Ειδικά Θέµατα Διδακτικής Μαθηµατικών Θέµα: Κατασκευή προβλήµατος, σηµασία και εφαρµογές

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ - ΔΙΑΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» Ειδικά Θέµατα Διδακτικής Μαθηµατικών Θέµα: Κατασκευή προβλήµατος, σηµασία και εφαρµογές Διδάσκοντες: Καλδρυµίδου Μ. Λεµονίδης Χ. Τζεκάκη Μ. Μεταπτυχιακές φοιτήτριες: Καιµάκη Σµαράγδα Μιόγλου Καλλιόπη Μπακαλίδου Άννα Ουσταµπασίδου Σαββούλα

2 Κατασκευή προβλήµατος Σύµφωνα µε τον Silver (1994) η κατασκευή προβλήµατος από τους µαθητές περιλαµβάνει τη δηµιουργία νέων προβληµάτων και ερωτήσεων προς διερεύνηση για µια δεδοµένη κατάσταση, καθώς επίσης και την αναδιατύπωση ενός προβλήµατος κατά τη διάρκεια της επίλυσης του (English, 1997).

3 Η κατασκευή προβλήµατος (ΚΜΠ) αναγνωρίζεται σήµερα ως ένα σηµαντικό στοιχείο του αναλυτικού προγράµµατος των µαθηµατικών που βρίσκεται στο επίκεντρο της µαθηµατικής σκέψης και δραστηριότητας (Brown & Walter, 1993 Silver et al., 1996 English, 1998). Η ανάπτυξη δεξιοτήτων κατασκευής προβλήµατος είναι ένας από τους σηµαντικούς στόχους της µάθησης και της διδασκαλίας των Μαθηµατικών (Crespo, 2003)

4 Διακεκριµένοι µαθηµατικοί παιδαγωγοί (Polya, 1954 Freudenthal, 1973 Kilpatrick, 1987 Silver,1994) επεσήµαναν ότι η ΚΜΠ αποτελεί σηµαντικό µέρος της µαθηµατικής εµπειρίας των µαθητών και υποστήριξαν την ανάγκη για ενσωµάτωση δραστηριοτήτων ΚΜΠ στη διδασκαλία. Όµοια και τα Standards υποστηρίζουν ότι οι µαθητές θα πρέπει να έχουν κάποια εµπειρία να αναγνωρίζουν και να κατασκευάζουν δικά τους προβλήµατα, µια δραστηριότητα που βρίσκεται στην καρδιά των µαθηµατικών (NCTM, 1989, σ. 138).

5 Προηγούµενες µελέτες (Silver, 1994) συνδέουν τις δεξιότητες κατασκευής προβληµάτων µε τη δηµιουργικότητα, όπου η ευχέρεια, η ευελιξία και η πρωτοτυπία της απάντησης αναφέρθηκαν ως βασικοί παράγοντες. Η φύση της σχέσης αυτής παραµένει ασαφής (Silver, 1994, Haylock, 1987).

6 Φαίνεται, επιπλέον, να υπάρχει σαφέστερη σύνδεση µεταξύ της µαθηµατικής ικανότητας και της ικανότητας κατασκευής προβλήµατος, όπου οι «ικανότεροι» µαθητές είναι σε πιο εύκολη θέση να παράγουν προβλήµατα (Ellerton, 1986, Leung, 1993). Αλλά και προβλήµατα που χρειάζονταν περισσότερες πράξεις για να λυθούν.

7 Στην έρευνα της Ellerton (1986) φαίνεται οι πιο ικανοί µαθητές να σχεδιάζουν πιο επισταµένα τα προβλήµατα που κατασκευάζουν και να είναι σε θέση να υπολογίσουν την απάντηση σε αυτά, ενώ οι λιγότερο ικανοί µαθητές φαίνεται να συναντούν δυσκολίες τόσο στον σχεδιασµό όσο και στη λύση των προβληµάτων που κατασκεύασαν Παρόµοια είναι τα ευρήµατα και στην έρευνα των Leung και Silver (1997) που έγινε σε µελλοντικούς δασκάλους.

8 Ωστόσο η έρευνα δεν έχει ξεκαθαρίσει τον συσχετισµό ανάµεσα στην κατασκευή προβλήµατος και την επίλυση προβλήµατος Σύµφωνα µε τον Silver (1994) η κατασκευή προβλήµατος δεν είναι ανεξάρτητη από την επίλυση προβλήµατος Η Gonzales (1998) περιγράφει την επίλυση προβλήµατος ως µεταβατική φάση της κατασκευής προβλήµατος

9 Κατασκευή προβλήµατος και Επίλυση προβλήµατος Οι µαθητές παραµελούν να ερµηνεύσουν τα αποτελέσµατα των υπολογισµών τους, λόγω της µη ρεαλιστικής φύσης των λεκτικών προβληµάτων (Verschaffel & De Corte, 1997). Τα προβλήµατα δεν σχετίζονται µε τη ζωή των παιδιών άρα απαραίτητη η εξοικείωση µε τις προβληµατικές καταστάσεις του σχολείου

10 Κατασκευή προβλήµατος και Επίλυση προβλήµατος Η δυσκολία σε κάθε τύπο προβλήµατος επηρεάζεται από τη φύση της κατάστασής του και τη διατύπωσή του (Christou & Philippou, 1998; Verschaffel & De Corte, 1997) Επίσης, επηρεάζεται από τη φύση των δοσµένων αριθµών, την ηλικία και το επίπεδο των µαθητών και από την πράξη που περιλαµβάνεται στο πρόβληµα Οι Verschaffel & De Corte (1997) αναφέρουν ότι η επιλογή των µαθητών για την αριθµητική πράξη δε βασίζεται στην αναπαράσταση του προβλήµατος, αλλά στη λέξη-κλειδί, δηλαδή εκτός από την έλλειψη κατανόησης δοµής, µπορεί να τους µπερδέψει κάποια λέξη ή δοµή στο κείµενο Για παράδειγµα τα προβλήµατα αφαίρεσης έχουν περισσότερο νόηµα για τους µαθητές, όταν περιλαµβάνουν τη λέξη «χάνει» (Christou & Philippou, 1998; Verschaffel & De Corte, 1997)

11 Σύνδεση επίλυσης - κατασκευής προβλήµατος Η επαναδιατύπωση του προβλήµατος στη διάρκεια της επίλυσης βοηθά στο να «σπάσει» το αρχικό, άρα να γίνει πιο κατανοητό Αν δεν µπορεί να αναλυθεί το αρχικό πρόβληµα, δηµιουργώντας ταυτόχρονα άλλα προβλήµατα, είναι πιθανό το πρόβληµα να λυθεί, αλλά η λύση του να µην µπορεί να εξηγηθεί (Brown & Walter, 2005)

12 Η έκθεση των παιδιών σε µια σειρά από προβλήµατα µε διαφορετικές δοµές τα βοηθάει να αναγνωρίσουν τη σηµασία των µαθηµατικών ιδεών και τα ενθαρρύνει να µιλήσουν για το τι τους αρέσει και τι όχι σχετικά µε αυτές τις δοµές. Αυτό όχι µόνο ενισχύει την κατανόηση των παιδιών και τις αντιλήψεις τους για τις διάφορες µαθηµατικές προβληµατικές καταστάσεις αλλά παρέχει µια καλή βάση για να παράγουν τα ίδια νέα προβλήµατα (English,1997).

13 Εφαρµογές Υπάρχουν τρεις περιπτώσεις σύµφωνα µε τις οποίες µπορεί να προκύψει η κατασκευή προβλήµατος: Ø Πριν από την επίλυση προβλήµατος, µε βάση µια κατάσταση που λειτουργεί σαν ερέθισµα Ø Κατά τη διάρκεια της επίλυσης προβλήµατος όταν τροποποιείται ένα σύνθετο πρόβληµα στη διάρκεια της επίλυσης Ø Μετά την επίλυση προβλήµατος, αξιοποιώντας την εµπειρία που απέκτησαν (Silver,1994)

14 Εφαρµογές Μαθηµατικές Καταστάσεις Κατασκευής προβλήµατος Δοµηµένες καταστάσεις (από δοσµένο πρόβληµα-µε τροποποιήσεις δεδοµένων, γνωστών και αγνώστων) (Menon, 1996; Gonzales, 1998)και (Polya, 1957) Ηµι-δοµηµένες καταστάσεις (δίνονται δεδοµένα και πληροφορίες µε βάση τα οποία οι µαθητές καλούνται να δηµιουργήσουν πρόβληµα) (Menon, 1996 και Gonzales, 1998) Ελεύθερες καταστάσεις (οι µαθητές βρίσκουν καταστάσεις και δηµιουργούν το πρόβληµα) (Menon, 1996)

15 Εφαρµογή Η ανάπτυξη του προγράµµατος κατασκευής προβληµάτων της English (1997) καθοδηγήθηκε από ένα πλαίσιο το οποίο περιελάµβανε τρία βασικά συστατικά που θεωρήθηκαν σηµαντικά: α) τις αντιλήψεις των παιδιών και τις προτιµήσεις τους για τους διαφορετικούς τύπους προβληµάτων β) την αναγνώριση και τη χρήση των δοµών ενός προβλήµατος γ) την ανάπτυξη µαθηµατικής σκέψης

16 Εφαρµογές Είναι ενδιαφέρον ότι τα µη συνήθη προβλήµατα ήταν αυτά που προτιµούσαν περισσότερο τα παιδιά (προβλήµατα επαγωγικού συλλογισµού) English (1997) Α)Προτιµήσεις παιδιών Τα συνδυαστικά προβλήµατα προτιµούνταν λιγότερο (πολύπλοκα ή πολύ χρονοβόρα). Τα προβλήµατα που αφορούσαν χρήµατα και η επίλυση τους περιελάµβανε πολλά βήµατα, επίσης, δεν ήταν προτιµητέα English (1997)

17 Β)Αναγνώριση και χρήση δοµών Το πρόγραµµα είχε επιτυχία στην ανάπτυξη της κατανόησης της δοµής ενός προβλήµατος, συµπεριλαµβανοµένης της ικανότητας των παιδιών για την αναγνώριση των αντίστοιχων δοµών. Οι συνολικές απαντήσεις των παιδιών έδειξαν ότι η ισχυρή αίσθηση του αριθµού παίζει σηµαντικό ρόλο στην εξέλιξη αυτή, περισσότερο από ό,τι η ικανότητα επίλυσης προβληµάτων.

18 Τα παιδιά εµφάνισαν βελτίωση στις ικανότητές τους για να διαµορφώσουν ένα νέο πρόβληµα σε µια υπάρχουσα δοµή. Με αυτόν τον τρόπο, ήταν σε θέση να διαφοροποιήσουν τα συµφραζόµενα στην ιστορία του προβλήµατος. Αυτό είναι ένα σηµαντικό βήµα, καθώς επιτρέπει στα παιδιά να αντιλαµβάνονται τη δοµή ενός προβλήµατος ως ανεξάρτητο παράγοντα και τους παρέχει µεγαλύτερη ευελιξία στη δηµιουργία νέων προβληµάτων. Σηµαίνει, επίσης, ότι τα παιδιά µπορούν να δηµιουργήσουν περιβάλλοντα που βρίσκουν ενδιαφέροντα, σε αντίθεση µε αυτά που τους κατασκευάζουµε εµείς.

19 Γ)Μαθηµατική σκέψη Μετά τη συµµετοχή στο πρόγραµµα, τα παιδιά έδειξαν σηµαντική βελτίωση στις ικανότητές τους να δηµιουργήσουν ένα πιο διαφοροποιηµένο και πολύπλοκο φάσµα των προβληµάτων.

20 Σηµασία κατασκευής προβλήµατος Η σ υ µ π ε ρ ί λ η ψ η δ ρ α σ τ η ρ ι ο τ ή τ ω ν γ ι α κατασκευή προβληµάτων στο πρόγραµµα σπουδών µπορεί να προωθήσει πιο ποικιλόµορφη και ευέλικτη σκέψη, να ενισχύσει την ικανότητα επίλυσης προβληµάτων, να διευρύνει τις αντιλήψεις των µαθητών για τα µαθηµατικά και να εµπλουτίσει και να παγιώσει τις βασικές έννοιες των µαθηµατικών. (Brown & Walter, 1993; English, 1996; English, in press a; Silver & Burkett, 1993; Simon, 1993)

21 Η κατασκευή προβλήµατος είναι σηµαντική, καθώς οι µαθητές αναπτύσσουν δεξιότητες επίλυσης προβλήµατος και θετική στάση απέναντι στα µαθηµατικά (Silver, 1994) Οι δραστηριότητες κατασκευής προβληµάτων µπορούν να µας δώσουν σηµαντικές πληροφορίες για την κατανόηση των µαθηµατικών εννοιών και διαδικασιών από τα παιδιά καθώς και τις αντιλήψεις τους και στάσεις απέναντι στη διαδικασία επίλυσης προβληµάτων και στα µαθηµατικά γενικότερα (Brown & Walter, 1993; English, 1996; Van den Heuvel, Panhuizen, Middleton, & Streefland, 1995).

22 Δηµιουργία νέων προβληµάτων σε υφιστάµενες δοµές Συνδυαστικό πρόβληµα Η επιχείρηση «Lazy Days Icecream Parlour» έχει παγωτό φράουλα, παγωτό σοκολάτα και µάνγκο παγωτό. Έχει πράσινους κώνους και µοβ κώνους. Έχει, επίσης, σιρόπι κεράσι, µπανάνα και βατόµουρου. Πόσους διαφορετικούς συνδυασµούς παγωτών θα µπορούσατε να αγοράσετε, αν κάθε παγωτό έχει µια γεύση, έναν κώνο και ένα είδος σιροπιού; (Δοσµένο πρόβληµα) Η επιχείρηση «Greg Chapple Cricket» έχει τριών ειδών ρόπαλα κρίκετ: kookaburra, Mark Waugh και Alan Border. Κάθε ρόπαλο χρειάζεται µια λαβή και οι λαβές είναι πολύχρωµες, µπλε και καρό. Εάν κάθε ρόπαλο του κρίκετ είχε διαφορετική λαβή, πόσα διαφορετικά είδη ροπάλων µπορούν να υπάρχουν; (πρόβληµα µαθητή, Tim, SB)

23 Δηµιουργία νέων προβληµάτων σε υφιστάµενες δοµές Πρόβληµα που ακολουθεί ένα µοτίβο Ο Sam µοιράζει φυλλάδια για να κερδίσει το χαρτζιλίκι του. Την πρώτη ηµέρα παρέδωσε 150 φυλλάδια. Τη δεύτερη ηµέρα παρέδωσε 165 φυλλάδια και την τρίτη ηµέρα 180 φυλλάδια. Αν συνεχίζει να µοιράζει φυλλάδια σε αυτό το µοτίβο, πόσες µέρες θα του πάρει, για να παραδώσει 210 φυλλάδια; (Δοσµένο πρόβληµα) Η Τζένη µετακοµίζει και έχει πολλά πράγµατα να συσκευάσει σε κουτιά. Την πρώτη ηµέρα έβαλε 20 πράγµατα σε ένα κουτί. Τη δεύτερη ηµέρα έβαλε 25 πράγµατα σε ένα κουτί και την τρίτη ηµέρα έβαλε 30. Αν συνεχίζει να συσκευάσει κουτιά σε αυτό το µοτίβο, πόσες µέρες θα της πάρει, για να συσκευάσει 50 πράγµατα; (πρόβληµα µαθήτριας, Lucy, SN / WP)

24 Δηµιουργία νέων προβληµάτων σε υφιστάµενες δοµές Πρόβληµα επαγωγικού συλλογισµού Τέσσερις διάσηµοι άνθρωποι των σπορ εισήλθαν σε ένα τηλεοπτικό στούντιο. Ένας ήταν ένας παίκτης του τένις, ένας ήταν κολυµβητής, ένας ήταν παίχτης του γκολφ και ένας ήταν παίκτης σκακιού. Χρησιµοποιήστε τις ενδείξεις για να µάθετε ποιος έπαιξε ποιο άθληµα. Ενδείξεις: 1. Ο κ. Bowler δεν είναι καλός στο σκάκι. 2. Τόσο το άθληµα του κ.big όσο και της κα.ace περιλαµβάνει µια µπάλα. 3. Η κα. Fish δεν µπορεί να κολυµπήσει. 4. Ούτε η κα.ace ούτε η κα.fish παίζουν τένις. (Δοσµένο πρόβληµα) Ο Adam, ο Chris, Amy, και η Kate αγόρασαν κάποια παιχνίδια. Υπήρχε ένα φορτηγό, ένα αυτοκίνητο, µια µπάλα και ένα πόνι. Η Amy δεν αγόρασε το φορτηγό, ούτε το αυτοκίνητο. Ο Adam δεν αγόρασε την µπάλα ούτε το πόνι. Η Kate αγόρασε το αυτοκίνητο. Ο Chris δεν αγόρασε το φορτηγό ή το πόνι. Ποιο παιχνίδι αγόρασε ο Adam, η Amy και ο Chris; (πρόβληµα µαθητή, Adam, SB)

25 Δηµιουργία προβληµάτων από δεδοµένα στοιχεία (συµβολικές εκφράσεις) Παραδείγµατα µαθητών Για το στοιχείο 12: 3 Ο Adam έχει 12 καρότα. Φύτεψε 3 σειρές. Πόσα καρότα θα είναι σε κάθε σειρά; Για το στοιχείο 3: 4 Είχα 3 κέικ. Αν µπορούσαν να τα µοιραστούν 4 φίλοι µου χωρίζοντάς τα σε τέταρτα, πόσα κοµµάτια του κάθε κέικ θα έπαιρνε καθένας; Ο Adam έχει 3 κέικ. Θα πρέπει να µοιραστούν ίσα σε 4 φίλους µου. Πόσες φέτες θα πάρει το καθένα;

26 Δηµιουργία προβληµάτων από δεδοµένα στοιχεία (συµβολικές εκφράσεις) Παραδείγµατα µαθητών Για το στοιχείο Ο Bill έχει 132 Lego κοµµάτια. Έχει 29 λιγότερα από τον Adam. Πόσα Lego κοµµάτια έχει Adam; Η Jane έχει 132 µπίλιες και ο Aaron έχει 29 λιγότερες από την Jane. Πόσες έχει ο Aaron; Για το στοιχείο 4x3 Ο Tony φύτεψε καρότα. Έκανε 4 σειρές και σε κάθε σειρά είχε 3 καρότα. Πόσα καρότα φύτεψε ο Τόνι; Η Kelly έχει 4 παντελόνια και 3 πουκάµισα. Πόσα διαφορετικά ντυσίµατα µπορεί να κάνει;

27 Ευχαριστούµε για την προσοχή σας!