Πίνακες Διασποράς. Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h. Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πίνακες Διασποράς. Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h. Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση"

Transcript

1 Πίνακες Διασποράς Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση κλειδί k T U : χώρος πιθανών κλειδιών Τ : πίνακας μεγέθους m συνάρτηση διασποράς

2 Καθολική Διασπορά Για κάθε καθορισμένη συνάρτηση διασποράς μπορούμε να επιλέξουμε κλειδιά που θα δίνουν τη χειρότερη δυνατή επίδοση. Προκειμένου να βελτιώσουμε την κατάσταση μπορούμε να βασιστούμε σε τυχαιοκρατικούς αλγόριθμους: Ορίζουμε μία οικογένεια συναρτήσεων και κατά τη διάρκεια της εκτέλεσης επιλέγουμε τυχαία μία από αυτές τις συναρτήσεις ως συνάρτηση διασποράς. Περιορίζουμε την πιθανότητα εμφάνισης παθολογικών περιπτώσεων.

3 Καθολική Διασπορά πεπερασμένη συλλογή συναρτήσεων Η συλλογή είναι καθολική αν για κάθε ζεύγος διαφορετικών κλειδιών υπάρχουν το πολύ συναρτήσεις με

4 Καθολική Διασπορά πεπερασμένη συλλογή συναρτήσεων Η συλλογή είναι καθολική αν για κάθε ζεύγος διαφορετικών κλειδιών υπάρχουν το πολύ συναρτήσεις με Συνεπώς

5 Καθολική Διασπορά πεπερασμένη συλλογή συναρτήσεων Η συλλογή είναι καθολική αν για κάθε ζεύγος διαφορετικών κλειδιών υπάρχουν το πολύ συναρτήσεις με Συνεπώς Πιθανότητα σύμπτωσης όταν και επιλέγονται τυχαία και ανεξάρτητα.

6 Καθολική Διασπορά σύμπαν καθολική συλλογή συναρτήσεων διασποράς που αντιστοιχίζει το στο σύνολο αυθαίρετο υποσύνολο του με αυθαίρετο στοιχείο του τυχαία επιλεγμένη συνάρτηση της αριθμός στοιχειών με (τυχαία μεταβλητή) Για κάθε έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή Έχουμε Άρα

7 Καθολική Διασπορά Θεώρημα Έστω ότι επιλέγουμε τυχαία και κάνουμε εισαγωγή κλειδιών σε πίνακα μεγέθους. Έστω. Τότε όπου α = n/m ο συντελεστής πληρότητας. Πόρισμα Ο αναμενόμενος χρόνος εκτέλεσης μίας ακολουθίας πράξεων με πράξεις εισαγωγής είναι Συνεπάγεται από το παραπάνω θεώρημα και την παρατήρηση ότι

8 Καθολικές Οικογένειες Συναρτήσεων Διασποράς πρώτος αριθμός, μεγαλύτερος από κάθε κλειδί Για και Παράδειγμα

9 Καθολικές Οικογένειες Συναρτήσεων Διασποράς πρώτος αριθμός, μεγαλύτερος από κάθε κλειδί Για και Περιλαμβάνει συναρτήσεις

10 Καθολικές Οικογένειες Συναρτήσεων Διασποράς Θα δώσουμε ένα ακόμα παράδειγμα καθολικής οικογένειας συναρτήσεων διασποράς H υποθέτοντας ότι : Το σύνολο των πιθανών κλειδιών περιλαμβάνει U = 2 υ τιμές. Οι συναρτήσεις h H αντιστοιχούν το U σε ένα σύνολο με m = 2 μ τιμές. Άρα ουσιαστικά οι συναρτήσεις της H αντιστοιχούν διανύσματα x (ακολουθίες) των υ bits σε διανύσματα y των μ bits. x 0 1 y υ bits h μ bits

11 Καθολικές Οικογένειες Συναρτήσεων Διασποράς Θα δώσουμε ένα ακόμα παράδειγμα καθολικής οικογένειας συναρτήσεων διασποράς H υποθέτοντας ότι : Το σύνολο των πιθανών κλειδιών περιλαμβάνει U = 2 υ τιμές. Οι συναρτήσεις h H αντιστοιχούν το U σε ένα σύνολο με m = 2 μ τιμές. Άρα ουσιαστικά οι συναρτήσεις της H αντιστοιχούν διανύσματα x (ακολουθίες) των υ bits σε διανύσματα y των μ bits. x 0 1 y Μπορούμε να λάβουμε μια τέτοια αντιστοιχία πολλαπλασιάζοντας το x με ένα μ υ πίνακα Α υ bits h μ bits A x = y 0 1

12 Καθολικές Οικογένειες Συναρτήσεων Διασποράς Θα δώσουμε ένα ακόμα παράδειγμα καθολικής οικογένειας συναρτήσεων διασποράς H υποθέτοντας ότι : Το σύνολο των πιθανών κλειδιών περιλαμβάνει U = 2 υ τιμές. Οι συναρτήσεις h H αντιστοιχούν το U σε ένα σύνολο με m = 2 μ τιμές. Άρα ουσιαστικά οι συναρτήσεις της H αντιστοιχούν διανύσματα x (ακολουθίες) των υ bits σε διανύσματα y των μ bits. Μπορούμε να λάβουμε μια τέτοια αντιστοιχία πολλαπλασιάζοντας το x με ένα Boolean μ υ πίνακα Α, δηλαδή έχουμε y = h(x) = Ax, όπου οι πράξεις γίνονται modulo 2 (δηλαδή = = 0 και = = 1). Η οικογένεια H ορίζεται από όλους τους 2 μυ Boolean μ υ πίνακες Α.

13 Καθολικές Οικογένειες Συναρτήσεων Διασποράς Η οικογένεια H ορίζεται από όλους τους 2 μυ Boolean μ υ πίνακες Α. Θεώρημα Η οικογένεια συναρτήσεων διασποράς H είναι καθολική. Απόδειξη Έστω A ένας τυχαίος Boolean μ υ πίνακας και έστω x y διανύσματα του 0,1 υ. Θα δείξουμε ότι η πιθανότητα σύγκρουσης h(x) = h(y) είναι το πολύ 1/m, δηλαδή Pr h H h x = h(y) 1/m. Έστω h(x) = h(y). Θέτουμε z = x y. Έχουμε Ax = Ay A x y = 0 Az = 0, όπου 0 = το διάνυσμα του 0,1 μ με όλες τις μ συνιστώσες μηδέν. Άρα θέλουμε να δείξουμε ότι Pr h H h z = 0 = Pr h H Az = 0 1/m.

14 Καθολικές Οικογένειες Συναρτήσεων Διασποράς Η οικογένεια H ορίζεται από όλους τους 2 μυ Boolean μ υ πίνακες Α. Θεώρημα Η οικογένεια συναρτήσεων διασποράς H είναι καθολική. Απόδειξη Άρα θέλουμε να δείξουμε ότι Pr h H h z = 0 = Pr h H Az = 0 1/m. Έστω q = q 1, q 2,, q μ = Az. Η συνιστώσα q i προκύπτει από το εσωτερικό γινόμενο της γραμμής i του A με το διάνυσμα z. A i z = q i Εφόσον z = x y και x y, το z έχει τουλάχιστον μία μη μηδενική συνιστώσα, έστω υ z k = 1. Έχουμε q i = σ j=1 A ij z j = A ik z k + σ j k A ij z j = A ik + σ j k A ij z j.

15 Καθολικές Οικογένειες Συναρτήσεων Διασποράς Η οικογένεια H ορίζεται από όλους τους 2 μυ Boolean μ υ πίνακες Α. Θεώρημα Η οικογένεια συναρτήσεων διασποράς H είναι καθολική. Απόδειξη Άρα θέλουμε να δείξουμε ότι Pr h H h z = 0 = Pr h H Az = 0 1/m. Έστω q = q 1, q 2,, q μ = Az. Η συνιστώσα q i προκύπτει από το εσωτερικό γινόμενο της γραμμής i του A με το διάνυσμα z. Επομένως, q i = 0 A ik = σ j k A ij z j. Με τι πιθανότητα μπορεί να συμβεί αυτό;

16 Καθολικές Οικογένειες Συναρτήσεων Διασποράς Η οικογένεια H ορίζεται από όλους τους 2 μυ Boolean μ υ πίνακες Α. Θεώρημα Η οικογένεια συναρτήσεων διασποράς H είναι καθολική. Απόδειξη Άρα θέλουμε να δείξουμε ότι Pr h H h z = 0 = Pr h H Az = 0 1/m. Έστω q = q 1, q 2,, q μ = Az. Η συνιστώσα q i προκύπτει από το εσωτερικό γινόμενο της γραμμής i του A με το διάνυσμα z. Επομένως, q i = 0 A ik = σ j k A ij z j. Με τι πιθανότητα μπορεί να συμβεί αυτό; Αφού ο πίνακας A είναι τυχαίος, κάθε στοιχείο του επιλέγεται ανεξάρτητα. Επομένως, μπορούμε να υποθέσουμε ότι η τιμή (0 ή 1) του στοιχείου A ik επιλέγεται τελευταία. Τη στιγμή που επιλέγουμε αυτήν την τιμή, το άθροισμα c = σ j k A ij z j είναι καθορισμένο, δηλαδή είναι μια σταθερά c 0,1. Συνεπώς η πιθανότητα να επιλέξουμε A ik = c είναι 1/2.

17 Καθολικές Οικογένειες Συναρτήσεων Διασποράς Η οικογένεια H ορίζεται από όλους τους 2 μυ Boolean μ υ πίνακες Α. Θεώρημα Η οικογένεια συναρτήσεων διασποράς H είναι καθολική. Απόδειξη Άρα θέλουμε να δείξουμε ότι Pr h H h z = 0 = Pr h H Az = 0 1/m. Έστω q = q 1, q 2,, q μ = Az. Η συνιστώσα q i προκύπτει από το εσωτερικό γινόμενο της γραμμής i του A με το διάνυσμα z. Επομένως, q i = 0 A ik = σ j k A ij z j. Η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι 1/2. Το ίδιο ισχύει για κάθε συνιστώσα i {1,2,, μ}, δηλαδή μ Pr h H h x = h(y) = Pr h H Az = 0 = 1 2 = 1 m

18 Πλήρης Διασπορά Όταν το σύνολο των κλειδιών είναι στατικό μπορούμε να πετύχουμε άριστη επίδοση : O(1) χρόνο χειρότερης περίπτωσης ανά πράξη

19 Πλήρης Διασπορά Όταν το σύνολο των κλειδιών είναι στατικό μπορούμε να πετύχουμε άριστη επίδοση : O(1) χρόνο χειρότερης περίπτωσης ανά πράξη k 5 k 2 k 5 T 0 Ιδέα: Διασπορά δύο επιπέδων με χρήση καθολικής διασποράς ανά επίπεδο K k 2 k 1 k 4 k 1 k 3 k 4 k 3 m-1

20 Πλήρης Διασπορά Όταν το σύνολο των κλειδιών είναι στατικό μπορούμε να πετύχουμε άριστη επίδοση : O(1) χρόνο χειρότερης περίπτωσης ανά πράξη k 5 k 2 k 5 T 0 Ιδέα: Διασπορά δύο επιπέδων με χρήση καθολικής διασποράς ανά επίπεδο K k 2 k 1 k 4 k 1 k 3 k 4 k 3 m-1 2 ο επίπεδο : δευτερογενής πίνακας διασποράς για κάθεt[i] 1 ο επίπεδο

21 Πλήρης Διασπορά Όταν το σύνολο των κλειδιών είναι στατικό μπορούμε να πετύχουμε άριστη επίδοση : O(1) χρόνο χειρότερης περίπτωσης ανά πράξη k 5 k 2 k 5 T 0 Ιδέα: Διασπορά δύο επιπέδων με χρήση καθολικής διασποράς ανά επίπεδο K k 2 k 1 k 4 k 1 k 3 k 4 k 3 m-1 2 ο επίπεδο : δευτερογενής πίνακας διασποράς για κάθεt[i] 1 ο επίπεδο Στο 2 ο επίπεδο αποφεύγουμε τις συμπτώσεις

22 Πλήρης Διασπορά Παράδειγμα Συνάρτηση διασποράς 1ου επιπέδου : Συνάρτηση διασποράς 2ου επιπέδου :

23 Πλήρης Διασπορά πρωτογενής πίνακας διασποράς με δευτερογενής πίνακας διασποράς με θέσεις και συνάρτηση διασποράς θέσεις και συνάρτηση διασποράς Έστω ο συνολικός αριθμός κλειδιών και ο αριθμός των κλειδιών που αποθηκεύονται στον. Για να αποφύγουμε τις συγκρούσεις στο δεύτερο επίπεδο θα επιλέξουμε. Θα δείξουμε ότι για κατάλληλα επιλεγμένη απαιτείται για τους δευτερογενείς πίνακες είναι ο αναμενόμενος χώρος που

24 Πλήρης Διασπορά Επιλέγουμε την πρωτογενή συνάρτηση διασποράς οικογένεια. από την καθολική Επιλέγουμε κάθε δευτερογενή συνάρτηση διασποράς οικογένεια. από την καθολική

25 Πλήρης Διασπορά Θεώρημα Έστω ότι επιλέγουμε τυχαία μια συνάρτηση διασποράς από καθολική οικογένεια συναρτήσεων διασποράς. Αν αποθηκεύσουμε κλειδιά και το μέγεθος του πίνακα διασποράς είναι τότε η πιθανότητα να υπάρχει σύγκρουση είναι. Ο αριθμός των πιθανών συγκρούσεων είναι κλειδιών., όσα τα διαφορετικά ζεύγη Από τον τρόπο επιλογής της ζεύγους κλειδιών είναι το πολύ. προκύπτει ότι η πιθανότητα σύγκρουσης ενός Άρα ο αναμενόμενος αριθμός συγκρούσεων είναι Από την ανισότητα του Markov έχουμε

26 Πλήρης Διασπορά Θεώρημα Έστω ότι επιλέγουμε τυχαία μια συνάρτηση διασποράς από καθολική οικογένεια συναρτήσεων διασποράς. Αν αποθηκεύσουμε κλειδιά και το μέγεθος του πίνακα διασποράς είναι τότε η πιθανότητα να υπάρχει σύγκρουση είναι. Το παραπάνω θεώρημα συνεπάγεται ότι για μπορούμε να βρούμε με λίγες δοκιμές μια συνάρτηση διασποράς που να μην έχει συγκρούσεις για το σύνολο των κλειδιών που αποθηκεύεται στον.

27 Πλήρης Διασπορά Απομένει να επιλέξουμε μια πρωτογενή συνάρτηση διασποράς έτσι ώστε Θεώρημα Έστω ότι επιλέγουμε τυχαία μια συνάρτηση διασποράς από καθολική οικογένεια συναρτήσεων διασποράς. Αν αποθηκεύσουμε κλειδιά και το μέγεθος του πίνακα διασποράς είναι τότε

28 Πλήρης Διασπορά Θεώρημα Έστω ότι επιλέγουμε τυχαία μια συνάρτηση διασποράς από καθολική οικογένεια συναρτήσεων διασποράς. Αν αποθηκεύσουμε κλειδιά και το μέγεθος του πίνακα διασποράς είναι τότε Για κάθε μη αρνητικό ακέραιο ισχύει άρα έχουμε Καθώς απομένει να δείξουμε ότι

29 Πλήρης Διασπορά Θεώρημα Έστω ότι επιλέγουμε τυχαία μια συνάρτηση διασποράς από καθολική οικογένεια συναρτήσεων διασποράς. Αν αποθηκεύσουμε κλειδιά και το μέγεθος του πίνακα διασποράς είναι τότε Παρατηρούμε ότι αναμενόμενο πλήθος συγκρούσεων, άρα από την επιλογή της έχουμε

30 Πλήρης Διασπορά Θεώρημα Έστω ότι επιλέγουμε τυχαία μια συνάρτηση διασποράς από καθολική οικογένεια συναρτήσεων διασποράς. Αν αποθηκεύσουμε κλειδιά και το μέγεθος του πίνακα διασποράς είναι τότε Άρα ο αναμενόμενος χώρος που απαιτείται για την αποθήκευση όλων των δευτερογενών πινάκων είναι Από την ανισότητα του Markov έχουμε Δηλαδή μπορούμε να βρούμε με λίγες δοκιμές μια κατάλληλη πρωτογενή συνάρτηση διασποράς.

31 Πλήρης Διασπορά Η τεχνική της πλήρους διασποράς μπορεί να επεκταθεί και σε δυναμικά σύνολα [Dietzfelbinger, Karlin, Mehlhorn, Meyer auf der Heide, Rohnert, and Tarjan, 1994] : αντισταθμιστίκο αναμενόμενο κόστος ανά εισαγωγή και διαγραφή.

32 k-καθολική Διασπορά H = πεπερασμένη συλλογή συναρτήσεων διασποράς U K, U > K = m Η συλλογή H είναι k-καθολική (ή k-ανεξάρτητη) αν για κάθε k διαφορετικά κλειδιά x 1, x 2,, x k και k τιμές a 1, a 2,, a k (όχι απαραίτητα διαφορετικές) ισχύει Pr h H h x 1 = a 1 h x 2 = a 2 h x k = a k 1 m k Ιδιότητες Αν η H είναι k-καθολική τότε είναι και (k 1)-καθολική (και καθολική) Για κάθε x U και a K ισχύει Pr h H h x = a = 1/m

33 k-καθολική Διασπορά Η οικογένεια H ορίζεται από όλους τους 2 μυ Boolean μ υ πίνακες Α. Θεώρημα Η οικογένεια συναρτήσεων διασποράς H είναι καθολική. Παρατήρηση Η παραπάνω οικογένεια δεν είναι 2-καθολική Π.χ. για x = 0 έχουμε h(x) = Ax = 0 ανεξάρτητα από την επιλογή του A, δηλαδή Pr h H h x = 0 = 1. Μπορούμε όμως να λάβουμε μια 2-καθολική οικογένεια αν θέσουμε h x = Ax + b όπου b ένα τυχαίο διάνυσμα του 0,1 μ.

34 Φίλτρα Bloom [B. H. Bloom 1970] Απλή δομή δεδομένων η οποία απαντά γρήγορα αν ένα στοιχείο ανήκει σε ένα σύνολο S Βασικές λειτουργίες ανήκει(s, x): ελέγχει αν x S εισαγωγή(s, x): θέτει S S x Ένα φίλτρο Bloom επιτρέπει λανθασμένες θετικές απαντήσεις, δηλαδή μπορεί να επιστρέψει ανήκει(s, x) = true για x S, αλλά με πολύ μικρή πιθανότητα. Γι' αυτό και ονομάζεται «φίλτρο»! (Σε περίπτωση που λάβουμε θετική απάντηση μπορούμε να αναζητήσουμε το x σε μια άλλη δομή η οποία δίνει πάντα τη σωστή απάντηση αλλά μπορεί να είναι πιο αργή.) Τα φίλτρα Bloom χρησιμοποιούνται σε πολλές εφαρμογές κυρίως σε δίκτυα (π.χ. αναφέρεται ότι τα χρησιμοποιεί το Google Chrome), αλλά και αλλού.

35 Φίλτρα Bloom Η δομή αποτελείται από ένα Boolean πίνακα T μεγέθους m και k συναρτήσεις διασποράς h 1, h 2,, h k U {0,1,, m 1} Για την ανάλυση υποθέτουμε ότι οι συναρτήσεις διασποράς ικανοποιούν την υπόθεση της απλής ομοιόμορφης διασποράς: Υπόθεση απλής ομοιόμορφης διασποράς: κάθε νέο στοιχείο που εισαγάγουμε έχει ίση πιθανότητα να διασπαρεί σε οποιαδήποτε από τις m θέσεις του πίνακα T Αρχικά θέτουμε T[i] 0 για i = 0,1,, m 1 εισαγωγή(s, x): θέτουμε όλα τα bit T h 1 (x), T h 2 (x),, T h k x να είναι 1 ανήκει(s, x): επιστρέφουμε true αν όλα τα bit T h 1 (x), T h 2 (x),, T h k x είναι 1, διαφορετικά επιστρέφουμε false

36 Φίλτρα Bloom Αρχικά θέτουμε T[i] 0 για i = 0,1,, m 1 εισαγωγή(s, x): θέτουμε όλα τα bit T h 1 (x), T h 2 (x),, T h k x να είναι 1 T ανήκει(s, x): επιστρέφουμε true αν όλα τα bit T h 1 (x), T h 2 (x),, T h k x είναι 1, διαφορετικά επιστρέφουμε false

37 Φίλτρα Bloom Αρχικά θέτουμε T[i] 0 για i = 0,1,, m 1 εισαγωγή(s, x): θέτουμε όλα τα bit T h 1 (x), T h 2 (x),, T h k x να είναι 1 T h 1 (x) h 2 (x) x h 3 (x) ανήκει(s, x): επιστρέφουμε true αν όλα τα bit T h 1 (x), T h 2 (x),, T h k x είναι 1, διαφορετικά επιστρέφουμε false

38 Φίλτρα Bloom Αρχικά θέτουμε T[i] 0 για i = 0,1,, m 1 εισαγωγή(s, x): θέτουμε όλα τα bit T h 1 (x), T h 2 (x),, T h k x να είναι 1 T h 2 (y) h 1 (y) y h 3 (y) ανήκει(s, x): επιστρέφουμε true αν όλα τα bit T h 1 (x), T h 2 (x),, T h k x είναι 1, διαφορετικά επιστρέφουμε false

39 Φίλτρα Bloom Η δομή αποτελείται από ένα Boolean πίνακα T μεγέθους m και k συναρτήσεις διασποράς h 1, h 2,, h k U {0,1,, m 1} Για την ανάλυση υποθέτουμε ότι οι συναρτήσεις διασποράς ικανοποιούν την υπόθεση της απλής ομοιόμορφης διασποράς: Υπόθεση απλής ομοιόμορφης διασποράς: κάθε νέο στοιχείο που εισαγάγουμε έχει ίση πιθανότητα να διασπαρεί σε οποιαδήποτε από τις m θέσεις του πίνακα T Έστω ένα αυθαίρετο στοιχείο x U και θέση λ 0,1,, m 1 Τότε Pr h i x λ = 1 1/m. Άρα αν κάνουμε n εισαγωγές, η πιθανότητα να έχουμε T λ = 0 είναι p = 1 1/m kn e kn/m

40 Φίλτρα Bloom Έστω ένα αυθαίρετο στοιχείο x U και θέση λ 0,1,, m 1 Τότε Pr h i x λ = 1 1/m. Άρα αν κάνουμε n εισαγωγές, η πιθανότητα να έχουμε T λ = 0 είναι p = 1 1/m kn e kn/m Υπολογίζουμε τώρα την πιθανότητα το φίλτρο Bloom να δώσει λάθος θετική απάντηση. Έστω x S αλλά ανήκει(s, x) = true. Τότε T h 1 (x) = = T h k x = 1 το οποίο συμβαίνει με πιθανότητα (1 p) k 1 e kn/m k Π.χ. για m = 8n και k = 4 έχουμε πιθανότητα σφάλματος < 2,5% Βέλτιστο k = ln 2 m/n. Αν θέλουμε πιθανότητα σφάλματος < ε μπορούμε να θέσουμε m 1.44n log 1/ε

41 Κατανομή Φόρτου Εργασίας Έστω ότι έχουμε n εργασίες οι οποίες πρέπει να εκτελεστούν σε m υπολογιστές. Πως μπορούμε να αναθέσουμε τις εργασίες στους υπολογιστές έτσι ώστε οι υπολογιστές να έχουν περίπου τον ίδιο φορτίο; Αυτό επιτυγχάνεται εύκολα αν έχουμε μια κεντρική εργασία η οποία μπορεί να αναθέτει κάθε νέα εργασία σε κάποιον υπολογιστή, γνωρίζοντας το φορτίο κάθε υπολογιστή. Αν δεν υπάρχει αυτή η δυνατότητα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε συναρτήσεις διασποράς οι οποίες αντιστοιχούν το σύνολο των εργασιών U στους m υπολογιστές.

42 Κατανομή Φόρτου Εργασίας Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. Α Β Γ Δ Έστω η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. Ποια η πιθανότητα να πάνε ακριβώς σε μία συγκεκριμένη κάλπη; διωνυμική κατανομή

43 Κατανομή Φόρτου Εργασίας Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε Έστω κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. Ποια η πιθανότητα να πάνε ακριβώς σε μία συγκεκριμένη κάλπη; διωνυμική κατανομή τυχαία μεταβλητή αριθμός σφαιριδίων σε μία συγκεκριμένη κάλπη

44 Κατανομή Φόρτου Εργασίας Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε Έστω κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. Ποια η πιθανότητα να πάνε ακριβώς σε μία συγκεκριμένη κάλπη; διωνυμική κατανομή τυχαία μεταβλητή αριθμός σφαιριδίων σε μία συγκεκριμένη κάλπη

45 Κατανομή Φόρτου Εργασίας Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε Έστω κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. Ποια η πιθανότητα να πάνε ακριβώς σε μία συγκεκριμένη κάλπη; διωνυμική κατανομή τυχαία μεταβλητή αριθμός σφαιριδίων σε μία συγκεκριμένη κάλπη αναμενόμενος αριθμός σφαιριδίων σε μία κάλπη

46 Κατανομή Φόρτου Εργασίας Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε Έστω κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. τυχαία μεταβλητή αριθμός σφαιριδίων σε μία συγκεκριμένη κάλπη αναμενόμενος αριθμός σφαιριδίων σε μία κάλπη

47 Κατανομή Φόρτου Εργασίας Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε Έστω κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. τυχαία μεταβλητή αριθμός σφαιριδίων σε μία συγκεκριμένη κάλπη αναμενόμενος αριθμός σφαιριδίων σε μία κάλπη Ο υπολογισμός με τη βοήθεια δεικτριών τυχαίων μεταβλητών είναι πολύ πιο απλός!

48 Κατανομή Φόρτου Εργασίας Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε Έστω κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. τυχαία μεταβλητή αριθμός σφαιριδίων σε μία συγκεκριμένη κάλπη η i-οστη σφαίρα δεν πάει στο συγκεκριμένο κουτί η i-οστη σφαίρα πάει στο συγκεκριμένο κουτί Έχουμε

49 Κατανομή Φόρτου Εργασίας Άρα αν τοποθετήσουμε n εργασίες σε n υπολογιστές με τυχαίο τρόπο τότε το αναμενόμενο φορτίο ανά υπολογιστή είναι 1 εργασία. Ωστόσο μπορούμε να δείξουμε ότι Θεώρημα Το μέγιστο φορτίο ενός υπολογιστή είναι Ο 1 1/n log n log log n με πιθανότητα Σημείωση: Όταν η ανάθεση γίνεται με συνάρτηση διασποράς h, τότε για να ισχύει το παραπάνω θεώρημα πρέπει η h να προέρχεται από k-καθολική log n οικογένεια για k = Ο log log n Μπορούμε να βελτιώσουμε το άνω φράγμα του θεωρήματος με τη βοήθεια περισσότερων συναρτήσεων διασποράς h 1,, h d Κάθε εργασία x αντιστοιχείται σε d 2 υπολογιστές h 1 (x),, h d (x) και τοποθετείται σε αυτόν με το ελάχιστο φορτίο.

50 Κατανομή Φόρτου Εργασίας Χρησιμοποιούμε συναρτήσεις διασποράς h 1,, h d Κάθε εργασία x αντιστοιχείται σε d 2 υπολογιστές h 1 (x),, h d (x) και τοποθετείται σε αυτόν με το ελάχιστο φορτίο. Θεώρημα 1 Ο 1/n Το μέγιστο φορτίο ενός υπολογιστή είναι ln ln n ln d με πιθανότητα

51 Διασπορά του Κούκου (Cuckoo Hashing) Μέθοδος κατακερματισμού ανοικτής διευθυνσιοδότησης, η οποία χρησιμοποιεί την ιδέα των 2 επιλογών. Οι συγκρούσεις επιλύονται με «έξωση» του προηγούμενου κλειδιού. Έχουμε δύο πίνακες διασποράς, T 1 και T 2, m θέσεων και αντίστοιχες συναρτήσεις διασποράς h 1, h 2 : U 0,, m 1, από κάποια οικογένεια H. Εισαγωγή κλειδιού x : Αν κάποια από τις θέσεις T 1 h 1 (x) και T 2 h 2 (x) είναι κενή, τοποθετούμε το εκεί το x. Διαφορετικά έστω ότι T 1 h 1 (x) = y. Κάνουμε «έξωση» στο κλειδί y και τοποθετούμε το x στη θέση του. Όταν γίνεται έξωση σε ένα κλειδί z από τη θέση T j h j (z) (για κάποιο j 1,2 ), τοποθετούμε το z στη θέση T 3 j h 3 j (z), κάνοντας ενδεχομένως έξωση σε κάποιο άλλο κλειδί. Αν συμβούν O log n εξώσεις, επιλέγουμε διαφορετικές συναρτήσεις διασποράς και τοποθετούμε από την αρχή όλα τα αντικείμενα.

52 Διασπορά του Κούκου (Cuckoo Hashing) Μέθοδος κατακερματισμού ανοικτής διευθυνσιοδότησης, η οποία χρησιμοποιεί την ιδέα των 2 επιλογών. Οι συγκρούσεις επιλύονται με «έξωση» του προηγούμενου κλειδιού. Έχουμε δύο πίνακες διασποράς, T 1 και T 2, m θέσεων και αντίστοιχες συναρτήσεις διασποράς h 1, h 2 : U 0,, m 1, από κάποια οικογένεια H. Κάθε κλειδί x βρίσκεται σε μία από τις θέσεις T 1 h 1 (x) και T 2 h 2 (x), άρα η αναζήτηση και η διαγραφή γίνονται σε Ο(1). Για να έχουμε καλή απόδοση στις εισαγωγές πρέπει το m να είναι αρκετά μεγάλο. Θεώρημα Για m 4n, ο αναμενόμενος χρόνος εισαγωγής είναι Ο(1)

Δυναμικά Σύνολα. Δυναμικό σύνολο. Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής και διαγραφής. διαγραφή. εισαγωγή

Δυναμικά Σύνολα. Δυναμικό σύνολο. Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής και διαγραφής. διαγραφή. εισαγωγή Δυναμικά Σύνολα Δυναμικό σύνολο Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής και διαγραφής διαγραφή εισαγωγή Δυναμικά Σύνολα Δυναμικό σύνολο Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικά Σύνολα. Δυναμικό σύνολο. Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής και διαγραφής. διαγραφή. εισαγωγή

Δυναμικά Σύνολα. Δυναμικό σύνολο. Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής και διαγραφής. διαγραφή. εισαγωγή Δυναμικά Σύνολα Δυναμικό σύνολο Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής και διαγραφής διαγραφή εισαγωγή Δυναμικά Σύνολα Δυναμικό σύνολο Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Αναζήτησης. εισαγωγή αναζήτηση επιλογή. εισαγωγή. αναζήτηση

Δομές Αναζήτησης. εισαγωγή αναζήτηση επιλογή. εισαγωγή. αναζήτηση Δομές Αναζήτησης χειρότερη περίπτωση μέση περίπτωση εισαγωγή αναζήτηση επιλογή εισαγωγή αναζήτηση διατεταγμένος πίνακας διατεταγμένη λίστα μη διατεταγμένος πίνακας μη διατεταγμένη λίστα δένδρο αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι

Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Πιθανότητες και Αλγόριθμοι Ανάλυση μέσης περίπτωσης Μελέτα τη συμπεριφορά ενός αλγορίθμου σε μια «μέση» είσοδο (ως προς κάποια κατανομή) Τυχαιοκρατικός αλγόριθμος Λαμβάνει τυχαίες αποφάσεις καθώς επεξεργάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Συμβόλων. εισαγωγή αναζήτηση επιλογή. εισαγωγή. αναζήτηση

Πίνακες Συμβόλων. εισαγωγή αναζήτηση επιλογή. εισαγωγή. αναζήτηση Πίνακες Συμβόλων χειρότερη περίπτωση μέση περίπτωση εισαγωγή αναζήτηση επιλογή εισαγωγή αναζήτηση διατεταγμένος πίνακας διατεταγμένη λίστα μη διατεταγμένος πίνακας μη διατεταγμένη λίστα δένδρο αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

Advanced Data Indexing

Advanced Data Indexing Advanced Data Indexing (Προηγμένη ευρετηρίαση δεδομένων) Κατακερματισμός Hashing (1ο Μέρος) Η Αναζήτηση απαιτεί Δομές Λύσεις Για να υποστηριχθεί η αποδοτική αναζήτηση απαιτείται η χρήση κατάλληλων δομών-ευρετηρίων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφα λαιο 9 Κατακερματισμός

Κεφα λαιο 9 Κατακερματισμός Κεφα λαιο 9 Κατακερματισμός Περιεχόμενα 9.1 Εισαγωγή... 197 9.2 Συναρτήσεις Κατακερματισμού... 199 9.3 Επίλυση συγκρούσεων... 200 9.3.1 Ξεχωριστές αλυσίδες... 200 9.3.2 Μεταβλητές διευθύνσεις... 201 Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΑΤΔ Λεξικό. Σύνολο στοιχείων με βασικές πράξεις: Δημιουργία Εισαγωγή Διαγραφή Μέλος. Υλοποιήσεις

Ο ΑΤΔ Λεξικό. Σύνολο στοιχείων με βασικές πράξεις: Δημιουργία Εισαγωγή Διαγραφή Μέλος. Υλοποιήσεις Ο ΑΤΔ Λεξικό Σύνολο στοιχείων με βασικές πράξεις: Δημιουργία Εισαγωγή Διαγραφή Μέλος Υλοποιήσεις Πίνακας με στοιχεία bit (0 ή 1) (bit vector) Λίστα ακολουθιακή (πίνακας) ή συνδεδεμένη Είναι γνωστό το μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Κατακερματισμός. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Κατακερματισμός. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Κατακερματισμός Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Λεξικό Dictionary Ένα λεξικό (dictionary) είναι ένας αφηρημένος τύπος δεδομένων (ΑΤΔ) που διατηρεί

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικά Σύνολα. Δυναμικό σύνολο. Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής και διαγραφής. διαγραφή. εισαγωγή

Δυναμικά Σύνολα. Δυναμικό σύνολο. Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής και διαγραφής. διαγραφή. εισαγωγή Δυναμικά Σύνολα Δυναμικό σύνολο Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής και διαγραφής διαγραφή εισαγωγή Δυναμικά Σύνολα Δυναμικό σύνολο Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Advanced Data Indexing

Advanced Data Indexing Advanced Data Indexing (Προηγμένη ευρετηρίαση δεδομένων) Κατακερματισμός - Hashing (2 ο Μέρος) Μέθοδοι Κατακερματισμού integer universe Direct Addressing Hashing with chaining Hashing by Division Hashing

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 α) Η δομή σταθμισμένης ένωσης με συμπίεση διαδρομής μπορεί να τροποποιηθεί πολύ εύκολα ώστε να υποστηρίζει τις

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση αλγορίθμων. Χρόνος εκτέλεσης: Αναμενόμενη περίπτωση. - απαιτεί γνώση της κατανομής εισόδου

Ανάλυση αλγορίθμων. Χρόνος εκτέλεσης: Αναμενόμενη περίπτωση. - απαιτεί γνώση της κατανομής εισόδου Ανάλυση αλγορίθμων Παράμετροι απόδοσης ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, επικοινωνία (π.χ. σε κατανεμημένα συστήματα) Προσπάθεια υλοποίησης Ανάλυση της απόδοσης Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 23: Τεχνικές Κατακερματισμού II (Hashing)

Διάλεξη 23: Τεχνικές Κατακερματισμού II (Hashing) ΕΠΛ231 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 1 Διάλεξη 23: Τεχνικές Κατακερματισμού II (Hashing) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Διαχείριση Συγκρούσεων με Ανοικτή Διεύθυνση a) Linear

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 27 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 1 Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Προηγούμενη

Διαβάστε περισσότερα

EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata

EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata Εστω f : X Y μια εμφύτευση του μετρικού χώρου (X, ρ) στο χώρο με νόρμα (Y, ). Η παραμόρφωση της f ορίζεται ως εξής: f(x) f(y) ρ(x, y) dist(f) = sup sup x y ρ(x, y)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής Πιθανοτικά Εργαλεία. Υποπροσθετικότητα. Η Πιθανοτική Μέθοδος (The Probabilistic Method)

Μαθηματικά Πληροφορικής Πιθανοτικά Εργαλεία. Υποπροσθετικότητα. Η Πιθανοτική Μέθοδος (The Probabilistic Method) Μαθηματικά Πληροφορικής Πιθανοτικά Εργαλεία Δύο βασικά εργαλεία από τη Θεωρία Πιθανοτήτων. 1 Υποπροσθετικότητα (Union Bound). 2 Γραμμικότητα Αναμενόμενης Τιμής (Linearity of Expectation). Τμήμα Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Κατακερματισμός (Hashing)

Κατακερματισμός (Hashing) Κατακερματισμός (Hashing) O κατακερματισμός είναι μια τεχνική οργάνωσης ενός αρχείου. Είναι αρκετά δημοφιλής μέθοδος για την οργάνωση αρχείων Βάσεων Δεδομένων, καθώς βοηθάει σημαντικά στην γρήγορη αναζήτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΚΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ HASHING

ΚΑΤΑΚΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ HASHING ΚΑΤΑΚΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ HASHING ΣΑΛΤΟΓΙΑΝΝΗ ΑΘΑΝΑΣΙΑ saltogiann@ceid.upatras.gr ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΤΟ ΠΡOΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΚΑΤΑΚΕΡΜΑΤΙΣΜΟY Θέλουμε τα δεδομένα που διαθέτουμε να μπορούν να αποθηκευτούν σε κάποιο πίνακα ή

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες (Μια παλιά άσκηση) Πίνακες Κατακερματισμού (Hash Tables) Πίνακες (Μια παλιά άσκηση) Εισαγωγή. A n

Πίνακες (Μια παλιά άσκηση) Πίνακες Κατακερματισμού (Hash Tables) Πίνακες (Μια παλιά άσκηση) Εισαγωγή. A n Πίνακες (Μια παλιά άσκηση) Πίνακες Κατακερματισμού (Hash Tables) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς A n O(1) (στην πρώτη ελέυθερη θέση στο τέλος του πίνακα).

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@fme.aegean.gr Τηλ: 7035468 σ-άλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 19 Hashing - Κατακερματισμός 1 / 23 Πίνακες απευθείας πρόσβασης (Direct Access Tables) Οι πίνακες απευθείας

Διαβάστε περισσότερα

ILP-Feasibility conp

ILP-Feasibility conp Διάλεξη 19: 23.12.2014 Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Γραφέας: Χαρίλαος Τζόβας Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 19.1 Θεωρία Πολυπλοκότητας και προβλήματα απόφασης Για να μιλήσουμε για προβλήματα και τον

Διαβάστε περισσότερα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 15 Αναλλοίωτοι Υπόχωροι, Ιδιόχωροι Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 2/5/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 15 2/5/2014 1 / 12 Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 07, 2 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Συμμετρικοί και θετικά ορισμένοι πίνακες. Η ανάλυση Cholesky 2. Νόρμες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την Μαθηματικά Πληροφορικής 8ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 9 : Κανάλι-Σύστημα Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Χωρητικότητα Χ ό καναλιού Το Gaussian κανάλι επικοινωνίας Τα διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

επιστρέφει το αμέσως μεγαλύτερο από το x στοιχείο του S επιστρέφει το αμέσως μικρότερο από το x στοιχείο του S

επιστρέφει το αμέσως μεγαλύτερο από το x στοιχείο του S επιστρέφει το αμέσως μικρότερο από το x στοιχείο του S Μελετάμε την περίπτωση όπου αποθηκεύουμε ένα (δυναμικό) σύνολο στοιχειών,, τα οποίo είναι υποσύνολο του. Υποστηριζόμενες λειτουργίες αναζήτηση(s,x): εισαγωγή(s,x): διαγραφή(s,x): διάδοχος(s,x): προκάτοχος(s,x):

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

Cuckoo Hashing. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Cuckoo Hashing. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Cuckoo Hashing Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο β Πολυτεχνείο Πρόβλημα (ADT) Λεξικού υναμικά μεταβαλλόμενη συλλογή αντικειμένων που αναγνωρίζονται με «κλειδί» (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Διατήρηση Γραμμικής Διάταξης

Δυναμική Διατήρηση Γραμμικής Διάταξης Διατηρεί μια γραμμική διάταξη δυναμικά μεταβαλλόμενης συλλογής στοιχείων. Υποστηρίζει τις λειτουργίες: Εισαγωγή νέου στοιχείου y αμέσως μετά από το στοιχείο x. x y Διαγραφή στοιχείου y. y Έλεγχος της σειράς

Διαβάστε περισσότερα

> ln 1 + ln ln n = ln(1 2 3 n) = ln(n!).

> ln 1 + ln ln n = ln(1 2 3 n) = ln(n!). η Διάλεξη: Άρρητοι αριθμοί Το σύνολο Q των ρητών αριθμών είναι το Q = { m n : m Z, n N}. αριθμός που δεν είναι ρητός λέγεται άρρητος. Ενας πραγματικός Ασκηση: Αποδείξτε ότι το άθροισμα και το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ 5η Εργασία ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Ακαδημαϊκό Έτος : 2013-2014 ΞΑΝΘΗ 15/3/2014 Ασκήσεις: 1. Να δείξετε ότι η μέση τιμή Τ.Μ. που υπακούει στη διωνυμική κατανομή, είναι ίση np. Επειδή η Τ.Μ. που

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκτηση Πληροφορίας

Ανάκτηση Πληροφορίας Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Ανάκτηση Πληροφορίας Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διάλεξη #06 Πιθανοτικό Μοντέλο 1 Άδεια χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα

Περιεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (2η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 54 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Δίαυλος Πληροφορίας. Η λειτουργία του περιγράφεται από:

Δίαυλος Πληροφορίας. Η λειτουργία του περιγράφεται από: Δίαυλος Πληροφορίας Η λειτουργία του περιγράφεται από: Πίνακας Διαύλου (μαθηματική περιγραφή) Διάγραμμα Διαύλου (παραστατικός τρόπος περιγραφής της λειτουργίας) Πίνακας Διαύλου Χρησιμοποιούμε τις υπό συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πληροφορίας. Διάλεξη 4: Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Θεωρία Πληροφορίας. Διάλεξη 4: Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Θεωρία Πληροφορίας Διάλεξη 4: Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ατζέντα Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη Ποσότητα πληροφορίας της πηγής Κωδικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος

ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Πιθανότητες Πληροφορία Μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα ΙΙ

Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα ΙΙ Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα ΙΙ Διάλεξη 11: Κωδικοποίηση Πηγής Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ατζέντα 1. Αλγόριθμοι κωδικοποίησης πηγής Αλγόριθμος Fano Αλγόριθμος Shannon Αλγόριθμος Huffman

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα. Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Ορισμός Frequency moments

Εισαγωγή Ορισμός Frequency moments The space complexity of approximating the frequency moments Κωστόπουλος Δημήτριος Μπλα Advanced Data Structures June 2007 Εισαγωγή Ορισμός Frequency moments Έστω ακολουθία Α = {a 1,a 2,...,a m ) με κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Εκλογή αρχηγού και κατασκευή BFS δένδρου σε σύγχρονο γενικό δίκτυο Παναγιώτα Παναγοπούλου Περίληψη Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Ορισμός του προβλήματος Ο αλγόριθμος FloodMax

Διαβάστε περισσότερα

d k 10 k + d k 1 10 k d d = k i=0 d i 10 i.

d k 10 k + d k 1 10 k d d = k i=0 d i 10 i. Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 2018 Σειρά Α Θέματα 3 ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 2018 Σειρά Α Θέματα 3 ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 8 Σειρά Α Θέματα ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις ΘΕΜΑ : Το δοχείο Δ περιέχει 6 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες ενώ το δοχείο Δ περιέχει 5 άσπρες και μαύρες μπάλες.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Δομές Δεδομένων. Ιωάννης Γ. Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Δομές Δεδομένων. Ιωάννης Γ. Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές Δεδομένων Ιωάννης Γ. Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 ΗΔιωνυμική κατανομή για (πολύ) μεγάλα ν και (πολύ) μικρά p Η χρήση του τύπου ν x ν x f ( x)

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές Λύσεις 1ου Σετ Ασκήσεων

Ενδεικτικές Λύσεις 1ου Σετ Ασκήσεων Κ Σ Ι Ενδεικτικές Λύσεις 1ου Σετ Ασκήσεων Παναγιώτα Παναγοπούλου Άσκηση 1. Υποθέστε ότι οι διεργασίες ενός σύγχρονου κατανεμημένου συστήματος έχουν μοναδικές ταυτότητες (UIDs), γνωρίζουν ότι είναι συνδεδεμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 8 KATAKEΡΜΑΤΙΣΜΟΣ (HASHING)

ΕΝΟΤΗΤΑ 8 KATAKEΡΜΑΤΙΣΜΟΣ (HASHING) ΕΝΟΤΗΤΑ 8 KATAKEΡΜΑΤΙΣΜΟΣ (HASHING) Κατακερµατισµός Στόχος Έχουµε ένα σύνολο από κλειδιά {Κ 0,, Κ n-1 } και θέλουµε να υλοποιήσουµε Insert() και LookUp() (ίσως και Delete()) απλά και γρήγορα στην πράξη.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 22: Τεχνικές Κατακερματισμού I (Hashing)

Διάλεξη 22: Τεχνικές Κατακερματισμού I (Hashing) Διάλεξη 22: Τεχνικές Κατακερματισμού I (Hashing) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανασκόπηση Προβλήματος και Προκαταρκτικών Λύσεων Bit Διανύσματα Τεχνικές Κατακερματισμού & Συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

2πσ 2 e (x µ)2 /2σ 2 dx = 1. (13.1) e x2 dx. e y2 dy, I = 2. e (y2 +z 2) dy dz.

2πσ 2 e (x µ)2 /2σ 2 dx = 1. (13.1) e x2 dx. e y2 dy, I = 2. e (y2 +z 2) dy dz. Κεφάλαιο 3 Κ.Ο.Θ.: Λίγη θεωρία και αποδείξεις Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε τέσσερις αποδείξεις αποτελεσμάτων που σχετίζονται με την κανονική κατανομή και το Κ.Ο.Θ., οι οποίες είναι αρκετά πιο απαιτητικές,

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 4ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ), Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Βέλτιστος Δέκτης

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Βέλτιστος Δέκτης Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστος Δέκτης Σύνδεση με τα Προηγούμενα Επειδή το πραγματικό κανάλι είναι αναλογικό, κατά τη διαβίβαση ψηφιακής πληροφορίας, αντιστοιχίζουμε τα σύμβολα σε αναλογικές κυματομορφές

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι: Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θα εισαγάγουμε την έννοια του τυχαίου αριθμού με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας η οποία σε

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Πληροφορία Μέτρο πληροφορίας Μέση πληροφορία ή Εντροπία Από κοινού εντροπία

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικός Κατακερματισμός. Βάσεις Δεδομένων Ευαγγελία Πιτουρά 1

Δυναμικός Κατακερματισμός. Βάσεις Δεδομένων Ευαγγελία Πιτουρά 1 Δυναμικός Κατακερματισμός Βάσεις Δεδομένων 2013-2014 Ευαγγελία Πιτουρά 1 Κατακερματισμός Τι αποθηκεύουμε στους κάδους; Στα παραδείγματα δείχνουμε μόνο την τιμή του πεδίου κατακερματισμού Την ίδια την εγγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2,5 μονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις Πέμπτη 21 Ιουνίου 2012 16:30-19:30 Υποθέστε ότι θέλουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Εισαγωγή στο Σχεδιασμό & την Ανάλυση Αλγορίθμων Εξέταση Φεβρουαρίου 2016 Σελ. 1 από 7 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

Προηγμένη Ευρετηρίαση Δεδομένων (ΠΜΣ) Ενδεικτικές ερωτήσεις-θέματα για την εξέταση της θεωρίας

Προηγμένη Ευρετηρίαση Δεδομένων (ΠΜΣ) Ενδεικτικές ερωτήσεις-θέματα για την εξέταση της θεωρίας Προηγμένη Ευρετηρίαση Δεδομένων (ΠΜΣ) Ενδεικτικές ερωτήσεις-θέματα για την εξέταση της θεωρίας 1. Πως δομούνται οι ιεραρχικές μνήμες; Αναφέρετε τα διάφορα επίπεδά τους από τον επεξεργαστή μέχρι τη δευτερεύουσα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Stream ciphers Η διαδικασία κωδικοποίησης για έναν stream cipher συνοψίζεται παρακάτω: 1.

Διαβάστε περισσότερα

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις6: Βάση και Διάσταση Βασικά σημεία Βάση διανυσματικού χώρου (ορισμός, παραδείγματα, μοναδικότητα συντελεστών) Θεώρημα (ύπαρξη, πρώτη μορφή) Έστω V K μη μηδενικός με K πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1), Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 Νοεµβρίου 2009 Γεωµετρική κατανοµή Ορισµός Εστω X ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την πρώτη επιτυχία σε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίας

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Approximation Algorithms for the k-median problem

Approximation Algorithms for the k-median problem Approximation Algorithms for the k-median problem Ζακυνθινού Λυδία Παυλάκος Γεώργιος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Θεωρία Υπολογισμού 2011-2012 Το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 )

Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής =() Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Έστω τ.μ. Χ με γνωστή κατανομή. Δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση αρχείων: πως είναι τοποθετηµένες οι εγγραφές ενός αρχείου όταν αποθηκεύονται στο δίσκο

Οργάνωση αρχείων: πως είναι τοποθετηµένες οι εγγραφές ενός αρχείου όταν αποθηκεύονται στο δίσκο Κατακερµατισµός 1 Οργάνωση Αρχείων (σύνοψη) Οργάνωση αρχείων: πως είναι τοποθετηµένες οι εγγραφές ενός αρχείου όταν αποθηκεύονται στο δίσκο 1. Αρχεία Σωρού 2. Ταξινοµηµένα Αρχεία Φυσική διάταξη των εγγραφών

Διαβάστε περισσότερα

P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)

P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B) Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα κωδικοποίησης πηγής

Θεώρημα κωδικοποίησης πηγής Κωδικοποίηση Kωδικοποίηση πηγής Θεώρημα κωδικοποίησης πηγής Καθορίζει ένα θεμελιώδες όριο στον ρυθμό με τον οποίο η έξοδος μιας πηγής πληροφορίας μπορεί να συμπιεσθεί χωρίς να προκληθεί μεγάλη πιθανότητα

Διαβάστε περισσότερα

viii 20 Δένδρα van Emde Boas 543

viii 20 Δένδρα van Emde Boas 543 Περιεχόμενα Πρόλογος xi I Θεμελιώδεις έννοιες Εισαγωγή 3 1 Ο ρόλος των αλγορίθμων στις υπολογιστικές διαδικασίες 5 1.1 Αλγόριθμοι 5 1.2 Οι αλγόριθμοι σαν τεχνολογία 12 2 Προκαταρκτικές έννοιες και παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 4 ου κεφαλαίου Ελεγχοσυναρτήσεις Γενικευμένου Λόγου Πιθανοφανειών Σταύρος Χατζόπουλος 27/03/2017, 03/04/2017, 24/04/2017 1 Εισαγωγή Έστω το τ.δ. X,,, από την κατανομή

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ακέραια Πολύεδρα 1 Ορισμός 4.1 (Convex Hull) Έστω ένα σύνολο S C R n. Ένα σημείο x του R n είναι κυρτός συνδυασμός (convex combination) σημείων του S, αν υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων

Διαβάστε περισσότερα

Y = X 1 + X X N = X i. i=1

Y = X 1 + X X N = X i. i=1 Κεφάλαιο 7 Διακριτές κατανομές Στο προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε πως η έννοια της τυχαίας μεταβλητής Τ.Μ., δηλαδή μιας τυχαίας ποσότητας X που προσδιορίζεται από το σύνολο τιμών της S και την πυκνότητά της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 3 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 3 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 3 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ Σύμφωνα με στοιχεία από το Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης η πιθανότητα ένας φοιτητής να αποφοιτήσει μέσα σε 5 χρόνια από την ημέρα εγγραφής του στο

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis

Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis Θεώρημα για σφαίρες Θα δείξουμε ότι το γράφημα G(n, 2 ln n n 1 ) έχει μικρή διάμετρο Θα ξεκινήσουμε με ένα θεώρημα για το μέγεθος μιας σφαίρας

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2017 18 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης 8.1. (i) Έστω ότι α και β είναι δύο τύποι της προτασιακής

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 5 ου κεφαλαίου Ελεγχοσυναρτήσεις για τις Παραμέτρους της Κανονικής Κατανομής Σταύρος Χατζόπουλος 08/05/207, 5/05/207 Εισαγωγή Στις παραγράφους που ακολουθούν παρουσιάζονται

Διαβάστε περισσότερα