Ανασκόπηση-Μάθημα 32 Εύρεση Εμβαδού μέσω του Θεωρήματος Green- -Κυκλοφορία και εξερχόμενη ροή διανυσματικού πεδίου

Transcript

1 Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος Ανασκόπηση-Μάθημα 3 Εύρεση Εμβαδού μέσω του Θεωρήματος Green- -Κυκλοφορία και εξερχόμενη ροή διανυσματικού πεδίου Στο μαθήμα 3 ( //8), συνεχίσαμε με κάποια παραδείγματα πάνω στο Θεώρημα του Green και μιλήσαμε για την εύρεση εμβαδού ενός επίπεδου χωρίου μέσω του Θεωρήματος. Στη συνέχεια, ορίσαμε το στροβιλισμό για ένα διανυσματικό πεδίο, ενώ στο τέλος, μιλήσαμε για την κυκλοφορία ενός διανυσματικού πεδίου, κατά μήκος του συνόρου (Θεώρημα Green-Εφαπτομενική μορφή) και για την εξερχόμενη ροή διαμέσου του (Κάθετη μορφή ή Θεώρημα απόκλισης στο επίπεδο). Δείτε το βιβλίο (Ενότητα 3.4 σελ. 43) για σχήματα και επιπλέον παραδείγματα!!! Έυρεση εμβαδού με το Θεώρημα Green Αρχικά συνεχίσαμε με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα. Επαληθεύστε το Θεώρημα Green για το διανυσματικό πεδίο F(, y) = (y, ), στον κλειστό κυκλικό δίσκο = [(, ), ] (, y) ( ) + y. Λύση: Θα υπολογίσουμε ξεχωριστά τα δύο μέλη της ισότητας του Θεωρήματος Green. Για το διπλό ολοκλήρωμα: Εδώ έχουμε ότι P(, y) = y, Q(, y) =, Q P y =. Q P y da = da = A() = π. Για το επικαμπύλιο: Μία παραμετρική παράσταση που προσανατολίζει θετικά το, είναι r(t) = ( + cos(t), sin(t)), t [, ].

2 F ds F (r(t)) r (t) dt (sin(t), cos(t)) ( sin(t), cos(t)) dt + cos (t) sin (t) cos(t) dt = = + =., το Θεώρημα Green έχει επαληθευτεί. dt cos(t) dt Θεώρημα (Εύρεση εμβαδού με το Θεώρημα Green). Έστω R, επίπεδο χωρίο, στο οποίο μπορεί να εφαρμοστεί το Θεώρημα Green. Τότε το εμβαδόν του, δίνεται από τη σχέση Α() = + y d + dy + ( y, ) ds. Απόδειξη. Πράγματι, αν F = ( y, ), τότε από το Θεώρημα Green, έχουμε F ds Q P y da + ( ) da = da = A(). Α() = + y d + dy. Παράδειγμα. Υπολογίστε το εμβαδόν του χωρίου, που φράσσεται από το υποκυκλοειδές: /3 + y /3 =, χρησιμοποιώντας την παραμετρική παράσταση r(t) = (cos 3 (t), sin 3 (t)), t [, ]. Λύση: Έστω F = ( y, ), τότε Α() = F ds ( sin 3 (t), cos 3 (t)) ( 3 cos (t) sin(t), 3 sin (t) cos(t)) dt + = = 3 8 sin (t) dt = 3 8 cos(4t) dt = = 3 8 π, όπου: sin (t) = cos(4t).

3 Στροβιλισμός διανυσματικού πεδίου Ορισμός. Έστω F U R 3 R 3 με F = (P, Q, R), ώστε υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι των P, Q, R. Τότε ορίζουμε το στροβιλισμό του πεδίου F και συμβολίζουμε με curl(f), ώς curl(f) = i j k y z P Q R R y Q z i R P z j + Q P y k R y Q z i + P z R j + Q P y k. Αν F U R R με F = (P, Q), τότε, προκειμένου να ορίσουμε το στροβιλισμό του πεδίου F, θεωρούμε F = (P, Q, ), και τότε curl(f) Q P y k. Ορισμός. Έστω F U R R με F = (P, Q). Αν curl(f) = (ισοδύναμα Q πεδίο F καλείται αστρόβιλο. = P y ), τότε το Παρατήρηση. Ο στροβιλισμός ενός διανυσματικού πεδίου F, είναι ένα μέτρο του ρυθμό περιστροφής του πεδίου σε κάθε σημείο του. Δείτε το βιβλίο για μία εκτενέστερη περιγραφή σχετικά με το στροβιλισμό. Κυκλoφορία και Εξερχόμενη ροή διανυσματικού πεδίου Στο μάθημα 3, είδαμε ότι, αν C καμπύλη στο R με παραμετρική παράσταση r(t) (t), y(t), το ολοκλήρωμα C F ds ισούται με το C F Τ ds, όπου T = r (t) r (t) (t), y (t) r, (t) το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα, στο σημείο r(t) της καμπύλης και F T, η βαθμωτή εφαπτομενική συνιστώσα του πεδίου F. Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω έχουμε την παρακάτω εναλλακτική μορφή για το Θεώρημα Green (δείτε και βιβλίο) για χωρία με σύνορο μία κλειστή καμπύλη. Θεώρημα (Εφαπτομενική μορφή του Θεωρήματος Green). Έστω R συμπαγές, του οποίου το σύνορο, αποτελεί μια απλή κλειστή καμπύλη, η οπόια είναι και λεία, εκτός ίσως από πεπερασμένα σημεία. Αν F = (P, Q), ένα διανυσματικό πεδίο που ορίζεται στο και είναι παραγωγίσιμο με συνεχείς μερικές παραγώγους, τότε ισχύει F Τ ds Q + P y da, 3

4 όπου το ολοκλήρωμα F Τ ds, δίνει την κυκλοφορία του διανυσματικού πεδίου F, κατά μήκος + του συνόρου. Στη συνέχεια διατυπώσαμε την κάθετη μορφή του Θεωρήματος Green. Θεώρημα (Κάθετη μορφή του Θεωρήματος Green). Έστω R συμπαγές, του οποίου το σύνορο, αποτελεί μια απλή κλειστή καμπύλη, η οπόια είναι και λεία, εκτός ίσως από πεπερασμένα σημεία. Αν F = (P, Q), ένα διανυσματικό πεδίο που ορίζεται στο και είναι παραγωγίσιμο με συνεχείς μερικές παραγώγους, τότε ισχύει F n ds div(f) da P + + Q y da, όπου με n συμβολίζουμε το κάθετο μοναδίαιο διάνυσμα προς τα έξω, σε κάθε σημείο του. Η ποσότητα F n, αποτελεί την κάθετη βαθμωτή συνιστώσα του πεδίου F, ενώ το ολοκλήρωμα F n ds, δίνει την εξερχόμενη ροή του διανυσματικού πεδίου F, διαμέσου του συνόρου. + Παράδειγμα 3. Υπολογίστε την εξερχόμενη ροή για το διανυσματικό πεδίο F(, y) = (, y ), που εξέρχεται από από το τετράγωνο, που ορίζουν οι ευθείες =, =, y =, y =. Λύση: Έχουμε P(, y) =, Q(, y) = y, div(f) = P + Q y = + y. F n ds div(f) da + + y ddy + y = = 4. Παράδειγμα 4. Υπολογίστε την εξερχόμενη ροή για το διανυσματικό πεδίο F(, y) = (, y), που εξέρχεται από το τρίγωνο Τ, που ορίζουν οι ευθείες, y =, y =, =, 4

5 καθώς επίσης και την κυκλοφορία του F, κατά μήκος του T. Λύση: Για την εξερχόμενη ροή, έχουμε P(, y) =, Q(, y) = y, div(f) = P + Q y = + y. F n ds div(f) da + + y dyd y + y + 3 d = =. Για την κυκλοφορία έχουμε F Τ ds (Q P y ) da + +y dyd y 3 d = = 4. Για το σπίτι είχατε H/W: Να λύσετε τις παρακάτω ασκήσεις στη σελίδα 53: 7,,. 5