Άρρηκτου Πετρώματος με τη Μέθοδο Διακριτών. Simulation of Intact Rock with the Distinct Elements Method

Transcript

1 Προσομοίωση Στοιχείων Άρρηκτου Πετρώματος με τη Μέθοδο Διακριτών Simulation of Intat Rok with the Distint Elements Method ΤΣΑΪΜΟΥ, Α.Σ. ΝΟΜΙΚΟΣ, Π.Π. ΣΟΦΙΑΝΟΣ, Α.Ι. Μηχανικός Ορυκτών Πόρων, MS. Υ.Δ. Ε.Μ.Π. Μηχανικός Μεταλλείων, Πολιτικός Μηχ., Λέκτορας, Ε.Μ.Π. Πολιτικός Μηχανικός, Καθηγητής, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Διερευνάται η μηχανική συμπεριφορά ενός μοντέλου συνδεμένων σωματιδίων για την προσομοίωση του άρρηκτου πετρώματος. Το άρρηκτο πέτρωμα παριστάνεται ως ένα σύνολο κυκλικών δίσκων συνδεμένων στις επαφές τους και υποβάλλεται σε αριθμητικές δοκιμές φόρτισης με ένα κώδικα διακριτών στοιχείων. Περιγράφεται η μεθοδολογία επιλογής των παραμέτρων αντοχής και παραμορφωσιμότητας των επαφών και των συνδέσεων των δίσκων. Το συνθετικό πέτρωμα υποβάλλεται σε αριθμητικές δοκιμές μονοαξονικής, αντιδιαμετρικής και τριαξονικής θλίψης. Παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των αριθμητικών δοκιμών και εξετάζεται η επίδραση της ακτίνας των δίσκων στην μακροσκοπική συμπεριφορά του συνθετικού πετρώματος. ABSTRACT: The mehanial behaviour of a bonded partile model for intat rok simulation, is investigated. Intat rok is represented as an aggregate of irular disks bonded at their ontats and it is subjeted to numerial loading tests using a disrete elements ode. The methodology for seleting the strength and deformational parameters or the disk ontat and bonds is desribed. The syntheti rok undergoes numerial tests of uniaxial, triaxial and diametri ompression. The results of the simulation are presented and the effet of disk radius on the marosopi syntheti rok behaviour is examined. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ H ανελαστική συμπεριφορά και η θραύση των ψαθυρών πετρωμάτων υπό μηχανική καταπόνηση οφείλεται κυρίως στο σχηματισμό, την ανάπτυξη/διεύρυνση και τελικώς στην αλληλεπίδραση ενός πλήθους μικρορωγμών στο σώμα του πετρώματος. Η αναπαράσταση του πετρώματος ως σύνολο σωματιδίων συνδεμένων στις επαφές τους μπορεί ως ένα βαθμό να προσεγγίσει ικανοποιητικά τους παραπάνω μηχανισμούς. Η τεχνική αυτή αναφέρεται από τους Potyondy & Cundal (2004) ως «μοντέλο συνεδεμένων σωματιδίων» (bonded partile model, BPM) και υλοποιείται αριθμητικά με τη μέθοδο διακριτών στοιχείων (Cundal, 1971). Το BPM μπορεί να λαμβάνει διάφορες παραλλαγές (π.χ. Cho et al., 2009, Fakhimi, 2004), ανάλογα με το σχήμα των σωματιδίων ή την αρχική αλληλοεπικάλυψη τους, ενώ επιλέγοντας κατάλληλες καταστατικές σχέσεις για τις επαφές μπορούν να προσομοιωθούν φαινόμενα όπως η διαστολή λόγω εκτενούς μικρορωγμάτωσης, ή η χρονικά εξαρτώμενη παραμόρφωση. Το αριθμητικό προσομοίωμα του BPM συχνά αναφέρεται ως «συνθετικό πέτρωμα» (syntheti rok). Μία από τις απαιτήσεις για την δημιουργία ενός BPM είναι η επιλογή κατάλληλων παραμέτρων των επαφών και των δεσμών, ώστε το συνθετικό πέτρωμα να παρουσιάζει την ίδια μακροσκοπική συμπεριφορά με το πραγματικό πέτρωμα. Η επιλογή γίνεται συνήθως με βάση αποτελέσματα τυπικών εργαστηριακών δοκιμών, όπως η δοκιμή μονοαξονικής θλίψης. Οι εργαστηριακές δοκιμές προσομοιώνονται α- ριθμητικά και το BPM βαθμονομείται ώστε να προσεγγίσει τη συμπεριφορά του πετρώματος σε αυτές. Στην παρούσα εργασία γίνεται μία σύντομη αναφορά στα χαρακτηριστικά του BPM, όπως υλοποιείται στον κώδικα Partile Flow Code- 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/ , Βόλος 1

2 PFC (Itasa, 2009). Παρουσιάζεται η μεθοδολογία για την επιλογή των παραμέτρων του BPM και οι δυσκολίες που παρουσιάζει. Δίνεται το μοντέλο BPM ενός ελληνικού μαρμάρου προσομοιώνοντας το άρρηκτο πέτρωμα ως συνδεμένους δίσκους στον κώδικα PFC. Το συνθετικό πέτρωμα υποβάλλεται σε αριθμητικές δοκιμές μονοαξονικής και τριαξονικής θλίψης καθώς και έμμεσου εφελκυσμού (αντιδιαμετρική θλίψη). Τα αποτελέσματα των αριθμητικών δοκιμών συγκρίνονται με εκείνα των πραγματικών δοκιμών. Τέλος, διερευνάται η επίδραση της ακτίνας των δίσκων στη μακροσκοπική συμπεριφορά του συνθετικού πετρώματος. 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ 2.1 Μέθοδος Διακριτών Στοιχείων Ως μέθοδος διακριτών στοιχείων (Desrete Elements Method, DEM) χαρακτηρίζεται η κατηγορία εκείνη των μεθόδων αριθμητικής προσομοίωσης όπου η περιοχή αναπαρίσταται ως σύνολο διακριτών μονάδων ή σωμάτων. Κατά την αριθμητική επίλυση, οι μονάδες μπορούν να μετατοπίζονται και να περιστρέφονται, να εφάπτονται ή να αποχωρίζονται. Μία πλήρης περιγραφή των μεθόδων διακριτών στοιχείων με έμφαση σε αυτές που χρησιμοποιούνται στη μηχανική πετρωμάτων δίνεται από τους Jing & Stephansson (2007). Στην DEM οι υπολογισμοί κατά την αριθμητική επίλυση εναλλάσσονται μεταξύ της εφαρμογής του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα στα σωματίδια και μίας καταστατικής σχέσης δύναμης-μετατόπισης στις επαφές. Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της μεταφορικής και περιστροφικής κίνησης κάθε σωματιδίου, λόγω των δυνάμεων που ασκούνται στις επαφές του από τα γειτονικά σωματίδια, των εφαρμοζόμενων εξωτερικών δυνάμεων και των βαρυτικών δυνάμεων. Η καταστατική σχέση στις επαφές χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των δυνάμεων σε αυτές ως αποτέλεσμα της σχετικής κίνησης των σε επαφή σωματιδίων. Αυτή η δυναμική διαδικασία αντιμετωπίζεται αριθμητικά με υπολογισμούς σε χρονικά βήματα, όπου σε κάθε βήμα οι ταχύτητες και οι επιταχύνσεις των σωματιδίων θεωρούνται σταθερές. Με αυτό το σχήμα επίλυσης, εάν το χρονικό βήμα είναι πολύ μικρό, κάθε στιγμή οι δυνάμεις που δρουν σε ένα σωματίδιο προσδιορίζονται από την αλληλεπίδρασή του με τα σωματίδια που βρίσκεται σε επαφή. Το χρονικό βήμα θα πρέπει να είναι τόσο μικρό ώστε να δύναται να θεωρηθεί ότι οποιαδήποτε διαταραχή στο α- ριθμητικό μοντέλο δεν μπορεί να διαδοθεί πέραν από την άμεση γειτονία της κατά τη διάρκεια ενός χρονικού βήματος. 2.2 Μοντέλο BPM στο PFC 2D Στο PFC 2D, (Partile Flow Code) το πέτρωμα προσομοιώνεται σε δύο διαστάσεις ως σύνολο άκαμπτων κυκλικών δίσκων πεπερασμένου πάχους. Το σύνολο των δίσκων περιορίζεται εξωτερικά από άκαμπτα τοιχώματα. Οι δίσκοι μπορούν να κινούνται (μεταφορικά και περιστροφικά) ανεξάρτητα μεταξύ τους και αλληλοεπιδρούν στις επαφές τους. Οι επαφές θεωρούνται ότι έχουν πεπερασμένη ορθή και διατμητική δυστροπία (stiffness). Λόγω του κυκλικού σχήματος δίσκων είναι δυνατές επαφές μόνο μεταξύ δύο δίσκων. Η ορθή δύναμη στην επαφή είναι ανάλογη με την αλληοεπικάλυψη των δίσκων και την ορθή δυστροπία k n της επαφής. Η αλληλοεπικάλυψη των δίσκων είναι μικρή, σε σχέση με το μέγεθός τους, ώστε η επαφή να μπορεί να θεωρηθεί σημειακή. Η διατμητική μετατόπιση προκαλεί αύξηση της διατμητικής δύναμης στην επαφή ανάλογα με την διατμητική δυστροπία, k s. Η διατμητική αντοχή της επαφής καθορίζεται από το συντελεστή τριβής μ και την ορθή δύναμη στην επαφή. Στις επαφές μπορούν να αντιστοιχηθούν δεσμοί πεπερασμένης αντοχής και δυστροπίας, που μπορούν να φέρουν φορτία. Οι δεσμοί θραύονται όταν η φόρτιση υπερβεί την αντοχή τους. Οι Potyondy & Cundal (2004), παρομοιάζουν τους δεσμούς των σωματιδίων στο PFC με το συγκολλητικό υλικό των κόκκων των κλαστικών ιζηματογενών πετρωμάτων ή με τη νοητή συγκόλληση των κρυστάλλων των κρυσταλλικών πετρωμάτων. Τα δύο βασικά είδη δεσμών στο PFC είναι οι σημειακοί δεσμοί (ontat bonds, CB) και οι παράλληλοι δεσμοί (parallel bonds, PB). Ο σημειακός δεσμός μπορεί να θεωρηθεί ως δύο ελατήρια, κάθετα και παράλληλα στο επίπεδο της επαφής, με σταθερή ορθή και διατμητική διστροπία. Ο παράλληλος δεσμός μπορεί να θεωρηθεί ως ελατήρια σταθερής ορθής και διατμητικής δυστροπίας ομοιόμορφα κατανεμημένα σε μία ορθογωνική επιφάνεια παράλληλη με το επίπεδο του δεσμού. Οι παράλληλοι δεσμοί μπορούν να ανθίστανται σε ροπές που δημιουργούνται από την περιστροφική κίνηση των δίσκων, σε αντίθεση με τους σημειακούς δεσμούς. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/ , Βόλος 2

3 Μετά τη θραύση ενός σημειακού δεσμού η ορθή δυστροπία του εξακολουθεί να είναι ε- νεργή για όσο οι δίσκοι είναι σε επαφή. Αντίθετα, με τη θραύση ενός παράλληλου δεσμού η δυστροπία του μηδενίζεται, ενώ μόνο η δυστροπία της επαφής παραμένει ενεργή. Έτσι, χρησιμοποιώντας σημειακούς δεσμούς η μακροσκοπική δυστροπία του συνθετικού πετρώματος δεν επηρεάζεται έντονα από τη θραύση των δεσμών. Αντίθετα, χρησιμοποιώντας παράλληλους δεσμούς η θραύση των δεσμών οδηγεί σε μείωση της μακροσκοπικής δυστροπίας του συνθετικού πετρώματος. Από την άποψη αυτή η χρήση παράλληλων δεσμών προσεγγίζει ρεαλιστικότερα την πραγματική συμπεριφορά του πετρώματος. Έτσι, για όλες τις προσομοιώσεις που παρουσιάζονται στην παρούσα εργασία χρησιμοποιήθηκαν παράλληλοι δεσμοί. Για τον καθορισμό των παράλληλων δεσμών στο PFC απαιτείται ο καθορισμός της ορθής k n και διατμητικής k s δυστροπίας τους, της ορθής και διατμητικής αντοχής τους (μέση τιμή και τυπική απόκλιση), καθώς και ο συντελεστής, που καθορίζει το μήκος 2 R του δεσμού παράλληλα με το επίπεδο της ε- παφής σύμφωνα με τη σχέση: R min R, R A B (1) όπου R A και R B οι ακτίνες των δίσκων Α και Β σε επαφή. Για τον πλήρη καθορισμό του συνθετικού πετρώματος απαιτείται η ελάχιστη ακτίνα των δίσκων R min και ο λόγος R max /R min της μέγιστης προς την ελάχιστη ακτίνα τους. Σχετικά με την επίδραση των μικροπαραμέτρων στη μακροσκοπική συμπεριφορά του συνθετικού πετρώματος οι Cho et al. (2009) σημειώνουν ότι αύξηση του συντελεστή τριβής των επαφών αυξάνει τη μακροσκοπική αντοχή του συνθετικού πετρώματος. Επιπλέον, η αύξηση των λόγων k n / k s, k n / k s και / προκαλεί αύξηση του πλήθους των ε- φελκυστικών θραύσεων των δεσμών και αύξηση της διασταλτικότητας του συνθετικού πετρώματος σε θλίψη. 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Στην παρούσα εργασία επιχειρείται η δημιουργία στον κώδικα PFC 2D ενός BPM για το μάρμαρο Διονύσσου. Το μάρμαρο αυτό προέρχεται από λατομείο της περιοχής Διονύσου Αττικής. Πρόκειται για ασβεστιτικό μεσόκοκκο μάρμαρο με κύρια συστατικά % ασβεστίτη, 2-3 % χαλαζία και 0-4 % δολομίτη (Τσουτρέλης κ.ά, 1996). Η μέση διάσταση των κόκκων του είναι 0.45 mm περίπου. Το μοναδιαίο βάρος κυμαίνεται περί τα 27 kn/m 3. Η αντοχή του σε μονοαξονική θλίψη, μετρούμενη σύμφωνα με την προτεινόμενη μέθοδο της ISRM, κυμαίνεται μεταξύ 70 και 79 MPa, με μέσο μέτρο ελαστικότητας GPa, ανάλογα με τη διεύθυνση φόρτισης. Στη συγκεκριμένη εργασία η αντοχή του πετρώματος σε μονοαξονική θλίψη θεωρήθηκε ίση με 76 MPa, το μέσο μέτρο ελαστικότητας 47 GPa και ο λόγος Poisson Επιλογή παραμέτρων Για τον καθορισμό του μοντέλου BPM στον κώδικα PFC, πρέπει αρχικά να καθοριστούν οι παράμετροι των δίσκων, των επαφών και των δεσμών του συνθετικού πετρώματος. Αν και είναι σχετικά εύκολο να οριστούν οι επιλεγμένες ιδιότητες στο PFC, είναι συχνά δύσκολο να επιλεγούν τέτοιες ιδιότητες ώστε η μακροσκοπική συμπεριφορά του συνθετικού πετρώματος να προσεγγίζει αυτή του πραγματικού. Για την επιλογή των κατάλληλων παραμέτρων, εφαρμόζεται συνήθως μια διαδικασία βαθμονόμησης, στην οποία η απόκριση του συνθετικού πετρώματος κατά την προσομοίωση μίας συγκεκριμένης κατάστασης φόρτισης συγκρίνεται με την αντίστοιχη απόκριση του πραγματικού πετρώματος. Αυτή η σύγκριση μπορεί να γίνει είτε στη βάση των συνήθων εργαστηριακών δοκιμών (π.χ. δοκιμές μονοαξονικής θλίψης, δοκιμές τριαξονικής θλίψης κλπ.) είτε στη βάση φορτίσεων κλίμακας πεδίου (π.χ. έκταση ζημίας γύρω από υπόγειες εκσκαφές) ανάλογα με την εφαρμογή για την ο- ποία προορίζεται το BPM του PFC. Αυτή η διαδικασία βαθμονόμησης υλοποιείται συχνά με την εκτέλεση δοκιμών, επεμβαίνοντας και διορθώνοντας τις παραμέτρους σε κάθε δοκιμή. Έτσι, η διαδικασία πρέπει να ε- παναλαμβάνεται κάθε φορά που επιχειρείται η προσομοίωση ενός διαφορετικού πετρώματος. Για την απλοποίηση της διαδικασίας, ο Yoon (2007) παρουσίασε μία μεθοδολογία ε- πιλογής παραμέτρων για την περίπτωση που το BPM δημιουργείται χρησιμοποιώντας σημειακούς δεσμούς στο PFC. Σύμφωνα με τη μεθοδολογία αυτή, η επιλογή των μικροσκοπικών παραμέτρων μπορεί να βασιστεί στη θεω- 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/ , Βόλος 3

4 ρία του σχεδιασμού πειραμάτων σε συνδυασμό με βελτιστοποίηση. Η επιλογή των παραμέτρων στην παρούσα εργασία έγινε με μεθοδολογία που ετοιμάσθηκε για την περίπτωση χρήσης παράλληλων δεσμών στη λογική της μεθοδολογίας του Yoon. Η μεθοδολογία συνοψίζεται στα εξής: 1. Επιλέγονται οι μικρο-παράμετροι οι τιμές των οποίων θα βελτιστοποιηθούν για την επίτευξη ενός BPM με μακροσκοπική συμπεριφορά συγκρίσιμη με αυτή του πραγματικού πετρώματος. 2. Καθορίζονται τα όρια των τιμών τους 3. Επιλέγονται συνδυασμοί τους για παραμετρικές αναλύσεις (σχεδιασμός πειράματος) 4. Το συνθετικό πέτρωμα υποβάλλεται σε α- ριθμητικές δοκιμές μονοαξονικής θλίψης και αντιδιαμετρικής θλίψης (Brazilian) και καταγράφεται η απόκριση του για όλους τους συνδυασμούς του βήματος Εφαρμόζεται ένας αλγόριθμος βελτιστοποίησης για την επιλογή των μικροπαραμέτρων με τις οποίες το συνθετικό πέτρωμα προσεγγίζει όσο το δυνατόν πλησιέστερα την απόκριση του πραγματικού πετρώματος. Οι παράμετροι που επιλέχθηκαν για βελτιστοποίηση ήταν η ορθή δυστροπία και ο συντελεστής τριβής των επαφών, ο λόγος της ορθής προς τη διατμητική δυστροπία, και η μέση τιμή της ορθής και διατμητικής αντοχής των δεσμών. Οι υπόλοιπες παράμετροι ήταν: =1, R min =1.0 mm και R max /R min =1.5. Από το σχεδιασμό πειράματος προέκυψαν 1800 συνδυασμοί που επιλύθηκαν με τον κώδικα PFC. Τα αποτελέσματα των 1800 αναλύσεων αξιολογήθηκαν ως προς την επίδραση κάθε παραμέτρου στην μακροσκοπική συμπεριφορά του συνθετικού δοκιμίου. Η εφαρμογή του αλγόριθμου βελτιστοποίησης έδωσε ως βέλτιστο συνδυασμό παραμέτρων, για το BPM του μαρμάρου Διονύσσου στον κώδικα PFC, τις τιμές του Πίνακα Αριθμητικές δοκιμές Το συνθετικό πέτρωμα υποβλήθηκε σε αριθμητικές δοκιμές μονοαξονικής θλίψης, τριαξονικής θλίψης και αντιδιαμετρικής θλίψης (Brazilian). Τα δοκίμια του συνθετικού πετρώματος, που προετοιμάσθηκαν για τις δοκιμές μονοαξονικής και τριαξονικής θλίψης, είχαν πλάτος 50 mm και ύψος 100 mm. Για τη διερεύνηση της επίδρασης της ελάχιστης ακτίνας στη μακροσκοπική συμπεριφορά του συνθετικού πετρώματος προετοιμάσθηκαν τρία μοντέλα με ελάχιστη ακτίνα R min =1.0 mm, 0.5 mm, 0.2 mm. Πίνακας 1. Τιμές παραμέτρων που επιλέχθηκαν για το BPM του μαρμάρου Διονύσσου. Table 1. Values of miro-parameters seleted for the BPM of the Dionyssos marble. Παράμετρος Τιμή kn k n GPa k n / ks kn / ks μ (mean/std) 76.66/34.83 MPa (mean/std) /53.45 MPa 1.0 R min (mm) 1.0, 0.5, 0.2 R max /R min 1.5 Ο απαιτούμενος αριθμός δίσκων για την δημιουργία του συνθετικού δοκιμίου αυξάνεται εκθετικά με τη μείωση της ελάχιστης ακτίνας. Έτσι, ενώ για R min = 1.0 mm απαιτούνται 937 δίσκοι, ο αριθμός αυτός αυξάνεται σε 3248 για R min = 0.5 mm και σε για R min =0.2 mm. Αντίστοιχα, αυξάνεται εκθετικά και ο απαιτούμενος υπολογιστικός χρόνος για την εκτέλεση της αριθμητικής δοκιμής. Τα δοκίμια του συνθετικού πετρώματος για τις δοκιμές Brazilian είχαν διάμετρο 50 mm. Δημιουργήθηκαν 3 μοντέλα με ελάχιστη ακτίνα 1.0 mm, 0.5 mm και 0.2 mm. Ο συνολικός α- ριθμός δίσκων ήταν 369, 1487 και 9234 αντίστοιχα. Για τη δημιουργία των δοκιμίων χρησιμοποιήθηκε ενσωματωμένος στον κώδικα PFC αλγόριθμος, κατά τον οποίο το συνθετικό δοκίμιο δημιουργείται με μία αρχικά χαλαρή δομή, περιορίζεται από άκαμπτα τοιχώματα και υφίσταται μία αρχική συμπίεση με ισότροπη πίεση 1.0 MPa, ώστε να σχηματιστεί μία πυκνή δομή δίσκων. Στη συνέχεια, προκειμένου για αριθμητικές δοκιμές μονοαξονικής θλίψης, τα πλευρικά τοιχώματα απομακρύνονται και η φόρτιση επιτυγχάνεται με την κίνηση των άνω και κάτω τοιχωμάτων. Στο Σχήμα 1 παρουσιάζεται το BPM για τις δοκιμές μονοαξονικής θλίψης με R min =0.5 mm, ενώ στο Σχήμα 2 το αντίστοιχο BPM για τις δοκιμές Brazilian. Ο επιθυμητός ρυθμός φόρτισης των δοκιμίων επιτυγχάνεται με την ελεγχόμενη κίνηση των άκαμπτων τοιχωμάτων κατά τρόπο αντίστοιχο με τον έλεγχο της κίνησης των πλακών των σεβροϋδραυλικών μηχανών φόρτισης. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/ , Βόλος 4

5 πέτρωμα συμπεριφέρεται ελαστικά-ψαθυρά. Παρόμοια συμπεριφορά παρατηρείται σε εργαστηριακές δοκιμές μονοαξονικής θλίψης του μαρμάρου Διονύσσου. σ a (MPa) ε a (x10 3 ) θραύσεις δεσμών (ρωγμές) Σχήμα 1. Δοκίμιο συνθετικού πετρώματος στο PFC για τις δοκιμές μονοαξονικής και τριαξονικής θλίψης. Figure 1. Speimen of syntheti rok in PFC for uniaxial and triaxial ompression tests. Σχήμα 2. Δοκίμιο συνθετικού πετρώματος στο PFC για δοκιμές Brazilian. Figure 2. Speimen of syntheti rok in PFC for Brazilian tests. 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 4.1 Μονοαξονική θλίψη Στο Σχήμα 3 δίνεται το διάγραμμα αξονικής τάσης αξονικής τροπής του συνθετικού πετρώματος σε μονοαξονική θλίψη για R min =1.0 mm, από το οποίο προκύπτει ότι το συνθετικό Σχήμα 3. Διάγραμμα αξονικής τάσης και θραύσεων δεσμών (ρωγμές) σε σχέση με την αξονική τροπή. Figure 3. Diagram of axial stress and bond breakages (raks) with axial strain. Στο ίδιο σχήμα περιλαμβάνεται το διάγραμμα μεταβολής του συνολικού αριθμού θραύσεων των δεσμών του BPM σε σχέση με την αξονική τροπή. Η ρωγμάτωση του δοκιμίου αυξάνεται σταδιακά, ενώ ο ρυθμός ρωγμάτωσης αυξάνεται σημαντικά λίγο πριν τη μέγιστη τάση και ραγδαία μετά από αυτή. Η αντοχή του συνθετικού πετρώματος προκύπτει 76.7 MPa, δηλ. 0.7 MPa μεγαλύτερη από τη θεωρούμενη αντοχή μονοαξονικής θλίψης του μαρμάρου Διονύσσου. Το μέσο μέτρο ελαστικότητας είναι 46.6 GPa, μικρότερο κατά 0.4 GPa από το θεωρούμενο μέτρο ελαστικότητας του μαρμάρου Διονύσσου. Λαμβάνοντας υπόψη ότι η μακροσκοπική συμπεριφορά του συνθετικού δοκιμίου επηρεάζεται από τη στατιστική κατανομή του μεγέθους των δίσκων, οι διαφορές αυτές θεωρούνται αμελητέες. Σχετικά με την επίδραση της ελάχιστης α- κτίνας των δίσκων, από το Σχήμα 4 παρατηρείται αύξηση της αντοχής και πολύ μικρή αύξηση του μέτρου ελαστικότητας του συνθετικού πετρώματος με την μείωση της ελάχιστης ακτίνας των δίσκων. Ο λόγος Poisson (PR), αυξάνεται γενικά με τη μείωση της ελάχιστης ακτίνας των σφαιριδίων. Η μεταβολή όμως αυτή, δεν είναι δυνατόν να ποσοτικοποιηθεί με τα παρόντα στοιχεία των αναλύσεων. Στο Σχήμα 5 δίνεται η εικόνα της ρωγμάτωσης του συνθετικού πετρώματος, που αντιπροσωπεύεται από τις θραύσεις των δεσμών μεταξύ των δίσκων του BPM, για ελάχιστη α- 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/ , Βόλος 5

6 κτίνα δίσκων Rmin=1.0 και 0.2 mm. Όπως παρατηρείται, ότι οι εφελκυστικές ρωγμές (μαύρο χρώμα) κυριαρχούν στο συνθετικό δοκίμιο. Με την μεταβολή της ακτίνας των σφαιριδίων δεν παρατηρήθηκε αλλαγή του είδους των επικρατέστερων ρωγμών. Επιπλέον δεν μεταβάλλεται το ποσοστό των εφελκυστικών ρωγμών στο σύνολο των ρωγμών του δοκιμίου, το οποίο κυμαίνεται περί το 80 %. σ a (MPa) ε a (x10-3 ) Rmin=1.0 mm Rmin=0.5 mm Rmin=0.2 mm Σχήμα 4. Επίδραση της ελάχιστης ακτίνας δίσκων στο διάγραμμα αξονικής τάσης αξονικής τροπής Figure 4. Effet of minimum disk radius on the axial stress-axial strain diagram. παρατηρείται, τόσο η εφελκυστική αντοχή όσο και ο λόγος εφελκυστικής προς θλιπτική αντοχή μειώνονται με τη μείωση της ελάχιστης α- κτίνας των δίσκων. Ο λόγος αυτός κυμαίνεται από 0.16 έως 0.27 στις αριθμητικές δοκιμές. Οι τιμές του λόγου αυτού για το μάρμαρο Διονύσσου από εργαστηριακές δοκιμές κυμαίνονται από 0.08 έως Πίνακας 2. Τιμές πλευρικής πίεσης «συνθετικού πετρώματος». Table 2. Parameters of syntheti rok. R min σ (MPa) σ t,br (MPa) σ / σ t,br (mm) Στο Σχήμα 6 δίνεται η εικόνα της ρωγμάτωσης του συνθετικού πετρώματος για ελάχιστη ακτίνα δίσκων Rmin=0.2 mm. Στο συνθετικό δοκίμιο έχει σχηματιστεί μία σειρά εφελκυστικών ρωγμών που δίνει την εικόνα μίας μακροσκοπικής θραύσης κατά μήκος της διαμέτρου φόρτισης του συνθετικού δοκιμίου. Επιπλέον, πλησίον των περιοχών φόρτισης του δοκιμίου σχηματίζονται δύο περιοχές ρωγμάτωσης σφηνοειδούς σχήματος. (α) (β) Σχήμα 5. Θραύσεις δεσμών (ρωγμές) για R min =1.0 mm (α), και R min =0.2 mm (β). Figure 5. Bond breakages (raks) for R min =1.0 mm (a), R min =0.2 mm (b). 4.2 Εφελκυστική αντοχή Στον Πίνακα 2 δίνεται η εφελκυστική αντοχή του συνθετικού δοκιμίου από αριθμητικές δοκιμές αντιδιαμετρικής θλίψης (Brazilian). Όπως Σχήμα 6. Θραύσεις δεσμών συνθετικού πετρώματος σε δοκιμές Brazilian. Figure 6. Bond breakages of syntheti rok in Brazilian tests. 4.3 Τριαξονική θλίψη Στο Σχήμα 7 δίνονται τα διαγράμματα διαφοράς κυρίων τάσεων (σ 1 -σ 3 ) αξονικής τροπής του συνθετικού πετρώματος κατά τις δοκιμές τριαξονικής θλίψης για ελάχιστη ακτίνα 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/ , Βόλος 6

7 R min =1.0 mm. Παρατηρείται αύξηση της μέγιστης κύριας τάσης σ 1 με την αύξηση της πλευρικής πίεσης. Επίσης παρατηρείται μία πολύ μικρή αύξηση του μέτρου ελαστικότητας. σ 1 -σ 3 (MPa) MPa 15.0 MPa 10.0 MPa 5.0 MPa σ 3 =1.0 MPa ε a (x10-3 ) Σχήμα 7. Διάγραμμα (σ 1 -σ 3 ) ε a συνθετικού πετρώματος σε δοκιμές τριαξονικής θλίψης. Figure 7. Diagrams (σ 1 -σ 3 ) ε a of the syntheti rok in triaxial impression tests. Στο Σχήμα 8 δίνονται τα διαγράμματα σ 1n σ 3n του συνθετικού πετρώματος που προέκυψαν από τις αριθμητικές τριαξονικές δοκιμές. Σε αυτά οι κύριες τάσεις είναι ανηγμένες ως προς την αντοχή σε μονοαξονική θλίψη σ του συνθετικού πετρώματος. σ 1 /σ Rmin=1.0 mm Rmin=0.5 mm Rmin=0.2 mm σ 3 /σ Σχήμα 8. Περιβάλλουσες σ 1n σ 3n συνθετικού πετρώματος για Rmin=1.0, 0.5, 0.2 mm. Figure 8. σ 1n σ 3n envelops of the syntheti rok for Rmin=0.1, 0.5, 0.2 mm. Παρατηρείται ότι για ελάχιστη ακτίνα 0.5 και 0.2 mm οι περιβάλλουσες περιγράφονται πολύ ικανοποιητικά από μία γραμμική σχέση της μορφής σ 1n =kσ 3n +1. Η τιμή του συντελεστή k είναι 2.09 για Rmin=0.5 mm και 2.21 για Rmin=0.2 mm. Οι τιμές αυτές αντιστοιχούν σε γωνία τριβής του γραμμικού κριτηρίου αστοχίας Mohr-Coulomb 20.7 ο και 22.1 ο αντίστοιχα. Και οι δύο αυτές τιμές είναι πολύ χαμηλές σε σχέση με την τιμή που προκύπτει από τις εργαστηριακές δοκιμές τριαξονικής θλίψης για το μάρμαρο Διονύσσου (>40 ο ). Για ελάχιστη ακτίνα 1.0 mm η περιβάλλουσα σ 1n σ 3n δεν περιγράφεται ικανοποιητικά από τη γραμμική σχέση σ 1n =k σ 3n +1, γεγονός που οφείλεται στη μεγάλη αύξηση αντοχής (15%) λόγω της παρουσίας ακόμη και μικρού πλευρικού περιορισμού σε πλευρική τάση 1.0 MPa, δηλαδή σε ποσοστό 1.3% της αντοχής σε μονοαξονική θλίψη. 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Το μοντέλο συνδεμένων σωματιδίων του PFC παρουσιάζει ικανοποιητική συμπεριφορά κατά την προσομοίωση της άρρηκτου πετρώματος σε ορισμένες συνήθεις εργαστηριακές δοκιμές. Η αντοχή σε μονοαξονική θλίψη του συνθετικού πετρώματος μπορεί να προσεγγισθεί με πολύ μικρό σφάλμα, που στη συγκεκριμένη περίπτωση προσομοίωσης του μαρμάρου Διονύσσου είναι μικρότερο από 1%. Επίσης, το σφάλμα που προκύπτει για το μέτρο ελαστικότητας είναι επίσης μικρότερο του 1 % (46.6 GPa για το συνθετικό πέτρωμα έναντι 47 GPa για το πραγματικό πέτρωμα). Τα αποτελέσματα αυτά επιτυγχάνονται ύ- στερα από τη βαθμονόμηση των αριθμητικών μοντέλων με σχεδιασμό πειράματος και βελτιστοποίηση, σύμφωνα με τη μεθοδολογία που αναπτύχθηκε και η οποία μπορεί εν γένει να χρησιμοποιηθεί εύκολα για οποιεσδήποτε τιμές θλιπτικής αντοχής και μέτρου ελαστικότητας του άρρηκτου πετρώματος. Για τη βαθμονόμηση θεωρήθηκε μία ελάχιστη ακτίνα δίσκων του συνθετικού πετρώματος PFC ίση με 1 mm. Μειώνοντας την ακτίνα αυτή παρατηρείται αύξηση της θλιπτικής αντοχής και μικρή αύξηση του μέτρου ελαστικότητας. Όταν η ελάχιστη ακτίνα μειώνεται από 1 mm σε 0.5 mm, δηλ. μείωση κατά 50 %, η αντοχή σε μονοαξονική θλίψη αυξάνεται από σε ποσοστό περίπου 16%. Επίσης, μείωση της ακτίνας από 1 mm σε 0.2 mm προκαλεί αύξηση της αντοχής κατά 22 %. Η αύξηση του μέτρου ελαστικότητας είναι 6.5 % και 10 % αντίστοιχα. Ο λόγος Poisson (PR), αυξάνεται γενικά με τη μείωση της ελάχιστης ακτίνας των σφαιριδίων. Η μεταβολή όμως αυτή, δεν είναι δυνατόν να ποσοτικοποιηθεί με τα παρόντα στοιχεία των αναλύσεων. Η αστοχία του συνθετικού πετρώματος στο PFC είναι ψαθυρού τύπου. Η καμπύλη του διαγράμματος αξονικής τάσης-αξονικής τροπής αυξάνεται μέχρι την επίτευξη της μέγιστης α- 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/ , Βόλος 7

8 ντοχής του συνθετικού δοκιμίου, και στη συνέχεια ακολουθεί ένας φθίνοντας κλάδος με απότομη απώλεια της αντοχής. Η ίδια ψαθυρή συμπεριφορά παρατηρείται κατά τη μεταβολή της ελάχιστης ακτίνας των σφαιριδίων από 1 mm σε 0.5 mm και 0.2 mm. Οι εφελκυστικές ρωγμές (θραύσεις δεσμών) κυριαρχούν κατά την αστοχία του συνθετικού δοκιμίου. Μειώνοντας την ακτίνα των σφαιριδίων του δοκιμίου, ο α- ριθμός των ρωγμών αυξάνεται, χωρίς όμως να μεταβάλλεται ο τύπος των επικρατέστερων ρωγμών (εφελκυστικές). Για ακτίνα δίσκων 1 mm ο λόγος μονοαξονικής θλιπτικής προς μονοαξονική εφελκυστική αντοχή είναι ιδιαίτερα υψηλός και δεν ανταποκρίνεται στις τιμές που παρουσιάζει το μάρμαρο Διονύσσου. Με τη μείωση της ακτίνας σε 0.2 mm ο λόγος αυτός μειώνεται και προσεγγίζει το άνω όριο των πραγματικών τιμών. Ως σημαντικότερη αδυναμία της προσομοίωσης του μαρμάρου Διονύσσου με το PFC, με τη γεωμετρία που χρησιμοποιήθηκε και τις μικρομηχανικές παραμέτρους που επιλέχθηκαν, αναφέρεται η αδυναμία να εκτιμηθούν ρεαλιστικά οι παράμετροι αντοχής του κριτηρίου Mohr-Coulomb, που εμφανίζουν σημαντική διαφορά μεταξύ συνθετικού και πραγματικού πετρώματος. Η διαφορά αυτή εκτιμάται ότι ο- φείλεται στο κυκλικό σχήμα των δίσκων που χρησιμοποιούνται για την δημιουργία του BPM στο PFC και που δεν αντιπροσωπεύουν το αλληλοκλείδωμα της δομής του πραγματικού πετρώματος. Elsevier, Ampsterdam, The Netherlands. 1 st Ed., p Potyondy, D.O. and Cundall, P.A. (2004). A bonded-partile model for rok. International Journal of Rok Mehanis and Mining Sienes, Vol. 41, pp Τσουτρέλης, Χ.Ε., Γκίκας, Ν.Γ. και Νομικός, Π.Π. (1996). Βελτίωση της παραγωγικότητας στην εξόρυξη ογκοτεμαχίων πετρωμάτων με χρήση εκρητκικής θρυαλλίδας. Τελική έκθεση ΠΕΝΕΔ 91-ΕΔ Yoon, J. (2007). Appliation of experimental design and optimization to PFC model alibration in uniaxial ompression simulation. International Journal of Rok Mehanis and Mining Sienes, Vol. 44(6), pp ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Cho, N., Martin, C.D. and Sego, D.C. (2009). A lumped partile model for rok. International Journal of Rok Mehanis and Mining Sienes, Vol. 44(7), pp Cundall, P.A. (1971), A omputer model for simulating progressive large sale movements in bloky rok systems. In: Proeedings of the Symposium of International Soiety of Rok Mehanis, vol. 1, Nany: Frane, Paper No. II-8. Fakhimi, A. (2004). Appliation of slightly overlapped irular partiles assembly in numerial simulation of roks with high frition angles. Engineering Geology, Vol. 74, pp Itasa Cons. (2009). Partile Flow Code: User s Manual. Minneapolis, Minnesota, USA. Jing, L. and Stephansson, O. (2006). Fundamentals of Disrete Element Methods for Rok Engineeing: Theory and Appliations. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/ , Βόλος 8