Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Transcript

1 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 7: Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

2 Έχουμε έναν πυκνωτή συνδεδεμένο παράλληλα με μία αντίσταση (ή μήπως σε σειρά;). Τη χρονική στιγμή μηδέν η τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι ίση με V 0, δηλαδή έχει αποθηκευμένη ενέργεια ίση με: C V 0 i C (t) v(t) i R (t) R Έχουμε σημειώσει το ρεύμα στον πυκνωτή και την αντίσταση, με πολικότητα ώστε όταν και το ρεύμα και η τάση είναι θετικά τα στοιχεία να καταναλώνουν ισχύ. Προφανώς, για να υπάρξει ροή ενέργειας στο κύκλωμα, κάποια μεγέθη θα πρέπει να βρεθούν αρνητικά.

3 Σύμφωνα με την εξίσωση του νόμου ρευμάτων του Kirchhoff έχουμε: i C (t) i R (t) Αντικαθιστώντας τα ρεύματα παίρνουμε μια εξίσωση με άγνωστο την τάση: C V 0 v(t) R Ξεχωρίζουμε τις μεταβλητές και ολοκληρώνουμε:

4 Η τάση του πυκνωτή μειώνεται εκθετικά με το χρόνο: Τη χρονική στιγμή t=0 ισούται με την αρχική τάση του πυκνωτή και όσο περνάει ο χρόνος φθίνει, ενώ σε άπειρο χρόνο μηδενίζεται. Η σταθερά χρόνου του κυκλώματος είναι ίση με το γινόμενο της χωρητικότητας του πυκνωτή επί την αντίσταση:

5 Όσο μεγαλύτερη είναι η χωρητικότητα του πυκνωτή τόσο περισσότερο διαρκεί το μεταβατικό φαινόμενο, διότι περισσότερη ενέργεια είναι αποθηκευμένη στον πυκνωτή. Όσο μεγαλύτερη είναι η αντίσταση τόσο περισσότερο διαρκεί το μεταβατικό φαινόμενο, διότι μειώνεται η ισχύς που καταναλώνει η αντίσταση. Όσο μικρότερη είναι η αντίσταση τόσο πιο γρήγορα μηδενίζεται η τάση, διότι αυξάνεται η ισχύς που καταναλώνει. Ο ρόλος της αντίστασης είναι αντίθετος από αυτόν που είχε στην περίπτωση του κυκλώματος RL. Γιατί;

6 Η ενέργεια που θα καταναλώσει η αντίσταση σε άπειρο χρόνο είναι: Όλη η αρχικά αποθηκευμένη ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή μεταφέρεται στην αντίσταση, όπου μετατρέπεται σε θερμική ενέργεια.

7 Το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση δίνεται από το νόμο του Ωμ: i C (t) i R (t) Το ρεύμα που διαρρέει τον πυκνωτή είναι: C V 0 v(t) R Ήταν αναμενόμενο το αρνητικό πρόσημο του ρεύματος, διότι ο πυκνωτής παρέχει ισχύ στο κύκλωμα. Προφανώς τα δύο ρεύματα είναι αντίθετα.

8 V s =100 V C=10 μf Παράδειγμα 75: Το κύκλωμα έχει παραμείνει πολύ χρόνο σε αυτή την κατάσταση όταν τη χρονική στιγμή t=0 ο διακόπτης ανοίγει. Να βρεθούν τα ρεύματα και οι τάσεις στα στοιχεία του κυκλώματος. t=0 ± i 1 R 1 =1 kω R 3 =2 kω V i 2 V i R1 R3 3 V V R2 C Η αρχική τάση του πυκνωτή προκύπτει από την εφαρμογή της σχέσης του διαιρέτη τάσης, διότι μπορούμε να θεωρήσουμε ότι οι αντιστάσεις R 1 και R 2 συνδέονται σε σειρά, αφού η αντίσταση R 3 δεν διαρρέεται από ρεύμα:

9 V s =100 V C=10 μf Όταν ανοίξει ο διακόπτης, το νέο κύκλωμα αποτελείται από τον πυκνωτή και τις αντιστάσεις R 2 και R 3 συνδεδεμένες σε σειρά, άρα η συνολική αντίσταση που βλέπει ο πυκνωτής είναι: t=0 ± i 1 R 1 =1 kω R 3 =2 kω V i 2 V i R1 R3 3 V V R2 C Η σταθερά χρόνου του κυκλώματος είναι: Η τάση στα άκρα του πυκνωτή θα είναι:

10 V s =100 V C=10 μf Η τάση αυτή μοιράζεται στις αντιστάσεις R 2 και R 3 σύμφωνα με τη σχέση του διαιρέτη τάσης: t=0 ± i 1 R 1 =1 kω R 3 =2 kω V i 2 V i R1 R3 3 V V R2 C Το ρεύμα που πυκνωτή θα είναι ίσο με:

11 R 3 =6 kω C=10 μf I s =10 ma Παράδειγμα 76: Ο διακόπτης του κυκλώματος κλείνει τη χρονική στιγμή t=0, αφού είχε μείνει ανοικτός για πολλή ώρα. Να βρεθεί η τάση στα άκρα του πυκνωτή μετά τη χρονική στιγμή που κλείνει ο διακόπτης. R 1 =1 kω i 1 t=0 i 2 i 3 Για όσο χρόνο ο διακόπτης είναι ανοικτός το ρεύμα της πηγής διαρρέει και τις τρεις αντιστάσεις, ενώ ο πυκνωτής μπορεί να θεωρηθεί σαν ανοικτοκύκλωμα. Η τάση του πυκνωτή ισούται με την τάση στα άκρα της αντίστασης R 3 : Αυτή είναι η αρχική τάση του πυκνωτή όταν κλείσει ο διακόπτης.

12 R 3 =6 kω C=10 μf I s =10 ma Όταν κλείσει ο διακόπτης η αντίσταση που βλέπει ο πυκνωτής είναι ο παράλληλος συνδυασμός των R 2 και R 3 : R 1 =1 kω i 1 t=0 i 2 i 3 Η σταθερά χρόνου του κυκλώματος είναι: Η τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι:

13 R 3 =6 kω C=10 μf I s =10 ma Το ρεύμα του πυκνωτή είναι: R 1 =1 kω i 1 i 2 i 3 t=0 Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι έχει αντίθετη φορά από αυτήν που σημειώνεται στο σχήμα. Τα ρεύματα των αντιστάσεων μπορούν να υπολογιστούν είτε από τη σχέση του διαιρέτη ρεύματος είτε από την εφαρμογή του νόμου του Ωμ στις αντιστάσεις.

14 R 4 =10 kω V s =10 V R 4 =10 kω C=10 μf V s =10 V Παράδειγμα 77: Ο διακόπτης του κυκλώματος ανοίγει τη χρονική στιγμή t=0, αφού είχε μείνει κλειστός για πολλή ώρα. Να βρεθεί η τάση στα άκρα του πυκνωτή μετά τη χρονική στιγμή που ανοίγει ο διακόπτης. ± R 1 =2 kω t=0 0,5 R 3 =5 kω Για να βρούμε την τάση στα άκρα του πυκνωτή όταν ο διακόπτης είναι κλειστός θα αφαιρέσουμε τον πυκνωτή και θα βρούμε την τάση στα άκρα της αντίστασης R 4, η οποία συνδέεται παράλληλα στον πυκνωτή. ± R 1 =2 kω R 3 =5 kω t<0 I 1 I 2 0,5

15 R 4 =10 kω V s =10 V Η τάση της εξαρτημένης πηγής συνδέεται με το ρεύμα του δεύτερου βρόχου με την εξής σχέση: Η εξίσωση του πρώτου βρόχου είναι: ± R 1 =2 kω R 3 =5 kω t<0 I 1 I 2 0,5 Απαλείφοντας το συντελεστή k (=10 3 ) από τις αντιστάσεις, τα ρεύματα της παραπάνω εξίσωσης είναι σε ma. Το ίδιο θα κάνουμε και στη δεύτερη εξίσωση. Η εξίσωση του δεύτερου βρόχου είναι:

16 R 4 =10 kω V s =10 V Γράφουμε τις εξισώσεις σε μορφή πίνακα: t<0 R 1 =2 kω R 3 =5 kω Στη συνέχεια βρίσκουμε το ρεύμα I 2 που μας χρειάζεται για τον υπολογισμό της τάσης του πυκνωτή: ± I 1 I 2 0,5 Η τάση του πυκνωτή πριν ανοίξει ο διακόπτης είναι:

17 R 4 =10 kω Για να βρούμε την ισοδύναμη αντίσταση που βλέπει ο πυκνωτής όταν ο διακόπτης είναι ανοικτός, θα βρούμε το ισοδύναμο Thevenin του κυκλώματος. Επειδή υπάρχει εξαρτημένη πηγή όμως δεν μπορούμε να βρούμε απευθείας την αντίσταση Thevenin, οπότε θα βάλουμε μια πηγή, έστω τάσης ίση με 1 V, στους ακροδέκτες που μένουν αν αφαιρεθεί ο πυκνωτής και θα βρούμε το ρεύμα που δίνει. 0,5 R 3 =5 kω I 1 I 2 I ± 1 V Τα αρχικά ρεύματα στα άλλα δύο πηνία είναι:

18 R 4 =10 kω Γράφουμε το νόμο τάσεων του Kirchhoff στον εξωτερικό βρόχο και έχουμε: R 3 =5 kω I 1 I 2 I 0,5 ± 1 V Από την εφαρμογή του νόμου ρευμάτων του Kirchhoff βρίσκουμε το ρεύμα που δίνει η πηγή:

19 V s =10 V R 4 =10 kω C=10 μf Άρα η αντίσταση Thevenin του κυκλώματος, δηλαδή η αντίσταση που βλέπει ο πυκνωτής, είναι: R 1 =2 kω t=0 R 3 =5 kω Η σταθερά χρόνου του κυκλώματος είναι: ± 0,5 Άρα η τάση του πυκνωτή αφού ανοίξει ο διακόπτης είναι: Η τάση της εξαρτημένης πηγής είναι η μισή της τάσης του πυκνωτή:

20 R 4 =10 kω C=10 μf Το ρεύμα του πυκνωτή είναι: R 3 =5 kω I 1 I 2 i C 0,5 Η ισχύς που παρέχει ο πυκνωτής στο κύκλωμα είναι: Το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση R 4 βρίσκεται εύκολα από το νόμο του Ωμ:

21 R 4 =10 kω C=10 μf Το ρεύμα που διαρρέει τις αντιστάσεις R 2 και R 3 είναι: R 3 =5 kω I 1 I 2 i C 0,5 Δεδομένης της φοράς του ρεύματος i 1 η εξαρτημένη πηγή καταναλώνει ισχύ ίση με:

22 Η αντίσταση R 4 καταναλώνει ισχύ: Η αντίσταση R 3 καταναλώνει ισχύ: Τέλος, η αντίσταση R 2 καταναλώνει ισχύ: