Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Μαθηματική περιγραφή συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Περιεχόμενα Ενότητας Περιγραφή συστημάτων στον χώρο των καταστάσεων. Μαθηματική περιγραφή γραμμικών συστημάτων. Γραμμικοποίηση συστημάτων. Αναπαράσταση συστήματος στον χώρο των καταστάσεων. 4

5 Σκοποί Ενότητας Παραδείγματα συστημάτων (ηλεκτρικά, μηχανικά κλπ). Γενική περιγραφή συστημάτων στον χώρο των καταστάσεων. Ειδική περιγραφή των γραμμικών συστημάτων στον χώρο των καταστάσεων. Γραμμικοποίηση ενός μη γραμμικού συστήματος. Τρόπος αναπαράστασης της περιγραφής ενός συστήματος στον χώρο τον καταστάσεων. 5

6 Ανάστροφο εκκρεμές Ανάστροφο εκκρεμές (Segway) Εικόνα 1 Καθορίστε τη γωνία της ράβδου από την κάθετη γραμμή ως θ. Καθορίστε τις (x, y) συντεταγμένες του κέντρου βάρους της ράβδου εκκρεμούς ως x G, y G. Τότε x G = x + lsinθ y G = lcosθ Η περιστροφική κίνηση της ράβδου του εκκρεμούς γύρω από το κέντρο βάρους του είναι Ιθ = Vlsinθ Hlcosθ όπου Ι είναι η ροπή αδρανείας της ράβδου γύρω από το κέντρο της βαρύτητας. 6

7 Ανάστροφο εκκρεμές Ανάστροφο εκκρεμές (1) Η οριζόντια κίνηση του κέντρου βάρους της ράβδου του εκκρεμούς δίνεται από m d2 x + lsinθ = H dt2 Η κατακόρυφη κίνηση του κέντρου βάρους της ράβδου του εκκρεμούς είναι Εικόνα 2 lcosθ = V mg dt2 Η οριζόντια κίνηση του περιγράφεται από m d2 x dt 2 = u H 7 m d2

8 Ανάστροφο εκκρεμές Υποθέσεις (1) Για θ και dθ/dt κοντά στο μηδέν (σημείο ισορροπίας) sinθ = θ, cosθ = 1, θθ 2 = 0. Iθ = Vlsinθ Hlcosθ Iθ = Vlθ Hl m d2 dt 2 x + lsinθ = H m x + lθ = Η m d2 dt2 lcosθ = V mg 0 = V mg Εικόνα 3 8

9 sinθ = θ, cosθ = 1, θθ 2 = 0. M d2 x dt2 = u H m x + lθ = Η Iθ = Vlθ Hl m x + lθ = Η 0 = V mg Ανάστροφο εκκρεμές Iθ = mglθ Hl = = mglθ l mx + mlθ l + ml 2 θ + mlx = mglθ Υποθέσεις (2) Μ + m x + mlθ = u 9

10 Ανάστροφο εκκρεμές Ανάστροφο εκκρεμές Εξισώσεις (1) M + m x + mlθ = u ml 2 θ + mlx = mglθ 10

11 Ανάστροφο εκκρεμές Ανάστροφο εκκρεμές Εξισώσεις (2) x 1 = θ x 2 = θ x 3 = x x 4 = x M + m x + mlθ = u ml 2 θ + mlx = mglθ x 2 = x 1 = x 2 M + m gx Ml 1 1 Ml u x 3 = x 4 x 4 = m M gx M u y = y 1 y 2 = θ x = x 1 x 3 11

12 Ανάστροφο εκκρεμές Ανάστροφο εκκρεμές Εξισώσεις (3) x 1 = θ x 2 = θ x 3 = x x 4 = x x 1 = x 2 M + m x 2 = gx Ml 1 1 Ml u x 3 = x 4 x 4 = m M gx M u M + m x + mlθ = u ml 2 θ + mlx = mglθ x 1 x 2 x 3 x 4 = y = y 1 y = θ 2 x = x 1 x M + m x 1 g Ml x x + 3 m M g x Ml 0 1/M u y 1 y 2 = x 1 x 2 x 3 x 4 12

13 Ανάστροφο εκκρεμές Εξισώσεις (4) Εξάρτημα Δύναμη-ταχύτητα Μετατόπιση ισχύος Σύνθετη αντίσταση Z M s = F s /X(s) t f t = K v τ dτ 0 f t = Kx t K f t = f v v t f t = f v dx t dt fv s f t dv t = M dt f t = M d2 x t dt 2 Ms 2 13

14 Μηχανικό σύστημα Μηχανικό σύστημα M d2 x t dt 2 + f ν dx t dt + Kx t = f t 14

15 Suspension Ανάρτηση system αυτοκινήτου (1) Απλοποιημένο σύστημα mx 0 + b x 0 x i + k x 0 x i = 0 mx 0 + bx 0 + kx 0 = bx i + kx i 15

16 Ανάρτηση αυτοκινήτου (2) m 1 x = k 2 y x + b y x + k 1 u x m 2 y = k 2 y x b y x m 1 x + bx + k 1 + k 2 x = by + k 2 y + k 1 u m 2 y + by + k 2 y = bx + k 2 x 16

17 Ηλεκτρικό σύστημα (1) x 1 = e 0 x 2 = e 0 u = e l y = e 0 = x 1 e 0 + R L e LC e 0 = 1 LC e l L di + Ri + 1 dt C 1 idt = e 0 C x 1 x 2 = LC y = 1 0 x 1 x 2 idt = e l R L x 1 x LC u 17

18 Electrical system Ηλεκτρικό σύστημα (2) 1 C 1 i 1 i 2 dt + R 1 i 1 = e l 1 C 1 i 2 i 1 dt + R 2 i C 2 i 2 dt = 0 1 C 2 i 2 dt = e 0 18

19 Ηλεκτρικό σύστημα (3) Μηχανικά αναλογικά συστήματα με ίδια συμπεριφορά b 1 x i x 0 + k 1 x i x 0 = b 2 x 0 y b 2 x 0 y = k 2 y X b1 0 s = k1 s+1 b 2 k2 s+1 X i s b1 k1 s+1 b 2 k2 s+1 +b 2 k1 s 1 E 0 s R 1 + E i s = C 1 s 1 1/R 2 + C 2 s + R = C 1 s R 1 C 1 s + 1 R 2 C 2 s + 1 = R 1 C 1 s + 1 R 2 C 2 s R 2 C 1 s 19

20 Περιγραφή συστημάτων στον χώρο των Εξισώσεις στον χώρο καταστάσεων των (1) x 1 t x 2 t x n t y 1 t y 2 t y m t = f 1 x 1, x 2,, x n ; u 1, u 2,, u r ; t = f 2 x 1, x 2,, x n ; u 1, u 2,, u r ; t = f n x 1, x 2,, x n ; u 1, u 2,, u r ; t = g 1 x 1, x 2,, x n ; u 1, u 2,, u r ; t = g 2 x 1, x 2,, x n ; u 1, u 2,, u r ; t = g m x 1, x 2,, x n ; u 1, u 2,, u r ; t 20

21 Περιγραφή συστημάτων στον χώρο των Εξισώσεις στον χώρο καταστάσεων των (2) x t = u t = y t = x 1 t x 2 t x n t u 1 t u 2 t t u r y 1 t y 2 t y m t,, x t = f x, u, t y t = g x, u, t όπου f x, u, t = g x, u, t = f 1 x 1, x 2,, x n ; u 1, u 2,, u r ; t f 2 x 1, x 2,, x n ; u 1, u 2,, u r ; t f n x 1, x 2,, x n ; u 1, u 2,, u r ; t g 1 x 1, x 2,, x n ; u 1, u 2,, u r ; t g 2 x 1, x 2,, x n ; u 1, u 2,, u r ; t g m x 1, x 2,, x n ; u 1, u 2,, u r ; t 21

22 Μετά από γραμμικοποίηση Γραμμικά συστήματα x t = A t x t + B t u t y t = C t x t + D t u t Χρονικά αναλλοίωτο σύστημα x t = Ax t + Bu t y t = Cx t + Du t 22

23 Γραμμικοποίηση Συστημάτων Μετά από γραμμικοποίηση x t y t x 0 t = h x t, u t, t = f x t, u t, t = h x 0 t, u 0 t, t x 0 t + x t = h x 0 t + x t, u 0 t + u t, t = h x 0 t, u 0 t, t + h h x + x x x t = A t x t + B t u t A t h x h 1 x 1 h 1 x 2 h 1 x 3 h 2 x 1 h 2 x 2 h 2 x 3 h 3 x 1 h 3 x 2 h 3 x 3, B t h u h 1 h 1 u 1 u 2 h 2 h 2 u 1 u 2 h 3 h 3 u 1 u 2 23

24 Αναπαράσταση συστημάτων στον χώρο των καταστάσεων (1) x 1 = y x 2 = y x n = y n 1 y n + a 1 y n a n 1 y + a n y = u x 1 = x 2 x 2 = x 3 x n 1 = x n x n = a n x 1 a 1 x n + u x 1 x 2 y = x n 24

25 Αναπαράσταση συστημάτων στον χώρο των καταστάσεων (2) x = B = x 1 x 2 x n, A = x t = Ax t + Bu t y t = Cx t a n a n 1 a 1, C =

26 Αναπαράσταση συστημάτων στον χώρο των καταστάσεων (3) y n + a 1 y n a n 1 y + a n y = b 0 u n + b 1 u n b n u x 1 = y β 0 u x 2 = y β 0 u β 1 u = x 1 β 1 u x 3 = y β 0 u β 1 u β 2 u = x 2 β 2 u x n = y n 1 β 0 u n 1 β 1 u n 2 β n 1 u = x n 1 β n 1 u β 0 = b 0 β 1 = b 1 α 1 β 0 β 2 = b 2 α 1 β 1 α 2 β 0 β n 1 = b n 1 α 1 β n 2 α n 2 β 1 α n 1 β 0 β n = b n α 1 β n 1 α n 1 β 1 α n β 0 26

27 Αναπαράσταση συστημάτων στον χώρο των καταστάσεων (4) x 1 = x 2 + β 1 u x 2 = x 3 + β 2 u x n 1 = x n + β n 1 u x n = α n x 1 α n 1 x 2 α 1 x n + β n u 27

28 Αναπαράσταση συστημάτων στον χώρο των καταστάσεων (5) y n + a 1 y n a n 1 y + a n y = b 0 u n + b 1 u n b n u x x = x n x n a n a n 1 a 1 x 1 x 2 y = β 0 u x n 1 x n x 1 x 2 x n 1 x n + β 1 β 2 β n 1 β n u 28

29 Μηχανικό σύστημα (1) Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα αναφέρει ότι ma = ΣF όπου m είναι μια μάζα, a είναι η επιτάχυνση της μάζας, και ΣF είναι το άθροισμα των δυνάμεων που δρουν επί της μάζας προς την κατεύθυνση της επιτάχυνσης a. Εφαρμόζοντας το δεύτερο νόμο του και να σημειωθεί ότι το καλάθι δεν έχει μάζα, παίρνουμε m d2 y dt 2 = b dy du dt dt k y u 29

30 Μηχανικό σύστημα (2) m d2 y dy + b dt2 dt + ky = b du dt + ku y + b m y + k m y = b m u + k m u y + a 1 y + a 2 y = b 0 u + b 1 u + b 2 u a 1 = b m, a 2 = k m, b 0 = 0, b 1 = b m, b 2 = k m 30

31 Μηχανικό σύστημα (3) y + a 1 y + a 2 y = b 0 u + b 1 u + b 2 u a 1 = b m, a 2 = k m, b 0 = 0, b 1 = b m, b 2 = k m β 0 = b 0 = 0 β 1 = b 1 a 1 β 0 = b m β 2 = b 2 a 1 β 1 a 2 β 0 = k m b m 2 x 1 = y β 0 u = y x 2 = x 1 β 1 u = x 1 b m u 31

32 Μηχανικό σύστημα (4) x 1 = x 2 + β 1 u = x 2 + b m u x 2 = a 2 x 1 a 1 x 2 + β 2 u = k x m 1 b x m 2 + k b m m 2 x 1 x 2 y = x 1 y + a 1 y + a 2 y = b 0 u + b 1 u + b 2 u = 0 1 k b m m y = 1 0 x 1 x 2 x 1 x 2 + k m b m b m 2 u 32

33 Βιβλιογραφία Βαρδουλάκης Α.Ι., 2011, Εισαγωγή στη Μαθηματική Θεωρία Συστημάτων και Ελέγχου, Τόμος Α: Κλασική Θεωρία Ελέγχου, Εκδόσεις Τζιόλα. Πουλιέζος Αναστάσιος, 2013, Περί Συστημάτων Ελέγχου. Εισαγωγικό Εγχειρίδιο της Σύγχρονης Θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου, ΕΚΔΟΣΕΙΣ Α. ΤΖΙΟΛΑ & ΥΙΟΙ Α.Ε. Norman Nise, 2011, Control Systems Engineering, 6th Edition, John Willey. 33

34 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες Εικόνα 1: SEG01&page=TourDetails Εικόνα 2: Εικόνα 3: 34

35 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Νικόλαος Καραμπετάκης. «. Ενότητα 3: Μαθηματική περιγραφή συστημάτων». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 35

36 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] 36

37 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 37

38 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Χειμερινό εξάμηνο