Pseudorandomness. Pseudorandom Generators - Derandomisation. Παναγιώτης Γροντάς ,
|
|
- Ιωάννα Κολιάτσος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Pseudorandomness Pseudorandom Generators - Derandomisation Παναγιώτης Γροντάς µπλ , / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
2 Κλάσεις Πολυπλοκότητας Θα χρησιμοποιήσουμε τις εξής κλάσεις πολυπλοκότητας: P BPP = {L x L Pr r {0,1} p( x )[M(x, r) = L(x)] 2 3 } QuasiP = c N DTIME(2 (logn)c ) SUBEXP = ϵ>0 DTIME(2 nϵ ) Οι λογάριθμοι του χρόνου εκτέλεσης είναι μικρότεροι από κάθε πολυώνυμο. E = DTIME(2 O(n) ) Exponential Time With Linear Exponent EXP = c N DTIME(2 nc ) Exponential Time 2 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
3 Τυχαιότητα Τρεις Θεωρίες Τυχαιότητας: Shannon: Εντροπία και τυχαιότητα, Μέγιστη Περιεχόμενη Πληροφορία - Ομοιόμορφη Κατανομή U n : (x {0, 1} n 2 n ) Kolmogorov, Chaitin: Αλγοριθμική Τυχαιότητα - To μέγεθος του μικρότερου προγράμματος που μπορεί να παράγει (x {0, 1} n ) Blum, Goldwasser, Micali: Σχετικιστική Τυχαιότητα - Όχι εσωτερική ιδιότητα αντικειμένων, αλλά εξαρτάται από τον παρατηρητή Δύο αντικείμενα είναι ίδια, αν 'φαίνονται' ίδια. Φαίνονται ίδια: Δεν μπορούν να διαχωριστούν από αποδοτική διαδικασία. Πλεονέκτημα: Μπορούμε να ενισχύσουμε την τυχαιότητα. 3 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
4 Τυχαιότητα και CS - (1) Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι: Αποδοτικές Λύσεις Σε Δύσκολα Προβλήματα: Primality Εύρεση 'πιστοποιητικών' ότι κάποιος αριθμός είναι σύνθετος. Ισότητα Πολυωνύμων Είναι δύο πολυώνυμα ίδια; Reachability Είναι συνδεδεμένες δύο κορυφές ενός γραφήματος (Random Walks) Approximate Counting Προσέγγιση πλήθους λύσεων σε συνδυαστικά προβλήματα. 4 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
5 Τυχαιότητα και CS - (2) Βασικό Ερώτημα: BPP =? P Είναι οι πιθανοτικοί αλγόριθμοι εν γένει πιο δυνατοί από τους ντετερμινιστικούς ή μπορούμε να μετατρέψουμε έναν αποδοτικό πιθανοτικό αλγόριθμο σε αποδοτικό ντετερμινιστικό (derandomisation). 5 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
6 Trivial Derandomisation BPP EXP Έστω A(x, r) ένας πιθανοτικός αλγόριθμος όπου: για είσοδο x μήκους n χρησιμοποιεί τυχαίο r μήκους m και τρέχει σε χρόνο T(n). Μπορεί να προσομοιωθεί από τον εξής ντετερμινιστικό αλγόριθμο: Για είσοδο x Δημιούργησε όλα τα δυνατά r (2 m ) Για κάθε r, υπολόγισε το A(x, r) σε χρόνο T(n). Αν #YES > #NO output "YES" αλλιώς output "NO". Η προσομοίωση γίνεται σε εκθετικό χρόνο 2 m T(n)...εκτός αν m = logn... 6 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
7 Μπορούμε καλύτερα; ΝΑΙ (υπο συνθήκες) (Blum, GoldWasser, Micali, Yao) Conditional Derandomisation: Αν η συνθήκη Χ ισχύει τότε ο PPT αλγόριθμος A μπορεί να μετατραπεί σε ντετερμινιστικό που τρέχει σε χρόνο Y X Δεν υπάρχει PT αλγόριθμος που βρίσκει την παραγοντοποίηση ενός ακεραίου Y 2 nϵ ϵ > 0 90s H συνθήκη Χ να είναι εύλογη. Το Υ να είναι πολυωνυμικός. 7 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
8 Conditional Derandomisation Μία υπόθεση X για την χειρότερη περίπτωση ενός αλγόριθμου συνεπάγεται μία ισχυρότερη υπόθεση για την μέση περίπτωση (hardness amplification - (Impagliazzo, Wigderson)) Μπορώ από την μέση περίπτωση να κατασκευάσω ψευδοτυχαία γεννήτρια (pseudorandom generator). H ψευδοτυχαία γεννήτρια θα βοηθήσει στο derandomisation. (Nisan, Wigderson) Φυσικά αν κάποια στιγμή αποδειχθεί η υπόθεση Χ, τότε θα έχουμε πλήρη derandomisation (P=BPP). 8 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
9 Ψευδοτυχαιότητα Σχετικιστική Θεώρηση Τυχαιότητας Ψευδοτυχαία Κατανομή: Δεν μπορεί να διαχωριστεί αποδοτικά από την Ομοιόμορφη Κατανομή U n. Αποδοτικός Διαχωρισμός: Probabilistic Polynomial Time Algorithm (PPT) Αρχικές Εφαρμογές - Κρυπτογραφία Εξαγωγή Δεδομένων Από φυσική διαδικασια που θεωρείται τυχαία. Ενίσχυση της αρχικής τυχαιότητας (seed). To αποτέλεσμα πρέπει να παραμένει (ψευδο)τυχαίο. 9 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
10 Computational Indistinguishability Ορισμός Οικογένεια κατανομών {X n }: σύνολο τυχαίων μεταβλητών Ορισμός Δύο οικογένειες κατανομών {X n }, {Y n } είναι υπολογιστικά μη διαχωρίσιμες αν: PPT A, positive polynomial p, n > n 0 : Pr x Xn [A(x) = 1] Pr y Yn [A(y) = 1] < 1 p(n) όπου: Pr x Xn [A(x) = 1] η πιθανότητα να επιβεβαίωσει ο αλγόριθμος ότι x X n 10 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
11 Pseudorandom Generators Ένας αλγόριθμος που μετατρέπει μικρά τυχαία strings (seeds) σε μεγάλες ψευδοτυχαίες ακολουθίες. Αποδοτικός: Πρέπει(;) να υλοποιείται από ντετερμινιστικό πολυωνυμικό αλγόριθμο. Επέκταση: Μετατροπή strings μεγέθους n σε ακολουθίες μεγέθους l(n) με l(n) > n. Ψευδοτυχαιότητα: Δεν υπάρχει PPT που να διαχωρίζει υπολογιστικά το αποτέλεσμα από την ομοιόμορφη κατανομή. 11 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
12 Γενικός Ορισμός Ένας αλγόριθμος G είναι ψευδοτυχαία γεννήτρια αν υπάρχει μία συνάρτηση l : N N για την οποία να ισχύει k l(k) > k - stretch function - συνάρτηση έκτασης - τέτοια ώστε για κάθε PPT D (distinguisher), για κάθε θετικό πολυώνυμο p, και για αρκετά μεγάλα k Pr[D(G(U k )) = 1] Pr[D(U l(k) ) = 1] < 1 p(k) 12 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
13 Αποδοτικότητα PRG Στην κρυπτογραφία πρέπει να είναι πολυωνυμικός γιατί τον χρησιμοποιούν οι νόμιμοι χρήστες του κρυπτοσυστήματος, οι οποίοι έχουν περιορισμένους πόρους. Στο derandomisation μπορεί να είναι εκθετικός, γιατί θα χρησιμοποιηθεί από εκθετικό αλγόριθμο (trivial derandomisation). 13 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
14 Εναλλακτικοί ορισμοί (με κυκλώματα): Μία κατανομή R στο {0, 1} m είναι (S, ϵ) ψευδοτυχαία αν για κάθε κύκλωμα C μεγέθους το πολύ S N Pr[C(R) = 1] Pr[C(U m ) = 1] < ϵ Μία 2 n υπολογίσιμη συνάρτηση G : {0, 1} {0, 1} είναι S(l) PRG όπου S : N N αν: G(z) = S( z ), z {0, 1} Η κατανομή G(U l ) είναι (S(l) 3, 0.1) ψευδοτυχαία l N Παρατήρηση: Τα νούμερα είναι αυθαίρετα. 14 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
15 Derandomisation με PRG Theorem Αν S : N N και υπάρχει S(l) PRG τότε BPTIME(S(l(n))) DTIME(2 cl(n) )) για c σταθερά και l : N N Δηλαδή: BPP = P αν υπάρχει 2 ϵl PRG. BPP DTIME(2 polylog )] αν υπάρχει 2 lϵ BPP DTIME(2 nϵ )] αν υπάρχει l c PRG. PRG. 15 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
16 Derandomisation με PRG - Απόδειξη Βασική Ιδέα Για την προσομοίωση του αλγόριθμου A(x, r) χρησιμοποιούμε ψευδοτυχαίο r. Διαλέγουμε τυχαίο z {0, 1} l(n) (το οποίο θα έχει λιγότερα bits) από το r Εκτελούμε το Α(x,G(z)), όπου G o PRG Pr[A(x, G(z)) = L(x)] > 0.5 Άρα αν κάνουμε trivial derandomisation δεν χρειαζόμαστε χρόνο (2 m ) αλλά (2 l(n) ). 16 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
17 Hardness and Derandomisation Average Case Hardness H avg (f) = max{s Pr[C(x) = f(x)] < S } όπου x τυχαίο {0, 1} n f συνάρτηση {0, 1} n {0, 1} C κύκλωμα n εισόδων μεγέθους το πολύ S. Παρά το γεγονός ότι δίνουμε στο κύκλωμα την ίδια είσοδο με την συνάρτηση, του φαίνεται τυχαία. 17 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
18 RPGs from average-case hardness Theorem Αν υπάρχει f DTIME(2 O(n) ) τέτοια ώστε H avg (f)(n) S(n) τότε υπάρχει S(δl) δ PRG για δ > 0. Proof. Σταδιακή κατασκευή PRG από hard function - (Nisan - Wigderson Construction) 18 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
19 Επέκταση κατά 1 bit Theorem (RPG από hard function) Αν υπάρχει συνάρτηση f E με H avg (f) n 4, τότε υπάρχει S(l) = l + 1 PRG G. Proof. Συνένωση της εισόδου με το αποτέλεσμα της συνάρτησης - G(z) = z f(z) Πρέπει να δειχθεί ότι ο G είναι όντως PRG, δηλ. Η κατανομή G(U l ) είναι (l + 1) 3, 0.1 ψευδοτυχαία. 19 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
20 Unpredictability Pseudorandomness Theorem (Yao) Έστω Pr r ry[c(r 1,..., r i 1 ) = r i ] ϵ m όπου: S > 10n C κύκλωμα μεγέθους 2S Τότε η κατανομή Y είναι (S, ϵ) ψευδοτυχαία. Υπενθυμίζουμε ότι G(z) = z f(z). Αφού η H avg (f) n 4, ισχύει: Pr[C(x) = f(x)] < για κάθε κύκλωμα μεγέθους n. n 4 20 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
21 Απόδειξη του 1-bit PRG Το z προέρχεται από την ομοιόμορφη κατανομή. Άρα κάθε bit του z δεν μπορει να υπολογιστεί από τα υπόλοιπα. Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι το τελευταίο bit (δηλ. f(z)) είναι μη προβλέψιμο από όλα τα υπόλοιπα. Από ορισμό, πρέπει για κανένα κύκλωμα C μεγέθους 2(l + 1) 3 να ισχύει: Pr z r{0,1} l[c(z) = f(z)] > (l+1) > l 4 Δεν είναι δυνατόν λόγω της δυσκολίας της f. 21 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
22 Επέκταση κατά 2 bits Theorem (RPG από hard function) Αν υπάρχει συνάρτηση f E με H avg (f) n 4. Τότε υπάρχει l + 2 PRG G. Εφαρμόζουμε την συνάρτηση δύο φορές στo πρώτο μισό και στο δεύτερο μισό. Συνενώνουμε το αποτέλεσμα. Δηλαδη G(z) = z 1...z l/2 f(z 1,..., z l/2 ) z l/2+1...z l f(z l/2+1,..., z l ) Πρέπει να δειχθεί ότι ο G είναι όντως PRG. Όπως και πριν χρησιμοποιούμε το θεώρημα του Yao και την δυσκολία της f. 22 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
23 Επιπλέον επέκταση Με την διαδικασια αυτή δεν μπορούμε να επεκτεινουμε περισσοτερο από το διπλάσιο της εισόδου. G(z) = z 1 f(z 1 )... z l f(z l ) Θέλουμε εκθετικά μεγαλύτερη έξοδο. Θα συνδυάσουμε κομμάτια της εισόδου αντί να τα χρησιμοποιούμε ανεξάρτητα (combinatorial design) Αναγκαστικά τα κομμάτια της εισόδου που θα συνδυάσουμε δεν θα είναι ξένα μεταξύ τους. H επικάλυψη πρέπει να είναι μικρή, ώστε να μην υπάρχει πρόβλεψη. Τελικά η έξοδος θα αυξηθεί τόσο πολύ που θα μπορούμε να αγνοήσουμε εντελώς την είσοδο και να συνενώσουμε απλά τα αποτελέσματα της συνάρτησης. 23 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
24 Nisan - Wigderson construction NW I f (z) = f(z I 1 ) f(z I2 )... f(z Im ) όπου f : {0, 1} n {0, 1} Πρέπει να επιδεικνύει κάποια δυσκολία {I 1, I 2,...I m }: μία οικογένεια υποσυνόλων του [l] με n στοιχεία το καθένα. Τα υποσύνολα πρέπει να παράγονται από μία combinatorial design. z Il : διαλέγουμε από το z εκείνα τα bits το οποία αντιστοιχούν στο υποσύνολο l. 24 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
25 Combinatorial Designs - Ορισμός (l, n, d) Combinatorial Design Μία οικογένεια I = {I 1, I 2,...I m } υποσυνόλων του {1..l} όπου: Κάθε ένα έχει έχει μέγεθος n. I j I k d, j k d < n < l 25 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
26 Combinatorial Designs - Κατασκευή (Greedy-Εκθετικός) Αλγόριθμος Κατασκευής 1. I 2. Κατασκεύασε το {I 1, I 2,...I m } : Για όλα τα υποσύνολα του [1..l] πρόσθεσε το πρώτο I για το οποίο I Ij d όπου j 1..m 3. Τερματισμός όταν m = 2 d/10 26 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
27 Combinatorial Designs - Ορθότητα Κατασκευής Πρέπει να αποδείξουμε ότι υπάρχει υποσύνολο μεγέθους n ώστε I I j d Διαλέγουμε ανεξάρτητα τα στοιχεία με πιθανότητα 2n l. Αναμενόμενο μέγεθος : 2n. Αναμενόμενο μέγεθος I I j : 2n2 l Από Chernoff Bound: Pr[ I n] 0.9 Pr[ I Ij d] d 10 Pr[( I n) ( I I j d)] 0.4 Μπορούμε να αφαιρέσουμε στοιχεια από το I, χωρίς να χαλάσουμε την κατασκευή. 27 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
28 Ψευδοτυχαιότητα NW generator Theorem Η κατανομή NW f I (U l) είναι H avg(f) 10, 1 10 I είναι (l, n, d) με I = 2 d 10 f : {0, 1} n {0, 1} με H avg (f) > 2 2d ψευδοτυχαία, όπου: Proof. Απαγωγή σε άτοπο. Χρήση θεωρήματος Yao. Παρά το γεγονός ότι τα διάφορα I m είναι αλληλοεξαρτώμενα, η δυσκολία της f δεν επιτρέπει την πρόβλεψη. 28 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
29 Ψευδοτυχαιότητα NW generator - Απόδειξη (1) H avg (f) > 2 2d Pr[C(x) = f(x)] < d, όπου C κύκλωμα με: C 2 2d Από θεώρημα Yao: Για να είναι η R (2 2d /10, 1/10) ψευδοτυχαία πρέπει για κάθε κύκλωμα C με C 2 d ισχύει ότι Pr[C(R 1,..., R i 1 ) = R i ] < d/10, i {1..2 d/10 }]. Έστω ότι υπάρχει τέτοιο C ώστε: Pr[C(f(Z I1 ),..., f(z Ii 1 )) = f(z Ii )] d/ / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
30 Ψευδοτυχαιότητα NW generator - Απόδειξη (2) Ορίζουμε τις τυχαίες μεταβλητές Z 1 : συνιστώσες(bits) του z στο I i και Z2 : συνιστώσες(bits) του z στο δεν ανήκουν στο I i δηλ. [l] I i. Ορίζουμε f j (Z 1, Z 2 ) = f(z 1 < I j I i > Z 2 < I j I i >) 30 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
31 Ψευδοτυχαιότητα NW generator - Απόδειξη (3) Τότε Pr[C(f 1 (Z 1, Z 2 ),..., f i 1 (Z 1, Z 2 )) = f i (Z 1 )] d/10 Υπάρχει z 2 {0, 1} l n ώστε: Τότε Pr[C(f 1 (Z 1, z 2 ),..., f i 1 (Z 1, z 2 )) = f i (Z 1 )] d/10 Μήπως μπορεί να προβλεφτεί το f i (Z 1 ) αφού έχουμε δεί τμήματα του μέσω των f i (Z 1, z 2 ). Όχι, λόγω του ορισμού της combinatorial design και της δυσκολίας της f. 31 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
32 Ψευδοτυχαιότητα NW generator - Απόδειξη (4) Αφού έχουμε combinatorial design I I k d η συνάρτηση Z 1 f(z 1, z 2 ) εξαρτάται από d συντεταγμένες του 1. Άρα μπορεί να υπολογιστει από d2 d κύκλωμα Β. Τότε Pr[B(Z 1 ) = f(z 1 )] d/10 Άτοπο λογω της δυσκολίας της f. H avg (f) > 2 2d Pr[C(x) = f(x)] < d, όπου C κύκλωμα με: C 2 2d 32 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
33 Συμπεράσματα... (μέχρι τώρα) Ψευδοτυχαιότητα:Υπολογιστική ομοιότητα με ομοιόμορφη κατανομή. PRG: Κατασκευές που επεκτείνουν μια τυχαία ακολουθία διατηρώντας την ψευδοτυχαιότητα. Χρήση: Ενίσχυση τυχαιότητας για χρήση στην κρυπτογραφία (πολυωνυμικοί PRG). Derandomisation με ισχυρές υποθέσεις (ύπαρξη one-way functions, NP P). NW: Κατασκευή εκθετικού PRG με την υπόθεση ότι υπάρχει μία οποιαδήποτε δύσκολη συνάρτηση. Δύσκολες συναρτήσεις: Πιο εύκολο να μαντέψεις την τιμή τους. Πιο ρεαλιστική υπόθεση για derandomisation. 33 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
34 Συνέπειες στην Πολυπλοκότητα Υπό προϋποθέσεις... BPP = P BPP SUBEXP BPP QuasiP Parallel Computation Χωρίς προϋποθέσεις... Constant Depth Circuits AM = almostnp BPP Σ 2 Π 2 PH = almostph 34 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
35 BPP = P...υπό προϋποθέσεις Theorem Αν υπάρχει συνάρτηση f E με H wrs (f) = 2 ϵn για κάποιο ϵ > 0 τότε BPP = P. Proof. Από NW, μπορεί να κατασκευαστεί PRG logn n Άρα το derandomisation γίνεται σε 2 logn T(n). Δηλ. BPP P και BPP = P. Παρατήρηση: Από worst case hardness μπορούμε να πάρουμε average case hardness. 35 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
36 BPP SUBEXP...υπό προϋποθέσεις Theorem Αν υπάρχει συνάρτηση που δεν μπορεί να προσεγγιστεί με πολυωνυμικά κυκλώματα τότε BPP SUBEXP. Proof. Έστω f δεν μπορεί να προσεγγιστεί με κυκλώματα n c υπάρχει συνάρτηση E η οποία έχει δυσκολία n c υπάρχει PRG: n ϵ n Άρα το derandomisation γίνεται σε χρόνο 2 nϵ T(n) A BPP A SUBEXP 36 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
37 BPP QuasiP...υπό προϋποθέσεις Theorem Αν υπάρχει συνάρτηση που να μην μπορεί να προσεγγιστεί με 2 nϵ κυκλώματα τότε BPP QuasiP. Proof. Έστω f δεν μπορεί να υπολογιστεί με κυκλώματα 2 nϵ υπάρχει συνάρτηση f 1 E η οποία έχει δυσκολία 2 nϵ υπάρχει PRG: (logn) c n Άρα το derandomisation γίνεται σε χρόνο 2 (logn)c T(n) A BPP A QuasiP 37 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
38 Parallel Computation Αφού κατασκευαστούν τα υποσύνολα ο PRG NW I f (z) = f(z I 1 ) f(z I2 )... f(z Im ) είναι παράλληλος. Theorem Αν υπάρχει συνάρτηση στο PSPACE που να μην μπορεί να προσεγγιστεί με NC κυκλώματα τότε RNC ϵ>0 DSPACE(nϵ ). Αν υπάρχει συνάρτηση στο PSPACE που να μην μπορεί να προσεγγιστεί με κυκλώματα βάθους n ϵ τότε RNC DSPACE(polylog). 38 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
39 Parallel Computation - (2) Proof. NC = PT/WK(log k n, n k ) - (polylog depth, polynomial size) RNC: προσθήκη randomisation Αντικαθιστά προηγούμενο θεώρημα: Αν η εύρεση αντιστροφου modp δεν μπορεί να προσεγγιστεί με NC κυκλώματα τότε RNC ϵ>0 DSPACE(nϵ ). 39 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
40 Constant Depth Circuits Theorem Pr[C n (x) = parity(x)] 1 2 2n1/(d+1) όπου C n οικογένεια κυκλωμάτων με βάθος d και μέγεθος 2 n1/(d+1). x R {0, 1} n H συνάρτηση parity = 'περιττό πλήθος 1 δεν μπορεί να υπολογιστεί από πολυωνυμικά κυκλώματα σταθερού βάθους (AC 0 ) Άρα η συνάρτηση parity μας κάνει για δύσκολη Μπορούμε να κατασκευάσουμε οικογένειες από NW-constructions 40 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
41 Constant Depth Circuits-(2) BPAC 0 : Πιθανοτικά, πολυωνυμικά κυκλώματα σταθερού βάθους με two-sided error Theorem BPAC 0, RAC 0 c DSPACE((logn) c ) BPAC 0, RAC 0 QuasiP RAC 0 : Πιθανοτικά, πολυωνυμικά κυκλώματα σταθερού βάθους με one-sided error 41 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
42 AM = almost NP AM L AM x L : Pr[ACCEPTS arthur (x) = 1] 2 3 x / L : Pr[ACCEPTS arthur (x) = 1] 1 3 Ισοδύναμα: χρήση τυχαιότητας(arthur φάση) και μη-ντετερμινισμού(merlin φάση) με αυτή τη σειρά. almost-np almost NP = {L Pr[L NP A ] = 1}, όπου A random oracle. 42 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
43 Απόδειξη Proof. AM almost NP To random oracle είναι η φάση Arthur. Μία μηχανή AM μπορεί να θεωρηθεί ως μία μηχανή NP, όπου πριν την μη ντετερμινιστική επιλογή ρωτάει ένα random oracle. Proof. almost NP AM Προσομοίωση συγκεκριμένης NDTM M που χρησιμοποιεί random oracle με ΑΜ. Πρόβλημα: Η Μ μπορεί μη ντετερμινιστικά να έχει πρόσβαση στο random oracle εκθετικό αριθμό φορών. H AM όμως έχει πολυωνυμική τυχαιότητα. 43 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
44 Απόδειξη - almost NP AM Proof....συνέχεια Χρηση NW generator: Μπορεί από πολυωνυμικό αριθμό bits να παράγει εκθετικό αριθμό που να φαίνεται τυχαίος. Μετατροπή υπολογισμού της Μ σε κύκλωμα βάθους 2 Φάση Arthur: Δημιουργία πολυωνυμικών τυχαιών bits. Φάση Merlin: Προσομοίωση της M. Οποτεδήποτε η M έχει πρόσβαση στο Oracle, χρήση generator. 44 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
45 BPP Σ 2 Π 2 Αφού BPP = cobpp, αρκεί BPP Σ 2 Μπορεί να φτιαχτεί PRG logn n στο Σ 2 ως εξής: Αρκεί να βρούμε συνάρτηση με εκθετική δυσκολία. Μάντεψε συνάρτηση με το κατάλληλο πλήθος bits Επαλήθευση ότι είναι όντως δύσκολη, ελέγχοντας όλες τις καταχωρήσεις του πίνακα της (πολυωνυμικές). conp Χρηση στον NW PRG Δοκιμή όλων των seeds. 45 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
46 almost PH = PH Proof. Ένα random oracle μπορει να προσομοιωθεί από μία φάση Artur. H φάση Arthur μπορεί να προσομοιωθεί από μία επιπλέον εναλλαγή (μάντεψε-επαλήθευσε). 46 / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
47 Βιβλιογραφία 1. Luca Trevisan, Pseudorandomness and Combinatorial Constructions, CoRR abs/cs/ , 2006, 2. Κεφ.20 από S. Arora and B. Barak, Complexity Theory: A Modern Approach, 2008, Princeton University. 3. Srikanth Srinivasan, The Nisan-Wigderson Pseudorandom Generator, IITK Theory Meeting Notes, 4. O. Goldreich, Computational Complexity: A Conceptual Perspective, 2008, Cambridge University Press. 5. Luca Trevisan, Lecture Notes on Pseudorandomness - Part II (derandomization), 2000, 6. Oded Goldreich, Lecture Notes on Pseudorandomness - Part I (polynomial-time generators), N. Nisan, A. Wigderson, Hardness vs Randomness, J. Comput. Syst. Sci., 49(2): , , / 47 Παναγιώτης Γροντάς(µΠλ ) Pseudorandomness
Διαλογικά Συσ τήματα Αποδείξεων Διαλογικά Συστήματα Αποδείξεων Αντώνης Αντωνόπουλος Κρυπτογραφία & Πολυπλοκότητα 17/2/2012
Αντώνης Αντωνόπουλος Κρυπτογραφία & Πολυπλοκότητα 17/2/2012 Εισαγωγή Ορισμός Επέκταση του NP συστήματος αποδείξεων εισάγωντας αλληλεπίδραση! Ενα άτομο προσπαθεί να πείσει ένα άλλο για το ότι μία συμβολοσειρά
Διαβάστε περισσότεραPseudorandomness = Μη αληθής + Τυχαιότητα. Combinatorial Constructions = Κατασκευές Συνδυαστικής
Pseudorandomness = Μη αληθής + Τυχαιότητα * Συνήθως παίρνουμε μια στατιστική τυχαιότητα από μια ντετερμινιστική επεξεργασία. * Η παραγωγή ψευδοτυχαιότητας είναι πιο εύκολη από την πραγματική τυχαιότητα.
Διαβάστε περισσότεραBlum Blum Shub Generator
Κρυπτογραφικά Ασφαλείς Γεννήτριες Ψευδοτυχαίων Αριθμών : Blum Blum Shub Generator Διονύσης Μανούσακας 31-01-2012 Εισαγωγή Πού χρειαζόμαστε τυχαίους αριθμούς; Σε κρυπτογραφικές εφαρμογές κλειδιά κρυπτογράφησης
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Υπολογισμού
Κεφάλαιο 3 Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισμού Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται μια εισαγωγή σε βασικές έννοιες της θεωρίας υπολογισμού, με έμφαση στην υπολογιστική πολυπλοκότητα. Η εξοικείωση με τις έννοιες αυτές
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικές Αποδείξεις Κάτω Φραγμάτων
Τεχνικές Αποδείξεις Κάτω Φραγμάτων Θέλουμε να δείξουμε κυκλωματικά κάτω φράγματα για ομοιόμορφες κλάσεις επειδή: Δίνουν μεγάλη πληροφορία για τις κλάσεις αυτές: π.χ. αν EXP P /poly σημαίνει Ότι παρότι
Διαβάστε περισσότεραChapter 7, 8 : Time, Space Complexity
CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity 19 December 2008 1 1 Κλάση NP 2 Μη-Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing: Eίναι δυνατόν σε μια συνολική κατάσταση να υπάρχουν πολλές δυνατές επόμενες
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Κρυπτοσυστήματα ροής. Πέτρος Ποτίκας. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Κρυπτογραφία Κρυπτοσυστήματα ροής Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία 1 / 22 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 Υπολογιστική
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Ψευδοτυχαιότητα - Κρυπτοσυστήματα ροής. Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας
Κρυπτογραφία Ψευδοτυχαιότητα - Κρυπτοσυστήματα ροής Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία 1 / 38
Διαβάστε περισσότεραBlum Complexity. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΙΙ. Παναγιώτης Γροντάς. Δεκέμβριος
Blum Complexity Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΙΙ Παναγιώτης Γροντάς µπλ Δεκέμβριος 2011 Ιστορικά Στοιχεία Manuel Blum (1938, Caracas Venezuela) Turing Award (1995) Foundations Of Computational Complexity
Διαβάστε περισσότεραPSEUDORANDOM GENERATORS- PREDICATES & ZK PROOFS
PSEUDORANDOM GENERATORS- PREDICATES & ZK PROOFS ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ 2 Επιμέλεια: Νικόλαος Λάμπρου μπλ 2014 Γεννήτρια ψευδοτυχαίων αριθμών Άτυπος ορισμός: Έστω μια συνάρτηση G από strings σε strings.λέμε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο
Διαβάστε περισσότεραΤυχαιότητα (Randomness) I
I Χρησιμοποιώντας το μοντέλο δένδρων υπολογισμού, θα ορίσουμε κλάσεις πολυπλοκότητας που βασίζονται στις πιθανότητες, με βάση τυχαίες επιλογές. Αυτή η προσέγγιση είναι πολύ χρήσιμη από πρακτική άποψη,
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Ψευδοτυχαιότητα - Κρυπτοσυστήματα ροής. Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας
Κρυπτογραφία Ψευδοτυχαιότητα - Κρυπτοσυστήματα ροής Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία 1 / 37
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση. Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας
Κρυπτογραφία Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία
Διαβάστε περισσότεραΚυκλώματα και βασικές Ιδιότητες
Κυκλώματα και βασικές Ιδιότητες Κύκλωμα C Κατευθυνόμενος ακυκλικός γράφος με n πηγές (κάθε μία αντιστοιχεί σε ένα bit εισόδου) και μία καταβόθρα (το bit εξόδου). Οι ενδιάμεσοι κόμβοι αντιστοιχούν σε κάποια
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Ψευδοτυχαιότητα - Κρυπτοσυστήματα ροής. Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας
Κρυπτογραφία Ψευδοτυχαιότητα - Κρυπτοσυστήματα ροής Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία 1 / 34
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβληµα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβληµα αναζήτησης είναι ένα πρόβληµα στο
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Ψευδοτυχαιότητα - Κρυπτοσυστήματα ροής. Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας
Κρυπτογραφία Ψευδοτυχαιότητα - Κρυπτοσυστήματα ροής Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία 1 / 37
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1,
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Παύλος Εφραιμίδης V1.1, 2015-01-19 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΠολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης
Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι
Διαβάστε περισσότεραΠιθανοτικοί Αλγόριθμοι
Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανοτικός
Διαβάστε περισσότεραΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ
ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Επιμέλεια : Γεωργίου Κωστής Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος: Δίκτυα και πολυπλοκότητα Φεβρουάριος 004 μπλ Κίνητρα για τη μελέτη της μη προσεγγισιμότητας Ο πληρέστερος
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Ζωή Παρασκευοπούλου Νίκος
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ 2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΣΤΟΥΚΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ-ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ:ΜΠΛΑ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ 2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΣΤΟΥΚΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ-ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ:ΜΠΛΑ Η Alice θέλει να στείλει ένα μήνυμα m(plaintext) στον Bob μέσα από ένα μη έμπιστο κανάλι και να μην μπορεί να το
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 14. Χρονική Πολυπλοκότητα 17, 20, 24 Απριλίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity
Υπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity Διδάσκων: Στάθης Ζάχος Επιμέλεια Διαφανειών: Μάκης Αρσένης CoReLab ΣΗΜΜΥ - ΕΜΠ Μάιος 2017 Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ &
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή Ορισμός Frequency moments
The space complexity of approximating the frequency moments Κωστόπουλος Δημήτριος Μπλα Advanced Data Structures June 2007 Εισαγωγή Ορισμός Frequency moments Έστω ακολουθία Α = {a 1,a 2,...,a m ) με κάθε
Διαβάστε περισσότεραΚατανεμημένα Συστήματα Ι
Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου 11η Διάλεξη 12 Ιανουαρίου 2017 1 Ανεξάρτητο σύνολο Δοθέντος ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος G = (V, E), ένα ανεξάρτητο σύνολο (independent set) είναι ένα
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών Και Εφαρμογές Στην Κρυπτογραφία. Linux Random Number Generator
Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών Και Εφαρμογές Στην Κρυπτογραφία Linux Random Number Generator Επιμέλεια Διαφανειών : Ι. Κατσάτος ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013 ΑΘΗΝΑ Ορισμός: Τυχαίοι Αριθμοί Συχνά στην καθομιλουμένη, ο κόσμος
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.0 Επιλογή Αλγόριθμοι Επιλογής Select και Quick-Select Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros
Διαβάστε περισσότεραΚατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων π
Περιορισμοί Αλγοριθμικής Ισχύος Κατηγοριοποίηση πολυπλοκοτήτων Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός
Διαβάστε περισσότεραΕθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία PROJECT Συνοπτική Παρουσίαση του Κβαντικού Αλγόριθμου Παραγοντοποίησης
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ανάλυση Αλγορίθμων Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ανάλυση Αλγορίθμων Η ανάλυση αλγορίθμων περιλαμβάνει τη διερεύνηση του τρόπου
Διαβάστε περισσότεραChapter 7, 8 : Time, Space Complexity
CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity 12 December 2008 1 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτεμπορούμεναπεριγράψουμεμεένααλγόριθμο μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραUP class. & DES και AES
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων UP class & DES και AES Επιμέλεια σημειώσεων: Ιωάννης Νέμπαρης Μάριος Κουβαράς Διδάσκοντες: Στάθης Ζάχος
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 3ο μέρος σημειώσεων: Μέθοδος της Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis
Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis Θεώρημα για σφαίρες Θα δείξουμε ότι το γράφημα G(n, 2 ln n n 1 ) έχει μικρή διάμετρο Θα ξεκινήσουμε με ένα θεώρημα για το μέγεθος μιας σφαίρας
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θα εισαγάγουμε την έννοια του τυχαίου αριθμού με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας η οποία σε
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δημήτρης Φωτάκης (λίγες προσθήκες: Άρης Παγουρτζής) Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Συναρτήσεις μονής κατεύθυνσης - Συναρτήσεις κατακερματισμού. Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας
Κρυπτογραφία Συναρτήσεις μονής κατεύθυνσης - Συναρτήσεις κατακερματισμού Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κλάσεις P, NP NP-πληρότητα 15 Απριλίου 2008 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να περιγράψουμε με
Διαβάστε περισσότεραΥποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι αλη
Υποθέσεις - - Θεωρήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες
Διαβάστε περισσότεραΨευδο-τυχαιότητα. Αριθµοί και String. Μονόδροµες Συναρτήσεις 30/05/2013
Ψευδο-τυχαιότητα Συναρτήσεις µιας Κατεύθυνσης και Γεννήτριες Ψευδοτυχαίων Αριθµών Παύλος Εφραιµίδης 2013/02 1 Αριθµοί και String Όταν θα αναφερόµαστε σε αριθµούς θα εννοούµε ουσιαστικά ακολουθίες από δυαδικά
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Μονόδρομες συναρτήσεις - Συναρτήσεις σύνοψης. Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας
Κρυπτογραφία Μονόδρομες συναρτήσεις - Συναρτήσεις σύνοψης Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 11: Περιορισμοί της Αλγοριθμικής Ισχύος
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 11: Περιορισμοί της Αλγοριθμικής Ισχύος Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθμου Α: Ποσότητα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Η συνάρτηση φ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n > 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Οργανωτικά ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,.
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir, Adlemann, 1977) Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κρυπτοσύστημα
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Οργανωτικά ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,.
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Οργανωτικά ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,.
Διαβάστε περισσότεραΚλάσεις Πολυπλοκότητας
Κλάσεις Πολυπλοκότητας Παύλος Εφραιμίδης pefraimi ee.duth.gr Κλάσεις Πολυπλοκότητας 1 Οι κλάσεις πολυπλοκότητας P και NP P: Polynomial ΗκλάσηP περιλαμβάνει όλα τα υπολογιστικά προβλήματα που μπορούν
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΚατανεμημένα Συστήματα Ι
Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 27 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 1 Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Προηγούμενη
Διαβάστε περισσότεραILP-Feasibility conp
Διάλεξη 19: 23.12.2014 Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Γραφέας: Χαρίλαος Τζόβας Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 19.1 Θεωρία Πολυπλοκότητας και προβλήματα απόφασης Για να μιλήσουμε για προβλήματα και τον
Διαβάστε περισσότεραΗΥ562 Προχωρημένα Θέματα Βάσεων Δεδομένων Efficient Query Evaluation over Temporally Correlated Probabilistic Streams
ΗΥ562 Προχωρημένα Θέματα Βάσεων Δεδομένων Efficient Query Evaluation over Temporally Correlated Probabilistic Streams Αλέκα Σεληνιωτάκη Ηράκλειο, 26/06/12 aseliniotaki@csd.uoc.gr ΑΜ: 703 1. Περίληψη Συνεισφοράς
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων
Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Αναγάγουμε τν Κ 0 που γνωρίζουμε ότι είναι μη-αναδρομική (μη-επιλύσιμη) στην γλώσσα: L = {p() η μηχανή Turing Μ τερματίζει με είσοδο κενή ταινία;} Δοσμένης της περιγραφής
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθµου Α: Ποσότητα υπολογιστικών πόρων που απαιτεί Α ως αύξουσα συνάρτηση µεγέθους στιγµιότυπου εισόδου. Χρόνος, µνήµη, επεξεργαστές, επικοινωνία,
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Κωνσταντίνου Ελισάβετ
Κρυπτογραφία Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα [1, n] που
Διαβάστε περισσότεραΜορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ
Μαθηματικά Πληροφορικής 4ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισµού Theory of Computation
1 ο µέρος Θεωρία Υπολογισµού Theory of Computation 1 Υπολογισιµότητα - Computability o Υπολογισιµότητα (Computability) n Τι µπορεί να υπολογιστεί και τι όχι; o Υπολογιστική πολυπλοκότητα (Computational
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι)
Κρυπτογραφία Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτοσυστήματα Δημοσίου κλειδιού Αποστολέας P Encryption C Decryption P Παραλήπτης Προτάθηκαν το 1976 Κάθε συμμετέχων στο
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Δημήτριος Μπάκας Αθανάσιος
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση
Πρόλογος του επιµελητή xiii Πρόλογος στην πρώτη έκδοση xv Προς τους ϕοιτητές.......................... xv Προς τους διδάσκοντες........................ xvii Ηπρώτηέκδοση........................... xviii
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 2 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΤο πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)
Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΥποθέσεις - Θεωρήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα. Η χρυσή τομή. Υποθέσεις - Εικασίες
Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Μαθηματικά Πληροορικής ο Μάθημα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity
Υπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity Διδάσκων: Στάθης Ζάχος Επιμέλεια Διαφανειών: Μάκης Αρσένης CoReLab ΣΗΜΜΥ - ΕΜΠ Απρίλιος 2017 Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Καλογερόπουλος Παναγιώτης
Διαβάστε περισσότεραΠίνακες Διασποράς. Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h. Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση
Πίνακες Διασποράς Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση κλειδί k T 0 1 2 3 4 5 6 7 U : χώρος πιθανών κλειδιών Τ : πίνακας μεγέθους
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 1 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα Έκδοση 1.4, 30/10/2014 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 1.2 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα 1. Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Πληροφορικής Πιθανοτικά Εργαλεία. Υποπροσθετικότητα. Η Πιθανοτική Μέθοδος (The Probabilistic Method)
Μαθηματικά Πληροφορικής Πιθανοτικά Εργαλεία Δύο βασικά εργαλεία από τη Θεωρία Πιθανοτήτων. 1 Υποπροσθετικότητα (Union Bound). 2 Γραμμικότητα Αναμενόμενης Τιμής (Linearity of Expectation). Τμήμα Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Απόδοση χειρότερης
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ
1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #10: Αλγόριθμοι Διαίρει & Βασίλευε: Master Theorem, Αλγόριθμοι Ταξινόμησης, Πιθανοτικός
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Stream ciphers Η διαδικασία κωδικοποίησης για έναν stream cipher συνοψίζεται παρακάτω: 1.
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Ελένη Μπακάλη Άρης Παγουρτζής
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού
Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών και Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικού Mετσόβιου Πολυτεχνείου
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία και Πολυπλοκότητα Factoring for large r
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Κρυπτογραφία και Πολυπλοκότητα Factoring for large r Μελισσάρης Παπανικολάου Νικόλαος Α.Μ. 09104221 nikolasm@gmail.com Περίληψη
Διαβάστε περισσότεραΑριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3 Αλγόριθμοι Επιλογής Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Αλγόριθμοι Επιλογής Γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής
Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Παίγνια μηδενικού αθροίσματος PessimisIc play Αμιγείς max-min και
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίηση προβληµάτων
Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Θεωρία γράφων
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΚΛΑΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ
ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΚΛΑΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ Κλάσεις Πολυπλοκότητας Περιλαµβάνουν αναδροµικές γλώσσες Οι γλώσσες ταξινοµούνται στις κλάσεις πολυπλοκότητας ανάλογα µε τη δυσκολία απόφασης τους (ποσότητα απαιτούµενων
Διαβάστε περισσότεραΕπιθέσεις και Ασφάλεια Κρυπτοσυστημάτων
Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών και Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιθέσεις και Ασφάλεια Κρυπτοσυστημάτων Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Διαφάνειες: Παναγιώτης Γροντάς Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Ορισμοί α) Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α Αν η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε Β, όπου Β ένα υποσύνολο του Α, θα λέμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο Β Αν
Διαβάστε περισσότεραF 5 = (F n, F n+1 ) = 1.
Λύσεις Θεμάτων Θεωρίας Αριθμών 1. (α) Να δειχθεί ότι ο πέμπτος αριθμός της μορφής Fermat, δηλαδή ο F 5 2 25 + 1 διαιρείται από το 641. (β) Εστω F n η ακολουθία των αριθμών Fermat, δηλαδή F n 2 2n + 1,
Διαβάστε περισσότεραW i. Subset Sum Μια παραλλαγή του προβλήματος knapsack είναι το πρόβλημα Subset Sum, το οποίο δεν λαμβάνει υπόψιν την αξία των αντικειμένων:
6/4/2017 Μετά την πρόταση των ασύρματων πρωτοκόλλων από τους Diffie-Hellman το 1976, το 1978 προτάθηκε ένα πρωτόκολλο από τους Merkle-Hellman το οποίο βασίστηκε στο ότι δεν μπορούμε να λύσουμε γρήγορα
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι
Θέματα Απόδοσης Αλγορίθμων 1 Η Ανάγκη για Δομές Δεδομένων Οι δομές δεδομένων οργανώνουν τα δεδομένα πιο αποδοτικά προγράμματα Πιο ισχυροί υπολογιστές πιο σύνθετες εφαρμογές Οι πιο σύνθετες εφαρμογές απαιτούν
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Επιθέσεις και Ασφάλεια Κρυπτοσυστημάτων Διδάσκοντες: Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Διαφάνειες: Παναγιώτης Γροντάς Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων
Διαβάστε περισσότεραΜη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα
Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Μη ντετερμινιστική
Διαβάστε περισσότεραChapter 12 Cryptography
Chapter 12 Cryptography Σακαβάλας Δημ ήτρης Δ ΠΜΣ Εφαρμοσμ ένες μαθημ ατικές επιστήμ ες Σχη μ ατική αναπαράσταση κρυπτοσυστή μ ατος Κλειδί κρυπτογράφησης : e Κλειδί αποκρυπτογράφησης : d (ιδιωτικό) Αλγόριθμ
Διαβάστε περισσότεραΜοντέλα και Αποδείξεις Ασφάλειας στην Κρυπτογραφία
Μοντέλα και Αποδείξεις Ασφάλειας στην Κρυπτογραφία Παναγιώτης Γροντάς ΕΜΠ - Κρυπτογραφία 09/10/2015 1 / 46 (ΕΜΠ - Κρυπτογραφία) Μοντέλα και Αποδείξεις Ασφάλειας στην Κρυπτογραφία Περιεχόμενα Ορισμός Κρυπτοσυστήματος
Διαβάστε περισσότερα4.3 Ορθότητα και Πληρότητα
4.3 Ορθότητα και Πληρότητα Συστήματα αποδείξεων όπως η μορφολογική παραγωγή και η κατασκευή μοντέλων χρησιμοποιούνται για να δείξουμε την εγκυρότητα εξαγωγών συμπερασμάτων. Ένα σύστημα αποδείξεων μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και
Α ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις, όταν: () με R και (). Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Το πεδίο ορισμού της είναι A R. Επομένως A A R Α Θα εξετάσουμε αν για κάθε R ισχύει.
Διαβάστε περισσότερα