ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 6: Εφαρμογές του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Εφαρμογές του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Περιεχόμενα ενότητας 1. Παραδείγματα - Εφαρμογές του Fubini. 4

5 Σκοποί ενότητας Δίνουμε τα βασικά παραδείγματα εφαρμογής του Θεωρήματος Fubini. 5

6 Εφαρμογές του Fubini (1) Ας είναι D R φραγμένο με σύνορο D μέτρου μηδέν, και ας είναι f: D R ολοκληρώσιμη. Το D περιέχεται στο ορθογώνιο Π = Α Β, όπου Α = pr x D και B = pr y D (Σχ. 1) Σχήμα 1 6

7 Εφαρμογές του Fubini () Μπορούμε λοιπόν να θεωρήσουμε ότι η f είναι ολοκληρώσιμη στο Π, και το θεώρημα του Fubini μας δίνει (δες Σχήμα 1) D f x, y dxdy = f x, y 1 D x, y dxdy A B = f x, y 1 D x, y dy pr x D B dx αφού για x σταθερό, = f x, y dy pr x D D x dx, 7

8 Εφαρμογές του Fubini (3) f x, y 1 D x, y = f x, y, αν y D x,, αν όχι, όπου D x = y: x, y D. Το D x είναι η τομή του D με την κάθετο που φεύγει από το x. Παράδειγμα 1: Αν Τ είναι το τρίγωνο του σχήματος, Σχήμα 8

9 Εφαρμογές του Fubini (4) τότε T x 3 y + συνx dxdy = x 3 y + συνx dy pr x T T x = x 3 y + συνx dy π = x π x 5 = x6 1 + ημx π/ + συνx dx = 1 1 π 6 dx + 1. dx 9

10 Χωρία τύπου 1,, και 3 (1) Γενικά ένα χωρίο D σαν αυτό του σχήματος 3, λέγεται χωρίο τύπου 1, και έχει την ακόλουθη παραμετρικοποίηση: D = x, y : a x b, φ 1 x y φ x Σχήμα 3 1

11 Χωρία τύπου 1,, και 3 () Αν D είναι τύπου 1 και D f R είναι ολοκληρώσιμη, τότε από το θεώρημα του Fubini, αμέσως συμπεραίνουμε ότι D f x, y dxdy = f x, y dy pr x D b D x = f x, y dy a φ x φ 1 x dx dx. 11

12 Χωρία τύπου 1,, και 3 (3) Παράδειγμα : Αν D είναι το πρώτο τεταρτημόριο του δίσκου D, a, (Σχ. 4), και f x, y = a y, να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα I = D f x, y dxdy. Σχήμα 4 1

13 Χωρία τύπου 1,, και 3 (4) Λύση: Έχουμε I = a dx a x a y dy Το ως άνω επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα είναι δύσκολο. Κοιτάζουμε λοιπόν να δούμε μήπως η ολοκλήρωση πρώτα ως προς x μας δώσει κάτι πιο εύκολο, αφού η f x, y είναι ανεξάρτητη του x. Έχουμε D = x, y : ψ 1 y x ψ x, y α, (1) όπου ψ 1 y = και ψ x = a y.. 13

14 Χωρία τύπου 1,, και 3 (5) Επομένως, I = D f x, y dxdy a = dy = a y dy a a a y a y dx = a y a y dy a = a y dy = a y y3 a 3 a y dx = a 3 a3 3 = a

15 Χωρία τύπου 1,, και 3 (6) Στο προηγούμενο παράδειγμα αναγκαστήκαμε να αλλάξουμε τη σειρά ολοκλήρωσης. Αυτό μας το επέτρεψε η μορφή του πεδίου D, που μας έδωσε την παραμετρικοποίηση (1). Γενικά ένα πεδίο με παραμετρικοποίηση όπως στην (1) λέγεται χωρίο τύπου (Σχ. 5). Σχήμα 5 15

16 Χωρία τύπου 1,, και 3 (7) Ένα χωρίο που είναι και τύπου 1 και τύπου, όπως π.χ. το τεταρτημόριο του σχήματος 4, λέγεται τύπου 3. Παράδειγμα 3: Να υπολογιστεί το επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα I = dx 1 logx x e y dy Λύση: Το ολοκλήρωμα φαίνεται δύσκολο. Πρέπει λοιπόν να αλλαχθεί η σειρά ολοκλήρωσης μήπως και πέσουμε σε κάτι πιο εύκολο. Πρέπει όμως πρώτα να βρούμε το χωρίο ολοκλήρωσης (δες το Σχήμα 6).. 16

17 Χωρία τύπου 1,, και 3 (8) Σχήμα 6 17

18 Χωρία τύπου 1,, και 3 (9) Αν y = φ x = logx τότε x = e y, Άρα D = x, y : 1 x, y logx = x, y : e y x, y log Συνεπώς το D είναι τύπο 1 και, δηλαδή τύπου 3, και έχουμε I = log dy e y x e y dx 18

19 Χωρία τύπου 1,, και 3 (1) log = 1 + e y dy log = 1 + e log = 1 + e = e y =w 1 e y x 1 dx y x x e y dy y ey ey dy 1 + w w 1 dw Το ως άνω ολοκλήρωμα υπολογίζεται πιο εύκολα.. 19

20 Χωρία τύπου 1,, και 3 (11) Παρατήρηση 1: Γενικά, όταν μας δίνεται ένα δύσκολο επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα, κάνουμε τις εξής κινήσεις: πρώτα προσδιορίζουμε το χωρίο ολοκλήρωσης, και στη συνέχεια αλλάζουμε τη σειρά ολοκλήρωσης και ολοκληρώνουμε. Παράδειγμα 4: Αν Α είναι το τρίγωνο να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα x 1, y x, I = συν πx A dxdy.

21 Χωρία τύπου 1,, και 3 (1) Λύση: Αν ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς y, έχουμε 1 I = συν πx dx x dy 1 = xσυν πx dx, το οποίο υπολογίζεται εύκολα. Αν όμως ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς x έχουμε I = το οποίο είναι δύσκολο. 1 dy y 1 συν πx dx, 1

22 Βιβλιογραφία 1. Γ. Γεωργανόπουλος, Ολοκληρωτικός Λογισμός Πολλών Μεταβλητών, Εκδόσεις Αδελφοί Κυριακίδη, Θεσσαλονίκη, Τ. Χατζηαφράτης, Απειροστικός Λογισμός σε Πολλές Μεταβλητές, Αθήνα, J. Marsden, A. Tromba, Διανυσματικός Λογισμός, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,. 4. M. Spivac, Λογισμός σε Πολλαπλότητες, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 1994.

23 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Μιχάλης Μαριάς. «. Ενότητα 6: Εφαρμογές του Fubini». Έκδοση: 1.. Θεσσαλονίκη 14. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

24 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1]

25 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

26 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Εαρινό εξάμηνο 14-15