Διανύσματα. (α) μέτρο, (β) διεύθυνση και. (γ) φορά. (κατεύθυνση=διεύθυνση+φορά).

Transcript

1 Διανύσματα Βαθμωτή Ποσότητα: αυτή που μπορεί να οριστεί πλήρως με έναν αριθμό και μια μονάδα. Ο αριθμός και η μονάδα συνιστούν το μέτρο της βαθμωτής ποσότητας. Διάνυσμα: είναι η ποσότητα που έχει (α) μέτρο, (β) διεύθυνση και (γ) φορά (κατεύθυνση=διεύθυνση+φορά). 1

2 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Η διανυσματική ποσότητα στα χειρόγραφα κείμενα συμβολίζεται με ένα βέλος πάνω από την ποσότητα, δηλ. ως d r. Στα βιβλία ως έντονο d. Το μέτρο του διανύσματος d λέγεται απόλυτη τιμή του d και συμβολίζεται με d r ή απλώς d. 2

3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Άθροιση διανυσμάτων Η μαθηματική έκφραση για την άθροιση δυο διανυσμάτων είναι: a+b=r ενώ οι κανόνες που εφαρμόζονται είναι: (α) Αρχικά σχεδιάζεται το διάνυσμα a. (β) Κατόπιν σχεδιάζεται το διάνυσμα b, με αρχή το τέλος του a. (γ) Το διανυσματικό άθροισμα r σχεδιάζεται ως ένα διάνυσμα με αρχή την αρχή του a και τέλος το τέλος του b. 3

4 Γραφική εύρεση του αθροίσματος δύο διανυσμάτων. b a r 4

5 Ακόμη, μπορεί να αποδειχθεί ότι για τη διανυσματική άθροιση ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: (α) α+β=β+α (μεταθετική ιδιότητα) (β) d+(e+f)=(d+e) +f) (προσεταιριστική ιδιότητα) Οι παραπάνω σχέσεις δηλώνουν ότι το άθροισμα είναι ανεξάρτητο από τη σειρά ή τις ομάδες που αθροίζουμε τα διανύσματα, δηλαδή, η διανυσματική άθροιση και η άθροιση βαθμωτών ακολουθούν τους ίδιους νόμους. 5

6 Αφαίρεση διανυσμάτων Η πράξη της αφαιρέσεως μπορεί να μπει στη διανυσματική άλγεβρα αν ορίσουμε σαν αντίθετο ενός διανύσματος ένα άλλο διάνυσμα με το ίδιο μέτρο αλλά αντίθετη φορά: a-b=a+(-b) Οι κανόνες που εφαρμόζονται είναι: (α) αρχικά σχεδιάζεται το διάνυσμα a, (β) Κατόπιν σχεδιάζεται το διάνυσμα -b (γ) τέλος τα προσθέτουμε με τον τρόπο που αναφέρθηκε παραπάνω. 6

7 Σημείωση: Αν και χρησιμοποιήσαμε τις μετατοπίσεις για να δείξουμε αυτές τις πράξεις, οι κανόνες ισχύουν για όλες τις διανυσματικές ποσότητες (όπως η ταχύτητα, επιτάχυνση, δύναμη κτλ). 7

8 Πολλαπλασιασμός διανυσμάτων Είναι δυνατόν να οριστούν πολλά είδη πολλαπλασιασμών. Όμως, θα μελετηθούν μόνο τα παρακάτω τρία είδη πολλαπλασιασμού: 1. Πολλαπλασιασμός διανύσματος επί βαθμωτό 2. Πολλαπλασιασμός δυο διανυσμάτων κατά τέτοιον τρόπο ώστε να δίνουν βαθμωτό (εσωτερικό ή βαθμωτό γινόμενο) 3. Πολλαπλασιασμός δυο διανυσμάτων κατά τέτοιον τρόπο ώστε να δίνουν ένα άλλο διάνυσμα (εξωτερικό ή διανυσματικό γινόμενο) 8

9 1) Ο πολλαπλασιασμός διανύσματος απί βαθμωτό έχει ένα απλό νόημα: το γινόμενο ενός βαθμωτού k και ενός διανύσματος a, που γράφεται ka, ορίζεται σαν ένα νέο διάνυσμα του οποίου το μέτρο είναι k φορές το μέτρο του a. Το νέο διάνυσμα έχει την ίδια φορά με το a αν το k είναι θετικό και αντίθετη φορά αν το k είναι αρνητικό. Σημείωση: Για να διαιρέσουμε ένα διάνυσμα με ένα βαθμωτό απλώς πολλαπλασιάζουμε το διάνυσμα με το αντίστροφο του βαθμωτού. 9

10 2) Το εσωτερικό γινόμενο δυο διανυσμάτων a και b, γράφεται ως a b, και ορίζεται ως: a b= a b cosφ=a b cosφ όπου φ η γωνία μεταξύ των δυο διανυσμάτων a και b. Αφού τα a και b είναι βαθμωτά και το cosφ είναι καθαρός αριθμός, το βαθμωτό γινόμενο δυο διανυσμάτων είναι βαθμωτό μέγεθος. 10

11 Το εσωτερικό γινόμενο a b είναι το γινόμενο του μέτρου του ενός ή του άλλου διανύσματος (έστω του a) επί τη συνιστώσα του άλλου κατά τη διεύθυνση του πρώτου διανύσματος (έστω b cosφ). abcosφacoφφsb 11

12 3) Το εξωτερικό γινόμενο δυο διανυσμάτων a και b γράφεται a b και είναι ένα άλλο διάνυσμα c, όπου c=a b. Το μέτρο του c δίνεται από τη σχέση c = a b sinφ=a b sinφ όπου φ η γωνία μεταξύ των δυο διανυσμάτων a και b. Η διεύθυνση του εξωτερικού γινομένου των a και b ορίζεται να είναι κάθετη προς το επίπεδο που ορίζουν τα a και b. Για τον καθορισμό της φοράς του διανύσματος c έστω ότι περιστρέφετε ένα δεξιόστροφο κοχλία του οποίου ο άξονας είναι κάθετος προς το επίπεδο που σχηματίζουν τα a και b, από το a στο b κατά τη γωνία φ. Τότε η φορά κατά την οποία προχωρεί ο κοχλίας δίνει τη φορά του εξωτερικού γινομένου a b. 12

13 Ένας άλλος τρόπος για να βρούμε τη φορά τη φορά ενός διανυσματικού γινομένου: Θεωρήστε έναν άξονα κάθετο στο επίπεδο των a και b που να περνάει από την αρχή τους. Τώρα κάμψετε τα δάχτυλα του δεξιού χεριού γύρω από αυτόν τον άξονα και σπρώξτε, με τα δάχτυλα, το διάνυσμα a προς το διάνυσμα b μέσω της μικρότερης μεταξύ τους γωνίας κρατώντας τον αντίχειρα όρθιο. Η φορά του όρθιου αντίχειρα δίνει τη φορά του διανυσματικού γινομένου a b. 13

14 (α) b 14φc=axb φa c'=bxa Το διανυσματικό γινόμενο. (α) Η φορά του διανυσματικού γινομένου c=a b, όπως προκύπτει με τον κανόνα του δεξιού χεριού ή του δεξιόστροφου κοχλία. (β) Η φορά του διανυσματικού γινομένου c =b a είναι αντίθετη από αυτήν του c=a b. (β) b a

15 Σημείωση 1: a b b a, και επομένως η σειρά των παραγόντων σε ένα εξωτερικό γινόμενο είναι σημαντική. Σημείωση 2: Όμως a b=-b a. Προκύπτει από το ότι το μέτρο a b sinφ ισούται προς το μέτρο b a sinφ, η φορά όμως του a b είναι αντίθετη εκείνης του b a. Οφείλεται στο ότι ο δεξιόστροφος κοχλίας προχωρεί προς τη μια φορά όταν στρέφεται από το a στο b μέσω της φ, αλλά προχωρεί προς την αντίθετη όταν στρέφεται από το b στο a μέσω της ίδιας γωνίας (Το ίδιο αποτέλεσμα εφαρμόζοντας τον κανόνα του δεξιού χεριού). 15

16 Σημείωση 3: Αν η φ είναι 90 ο, τα a, b και c (=a b) είναι κάθετα μεταξύ τους και δίνουν τις διευθύνσεις και τις φορές ενός τρισδιάστατου δεξιόστροφου συστήματος συντεταγμένων. 16

17 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Αναλυτική μέθοδος: ανάλυση ενός διανύσματος σε συνιστώσες ως προς ένα ορισμένο σύστημα συντεταγμένων. Η γεωμετρική μέθοδος δεν είναι πολύ χρήσιμη για διανύσματα στο χώρο (πολλές φορές δεν βολέυει ούτε για διανύσματα στο επίπεδο, ειδικά αν είναι πολλά στον αριθμό). Η ανάλυση ενός διανύσματος σε συνιστώσες εισαγωγή ενός διανύσματος μοναδιαίου μήκους σε μια ορισμένη διεύθυνση (που συνήθως το αποκαλούμε μοναδιαίο διάνυσμα). 17

18 Οπότε, ένα οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί να γραφεί στην μορφή: a=u a a = u a a όπου u a είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα στη διεύθυνση του a, με μέτρο την μονάδα, δηλ., u a =1. Συνήθως, για το ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων χρησιμοποιούμε τα σύμβολα xˆ, ŷ και ẑ, με φορά προς τις θετικές διευθύνσεις των αξόνων. Έτσι, ένα οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί να γραφεί συναρτήσει των συνιστωσών του (στο επίπεδο ή στο χώρο) ως: a= xˆa x + ŷa y (2D) a= xˆa x + ŷa y + ẑa z (3D) 18

19 Για 2D Σ.Σ. οι συνιστώσες ενός διανύσματος a δίνονται από τις σχέσεις: a x =acosθ και a y =asinθ όπου θ η γωνία που σχηματίζει το διάνύσμα a με το θετικό x- άξονα. y 0θy bxx ab y0 bya θaxx 19

20 Σημείωση 1: Η γωνία (κατά σύμβαση) μετριέται από αυτόν τον άξονα με φορά αντίθετη από αυτήν των δειχτών του ρολογιού. Σημείωση 2: Ανάλογα με την γωνία θ, τα a x, a y μπορούν να είναι είτε θετικά είτε αρνητικά. Σημείωση 3: Οι συνιστώσες ενός διανύσματος συμπεριφέρονται ως βαθμωτά ποσά, καθώς για να οριστούν σε ένα Σ.Σ. ενός συστήματος αναφοράς, χρειάζεται μόνο ένας αριθμός με το αλγεβρικό σημείο του. 20

21 Η ανάλυσης ενός διανύσματος στις συνιστώσες του ότι, αντί να χρησιμοποιούμε τους δυο αριθμούς a (μέτρο του διανύσματος) και θ (διεύθυνση του διανύσματος ως προς τον x-άξονα), έχουμε τους δυο αριθμούς a x και a y. Οι σχέσεις που συνδέουν τα αριθμούς a και θ με τα a x και a y είναι: a=[(a x ) 2 +(a y ) 2 ] 1/2 tanθ=a y /a x 21

22 Άθροιση διανυσμάτων με την αναλυτική μέθοδο Έστω τα διανύσματα a και b πάνω στο x-y επίπεδο. Έστω r το άθροισμά τους, δηλαδή, r=a+b Σε ένα δοσμένο Σ.Σ. δυο διανύσματα μπορούν να είναι ίσα μόνο αν οι αντίστοιχες συνιστώσες τους είναι ίσες, δηλαδή r x =a x +b x και r y =a y +b y Τότε για το μέτρο του r και την γωνία θ προκύπτει: r=[(r x ) 2 +(r y ) 2 ] 1/2 tanθ=r y /r x 22

23 Έτσι, έχουμε τον ακόλουθο αναλυτικό κανόνα για την πρόσθεση διανυσμάτων: Αναλύστε το κάθε διάνυσμα στις συνιστώσες του σε ένα δοσμένο σύστημα συντεταγμένων του Το αλγεβρικό άθροισμα των συνιστωσών κατά μήκος ενός ορισμένου άξονα είναι η συνιστώσα του διανυσματικού αθροίσματος κατά μήκος αυτού του άξονα Το διανυσματικό άθροισμα μπορεί να κατασκευαστεί, αφού είναι γνωστές οι συνιστώσες του. 23

24 Σημείωση 1: Η μέθοδος αυτή μπορεί φυσικά να γενικευτεί για πολλά διανύσματα και στο χώρο. Σημείωση 2: Η προσεχτική επιλογή των αξόνων μπορεί να απλοποιήσει κατά πολύ την ανάλυση των διανυσμάτων σε συνιστώσες. Για παράδειγμα, μπορούν να παρθούν άξονες έτσι που τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα να είναι παράλληλο προς έναν άξονα. 24

25 Εσωτερικό γινόμενο δυο διανυσμάτων με την αναλυτική μέθοδο Αν έχουμε δυο τυχαία διανύσματα a=xˆa x + ŷa y +ẑa z και b=xˆb x + ŷb y +ẑb z, τότε, το εσωτερικό γινόμενο μπορεί να γραφεί ως: a b=(xˆa x + ŷa y +ẑa z ) (xˆb x + ŷb y +ẑb z ) και εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα, τελικά, βρίσκουμε a b=a x b x +a y b y +a z b z 25

26 Εξωτερικό γινόμενο δυο διανυσμάτων με την αναλυτική μέθοδο Αν έχουμε δυο τυχαία διανύσματα a=xˆa x + ŷa y +ẑa z και b=xˆb x + ŷb y +ẑb z, τότε, το εξωτερικό γινόμενο μπορεί να γραφεί ως: a b=(xˆa x + ŷa y + ẑa z ) (xˆb x + ŷb y +ẑb z ) xˆ yˆ zˆ a b= a x a y a z b x b y b z 26

27 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΝΟΜΟΙ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Τα διανύσματα αποδεικνύονται πολύ χρήσιμα στη Φυσική. Γιατί συμβαίνει αυτό; Έστω τρία διανύσματα a, b και r τα οποία συνδέονται με την σχέση r=a+b όπου a x, a y, a z οι συνιστώσες του a, b x, b y, b z οι συνιστώσες του b, και r x, r y, r z οι συνιστώσες του r, σε ένα ορισμένο Σ.Σ. Οxyz του συστήματος αναφοράς. Τότε, προκύπτει r x = a x + b x, r y = a y + b y και r z = a z + b z 27

28 Έστω ένα άλλο σύστημα συντεταγμένων Ο x y z το οποίο έχει τις εξής ιδιότητες: (1) η αρχή του δεν συμπέφτει με την αρχή του συστήματος Οxyz και (2) οι τρεις άξονές του δεν είναι παράλληλοι προς τους αντίστοιχους άξονες του πρώτου συστήματος. (δηλ. το 2 ο Σ.Σ. έχει μετατεθεί και στραφεί σε σχέση προς το πρώτο). Τότε, οι συνιστώσες των διανυσμάτων a, b και r στο νέο σύστημα βρίσκονται, γενικά, όλες διαφορετικές. 28

29 Έστω, a x, a y, a z οι συνιστώσες του a, b x, b y, b z οι συνιστώσες του b και r x, r y, r z οι συνιστώσες του r. Ακόμη και αυτές οι νέες συνιστώσες θα συνδέονται με ανάλογες σχέσεις, δηλαδή r' x = a x + b x, r y = a y + b y και r z = a z + b z Δηλαδή, στο νέο σύστημα ξαναβρίσκουμε την σχέση r=a+b 29

30 ηλαδή, οι σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων είναι αναλλοίωτες (δηλαδή, δεν μεταβάλλονται) κατά τη μετάθεση ή στροφή των συντεταγμένων. Είναι εμπειρικό δεδομένο ότι τα πειράματα πάνω στα οποία βασίζονται οι νόμοι της φυσικής και οι ίδιοι οι νόμοι της φυσικής παραμένουν, παραμένουν επίσης αναλλοίωτοι όταν στρέψουμε ή μεταθέσουμε το σύστημα συντεταγμένων. Αν μπορέσουμε να εκφράσουμε ένα νόμο με διανυσματική μορφή, το αναλλοίωτο του νόμου σε μετάθεση και στροφή του συστήματος συντεταγμένων διασφαλίζεται από αυτήν την καθαρά γεωμετρική ιδιότητα των διανυσμάτων. 30