Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 15: Επίλυση διοφαντικών εξισώσεων πολυωνύμων Νίκος Καραμπετάκης

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Περιεχόμενα Ενότητας Πολυώνυμα πρώτα μεταξύ τους (ορίζουσα Sylvester). Επίλυση διοφαντικών εξισώσεων πολυωνύμων. 4

5 Σκοποί Ενότητας Επίλυση διοφαντικών εξισώσεων πολυωνύμων πάνω στον δακτύλιο των πολυωνύμων. 5

6 Λήμμα (1) Λήμμα: Τα πολυώνυμα f(s), g(s) έχουν κοινό παράγοντα αν και μόνο αν υπάρχουν μη-μηδενικά πολυώνυμα s(s) και t(s) τέτοια ώστε 0 degs s < degg s, 0 degt s < degf s f s s s + g s t s = 0 Απόδειξη: ( ) Ας υποθέσουμε ότι τα πολυώνυμα f(s), g(s) έχουν κοινό παράγοντα τον h(s). Τότε και συνεπώς f s = f s h s h s, g s = g s h s h s 6

7 Λήμμα (2) f s g s h s f s f s = h s g s h s g s h s h s f s h s f s = h s g s g s 0 Συνεπώς υπάρχουν μη-μηδενικά πολυώνυμα τέτοια ώστε s(s) = g s h s f s και t(s) = h s 0 degs s < degg s, 0 degt s < degf s f s s s + g s t s = 0 7

8 Λήμμα (3) ( ) Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν μη-μηδενικά πολυώνυμα s(s) και t(s) τέτοια ώστε 0 degs s < degg s, 0 degt s < degf s f s s s + g s t s = 0 f s s s = g s t s Κάθε παράγοντας του f(s) είναι παράγοντας του g(s)t(s). 1η περίπτωση. Υπάρχει παράγοντας του f(s) που είναι παράγοντας του g(s) (κοινός παράγοντας). 8

9 Λήμμα (4) 2η περίπτωση. Δεν υπάρχει παράγοντας του f(s) που να είναι παράγοντας του g(s). Συνεπώς θα πρέπει όλοι οι παράγοντες του f(s) να είναι παράγοντες του t(s). Το t(s) όμως είναι μη-μηδενικό και έχει βαθμό μικρότερο του f(s) και συνεπώς αυτό είναι αδύνατο. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Τα f(s), g(s) έχουν κοινό παράγοντα. 9

10 Ορίζουσα Sylvester (1) n = degf, m = degg s = s i x i 0 i<m, t = t i x i 0 i<n P x = f x s x + g x t x P x = f n s m 1 + g m t n 1 x m+n 1 + (f n s m 2 + f n 1 s m 1 + g m t n m 2 + g m 2 t n m 1 )x m+n f 0 s 0 + g 0 t 0 x 0.

11 Ορίζουσα Sylvester (2) P x 0 f n s m 1 + g m t n 1 = 0 f n s m 2 + f n 1 s m 1 + g m t n m 2 + g m 2 t n m 1 = 0 = 0 f 0 s 0 + g 0 t 0 = 0 s m 1,, s 0, t n 1,, t 0 Syl f, g = 0 11

12 Ορίζουσα Sylvester (3) Syl f, g = f n f 0 f n f 0 g m g 0 g m g 0 } m rows } n rows 12

13 Ορίζουσα Sylvester (4) Syl f, g = s m 1,, s 0, t n 1,, t 0 Syl f, g = 0 f n f 0 f n f 0 g m g 0 g m g 0 } m rows } n rows Για να υπάρχει μη-μηδενική λύση θα πρέπει η ορίζουσα Sylvester να είναι ίση με μηδέν! Η resultant των πολυωνύμων f(s), g(s), συμβολίζεται res(f, g), και ορίζεται ως η ορίζουσα του πίνακα Sylvester π.χ. res(f, g) = Det[Syl(f(s), g(s))] 13

14 Θεώρημα (1) Θεώρημα. Έστω f(s), g(s) πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές. Τα f(s), g(s) έχουν κοινό παράγοντα αν και μόνο αν res(f, g) = 0. Παράδειγμα: f x = x 2 5x + 6, g x = x 2 3x res f, g = det = Τα f(s), g(s) έχουν κοινό παράγοντα. 14

15 Θεώρημα (2) Θεώρημα. Έστω f(s), g(s) πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές. Τα f(s), g(s) έχουν κοινό παράγοντα αν και μόνο αν res(f, g) = 0. Παράδειγμα: f x = x 2 7x + 12, g x = x 2 x res f, g = det = Τα f(s), g(s) δεν έχουν κοινό παράγοντα. 15

16 Πολυώνυμα πρώτα μεταξύ τους (1) Έστω τα πολυώνυμα d s = d n s n + d n 1 s n d 1 s + d 0, deg d s = n h s = h n 1 s n h 1 s + h 0, deg h s = n s 0 s S s = s 0 s n 1 16

17 Πολυώνυμα πρώτα μεταξύ τους (2) x s 1 0 d s s 0 sd s = S s d s s = 0 d s s = d s h s 0 1 h s h s 0 s sh s 0 s n 1 s n 1 h s degx s = max degx i s = 2n 1 17

18 Πολυώνυμα πρώτα μεταξύ τους (3) x s = x 0 + x 1 s + + x 2n 1 s 2n 1 = x 0 x 1 x 2n 1 όπου R = x 0 x 1 x 2n 1 d 0 d 1 d n 1 0 d 0 d n d 0 h 0 h 1 h n 1 0 h 0 h n h 0 1 s s 2n 1 = Rs s d n 0 0 d n 1 d n 0 d 1 d n 1 d n h n h 1 h n

19 Θεώρημα Sylvester Θεώρημα Sylvester. Τα πολυώνυμα d s = d n s n + d n 1 s n d 1 s + d 0, deg d s = n h s = h n 1 s n h 1 s + h 0, deg h s = n 1 είναι πρώτα μεταξύ τους εάν και μόνο εάν rankr = 2n. Ο πίνακας R ονομάζεται resultant των d s και h s. 19

20 Παράδειγμα 1 Έστω R = d s = s 3 5s + 6, deg d s = 3 h s = s 2 4s + 4, deg h s = detr = 16 0 Συμπέρασμα: d s και h s είναι πρώτα μεταξύ τους. 20

21 Θεώρημα (Επίλυση πολυωνυμικής Διοφαντικής εξίσωσης) Αν τα πολυώνυμα d s = d n s n + d n 1 s n d 1 s + d 0, deg d s = n h s = h n 1 s n h 1 s + h 0, deg h s = n 1 είναι πρώτα μεταξύ τους και f s = f 2n 1 s 2n 1 + f 2n 2 s 2n f 0, deg f s = 2n 1 είναι αυθαίρετο πολυώνυμο, τότε υπάρχουν πολυώνυμα a(s), b(s) βαθμού μικρότερου ή ίσου του n 1 τέτοια ώστε a s d s + b s h s = f s. 21

22 Απόδειξη (1) Απόδειξη: a s = a n 1 s n 1 + a n 2 s n 2 + a 0, deg a s = n 1 b s = b n 1 s n 1 + b n 2 s n b 0, deg b s = n 1 d s a s d s + b s h s = f s a s b s = f s h s 1 0 s 0 a 0 a 1 a n 1 b 0 b 1 b n 1 s n 1 0 d s 0 1 h s = f s 0 s 0 s n 1 22

23 Απόδειξη (2) a 0 a 1 a n 1 b 0 b 1 b n 1 R 1 s = f 0 f 1 f 2n 1 1 s s 2n 1 s 2n 1 a 0 a 1 a n 1 b 0 b 1 b n 1 R = f 0 f 1 f 2n 1 a 0 a 1 a n 1 b 0 b 1 b n 1 = f 0 f 1 f 2n 1 R 1 23

24 Παράδειγμα 1 συνέχεια Έστω d s = s 3 5s + 6, deg d s = 3 και h s = s 2 4s + 4, deg h s = 2 f s = s 4 s 2 + s 1 a 0 a 1 a 2 b 0 b 1 b 2 = = a s = s + 0s2, b s = s 9 16 s2 1 24

25 Βιβλιογραφία Βαρδουλάκης Α.Ι., 2011, Εισαγωγή στη Μαθηματική Θεωρία Συστημάτων και Ελέγχου, Τόμος Α: Κλασική Θεωρία Ελέγχου, Εκδόσεις Τζιόλα. Πουλιέζος Αναστάσιος, 2013, Περί Συστημάτων Ελέγχου. Εισαγωγικό Εγχειρίδιο της Σύγχρονης Θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου, ΕΚΔΟΣΕΙΣ Α. ΤΖΙΟΛΑ & ΥΙΟΙ Α.Ε. Norman Nise, 2011, Control Systems Engineering, 6th Edition, John Willey. 25

26 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Νικόλαος Καραμπετάκης. «. Ενότητα 15: Επίλυση διοφαντικών εξισώσεων πολυωνύμων». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 26

27 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] 27

28 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 28

29 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Χειμερινό εξάμηνο