Θέμα: Κατασκευή προβλήματος, σημασία και εφαρμογές

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΔΙΑΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΜΑΘΗΜΑ: Ειδικά Θέματα Διδακτικής Μαθηματικών ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Μ. Καλδρυμίδου, Μ. Τζεκάκη, Χ. Λεμονίδης Ενότητα : Επίλυση Προβλήματος Θέμα: Κατασκευή προβλήματος, σημασία και εφαρμογές Μαύρου Νικολέτα 703 Σοφού Αναστασία 717 Χαραλαμπίδου Μαρία 729 1

2 Ανάλυση του άρθρου : Silver, E. A. (1994). On mathematical problem posing. For the Learning of Mathematics, 14(1): Στα παραδοσιακά μοντέλα διδασκαλίας και προγράμματα σπουδών οι μαθητές καλούνται να λύνουν και όχι να θέτουν μαθηματικά προβλήματα. Απαιτείται όμως να αναγνωρίσουμε τη σπουδαιότητα της κατασκευής προβλήματος από τους μαθητές και να τεθεί ως συστατικό της διδακτικής δραστηριότητας (Silver, 1994). O Kilpatrick (1987) υποστήριξε ότι το πρόβλημα που διατυπώνεται θα πρέπει να θεωρείται όχι μόνο ως στόχος της διδασκαλίας, αλλά και ως μέσο διδασκαλίας. 2

3 Κατασκευή προβλήματος Η κατασκευή μαθηματικού προβλήματος αφορά τόσο τη δημιουργία νέων προβλημάτων όσο και την εκ νέου διατύπωση συγκεκριμένων προβλημάτων. Έτσι η κατασκευή ενός προβλήματος μπορεί να προκύψει σε τρεις περιπτώσεις: 1. Πριν από την επίλυση του προβλήματος. Όταν ο στόχος δεν είναι η επίλυση ενός προβλήματος αλλά η δημιουργία ενός νέου με βάση μια κατάσταση ή εμπειρία που λειτουργεί σαν ερέθισμα. 2. Κατά τη διάρκεια της επίλυσης του προβλήματος όταν αναδιατυπώνεται ένα σύνθετο πρόβλημα. 3. Μετά την επίλυση του προβλήματος. Όταν κάποιος μπορεί να εξετάσει τις συνθήκες του προβλήματος για τη δημιουργία εναλλακτικών σχετικών προβλημάτων. Ο Polya (1957) χαρακτηρίζει αυτή τη φάση «κοιτάζοντας πίσω» στην επίλυση προβλημάτων. 3

4 Η κατασκευή προβλήματος ως χαρακτηριστικό της δημιουργικής δραστηριότητας ή ως εξαιρετικό μαθηματικό ταλέντο Οι Hadamard (1945) και Mansfield & Busse (1981) εντόπισαν την ικανότητα να θέτει κανείς ερευνητικές ερωτήσεις ως δείκτη μαθηματικού ταλέντου και οι Getzels και Csikszentmihalyi (1976) ως στοιχείο καλλιτεχνικής δημιουργικότητας. Οι Getzels και Jackson (1962) ζήτησαν από τους μαθητές να θέτουν μαθηματικά προβλήματα και χρησιμοποίησαν την πολυπλοκότητα των πράξεων ως μέτρο δημιουργικότητας. Όμοια οι Balks (1974) και Torrance (1966) χρησιμοποίησαν τη γλωσσική ευφράδεια, ευελιξία και πρωτοτυπία για την μέτρηση της δημιουργικότητας των μαθητών. 4

5 Ο Krutetskii (1976) διαπίστωσε ότι σε ένα ασαφές πρόβλημα οι μαθητές υψηλής ικανότητας ήταν σε θέση να δημιουργούν ερωτήματα ενώ οι μαθητές με λιγότερες ικανότητες χρειάζονταν υποδείξεις. Η Ellerton (1986) εντόπισε την ίδια σχέση μεταξύ ικανότητας και δημιουργικότητας ζητώντας από τους μαθητές να κατασκευάσουν ένα μαθηματικό πρόβλημα δύσκολο για έναν φίλο τους. Όμως η σχέση μεταξύ δημιουργικότητας και κατασκευής προβλήματος είναι ασαφής Ο Haylock (1987) επανεξέτασε σχετικές μελέτες και βρήκε ελλιπή τη βάση για την ένταξη μιας συσχέτισης και ο Leung (1993) δεν μπόρεσε να συσχετίσει μαθηματικές γνώσεις με επιδόσεις σε δοκιμές δημιουργικότητας. Ωστόσο ο Leung ανέφερε μια ισχυρή σχέση μεταξύ των μαθηματικών γνώσεων και της ποιότητας των προβλημάτων που δημιουργούν οι μαθητές. 5

6 Η κατασκευή προβλήματος ως χαρακτηριστικό της καθοδηγούμενης διερευνητικής διδασκαλίας Σύμφωνα με τον Ernest (1991) η καθοδηγούμενη διερευνητική διδασκαλία μαθηματικών χαρακτηρίζεται από την ύπαρξη ευθύνης για τη διατύπωση και λύση του προβλήματος τόσο από τους μαθητές όσο και από τον δάσκαλο. Οι Brown και Walter (1983) ενσωματώνουν τη κατασκευή προβλήματος στη διδασκαλία των μαθηματικών τονίζοντας τη δημιουργία νέων προβλημάτων από τα προβλήματα που έχουν επιλυθεί προηγουμένως αλλάζοντας τις συνθήκες και τους στόχους του αρχικού προβλήματος. Η κατασκευή προβλήματος στην καθοδηγούμενη διερευνητική διδασκαλία έχει απελευθερώσει μαθητές και δασκάλους από το κλασικό βιβλίο ως κύρια πηγή σοφίας και προβλημάτων στο μάθημα σχολικών μαθηματικών (VandenBrink,1987; Streefland,1987; Healy, 1993 ) 6

7 H κατασκευή προβλήματος υπήρξε σημαντικό χαρακτηριστικό της διδασκαλίας της γεωμετρίας βασισμένη στη χρήση γεωμετρικών υποθέσεων (Yerushalmy, Chazan&Gordon, 1993) καθώς επίσης και της διδασκαλίας που βασίζεται σε βίντεο, κατευθυνόμενης έρευνας που αναπτύχθηκε από τον Bransford και τους συναδέλφους του (Bransford, Hasselbring, Barron, Kulewicz, Littlefield&Goin, 1988). Η κατασκευή προβλήματος ως μέσο βελτίωσης των μαθητών στην επίλυση προβλημάτων Η αξία της κατασκευής προβλήματος στο να βοηθά τους μαθητές να γίνουν καλύτεροι στην επίλυση προβλημάτων είναι ίσως το πιο συχνά αναφερόμενο κίνητρο για το πρόγραμμα σπουδών και το εκπαιδευτικό ενδιαφέρον. Σύνδεση μεταξύ της κατασκευής μαθηματικού προβλήματος και των διδακτικών στόχων που σχετίζονται με την επίλυση προβλημάτων εντοπίζεται στο NCTM Professional teaching standards (Silver, 1994) 7

8 Οι Connor και Hawkins (1936) υποστήριξαν ότι οι μαθητές με τη δημιουργία δικών τους προβλημάτων βελτίωσαν την ικανότητά τους να εφαρμόζουν αριθμητικές έννοιες και δεξιότητες στην επίλυση προβλημάτων και ο Koenker (1958) περιλάμβανε την κατασκευή προβλήματος στους είκοσι τρόπους που βοηθούν τους μαθητές να βελτιώσουν την επίλυση προβλημάτων. Στην Ιαπωνία αρκετοί συγγραφείς (Shimada,1977; Hashimoto & Sawada, 1984; Nohda, 1986) περιγράφοντας διάφορες εκδοχές της ανοιχτής προσέγγισης διδασκαλίας ή αλλιώς της διδασκαλίας με ανοιχτά προβλήματα, προτείνουν τρόπους με τους οποίους η κατασκευή προβλήματος ενσωματώνεται στη διδασκαλία με στόχο την αύξηση της ικανότητας επίλυσης προβλημάτων. Ο Hashimoto (1987), περιέγραψε μια απομαγνητοφώνηση ενός μαθήματος στο οποίο οι μαθητές κατασκευάζουν μαθηματικά προβλήματα στη βάση ενός άλλου που λύθηκε την προηγούμενη ημέρα. 8

9 Οι Keil (1965) και Perez (1985) διαπίστωσαν ότι οι μαθητές οι οποίοι είχαν εμπειρία να γράφουν και στη συνέχεια να λύνουν τα δικά τους μαθηματικά προβλήματα, είχαν καλύτερες επιδόσεις από ό,τι οι μαθητές που απλά έλυναν προβλήματα των σχολικών εγχειριδίων. Οι Silver & Cai (1993) ζήτησαν από μαθητές να δημιουργήσουν τρία προβλήματα με βάση μια σύντομη ιστορία. Με μέτρο ταξινόμησης τη μαθηματική πολυπλοκότητά τους βρήκαν μια ισχυρή θετική σχέση μεταξύ της κατασκευής και της απόδοσης τους στην επίλυση οκτώ ανοιχτών μαθηματικών προβλημάτων που τους δόθηκαν. Αντίθετα, οι Silver & Mamona (1989) δεν διαπίστωσαν καμία εμφανή σχέση μεταξύ της κατασκευής προβλήματος από καθηγητές μαθηματικών Γυμνασίου και την επίλυση προβλημάτων. Ζήτησαν από εκπαιδευτικούς να κατασκευάσουν προβλήματα στο πλαίσιο ενός περιβάλλοντος καθηκόντων που ονόμασαν Billiard Ball Mathematics. Εκτός από το γεγονός ότι η κατασκευή μετά την επίλυση επηρεάστηκε από την εμπειρία τους από την επίλυση του προβλήματος, δεν υπήρξε άλλη σχέση μεταξύ της κατασκευής και της επίλυσης που θα μπορούσε να εντοπιστεί. 9

10 Η κατασκευή προβλήματος ως παράθυρο στην κατανόηση μαθηματικών από τους μαθητές Ο Brueckner (1932) υποστήριξε ότι δημιουργώντας προβλήματα με βάση μαθηματικές ιδέες και σχέσεις ενσωματωμένες σε καταστάσεις, οι μαθητές ασχολούνται με τη "Μαθηματικοποίηση" αυτών των καταστάσεων. Μια τέτοια εμπειρία μπορεί να τους βοηθήσει να ξεπεράσουν την τάση τους να αποτυγχάνουν να συνδέσουν τα μαθηματικά με καταστάσεις όταν τους ζητείται να λύσουν προ-σχηματισμένα προβλήματα (Silver 7 Shapiro, 1992). Οι Hart (1981), Greer και McCaan (1991), Simon (1993) και Silver & Burkett (1993) χρησιμοποίησαν την κατασκευή προβλήματος ως μία ερευνητική τεχνική για να εξετάσουν την κατανόηση από τους μαθητές σημαντικών μαθηματικών εννοιών. Παρέχοντας απαντήσεις ή εξισώσεις ή υπολογισμούς πράξεων και ζητώντας από τους μαθητές να δημιουργήσουν προβληματικές καταστάσεις που θα μπορούσαν να αντιστοιχούν σε αυτά τα δεδομένα έδειξαν ότι θα μπορούσε κανείς να ανοίξει ένα παράθυρο μέσα από το οποίο να δει τη σκέψη των παιδιών. 10

11 Όμως, από τις έρευνες των Greer και McCann (1991), Silver & Shapiro (1992), Silver & Burkett (1993) και Simon (1993) βρέθηκε μια αρκετά αδύναμη σχέση μεταξύ των καταστάσεων πραγματικής ζωής και των μαθηματικών ιδεών ή συμβόλων από μαθητές και δασκάλους. Για παράδειγμα μερικοί μαθητές χρησιμοποίησαν ένα κλάσμα για να αναπαραστήσουν έναν αριθμό ανθρώπων σε ένα πρόβλημα που κατασκεύασαν. Η κατασκευή προβλήματος ως μέσο βελτίωσης της διάθεσης των μαθητών απέναντι στα μαθηματικά. Η κατασκευή προβλήματος προσφέρει ένα μέσο σύνδεσης των μαθηματικών με τα ενδιαφέροντα των μαθητών. Όπως και το Πρόγραμμα Σπουδών και τα πρότυπα αξιολόγησης υποδεικνύουν: "Οι μαθητές θα πρέπει να έχουν ευκαιρίες να διατυπώσουν προβλήματα και ερωτήματα που προέρχονται από τα δικά τους ενδιαφέροντα" (NCTM,1989). 11

12 Το προσωπικό ενδιαφέρον δεν είναι το μοναδικό κίνητρο για την κατασκευή προβλημάτων. Μέσα στην κοινότητα της τάξης, οι μαθητές θα μπορούσαν να ενθαρρυνθούν να δημιουργήσουν προβλήματα τα οποία οι άλλοι στην τάξη θα μπορούσαν να βρουν ενδιαφέροντα ή καινοτόμα. Ο Winograd (1991) ανέφερε ότι οι μαθητές κινητοποιήθηκαν σε μεγάλο βαθμό να κατασκευάσουν προβλήματα τα οποία οι συμμαθητές τους θα έβρισκαν ενδιαφέροντα ή δύσκολα. Το προσωπικό ενδιαφέρον των μαθητών διατηρήθηκε μέσω μιας διαδικασίας ανταλλαγής προβλημάτων με άλλους. Το μαθηματικό άγχος και η άσχημη διάθεση απέναντι στα μαθηματικά, μπορούν να μειωθούν με την κατασκευή προβλημάτων (Moses, Bjork & Goldenberg, 1990; Perez, 1985) επειδή η συμμετοχή των μαθητών στην κατασκευή προβλήματος κάνει τα μαθηματικά να φαίνονται λιγότερο "τρομακτικά" (Brown & Walter, 1983). Οι μαθητές μπορεί μερικές φορές να αντισταθούν σε εκείνες τις αλλαγές στη διδασκαλία μέσα στην τάξη, που απαιτούν από αυτούς να αντιμετωπίσουν υψηλότερα επίπεδα αβεβαιότητας για τις προσδοκίες ή υψηλότερα επίπεδα ευθύνης για τη δική τους μάθηση (Davis & McKnight, 1976; Doyle & Carter, 1982). 12

13 Οι Silver και Cai (1993) διαπίστωσαν ότι ορισμένοι μαθητές, όταν τους ζητήθηκε να κατασκευάσουν τρία προβλήματα με βάση μια ιστορία, εξέφρασαν βαθιά απογοήτευση (π.χ. "Αυτό είναι άδικο", "Ο δάσκαλός μου δεν μας δίδαξε πώς να το κάνουμε αυτό "). O Healy (1993) παρέχει ένα παράδειγμα που δείχνει πώς μια έμφαση στην κατασκευή προβλήματος από μαθητές μπορεί να εξανθρωπίσει και να εξατομικεύσει τη μάθηση των μαθηματικών και τη διδασκαλία με ουσιαστικούς τρόπους. Για πολλούς από τους μαθητές του, τα μαθηματικά έγιναν κάτι διαφορετικό από ένα ουδέτερο σώμα γνώσης γεμάτο με αφηρημένες ιδέες και συμβολισμούς που οι άλλοι είχαν δημιουργήσει και τα οποία ήταν προσιτά μόνο μέσω απομίμησης και απομνημόνευσης. 13

14 We would be wise to heed the advice of the poet, Rainer Maria Rilke: Be patient toward all that is unsolved in your heart Try to love the questions themselves Σας ευχαριστούμε! 14