Ο Π Ε Υ Ελάχιστα γραμμών Ο maximin (A) Π Ε Υ minimax (B)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ο Π Ε Υ Ελάχιστα γραμμών Ο *maximin (A) Π Ε Υ * minimax (B)"

Τελεσφόρος Βασιλικός
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΣΚΗΣΗ Β Μέγιστο στήλης Ο Π Ε Υ Ελάχιστα γραμμών Ο *maximin (A) Π Ε Υ * minimax (B) Επειδή maximin (A) minimax (B) δεν υπάρχει ισορροπία Διαγράφεται η Ε στρατηγική ως υποδεέστερη της Ο Διαγράφεται η Υ στρατηγική ως υποδεέστερη της Ο Άρα Ο Π Ε Υ Ο Π O Παίκτης Α Π Υ Ο Ε Π maximin V 57,

2 Διαγράφεται η Y και Ε στρατηγική του ψηφοφόρου Β επειδή δεν διέρχεται από το maximin σημείο. Y -y O Π X O x Π V A, O 60x 50 x 60x 50 50x 0x 50 A, 5x x75 5x 75 75x 75 x V 3 Πρέπει V A, O V A, 0x x 33x 5 5 x x Η άριστη στρατηγική είναι 5, ,0,0 Επίσης V V B, O 60y 5 y 60y 5 5y 8y 5, 50y y75 50y 75 75y 5y 75 Πρέπει V B, O V B, 8y 5 5y 75 33y 3 y 3 33

3 Η άριστη στρατηγική είναι 3, ,0, Τιμή παιγνίου V ,% για τον ψηφοφόρο Α είναι το αναμενόμενο ποσοστό. ΑΣΚΗΣΗ ΟΥΡΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Το «Πι και Φι» είναι ένα μικρό κατάστημα γρήγορης εστίασης. Οι πελάτες εξυπηρετούνται με σειρά FIFO από μια ουρά με άπειρη χωρητικότητα. Ένας υπάλληλος παίρνει τις παραγγελίες, πληρώνεται και στη συνέχεια τις εκτελεί. Ο ιδιοκτήτης του καταστήματος σκέφτεται να προχωρήσει σε μία ανασυγκρότηση του τρόπου λειτουργίας. Έτσι. εξετάζει τη δυνατότητα πρόσληψης και δεύτερου υπαλλήλου, ώστε δύο πελάτες να μπορούν να εξυπηρετούνται ταυτόχρονα από μια κοινή ουρά αναμονής (σενάριο ). Παραμένει φυσικά ως εναλλακτική περίπτωση, το σύστημα να συνεχίσει να λειτουργεί ως έχει (σενάριο ). Ως χρόνος εξυπηρέτησης θεωρείται το χρονικό διάστημα από τη στιγμή που ο πελάτης θέτει την παραγγελία μέχρι τη στιγμή που παραλαμβάνει αυτό που ζήτησε. Ο χρόνος εξυπηρέτησης παρουσιάζει μεταβλητότητα (και ακολουθεί την εκθετική κατανομή). Από στοιχεία του παρελθόντος, ο ιδιοκτήτης του καταστήματος έχει εκτιμήσει ότι κατά μέσο όρο απαιτείται λεπτό για να εξυπηρετηθεί ένας πελάτης. Οι πελάτες καταφθάνουν στο κατάστημα με ρυθμό 45 πελάτες ανά ώρα (διαδικασία Poisson) και εξυπηρετούνται με τη σειρά που καταφθάνουν (FIFO). Για την λήψη των τελικών του αποφάσεων επιθυμεί να προσδιορίσει. τα μέτρα απόδοσης της λειτουργίας του καταστήματός του. Συγκεκριμένα ενδιαφέρεται να προσδιορίσει για κάθε σενάριο:. Το ποσοστό χρόνου που το σύστημα είναι απασχολημένο (εργάζονται ο/οι υπάλληλος/οι).. Τον αριθμό των πελατών που κατά μέσο όρο περιμένουν στην ουρά. 3. Τον αριθμό των πελατών που κατά μέσο όρο βρίσκονται στο κατάστημα. 4. Τον χρόνο που κατά μέσο όρο παραμένει ένας πελάτης στο κατάστημα. 5. Τον χρόνο που κατά μέσο όρο αναμένει ένας πελάτης στην ουρά. 6. Την πιθανότητα ένας πελάτης που μπαίνει στο κατάστημα να εξυπηρετηθεί αμέσως. 3

4 7. Το κατάστημα διαθέτει 4 καθίσματα. Είναι επαρκή έτσι ώστε η πιθανότητα ένας πελάτης να περιμένει ή να εξυπηρετείται όρθιος, να είναι το πολύ 0% ); 8. Για την υιοθέτηση του εναλλακτικού σχεδίου πρόσληψης επιπλέον υπαλλήλου, ο ιδιοκτήτης εκτός από τη σύγκριση των δεικτών απόδοσης θέλει να λάβει υπόψη του τα δεδομένα του λειτουργικού κόστους που είναι τα εξής: Το κόστος παραμονής ενός πελάτη στο κατάστημα για ώρα ανέρχεται στα 0 ευρώ το κόστος εργασίας ενός υπαλλήλου για ώρα ανέρχεται στα 7 ευρώ. Τι προτείνετε στον ιδιοκτήτη: Να διατηρήσει την υπάρχουσα κατάσταση (ένας υπάλληλος) ή να υιοθετήσει το σενάριο των δύο υπαλλήλων; (μονάδες: 7 για τους υπολογισμούς -7 και 6 μονάδες για τη λήψη απόφασης με βάση το κόστος δηλαδή για το ερώτημα 8) Λύση Σενάριο : το κατάστημα παραμένει ως έχει Πρόκειται για ένα σύστημα αναμονής τύπου Μ/Μ/ (απεριόριστος χώρος αναμονής, πρακτικά άπειρου πλήθους πηγή πελατών, διαδικασία Poisson στην είσοδο και στην εξυπηρέτηση, FIFO πειθαρχία, μία θέση εξυπηρέτησης). Ως στοιχειώδη μονάδα μέτρησης του χρόνου χρησιμοποιείται η μία ώρα. Ο μέσος ρυθμός άφιξης της Poisson διαδικασίας είναι 45 πελάτες ανά ώρα (λ=45 πελάτες/ώρα) ενώ ο μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης είναι μ=60 πελάτες ανά ώρα. Άρα λ/μ = 45/60= 3/4 < οπότε το σύστημα συγκλίνει σε κατάσταση (στατιστικής) ισορροπίας και επομένως μπορούμε να προχωρήσουμε στους υπολογισμούς σύμφωνα με τους τύπους του συστήματος Μ/Μ/. Σε κατάσταση ισορροπίας έχουμε: 45. ο βαθμός απασχόλησης του υπαλλήλου είναι ίσος με 0,75. Αυτό 60 σημαίνει ότι το 75% του χρόνου λειτουργίας του καταστήματος ο υπάλληλος δουλεύει ενώ το υπόλοιπο 5% είναι ελεύθερος.. Μέσο μήκος της ουράς αναμονής: L = q ( ) 45,5 ( ) 60(60 45), δηλαδή στην ουρά περιμένουν,5 πελάτες κατά μέσο όρο Μέσο πλήθος πελατών στο κατάστημα: L Lq =, πελάτες. 4. Μέσος χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο κατάστημα: 4

5 W της ώρας δηλ. 4 λεπτά. Lq 5. Μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη στην ουρά: Wq ( ), 5 = =0,05 της ώρας δηλαδή 3 λεπτά Η πιθανότητα άμεσης εξυπηρέτησης είναι ίση με P 0 = - ρ = - 0,75 = 0,5 δηλ. το 5% των πελατών που μπαίνουν στο κατάστημα εξυπηρετούνται άμεσα. n 7. Βάσει της σχέσης Pn P0 υπολογίζουμε τις πιθανότητες Ρ n για n=0,,,3,4 και 5. Αριθμός πελατών Πιθανότητα Αθροιστική πιθανότητα 0 0,5 0,5 0,875 0,4375 0,406 0, ,055 0, ,079 0,767 Με βάση τον παραπάνω πίνακα η πιθανότητα να έχουμε μέχρι 4 πελάτες στο κατάστημα είναι 76,7% που σημαίνει ότι η πιθανότητα να έχουμε παραπάνω από 4 πελάτες είναι 3,73% και κατά συνέπεια με 4 καθίσματα δεν καλύπτουμε την ζητούμενη απαίτηση, Για να φθάσει στο επιθυμητό όριο (τουλάχιστον 80% των πελατών να περιμένουν καθήμενοι) πρέπει να προσθέσει ένα επιπλέον κάθισμα (να διαθέτει πέντε καθίσματα συνολικά). Τέλος, υπολογίζουμε το συνολικό κόστος για το σενάριο (σύστημα Μ/Μ/) που ανέρχεται σε: TC=c w L+c s s=0 3+7 = 37 ευρώ ανά ώρα. Σενάριο : πρόσληψη επιπλέον υπαλλήλου Η πρόσληψη ενός ακόμη υπαλλήλου μας οδηγεί σε σύστημα αναμονής τύπου Μ/Μ/ (απεριόριστος χώρος αναμονής, πρακτικά άπειρου πλήθους πηγή πελατών, διαδικασία Poisson στην είσοδο και στην εξυπηρέτηση, FIFO πειθαρχία, δύο θέσεις εξυπηρέτησης). Ως στοιχειώδης μονάδα μέτρησης του χρόνου χρησιμοποιείται η μία ώρα. Ο μέσος ρυθμός άφιξης της Poisson διαδικασίας είναι 45 πελάτες ανά ώρα (λ=45 πελάτες/ώρα) ενώ ο μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης είναι μ=60 πελάτες ανά ώρα. Άρα ρ=λ/μ = 45/( 60)= 0,375 < οπότε το σύστημα συγκλίνει σε κατάσταση (στατιστικής) ισορροπίας και επομένως μπορούμε να προχωρήσουμε στους υπολογισμούς σύμφωνα με τους τύπους του συστήματος Μ/Μ/. Σε κατάσταση ισορροπίας έχουμε: 5

6 . Ο βαθμός απασχόλησης του συστήματος συνολικά ( υπάλληλοι) είναι ίσος με 45 0,375. Αυτό σημαίνει ότι το 37,5% του χρόνου λειτουργίας του 0 καταστήματος οι δύο εργαζόμενοι δουλεύουν ενώ το υπόλοιπο 6,5% είναι αδρανείς. s ( / ). Μέσο μήκος της ουράς αναμονής: Lq P. Απαιτείται ο 0 ( s)!( s ) υπολογισμός της πιθανότητας Ρ 0. Βάσει της σχέσης: P0 που για s= δίνει: s n s ( / ) ( / ) s n0 n! s! s = 0,4545 0,75 0,75 0, !!! P0 0 Επομένως L q (45/ 60) ,4545 ( )!( 60 45) = 0,7 πελάτες Μέσο πλήθος πελατών στο κατάστημα: L Lq = 0,7 = 0, πελάτες. 4. Μέσος χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο κατάστημα: L 0,877 W =0,09393 της ώρας δηλ.,63 λεπτά Μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη στην ουρά: W της ώρας = 0,63 λεπτά. L q q = 0,7/45 =0, Η πιθανότητα άμεσης εξυπηρέτησης είναι ίση με P 0 +Ρ. Απαιτείται ο υπολογισμός του Ρ. Ισχύει: ( / ) (45/ 60) P P0= 0, 4545 =0,3409!! Επομένως P 0 +Ρ = 0, ,3409=0,7954 δηλ. το 79,54% των πελατών που μπαίνουν στο κατάστημα εξυπηρετούνται άμεσα. 6

7 7. 7

Σχετικά έγγραφα

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται