Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Ομοιότητα και Όμοιες Περιγραφές Νίκος Καραμπετάκης

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Περιεχόμενα Ενότητας Περιγραφή του συστήματος S της μορφής του χώρου των καταστάσεων. Περιγραφή του ανύσματος κατάστασης του συστήματος S. Όμοιες περιγραφές. 4

5 Σκοποί Ενότητας Μελέτη της περιγραφής ενός συστήματος S της μορφής του χώρου των καταστάσεων. Μελέτη των όμοιων περιγραφών ενός συστήματος S της μορφής του χώρου των καταστάσεων. 5

6 Περιγραφή του S της μορφής του χώρου των καταστάσεων Έστω γραμμικό και χρονικά αμετάβλητο πολυμεταβλητό σύστημα S με μαθηματικό πρότυπο της μορφής του χώρου των καταστάσεων: x t = Ax t + Bu t y t = Cx t + Du t A R n n, B R n m, C R p n, D R p m x t X~R n Ορισμός. Η τετράδα πινάκων A R n n, B R n m, C R p n, D R p m ονομάζεται περιγραφή του S της μορφής του χώρου των καταστάσεων. 6

7 Περιγραφή του ανύσματος κατάστασης του S (1) Αν e 1, e 2,, e n είναι η ορθοκανονική βάση του χώρου των καταστάσεων X με 0 e i = 1 0 i γραμμη τότε x t = e 1 x 1 t + e 2 x 2 t + e n x n t = e 1 e 2 e n x 2 t x 1 t x n t 7

8 Περιγραφή του ανύσματος κατάστασης και το άνυσμα στήλης x t = του S (2) x 1 t x 2 t x n t R n, t R ονομάζεται περιγραφή του ανύσματος κατάστασης του S ως προς την βάση e 1, e 2,, e n του X~R n. 8

9 Περιγραφή του ανύσματος κατάστασης του S (3) Έστω e1, e2,, en μία άλλη βάση του X~R n. Τότε x t = e1x1 t + e2x 2 t + enx n t x 1 t = e1 e2 x en 2 t x n t x 1 t και το άνυσμα στήλης x t = x 2 t x n t X~R n 9

10 Περιγραφή του ανύσματος κατάστασης του S (4) ονομάζεται περιγραφή του ανύσματος κατάστασης ως προς την βάση e1, e2,, en του X~R n. Έστω e i = e1 e2 en p 1i p 2i p ni = Ep i, i = 1,2,, n η περιγραφή του ανύσματος e i ως προς την βάση e1, e2,, en. Για i = 1,2,, n 10

11 Περιγραφή του ανύσματος κατάστασης του S (5) e 1 e 2 e n = Ep 1 Ep 2 Ep n = E p 1 p 2 p n p 11 p 12 p 1n p = e1 e2 21 p 22 p 2n en = EP p n1 p n2 p nn όπου P R n n έχει στήλη i την περιγραφή του e i ως προς την βάση e1, e2,, en. e 1 e 2 e n = E = e1 e2 en P = EP Άρα 11

12 Περιγραφή του ανύσματος κατάστασης του S (6) x t = e 1 e 2 e n x t = e1 e2 en Px t = e1 e2 en x t Άρα οι δύο περιγραφές συνδέονται μέσω της x t = Px t Ομοίως x t = Qx t όπου Q R n n έχει στήλη i την περιγραφή του ei ως προς την βάση e 1, e 2,, e n. E = EQ 12

13 Περιγραφή του ανύσματος κατάστασης του S (7) x t = Px t = PQx t PQ = I n P = Q 1 P, Q ομαλοί πίνακες (non-singular) Άρα αν x(t) είναι η περιγραφή του ανύσματος κατάστασης του S ως προς κάποια βάση του χώρου των καταστάσεων X~R n και αν R R n n και R 0 R ομαλός, τότε η εξίσωση Rx t =: x t ορίζει μία νέα περιγραφή x t του ανύσματος κατάστασης x(t) ως προς μία άλλη βάση του X~R n. 13

14 Όμοιες περιγραφές (similar) (1) Έστω η περιγραφή του S x t = Ax t + Bu t y t = Cx t + Du t A R n n, B R n m, C R p n, D R p m x t X~R n Rx t =: x t x t x t = R 1 x t = R 1 x t x t = R 1 x t = Ax t + Bu t = AR 1 x t + Bu t x t = RAR 1 x t + RBu t 14

15 Όμοιες περιγραφές (similar) (2) Ορισμός. Αν Α = RAR 1, Β = RΒ, C : = CR 1, D D τότε έχουμε την περιγραφή του S x t = A x t + Bu t y t = C x t + Du t και οι περιγραφές A, B, C, D, A, B, C, D του S ονομάζονται όμοιες (similar). 15

16 Παράδειγμα 1 (1) Έστω η όπου x t = Ax t + Bu t y t = Cx t + Du t A = , B = , C = , D = Έστω x t = Rx t όπου R = 2 1, R = x t = R 1 x t = 1 1 x t

17 Παράδειγμα 1 (2) Έχουμε ότι και Α = RAR 1 = = , Β = RΒ = C CR 1 = = , = D D =

18 Παράδειγμα 1 (3) Οι δύο περιγραφές A R n n, B R n m, C R p n, D R p m και είναι όμοιες. Α R n n, Β R n m, C R p n, D R p m 18

19 Βιβλιογραφία Βαρδουλάκης Α.Ι.Γ., 2012, Εισαγωγή στην Μαθηματική Θεωρία Σημάτων, Συστημάτων και Ελέγχου, Τόμος Β.. Εκδόσεις Τζιόλα. Antsaklis P. and Michel A.N., 1977, Linear Systems, The McGraw-Hill Companies Inc. New York. Charles Ε., Donald G., James L., Melsa J., Rohrs C., Schultz D., 1996, Γραμμικά συστήματα αυτομάτου ελέγχου, Εκδόσεις Τζιόλα. Chen C.T., 1970, Introduction to Linear System Theory, Holt, Renehart and Winston Inc. New York. Kailath T., 1980, Linear Systems, Prentice Hall. 19

20 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Νικόλαος Καραμπετάκης. «. Τίτλος ενότητας». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 20

21 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] 21

22 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 22

23 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Εαρινό εξάμηνο