ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ.

Transcript

1 ΥΠΟΥΡΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ εωμετρία ΑΘΗΝΑ 001

2 Ομάδα Σύνταξης Εποπτεία: Παπασταυρίδης Σταύρος, Καθηγητής Παν/μίου Αθηνών Καραγεώργος Δημήτρης, Λέκτορας Παν/μίου Αθηνών Συντονιστές: Κοθάλη - Κολοκούρη Ευπραξία, Σχολικός Σύμβουλος, Μ.Εd. Σίδερης Πολυχρόνης, Σχολικός Σύμβουλος Συγγραφική ομάδα: εωργακάκος Ηλίας, Μαθηματικός Δ.Ε. Κοντογιάννης Ιωάννης, Μαθηματικός Δ.Ε. Μαρκοτζανέτος Αντώνιος, Μαθηματικός Δ.Ε. Μπούρικα Μαρία, Μαθηματικός Δ.Ε., Μ.Εd. Πέτρου Αθηνά, Μαθηματικός Δ.Ε., Μ.Εd. Χριστόφιλος Ευγένιος, Μαθηματικός Δ.Ε. Copyright (C) 000: Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας Αδριανού 91, Αθήνα Απαγορεύεται η αναδημοσίευση ή ανατύπωση ή φωτοτύπηση μέρους ή όλου του παρόντος βιβλίου, καθώς και η χρησιμοποίηση των ερωτήσεων, ασκήσεων και προβλημάτων που περιέχονται σ αυτό σε σχολικά βοηθήματα ή για οποιοδήποτε άλλο σκοπό, χωρίς τη γραπτή άδεια του Κέντρου Εκπαιδευτικής Έρευνας.

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΡΟΛΟΟΣ... 5 ΕΙΣΑΩΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ... 7 Κεφάλαιο 9ο Μετρικές Σχέσεις Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος...9 Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής...13 Ερωτήσεις αντιστοίχισης...18 Ερωτήσεις συμπλήρωσης... Ερωτήσεις ανάπτυξης...4 Σχέδια κριτηρίων αξιολόγησης του μαθητή...37 Απαντήσεις - Υποδείξεις - Σύντομες λύσεις στις ερωτήσεις...45 Κεφάλαιο 10ο Εμβαδά Πολυγώνων Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος...8 Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής...84 Ερωτήσεις αντιστοίχισης...89 Ερωτήσεις συμπλήρωσης...95 Ερωτήσεις ανάπτυξης...98 Σχέδια κριτηρίων αξιολόγησης του μαθητή Απαντήσεις - Υποδείξεις - Σύντομες λύσεις στις ερωτήσεις

4 Κεφάλαιο 11ο Κανονικά Πολύγωνα Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Ερωτήσεις συμπλήρωσης Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις ανάπτυξης Σχέδια κριτηρίων αξιολόγησης του μαθητή Απαντήσεις - Υποδείξεις - Σύντομες λύσεις στις ερωτήσεις Κεφάλαιο 1ο Ευθείες και Επίπεδα στο χώρο Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής...01 Ερωτήσεις αντιστοίχισης...05 Ερωτήσεις συμπλήρωσης...06 Ερωτήσεις ανάπτυξης...14 Σχέδια κριτηρίων αξιολόγησης του μαθητή...1 Απαντήσεις - Υποδείξεις - Σύντομες λύσεις στις ερωτήσεις...7 Κεφάλαιο 13ο εωμετρικά Στερεά Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος...51 Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής...56 Ερωτήσεις συμπλήρωσης...64 Ερωτήσεις ανάπτυξης...69 Σχέδια κριτηρίων αξιολόγησης του μαθητή...81 Απαντήσεις - Υποδείξεις - Σύντομες λύσεις στις ερωτήσεις...87 Δακτυλογράφηση - Σελιδοποίηση: Δήμητρα Κομνηνού Σχήματα: Κλειώ Βερβέρη - Βιτζηλαίου 4

5 ΠΡΟΛΟΟΣ Με τα τελευταία βιβλία αξιολόγησης των μαθητών ολοκληρώνεται μια σημαντική προσπάθεια του Κέντρου Εκπαιδευτικής Έρευνας, στόχος της οποίας ήταν η εκπόνηση και διάδοση νέων μεθόδων αξιολόγησης των μαθητών του Ενιαίου Λυκείου. Στο πλαίσιό της εκπονήθηκαν τα τρία τελευταία χρόνια δεκάδες βιβλίων που καλύπτουν το σύνολο σχεδόν των μαθημάτων, τα οποία διδάσκονται στο Λύκειο. Τα βιβλία αυτά περιέχουν οδηγίες μεθοδολογίας σχετικές με την αξιολόγηση των μαθητών, παραδείγματα ερωτήσεων διαφόρων τύπων, υποδείγματα εξεταστικών δοκιμασιών, θέματα συνθετικών - δημιουργικών εργασιών και άλλα χρήσιμα στοιχεία για τους εκπαιδευτικούς. Το έντυπο αυτό υλικό συνοδεύτηκε από την παραγωγή ανάλογου ηλεκτρονικού υλικού, από τη δημιουργία Τράπεζας Θεμάτων και από πολυάριθμες επιμορφωτικές δραστηριότητες σχετικές με την αξιολόγηση των μαθητών. Η παραπάνω προσπάθεια δεν είχε σκοπό να επιβάλει ένα συγκεκριμένο τρόπο αξιολόγησης ούτε να αυξήσει το φόρτο εργασίας διδασκόντων και διδασκομένων, όπως ισχυρίστηκαν ορισμένοι. Επιδίωξε να ενημερώσει τους καθηγητές για τις σύγχρονες εξεταστικές μεθόδους, να τους δώσει πρακτικά παραδείγματα εφαρμογής τους, να τους προβληματίσει γύρω από τα θέματα αυτά και να τους παράσχει ερεθίσματα για αυτομόρφωση. Πιστεύουμε ότι με το έργο μας συμβάλαμε στη διεύρυνση της δυνατότητας των διδασκόντων να επιλέγουν οι ίδιοι τη μέθοδο που θεωρούν πιο κατάλληλη για την αξιολόγηση των μαθητών τους και βοηθήσαμε στην αύξηση της παιδαγωγικής τους αυτονομίας. Πεποίθησή μας είναι πως όλα αυτά άλλαξαν το τοπίο στον τομέα της αξιολόγησης των μαθητών του Ενιαίου Λυκείου, έφεραν νέο πνεύμα και άρχισαν να τροποποιούν σταδιακά ξεπερασμένες αντιλήψεις και τακτικές που κυριάρχησαν επί πολλά χρόνια στο Ελληνικό σχολείο. Τα θετικά σχόλια που εκφράστηκαν από το σύνολο σχεδόν των επιστημονικών και εκπαιδευτικών φορέων για τα θέματα των εξετάσεων του περασμένου Ιουνίου, τα οποία διαμορφώθηκαν με βάση το πνεύμα και τη μεθοδολογία της αντίστοιχης εργασίας του Κ.Ε.Ε., επιβεβαιώνουν όσα προαναφέρθηκαν. 5

6 Η κριτική που είχε αρχικά ασκηθεί για το έργο μας περιορίζεται συνεχώς, ε- νώ αυξάνει καθημερινά η αποδοχή του από την εκπαιδευτική κοινότητα και η αναγνώρισή του. Σ αυτό συνέβαλε ασφαλώς και η βελτίωση του υποστηρικτικού υλικού που παράγεται από το Κ.Ε.Ε., η οποία οφείλεται, μεταξύ άλλων, και στις παρατηρήσεις και υποδείξεις των διδασκόντων στα Ενιαία Λύκεια. Η συνειδητοποίηση, τέλος, του τρόπου με τον οποίο πρέπει να χρησιμοποιείται το υλικό αυτό στη διδακτική πράξη και ο περιορισμός των σφαλμάτων που διαπράχθηκαν στην αρχή (μηχανική αναπαραγωγή πλήθους ερωτήσεων, υπέρμετρη αύξηση της εργασίας των μαθητών, απουσία εναλλακτικών τρόπων αξιολόγησης κτλ.) οδήγησαν σε πολύ θετικά αποτελέσματα, τα οποία όσο περνά ο καιρός θα γίνονται εμφανέστερα. Η διαπίστωση αυτή μας ενισχύει να συνεχίσουμε την προσπάθειά μας και να την επεκτείνουμε, εκπονώντας ανάλογο υλικό και για άλλες εκπαιδευτικές βαθμίδες, εφόσον εξασφαλιστούν οι απαραίτητες οικονομικές και λοιπές προϋποθέσεις. Τελειώνοντας, επιθυμώ να ευχαριστήσω όλους τους συνεργάτες μου στο Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας, οι οποίοι εργάστηκαν αφιλοκερδώς, με αφοσίωση και σπάνιο ζήλο και επιτέλεσαν κάτω από δύσκολες συνθήκες σημαντικό έργο. Ευχαριστώ ακόμη όλους τους εκπαιδευτικούς που με ποικίλους τρόπους στήριξαν την προσπάθειά μας και βοήθησαν στην επιτυχία της. Ξέχωρες ευχαριστίες θα ήθελα να απευθύνω στις δακτυλογράφους του Κ.Ε.Ε, στο τεχνικό προσωπικό του, στον Προϊστάμενο της ραμματείας του κ. εώργιο Κορκόντζηλα και στους εκδότες που συνεργάστηκαν μαζί μας από το 1997 μέχρι σήμερα. Αθήνα, Ιούνιος 000 Καθηγητής Μιχάλης Κασσωτάκης Πρόεδρος του Δ.Σ. του Κ.Ε.Ε. 6

7 ΕΙΣΑΩΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας (Κ.Ε.Ε.), με την έκδοση του τεύχους αυτού, συνεχίζει την προσπάθεια στήριξης των Εκπαιδευτικών σε ζητήματα σχετικά με την αξιολόγηση των μαθητών στα Μαθηματικά της Β τάξης του Ε- νιαίου Λυκείου, σύμφωνα με το πνεύμα της Εκπαιδευτικής Μεταρρύθμισης. Παράλληλα, τα θέματα του τεύχους αυτού (καθώς και τα αντίστοιχα των προηγουμένων εκδόσεων του Κ.Ε.Ε.) εισάγονται στην Τράπεζα Θεμάτων των προαγωγικών εξετάσεων. ια τον λόγο αυτό οι ερωτήσεις έχουν χωριστεί σε δύο κατηγορίες. Στην πρώτη κατηγορία ανήκουν οι ερωτήσεις στις οποίες μετά τον αριθμό ακολουθεί ένας αστερίσκος (*) και είναι οι ερωτήσεις διαφόρων τύπων που αποτελούν απλή εφαρμογή της θεωρίας. Στη δεύτερη κατηγορία ανήκουν οι ερωτήσεις στις οποίες μετά τον αριθμό ακολουθούν δύο αστερίσκοι (**) και είναι προβλήματα ή ασκήσεις για τη λύση των οποίων απαιτείται ικανότητα συνδυασμού και σύνθεσης εννοιών αποδεικτικών ή υπολογιστικών διαδικασιών. Οι ερωτήσεις που περιέχονται στο τεύχος αυτό καθώς και τα σχέδια κριτηρίων αξιολόγησης, έχουν ενδεικτικό και συμβουλευτικό χαρακτήρα για τον καθηγητή, ο οποίος έχει τη δυνατότητα να τα τροποποιήσει ή να διατυπώσει δικά του, αν το κρίνει αναγκαίο. Αθήνα, Ιούνιος 000 Σταύρος Παπασταυρίδης Καθηγητής Πανεπιστημίου 7

8 8

9 Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Να χαρακτηρίσετε με «Σ» (σωστό) ή «Λ» (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι: i. Ορθογώνιο με ορθή γωνία την Β ii. Ορθογώνιο με ορθή γωνία την Α ii. Ορθογώνιο με ορθή γωνία την. * ια το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ του σχήματος ισχύει: B Δ i. ΑΒ = ΒΔ Β ii. Α = ΑΒ ΑΔ iii. ΑΔ = ΒΔ Δ A iv. ΑΔ = ΒΔ Β v. ΑΒ = ΒΔ Δ vi. Α = Δ Β 3. * ια το ορθογώνιο τρίγωνο B ΑΒ του σχήματος, στο οποίο Δ η ΑΔ είναι ύψος και η ΑΜ Μ διάμεσος, ισχύει: i. ΑΒ = Β ΒΔ A ii. ΑΒ = ΑΜ + iii. ΑΒ = ΑΜ + ΒΜ iv. ΑΒ = Β - Α v. ΑΒ = ΒΔ + ΑΔ Β - Α Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ vi. ΑΒ Β = + ΒΜ Σ Λ 4 4. * Το τρίγωνο ΑΒ είναι αμβλυγώνιο. Ισχύει α > β + γ. Σ Λ 9

10 5. * Αν γ η μεγαλύτερη πλευρά τριγώνου ΑΒ με πλευρές α, β, γ και γ > α + β, τότε αυτό είναι αμβλυγώνιο. Σ Λ 6. * Το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο στο Α. Ισχύει β < α + γ. Σ Λ 7. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ με πλευρές α, β, γ ισχύει β < α + γ, τότε το τρίγωνο είναι πάντοτε οξυγώνιο. Σ Λ 8. * ια τυχαίο τρίγωνο ΑΒ με ύψος ΑΔ, ισχύει ΑΒ = Β ΒΔ. Σ Λ 9. * Σε τρίγωνο ΑΒ με A < 90 ισχύει Β < ΑΒ + Α. Σ Λ 10. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ με πλευρές α, β, γ ισχύουν ταυτόχρονα: α < β + γ, β < α + γ, γ < α + β, τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο. Σ Λ 11. * Υπάρχει τρίγωνο ΑΒ με πλευρές α, β, γ για το οποίο να ισχύουν ταυτόχρονα: α > β + γ, β < α + γ, γ > α + β. Σ Λ 1. * Αν γνωρίζουμε τις τρεις πλευρές τριγώνου ΑΒ α, β, γ, τότε συγκρίνοντας το τετράγωνο μιας οποιασδήποτε πλευράς του με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, μπορούμε να διαπιστώσουμε αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, οξυγώνιο ή αμβλυγώνιο. Σ Λ 13. * Το τρίγωνο που έχει μήκη πλευρών 5, 7, 9 είναι οξυγώνιο. Σ Λ 14. * Στο τρίγωνο ΑΒ που έχει διάμεσο την ΑΜ και ύψος το ΑΔ ι- σχύει: A - ΑΒ = Β ΔΜ. Σ Λ 15. * Στο διπλανό σχήμα, αν το ΑΔ είναι ύψος, ισχύει Α = ΑΒ + Β - ΒΔ Δ. Σ Λ 16. * Αν ΑΔ η προβολή της πλευράς γ πάνω στην πλευρά β τριγώνου ΑΒ με πλευρές α, β, γ και ισχύουν ταυτόχρονα: α = β + γ - βαδ και α = β + γ + βαδ, τότε το ΑΒ είναι ορθογώνιο στο Α. Σ Λ 10

11 17. * Στο τρίγωνο ΑΒ είναι ΑΒ = 6 cm, Α = 8 cm και Β = 7 cm. Η ΑΜ είναι διάμεσος και το ΑΔ είναι ύψος. Το ΔΜ ισούται με cm. Σ Λ 18. * Στο τρίγωνο ΑΒ η μ α είναι διάμεσός του. Ισχύει β + γ = μ α + α. Σ Λ 19. * Στο τρίγωνο ΑΒ η ΑΜ είναι διάμεσος και το ΑΔ είναι ύψος. Ισχύει: ΑΒ + Α = ΑΜ + ΔΜ. Σ Λ 0. * Αν γνωρίζουμε τις διαμέσους ενός τριγώνου, μπορούμε να υπολογίσουμε τις πλευρές του. Σ Λ 1. * Η απόδειξη των θεωρημάτων της διαμέσου, μπορεί να γίνει με τη βοήθεια της γενίκευσης του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Σ Λ. * Το G είναι το βαρύκεντρο τριγώνου ΑΒ. Ισχύει ΔB Δ = BG G. Σ Λ 3. * Το ευθύγραμμο τμήμα α διαιρείται σε μέσο και άκρο λόγο από το σημείο Μ όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο λόγος φ = α x = εκφράζει το λόγο της χρυσής τομής. Σ Λ 11

12 4. * Στο διπλανό σχήμα Ο είναι το κέντρο του κύκλου και ΣΟ = δ, ΟΑ = R. Ισχύει ΣΑ ΑΒ = δ - R. Σ Λ 5. * Το σημείο Ρ είναι εσωτερικό του κύκλου (Ο, R) και ΟΡ = δ < R. Αν μια ευθεία διέρχεται από το Ρ και τέμνει τον κύκλο στα Α, Β, τότε ΡΑ.ΡΒ = R - δ. Σ Λ 6. * Η δύναμη σημείου ως προς κύκλο και η απόσταση του σημείου από το κέντρο είναι ποσά ανάλογα. Σ Λ 7. * Δίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι. Σημείο Ρ κινείται στον εξωτερικό κύκλο. Η δύναμη του σημείου Ρ ως προς τον εσωτερικό κύκλο είναι σταθερή. Σ Λ 8. * Στο διπλανό σχήμα είναι Ο = 4 cm, ΟΔ = 3 cm και ΟΒ = OA 3 = x. Η τιμή του x είναι cm. Σ Λ 9. * Τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και Δ τέμνονται στο σημείο Ο και είναι ΟΑ = 3 cm, ΟΒ = 6 cm, Ο = cm και ΟΔ = 8 cm. Τα σημεία Α, Β,, Δ είναι ομοκυκλικά. Σ Λ 1

13 Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Οι παρακάτω σχέσεις αναφέρονται στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ του σχήματος. Λανθασμέ- B Δ νη είναι η σχέση: i. ΑΔ = ΒΔ Δ ii. ΑΒ = ΒΔ Β A iii. Α = ΒΔ Δ iv. ΑΒ + Α = Β v. ΑΒ Α = ΒΔ Δ. * Στο διπλανό σχήμα η ΔΒ σε cm ισούται με: i. 3 ii. 4 iii. 5 iv. 6 v. 7 B x cm Δ 4 cm A 6 cm 3. * Στο διπλανό σχήμα η Δ σε cm ισούται με: i. ii. 3 iii., iv. 3, v. 3,5 B 3 cm Δ x cm A 4 cm 4. * Στο διπλανό σχήμα η Δ σε cm ισούται με: i. 5,5 ii. 8 iii. 4 iv. 5 v. 4,5 B 10 cm A 6 cm Δ x cm 5. * Αν το μήκος της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου είναι 5 α, τότε τα μήκη των καθέτων πλευρών του είναι: i. 3α, α ii. α, α iii. α, α iv. α, 5 α v. 3 α, α 13

14 6. * Αν το μήκος της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου είναι α, τότε τα μήκη των καθέτων πλευρών του είναι: 1 i. α 1, α ii. α, 1 α iii. 1 1 α, α iv. α 3 4 1, α 4 v. α, α 7. * Η διαγώνιος τετραγώνου είναι 4 cm. Το μήκος της πλευράς του σε cm ι- σούται με: i. ii. 5 iii. 5, iv. 3 v. 8. * Το ευθύγραμμο τμήμα που είναι μέση ανάλογος των ευθυγράμμων τμημάτων με μήκη cm και 4 cm έχει μήκος σε cm: i. 8 ii. 3 iii. 6, iv. v * Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος ισχύει ΑΒ Β =. Ο λόγος ισούται με: Α i. 3 ii. 4 iii. iv. 1 v. 5 A Δ B 10. * Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = 4 cm, Β = 5 cm και το ΑΔ ύψος και η γωνία ΒΑΔ = 30. Το μήκος της πλευράς Α σε cm ισούται με: i. 3 ii. 41 iii. 10 iv. 1 v * Στο διπλανό σχήμα ισχύει: i. γ = β + α + αγ ii. γ = β - α - αβδ iii. β = α + γ + αγ v. β = γ + Δ iv. β = α + γ - αγ 14

15 1. * Σε τρίγωνο ΑΒ με A < 90 φέρνουμε τα ύψη ΒΔ και Ε. Από τις παρακάτω ισότητες λανθασμένη είναι: i. α = β + γ - βαδ ii. α = β + γ - γαε iii. α = ΒΔ + Δ iv. α = β + γ + βαδ v. α = ΕΒ + Ε 13. * Σε τρίγωνο ΑΒ με πλευρές α, β, γ ισχύει α = β + γ + βγ. Αν ΑΔ είναι η προβολή της πλευράς γ = ΑΒ στην Α τότε η γωνία ΑΒΔ είναι: i. 45 ii. 30 iii. 60 iv. 75 v * Στο τρίγωνο ΑΒ είναι A = 90, β > γ, το ΑΔ ύψος και η ΑΜ = μ α διάμεσος. Από τις παρακάτω σχέσεις λανθασμένη είναι: i. β + γ = 4ΑΜ ii. β - γ = αδμ iii. β = μ α + Μ + αδμ iv. β + γ = μ α + α v. γ + μ α = ΑΔ + BM 15. * Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( A = 90 ) είναι: i. β + γ = μ α ii. β + γ = μ α iii. β + γ = 3μ α iv. β + γ = 4μ α v. β + γ = 5μ α 15

16 16. * Το τρίγωνο ΑΒ έχει ΑΒ < Α, την ΑΜ διάμεσο και το ΑΔ ύψος. Ισχύει: i. Α - ΑΒ = Β.Δ ii. ΑΒ - Α = Β.ΔΜ iii. ΑΒ + Α = Β.ΔΜ iv. Α + ΑΒ = ΑΜ.ΔΜ v. κανένα από τα προηγούμενα 17. * Σε τρίγωνο ΑΒ με πλευρές α, β, γ ισχύει: α = β + γ - βαδ, όπου ΑΔ η προβολή της γ πάνω στη β. Αν έχουμε β < ΑΔ, τότε: i. < 90 ii. > 90 iii. = 90 iv. A > 90 v. Β > * Αν α = 10 cm, β = 9 cm και γ = 7 cm είναι τα μήκη πλευρών τριγώνου ΑΒ τότε η προβολή ΑΔ της πλευράς γ πάνω στη β σε cm είναι: i. 5 3 ii. 8 iii. 9 iv. 17 v * Στο διπλανό τρίγωνο είναι ΑΒ = 5 cm, Α = 7 cm και Β = 6 cm. Η ΑΜ είναι διάμεσος και το ΑΔ είναι ύψος. Το ΔΜ έχει μήκος: i. 1 ii. iii.,5 iv. 3 v * Στο διπλανό σχήμα είναι ΣΑ = cm, ΣΒ = 9 cm, ΣΔ = 6 cm. ια να είναι ομοκυκλικά τα σημεία Α,, Β και Δ, το Σ πρέπει να ισούται με: i. 6 9 ii iii.. 6 iv. 15 A Δ 6 9 Σ v. 3 B 16

17 1. * Στο διπλανό σχήμα η σωστή σχέση είναι: i. ΡΑ Ρ = ΡΔ ΡΒ ii. ΡΑ ΡΒ = Ρ ΡΔ iii. ΡΑ ΑΒ = Ρ Δ iv. ΡΑ ΡΔ = Ρ ΡΒ v. ΡΑ Δ = Ρ ΑΒ. * Στο διπλανό σχήμα η σωστή σχέση είναι: i. ΡΑ ΑΒ = Ρ Δ ii. ΡΑ ΡΒ = Ρ ΡΔ iii. ΡΑ ΡΔ = Ρ ΡΒ iv. ΡΑ Δ = Ρ ΑΒ v. ΡΑ Ρ = ΑΒ Δ 3. * Σε κύκλο (Ο, R) θεωρούμε τη χορδή ΑΒ. Σημείο Ρ μετακινείται πάνω στη χορδή. Η δύναμη του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο γίνεται μέγιστη όταν: i. το Ρ είναι ένα από τα άκρα Α και Β ii. το Ρ είναι μέσο της ΑΒ iii. οποιοδήποτε σημείο της ΑΒ iv. το Ρ διαιρεί το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο v. κανένα από τα παραπάνω 4. * Το πρόβλημα της χρυσής τομής είναι: i. η διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο ii. η διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος στο μέσο iii. η διαίρεση κύκλου σε δύο τόξα που το ένα είναι διπλάσιο του άλλου iv. η διαίρεση γωνίας σε τρεις ίσες γωνίες v. κανένα από τα παραπάνω 17

18 Ερωτήσεις αντιστοίχησης 1. * Στη στήλη Α του παρακάτω πίνακα αναφέρονται τα μήκη των πλευρών τεσσάρων τετραγώνων. Αντιστοιχίστε κάθε στοιχείο της στήλης Α με το στοιχείο της στήλης Β που αντιστοιχεί στο μήκος της διαγωνίου του. στήλη Α στήλη Β Μήκος πλευράς τετραγώνου Μήκος διαγωνίου τετραγώνου 1. 4α. 7 α 3. 4 α 4. 5 α Α. 10 α Β. 6α. 8α Δ. 4 α Ε. 1α ΣΤ. 6 α

19 . * Στη στήλη Α έχουμε είδη μιας γωνίας τριγώνου ΑΒ και στη στήλη Β σχέσεις μεταξύ των πλευρών του. Να αντιστοιχήσετε σε κάθε γωνία της στήλης Α την αντίστοιχη σχέση από τη στήλη Β. στήλη Α στήλη Β 1. Α = 90 Α. β = α - γ Β. α < β + γ. Α < 90. α > β + γ 3. Β = 90 Δ. α + γ = β Ε. γ - β > α 4. Β < 90 Ζ. β < γ + α Η. γ = α + β

20 3. * Από κάθε σχήμα της στήλης Α προκύπτει μια σχέση της στήλης Β. Να αντιστοιχήσετε κάθε σχήμα της στήλης Α με την αντίστοιχη σχέση της στήλης Β. στήλη Α στήλη Β 1. Α. Δ = ΑΔ.ΔΒ + ΑΒ.Β Β. ΑΔ + ΒΔ = ΑΕ + ΕΒ. ΑΒ = ΑΔ + ΒΔ + ΒΔ.ΑΔ. Δ. Α - Β = ΑΔ - ΒΔ Ε. ΑΒ = Β + Α + Β.Δ 3. Ζ. ΑΔ + Δ = ΑΕ + Ε 1 3 0

21 4. * Στο επίπεδο του κύκλου (Ο, R) παίρνουμε σημείο Σ που απέχει απόσταση δ από το κέντρο Ο του κύκλου. Φέρνουμε από το σημείο Σ ευθεία που τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α και Β. Να αντιστοιχήσετε κάθε θέση του σημείου Σ που περιγράφεται στη στήλη Α με την αντίστοιχη τιμή του γινομένου ΣΑ ΣΒ που βρίσκεται στη στήλη Β. στήλη Α στήλη Β Το σημείο είναι: Τιμή του γινομένου ΣΑ ΣΒ 1. εσωτερικό του κύκλου Α. δ - R Β. R - δ. εξωτερικό του κύκλου πάνω στο κέντρο Δ. δ Ε. R 4. πάνω στον κύκλο Ζ. R + δ

22 Ερωτήσεις συμπλήρωσης 1. * Με βάση το διπλανό σχήμα, όπου ΑΗ A ύψος και ΑΜ διάμεσος του τριγώνου ΑΒ, να συμπληρωθούν οι ισότητες: i. Α = ΑΜ + Μ + Μ... ii. ΑΜ = ΑΗ + iii. Α - ΑΒ = B H M iv. ΑΜ = Α + ΑΒ.... * ια το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ του σχήματος να συμπληρωθεί ο πίνακας: Δ ΑΒ 3 Α 4 Β Δ ΔΒ ΑΔ A B

23 3. * ια το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ του σχήματος να συμπληρωθεί ο πίνακας: Δ A B Δ 4 Α 8 Β ΑΒ ΔΒ ΑΔ 4. * Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ισότητες σύμφωνα με το διπλανό σχήμα: B Δ i. ΑΒ = ΒΔ ii. Α = Β A iii. ΑΔ = iv. Α ΑΒ = v. Β = ( ) + ( ) 5. * Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ισότητες σύμφωνα με το διπλανό σχήμα: B Δ Μ i. ΑΒ + Α = ΑΜ + ii. Α = Δ + A iii. Α = Δ iv. ΑΔ = ΒΔ v. ΑΔ = Α - vi. ΑΜ = ΑΔ + vii. ΑΜ = ΑΒ + Α - 3

24 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ με κορυφή το Α, έχουμε Β = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΔ ισχύει ΑΒ + Α = +. Να υπολογίσετε: i. Την πλευρά ΑΒ ii. Τη διαγώνιο Α 3. ** Ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( A = 90 ) είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, r). Αν η πλευρά ΑΒ = 16 cm και η ακτίνα r = 4 cm, να υπολογίσετε: i. Την πλευρά Β του τριγώνου ii. Την πλευρά Α του τριγώνου 4. ** Ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒ έχει ύψος ΑΗ. Αν ισχύει Β - ΑΗ = 1 cm, να υπολογίσετε: i. Την πλευρά του ii. Το ύψος του υ 5. ** Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει α = β + γ, να δείξετε ότι το τρίγωνο με πλευρές 5α, 5β, 5γ είναι τρίγωνο ορθογώνιο. 6. ** Η διαφορά των τετραγώνων των δύο πλευρών τριγώνου ισούται με τη διαφορά των τετραγώνων των προβολών τους πάνω στην τρίτη πλευρά. 4

25 7. ** Στο διπλανό σχήμα η ΑΒ είναι διάμετρος Δ του κύκλου και η ΑΔ τυχαία χορδή του. Να δείξετε ότι η ΑΔ είναι μέση ανάλογος της διαμέ- A B τρου ΑΒ και της προβολής της πάνω στη διάμετρο ΑΒ. 8. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ φέρνουμε το ύψος ΒΔ. Να δείξετε ότι: (ΑΒ) + (Β) + (Α) = (Δ) + (ΑΔ) + 3 (ΒΔ). 9. ** Δύο κύκλοι με ακτίνες α και 4α εφάπτο- Β νται εξωτερικά, όπως στο σχήμα. Αν ΑΒ είναι η κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων: A i. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΚΛΒ είναι τραπέζιο. Κ α 4α Λ ii. Να υπολογίσετε το μήκος ΑΒ συναρτήσει του α. 10. ** Δίνεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α. Να υπολογίσετε συναρτήσει του α: i. Tο ύψος του υ ii. Tο ύψος υ του ισόπλευρου τριγώνου, που η πλευρά του είναι ίση με το ύψος υ του πρώτου τριγώνου. 11. ** Η περίμετρος ενός ρόμβου είναι 84 m. Να υπολογιστούν οι διαγώνιοί του, αν γνωρίζουμε ότι η μία είναι τα 5 3 της άλλης. 5

26 1. ** Στο τραπέζιο ΑΒΔ του διπλανού σχήματος Μ και Ν είναι τα μέσα των διαγωνίων του Α και ΒΔ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: E i. ΜΝ = ii. Β - ΑΔ = 4ΜΝ. A Δ Ν Μ B Ε 13. ** Στο ισοσκελές τραπέζιο ΚΛΜΝ να δείξετε: i. ΖΝ = ΗΜ ii. ΚΜ - ΚΝ = ΚΛ ΜΝ Κ Λ Ν Æ Η Μ 14. ** Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( A = 90 ) η ΑΒ = 4 3 Α. Αν ΑΔ είναι το ύψος του τριγώνου, να δείξετε ότι ΔΒ = 16 9 Δ. 15. ** Έστω Δ τυχαίο σημείο στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου ΑΒ του διπλανού σχήματος. Η κάθετη στο Δ τέμνει την ΑΒ στο Ε και την προέκτασή της Α στο Ζ. Αν Κ σημείο της ΔΖ τέτοιο ώστε Κ Ε Ζ A Β K = 90, να δείξετε: i. ΔΚ = ΔΒ Δ ii. ΔΚ = ΔΖ ΔΕ B Δ 6

27 A 16. ** Σ ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ η βάση του Β και το ύψος του ΑΔ έχουν το ίδιο μήκος 8 cm. Να υπολογιστεί η ακτίνα R του περιγεγραμμένου του κύκλου. B Δ O 17. ** Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ με Β = A, να δείξετε ότι = 3. ΑΒ 18. ** Στην προέκταση της πλευράς ΑΒ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒ παίρνουμε ΔΒ = ΑΒ. Φέρνουμε το ύψος Ε. Αν ισχύει ΑΒ = 4ΒΕ, να δείξετε ότι Δ = Β + 3 Α. 19. ** Να υπολογίσετε την απόσταση ΚΛ της τσιμεντένιας σκάλας, αν το πλάτος κάθε σκαλοπατιού είναι 40 cm και το ύψος του 30 cm. Κ Μ Λ Α x  0. ** Να υπολογίσετε (σε ίντσες) την πλευρά τετράγωνης οθόνης τηλεόρασης 4 ιντσών. x 4 ί ν τσες Δ Σημείωση: Με την έκφραση «τηλεόραση α ιντσών» εννοούμε ότι η διαγώνιος της ο- θόνης είναι α ίντσες. 7

28 1. ** Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒ (ως προς τις γωνίες του) του οποίου οι πλευρές γ, β, α, είναι ανάλογες προς τους αριθμούς 4, 5 και 6 αντιστοίχως. Αν ΑΔ είναι η προβολή της πλευράς γ πάνω στη β, να δείξετε ότι ΑΔ = α + β + γ. 30. ** Ένα τρίγωνο έχει πλευρές με μήκη, 1 + 3, 6. Να δείξετε ότι η γωνία που βρίσκεται απέναντι από την πλευρά με μήκος 6 είναι ** Ενός τριγώνου ΑΒ τα μήκη των πλευρών του είναι 5 cm, 3 cm και 7 cm. i. Να προσδιοριστεί το είδος του ως προς τις γωνίες του. ii. Να υπολογιστεί σε μοίρες η γωνία του τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά του. 4. ** Στη βάση Β ισοσκελούς τριγώνου ΑΒ με ΑΒ = Α = 11 παίρνουμε σημείο Δ, τέτοιο ώστε να είναι ΒΔ = 3 και Δ = 7. Να υπολογίσετε το ΑΔ. 5. ** Να βρείτε το είδος του τριγώνου αν έχει διαμέσους με μήκη 3, 4, ** Σε τρίγωνο ΑΒ με Α > ΑΒ και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Η - ΗΒ = Α - ΑΒ. 7. ** Αν κ, λ, κ + λ - κλ είναι τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου, να υπολογιστεί σε μοίρες η γωνία που βρίσκεται απέναντι από την πλευρά που έχει μήκος κ + λ - κλ. 8. ** Σε τρίγωνο ΑΒ να αποδείξετε ότι αν μ β < μ γ, τότε β > γ. 8

29 9. ** Σε τρίγωνο ΑΒ είναι A = 10. Αν ΒΔ είναι το ύψος του, τότε να δείξετε ότι: γ i. ΑΔ = ii. α = β + γ + βγ 30. ** Οι πλευρές ενός τριγώνου ΑΒ είναι: ΑΒ = 3 cm, Β = 5 cm, Α = 7 cm. i. Να δείξετε ότι η γωνία Β είναι αμβλεία. ii. Να υπολογίσετε την προβολή ΒΔ της πλευράς ΑΒ πάνω στη Β. iii. Να υπολογίσετε τη γωνία Β. 31. ** ια τις βάσεις ΑΒ και Δ τραπεζίου ΑΒΔ έχουμε Δ = ΑΒ. Να δείξετε ότι Α + ΒΔ = Β + Δ + ΔΑ. 3. ** Σε κύκλο (Κ, R) παίρνουμε σημείο Μ μιας χορδής ΑΒ. Να δείξετε ότι ΚΜ + ΜΑ ΜΒ = R. 33. Με εφαρμογή του θεωρήματος των διαμέσων στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( A = 90 ) να αποδείξετε ότι: μ α = α. 34. ** Με εφαρμογή του θεωρήματος των διαμέσων στο ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α να αποδείξετε ότι το ύψος του ισούται με α ** Θεωρούμε το τρίγωνο ΑΒ και τη διάμεσό του ΑΜ. Παίρνουμε το μέσο Λ του ΒΜ και το μέσο Ν του Μ. Αν είναι ΑΒ = γ, Α = β, Β = α, ΑΛ = ν και ΑΝ = λ, να αποδείξετε ότι: β + γ = ν + λ + 3α 8. 9

30 36. ** Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών ενός τετραπλεύρου είναι μεγαλύτερο ή ίσο από το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων του. 37. ** Σε τρίγωνο ΑΒ παίρνουμε πάνω στη βάση του Β τα σημεία Δ και Ε ώστε ΒΔ = ΔΕ = Ε. Να δείξετε ότι: ΑΒ + Α = 3ΑΕ + 6ΔΕ. 38. ** Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( A = 90 ) να δειχθεί ότι: i. α + β + γ = 8μ α ii. μ β + μ γ = 5μ α 39. ** Αν σε τρίγωνο ΑΒ οι διάμεσοι μ β και μ γ τέμνονται κάθετα, να δείξετε ότι: β + γ = 5α. 40. ** Το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο με A = 90 και το G είναι το κέντρο βάρους του. Να αποδείξετε ότι: i. μ α + μ β + μ γ = 3 α ii. GA + GB + G = 3 α 41. ** Αν μ β + μ γ = 5μ α, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με διαμέσους μ α, μ β, μ γ είναι ορθογώνιο. 4. ** Αν α, β, γ, δ είναι διαδοχικές πλευρές του τετραπλεύρου ΑΒΔ με α > β, γ > δ, να αποδείξετε ότι η διαφορά (α + γ ) - (β + δ ) ισούται με το διπλάσιο της μιας διαγωνίου επί την προβολή της άλλης πάνω σ αυτήν. 30

31 43. ** ια κάθε τρίγωνο ΑΒ να αποδείξετε ότι: 16 (μ α μ β + μ β μ γ + μ α μ γ ) = 9 (α β + β γ + γ α ) 44. ** Δίνεται το τρίγωνο ΑΒ με ΑΒ = Α. Προεκτείνουμε την πλευρά Β κατά ευθύγραμμο τμήμα Δ = Β. Να αποδείξετε ότι: ΑΔ = Α + Β. 45. ** Δίνεται το τρίγωνο ΑΒ με ΑΒ = Α και τη γωνία του Α αμβλεία. Να αποδείξετε ότι: Β = Α Δ, όπου Δ η προβολή του Β πάνω στην Α. 46. ** Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( A = 90 ). Φέρνουμε τη διάμεσο ΑΜ και προς την ΑΜ στο σημείο Μ κάθετη ευθεία που τέμνει την Α στο Σ. Να αποδείξετε ότι: ΣΒ + Σ = ΣΑ. 47. ** Δίνεται τρίγωνο ΑΒ και η διάμεσός του ΑΜ. Στην προέκταση της Β παίρνουμε σημείο Ε, ώστε Ε = α. Να αποδείξετε ότι: ΑΕ = 3β + γ - 3 μ α. 48. ** Θεωρούμε κύκλο (Ο, R), μια διάμετρό του ΑΒ και τα σημεία και Δ της ΑΒ ώστε Ο = ΟΔ = δ. Αν Ρ είναι τυχαίο σημείο του κύκλου (Ο, R) και Ε, Ζ οι τομές των Ρ και ΡΔ αντιστοίχως με τον κύκλο, να αποδείξετε ότι: i. ΔΖ = R - δ ΔΡ ii. Ρ Ε + ΔΡ ΔΖ = σταθερό. και Ε = R - δ Ρ (δ < R) 49. ** Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( A = 90 ). Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΒ κατά ευθύγραμμο τμήμα ΒΔ = Β. Να αποδείξετε ότι: Δ = Β ΑΔ. 31

32 50. ** Σε κύκλο (Ο, R) είναι εγγεγραμμένο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ = Α). Από το Α φέρνουμε τυχούσα ευθεία η οποία τέμνει την Β στο Δ και τον κύκλο στο Ε. Να δείξετε ότι: i. ΑΒ = ΑΔ ΑΕ ii. ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία Β, Δ, Ε εφάπτεται στην ΑΒ. 51. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 15 cm παίρνουμε σημείο που απέχει από το κέντρο 10 cm. Μια χορδή ΑΒ διέρχεται από το και είναι Α = 3Β. Να βρεθεί το μήκος της χορδής. 5. ** Από σημείο Ρ εκτός κύκλου φέρνουμε την εφαπτόμενη ΡΑ και την τέμνουσα ΡΒ του κύκλου. Να δειχθεί ότι: i. Το τρίγωνο ΡΑΒ είναι όμοιο με το τρίγωνο ΡΑ. ii. ΑB Α = PB P 53. ** Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒ φέρνουμε τα ύψη ΑΔ, ΒΕ που τέμνονται στο Η. i. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΕΔΒ είναι εγγράψιμο σε κύκλο. ii. Να δείξετε ότι ΑΒ = ΒΗ ΒΕ + ΑΗ ΑΔ. 54. ** Με πλευρά τη χορδή ΑΒ = α κύκλου (Ο, R) κατασκευάζουμε τετράγωνο ΑΒΔ που η πλευρά του Β δεν έχει σημείο εσωτερικό του κύκλου. Αν το εφαπτόμενο τμήμα Ε του κύκλου είναι Ε = α, να βρείτε το R. 55. ** Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΔ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν τα ΑΒ και Δ τέμνονται στο Ρ και ΡΑ = 9 cm, ΡΒ = 10 cm, Ρ = 15 cm, να υπολογιστεί η πλευρά Δ και η εφαπτόμενη ΡΣ του κύκλου. 3

33 56. ** Δυο κύκλοι λέγονται ορθογώνιοι ή ότι τέμνονται κάθετα, όταν η γωνία των εφαπτομένων τους σ ένα από τα σημεία τομής τους είναι ορθή. Να α- ποδείξετε ότι: i. Αναγκαία και ικανή συνθήκη για να τέμνονται δύο κύκλοι κάθετα είναι το τετράγωνο της διακέντρου τους να είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ακτίνων τους. ii. Αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι δύο κύκλοι (Ο 1, R 1 ) και (Ο, R ) ορθογώνιοι είναι: η δύναμη του κέντρου του Ο 1 ως προς τον κύκλο Ο να ισούται με το τετράγωνο της ακτίνας του Ο 1, δηλαδή: Ο Δ (Ο, R ) 1 = R ** Θεωρούμε κύκλο (Ο, R), μια σταθερή διάμετρό του ΑΒ και μια σταθερή ευθεία ε ΑΒ. Αν η ευθεία ε τέμνει τυχαία χορδή Α του κύκλου στο σημείο Σ, να αποδείξετε ότι: ΑΣ Α = σταθερό. 58. ** Θεωρούμε κύκλο (Ο, R), μια διάμετρο αυτού ΑΒ και ένα σημείο Ρ στην προέκταση της ΒΑ. Φέρνουμε την εφαπτομένη Ρ και την κάθετη στο Ρ προς την ΑΒ που τέμνει τη Β στο Δ. Να αποδείξετε ότι: ΡΒ = Ρ + Β ΒΔ. 59. ** Να αποδείξετε ότι τα σημεία που ισαπέχουν απ το κέντρο του κύκλου, έχουν την ίδια δύναμη ως προς τον κύκλο αυτό. 60. ** Θεωρούμε κύκλο (Ο, R) και μια διάμετρό του ΑΒ. ράφουμε μια χορδή Δ του κύκλου που τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ε έτσι ώστε Α E Δ = 45. Να αποδείξετε ότι: ΑΕ ΕΒ + ΟΖ = R, όπου Ζ η προβολή του Ο στην Δ. 61. ** Δυο κύκλοι (Ο, R) και (Ο, R ) τέμνονται στα σημεία Α και Β. Να αποδείξετε ότι τα εφαπτόμενα τμήματα, που γράφονται από τυχαίο σημείο της προέκτασης του ΑΒ προς τους δύο κύκλους είναι ίσα. 33

34 6. ** Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒ και τον περιγεγραμμένο του κύκλο. Η διάμεσος του τριγώνου ΑΜ προεκτεινόμενη τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ε. i. Να υπολογίσετε το γινόμενο ΑΜ ΜΕ συναρτήσει του α. ii. Να υπολογίσετε το γινόμενο ΑΜ ΜΕ συναρτήσει των β, γ και του μ α. 63. ** Δίνεται κύκλος με κέντρο Κ και ακτίνα R. Μέσα στον κύκλο παίρνουμε σταθερό σημείο Α και κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ με υποτείνουσα τη χορδή Β. Αν Μ είναι το μέσο της μεταβλητής της υποτείνουσας Β και Δ το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΚΑ, να δείξετε ότι: i. ΑΜ + ΚΜ = R ii. ΜΔ = σταθερό 64. ** Επί ενός κύκλου λαμβάνουμε τα σημεία Α, Β, και Δ. Τα ευθύγραμμα τμήματα ή οι φορείς που ορίζουν τα τέσσερα αυτά σημεία τέμνονται το πολύ σε τρία σημεία. Να γράψετε όλες τις σχέσεις, που συνδέουν τις αποστάσεις των σημείων τομής από τα σημεία Α, Β,, Δ. 65. ** Με κέντρο το σημείο τομής των διαγωνίων παραλληλογράμμου ΑΒΔ γράφουμε κύκλο τυχαίας ακτίνας. Αν Ρ σημείο του κύκλου, να δείξετε ότι: ΡΑ + ΡΒ + Ρ + ΡΔ = σταθερό. 34

35 ΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ - ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ (με τη χρήση αβαθμολόγητου χάρακα και διαβήτη) 1. ** Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ που έχουν την ιδιότητα ΜΑ + ΜΒ = 50λ, όταν τα Α και Β είναι σταθερά σημεία, ώστε ΑΒ = 6λ, όπου λ δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα.. ** Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ, που έχουν την ιδιότητα ΜΑ - ΜΒ = λ όταν ΑΒ = λ (Α, Β σταθερά). 3. ** Να βρεθεί σημείο Ρ του τόξου μιας χορδής ΑΒ ώστε να είναι: ΡA PΒ = μ ν. 4. ** Να κατασκευασθεί το ευθύγραμμο τμήμα x ώστε x = α + β, όταν α, β είναι δεδομένα ευθύγραμμα τμήματα. 5. ** Να λυθεί γεωμετρικά το σύστημα: x + y = 6. xy = 8 6. ** Δίνονται δύο σημεία Α και Β εκτός της ευθείας ε, η ευθεία ε και ο λόγος μ MA. Να βρεθούν τα σημεία Μ της ευθείας ε, ώστε να είναι ν MB = μ ν. 7. ** Δίνονται δύο σταθερά σημεία Α και Β εκτός της ευθείας ε και η ευθεία ε. Να βρεθεί σημείο Μ της ευθείας ε, ώστε το άθροισμα ΜΑ + ΜΒ να είναι ελάχιστο. 35

36 36

37 ΣΧΕΔΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 9ο : Μετρικές Σχέσεις)

38 Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαμόρφωσής τους σε ενιαία θέματα, επιλογής ή τροποποίησης των θεμάτων, ανάλογα με τις διδακτικές ανάγκες του συγκεκριμένου τμήματος στο οποίο απευθύνεται. 38

39 1ο Σχέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή Διδακτική ενότητα: Μετρικές Σχέσεις ΘΕΜΑ 1ο Α. ια το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ του σχήματος, στο οποίο η ΑΔ είναι ύψος και η ΑΜ B Δ Μ διάμεσος, ισχύει: i. ΑΒ = Β ΒΔ A Σ Λ ii. ΑΒ = ΑΜ + Β - Α Σ Λ iii. ΑΒ = ΑΜ + ΒΜ Σ Λ iv. ΑΒ = Β - Α Σ Λ v. ΑΒ = ΒΔ + ΑΔ Σ Λ vi. ΑΒ Β = + ΒΜ 4 Β. Να αποδείξετε μία σωστή σχέση από τις παραπάνω. Σ Λ ΘΕΜΑ ο Δίνεται το τρίγωνο ΑΒ με ΑΒ = Α και τη γωνία του Α αμβλεία. Αν Δ είναι η προβολή του Β πάνω στην Α, να αποδείξετε ότι Β = Α Δ. 39

40 ο Σχέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή Διδακτική ενότητα: Μετρικές Σχέσεις ΘΕΜΑ 1ο Α. Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ισότητες σύμφωνα με το διπλανό σχήμα: B Δ Μ i. ΑΒ + Α = ΑΜ + ii. Α = Δ + A iii. Α = Δ iv. ΑΔ = ΒΔ v. ΑΔ = Α - vi. ΑΜ = ΑΔ + vii. ΑΜ = ΑΒ + Α - Β. Να αποδείξετε την πρώτη σχέση από τις παραπάνω. ΘΕΜΑ ο Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΔ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν τα ΑΒ και Δ τέμνονται στο Ρ και ΡΑ = 9 cm, PB = 10 cm, Ρ = 15 cm, να υπολογιστούν: i. η πλευρά Δ ii. η εφαπτομένη ΡΣ του κύκλου. 40

41 3ο Σχέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή Διδακτική ενότητα: Μετρικές Σχέσεις ΘΕΜΑ 1ο Α. Δίνεται κύκλος ακτίνας ΟΑ = 6 cm, εφαπτόμενο τμήμα του ΡΑ = 8 cm και μεταβλητή τέμνουσα ΡΒ. Να βρείτε ποιο από τα παρακάτω ζεύγη δεν ταιριάζει: i. x = 6 και y = 3 3 ii. x = και y = 3 iii. x = 4 και y = 16 iv. x = 5 και y = 1,8 v. x = 7 και y = 64 7 B. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( A = 90 ) είναι: i. β + γ = μ α ii. β + γ = μ α B γ μ α α iii. β + γ = 3μ α iv. β + γ = 4μ α A β v. β + γ = 5μ α 41

42 ΘΕΜΑ ο Από τη διασταύρωση Σ δύο δρόμων ξεκινούν 4 άτομα με κατευθύνσεις τα σημεία Α, Β,, Δ και αντίστοιχες ταχύτητες, 9, 3 και 6 km/h. Μετά από μία ώρα (1 h) σταματούν στις θέσεις Α 1, Β 1, 1, Δ 1 αντίστοιχα. i. Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο του επιπέδου από το οποίο τα 4 άτομα ι- σαπέχουν. ii. Να προσδιορίσετε το σημείο αυτό. iii. Να δείξετε ότι μετά από ν ώρες (ν h) για τις θέσεις Α ν, Β ν, ν, Δ ν υπάρχει άλλο σημείο από το οποίο ισαπέχουν. iv. Αν Λ είναι η θέση του σημείου από το οποίο ισαπέχουν μετά από ν ώρες (ν h) και R η κοινή απόσταση, τότε ΣΛ = R - 18ν. (Δίνεται: Διανυόμενο διάστημα = ταχύτητα. χρόνος) 4

43 4ο Σχέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή Διδακτική ενότητα: Μετρικές Σχέσεις ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε το παρακάτω θεώρημα: «Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου, είναι ίση με το διπλάσιο γινόμενο της τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαμέσου πάνω σ αυτήν». Β. Ενός τριγώνου ΑΒ τα μήκη των πλευρών του είναι: ΑΒ = λ, Α = λ, Β = λ 3. Να βρεθούν συναρτήσει του λ: i. το μήκος της προβολής της διαμέσου ΑΜ στη Β ii. το μήκος της προβολής της διαμέσου ΒΝ στην Α ΘΕΜΑ ο Κάθε είδος τριγώνου της στήλης Α έχει για πλευρές μια τριάδα που τα μήκη τους είναι στη στήλη Β. Να συνδέσετε με μια γραμμή κάθε είδος τριγώνου με την αντίστοιχη τριάδα. στήλη Α στήλη Β Είδος τριγώνου Μήκη ευθυγράμμων τμημάτων οξυγώνιο, 3, 4 ορθογώνιο, 3, 5 6, 8, 10 αμβλυγώνιο 3, 6, 10 16, 10, 14 43

44 44

45 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

46 46

47 Κεφάλαιο 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1.. i. Λ 3. i. Σ 4. Σ 13. Λ. Λ ii. Λ ii. Σ 5. Σ 14. Σ 3. Σ iii. Σ iii. Λ 6. Σ 15. Λ 4. Λ i. Σ iv. Σ 7. Λ 16. Σ 5. Σ ii. Λ v. Σ 8. Λ 17. Σ 6. Λ iii. Σ vi. Λ 9. Σ 18. Σ 7. Σ iv. Λ 10. Σ 19. Λ 8. Σ v. Λ 11. Λ 0. Σ 9. Λ vi. Σ 1. Λ 1. Σ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. iii 7. i 13. ii 19. ii. iii 8. iv 14. v 0. v 3. iv 9. ii 15. iv 1. ii 4. v 10. iv 16. v. ii 5. iii 11. iii 17. ii 3. ii 6. v 1. iv 18. i 4. i 47

48 Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. 1 Δ. 1 Α Ε Β 3 3 Δ 4 Α 4 Ζ 3. 1 Δ 4. 1 Β Β Α 3 Ζ 3 Ε 4 Ερωτήσεις συμπλήρωσης 1. i. Α = ΑΜ + Μ + Μ ΗΜ ii. ΑΜ = ΑΗ + ΗΜ iii. Α - ΑΒ = Β ΗΜ iv. ΑΜ = Α + ΑΒ - Β. ΑΒ 3 Α 4 Β 5 Δ 3, ΔΒ 1,8 ΑΔ,4 48

49 3. Δ 4 Α 8 Β 16 ΑΒ 8 3 ΔΒ 1 ΑΔ i. ΑΒ = ΒΔ Β ii. Α = Β Δ iii. ΑΔ = ΒΔ Δ iv. Α ΑΒ = Β ΑΔ v. Β = ΑΒ + Α 5. i. ΑΒ + Α = ΑΜ + ii. Α = Δ + ΑΔ Β iii. Α = Δ Β iv. ΑΔ = ΒΔ Δ v. ΑΔ = Α - Δ vi. ΑΜ = ΑΔ + ΔΜ vii.αμ = ΑΒ + Α Β - 49

50 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. i. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΗ, με ε- A φαρμογή του Πυθαγορείου Θεωρήματος, έχουμε: ΑΗ = Α - Η = 7 - = 49-4 = 45. Άρα ΑΗ = 45 = 3 5cm. ii. ια το τρίγωνο ΑΒ έχουμε: K (ΑΒ) = ΒΚ = Β ΑΗ Β ΑΗ Α = Α ΒK, άρα B H 4 3 ΒΚ = 7 5 = cm. i. Υπολογισμός της πλευράς ΑΒ: Δ Έχουμε: ΑΒ + Α = + ή ΑΒ + ΑΒ = + ΑΒ (1 + ) = + ΑΒ = ΑΒ = ( + 1+ ( + (1+ ) ) ( ) ( -1) -1) A B ΑΒ = ( + ) ( -1-1) ΑΒ = ( + ) ( -1) = ii. Υπολογισμός της πλευράς Α: Από την αρχική σχέση έχουμε: ΑΒ + Α = + ή Α = + - ΑΒ Άρα Α = + - Α = 50

51 3. Είναι ΖΟ ΑΒ, ΟΗ Α ΖΟ = ΟΗ = 4 cm, ΑΖ = 4 cm Άρα ΒΖ = 1 cm, άρα ΒΘ = 1 cm Αν Θ = x, τότε Η = x Με εφαρμογή του Πυθαγορείου Θεωρήματος στο τρίγωνο ΑΒ και με δεδομένο ότι ΑΒ = 16, Α = 4 + x, Β = x + 1, έχουμε: ΑΒ + Α = Β 16 + (4 + x) = (x + 1) x + x = x + 4x x - 8x = x = 18 Ζ Β Α Η Ο Θ x x 18 x =, άρα x = 8 16 Άρα i. Β = = 0 cm ii. Α = = 1 cm 4. i. Αν α η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου, με εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος στο τρίγωνο ΑΗ έχουμε: α 3 ΑΗ =. Άρα η σχέση Β - ΑΗ = 1 cm γράφεται α - α 3 = 1. Άρα: 3 1 α (1 - ) = 1 ή α = - 3 Άρα α = 4 ( + 3) cm ii. υ = α 3. Άρα υ = 1 ( 3 + 3) cm. 4 ( + = 3) B A H = 1 ( + 3 ) 3 cm = 51

52 5. (5β) + (5γ) = 5β + 5γ = 5 (β + γ ) = 5α = (5α) Άρα το τρίγωνο με πλευρές 5α, 5β, 5γ είναι ορθογώνιο. 6. Έστω Α > ΑΒ. Φέρνουμε το ύψος ΑΗ A και έχουμε: Α - ΑΒ = (ΑΗ + Η ) - (ΑΗ + ΒΗ ) = Η - ΗΒ Σημείωση: Τρίγωνο ΑΗ ορθογώνιο, άρα Α = ΑΗ + Η Τρίγωνο ΑΗΒ ορθογώνιο, άρα ΑΒ = ΑΗ + ΗΒ B H 7. Πρέπει να δείξουμε ότι ΑΔ = ΑΒ ΑΖ. Φέρνουμε Δ την ΔΒ. Το τρίγωνο ΑΔΒ είναι ορθογώνιο στο Δ. Άρα από το ΑΔΒ τρίγωνο, έχουμε: ΑΔ = ΑΒ ΑΖ (Το τετράγωνο μιας καθέτου πλευράς ορθογωνί- A O Z B ου τριγώνου ισούται με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πάνω στην υποτείνουσα). 8. Το τρίγωνο ΑΔΒ είναι ορθογώνιο, άρα ΑΒ = ΑΔ + ΒΔ Το τρίγωνο ΒΔ είναι ορθογώνιο, άρα Β = ΒΔ + Δ Το τρίγωνο ΑΒ είναι ισοσκελές, άρα Α = ΑΒ = ΑΔ + ΒΔ Άρα A Δ B ΑΒ + Β + Α = ΑΔ + ΒΔ + ΒΔ + Δ + ΑΔ + ΒΔ = Δ + ΑΔ + 3ΒΔ 5

53 ΑΚ AB 9. i., άρα ΑΚ // ΒΛ, άρα ΒΛ ΑΒ ΑΒΛΚ τραπέζιο ii. Φέρνουμε ΚΖ // ΑΒ, ΚΖ = ΑΒ (ΑΚΖΒ ορθογώνιο παραλληλόγραμμο). Το τρίγωνο ΚΖΛ είναι ορθογώνιο στο Ζ. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: Β Ζ A ΚΖ = ΚΛ - ΖΛ ή ΚΖ = (5α) - (3α) = 5α - 9α = 16α ΚΖ = 4α, ΚΖ = ΑΒ = 4α Κ α 4α Λ 10. Το ΑΒ είναι ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά α. i. υ = ii. υ = α 3 υ 3 (ύψος ισοπλεύρου τριγώνου) α 3 = 3 ή υ = 3α 4 υ A B Δ Έστω Α = δ 1, ΒΔ = δ και Β = = 1 cm 4 Ισχύει: δ = 5 3 δ1 (1) δ 1 Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΟ έχουμε: δ δ1 + = 1 () Δ Ο δ Β Με λύση του συστήματος των (1) και () έχουμε: Α 53

54 3 δ 5 1 δ1 + 34δ 1 = δ 1 = δ 1 = = 1 ή = Άρα δ = δ1 = δ 1 + δ 1 = ή 5 34 cm 34 = = 34 δ 1 = cm 1. i. Φέρνουμε ΒΕ Δ. A B Η ευθεία ΜΝ διέρχεται και από το μέσον της πλευράς ΑΔ. Ζ Ν Μ Δ ΑΒ Άρα ΖΜ =, ΖΝ = και ΜΝ = ΖΜ - ΖΝ, άρα Δ Ε ΜΝ = Δ - ΑΒ = Δ - ΔΕ = Ε (1) ii. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΕ έχουμε: Β = ΒΕ + Ε = ΑΔ + Ε ή Β - ΑΔ = Ε () Aπό την (1) έχουμε: Ε = ΜΝ ή Ε = 4ΜΝ (3) Aπό () και (3) έχουμε: Β - ΑΔ = 4ΜΝ 54

55 13. i. Από την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων ΚΖΝ, ΛΗΜ έχουμε ΖΝ = ΗΜ. ii. Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΚΖΜ, ΚΖΝ έχουμε: ΚΜ = ΚΖ + ΖΜ (1) ΚΝ = ΚΖ + ΖΝ () Κ Λ Ν Ζ Η Μ Με αφαίρεση των (1) και () κατά μέλη έχουμε: ΚΜ - ΚΝ = ΖΜ - ΖΝ = (ΖΜ + ΖΝ) (ΖΜ - ΖΝ) = ΜΝ ΖΗ = ΝΜ ΚΛ 3 AB ΑΒ = Α, άρα = 4 A 4 B (AB) Αλλά (A) BΔ =, άρα Δ Δ BΔ 3 9 = Δ = 4 16 A 15. i. Το ΔΚ είναι ύψος στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΚ. Ζ Άρα ΔΚ = ΔΒ Δ ii. Αρκεί να δείξουμε ΔΒ Δ = ΔΖ ΔΕ ή Κ Ε A ΔB ΔZ = ΔE Δ Τα τρίγωνα ΒΔΕ, ΖΔ είναι ορθογώνια και Ε B Δ = Δ (έχουν κάθετες πλευρές). Z B Δ Συνεπώς Β Δ ΔΕ Ζ Δ Δ. Άρα ΔΒ Δ = ΔΖ ΔΕ 55

56 16. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ ισχύει Β = ΑΔ = 8 cm. A Tο κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου είναι πάνω στην ΑΔ. Προεκτείνουμε την ΑΔ και έστω Ε το σημείο τομής της με τον περιγεγραμμένο κύκλο. O Φέρουμε την ΒΕ. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΕ έχουμε ΒΔ = ΑΔ ΔΕ. Αλλά ΔΕ = ΑΕ - ΑΔ = R - 8. Άρα 4 = 8 (R - 8). Άρα R = 5 cm. B Δ E 17. Το ΑΒ είναι ορθογώνιο τρίγωνο. Α Αφού B =, έχουμε B = 60, = 30 B Δ M ΑΔ το ύψος και ΑΜ η διάμεσος του ΑΒ. A Δ B Άρα = (1) ΑΜ = = ΒΜ () AB ΔB Άρα το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ισόπλευρο (αφού B = 60 ). Άρα ΑΔ ύψος και διάμεσος για το ΑΒΜ. Άρα ΔΒ = BΜ Μ = (3) A ΔΜ + Άρα από (1), (3) έχουμε = = AB ΔBΜ ΔΒ + ΔΒ ΔB 3ΔΒ = = 3 ΔB 56

57 18. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΕΔ, έχουμε: Δ = ΔΕ + Ε 5AB = + Ε = 4 ΑΒ 3AB + + Ε (1) 4 Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΕΒ, έχουμε: Β = Ε + ΒΕ () Από (1) και () έχουμε: Δ = ΑΒ 9 + ΑΒ + Ε = ΑΒ AB ΑΒ + ΒΕ + Ε ΑΒ = Β + ΑΒ + 1 ΑΒ = Δ B Ε ΑΒ + Ε = A Β + 3 ΑΒ = Β + 3 Α 19. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΙΝ έχουμε: ΚΝ = ή ΚΝ = ή ΚΝ = 50 cm ΚΛ = cm ή ΚΛ = 650 cm Κ Μ Ι Ν Λ 57

58 Α x Β 0. Με Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε: x = 4 ή x = 88 ή x = 88 ή x 17 ίντσες x 4 ίντσες Δ 1. Αν α, β, γ οι πλευρές του τριγώνου A γ β α ΑΒ έχουμε: = = = κ. Τότε: γ = 4κ, β = 5κ, α = 6κ (1) Ισχύει: 36κ < 5κ + 16κ ή 36κ < 41κ, άρα το τρίγωνο ΑΒ είναι οξυγώνιο. Επίσης, με εφαρμογή του γενικευμένου Πυθαγορείου θεωρήματος στο τρίγωνο ΑΒ, έχουμε: B γ α Δ β α = β + γ - β ΑΔ ή 36κ = 5κ + 16κ - 5 κ ΑΔ ή - 5κ = - 10κ ΑΔ κ 15κ α + β + γ Άρα ΑΔ = ή ΑΔ = ή ΑΔ = (λόγω της (1))

59 . Έστω Β = 6, Α = 1 + 3, ΑΒ = A Όπως προκύπτει από τις σχέσεις των μηκών των πλευρών, το τρίγωνο ΑΒ είναι οξυγώνιο. Με εφαρμογή του γενικευμένου Πυθα- Δ γορείου θεωρήματος έχουμε: 1+ 3 ( 6) = (1 + 3) + - (1 + 3) ΑΔ 6 = (1 + 3) ΑΔ = - (1 + 3) ΑΔ B 6 - (1 + 3 ) = - (1 + 3) ΑΔ, άρα ΑΔ = 1 ΑΔ 1 Αλλά συνα = =. Άρα Α = 60. ΑΒ 3. i. Έχουμε: 7 > 5 + 3, 49 > 34, άρα το τρί- Δ 1 A γωνο ΑΒ είναι αμβλυγώνιο με αμβλεία τη γωνία A. B ii. Με εφαρμογή του γενικευμένου Πυθαγορείου θεωρήματος έχουμε: 7 = ΑΔ 49 = ΑΔ 15 = 10ΑΔ ή ΑΔ = 1,5 cm συν A 1 = 1,5 3 = 0,5 = 1, άρα A 1 = 60, άρα A = 10 59

60 4. Στο τρίγωνο ΑΒΔ, με εφαρμογή του γενι- A κευμένου Πυθαγορείου θεωρήματος, έχουμε: ΑΒ = ΑΔ + ΒΔ + ΒΔ ΔΜ 11 = x = x = x + 1, άρα x = 100, άρα x = 10 Άρα ΑΔ = 10 B 11 x 3 Δ M μ μ μ μ α β γ β = α = α = α β + γ + γ 4 + γ 4 + β 4 - α - β. Έστω μ α = 5, μ β = 3, μ γ = 4. Θα είναι: - γ = μ μ ή β + γ - α = α + γ - β + α + β - γ ή β + γ = 5α > α, τότε A < 90. Παρόμοια βρίσκουμε B < 90 ή < Έστω το Μ μέσον της Β. Στο τρίγωνο ΒΗ με εφαρμογή του ου θεωρήματος διαμέσων έχουμε: Η - ΗΒ = Β ΔΜ (1) Ομοίως στο τρίγωνο ΑΒ έ- χουμε: Α - ΑΒ = Β ΔΜ () A H B Δ Από (1) και () έχουμε: Η - ΗΒ = Α - ΑΒ M 60

61 7. Είναι: κ + λ - κλ < κ + λ. Άρα η γωνία που είναι απέναντι από την πλευρά κ + λ - κλ είναι οξεία. Έχουμε: κ λ - κλ + = κ + λ - κ ΑΔ κ + λ - κλ = κ + λ - κ ΑΔ - κλ = - κ ΑΔ λ ΑΔ λ = ΑΔ ή ΑΔ =. Όμως συνα = = ΑB B λ A λ λ 1 Δ κ κ + λ - κλ ή συνα = 1, άρα A = Ισχύει μ β < μ γ, άρα μ β < μ γ. Άρα α + γ 4 -β < α + β 4 - γ ή 3γ < 3β ή γ < β. Άρα β > γ. 9. i. Ισχύει: α = β + γ + β ΑΔ (1) Στο τρίγωνο ΑΔΒ έχουμε: συνa 1 = AΔ γ γ Δ A 1 10 β συν60 = AΔ γ B α 1 AΔ γ =, άρα ΑΔ = () γ ii. Από (1) και () έχουμε: α = β + γ γ + β α = β + γ + βγ 61

62 30. i. 7 > δηλαδή β > α + γ, άρα A B αμβλεία ii. β = α + γ + α ΔΒ 7 = ΔΒ ή = 10ΔΒ ή ΔΒ = 1,5 7 ΔB 1, iii. συνb 1 = = AB 35 = 0,5. Δ 1 B Άρα Β 1 = 60, άρα B = Στο τρίγωνο ΑΔ με εφαρμογή του γενικευμένου Πυθαγορείου θεωρήματος έχουμε: Α = ΑΔ + Δ - Δ ΔΗ (1) Α Β Ομοίως στο τρίγωνο ΔΒ έχουμε: ΔΒ = Β + Δ - Δ Ε () Προσθέτουμε τις (1), (): Δ Η Ε Α + ΔΒ = ΑΔ + Δ - Δ ΔΗ + Β + Δ - Δ Ε = ΑΔ + Β + Δ - Δ (ΔΗ + Ε). Αλλά ΔΗ + Ε = ΑΒ = Δ. Άρα: Α + ΔΒ = ΑΔ + Β + Δ Δ Δ - ΑΔ + Β + Δ - Δ = ΑΔ + Β + Δ = 6

63 3. Στο τρίγωνο ΜΚΒ με εφαρμογή του γενικευμένου Πυθαγορείου θεωρήματος έχουμε: A Μ Ζ Β ΚΒ = ΜΚ + ΜΒ - ΜΒ ΜΖ R = ΜΚ + ΜΒ (ΜΒ - ΜΖ) Αλλά ΜΒ - ΜΖ = ΑΜ Κ Άρα R = ΜΚ + ΜΒ ΑΜ 33. Έχουμε: γ + β = μ + α α μ α = γ + β α - β α Μ μ α = α α - = α A γ B μ α = α α, άρα μ α = ΑΜ = μ α = υ α A ΑΒ + Α = μ + α Β α α μ α = α + α α - = α α - = Τότε: μ α = α 3 = υ α 3α B M α 63

64 35. Με εφαρμογή του 1ου θεωρή- A ματος διαμέσων στο Α B έ- χουμε: γ ν λ β β + γ = ΑΜ α + (1) Με εφαρμογή του θεωρήματος διαμέσων στο Α ΛΝ έχουμε: λ + ν = ΑΜ + ΛΝ. Τότε: ΑΜ = λ + ν ΛΝ - B Λ M Ν () Από (1) και () έχουμε: β + γ = λ + ν + = λ + ν + α - α = λ + ν + α - α - α ΛΝ = α, άρα β + γ = λ + ν + 8 3α Έστω Μ μέσον του ΒΔ και Ν μέσον του Α. Δ Στο τρίγωνο Α B Δ έχουμε: Μ ΑΒ + ΑΔ = ΑΜ + Β (1) Ν B Στο τρίγωνο Β Δ έχουμε: Δ + Β = Μ + Β () Με πρόσθεση κατά μέλη των (1) και () έχουμε: ΑΒ + ΑΔ + Δ + Β = (ΑΜ + Μ ) + ΒΔ = A (ΜΝ + Α ) + ΒΔ = 4ΜΝ + Α + ΒΔ Α + ΒΔ 64

65 A 37. Εφαρμόζουμε το 1ο θεώρημα διαμέσων στα τρίγωνα Α B Ε, Α Δ: ΑΒ + ΑΕ = ΑΔ + ΑΔ + Α = ΑΕ + ΒΕ (1) Δ ΑΔ + Α = 4ΑΕ + Δ () Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και (): ή B Δ Ε ΑΒ + ΑΕ + ΑΔ + Α = ΑΔ + 4ΑΕ + Δ + ΒΕ ή ΑΒ + Α = 3ΑΕ + Δ ΒΕ + (3) Αλλά: Δ = ΔΕ, ΒΕ = ΔΕ Άρα η (3) γίνεται: ΑΒ + Α = 3ΑΕ + 4ΔΕ + ΔΕ = 3ΑΕ + 6ΔΕ 38. i. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ισχύει: α + β + γ = α Άρα πρέπει να δειχθεί: α = 4 μ Αλλά μ α = α ή μα = α. α β α Μ α Άρα 4 μ = α (1) μ α ii. μ β + μ γ = α + γ 4 - β + α + β 4 - γ = A γ B 4α + β 4 + γ = 5α = α + 4 α = 5 μ α (λόγω της (1)). 4 65

66 39. Το τρίγωνο Β Ο Δ είναι ορθογώνιο. Άρα: ΒΟ + Ο = Β A ( 3 μβ ) + ( 3 μγ ) = α Ο μ γ 4 ( μ β μ γ ) = α 4α + β + γ 4 μ β B α = α ή 4α + β + γ = 9α ή β + γ = 5α 40. i. μ α + μ β + μ γ = β + γ - α + α + γ 4 3β + 3γ + 3α 3 (β = = 4 3α + 3α 4 = 6α 3 = α 4 - β + α + γ ) + 3α 4 + β = - γ G ii. GA + GB + G = ( 3 μα ) + ( 3 μβ ) + ( 3 μγ ) = 4 3 α = α 9 3 A B 66

67 41. Ισχύει μ β + μ γ = 4α + β 4 + γ (1) 5 μ α = 5 β + γ 4 - α () μ β + γ α μ = 5 μ (3) Η σχέση (3) λόγω των (1) και () γίνεται: 4α + β 4 + γ 9α = 9β + 9γ = 10β + 10γ 4-5α ή 4α + β + γ = 10β + 10γ - 5α α = β + γ. Άρα Α Δ B ορθογώνιο 4. Πρέπει να δειχθεί ότι: B (α + γ ) - (β + δ ) = Α ΖΗ ή (α - β ) + (γ - δ ) = Α ΖΗ Στα τρίγωνα ΑΒ, ΑΔ εφαρμόζουμε το ο θεώρημα διαμέσων: A Z α Μ H β Α Δ B : α - β = Α ΜΗ (1) δ γ Α Δ: γ - δ = Α ΜΖ () Προσθέτοντας τις (1), () έχουμε: (α - β ) + (γ - δ ) = Α (ΜΗ + ΜΖ) ή (α - β ) + (γ - δ ) = Α ΖΗ Δ γ > δ α > β ( μ α μ β + μ β μ γ + 9 (α β + β γ + γ α ) μ α μ γ ) = (με αντικατάσταση και πράξεις) = 67

68 Α 44. Με εφαρμογή του 1ου θεωρήματος διαμέσων στο Α B Δ Δ έχουμε: ΑΔ + ΑΒ = Α ΒΔ + ΑΔ = Α - ΑΒ + ΒΔ = B Δ Α + (Β) = Α + 4Β = Α + Β 45. Εφαρμόζουμε το γενικευμένο Δ Πυθαγόρειο θεώρημα στο Α B Δ : Β = ΑΒ + Α + Α ΑΔ = Α + Α ΑΔ = Α (Α + ΑΔ) = Α Δ Β A 46. Στο ΣΒ εφαρμόζουμε το 1ο θεώρημα διαμέσων: ΣΒ + Σ = ΣΜ + ΣΜ + Β = (ΑΜ) = ΣΜ + ΑΜ = (ΣΜ + ΑΜ ) = ΣΑ (γιατί το Σ M Α είναι ορθογώνιο στο Μ) Σ A Μ B 68

69 47. Εφαρμόζουμε το 1ο θεώρημα διαμέσων στο Α M Ε, στο οποίο η Α είναι διάμεσος και έχουμε: ΑΕ + ΑΜ = Α ME + A B Μ α Ε ΑΕ = β - μ α + α (1) Από την εφαρμογή του 1ου θεωρήματος διαμέσων στο Α Δ B έχουμε: ΑΒ + Α = ΑΜ + Β ή γ + β = μ α + α ή Η σχέση (1) βάσει της () γίνεται: ΑΕ = β - μ + β + γ - μ ή ΑΕ = 3β + γ - 3 μ α α α = β + γ - μ α () α 48. i. Ισχύει: ΔΖ ΔP = ΔΒ ΔA = (R - δ) (R + δ) = R - δ P Άρα ΔΖ ΔΡ = R - δ R - δ ή ΔΖ = (1) ΔΡ Ομοίως Ε Ρ = Α Β = (R - δ) (R + δ) = R - δ Α Ε δ O δ Δ Β Άρα Ε Ρ = R - δ ή Ε = ii. Από τις (1), () έχουμε: R - δ Ρ () Ζ Ρ ΔΡ + = Ε ΔΖ Ρ + R - δ Ρ ΔΡ = R - δ ΔΡ R Ρ - δ + R ΔΡ - δ = R Ρ + ΔΡ - δ Δ 0Ρ + R - δ = R + δ = R - δ = σταθ. 69

70 49. Με εφαρμογή του γενικευμένου Πυθαγορείου θεωρήματος στο τρίγωνο ΒΔ έχουμε: Δ = Β + ΒΔ + ΔΒ ΑΒ = Β + Β ΑΒ = Β (Β + ΑΒ) = Β (ΒΔ + ΑΒ) = Β ΑΔ A Β Δ 50. i. Με εφαρμογή του γενικευμένου Πυθαγορείου θεωρήματος στο A 1 Α B Δ Δ έχουμε: ΑΒ = ΑΔ + ΒΔ - ΒΔ ΜΔ ΑΒ = ΑΔ + ΒΔ (ΒΔ - ΜΔ) (1) Ο Αλλά: ΒΔ - ΜΔ = ΒΔ - ΜΔ - ΜΔ = M Δ 1 B B - ΜΔ = Δ () Ε Από (1) και () έχουμε: ΑΒ = ΑΔ + ΒΔ Δ (3) Αλλά ΑΔ ΔΕ = ΒΔ Δ (4) Από (3) και (4) έχουμε: ΑΒ = ΑΔ + ΑΔ ΔΕ = ΑΔ (ΑΔ + ΔΕ) = ΑΔ AΕ ii. Από τα Β, Δ, Ε περνά ένας κύκλος και το σημείο Α είναι εξωτερικό του σημείο. Από τη σχέση ΑΒ = ΑΔ ΑΕ έχουμε ότι το ΑΒ είναι εφαπτόμενο στον κύκλο που ορίζεται από τα σημεία Δ, Ε, Β. 70

71 51. Ισχύει Α Β = Ε Ζ (1) Ε Β Αλλά Α = 3Β Ε = ΕΟ - Ο = = 5 cm Ζ = Ο + ΟΖ = = 5 cm H σχέση (1) βάσει των παραπάνω γίνεται: Α Ο 3Β Β = 5 5 ή 3Β = 15 ή Β = 15 3 Ζ Αλλά ΑΒ = Α + Β. Άρα ΑΒ = 4Β ή ΑΒ = 4 15 cm 3 5. i. Ρ Δ ΑΒ Ρ Α (1) γιατί Ρ Ρ Α = Α B (υπό χορδής και ε- φαπτομένης) A Ρ = Ρ (κοινή) Άρα ισχύει η (1) ii. Από την ομοιότητα έχουμε: Ο ΡΒ ΑΒ ΡΑ = = ΡΑ Α Ρ άρα ΡΑ = ΡΒ Ρ B ΑΒ Τότε: Α = ΡΒ ΡΑ ΡΒ ΡΒ = ΡΑ ΡΒ Ρ = ΡΒ = Ρ 71

72 53. i. Θα δείξουμε ότι το τετράπλευρο ΑΕΔΒ είναι εγγράψιμο σε κύκλο (1). Η πλευρά ΑΒ φαίνεται από τα Δ, Ε με γωνία ορθή. Άρα ισχύει η (1). Ομοίως τα ΑΖΗΕ, ΖΗΔΒ είναι εγγράψιμα σε κύκλο. ii. Θα δείξουμε ότι ΑΒ = ΒΗΒΕ + ΑΗ ΑΔ A Ε Ζ Η B Δ Αφού από τα τετράπλευρα ΑΖΗΕ, ΖΗΔΒ περνά κύκλος ισχύει: ΒΗ ΒΕ = ΒΖ ΑΒ, ΑΗ ΑΔ = ΑΖ ΑΒ Προσθέτουμε κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις και έχουμε: ΒΗ ΒΕ + ΑΗ ΑΔ = (ΒΖ + ΑΖ) ΑΒ ή ΒΗ ΒΕ + ΑΗ ΑΔ = ΑΒ 54. Ισχύει Ε = Β Ζ (α) = α Ζ ή Ζ = 4α Αλλά ΖΒ = Ζ - Β = 4α - α = 3α A α Δ Το Α B Δ Ζ ορθογώνιο: (R) = ΖΒ +ΒΑ ή 4R = (3α) + α ή 4R = 9α + α ή Ζ O 3α α B α α α R = 5 10 α ή R = α Ε 7

73 55. ΡΑ = 9 cm, ΡΒ = 10 cm, Ρ = 15 cm Ρ Ισχύει: ΡΑ ΡΒ = ΡΔ Ρ 9 10 = ΡΔ 15 ή ΡΔ = 6 cm A ΡΣ = ΡΔ Ρ B ΡΣ = 6 15 Δ ΡΣ = 9 10 = 3 10 cm O Σ 56. i. Έστω (Ο 1, R 1 ), (Ο, R ) οι δύο κύκλοι y Α x x Α y = 90, άρα O 1 Δ Α O ορθογώνιο (O 1 O ) = (O 1 Α) + (O Α) ή Ο 1 Ο (O 1 O ) = R 1 + R (1) O 1 ii. Δ (O, R ) = (O 1 O ) - R ( 1) = R Το τετράπλευρο ΒΣΣ είναι Σ εγγράψιμο ( = Σ = 1L) σε κύκλο, άρα Α ΑΣ = ΑΒ ΑΣ. Αφού η ε σταθερή και ο κύκλος ΑΒ (Ο, ) σταθερός, το γινόμενο ΑΒ ΑΣ είναι σταθερό: Α O Β Σ ε Α ΑΣ = ΑΒ ΑΣ = σταθερό. 73

74 58. Θα δείξουμε: ΡΒ = Ρ + Β ΒΔ (1) Ρ = ΡΑ ΡΒ ως εφαπτομένη στον (Ο, R) Από την (1) έχουμε: ΡΒ - Ρ = ΡΒ - ΡΑ ΡΒ = ΡΒ (ΡΒ - ΡΑ) = ΡΒ ΑΒ () Αλλά ισχύει ΡΒ ΑΒ = Β ΒΔ, γιατί το ΑΔΡ είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Β O Άρα η () γίνεται: ΡΒ - Ρ = Β ΒΔ ή ΡΒ = Ρ + Β ΒΔ Α Δ Ρ 59. ια κάθε σημείο Μ έτσι ώστε M (O, R) ΜΟ = δ ισχύει Δ = = ΟΜ - R = δ - R = σταθερό, δ > R. O Μ 60. Θα δείξουμε: ΑΕ ΕΒ + ΟΖ = R Ισχύει AE EB = R - OE ή AE EB + OE = R (1) Αλλά το ορθογώνιο τρίγωνο Ε Z Ο ( Z = 90 ) είναι και ισοσκελές, άρα ΕΖ = ΖΟ. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: Δ Α 45 Η Ε 45 O Ζ ΟΕ = ΕΖ + ΖΟ = ΖΟ. Άρα η σχέση (1) γίνεται: ΑΕ ΕΒ + ΖΟ = R Β 74

75 61. Έστω (O, R), (O, R ) οι δύο Μ κύκλοι και ΜΑΒ η κοινή τέμνουσα των δύο κύκλων. Τότε ΜΚ = ΜΑ ΜΒ και Κ Α Λ ΜΛ = ΜΑ ΜΒ Άρα ΜΚ = ΜΛ. Ο Ο Β 6. i. Ισχύει: ΑΜ ΜΕ = ΒΜ Μ = (αφού ΒΜ = Μ = α ) α, 4 γ Α β O ii. Θεώρημα διαμέσων στο Α Δ B : β + γ = μ + α α (1) ή Β Μ Ε α (β + γ ) = 4 μ α + α ή α = (β + γ ) - 4 μ α Από (i) έχουμε: ΑΜ ΜΕ = α = 4 (β + γ 4 ) - 4μ α = β + γ - μ α 75

76 63. i. Πρέπει να δείξουμε ότι: ΑΜ + ΜΚ = R Αφού ΒΜ = M, ΚΒ = Κ, τότε KM B Β Είναι ΑΜ = γιατί Α Δ B ορθογώνιο Α Δ Κ στην A. Από το ορθογώνιο τρίγωνο Κ M έχουμε: ΜΚ + Μ = R ή ΜΚ Β + = R ή ΜΚ + ΑΜ = R (1) ii. Εφαρμόζουμε το θεώρημα διαμέσων στο Α M Κ: ΑΜ + ΚΜ = ΔΜ + AK (ΑΚ σταθερό) () Β Μ Ε Από (1) και () έχουμε: R - AK = ΔΜ ή ΔΜ = R AK - 4 = σταθερό 64. Το ΑΒΔ είναι εγγεγραμμένο στον Λ ίδιο κύκλο. Οι προεκτάσεις των ΑΒ, Δ τέμνονται στο Λ, οι προεκτάσεις των ΑΔ, Β στο Κ, καθώς και οι διαγώνιες του τετραπλεύρου Α, ΒΔ στο Μ. Έτσι οι δυνατές σχέσεις που συνδέουν τις αποστάσεις των σημείων τομής από τα Α, Β,, Δ είναι οι παρακάτω: α) ΜΑ Μ = ΜΒ ΜΔ β) ΚΑ ΚΔ = ΚΒ Κ Κ Β Α Μ Ο Δ γ) ΛΑ ΛΒ = ΛΔ Λ 76

77 65. Εφαρμόζουμε το 1ο θεώρημα διαμέσων στα τρίγωνα Ρ Δ B Δ, Ρ A και έχουμε: Α Ρ Δ ΡΒ + ΡΔ = ΡΟ + BΔ (1) Ο ΡΑ + Ρ = ΡΟ + Α () Β Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1), (): ΡΑ + ΡΒ + Ρ + ΡΔ = 4ΡΟ + Α + ΒΔ = 4R + Α + ΒΔ = σταθερό, αφού οι διαγώνιες Α, ΒΔ του παραλληλογράμμου είναι σταθερά ευθύγραμμα τμήματα. 77

78 ΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ - ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Απαντήσεις - Λύσεις 1. Δίνεται ΑΒ = 6λ Μ Έστω Μ τυχαίο σημείο του γεωμετρικού τόπου. Από το 1ο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο ΜΑΒ έχουμε: ΜΑ + ΜΒ = ΜΟ + ΑΒ, Α O Β Ο μέσον του ΑΒ ή 50λ = ΜΟ + 36λ ή ΜΟ = 16λ ή ΜΟ = 4λ = σταθερό Άρα το σημείο Μ απέχει σταθερή απόσταση από το μέσο του ΑΒ, δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος (Ο, 4λ) Αντίστροφα: Έστω ένα σημείο Μ του κύκλου (Ο, 4λ). Τότε: ΜΑ + ΜΒ = ΜΟ + ΑΒ = (4λ) + Άρα το Μ έχει την ιδιότητα: ΜΑ + ΜΒ = 50λ 36λ = 3λ + 18λ = 50λ Ο γεωμετρικός τόπος είναι όλα τα σημεία του κύκλου (Ο, 4λ).. Δίνεται ΑΒ = λ, Ο το μέσον του. Έστω ένα σημείο Μ του επιπέδου με: ΜΑ - ΜΒ = ΑΒ ΟΔ ή λ = ΑΒ ΟΔ (ε) Μ λ = 4λ ΟΔ ή ΟΔ = λ = σταθερό (ΜΑ > ΜΒ) Το σημείο Δ βρίσκεται στην ημιευθεία ΟΒ και απέχει από το Ο σταθερή απόσταση ΟΔ = λ. Α O Δ Β λ Το δε σημείο Μ βρίσκεται πάνω στην ευθεία ε, που είναι κάθετη στην ΑΒ στο σημείο Δ. 78

79 Αντίστροφα: ια οποιοδήποτε σημείο Μ της ευθείας (ε) ισχύει: ΜΑ - ΜΒ = ΑΒ ΟΔ = λ λ = λ. Το Μ ικανοποιεί την ιδιότητα του προβλήματος. Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία (ε). 3. Έστω Ρ σημείο του μικρού τόξου AB ώστε Ε ΡΑ μ = και σημεία Δ, Ε του ΑΒ ώστε: ΡΒ ν ΔΑ ΡΑ ΕΑ μ = = = (1) ΔΒ ΡΒ ΕΒ ν Σύμφωνα με την (1) αρκεί να χωρίσουμε Α Ρ Δ O Β τη χορδή ΑΒ σε λόγο ν μ, εσωτερικά και ε- ξωτερικά. Τότε τα Δ, Ε είναι συζυγή αρμονικά των Α, Β και η Δ P Ε = 90. Άρα το Ρ βρίσκεται και πάνω στον κύκλο διαμέτρου ΔΕ. Κατασκευή: ράφουμε κύκλο διαμέτρου ΔΕ όπου η τομή με τον (Ο, R) ορίζει το σημείο Ρ του AB (έλασσον) που αντιστοιχεί στη χορδή ΑΒ. Ο κύκλος διαμέτρου ΔΕ τέμνει το μεγάλο τόξο τερη λύση. AB σ ένα σημείο και δίνει δεύ- 4. x = ( α) + β. Κατασκευάζω: i. το α, ως υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με β κάθετες πλευρές α, α. ii. το x ως υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου με ( α) + β κάθετες πλευρές β, α. α α x = α 79

80 5. Πρέπει να είναι x + y = 6 xy = 8 = ( ) Πάνω σε ευθεία ε παίρνουμε τμήμα ΑΒ = 6. Με διάμετρο το ΑΒ γρά- Δ Ε φουμε ημικύκλιο (Ο, AB ). Α Ζ Ο Β Από το Α φέρουμε εφαπτομένη στο ημικύκλιο και σ αυτήν παίρνουμε τμήμα Α =. Από το φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει το η- μικύκλιο σε δύο σημεία Δ, Ε. Η κάθετος από το Δ προς την ΑΒ τέμνει αυτήν σε σημείο Ζ, που τη χωρίζει σε δύο τμήματα ΑΖ, ΖΒ. Αυτά είναι τα ζητούμενα τμήματα x, y. Πράγματι ΑΖ + ΖΒ = 6. Επίσης εάν φέρουμε τις ΑΔ, ΔΒ, στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΒ ισχύει: ΔΖ = ΑΖ ΖΒ ή ( ) = xy Άρα ΑΖ = x, ΖΒ = y. Παρατήρηση: Στο συγκεκριμένο πρόβλημα υπάρχουν δύο λύσεις, αφού < 3 και άρα η παράλληλη από το προς την ΑΒ τέμνει το ημικύκλιο σε δύο σημεία. ε 6. Έστω Μ σημείο της ε ώστε ΜΑ μ = και Δ, Ε σημεία του ΑΒ ΜΒ ν ε Μ E ΔΑ ΕΑ ΜΑ μ ώστε = = = (1). ΔΒ ΕΒ ΜΒ ν B Τα Δ, Ε είναι τα συζυγή αρμονικά των Α, Β, είναι σταθερά και η Δ M Ε = 90. Δ A Άρα το σημείο Μ βρίσκεται και πάνω στον κύκλο διαμέτρου ΔΕ. 80

81 Κατασκευή: Προσδιορίζουμε τα Δ, Ε ώστε να είναι συζυγή αρμονικά των Α, Β σύμφωνα με την (1). ράφουμε κύκλο διαμέτρου ΔΕ. Οι τομές του κύκλου αυτού με την ε ορίζουν τα ζητούμενα σημεία Μ. Παρατήρηση: ια να έχει λύση το πρόβλημα πρέπει η απόσταση του μέσου του ΔΕ από την ε να είναι μεγαλύτερη ή ίση με αντίστοιχα). ΔE (δύο λύσεις ή μία λύση 7. ΜΑ + ΜΒ = ΜΟ + ΑΒ (θεώρημα ε Μ Μ διαμέσων στο Α Δ M Β, ΑΒ σταθερό). ια B να είναι το ΜΑ + ΜΒ ελάχιστο θα πρέπει να είναι ελάχιστο το ΜΟ, το ο- Ο ποίο είναι όταν ΟΜ (ε) (ΟΜ ΟΜ ), Μ τυχαίο σημείο της (ε). A 81

82 Κεφάλαιο 10: ΕΜΒΑΔΑ ΠΟΛΥΩΝΩΝ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσα εμβαδά, τότε τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα. Σ Λ. * Αν ένα τρίγωνο χωρίζεται από μια διχοτόμο του σε δύο ισοδύναμα τρίγωνα, τότε είναι ισοσκελές. Σ Λ 3. * Αν ένα τρίγωνο χωρίζεται από ένα ύψος του σε δύο ισεμβαδικά τρίγωνα, τότε είναι ισοσκελές. Σ Λ 4. * Ένα τρίγωνο χωρίζεται από μία διάμεσό του σε δύο ισοδύναμα τρίγωνα. Σ Λ 5. * Δύο ισοδύναμα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα. Σ Λ 6. * Ο τύπος του Ήρωνα Ε = τ (τ - α) (τ - β) (τ - γ) ισχύει μόνο σε ορθογώνια τρίγωνα. Σ Λ δ1.δ 7. * Ο τύπος Ε = όπου δ 1, δ οι διαγώνιοι ενός τετραπλεύρου ισχύει σε κάθε τετράπλευρο με κάθετες διαγώνιους. Σ Λ 8. * Δύο τρίγωνα όμοια και ισεμβαδικά είναι ίσα. Σ Λ 9. * Δύο τετράγωνα τα οποία έχουν ίσα εμβαδά είναι ίσα. Σ Λ 10. * Ο λόγος των εμβαδών δύο ισοπλεύρων τριγώνων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου των υψών τους. Σ Λ 11. * Αν οι γωνίες Α και Δ των τριγώνων ΑΒ και ΔΕΖ είναι συμπληρωματικές, τότε ( ΑΒ ) ΑΒ.Α =. ( ΕΖ) Ε.ΔΖ Σ Λ 1. * Σε τετράπλευρο ΑΒΔ, αν Μ είναι το μέσο της διαγωνίου ΒΔ, τότε τα σχήματα ΑΜΔ και ΑΜΒ είναι ισοδύναμα. Σ Λ 13. * Αν οι πλευρές τετραγώνου αυξηθούν κατά 4 cm η καθεμία, τότε το εμβαδόν του αυξάνεται κατά 16 cm. Σ Λ 8

83 14. * Αν η πλευρά τετραγώνου τριπλασιαστεί, τότε το εμβαδόν του 9-πλασιάζεται. Σ Λ 15. * Τετράγωνο πλευράς α είναι ισοδύναμο με ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς ίσης με τη διαγώνιο του τετραγώνου. Σ Λ 16. * Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις α, β είναι ισοδύναμο με τετράγωνο που έχει πλευρά ίση με τη διαγώνιο του ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Σ Λ 17. * Ρόμβος με διαγωνίους δ 1, δ είναι ισοδύναμος με ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές τις διαγώνιες δ 1, δ του ρόμβου. Σ Λ 18. * Ρόμβος με διαγώνιες δ 1, δ είναι ισοδύναμος με ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις δ 1, δ. Σ Λ 19. * Ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒ πλευράς α είναι ισοδύναμο με τετράγωνο πλευράς α. Σ Λ 0. * Ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒ πλευράς α είναι ισοδύναμο με ρόμβο πλευράς α και οξείας γωνίας 60. Σ Λ 1. * Αν οι γωνίες Α και Δ των τριγώνων ΑΒ και ΔΕΖ είναι ( ΑΒ ) ΑΒ.Α παραπληρωματικές, τότε =. ( ΕΖ) Ε.ΔΖ Σ Λ. * Αν τα τρίγωνα ΑΒ και ΚΛΜ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας λ, τότε ( ΑΒ ) ( ΚΛΜ ) = ΑΒ ΚΛ = λ, όπου ΑΒ και ΚΛ ομόλογες πλευρές τους. Σ Λ 1 3. * Το εμβαδό ενός τετραγώνου δίνεται από τον τύπο δ, Σ Λ όπου δ η διαγώνιός του. 4. * Η ευθεία που συνδέει τα μέσα των δύο βάσεων τραπεζίου το διαιρεί σε δύο ισοδύναμα τραπέζια. Σ Λ 83

84 Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Δύο τρίγωνα, τα οποία έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και ίσα εμβαδά, έχουν αντίστοιχα ίσα Α. όλα τα ύψη τους. Β. όλες τις διαμέσους τους.. τις διαμέσους που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές. Δ. τα ύψη που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές. Ε. τις διχοτόμους που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές.. * Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΕΖΗΘ και ένα τρίγωνο ΑΒ έχουν ίσα εμβαδά και το ύ- ψος ΑΔ του τριγώνου είναι ίσο με την πλευρά ΕΖ. Από τις παρακάτω σχέσεις σωστή είναι η Α. Β = ΕΘ. Β. ΑΔ = ΕΘ.. ΕΘ = Β. Δ. ΕΘ = Α. Ε. ΗΖ = B. 3. * Αν ο λόγος των περιμέτρων δύο όμοιων πολυγώνων είναι 3 1, τότε ο λόγος των εμβαδών είναι Α.. Β.... Δ.. Ε

85 δ1.δ 4. * Ο τύπος Ε = (δ 1, δ οι διαγώνιες ενός τετραπλεύρου) εκφράζει το εμβαδό Α. ενός τετραπλεύρου με δύο από τις πλευρές του ίσες. Β. ενός τετραπλεύρου με τις πλευρές του κάθετες ανά δύο.. ενός τετραπλεύρου με κάθετες διαγώνιους. Δ. ενός ορθογωνίου με διαγώνιες που έχουν σχέση δ 1 = δ. Ε. ενός ισοσκελούς τραπεζίου. 5. * Σε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς γ το εμβαδόν του ισούται με Α. γ 3 υ γ. Β. γ.. υ. Δ. γ 3. Ε. γ * Αν σε δύο τρίγωνα ΑΒ, Α Β συμβαίνει ΑΑ // Β τότε Α. (ΑΒ) = (Α Β). Β. τρίγωνο ΑΒ = τρίγωνο Α Β.. γωνία Α = Α. Δ. γωνία Α = 90 - Α. Ε. τρίγωνο ΑΒ τρίγωνο Α Β. Β Α Α 7. * Η διάμεσος ενός τριγώνου το χωρίζει σε δύο ισοδύναμα τρίγωνα Α. μόνο όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Β. μόνο όταν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.. μόνο όταν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο. Δ. πάντα. Ε. μόνο όταν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. 85

86 ( ΑΒ) ΑΒ.Α 8. * Σε δύο τρίγωνα ΑΒ και Α 1 Β 1 1 ο τύπος = (Α1Β11) Α όταν Α. γωνία = 1. Β. γωνία Β = Β 1.. γωνία Α = Β 1-1. Δ. γωνία Α = 90 + Α 1. Ε. γωνία Α = Α 1 ή γωνία (Α + Α 1 ) = Β1.Α11 ισχύει 9. * Το ύψος ΑΔ ενός τριγώνου ΑΒ το χωρίζει σε δύο ισοδύναμα τρίγωνα όταν Α. γωνία Α = 90. Β. γωνία Α = Β.. γωνία Α = 60 = Β. Δ. Β = Α. Ε. Β = ΑΒ. 10. * Ένα τραπέζιο με βάσεις β 1, β και ύψος υ είναι ισοδύναμο με ένα ορθογώνιο του οποίου οι διαστάσεις είναι β β υ Α. β 1 + β και υ. Β. και. β β Δ. και υ β β Ε. υ και β1 + υ και β. 11. * Ο τύπος Ε = τ (τ - α) (τ - β) (τ - γ) δίνει το εμβαδόν ενός τριγώνου με πλευρές α, β, γ αν Α. τ = α + β + γ. Β. α = (τ - β).. α = α β γ Δ. τ = + +. Ε. τ = αβημ. β + γ. 86

87 1. * Αν Ε 1, Ε τα εμβαδά δύο ομοίων πολυγώνων και λ ο λόγος ομοιότητάς τους, τότε ισχύει Α. λ = Ε 1.Ε. Β. λ = Ε 1.. Ε1 λ = Ε Ε. Δ. λ = Ε Ε 1. Ε. Ε 1.Ε = λ. 13. * Αν ΑΒΔ τραπέζιο και Σ το σημείο τομής των διαγωνίων του, τότε ισχύει Α. (ΣΑΔ) = (ΣΒ). Β. (ΣΑΒ) = (ΣΔ).. (ΣΒ) = (ΣΑΔ) + (ΣΔ). Δ. (ΑΒ) = (ΑΔ). Ε. (ΣΑΔ) = (ΣΒ). 14. * Το εμβαδόν ισόπλευρου τριγώνου είναι 4 3 cm. Η κάθε πλευρά του είναι Α. 4 3 cm. Β. 8 3 cm cm. Δ. 4 cm. Ε. 1 cm * Το εμβαδόν τριγώνου ΑΒ ισούται με Α. 1 αγημα. Β. 1 αβσυν.. 1 βγσυν (90 - Α). 1 Δ. τ (τ + α) (τ + β) (τ + γ). Ε. αγσυνβ. 87

88 16. * Το εμβαδόν τετραγώνου με διαγώνιο δ είναι ίσο με Α. 1 δ. Β. δ.. δ. Δ. δ. Ε. 4 δ. 17. * Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ (γωνία Α = 90 ) το εμβαδόν του είναι ίσο με Α. 1 αβημα. Β. 1 βγ.. 1 αγημα. Δ. 1 βγσυνα. Ε. 1 αβγ. 18. * Αν ένα τετράπλευρο έχει κάθετες τις διαγώνιές του δ 1, δ, τότε το εμβαδόν του ισούται με δ δ Α.. Β. 1 + δ1.δ δ1.δ... Δ. δ 1.δ. Ε. δ 1.δ. 4 88

89 Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. * Να αντιστοιχίσετε κάθε σχήμα της στήλης Α με το εμβαδό του στη στήλη Β. στήλη Α στήλη Β 1. Α) 3α 3 Β) 80. ) 60 Δ) 96 Ε) 9α

90 . * Να αντιστοιχίσετε κάθε σχήμα της στήλης Α με το εμβαδόν του στη στήλη Β. στήλη Α στήλη Β 1. Α) 1,5. Β) 5 ) Δ) Ε) 1 90

91 3. * Οι ισότητες στη στήλη Α εκφράζουν εμβαδά και περιέχουν στοιχεία του διπλανού σχήματος. Οι προτάσεις στη στήλη Β προσδιορίζουν τα στοιχεία του διπλανού σχήματος, όπως αυτά χρησιμοποιούνται στις ισότητες της στήλης Α. Να αντιστοιχίσετε τις ισότητες της στήλης Α με τις προτάσεις της στήλης Β. στήλη Α στήλη Β 1. (ΔΑ) = ΔΚ.Α Α) Α, ΔΒ διαγώνιοι του ΑΒΔ. (ΑΒΔ) = Α.ΔΒ Β) ΕΖ ύψος του ΕΖΗΘ ) ΔΒ βάση του τριγώνου ΑΔΒ 3. ΕΖ.ΖΗ = (ΕΖΗΘ) Δ) ΔΚ ύψος του τριγώνου ΑΔ 4. (ΑΔΒ) = ΔΒ.ΑΚ Ε) Α βάση του τριγώνου ΑΒ ΣΤ) ΔΒ βάση του τριγώνου ΔΒ 91

92 4. * Να αντιστοιχίσετε κάθε σχήμα της στήλης Α με έναν τύπο της στήλης Β ο οποίος εκφράζει το εμβαδόν του. στήλη Α στήλη Β 1. Α Α) Ε = Β) Ε = ΑΔ.Β. ) Ε = ΑΒ.ΑΕ Δ) Ε = ΑΔ.Δ 3. Α Ε) Ε = 4. ΣΤ) Ε = Α. Β 9

93 5. * Να αντιστοιχίσετε κάθε σχήμα της στήλης Α με έναν τύπο της στήλης Β ο οποίος εκφράζει το εμβαδόν του. στήλη Α στήλη Β 1. Α) 1 Α.Β 4 30 Β) ΑΒ 3 4 Α Β. ) Α.ΑΒ Δ) 1 ΑΒ.Β 3 3. Ε) 1 Α.Β 4. ΣΤ) ΑΒ

94 6. * Στη στήλη Α υπάρχουν ευθύγραμμα σχήματα. Στη στήλη Β υπάρχουν εμβαδά. Να αντιστοιχίσετε κάθε σχήμα της στήλης Α με το εμβαδόν του στη στήλη Β. 1. στήλη Α στήλη Β Α) 8α Β) 7α. ) 6α 3. Δ) 4α Ε) 3α 4. ΣΤ) α 5. Ζ) α Η) 3α 94

95 Ερωτήσεις συμπλήρωσης 1. * Το εμβαδόν ενός τραπεζίου ισούται με το γινόμενο της διαμέσου των μη παράλληλων πλευρών επί.. * Αν το ένα ύψος ενός παραλληλογράμμου είναι διπλάσιο από το άλλο του ύψος, τότε η μία πλευρά που αντιστοιχεί σ αυτό είναι. 3. * Σε κάθε τρίγωνο ΑΒ ισχύει (ΑΒ) = τ (τ - α) (τ - β) (τ - γ) όπου τ =. αβ 4. * Αν το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒ είναι (όπου α, β πλευρές), τότε η μεγαλύτερη γωνία του είναι η και είναι ίση με. 5. * Αν δ 1, δ είναι οι διαγώνιοι ρόμβου, το εμβαδό του ισούται με. 6. * Αν ένας ρόμβος πλευράς α με διαγώνιες δ 1, δ είναι ισοδύναμος με ένα ορθογώνιο, τότε οι πλευρές του ορθογωνίου είναι οι ή οι. 7. * Σε τρίγωνο ΑΒ η γωνία Β είναι 30. Το εμβαδόν του συναρτήσει των πλευρών του α, γ είναι. 95

96 8. * Υπολογίστε και συμπληρώστε στη στήλη Β τα εμβαδά των σχημάτων που βρίσκονται στη στήλη Α. στήλη Α στήλη Β Ε = Ε = Ε = 96

97 9. * Υπολογίστε και συμπληρώστε στη στήλη Β τα εμβαδά των τριγώνων των οποίων τα στοιχεία βρίσκονται στη στήλη Α. στήλη Α στήλη Β στοιχεία τριγώνου ΑΒ εμβαδόν τριγώνου ΑΒ α =, γ = 3, Β = 60 Ε = α = 3, β = 3, γ = 4 Ε = α = β = γ, υ α = 5 3 Ε = α = β = γ = 4 Ε = 97

98 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒ και έστω Δ, Ε, Ζ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, Β και Α αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) (ΔΕΖ) = (ΖΕ) 1 β) (ΔΕΖ) = (ΑΒ). 4. ** Να δείξετε ότι το εμβαδόν τυχόντος τετραπλεύρου ΑΒΔ ισούται με το γινόμενο της μιας διαγωνίου του Α επί το ημιάθροισμα των αποστάσεων ΔΕ, ΖΒ των δύο άλλων κορυφών από τη διαγώνιο αυτή. 3. ** Όταν οι διαγώνιες ενός κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΔ σχηματίζουν γωνία Ο = 30, να δείξετε ότι ισχύει: α) (ΑΟΔ) = 4 1 ΟΔ.ΟΑ β) (ΑΒΔ) = 4 1 Α.ΔΒ. 4. ** Από ένα σημείο Ε της διαγωνίου ΒΔ παραλληλογράμμου ΑΒΔ φέρνουμε παράλληλες προς τις πλευρές του. Να δείξετε ότι τα παραλληλόγραμμα που βρίσκονται εκατέρωθεν της ΒΔ είναι ισοδύναμα. 98

99 5. ** Από τις κορυφές ενός τετραπλεύρου ΑΒΔ φέρνουμε παράλληλες προς τις διαγωνίους του. Να δείξετε ότι το περιγεγραμμένο στο τετράπλευρο παραλληλόγραμμο ΗΖΕΘ έχει εμβαδό διπλάσιο από το εμβαδό του τετραπλεύρου. 6. ** Να δείξετε ότι σε ρόμβο, του οποίου το εμβαδόν είναι ίσο με το ημιγινόμενο μιας διαγωνίου επί την πλευρά του, μια γωνία του είναι ** Να δείξετε ότι ένα τρίγωνο ΑΒ, του οποίου το Α εμβαδόν ισούται με 1 α.μα, όπου μ α η διάμεσος από μ á την κορυφή Α, είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο. Β Μ 8. ** Να δείξετε ότι ένα τρίγωνο ΑΒ, το εμβαδόν του οποίου ισούται με 1 α.δα, όπου δ α η διχοτόμος της γωνίας Α, είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο. 9. ** Να δείξετε ότι αν ένα τετράγωνο πλευράς α και ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς β έχουν την ίδια περίμετρο, τότε το εμβαδόν του τετραγώνου ισού- 9β ται με

100 10. ** Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΔ και από το μέσο Κ της διαγωνίου ΒΔ φέρνουμε τυχαία ευθεία ΕΖ που τέμνει τις ΑΒ και Δ στα Ε και Ζ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι (ΑΕΖΔ) = (ΒΖΕ). 11. ** Δίνεται τρίγωνο ΑΒ. Από ένα σημείο Ο εσωτερικό του ΑΒ φέρνουμε κάθετες στις πλευρές ΑΒ, Β, Α και πάνω σ αυτές παίρνουμε τμήματα ΟΔ = ΑΒ, ΟΕ = Β, ΟΖ = Α αντίστοιχα. Να δείξετε ότι ισχύει: α) (ΔΟΕ) = (ΑΒ) και β) (ΔΕΖ) = 3(ΑΒ). 1. ** Ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου ΑΒΔ Α Β το εμβαδόν του είναι ίσο με Α 4, όπου Α η 30 Ο μία διαγώνιός του. Δείξτε ότι η οξεία γωνία ΑΟΔ των διαγωνίων του είναι 30. Δ 13. ** Το εμβαδόν ενός τετραγώνου είναι 56 cm. Αν ελαττώσουμε την πλευρά του κατά 10 cm, κατά πόσα cm ελαττώνεται το εμβαδόν του; 14. ** Τραπεζίου ΑΒΔ οι μη παράλληλες πλευρές ΑΔ και Β τέμνονται στο Κ. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΚΑ και ΚΒΔ είναι ισοδύναμα. 100

101 15. ** Έστω τρίγωνο ΑΒ και σημείο Μ της Α πλευράς Β, τέτοιο ώστε ΒΜ = 3 Β. Να δείξετε ότι το εμβαδόν του ΑΒΜ είναι ίσο με τα 3 του εμβαδού του τριγώνου ΑΒ. M Β 16. ** Έστω ΑΒ ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α και ΚΛΜ τρίγωνο με γωνία K ( ΚΛΜ ) ΚΛ.ΛΜ = 10. Τότε να δείξετε ότι =. ( ΑΒ) α 17. ** Ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΔ έχει βάσεις α και 3α και ύψος ΔΕ = α και Κ, Λ είναι τα μέσα των διαγωνίων του. α) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΚΛ. β) Να δείξετε ότι: (ΑΚΛ) = (ΒΚΛ) = (ΚΛ) = (ΔΚΛ). 18. ** Αν η πλευρά ενός τετραγώνου αυξηθεί κατά 4 m, το εμβαδόν του αυξάνεται κατά 136 m. Να βρεθεί η πλευρά του τετραγώνου αυτού. 19. ** Η περίμετρος ενός ρόμβου ΑΒΔ είναι 48 cm και η απόσταση των δύο απέναντι πλευρών του είναι 5 cm. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του ρόμβου. 0. ** Ένα τρίγωνο ΑΒ έχει γωνία = 60, β = 1 cm, α = 3 cm και είναι ισοδύναμο με ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογιστεί η πλευρά του ισοπλεύρου αυτού τριγώνου. 101

102 1. ** Σ ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΔ συνδέουμε την κορυφή Α με τα μέσα Κ, Λ των πλευρών Δ και Β αντίστοιχα. Να δείξετε ότι 1 (ΑΚΛ) = (ΑΒΔ).. ** Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΔ με διαστάσεις Β = α και ΑΒ = β. Φέρνουμε την ΟΜ, ό- που Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του και Μ το μέσο της πλευράς Δ. α) Να υπολογιστούν οι πλευρές του τριγώνου ΟΜΒ συναρτήσει των α, β. β) Δείξτε ότι τα τρίγωνα ΟΜΒ και ΟΜ είναι ισοδύναμα. γ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του ΟΜΒ συναρτήσει των α, β. 3. ** Δίνεται τρίγωνο ΑΒ με πλευρές α, β, γ και κύκλος (Κ, R) που έχει το κέντρο του στην πλευρά Β και εφάπτεται στις πλευρές ΑΒ και Α. Να δείξετε ότι: R (β + γ) = Ε. 4. ** Από την κορυφή Β τριγώνου ΑΒ φέρνουμε μια οποιαδήποτε ευθεία που να συναντά την προέκταση της Α, προς το μέρος του Α σε ένα σημείο Β, καθώς και την //ΒΒ, που συναντά την προέκταση της ΒΑ στο. Να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΒ είναι ισεμβαδικά. 10

103 5. ** Στο εσωτερικό ενός τριγώνου ΑΒ Α παίρνουμε ένα σημείο Κ έτσι ώστε να είναι γωνία ΑΚΒ = γωνία ΚΑ = 10 και ΚΑ = cm, ΚΒ = 6 cm, Κ = 10 cm. Να Κ υπολογιστούν τα εμβαδά των τριγώνων: α) ΚΒ και β) ΑΒ. Β 6. ** Αν το άθροισμα των διαγωνίων ενός ρόμβου είναι 14 cm και η περίμετρός του είναι 0 cm, να βρεθούν: α) το εμβαδόν του και β) το ύψος του ρόμβου από την κορυφή Α. 7. ** Ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΔ έχει μια γωνία του 5-πλάσια μιας άλλης και την περίμετρό του 1-πλάσια μιας πλευράς. Αν το εμβαδόν του είναι 40 cm, να υπολογισθούν: α) οι πλευρές του και β) τα ύψη του. 8. ** Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ, Β, Α Δ τριγώνου ΑΒ αντιστοίχως κατά τμήματα ΒΔ = ΒΑ, Ε = Β και ΑΖ = Α. Να δείξετε ότι: α) (ΖΕ) = (ΑΒ) και Ζ A B β) (ΔΕΖ) = 7 (ΑΒ). Ε 103

104 9. ** Σε τρίγωνο ΑΒ φέρνουμε παράλληλη στην πλευρά Β που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και Α στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: (ΑΒΕ) = (ΑΒ). (ΑΔΕ). 30. ** Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( A = 90 ). Θ Κατασκευάζουμε επί των τριών πλευρών και εκτός του τριγώνου τετράγωνα ΒΔΕ, ΑΘΙ, ΑΒΚΛ. Αν γνωρίζουμε τις πλευρές του ορθογώνιου τριγώνου ΑΒ = γ, Α = β, Β = α, να Κ Λ Β Α Ι υπολογισθούν: α) Τα εμβαδά (ΚΒΕ), (ΔΙ), (ΛΑΘ) και β) Το εμβαδόν του εξαγώνου ΔΕΚΛΘΙ, Ε Δ 31. ** Ένα τρίγωνο ΑΒ έχει ΑΒ = γ, Α = β και γωνία Α = 30. Επί των πλευρών ΑΒ Ε A Η και Α και έξω από το τρίγωνο κατασκευάζουμε τετράγωνα ΑΒΔΕ, ΑΖΗ και φέρνουμε την ΕΗ. Δ γ B 30 β Ζ α) Δείξτε ότι τα τρίγωνα ΑΕΗ και ΑΒ είναι ισοδύναμα. β) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του ΒΖΗΕΔ. 3. ** Δίνεται τρίγωνο ΑΒ με ύψος ΑΗ = υ, γωνία Β = 60 και γωνία = 45. Να υ- πολογίσετε συναρτήσει του υ: α) Τις πλευρές του τριγώνου β) Το εμβαδόν του γ) Τα ύψη προς τις πλευρές ΑΒ και Α. 104

105 33. ** Έστω τρίγωνο ΑΒ. Στις πλευρές του ΑΒ, Β, Α παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Δ, Ε, Ζ έτσι ώστε: ΑΔ = 1 ΑΒ, 1 1 ΒΕ = Β, Ζ = Α. Αν γνωρίζουμε 3 4 ότι (ΑΒ) = Ε, να υπολογίσετε: α) Τα εμβαδά των τριγώνων ΔΒΕ, ΕΖ, ΑΔΖ. β) Το εμβαδόν του τριγώνου ΔΕΖ. 34. ** Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ = Α) με ΑΒ = 6 cm και γωνία ΒΑ = 10. α) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ. 1 β) Αν Ε σημείο της Α, τέτοιο ώστε ΑΕ = Ε και ΑΔ το ύψος του τριγώνου ΑΒ, να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΔΕ. 35. ** Δίνεται τρίγωνο ΑΒ με β = γ, ΑΔ μια Α διχοτόμος του και ΒΜ μια διάμεσός του. β Να δείξετε ότι: γ Μ (BM ) 1 (M ) 1 α) = β) =. ( Μ) ( ΑΒ) 3 Β Δ 36. ** Ένα τετράπλευρο ΑΒΔ είναι περιγεγραμμένο περί τον κύκλο Ο. Να δείξετε ότι αληθεύει η σχέση: (ΟΑΒ) + (ΟΔ) = (ΟΑΔ) + (ΟΒ). 105

106 37. ** Σε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΔ παίρνουμε δύο τυχόντα σημεία Ε και Θ επί των πλευρών ΑΒ και Δ αντίστοιχα. Οι ευθείες ΔΕ και ΑΘ τέμνονται στο Ζ και οι ευθείες Ε και ΒΘ τέμνονται στο Η. Να δείξετε ότι: α) (ΕΖΘ) = (ΑΖΔ) β) (ΕΗΘΖ) = (ΒΗ) + (ΑΔΖ). 38. ** Έστω τραπέζιο ΑΒΔ, υ το ύψος από το Α και ΗΘ η διάμεσός του. Φέρνουμε ευθύγραμμο τμήμα που διέρχεται από το μέσο Μ της ΗΘ και τέμνει τις ΑΒ, Δ στα σημεία Ζ, Ε αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) (ΑΖΕΔ) = ΗΜ.υ και β) (ΑΖΕΔ) = (ΖΒΕ). Δ Η Α Ζ Β υ Ε // // Μ Θ 39. ** Τραπεζίου ΑΒΔ οι βάσεις είναι ΑΒ = α, Δ = β και υ το ύψος του. Φέρνουμε τη διάμεσο ΕΖ που τέμνει τις διαγώνιες Α και ΒΔ στα Θ και Η αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι: (α - β) υ α) (ΑΗ) = και 4 β) (ΑΒΖΕ) - (ΕΖΔ) = (ΑΗ). 40. ** Ένα τρίγωνο ΑΒ έχει α = 17 cm, β = 8 cm, γ = 15 cm. α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο. β) Αν ΑΔ είναι το ύψος του τριγώνου ΑΒ, να υπολογίσετε το λόγο ( ΑB ). ( Α ) 106

107 41. ** Ένα τρίγωνο ΑΒ έχει εμβαδόν 90 cm. Από ένα σημείο Μ του ύψους του ΑΔ, που το διαιρεί σε δύο τμήματα ΑΜ, ΜΔ με λόγο, 1 φέρνουμε παράλληλο προς τη Β που τέμνει τις ΑΒ και Α στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΕΖ. 4. ** Ενός παραλληλογράμμου ΑΒΔ προεκτείνουμε τις πλευρές του και στις προεκτάσεις παίρνουμε τμήματα ΑΔ = ΑΔ, ΒΑ = ΒΑ, Β = Β, Δ = Δ. α) Να δείξετε ότι το Α Β Δ είναι παραλληλόγραμμο β) Να εκφραστεί το εμβαδόν του Α Β Δ, συναρτήσει του εμβαδού Ε του ΑΒΔ. 43. ** Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΔ και έστω Ο σημείο της διαγωνίου του Α. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΑΔ είναι ισοδύναμα. Δ 44. ** Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΔ με βάσεις ΑΒ και Δ και ύψος Ζ. Να δείξετε ότι το εμβαδόν του τραπεζίου αυτού είναι διπλάσιο του εμβαδού του ορθογωνίου τριγώνου ΑΖ. Α Ζ Β 107

108 45. ** Να υπολογιστούν οι πλευρές ενός ισοσκελούς τραπεζίου, αν γνωρίζουμε ότι η περίμετρός του είναι 60 m, το εμβαδόν του 160 m και το ύψος του 8 m. 46. ** Δίνεται ένα τραπέζιο ΑΒΔ, που έχει βάσεις ΑΒ = 70 cm, Δ = 0 cm και μη παράλληλες πλευρές Β = 40 cm και ΑΔ = 30 cm. α) Να αποδειχθεί ότι οι Β και ΑΔ είναι κάθετοι. β) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΔ. 47. ** Να δείξετε ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει: μ α + μ β + μ γ = 3Ε 3 (μ α, μ β, μ γ οι τρεις διάμεσοι του τριγώνου και Ε το εμβαδόν του). 48. ** Δείξτε ότι δύο τρίγωνα που έχουν κορυφή ένα τυχόν σημείο της περιμέτρου ενός παραλληλογράμμου και βάσεις τις διαγώνιές του, έχουν σταθερό άθροισμα εμβαδών. 49. ** Να διαιρεθεί τετράγωνο πλευράς α = 6 cm σε τρία ισοδύναμα μέρη με ευθείες που διέρχονται από μια κορυφή του. 108

109 50. ** Παρατηρώντας τα 4 παρακάτω τρίγωνα, βρείτε τη σχέση που συνδέει μεταξύ τους τα εμβαδά Ε 1, Ε, Ε 3 των αντίστοιχων τριγώνων. Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 51. ** Μια ομάδα προσκόπων κατασκηνώνει δίπλα σ ένα ποτάμι και θέλει να σχηματίσει μια τριγωνική περίφραξη στην όχθη του ποταμού (βλ. διπλανό σχήμα). Η ο- μάδα έχει στη διάθεσή της δύο σχοινιά μήκους 30 m και 40 m και θέλει να περιφράξει το μεγαλύτερο δυνατό εμβαδόν. Πώς θα το καταφέρει: α) αν τα μήκη Α, Β της τριγωνικής περίφραξης είναι 40 m και 30 m αντίστοιχα; β) αν το Α + Β = 70 m; Σημείωση: Θεωρήστε την όχθη ΑΒ περίπου ευθεία γραμμή. 109

110 5. ** Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΔ είναι τετράγωνο και ΕΔ = Θ = ΗΒ = ΑΖ. α) Να βρείτε το εμβαδόν του ΑΒΔ συναρτήσει των α, β. β) Τι σχήμα είναι το ΕΖΗΘ; γ) Να βρείτε τα εμβαδά των τριγώνων ΑΖΕ, ΕΔΘ, ΘΗ, ΗΒΖ και του σχήματος ΕΖΗΘ συναρτήσει των α, β. δ) Χρησιμοποιώντας τις απαντήσεις των ερωτημάτων (α), (γ), ποιο βασικό πολύ γνωστό γεωμετρικό θεώρημα μπορείτε να αποδείξετε; 53. ** Τέσσερις αδελφοί κληρονόμησαν από τον πατέρα τους διαμπερές τετραγωνικό οικόπεδο πλευράς 60 m. ια να πληρώσουν την Εφορία πούλησαν ένα τμήμα από αυτό σχήματος τετραγώνου, πλευράς 30 m, με πρόσοψη στον αγροτικό δρόμο. Το υ- πόλοιπο οικόπεδο το μοίρασαν μεταξύ τους τα αδέλφια σε 4 ισεμβαδικά οικόπεδα με πρόσοψη στον Εθνικό δρόμο. α) Να βρείτε πόσα τετραγωνικά μέτρα πούλησαν για να πληρώσουν την Ε- φορία. β) Να βρείτε πόσο είναι το εμβαδόν καθενός από τα 4 οικόπεδα που πήραν οι αδελφοί. γ) Να σχεδιάσετε τα οικόπεδα που πήρε καθένας από τους τέσσερις αδελφούς και να βρείτε την περίμετρό τους. δ) Αν το τετράγωνο που πουλήθηκε ήταν σε διαφορετική θέση, μπορούσε να γίνει δικαιότερη η διαίρεση του υπόλοιπου οικοπέδου για τα τέσσερα αδέλφια; Παρατήρηση: Η ερώτηση (δ) να μην δοθεί σε διαγώνισμα, γιατί είναι θέμα που μπορούμε να διαπραγματευθούμε μόνο στην τάξη. 110

111 54. ** ια να ρυμοτομηθεί τετραγωνικό αγροτεμάχιο πλευράς 600 m, κατασκευάζεται στο κέντρο του τετραγωνική πλατεία πλευράς 300 m. Το υπόλοιπο α- γροτεμάχιο χωρίζεται σε 8 ισεμβαδικά οικόπεδα. α) Σχεδιάστε τις διαγωνίους του τετραγωνικού αγροτεμαχίου και υπολογίστε το μήκος τους. β) Τοποθετήστε στο σχήμα την τετραγωνική πλατεία και υπολογίστε το εμβαδόν της. γ) Ολοκληρώστε το σχήμα σχεδιάζοντας τα 8 ζητούμενα ισεμβαδικά οικόπεδα. Τι σχήμα έχουν αυτά; δ) Υπολογίστε για καθένα από τα 8 οικόπεδα: i) το εμβαδόν του ii) την περίμετρό του. Παρατήρηση: Το παραπάνω πρόβλημα μπορούμε να το διαπραγματευθούμε στην τάξη και με την παρακάτω εκφώνηση: Πρόβλημα: ια να ρυμοτομηθεί τετραγωνικό αγροτεμάχιο πλευράς 600 m, κατασκευάζεται στο κέντρο του τετραγωνική πλατεία πλευράς 300 m. Το υπόλοιπο αγροτεμάχιο να χωριστεί σε 8 ισεμβαδικά οικόπεδα. 55. ** Δεδομένο τρίγωνο ΑΒ να μετασχηματιστεί σε ισοδύναμο ορθογώνιο. 56. ** Δεδομένο πεντάγωνο να μετασχηματιστεί σε ισοδύναμο τρίγωνο. 57. ** Δεδομένο τρίγωνο ΑΒ να μετασχηματιστεί σε ισοδύναμο ορθογώνιο τρίγωνο. 58. ** Να κατασκευαστεί τετράγωνο ισοδύναμο με δεδομένο ορθογώνιο με διαστάσεις α = 3, β =

112 11

113 ΣΧΕΔΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 1 0 ο : Εμβαδά Πολυγώνων)

114 Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαμόρφωσής τους σε ενιαία θέματα, επιλογής ή τροποποίησης των θεμάτων, ανάλογα με τις διδακτικές ανάγκες του συγκεκριμένου τμήματος στο οποίο απευθύνεται. 114

115 1ο Σχέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή Διδακτική ενότητα: Εμβαδά Πολυγώνων ΘΕΜΑ 1ο A. Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν οξυγωνίου τριγώνου ΑΒ είναι ίσο με το ημιγινόμενο μιας πλευράς επί το α- ντίστοιχο προς αυτήν ύψος. B. Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε: α) Την πλευρά Β. β) Την πλευρά Α. γ) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ. ΘΕΜΑ ο Τριγώνου ΑΒ τα Δ, Ε, Ζ είναι τα μέσα των πλευρών του. Να δειχθεί ότι: α) (ΔΕΖ) = (ΕΖ) β) (ΑΒ) = 4 (ΔΕΖ) 115

116 Διδακτική ενότητα: ο Σχέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή Εμβαδά Πολυγώνων ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν τραπεζίου β β ισούται με Ε =.υ όπου β 1, β οι βάσεις του και υ το ύψος του. 1 + Β. Στο διπλανό ισοσκελές τραπέζιο να υπολογίσετε: α) Το ύψος του υ. β) Το εμβαδόν του. ΘΕΜΑ ο Τετραγωνικός αγρός με πλευρά 300 m χωρίζεται σε τρία ισεμβαδικά οικόπεδα, όπως στο διπλανό σχήμα. Να υπολογίσετε για κάθε οικόπεδο: A. α) Το εμβαδόν του. β) Τις διαστάσεις του. Β. Στο διπλανό σχήμα τα ΑΒΖ, ΑΖΕ και ΑΔΕ είναι ισεμβαδικά. Υπολογίστε το x. 116

117 3ο Σχέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή Διδακτική ενότητα: Εμβαδά Πολυγώνων ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το ημιγινόμενο των κάθετων πλευρών του. Β. Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο να υπολογίσετε συναρτήσει του α: α) Το εμβαδόν του. β) Την Β. γ) Το ύψος ΑΔ. ΘΕΜΑ ο Δίνεται ένα ορθογώνιο τραπέζιο. Να υπολογίσετε: A. Το εμβαδόν του. B. Την περίμετρό του.. Αν η ΔΚ χωρίζει το τραπέζιο ΑΒΔ σε δύο ισοδύναμα σχήματα ΑΒΚΔ και ΚΔ, να υπολογίσετε τα μήκη ΒΚ και Κ. 117

118 4ο Σχέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή Διδακτική ενότητα: Εμβαδά Πολυγώνων ΘΕΜΑ 1ο Α. Να δείξετε ότι το εμβαδόν τυχόντος παραλληλογράμμου είναι ίσο προς το γινόμενο μιας πλευράς του επί το αντίστοιχο προς αυτή ύψος. Β. Στο διπλανό σχήμα έχουμε: (ΑΒΖΗ) = 0 cm, (ΗΖΔ) = 30 cm και ΑΒ = 10 cm. i) Το μήκος του ΒΖ είναι 10 α) 4 cm. β) cm. γ) 3 cm. δ) 1,5 cm. ε) cm. ii) Το μήκος του Ζ είναι α) 30 cm. β) 1 cm. γ) cm. δ) 3 cm. ε) 6 cm. ΘΕΜΑ ο Όταν το οικόπεδο του διπλανού σχήματος συμπεριελήφθη στο σχέδιο πόλης, οι δύο δρόμοι που χαράχθηκαν, απέκοψαν τέτοιο τμήμα της έκτασής του, ώστε ο λόγος του αρχικού εμβαδού του προς το εμβαδόν που αποκόπηκε είναι 5 Ε Ζ. Αν ΑΒ = 10 m και οι γωνίες Δ και είναι 1 ίσες με 60, να υπολογίσετε: α) Το μήκος του ΔΕ συναρτήσει του α. β) Την πλευρά α. γ) Το εμβαδόν που αποκόπηκε από τη χάραξη των δρόμων. δ) Αν το οικόπεδο είχε πριν τη χάραξη των δρόμων αξία δρχ., πόση πρέπει να είναι η αποζημίωση του οικοπεδούχου από την απαλλοτρίωση αυτή; Δ α Α Β α 118

119 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

120 10

121 Κεφάλαιο 10: ΕΜΒΑΔΑ ΠΟΛΥΩΝΩΝ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Δ,. Ε, 3. Β, 4., 5. Δ, 6. Α, 7. Δ, 8. Ε, 9., 10. Δ, 11. Δ, 1. Β, 13. Α, 14. Δ, 15., 16. Α, 17. Β, 18. Β. Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. Λ,. Σ, 3. Σ, 4. Σ, 5. Λ, 6. Λ, 7. Σ, 8. Σ, 9. Σ, 10. Σ, 11. Λ, 1. Σ, 13. Λ, 14. Σ, 15. Λ, 16. Λ, 17. Σ, 18. Λ, 19. Λ, 0. Λ, 1. Λ,. Σ, 3. Σ, 4. Σ. Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. 1 Β. 1 Ε Α Α 3 Δ Δ 4. 1 ΣΤ Α Δ 3 Β Ε 5. 1 Α 6. 1 Ζ ΣΤ Ε 3 Δ Α 5 Δ 11

122 Ερωτήσεις συμπλήρωσης 1. Το ύψος του.. Το μισό της άλλης. 3. τ = α + β + γ 4. H και είναι ίση με Το ημιγινόμενο των διαγωνίων του. 6. δ 1, δ δ 1 ή οι, δ. 7. αγ 4 8. α) 4 β) γ) 9α 9. α) 3 3 β) 5 γ) 5 3 δ) 4 3 1

123 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. α) Επειδή τα Ζ, Δ, Ε είναι μέσα των πλευρών τριγώνου είναι ΖΔ // Ε και ΔΕ // Ζ. Άρα το τετράπλευρο ΖΔΕ είναι παραλληλόγραμμο. Η διαγώνιος ΖΕ του παραλληλογράμμου το χωρίζει σε δύο ισοδύναμα τρίγωνα. Άρα (ΔΕΖ) = (ΖΕ). β) Έχουμε (ΔΕΖ) = (ΖΕ) από το παραλληλόγραμμο ΖΔΕ, (ΔΕΖ) = (ΔΕΒ) από το παραλληλόγραμμο ΖΔΒΕ και (ΔΕΖ) = (ΑΖΔ) από το παραλληλόγραμμο ΑΖΕΔ. Άρα (ΔΕΖ) = (ΔΕΒ) = (ΖΕ) = (ΑΖΔ). Επομένως 1 (ΑΒ) = 4 (ΔΕΖ) ή (ΔΕΖ) = (ΑΒ). 4. Θα δείξουμε ότι (ΑΒΔ) = Α ΔΕ + ΒΖ. Πράγ- ματι είναι: (ΑΔ) = (ΑΒ) = Α ΔΕ Α ΒΖ Επομένως (ΑΔ) + (ΑΒ) = (ΑΒΔ) = (ΑΒΔ) = Α Α ΔΕ Α ΔΕ + Α ΒΖ = ΔΕ + ΒΖ Α ΒΖ + ή Α (ΔΕ + ΒΖ) 13

124 3. α) (ΑΟΔ) = 1 ΟΑ.ΟΔ ημ30 = 1 ΟΑ.ΟΔ 1 = 4 1 ΟΑ.ΟΔ β) Έχουμε: (ΑΟΔ) = 4 1 ΟΑ ΟΔ Όμοια έχουμε: (ΟΒ) = 4 1 Ο ΟΒ (ΔΟ) = 4 1 ΟΔ Ο 1 (ΑΟΒ) = ΟΑ ΟΒ 4 Άρα: (ΑΟΔ) + (ΟΒ) + (ΔΟ) + (ΑΟΒ) = 1 (ΟΑ ΟΔ + Ο ΟΒ + ΟΔ Ο + ΟΑ ΟΒ) = 4 1 [ΟΑ (ΟΔ + ΟΒ) + Ο (ΟΒ + ΟΔ)] = (ΟΑ ΒΔ + Ο ΒΔ) = [(ΒΔ (ΟΑ + Ο)] = ΒΔ Α (ΑΒΔ) = (ΑΟΔ) + (ΟΔ) + (ΟΒ) + (ΑΟΒ) = Α ΒΔ 4 4. Είναι (ΑΒΔ) = (ΒΔ) (1) από το παραλληλόγραμμο ΑΒΔ Κ (ΚΕΔ) = (ΕΗΔ) () από το παραλληλόγραμμο ΚΕΗΔ (ΒΖΕ) = (ΒΛΕ) (3) από το παραλληλόγραμμο ΖΒΛΕ Αφαιρούμε τις ισότητες () και (3) από την (1) και έχουμε: (ΑΒΔ) - (ΚΕΔ) - (ΒΖΕ) = (ΒΔ) - (ΕΗΔ) - (ΒΛΕ) (ΑΚΕΖ) = (ΕΛΗ) Από ίσα αφαιρέσαμε ίσα και έμειναν ίσα. Η Ζ Λ 14

125 5. Θα δείξουμε ότι (ΗΖΕΘ) = (ΑΒΔ). Πράγματι, από τα σχηματιζόμενα παραλληλόγραμμα ΑΕΒΟ, ΑΟΔΘ, ΔΟΗ και ΖΒΟ έχουμε ότι (ΑΘΔ) = (ΑΟΔ), (ΑΕΒ) = (ΑΟΒ), (ΔΟ) = (ΔΗ) και (ΟΒ) = (ΒΖ). Επομένως: (ΗΖΕΘ) = (ΑΘΔ) + (ΑΟΔ) + (ΑΕΒ) + (ΑΟΒ) + (ΔΟ) + (ΔΗ) + (ΟΒ) + (ΒΖ) = (ΑΟΔ) + (ΑΟΒ) + (ΔΟ) + (ΟΒ) = [(ΑΟΔ) + (ΑΟΒ) + (ΔΟ) + (ΟΒ)] = (ΑΒΔ) Ο δ α 6. Από την εκφώνηση έχουμε ότι Ε = 1. Όμως ξέρουμε ότι το εμβαδό του δ ρόμβου δίνεται από τη σχέση Ε = 1 δ δ. Άρα 1 α δ = 1 δ ή ή α = δ. Επειδή λοιπόν καταλήξαμε ότι η μία διαγώνιος του ρόμβου θα ισούται με την πλευρά του και επειδή οι διαδοχικές πλευρές του ρόμβου είναι ίσες, η διαγώνιος αυτή λοιπόν θα χωρίζει το ρόμβο σε δύο ίσα ισόπλευρα τρίγωνα. Ά- ρα υποχρεωτικά τότε η μία γωνία του ρόμβου θα είναι Ξέρουμε ότι το εμβαδό τριγώνου δίνεται από τη σχέση Ε = 1 α υα. Όμως σύμφωνα με την εκφώνηση είναι Ε = α μα. Άρα α μα = α υα ή μ α = υ α. ια να συμβαίνει όμως αυτή η σχέση ότι δηλαδή η διάμεσος του τριγώνου που αντιστοιχεί στην πλευρά α να ισούται με το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά α, πρέπει το τρίγωνο να είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο. 15

126 8. Ξέρουμε ότι το εμβαδό τριγώνου δίνεται από τη σχέση Ε = 1 α υα. Όμως, σύμφωνα με την εκφώνηση, είναι Ε = α δα. Άρα α δα = α υα ή δ α = υ α. ια να συμβαίνει όμως αυτή η σχέση ότι δηλαδή η διχοτόμος της γωνίας που αντιστοιχεί στην πλευρά α να ισούται με το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά α, πρέπει το τρίγωνο να είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο. 9. Η περίμετρος τετραγώνου πλευράς α είναι 4α και το εμβαδό του είναι α. Η περίμετρος ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς β είναι 3β. Σύμφωνα με την εκφώνηση έχουμε ότι 4α = 3β ή α =. Επομένως το εμβαδό του τετραγώνου 3β 4 3β με πλευρά α = θα είναι Ε = α 3β = 4 4 9β = Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΚΕΒ Α E 1 Β και ΚΔΖ είναι ίσα γιατί Κ 1 = Κ ως κατακορυφή, Δ 1 = B 1 ως εντός ε- ναλλάξ και ΚΒ = ΚΔ. Άρα ΕΒ = ΔΖ. Όμως επειδή ΑΒ = Δ θα έχουμε ότι ΑΒ - ΕΒ = Δ - ΔΖ ή ΑΕ = Ζ. Τα τραπέζια λοιπόν ΑΕΖΔ και ΕΒΖ είναι ισοδύναμα, αφού έχουν ίσα ύψη και ίσο ημιάθροισμα βάσεων. Δηλαδή: AΕ + ΔΖ υ = ΕΒ + Ζ υ ή (ΑΕΖΔ) = (ΒΖΕ). Δ 1 K 1 Ζ 16

127 11. α) (ΔΟΕ) = 1 ΟΔ ΟΕ ημε O Δ = 1 ΑΒ Β ημβ = (ΑΒ) Η ημε O Δ = ημβ γιατί το τετράπλευρο ΟΗΒΙ είναι εγγράψιμο, αφού έχει I = H = 90. β) Όμοια βρίσκουμε ότι (ΖΟΔ) = (ΑΒ) και (ΖΟΕ) = (ΑΒ). Άρα (ΔΟΕ) + (ΖΟΕ) + (ΖΟΔ) = 3 (ΑΒ). Ι 1. Είναι (ΑΒΔ) = Α. 4 Όμως (ΑΟΔ) = 1 ΟΑ ΟΔ ημο1 και Α Δ 30 1 Ο Β (ΑΟΒ) = 1 ΟΑ ΟΒ ημο Τα τρίγωνα αυτά είναι ισεμβαδικά γιατί O 1 + O = 180. Άρα (ΑΒΔ) = 4 (ΑΟΔ) 4 (ΑΟΔ) = Α 1 Α Α ή 4 ημο1 = 4 Α 4 ή Α ημο 1 = Α ή ημο 1 = 1 ή O 1 = Το εμβαδό τετραγώνου πλευράς α είναι Ε = α. Εδώ είναι α = 56 cm ή α = 16 cm. Αν ελαττώσουμε την πλευρά α κατά 10 cm, τότε γίνεται 6 cm η πλευρά και το εμβαδό τότε του τετραγώνου γίνεται Ε = 36 cm. Άρα ΔΕ = Ε - Ε = = 0 cm. 17

128 AB υ 14. Είναι: (ΑΒ) =, (ΔΑΒ) = Άρα (ΑΒ) = (ΔΑΒ) (ΚΑ) = (ΚΑΒ) + (ΑΒ) (ΚΔΒ) = (ΚΑΒ) + (ΔΑΒ) AB υ. Άρα (ΚΑ) = (ΚΔΒ). 15. Θα δείξουμε ότι (ΑΒΜ) = 3 (ΑΒ). Α Πράγματι: (ΑΒΜ) = 1 ΜΒ υ = 1 3 Β υ = 1 ( Β υ) = (ΑΒ) 3 3 M Β 16. Το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒ και το τρίγωνο ΚΛΜ με γωνία Κ = 10 έχουν γωνίες παραπληρωματικές. (ΚΛΜ) Επομένως = (ΑΒ) ΚΛ ΛΜ = AB A ΚΛ ΛΜ α α ΚΛ ΛΜ = α 17. α) Είναι γνωστό ότι: ΚΛ = AB - Δ Άρα (ΑΚΛ) = = 3α - α = α ΚΛ ΚΕ α = α = α ΑΕ = α, άρα ΔΕΑ παραλληλόγραμμο, άρα ΚΕ = α = α 18

129 β) Από το τραπέζιο ΚΛΒΑ προκύπτει ότι τα τρίγωνα ΑΚΛ και ΒΚΛ έχουν κοινή βάση ΚΛ και κοινό ύψος ΚΕ = α. Άρα (ΑΚΛ) = (ΒΚΛ). Όμοια, α- πό το τραπέζιο ΚΛΔ έχουμε ότι (ΚΛ) = (ΔΚΛ), αφού έχουν κοινή βάση Δ = α και κοινό ύψος ΚΔ = α. 18. Έστω α η πλευρά του τετραγώνου. Τότε το εμβαδό του είναι α. Αν η πλευρά του τετραγώνου αυξηθεί κατά 4 m, τότε: Ε = (α + 4) ή Ε = (α + 4) ή α = α + 8α + 16 ή 8α = ή 8α = 10 ή α = 15 m 19. Επειδή η περίμετρος του ρόμβου είναι 48 cm τότε 48 = 4α, όπου α είναι η πλευρά του ρόμβου. Άρα α = 1 cm. Όμως ο ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο και αφού η πλευρά του είναι α και το ύψος του είναι 5 cm, τότε το εμβαδό του είναι 1 cm 5 cm = 60 cm. 0. Έστω Ε το εμβαδό του τριγώνου ΑΒ. Τότε Ε = 1 α βημ = ημ60 = = 9 3 cm. Επομένως το εμβαδό του ισοπλεύρου τριγώνου θα είναι: α 3 = 9 3 ή α = 36 ή α = 6 cm. 4 19

130 1. Είναι: (ΑΔ) = 1 (ΑΒΔ) και (ΑΚ) = 1 (ΑΔ) = (ΑΒΔ) = (ΑΒΔ). 4 Όμοια (ΑΒ) = 1 (ΑΒΔ) και (ΑΛ) = 1 (ΑΒ) = (ΑΒΔ) = (ΑΒΔ) 4 Άρα (ΑΚΛ) = (ΑΚ) + (ΑΛ) = 4 1 (ΑΒΔ) (ΑΒΔ) = 1 (ΑΒΔ). α) Έστω Β = β και ΑΒ = α. β Είναι ΟΜ = Λ + BΔ α β ΟΒ = = Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΜ έχουμε: ΒΜ = Β + Μ ή ΒΜ = β + 1 ΒΜ = 4β + α α = 4 4β + 4 α β) (ΟΒΜ) = ΟΜ ΒΛ ΟΜ Μ (ΟΜ) = γ) Είναι η σχέση (1). = = β α = β α = αβ 8 (1) αβ. Άρα (ΟΒΜ) = (ΟΜ)

131 3. Έστω Ε το εμβαδό του τριγώνου ΑΒ. Τότε: (ΑΒ) = (ΑΚΒ) + (ΑΚ) γr βr Ε = + (ΑΒ = γ, Α = β) Ε = (β + γ) R 4. Είναι: Α 1 = Α, 1 = B 1, B 1 = 1. Άρα: Α Α B Β Β 1 1 Από την ομοιότητα των τριγώνων Α και Α B Α Α Β έχουμε: = (1) ΑΒ ΑΒ 4 Α 1 3 Τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΒ έχουν μια γωνία ίση, Α 3 = Α (ΑΒ) 4. Επομένως (ΑΒ ) Άρα (ΑΒ) = (ΑΒ ). = (1) ΑΒ A ΑΒ A = 1 1 Β 1 5. Β Κ = (Α ΚΒ + Α Κ) = = 10 α) (ΚΒ) = 1 ΚΒ Κ ημβ Κ = Α Κ = 15 3cm 3 Β β) (ΑKΒ) = AK ΚΒ ημa K Β = 6 = 3 3cm (ΑK) = 1 AK Κ ημa K = 1 10 ημ10 = = 5 3cm (ΑΒ) = (ΑKΒ) + (ΑK) + (KΒ) = = 3 3 cm 131

132 δ1 6. α) Έστω α = 5 cm η πλευρά του ρόμβου. Ισχύει: (Πυθαγόρειο θεώρημα) ή δ 1 + δ + = 5 δ = 100. Αφού (δ 1 + δ ) - δ 1 δ = 100, τότε έχουμε δ 1 + δ = 14 cm, δ 1 δ = 48 cm δ δ. Όμως Ε ρόμβου = 1 = 4 cm β) Ε = υ α ή 4 = υ 5. Άρα υ = 4,8 cm. 7. α) Αν Δ = x, τότε A = 5x. Α β Β Άρα Δ = 30, A = 150. α υ 1 υ Άρα ΑΜ = υ = α (1) Δ 30 Μ Ε = υβ (1) = αβ = 40 () Όμως (α + β) = 1α (3) Από (), (3) έχουμε β = 0 cm, α = 4 cm (4) β) Από (1), (4) έχουμε υ = cm. Όμως Ε = υ 1 α = 40 ή υ 1 4 = 40. Άρα υ 1 = 10 cm. 8. α) Τα τρίγωνα ΑΒ και ΖΕ έχουν τις Δ γωνίες τους και 1 παραπληρωματικές. Άρα = = (1) (ΖΕ) Ζ Ε (ΑΒ) Β Α 1 Ζ Α Β 1 β) Όμοια (ΔΒΕ) = (ΑΒ), (ΖΑΔ) = (ΑΒ) () (ΔΕΖ) = (ΑΒ) + (ΔΒΕ) + (ΖΕ) + (ΖΑΔ) Απ όπου και λόγω των (1), () έχουμε (ΔΕΖ) = 7 (ΑΒ). Ε 13

133 9. Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΒ έχουν κοινή γωνία Α, άρα: (ΑΒΕ) = (ΑΒ) AΒ ΑE AB A ΑE = A (1) Όμοια τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΕ, άρα: (ΑΔΕ) = (ΑΒΕ) AΔ ΑE AB AΕ ΑΔ = AΒ () ΑE ΑΔ Όμως από το θεώρημα του Θαλή: = A AΒ (3) (ΔΕ // Β) (ΑΒΕ) (ΑΔΕ) Από (1), (), (3) έχουμε =. (ΑΒ) (ΑΒΕ) Άρα (ΑΒΕ) = (ΑΒ) (ΑΔΕ). 30. α) ωνία ΚΒΕ + γωνία ΑΒ = 180. Θ (ΚΒΕ) γα Άρα = = 1 (ΑΒ) γα Λ Α Ι (ΑΒ = ΚΒ = γ, Β = ΒΕ = α). Κ βγ Άρα (ΚΒΕ) = (ΑΒ) = (Α = γ). Β βγ βγ Όμοια βρίσκουμε (ΔΙ) =, (ΛΑΘ) = Ε Δ β) (ΔΕΚΛΘΙ) = (ΑΒ) + (ΚΒΑΛ) + (ΑΙΘ) + (ΒΔΕ) + (ΚΒΕ) + (ΔΙ) + βγ (ΛΑΘ) = + γ + β + α βγ βγ βγ = α + β + γ + βγ = α + (β + γ) ή (ΔΕΚΛΘΙ) = α + βγ = (α + βγ). 133

134 31. α) Β A + Ε A Η = 180. Ε A Η (EAH) γβ Άρα = = 1. (ΑΒ) γβ β) (ΒΖΗΕΔ) = (ΑΒ) + (ΕΑΗ) + (ΕΑΒΔ) + (ΑΖΗ) = γβημ30 + Δ γ B 30 β Ζ γβημ150 + γ + β = γβ + γ + β 3. α) Αφού τρίγωνο ΑH ισοσκελές, τότε ΑΗ = Η = υ (1) και Α = υ. Αφού στο τρίγωνο ΑΒΗ, Β A Η = 30, τότε ΑΒ = ΒΗ = υ υ 3 = και 3 3 AB υ = 33 () Από (1), () έχουμε: Β = ΒΗ + Η = υ β) Ε = υ γ) Ε = υ 1 ΑΒ,, υ 1 = υ Ε = υ Α 3,, υ = υ

135 33. α) Τα τρίγωνα ΔΒΕ και ΑΒ έχουν κοινή την γωνία Β. (ΔΒΕ) ΒΔ ΒE 1 Άρα =, όμως ΒΕ = Β (ΑΒ) AB Β 3 και ΒΔ = 1 ΑΒ. (ΔΒΕ) Άρα = (ΑΒ) ΑΒ Β 3 ΑΒ Β Όμοια βρίσκουμε (ΖΕ) = 1 (ΑΒ) Ε =, άρα (ΔΒΕ) = = (ΑΒ) Ε 3 (ΑΒ) = και (ΑΔΖ) = Ε 3Ε Ε 7Ε β) (ΔΕΖ) = (ΑΒ) - (ΒΔΕ) - (ΑΔΖ) - (ΖΕ) = Ε = = 3Ε α) (ΑΒ) = ΑΒ Α ημ10 = 18 3 cm β) Τα τρίγωνα ΔΕ και ΑΒ έχουν κοινή την γωνία. (ΔΕ) Άρα = (ΑΒ) Δ E = A Β Β Α 3 Α Β = 6 Απ όπου (ΔΕ) = (ΑΒ) 6 = = 6 3 cm 35. α) Τα τρίγωνα ΒΜΔ και ΔΜ έχουν κοινό ύψος, έστω υ, από την κορυφή Μ. Έτσι: (BMΔ) = (ΔΜ) υ Β υ Δ Β =. Δ γ Α β Μ γ 1 Β Όμως = = β Δ (1) Β Δ (θεώρημα διχοτόμων στο ΑΒ, με ΑΔ διχοτόμο της γωνίας Α) (BMΔ) 1 Άρα = (ΔΜ) 135

136 (MΔ) Μ Δ β) = () (ΑΒ) Α Β Όμως από την (1) έχουμε: ΒΔ + Δ Δ = 1 + Β,, Δ = 3 (3) (MΔ) Έτσι, από τις (), (3) έχουμε: = (ΑΒ) A B 3 Α Β = = (ΟΑΒ) = κύκλου) AB ρ Δ ρ (ΟΔ) =, (ΟΑΔ) = B ρ (ΟΒ) = (ρ ακτίνα εγγεγραμμένου AΔ ρ AB + Δ (ΟΑΒ) + (ΟΔ) = ρ (ΟΑΔ) + (ΟΒ) = Όμως ΑΒ + Δ = ΑΔ + Β (), AΔ + Β Άρα, από (1) και () έχουμε (ΟΑΒ) + (ΟΔ) = (ΟΑΔ) + (ΟΒ) ρ (1) Σημείωση: Η απόδειξη της () είναι απλή λόγω της ισότητας των εφαπτόμενων προς τον κύκλο από σημείο εκτός αυτού. 37. α) (ΕΖΘ) = (ΑΘΕ) - (ΑΖΕ) (1) και (ΑΖΔ) = (ΑΔΕ) - (ΑΖΕ) () Όμως (ΑΘΕ) = (ΑΔΕ), διότι έχουν κοινή βάση την ΑΕ και ίσα ύψη από τις κορυφές Δ και Θ την απόσταση των παραλλήλων ΑΒ και Δ. Άρα, από (1), () έχουμε (ΕΖΘ) = (ΑΖΔ) 136

137 β) (ΕΖΘΗ) = (ΕΖΘ) + (ΕΘΗ) (3) Όμως στο ερώτημα (α) αποδείξαμε ότι (ΕΖΘ) = (ΑΖΔ) (4) και με όμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι (ΕΘΗ) = (ΗΒ) (5) Άρα η (3) λόγω των (4), (5) γίνεται: (ΕΗΘΖ) = (ΑΖΔ) + (ΗΒ) 38. α) Το ΑΖΕΔ είναι τραπέζιο (γενικά). Άρα: ΑZ + ΔE ΗΜ =. ΑZ + ΔE Άρα (ΑΖΕΔ) = υ = ΗΜ υ (1) β) Όμοια με το ερώτημα (α) αποδεικνύεται ότι (ΖΒΕ) = ΜΘ υ () Όμως ΜΘ = ΗΜ (3) Η υ Δ Ε Άρα από τις (1), (), (3) έχουμε: (ΑΖΕΔ) = (ΖΒΕ) Α Ζ Β // // Μ Θ 39. α) (ΑΗ) = (ΑΘΗ) + (ΘΗ). Όμως τα τρίγωνα ΑΘΗ και ΘΗ έχουν κοινή βάση τους ΘΗ = ύψη α - β β) (ΑΒΖΕ) = (ΑΒΖΕ) = υ, άρα (ΑΗ) = υ 1 (α - β) = 4 υ α - β α - β α + β + α EZ + α υ = 3α + β 8 Άρα (ΑΒΖΕ) - (ΕΖΔ) = και ίσα υ 1 + υ. Όμοια (ΕΖΔ) = α - β 4 3α + β υ = υ = (ΑΗ) 3β + α 8 υ 3α + β υ = ή 4 υ. 137

138 40. α) 17 = , άρα α = β + γ Α Άρα ΑΒ ορθογώνιο στο Α. β) Τα τρίγωνα (ΑΒΔ), (ΑΔ) είναι όμοια. β γ (ABΔ) γ 15 Άρα: = (ΑΔ) β = 8 1 Δ α Β 41. Τα τρίγωνα ΑΕΖ και ΑΒ είναι όμοια. Άρα (ΑΕΖ) ΑΜ = (ΑΒ) ΑΔ = 4 =. 3 9 Αφού (ΑΒ) = 90 cm, τότε (ΑΕΖ) = = 40 cm 4. α) Τα τρίγωνα ΔΔ και ΒΒ Α είναι ίσα διότι έχουν: i) BB = ΔΔ ii) Δ = ΒΑ Α Δ 1 Β iii) Δ = Β Άρα Δ = Β Α. Δ Β Α Όμοια Β = Δ Α, άρα το Β Α Δ είναι παραλληλόγραμμο. β) Δ = ( Β ) 1, άρα έχουμε = (ΑΔ) Άρα: ( Β ) = (ΑΔ) = Ε = Ε Β ΑΔ Δ = Δ = Δ Όμοια: ( ΔΔ ) = Ε. Έτσι έχουμε: (Α Β Δ ) = (ΑΒΔ) + ( ΔΔ ) + ( Β ) = Ε + Ε + Ε = 5Ε 138

139 43. Τα τρίγωνα ΑΔΟ, ΑΟΒ έχουν κοινή βάση ΟΑ και ίσα ύψη υ από τις κορυφές Δ και Β (η ισότητα των υψών είναι προφανής λόγω της ισότητας των αντιστοίχων ορθογωνίων τριγώνων που σχηματίζονται από τα ύψη και τις πλευρές ΑΔ, Β του παραλληλογράμμου ΑΒΔ), άρα είναι ισοδύναμα. 44. Είναι τρίγωνα ΑΗΔ = ΖΒ. Άρα ΑΗ = ΖΒ και Δ = ΗΖ (αφού ΔΗΖ ορθογώνιο παραλληλόγραμμο). Άρα ΑΖ = ΗΖ + ΑΗ = Δ + ΑΗ (1) ΗΒ = ΗΖ + ΖΒ = Δ + ΖΒ = Δ + ΑΗ = ΑΖ () Α Η Ζ (ΑΒΔ) = = Δ + ΑΒ Δ + ΑΗ + ΗΒ υ = υ = ( ) ΑΖ ΗΒ ΑΖ ΑΖ υ + υ = υ + υ = (ΑΖ) Δ Δ + ΑΗ υ + ( 1) ΗΒ υ = Β 45. α + v + V = 60 (1) v + V 8 = 160 () Από την (1) λόγω της () έχουμε α = 0, άρα α = 10 m. α Α 8 v Β α Στο Β H έχουμε α = ΒΗ + Η,, Η = 6 m Δ Θ V Όμως ΔΘ = Η, άρα v + Η = 60 - α = 40,, v = 14 m Άρα V = = 6 m. Η 139

140 46. Αφού Ο Δ Ο A Β ΟΔ Ο Δ α) = = ΟΑ ΟΒ ΑΒ ή ΟΔ ΟΑ - ΟΔ = Ο ΟΒ - Ο = Δ ΑΒ - Δ ή ΟΔ Ο 0 = =, απ όπου ΟΔ = 1 cm, Ο = 16 cm. ΔΑ Β 50 Αφού = 0, τότε τρίγωνο ΟΔ ορθογώνιο στο O. β) (ΑΒΔ) = (ΟΑΒ) - (ΟΔ) = = 1080 cm. 47. Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει: μ α = υ α, όμως υ α = Όμοια μ β = α 3, μ γ = α 3. Άρα μ α + μ β + μ α 3 γ = 3 α = 3 α 3 3 (1) 4 3 Όμως = Ε () 4 Άρα η (1) λόγω της () γίνεται: μ α + μ β + μ γ = 3Ε 3. α 3. EB υ 48. (EΔB) = ΕA υ (AΕ) = Α Ε Β (EΔB) + (AΕ) = (EB + ΕA) υ = υ υ ΑΒ υ = = (ΑΒΔ) Δ 140

141 49. (ΑΕΔ) = (ΑΒΔ) 3 ή Α Ε Β AΕ AΔ = 6 ή 3 AΕ 6 = 1 ή ΑΕ = 4 Όμοια βρίσκουμε Ζ = 4. 6 Ζ Δ E 1 = α 3 β 3, E =, E 3 = γ 3 Όμως: α + β = γ, άρα E 1 + E = E

142 51. α) (ΑΒ) = 1 Α Β ημ. Παρατηρούμε ότι αν ημ γίνει μέγιστο θα έχουμε το μεγαλύτερο δυνατό εμβαδό. Άρα αν = 90, τότε ημ = 1 (μέγιστο) και Α Β (ΑΒ) = = 600 m. Συνεπώς οι πρόσκοποι πρέπει να σχηματίσουν τρίγωνο με γωνία = 90. β) (ΑΒ) = 1 Α Β ημ = = 61,5 m Α + Β = 70 m για να είναι μέγιστο το Α Β πρέπει Α = Β = 35 m. Σημείωση: Είναι γνωστό ότι το γινόμενο δύο αριθμών με σταθερό άθροισμα γίνεται μέγιστο όταν οι αριθμοί γίνουν ίσοι. 5. α) (ΑΒΔ) = (α + β) β) Τα τρίγωνα ΑΖΕ, ΕΔΘ, ΘΗ, ΖΒΗ είναι προφανώς ίσα και ορθογώνια λόγω της κατασκευής τους (βλ. σχήμα). Άρα ΕΖ = ΖΗ = ΗΘ = ΘΕ = γ. Α β γ Ζ 1 Β Η Όμως: Άρα Ε 1 + Ζ 1 = 90 Ζ 1 = Ε Ε + Θ 1 = 90 Ε 1 = Θ 1 Ε 1 + Ε = 90, άρα Ε 3 = Ε 3 Άρα το ΕΖΗΘ είναι τετράγωνο. γ) Προφανώς ΔΘ = β = ΖΒ = Η = β (βλ. (β) ερώτημα). Άρα (ΑΖΕ) = (ΕΘΔ) = (ΘΗ) = (ΗΒΖ) = (ΕΖΗΘ) = γ = α + β. α Δ αβ 1 Θ δ) (ΑΒΔ) = γ αβ + 4 αλλά (ΑΒΔ) = (α + β) Άρα (α + β) = γ + αβ ή α + β + αβ = γ + αβ ή α + β = γ Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΕΖ. 14

143 53. α) (ΗΖΕ) = 900 m Α 60 Β β) (ΑΒΔ) = 3600 m (ΑΒΖΗΕΔ) = Η Ζ = 700 = 675 m 4 30 Δ Ε 30 γ) Όπως φαίνεται από το διπλανό σχή- Α z z ω y x Β μα, τα τέσσερα οικόπεδα (Ι), (ΙΙ), (ΙΙΙ), (ΙV) έχουν αντίστοιχα προσό- IV III II I 30 ψεις x, y + ω, z, z στον εθνικό δρόμο 60 και πρέπει να είναι ισεμβαδικά. Η Z Δηλαδή Ε Ι = Ε ΙΙ = Ε ΙΙΙ = Ε ΙV, απ ό- που έχουμε: x 30 = y 30 + ω 60 = z 60 = 675 Δ Ε 675 Απ όπου: z = = 11,5 (1) x = =, 5 () y + ω = =,5 (3) 30 Αλλά z + ω + y + x = 60, η οποία λόγω των (1), () γίνεται: 11,5 + ω + y +,5 = 60 ή ω + y = 15 (4) Λύνοντας το σύστημα των (3) και (4) έχουμε: y = 7,5 και ω = 7,5 Άρα η περίμετρος των Ε Ι, Ε ΙΙ, Ε ΙΙΙ, Ε ΙV είναι αντίστοιχα 105 m, 150 m, 135 m, 135 m. 143

144 54. α) ΔΒ = ΑΒ + ΑΔ = m Α Ζ Β Άρα ΔΒ 848,5 m Α β) E = m Ι Κ Λ γ) Το ΑΖΚΙ είναι ορθογώνιο τραπέζιο, Η Σ Ο Μ Ε αφού ΑΖ // ΙΛ και Z= 90. Επίσης και τα ΖΚΛΒ, ΛΒΕΜ, ΜΕΝ, ΠΝΘ, Ρ Π Ν ΡΠΘΔ, ΔΡΣΗ, ΗΣΙΑ. δ) i) (ΑΖΚΙ) = ΑΖ + IK ΚΖ Δ Θ Όμως ΚΖ = ΟΖ - ΟΚ = = 150 m. Άρα (ΑΖΚΙ) = = m ii) ΑΙ = Α 1,1. 4 Άρα η περίμετρος Π ΑΖ + ΖΚ + ΙΚ + ΑΙ = ,1 = 81,1 m. 55. Φέρνουμε το ύψος ΑΔ και από το Α ευθεία παράλληλη προς την Β, την Αx. Παίρνουμε τμήμα Α Ζ x Β ΑΖ πάνω στην Αx ώστε ΑΖ =. Το ζητούμενο ορθογώνιο έχει πλευρές ΑΔ, ΑΖ. Β Δ Η 144

145 56. Α φάση: Από το Ε φέρ- Δ νουμε παράλληλη προς την ΔΑ, την ΕΖ. Το πεντάγωνο ΑΒΔΕ μετασχηματίζεται Ε σε ισοδύναμο τετράπλευρο, το ΖΒΔΖ. Β φάση: Φέρνουμε τη Ζ Α Δ Β διαγώνιο ΔΒ και από το την Η // ΔΒ. Το ΖΔΗ είναι ισοδύναμο με το τε- τράπλευρο ΖΔΒ. Ζ Β Η Α 57. Φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Πάνω στην προέκταση της Β παίρνουμε Ε = ΒΔ. Το τρίγωνο ΑΔΕ είναι το ισοδύναμο ορθογώνιο. Β Δ Ε Β 58. Εάν x είναι η πλευρά του τετραγώνου, τότε x = 3 7. Κατασκευάζουμε το x ως μέση ανάλογο των 3 και 7. Σε ευθεία xy παίρνουμε διαδοχικά x x 3 A 7 y τα τμήματα 3, 7. Με διάμετρο το 10 γράφουμε ημικύκλιο και στο σημείο Α υψώνουμε κάθετο. Το μήκος του ΑΒ είναι η ζητούμενη πλευρά του τετραγώνου. 145

146 Κεφάλαιο 11: ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΩΝΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Δύο κανονικά οκτάγωνα είναι όμοια. Σ Λ. * Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια. Σ Λ 3. * Ένα κυρτό πολύγωνο που έχει όλες του τις γωνίες ίσες είναι κανονικό. Σ Λ 4. * Ένα κυρτό πολύγωνο που έχει όλες του τις πλευρές ίσες είναι κανονικό. Σ Λ 5. * Η γωνία ενός κανονικού ν-γώνου και η κεντρική του γωνία είναι συμπληρωματικές. Σ Λ 6. * Η γωνία ενός κανονικού ν-γώνου και η κεντρική του γωνία είναι ίσες μεταξύ τους. Σ Λ 7. * Δύο κυκλικοί τομείς του ίδιου κύκλου ή ίσων κύκλων που αντιστοιχούν σε ίσα τόξα, έχουν ίσα εμβαδά. Σ Λ 8. * Το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου είναι αντιστρόφως ανάλογο της ακτίνας του. Σ Λ 9. * Ο λόγος των μηκών δύο κύκλων είναι ίσος με το λόγο των ακτίνων τους. Σ Λ 10. * Ο λόγος των εμβαδών δύο κύκλων είναι ίσος με το λόγο των ακτίνων τους. Σ Λ 11. * Αν φ ν ν-γώνου, τότε φ είναι μία από τις ίσες γωνίες ενός κανονικού ν o 180 = 360 ν o. Σ Λ 1. * Η κεντρική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου δίνεται από τον τύπο ω ν = 360o. ν Σ Λ 146

147 13. * Ακτίνα ενός κανονικού πολυγώνου λέγεται κάθε ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του. Σ Λ 14. * Ο περιγεγραμμένος και εγγεγραμμένος κύκλος κάθε κανονικού πολυγώνου είναι ομόκεντροι κύκλοι. Σ Λ 15. * Η πλευρά ενός τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο, ισούται με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Σ Λ 16. * Το απόστημα ενός κανονικού εξαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ισούται με την πλευρά του εξαγώνου. Σ Λ 17. * Το απόστημα ενός ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ισούται με το μισό της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου. Σ Λ 18. * Η κεντρική γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίση με τη γωνία που σχηματίζουν τα αποστήματα δύο διαδοχικών πλευρών του. Σ Λ 19. * Η γωνία ενός κανονικού πολυγώνου και η κεντρική του γωνία είναι παραπληρωματικές. Σ Λ 0. * Δύο πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια. Σ Λ 1. * Σε δύο όμοια κανονικά πολύγωνα, ο λόγος ομοιότητάς τους ισούται με το τετράγωνο του λόγου των ακτίνων του. Σ Λ. * Ένα περιγεγραμμένο σε κύκλο πολύγωνο με όλες τις πλευρές ίσες είναι κανονικό. Σ Λ 3. * Δύο κυκλικοί τομείς του ίδιου κύκλου έχουν ίσα εμβαδά. Σ Λ 4. * Ο τύπος ν ν 4α = 4R - λ συνδέει την πλευρά λ ν, το απόστημα α ν και την ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου κανονικού ν-γώνου. Σ Λ 5. * Ο λόγος του μήκους κύκλου προς το μήκος της διαμέτρου του ισούται με π. Σ Λ 6. * Το μήκος κύκλου ακτίνας 1 είναι π. Σ Λ 147

148 Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Εάν το απόστημα κανονικού πολυγώνου, εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R, είναι R, η πλευρά του είναι Α. R Β. R. R Δ. R Ε. R. * Εάν η πλευρά κανονικού πολυγώνου, εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R, είναι R 3, το απόστημά του είναι Α. R Β. R 3. R Δ. R 3 Ε.3R 3. * Εάν το απόστημα κανονικού πολυγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R, είναι R 3 η πλευρά του είναι Α. R Β. R. R Δ. R Ε. R 4. * Η σχέση, που συνδέει τα στοιχεία α ν και λ ν (αποστήματος και πλευράς) κανονικού ν-γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R είναι Α. α. α ν ν + λ = R Β. α ν ν ν ν λ + = λ + = R Δ. αν + λ ν = R 4 Ε. α ν + λ ν = R 4 5. * Το κανονικό πολύγωνο, που η εξωτερική του γωνία είναι ορθή, είναι Α. ισόπλευρο τρίγωνο Β. τετράγωνο. κανονικό πεντάγωνο Δ. κανονικό εξάγωνο Ε. κανονικό δεκάγωνο R 148

149 6. * Το κανονικό πολύγωνο, που η εξωτερική του γωνία είναι αμβλεία, είναι Α. ισόπλευρο τρίγωνο Β. τετράγωνο. πεντάγωνο Δ. εξάγωνο Ε. οκτάγωνο 7. * Εάν η κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο α- κτίνας R, είναι 60 ο, τότε η πλευρά του (συναρτήσει του R) είναι Α. R Β. R 3. R Δ. R Ε. R 8. * Αν φ ν είναι μία από τις ίσες γωνίες ενός κανονικού ν-γώνου τότε φ ν σούται με Α Β ν ν ν 180 Δ Ε. 360 ν ν ι- 9. * Αν Ρ ν η περίμετρος ενός κανονικού ν-γώνου, τότε το εμβαδό του Ε ν είναι Α. 1 λ α ν ν Β. 1 P α ν ν. 1 P λ ν ν Δ. 1 P λ ν ν Ε. 1 νp λ ν ν 10. * Η πλευρά λ 6 κανονικού εξαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R είναι Α. R 3 Β. R. R Δ. R Ε. R * Η πλευρά λ 4 τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R είναι Α. 1 R Β. R. R Δ. R Ε. 1 R 3 149

150 1. * Η πλευρά λ 3 ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R είναι Α. R 3 Β. R. R 3 Δ. 1 R Ε. R * Το κανονικό πολύγωνο του οποίου η πλευρά λ ν ισούται με την ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου είναι Α. τρίγωνο Β. τετράγωνο. πεντάγωνο Δ. εξάγωνο Ε. δεκάγωνο 14. * Το κανονικό πολύγωνο του οποίου το απόστήμα α ν ισούται με το μισό της πλευράς λ ν είναι: Α. τρίγωνο Β. τετράγωνο. πεντάγωνο Δ. εξάγωνο Ε. δεκάγωνο 15. * Το μήκος S τόξου μ μοιρών που ανήκει σε κύκλο ακτίνας R είναι Α. πrμ 180 Β. πr μ 180. πrμ 360 Δ. πrμ 180 Ε. πr μ * Το εμβαδό Ε κυκλικού δίσκου (0, R) είναι Α. πr B. πr. π R Δ. π R E. π 17. * Η κεντρική γωνία κανονικού εξαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο είναι Α. 30 Β Δ. 90 Ε * Η κεντρική γωνία ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο είναι Α. 30 Β Δ. 90 Ε * Η γωνία κανονικού πενταγώνου είναι Α. 30 Β Δ. 108 Ε

151 0. * Η γωνία κανονικού δεκαγώνου είναι Α. 30 Β Δ. 144 Ε * Το κανονικό πολύγωνο με γωνία 108 είναι Α. τετράγωνο Β. πεντάγωνο. εξάγωνο Δ. οκτάγωνο Ε. δεκάγωνο. * Το κανονικό πολύγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R με κεντρική γωνία 4 είναι Α. εξάγωνο Β. οκτάγωνο. δεκάγωνο Δ. δωδεκάγωνο Ε. 15γωνο 3. * Το απόστημα α 3 ισοπλεύρου τριγώνου, εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R είναι Α. 1 R 3 Β. R R Δ. R 3 Ε. R * Το απόστημα α 4 τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R είναι Α. R Β. 1 R. 1 R Δ. 1 R Ε. R * Το εμβαδόν Ε μ ενός κυκλικού τομέα μ μοιρών είναι A. πrμ 360 Β. πr μ 360. πr μ 180 Δ. πrμ 180 Ε. πrμ

152 6. * Το γραμμοσκιασμένο τμήμα του σχήματος είναι Α. ημικύκλιο Β. μηνίσκος. τεταρτοκύκλιο Δ. κυκλικός τομέας Ε. κυκλικό τμήμα 7. * Το μήκος κύκλου ακτίνας R είναι Α. πr B. πr. πr Δ. πr Ε. πr 8. * Δύο πολύγωνα είναι όμοια όταν Α. έχουν το ίδιο αριθμό πλευρών Β. είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο. είναι κανονικά και έχουν τον ίδιο αριθμό πλευρών Δ. είναι περιγεγραμμένα σε ομόκεντρους κύκλους Ε. έχουν τον ίδιο αριθμό γωνιών 9. * Ένα πολύγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο Α. είναι κανονικό. B. είναι όχι απαραίτητα κανονικό.. έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Δ. έχει όλες τις κεντρικές γωνίες του ίσες. Ε. έχει όλες τις γωνίες του ίσες. 30. * Αν ένα κανονικό πολύγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (0, R) και το απόστημά του α ν ισούται με το R, τότε το πολύγωνο είναι Α. τρίγωνο Β. τετράγωνο. εξάγωνο Δ. οκτάγωνο Ε. δεκάγωνο 15

153 31. * Ένα πολύγωνο το οποίο είναι εγγεγραμμένο και ταυτόχρονα περιγεγραμμένο σε δύο ομόκεντρους κύκλους είναι Α. ισοσκελές τρίγωνο. Β. ισοσκελές τραπέζιο.. τυχόν τετράπλευρο. Δ. κανονικό. Ε. κανένα από τα παραπάνω. 3. * Σε ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο (μ) πλήθος πλευρών η κεντρική του γωνία ω είναι Α. 360 Β. 360 µ μ + Δ. 180 μ Ε. κανένα από τα παραπάνω. 33. * Κάθε κανονικό πολύγωνο που μπορεί να χωριστεί σε διαδοχικά ισόπλευρα και ίσα τρίγωνα με κοινή κορυφή το κέντρο του πολυγώνου είναι Α. τετράγωνο Β. πεντάγωνο. εξάγωνο Δ. δεκάγωνο Ε. κανένα από τα παραπάνω Ερωτήσεις συμπλήρωσης 1. * Εάν το απόστημα α ν κανονικού πολυγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο, α- κτίνας R ισούται με R, η πλευρά λ ν ισούται με... και το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου είναι.. * Εάν το απόστημα α ν κανονικού πολυγώνου, εγγεγραμμένου σε κύκλο α- κτίνας R ισούται με R 3, η πλευρά του λ ν ισούται με...και το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου είναι. 153

154 3. * Εάν το απόστημα α ν κανονικού πολυγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R ισούται με R, η πλευρά του λ ν ισούται με... και το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου είναι. 4. * Εάν η πλευρά λ ν κανονικού πολυγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R ισούται με R το απόστημά του α ν ισούται με... και το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου είναι. 5. * Να συμπληρωθεί ο πίνακας: Κανονικό πολύγωνο Κεντρική γωνία (ω ν ) σε μοίρες τρίγωνο τετράγωνο οκτάγωνο δεκάγωνο εικοσάγωνο ωνία πολυγώνου (φ ν ) σε μοίρες 6. * Να συμπληρωθεί ο πίνακας: Κεντρική γωνία (ω ν ) κανονικού πολυγώνου σε μοίρες Πλήθος πλευρών (ν) κανονικού πολυγώνου 154

155 7. * Να συμπληρωθεί ο πίνακας: ν : πλήθος λ ν : πλευρά πλευρών κανονικού κανονικού πολυγώνου ν-γώνου α ν : απόστημα κανονικού ν-γώνου Ε ν : εμβαδόν κανονικού ν-γώνου 8. * Να συμπληρωθεί ο πίνακας: ωνία (φ ν ) κανονικού πολυγώνου σε μοίρες Είδος κανονικού πολυγώνου 9. * Να συμπληρωθεί ο πίνακας: ν : πλήθος πλευρών κανονικού πολυγώνου α ν : απόστημα κανονικού πολυγώνου λ ν : πλευρά κανονικού πολυγώνου Ε ν : εμβαδόν κανονικού πολυγώνου ν = 3 5cm ν = 4 144cm ν = 6 10cm 155

156 10. * Να συμπληρωθεί ο πίνακας: Ακτίνα R κύκλου Μήκος L κύκλου Εμβαδόν Ε κύκλου 30π 0πα α 3 α 3 15πα 7π 11. * Να συμπληρωθεί ο πίνακας: Ακτίνα R κύκλου ωνία μ μοιρών κυκλ. τομέα Μήκος τόξου S Eμβαδόν E κυκλ. τομέα 8 16π 3 9 9π 5 5α α π α 1 1. * Να συμπληρωθεί ο πίνακας: Τόξο μ μοιρών Μήκος τόξου πr 4 3πR 4 156

157 Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. * Αντιστοιχίστε κάθε ένα κανονικό πολύγωνο της στήλης (Α) με το εμβαδό του στη στήλη (Β). Στήλη Α Κανονικά πολύγωνα εγγεγραμμένα σε κύκλο ακτίνας R τρίγωνο τετράγωνο εξάγωνο Στήλη Β Εμβαδά καν. πολυγώνων συναρτήσει του R 4R 3R R 3 R 3R 3. * Αντιστοιχίστε κάθε πλευρά κανονικού πολυγώνου της στήλης (Α) με το αντίστοιχο απόστημά του, στη στήλη (Β). Στήλη Α Πλευρά λ ν κανονικού πολυγώνου συναρτήσει του R R R 3 R Στήλη Β Απόστημα α ν καν. πολυγώνου συναρτήσει του R R R 3 R R R 3 157

158 3. * Αντιστοιχίστε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) με το αντίστοιχο στοιχείο της στήλης (Β). Στήλη Α Κεντρική γωνία ω ν κανονικού πολυγώνου Στήλη Β Πλευρά λ ν κανονικού πολυγώνου (συναρτήσει του R) R 60 o 90 o 10 o R R R 3 R 3 4. * Αντιστοιχίστε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) με το αντίστοιχο στοιχείο της στήλης (Β). Στήλη Α Ακτίνα κύκλου α α 3 α Στήλη Β Εμβαδόν κύκλου πα 4 4πα 3πα 3πα πα 158

159 5. * Στη στήλη (Α) αναγράφονται το μέτρο μ μοιρών τόξου και η ακτίνα του κύκλου του, R. Στη στήλη (Β) αναγράφεται το μήκος του S. Αντιστοιχίστε κάθε τόξο της στήλης (Α) με το μήκος του στη στήλη (Β). Στήλη Α μ = 60 ο R = 1 μ = 30 ο R = Στήλη Β S = π S = 3 π 3 S = 3π S = π 3 μ = 90 ο R = μ = 10 ο R = 3 S = π 6 S = π 159

160 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εμβαδόν του.. ** Υπάρχει κανονικό πολύγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R του ο- ποίου η κεντρική γωνία είναι 16 ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 3. ** Τετράγωνο ΑΒΔ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (0, R) και η ημιπερίμετρός του είναι 80 cm. Να υπολογιστούν: α) Η ακτίνα R του κύκλου. β) Ο λόγος εμβαδό τετραγώνου εμβαδό κύκλου. 4. ** Τετράγωνο ΑΒΔ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (0, R). νωρίζοντας (βλέπε το σχήμα της άσκησης 3), ότι Α - ΑΒ = 1 cm, να υπολογιστούν: α) Η ακτίνα του κύκλου. β) Το εμβαδόν του κύκλου. 5. ** Αν είναι λ 4 +λ 3 = 96 cm όπου λ 4 και λ 3 πλευρές των εγγεγραμμένων σε κύκλο (0, R) τετραγώνου και ισοπλεύρου τριγώνου, να υπολογιστούν: α) Η ακτίνα R του κύκλου. β) Τα αποστήματα α 4 και α 3 των ανωτέρω κανονικών πολυγώνων. 6. ** Να αποδείξετε ότι τα μέσα των πλευρών ενός κανονικού εξαγώνου είναι κορυφές επίσης κανονικού εξαγώνου. 160

161 7. ** Ο λόγος των αποστημάτων δύο κανονικών οκταγώνων είναι 3 4. Να υπολογιστούν: α) Ο λόγος των περιμέτρων τους. β) Ο λόγος των εμβαδών τους. 8. ** Κανονικού πολυγώνου, η ακτίνα R είναι 8 cm και το απόστημά του α είναι 4 3cm. Να υπολογιστούν: α) Η πλευρά του λ. β) Η κεντρική του γωνία ω σε μοίρες. γ) Το πλήθος ν των πλευρών του. 9. ** Δίνεται κανονικό εξάγωνο ΑΒΔΕΖ και ισόπλευρο τρίγωνο ΑΕ. Να υπολογιστούν: α) Η πλευρά Α, αν γνωρίζουμε ότι ΑΒ = 6 cm. β) Ο λόγος (ABΔΕΖ) (AΕ) των εμβαδών τους. 10. ** Δίνεται κύκλος (0, R) και το εγγεγραμμένο τετράγωνο ΑΒΔ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΒ και πάνω στην προέκταση παίρνουμε τμήμα ΒΕ = ΒΑ. Να δείξετε ότι: α) Α = Ε β) Το ευθύγραμμο τμήμα Ε είναι εφαπτόμενο του κύκλου (0, R) στο σημείο. γ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΕ (συναρτήσει του R). 161

162 11. ** Σε κύκλο ακτίνας R παίρνουμε τα διαδοχικά o τόξα AB =60, B o =90, Δ =10 o. α) Να αποδείξετε ότι το ΑΒΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο. β) Να υπολογίσετε τις πλευρές του. γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του. Δ Α Β 1. ** Σε κύκλο ακτίνας R το ΑΒΔ είναι εγγεγραμμένο τετράγωνο και το Α Β Δ περιγεγραμμένο τετράγωνο. α) Να εκφραστούν οι πλευρές λ 4 και λ 4 των δύο τετραγώνων συναρτήσει της α- κτίνας R. β) Να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών τους E E. 13. ** Δύο ίσα κανονικά εξάγωνα έχουν μία πλευρά κοινή μήκους λ (τα εξάγωνα δεν ταυτίζονται). Να υπολογίσετε την απόσταση των κέντρων τους συναρτήσει του λ. 14. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm εγγράφονται ισόπλευρο τρίγωνο και κανονικό εξάγωνο. Να υ- πολογιστούν: α) Το εμβαδόν του κανονικού εξαγώνου ΑΒΔΕΖ. β) Το εμβαδόν των τριών γραμμοσκιασμένων μερών. 16

163 15. ** Σε κύκλο ακτίνας R εγγράφουμε κανονικό πολύγωνο, με κεντρική γωνία ίση με τα 4 3 μιας ορθής. α) Ποιο είναι το πλήθος των πλευρών του κανονικού αυτού πολυγώνου; β) Να βρείτε το εμβαδόν του πολυγώνου αυτού (συναρτήσει του R). 16. ** Σε κύκλο ακτίνας R είναι εγγεγραμμένο κανονικό εξάγωνο. Να βρεθούν: α) Το εμβαδόν του εξαγώνου (συναρτήσει του R). β) Το εμβαδόν του μέρους του κύκλου που βρίσκεται έξω από το εξάγωνο. 17. ** Κύκλος είναι εγγεγραμμένος σε τετράγωνο πλευράς α. Να υπολογίσετε: α) Το εμβαδόν του κύκλου (συναρτήσει του α). β) Το εμβαδόν του μέρους του τετραγώνου, που βρίσκεται εκτός του κύκλου. 18. ** Σ ένα κύκλο με ακτίνα R = 6 cm εγγράφουμε τετράγωνο και στο τετράγωνο εγγράφουμε νέο κύκλο. Να υπολογιστούν: α) Το εμβαδό του τετραγώνου. β) Ο λόγος των εμβαδών των δύο κύκλων. 19. ** Κύκλος ακτίνας R διαιρείται σε δύο κυκλικά τμήματα από την πλευρά ΑΒ ισοπλεύρου τριγώνου που είναι εγγεγραμμένο σ αυτόν. Να υπολογιστούν: α) Το μήκος του μικρότερου τόξου ΑΒ. β) Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΑΟΒ. 0. ** Δύο ίσοι τεμνόμενοι κύκλοι (Ο, R) και (Ο, R) έχουν διάκεντρο ίση με R και κοινή χορδή ΑΒ. Να βρεθούν: α) Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΑΟΒ. β) Το εμβαδόν του κοινού μέρους των δύο κύκλων. 163

164 1. ** Σε κύκλο ακτίνας R η χορδή ΑΒ αντιστοιχεί στην πλευρά λ 4 εγγεγραμμένου τετραγώνου και χωρίζει τον κύκλο σε δύο κυκλικά τμήματα. Να βρεθούν: α) Το εμβαδόν του μικρότερου κυκλικού τμήματος του κύκλου. β) Το εμβαδόν του μεγαλύτερου κυκλικού τμήματος.. ** Κύκλος με ακτίνα R είναι εγγεγραμμένος σε τετράγωνο ΑΒΔ. Με κέντρο την κορυφή Α του τετραγώνου ΑΒΔ και ακτίνα την διαγώνιό του Α γράφουμε κύκλο. Να υπολογιστούν: α) Το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΔ αν είναι γνωστή η ακτίνα R. β) Ο λόγος των εμβαδών των δύο κύκλων. 3. ** Σε τετράγωνο πλευράς α εγγράφουμε και περιγράφουμε δύο κύκλους. Να υπολογιστούν: α) Το εμβαδόν του εσωτερικού κύκλου. β) Ο λόγος των εμβαδών των δύο κύκλων. 4. ** Να δειχθεί ότι το εμβαδόν κύκλου, που έχει διάμετρο την υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο άλλων κύκλων, που έχουν διαμέτρους τις κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου. 164

165 5. ** Σε κύκλο (0, R) θεωρούμε δύο κάθετες ακτίνες του ΟΑ και ΟΒ. Με διάμετρο την ΑΒ γράφουμε εκτός του κύκλου ημικύκλιο. Να υπολογιστούν: α) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ. β) Το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μηνίσκου ΟΑΒ. 6. ** Να δείξετε ότι η διχοτόμος της γωνίας ΑΒΕ ενός κανονικού πενταγώνου ΑΒΔΕ είναι κάθετη στη πλευρά Β. 7. ** Να δείξετε ότι κάθε διαγώνιος κανονικού πενταγώνου είναι παράλληλη προς μία πλευρά του. 8. ** Δίνεται κανονικό εξάγωνο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας 3cm. Να υπολογίσετε: α) την πλευρά του β) το απόστημά του γ) το εμβαδόν του. 9. ** Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒ πλευράς λ 3 = 9 cm εγγεγραμμένο σε κύκλο, ακτίνας R. Να υπολογιστούν: α) Το μήκος του κύκλου. β) Το εμβαδόν των τριών κυκλικών τμημάτων που βρίσκονται έξω από το τρίγωνο. 165

166 30. ** Δίνεται κύκλος με διάμετρο ΑΒ = 6α. Διαιρούμε την διάμετρο ΑΒ σε τρία ίσα τμήματα Α = Δ = ΔΒ. Με διαμέτρους τις Α, Δ και ΔΒ γράφουμε τρεις ίσους κύκλους. Να υπολογισθούν: α) Το εμβαδόν του κύκλου με διάμετρο την ΑΒ. β) Το εμβαδόν καθενός των τριών ίσων κύκλων. γ) Το λόγο του αθροίσματος των εμβαδών των τριών ίσων κύκλων προς το εμβαδό του κύκλου (Ο,ΟΑ). δ) Το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου χωρίου που βρίσκεται έξω από τους τρεις κύκλους. 31. ** Με διάμετρο την πλευρά Β = α ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒ γράφουμε ημικύκλιο που τέμνει τις πλευρές του τριγώνου στα σημεία Δ και Ε. α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΟΒΔ και ΟΕ είναι ισόπλευρα. β) Να υπολογιστεί το εμβαδό του κυκλικού τομέα ΟΔΖΒ. γ) Να υπολογισθούν τα εμβαδά των δύο γραμμοσκιασμένων κυκλικών τμημάτων. 3. ** Δείξτε ότι ο λόγος των εμβαδών του περιγεγραμμένου και του εγγεγραμμένου ισοπλεύρου τριγώνου στον κύκλο (Ο, R) είναι

167 33. ** Να αποδειχθεί: α) ότι τα συγκεκριμένα αποστήματα α 3 και α 6 κανονικού τριγώνου και εξαγώνου που είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο ακτίνας R είναι μεταξύ τους κάθετα (βλ. διπλανό σχήμα) και β) ότι τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΟΒΔ είναι ισεμβαδικά. 34. ** Να αποδειχτεί ότι το εμβαδόν Ε κυκλικής στεφάνης που σχηματίζεται μεταξύ των δύο κύκλων ακτίνων R και ρ (με R > ρ), ισούται με 4 (OAΣ) π. ρ 35. ** Κανονικού εξαγώνου ΑΒΔΕΖ οι πλευρές ΑΒ,Δ τέμνονται στο Ο. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΔ συναρτήσει της ακτίνας R του περιγεγραμμένου στο εξάγωνο κύκλου. 36. ** Το εμβαδόν ισόπλευρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο είναι 1 3cm. Αν στον ίδιο κύκλο εγγράψουμε τετράγωνο, να βρεθούν: α) Η πλευρά του λ 4 β) Το απόστημα του α 4 γ) Το εμβαδόν του Ε ** Μέσα σ ένα χωράφι σχήματος τετραγώνου κατασκευάσαμε το μεγαλύτερο κυκλικό αλώνι που ήταν δυνατό ακτίνας 40 m. α) Ποιο ήταν το μήκος της πλευράς του τετραγωνικού χωραφιού; β) Ποια είναι η αξία του χωραφιού αν στην περιοχή αυτή η γη κοστίζει δρχ./m ; γ) Πόσο είναι το εμβαδόν του χωραφιού που είναι έξω από το κυκλικό αλώνι; 167

168 38. ** Η διάμετρος τροχού ποδηλάτου είναι 0.50 m. Πόσες στροφές θα κάνει σε μία διαδρομή 1 Km; 39. ** Στο εσωτερικό κυκλικού πάρκου ακτίνας 6 m θέλουμε να κάνουμε μια διακοσμητική πλακόστρωση σχήματος τετραγώνου με το μεγαλύτερο δυνατό εμβαδό. α) Αν τα διακοσμητικά πλακάκια έχουν εμβαδό 0.09 m, πόσα θα χρειαστούν για τη διακόσμηση αυτή; β) Στο μέρος του πάρκου που δεν θα πλακοστρωθεί θέλουμε να φυτέψουμε γκαζόν του οποίου το κόστος είναι δρχ. ανά m. Πόσο θα κοστίσει το γκαζόν; 168

169 ΣΧΕΔΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 11ο: Κανονικά Πολύγωνα)

170 Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαμόρφωσής τους σε ενιαία θέματα, επιλογής ή τροποποίησης των θεμάτων, ανάλογα με τις διδακτικές ανάγκες του συγκεκριμένου τμήματος στο οποίο απευθύνεται. 170

171 1ο Σχέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή Διδακτική ενότητα: Κανονικά Πολύγωνα - Μέτρηση κύκλου ΘΕΜΑ 1ο Α. Σε κύκλο (O, R) είναι εγγεγραμμένο τετράγωνο. Να υπολογίσετε συναρτήσει της ακτίνας R α) την πλευρά του β) το απόστημά του. Β. Σε κύκλο (O,R) είναι εγγεγραμμένο τετράγωνο. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας (λ 4 η πλευρά του, α 4 το απόστημά του και Ε 4 το εμβαδόν του) ν R λ 4 α 4 Ε ΘΕΜΑ ο Με διάμετρο την πλευρά Β = α ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒ γράφουμε ημικύκλιο προς το ίδιο μέρος του τριγώνου στα σημεία Δ και Ε. α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνο ΟΒΔ και ΟΕ είναι ισόπλευρα. β) Nα υπολογισθεί το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΟΔΖΒ. γ) Να υπολογισθούν τα εμβαδά των δύο κυκλικών τμημάτων που βρίσκονται έξω από το τρίγωνο. 171

172 ο Σχέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή Διδακτική ενότητα: Κανονικά Πολύγωνα - Μέτρηση κύκλου ΘΕΜΑ 1ο Α. Σε κύκλο (O, R) είναι εγγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε συναρτήσει της ακτίνας R. α) την πλευρά του β) το απόστημά του Β. Σε κύκλο (O,R) είναι εγγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας. (λ 3 η πλευρά του, α 3 το απόστημά του και Ε 3 το εμβαδό του). ν R λ 3 Ε ΘΕΜΑ ο Κύκλος είναι εγγεγραμμένος σε τετράγωνο πλευράς α. Να υπολογίσετε: α) Το εμβαδό του κύκλου (συνάρτηση του α) β) Το εμβαδό του μέρους του τετραγώνου, που βρίσκεται εκτός του κύκλου. 17

173 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

174 174

175 Κεφάλαιο 11: ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΩΝΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Σ 10. Λ 19. Σ. Σ 11. Λ 0. Λ 3. Λ 1. Σ 1. Λ 4. Λ 13. Λ. Σ 5. Λ 14. Σ 3. Λ 6. Λ 15. Λ 4. Σ 7. Σ 16. Λ 5. Σ 8. Λ 17. Σ 6. Λ 9. Σ 18. Σ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Β Ε 6. Δ Δ Δ Δ Δ 1. Β 9. Β 5. Β 14. Β. Ε 30. Α 6. Α 15. Δ Δ 7. Ε 16. Β 4. Β 3. Δ 8. Β Β Β 175

176 Ερωτήσεις συμπλήρωσης 1. λ ν = R 3 ν = 3. λ ν = R ν = 6 3. λ ν = R ν = 4 4. α ν = R 3 ν = 6 5. Κανονικό πολύγωνο Κεντρική γωνία (ω ν ) σε μοίρες ωνία πολυγώνου (φ ν ) σε μοίρες τρίγωνο τετράγωνο οκτάγωνο δεκάγωνο εικοσάγωνο Κεντρική γωνία (ω ν ) κανονικού πολυγώνου σε μοίρες Πλήθος πλευρών (ν) κανονικού πολυγώνου

177 7. ν: πλευρές κανονικού πολυγώνου λ ν : πλευρά κανονικού πολυγώνου 3 R 3 4 R 6 R α ν : απόστημα κανονικού πολυγώνου R R R 3 3 R Ε ν : εμβαδόν κανονικού πολυγώνου 3 R 3 4 R 3 8. ωνία (φ ν ) κανονικού πολυγώνου σε μοίρες Είδος κανονικού πολυγώνου ισόπλευρο τρίγωνο κανονικό πεντάγωνο κανονικό οκτάγωνο κανονικό δωδεκάγωνο 9. ν : πλήθος πλευρών κανονικού πολυγώνου α ν : απόστημα κανονικού πολυγώνου λ ν : πλευρά κανονικού πολυγώνου Ε ν : εμβαδόν κανονικού πολυγώνου 3 5cm 10 3cm 75 3cm 4 6cm 1cm 144cm 6 5 3cm 10cm 150 3cm 177

178 10. Ακτίνα R κύκλου Μήκος L κύκλου Εμβαδόν Ε κύκλου 15 30π 5π 10α 0πα 100πα α 3 4 3πα 1πα α 15 15πα 15πα 7 7π 7π α 3 3 3πα 1 3 πα 11. Ακτίνα R ωνία μ μοιρών κυ- Μήκος Εμβαδόν Ε κύκλου κλικού τομέα τόξου S κυκλικού τομέα π 16π π 5 8,1π 5α πα 5 6 πα α πα πα 1 α πα 50 3 πα 178

179 1. Τόξο μ μοιρών Μήκος τόξου πr 18 πr 4 3πR π R Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. (Α) (Β). (Α) (Β) τρίγωνο 3R 3 R R 3 4 τετράγωνο R R 3 R εξάγωνο 3 R 3 R R 3. (Α) (Β) 4. (Α) (Β) 60 o R α 4πα 90 o R α 3 3πα 10 o R 3 α πα 179

180 5. (Α) (Β) μ = 60 ο R=1 S = π 3 μ = 30 ο R = S = π 6 μ = 90 ο R = S = π μ = 10 ο R = 3 S = 3 π 3 180

181 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. α) Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΗΟ, έχουμε: ΒΗ = ΒΟ - ΟΗ (1) Αλλά ΟΗ = R, ΒΟ = R, αφού η γωνία ΟΒΗ = 30. Η (1) γίνεται: ΒΗ = (R) - R = 4R - R = 3R Άρα ΒΗ = R 3 = 3 3 cm H πλευρά α του ισοπλεύρου τριγώνου είναι α = 6 3cm. 1 3 β) Το Ε ΑΒ = 3Ε ΒΟ = 3 Β ΟΗ = = 7 3cm. B A H O. Η κεντρική γωνία ω του κανονικού ν-γώνου δίδεται από τον τύπο: ω =, ν Ν - {1, }. Με ω = 16 έχουμε: 16 = ή ν = =,5. ν ν 16 Άρα δεν υπάρχει τέτοιο κανονικό πολύγωνο. 3. α) Ισχύει ΑΒ + Β = 80 cm (1) Αν x είναι η πλευρά του τετραγώνου, τότε από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒ έχουμε: Α = ΑΒ + Β ή (R) = x + x ή Δ R O 4R = x ή x = R. Άρα x = R () A B 40 Από (1) και () έχουμε: R = 80 ή R = ή R = 0 cm β) Η πλευρά x του τετραγώνου είναι: x = 0 = 40 cm Άρα Ε τετραγώνου λ = = Ε κύκλου 40 π (0 cm ) cm 1600 cm π 800cm, άρα λ = π 181

182 4. α) Ισχύει Α - ΑΒ = 1 cm (1) Αν x η πλευρά του τετραγώνου, τότε: R = x ή x = R () Η (1) λόγω της () γίνεται: R - R = 1 ή R ( - ) = 1 ή R = - 1 = ( - 1 ( + ) ( ) + ) = 1 ( + - ) ή R = 6 ( + ) cm β) E = πr = π [6 ( + )] ή Ε = 7π (3 + ) cm 5. α) Ισχύει λ 4 + λ 3 = 96 cm (1) με λ 4 = R, λ 3 = R 3, η σχέση (1) γίνεται: R + R 3 = 96 ή R ( 3+ ) = 96 ή R = = ( 96 ( 3 + R = 96 ( 3- ) cm β) α 4 = R = 96 ( R 96 ( 3 - α 3 = = 3 - ) 3 - ) ( ) ή ) 3 - ή ) α 3 = 48 ( α 4 = 48 ( ) cm ) cm 6. Το εξάγωνο που σχηματίζεται από τα μέσα Ε Κ Δ των πλευρών του κανονικού εξαγώνου ΑΒΔΕΖ είναι το ΗΘΙΚΛΜ. Συγκρίνοντας τα τρίγωνα ΗΒΘ, ΘΙ, παρατηρούμε ότι έ- χουν ΗΒ = ΒΘ = Θ = Ι και γωνίες B = = 10. Ζ Λ Μ Α Η Β Ι Θ 18

183 Άρα αυτά είναι ίσα και άρα ΗΘ = ΘΙ. Επίσης, η γωνία Η ΘΙ = 10. ενικεύοντας ισχύει ΗΘ = ΘΙ = = ΜΗ και Θ = Ι = Κ = = Η = 10. Άρα το εξάγωνο ΗΘΙΚΛΜ είναι κανονικό. 7. Τα δύο κανονικά οκτάγωνα είναι όμοια πολύγωνα και ο λόγος ομοιότητας λ ισούται με το λόγο των αποστημάτων τους, δηλαδή λ = α 8 = 3 α 8 4. α) Ο λόγος των περιμέτρων του ισούται με το λόγο ομοιότητας, δηλαδή Π 3 =. Π' 4 β) Ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το τετράγωνο του λόγου της ομοιότητάς τους, δηλαδή Ε 9 =. Ε' α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΗΑ εφαρμόζουμε Πυθαγόρειο θεώρημα και έχουμε: ΑΗ = ΑΟ - ΟΗ ή ΑΗ = 8 - (4 3) = = 16. Ο ω Άρα ΑΗ = 4 cm και ΑΒ = λ ν = 8 cm Α Β Η β) Στο τρίγωνο ΟΑΒ, η ΟΑ = ΑΒ = 8 cm, δηλαδή R = λ ν ΟΑΒ είναι ισόπλευρο, άρα γωνία Ο = 60. γ) Το πλήθος των πλευρών ν του κανονικού πολυγώνου είναι: ν = 360 ω ή ν = Άρα το τρίγωνο ή ν = 6, πρόκειται δηλαδή για κανονικό εξάγωνο. 183

184 9. α) Η πλευρά ΑΒ = 6 cm είναι η πλευρά του Ε Δ κανονικού εξαγώνου του εγγεγραμμένου στον κύκλο (Ο, R). Άρα ΑΒ = λ 6 = R = 6 cm. Επομένως η πλευρά Α = λ 3 = R 3 = 6 3 cm. β) ΑΒ = λ 6 = 6 cm Ζ Ο ω Θ ΟΗ = α 6 = R 3 = 6 3 = 3 3 cm Α Η Β Α = λ 3 = R 3 = 6 3 cm ΟΘ = α 3 = R = 6 = 3 cm. Επομένως: λ = λ = (ABΔΕΖ) (AΕ) = = 6 (ΟΑΒ) 3 (OΑ) 1 6 ΑΒ ΟΗ = 1 3 Α ΟΘ = ΑΒ ΟΗ, Α ΟΘ 10. α) Στο τρίγωνο ΑΕ η Β είναι διάμεσος (αφού ΑΒ = ΒΕ) και ύψος (αφού η γωνία Β = 90 ως εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε η- μικύκλιο). Άρα το τρίγωνο ΑΕ είναι ισοσκελές και άρα Α = Ε. β) Στο τρίγωνο ΑΕ οι γωνίες A = E = 45. Άρα η γωνία Α Ε = 90. Άρα η Ε είναι εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο. γ) (ΑΕ) = A Ε = R R = R 184

185 11. α) ΔA = ( AB + B + Δ ) = = 90 Δ Θ Άρα ΔA = B = 90. Άρα οι χορδές ΑΔ και Β είναι ίσες και Ο επιπλέον ΑΒ // Δ ( B = 105, = 75 ). Άρα ΑΒΔ ισοσκελές τραπέζιο. Α Η Β β) AB = 60, άρα η χορδή AB = λ 6 = R B = 90, άρα η χορδή Β = λ 4 = R Δ = 10, άρα η χορδή Δ = λ 3 = R 3 ΔA = 90, άρα η χορδή ΑΔ = λ 4 = R γ) Ε = 1 (ΑΒ + Δ) ΗΘ (1) Αλλά ΟΗ = α 6 = R 3 R, ΟΘ = α 3 = R 3 R R ( 3 + 1) Άρα ΗΘ = ΟΗ + ΟΘ = + = Η (1) λόγω της () και του (β) ερωτήματος γίνεται: 1 R ( 3 + 1) R ( 3 + 1) Ε = (R + R 3) = 4 () 185

186 1. α) ΑΒ = λ 4, Α Β = λ 4, Α = δ = R (δ διαγώνιος του τετραγώνου ΑΒΔ) R Άρα δ = R = AB ή AB = ή R ΑΒ = λ 4 = ή λ 4 = R και Α Β = λ 4 = R. Ε β) λ = Ε = λ 4 λ 4 (R ) = (R) R = 1 = 4R 13. H απόσταση λ λ ΚΛ = ΚΗ + ΗΛ = R α 6 + α 6 = α 6 = Αλλά λ 6 = R = λ. 3 = R 3. Κ Η Λ Άρα ΚΛ = λ α) Έχουμε με R = 3 cm: Β ΑΒ = λ 6 = 3 cm, ΟΘ = α 6 = ΟΗ = α 3 = 3 cm, ΔΖ = λ3 = cm 3 cm Δ Ο Θ Α Άρα 1 Ε ΑΒΔΕΖ = 6 ΑΒ ΟΘ = β) Ε = = 7 3 cm ΕΑΒΔΕΖ - EZBΔ = - 3 ΔΖ ΟΗ = = Άρα Ε = 4 Ε Η 7 3 cm. 4 Ζ 186

187 15. α) H κεντρική γωνία ω του κανονικού εγγεγραμμένου πολυγώνου είναι: ω = 3 4 L ή ω = 10. Αλλά ισχύει ω = 360 με ν τον αριθμό των ν 360 πλευρών του κανονικού πολυγώνου. Άρα ν =, ν = 3 10 β) Η πλευρά λ 3 του ισοπλεύρου τριγώνου είναι λ 3 = R 3 και το απόστημά του α 3 = R. Άρα το εμβαδόν του υπολογίζεται: 1 R 3R 3 Ε = 3 R 3 ή E = cm α) ΑΒ = λ 6 = R OH = α 6 = R 3 Ε Δ 1 Ε ΑΒΔΕΖ = 6 AB ΟΗ = 1 R 3 6 R = 3R 3 Ζ Ο β) E = πr - Ε ΑΒΔΕΖ = πr - 3R 3 = Α Η Β πr - 3R 3 = R (π - 3 3) 17. α) Η ακτίνα του κύκλου είναι α. Άρα το Δ εμβαδόν του κύκλου είναι: α πα Ε = π = (1) 4 β) Το εμβαδό του τετραγώνου είναι: E ΑΒΔ = α () Με αφαίρεση της (1) από τη () έχουμε το ζητούμενο εμβαδό: Ε = α - πα = 4 4α - πα 4 = α (4 - π) 4 Α Ο α Β 187

188 18. α) Αν λ 4 είναι η πλευρά του τετραγώνου, τότε λ 4 = R ή λ 4 = 6 cm. Επομένως Ε ΑΒΔ = (6 ) cm = 7 cm. β) H ακτίνα του εξωτερικού κύκλου είναι R = 6 cm και η ακτίνα του εσωτερικού κύκλου είναι ρ = 3 cm. Άρα ο λόγος των εμβαδών τους είναι: π 6 λ = π (3 ) = 36 = α) Η ΑΒ είναι πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο. Άρα Ο = 10. Επομένως: Ο π R 10 S = = πr AB β) ια το εμβαδό του κυκλικού τομέα ΑΟΒ έ- χουμε: Α Β o π R R E κ.τομ. = 10 π = o α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΑ με ΟΑ = R R και ΟΚ = ε- φαρμόζουμε πυθαγόρειο θεώρημα και έ- χουμε: Ο 1 R Α Β Κ R Ο 188

189 ΑΚ = ΟΑ - ΟΚ = R R - Άρα ΑΚ = και επομένως το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΑ είναι ισοσκελές. R = R - R = 4 R = 4 R Άρα Ο 1 = 45, άρα Ο = Ο 1 + Ο = 90. Επομένως: E = AOB π R 90 = 360 πr (1) 4 β) Ε = [ E - Ε ΑΟΒ ] () AOB Αλλά Ε ΑΟΒ = R (3) Από (1) και (3) η σχέση () γίνεται: Ε = [ πr - 4 R ] = R (π - ) 1. α) ια τον υπολογισμό του εμβαδού του μικρότερου κυκλικού τμήματος αφαιρούμε από το εμβαδό του κυκλικού τομέα ΑΟΒ το εμβαδό του τριγώνου ΑΟΒ. E = AOB Ε ΑΟΒ = π R 90 = 360 ΑΟ = πr (1) 4 R () Α Ο Β Το ζητούμενο εμβαδόν σύμφωνα με τις (1), () είναι: Ε = πr - 4 R = R (π - ) (3) 4 β) ια τον υπολογισμό του μεγαλύτερου κυκλικού τμήματος αφαιρούμε από το εμβαδό του κύκλου το εμβαδό της σχέσης (3) και έχουμε: Ε = πr - R (π - ) Ε = 4 R (3π + ) 4 189

190 . α) Είναι ΑΟ = Ο, ΟΗ ΑΔ, τότε ΟΗ // Δ. Στο τρίγωνο ΑΔ η ΟΗ = // Δ = ΟΗ = R. E ABΔ = Δ = (R) = 4R Δ ή β) Στο τετράγωνο ΑΒΔ πλευράς R η Α διαγώνιός του. Τότε ισχύει: Α = ΑΔ + Δ ή Α = (R) + (R) ή Α = 8R Ο λόγος εμβαδών των δύο κύκλων (Α, Α), (Ο, R) είναι: E E (A, A) (Ο, R) πa π8r = = = 8 πr πr Η Ο 3. Το τρίγωνο ΔΟ είναι ορθογώνιο στο Ο και ισοσκελές (ΔΟ = Ο). Επίσης ΟΗ Δ. Άρα ΔΗ = Η = α και ΟΗ = α. Α α Β Στο τρίγωνο ΟΗΔ, Δ 1 = 45, Η = 90. Ο Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα: ΔΟ = ΔΗ + ΗΟ, ΔΟ = α + α ή ΔΟ = α (1) α) Ε (Ο, ΟΗ) = π ΟΗ = πα Δ 1 α Η α β) Ε (Ο, ΟΔ) = π ΟΔ ( 1) E = π α (O, OΔ) πα, άρα: = = E πα (Ο, ΟΗ) 190

191 4. ια το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ έχουμε: α = β + γ α π = π ή β πα = 4 γ + π πβ + 4 ή πγ 4 ή Β γ Α β α Ε α = Ε Β + Ε γ Με Ε α συμβολίζουμε το εμβαδό του κύκλου με διάμετρο α Με Ε β συμβολίζουμε το εμβαδό του κύκλου με διάμετρο β Με Ε γ συμβολίζουμε το εμβαδό του κύκλου με διάμετρο γ. 1 R 5. α) Είναι ΟΑ = ΟΒ = R, Ε ΟΑΒ = RR = β) E ΜΗΝΙΣΚΟΥ = Ε ΗΜΙΚΥΚΛΙΟΥ (Κ, ΚΒ) - [Ε ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΑΟΒ - Ε ΑΟΒ ] (Ι) Στο ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒ (ΟΑ = ΟΒ = R, O = 90 ) έχουμε: ΑΒ = ΟΑ + ΟΒ ή (ΚΒ) = R + R ή 4ΚΒ = R ή ΚΒ = Ε ΗΜΙΚΥΚΛΙΟΥ (Κ, ΚΒ) = πkb 1) Ε ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΑΟΒ - Ε ΑΟΒ = R ( π = πr = πr () 4 R = πr - 4 R (3) Από την ισότητα (Ι): (), (3) E ΜΗΝΙΣΚΟΥ = Ε ΗΜΙΚΥΚΛΙΟΥ (Κ, ΚΒ) - [Ε ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΑΟΒ - Ε ΑΟΒ ] = πr - ( 4 πr - 4 R ) = R R (1) 191

192 6. Αν ω είναι η κεντρική γωνία του κανονικού πενταγώνου τότε: ω = 360 ή ω = 7 5 Αν φ η εσωτερική γωνία του κανονικού πενταγώνου είναι: φ + ω = 180 ή φ = ή φ = 108 Στο τρίγωνο ΑΒΕ είναι ΑΒ = AΕ (ισοσκελές), άρα: ABE = ABE = 7 ή Η EB = Όμως AEB, τότε ABE + A = 180 ή ABE = ή AB - ΖB = Άρα ΖΒ Β. ABE = 36 ABE ή ΖBΕ + EB = EB = ή ABE + EB = EB = = = Από την προηγούμενη λύση της (6), έχουμε: EB = 7 και BΔ = 108, άρα EB + BΔ = = 180. Τότε ΒΕ // Δ, αφού οι εντός και επί τα αυτά των ΒΕ, Δ που τέμνονται από τη Β είναι παραπληρωματικές. 19

193 8. Από το σχήμα: ΟΗ = 3 cm, ΟΒ = x, ΗΒ = x. Α Η Β Στο OHB : ΟΒ = ΟΗ + ΗΒ ή x = 3 x 4 3x + ή = 9 ή x = 1 ή 4 4 Ζ Ο x = 3 cm. Όμως: α 6 = ΟΗ = 3 cm, ΑΒ = ΗΒ ή ΑΒ = x = 3. Ε Δ Άρα α) λ 6 = 3 cm β) α 6 = 3 cm γ) Ε ΑΒΔΕΖΗ = 6Ε ΑΟΒ = 6 λ 6 α 6 = = 18 3 cm 9. Είναι λ 3 = 9 cm. νωρίζουμε ότι λ 3 = R 3, τότε R 3 = 9 ή R = 3 3cm α) Το μήκος του κύκλου L = πr = π 3 3 = 6π 3 cm β) E τριών κυκλικών τμημάτων εκτός τριγώνου = πr - E ισοπλευρ. = π (3 3) π - = (7π - ) cm = 9 (3π ) cm. 4 λ = AB 30. α) π 6α = π β) Είναι Α = Δ = ΔΒ = A Τότε π = π (3α) = 9πα, ΑΒ = 6α AB 6α = = α. 3 3 α = π = πα 3πα γ) Από το (α) και το (β) έχουμε: = 1 9πα 3 δ) Ε γραμμοσκιασμένο = Ε (Ο, ΟΑ) - 3Ε μικρού κύκλου = 9πα - 3πα = 6πα 193

194 31. α) Το τρίγωνο ΟΒΔ είναι ισοσκελές (ΟΒ = ΟΔ) o με B =60, άρα είναι ισόπλευρο. Το ίδιο και για το τρίγωνο ΟΕ. π (OB) 60 β) Είναι: Ε κυκλικού τομέα ΟΔΖΒ = = 360 = α π 6 = πα 4 γ) Τα εμβαδά των δύο γραμμοσκιασμένων κυκλικών τμημάτων είναι: πα Ε = 4 = πα Ε ΔΒΟ 3 α = 8 πα = 4 α 4 π - 3 α = πα 4 α 3-16 = 3. Είναι: E E εγ/νου περ/νου α 3 = α 3 R / = R = α) Η Α ΒΔ = 90 γιατί βαίνει σε ημικύκλιο α 3 ΑΒ, α 6 ΒΔ, τότε α 3 α 6 β) Ε ΑΟΒ = Ε ΟΒΔ = α 3 AB α 6 BΔ = = R R 3 = R 3 R = R 4 R 4 3 3, τότε: Ε ΑΟΒ = Ε ΟΒΔ 194

195 34. E = πr - πρ = π (R - ρ ) = π ΑΣ στεφαν. AΣ ρ Όμως Ε ΟΑΣ = ή Ε ΟΑΣ ρ = ΑΣ, τότε: ΕΟΑΣ E στεφαν. = πaσ = π = ρ 4Ε π ρ ΟΑΣ 35. Το τρίγωνο ΟΑΔ είναι ισόπλευρο με πλευρά ΑΔ = R. Άρα: (R) 3 Ε ΟΑΔ = = R 3 4 Ζ Α R K R Β Ο Ε Δ 36. Ε ισοπλ. = 1 3cm, όμως Ε ισοπλ. = 3 λ 3 α 3 = 3R 3 R = 3R 4 3 3R 3 Τότε: = 1 3 ή R = 16 ή R = 4 cm 4 α) λ 4 = R ή λ 4 = 4 ή λ 4 = 4 cm β) α 4 = R ή α4 = 4 ή α4 = cm γ) Ε 4 = λ 4 ή Ε 4 = (4 ) ή Ε 4 = 3 cm 37. α) Πλευρά τετραγώνου = 40 = 80 m β) Αξία χωραφιού = = δρχ. γ) Ε ζητούμενο = 80 - π 40 = π = 1600 (4 - π) m 195

196 38. Είναι διάμετρος δ = 0,5 m, L τροχού = π δ = π 0,5 m Αν ν ο αριθμός στροφών, τότε ν L τροχού = m ή ν = 1000 L τροχού ή ν = = στροφές. 0,5π π 39. α) Στο κυκλικό πάρκο R = 6 m θα εγγραφεί τετράγωνο πλευράς λ 4 = R ή λ 4 = 6, Ε 4 = (6 ) = 7 m. Δηλαδή θα χρειαστούν 7:0,09 πλακάκια = 800 πλακάκια. β) Αν Ε το μέρος που δεν έχει πλακάκια, θα είναι: Ε = πr - λ 4 ή Ε = π6 - (6 ) ή Ε 3, ή Ε 41,04 m Το κόστος είναι 41, = δρχ. 196

197 Κεφάλαιο 1: ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Κάθε ευθεία που διέρχεται από δύο διαφορετικά σημεία του επιπέδου ανήκει στο επίπεδο αυτό. Σ Λ. * Τρία συνευθειακά σημεία ορίζουν ένα επίπεδο. Σ Λ 3. * Δύο τεμνόμενες ευθείες βρίσκονται σε δύο διαφορετικά επίπεδα. Σ Λ 4. * Δύο παράλληλες ευθείες ορίζουν ένα επίπεδο. Σ Λ 5. * Δύο ασύμβατες ευθείες ανήκουν στο ίδιο επίπεδο. Σ Λ 6. * Δύο ασύμβατες ευθείες είναι παράλληλες. Σ Λ 7. * Δύο επίπεδα που δεν έχουν κανένα κοινό σημείο είναι παράλληλα. Σ Λ 8. * Η τομή κυκλικού δίσκου με επίπεδο που δεν τον περιέχει είναι κύκλος. Σ Λ 9. * Μια ευθεία είναι κάθετη σ ένα επίπεδο όταν είναι κάθετη σε μια μόνο ευθεία του επιπέδου. Σ Λ 10. * Από ένα σημείο μιας ευθείας διέρχεται μοναδικό επίπεδο κάθετο προς αυτή. Σ Λ 11. * Αν δύο ευθείες είναι μεταξύ τους παράλληλες και η μία είναι κάθετη σ ένα επίπεδο, τότε η άλλη είναι παράλληλη στο επίπεδο αυτό. Σ Λ 1. * Αν οι αποστάσεις των σημείων Α και Β από ένα επίπεδο είναι 3 cm και 5 cm αντίστοιχα τότε τα σημεία Α και Β είναι σημεία επιπέδου παράλληλου προς το αρχικό. Σ Λ 197

198 13. * Αν p // q // r και ε, λ τέμνου- ε λ σες τα επίπεδα αυτά τότε ισχύουν οι σχέσεις: i) ΑΒ Β = ΔΕ ΕΖ p A Δ Σ Λ ΑΒ ΔΖ ii) = Β ΔΕ Σ Λ ΑΒ ΔΕ iii) = Α ΔΖ q B E Σ Λ r Ζ 14. * Η προβολή κάθετης ευθείας σ ένα επίπεδο είναι ευθεία. Σ Λ 15. * Αν ευθεία είναι κάθετη σ ένα επίπεδο τότε η κλίση της ως προς το επίπεδο είναι μηδέν. Σ Λ 16. * Η προβολή ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ = 4 cm παράλληλου προς επίπεδο έχει μήκος 4 cm. Σ Λ 17. * Η προβολή κυκλικού δίσκου ακτίνας 5 cm παράλληλου προς επίπεδο είναι κύκλος με ακτίνα 3 cm. Σ Λ 18. * Κλίση ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ως προς επίπεδο είναι η γωνία που σχηματίζει το ΑΒ με την απόσταση του σημείου Β από το επίπεδο. Σ Λ 198

199 19. * Στο διπλανό σχήμα i) Η προβολή του Α είναι το Α. ii) Η προβολή του Β είναι το ΒΒ. iii) Η προβολή του ΑΒ είναι το ΒΒ. iv) Η προβολή του ΑΒ είναι το ΑΒ. v) Αν ΒΒ = ΑΒ τότε BAB = 30 B A B p Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ 0. * Αν η κλίση ευθείας ε ως προς επίπεδο p είναι μηδέν τότε η ε είναι παράλληλη προς το p ή ανήκει σ αυτό. Σ Λ 1. * Αν η γωνία των ασυμβάτων ευθειών είναι ορθή τότε αυτές λέγονται ορθογώνιες. Σ Λ. * Η γωνία δύο ασύμβατων ευθειών είναι δίεδρη γωνία. Σ Λ 199

200 3. * Στο διπλανό σχήμα i) Αν q ε, q p 1 = ε 1, q p = ε, τότε η κυρτή και η μη κυρτή γωνία που ορίζονται από τις ημιευθείες ε 1 και ε ονομάζονται αντίστοιχες επίπεδες γωνίες της κυρτής και μη κυρτής δίεδρης γωνίας. ii) Το μέτρο κάθε επίπεδης γωνίας είναι διάφορο του μέτρου της δίεδρης γωνίας. q ρ 1 ρ ε ε Σ Λ Σ Λ 4. * Αν μια οξεία και μια αμβλεία δίεδρη γωνία έχουν τις έδρες τους παράλληλες, τότε οι αντίστοιχες επίπεδες γωνίες είναι συμπληρωματικές. Σ Λ 5. * Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τις έδρες δίεδρης γωνίας είναι το ημιεπίπεδο που διχοτομεί τη δίεδρη. Σ Λ 6. * Δύο επίπεδα ονομάζονται κάθετα μεταξύ τους, όταν σχηματίζουν μία ορθή δίεδρη. Σ Λ 7. * Δύο τεμνόμενα επίπεδα σχηματίζουν δύο δίεδρες γωνίες. Σ Λ 8. * Τα επίπεδα που διχοτομούν δύο εφεξής παραπληρωματικές δίεδρες γωνίες είναι παράλληλα. Σ Λ 00

201 Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Το πλήθος των ευθειών που περιέχονται σ ένα επίπεδο είναι Α. ένα μόνο. Β. δύο τεμνόμενες.. τρεις παράλληλες. Δ. τέσσερις τεμνόμενες ανά δύο. Ε. άπειρο.. * Ένα επίπεδο ορίζεται από Α. δύο σημεία. Β. τρία συνευθειακά σημεία.. τρία μη συνευθειακά σημεία. Δ. τέσσερα συνευθειακά σημεία. Ε. μία ευθεία. 3. * Δύο ασύμβατες ευθείες Α. είναι παράλληλες. Β. τέμνονται.. ανήκουν στο ίδιο επίπεδο. Δ. ανήκουν σε δύο διαφορετικά επίπεδα. Ε. κανένα από τα παραπάνω. 4. * Στο διπλανό σχήμα Μ i) Το μήκος ΚΑ είναι Α.. Β Δ. 5. Ε. 6. ii) Το μήκος ΜΖ είναι 3 5 Ζ Α. 5. Β Δ Ε. 15. p Κ Α 10 01

202 5. * Στο διπλανό σχήμα είναι p // q // r και ΑΒ = 5 cm, ε 1 ε Β = 3 cm, ΔΕ = 10 cm. Τότε η ΕΖ σε cm είναι Α. 3. Β. 4. A Δ. 5. p Δ. 6. Ε. 7. B E q r Ζ 6. * Στο σχήμα της προηγούμενης ερώτησης αν είναι Β = 6 cm και ΔΖ = 15 cm, ΑΒ = 4, τότε το μήκος του ΔΕ σε cm είναι Α.. Β Δ. 8. Ε * Στο διπλανό σχήμα το μήκος B της προβολής του ΑΒ στο επίπεδο p σε cm είναι Α.. Β Δ. 4. Ε. 5. A 5 cm 3 cm p 0

203 8. * Στο διπλανό σχήμα αν AB BB = τότε η κλίση της ΑΒ ως προς το επίπεδο είναι Α. 30. Β Δ. 75. Ε. 90. B B p 9. * Αν η προβολή ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ισούται με την απόσταση του σημείου Β από το επίπεδο τότε η κλίση του ΑΒ ως προς το επίπεδο είναι Α. 30. Β Δ. 75. Ε * Η προβολή ευθείας πάνω σε επίπεδο είναι σημείο όταν η ευθεία Α. είναι παράλληλη προς το επίπεδο. Β. σχηματίζει γωνία 30 με το επίπεδο.. σχηματίζει γωνία 45 με το επίπεδο. Δ. σχηματίζει γωνία 60 με το επίπεδο. Ε. σχηματίζει γωνία 90 με το επίπεδο. 11. * Αν ένα επίπεδο τέμνει δύο παράλληλα επίπεδα τότε οι σχηματιζόμενες εντός και επί τ αυτά μέρη δίεδρες γωνίες είναι Α. ίσες. Β. συμπληρωματικές.. παραπληρωματικές. Δ. και οι δύο αμβλείες. Ε. και οι δύο οξείες. 1. * ια την προβολή Κ Λ ενός τμήματος ΚΛ πάνω σε επίπεδο ισχύει πάντοτε Α. Κ Λ = ΚΛ. Β. Κ Λ < ΚΛ.. Κ Λ ΚΛ Δ. Κ Λ > ΚΛ Ε. Κ Λ ΚΛ 03

204 13. * Αν κ είναι η κλίση μιας ευθείας ως προς επίπεδο θα ισχύει μόνο Α. 90 < κ 180. Β. 180 κ κ 360. Δ. 0 κ 90. Ε. κανένα από τα παραπάνω. 14. * Αν το επίπεδο τριγώνου ΑΒ τέμνει κάθετα επίπεδο p τότε η προβολή του τριγώνου στο επίπεδο είναι Α. ευθεία Β. ευθύγραμμο τμήμα. σημείο Δ. ευθεία κάθετη στο επίπεδο p Ε. ευθύγραμμο τμήμα κάθετο στο επίπεδο p 04

205 Ερώτηση αντιστοίχισης 1. * Αντιστοιχίστε κάθε σχήμα της στήλης Α με την κατάλληλη σχέση της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β B 1. A 30 B Α) ΒΒ = AB B Β) ΑΒ = AB. 45 A B ) ΑΒ = ΒΒ B Δ) ΑΒ = BB 3. A 60 B Ε) ΑΒ = ΒΒ

206 Ερωτήσεις συμπλήρωσης 1. * Να συμπληρώσετε τα παρακάτω αξιώματα του χώρου: i)... σημεία ορίζουν ακριβώς ένα επίπεδο. ii) Σε κάθε επίπεδο ανήκουν τουλάχιστον... σημεία μη συνευθειακά. iii)υπάρχει τουλάχιστον..., το οποίο δεν ανήκει σ έ- να δεδομένο επίπεδο. iv) Η ευθεία που διέρχεται από... ενός επιπέδου ανήκει το σημείο αυτό. v) Αν δύο επίπεδα έχουν ένα κοινό σημείο, τότε έχουν... ανήκει στο επίπεδο αυτό.. * Να συμπληρώσετε τις παρακάτω συνέπειες των αξιωμάτων του χώρου: i) Κάθε επίπεδο περιέχει... σημεία. ii) Κάθε επίπεδο περιέχει... ευθείες. iii)ια κάθε επίπεδο υπάρχουν... σημεία που δεν ανήκουν σ αυτό. iv) Μια ευθεία και... ορίζουν ένα μοναδικό επίπεδο. v) Δύο... ορίζουν ένα μοναδικό επίπεδο. 3. * Κλίση ευθείας ως προς το επίπεδο ονομάζουμε τη γωνία

207 4. * Συμπληρώστε στις στήλες Β και τις εκφράσεις που αντιστοιχούν στα σχήματα της στήλης Α. Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Σχήματα Εκφράσεις Εκφράσεις p ε Η ευθεία ε στο επίπεδο p. Η ευθεία ε και το επίπεδο p έχουν κοινά σημεία. Α ε Η ευθεία ε το επίπεδο p. Η ευθεία ε και το επίπεδο p έχουν κοινό σημείο. p p ε Η ευθεία ε προς το επίπεδο p. Η ευθεία ε και το επίπεδο p δεν έχουν κοινό σημείο. 07

208 5. * Παρατηρώντας το σχήμα της στήλης Α συμπληρώστε τις προτάσεις της στήλης Β. Στήλη Α Σχήμα Στήλη Β Προτάσεις Α Αν ΑΒ p και..., τότε Α ε Αν ΑΒ p και Α ε, τότε... p Β Δ ε Αν Α ε, Β ε και..., τότε... 08

209 6. * Παρατηρώντας το σχήμα της στήλης Α όπου p // q // r συμπληρώστε τις ισότητες της στήλης Β. Στήλη Α Σχήμα Στήλη Β Ισότητες ε 1 ε AB = B p A Δ A = B q B E A Β = Α r Ζ 09

210 7. * Παρατηρώντας το σχήμα της στήλης Α συμπληρώστε αριθμητικά τις ισότητες της στήλης Β. Στήλη Α Σχήμα Στήλη Β Ισότητες ε 1 ε q A Δ p B E 4 r Ζ Β = Α = A Β = Α 10

211 8. * Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα. Στήλη Α Στήλη Β Στήλη Σχήματα Κλίση κ Αντίστοιχες σχέσεις B κ = ΑΒ = ΒΒ A κ B B κ = 30 ΒΒ = A 3 0 B B A κ B κ = ΑΒ = ΑΒ 11

212 9. * Παρατηρώντας τα σχήματα της στήλης Α συμπληρώστε τις αντίστοιχες εκφράσεις της στήλης Β. Στήλη Α Σχήματα Στήλη Β Αντίστοιχες εκφράσεις ε Α λ Αν ε p και q περιέχει την ε, τότε... p q Α Β ε Αν p q, Α σημείο του p και AB q, τότε... q p 1

213 Αν q p και w p και q, p δεν τέμνονται, τότε... p q ε w q w Αν q p και w p και q, w έχουν κοινή ευθεία την ε, τότε... p Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Δίνονται επίπεδο p και τρία μη συνευθειακά σημεία του Α, Β και καθώς και ένα σημείο Μ, που δεν συμπίπτει με το Α. Αν η ευθεία ΑΜ τέμνει την ευθεία Β, να δείξετε ότι το Μ είναι σημείο του επιπέδου p. 13

214 . ** Να δείξετε ότι κάθε ευθεία ε που ορίζεται από ένα σημείο Α ενός επιπέδου p και από ένα άλλο σημείο Β που βρίσκεται εκτός του επιπέδου δεν έχει άλλο κοινό σημείο με το επίπεδο εκτός του Α. 3. ** Δίνονται δύο ασύμβατες ευθείες ε 1 και ε και τυχαίο σημείο Α της ε 1. Να δείξετε ότι: α) Το Α και η ε ορίζουν ένα επίπεδο. β) Το επίπεδο αυτό έχει με την ε 1 κοινό μόνο το σημείο Α. 4. ** Δύο κύκλοι (Ο 1, R 1 ) και (Ο, R ) τέμνονται στα σημεία Α και Β. Έστω το σημείο τομής της ΑΒ με την Ο 1 Ο ( Ο 1, Ο ). Να δείξετε ότι οι κύκλοι αυτοί ανήκουν στο ίδιο επίπεδο. 5. ** Δίνονται δύο ασύμβατες ευθείες ε 1 και ε και Α, Β αντίστοιχα σημεία των ευθειών ε 1 και ε. Να δείξετε ότι α) Τα ζεύγη (Α, ε ) και (Β, ε 1 ) ορίζουν αντίστοιχα δύο επίπεδα p και q. β) Η τομή των επιπέδων p και q είναι η ευθεία ΑΒ. 6. ** Έστω επίπεδο p και δύο παράλληλες ευθείες του ε 1 και ε. Δύο επίπεδα q, t έχουν τομές με το p τις ευθείες ε 1 και ε αντίστοιχα. Αν q, t τέμνονται κατά την ε 3 να δείξετε ότι η ε 3 : α) Είναι παράλληλη προς τις ευθείες ε 1 και ε. β) Δεν έχει κανένα κοινό σημείο με το p. 7. ** Δίνεται τραπέζιο ΑΒΔ με (ΑΔ // Β) και σημείο Κ, που δεν ανήκει στο επίπεδο p του τραπεζίου. Να κατασκευάσετε την τομή των επιπέδων (Κ, Α, Β) και (Κ,, Δ) αφού προσδιορίσετε προηγουμένως ένα ακόμη σημείο του p, που μαζί με το σημείο Κ θα την ορίζει. 14

215 8. ** Αν Κ το περίκεντρο τριγώνου ΑΒ και ευθεία ε είναι κάθετη στο επίπεδο του τριγώνου στο σημείο Κ, να δείξετε ότι κάθε σημείο Ο της ε ισαπέχει από τις κορυφές του τριγώνου. 9. ** Δίνεται επίπεδο p και ένα σημείο Κ που δεν ανήκει στο p και απέχει από αυτό απόσταση α. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του p τα ο- ποία απέχουν από το Κ απόσταση λ (λ > α). 10. ** Δίνεται κύκλος (Ο, R) και σε σημείο του Α ένα εφαπτόμενο τμήμα ΑΒ = R. Πάνω στη κάθετη ευθεία προς το επίπεδο του κύκλου στο σημείο Ο παίρνουμε τμήμα Ο = R α) Α. β) Β. 6. Να υπολογίσετε τα τμήματα: 11. ** Από σημείο Κ εκτός επιπέδου p φέρουμε κάθετη ΚΟ στο p και τις πλάγιες προς αυτό ΚΑ και ΚΒ. Αν στις ΚΟ, ΚΑ και ΚΒ πάρουμε σημεία, Δ, Ε Κ ΚΔ ΚΕ αντίστοιχα έτσι ώστε να ισχύει = = να δείξετε ότι: ΚΟ ΚΑ ΚΒ α) Η Δ είναι παράλληλη προς την ΟΑ. β) Η Ε είναι παράλληλη προς την ΟΒ. γ) Η ΚΟ είναι κάθετη στο επίπεδο (, Δ, Ε) 1. ** Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( A = 90 ) φέρουμε από το μέσο Μ της υποτείνουσας Β ευθεία ε κάθετη στο επίπεδό του. Να δείξετε ότι για κάθε σημείο Κ της ευθείας ε ισχύει ΚΑ = ΚΒ = Κ. 13. ** Δίνονται δύο σημεία Α και Β ενός επιπέδου p και σημείο έξω από το επίπεδο p. Το απέχει από το επίπεδο p απόσταση Δ = 8 cm και από το τμήμα ΑΒ απόσταση Ζ = 10 cm. Να δείξετε ότι (ΔΑΒ) (ΑΒ) =

216 14. ** Δίνεται xay = 60 σε επίπεδο p και στην πλευρά Αy παίρνουμε ε Δ σημείο Β έτσι ώστε ΑΒ = 6 cm και φέρουμε από το Β κάθετη ευθεία ε στο επίπεδο p. Αν επί της ε πάρουμε τμήμα ΒΔ = 10 cm και είναι Δ Αx: Β y α) Να δείξετε ότι Β Α. β) Να βρείτε την απόσταση Δ. p A x 15. *** Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του χώρου, για τα οποία ισχύει ΜΑ - ΜΒ = λ, όπου Α, Β είναι δύο ορισμένα σημεία και λ ένα γνωστό ευθύγραμμο τμήμα. 16. ** Δίνονται δύο ασύμβατες ευθείες ε 1 και ε. Να δείξετε ότι από κάθε μία διέρχεται ένα μόνο επίπεδο παράλληλο προς την άλλη. 17. ** Από κάθε σημείο του χώρου, που δεν ανήκει σε καμία από δύο ασύμβατες ευθείες ε 1 και ε διέρχεται ένα μόνο επίπεδο παράλληλο προς αυτές. 18. ** Από κάθε σημείο Α, που δεν ανήκει στο επίπεδο q δύο τεμνομένων ευθειών ε 1 και ε διέρχεται ένα μόνο επίπεδο παράλληλο προς τις ε 1 και ε. 19. *** Δίνεται στρεβλό (1) τετράπλευρο ΑΒΔ και τα βαρύκεντρα () Θ και Θ των τριγώνων ΑΔ και ΒΔ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι η ΘΘ είναι παράλληλη προς: α) την ΑΒ. β) το επίπεδο (Α, Β, ). γ) το επίπεδο (Α, Β, Δ). (1) Στρεβλό τετράπλευρο ΑΒΔ είναι το σχήμα του οποίου οι κορυφές Α, Β,, Δ δεν ανήκουν όλες στο ίδιο επίπεδο. 16

217 () Βαρύκεντρο τριγώνου ΑΒ είναι το σημείο τομής των διαμέσων του. 0. ** Δίνεται επίπεδο p, σημείο Α εκτός αυτού και ευθεία ε 1 που τέμνει το p και δεν διέρχεται από το Α. Να κατασκευάσετε (1) ευθεία ε παράλληλη του p η οποία να διέρχεται από το Α και να τέμνει την ε 1. (1) Όταν ζητάμε «κατασκευή σχήματος στο χώρο», εννοούμε το θεωρητικό καθορισμό του σχήματος, δηλαδή την εύρεση στοιχείων με τη βοήθεια αβαθμολόγητου κανόνα και διαβήτη, με τα οποία μπορεί το σχήμα να ορισθεί. 1. ** Δίνεται στρεβλό τετράπλευρο ΑΒΔ και τα μέσα Ε, Ζ και Η αντίστοιχα των πλευρών του ΑΒ, Β και Δ. Να δείξετε ότι: α) Οι ευθείες Α και ΒΔ είναι παράλληλες προς το επίπεδο (Ε, Ζ, Η). β) Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ τέμνεται από το επίπεδο (Ε, Ζ, Η) στο μέσο του.. ** Δίνεται τρίγωνο ΑΒ. Από τις κορυφές του φέρνουμε τα παράλληλα και ίσα ευθύγραμμα τμήματα ΑΑ, ΒΒ και έξω από το επίπεδο του τριγώνου ΑΒ και προς το ίδιο μέρος του χώρου. Να δείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΒ και Α Β είναι ίσα. β) Τα επίπεδα των δύο τριγώνων είναι παράλληλα. 17

218 3. ** Στο διπλανό σχήμα είναι p // q // r και ΑΒ = 6,5 cm, Β = 4 cm, Α = 10 cm. Να υπολογίσετε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων: α) Α Β β) Β. p A ε 1 ε Α q r Β Β 4. ** Θεωρούμε επίπεδο p και σημείο Ο έξω από αυτό. Αν Α, Β και είναι τρία σημεία του επιπέδου P να δείξετε ότι τα μέσα Μ, Ν και Κ αντίστοιχα των ευθυγράμμων τμημάτων ΟΑ, ΟΒ και Ο ισαπέχουν από το επίπεδο p στις παρακάτω περιπτώσεις α) Όταν τα Α, Β και δεν βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. β) Όταν τα Α, Β και βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. 5. ** Αν ΑΒΔ είναι παραλληλόγραμμο και ΑΑ = 5 cm, BB = 8 cm, = 9 cm, ΔΔ = 6 cm και ΑΑ // BB // // ΔΔ, να δείξετε ότι: α) (ΑΑ, ΔΔ ) // (ΒΒ, ). β) (ΑΑ, ΒΒ ) // (, ΔΔ ). 18

219 6. ** Δίνονται δυο οξείες γωνίες x O y, x O y που περιέχονται σε διαφορετικά επίπεδα p και q αντίστοιχα και έχουν τις πλευρές τους παράλληλες. Να δείξετε ότι: α) p // q. β) x Oy = x Oy. 7. ** Δίνονται δύο παράλληλα επίπεδα p και q. Από ένα σημείο Κ του χώρου φέρουμε τρεις ημιευθείες Kx, Ky, Kz οι οποίες τέμνουν τα επίπεδα p και q στα σημεία Α, Β, και Δ, Ε, Ζ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒ και ΔΕΖ είναι όμοια. 8. ** Να δείξετε ότι οι προβολές δύο παράλληλων ευθειών ε 1 και ε σε επίπεδο p α) είναι παράλληλες ευθείες. β) Σε ποιες περιπτώσεις δεν ισχύει το (α); 9. ** Δίνονται δύο παράλληλα επίπεδα p και q. Να δείξετε ότι κάθε ευθεία ε που τέμνει τα επίπεδα p και q σχηματίζει ίσες γωνίες με αυτά. 30. ** Να δείξετε ότι η προβολή ενός παραλληλογράμμου ΑΒΔ πάνω σ ένα επίπεδο p είναι παραλληλόγραμμο. 31. ** Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ πλάγιο προς το επίπεδο p. Να δείξετε ότι η προβολή του μέσου Μ του ΑΒ στο επίπεδο p είναι το μέσο της προβολής Α Β του ΑΒ στο p. 3. ** Τα άκρα ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ απέχουν από επίπεδο p, 6 cm και 38 cm αντίστοιχα. Αν η προβολή του ΑΒ πάνω στο επίπεδο p είναι Α Β = 16 cm, να βρεθεί το μήκος του τμήματος ΑΒ. 19

220 Α Ε 33. ** Δίνονται δύο ρόμβοι ΑΒΔ και ΕΒΖΔ με κοινή διαγώνιο τη ΒΔ οι οποίοι βρίσκονται σε διαφορετικά επίπεδα. Να δείξετε ότι το επίπεδο Β Ο Δ που ορίζουν οι ευθείες Α και ΕΖ είναι κάθετο στα επίπεδα των δύο ρόμβων. Ζ 34. ** Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των ευθειών που διέρχονται από ένα σημείο Α και είναι ορθογώνιες προς μία ευθεία ε. 35. ** Αν δύο ευθείες ε 1, ε είναι ορθογώνιες, τότε καθεμιά περιέχεται σε επίπεδο κάθετο προς την άλλη και αντιστρόφως. 36. ** Αν μία ευθεία ε είναι κάθετη σε επίπεδο p και παράλληλη προς άλλο επίπεδο q τότε είναι p q. 0

221 ΣΧΕΔΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 1 ο : Ευθείες και Επίπεδα στο χώρο)

222 Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαμόρφωσής τους σε ενιαία θέματα, επιλογής ή τροποποίησης των θεμάτων, ανάλογα με τις διδακτικές ανάγκες του συγκεκριμένου τμήματος στο οποίο απευθύνεται.

223 1ο Σχέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή Διδακτική ενότητα: Ευθείες και Επίπεδα στο χώρο ΘΕΜΑ 1ο Α. Παρατηρώντας το σχήμα της στήλης Α συμπληρώστε τις προτάσεις της στήλης Β. Στήλη Α Σχήμα Στήλη Β Προτάσεις Α Αν ΑΒ p και..., τότε Α ε Αν ΑΒ p και Α ε, τότε... p Β Δ ε Αν Α ε, Β ε και..., τότε... Β. Δίνεται κύκλος (Ο, R) και σε σημείο του Α ένα εφαπτόμενο τμήμα ΑΒ = R. Πάνω στη κάθετη προς το επίπεδο του κύκλου στο Ο παίρνουμε τμήμα Ο = R 6. Να υπολογίσετε τα τμήματα: α) Α. β) Β. 3

224 ΘΕΜΑ ο Δίνεται xay = 60 σε επίπεδο p και στην πλευρά Αy παίρνουμε σημείο Β ε Δ έτσι ώστε ΑΒ = 6 cm (λ γνωστό ευθύγραμμο τμήμα) και φέρουμε από το Β κάθετη ευθεία ε στο επίπεδο p. Αν επί της ε πάρουμε τμήμα ΒΔ = 10 cm και Δ Αx Β y α) να δείξετε ότι Β Α. β) να βρείτε την απόσταση Δ. p A x 4

225 ο Σχέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή Διδακτική ενότητα: Ευθείες και Επίπεδα στο χώρο ΘΕΜΑ 1ο Α. i) Κλίση ευθείας ως προς επίπεδο ονομάζουμε τη γωνία.... ii) ια την προβολή Κ Λ ενός τμήματος ΚΛ πάνω σε επίπεδο ισχύει πάντοτε Α. Κ Λ = ΚΛ. Β. Κ Λ < ΚΛ.. Κ Λ ΚΛ. Δ. Κ Λ > ΚΛ. Ε. Κ Λ ΚΛ. Αν κ είναι η κλίση μιας ευθείας ως προς επίπεδο θα ισχύει μόνο Α. 90 < κ 180. Β. 180 κ κ 360. Δ. 0 κ 90. Ε. κανένα από τα παραπάνω. Αν το επίπεδο τριγώνου ΑΒ τέμνει κάθετα επίπεδο p τότε η προβολή του τριγώνου στο επίπεδο είναι Α. ευθεία. Β. ευθύγραμμο τμήμα.. σημείο. Δ. ευθεία κάθετη στο επίπεδο p. Ε. ευθύγραμμο τμήμα κάθετο στο επίπεδο p. 5

226 Β. Η προβολή ευθείας πάνω σε επίπεδο είναι σημείο όταν η ευθεία Α. είναι παράλληλη προς το επίπεδο. Β. σχηματίζει γωνία 30 με το επίπεδο.. σχηματίζει γωνία 45 με το επίπεδο. Δ. σχηματίζει γωνία 60 με το επίπεδο. Ε. σχηματίζει γωνία 90 με το επίπεδο. Στο διπλανό σχήμα το μήκος της προβολής του ΑΒ στο επίπεδο p σε cm είναι Α.. Β Δ. 4. Ε. 5. A 5 cm B 3 cm p Στο διπλανό σχήμα αν AB BB = τότε η κλίση της ΑΒ ως προς το επίπεδο είναι Α. 30. Β Δ. 75. Ε. 90. B B p Αν η προβολή ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ισούται με την απόσταση του σημείου Β από το επίπεδο τότε η κλίση του ΑΒ ως προς το επίπεδο είναι Α. 30. Β Δ. 75. Ε. 90. ΘΕΜΑ ο Δίνονται δύο σημεία Α και Β ενός επιπέδου p και σημείο έξω από το επίπεδο p. Το απέχει από το επίπεδο p απόσταση Δ = 8 cm και από το ΑΒ απόσταση Ζ = 10 cm. Να δείξετε ότι (ΔΑΒ) (ΑΒ) =

227 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

228 8

229 Κεφάλαιο 1: ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕΔΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. Σ,. Λ, 3. Λ, 4. Σ, 5. Λ, 6. Λ, 7. Σ, 8. Λ, 9. Λ, 10. Σ, 11. Λ, 1. Λ, 13. i) Σ - ii) Λ - iii) Σ, 14. Λ, 15. Λ, 16. Σ, 17. Λ, 18. Λ, 19. i) Σ - ii) Λ - iii) Λ - iv) Σ - v) Λ, 0. Σ, 1. Σ,. Λ, 3. i) Σ - ii) Λ, 4. Λ, 5. Σ, 6. Σ, 7. Λ, 8. Λ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Ε,., 3. Δ, 4. i) - ii) Ε, 5. Δ, 6., 7. Δ, 8. Α, 9. Β, 10. Ε, 11., 1., 13. Δ, 14. Β. Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1 Α 3 Β Ερωτήσεις συμπλήρωσης 1. i) Τρία μη συνευθειακά ii) τρία iii)ένα σημείο του χώρου iv) δύο διαφορετικά σημεία v) μια κοινή ευθεία στην οποία 9

230 . i) άπειρα ii) άπειρες iii)άπειρα iv) ένα σημείο εκτός αυτής v) τεμνόμενες ευθείες 3. που σχηματίζει η ευθεία με την προβολή της στο επίπεδο 4. Στήλη Β Εκφράσεις Στήλη Εκφράσεις Η ευθεία ε ανήκει στο επίπεδο p. Η ευθεία ε και το επίπεδο p έχουν άπειρα κοινά σημεία. Η ευθεία ε τέμνει το επίπεδο p. Η ευθεία ε και το επίπεδο p έχουν ένα κοινό σημείο. Η ευθεία ε είναι παράλληλη προς το επίπεδο p. Η ευθεία ε και το επίπεδο p δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. 30

231 5. Στήλη Β Προτάσεις Αν ΑΒ p και Β ε τότε Α ε. Αν ΑΒ p και Α ε, τότε Β ε. Αν Α ε, Β ε και ΑΒ Β, τότε ΑΒ p. 6. Στήλη Β Ισότητες AB ΔΕ = B ΕΖ A B ΔZ = ΕΖ A Β Α ΔE = ΔΖ 31

232 7. Στήλη Β Ισότητες Β = 6 Α = 1 A Β 15 = Α 1 8. Στήλη Β Κλίση κ Στήλη Αντίστοιχες σχέσεις κ = 45 ΑΒ = ΒΒ κ = 30 ΒΒ = ΑΒ κ = 60 ΑΒ = ΑΒ 3

233 9. Στήλη Β Αντίστοιχες εκφράσεις Αν ε p και q περιέχει την ε, τότε q p. Αν p q, Α σημείο του p και AB q, τότε ΑΒ ανήκει στο p. Αν q p και w p και p q 0, τότε q // w. Αν q p και w p και q w = ε, τότε ε p. 33

234 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Τα σημεία Β και είναι σημεία του επιπέδου p, η Β είναι ευθεία του p. Η Β τέμνει την ΑΜ στον Α Μ Ν Ν. Το Ν σαν σημείο της Β ανήκει στο p, άρα και το Μ σαν σημείο της ΑΝ ανήκει στο p. p B. Έστω ε μια ευθεία που ορίζεται ε από ένα σημείο Α ενός επιπέδου B p και από ένα άλλο σημείο Β που βρίσκεται έξω από το p. Η ε δεν έχει άλλο κοινό σημείο με το p παρά μόνο το Α. ιατί αν είχε και Α άλλο κοινό σημείο θα ανήκε στο p και συνεπώς το Β θα ήταν ση- p μείο του Ρ. 3. α) Επειδή ε 1 και ε ασύμβατες το ε 1 σημείο Α δεν θα είναι σημείο της ευθείας ε. Επομένως (Α, ε 1 ) ορίζουν ένα επίπεδο p. β) Είναι p ε 1 = {Α} γιατί αν υ- πήρχε και άλλο κοινό σημείο Α εκτός από το Α, η ε 1 θα ήταν ευθεία του p. Τούτο είναι ά- p ε τοπο, διότι ε 1, ε ασύμβατες. 34

235 4. Οι ευθείες Ο 1 Ο και ΑΒ τέμνονται, άρα ορίζουν ένα επίπεδο p. Ο κυκλικός δίσκος (Ο 1, R 1 ) έχει με το επίπεδο p, κοινά τα μη συνευθειακά σημεία Α, Β, Ο 1. Ό- μοια ο κυκλικός δίσκος (Ο, R ) έχει με το p κοινά τα μη συνευθειακά σημεία Ο, Α, Β. Άρα οι p Ο 1 Α Β Ο κύκλοι (Ο 1, R 1 ) και (Ο, R ) βρίσκονται πάνω στο ίδιο επίπεδο p. ε 1 5. α) Επειδή το σημείο Α δεν βρίσκεται πάνω στην ε το ζεύγος (Α, ε ) ορίζει επίπεδο p. Όμοια και το ζεύγος (Β, ε 1 ) ορίζει επίπεδο q. β) Τα επίπεδα αυτά δεν ταυτίζονται, γιατί οι ευθείες ε 1 και ε είναι ασύμβατες. Άρα τα επίπεδα p και q, επειδή έχουν κοινά τα σημεία Α και Β, p ε B Α τέμνονται κατά την ευθεία ΑΒ. q 6. α) Αν η ευθεία ε 3 έτεμνε την ε 1 στο σημείο Ο, αυτό θα ήταν και σημείο της ε. Επομένως οι ε 1 και ε θα περνούσαν από το Ο. Τούτο είναι άτοπο, άρα ε 3 // ε 1. Όμοια ε 3 // ε. ε 3 ε q p ε 1 t O β) Αν η ε 3 είχε με το επίπεδο p έστω και ένα κοινό σημείο, αυτό θα ήταν και σημείο της ε 1. Τούτο είναι άτοπο, αφού ε 3 // ε (βλ. (α) ερώτημα). 35

236 7. Τα επίπεδα (Κ, Α, Β) και (Κ,, Δ) έχουν κοινό το σημείο Κ. Επίσης τα επίπεδα (Κ, Α, Β) και (Κ,, Δ) τέμνουν το επίπεδο p κατά τις μη παράλληλες ευθείες ΑΒ και Δ αντίστοιχα. Έ- στω Ε το σημείο τομής των ΑΒ, Δ. Το Ε είναι διαφο- Κ Δ Ε Β p A ρετικό από το Κ αφού το Ε ανήκει στο p. Το Ε είναι κοινό σημείο των επιπέδων (Κ, Α, Β) και (Κ,, Δ). Επομένως η ζητούμενη τομή των επιπέδων (Κ, Α, Β) και (Κ,, Δ) είναι η ευθεία ΚΕ. ε 8. Το Κ ως περίκεντρο του τριγώνου ΑΒ, ι- Ο σαπέχει από τις κορυφές του δηλαδή ΚΑ = ΚΒ = Κ. Έτσι για τα πλάγια τμήματα ΟΑ, ΟΒ, Ο (Ο τυχόν σημείο της ε) ισχύει ΟΑ = ΟΒ = Ο λόγω της ισότητας των ορθογωνίων τριγώνων ΟΚΑ, ΟΚ, ΟΚΒ. Α Κ Β 9. Έστω ΜΚ = λ. Από το ορθογώνιο τρί- Κ γωνο ΜΟΚ έχουμε ΟΜ = λ - α. Άρα το Μ είναι σημείο του κύκλου (Ο, λ - α ). λ α Αντιστρόφως: Έστω Μ σημείο του κύκλου (Ο, λ - α ). p Μ Ο 36

237 Τότε ΟΜ = λ - α οπότε ΜΚ = λ. Άρα το Μ είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου. Έτσι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος (Ο, λ - α ) επί του επιπέδου p. 10. α) Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑ έχουμε Α = ΟΑ + Ο ή Α = R + 6R = 7R ή A = R 7 β) Επειδή Ο p και ΟΑ ΑΒ α- πό το θεώρημα τριών καθέτων Ο είναι Α ΑΒ. Έτσι από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ έχουμε p Β = ΑΒ + Α ή Β = R + 7R = 9R ή Β = 3R R Α Β Κ ΚΔ 11. α) Επειδή είναι = σύμφωνα ΚΟ ΚΑ με το θεώρημα του Θαλή έχουμε ότι Δ // ΟΑ. Κ ΚE β) Όμοια, αφού =, έχουμε ΚΟ ΚB Ε // ΟΒ. Δ K E γ) Επειδή ΚΟ p έχουμε ότι ΚΟ ΟΑ και ΚΟ ΟΒ. Άρα ΚΟ Δ και ΚΟ Ε, αφού Δ // ΟΑ και Ε // ΟΒ, οπότε η ΚΟ είναι κάθετη στο επίπεδο (, Δ, Ε). p Α Ο Β 37

238 1. Επειδή το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο, Μ μέσο της Β και ε (Α, Β, ) έχουμε ότι ΜΑ = ΜΒ = Μ. Αν Κ είναι οποιοδήποτε σημείο της ε τότε για τα πλάγια προς το επίπεδο (Α, Β, ) τμήματα ΚΑ, ΚΒ, Κ ισχύει ΚΑ = ΚΒ = Κ λόγω της ισότητας των τριγώνων ΚΑΒ, ΚΜΑ, ΚΜ. p Β Α Κ ε Μ 13. Είναι Δ p και Ζ ΑΒ. Τότε, σύμφωνα με το θεώρημα τριών καθέτων, έχουμε ότι ΔΖ ΑΒ. Άρα Ζ, ΔΖ ύψη των τριγώνων ΑΒ και ΑΔΒ αντίστοιχα. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΔΖ έχουμε ΔΖ = Ζ - Δ ή ΔΖ = = 36 cm ή ΔΖ = 6 cm. Επομένως (ΔΑΒ) (ΑΒ) 1 ΑΒ ΔΖ = = 1 ΑΒ Ζ 6 cm 10 cm = 3 5 p Α Ζ Β Δ 38

239 14. α) Είναι Δ Αx. Επειδή ΔΒ p, σύμφωνα με το θεώρημα τριών καθέτων, έχουμε Β Αx ή Β Α. β) Επειδή ΒΑ = 60 άρα ΑΒ = 30 οπότε από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ΑΒ 6 έχουμε ότι Α = ή Α = = 3 cm και Β = ΑΒ - Α = 36-9 = 7. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΔ έχουμε Δ = Β + ΔΒ = = 17 ή Δ = 17 cm 11,6 cm. p Α 60 ε Δ Β y x 15. Έστω Σ το μέσο του ΑΒ και ΜΟ ΑΒ. p Τότε κατά το δεύτερο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο ΜΑΒ έχουμε ότι Α Σ O Β ΜΑ - ΜΒ = ΑΒ ΣΟ. Έτσι η ισότητα ΜΑ - ΜΒ = λ γράφεται ΑΒ ΣΟ = λ λ ή ΣΟ =. Επειδή τα Α, Β είναι δε- ΑΒ M δομένα το Ο προσδιορίζεται, οπότε το Μ είναι σημείο του επιπέδου p που είναι κάθετο στην ΑΒ στο Ο. λ Αντιστρόφως: ια κάθε σημείο Μ του p ισχύει ΣΟ = και λόγω της ι- ΑΒ σότητας ΜΑ - ΜΒ = ΑΒ ΣΟ προκύπτει ότι ΜΑ - ΜΒ =λ δηλαδή το Μ είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου. Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το επίπεδο p. 39

240 16. Θεωρούμε δύο ασύμβατες ευθείες ε 1 και ε και ένα σημείο Α της ε 1. Στο επίπεδο (Α, ε ) φέρνουμε την Αx // ε. Το επίπεδο (ε 1, Ax) περιέχει την ε 1 και είναι παράλληλο της ε, αφού ε // Αx. Κάθε άλλο επίπεδο q, που περιέχει την ε 1 και είναι ε 1 Α x παράλληλο της ε περιέχει και την Αx, αφού το Α ανήκει στο q και Αx // ε. Άρα το q ταυτίζεται με το (ε 1, Ax) και επομένως ένα μόνο επίπεδο περιέχει την ε 1 και είναι παράλληλο της ε. Όμοια ένα μόνο επίπεδο περιέχει την ε και είναι παράλληλο προς την ε 1. ε ε ε Έστω σημείο Σ και οι δύο ασύμβατες ευθείες ε 1, ε. Από το Σ άγονται δύο μόνο ευθείες ε1 και ε ώστε να είναι ε 1 // ε 1 και Οι τεμνόμενες ευθείες ε ορίζουν το επίπεδο ( ε 1, ε 1, ε // ε. ε ) το οποίο Σ ε ε 1 είναι παράλληλο προς τις ε 1 και ε, αφού ε 1 // ε και ε // ε. Εκτός 1 p του ( ε 1, ε ) δεν υπάρχει άλλο επίπεδο το οποίο να περιέχει το Σ και να είναι παράλληλο προς τις ε 1, ε, διότι ένα τέτοιο επίπεδο θα περιείχε τις επομένως θα ταυτιζόταν με το ( ε 1, ε ). ε 1, ε και 40

241 18. Στο επίπεδο (Α, ε 1 ) θεωρούμε την Ax // ε 1 και στο (Α, ε ) την Αy // ε. Τότε το επίπεδο p των Αx, Ay είναι παράλληλο προς τις ε 1, ε αφού ε 1 // Αx και ε // Αy. Έστω ότι και ένα άλλο επίπεδο p διέρχεται από το Α και είναι παράλληλο προς τις ε 1 και ε. Τότε στο p περιέχονται οι Αx, Αy. q y Α x p ιατί αν π.χ. η Αx δεν περιεχόταν στο p τότε θα υπήρχε ευθεία Αx του p παράλληλη της ε 1 και από το Α θα είχαμε δύο παράλληλες προς την ε 1 τις Αx, Ax. Αυτό όμως είναι άτοπο, οπότε οι Αx, Ay περιέχονται στο p που σημαίνει ότι το p ταυτίζεται με το p και άρα ένα μόνο επίπεδο διέρχεται από το Α και είναι παράλληλο προς τις ε 1 και ε. ε ε α) Έστω Μ το μέσο της Δ τότε το Θ είναι Α ΑΘ το σημείο της διαμέσου ΑΜ με = ΘΜ και το Θ είναι το σημείο της διαμέσου ΒΜ με έχουμε ΒΘ =. Έτσι στο τρίγωνο ΑΜΒ Θ Μ ΑΘ ΘΜ ΒΘ = οπότε ΘΘ // ΑΒ. Θ Μ β) Η ΘΘ // ΑΒ που είναι η τομή των επιπέδων (Α, Β, ) και (Α, Β, Δ) χωρίς να περιέχεται σε κανένα από αυτά αφού περιέχεται στο (Α, Β, Μ). Άρα ΘΘ // (Α, Β, ). γ) Όμοια με το (β), ΘΘ // (Α, Β, Δ). Δ Μ Θ Θ Β 41

242 0. Έστω Β το ίχνος της ε 1 πάνω στο ε 1 επίπεδο p. To επίπεδο (ε 1, Α) έχει με το p κοινό το Β και άρα τέμνει Α Δ ε το p κατά ευθεία Βx. Από το Α φέρνουμε πάνω στο επίπεδο (ε 1, Α) την ε // Βx η οποία τέμνει την ε 1 σε σημείο Δ, αφού x B και η παράλληλή της Βx τέμνεται από την ε 1. Έτσι η ζητούμενη p ευθεία είναι η ε αφού τέμνει την ε 1 και είναι παράλληλη του p γιατί ε // Bx. Άλλη ευθεία ε // Βx από το Α δεν υπάρχει, διότι τότε θα υπήρχαν από το σημείο Α δύο παράλληλες προς τη Βx. 1. α) Επειδή οι ευθείες Α και ΒΔ είναι αντίστοιχα παράλληλες προς τις ευθείες ΕΖ και ΗΖ του επιπέδου (Ε, Ζ, Η) (γνωστό θεώρημα επιπεδομετρίας) και βρίσκονται έξω από αυτό, άρα είναι παράλληλες προς το επίπεδο (Ε, Ζ, Η). β) Ονομάζουμε Θ το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΔ και φέρνουμε την ευθεία ΗΘ. Είναι ΗΘ // Α (ενώνει τα μέσα των ΑΔ, Δ στο τρίγωνο ΑΔ) και Α // (Ε, Ζ, Η), άρα η ευθεία ΗΘ βρίσκεται πάνω στο επίπεδο (Ε, Ζ, Η). Α Θ E Δ Β H Z Άρα το ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ, επειδή δεν βρίσκεται πάνω στο επίπεδο (Ε, Ζ, Η) τέμνεται από αυτό στο μέσο του Θ. 4

243 Β. α) Από τα παραλληλόγραμμα ΑΑ Β Β, ΑΑ και Β Β έχουμε αντίστοιχα ΑΒ // = Α Β, Α // = Α και Β // = Β. Άρα τα τρίγωνα ΑΒ και Α Β είναι ίσα. β) Τα επίπεδά τους είναι διαφορετικά και παράλληλα (διαφορετικά εκ κατασκευής, παράλληλα λόγω του (α)). Α Β A 3. Αφού το είναι εσωτερικό σημείο του ευθύγραμ- ε 1 ε μου τμήματος ΑΒ θα έχουμε Α = ΑΒ - Β ή Α = 6,5-4 =,5 cm. Από το θεώρημα του Θαλή έχουμε A Α Α Β Β Α = = = ΑΒ Β Α 10,5 = 4 Α Β Β Άρα = 4 = 4 ΑΒ Β Έχουμε όμως ΑΒ = 6,5 cm και Β = 4 cm. q p Α Β α) Άρα = 4 ή Α Β = 6 cm. 6,5 Β Β r Β β) Άρα = 4 ή Β = 16 cm. 4 43

244 4. Φέρνουμε τις ευθείες ΜΚ και ΜΝ. Επειδή η ευθεία ΜΚ περ- Ο νάει από τα μέσα των πλευρών ΟΑ και Ο του τριγώνου ΟΑ θα έχουμε ΜΚ // Α. Όμοια ΜΝ // ΑΒ. Επομένως Μ K α) Το επίπεδο που ορίζεται από Ν τα σημεία Μ, Ν και Κ, όταν τα Α, Β και δεν βρίσκονται σε μία ευθεία είναι πα- Α Β ράλληλο προς το επίπεδο p. p Άρα τα σημεία Μ, Ν και Κ ισαπέχουν από το p. β) Η ευθεία που ορίζεται από τα Ο σημεία Μ, Ν και Κ όταν τα Α, Β και βρίσκονται πάνω σε μία ευθεία είναι παράλ- Μ Ν Κ ληλη προς το επίπεδο p. Άρα τα σημεία Μ, Ν και Κ ισαπέχουν από το p. Α Β 5. α) Είναι (ΑΑ, ΔΔ ) // (ΒΒ, ) αφού δύο τεμνόμενες ευθείες ΑΑ, ΑΔ του επιπέδου (ΑΑ, ΔΔ ) είναι παράλληλες προς τις ευθείες ΒΒ, Β αντίστοιχα του επιπέδου (ΒΒ, ). β) Όμοια (ΑΑ, ΒΒ ) // (, ΔΔ ). 44

245 xoy, x O y 6. α) Επειδή οι γωνίες περιέχονται στα διαφορετικά επίπεδα p, q και έχουν τις πλευρές τους παράλληλες είναι p // q (p παράλληλο σε δύο τεμνόμενες ευθείες του q και αντίστροφα). β) Φέρνουμε την ΟΟ και από τα Α, Β της xoy φέρνουμε ΑΑ // ΟΟ // ΒΒ. Τα τρίγωνα Ο Α Β, ΟΑΒ έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία όπως φαίνεται από τα παραλληλόγραμμα ΟΟ Α Α (ΟΟ // = ΑΑ ), q p O O B x B y Α ΟΟ Β Β (ΟΟ // = Β Β) και ΑΒΒ Α (ΒΒ // = ΑΑ ). Από την ισότητα y A x των τριγώνων αυτών έχουμε ΑO Β = Α O Β = x O y. K 7. Οι ημιευθείες Kx, Ky επειδή τέμνονται ορίζουν τη θέση του επιπέδου (x, K, y). Έχουμε ΑΒ // ΔΕ ως τομές των παραλλήλων επιπέδων p και q από p Α Β το τρίτο επίπεδο (x, K, y). ια τον ίδιο λόγο έ- χουμε Β // ΕΖ και Α // ΔΖ. Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΑΒ και ΔΕΖ έχουν τις ομόλογες πλευρές τους παράλληλες, οπότε είναι όμοια. Δ Z q E x y Z 45

246 8. α) Από τα τυχαία σημεία Α και Β αντίστοιχα των ευθειών ε 1 και ε φέρνουμε τις κάθετες ευθείες n 1 και n στο επίπεδο p. Ονομάζουμε q και r τα επίπεδα, που ορίζονται αντίστοιχα από τις ευθείες n 1, ε 1 και n, ε. Τα επίπεδα αυτά τέμνουν το p κατά τις ευθείες ε 1 και ε που είναι αντίστοιχα οι προβολές των ευθειών ε 1 και ε πάνω στο p. Είναι όμως n 1 // n και ε 1 // ε άρα p q // r. Επομένως και οι τομές τους με το p θα είναι παράλληλες δηλαδή θα έχουμε ε 1 // ε. β) Στην περίπτωση που οι ε 1 // ε ανήκουν σε επίπεδο q p, τότε οι προβολές ταυτίζονται σε μια ευθεία. Στην περίπτωση που οι ε 1, ε είναι κάθετες στο επίπεδο p, τότε οι προβολές είναι δύο διαφορετικά σημεία. ε 1 ε ε 1 (n ) 1 Λ q Α ε Β r Β n Δ Δ 46

247 ε Α ε 9. Από το σημείο Α της ε που είναι διαφορετικό από τα Β και φέρνουμε την ευθεία ε p. Τότε η ε θα είναι κάθετη και στο q. Έστω Α 1 και Α τα σημεία τομής της ε αντίστοιχα p Β ω Α 1 με τα p και q. Επειδή οι ευθείες ΒΑ 1 και Α είναι παράλληλες θα έχουμε ω = φ (οι ω, φ ανήκουν στο επίπεδο (Α,, Α )). φ Α q Δ 30. Έστω Α, Β, και Δ οι προβολές των Α, Β, και Δ Α Β πάνω στο p. Τότε το τετράπλευρο Α Β Δ είναι η προβολή του ΑΒΔ πάνω στο p. Επειδή έχουμε Δ // Α Β και Β // Δ Α συμπεραίνουμε ότι το Α Β Δ είναι παραλληλόγραμμο. Δ Α Β p 47

248 31. Έστω ΑΒ το ευθύγραμμο τμήμα και Μ το μέσο του. Ονομάζουμε Α, Β και Μ αντίστοιχα τις προβολές των Α, Β και Μ πάνω στο p. Τότε το Μ είναι σημείο του ευθύγραμμου τμήματος Α Β που είναι η προβολή του ΑΒ πάνω στο p. Από το θεώρημα Θαλή για τις παράλληλες ευθείες ΑΑ, ΒΒ και ΜΜ που τέμνονται από τις ευθείες ΑΒ και Α Β έχουμε: p AM ΒM =. Α Μ Β Μ Β Μ Α Α Μ Β Είναι όμως ΑΜ = ΒΜ. Άρα Α Μ = Β Μ, δηλαδή Μ μέσο του Α Β. Β 3. ΑΑ = 6 cm BB = 36 cm Αν στο επίπεδο ΒΑΑ φέρουμε την Α // Α Β έχουμε τότε Α = Α Β, ΑΑ = Β και Β = ΒΒ - Β = 38-6 = 1 cm. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ έχουμε ΑΒ = Α + Β = = = 400 AB = 0 cm. p Α Α Β 48

249 Α Ε 33. Έχουμε ΒΔ Α και ΒΔ ΕΖ. Επομένως η ΒΔ (τομή των δύο ρόμβων ΑΒΔ, ΕΒΖΔ) είναι κάθετη στο επίπεδο (ΑΟΕ) που ορίζουν οι Α και ΕΖ. Άρα τελικά προκύπτει ότι το επίπεδο αυτό είναι Β Ο Δ κάθετο στα επίπεδα των δύο ρόμβων. Ζ 34. Έστω Αx μία ευθεία του γεωμετρικού τόπου. Τότε η Ax είναι ορθογώνια προς την ε. Φέρνουμε την ε ΑΒ ε. Τότε το επίπεδο (ΑΒ, Αx) είναι κάθετο στην ε αφού ε ΑΒ και ε ορθογώνια προς την Αx. Άρα η Αx περιέχεται στο επίπεδο p που B A διέρχεται από το Α και είναι κάθετο της ε. Αλλά και κάθε ευθεία που p x διέρχεται από το Α και ανήκει στο p πλην της ΑΒ είναι ορθογώνια προς την ε αφού ε p. Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το επίπεδο p (πλην της ΑΒ). 49

250 35. Έστω AB η κοινή κάθετη των ασυμβάτων ε 1, ε. Τότε το επίπεδο (Α, ε ) ε 1, αφού ε 1 ΑΒ και ε 1 ορθογώνια της ε. Ομοίως το (Β, ε 1 ) ε. Το αντίστροφο είναι προφανές αφού όταν π.χ. η ε περιέχεται σε επίπεδο κάθετο της ε 1, τότε η ε 1 είναι ορθογώνια προς ό- λες τις ευθείες που δεν διέρχονται από το ίχνος της και άρα και προς την ε. p A ε 1 B ε q 36. Αν από ένα σημείο Α του q φέρουμε Αx // ε, τότε η Αx θα είναι ευθεία του q αφού ε // q. Επειδή όμως ε p και Αx // ε είναι και Αx p. Άρα είναι q p αφού το q περιέχει την x που είναι κάθετη στο p. p 50

251 Κεφάλαιο 13: ΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Θεωρούμε ένα επίπεδο p, μια κλειστή πολυγωνική γραμμή του p και μια ευθεία ε που έχει με το p ένα μόνο κοινό σημείο. Από κάθε σημείο της πολυγωνικής γραμμής φέρουμε την παράλληλη ευθεία προς την ε. Βασιζόμενοι στο παραπάνω να απαντήσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). α) Το σύνολο αυτών των παραλλήλων ευθειών σχηματίζει μια επιφάνεια, η οποία ονομάζεται πρισματική επιφάνεια. Σ Λ β) Κάθε μία από τις παράλληλες ευθείες ονομάζεται οδηγός της πρισματικής επιφάνειας. Σ Λ γ) Η πολυγωνική γραμμή του p ονομάζεται γενέτειρα. Σ Λ. * Οι γενέτειρες που διέρχονται από τις κορυφές της πολυγωνικής γραμμής ονομάζονται ακμές της πρισματικής επιφάνειας. Σ Λ 3. * Όταν οι βάσεις του πρίσματος είναι κάθετες στις γενέτειρες, τότε το πρίσμα λέγεται ορθό. Σ Λ 4. * Όταν οι έδρες ενός πρίσματος είναι παραλληλόγραμμα, τότε το πρίσμα λέγεται παραλληλεπίπεδο. Σ Λ 5. * Κάθε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο είναι ορθό πρίσμα. Σ Λ 6. * Κάθε παραλληλεπίπεδο είναι ορθογώνιο. Σ Λ 51