2.1 Παραμορφώσεις ανομοιόμορφων ράβδων

Transcript

1 ΑΞΟΝΙΚΗ ΦΟΡΤΙΣΗ 9 Αξονική φόρτιση. Παραμορφώσεις ανομοιόμορφων ράβδων. Ελαστική ράβδος ΑΒ μήκους, Γ B μέτρου ελαστικότητας Ε και / συντελεστή θερμικής διαστολής α, είναι πακτωμένη στα σημεία Α και Β και θερμαίνεται ανομοιόμορφα έτσι ώστε η αύξηση της θερμοκρασίας ΔΤ σε απόσταση από το άκρο Α να δίνεται από τη σχέση T T, ΔT ΔT όπου ΔΤ είναι η αύξηση της θερμοκρασίας στο άκρο Β, όπως φαίνεται στο Σχήμα. Να υπολογισθεί η θλιπτική τάση σ στη ράβδο και η μετατόπιση u του σημείου Γ στο μέσο της ράβδου. Λύση Η παραμόρφωση στην περίπτωση συνεχώς μεταβαλόμενης θερμοκρασίας δίνεται από τη σχέση d a T ( ) d a T d (a) και είναι ίση με μηδέν λόγω της πάκτωσης. Επίσης η εσωτερική δύναμη Ν είναι ανεξάρτητη της θέσης όπως προκύπτει εύκολα κάνοντας μία τομή σε τυχαία θέση και εφαρμόζοντας την ισορροπία των δυνάμεων του ελευθέρου σώματος που προκύπτει. Εκτελώντας την ολοκλήρωση και θέτοντας προκύπτει at at at E E E d (b) Λύνοντας ως προς τη ζητούμενη σ προκύπτει at E (c)

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Για αύξηση της θερμοκρασίας, δηλαδή για T, δηλαδή η τάση είναι θλιπτική. Η μετατόπιση u, λόγω της πάκτωσης στο Α, ταυτίζεται με τη παραμόρφωση δ ΑΓ του τμήματος ΑΓ, που δίνεται ως at d a T d d E at at E E 4 (d) Αντικαθιστώντας την τάση σ στην παραπάνω εξίσωση δίνει at at at at E (e) Για αύξηση της θερμοκρασίας, δηλαδή για T, η παραμόρφωση δ ΑΓ <, δηλαδή το αριστερό τμήμα βραχύνεται και επομένως το σημείο Γ μετατοπίζεται προς τα αριστερά κατά u a T 8.. Βαριά ράβδος ΑΒ από ελαστικό υλικό με διατομή d = cm, πυκνότητα ρ = 5 kg/m και μέτρο ελαστικότητας Ε =. GPa στηρίζεται στο άκρο της Α. Τα τμήματα ΑΓ και ΓΒ της ράβδου έχουν μήκος = m και = m, αντίστοιχα. Η ράβδος φορτίζεται εκτός από το ίδιο βάρος και από μία δύναμη F = k στο σημείο Γ. Ζητούνται: (α) η αντίδραση R στη στήριξη, (β) τα διαγράμματα της εσωτερικής δύναμης Ν και της μετατόπισης u κατά μήκος της ατράκτου, (γ) η μετατόπιση u Γ του σημείου Γ, και (δ) η μέγιστη εφελκυστική ma και θλιπτική min τάση στη ράβδο. B Γ F d Λύση Το βάρος της ράβδου δίνεται ως

3 ΑΞΟΝΙΚΗ ΦΟΡΤΙΣΗ 4 g k (a) όπου g = 9.8 d 4 4 m s είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας,. cm είναι η επιφάνεια της διατομής της ράβδου και 5 m το συνολικό μήκος της ράβδου. Η αντίδραση R υπολογίζεται από την εξίσωση ισορροπίας της ράβδου στην κάθετη διεύθυνση όπως φάινεται στο σχήμα (α) R F k (b) (α) Λόγω της πάκτωσης στο Α, η μετατόπιση θέση, ταυτίζεται με τη παραμόρφωση u σημείου Χ της ράβδου στη του τμήματος της ράβδου από το Α έως το Χ. Στην περίπτωση συνεχώς μεταβαλόμενης εσωτερικής δύναμης, η δίνεται ως u d (c) Η μετατόπιση εδώ είναι θετική για εφελκυσμό άρα για μετατόπιση προς τα

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ πάνω. Η εσωτερική δύναμη στο τμήμα ΑΓ ή τμήμα () υπολογίζεται με μία τομή σε τυχαία θέση στο τμήμα ΑΓ και εφαρμογή της ισορροπίας των δυνάμεων στο ελεύθερο σώμα που προκύπτει R F F για (d) όπου έχει γίνει και χρήση της (b). Αντίστοιχα, η εσωτερική δύναμη στο τμήμα ΓΒ ή τμήμα () υπολογίζεται με μία τομή σε τυχαία θέση στο τμήμα ΓΒ και εφαρμογή της ισορροπίας των δυνάμεων στο ελεύθερο σώμα που προκύπτει F R F F για (e) Αντικατάσταση των (d) και (e) στην (c) δίνει ότι η μετατόπιση σημείου της ράβδου στη θέση είναι για u ενός u d d F d F F d d (f) και για u d d d d (g) F F

5 ΑΞΟΝΙΚΗ ΦΟΡΤΙΣΗ Με βάση τα αποτελέσματα στις (d), (e) και (f), (g) κατασκευάζονται στο σχήμα (β) τα διαγράμματα της εσωτερικής δύναμης Ν και της μετατόπισης u καθ ύψος της ράβδου. Το διάγραμμα της είναι ασυνεχές στο Γ λόγω της επιβολής της συκεντρωμένης δύναμης F. Η μετατόπιση u στο σημείο Γ υπολογίζεται από την (f) ως F u u mm (h) Το διάγραμμα δείχνει επίσης ότι η μέγιστη εφελκυστική και η μέγιστη θλιπτική εσωτερική δύναμη Ν αναπτύσσονται στο σημείο Γ και συγκεκριμμένα για και, αντίστοιχα. Επομένως η μέγιστη εφελκυστική ma και θλιπτική min τάση στη ράβδο υπολογίζονται με εφαρμογή των (d) και (e) για ως F kpa kpa. 5 ma min 4 (i) 6 5 u 4 [m] (β) [k], u [mm]