Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Transcript

1 Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος είναι πολυωνυμικού χρόνου εάν ο χρόνος εκτέλεσης είναι πολυωνυμικός ως προς το

2 Σύνολο ακεραίων Σύνολο φυσικών Έστω ακέραιοι. Συμβολισμός: - ο διαιρεί τον Πρώτος αριθμός : μοναδικοί διαιρέτες του: π.χ. Θεώρημα της διαίρεσης Έστω ακέραιοι και. Τότε υπάρχουν μοναδικοί ακέραιοι και τέτοιοι ώστε και

3 Θεώρημα της διαίρεσης Έστω ακέραιοι και. Τότε υπάρχουν μοναδικοί ακέραιοι και τέτοιοι ώστε και πηλίκο υπόλοιπο Κλάση ισοδυναμίας modulo n κλάση ισοδυναμίας του π.χ. Για απλότητα γράφουμε όπου υπονοείται

4 Κοινοί διαιρέτες Έστω και. Τότε για οποιαδήποτε μέγιστος κοινός διαιρέτης των Θεώρημα Έστω το σύνολο των γραμμικών συνδυασμών δύο ακεραίων όπου τουλάχιστον ένας είναι. Τότε Απόδειξη Έστω και έστω Έχουμε Αφού, πρέπει Ομοίως, πρέπει. Επομένως

5 Κοινοί διαιρέτες Έστω και. Τότε για οποιαδήποτε μέγιστος κοινός διαιρέτης των Θεώρημα Έστω το σύνολο των γραμμικών συνδυασμών δύο ακεραίων όπου τουλάχιστον ένας είναι. Τότε Απόδειξη Όμως και Επομένως Προηγουμένως δείξαμε ότι, άρα συνεπάγεται

6 Ιδιότητες και για οποιοδήποτε μη αρνητικό και

7 Αμοιβαία Πρώτοι Ακέραιοι π.χ. για κάποιους Θεώρημα Αν και τότε Θεώρημα Έστω πρώτος αριθμός. Αν τότε ή (ή και τα δύο).

8 Θεώρημα Μοναδικής Παραγοντοποίησης Οποιοσδήποτε σύνθετος ακέραιος ως γινόμενο της μορφής μπορεί να γραφτεί με έναν και μόνο τρόπο όπου τα είναι πρώτοι αριθμοί,, και τα θετικοί ακέραιοι. Η παραγοντοποίηση σύνθετων ακέραιων είναι δύσκολο πρόβλημα, (ειδικά για αριθμούς της μορφής όπου μεγάλοι πρώτοι αριθμοί)

9 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Έστω θετικοί ακέραιοι με παραγοντοποίηση σε πρώτους αριθμούς και Τότε

10 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα όπου είναι θετικοί ακέραιοι int Euclid(int a, int b) { if b==0 return a; return Euclid(b, a%b); } Παράδειγμα Euclid (128,40)= Euclid (40,8)= Euclid (8,0)= 8 Ευκλείδης (300 πχ)

11 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα όπου είναι θετικοί ακέραιοι Απόδειξη Έστω Έχουμε και Ευκλείδης (300 πχ)

12 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα όπου είναι θετικοί ακέραιοι Απόδειξη Έστω Έχουμε και Ευκλείδης (300 πχ)

13 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα όπου είναι θετικοί ακέραιοι Ιδιότητα: Αν τότε 0 a mod b b a/2 a Απόδειξη: Ευκλείδης (300 πχ) 0 a/2 b a a mod b

14 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα όπου είναι θετικοί ακέραιοι Ιδιότητα: Αν τότε 0 b a/2 a Ευκλείδης (300 πχ) a mod b χρειάζονται αναδρομικές κλήσεις 0 a/2 b a κλήσεις για αριθμούς των bits a mod b

15 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα όπου είναι θετικοί ακέραιοι Λήμμα: Αν και ο αλγόριθμος του Ευκλείδη πραγματοποιεί αναδρομικές κλήσεις, τότε και, όπου οι αριθμοί Fibonacci Ευκλείδης (300 πχ) Απόδειξη Με επαγωγή ως προς. Βάση Τότε

16 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα όπου είναι θετικοί ακέραιοι Λήμμα: Αν και ο αλγόριθμος του Ευκλείδη πραγματοποιεί αναδρομικές κλήσεις, τότε και, όπου οι αριθμοί Fibonacci Ευκλείδης (300 πχ) Απόδειξη Επαγωγικό βήμα.. Επιπλέον

17 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα όπου είναι θετικοί ακέραιοι Λήμμα: Αν και ο αλγόριθμος του Ευκλείδη πραγματοποιεί αναδρομικές κλήσεις, τότε και, όπου οι αριθμοί Fibonacci Ευκλείδης (300 πχ) Απόδειξη Επαγωγικό βήμα.. Επιπλέον Άρα

18 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα όπου είναι θετικοί ακέραιοι Θεώρημα του Lame Για οποιοδήποτε ακέραιο, αν και, τότε ο αλγόριθμος του Ευκλείδη πραγματοποιεί αναδρομικές κλήσεις Ευκλείδης (300 πχ)

19 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα όπου είναι θετικοί ακέραιοι Θεώρημα του Lame Για οποιοδήποτε ακέραιο, αν και, τότε ο αλγόριθμος του Ευκλείδη πραγματοποιεί αναδρομικές κλήσεις Ευκλείδης (300 πχ) Χειρότερη περίπτωση:

20 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη - Επέκταση Υπολογίζει τους συντελεστές του γραμμικού συνδυασμού Ευκλείδης (300 πχ)

21 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη - Επέκταση Υπολογίζει τους συντελεστές του γραμμικού συνδυασμού Ευκλείδης (300 πχ) Άρα

22 Πρόσθεση modulo n

23 Ομάδα σύνολο στοιχείων διμελής πράξη επί του Ιδιότητες 1. Κλειστότητα: Για όλα τα ισχύει 2. Ουδέτερο στοιχείο: Υπάρχει τέτοιο ώστε 3. Προσεταιριστικότητα: Για όλα τα, ισχύει ότι 4. Αντίστροφο στοιχείο: Για κάθε υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε

24 Ομάδα σύνολο στοιχείων διμελής πράξη επί του Ιδιότητες 1. Κλειστότητα: Για όλα τα ισχύει 2. Ουδέτερο στοιχείο: Υπάρχει τέτοιο ώστε 3. Προσεταιριστικότητα: Για όλα τα, ισχύει ότι 4. Αντίστροφο στοιχείο: Για κάθε υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε Αβελιανή Ομάδα: Ικανοποιεί επιπλέον 5. Αντιμεταθετικότητα: Για όλα τα ισχύει

25 Ομάδα σύνολο στοιχείων διμελής πράξη επί του Ιδιότητες 1. Κλειστότητα: Για όλα τα ισχύει 2. Ουδέτερο στοιχείο: Υπάρχει τέτοιο ώστε 3. Προσεταιριστικότητα: Για όλα τα, ισχύει ότι 4. Αντίστροφο στοιχείο: Για κάθε υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε Αβελιανή Ομάδα: Ικανοποιεί επιπλέον 5. Αντιμεταθετικότητα: Για όλα τα ισχύει Πεπερασμένη Ομάδα:

26 Ομάδες επί του Έστω και Έχουμε Πρόσθεση modulo n : προσθετική ομάδα modulo n Είναι πεπερασμένη ομάδα με Θεώρημα Το σύστημα είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα

27 Ομάδες επί του Θεώρημα Το σύστημα είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα Ιδιότητες 1. Κλειστότητα: 2. Ουδέτερο στοιχείο: 3. Προσεταιριστικότητα: 4. Αντίστροφο στοιχείο: 5. Αντιμεταθετικότητα:

28 Ομάδες επί του Έστω και Έχουμε Πολλαπλασιασμός modulo n : όπου πολλαπλασιαστική ομάδα modulo n Θεώρημα Το σύστημα είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα

29 Ομάδες επί του Θεώρημα Το σύστημα είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα Ιδιότητες 1. Κλειστότητα: 2. Ουδέτερο στοιχείο: 3. Προσεταιριστικότητα: 4. Αντίστροφο στοιχείο: 5. Αντιμεταθετικότητα:

30 Ομάδες επί του Θεώρημα Το σύστημα είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα Ιδιότητες 4. Αντίστροφο στοιχείο: π.χ. έχουμε άρα Διαίρεση στο : π.χ. πολλαπλασιαστικό αντίστροφο του

31 Ομάδες επί του Θεώρημα Το σύστημα είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα Συνάρτηση φ του Euler π.χ. Για πρώτο αριθμό : Για σύνθετο αριθμό :

32 Ομάδες επί του Απλοποιημένες αναπαραστάσεις

33 Υποομάδες Ομάδα Σύστημα Αν το είναι ομάδα τότε λέμε ότι το είναι υποομάδα του Θεώρημα Αν το είναι πεπερασμένη ομάδα και τέτοιο ώστε για όλα τα, τότε το είναι υποομάδα του π.χ. και

34 Υποομάδες Ομάδα Σύστημα Αν το είναι ομάδα τότε λέμε ότι το είναι υποομάδα του Θεώρημα Αν το είναι πεπερασμένη ομάδα και τέτοιο ώστε για όλα τα, τότε το είναι υποομάδα του Θεώρημα του Lagrange Αν είναι πεπερασμένη ομάδα και είναι υποομάδα της τότε το είναι διαιρέτης του

35 Υποομάδες Ομάδα Σύστημα Αν το είναι ομάδα τότε λέμε ότι το είναι υποομάδα του Θεώρημα Αν το είναι πεπερασμένη ομάδα και τέτοιο ώστε για όλα τα, τότε το είναι υποομάδα του Θεώρημα του Lagrange Αν είναι πεπερασμένη ομάδα και είναι υποομάδα της τότε το είναι διαιρέτης του Γνήσια υποομάδα Πόρισμα Αν είναι πεπερασμένη ομάδα και είναι γνήσια υποομάδα της τότε

36 Υποομάδες που γεννώνται από στοιχεία Ομάδα Παίρνουμε όλα τα στοιχεία που παράγονται μέσω της πράξης που έχουμε επιλέξει από ένα π.χ. τότε για έχουμε την ακολουθία

37 Υποομάδες που γεννώνται από στοιχεία Ομάδα Παίρνουμε όλα τα στοιχεία που παράγονται μέσω της πράξης που έχουμε επιλέξει από ένα Από την προσεταιριστικότητα της έχουμε Υποομάδα που γεννάται από το : π.χ. στο

38 Υποομάδες που γεννώνται από στοιχεία Ομάδα Παίρνουμε όλα τα στοιχεία που παράγονται μέσω της πράξης που έχουμε επιλέξει από ένα Από την προσεταιριστικότητα της έχουμε Υποομάδα που γεννάται από το : π.χ. στο

39 Υποομάδες που γεννώνται από στοιχεία Ομάδα Παίρνουμε όλα τα στοιχεία που παράγονται μέσω της πράξης που έχουμε επιλέξει από ένα Από την προσεταιριστικότητα της έχουμε Υποομάδα που γεννάται από το : Τάξη του : δηλαδή ο μικρότερος θετικός ακέραιος που δίνει το ουδέτερο στοιχείο Θεώρημα Έστω πεπερασμένη ομάδα και. Τότε

40 Υποομάδες που γεννώνται από στοιχεία Θεώρημα Έστω πεπερασμένη ομάδα και. Τότε Απόδειξη Έστω άρα Συνεπάγεται ότι για κάθε υπάρχει τέτοιο ώστε Επομένως Απομένει να δείξουμε ότι τα στοιχεία είναι όλα διαφορετικά Έστω όπου. Τότε ισχύει οπότε για έχουμε Όμως άρα πρέπει, δηλαδή καταλήγουμε σε άτοπο

41 Υποομάδες που γεννώνται από στοιχεία Θεώρημα Έστω πεπερασμένη ομάδα και. Τότε Πόρισμα Η ακολουθία Δηλαδή είναι περιοδική με περίοδο Ορίζουμε Πόρισμα Έστω πεπερασμένη ομάδα και. Τότε

42 Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις Δίνονται ακέραιοι όπου Θέλουμε να βρούμε όλες τις λύσεις της εξίσωσης

43 Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις Δίνονται ακέραιοι όπου Θέλουμε να βρούμε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Υπό ποιες προϋποθέσεις υπάρχει λύση; Έστω η υποομάδα της που γεννάται από το Παρατηρούμε ότι επομένως για να υπάρχει λύση πρέπει

44 Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις Δίνονται ακέραιοι όπου Θέλουμε να βρούμε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Έστω η υποομάδα της που γεννάται από το. Πρέπει Θεώρημα Έστω, όπου θετικοί ακέραιοι. Τότε και επομένως

45 Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις Θεώρημα Έστω, όπου θετικοί ακέραιοι. Τότε και επομένως Απόδειξη Έστω η τριάδα που επιστρέφει η κλήση Άρα

46 Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις Θεώρημα Έστω, όπου θετικοί ακέραιοι. Τότε και επομένως Απόδειξη Έστω η τριάδα που επιστρέφει η κλήση Άρα Απομένει να δείξουμε Έστω. Τότε υπάρχουν ακέραιοι τέτοιοι ώστε και. Όμως και άρα

47 Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις Θεώρημα Έστω, όπου θετικοί ακέραιοι. Τότε και επομένως Πόρισμα Η εξίσωση είναι επιλύσιμη ως προς το εάν και μόνο εάν Πόρισμα Η εξίσωση είτε έχει διαφορετικές λύσεις modulo n είτε καμία

48 Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις Θεώρημα Έστω, και ακέραιοι τέτοιοι ώστε Εάν τότε μια από τις λύσεις της εξίσωσης είναι η Θεώρημα Έστω, και μια λύση της εξίσωσης Τότε αυτή η εξίσωση έχει ακριβώς λύσεις, modulo n, οι οποίες δίνονται από τη σχέση

49 Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις Πόρισμα Για οποιοδήποτε, εάν, τότε η εξίσωση έχει μοναδική λύση, modulo n. Πόρισμα Για οποιοδήποτε, εάν, τότε η εξίσωση έχει μοναδική λύση, modulo n. Σε αντίθετη περίπτωση δεν έχει καμία λύση. Εάν η εξίσωση έχει λύση τότε η μοναδική λύση της είναι ο πολλαπλασιαστικός αντίστροφος του Έστω Τότε

50 Το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπου Έστω όπου τα είναι αμοιβαία πρώτοι ανά δύο αριθμοί. Η απεικόνιση όπου και είναι 1-προς-1 αντιστοιχία (ισομορφισμός) Οι πράξεις που εκτελούνται στα στοιχεία του στις -αδες εκτελούμενες ανεξάρτητα. μπορούν να μεταφερθούν Δηλαδή, εάν και τότε

51 Το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπου Έστω όπου τα είναι αμοιβαία πρώτοι ανά δύο αριθμοί. Η απεικόνιση όπου και είναι 1-προς-1 αντιστοιχία (ισομορφισμός) Οι πράξεις που εκτελούνται στα στοιχεία του στις -αδες εκτελούμενες ανεξάρτητα. μπορούν να μεταφερθούν Μετασχηματισμός : Πραγματοποιείται εύκολα με διαιρέσεις

52 Το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπου Έστω όπου τα είναι αμοιβαία πρώτοι ανά δύο αριθμοί. Η απεικόνιση όπου και είναι 1-προς-1 αντιστοιχία (ισομορφισμός) Οι πράξεις που εκτελούνται στα στοιχεία του στις -αδες εκτελούμενες ανεξάρτητα. μπορούν να μεταφερθούν Μετασχηματισμός : Θέτουμε για : Για άρα έχουμε: ενώ

53 Το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπου Έστω όπου τα είναι αμοιβαία πρώτοι ανά δύο αριθμοί. Η απεικόνιση όπου και είναι 1-προς-1 αντιστοιχία (ισομορφισμός) Οι πράξεις που εκτελούνται στα στοιχεία του στις -αδες εκτελούμενες ανεξάρτητα. μπορούν να μεταφερθούν Πόρισμα Έστω όπου τα είναι αμοιβαία πρώτοι ανά δύο αριθμοί. Τότε για οποιουσδήποτε ακέραιους το σύνολο των εξισώσεων έχει μοναδική λύση modulo n για τον άγνωστο

54 Το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπου Έστω όπου τα είναι αμοιβαία πρώτοι ανά δύο αριθμοί. Η απεικόνιση όπου και είναι 1-προς-1 αντιστοιχία (ισομορφισμός) Οι πράξεις που εκτελούνται στα στοιχεία του στις -αδες εκτελούμενες ανεξάρτητα. μπορούν να μεταφερθούν Πόρισμα Έστω όπου τα είναι αμοιβαία πρώτοι ανά δύο αριθμοί. Τότε για οποιουσδήποτε ακέραιους εάν και μόνο εάν

55 Δυνάμεις ενός στοιχείου Ακολουθία δυνάμεων Π.χ. υποομάδα της που γεννάται από το με επαναληπτικό πολλαπλασιασμό τάξη του στο

56 Δυνάμεις ενός στοιχείου Ακολουθία δυνάμεων Π.χ. υποομάδα της που γεννάται από το με επαναληπτικό πολλαπλασιασμό τάξη του στο Εάν τότε το είναι γεννήτορας (ή αρχική ρίζα) του Εάν το έχει γεννήτορα τότε ονομάζεται κυκλική ομάδα

57 Δυνάμεις ενός στοιχείου Ακολουθία δυνάμεων υποομάδα της που γεννάται από το με επαναληπτικό πολλαπλασιασμό τάξη του στο Εάν τότε το είναι γεννήτορας (ή αρχική ρίζα) του Εάν το έχει γεννήτορα τότε ονομάζεται κυκλική ομάδα Θεώρημα Οι τιμές του για τις οποίες η ομάδα είναι κυκλική είναι οι και για κάθε πρώτο αριθμό και κάθε θετικό ακέραιο

58 Δυνάμεις ενός στοιχείου Ακολουθία δυνάμεων υποομάδα της που γεννάται από το με επαναληπτικό πολλαπλασιασμό τάξη του στο Θεώρημα του Euler Για οποιοδήποτε ακέραιο για κάθε Θεώρημα του Fermat (Fermat s little theorem) Εάν ο είναι πρώτος αριθμός, τότε για κάθε

59 Διακριτός Λογάριθμος (Discrete Logarithm) Έστω ένας γεννήτορας του. Ο διακριτός λογάριθμος ή δείκτης του είναι ένας αριθμός που ικανοποιεί τη σχέση διακριτός λογάριθμος του στη βάση Θεώρημα του διακριτού λογαρίθμου Έστω ένας γεννήτορας του. Τότε η ισότητα ισχύει εάν και μόνο εάν Απόδειξη Έχουμε

60 Διακριτός Λογάριθμος (Discrete Logarithm) Έστω ένας γεννήτορας του. Ο διακριτός λογάριθμος ή δείκτης του είναι ένας αριθμός που ικανοποιεί τη σχέση διακριτός λογάριθμος του στη βάση Θεώρημα του διακριτού λογαρίθμου Έστω ένας γεννήτορας του. Τότε η ισότητα ισχύει εάν και μόνο εάν Απόδειξη Έχουμε έχει περίοδο. Επομένως άρα η ακολουθία δυνάμεων του

61 Διακριτός Λογάριθμος (Discrete Logarithm) Έστω ένας γεννήτορας του. Ο διακριτός λογάριθμος ή δείκτης του είναι ένας αριθμός που ικανοποιεί τη σχέση διακριτός λογάριθμος του στη βάση Θεώρημα Αν ο είναι περιττός πρώτος αριθμός και τότε οι μοναδικές λύσεις της εξίσωσης είναι Απόδειξη Έστω γεννήτορας του Τότε Έχουμε άρα υπάρχουν 2 λύσεις

62 Διακριτός Λογάριθμος (Discrete Logarithm) Αν και ικανοποιεί την εξίσωση τότε ο είναι μη τετριμμένη τετραγωνική ρίζα του Πόρισμα Εάν υπάρχει μη τετριμμένη τετραγωνική ρίζα του είναι σύνθετος τότε ο αριθμός Το παραπάνω πόρισμα χρησιμοποιείται για τον έλεγχο αν ο είναι πρώτος

63 Υπολογισμός δύναμης με επαναληπτικό τετραγωνισμό Γρήγορος υπολογισμός του Έστω η δυαδική αναπαράσταση του Πριν την κάθε επανάληψη του βρόχου

64 Κρυπτογράφηση κρυπτογράφηση αποκρυπτογράφηση Bob Eavesdropper Alice

65 Κρυπτοσύστημα Δημόσιου Κλειδιού κρυπτογράφηση αποκρυπτογράφηση Bob Eavesdropper Alice Κάθε συμμετέχων έχει ένα δημόσιο κλειδί και ένα κρυφό κλειδί

66 Κρυπτοσύστημα Δημόσιου Κλειδιού Προμηθεύεται το δημόσιο κλειδί της Alice Bob Υπολογίζει το κρυπτογράφημα Στέλνει το στην Alice Λαμβάνει το Alice Εφαρμόζει το κρυφό της κλειδί Υπολογίζει το αρχικό μήνυμα

67 Ψηφιακή Υπογραφή υπογραφή επαλήθευση αποδοχή Alice Bob Κάθε συμμετέχων έχει ένα δημόσιο κλειδί και ένα κρυφό κλειδί

68 Ψηφιακή Υπογραφή Θέλει να στείλει ένα ψηφιακά υπογεγραμμένο μήνυμα Alice Υπολογίζει την ψηφιακή της υπογραφή Στέλνει το ζεύγος μήνυμα/υπογραφή Προμηθεύεται το δημόσιο κλειδί της Alice Bob Υπολογίζει τo Εάν τότε αποδέχεται το μήνυμα

69 Κρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir and Adleman) Διαδικασία υπολογισμού δημόσιου κλειδιού και κρυφού κλειδιού 1. Επιλέγει τυχαία δύο μεγάλους πρώτους αριθμούς 2. Υπολογίζει το γινόμενο 3. Επιλέγει μικρό περιττό ακέραιο αμοιβαία πρώτο με το 4. Υπολογίζει το πολλαπλασιαστικό αντίστροφο του 5. Δημοσιοποιεί ως προσωπικό δημόσιο κλειδί το ζεύγος 6. Κρατάει μυστικό ως προσωπικό κρυφό κλειδί το ζεύγος Κρυπτογράφηση : Αποκρυπτογράφηση :

70 Κρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir and Adleman) Θεώρημα (Ορθότητα συστήματος RSA) Οι εξισώσεις και ορίζουν αντίστροφους μετασχηματισμούς στο :

71 Κρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir and Adleman) Θεώρημα (Ορθότητα συστήματος RSA) Οι εξισώσεις και ορίζουν αντίστροφους μετασχηματισμούς στο : Απόδειξη Έχουμε όπου για κάποιον ακέραιο. Έστω. Τότε Όμως, άρα

72 Κρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir and Adleman) Θεώρημα (Ορθότητα συστήματος RSA) Οι εξισώσεις και ορίζουν αντίστροφους μετασχηματισμούς στο : Απόδειξη Έχουμε όπου για κάποιον ακέραιο. Έστω. Τότε Όμως, άρα Έστω. Τότε και πάλι

73 Κρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir and Adleman) Θεώρημα (Ορθότητα συστήματος RSA) Οι εξισώσεις και ορίζουν αντίστροφους μετασχηματισμούς στο : Απόδειξη Έχουμε όπου για κάποιον ακέραιο. Άρα δείξαμε ότι για κάθε Ομοίως έχουμε, για κάθε Από το κινέζικο θεώρημα υπολοίπου συνεπάγεται

74 Έλεγχος Πρώτευσης Πως μπορούμε να ελέγξουμε αποδοτικά εάν ένας ακέραιος είναι πρώτος; Συνάρτηση κατανομής πρώτων αριθμών πλήθος πρώτων αριθμών Θεώρημα των πρώτων αριθμών Ένας τυχαία επιλεγμένος αριθμός έχει πιθανότητα να είναι πρώτος Απλοϊκός έλεγχος πρώτευσης : Επιχειρούμε να διαιρέσουμε το ακέραιο με κάθε

75 Έλεγχος Ψευδοπρώτευσης Εάν ο Εάν ο είναι πρώτος τότε είναι σύνθετος αλλά ικανοποιεί την σχέση τότε ονομάζεται ψευδοπρώτος ως προς βάση Εάν για κάθε είναι πρώτος Γρήγορος έλεγχος : Επιλέγουμε και ελέγχουμε αν Αν δεν ισχύει δηλώνουμε ότι Διαφορετικά δηλώνουμε ότι σύνθετος πρώτος

76 Έλεγχος Ψευδοπρώτευσης Εάν ο Εάν ο είναι πρώτος τότε είναι σύνθετος αλλά ικανοποιεί την σχέση τότε ονομάζεται ψευδοπρώτος ως προς βάση Εάν για κάθε είναι πρώτος Γρήγορος έλεγχος : Επιλέγουμε και ελέγχουμε αν υπάρχει (μικρή) πιθανότητα σφάλματος Αν δεν ισχύει δηλώνουμε ότι Διαφορετικά δηλώνουμε ότι σύνθετος πρώτος

77 Έλεγχος Ψευδοπρώτευσης Εάν ο Εάν ο είναι πρώτος τότε είναι σύνθετος αλλά ικανοποιεί την σχέση τότε ονομάζεται ψευδοπρώτος ως προς βάση Εάν για κάθε είναι πρώτος Αριθμοί Carmichael : Σύνθετοι αριθμοί που ικανοποιούν για κάθε

78 Έλεγχος Πρώτευσης Miller-Rabin όπου και περιττός ακέραιος Εκτελεί την ακόλουθη ρουτίνα για τυχαίες τιμές του Η παραπάνω ρουτίνα ελέγχει αν ο αποδεικνύει ότι ο είναι σύνθετος

79 Έλεγχος Πρώτευσης Miller-Rabin όπου και περιττός ακέραιος Εκτελεί την ακόλουθη ρουτίνα για τυχαίες τιμές του Η παραπάνω ρουτίνα ελέγχει αν ο αποδεικνύει ότι ο είναι σύνθετος Αν καμία κλήση δεν επιστρέψει τότε ο είναι πρώτος με μεγάλη πιθανότητα

80 Έλεγχος Πρώτευσης Miller-Rabin Αν μια τιμή του δεν αποτελεί τεκμήριο ότι ο είναι σύνθετος τότε Επιπλέον μπορεί να δειχθεί ότι όπου υποομάδα της Άρα από το θεώρημα του Lagrange Επομένως, η πιθανότητα ο να μην αποτελεί τεκμήριο ότι ο είναι σύνθετος είναι, άρα μετά από δοκιμές τυχαίων τιμών του