */."* '*'$ %&$..&"* */'$#"* 0* +*/$"**( ($$")..&%!$ # /*0$"%/"*+$* /.'.0* #( +)4% )( '.$( '*'$ ($$( (6!$+#"!*/*.""** *&+#( (#//*.+*( 7.$G'#&" */$#40%/ ** #/%"%"**( (6!$+#".('"$#(!*/*.""*+*( ()$( +*/$".( 0*'#*/'$#(! 1, n O(n log n)" ;#6$"%"**( +)$"% $$() %&$'#$"*!*.'%* %"") $'))( *&+# %$ %$$(( "*. /.'#* 4") '%&"**.%* $( 0* %"") '*$''$ */'.0)&0%"'%" #+*" 4") "#6%(()'5$$) )"%"))( %&'$(")) p(i) $$") "#6%(()'5$6%") %"")!*&"$"$#( 1, n ".#""** #*"*. /.'#" 0#$6%( '##" #+*" i 0* n i */'$#"* ;)//*$%" 0*#" **6**( '.( 0*'#*/'$# #(.. &..0)&0%"'%) (i+1) /*0$"%/"*+$"* /.+.$"* ;#6%(()'5$ $//% %"")..&..6%/"**( 7
17 .$G'#&" i, j $("%C%&!$+#" */'$#!$+#"$(6% $("%C%& 0*'#*/'$#( $(6%'$!$+#"$(6% (6!$+#" i, j!$+#"$(6% 0 1!$+#" := A[!$+#"$(6% ]. */'$# 7!*&"$"$#(!$+#" k := i, j, <.$G'#&" i, k k, j 8.+* 7 D$'*/*0$""%/. /.'. #( "*./.'#(!*$'** #( 1 #""* % "./$$ +*/$".'$ 0*'#*/'$#'$ #( "*. (i + 1) n /.'#( "#$%*!*$'** #/"*+* $")!$%(%!$ /.'. ;) )( "*!*4". *( "#6%(()'5$ #( i ;#6%(()'5$ $//% %"") "*./.'#( %($ )$%)!*$'** #( /*0$"%/"*+$"* /.+.$"* n 1..&..6%/"**( (i+1) /.'. 0* %"") $$") "./%% 0*'#*/'$# #( 1 i ;#$(%( *46#//$.. #( n n 1 %"")..&..6%/"**( (i + 1) /.'. #( "*./.'#(!*$'** 0*!*$'** #( $")!$%(%!$ /.'. ;) )('$( "*!*4". *( "#6%(()'5$ #( 1 i?#$6**( $$ '$&0#$""** n n 1 %/$ p(i) = 1 i n n 1 + i 1 n n 1 = %'$ ))&)$%//% *0*//% **6**( 6$3%&%($4")/5 T(n) = T(n) = I#+%//%"**( (" '**+** { { 2i n(n 1). c 1, n 1 i=1 p(i)[t(i) + T(n i)] + c 2n, c 1, n 1 i=1 2i [T(i) + T(n i)] + c n(n 1) 2n, n 1 f(i) = 1 n 1 (f(i) + f(n i)), 2 i=1 i=1 0#'*!)"%% '*$'$//*.('"$#$//* f.( n > 1 **6**( T(n) 1 2 = n 1 ( i=1 2i n(n 1) i=1 '.( n = 1 '.( n > 1 '.( n = 1 '.( n > 1 ( ) 2(n i) ( ) ) T(i) + T(n i) + T(n i) + T(i) + c 2 n n(n 1) 1 n 1 ( ) T(i) + T(n i) + c2 n = 2 n 1 T(i) + c 2 n. n 1 n 1 )$( 4")/5 #( **"..#"##( T(n) = { c 1, 2 n 1 n 1 i=1 T(i) + c 2n, < i=1 '.( n = 1 '.( n > 1
18 ;#6$"%"**( %"") *&+** *//* **". &*"'*$. T(n) cn log n '.( c #( +*'$# 0* n 2 #( #$'%*.( n = 2 ($$( *&+*.'%(.'**( T(2) 2c log 2 = 2c 4")/5(!%&."%%//* #( T(2) T(i) + 2c 2 = 2c 1 + 2c ?#$6**( $$ +*/$"* c c1 + c K(6.'"$# 2 #/%". '.( /.'$ +#$6**( '$&0#$""** T(i) ci log i 2 i < n i=1 i=1 T(n) 2 n 1 T(i) + c 2 n = 2c 1 n 1 n n 1 T(i) + c 2 n. n 1 K(6.'"$# #/%".'%(!%&."%%//* +#$6**( +$$ %'$ '$&0#$"%"".* /*.%'%""* *&+$#$6* /5!)$( /*.%''%%//* 2 n 1 ci log i + 2c 1 n 1 n 1 + c 2n. i=2 L"%"**( ')""55( %&'$(") b = 2c 1 n 1 + c 2n = = = i=2 i=2 I%( *+.//* +#$6**( '$&0#$""** 2c n 1 i log i + b = 2c ( n/2 i log i + n 1 n 1 ( n/2 2c i(log n 1) + n 1 i=1 n 1 i=1 i=n/2+1 ) i log n + b n 1 i=n/2+1 ) i log i + b ( n/2 2c n 1 ) (log n 1) i + (log n) i + b n 1 i=1 i=n/2+1 ( 2c ( ) ( n ( n )) ( 3n ( n )) ) log n 1 n log n b ( 2c (n 2 n 1 2 n ) ( n 2 log n n ) ) + b. 4 ;*&'*"%//**( %&$'%%( "%& %0) 2c ( n 2 ) 0* n 2c ( n 2 + n n n * ) I**6**( ( 2c n 2 n 1 2 n ) = 2c n (n 1) = cn 2 n 1 2 ( 2c n 2 n n ) = 2c n 2c (n + 2) 4 n 1 8 n 1 n 8 (n 1) = cn 4. ;)4)( %((%) #( #(($"."". ##$""* **( %"") T(n) cn log n cn + b.( +*/$"**( 4 ($$( c 4c 1 + 4c 2 cn + b 0 ;)//5$( #( T(n) cn log n
19 *"'*$"**(..6%//%%( '#46*( 6$3%&%($4")/5 " #/%"%"**( %"") n #(.#"#* 2 k I#+%/"* *//* "#$".+*"$ *((%"".* 4")/5) +#$6**( '$&0#$""** T(n) 2T(n/2) + c 2 n 2(2T(n/4) + c 2 n/2) + c 2 n 2 ( 2(2T(n/8) + c 2 n/4) + c 2 n/2 ) + c 2 n... ;#$"* *//* ")") i '%&"** **6**( T(n) 2 i T(n/(2 i )) + ic 2 n. #'* n = 2 k **6**( %&$"$%"$ T(n) 2 k T(1) + kc 2 n c 1 n + c 2 n log n %/$ T(n) #( O(n logn) //) #/%+** &*"'*$.* #/%"%"**( %"") n = 2 k ;) ) #/%". %$ /#.''** "*&'*"%/.( /%$"") # ($ $"")$( #/%"%"**( %"") T(n) #( '*+*+*.('"$# '."%( &%.&$+**"$. "%( '#46*//* 0#'%%('$( *$(* #( *$*(/*$"* ($$( +#$6**(!))"%//) %.&**+*"$ # n %$ #/% '*''#%(!#"%($ ($$( % #( 0#$6%('$( '*''#%(!#"%($%( +)/$).(' 2 k 1 < n < 2 "$#( k T '*+*+..6%(!%&."%%//* #( ")//5$( T(2 96%//) "#6$"%""$$( k 1 ) T(n) T(2 k ) %"") //% T(2 0#//*$( +*'$#//* k ) c2 k log 2 k c "!)"%% '*''#%(!#"%($%( +)/$) #/%+*//%?#$6**( $$ +*/$"* ))&$"%/ )( n T(n) c2 k log 2 k c(2n) log(2n) = 2cn log n + 2cn.'*$%" +*'$#" 5 n //% %/$!)"%% T(n) = O(n log n) #'* * *(/*$(%(!))""%/ #( *46#//$(%( /%$%"$'$( +#$6**( #(C%/ *( '##( #/%""** #/%+*( #!$+**.#"#* ;*&'*"%//**( 6$3%&%($4")/5) T(n) = { 1, 2T(n/2) + 2, I#+%//%"**( "#$".+*"$ *((%"".* 4")/5) I**6**( '.( n = 2 '.( n = 2 k 0* n > 2. T(n) = 2T(n/2) + 2 = 2(2T(n/4) + 2) + 2 = 4T(n/4) = 4(2T(n/8) + 2) = 8T(n/8) =... i = 2 i T(n/2 i ) + 2 j. j=1 #'* &%.(*%4"# #( ))&$"%/" *&+#//* n = 2 +#$6**(!.&'* $"* "#$"** k 1 '%&"** I**6**( k 1 T(n) = 2 k 1 T(n/2 k 1 ) + 2 j = 2 k 1 T(2) + 2 k 2 j=1 = 2 k k 2 = 2 k /2 + 2 k 2 = 2 log n /2 + 2 log n 2 = n/2 + n 2 = 3n/2 2. 8
20 A ;*&'*"%//**( 6$3%&%($4")/5) { '.( 1, n = 1 T(n) = '.( 2T(n/2) + log n, n = 2 k 0* n > 1. I#+%//%"**( "** "#$".+*"$ *((%"".* 4")/5) I**6**( T(n) = 2T(n/2) + log n = 2(2T(n/4) + log(n/2)) + log n = 4T(n/4) + 2 log(n/2) + log n = 4(2T(n/8) + log(n/4)) + 2 log(n/2) + log n = 8T(n/8) + 4 log(n/4) + 2 log(n/2) + log n =... i 1 = 2 i T(n/2 i ) + 2 j log(n/2 j ). j=0.( i = k = log n **6**( k 1 k 1 T(n) = 2 k T(n/2 k ) + 2 j log(n/2 j ) = n + 2 j log 2 k j j=0 j=0 k 1 k 1 k 1 = n + 2 j (k j) = n + k 2 j j j=0 j=0 j=0 = n + k(2 k 1) ((k 1)2 k+1 k2 k + 2) = n + k2 k k k2 k k+1 + k2 k 2 = n + k2 k+1 k k2 k k+1 2 = 2 k+1 k 2 + n = 2n log n + n 2 = 3n log n 2. Q ;*&'*"%//**( 6$3%&%($4")/5) { '.( 1, n = 1 T(n) = '.( 2T(n/2) + 6n 1, n = 2 k 0* n > 1. I#+%//%"**( "#$".+*"$ *((%"".* 4")/5) I**6**( 2 j T(n) = 2T(n/2) + 6n 1 = 2(2T(n/4) + 6n/2 1) + 6n 1 = 4T(n/4) + (6n 2) + (6n 1) = 4(2T(n/8) + 6n/4 1) + (6n 2) + (6n 1) = 8T(n/8) + (6n 4) + (6n 2) + (6n 1) =... i 1 = 2 i T(n/2 i ) + 6in 2 j..( i = k = log n **6**( j=0 k 1 T(n) = 2 k T(n/2 k ) + 6n log n 2 j = nt(1) + 6n log n 2 k + 1 j=0 = n + 6n log n 2 log n + 1 = 6n log n + n n + 1 = 6n log n + 1.,
21 P ;*&'*"%//**( 6$3%&%($4")/5) { '.( 1, n = 1 T(n) = '.( 3T(n/2) + n 2 n, n = 2 k 0* n > 1. I#+%//%"**( "#$".+*"$ *((%"".* 4")/5) I**6**( T(n) = 3T(n/2) + n 2 n = 3(3T(n/4) + n 2 /4 n/2) + n 2 n = 9T(n/4) + 3(n 2 /4 n/2) + (n 2 n) = 9(3T(n/8) + n 2 /16 n/4) + 3(n 2 /4 n/2) + (n 2 n) = 27T(n/8) + 9(n 2 /16 n/4) + 3(n 2 /4 n/2) + (n 2 n) =... i 1 i 1 = 3 i T(n/2 i ) + n 2 (3/4) j n (3/2) j. j=0 j=0 =.#'*"**( %($( '*4"* 0)/'$ )$") 4"%%(/*'%""*+** 0* n 2 i 1 j=0 (3/4) j = n 2(3/4)i 1 3/4 1 = 4n2 ((3/4) i 1) i 1 n (3/2) j = 2n((3/2) i 1). j=0 )$6%( *+.//* T(n) +#$6**( '$&0#$""**.#6#* T(n) = 3 i T(n/2 i ) + 4n 2 4n 2 (3/4) i + 2n 2n(3/2) i.?*/$"**( "** i = log n ;)//5$( **6**( T(n) = 3 log n + 4n 2 4n 2 (3/4) log n + 2n 2n(3/2) log n = n log 3 + 4n 2 + 2n 4n 2nlog 3 2nnlog 3 n log 4 n log 2 = n log 3 + 4n 2 + 2n 4n log 3 2n log 3 = 4n 2 + 2n 5n log 3. ;*&'*"%//**( 6$3%&%($4")/5) { '.( n = 1 T(n) = 1, at(n/b) + d(n), : '.( n > 1,
22 '.( a 0* b #+*" +*'$#$"* 0* d 0#'$(.('"$# L"%"**( "%4")+)'$ "#6$"** %"") "*&'*"%/"*+**.#"#* #/%+*( 4")/5( &*"'*$.//* #( %$" k 1 T(n) = a k + j=0 a j d(b k j ), '.( n = b k. ;%& $) a k *(#"**( &*"'*$.( 4# #C%%($%'$ #*'$ 0*. */*.%'%""* %!)4# #C%%($ %'$ #*'$ I#+%//%""*%* 6$3%&%($4")/5(!.&'* $ %(%""%/) **6**( ( n ) ( ( n ) ( n )) T(n) = at + d(n) = a at + d + d(n) ( b b 2 b n ) ( n ) ( ( n ) ( n )) = a 2 T + ad + d(n) = a 2 at + d ( b 2 b b 3 b 2 n ) ( n ) ( n ) = a 3 T + a 2 d + ad + d(n) =... b 3 b 2 b ( n ) i 1 = a i T + b i j=0 ( n ) a j d. b j B.# $#$ *//* %"") n = b k +#$6**( +$$ %$(%( /*.%'% '$&0#$""**.#6#* k 1 a k + j=0 a j d(b k j ), '.( n = b k. ( n ) + ad + d(n) b.('"$#"* d *(#"**( 4 %4 0# d(nm) = d(n)d(m). 9$ %&'$'$.('"$# d 1 (n) = n α #(./"$!/$'*"$$+$%( $//) (nm) α = (n) α (m) α I%( $0**(.('"$# d2 (n) = log n %$ #/%./"$!/$'*"$$+$(%( $//) d2 (nm) = log nm log n log m = d 2 (n)d 2 (m) 96%//) **". "./# +#$6**( +$%/) '$&0#$""** '$('%&"*$%!**(.#"##( 0# "$%6%"))( %"") d #(./"$!/$'*"$$+$(%(.('"$# ;)//5$( #( +#$ ** k 1 k 1 a j d(b k j ) = d(b) k j=0 j=0 ( a d(b) ) j = d(b) k ( k a d(b)) 1 a 1 d(b) = ak d(b)k a 1, d(b) '.( a d(b) ;) )( %$"'%( *+.//* +#$6**( "#6$"** %.&**+* ')""5'%/!#$(%( /*.% T(n) = a! b " { 1, at(n/b) + d(n), n = 1 n > 1 O ( n log a) b, T(n) = O ( n log d(b)) b, O ( n log b d(b) log b n ), >! a > d(b)! a < d(b)! a = d(b)"
23 .( a > d(b) ($$( a k d(b) k a 1 d(b) #( ;)//5$( #( %/$.( ($$( O(a k ) T(n) O(a k ) O(n log b a ) a < d(b) a k d(b) k a 1 d(b) #( ;)//5$( #( %/$.( ($$(./"$!/$'*"$$ O(d(b) k ) T(n) O(d(b) k ) O(n log b d(b) ) a = d(b) +$..#/%".'%( 0)/'%$")!))""%/) %$ +#$6* "%46) ;)//5$( +#$6**( '.$"%('$( '$&0#$""** k 1 j=0 aj d(b k j ) = d(b) 0* #( k k 1 j=0 1 = d(b)k k = n log b d(b) log b n T(n) O ( n log b d(b) log b n ) ;*&'*"%//**( 4")/5$") 0* T(n) = T(n) = T(n) = { { { 1, 4T(n/2) + n, 1, 4T(n/2) + n 2, 1, 4T(n/2) + n 3, '.( n = 1 '.( n > 1 '.( n = 1 '.( n > 1 '.( n = 1 '.( n > 1. *$'$* 4")/5$) #( a = 4 0* b = 2 0#"%( &*"'*$.( 4# #C%%($(%( #* #( a log n b = n log b a = n /$ 2 )) 4")/5) #( d(b) = 2 < 4 = a 0#"%(?* T(n) = O(n log 4 2 ) = O(n 2 ) "**+*"$ '%'$ )$%) 4")/5) #( /$ ** 4")/5) #(!.#/%"**( 0* d(b) = 2 2 = 4 = a T(n) 0* = O(n log 2 4 log 2 n) = O(n 2 log n) d(b) = 2 3 > 4 = a T(n) = O(n 3 ) *"'*$"**( 4")/5 T(n) = { 1, 2T(n/2) + n log n, '.( n = 1 '.( n > 1. ;)) 4")/5) #( a = b = 2 4")/5( 4# #C%%($(%( #* #( a k = n log b a = n log 2 2 = n..('"$# d(n) = n log n %$ #/%./"$!/$'*"$$+$(%( 0#"%( -*.%""* %$ +#$6* #+%/"** 9!)4# #C%%($(%( #* #( k 1 k 1 k 1 a j d(b k j ) = 2 j 2 k j log 2 k j = 2 k (k j) j=0 j=0 j=0 = 2 k 1 k(k + 1) = 2 log n 1 log n(log n + 1) = n 2 (log2 n + log n).
24 9!)4# #C%%($(%( #* ))&)) $$ 4")/5( T(n) '*+.+*.46$( T(n) #( O(n log 2 n) ;) )( */*'#46*( */.* *((%".( 6$3%&%($4")/5( &*"'*$. +#$6**( %6%//) %$"%"(!%&."%%//* *("** 4# #C%%($%( 0* %!)4# #C%%($%( #*(. *(*.#6#* k 1 a k + a j d(b k j ). j=0.( 6$3%&%($4")/5 %$"")) &%'.&$$+$%( */C#&$" $( *$'*+**"$."* ($$( 4# #C%%($(%( #* +*"** #*#(C%/ $%( &*"'*$..( './.+** *$'** 0* %!)4# #C%%($(%( #*..4.( /* '%("**( #(C%/ *( 0*'* $(%( &*"'*$.( '#'#* $(%( #$"* './.+** *$'**.(!&$ "))( "%4#"* **( */C#&$ $* #( "$%6%"")+) '.!$ #* ))&)) *$'*+**"$.'%( # %$ %&'$'$ 4# #C%%($(%( #* #( ))&))+) %$ '*((*"* "%4#"** &*"'*$.( '#'#* $"* #$"* +**( */C#&$" $( "%4#"* $%'$ #(C%/ * #( 0*%""*+* #$$( "#$%//* "*+*//* -# $"./*0$""%/.( *$'*+**"$."* '.+** 6$3%&%($4")/5 T(n) { c 1, 2T(n/2) + c 2 n, '.( n = 1 '.( n > 1. ;) )( */*'#46*( %&'$((5$//) #( $$ a = b = 2 0* d(n) = c2 B# #C%%($%'$ #*'$ n **6**( 2 log 0* %!)4# #C%%($%'$ #*'$ n = n k 1 k 1 2 j c 2 2 k j = 2 k c 2 = c 2 2 k k = O(n log n). j=0 j=0 /C#&$" $( "%4#"* $%'$!$")$$!") "%4#"* **( /# $".+*$4%""* ;) ) %$ %/+)"$ '))( #/% *46#//$"* =54% $( 4.# *"**('$( %"") /# $"./*0$""%/. #( *!"##""$ %"$ #!"$ **/$(%( %&))) /**0** /*0$""%/. %(%"%/ $%( /.#'** 96%//$%( %$ #/%./"$!/$'*"$$+$(%( %$ %&'$( 6$3%&%($4")/5.('"$#?*'$#//* %$ #/% -*.%%( +**"$ **.#"#* $//) %$ '.$"%('**( #/% +*$'."."* %!)4# d(n) # = c 2 n c C%%($%( #*( *!"##""$%%( ')"")" $%%( 2 ;) )!$")) /%$%"$'$(!*$''*(*.(' "$#( d +*'$#'%&&#$( +#$6**(.(#4"** 0# &*"'*$.'$ &$$"")) *!"##""$(%( "./# -*.% +#$6**( $$ '$&0#$""**..6%//%%( 4$% *( /%$% )).#6#* %.&**+*( /*.%%( "*!**( T(n) = { a b c! e " 1, at(n/b) + cd(n) + e, O ( n log a) b, T(n) = O ( n log d(b)) b, O ( n log b d(b) log b n ), n = 1 n > 1! a > d(b)! a < d(b)! a = d(b)"
25 ;*&'*"%//**( %$ %&''$() 6$3%&%($4")/5) { 1, T(n) = 2T(n 1) + n, 9&$ n ( *&+#$//* **6**( %.&**+*" 4")/5" '.( n = 1 '.( n > 1 T(n) = 2T(n 1) + n T(n 1) = 2T(n 2) + n 1... T(n i) = 2T(n i 1) + n i... T(2) = 2T(1) + 2.?*/$"**( /*+%("*0$'$ 2 0, 2 1,...,2 i,...,2 n 2 0* '%&&#"**( **6." 4")/5"!.#/$""*$( /*+%( "*0$//* I**6**(..6%" 4")/5" T(n) = 2T(n 1) + n 2T(n 1) = 2 2T(n 2) + 2(n 1)... 2 n i T(n i) = 2 n i 2T(n i 1) + 2 n i (n i) 2 n 2 T(2) = 2 n 2 2T(1) + 2 n *'% *//* () ) 4")/5"!.#/$""*$( 4"%%( **6**(... n 2 n 1 T(n) = 2 n 1 T(1) + (n i)2 i = (n i)2 i. i=0 )$( T(n) #( **"..#"##( 0#"* #( $%+%((%"" 0# %6%//$%( */*'#46*( %$ %&'$) I**6**( T(n) = 2 n+1 n 2 i=0 ;*&'*"%//**( #+%//."* 0#* "%46))( 0#(#!%&)'')$$) #!%&**"$#$"* * **( "$%"#&*'%( "%%%%( 0* 4*/."**( "$%")) '#'# #!%&**"$#0#(#(.#&$".*$'* L!%&**"$#0#(#(.#&$".*$'** +#$6**( *&+$#$6* '$"")$"%( #!%&**"$#$6%(!*4$!$%( "*!*."%(!%&."%%//* )$( **"* +* *&+$# +#$ '.$"%('$( #//* /$$*(!%$ $"$(%( $//)!*4$( "*!*. %$ %4') +#$'**( "#$".* '%&&*"* "#$%%( ;#$(%(!%&$("%$(%( "*!* #( ')"")) '%'$ ))&)$%( "*!*.'%( *(*/$) L(C%/ *(* #( ")//5$( #!$+$%( "#6%(()'5$0*'*. $%( /5") $(%( 1
26 "* ;*&'*"%//**(!$(#* 0#"* ')$"%//))( T #!%&**"$#$//* 0#"'*.#6#".+*" k (k 0) '."."* 0* 46%") '*!!*/%""* '."."* =$') #( *$'*+**"$. '.( "%46))( m '*+**"$. #( T #!%&**"$#$"* '$''5) '$"")$%( */.(!%&$( "40))(!$(##( 46%(!#! "*$!.4 '.".( *$ T #!%&**"$#(!*4$ *( "*!*.'%( *$'*+**"$. #( m D*4$ *( "*!*.'%( *$'*+**"$. *("** $$ '#'# #!%&**"$#0#(#( *$'*+**"$.'%' $ I%//*$$* O(m 2 ) T #!%&**"$#$"* 0#"'* "*&+$"%+*" *$'** '$''5) %$ ( #!%&**"$#( m m 0#(#* +#$ '.$"%('**( #//* '.$( '$ '*!!*/%.( "%46))( m '*!!*/%""* ($$(!$(##( +$%6))( 4"%%() T #!%&**"$#$"* m */'$#"* =5!#! '.".0* +#$ ")//5$( #//* '#&'%$("**( '*!!*/%""* L!%&**"$#0#(#( *0*("*&+% #( $$ '#&'%$("**( m 2m ;*#$"%"". +**"$+..*(*/$!&'$$ 0#4"* **( '#'# 0#(#( +**"$ *( *0*( *(*/#$ */ /* #!$+*"$ '$"")$$) #!%&**"$#$"* ;*#$"%"".* +**"$+..*(*/$) +#$6**( "*&'*"%//* *$(*'$( '*46%"* %&$/*$%"* '%'%())( * *(*&+#$%"* ()'5'./ *"* 44 4."*'$( #!%&**"$#0#(#( #!%&**"$#"* '#4"$ #( ')"%"")+$) n ' $''5) # #!%&**"$# "*&+$"%% +)4% )( *$'** ($$( ')"") )"5( *$'* 0)) ))"55( # n '$''5) %$ &$$") ($$( ')"%"))( ))"50) "*$ #"%"**( /*$(** # */6# #( /#!.*!#$ "$$+$(%( ($$( 46%( #!%&**"$#( "*#$"%"". *$'*+**"$. #( n.//*'$( T #!%&**"$#//* #( ')"5))( '$''5) ;#$%//* '$'5/ /) *'%"**(!.4 "#$%//* *'%"**( 0#'$(!#! "*$!*((**( % ))"55( #'*!#! '.".0* #( '#&'%$("**( 4")!*/0#( '.$(!.4 '.".0* ($$( ))"5" &$$"")+)"!#! '.".0%( *'* $%%( 46%( T #!%&**"$#( "*#$"%"". *$'*+**"$. #( 4 4 0*"%//**( %"") "$%"#&*'%("%%( 0#'*$%%( "$/*("%%%%( D /$$"" &% **/$/.'. Φ(D) 0#"* *(#"**(!#"%("$**/$'$ #.#&$"%"**( 4%/!!#0* #!%&**"$#$"* ($$(!#"%("$**/$ '*+** '*//$$" #!%&**"$#"!$%(%(")+)"!#"%("$**/$* L!%&**"$#( i "*#$"%"". *$'* ))&$"%//))( 4")/5//) '.( a = t + Φ(D ) Φ(D) a t = Φ(D) = Φ(D ) = "#6%//$(%( *$'*!#"%("$**/$ %((%( #!%&**"$#"* 0*!#"%("$**/$ #!%&**"$#( 0)/'%%( ;*&'*"%//**( #!%&**"$#0#(#* 0#* #( m #!%&**"$#"* -*'%"**( 4"%%( #!%&**"$#$6%( "*#$"%"." *0*" m a i = i=1 m (t i + Φ i Φ i 1 ) = i=1 m t i + Φ m Φ 0, '.( Φ0 #(!#"%("$**/$ #!%&**"$#0#(#( */'*%* 0* Φm %( /#!!.%* ;#6%//$(%( *$'* +#$ 6**( '$&0#$""**.#6#* m t i = i=1 i=1 m a i + Φ 0 Φ m. i=1 # %/$ Φ0 ($$( "*#$"%"".* *$'** +#$6**( ')"")) *&+$#$"*%* "#6%//$"* Φ m 0 Φ 0 Φ *$'** /5!)$( ;) ) #( m 0* '.( *46#//$"* %$ %&'$'$ $//#$( '.( +*/$"**(!#"%("$**/$ ($$( %"") ;) ) +*"**!*(''$$&$( ()'% ") $/ *( /*$(*(#""#* Φ 0 = 0 Φ i 0 i > 0 7
27 ?*/$"**(!$(#%$ %&'$)!$(#(!#"%("$**/$'$ Φ(!$(# )!$(#* #/%+$%( */'$#$6%( /.'. ))&) #!$(#* #( r */'$#"* 0*.#&$"%"**( T #!%&**"$# 0#'* "%'%% k!#! #!%&**"$#"* ($$( a = t + Φ(!$(# ) Φ(!$(# ) = (k + 1) + (r (k 1)) r = 2. =.'*.".+* /$"* #( %$ %&''$ (.'*.".+$"* "$%"#&*'%("%$"* 0#$"* "*&'*"%//**( 0*"'#* "*&'% $( ;*&'#$".'%(* #( %/+%("))!%&$("%$%( +**"$+..*(*/$( 0* "*#$ "%".( +**"$+..*(*/$( +)/$") %&#* & 41 #( "%4")+)() //)!$")) */'$#0#.''#* 0#"* ')$"%//))( #!%&**"$#$//* *GG% x %"$ */'$# x 0#.'#"* $(%&" x /$)) */'$# x 0#.''##( 6%/%"% x!#$"* */'$# x 0#.'#"* I*(*'$&0*#(C%/ * +#$6**( &*"'*$"* "%4#''**"$ ')"") )//) %&$/*$$* H $(**&$!.$"* I%. &**+** "*&'*"%//**( '.$"%('$( #(C%/ *( &*"'*$% $"* 0)&0%") )""5 )( /$('$"%"( /$ "*( *+.//* /'$# %"$"))( /$"*"* ') )//) /$"** /)!$ */."* /)4"$%( /'$#"* /$)"")%) +*& $"*. 6."**( */.'$ $$") %"") */'$# %$ +$%/) #/% /$"** /'$#(!#$"* $%'$ % */.'$ %"$"))( '."%( #!%&**"$#* *GG% L!%&**"$#$6%( '."*((.'$"* #/%"%"**( %.&**+** /$"*( ((%( */'$#( %"$(") "*$!#$"# *'** '$''5) i i */'$#( /$) *'** i + 1 '$''5) 0# /$"*(!$".. %((%( /$)") #( i #!%&**"$# $(%&" x +#$ /$)") x ( $4$( "*4*(* '#4"**( /$"** $/ *( /$)'."*( (.'$* #!%&**"$#( *GG% 4"%6%) +#$6**( $$&")) $/ *$%'$ $4$( "*4*(* '#4"**( x x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
28 0#*!$6%"))( //) +$$""*./*'.&%$"* 0* )$/"%"))( */'$#" /*'.&%$6%(.'**( /*'%+**..&..0)&0%"'%) L"%"**( ')""55( %&'$(") px */'$#( x +$$""*."#6%(()'5$6%//% 0*'*. ** p 0* A (p) 0*'*. **( p /$$""+)//% %"$(")'."*((."%( #6#".*&+#//% '.( ')"%"))( 4%.&$ "$$''** A )&0%"%/4%.&$"$$''#0* +%&&*"**(.%$( #!"$ **/$%%( "**""$%%( 0)&0%"'%%( 0#"* ')"%"))( %&'$(")) 2D # # D%&$("%$%"$ 4%.&$"$$''#0* #( +%&"*$/". %"$(")'."*((."%( #6#".*&+#0%(!%&."%%//* '%'$ ))&)$%( "*!*.'%( *(*/$ L(!""" "#6$"* **( %.&**+*" "./#'%" '*$'$//% 0*'*. $//% p (p) = (p) (p) 2 (p) (p) '*$'$//* 0* 4")..&.. #( +#$ ** +*$( '.( /$"** #( '*'$ */'$#"* "*$ (p) */'$#$//* p x = 1/n x )")((5) #( '.$"%('$( 4.# *"". %"") = "#$ $$ /%%()!*&% $( '.$( ; ;) )!%&.".. $$4%( %"") = ( '."*((..!!%(%% '#4"$ #6#".*&+#**(!*/0#( (#!%* $( '.$( ; ( '."*((. I%.&**+** "*&'*"%//**( /$"*4%.&$"$$''#0%( "*#$"%"".0* *$'*+**"$.'$* L/%"%"**( */.'$ %"") */'$#0#.''# #( '$$("%) " #!%&**"$#0#(#.#6#"..!%/')"))( *GG% #!%&** "$#$"* L!%&**"$#0#(#( S +**"$ *"* *0*"* #+%//%""*%* 4%.&$"$$''** A ')"%"))( %& '$(")) CA (S) A! S C (S) 2C(S). *$''$%( 4%.&$"$$''#0%( *$'*+**"$..#6#".. %$ ") ))+$") 0* ") )) +$") +%&"*$/.$"* /$"*( */'$#$6%( 0* %"$"")+)( */'$#( +)/$//) ;) ))+$) +%&"*$/.0* #( '*$'$//* 4%.&$"$$'#$//* 4") #("* $$"")) $$ ##$""** %"") = 4%.&$"$$''* "%'%% '#& '%$("**( '*'$ '%&"** ($$(!*/0#( %$ ") ))+$) +%&"*$/.0* '.$( 2D ;) ) +#$6**( "#6$"** %&$'%%( 0#'*$%//% */'$#!*&$//% (A, B) = 4%.&$"$$'*( "%'% )" %$ ") ))+)" +%&"*$/." */ '$#$6%( A 0* B +)/$//) &$$!!.+*"!%/')"))( A ( 0* B ( '%'$()$%") 0)&0%"'%") /$"* * /'$#$6%( '%'$()$(%( 0)&0%"!.#/%"**( &$$!!.. $$") '.!** #( +$$ %'$ %"$"" +$$""*.'%".$4$( */'$#$4$( %$+)" $$4%( +*$'."* L/%"%"**( %"") #!%&**"$#0#(#* S #( m '*!!*/%""* *GG% A 0* n '*!!*/%""* *G G% B #!%&**"$#$"* /%$"") /#.''** *""* +#$6**( #/%""** %"") 2D m n. '*!!*/%""* /$"** #'*$%%( */'$# B #( = %((%( ( %$ */'$#"* A %$ ") ))+$) A, B +%&"*$/.0* "%46))( $$ m ") ))+))( +%&"*$/..( /$$"" ( 0* ( 0)&0%"'%( A B +*$4". $(%( ;)//*$$* +*$4"#0* +#$ #//* '#&'%$("**( 2m -*.%%( 7 &*0* #( "$.''* " $") %$ +#$!*&*("** ;) )( ##$""* $%'$ "*&'*"%//**( */.'$ /$"** 0#* #( (%/0) */'$#"* L!%&**"$#0#(#//* S = (ABCD) t #( C (S) = (1 + = 4%.&$"$$'*(.'*$(%( '."*((. &$$!!.. /$"*( */'.$)//5") # /$"* #(
29 */.'$ 0)&0%"'%) D C B A ($$( C (S) /%$%"$ +#$ = ( )t = 16t #//* C (S) = t 0* k."*((."%(.4"%%'$ **6**( i=1 i C (S) = tk 2 C (S) C (S) = tk2 t k i=1 i = k2 k(k + 1)/2 = 2k k + 1..( k '*+** ($$(.46% /)4%" '*4"* 0* +*/$"% *//* k "*&!%%'$..&%'$!))"))( $%/$+*/"*$%( /)4%//% '*''#"* ; 4%.&$"$$'*//% %$ +#$6* "#6$"** -*.%%( 7 '*/"*$"* "./#"* ;) ) ()46))( "*& '*"%/% *//* /$"** 0#('* */'.$)/"5 #( A B C D L!%&**"$#0#(#( (D) t "./#'%(* +*$4"*+*" */'$#" D 0* "#$".+*"$!*$''#0**(.""* %$+)" %"%(% '#4"$ /$"*( */'.* L!%&**"$#0#(#( '."*((. #( 10t L!"$ **/$%* "**""$%* 0)&0%"'%) D 0* #+*" /$"*( */.* 0* '."*((. #( (1 + 2)t #( $$ C (S) > 2C (S). I%.&**+** "*&'*"%//**( 6(** $$* */'$#0#.''#0* L"%"**( "%4")+)'$ "#6$"** I/%* "#&$( 0* ;*&0*($( +*4+* "./# 0#'* '#&+** 2D 4%.&$"$$'*( -*.%%* 7 $%/$+*/"*$%//* 4%.&$"$$'*//* L"%"**( ')""55( %.&**+*" %&'$(()" F A (S) X A (S) = C A (S) = m = $/ *$"%( +*$4"#0%( /.'. ))&) $(%&" = 0* *GG% #!%&**"$#$6%( 4"%6%) *'.//$"%( +*$4"#0%( /.'. ))&) '#'#(*$'."*((. $/ *( *'.//$$* +*$4"#0* #!%&**"$#0#(#(!$".. #'* = 4%.&$"$$''* "%'%% +*$( $/ *$$* +*$4"#0* #( X (S) = 0 '*$'$//* #!%&**"$# 0#(#$//* S Q! A!! S! m C (S) 2C A (S) + X A (S) F A (S) m. = 4%.&$"$$'*//* ;#6$".'%* "*&'*"%//**( &$((*''*$( '*4"* /$"** ;#$"* ()$") //)!$6%"))( 0* "#$"* '$/!*$/%+*//* 4%.&$"$$'*//* A -$"#$4$( "%46))( *$(* ") )//%%( * *" #!%&**"$#" )"%"))( /$"#$"* +*"**+*"$ ($ $"'$) = /$"* 0* A /$"*?*/$"**(!#"%("$**/$.('"$#'$ /$"#$* #/%+$%( $(+%&$#$6%( /.'. ))&) $(+%&$#//* "*&'#$"%"**( %/ /*$"* */'$#!*&$* (i, j) 0#('* */'$#$6%( '%'%()$(%( 0)&0%" #( %&$/*$(%( = /$"** '.$( A /$"** /'."$/*("%%* #/% *" /$"*" #+*" "40$) 0#"%(!#"%("$**/$ #( */.'$ > #'*!#"%("$**/$ #( /.'. ))&) ($$( % #( *$(* %$ (%C*"$$+$(%( ;*#$"%"". *$'* *&+$#$ $$ "#6%//$"* *$'** /5!)$( L/'##( i #!%&**"$#( '#4"%%(* #/%+*( */'$#( $(6%'$ A /$"** 0* #!%&**"$#( '. c "*((. A A /$"** -*.% "./%% "#6$"%"".* '.( ()"%"))( %"") = /$"** "*#$"%"". *$'*+**"$. #( %&$ #!%&**"$#$//% %.&**+* *GG% 2i 1 = 2c A 1 $(%&" 2(i + 1) 1 = 2c A 1 8
30 6%/%"% i = c A 2c A 1 $/ *$(%( +*$4"# A /$"** 1 *'%"". +*$4"# A /$"**?)$""%%( %!)4")/5( #$'%*(!.#/%( "%& $" 0* 2CA **6**( '#/ %"* %($ )$%") (S) m #!%&**"$#"* ;%& $" 0*!.#/%"**( **6**( '*46%"* 0)/'$ )$%") #!% XA (S) F A (S) &**"$#"* ;*&'*"%//**( %&$'%%( '."*'$( #!%&**"$#"* ;*&'*"%//**( */.'$ *GG% #!%&**"$#"* 0#'* '#46$".. A /$"*( $$4%( */'$##( 0#'* #(!*$'** i L/%"%"**( %"") ") ) */'$# #( = /$"**!*$'** k L/%"%"**( %6%//%%( %"") #( ($$6%( */'$#$6%( /.'. ))&) 0#"'* %6%/")+)" %"$"") */'$#"* = /$"**.""* #+*" x %( i 0)/0%) A /$"** ;)") %.&** %"") 4"%$$) %6%/")0$) %"$"$//) */'$#$//* #( k 1 x '*!!*/%""* = /$"*( 4%.&$"$$''* $$&")) %"$"( */'$#( /$"*(* */'..( ;) ) *$4%.""** i!#"%("$**/$(.."#'%( $//) #* $(+%&$#$"*!#$"...""* "#$**/"*..$* $(+%&$#$"* "./%% "$/*//% D#$".+$%( $(+%&$#$6%( /.'. ))&) #( xi 0*..$* $(+%&$#$"* (" '*!!*/%""* " +#$6**( ))&)") "*#$"%"". *$'* = /$"** %&'$(") k 1 xi Φ "*&'#$""**!#"%("$**/$(.."#"* a = t + Φ = k + (k 1 x i ) x i = 2k 2x i 1 = 2(k x i ) 1 2i 1.?$$ %$(%( %!)4")/5!)"%% $//) 4"%$$) %6%/")0$) +#$ %"$"$//) */'$#$//* #//* '#&'%$( "**( i 1 0* k xi i. I%.&**+*'$ "*&'*"%//**( * $"))( = /$"*//% 0#"%( "#6%//$(%( A /$"** *$'* "%4")+)) #( > $/ /%$"%( *$"* +*$4"#* /*'.".))("50%( I% %$ "$%"%('))(.'*$%"$ *' A = 4%.&$"$$''* /$"* +#$ "%46) $/ *$%( +*$46#( +*$( 0#('.( $(%&" "*$ *GG% #!%&**"$#( 4"%6%) $$&")) '%$%( */'$#( *$(* # *( /$"*(* %($ )$%'$ ) $/ *$(%( +*$4"#!#$"** $$ 46%( $(+%&$#( 0#"%(!#"%("$**/$!$%(%(%% A 46%//) /$"*( "%'%?* "**+*"$ A /$"*( *'%"". +*$4"# %$ *'* $"))( = /$"*//%.""* % +#$ '*+*""**!#"%("$**/$* 46%//) K(%&" #!%&**"$#* #( */.'$ "."'$""*+* #('# /$)"")+) */'$# 0# /$"** ;)"%( "#6%//$ (%( *$'* #/% $* /$"#$* #( * * $$!!.%( $$") $4$( '#4"**( A /$"* /$))..6%( */'$#( (" 0#'$( ))&)..$* $(+%&$#$"* I..&$ $//**( ") ) ))&) #( i /$"#0%(!$".. %((%(..6%( */'$#( /$)") ;*#$"%".//% *0*//% a $$!)"%% a i i = 2i + 1 = 2(i + 1) 1 = 2c A 1.?$%/) #( ')$""%/% )"") 6%/%"% #!%&**"$#( "*!*. L/%"%"**( '."%( *GG% #!%&**"$#( '#46*//* %"") #!%&**"$# '#46$".. $$4%( A /$"*( */'$##( 0#'* #(!*$'** 0* %"") i ") ) */'$# #( = /$"**!*$'** k 96%//%%( '."%( *GG% #!%&**"$#('$( '#46*//* #/%"%"**( %"") xi #( ($$6%( */'$#$6%( /.'. ))&) 0#"'* %6%/")+)" '%$") */'$#"* /$"**.""* #+*" %( 0)/0%) = A /$"** /'$#(!#$"* $(%( +#$ *$(#*"**( +)4%(")) $(+%&$#$"* +)4%(('%(..&.. #( xi ;*#$"%"".* *$'** +#$6**( (" *&+$#$6* %.&**+*"$ a = k x i i 2c A 1. )$( /*.%%( "#6$". #( +*/ $,
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ca (I) 0* #/'##( #!"$ **/$%( #(/$(% "*$ # $(% */C#&$" $( '."*((. c opt (I) L(/$(% */C#&$" $* A *(#"**( G#!%"$"$+% #(C%/ ** P 0# #( #/% ** %//*$%" +*'$#" a 0* b %"") '*$'$//* #!%&**"$#0#(#$//* I #( +#$ ** c A (I) ac opt (I) + b. $/!*$/.''$(%( */C#&$" $ "#$ $$ $$ '*$'$//* 5""%$//) '#&'%$("**( a '%&"** 4$"** $( '.$( #!"$ **/$(%( */C#&$" $ 0#'* +#$ #//* 5 # $(% */C#&$" $ %/$ $//) +#$ #//* %".')"%%( "$%6#* '#'# 5"% 96%//) #/%+*(!%&."%%//* "$%6%"))( %"") = 4%.&$"$$''* #( '$/!*$/.''$(%( */C#&$" $ *(*'$&0*#(C%/ *( "*!*.'%* $/!*$/.''$$) */C#&$" %0* #( /5"(" 5 #($//%.$//% #(C%/ $//% 0#"'* ')")((5( "$/*("%$* +**"$+*" #(/$(% # $(*$..""* ;)//*$$* #+*" %$ %&'$'$ #(%" "5$6%(0)&0%"%/( 0* "$%"#'#(%%(.$"$(4*//$("**( /$$"+)" #(C%/ *" $/!*$/.''$%" */C#&$" $" #+*" ')")((5) ##$""*.".(%%" "%4#''** $'$ '.$(!% &$("%$%( *(*/$(!%&."%%//*!*&%!$(*!$6%"" */C#&$" $" * **( "*!**( '.$( = 4%.&$"$$''* #( ')")((5) /%%()!*&%!$ '.$( ; 4%.&$"$$''* +*$''* #6#".*&+#"*& '*"%/.0%(!%&."%%//* +#$"*$$$('$( #/%""**!)$(+*$"*$"* =$%/%('$$("#$(%( '$/!*$/.''$$$( */C#&$" %$4$( /$$""+)!$$&&% #( % %"") ($$6%( ")" #!!$*.'*.". **( %&$/*$$$( 5""%$$$( =.."%( (% %$+)" +#$$ '*$'$//* *46#//$$//* 5""%$//) #//* +*$( +*'$#'%&"*$%"$ 4$"**!$* '.$( #!"$ $*/C#&$" $ ;$%"#&*'%("%$"* +#$6**( &$"")) "%4#"**..6%//%%(0)&0%"%/4%.&$"$$'#$//* 0#$"* #+%/ /%"**( 0#'*$%( */'$#+$$""*.'%( 4"%6%) ;!$//$%"$ 4%.&$"$$'*"!&'$+)" $$&") ))( */'$#( 0#4#(.%*"$ +$$"*"**( 4%/!# $( "*+#$"%""*+*'$ ;)) '#46** %/+$"%"))( (.'*.".+$$( %/ *60."$(C "$%"#&*'%("%$$$( /$$""+$)!%&.')$""%$") 0* %$"%"))( 0#$"*'$( %$ %&''%0).'*.".+$"* "$%"#&*'%("%$"* $'*$% $(!&$""$$( '%4$"") ))( 4%.&$"$$''#0* 0#"'* "*'*$$+*" "$%"#&*'%("%%( "% 4#''..6%( '%'$ ))&)$%) "*$!*4$ ** "*!*.'%* '.( "$%"#&*'%("%%( */'$#$//* #/% "%"**( #/%+*( '$$("%)" +$$""*."#6%(()'5$6%" %'$ ))&)$") "*!*."* ')"%"")%) #( #(C%/ *(* #!$+*( "#6%(()'5$0*'*. *( /5") $(%( D*4$ *( "*!*.'%( ')""5 +#$ :
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log n) #$*$( # +%//.'$* #( ")&'%)) %"") 0#'*$%( '$"")$%( #!%&**"$#( './.""* * *$'* #(!$%(%!$ '.$( 0#'$( *((%"". &*0* ;)//5$(.'*.".+** "$%"#&*'%("%%* 0#'. *"".+*" +*$'%*" #!%&**"$#" +#$+*" #//* /$$*( 4$"*$"* =.'*.".+$//% "$%"#&*'%("%$//% #+*" "!$//$$) %.&**+*" # $(*$..6%" 9$ "*//%((%"* "$%"#* "$%"#&*'%("%%( "$/*"* +&"?-!..* #/%+*" '#&'%."$%6#" #'*$%( #!%&**"$#( 4"%6%) #+%//%"**( 4 4 4%.&$"$$''** "$%"#&*'%( "%%(..""* $%'$ B%.&$"$$''** #+%//%"**( #'%*"$ # &$$!!. *""* "$%"#&*'%("%%( "$/*"* #'* "$/*"$%"#0* %$ "*//%((%"*.'*.".+*" "$%"#&*'%("%%" ))")+)" "$/** =.'*.".+*" "$%"#&*'%("%%" #+*".%$( 4%/!!#0* "#"%.""** =#+% "# &#(" 4%.&$"$$'*( +*"$(% 0)&0%"!.$"* ')$"%/")%) #( #+% "# &##" ))("5 0#'* (#"** 0..&%'$ %( #/.( 0#4#( +$$ %'$ #( +$$"*"". I% %$ '.$"%('**( #/% "%4#'* "*#$"%".*'**( $%/%) L( ($ $"")$( #/% ** $%/$+*/"*$%(!$"'$) #!%&**"$#0#(#0* 0#$6%( '%'$ ))&)$(%( *$'*+**"$. ")") %(%"%/ )) ')"%"")%) #( +%&&*((#//$(%( #/.0%( /.'. ))&))( *//$ #!%&**"$#0#(# +#$6**(.#6#"** $4$( "*4*(* n #/.$%%( n > 3 n!*&$//$(%(0)&0%"!..4.( %.&**+*"$ "%46))( *GG% #!%&**"$#" 0)&0%"'%) *+*$ $$( 1, 2,..., n ;./#'%(* #!%&**"$#0#(#( */'.#*"* #( +*% *//% +$(#, 1, 2,..., n 2 2!.. 0#'* "%'%% 0#(#( /#!!.#*( #!%&**"$#" '*//$$'$ L!%&**"$#0#(#( '."*((. #( > n 2 %/$ #!%&**"$#$6%( "*#$"%"". *$'*+**"$. #( Ω(n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
33 * < 9$ %&''$!.. 9$ %&'$) % %($ )$%" "*+#$"%""*+*" #/." #+*" 7 0* > 0* ($$") /)4"%+)" /$('$" 4*'.!#/.//* #+*" %&$..("$$( I%.&**+*" #/." #+*" : 0* 8 0#$"* '. *"*'$( /)46%" ")%) %.&*"**( +*%!$* /$(''%0) 0#"%( "%46))( &#"**"$# #$'%*//% -#!.'$ 4*'.!#/.//* **+."%"**( %"$"" #/. < 9"$(()( "./#'%(* #/%+*(!..( 0..&$ #( %"$"" #/. 0* %( #$'%* +*" +*%( /*!$ #( #$'%*( +*" +*% *(!..( 0..&$ 9"$"( #/.( #$ '%* +*" +*%( */$!.. */'.!%&)$%)!..* /$$"%"))( #$'%**( +*" +*%!**(!.. 4.( /%4"$%( 0*"'%%'$ 0#"%( %(!*$''* #( ") )//$%"$ ))&)"" 9$ %&'$) % $$ /$$"%"))( #$'%*(!..( #/.( 8 +*% *'$ /*!%'$ <!..4.( /$$""+)" +*%(!.. 0* #$'%*!.. '.( %"$"))( */'$#"* < *$''$ /%+$""+)(!..( (#& **/$"!..#!%&**"$#"!%&.".+*" *GG% #!%&**"$##( D.$ 6%( T1 0* T2 46$") $(%( 0#$( #( *46#//$"* +*$( 0#!..( T1 '*$''$ *+*$ %" #+*"!$%(%!$) '.$( '*$''$!..( T2 *+*$ %" ;)//5$( +#$6**(!..* T1 "%46) *GG% #!%&**"$# 0#'* '#46$".. */'$##( 0#//* #(..&$( *+*$( ;)//5$( '%$(%( */'$# "./%%!..( T1 0.. &%'$ 0* %( #$'%* */$!.. 0)) "40)'$ D.. T2 +#$6**( /$)") '%$%( 0..&%( #$'%*'$ */$!..'$ 46$") $(%( #( %$"%"" '.+** 8 /'$#( x.4"%%( "%4")+)!..( 0*'* $(%(!/$" (x) "#"%."%"**( #!%&**"$#//* *GG% (x) 0#'* (#"** */'$#( x!..( 0..&%'$ 0* *46#//$"** 0# *( '. *(!..( */$!..( $& 1
34 splay T T T 1 T * 8 -%+$""+$%(!.$6%( 46$") $(%( &#""* $%( %&$//$%'$!..'$.+**, #( %$"%"" #!%&**"$#( #/% *" +%&$#" x 0)) 0#'#!$%(%!$%( "*$..&%!$%( *+*$("%(.#6#"* *(!..( 0..&%'$ splay tai T T T 1 T 2 T 1 T 2.+*, -%+$""+)(!..( #!%&**"$#!/$" x /'$#( x /$)) $(%( insert(x) */#$"%"**( "%'% )//) #!%&**"$# *GG% (x) # x /5"!.."* %$ $") +#$6* $((% %()) /$)") # x %$ #/%!..*!))" 4*'.!#/'. x )) %"$" ")%) /%4"%%( 0#"* %$ +#$6* %()) 0*"'** %"%%(!)$( #46$"%"**( *GG% #!%&**"$# ")4)( */'$##( 0* (#"%"**( %!..( 0..&%'$ D..(..$ 0..&$ #( */'$#"* x /)4$(()!$%(%!$ "*$..&%!$ */'$#?#$6**( $$ 0*'**!.. '*4"%%( #**( ($$( %"") #*" "./%+*" %(!..( +*% *'$ 0* #$'%*'$ */$!..'$ 0#('* 0..&%'$ "./%% x ' '.+* : split x T T 1 T 2 T 1 T 2.+* : -%+$""+)(!..( #!%&**"$# $(%&" x /'$#( x!#$"# 6%/%"% (x) */#$"%"**( "%'% )//) *GG% (x) D..( 0..&%'$ (#.%%(!#$ "%""*+*( */'$#( x +*%( 0* #$'%* */$!.. 46$"%"))( #!%&**"$#//* 0#$( /'$#(!#$"# /%+$" "+)")!.."* #( %$"%"" '.+** > access x join T T T T 1 2.+* > /'$#( x!#$"* $(%( /%+$""+)")!.."* -%+$"#!%&**"$#( "*#$"%"". *$'*+**"$. n #/.$%*!..* #( O(log n) #'*.." #!%&**"$#"!%&.".+*" *GG% #!%&**"$##( &$$"")) "./#'%( "#6$"* $(%( $//% 1 T
35 ;#6$"."* +*&"%( '$$((%"))( /%+$""+)(!..( 0#'*$%%( #/..( i '$$("%) wt(i) > 0 I#/.( i 44 s i #( */'$#$6%(!*$(# $$() */$!..* 0#('* 0..&$ i #( I#/.( r(i) #( log s(i) 0* "*&'*"%/"*+*( /%+$""+)(!..(!#"%("$**/$ #( %( #/.0%( *"%$6%(. * ;#6$".'%* 4*'.!#/'.*!#/'. 0..&%"* +$$"*""..( */'$##( "*&'*"%//**( '*'$ * '%/"* '%&&*//**( D#"%("$**/$(.."#'%( /*'% $%'$ #( 4.# $#$"*+* 4*'.!#/.( #/.0%( */$!.$6%(.."#'%" '.( "%46))(.'*.""* $#!%&**"$#( '../.+*" &#"**"$#" #'*$%//% '*46%( *'%/%%( #*//% +#$6**( %&$'%%( "#6$"** "#6$".'%( '$"$'#46*" /5"+)" *&"$''%/$"* I/%*"#& *(6 ;*&0*( I%/ *60."$(C H $(*& %*&G4 "&%% 0' 1 %"") 0# t #( '%$%( 4*'.!#/.( #*( /$( #/. 0* v #( %( */$( #/. ($$( "*#$"%"". *$'* "#6%//$%( *0*( '$''5) %/$ 4*'.!#/.//* %6%"( *"'*( 0*!#"%("$**/$(.."#'%(. * #( '#&'%$("**( 3(r(t) r(v)) + 1 = O(log s(t) s(v) ). A x y B C (a) A B x y C A x y B z C D (b) A B x C y z D A y x B z C D (c) y x A B C D.+* #"**"$#" 4*'.!#/.//* %"$"")%) #/.* x #'*$%//% "*!*.'%//% #( #/% ** 5 %"&$(%( +*"$(% ;./# **+."%"**( '.( %$ %&'$'$ '.+*( "*!*.'%* (b) 4.# $#$6**( *"%$6%(.."#'%" #/.$* x y 0* z ;#$(%(!%&."*!*. #( % 0#* '*'$ *'%/"* %6%"%) './0%"**( +.#&#"%//%%( +*% *//% 0* #$'%*//% '.+* (c) 9&$'%%( #( +$%/) ')$"%/")+) % "$/*((% '.+* (a) 0#* 4*'.!#/.(!$".. #(!*&$"#( 0* '*'$ *'%/"* '%&&*//* %"%(% 0* $%( /$)'$ 4*'.!#/.//* #( '$ /$ ))&)$(%( )& ) B*'.!#/'.* %6%"%) #/.0%( &##/$" +*$4".+*" ($$( %"") /*'%""*%* '#'# 4*'.!#/.( '."*((..'**( "./%+*" t v +*$( 0..&%( *"% r(t) 0* %"$"")+)( */'$#( *"% r(v).$6%( 4*'.!#/.( #/.0%( *"%$6%(.!$".%*. *"*!#$ P n! t" (v) 3(r(t) r(v)) + 1 = O(log s(t) s(v) ). %.&** %"") '*$''$%( "*+*(# *$"%( /%+$""+))(!..4.( '#46$".+$%( #!%&**"$#$6%( *GG% $(%&" 6%/%"% 0#$(!/$" "*#$"%"". *$'*+**"$. #( O(log n) #( +#$ ** '*$'$//*!*$(#0%( wt(i) > 0 +*/$((#$//* ;*&'*"%//**( "$/*((%""* 0#* m *GG% #!%&**"$#"* '#46$"%"**( /%+$""+))(!..4.( 0#* #( n #/.* 0* 0#'*$ %( #/.(!*$(# #( 1 ;)//5$( #/.(..&$( *46#//$(%( '#'# #( s+ 0*!$%($( = 1 n 11 z
36 *46#//$(%( '#'# #( s 46%( #!%&**"$#( "*#$"%"". *$'* #( = 1 n '#&'%$("**( a = 3(r(t) r(v)) + 1 = 3(log s(t) log s(v)) + 1 3(log 1 log 1 n + 1) = 3 log 1 n + 1 = 3 log n + 1. D#"%("$**/$!$%(%(%% #!%&**"$#0#(#(.#&$".'%( *$'*(* '#&'%$("**( Φ = n (log s + log s ) = i=1 n log n = n log n, j=1 0#"%( #!%&**"$#0#(#( "#6%//$(%( *$'* #( '#'%$("**( a + Φ = m(3 log n + 1) + n log n = O((n + m) log n + m). # 46%( #!%&**"$#(!*4$ *( "*!*.'%( *$'*+**"$. #/$$ O(logn) '."%( #( "$ /*((% %$ %&'$'$?-!.$6%( '#46*//* #/$$ #!%&**"$#0#(#( '."*((. O(m log n) # $$ "*&'*"%//**( "*&!%%'$!$"'$) #!%&**"$#0#(#0* #( /%+$""+)!.. 4") "%4#'* '.$(?-!.. ;)//5$( ($ $"")$( '%&"#0*(* #/%+*( "%& $( n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h!*/*."* #*0#.'#( h!$%($ )( */'$#( *&+# 0*!#$"*!$%($( */'$# 0#.'#"* $(%&" x, h /$)) */'$# x #*0#.''##( h %/6 h1, h 2 /$)) '*$''$ #*0#.'#( h2 */'$#" #*0#.''##( h1 0* ".4#* h2 %') *'% (.// h.#6#"* "40) #*0#.''# 0#('* ($ $ #( h #'*$(%( 0#.''# %$"%"))( H $(**&$!..(* 0#('* 0#'*$%* #/.* #( */'$# 0#('* *&+# #(!$%(%!$ '.$( '*$''$%( %( 0)/'%/)$"%( *&+#" **( 0..&%* #( *$(* %(!$%($( */ '$# F$(**&$!..( '."."**( 0..&%"* */'*+** #$'%$"* ##$""$ $* %.&**+**!#/'.* +*"**+*"$ % 4 */'** 0..&%"* 0* %.&** +*%!$* ##$""$ $* 17
Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R. η f(n) είναι fi( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C 1, C 2 και n 0, τέτοιες ώστε:
Συµβολισµός Ω( ) Τάξη των Συναρτήσεων () Εκτίµηση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R η f(n) είναι Ω( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά. Γιάννης Εμίρης. Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών ΕΚΠΑ. Οκτώβριος
ΔιακριτάΜαθηματικά Γιάννης Εμίρης http://eclass.uoa.gr/ Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών ΕΚΠΑ Οκτώβριος 2016 Διακριτά Μαθηματικά Αλγόριθμοι Ρυθμόςαύξησηςσυναρτήσεων[Rosen 3.2] Διακριτά Μαθηματικά Ορισμοί
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά [Rosen, κεφ. 3] Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών, ΕΚΠΑ Οκτώβριος 2018
Διακριτά Μαθηματικά [Rosen, κεφ. 3] Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών, ΕΚΠΑ Οκτώβριος 2018 Αλγόριθμοι Ρυθμός αύξησης συναρτήσεων [Rosen 3.2] Αριθμητικές συναρτήσεις Τάξη αριθμητικών συναρτήσεων
Διαβάστε περισσότεραM p f(p, q) = (p + q) O(1)
l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM
Διαβάστε περισσότερα! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.
! " #$%&'()' *('+$,&'-. /0 1$23(/%/4. 1$)('%%'($( )/,)$5)/6%6 7$85,-9$(- /0 :/986-$, ;2'$(2$ 1'$-/-$)('')5( /&5&-/ 5(< =(4'($$,'(4 1$%$2/996('25-'/(& ;/0->5,$ 1'$-/%'')$(($/3?$%9'&-/?$( 5(< @6%-'9$
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγµατα. Τάξη των Συναρτήσεων (1) Παράδειγµα (2) Να δειχθεί ότι 7n 2 = O(n 3 ). Ορέστης Τελέλης
Τάξη των Συναρτήσεων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 1. Να δειχθεί ότι 7n 2 = O(n 3 ) 2. Να δειχθεί ότι η n 2 δεν είναι O(n). 3. Αληθεύει ότι n 3 =
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 25 Φεβρουαρίου 2015 1 / 53 Περιεχόµενα
Διαβάστε περισσότεραk k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
Διαβάστε περισσότερα1 Ανάλυση αλγορίθµων. 2 Συµβολισµοί O, Ω και Θ. 3 Αναδροµικές εξισώσεις
Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 6ο Μάθηµα 1 Ανάλυση αλγορίθµων Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης 2 Συµβολισµοί O, Ω και Θ Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 27/11/2008 3
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά για Πληροφορική
Μαθηµατικά για Πληροφορική 6ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 27/11/2008 27/11/2008 1 / 55 Γενικό πλάνο 1 Ανάλυση αλγορίθµων 2 Συµβολισµοί
Διαβάστε περισσότεραk k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι
Απόδοση Αλγορίθμων Πληροφορικής 1 Απόδοση Αλγορίθμων Συνήθως υπάρχουν πολλοί τρόποι (αλγόριθμοι) για την επίλυση ενός προβλήματος. Πώς επιλέγουμε μεταξύ αυτών; Πρέπει να ικανοποιηθούν δύο (αντικρουόμενοι)
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ενότητα 1 Εισαγωγικές έννοιες Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα - Ενότητα 1 1 / 57 Περιεχόµενα 1.
Διαβάστε περισσότεραΟρθότητα Χωρική αποδοτικότητα. Βελτιστότητα. Θεωρητική ανάλυση Εμπειρική ανάλυση. Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1
Ανάλυση Αλγορίθμων Θέματα Θέματα: Ορθότητα Χρονική αποδοτικότητα Χωρική αποδοτικότητα Βελτιστότητα Προσεγγίσεις: Θεωρητική ανάλυση Εμπειρική ανάλυση Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1 Θεωρητική
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 4: Αναδρομικές σχέσεις και ανάλυση αλγορίθμων Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΕΠΛ 231 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΤ ΟΙΚΟΝ ΕΡΓΑΣΙΑ 1 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 22/02/10
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΚΥΠΡΟΥ ΕΠΛ231 ΔΟΜΕΣΔΕΔΟΜΕΝΩΝΚΑΙΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΤ ΟΙΚΟΝΕΡΓΑΣΙΑ1 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑΠΑΡΑΔΟΣΗΣ:22/02/10 1.Νααποφασίσετεποιεςαπότιςπιοκάτωπροτάσειςείναιαληθείςαποδεικνύοντας τιςαπαντήσειςσας. (i)αν και,τότε
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 2: Ανάλυση Αλγορίθμων. Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 2: Ανάλυση Αλγορίθμων Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις (2) Άσκηση 1
Άσκηση 1 Ασκήσεις () Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Υποθέστε ότι συγκρίνουμε την υλοποίηση της ταξινόμησης με εισαγωγή και της ταξινόμησης με συγχώνευση στον ίδιο υπολογιστή. Για εισόδους μεγέθους n,
Διαβάστε περισσότεραQ π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.
II 4»» «i p û»7'' s V -Ζ G -7 y 1 X s? ' (/) Ζ L. - =! i- Ζ ) Η f) " i L. Û - 1 1 Ι û ( - " - ' t - ' t/î " ι-8. Ι -. : wî ' j 1 Τ J en " il-' - - ö ê., t= ' -; '9 ',,, ) Τ '.,/,. - ϊζ L - (- - s.1 ai
Διαβάστε περισσότεραΑνω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Παράδειγµα (1/2) O( g(n) ) είναι σύνολο συναρτήσεων:
Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης η (τάξη της) f(n) είναι O( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C και n
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας
Στοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 1 / 16 «Ζέσταµα» Να γράψετε τις συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότερα1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x
Διαβάστε περισσότερα!"#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667
!"#!$% & &' ( )*+*,% $ -*(-$ -.*/% $- &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 5051 & 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 9 508&:;&& 0000000000000000000000000000000000000000000000000
Διαβάστε περισσότεραC 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων
Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (4) Μεθοδολογία αναδρομικών σχέσεων (Ι) Με επανάληψη της αναδρομής Έστω όπου r και a είναι σταθερές. Βρίσκουμε τη σχέση που εκφράζει την T(n) συναρτήσει της T(n-) την T(n)
Διαβάστε περισσότεραο ο 3 α. 3"* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο
18 ρ * -sf. NO 1 D... 1: - ( ΰ ΐ - ι- *- 2 - UN _ ί=. r t ' \0 y «. _,2. "* co Ι». =; F S " 5 D 0 g H ', ( co* 5. «ΰ ' δ". o θ * * "ΰ 2 Ι o * "- 1 W co o -o1= to»g ι. *ΰ * Ε fc ΰ Ι.. L j to. Ι Q_ " 'T
Διαβάστε περισσότεραΠροηγούµενο: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Σύνοψη Ιδιοτήτων
Προηγούµενο: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης η (τάξη της) f() είναι O( g() ) αν υπάρχουν σταθερές C και 0, τέτοιες ώστε: f() C g() για κάθε 0
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 2: Ασυμπτωτικός συμβολισμός Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (2-3)
Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (2-3) 3.1 Ασυμπτωτικός συμβολισμός (Ι) Οι ορισμοί που ακολουθούν μας επιτρέπουν να επιχειρηματολογούμε με ακρίβεια για την ασυμπτωτική συμπεριφορά. Οι f(n) και g(n) συμβολίζουν
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ανάλυση Αλγορίθμων Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ανάλυση Αλγορίθμων Η ανάλυση αλγορίθμων περιλαμβάνει τη διερεύνηση του τρόπου
Διαβάστε περισσότεραP t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r
r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st
Διαβάστε περισσότερα(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n
Z 6 D 3 G = {a, b, c,... } G a, b G a b = c c (a b) c = a (b c) e a e = e a = a a a 1 = a 1 a = e Q = {0, ±1, ±2,..., ±n,... } m, n m+n m + 0 = m m + ( m) = 0 Z N = {a n }, n = 1, 2... N N Z N = {1, ω,
Διαβάστε περισσότεραLi % % % % % % % % % % 3d 4s V V V V d V V V n O V V V O V n O V n O % % X X % % % 10 10 cm Li Li Li LiMO 2 Li 1 x MO 2 + xl + 1 + xe C + xl + 1 + xe Li x C LiMO 2 +C Li x C + Li 1 x MO 2
Διαβάστε περισσότερα5 Ι ^ο 3 X X X. go > 'α. ο. o f Ο > = S 3. > 3 w»a. *= < ^> ^ o,2 l g f ^ 2-3 ο. χ χ. > ω. m > ο ο ο - * * ^r 2 =>^ 3^ =5 b Ο? UJ. > ο ο.
728!. -θ-cr " -;. '. UW -,2 =*- Os Os rsi Tf co co Os r4 Ι. C Ι m. Ι? U Ι. Ι os ν ) ϋ. Q- o,2 l g f 2-2 CT= ν**? 1? «δ - * * 5 Ι -ΐ j s a* " 'g cn" w *" " 1 cog 'S=o " 1= 2 5 ν s/ O / 0Q Ε!θ Ρ h o."o.
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Ανάλυση αλγορίθμων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Ανάλυση αλγορίθμων Ιωάννης Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Aνάλυση Αλγορίθμων Είσοδος Αλγόριθμος Έξοδος Ένας αλγόριθμος είναι μια
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι
Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου, Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 (Παρουσίαση 6) 1 / 20 Ρυθμοί αύξησης Γραμμικός ρυθμός αύξησης: n, 2n, Πολυωνυμικός
Διαβάστε περισσότεραΗΥ240: οµές εδοµένων. ιδάσκουσα: Παναγιώτα Φατούρου ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2
ΗΥ240: οµές εδοµένων ιδάσκουσα: Παναγιώτα Φατούρου Υποχρεωτικό Μάθηµα 2ου έτους Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Κρήτης Ενότητα 1 Εισαγωγή ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2 Εισαγωγικά Θέµατα Αντικείµενο
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθµου Α: Ποσότητα υπολογιστικών πόρων που απαιτεί Α ως αύξουσα συνάρτηση µεγέθους στιγµιότυπου εισόδου. Χρόνος, µνήµη, επεξεργαστές, επικοινωνία,
Διαβάστε περισσότερα... 5 A.. RS-232C ( ) RS-232C ( ) RS-232C-LK & RS-232C-MK RS-232C-JK & RS-232C-KK
RS-3C WIWM050 014.1.9 P1 :8... 1... 014.0.1 1 A... 014.0. 1... RS-3C()...01.08.03 A.. RS-3C()...01.08.03 3... RS-3C()... 003.11.5 4... RS-3C ()... 00.10.01 5... RS-3C().008.07.16 5 A.. RS-3C().0 1.08.
Διαβάστε περισσότεραK K 1 2 1 K M N M(2 N 1) K K K K K f f(x 1, x 2,..., x K ) = K f xk (x k ), x 1, x 2,..., x K K K K f Yk (y k x 1, x 2,..., x k ) k=1 M i, i = 1, 2 Xi n n Yi n Xn 1 Xn 2 ˆM i P (n) e = {( ˆM 1, ˆM2 )
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων (Data Structures)
Δομές Δεδομένων (Data Structures) Ανάλυση - Απόδοση Αλγορίθμων Έλεγχος Αλγορίθμων. Απόδοση Προγραμμάτων. Χωρική/Χρονική Πολυπλοκότητα. Ασυμπτωτικός Συμβολισμός. Παραδείγματα. Αλγόριθμοι: Βασικές Έννοιες
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 1 Εισαγωγή. ΗΥ240: Δοµές Δεδοµένων. Διδάσκουσα: Παναγιώτα Φατούρου
ΗΥ240: Δοµές Δεδοµένων Διδάσκουσα: Παναγιώτα Φατούρου Υποχρεωτικό Μάθηµα 2ου έτους Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Κρήτης Ενότητα 1 Εισαγωγή ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2 Εισαγωγικά Θέµατα Αντικείµενο
Διαβάστε περισσότεραΑ όρι μοι και Πο υπ οκότητα 1η Σειρά Γραπτών Ασκήσε ν
.. Α όρι μοι και Πο υπ οκότητα 1η Σειρά Γραπτών Ασκήσε ν CoReLab ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Επιμέ εια διαφανειών: Χάρης Α ε ιδάκης 12 Δεκεμ ρίου, 2011 Outline. 1 Άσκηση 1. 2 Άσκηση 2. 3 Άσκηση 3. 4 Άσκηση 4. 5 Άσκηση
Διαβάστε περισσότεραParts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2 Ανάλυση Αλγορίθμων
Κεφάλαιο Ανάλυση Αλγορίθμων Περιεχόμενα.1 Εισαγωγή... 0. Εμπειρική και Θεωρητική Ανάλυση Αλγορίθμων.....1 Εμπειρική Πολυπλοκότητα..... Θεωρητική Πολυπλοκότητα... 3.3 Ανάλυση Χειρότερης και Αναμενόμενης
Διαβάστε περισσότεραMarch 14, ( ) March 14, / 52
March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a
Διαβάστε περισσότεραΗΥ240: οµές εδοµένων
ΗΥ240: οµές εδοµένων ιδάσκουσα: Παναγιώτα Φατούρου Υποχρεωτικό Μάθηµα 2ου έτους Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Κρήτης Ενότητα 1 Εισαγωγή ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2 Εισαγωγικά Θέµατα Αντικείµενο
Διαβάστε περισσότεραΕυχαριστίες. Β. Ζησιμόπουλος
ÂÆÁÃÇÃ ÁÃ ÈÇ ÁËÌÊÁ ÃÇÈ Æ ÈÁËÌÀÅÁÇ ÂÀÆÏÆ ÌÅÀÅ ÈÄÀÊÇ ÇÊÁÃÀËÃ ÁÌÀÄ ÈÁÃÇÁÆÏÆÁÏÆ ÌÇÅ ËÂ ÏÊÀÌÁÃÀËÈÄÀÊÇ ÇÊÁÃÀË Ð Ö ÑÓ ÈÓÐÙÔÐÓ Ø Ø º Ñ ÔÓÙÐÓ Ò ¾¼¼ Ευχαριστίες Ευχαριστώ θερμά τους συνεργάτες μου στο Τμήμα Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΔιευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr
Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt206/nt206.html Πέµπτη 6 Νεµβρίου 206 Ασκηση. Να δειχθεί ότι
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΙΠΛΩΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΕ. Ι..Ε.
ΑΣΚΗΣΗ 1 ΟΜΑ Α 2 Στην ακόλουθη άσκηση σας δίνονται τα έξοδα ανά µαθητή και οι ετήσιοι µισθοί (κατά µέσο όρο) των δασκάλων για 51 πολιτείες της Αµερικής. Τα δεδοµένα είναι για τη χρονιά 1985. Οι µεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Δομές δεδομένων. Ενότητα 1η: Εισαγωγή Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Ενότητα 1η: Εισαγωγή Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ240: Δομές Δεδομένων Διδάσκουσα: Παναγιώτα Φατούρου Υποχρεωτικό Μάθημα 2ου
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt205/nt205.html ευτέρα 27 Απριλίου 205 Ασκηση. είξτε ότι για κάθε
Διαβάστε περισσότερα! " #$% & '()()*+.,/0.
! " #$% & '()()*+,),--+.,/0. 1!!" "!! 21 # " $%!%!! &'($ ) "! % " % *! 3 %,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0 %%4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ 1. α. Να βάλετε σε αύξουσα σειρά μεγέθους τις παρακάτω συναρτήσεις χρονικής πολυπλοκότητας αλγορίθμων: nlogn, n logn,
Διαβάστε περισσότεραγ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
Διαβάστε περισσότεραΠολυπλοκότητα Αλγορίθµων
Πολυπλοκότητα Αλγορίθµων Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εµπειρική Θεωρητική Ανάλυση Αλγορίθµων Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δημήτρης Φωτάκης (λίγες προσθήκες: Άρης Παγουρτζής) Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons
Διαβάστε περισσότεραρυθιμός αύξησης συναρτήσεων
ρυθμός αύξησης συναρτήσεων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα Ασυμπτωτικός συμβολισμός Καθιερωμένοι συμβολισμοί και συνήθεις συναρτήσεις 2 ασυμπτωτική πολυπλοκότητα Πολυπλοκότητα χειρότερης περίπτωσης Συγχωνευτική
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθμου Α: Ποσότητα
Διαβάστε περισσότεραÈ http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron
À Ô ÐÓ ÖÓÒØ ØÓÙÔ Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ò Ø Ô ØÓÙ Ô Ñ Ð Ø ØÓÙhttp://www.mathematica.grº Å Ø ØÖÓÔ LATEX ÛØ Ò Ã Ð Ò Ø ÃÓØÖôÒ Ä ÙØ Ö ÈÖÛØÓÔ Ô Õ ÐÐ ËÙÒ ÔÓÙÓ ËÕ Ñ Ø Å Õ Ð Æ ÒÒÓ ÉÖ ØÓÌ Ë Ð ¹ ÅÔÓÖ Ò Ò Ô Ö Õ Ò Ò Ñ Ð Ö º ÌÓß
Διαβάστε περισσότεραΤηλ , Fax: , URL:
Τµήµα Πανεπιστήµιο Πληροφορικής Ιωαννίνων ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ Παναγιώτα Φατούρου faturu@cs.uoi.gr Σεπτέµβριος, 2005 Τµήµα Πληροφορικής, Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων, Τ.Θ. 1186, Γραφείο Α26, Τηλ. +30 26510 98808, Fax:
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Αρχές Ανάλυσης Αλγορίθµων Κεφάλαιο 2. Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Αρχές Ανάλυσης Αλγορίθµων Κεφάλαιο 2 Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Εµπειρική ανάλυση αλγορίθµων Μαθηµατική ανάλυση αλγορίθµων Αύξηση συναρτήσεων Συµβολισµός µεγάλου όµικρον Παραδείγµατα
Διαβάστε περισσότεραSolving an Air Conditioning System Problem in an Embodiment Design Context Using Constraint Satisfaction Techniques
Solving an Air Conditioning System Problem in an Embodiment Design Context Using Constraint Satisfaction Techniques Raphael Chenouard, Patrick Sébastian, Laurent Granvilliers To cite this version: Raphael
Διαβάστε περισσότερα1529 Ν. 29(ΙΙ)/95. E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 2990,
E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 2990, 21.7.95 1529 Ν. 29(ΙΙ)/95 περί Συμπληρωματικύ Πρϋπλγισμύ Νόμς (Αρ. 4) τυ 1995 εκδίδεται με δημσίευση στην Επίσημη Εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας σύμφωνα με τ Άρθρ 52 τυ Συντάγματς.
Διαβάστε περισσότεραss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s
P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t
Διαβάστε περισσότεραrs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â
rs r r â t át r st tíst P Ó P ã t r r r â ã t r r P Ó P r sã rs r s t à r çã rs r st tíst r q s t r r t çã r r st tíst r t r ú r s r ú r â rs r r â t át r çã rs r st tíst 1 r r 1 ss rt q çã st tr sã
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός Ι Ενότητα 2: Ακολουθίες - Σειρές Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 1 / 83 Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραο3 3 gs ftffg «5.s LS ό b a. L Μ κ5 =5 5 to w *! .., TJ ο C5 κ .2 '! "c? to C φ io -Ρ (Μ 3 Β Φ Ι <^ ϊ bcp Γί~ eg «to ιο pq ΛΛ g Ό & > I " CD β U3
I co f - bu. EH T ft Wj. ta -p -Ρ - a &.So f I P ω s Q. ( *! C5 κ u > u.., TJ C φ Γί~ eg «62 gs ftffg «5.s LS ό b a. L κ5 =5 5 W.2 '! "c? io -Ρ ( Β Φ Ι < ϊ bcp «δ ι pq ΛΛ g Ό & > I " CD β U (Ν φ ra., r
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Δομές Δεδομένων. Ιωάννης Γ. Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές Δεδομένων Ιωάννης Γ. Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού
Διαβάστε περισσότεραοµές εδοµένων 3 ο Εξάµηνο Τµήµα Πανεπιστήµιο Πληροφορικής Ιωαννίνων ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ
Τµήµα Πανεπιστήµιο Πληροφορικής Ιωαννίνων ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 εδοµένα Σύνολο από πληροφορίες που πρέπει να αποθηκευτούν σε έναν υπολογιστή Υπολογιστικό Μοντέλο ένας επεξεργαστής και µεγάλος
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://elss.ueb.gr/ourses/inf6/ Άνοιξη 6 - I. ΜΗΛΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 6 - Ι. ΜΗΛΗΣ - - ASYMPTOTICS Αλγόριθμοι Τρείς κρίσιμες ερωτήσεις για κάθε αλγόριθμο για ένα πρόβλημα:
Διαβάστε περισσότεραErrata Sheet. 2 k. r 2. ts t. t t ... cos n W. cos nx W. W n x. Page Location Error Correction 2 Eq. (1.3) q dt. W/m K. 100 Last but 6 2.
Eaa S Pag can E Ccn Eq. (. q q k W/ K k W/ K A A 6 n as bu 6 s q lns s q T k T k Q.. Wall s aus n gvn Wall s aus a an C. 7 n, lf kc cs ( s sn kc cs ( s sn s f cs k sn cs k sn quan C ( s C ( s an ln 6 sn
Διαβάστε περισσότεραη η η η GAR = 1 F RR η F RR F AR F AR F RR η F RR F AR µ µ µ µ µ µ Γ R N=mxn W T X x mean X W T x g W P x = W T (x g x mean ) X = X x mean P x = W T X d P x P i, i = 1, 2..., G M s t t
Διαβάστε περισσότεραSheet H d-2 3D Pythagoras - Answers
1. 1.4cm 1.6cm 5cm 1cm. 5cm 1cm IGCSE Higher Sheet H7-1 4-08d-1 D Pythagoras - Answers. (i) 10.8cm (ii) 9.85cm 11.5cm 4. 7.81m 19.6m 19.0m 1. 90m 40m. 10cm 11.cm. 70.7m 4. 8.6km 5. 1600m 6. 85m 7. 6cm
Διαβάστε περισσότεραpi r p p c i i c i (0) i c i (x) i c i, av i c i i C i i C i P i C i W i d d D i i D i p i D in D out e e F F = I c j i i J V k i k b k b = K ic i K id i n P m P Pe i i r si i r p R R = R T V W i x x X
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 9ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 801-900 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης
Διαβάστε περισσότερα!"#$%& '!(#)& a<.21c67.<9 /06 :6>/ 54.6: 1. ]1;A76 _F -. /06 4D26.36 <> A.:4D6:6C C4/4 /06 D:43? C</ O=47?6C b*dp 12 :1?6:E /< D6 3:4221N6C 42 D:A6 O=
! " #$% & '( )*+, -. /012 3045/67 8 96 57626./ 4. 4:;74= 69676.36 D426C
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ ΣΤΑ ANΑΛΟΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΒΙΒΑΣΗΣ ΣΗΜΑΤΟΣ. Προσθετικός Λευκός Gaussian Θόρυβος (Additive White Gaussian Noise-AWGN
ΡΗ 009-10 16/1/009 3:4 μμ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ ΣΤΑ ANΑΛΟΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΒΙΒΑΣΗΣ ΣΗΜΑΤΟΣ Προσθετικός Λευκός Gaussian Θόρυβος (Additive White Gaussian Noise-AWGN AWGN) ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ ΣΕ ΜΕΤΑΔΟΣΗ
Διαβάστε περισσότεραW τ R W j N H = 2 F obj b q N F aug F obj b q Ψ F aug Ψ ( ) ϱ t + + p = 0 = 0 Ω f = Γ Γ b ϱ = (, t) = (, t) Ω f Γ b ( ) ϱ t + + p = V max 4 3 2 1 0-1 -2-3 -4-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 x 4 x 1 V mn V max
Διαβάστε περισσότεραX(f) E(ft) df x[i] = 1 F. x(t) E( ft) dt X(f) = x[i] = 1 F
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων 4..2006 Φυλλάδιο Τυπολόγιο μετασχηματισμών ourier, Laplace και Z Σύμβολα Για έναν πραγματικό αριθμό x, συμβολίζουμε με x, x, [x], τον αμέσως
Διαβάστε περισσότεραΤο άτομο του Υδρογόνου
Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες
Διαβάστε περισσότερα!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!
" "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραĐường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.
Đường tròn cung dây tiếp tuyến BÀI 1 : Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh : 1. AH vuông góc BC (tại F thuộc BC). 2. FA.FH
Διαβάστε περισσότεραJMAK の式の一般化と粒子サイズ分布の計算 by T.Koyama
MAK by T.Koyama MAK MAK f () = exp{ fex () = exp (') v(, ') ' () (') ' v (, ') ' f (), (), v (, ') f () () f () () v (, ') f () () v (, ') f () () () = + {exp( A) () f () = exp( K ) () K,,, A *** ***************************************************************************
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ενότητα 2 ιαίρει και Βασίλευε Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα - Ενότητα 2 1 / 140 ιαίρει και Βασίλευε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 27 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" ΣΑΒΒΑΤΟ, 27 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότερα( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]
1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter
Διαβάστε περισσότεραROVER (MG ROVER GROUP LTD)
100 114 D 38 52 01/92 + 0822-8962 237,40 0811-8962 134,20 115 D TUD 5 42 57 12/94 + 0822-8963 237,40 0811-8963 134,20 1500 (Triumph) 1.5 42 62 10/70-12/74 0800-0175 11,00 1.5 49 66 01/72-12/74 0800-0175
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Διαίρει και Βασίλευε Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Διαίρει και Βασίλευε Divide and Conquer Η τεχνική διαίρει και βασίλευε αναφέρεται
Διαβάστε περισσότεραibemo Kazakhstan Republic of Kazakhstan, West Kazakhstan Oblast, Aksai, Pramzone, BKKS office complex Phone: ; Fax:
Διαβάστε περισσότερα
959 Ν. 108/87. E.E., Παρ. I, Αρ. 2235,
E.E., Παρ. I, Αρ. 5, 1.6.87 959 Ν. 108/87 πρί Ειδικύσς Σμπληρματικής Πιστώσς (Ταμίν Αναπτύξς) Νόμς (Αρ. 9) τ 1987 κδίδται μ δημσίση στην πίσημη φημρίδα της Κπριακής Δημκρατίας σύμφνα μ τ Άρθρ 5 τ Σντάγματς.
Διαβάστε περισσότερα!"#$ "%&$ ##%&%'()) *..$ /. 0-1$ )$.'-
!!" !"# "%& ##%&%',-... /. -1.'- -13-',,'- '-...4 %. -5"'-1.... /..'-1.....-"..'-1.. 78::8
Διαβάστε περισσότερα1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών
Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=
Διαβάστε περισσότερα