Λογισμός 4 Ενότητα 14

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 14: Το θεώρημα του Green. Μιχ. Γ. Μαριάς

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Περιεχόμενα ενότητας 1. Το θεώρημα του Green. i. Διανυσματική μορφή του Green. ii. Το θεώρημα της απόκλισης στο επίπεδο. 4

5 Σκοποί ενότητας Αποδεικνύεται το βασικό θεώρημα Green που σε ορισμένες περιπτώσεις, συνδέει το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα με το διπλό ολοκλήρωμα, και το πόρισμα του δηλαδή το θεώρημα της απόκλισης. 5

6 Θεώρημα του Green (1) Το ακόλουθο θεώρημα είναι το κεντρικό θεώρημα των επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων. Θεώρημα 1 (Green) Αν το χωρίο R 3 είναι τύπου 3 και P, Q: R είναι C 1, τότε Pdx + Qdy Απόδειξη: Αρκεί να δείξουμε ότι = x Q y P dxdy. και Pdx = y Pdxdy, 1 6

7 Θεώρημα του Green (2) Qdy = x Qdxdy, 2 Ας δείξουμε την (1).Η (2) είναι παρόμοια. Κοιτάζουμε το Σχήμα 1 και παραμετρικοποιούμε το ως εξής: = γ 1 + γ 2 + γ 3 + γ 4, όπου γ 1 t = t, φ 1 t, t a, b, αφού η γ 1 είναι το γράφημα της φ 1. 7

8 Θεώρημα του Green (3) Σχήμα 1 8

9 Θεώρημα του Green (4) Στην συνέχεια, γ 2 t = b, t, t φ 1 b, φ 2 b, και γ op 3 t = t, φ 2 t, t a, b Τέλος, γ op 3 t = a, t, t φ 1 b, φ 2 b. Με Fubini έχουμε b φ 2 x y Pdxdy = dx y P x, y dy a φ 1 x = P x, φ 2 x P x, φ 1 x dx a b, 3 9

10 Θεώρημα του Green (5) Από την παραμετρικοποίηση του συνόρου συνάγεται ότι Pdx = Pdx γ 1 + Pdx γ 2 + Pdx γ 3 + Pdx γ 4 = Pdx + Pdx x t = επι των γ 2, γ 4 γ 1 γ 3 = P γ 1 t x t dt a b = P t, φ 1 t x t dt a b b P γ 3 t x t dt a b P t, φ 2 t x t dt a = y Pdxdy. 1

11 Θεώρημα του Green (6) Παράδειγμα 1: Αν P x, y = x, Q x, y = y, και Α = D,1, να γίνει επαλήθευση του Green. Λύση: Επί της περιφέρειας D = S,1, έχουμε x = συνt και y = ημt. Άρα 2π 2π Pdx + Qdy = x t x t dt + y t y t dt D 2π = συνt ημtdt Επίσης, x Q x, y y P x, y + ημtσυνtdt 2π =, άρα =. D x Q y P dxdy =. 11

12 Θεώρημα του Green (7) Παρατήρηση: Ο Green εφαρμόζεται σε μια κατηγορία χωρίων σαφώς μεγαλύτερη από αυτή των πεδίων τύπου 3. Εφαρμόζεται π.χ. σε χωρία που δεν είναι τύπου 3, αλλά διασπώνται σε τέτοια. Το κλασικό παράδειγμα είναι ο δακτύλιος του Σχ. 2. Σχήμα 2 12

13 Θεώρημα του Green (8) Παράδειγμα 2 (Εμβαδόν χωρίου): Αν R 2, και ο Green εφαρμόζεται, τότε το εμβαδόν του δίνεται από το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα = 1 xdy ydx. 2 Πράγματι, θέτοντας P = y και Q = x, έχουμε xdy ydx = Qdy + Pdx = x Q y P dxdy = dxdy = 2. 13

14 Θεώρημα του Green (9) Παράδειγμα 3: Αν Α είναι το υπο-κυκλοειδές x 3/2 + y 3/2 = 1, του Σχ.3, τότε χρησιμοποιώντας την παραμετρικοποίηση x = συν 3 t και y = ημ 3 t, t να υπολογιστεί το εμβαδόν του.,2π Σχήμα 3 14

15 Θεώρημα του Green (1) Λύση: Έχουμε = 1 2 xdy ydx = 1 2 2π x t y t y t x t = συν 3 t ημ 3 t ημ 3 t συν 3 t dt 2π 2π = 3 συν 4 t ημ 2 t ημ 4 tσυν 2 t dt 2π = 3 συν 2 tημ 2 t συν 2 t + ημ 2 t dt = 3 συν 2 tημ 2 tdt 2π = 3 8 π, όπου το τελευταίο ολοκλήρωμα υπολογίζεται περνώντας π.χ. στα διπλάσια τόξα. dt = 15

16 Διανυσματική μορφή του Green (1) Αν το F = Pi + Qj είναι C 1 και το χωρίο Α είναι καλό, τότε F = rotf, k dxdy = F, k dxdy όπου η περιστροφή ή η στροφή rotf = F, δίνεται ως γνωστόν από τον τύπο: i j k rotf = F = x y z P Q = z Qi + z Pj + x Q y P k = x Q y P k, αφού τα P, Q είναι ανεξάρτητα του z., 16

17 Διανυσματική μορφή του Green (2) Συνεπώς F, k = x Q y P k, k = x Q y P. Άρα, από τον Green, F, k dxdy = x Q y P dxdy = F Παράδειγμα 4: Έστω Α το χωρίο του πρώτου τεταρτημορίου που φράσσεται από τις καμπύλες y = x 2 και y = x (Σχ.4), και F = xy 2, x + y. 1. Χρησιμοποιώντας διπλά ολοκληρώματα, να υπολογιστεί το. I = F, k dxdy. 17

18 Διανυσματική μορφή του Green (3) 2. Να υπολογιστεί το I με τη βοήθεια του Green. Σχήμα 4 18

19 Διανυσματική μορφή του Green (4) Λύση: (1) Έχουμε και (2) Έχουμε F, k = 1 2xy, 1 2xy dxdy 1 = dx x x 2 = y xy 2 y=x y=x 2 dx 1 = x x 2 x 3 x 5 dx 1 1 2xy dy =

20 Διανυσματική μορφή του Green (5) rotf, k dxdy = F όπου και για t,1. = Qdy + Pdx + Qdy + Pdx op γ 1 γ 2 = Qdy + Pdx γ 1 Qdy + Pdx γ 2, γ 1 t = x 1 t, y 1 t = t, t 2, γ 2 t = x 2 t, y 2 t = t, t, 2

21 Διανυσματική μορφή του Green (6) Άρα F 1 = x 1 t + y 1 t y 1 t + x 1 t y 2 1 t x 1 t dt x 2 t + y 2 t y 2 t + x 2 t y 2 2 t x 2 t dt 1 = t + t 2 2t + tt 4 dt 1 1 = t 5 + t 3 + 2t 2 2t dt 1 t + t + tt 2 dt = = =

22 Το θεώρημα της απόκλισης στο επίπεδο (1) Μία επαναδιατύπωση του θεωρήματος Green είναι το επόμενο θεώρημα της απόκλισης. Θυμίζουμε ότι η απόκλιση ενός πεδίου F = Pi + Qj είναι η πραγματική συνάρτηση divf = x P + y Q. Θεώρημα 1: Αν το F = Pi + Qj είναι ένα C 1 διανυσματικό πεδίο και το χωρίο Α είναι π.χ. ανοιχτό με C 1 σύνορο, τότε F, n = divfdxdy όπου n είναι η εξωτερική μοναδιαία κάθετος στο (Σχ.5), 22

23 Το θεώρημα της απόκλισης στο επίπεδο (2) Σχήμα 5 23

24 Το θεώρημα της απόκλισης στο επίπεδο (3) Απόδειξη: Αν γ t = x t, y t, t,1, είναι μια παραμετρικοποίηση του συνόρου, τότε η μοναδιαία κάθετος n δίνεται ως γνωστόν από τον τύπο n t = y t i x t j x t 2 + y t 2. Πράγματι, n t 2 = n t, n t = y t 2 + x t 2 x t 2 + y t 2 = 1 και το n t είναι κάθετο στην εφαπτομένη γ t της καμπύλης: 24

25 Το θεώρημα της απόκλισης στο επίπεδο (4) n t, γ t 1 = x t 2 + y t 2 =. Επομένως, από τον ορισμό έχουμε = 1 1 F, n Py t 1 y t i x t j, x t i + y t j = F, n γ t γ t dt Qx t x t 2 + y t 2 = Py t Qx t dt x t 2 + y t 2 dt = Pdy Qdx 25

26 Το θεώρημα της απόκλισης στο επίπεδο (5) = y P + x Q dxdy = divfdxdy όπου στο προτελευταίο ολοκλήρωμα χρησιμοποιήσαμε Green., 26

27 Βιβλιογραφία 1. Γ. Γεωργανόπουλος, Ολοκληρωτικός Λογισμός Πολλών Μεταβλητών, Εκδόσεις Αδελφοί Κυριακίδη, Θεσσαλονίκη, Τ. Χατζηαφράτης, Απειροστικός Λογισμός σε Πολλές Μεταβλητές, Αθήνα, J. Marsden,. Tromba, Διανυσματικός Λογισμός, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, M. Spivac, Λογισμός σε Πολλαπλότητες, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

28 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Μιχάλης Μαριάς. «. Ενότητα 14: Το θεώρημα του Green». Έκδοση: 1.. Θεσσαλονίκη 214. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

29 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1]

30 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

31 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Εαρινό εξάμηνο