ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ. Παράδειγµα: Κίνηση φορτισµένου σωµατιδίου µέσα σε µαγνητικό πεδίο. z B. m υ MAΓΝΗTIKΟ ΠΕ ΙΟ

Transcript

1 1 ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ.. Αν δοκιµαστικό φορτίο q βρεθεί κοντά σε αγωγό που διαρρέεται από ρεύµα, υφίσταται δύναµη κάθετη προς την διεύθυνση της ταχύτητάς του και µε µέτρο ανάλογο της ταχύτητάς του, F qυ Β (νόµος Loentz) Η ποσότης Β καλείται ένταση του µαγνητικού πεδίου ή µαγνητική επαγωγή (µονάδες: 1 Webe/m ή tesla) Παράδειγµα: Κίνηση φορτισµένου σωµατιδίου µέσα σε µαγνητικό πεδίο. z B 0 m υ y x F MAΓΝΗTIKΟ ΠΕ ΙΟ

2 α) Κάθετη κίνηση: έστω ότι η ταχύτης υ του σωµατιδίου είναι κάθετη προς το οµογενές µαγνητικό πεδίο Β (του οποίου η διεύθυνση λαµβάνεται σαν άξονας +z) Eξισώσεις κίνησης του σωµατιδίου: κατά την ακτινική διεύθυνση: q υβ m υ (1) R κατά την εφαπτοµενική διεύθυνση: ma t 0, κατά τον z-άξονα: ma z 0 (3) Προφανώς η (1) παριστάνει οµαλή κυκλική mυ κίνηση µε ακτίνα R και µε κυκλική συχνότητα qb υ qb ω c (συχνότης κύκλοτρον) R m β) Ελικοειδής τροχιά: αν τα διανύσµατα υ και Β δεν είναι κάθετα µεταξύ τους, τότε η εξίσωση (1) υ γράφεται: qυ Β m, ενώ κατά τη διεύθυνση του R πεδίου (άξονας z) ισχύει η (3), έτσι η συνιστώσα υ παραµένει σταθερή. Συνεπώς οι συνιστώσες (υ, υ ) παραµένουν σταθερές κατά µέτρο και η τροχιά του σωµατιδίου είναι ελικοειδής. MAΓΝΗTIKΟ ΠΕ ΙΟ

3 γ) Τι συµβαίνει όµως αν το µαγνητικό πεδίο µεταβάλλεται, ας πούµε ΒΒ(z); ύναµη επί αγωγού που διαρέεται από ρεύµα Η δύναµη επί του στοιχειώδους τµήµατος dl df(nαdl)qυ BIdl B διότι Jnqυ και ΙJΑnqΑυ. (ν. Laplace) Παράδειγµα: Nα υπολογιστεί η δύναµη που εξασκείται από οµογενές µαγνητικό πεδίο B πάνω σε ηµικυκλικό αγωγό C (σχήµα), ο οποίος διαρρέεται από ρεύµα I. y B θ dl x 0 I MAΓΝΗTIKΟ ΠΕ ΙΟ 3 B

4 Ο νόµος του Laplace γράφεται df Idl BΙdl B sinθzˆ συνεπώς, η ολική δύναµη που ασκείται στο ηµικύκλιο είναι F ολ zib ˆ sinθdl όµως sinθdldx, οπότε το ολοκλήρωµα είναι C C sinθ dl + R dx -R R συνεπώς, F ολ ẑirβ Ορθογώνιος βρόχος µέσα σε µαγνητ. πεδίο Εστω ότι το πεδίο Β σχηµατίζει γωνία θ µε την κάθετη προς το επίπεδο του βρόχου. Για ευκολία µας έστω ότι το Β είναι κάθετο προς τις πλευρές µήκους b. MAΓΝΗTIKΟ ΠΕ ΙΟ 4

5 Οι δυνάµεις επί των πλευρών µήκους a είναι, F 3 F 4 IaB οι οποίες είναι αντίθετες και αλληλοαναιρούνται. Οι δυνάµεις επί των πλευρών µήκους b είναι F 1 F IbB οι οποίες δηµιουργούν ζεύγος δυνάµεων µε µοχλοβραχίoνα xasinθ. Η ολική ροπή ως προς το 0 έχει µέτρο τf 1 x F 1 asinθ IbB asinθιαβ sinθ (1) όπου Αab. Βλέπουµε ότι τιαβmax όταν όταν το πεδίο Β είναι παράλληλο προς το επίπεδο του MAΓΝΗTIKΟ ΠΕ ΙΟ 5

6 βρόχου (θ90) και τ0min όταν το πεδίο Β είναι κάθετο προς το επίπεδο του βρόχου (θ0). Η (1) γράφεται σε διανυσµατική µορφή, τ ΙΑ () Η διανυσµατική ποσότης µ ΙΑ καλείται µαγνητική ροπή του βρόχου (µονάδες: A-m ) οπότε η () γράφεται, v τ µ Β η οποία ισχύει για κάθε βρόχο εµβαδού Α. Παρατηρούµε ότι ο βρόχος συµπεριφέρεται σαν ένα µαγνητικό δίπολο (βλέπε σχήµα). v Β MAΓΝΗTIKΟ ΠΕ ΙΟ 6

7 Η δυναµική ενέργεια βρόχου µέσα σε µαγνητικό πεδίο υπολογίζεται µε το ίδιο τρόπο όπως και στο ηλεκτρικό δίπολο µέσα σε ηλεκτρικό πεδίο. Εχοµε λοιπόν κατ αναλογία U-µΒcosθ µ Β δηλ. η ελαχίστη δυναµική ενέργεια του βρόχου είναι όταν προσανατολίζεται κάθετα (θ0) προς το µαγνητικό πεδίο, ή αλλιώς όταν το µαγν. δίπολο παίρνει τη διεύθυνση και φορά του µαγν. πεδίου. Το πηνίο (Ν βρόχοι) του παρακάτω σχήµατος έχει ελαχίστη ενέργεια όταν προσανατολιστεί κατά την διεύθυνση του πεδίου Β. MAΓΝΗTIKΟ ΠΕ ΙΟ 7

8 ηµιουργία µαγνητικού πεδίου (από κινούµενα φορτία ή από ρεύµατα) Nόµος των Biot-Savat (εµπειρικός νόµος): H ένταση του µαγν. πεδίου στο σηµείο P µ ο Ιds ˆ db 4π όπου µ ο /4π10-7 Webes/A-m. Η σταθερά µ ο καλείται µαγνητική διαπερατότης του κενού MAΓΝΗTIKΟ ΠΕ ΙΟ 8

9 Παράδειγµα: Mαγνητικό πεδίο ευθύγραµµου aγωγού Το πεδίο στο σηµείο Ρ είναι µ ο Ιds ˆ B 4π C όµως ds ˆ ds 1 sinθ θˆ (στο σχήµα Από το σχήµα έχοµε sinθr/, όπου εποµένως το ολοκλήρωµα γράφεται, θˆ uˆ ). θ R + s, MAΓΝΗTIKΟ ΠΕ ΙΟ 9

10 B θˆ µ ο 4π ΙR + (R ds + s ) 3/ Το ολοκλήρωµα υπολογίζεται ds + + ds 3/ (R s ) (R + s ) 3/ + 0 s+ s s lim R s R + s s 0 R R + s R, άρα το µαγν. πεδίο στο σηµείο Ρ είναι: µ ο 1 B θˆ π R δηλ. οι δυναµικές γραµµές είναι περιφέρειες οµόκεντρων κύκλων (και η µαγν. επαγωγή του πεδίου έχει σταθερή τιµή κατά µέτρο πάνω στη περιφέρεια του κύκλου) MAΓΝΗTIKΟ ΠΕ ΙΟ 10

11 Παράδειγµα: Mαγνητικό πεδίο κυκλικού δακτυλίου Υπολογίζοµε το µαγν. πεδίο σε σηµεία Ρ πάνω στον άξονα του δακτυλίου db θ z P 0 R y dl x I λόγω συµµετρίας επιζεί µόνο η z-συνιστώσα του πεδίου db, άρα µ ο Ιds dbz dbcosθ cosθ 4π Από το σχήµα έχοµε cosθr/ και R + z, εποµένως το µαγνητικό πεδίο στο σηµείο Ρ ισούται, Β µ ο ds µ ο ΙR z ΙR 3/ 4π C (R + z ) 4π (R + z ) 3/ ds C MAΓΝΗTIKΟ ΠΕ ΙΟ 11

12 το ολοκλήρωµα υπολογίζεται πάνω στη περιφέρεια του κύκλου ds πr, συνεπώς το πεδίο ισούται C Β z µ ο (R αν ορίσουµε ως διπολική ροή του κυκλικού δακτυλίου µiπr, η προηγούµενη σχέση παίρνει τη µορφή (παραλείποντας τον δείκτη z από το Β), µ ο µ Β 3/ π (R + z ) IR + z ) 3/ Μαγνητικό πεδίο σωληνοειδούς (Ν δακτύλιοι) MAΓΝΗTIKΟ ΠΕ ΙΟ 1

13 Νόµος του Ampee για το µαγνητικό πεδίο Λέει ο νόµος αυτός ότι η κυκλοφορία του Β κατά µήκος µιάς κλειστής διαδροµής C ισούται µε µ ο επί το συνολικό ρεύµα Ι A που διαπερνά την επιφάνεια Α που περικλείεται από την C, Β dl µ Ι C όπου το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα υπολογίζεται πάνω σε συγκεκριµένη κλειστή διαδροµή C. ο Α Παράδειγµα: To µαγνητικό πεδίο µέσα και έξω από κυλινδρικό αγωγό ακτίνος a που διαρρέεται από ρεύµα Ι. MAΓΝΗTIKΟ ΠΕ ΙΟ 13

14 Λόγω της κυλινδρικής συµµετρίας του προβλήµατος, το µαγνητικό πεδίο θα είναι εφαπτοµενικό στις οµοαξονικές περιφέρειας προς τον άξονα του αγωγού και µέτρου Βf(R). 1) για R a, επιλέγουµε στο νόµο του Ampee τη κλειστή διαδροµή 1, Β dl όπου Ι A Ι, άρα 1 Β dl 1 Β πr µ οι Β (για R a) πr µ ο Ι MAΓΝΗTIKΟ ΠΕ ΙΟ 14

15 ) για R a, επιλέγουµε στο νόµο του Ampee τη κλειστή διαδροµή, Β dl Β dl Β πr µ Ι Ι όµως Α Ι R J I I, οπότε προκύπτει πr πa µ π IR a A ο Β (για R a) Γραφική παράσταση του Β από την απόσταση R από τον άξονα του αγωγού. a ο Α Νόµος του Ampee σε διαφορική µορφή Eφαρµόζουµε το θεώρηµα του Stokes: B dl C ( B) da Α (1) MAΓΝΗTIKΟ ΠΕ ΙΟ 15

16 δηλ. η κυκλοφορία του διανύσµατος B γύρω από µια κλειστή διαδροµή C ισούται µε τη ροή του διανύσµατος ( B ) µέσα από την επιφάνεια Α (η οποία περατούται στη κλειστή καµπύλη C), π.χ. η επιφάνεια Α 1 ή Α του σχήµατος. Οµως το συνολικό ρεύµα που διέρχεται δια µέσου µιας επιφάνειας Α ισούται µε Ι J da () Α Α Αντικαθιστώντας στον νόµο του Ampee έχοµε, ( B) da µ J da ή απ όπου προκύπτει: A ( B - µ ο J) da 0 A ο Α MAΓΝΗTIKΟ ΠΕ ΙΟ 16

17 B J (ν. Ampee) µ ο H σχέση αυτή αποτελεί τον νόµο του Ampee σε διαφορική µορφή. MAΓΝΗTIKΟ ΠΕ ΙΟ 17