Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 5: Οι χώροι L p Μιχ. Γ. Μαριάς

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Περιεχόμενα ενότητας. Οι ανισότητες Hӧlder και Minkowski. 2. Ορισμός και ιδιότητες των L p. 3. Προσέγγιση των συναρτήσεων του L p. 4

5 Σκοποί ενότητας Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται οι χώροι L p και οι ιδιότητές τους. 5

6 Οι χώροι L p Όπως ήδη είπαμε, οι χώροι L p R n ή απλά L p, που ορίσαμε στην Εισαγωγή, είναι οι χώροι που προτιμούμε στην Αρμονική ανάλυση. Ξεκινούμε με δύο κλασικές και πολύ χρήσιμες ανισότητες. Αν p, q [, ] και ικανοποιούν p + q = pq, τότε λέγονται συζυγείς. η p + q =, Δύο ενδιαφέροντα ζευγάρια είναι τα p = q = 2 και p =, q =. 6

7 Ανισότητα Hӧlder() Θεώρημα : (Ανισότητα Hӧlder) Αν p, q [, ], συζυγείς και f, g: R n C, τότε ισχύει η ανισότητα p q dx f x g x dx f x p dx g x, () R n R n R n Απόδειξη: Κοιτάζουμε πρώτα την περίπτωση p = και q =. Έχουμε f x g x g x sup f x = g x f, x R n και ολοκληρώνοντας έχω το αποτέλεσμα: q R n f x g x dx sup f x g x dx = f g. x Rn R n 7

8 Ανισότητα Hӧlder (2) Η απόδειξη της Hӧlder στην περίπτωση p, q (, ), στηρίζεται στην ακόλουθη στοιχειώδη ανισότητα: Αν a 0 και b 0, τότε ab ap p + bq q, (2) Για την απόδειξη της (2), θεωρούμε την H t = ap p + tq q at και αρκεί να δείξουμε ότι H t 0, για κάθε a 0 και t 0. Έχουμε H t = t q a = 0, αν t = a q. Άρα η H φθίνει από το 0 μέχρι το aq και αυξάνει από το a μέχρι το. q 8

9 Ανισότητα Hӧlder (3) Όμως q q = p, και επομένως = ap p + a q q H t H aq q aa q = ap p + ap q q a q aq = a p p + q ap = 0. Για την απόδειξη της () μπορούμε να υποθέσουμε ότι 0 < f p, g q <, αλλιώς είναι προφανής. Θέτοντας f x g x a =, b =, f p g q και ολοκληρώνοντας, από την (2) έχουμε την (). 9

10 Παρατήρηση () Αν p = q = 2, τότε η ανισότητα Hӧlder είναι η γνωστή μας ανισότητα των Cauchy-Schwarz. Μία δεύτερη ανισότητα που χρειαζόμαστε (για να δείξουμε π.χ. ότι η p είναι νόρμα) είναι η ανισότητα Minkowski. 0

11 Aνισότητα Minkowski () Θεώρημα 2: (ανισότητα Minkowski) Αν p, και f, g: R n C, τότε ισχύει η ανισότητα Απόδειξη: R n f x + g x p dx f x p dx R n p p + g x p dx R n Αν p = ή p =, τότε η Minkowski είναι προφανής συνέπεια της τριγωνικής ανισότητας f + g f + g. Για p, q Πράγματι,, η Minkowski είναι συνέπεια της Hӧlder. p.

12 Ανισότητα Minkowski (2) f x + g x p dx = f x + g x p f x + g x dx R n R n R n = Ι + Ι, f x + g x p f x dx + f x + g x p g x dx R n 2 απο την τριγωνική ανισότητα. Τώρα, αν p, q είναι συζυγείς, από τον Hӧlder έχουμε I f x + g x p q dx R n q R n f x p dx p 2

13 Aνισότητα Minkowski (3) f x + g x p dx f p R n αφού p q = p. Με τον ίδιο τρόπο έχουμε για το I f x + g x p q dx R n f x + g x p dx R n Προσθέτοντας έχουμε q q R n q g x g p p dx p 3

14 Aνισότητα Minkowski (4) R n f x + g x p dx f x + g x p dx R n και διαιρώντας q f p + g p, R n f x + g x p dx q έχουμε την Minkowski αφού q = p. f p + g p, 4

15 Ανισότητα Minkowski για ολοκληρώματα Από την Hӧlder αποδεικνύουμε μια δεύτερη ανισότητα του Minkowski που μας είναι ιδιαίτερα χρήσιμη. Θεώρημα 3 (Ανισότητα Minkowski για ολοκληρώματα): Αν p <, τότε R n f x, y dy R m p dx p f x, y p dx Η Minkowski μας λέει ότι η νόρμα ενός ολοκληρώματος, είναι μικρότερη από το ολοκλήρωμα της αντίστοιχης νόρμας. R m R n p dy 5

16 Ορισμός και ιδιότητες των L p Για p,, ο L p R n είναι ο διανυσματικός χώρος των μετρήσιμων συναρτήσεων που ικανοποιούν f p f x p dx R n p <. Αν λ C, τότε λf p = λ f p και από τον Minkowski έχουμε ότι f + g p f p + g p. Επιπλέον, αν f p = 0, τότε f = 0 σ.π. δηλαδή f = 0, αφού γενικά στην θεωρία μέτρου, τα σύνολα μέτρου 0 δεν μετράνε. Οι L p, p [, ) είναι λοιπόν χώροι με νόρμα. 6

17 Ιδιότητες L 2, L Ο L 2 είναι η εξαίρεση, αφού η νόρμα του προέρχεται από το εσωτερικό γινόμενο f, g = f x g x dx R n. Για τον L, ο ορισμός είναι λίγο διαφορετικός. Μία μετρήσιμη f ανήκει στον L αν είναι φραγμένη στον R n εκτός ίσως από ένα σύνολο μέτρου 0. Θέτουμε f = inf λ R: μετρο f x > λ = 0 Θυμίζω ότι ένας χώρος με νόρμα είναι Banach αν είναι πλήρης, δηλαδή αν κάθε ακολουθία Cauchy συγκλίνει. 7

18 Ιδιότητες των L p () Θεώρημα 4: Για p, ο L p είναι Banach. Απόδειξη: θα δώσω την απόδειξη για την περίπτωση p <. Είναι μία καλή ευκαιρία να θυμηθούμε αρκετές χρήσιμες έννοιες. Ας είναι f m μια ακολουθία Cauchy στον L p : για κάθε ε > 0, Μ(ε) N τέτοιο ώστε f m f l p ε, m, l Μ ε. Θέλουμε να δείξουμε ότι η f m συγκλίνει σε κάποια f L p. Αν εντοπίσουμε μια υπακολουθία της που συγκλίνει, τότε έχουμε πολλές ελπίδες να δείξουμε και την σύγκλιση της ίδιας της f m αφού, από την ιδιότητα του Cauchy, οι όροι της είναι κοντά μεταξύ τους. Διαλέγω τώρα μια υπακολουθία f mk, k =,2, της f m 8

19 Ιδιότητες των L p (2) τέτοια ώστε Παρατηρώ ότι f mk+ f m f mk+ f mk, k =,2, p 2k = f m2 f m + f m3 f m2 + + f mk+ f mk K = f mk+ f mk. k= Από την επιλογή της υπακολουθίας έχω K f mk+ f m f p mk+ f mk p k= K 2 k k= 9

20 Ιδιότητες των L p (3) Θέτω λοιπόν K g K x = f mk+ x f mk x k= Η g K, K =,2,, είναι μια αύξουσα ακολουθία θετικών συναρτήσεων και συνεπώς έχει ένα όριο g (πεπερασμένο ή άπειρο): g x = lim K g K x K = lim f mk+ x f mk x K k= = f mk+ x f mk x k=. 20

21 Ιδιότητες των L p (4) Έχουμε g p f mk+ f mk p k= 2 k k= =. Από εδώ, η θεωρία μέτρου, μας επιτρέπει να συμπεράνουμε ότι η g x < σ.π., δηλαδή η σειρά k= f mk+ x f mk x συγκλίνει σ.π. Άρα το ίδιο και η σειρά Άρα η συνάρτηση k= f mk+ x f mk x. 2

22 Ιδιότητες των L p (5) f m x + f mk+ x f mk x k= ορίζεται καλά σ.π. Αφού η ως άνω σειρά συγκλίνει σ.π., τα μερικά της αθροίσματα Κ f m x + f mk+ x f mk x k= = f m x + f mκ+ x f m x = f mκ+ x συγκλίνουν σ.π. Άρα η υπακολουθία f mκ+ x συγκλίνει σ.π. Θέτουμε f x = lim f mκ+ x = f m + f mk+ x f mk x K k=. 22

23 Ιδιότητες των L p (6) Έχουμε f L p, αφού f m L p και όπως είδαμε πιο πάνω g = k= f mk+ f mk L p. Θέλουμε τώρα να δείξουμε ότι η ακολουθία f m συγκλίνει στην f με την έννοια του L p, δηλαδή f m f p 0, καθώς m. Έχουμε και lim f m x f mk x p = f m x f x p, k f m x f x p R n dx = f m f p p <. 23

24 Ιδιότητες των L p (7) Άρα από το θεώρημα του Lebesgue, μπορούμε να αλλάξουμε όριο και ολοκλήρωση: f m f p p = f m x f x p R n dx = lim f m x f mk x p dx = lim f m x f mk x p R n k k R p n = lim f m f mk ε, k p απο Cauchy αν το m είναι μεγάλο. dx 24

25 Προσέγγιση των συναρτήσεων του L p () Ένα από τα ατού της θεωρίας ολοκλήρωσης του Lebesgue είναι η προσέγγιση των μετρήσιμων συναρτήσεων με απλές συναρτήσεις N s x = a j X Aj x j= όπου a j C και A j μετρήσιμα σύνολα. Αν τώρα f 0 και f L p, p <, τότε η f, ως μετρήσιμη συνάρτηση, προσεγγίζεται από μια ακολουθία απλών συναρτήσεων s k : ε > 0, N τ.ω. Όμως, f x s k x ε, x και k N., 25

26 Προσέγγιση των συναρτήσεων του L p (2) f x s k x p f x p. Άρα f s k L p και από την κυριαρχούμενη σύγκλιση έχουμε lim f x s k x p dx = lim f x s k x p dx = 0, k R n R n k δηλαδή η f προσεγγίζεται από την s k με την έννοια του L p. Για την γενική περίπτωση γράφουμε f = f + + f, κ.λ.π. Τώρα από το Θεώρημα του Lusin, μία f απλή και με συμπαγή φορέα, προσεγγίζεται από μια συνεχή με συμπαγή φορέα. Συνεπώς, Πρόταση : Οι συνεχείς με συμπαγή φορέα είναι παντού πυκνές στους L p για p <. 26

27 Ο χώρος C 0 R n () Ένας άλλος χώρος συναρτήσεων, που όμως θα δείξουμε, είναι παντού πυκνός στους L p για p <, είναι ο C 0 R n = f: R n C, f ειναι C και 0 εξω απο ενα συμπαγες. Ο χώρος αυτός είναι πιο χρήσιμος στην Ανάλυση από ότι οι απλές ή οι συνεχείς συναρτήσεις λόγω της ομαλότητας των στοιχείων του. Ένας κλασικός κάτοικος του C 0 R n είναι η Πράγματι, φ x = e x 2, αν x 2 0, αν x 2 > φ x = f x 2, 27

28 Ο χώρος C 0 R n (2) όπου f t = e t, αν t 0, 0, αν t > 0. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η f είναι C αφού όλες οι παράγωγοί της τείνουν στο 0 καθώς το t 0. Διαιρώντας την φ με το φ, έχουμε μια συνάρτηση ψ η οποία είναι C, θετική, έχει φορέα την μπάλλα Β(0,) και ψ R n =. Με την βοήθεια των ως άνω συναρτήσεων, σιδερώνουμε οποιαδήποτε συνάρτηση με συμπαγή φορέα, την κάνουμε C 0 χωρίς να την μεγαλώνουμε πολύ: Πρόταση 2: Αν p <, o C 0 R n είναι παντού πυκνός στον L p R n. 28

29 Ο χώρος του Schwartz S(R n ) Τέλος ο χώρος του Schwartz S(R n ), είναι και αυτός παντού πυκνός στους L p για p <. Θυμίζουμε ότι μια f S(R n ) αν είναι C και αν οι μερικές της παράγωγοι κάθε τάξης, τείνουν στο 0 καθώς το x τείνει στο, πιο γρήγορα από κάθε πολυώνυμο. Δηλαδή, για κάθε m,, m n, N και R > 0, υπάρχει θετική σταθερά c = c m,, m n, N, R τέτοια ώστε m + +m n x m x n m n f x c + x 2 N, x Rn. Ο χώρος του Schwartz S(R n ) είναι ο πιο κατάλληλος χώρος για τον μετασχηματισμό Fourier. 29

30 Παρατήρηση (2) Ο L για τις προσεγγίσεις, αλλά και για την δυικότητα είναι κατά κάποιο τρόπο η εξαίρεση των L p. Αν πάρω π.χ. τον C 0 R n, τότε το Λήμμα του Urysohn, η πλήρωσή του με την νόρμα δίνει τις συνεχείς που φθίνουν στο και όχι τον L. 30

31 Βιβλιογραφία. G.B. Folland, Real Analysis, Modern techniques and their applications, John Wiley and sons, 984, New York. 2. P. Malliavin, Integration et Probabilites, Analyse de Fourier et Analyse Spectrale, Masson, 982, Paris. 3. Μιχ. Γ. Μαριάς, Μαθήματα Αρμονικής ανάλυσης, Εκδόσεις ζήτη, 200, Θεσσαλονίκη. 4. W.Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 970, New York. 3

32 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Μιχάλης Μαριάς. «. Ενότητα 5: Οι χώροι L p». Έκδοση:.0. Θεσσαλονίκη 204. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

33 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. []

34 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

35 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Χειμερινό εξάμηνο