ΧΡΗΣΗ ΝΕΥΡΩΝΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΤΩΝ ΤΙΜΩΝ ΤΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΟΤΗΤΑΣ ΑΝΟΜΟΙΟΓΕΝΟΥΣ ΥΔΡΟΦΟΡΕΑ

Transcript

1 AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΒΙΩΣΙΜΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΧΡΗΣΗ ΝΕΥΡΩΝΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΤΩΝ ΤΙΜΩΝ ΤΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΟΤΗΤΑΣ ΑΝΟΜΟΙΟΓΕΝΟΥΣ ΥΔΡΟΦΟΡΕΑ ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ ΖΗΣΗΣ Διπλ. Πολιτικός Μηχανικός Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 2009

2 Στους γονείς μου και τον αδελφό μου

3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα υπόγεια νερά αποτελούν ένα από τους σημαντικότερους υδατικούς πόρους για την ικανοποίηση των υδρευτικών, αρδευτικών, βιομηχανικών απαιτήσεων της ανθρωπότητας. Η ανεξέλεγκτη άντληση νερού από τους υπόγειους υδροφορείς και η ρύπανση τους από απόβλητα και λύματα ανθρωπογενούς προέλευσης έχει οδηγήσει σε ποσοτική και ποιοτική υποβάθμιση των υπόγειων υδατικών πόρων. Η αειφορική διαχείριση των υπογείων νερών γίνεται με μαθηματικά μοντέλα. Τα τελευταία χρόνια τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα είναι μια τεχνική που βρίσκει μεγάλη εφαρμογή στην αντιμετώπιση πολλών προβλημάτων των υπόγειων νερών. Στην διατριβή αυτή, που εκπονήθηκε στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού Προγράμματος Ειδίκευσης «Προστασία Περιβάλλοντος και Βιώσιμη Ανάπτυξη» του τμήματος Πολιτικών Μηχανικών, της Πολυτεχνικής Σχολής του Α.Π.Θ. διερευνήθηκε η εφαρμογή των τεχνητών νευρωνικών δικτύων σε ένα σύστημα δυο πηγαδιών άντλησης νερού από περιορισμένο ανομοιογενή υδροφορέα για τον προσδιορισμό των τιμών της μεταφορικότητας κάθε ζώνης του υδροφορεα έχοντας σαν δεδομένα τις παροχές και τις πτώσεις στάθμης των πηγαδιών, επιλύοντας το αντίστροφο πρόβλημα. Η διάρθρωση της διατριβής περιλαμβάνει το κεφάλαιο της Εισαγωγής, όπου δίνονται γενικά στοιχεία για τους υδατικούς πόρους και επισημαίνεται η σημασία και η σπουδαιότητα των υπόγειων νερών. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα συστήματα των υπόγειων νερών, οι βασικές εξισώσεις συνεχείας και κίνησης, λύσεις επιμέρους προβλημάτων, δίνοντας έμφαση στην υδραυλική, τις εξισώσεις και τις λύσεις των πηγαδιών. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται μια θεωρητική προσέγγιση στα νευρωνικά δίκτυα, όπου αναλύονται οι περισσότερες και οι πιο διαδεδομένες μέθοδοι νευρωνικών δικτύων που χρησιμοποιούνται. Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται αναφορά στις εφαρμογές των νευρικών δικτύων σε προβλήματα υδραυλικής και υδρολογίας και μια βιβλιογραφική ανασκόπηση στο θέμα αυτό. Στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζεται το πρόβλημα με το οποίο ασχοληθήκαμε, γίνεται αναφορά στις παραδοχές και στα δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν, και στο τύπο του νευρωνικού δικτύου που χρησιμοποιήθηκε για την επίλυση του προβλήματος. Τέλος, στο i

4 έκτο κεφάλαιο δίνονται τα αποτελέσματα των δοκιμών που επιχειρηθήκαν και στο έβδομο κεφάλαιο τα συμπεράσματα που βγήκαν από την εφαρμογή του νευρωνικού στο πρόβλημα που εξετάζουμε. Ο επιβλέπων καθηγητής για την εκπόνηση της μεταπτυχιακής διατριβής είναι ο Καθηγητής Κωνσταντίνος Κατσιφαράκης και στην τριμελή εξεταστική επιτροπή συμμετέχουν ο Καθηγητής Δημήτριος Τολίκας και ο Αναπληρωτής Καθηγητής Μάριος Βαφειάδης. Στο σημείο αυτό επιθυμώ να ευχαριστήσω όλους όσους συνέβαλαν στην πραγματοποίηση της μεταπτυχιακής μου διατριβής. Ευχαριστώ ιδιαίτερα τον κ. Κ. Κατσιφαράκη για την ανάθεση του θέματος της διατριβής μου καθώς και για τη συνεχή παρακολούθηση, τις υποδείξεις και τη διόρθωση των κειμένων με σκοπό την πληρέστερη παρουσίασή της. Επιπλέον, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ. Μ. Βαφειάδη για τη συμβολή του στην επίλυση προβλημάτων που ανέκυψαν κατά τη διαδικασία εφαρμογής των νευρωνικών δικτύων στο εξεταζόμενο πρόβλημα υδραυλικής. Εξαιρετικά χρήσιμη ήταν και η συμβολή του κ. Π. Λατινόπουλου τόσο για τη συνολική του προσφορά κατά τη διάρκεια των μεταπτυχιακών μου σπουδών αλλά κυρίως για τις κατευθυντήριες γραμμές σχετικά με την ορθή συγγραφή των διπλωματικών εργασιών. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα την Χ. Καραμπερίδου, για τις πολύτιμες πληροφορίες και το απαραίτητο υλικό το οποίο είχε την καλοσύνη να μου προσφέρει σχετικά με θέματα νευρωνικών δικτύων. Ακόμη, ευχαριστώ τον κ. Β. Αντωνόπουλο, καθηγητή της Γεωπονικής Σχολής του Α.Π.Θ., για την παροχή συμβουλών σε θέματα υδραυλικής. Η προσπάθεια αυτή δε θα μπορούσε να πραγματοποιηθεί χωρίς τη βοήθεια συμβολή του Α. Δρίτσα, που θεωρώ ότι είναι υποχρέωσή μου να ευχαριστήσω, καθώς συνέβαλε σημαντικά στην κατανόηση θεμάτων προγραμματισμού Η/Υ απαραίτητων για την επίλυση του μαθηματικού προβλήματος. Κλείνοντας, θα ήθελα να εκφράσω τις εγκάρδιες ευχαριστίες μου στην οικογένειά μου για την αμέριστη υποστήριξή και υπομονή της σε όλη τη διάρκεια εκπόνησης της μεταπτυχιακής αυτής διατριβής. Τελειώνοντας, ευχαριστώ τους φίλους μου, χωρίς τη συμπαράσταση των οποίων δεν θα τα είχα καταφέρει. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 2009 ii

5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην διατριβή αυτή διερευνήθηκε η εφαρμογή των τεχνητών νευρωνικών δικτύων σε ένα σύστημα δυο πηγαδιών άντλησης νερού από περιορισμένο ανομοιογενή υδροφορέα για τον προσδιορισμό των τιμών της μεταφορικότητας κάθε ζώνης του υδροφορέα. Το φυσικό πρόβλημα περιλαμβάνει περιορισμένο υδροφορέα αποτελούμενο από δύο ζώνες με διαφορετική μεταφορικότητα. Από τον υδροφορέα γίνεται άντληση νερού από δύο πηγάδια που βρίσκονται το καθένα σε διαφορετική ζώνη. Εξετάστηκαν οι περιπτώσεις που το όριο των δύο ζωνών συμπίπτει με τον άξονα y του Καρτεσιανού Συστήματος Συντεταγμένων και η περίπτωση που το όριο σχηματίζει γωνία με τον άξονα αυτό. Ο προσδιορισμός της πτώσης στάθμης στα δύο πηγάδια γίνεται με αναλυτική λύση, που βασίζεται στη μέθοδο των εικόνων. Για συνδυασμό των παραμέτρων του υδροφορέα (μεταφορικότητα στις δύο ζώνες), της παροχής άντλησης και της ακτίνας επιρροής των πηγαδιών, τις μεταξύ τους αποστάσεις και των σταθερών της κλίσης του ορίου των ζωνών προσδιορίστηκαν οι πτώσεις στάθμης στα δύο πηγάδια. Για τον προσδιορισμό των μεταφορικοτήτων και της γωνίας της γραμμής του ορίου των δύο ζωνών του υδροφορέα με τον άξονα των y, χρησιμοποιήθηκε η τεχνική των νευρωνικών δικτύων. Χρησιμοποιήθηκε μια παραλλαγή του αλγόριθμου ανάδρασης νευρωνικών δικτύων (Quickprop). Διερευνήθηκε η εφαρμογή των Τ.Ν.Δ. για την περίπτωση που το όριο συμπίπτει με τον άξονα των y και για την περίπτωση που σχηματίζει τυχούσα γωνία με αυτόν. Για την εκπαίδευση και τον έλεγχο των Τ.Ν.Δ. προσδιορίστηκαν με την αναλυτική λύση σειρές δεδομένων με διαφορετικές τιμές παροχής, μεταφορικότητας ζώνης Ι και ζώνης ΙΙ, συντεταγμένες των δύο πηγαδιών και γωνία της γραμμής του ορίου με τον άξονα των y. Για τη περίπτωση που το όριο συμπίπτει με τον άξονα των y, επιλέχθηκαν συνολικά 115 σειρές δεδομένων, ενώ για τη περίπτωση που το όριο σχηματίζει γωνία με αυτόν, 95 σειρές δεδομένων. Από το συνδυασμό διαφορετικών περιπτώσεων της αρχιτεκτονικής του δικτύου, της τάξης μεγέθους των τιμών των δεδομένων και του αριθμού αυτών που χρησιμοποιήθηκαν για εκπαίδευση και για έλεγχο προέκυψε ότι ο καλύτερος συνδυασμός είναι ο , δηλαδή 4 μεταβλητές εισόδου, 10 νευρώνες του κρυφού επιπέδου και 2 μεταβλητές εξόδου. Στη παραλλαγή του προβλήματος που εξετάστηκε, δοκιμάστηκαν διάφοροι συνδυασμοί τόσο των iii

6 δεδομένων όσο και της αρχιτεκτονικής του δικτύου και προέκυψε ότι η αποδεκτή λύση είναι η Ο αλγόριθμος που χρησιμοποιήθηκε μπορεί και εκτιμάει με μεγάλη ακρίβεια της τιμές της μεταφορικότητας στο απλό πρόβλημα άντλησης νερού από ζεύγος πηγαδιών σε ανομοιογενή υδροφορέα. Στη περίπτωση που εισάγεται στα δεδομένα ο παράγοντας της κλίσης του ορίου, το νευρωνικό δίκτυο δεν δίνει πολύ ακριβή αποτελέσματα, και συγκεκριμένα εμφανίζει μεγάλες αποκλίσεις τόσο για τη μεγάλη τιμή της μεταφορικότητας όσο και για το συντελεστή της εξίσωσης του ορίου. Διερευνώντας το πρόβλημα αυτό, έγινε ανάλυση ευαισθησίας για τις τιμές τις πτώσης στάθμης κάθε πηγαδιού για διάφορες γωνίες στροφής του ορίου και βγήκε το συμπέρασμα ότι δεν είναι ευαίσθητο το δίκτυο. Συνεπώς, το νευρωνικό δίκτυο δεν είναι ευαίσθητο στις αλλαγές των παραμέτρων που δεν επηρεάζουν έντονα τη λύση του φυσικού προβλήματος και για αυτό το λόγο δίνει λάθος αποτελέσματα. Τα νευρωνικά δίκτυα γενικώς, μπορούν να αποτελέσουν ένα χρήσιμο εργαλείο στη διερεύνηση και πιο σύνθετων προβλημάτων των υπόγειων υδατικών πόρων. iv

7 ABSTRACΤ The aim of this thesis is to investigate the efficiency of artificial neural networks in solving the inverse problem of groundwater hydraulics, namely the calculation of aquifer transmissivity using water level drawdown measurements. More precisely, a confined infinite aquifer with two zones of different transmissivities has been studied, bearing one well at each zone. Water is pumped at constant flow rates from these wells and the respective water level drawdown is measured (under steady state conditions). Two cases are investigated. In the first (and simpler one), the boundary of the two zones is known and coincides with the y axis of the Cartesian coordinate system. In the second case, the boundary forms an unknown angle with the y-axis. Instead of field measurements, artificial input data are used, which are obtained by means of an analytical solution, based on the method of images. To produce them we have used transmissivity values ranging from 10-3 to 10-5 m 2 /s and flow rate values ranging from 10 to 50 l/s. Regarding the distances of the wells from the boundary of the two zones, they are smaller than The aforementioned data are used then to train an artificial neural network to predict the transmissivities of the aquifer zones, based on well flow rates and the respective water level drawdowns. The ANN used is based on the well-known Quickprop algorithm. In the first case, namely when the location of the boundary coincides with the y-axis, 115 groups of data were used, while in the case of the rotated axis 95 groups of data were used. A number of network architectures have been investigated, using different number of data in the training phase. We have concluded that for the first case the optimal combination is , which means that we have 4 input parameters, 10 neurons in the hidden level and 2 output parameters. For the second case the best architecture seems to be Te results for the first case were quite satisfactory, namely the ANN was able to predict the 2 transmissivity values quite accurately. In the second case though, the ANN predictions were not that good, in particular regarding the angle formed by the zone boundary and the y- axis. To explain the discrepancies we have conducted a sensitivity analysis. We have found out that this angle affects the drawdown values slightly only. This outcome explains the weak v

8 performance of the ANN, regarding this variable, which in turn affects prediction of the other two variables, too. In conclusion artificial neural networks might be able to contribute to the solution of more complicated underground water problems vi

9 Περιεχόμενα Πρόλογος Περίληψη Abstract Περιεχόμενα Σχήματα Πίνακες i iii v viii x 1 Εισαγωγή 1 2 Υπόγειοι υδατικοί πόροι Εισαγωγή Ταξινόμηση υπόγειων υδροφορέων Μαθηματικό μοντέλο υπόγειων νερών Μαθηματικό πρόβλημα οριζόντιων ροών Μαθηματικό πρόβλημα για κατακόρυφες τομές Αρχικές και οριακές συνθήκες Υδραυλική των πηγαδιών Μόνιμες ροές σε πηγάδια Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια Συστήματα πηγαδιών και μέθοδος των εικόνων Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα Θεωρητική προσέγγιση Εισαγωγή Βιολογικά Νευρωνικά Δίκτυα Τα Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα Λειτουργία Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων Συνάρτηση ενεργοποίησης Ο αισθητήρας (perceptron) Η δομή του αισθητήρα Αρχιτεκτονική Νευρωνικών Δικτύων Εκπαίδευση Νευρωνικού Δικτύου Κανόνες εκμάθησης Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων...36 vii

10 Κανόνας εκμάθησης δέλτα ή Κανόνας Windrow Hoff (1960) Χεμπιανά μοντέλα εκμάθησης Ανταγωνιστικά μοντέλα εκμάθησης Υπερεκπαίδευση Νευρωνικών Δικτύων Μέθοδος cross - validation Προσθήκη θορύβου Μέθοδος δεδομένων παρακολούθησης Ταξινόμηση Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα Προώθησης (Feedforward Neural Networks) Δίκτυα Συναρτήσεων Βάσεως Ακτινικού Τύπου (RBF) Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα Ανατροφοδότησης (Recurrent/Feedback ANN) Πλεονεκτήματα και Μειονεκτήματα Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων Εφαρμογές Νευρωνικών Δικτύων Εισαγωγή Τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα στη διερεύνηση της σχέσης βροχοπτώσεων απορροών Τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα στην πρόβλεψη χειμαρρικών παροχών Τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα στα υπόγεια νερά Τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα στην ποιότητα των υδατικών πόρων Τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα στην εκτίμηση βροχοπτώσεων Εφαρμογή Τεχνητού Νευρωνικού Δικτύου σε ανομοιογενή υδροφορέα Περιγραφή του προβλήματος Δεδομένα και παραδοχές Μαθηματικές σχέσεις υπολογισμού Περιγραφή νευρωνικού δικτύου Αλγόριθμος Quickprop Εφαρμογή του τεχνητού νευρωνικού δικτύου στο πρόβλημά μας Αποτελέσματα εφαρμογής Πρώτη δοκιμή νευρωνικού δικτύου Δεύτερη δοκιμή νευρωνικού δικτύου Τρίτη δοκιμή νευρωνικού δικτύου Μετατροπή προβλήματος Πρώτη δοκιμή Δεύτερη δοκιμή...71 viii

11 6.4.3 Τρίτη δοκιμή Συμπεράσματα 77 Βιβλιογραφία 80 Παράρτημα Α: Αλγόριθμος Quickprop 85 Παράρτημα Β: Δεδομένα - Αποτελέσματα 88 ix

12 Σχήματα Πίνακες Σχήματα Σχήμα 1.1. Ο υδρολογικός κύκλος 2 Σχήμα 1.2. Παγκόσμια κατανομή νερού 2 Σχήμα 1.3. Ποσοστά γλυκού και αλμυρού νερού 3 Σχήμα 2.1. Τύποι υδροφορέων 5 Σχήμα 2.2. Ακόρεστη και κορεσμένη ζώνη σε κατακόρυφη τομή του εδάφους 6 Σχήμα 2.3. Γενική μορφή συστήματος φρεάτιου και περιορισμένου υδροφορέα 10 Σχήμα 2.4. Γραμμές ροής 11 Σχήμα 2.5. Οριακές συνθήκες για τα προβλήματα κατακόρυφων τομών 12 Σχήμα 2.6. Μέθοδος εικόνων για πηγάδι κοντά σε όριο δεξαμενής 21 Σχήμα 2.7. Μέθοδος εικόνων για πηγάδι κοντά σε αδιαπέρατο όριο 22 Σχήμα 3.1 Φυσικός Νευρώνας 24 Σχήμα 3.2: Ένα μοντέλο τεχνητού νευρώνα 25 Σχήμα 3.3. Τυπικό σχήμα νευρώνα (κύκλος) με εισόδους (S 1, S 2, S 3,.) με αντίστοιχα βάρη (w 1,w 2,w 3,..) και μία έξοδο 27 Σχήμα 3.4: Συνάρτηση κατωφλιού 28 Σχήμα 3.5: Γραμμική συνάρτηση 28 Σχήμα 3.6: Σιγμοειδής συνάρτηση 28 Σχήμα 3.7: Υπερβολική εφαπτομένη 29 Σχήμα 3.8. Ο στοιχειώδης αισθητήρας 29 Σχήμα 3.9. Ο αισθητήρας με n νευρώνες 31 Σχήμα Νευρωνικό δίκτυο με κρυφά επίπεδα 31 Σχήμα 3.11 Αναδρομικά δίκτυα χωρίς κρυφό επίπεδο 32 Σχήμα Αναδρομικά δίκτυα με κρυφό επίπεδο 32 Σχήμα Εμπρός-Τροφοδότησης δίκτυο με ένα επίπεδο νευρώνων 33 Σχήμα Πλήρως συνδεδεμένο δίκτυο εμπρός-τροφοδότησης με ένα κρυφό επίπεδο και ένα επίπεδο εξόδου 33 Σχήμα Μερικώς συνδεδεμένο δίκτυο εμπρός-τροφοδότησης 34 x

13 Σχήμα (a) Μονοδιάστατο πλέγμα με 3 νευρώνες. (b) Δισδιάστατο πλέγμα με 3 x 3 νευρώνες. 35 Σχήμα 3.17 Ταξινόμηση Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων 40 Σχήμα 3.18 Δίκτυο Hopfield με τρεις νευρώνες 45 Σχήμα 5.1. Υδροφορέας με δυο διαφορετικές ζώνες μεταφορικότητας και δυο πηγάδια σε διαφορετικές ζώνες 58 Σχήμα 6.1. Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου για τις τιμές της μεταφορικότητας Τ 1 64 Σχήμα 6.2. Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου για τις τιμές της μεταφορικότητας Τ 2 64 Σχήμα 6.3. Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου για τις τιμές της μεταφορικότητας Τ 1 65 Σχήμα 6.4. Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου για τις τιμές της μεταφορικότητας Τ 2 66 Σχήμα 6.5. Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου για τις τιμές της μεταφορικότητας Τ 2 67 Σχήμα 6.6. Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου για τις τιμές της μεταφορικότητας Τ 2 67 Σχήμα 6.7. Στροφή διεπιφάνειας κατά τον κατακόρυφο άξονα Υ 68 Σχήμα 6.8. Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου για τις τιμές της μεταφορικότητας Τ 1 70 Σχήμα 6.9. Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου για τις τιμές της μεταφορικότητας Τ 2 70 Σχήμα Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου για τις τιμές του συντελεστή a 71 Σχήμα Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου για τις τιμές της μεταφορικότητας Τ 1 72 Σχήμα Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου για τις τιμές της μεταφορικότητας Τ 2 72 Σχήμα Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου για τις τιμές του συντελεστή a 72 Σχήμα Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου για τις τιμές της μεταφορικότητας Τ 1 73 Σχήμα Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου για τις τιμές της μεταφορικότητας Τ 2 74 Σχήμα Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου για τις τιμές του συντελεστή a 74 Πίνακες Πίνακας 3.1. Αντιστοιχία ορολογίας μεταξύ Βιολογικών και Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων 26 Πίνακας 6.1. Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου 4-8-2, με μετατροπή των τιμών της μεταφορικότητας (x 10000) 64 Πίνακας 6.2. Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου 4-8-2, με μετατροπή των τιμών της μεταφορικότητας (x 1000). 65 Πίνακας 6.3. Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου , με μετατροπή των τιμών της μεταφορικότητας (x 1000) 66 Πίνακας 6.4. Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου , με μετατροπή των τιμών της μεταφορικότητας (x 1000) 69 Πίνακας 6.5. Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου , με μετατροπή των τιμών της μεταφορικότητας (x 10000) 71 xi

14 Πίνακας 6.6. Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου , με μετατροπή των τιμών της μεταφορικότητας (x 10000). 73 Πίνακας 6.7. Ανάλυση ευαισθησίας για γωνίες στροφής από 10 0 έως Πίνακας 6.8. Ανάλυση ευαισθησίας για γωνίες στροφής από - 10 ο έως - 80 ο 75 Πίνακας Β.1 Αρχείο εισόδου στο πρόγραμμα 87 Πίνακας Β.2 Αρχείο εξόδου OUT 90 Πίνακας Β.3 Αρχείο εξόδου συγκεντρωτικών αποτελεσμάτων 91 xii

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ως βασικό στοιχείο της φύσης το νερό παίζει καθοριστικό ρόλο στη διατήρηση των ισορροπιών μεταξύ των οικοσυστημάτων. Οι κλιματικές αλλαγές, η παρέμβαση του ανθρώπου και οι συνεχώς αυξανόμενες ανάγκες του σε νερό δημιουργούν την έλλειψη νερού, ένα πολύ έντονο και σοβαρό πρόβλημα (Babbit et al, 1974, Λατινόπουλος, 1996). Η προστασία και η διαχείριση των υδατικών πόρων είναι ένα πολύπλοκο ζήτημα, το οποίο μπορεί να ρυθμίζεται με τη βοήθεια και την κατάλληλη εκπαίδευση όλων μας. Οι υδατικοί πόροι όχι μόνο δεν είναι ανεξάντλητοι, αλλά ήδη η διαθεσιμότητά τους έχει φτάσει σε οριακό σημείο λόγω της ανεξέλεγκτης εκμετάλλευσης. Επίσης είναι απαραίτητο να επιτευχθεί η σταδιακή μείωση της ρύπανσης των υπόγειων νερών και η βελτίωση του υδατικού περιβάλλοντος με την κατάλληλη διαχείριση και τη βιώσιμη χρήση των υδατικών πόρων. Ο υδρολογικός κύκλος (Σχήμα 1.1) είναι μια διαρκής κυκλοφορία και μετατροπή του νερού σε διάφορες καταστάσεις. Χάρη σε αυτόν ανανεώνονται τα αποθέματα γλυκού νερού που είναι απαραίτητα για τη διατήρηση της ζωής στη γη. 1

16 Σχήμα 1.1. Ο υδρολογικός κύκλος ( Ο συνολικός όγκος νερού που υπάρχει στη γη εκτιμάται στα 1358 εκατομμύρια κυβικά χιλιόμετρα περίπου και θεωρείται υπεραρκετός και ουσιαστικά ανεξάντλητος σε σχέση με τις ανάγκες του ανθρώπου. Όμως, το μεγαλύτερο μέρος του είναι ακατάλληλο ή απρόσιτο. Το αλμυρό νερό των ωκεανών αποτελεί το 97,39% ενώ το νερό με τη μορφή χιονιού ή πάγου είναι το 2,01%. Τα υπόγεια νερά, με συνολική ποσότητα km 3 (0,58%) μοιράζονται σε νερό που βρίσκεται σε βάθος κάτω από 800m από την επιφάνεια της γης και πρακτικά είναι αδύνατο να χρησιμοποιηθεί - και σε αυτό που βρίσκεται μέχρι το βάθος των 800m. Η ποσότητα των υπόγειων νερών που είναι αποθηκευμένη σε πολύ μεγάλα βάθη από την επιφάνεια της γης, δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί διότι η περιεκτικότητα σε άλατα είναι σημαντική και η άντλησή τους είναι υπερβολικά δαπανηρή (Ward, 1967, Gray, 1973). Το υπόλοιπο (περίπου 0,03%) αποτελεί το νερό των ποταμών, των λιμνών και το νερό των υδρατμών της ατμόσφαιρας (Σχήματα 1.2 και 1.3). Σχήμα 1.2. Παγκόσμια κατανομή νερού (Πηγή: 2

17 Σχήμα 1.3. Ποσοστά γλυκού και αλμυρού νερού (Πηγή: Υπόγεια νερά ονομάζονται οι ποσότητες νερού που βρίσκονται κάτω από την επιφάνεια του εδάφους, ενώ υδροφορείς ονομάζονται τα εδάφη ή τα πετρώματα στα οποία υπάρχει αποθηκευμένο νερό και επιτρέπουν την κίνηση σημαντικών ποσοτήτων του μέσα από τα διάκενα που παρουσιάζει η δομή τους (Τολίκας, 1985). Το νερό χρησιμοποιείται κυρίως για την κάλυψη των οικιακών αναγκών, την αύξηση της αγροτικής παραγωγής, την παραγωγή βιομηχανικών αγαθών και ενέργειας και την ψυχαγωγία. Κάθε µία απ τι χρήσεις αυτές απαιτεί την κατανάλωση μεγάλων ποσοτήτων νερού (Linsley, 1975). 3

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΥΠΟΓΕΙΟΙ ΥΔΑΤΙΚΟΙ ΠΟΡΟΙ 2.1 Εισαγωγή Το υπόγειο νερό αποτελεί το μέρος του νερού που περιλαμβάνεται στους εδαφικούς και γεωλογικούς σχηματισμούς και βρίσκεται κάτω από την επιφάνεια του εδάφους. Το νερό στους σχηματισμούς αυτούς μπορεί να καταλαμβάνει και να γεμίζει τους πόρους του εδάφους, περίπτωση που χαρακτηρίζεται ως κορεσμένη, ή να καταλαμβάνει μέρος του πορώδους, περίπτωση που είναι γνωστή ως ακόρεστη (Αντωνόπουλος, 2001). Σε μια κατακόρυφη τομή του εδάφους διακρίνονται δυο ζώνες, στις οποίες οι νόμοι της κίνησης του νερού είναι τελείως διαφορετικοί. Η ακόρεστη ζώνη ή ζώνη αερισμού, από την επιφάνεια του εδάφους μέχρι την υπόγεια στάθμη και η κορεσμένη ζώνη ή ζώνη κορεσμού, από την υπόγεια στάθμη μέχρι το αδιαπέρατο υπόστρωμα όπως φαίνεται και στο Σχήμα 2.1. Το άνω όριο της ζώνης κορεσμού ονομάζεται υδροφόρος ή φρεάτιος ορίζοντας. Η κίνηση του νερού στη ζώνη αερισμού γίνεται κατά την κατακόρυφη διεύθυνση ενώ στη ζώνη κορεσμού η κίνηση γίνεται σχεδόν κατά την οριζόντια διεύθυνση (Λατινόπουλος, 2006). 4

19 Σχήμα 2.1. Τύποι υδροφορέων (Πηγή: Στην ακόρεστη ζώνη το νερό συγκρατείται με μεγάλες δυνάμεις από τα στερεά συστατικά του εδάφους. Η πίεσή του θεωρείται μικρότερη από την ατμοσφαιρική και το φορτίο πίεσης μικρότερο του μηδενός. Η κατάσταση και η δυναμική του νερού στη ακόρεστη ζώνη εξαρτάται από τη διήθηση του νερού της βροχής και της άρδευσης, από την εξατμισοδιαπνοή που συμβαίνει στη ζώνη του ριζώματος και από τις υδροδυναμικές συνθήκες βαρύτητας. Έτσι, το νερό κινείται από περιοχές με υψηλό σε περιοχές με χαμηλό δυναμικό, που είναι ίσο με το δυναμικό πίεσης και το δυναμικό βαρύτητας ή θέσης (Αντωνόπουλος, 2001). Στην κορεσμένη ζώνη του εδάφους, οι πόροι είναι γεμάτοι με νερό που βρίσκεται υπό πίεση μεγαλύτερη της ατμοσφαιρικής. Οι γεωλογικοί σχηματισμοί που περιέχουν νερό που μπορεί εύκολα να μετακινηθεί και να χρησιμοποιηθεί από τον άνθρωπο λέγονται υδροφόρα στρώματα ή υδροφορείς (Τερζίδης & Καραμούζης, 1995). Η ικανότητα ενός υδροφορέα να αποθηκεύει και να αποδίδει νερό εξαρτάται από μια σειρά χαρακτηριστικά, που είναι το πορώδες, η ειδική απόδοση, η υδραυλική αγωγιμότητα, η μεταφορικότητα και η αποθηκευτικότητά του. Τα υδροφόρα στρώματα χαρακτηρίζονται από την παρουσία ή την απουσία υπόγειας στάθμης και από την υδατοστεγανότητα των οριακών τους στρωμάτων σε ελεύθερα ή φρεάτια, σε περιορισμένα ή υπό πίεση υδροφόρα στρώματα (Αντωνόπουλος, 2001). Στο Σχήμα 2.2 παρουσιάζεται η τομή του εδάφους με τις χαρακτηριστικές ζώνες ως προς το βαθμό κορεσμού του πορώδους με νερό και ορισμένους τύπους υδροφορέων. 5

20 Σχήμα 2.2. Ακόρεστη και κορεσμένη ζώνη σε κατακόρυφη τομή του εδάφους (Πηγή: Αντωνόπουλος, 2001). 2.2 Ταξινόμηση Υπόγειων Υδροφορέων Μια πρώτη ταξινόμηση των υδροφορέων που εμφανίζονται στη φύση γίνεται ανάλογα με τη γεωλογική τους δομή αλλά και τις υδραυλικές συνθήκες που επικρατούν σε αυτούς. Ο βασικός διαχωρισμός γίνεται σε συνάρτηση με τον αν υπάρχει ή όχι στον υδροφορέα ελεύθερη επιφάνεια του νερού. Έτσι, όταν υπάρχει ελεύθερη επιφάνεια (υδροφόρος ορίζοντας) ο υδροφορέας ονομάζεται φρεάτιος. Χαρακτηριστικό των φρεάτιων υδροφορέων είναι ότι η ελεύθερη επιφάνειά τους δεν παραμένει σταθερή αλλά ανεβαίνει ή κατεβαίνει αποκρινόμενη στις μεταβολές του διηθούμενου νερού, τόσο από την επιφάνεια του εδάφους όσο και από ή προς τους γειτονικούς υδροφορείς (Λατινόπουλος & Θεοδοσίου, 2006). Αντίθετα, ένας υδροφορέας λέγεται περιορισμένος ή υπό πίεση, αν περιορίζεται από πάνω και από κάτω από αδιαπέρατους γεωλογικούς σχηματισμούς. Συνέπεια των οριακών αυτών συνθηκών είναι ότι το νερό που βρίσκεται σε ένα περιορισμένο υδροφορέα είναι πάντα υπό πίεση. Αυτό εύκολα μπορεί να διαπιστωθεί, αν ανοιχθεί ένα πηγάδι μέσα σε αυτόν τον υδροφόρεα, αφού η στάθμη του νερού σ αυτό θα ανέβει ψηλότερα από το πάνω αδιαπέρατο στρώμα και ίσως φτάσει μέχρι την επιφάνεια του εδάφους. Ένας περιορισμένος υδροφορέας ονομάζεται αρτεσιανός, όταν η στάθμη της πιεζομετρικής επιφάνειας βρίσκεται ψηλότερα από τη στάθμη του εδάφους (Σχήμα 2.2). Αν ανοιχθεί ένα πηγάδι σε αρτεσιανό υδροφορέα, τότε το νερό θα τρέχει από αυτό εξαιτίας της μεγάλης του πίεσης χωρίς την απαίτηση αντλητικού συστήματος (Λατινόπουλος, 1998). Η μέτρηση της στάθμης της ελεύθερης επιφάνειας για τους φρεάτιους υδροφορείς, ή της πιεζομετρικής επιφάνειας για τους περιορισμένους, γίνεται χρησιμοποιώντας πηγάδια 6

21 παρατήρησης, πηγάδια εκμετάλλευσης ή πιεζόμετρα. Με βάση τις μετρήσεις αυτές υπολογίζεται το ολικό υδραυλικό φορτίο, h, που συνήθως μετριέται από την επιφάνεια της θάλασσας και που ορίζεται σαν άθροισμα του φορτίου πίεσης, h p =p/ρg, και του υψομέτρου z. Στη περίπτωση του φρεάτιου υδροφορέα το h καθορίζει και τη θέση της ελεύθερης επιφάνειας του νερού. Στον περιορισμένο υδροφορέα το h προσδιορίζει τη πίεση που έχει το υπόγειο νερό σε κάθε σημείο του υδροφορέα και ονομάζεται πιεζομετρικό φορτίο φ (Λατινόπουλος & Θεοδοσίου, 2006). Εκτός από τις δυο μεγάλες προαναφερθείσες κατηγορίες των υπόγειων υδροφορέων, υπάρχουν και δύο ακόμα οι οποίες ουσιαστικά προκύπτουν από το συνδυασμό των δυο παραπάνω κατηγοριών. Έτσι ένα υδροφόρο στρώμα ονομάζεται ημίκλειστος με πίεση ή περιορισμένος με διαρροή υδροφορέας, όταν τουλάχιστο ένα από τα στρώματα που τον περιορίζουν είναι ημιδιαπερατό, αλλά η οριζόντια συνιστώσα της ροής στο ημιδιαπερατό στρώμα είναι ασήμαντη. Τέλος, ένα υδροφόρο στρώμα λέγεται ημιελεύθερος ή φρεάτιος με διαρροή υδροφορέας, όταν το ημιπερατό στρώμα αποτελεί το κάτω όριό τους, στο οποίο η κατακόρυφη συνιστώσα της ροής είναι αρκετά σημαντική και συνεπώς δεν μπορεί να παραβλεφθεί (Τερζίδης & Καραμούζης, 1995). Οι κύριοι παράμετροι που χαρακτηρίζουν την κίνηση των ρευστών στους υδροφορείς, όπως θα αναλυθούν εκτενέστερα στις επόμενες παραγράφους, είναι η διαπερατότητα k, η υδραυλική αγωγιμότητα Κ και η μεταφορικότητα Τ. Οι παράμετροι αυτές όμως καθορίζουν την ισοτροπία και την ομοιογένεια ενός υδροφορέα, καθώς συνδέονται άμεσα με την διαπερατότητα. Έτσι ένας υδροφορέας μπορεί να χαρακτηριστεί ως ομογενής, όταν η διαπερατότητά του είναι σε κάθε σημείο η ίδια. Αντίθετα, αν η τιμή της μεταβάλλεται στο χώρο το μέσο λέγεται ανομοιογενές. Ακόμα, αν σε κάθε σημείο του μέσου η διαπερατότητα είναι ανεξάρτητη από τη διεύθυνση τότε το μέσο ονομάζεται ισότροπο, ενώ στην αντίθετη περίπτωση ανισότροπο (Λατινόπουλος, 1998). 2.3 Μαθηματικό Πρόβλημα Υπόγειων Νερών Το υπόγειο νερό, καθώς αποτελεί μέρος του υδρολογικού κύκλου, κινείται διαρκώς στα υπόγεια υδροφόρα στρώματα. Η κίνηση αυτή γίνεται καθώς οι όγκοι που διηθούνται με φυσικό ή τεχνητό τρόπο από την επιφάνεια του εδάφους κινούνται από περιοχές μεγάλων δυναμικών σε περιοχές μικρού δυναμικού, όπου παροχετεύονται και πάλι φυσικά ή τεχνητά σε ποτάμια, πηγές, πηγάδια κ.α.. Ένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά της κίνησης των υπόγειων νερών είναι οι πολύ μικρές ταχύτητες. Επειδή όμως οι διατομές μέσα από τις οποίες κινούνται είναι πολύ μεγάλες, οι όγκοι νερού που μετακινούνται τελικά είναι πολύ μεγάλοι (Λατινόπουλος, 1998). 7

22 Μια βασική παραδοχή στην οποία στηρίζεται η μελέτη της πλειονότητας των προβλημάτων τόσο ποσοτικής όσο και ποιοτικής διαχείρισης των υπόγειων ροών είναι αυτή που αναφέρεται ως "υδραυλική θεώρηση των υπόγειων ροών". Σύμφωνα λοιπόν με αυτήν γίνεται συνήθως αποδεκτό ότι παρόλο που τα φαινόμενα έχουν εν γένει τριδιάστατο χαρακτήρα, η κίνηση του υπόγειου νερού και γενικώς οι μεταβολές των διαφόρων μεταβλητών, ξεκινώντας από υποχρεωτικά από το υδραυλικό ή πιεζομετρικό φορτίο, μπορούν με ικανοποιητική ακρίβεια να μελετηθούν στο διδιάστατο οριζόντιο επίπεδο. Η αποδοχή της υπόθεσης αυτής αιτιολογείται από το γεγονός ότι στα περισσότερα πρακτικά προβλήματα το πάχος των υδροφορέων είναι πολύ μικρότερο των οριζόντιων διαστάσεών τους, έτσι ώστε οι μεταβολές των χαρακτηριστικών τους κατά τη κατακόρυφη διάσταση να θεωρούνται αμελητέες (Λατινόπουλος, 2009). Η κίνηση του νερού στους υδροφορείς εξαρτάται τόσο από τα υδροδυναμικά χαρακτηριστικά τους όσο και από τις τοπικές συνθήκες ροής. Οι βασικές εξισώσεις που διέπουν το φυσικό φαινόμενο της ροής του υπόγειου νερού είναι η σχέση του Darcy και η εξίσωση ροής. Οι δύο αυτές εξισώσεις μαζί με τις κατάλληλες οριακές και αρχικές συνθήκες, ορίζουν το πρόβλημα ροής σε υπόγειους υδροφορείς. Η σχέση του Darcy Η σχέση του Darcy συνδέει τη ροή του υπόγειου νερού με την κινητήρια δύναμη που είναι η υδραυλική κλίση. Στη γενική της μορφή η εξίσωση του Darcy γράφεται ως εξής: (2.1) όπου: Q είναι η παροχή οποιασδήποτε υπόγειας ροής [L 3 /T], Κ είναι η παράμετρος του πορώδους μέσου και καλείται υδραυλική αγωγιμότητα [L/T] Α είναι το εμβαδόν της διατομής του υδροφορέα μέσα από την οποία γίνεται η ροή [L 2 ] J είναι η υδραυλική κλίση της ελεύθερης ή της πιεζομετρικής επιφάνειας [L/L]. Στη περίπτωση του τριδιάστατου φαινομένου σε ετερογενές και ανισότροπο μέσο η εξίσωση (2.1) γράφεται ως εξής: (2.2) όπου: q i [L/T] είναι η ειδική παροχή ή ταχύτητα διήθησης (q=q/a) κατά τη διεύθυνση i, η οποία εξ ορισμού ισούται με q=nv, όπου 8

23 o n είναι το πορώδες του εδάφους και o v είναι η ταχύτητα ροής (μέση ταχύτητα πόρων) του υπόγειου νερού [L/T]. K ij είναι ο τανυστής της υδραυλικής αγωγιμότητας [L/T], φ το υδραυλικό φορτίο ή το πιεζομετρικό φορτίο [L] και x j (j = 1, 2, 3) είναι οι συντεταγμένες ενός σημείου του πεδίου ροής. Το σύστημα των αξόνων συνήθως επιλέγεται έτσι ώστε να είναι παράλληλοι και κάθετοι στη διεύθυνση της στρωμάτωσης των εδαφών. Συμπερασματικά μπορούμε να πούμε ότι με τη σχέση του Darcy, υπολογίζεται η ταχύτητα κίνησης του υπόγειου νερού και η παροχή που διέρχεται από μια ορισμένη επιφάνεια. Εξίσωση ροής σε υπόγειους υδροφορείς. Η εξίσωση ροής των ρευστών μέσα σε πορώδη μέσα είναι μια διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους και αποτελεί τη μαθηματική περιγραφή του νόμου της διατήρησης της μάζας. Η εξαγωγή της βασίζεται στην παραδοχή της συνέχειας και παραγωγισιμότητας των μεταβλητών που παίρνουν μέρος στο φυσικό φαινόμενο της ροής μέσα σε έναν οποιοδήποτε στοιχειώδη όγκο του πορώδους μέσου και στην ισχύ του νόμου της διατήρησης της μάζας (Τερζίδης & Καραμούζης, 1995). Συνδυάζοντας λοιπόν το νόμο της διατήρησης της μάζας με το νόμο του Darcy καταλήγουμε στην εξίσωση (2.3) που ισχύει για ετερογενές και ανισότροπο μέσο. (2.3) όπου: t είναι ο χρόνος και S s [L -1 ] είναι η ειδική αποθηκευτικότητα του πορώδους μέσου που εξαρτάται από την ελαστικότητα του στερεού σκελετού και από τη συμπιεστότητα του πορώδους μέσου. Η εξίσωση (2.3) ισχύει για μονοδιάστατα, διδιάστατα και τριδιάστατα προβλήματα. Τα διδιάστατα προβλήματα χωρίζονται σε δύο κατηγορίες. α) αυτά που αναφέρονται σε οριζόντιες ροές και β) σε αυτά που αναφέρονται σε κατακόρυφες τομές 9

24 2.3.1 Μαθηματικό πρόβλημα οριζόντιων ροών Εφόσον η ροή σε ένα υδροφορέα γίνεται στο οριζόντιο επίπεδο και οι μεταβολές κατά την κατακόρυφη διεύθυνση θεωρούνται αμελητέες η γενική μορφή των εξισώσεων ροής που δίνονται από τη εξίσωση (2.3), μπορεί να απλοποιηθεί ολοκληρώνοντας κατά τη κατακόρυφη διεύθυνση ως προς το πάχος του υδροφορέα. Στο Σχήμα 2.3 παρουσιάζεται μια τυπική μορφή ενός συστήματος φρεάτιου περιορισμένου υδροφορέα. Στη συνέχεια, αν θεωρήσουμε ότι ο περιορισμένος υδροφορέας είναι ισότροπος η διαφορική εξίσωση που περιγράφει τη ροή μέσα σε αυτό έχει ως εξής (Λατινόπουλος, 2009): (2.4) όπου : Τ=Κ b [L 2 /T] είναι η μεταφορικότητα του υδροφορέα, b=b(x,y) το πάχος του υδροφορέα S=S s b είναι η αποθηκευτικότητα του υδροφορέα Κ /b (φ-φ ) είναι η παροχή διαρροής από τυχόν γειτονικό (υπερκείμενο ή υποκείμενο) υδροφορέα μικρής διαπερατότητας και Q [L 3 /L 2 /T] είναι όρος της πηγής που αφορά παροχή νερού που εισάγεται ή αφαιρείται από τα πηγάδια. Σχήμα 2.3. Γενική μορφή συστήματος φρεάτιου και περιορισμένου υδροφορέα (Πηγή: Λατινόπουλος, 2009) Στη περίπτωση που έχουμε φρεάτιο υδροφορέα με αδιαπέρατο πυθμένα η εξίσωση ροής (2.4) γίνεται: 10

25 (2.5) Όπου S y είναι η ειδική απόδοση ή ενεργό πορώδες του εδάφους και q R [L/T] είναι η επιφανειακή φόρτιση με νερό του φρεάτιου υδροφορέα Μαθηματικό πρόβλημα για κατακόρυφες τομές Η πιο διαδεδομένη μεθοδολογία του μαθηματικού προβλήματος, όταν το φαινόμενο επιβάλλει την επίλυσή του σε μια ή περισσότερες κατακόρυφες τομές του υδροφορέα είναι αυτή που χρησιμοποιεί ως κύριες μεταβλητές τις συναρτήσεις δυναμικού και γραμμών ροής. Η συνάρτηση δυναμικού Φ=Κ φ ορίζεται αρχικά για ομογενή και ισότροπα πορώδη μέσα, για τα οποία είναι αρμονική δηλαδή ικανοποιεί την εξίσωση Laplace. Γραμμές ίσου δυναμικού ή ισοδύναμες καμπύλες, είναι οι καμπύλες εκείνες του επιπέδου x y για τις οποίες ισχύει Φ(x,y)=σταθερό. Σύμφωνα με τον νόμο του Darcy εύκολα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι για τη περίπτωση ομογενούς και ισότροπου μέσου το διάνυσμα της ειδικής παροχής σε κάθε σημείο μιας ισοδύναμης καμπύλης είναι πάντα κάθετο σε αυτή (Λατινόπουλος, 2009). Οι γραμμές ροής, οι οποίες παρουσιάζονται στο Σχήμα 2.4, προσδιορίζονται από τις τιμές της ροϊκής συνάρτησης, και είναι οι καμπύλες εκείνες οι οποίες σε κάθε σημείο τους έχουν εφαπτόμενο το διάνυσμα της ειδικής παροχής. Συνάρτηση ροής ή ροϊκή συνάρτηση Ψ(x,y) είναι μια συνάρτηση του επιπέδου (x,y) η οποία διατηρεί σταθερή τη τιμή της κατά μήκος μιας γραμμής ροής. Και οι δύο συναρτήσεις Φ και Ψ έχουν διαστάσεις [L 2 /T]. Στη περίπτωση ομογενούς και ισότροπου υδροφορέα οι δυο αυτές οικογένειες καμπυλών τέμνονται κάθετα δημιουργώντας έτσι ένα ορθογώνιο δίκτυο καμπυλών (Λατινόπουλος, 2009). Σχήμα 2.4. Γραμμές ροής (Πηγή: Λατινόπουλος, 2009) 11

26 Κάνοντας την υπόθεση ότι οι άξονες των συντεταγμένων συμπίπτουν με τις κύριες διευθύνσεις του τανυστή της υδραυλικής αγωγιμότητας το μαθηματικό πρόβλημα μπορεί να περιγραφεί από τις εξισώσεις: (2.6) ή (2.7) Όπου Κ xx και K yy είναι οι συνιστώσες του τανυστή υδραυλικής αγωγιμότητας κατά τις κύριες διευθύνσεις x και y. Οι συνιστώσες της ειδικής παροχής ή ταχύτητες Darcy υπολογίζονται σε κάθε περίπτωση από τις σχέσεις: q q x y K K xx yx K x K y xy yy y x (2.8) (2.9) Πρέπει να γίνουν κάποιες υποθέσεις, όπως ότι η επίδραση της ακόρεστης ζώνης είναι αμελητέα και συνήθως αγνοείται, οι εποχιακές μεταβολές θεωρούνται αμελητέες και ότι η κατακόρυφη τομή γίνεται κατά τη διεύθυνση της υδραυλικής κλίσης. Μια εποπτική προσέγγιση των οριακών και αρχικών συνθηκών που λαμβάνονται σε προβλήματα κατακόρυφων τομών παρουσιάζεται στο Σχήμα 2.5 που ακολουθεί. Σχήμα 2.5. Οριακές συνθήκες για τα προβλήματα κατακόρυφων τομών (Πηγή: Λατινόπουλος, 2009). 12

27 2.4 Αρχικές και οριακές συνθήκες Στις προηγούμενες παραγράφους παρουσιάστηκαν οι διάφορες διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τα προβλήματα ροής σε υπόγειους υδροφορείς. Κατόπιν πρέπει να ορισθούν και οι κατάλληλες αρχικές και οριακές συνθήκες που διέπουν το κάθε πρόβλημα, ανάλογα βέβαια με τη φύση του προβλήματος. Αρχικές συνθήκες Συνήθως σαν αρχική συνθήκη ορίζεται t=0 ένας αρχικός χρόνος αναφοράς πριν από τη μελέτη του φαινομένου ροής. Αν το φαινόμενο θεωρηθεί μη μόνιμο, δηλαδή ο χρόνος t είναι μια από τις ανεξάρτητες μεταβλητές του προβλήματος τότε θα πρέπει να είναι γνωστή στο χρόνο αυτό t=0 η τιμή της άγνωστης μεταβλητής φ σε κάθε σημείο του πεδίου. Η γενική μορφή της σχέσης αυτής μπορεί να είναι της μορφής φ = f(x,y,z,0) (2.10) για κάθε σημείο x,y,z, του πεδίου όπου f είναι μια γνωστή συνάρτηση. Οριακές συνθήκες Ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα στη κατάστρωση των μαθηματικών μοντέλων ροών σε υπόγειους υδροφορείς είναι ο καθορισμός των οριακών συνθηκών που ισχύουν κατά μήκος αυτών. Από μαθηματικής πλευράς τρείς είναι οι τύποι των οριακών συνθηκών: α) συνθήκες για τη μεταβλητή του προβλήματος ή αλλιώς συνθήκες Dirichlet, β) συνθήκες για τη παράγωγο της μεταβλητής που ονομάζονται συνθήκες Neumann και γ) συνθήκες για συνδυασμό της μεταβλητής και της παραγώγου της (μικτού τύπου), που ονομάζονται συνθήκες Cauchy (Λατινόπουλος, 1998). α) Όριο γνωστού φορτίου. Όταν σε κάποιο όριο το πιεζομετρικό η υδραυλικό φορτίο είναι ανεξάρτητο από τις συνθήκες ροής του υδροφορέα τότε εφαρμόζεται μια συνθήκη τύπου Dirichlet, που η μαθηματική της έκφραση είναι: φ = f 1 (x,y,t) στη C (2.11) όπου C ολόκληρο ή τμήμα του ορίου του πεδίου και f 1 μια γνωστή συνθήκη. Σε ειδικές περιπτώσεις μπορεί να είναι φ = f 1 (t) ή φ = σταθ. Παράδειγμα μιας τέτοιας περίπτωσης οριακών συνθηκών είναι όταν ο υδροφορέας είναι σε άμεση υδραυλική επικοινωνία με ποταμό, λίμνη, ή θάλασσα όπου η μεταβολή της στάθμης της ελεύθερης επιφάνειας είναι γνωστή (Λατινόπουλος, 1998). 13

28 β) Όριο γνωστής παροχής Κατά μήκος ενός τέτοιου ορίου ισχύει η σχέση : Q n = f 2 (x,y,t) στη C (2.12) Όπου με Q n συμβολίζεται η ανά μονάδα μήκους του ορίου αυτού C διηθούμενη παροχή. Ο δείκτης n συμβολίζει την κάθετη στην καμπύλη C διεύθυνση. Για ισότροπα μέσα η σχέση (1.12) μπορεί να γραφτεί ως: στη C (2.13) Οι συναρτήσεις f 2 και f 3 θεωρούνται γνωστές και είναι βέβαια δυνατό σε ορισμένες περιπτώσεις να εξαρτώνται από το χρόνο ή να είναι ακόμα και σταθερές. Στη περίπτωση αδιαπέρατων ορίων, όπου Q n = 0 τότε η σχέση (2.13) γίνεται: στη C (2.14) γ) Ημιπερατό όριο Τέλος, στη περίπτωση αυτή τα ημιπερατά στρώματα θεωρούνται κατακόρυφα και άρα κάθετα στη ροή. Ένα απλό παράδειγμα αφορά κοίτη ποταμού όπου από απόθεση λεπτόκοκκων υλικών μέρος της έχει αποφράξει μερικά. Συνεπώς παρατηρείται μια σημαντική αντίσταση στη ροή που έχει σαν αποτέλεσμα την ελάττωση της διηθούμενης παροχής μεταξύ υδροφορέα και ποταμού και του φορτίου του υδροφορέα αμέσως μετά το ημιπερατό στρώμα. Η συνθήκη μικτού τύπου που εκφράζει το φαινόμενο αυτό είναι (Cauchy) : στη C (2.15) Όπου c = b /Κ είναι ο συντελεστής αντίστασης του ημιπερατού στρώματος, b to το πάχος του υδροφορέα, Τ η μεταφορικότητα αυτού, φ ο και h r τα υδραυλικά φορτία του υδροφορέα και του μέσου που επικοινωνεί με τον υδροφορέα αντίστοιχα. 2.5 Υδραυλική των πηγαδιών Η υδραυλική των πηγαδιών αναφέρεται στη μεταβολή των υπόγειων ροών που προκαλείται από τη λειτουργία μεμονωμένων ή συστημάτων πηγαδιών. Ουσιαστικά μελετάται η επίδραση της λειτουργίας πηγαδιών σε τοπικό επίπεδο και ιδιαίτερα στη γειτονιά μεμονωμένων πηγαδιών. Κύριος στόχος των μελετών αυτών είναι να υπολογισθεί η πτώση στάθμης (πιεζομετρική επιφάνεια) των υπόγειων νερών που προκαλείται από κάθε άντληση τόσο στο ίδιο το πηγάδι όσο και στη γειτονική περιοχή. Οι διάφορες περιπτώσεις ροών που 14

29 προκαλούν οι αντλήσεις από πηγάδια ταξινομούνται ανάλογα με α) αν η ροή στον υδροφορέα γίνεται με πίεση ή με ελεύθερη επιφάνεια και β) αν η ροή είναι μόνιμη ή όχι. Η άντληση από πηγάδι προκαλεί έναν υποβιβασμό της ελεύθερης επιφάνειας του υδροφορέα λόγω της απομάκρυνσης του νερού από τα κενά του κορεσμένου εδάφους. Αυτός ο υποβιβασμός της επιφάνειας του νερού μετριέται με τη πτώση στάθμης s(x,y,t) από την αρχική της θέση. Στους περιορισμένους υδροφορείς είναι η κατακόρυφη απόσταση ανάμεσα στην αρχική θέση της πιεζομετρικής επιφάνειας και την αντίστοιχη θέση της μετά από κάποιο χρονικό διάστημα t στο ίδιο σημείο του οριζόντιου επιπέδου (Λατινόπουλος, 1998). Σε φρεάτιο υδροφορέα, η πτώση στάθμης ορίζεται ανάλογα, υπολογίζοντας τη κατακόρυφη μεταβολή της ελεύθερης επιφάνειας. Και στις δύο παραπάνω περιπτώσεις έχει γίνει η υπόθεση της οριζόντιας ροής και για αυτό το λόγο η πτώση στάθμης είναι ανεξάρτητη της κατακόρυφης συνιστώσας z. Στη περίπτωση ενός φρεάτιου υδροφορέα όμως, σε αντίθεση με τη περίπτωση του περιορισμένου υδροφορέα, η ροή δεν είναι ποτέ οριζόντια. Ιδιαίτερα όταν η πτώση στάθμης της ελεύθερης επιφάνειας μέσα στο πηγάδι είναι αρκετά σημαντική οι γραμμές ροής καμπυλώνονται έντονα στη γειτονιά του πηγαδιού. Αυτό είναι αποτέλεσμα της σημαντικής επιρροής της συνιστώσας της ταχύτητας κατά τη κατακόρυφη διεύθυνση. Παρόμοιο αποτέλεσμα έχει και η περίπτωση πηγαδιών που δεν έχουν ανοιχθεί μέχρι τον αδιαπέρατο πυθμένα ενός υδροφορέα, ακόμα και ενός περιορισμένου. Το φαινόμενο αυτό της παρέκκλισης της οριζόντιας ροής περιορίζεται σε μια ακτίνα όχι μεγαλύτερη από το διπλάσιο του κορεσμένου πάχους του υδροφορέα, πέρα από την οποία η πτώση στάθμης δεν διαφέρει από την τιμή που υπολογίζεται από την υπόθεση της οριζόντιας ροής (Λατινόπουλος, 1998, Huisman, 1972). Όσον αφορά τη μονιμότητα ενός φαινομένου άντλησης από ένα άπειρο θεωρητικά υδροφορέα, μπορούμε να πούμε ότι δεν είναι να δυνατό να επιτευχθεί εφόσον η συνεχής άντληση νερού από αποθέματα που δεν ανανεώνονται προκαλεί μια συνεχή επέκταση του κώνου πτώσης που προκαλεί μια άντληση από πηγάδι. Πρακτικά όμως, μετά από κάποιο χρονικό διάστημα άντλησης η ροή γίνεται ψευδο-μόνιμη αφού δεν παρατηρούνται σημαντικές μεταβολές της πτώσης στάθμης με τη πάροδο του χρόνου. Μόνιμη ροή, μπορεί να υπάρξει, αν κάποια πηγή τροφοδοσίας (λίμνη, ποτάμι, πηγάδι φόρτισης) μπορεί να αναπληρώσει τις αντλούμενες ποσότητες νερού (Λατινόπουλος, 1998) Μόνιμες ροές σε πηγάδια α) Πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα Στη περίπτωση που έχουμε ένα περιορισμένο υδροφορέα κάνοντας την υπόθεση ότι είναι ομογενής και ισότροπος, μπορούμε να υπολογίσουμε τη πτώση στάθμης της πιεζομετρικής επιφάνειας λόγω της παρουσίας ενός πηγαδιού άντλησης ως εξής: 15

30 Γράφοντας την εξίσωση Laplace, που αναφέρθηκε σε προηγούμενη παράγραφο, με πολικές συντεταγμένες παίρνουμε την παρακάτω σχέση. (2.16) Αν η συνάρτηση του πιεζομετρικού φορτίου φ είναι γνωστή σε δυο σημεία του πεδίου μπορεί εύκολα να λυθεί η παραπάνω σχέση, μετατρέποντάς την στη μορφή της εξίσωσης: (2.17) Όπου s = φ c φ και φ c το πιεζομετρικό φορτίο πριν ξεκινήσει η άντληση. Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης αυτής είναι s = C 1 lnr + C 2 (2.18) Σύμφωνα με την εξίσωση της συνέχειας, η παροχή που αντλείται από το πηγάδι είναι Q o ισούται με τη παροχή Q που διηθείται από μια παράπλευρη επιφάνεια. Λαμβάνοντας υπόψη το νόμο του Darcy έχουμε: Tds Q 2 r Q o (2.19) dr Όπου Τ = Κ b και είναι η τιμή της μεταφορικότητας του υδροφορέα. Θεωρώντας λοιπόν μόνιμη ροή και χρησιμοποιώντας σαν οριακή συνθήκη s = 0 και r = R, όπου R είναι η ακτίνα επιρροής του πηγαδιού, η τελική εξίσωση για το υπολογισμό της πτώσης στάθμης είναι αυτή που παρουσιάζεται στη σχέση (2.20) και ονομάζεται σχέση Dupuit. (2.20) Όπου: s είναι η πτώση στάθμης στη παρειά του πηγαδιού, Q o η παροχή άντλησης του πηγαδιού, Τ = Κ b η μεταφορικότητα του υδροφορέα, R η ακτίνα επιρροής του πηγαδιού και r η ακτίνα του πηγαδιού. Αν θέλουμε να βρούμε τη πτώση στάθμης σε οποιαδήποτε άλλη θέση του υδροφορέα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση του Thiem η οποία έχει ως εξής: (2.21) 16

31 Όπου s 1 και s 2 είναι οι πτώσεις στάθμης σε δυο διαφορετικά σημεία του υδροφορέα τα οποία απέχουν αποστάσεις από το πηγάδι r 1 και r 2 αντίστοιχα. β) Πηγάδι σε φρεάτιο υδροφορέα Στη περίπτωση τώρα που έχουμε ένα φρεάτιο υδροφορέα, κάνοντας δεκτή την υπόθεση Dupuit για οριζόντια ροή και συνδυάζοντας με το νόμο του Darcy μπορούμε να υπολογίσουμε τη παροχή που περνά από τη παράπλευρη επιφάνεια ενός κυλίνδρου τυχαίας ακτίνας r, από τη σχέση: (2.22) Συνδυάζοντας τη παραπάνω σχέση με την εξίσωση της συνέχειας καταλήγουμε στη σχέση: (2.23) όπου h το ύψος της ελεύθερης επιφάνειας σε απόσταση r από το πηγάδι και q r η ειδική παροχή. Ολοκληρώνοντας την παραπάνω σχέση για r = r o και h = h o και θεωρώντας ότι s=h-h καταλήγουμε στην παρακάτω σχέση: (2.24) Για τις περιπτώσεις που η πτώση στάθμης είναι μικρή σε σχέση με το αρχικό ύψος της ελεύθερης επιφάνειας η (2.24) μπορεί να γραφεί ως : (2.25) και τέλος θεωρώντας ότι το ύψος Η μπορεί να εκφράσει ένα μέσο ύψος νερού στον υδροφορέα έτσι ώστε Τ = Κ Η, η σχέση (2.25) γίνεται: (2.26) Συγκρίνοντας τις (2.21) και (2.26), μπορούμε εύκολα να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι για μικρές πτώσεις στάθμης η σχέση υπολογισμού είναι η ίδια για φρεάτιο και περιορισμένο υδροφορέα. 17

32 Μη μόνιμες ροές σε πηγάδια Στις περιπτώσεις μη μόνιμων ροών υπεισέρχεται όπως είναι φυσικό ο παράγοντας του χρόνου. Ακολουθώντας τη ίδια ακριβώς λογική με τη προηγούμενη παράγραφο θα εξετάσουμε τις περιπτώσεις ενός περιορισμένου και ενός φρεάτιο υδροφορέα. α) Πηγάδι σε περιορισμένο υδροφορέα Τα προβλήματα των μη μόνιμων ροών στηρίζονται στις εξής υποθέσεις: α) ο υδροφορέας έχει σταθερό πάχος b, είναι ομογενής και ισότροπος όσον αφορά τη υδραυλική αγωγιμότητα Κ και ομογενής όσον αφορά την αποθηκευτικότητά του S. β) Για μια δοσμένη πτώση στάθμης της πιεζομετρικής επιφάνειας η απόκριση του υδροφορέα με τη μορφή της παροχής όγκου από τα αποθηκευμένα αποθέματα είναι άμεση (Λατινόπουλος, 1998). Η διαφορική εξίσωση που ορίζει το πρόβλημα αυτό είναι : (2.27) Θεωρώντας ότι η ακτίνα του πηγαδιού r o είναι πολύ μικρή και μπορεί να θεωρηθεί ότι r o 0 οι αρχικές και οριακές συνθήκες του προβλήματος είναι: Ο Theis το 1935 έλυσε τη παραπάνω διαφορική εξίσωση που δίνει τα εξής αποτελέσματα: (2.28) (2.29) Όπου W(u) είναι η συνάρτηση πηγαδιού για περιορισμένο υδροφορέα με u = Sr 2 /4πΤ. Για μικρές τιμές του u (u<0.01) η πτώση στάθμης δίνεται από την παρακάτω σχέση: (2.30) 18

33 β) Πηγάδι σε φρεάτιο υδροφορέα Χαρακτηριστικό της μη μόνιμης ροής σε φρεάτιο υδροφορέα είναι η μη γραμμικότητα της οριακής συνθήκης που ισχύει στην ελεύθερη επιφάνεια. Κάνοντας δεκτή όμως την υπόθεση Dupuit που αναφέρθηκε σε προηγούμενη παράγραφο, η διαφορική εξίσωση του προβλήματος μπορεί να γραφεί ως εξής: (2.31) Θεωρούμε και σε αυτή τη περίπτωση ότι ισχύει η υπόθεση της άμεσης απόκρισης του υδροφορέα για κάθε πτώση στάθμης. Βέβαια, στους φρεάτιους υδροφορείς η υπόθεση αυτή είναι λιγότερο ισχυρή από ότι στους περιορισμένους και αυτό διότι τα διάκενα του πορώδους εδάφους δεν αδειάζουν στιγμιαία με την πτώση στάθμης αλλά τροφοδοτούνται από πάνω με το νερό της ακόρεστης ζώνης. Έτσι η αποθηκευτικότητα τελικά δεν είναι σταθερή στο χρόνο αλλά αυξάνεται ελαφρά και σταθεροποιείται σε μια ασυμπτωτική τιμή αν η άντληση διατηρηθεί για πολύ χρόνο (Λατινόπουλος, 1998). Κάνοντας λοιπόν τις ίδιες παραδοχές που λάβαμε στη περίπτωση της μόνιμης ροής τελικά καταλήγουμε στην εξής διαφορική εξίσωση: (2.31) (2.32) Όπου Τ = Κ Η, και η αρχική στάθμη Η μπορεί να θεωρηθεί σαν τη μέση στάθμη ροής. Παρατηρούμε λοιπόν ότι η σχέση (2.32) είναι ίδια με αυτή που ισχύει στη περίπτωση της μόνιμης ροής Συστήματα πηγαδιών και μέθοδος των εικόνων Στις προηγούμενες παραγράφους δόθηκαν διάφορες περιπτώσεις ροών που δημιουργούνται εξαιτίας αντλήσεων από πηγάδια. Το κοινό χαρακτηριστικό τους είναι ότι πρόκειται για ένα μεμονωμένο κάθε φορά πηγάδι σε άπειρης έκτασης υδροφορέα. Σε αυτή τη ενότητα θα αναφερθούμε στις εξής κατηγορίες ροών που είναι οι πιο συνήθης σε προβλήματα αντλήσεων. Αυτά είναι τα συστήματα πηγαδιών σε άπειρης έκτασης υδροφορείς και από την άλλη πηγάδια κοντά σε υδρολογικά όρια. Ξεκινώντας με τη περίπτωση των συστημάτων πηγαδιών, σύμφωνα με τον κ. Λατινόπουλο (1998), όταν δύο ή περισσότερα πηγάδια άντλησης ή φόρτισης λειτουργούν στον ίδιο υδροφορέα και βρίσκονται σε αμοιβαίες μεταξύ τους αποστάσεις μικρότερες από τις ακτίνες επιρροής τους, τότε οι πτώσεις στάθμης και οι αντλούμενες παροχές 19

34 αλληλοεπηρεάζονται. Συνεπώς, και εφόσων στη διδιάστατη θεώρηση των εκτεταμένων υδροφορέων τα πηγάδια παίρνονται σαν σημειακές εντάσεις, στα σημεία που υπάρχουν πηγάδια θα ισχύει η αρχή της επαλληλίας. Η αρχή τη επαλληλίας ισχύει για περιπτώσεις γραμμικών προβλημάτων, δηλαδή σε προβλήματα με περιορισμένους υδροφορείς. Στην περίπτωση των φρεάτιων υδροφορέων, μπορούμε να δεχθούμε την αρχή της επαλληλίας αν θεωρήσουμε ότι η μεταβλητή είναι η h 2 στη εξίσωση της μόνιμης ροής. Η μέθοδος της επαλληλίας μπορεί να εφαρμοστεί και όταν σαν μεταβλητή του προβλήματος επιλέγεται η πτώση στάθμης. Αν έχουμε λοιπόν, ένα ομογενή και άπειρο υδροφορέα, με τη περίπτωση της μόνιμης ροής, όπου λειτουργούν Ν πηγάδια άντλησης σταθερής παροχής Q j >0, η ολική πτώση στάθμης s i σε ένα σημείο παρατήρησης i με συντεταγμένες (x i,y i ) υπολογίζεται εφαρμόζοντας την αρχή της επαλληλίας από τη σχέση: (2.33) Όλες οι περιπτώσεις ροών με αντλήσεις από πηγάδια που έχουμε αναλύσει στις προηγούμενες παραγράφους, αφορούσαν τη περίπτωση άπειρου υδροφορέα. Σε αυτές τις περιπτώσεις η ακτίνα επιρροής των πηγαδιών περιορίζει το πεδίο των αισθητών μεταβολών της πτώσης στάθμης. Όταν όμως η άντληση γίνεται κοντά σε κάποιο όριο όπως για παράδειγμα κοντά σε λίμνες και ποτάμια ή ακόμα και σε θάλασσα, η στάθμη των νερών θεωρείται σταθερή και ανεξάρτητη από τις αντίστοιχες αντλήσεις. Μια απλή αντιμετώπιση των προβλημάτων αυτών είναι η υπόθεση ότι τα όρια που αναφέρθηκαν είναι απότομες ασυνέχειες. Η πιο εύχρηστη και διαδεδομένη μέθοδος αντιμετώπισης τέτοιου είδους προβλημάτων είναι η μέθοδος των εικόνων. Βασικό χαρακτηριστικό της μεθόδου αυτής είναι η προσέγγιση των διαφόρων ορίων που περιορίζουν το πεδίο ροής με ευθείες γραμμές. Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή ένα πεδίο ροής που αποτελείται από ένα πηγάδι που αντλεί ή φορτίζει νερό κοντά σε ένα ευθύγραμμο όριο, μπορεί να αντικατασταθεί από ένα μεγαλύτερο υποθετικό πεδίο ροής με απλούστερες οριακές συνθήκες. Πηγάδια εικόνες ή φανταστικά πηγάδια, τοποθετούνται κατάλληλα στο υποθετικό πεδίο ροής έτσι ώστε η ροή που προκύπτει τελικά από τη λειτουργία όλων των πηγαδιών να είναι η ίδια με αυτή που ισχύει στο περιορισμένο τμήμα του πεδίου ροής. Πιο ειδικά, στο διευρυμένο υποθετικό πεδίο, όπου δεν υπάρχει το σχετικό όριο, πρέπει να ισχύουν οι ίδιες συνθήκες ροής που επιβάλλονται στη πραγματική ροή κατά μήκος του ορίου. Ακόμα το δυναμικό που δημιουργείται από το σύνολο των πηγαδιών, πραγματικών και φανταστικών, πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση συνεχείας στο πραγματικό τμήμα του πεδίου. Αν υπάρχει τώρα, ένα πηγάδι άντλησης σε απόσταση x 0 από το ευθύγραμμο όριο όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα 2.6, τότε το πραγματικό πεδίο ροής είναι ο ημιάπειρος 20

35 υδροφορέας x>0. Το υποθετικό πεδίο δημιουργείται καταργώντας το όριο δεξαμενής και τοποθετώντας ένα φανταστικό πηγάδι στη θέση x 0. Αν το πραγματικό πηγάδι στη θέση x 0 είναι πηγάδι άντλησης με παροχή +Q 0 τότε το πηγάδι που ορίζεται σαν εικόνα του πραγματικού, στη συμμετρική του ως προς το όριο θέση, είναι ένα πηγάδι φόρτισης με παροχή -Q 0. Το υποθετικό πεδίο ροής είναι ένας άπειρης έκτασης υδροφορέας με δυο πηγάδια, ένα άντλησης και ένα φόρτισης σε αμοιβαία απόσταση 2x 0. Εξαιτίας της συμμετρίας στον άξονα x=0 θα είναι s=0. Εφαρμόζοντας τη μέθοδο της επαλληλίας για το πρόβλημα αυτό, η σχέση που δίνει τελικά τη πτώση στάθμης s σε τυχαίο σημείο (x,y) του πεδίου, είναι η εξής: (2.34) όπου, r και r συμβολίζουν τις αποστάσεις του σημείου με συντεταγμένες (x,y), όπου υπολογίζεται η πτώση στάθμης, από τα κέντρα του πραγματικού και του φανταστικού πηγαδιού αντίστοιχα. Γίνεται βέβαια η υπόθεση ότι η απόσταση του πηγαδιού από το όριο είναι μικρότερη από την ακτίνα επιρροής, γιατί αλλιώς η ύπαρξη του ορίου δεν επηρεάζει τη ροή αυτή. Σχήμα 2.6. Μέθοδος εικόνων για πηγάδι κοντά σε όριο δεξαμενής (Πηγή: Λατινόπουλος, 1998) Μια άλλη περίπτωση είναι αν θεωρήσουμε την άντληση από ένα πηγάδι στη θέση (x o,0) σε ένα ημιάπειρο υδροφορέα που περιορίζεται από το ευθύγραμμο αδιαπέρατο όριο x=0, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.7. Εφαρμόζοντας τη μέθοδο των εικόνων σε αυτή τη περίπτωση δημιουργούμε ένα φανταστικό πηγάδι στη θέση (-x o,0). Το πηγάδι σε αυτή τη περίπτωση είναι άντλησης με παροχή +Q 0, ίση με αυτή του πραγματικού πηγαδιού. Λόγω της συμμετρίας κατά μήκος του ορίου x=0 έχουμε / x =0, ικανοποιείται δηλαδή η οριακή συνθήκη όπως επίσης ικανοποιείται και η εξίσωση συνέχειας για το πραγματικό πεδίο x>0. s Q Q Q Q 4 0 R 0 R 0 R R ln ln ln ln (2.34) 2T r 2T r' 2T rr' 2T (x x ) y (x x ) y o o 21

36 H σχέση (2.34) δίνει τη πτώση στάθμης s σε τυχαίο σημείο (x,y) του πεδίου, όπου r και r συμβολίζουν τις αποστάσεις του σημείου με συντεταγμένες (x,y) και R η ακτίνα επιρροής των πηγαδιών. Στο Σχήμα 2.7 παρουσιάζεται σχηματικά η μέθοδος των εικόνων για τη περίπτωση αδιαπέρατου ορίου. Σχήμα 2.7. Μέθοδος εικόνων για πηγάδι κοντά σε αδιαπέρατο όριο (Πηγή: Λατινόπουλος, 1998) Τέλος, η περίπτωση όπου έχουμε διεπιφάνεια που χωρίζει το υδροφορέα σε ζώνες διαφορετικής μεταφορικότητας εξετάζεται αναλυτικά σε επόμενα κεφάλαια. 22

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΕΧΝΗΤΑ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ 3.1 Εισαγωγή Τα νευρωνικά δίκτυα (neural networks) αποτελούν μια σχετικά νέα τεχνική στις φυσικές επιστήμες, καθ όσον έχουν γίνει γνωστά και έχουν αναπτυχθεί μόνο κατά τα τελευταία σαράντα περίπου χρόνια. Η τεχνική αυτή έχει δει μια μεγάλη άνθηση, κρίνοντας από την μεγάλη ανάπτυξη που έχει παρατηρηθεί, από τον αριθμό των επιστημόνων που ασχολούνται με αυτά τα θέματα, και βέβαια από τα πολύ σημαντικά επιτεύγματα, που έχουν συμβάλλει στο να γίνουν γνωστά σε ένα ευρύτερο κύκλο. Αποτελούν επομένως ένα θέμα με μεγάλο ενδιαφέρον στις τεχνολογικές επιστήμες. Το κύριο χαρακτηριστικό τους είναι ότι οι αρχές και λειτουργίες τους βασίζονται στο νευρικό σύστημα των ζώντων οργανισμών (και φυσικά του ανθρώπου), αλλά η μελέτη και η χρήση τους έχει προχωρήσει πολύ πέρα από τους βιολογικούς οργανισμούς, και σήμερα τα νευρωνικά δίκτυα χρησιμοποιούνται για να λύσουν κάθε είδους προβλήματα με ηλεκτρονικό υπολογιστή (Αργυράκης, 2001). Έτσι στα νευρωνικά δίκτυα χρησιμοποιούντα ιδέες όπως, π.χ. ένα δίκτυο μαθαίνει και εκπαιδεύεται, θυμάται ή ξεχνά μια αριθμητική τιμή, κλπ. πράγματα που μέχρι τώρα τα αποδιδόταν μόνο στην ανθρώπινη σκέψη (Αργυράκης, 2001). 3.2 Βιολογικά Νευρωνικά Δίκτυα Η έμπνευση για κάθε μορφής νευρωνικό δίκτυο ξεκινά από την βιολογία. Οι ζώντες οργανισμοί, από τους πιο απλούς μέχρι τον άνθρωπο, έχουν ένα νευρικό σύστημα, το οποίο είναι υπεύθυνο για μια πλειάδα από διεργασίες, όπως είναι η επαφή με τον εξωτερικό κόσμο, η μάθηση, η μνήμη, κλπ. Το νευρικό σύστημα των οργανισμών αποτελείται από πολλά νευρωνικά δίκτυα τα οποία είναι εξειδικευμένα στις διεργασίες αυτές. Η κεντρική μονάδα του νευρικού συστήματος είναι, ο εγκέφαλος. Κάθε νευρωνικό δίκτυο αποτελείται από ένα μεγάλο αριθμό μονάδων, που λέγονται νευρώνες, ή νευρώνια (neurons). Ο νευρώνας είναι η πιο 23

38 μικρή ανεξάρτητη μονάδα του δικτύου, όπως π.χ. το άτομο είναι η πιο μικρή μονάδα της ύλης. Οι νευρώνες συνεχώς και ασταμάτητα επεξεργάζονται πληροφορίες, παίρνοντας και στέλνοντας ηλεκτρικά σήματα σε άλλους νευρώνες (Αργυράκης, 2001). Ένας φυσικός νευρώνας παρουσιάζεται στο Σχήμα 3.1. Σχήμα 3.1 Φυσικός Νευρώνας (πηγή Σπύρου, 1997) Η λεπτομερής διερεύνηση της εσωτερικής δομής των βιολογικών νευρικών κυττάρων, ειδικά μετά την εφεύρεση του ηλεκτρονικού μικροσκοπίου, αποκάλυψε ότι όλοι οι νευρώνες του εγκεφάλου αποτελούνται από τα ίδια βασικά μέρη, ανεξάρτητα από το μέγεθος και από το σχήμα τους. Το κεντρικό μέρος ονομάζεται σώμα του κυττάρου (cell body ή soma). Από το σώμα εξέρχονται κάποιες επεκτάσεις σαν ρίζες που ονομάζονται δενδρίτες (dendrites), όπως επίσης και ένα επίμηκες σωληνοειδές και λεπτό νεύρο, ο άξονας (axon) ο οποίος διαχωρίζεται στο τέλος του σε έναν αριθμό μικρών κλάδων. Το μέγεθος του σώματος ενός τυπικού νευρώνα είναι 10-80μm ενώ οι δενδρίτες και ο άξονας έχουν διάμετρο λίγων μm. Ενώ οι δενδρίτες λειτουργούν ως λήπτες σημάτων από τους διπλανούς νευρώνες, ο σκοπός του άξονα είναι η μετάδοση της δραστηριότητας του νευρώνα σε άλλα κύτταρα ή μυϊκές ίνες (Πάνου, 2003). Η ένωση μεταξύ του τέλους ενός αξονικού κλάδου και ενός άλλου νευρώνα ονομάζεται σύναψη (synapse). Στην σύναψη τα δύο κύτταρα διαχωρίζονται από ένα μικροσκοπικό κενό πλάτους περίπου 200nm (συναπτικό κενό synaptic gap). Οι συνάψεις μπορεί να βρίσκονται είτε στο σώμα του κυττάρου είτε στους δενδρίτες είτε στο σώμα των επόμενων νευρώνων. Η επίδραση γενικά ελαττώνεται καθώς αυξάνεται η απόσταση από το σώμα. Το συνολικό μήκος των νευρώνων ποικίλει από 0.01mm (για νευρώνες στον εγκέφαλο) μέχρι 1m (για νευρώνες στα άκρα του σώματος). 24

39 Στον ανθρώπινο εγκέφαλο, ένας τυπικός νευρώνας συλλέγει σήματα από άλλους νευρώνες μέσω των δενδριτών. Ο νευρώνας στέλνει παλμούς ηλεκτρικής δραστηριότητας μέσω του άξονα ο οποίος διαχωρίζεται σε πολλά παρακλάδια. Στο τέλος καθενός από αυτά τα παρακλάδια, βρίσκεται η σύναψη η οποία μετατρέπει την δραστηριότητα από τον άξονα σε ηλεκτρικά αποτελέσματα τα οποία διεγείρουν ή αποτρέπουν την δραστηριότητα στους διασυνδεδεμένους νευρώνες. Όταν ένας νευρώνας δεχθεί είσοδο διέγερσης που είναι αρκετά μεγαλύτερη συγκρινόμενη με την αποτρεπτική, στέλνει έναν παλμό ηλεκτρικής δραστηριότητας μέσω του άξονά του. Η εκπαίδευση λαμβάνει χώρα τροποποιώντας την αποδοτικότητα των συνάψεων, ώστε να αλλάζει η επίδραση ενός νευρώνα σε κάποιον άλλο (Πάνου, 2003). 3.3 Τα Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα Τα Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα δημιουργήθηκαν προσπαθώντας αρχικά να κατανοήσουμε τα βασικά χαρακτηριστικά των νευρώνων και των διασυνδέσεών τους. Παρόλα αυτά, επειδή η γνώση όσον αφορά στους νευρώνες δεν είναι ολοκληρωμένη και η υπολογιστική δύναμη είναι περιορισμένη, τα μοντέλα που υλοποιούνται είναι χονδροειδείς γενικεύσεις των βιολογικών νευρωνικών δικτύων. Στο σχήμα 3.2 παρουσιάζεται το μοντέλο του τεχνητού νευρώνα, ο οποίος αναλύεται παρακάτω. Σχήμα 3.2: Ένα μοντέλο τεχνητού νευρώνα (Πηγή: Stergiou and Siganos) Στο μοντέλο των τεχνητών νευρώνων οι κόμβοι (nodes) αντιστοιχούν στο σώμα του κυττάρου, οι συνδέσεις (links) μεταξύ των κόμβων στους δενδρίτες και τον άξονα και τα βάρη στις συνάψεις. Στον πίνακα 3.1 δίνεται η αντιστοιχία της ορολογίας μεταξύ Βιολογικών και Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων: 25

40 Πίνακας 3.1: Αντιστοιχία ορολογίας μεταξύ Βιολογικών και Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων Ορολογία βιολογίας Νευρώνας (Neuron) Σύναψη (Synapse) Aποτελεσματικότητα Σύναψης (Synaptic Efficiency) Συχνότητα Διέγερσης (Firing Frequency) Ορολογία Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων Μονάδα/Κόμβος/Νευρώνας (Unit/Node/Cell/Neuron) Σύνδεψη/Σύναψη (Link/Synapse) Συναπτικό βάρος (Synaptic Weight) Έξοδος Κόμβου/Νευρώνα (Node/Neuron Output) Με τα νευρωνικά δίκτυα δεν επιχειρείται μαθηματική προσομοίωση των εξεταζόμενων φαινομένων, αλλά εξαγωγή ποσοτικών συμπερασμάτων για συγκεκριμένα δεδομένα, με βάση ανάλογες περιπτώσεις. Επομένως τα νευρωνικά δίκτυα είναι ιδιαίτερα χρήσιμα όταν: α) η μαθηματική προσομοίωση του φυσικού προβλήματος δεν είναι δυνατή ή είναι ιδιαίτερα πολύπλοκη και β) όταν δεν έχουν προσδιοριστεί με επαρκή ακρίβεια απαραίτητες παράμετροι (π.χ. η υδραυλική αγωγιμότητα ενός υδροφορέα) (Καραμπερίδου κ.α. υπο δημοσίευση). 3.4 Λειτουργία Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων Ένα νευρωνικό δίκτυο αποτελείται, όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, από ένα αριθμό στοιχείων, τους νευρώνες. Σε κάθε νευρώνα καταφθάνει ένας αριθμός σημάτων, τα οποία έρχονται ως είσοδος σε αυτόν. Ο νευρώνας έχει μερικές πιθανές καταστάσεις στις οποίες μπορεί να βρεθεί η εσωτερική δομή του που δέχεται τα σήματα εισόδου και, τέλος, έχει µία μόνον έξοδο, η οποία είναι συνάρτηση των σημάτων εισόδου (Σχήμα 3.3). Κάθε σήμα που μεταδίδεται από ένα νευρώνα σε ένα άλλο μέσα στον νευρωνικό δίκτυο συνδέεται µε την τιμή βάρους, "w", η οποία υποδηλώνει πόσο στενά είναι συνδεδεμένοι οι δύο νευρώνες που συνδέονται µε το βάρος αυτό. Η τιμή αυτή συνήθως κυμαίνεται σε ένα συγκεκριμένο διάστημα, από 1 ως 1, αλλά αυτό είναι αυθαίρετο και εξαρτάται από το πρόβλημα που προσπαθούμε να λύσουμε. Η σημασία του βάρους είναι όπως ακριβώς είναι και ο χημικός δεσμός ανάμεσα σε δύο άτομα που απαρτίζουν ένα µόριο. Ο δεσμός δείχνει πόσο δυνατά είναι συνδεδεμένα τα δύο άτομα του µορίου. Έτσι και ένα βάρος λέει ακριβώς πόσο σημαντική είναι η συνεισφορά του συγκεκριμένου σήματος στην διαμόρφωση της δομής του 26

41 δικτύου για τους δύο νευρώνες τους οποίους συνδέει. Όταν το "w" είναι μεγάλο (μικρό), τότε η συνεισφορά του σήματος είναι μεγάλη (μικρή) (Αργυράκης, 2001). Σχήμα 3.3. Τυπικό σχήμα νευρώνα (κύκλος) με εισόδους (S 1, S 2, S 3,.) με αντίστοιχα βάρη (w 1,w 2,w 3,..) και μία έξοδο (πηγή: Αργυράκης, 2001). Η μετάδοση του σήματος από νευρώνα σε νευρώνα, γίνεται ως εξής: όλα τα σήματα που φθάνουν σε ένα νευρώνα μαζεύονται (αθροίζονται), υπόκεινται σε µία διαδικασία, παράγεται ως αποτέλεσμα της διαδικασίας µία έξοδος και αυτό είναι το σήμα το οποίο μεταδίδεται περαιτέρω στους επόμενους νευρώνες. Η θεώρηση αυτή είναι γενική και ισχύει πάντοτε, αυτό όμως που αλλάζει είναι η διαδικασία η οποία δεν είναι πάντα η ίδια. Υπάρχουν δύο βασικοί τρόποι μετάδοσης. Ο πρώτος τρόπος είναι δυαδικός. Στην περίπτωση αυτή ένας νευρώνας μπορεί να βρεθεί σε µία από δύο δυνατές καταστάσεις: να είναι ενεργός ή να είναι αδρανής. Όταν ένας νευρώνας δέχεται διάφορα σήματα, τότε υπολογίζει µία ποσότητα "x", από όλα τα δεδομένα που έχει και συγκρίνει την τιμή της ποσότητας αυτής µε µια τιμή κατωφλίου, "θ", η οποία είναι χαρακτηριστική (σταθερή) και ορισμένη από την αρχή για τον νευρώνα αυτό. Αν η τιμή της ποσότητας είναι μεγαλύτερη από την τιμή κατωφλίου, τότε λέμε ότι ο νευρώνας ενεργοποιείται. Αν όμως είναι μικρότερη, τότε ο νευρώνας παραμένει αδρανής, δηλ. στην δεδομένη στιγμή δεν μεταδίδει κανένα σήμα περαιτέρω στο δίκτυο. Επειδή ο νευρώνας εδώ δρα ως δυαδικό στοιχείο, γι αυτό η έξοδός του, f(x), θα είναι 1 όταν είναι ενεργοποιημένος και 0 όταν είναι αδρανής. f(x) = (3.1) Με τον δεύτερο τρόπο δεν υπάρχει χαρακτηριστική τιμή κατωφλίου µε την οποία γίνεται η σύγκριση της συνάρτησης (3.1). Η μετάδοση του σήματος γίνεται πάλι µε τη συνάρτηση f(x), η οποία τώρα έχει µία ειδική μορφή. Χρησιμοποιούμε όλες τις τιμές των εισόδων και τις τιμές των βαρών "w", και υπολογίζουμε αριθμητικά την f(x). Ένα παράδειγμα μορφής της συνάρτησης αυτής είναι το εξής: 27

42 f(x) = (3.2) Η συνάρτηση (3.2) λέγεται σιγµοειδής συνάρτηση. Η γενική της όμως ονομασία σε όλες τις περιπτώσεις είναι συνάρτηση μεταφοράς (transfer function), ή συνάρτηση ενεργοποίησης (activation function). Το κοινό χαρακτηριστικό που έχουν οι συναρτήσεις αυτές είναι ότι πρέπει να είναι πάντοτε µη γραμμικές. Δεν αρκούν γραμμικές συναρτήσεις, γιατί τότε η έξοδος θα ήταν ευθέως ανάλογη µε την είσοδο, κάτι που δεν μπορεί να συμβεί στα νευρωνικά δίκτυα (Αργυράκης, 2001) Συνάρτηση Ενεργοποίησης H συνάρτηση f(u) ονομάζεται συνάρτηση ενεργοποίησης (activation function) και για τους νευρώνες εκφράζεται με μια από τις παρακάτω συναρτήσεις: Συνάρτηση κατωφλίου (Threshold function) (Σχήμα 3.4) f(u)=1, για u 0 f(u)=0, για u 0 Σχήμα 3.4: Συνάρτηση κατωφλίου Η συνάρτηση κατωφλίου δίνει τιμές που ανήκουν στο διάστημα [0,1]. Γραμμική συνάρτηση (Linear Function) (Σχήμα 3.5) f(u)=1, για u +1/2 f(u)=u, για -1/2< u <+1/2 f(u)=0, για u -1/2 Στη γραμμική συνάρτηση ξανά το πεδίο τιμών είναι [0,1]. Σιγμοειδής συνάρτηση (Sigmoid Function) (Σχήμα 3.6) Σχήμα 3.5: Γραμμική συνάρτηση f(u)=1/[1+exp(-a u)] Σχήμα 3.6: Σιγμοειδής συνάρτηση 28

43 Υπερβολική εφαπτομένη (Hyperbolic Tangent) (3.7) Σχήμα 3.7: Υπερβολική εφαπτομένη Η σιγμοειδής συνάρτηση χρησιμοποιείται συνηθέστερα στα νευρωνικά δίκτυα με ανάδραση (Πάνου, 2003) Ο Αισθητήρας (perceptron) Η περίπτωση που περιγράφηκε στην προηγούμενη ενότητα είναι η περίπτωση του αισθητήρα (perceptron) και είναι από τα πρώτα μοντέλα νευρωνικών δικτύων που αναπτύχθηκαν την δεκαετία του πενήντα και έδωσαν στην περιοχή αυτή μεγάλη ώθηση χάρη στις επιτυχίες που είχε από την αρχή. Πολλά δίκτυα που αναπτύχθηκαν αργότερα, κατά πολύ πιο περίπλοκα, ξεκίνησαν από την βάση του αισθητήρα. Το μοντέλο του αισθητήρα προτάθηκε αρχικά το 1958 από τον Rosenblatt. Οι Minsky Papert έδειξαν το 1969 ότι το πρώτο αυτό πρότυπο έχει πολλούς περιορισμούς. Σήμερα, υπάρχουν πολλές παραλλαγές νευρωνικών δικτύων που βασίζονται στον αισθητήρα και έχουν διαφορετικές δομές, άλλες απλές και άλλες πιο περίπλοκες. Η πιο απλή μορφή είναι ο λεγόμενος στοιχειώδης αισθητήρας (elementary perceptron), ο οποίος φαίνεται στο Σχήμα 3.8. Σχήμα 3.8. Ο στοιχειώδης αισθητήρας (πηγή: Αργυράκης, 2001) Η δομή του αισθητήρα 29

44 Η δομή του στοιχειώδη αισθητήρα είναι πολύ απλή και αποτελείται από ένα µόνο νευρώνα και είναι το πιο απλό, αυτοδύναμο σύστημα που υπάρχει και επιτελεί µία ορισμένη διεργασία. Στον στοιχειώδη αισθητήρα, ο μοναδικός νευρώνας του συστήματος έχει έναν ορισμένο αριθμό συνδέσεων που προέρχονται από άλλους νευρώνες, όπως φαίνονται στο Σχήμα 3.7. Έχει ένα ορισμένο αριθμό εισόδων αλλά µία µόνο έξοδο. Αυτό σημαίνει ότι η μονάδα αυτή δέχεται πολλές εισόδους, s 1, s 2, s 3 κτλ. αλλά παράγει µία µόνο έξοδο. Κάθε εισερχόμενο σήμα, s i, συνδέεται µε τον κεντρικό νευρώνα µε ένα βάρος w i. Το βάρος w µας δείχνει κατά κάποιο τρόπο την αλληλεπίδραση μεταξύ των δύο νευρώνων τους οποίους συνδέει. Αυτό που έχει σημασία δεν είναι η τιμή του βάρους w από μόνη της ούτε η τιμή του σήματος s, αλλά είναι το γινόμενο s i w i. Έτσι κάθε s i πολλαπλασιάζεται επί το βάρος w i που έχει η σύνδεση i και τελικά αυτό που παρουσιάζεται στον νευρώνα από κάθε εισερχόμενο σήμα είναι το γινόμενο s i w i. Ο αισθητήρας κατόπιν αθροίζει τα γινόμενα αυτά για όλους τους n όρους, και λαμβάνει ένα συνολικό σήμα µε τιμή: S i i (3.3) i Ακολούθως, εφαρμόζοντας την συνάρτηση κατωφλίου Heaviside, με ένα συγκεκριμένο κατώφλι θ, συγκρίνεται το θ με το άθροισμα S. Εάν S>θ τότε ο αισθητήρας ενεργοποιείται. Εάν S<θ τότε το άθροισμα S μηδενίζεται και ο αισθητήρας παραμένει αδρανής. Αυτό συνοψίζεται ως: Εάν S>θ τότε έξοδος = 1 Εάν S<θ τότε έξοδος = 0 Η ενεργητικότητα λοιπόν του αισθητήρα εξαρτάται από τα βάρη των συνδέσεων, τις τιμές των εισόδων, και την τιμή του κατωφλίου. Γίνεται η θεώρηση ότι αυτό που μαθαίνει το σύστημα αποθηκεύεται στα βάρη των συνδέσεων, τα οποία, μεταβάλλονται συνεχώς, κατά την διάρκεια που το σύστημα "μαθαίνει" κάποια πληροφορία (Αργυράκης, 2001). Με βάση λοιπόν τη δομή και τη λειτουργία του στοιχειώδους αισθητήρα μπορεί να αναπτυχθούν και πιο πολύπλοκες μορφές που περιέχουν περισσότερους του ενός νευρώνες. Ένας αισθητήρας µε περίπλοκη δομή δίνεται στο Σχήμα 3.8. Στη περίπτωση αυτή υπάρχουν n νευρώνες, αντί για έναν µόνο που έχει ο στοιχειώδης αισθητήρας. Υπάρχουν και διάφορα άλλα παρόμοια μοντέλα, που ονομάζονται επίσης συλλογικοί αισθητήρες, και μερικά είναι πιο περίπλοκα από τα παραπάνω, αλλά ο μηχανισμός λειτουργίας τους είναι ο ίδιος όπως αυτός που είδαμε (Haykin, 1999). 30

45 Σχήμα 3.9. Ο αισθητήρας με n νευρώνες (πηγή: Αργυράκης, 2001) Μια άλλη συνήθης μορφή δικτύων είναι τα πολυστρωματικά δίκτυα (Layered Networks), όπου οι n νευρώνες ομαδοποιούνται σε στρώματα. Σε αυτά περιλαμβάνονται τα Δίκτυα Προώθησης (Feed-forward Networks), τα οποία αποτελούνται από ένα επίπεδο εισόδου, ένα επίπεδο εξόδου και κρυφά επίπεδα (hidden layers). Ένα τέτοιο δίκτυο παρουσιάζεται στο Σχήμα Όπως και προηγουμένως κάθε νευρώνας του κάθε επιπέδου είναι δυνατόν να συνδέεται με όλους τους νευρώνες του επόμενου επιπέδου, η ακόμα και με νευρώνες του επιπέδου εξόδου, όπως και είναι δυνατόν να αφαιρεθούν συνδέσεις για τη πιο ρεαλιστική λειτουργία του δικτύου. Στην περίπτωση που προστεθούν συνδέσεις ανατροφοδότησης, τα δίκτυα αναφέρονται ως Δίκτυα Ανατροφοδότησης (Recurrent Networks). Στα Σχήματα 3.11 και 3.12 παρουσιάζονται δυο Δίκτυα Ανατροφοδότησης, το πρώτο χωρίς κρυφό επίπεδο και το δεύτερο με κρυφό επίπεδο. Το δίκτυο του σχήματος 3.11 λέγεται και δίκτυο Hopfield. Σχήμα Νευρωνικό δίκτυο με κρυφά επίπεδα (πηγή: Σπύρου, 1997). 31

46 Σχήματα 3.11 και Αναδρομικά δίκτυα χωρίς και με κρυφό επίπεδο. (Πηγή: Αρχιτεκτονική Νευρωνικών Δικτύων Ο τρόπος με τον οποίο οι νευρώνες ενός νευρωνικού δικτύου δομούνται, είναι στενά συνδεδεμένος με τον αλγόριθμο εκμάθησης που χρησιμοποιείται για την εκπαίδευση του δικτύου. Σαν εμπρός τροφοδότησης, αναφέρονται τα δίκτυα, στα οποία τα σήματα κατευθύνονται από την είσοδο στην έξοδο. Όταν οι έξοδοι κάποιων νευρώνων, γίνονται είσοδοι σε νευρώνες προηγούμενων επιπέδων (προς το μέρος της εισόδου του δικτύου), τότε έχουμε ανάδραση ( m ) Διακρίνουμε 4 διαφορετικές κλάσεις αρχιτεκτονικών δομών: Δίκτυα Ενός-επιπέδου Εμπρός-Τροφοδότησης. Σε ένα τέτοιο δίκτυο, οι νευρώνες είναι οργανωμένοι σε μορφή επιπέδων. Οι νευρώνες του πηγαίου επιπέδου επηρεάζουν τους νευρώνες του επόμενου επιπέδου αλλά όχι αντίστροφα, όπως στο Σχήμα

47 Σχήμα 3.13 Εμπρός-Τροφοδότησης δίκτυο με ένα επίπεδο νευρώνων (Πηγή: Δίκτυα Πολλαπλών-Επιπέδων Εμπρός-Τροφοδότησης. Σε αυτή τη περίπτωση υπάρχουν περισσότερα του ενός κρυφά επίπεδα, των οποίων οι κόμβοι υπολογισμού ονομάζονται κρυφοί νευρώνες. Τυπικά, οι νευρώνες σε κάθε επίπεδο έχουν σαν εισόδους τα σήματα εξόδου μόνο του προηγούμενου επιπέδου. Στο Σχήμα 3.14 έχουμε ένα πλήρως συνδεδεμένο νευρωνικό δίκτυο, με την έννοια ότι κάθε κόμβος συνδέεται με όλους τους κόμβους του αμέσως επόμενου επιπέδου. Σχήμα 3.14: Πλήρως συνδεδεμένο δίκτυο εμπρός-τροφοδότησης με ένα κρυφό επίπεδο και ένα επίπεδο εξόδου (Πηγή: ). 33

48 Ένα τέτοιο δίκτυο περιγράφεται συνοπτικά με το συμβολισμό Αυτός ο συμβολισμός σημαίνει ότι το Ν.Δ. έχει δέκα εισόδους, ένα κρυφό επίπεδο με τέσσερις νευρώνες (κόμβους) και το επίπεδο εξόδου έχει δύο νευρώνες ή κόμβους. Γενικά, ένα πολυεπίπεδο δίκτυο εμπρός τροφοδότησης με p εισόδους, m κρυφά επίπεδα με h j, j=1,,m κόμβους ανά επίπεδο και n κόμβους εξόδου, συμβολίζεται σαν: p-h 1,h 2, h m -n. Αντίθετα στο Σχήμα 3.15 έχουμε ένα μερικώς συνδεδεμένο νευρωνικό δίκτυο. Σχήμα 3.15: Μερικώς συνδεδεμένο δίκτυο εμπρός-τροφοδότησης (πηγή: htm ). Αναδρομικά Δίκτυα. Όπως αναφέρθηκε και στη προηγούμενη παράγραφο, η διαφορά με τα Δίκτυα Επανατροφοδότησης είναι ότι έχει ένα τουλάχιστον βρόχο ανάδρασης. Δικτυωτές Δομές. Ένα πλέγμα, αποτελείται από έναν πίνακα μιας, δύο ή μεγαλύτερης διάστασης από νευρώνες, με ένα αντίστοιχο σύνολο από πηγαίους κόμβους, που παρέχουν τα σήματα εισόδου στον πίνακα, όπως φαίνεται στο Σχήμα

49 Σχήμα 3.16: (a) Μονοδιάστατο πλέγμα με 3 νευρώνες. (b) Δισδιάστατο πλέγμα με 3 x 3 νευρώνες. (Πηγή: 24.htm ) 3.6 Εκπαίδευση Νευρωνικού Δικτύου Η εκπαίδευση ενός νευρωνικού δικτύου γίνεται με το να παρουσιάσουμε μια ομάδα από πρότυπα στο δίκτυο, αντιπροσωπευτικά ή παρόμοια με αυτά που θέλουμε να μάθει το δίκτυο. Αυτό σημαίνει ότι δίνουμε στο δίκτυο ως εισόδους κάποια πρότυπα για τα οποία ξέρουμε ποια πρέπει να είναι η έξοδος στο δίκτυο, ξέρουμε δηλαδή ποιος είναι ο στόχος, τι πρέπει να δίνει το δίκτυο ως απάντηση στα πρότυπα που του παρουσιάζουμε. Ουσιαστικά είναι σαν να δίνουμε στο δίκτυο την ερώτηση και την απάντηση που αντιστοιχεί (Αργυράκης, 2001). Το δίκτυο με τα δεδομένα αυτά τροποποιεί την εσωτερική του δομή ώστε να κάνει την ίδια αντιστοιχία που του δώσαμε εμείς. Ακολούθως, αφού βρει την σωστή εσωτερική δομή, τότε 35

50 θα μπορεί να λύνει και άλλα ανάλογα προβλήματα τα οποία δεν τα έχει δει προηγουμένως, δηλαδή δεν έχει εκπαιδευθεί στα πρότυπα των προβλημάτων αυτών. Οπωσδήποτε όμως, τα προβλήματα αυτά θα πρέπει να είναι της ίδιας φύσης και των ίδιων χαρακτηριστικών όπως αυτά της εκπαίδευσης και όχι διαφορετικά (Αργυράκης, 2001) Κανόνες εκμάθησης Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων Οι μέθοδοι εκπαίδευσης μπορούν να διαχωριστούν σε τρείς διακριτούς τύπους: Επιβλεπόμενη ή συσχετιζόμενη εκμάθηση (supervised ή associative learning). Σύμφωνα με τον τύπο αυτό εκπαίδευσης, το Τεχνητό Νευρωνικό Δίκτυο εκπαιδεύεται με συγκεκριμένες εισόδους και αντίστοιχες εξόδους. Αυτά τα ζεύγη εισόδων-εξόδων δίνονται από τον άνθρωπο ή από το σύστημα το οποίο περιέχει το Τεχνητό Νευρωνικό Δίκτυο (αυτοεπιβλεπόμενο δίκτυο). Μη επιβλεπόμενη εκμάθηση ή αυτοοργάνωση (unsupervised learning ή selforganization). Όπου μια μονάδα εξόδου εκπαιδεύεται να ανταποκρίνεται σε ομάδες προτύπων που υπάρχουν στην είσοδο. Σε αυτό το παράδειγμα το σύστημα ανακαλύπτει στατιστικά αξιοπρόσεκτα χαρακτηριστικά των προτύπων εισόδου. Αντίθετα από την επιβλεπόμενη εκμάθηση, εδώ δεν υπάρχουν εκ των προτέρων καθορισμένα σύνολα κατηγοριών στα οποία θα ταξινομηθούν τα πρότυπα. Εδώ το σύστημα πρέπει να αναπτύξει την δικιά του αναπαράσταση των ερεθισμάτων εισόδου. Η εκπαίδευση δύο σταδίων (semi-supervised training). Είναι ο συνδυασμός των μεθόδων εκπαίδευσης που προαναφέρθηκαν και εκτελείται, όπως φανερώνει και το όνομά της, σε δύο στάδια. Κατά το πρώτο στάδιο, γίνεται εκπαίδευση χωρίς επίβλεψη, η οποία ομαδοποιεί τα δεδομένα εισόδου. Κατά το δεύτερο στάδιο γίνεται εκπαίδευση με επίβλεψη, και έτσι δημιουργείται η συνάρτηση απεικόνισης εισόδου εξόδου. Οι ομάδες του πρώτου σταδίου χρησιμεύουν για να αρχικοποιηθεί το τεχνητό νευρωνικό δίκτυο κατά το δεύτερο στάδιο (Πάνου, 2003). Και οι τρεις τύποι εκμάθησης που παρουσιάστηκαν έχουν σαν αποτέλεσμα την προσαρμογή των βαρών των συνδέσεων μεταξύ των νευρώνων του Τεχνητού Νευρωνικού Δικτύου, σύμφωνα με κάποιο κανόνα μετατροπής. Όλοι οι κανόνες αυτού του τύπου μπορούν να θεωρηθούν ως παραλλαγές του κανόνα εκμάθησης του Hebb (Hebbian learning rule) (Πάνου, 2003) Κανόνας εκμάθησης δέλτα ή Κανόνας Windrow Hoff (1960) Έστω ότι έχουμε ένα νευρώνα k με σήμα εξόδου y k (n) στη χρονική στιγμή n. Το σήμα εξόδου, συγκρινόμενο με την επιθυμητή έξοδο d k (n), δίνει το σφάλμα: e k = d k (n) y k (n) (3.4) 36

51 Το σφάλμα χρησιμοποιείται για την προσαρμογή των βαρών, ώστε η έξοδος να ταυτιστεί με την επιθυμητή τιμή μέσω της ελαχιστοποίησης μιας αντικειμενικής συνάρτησης: ε(n) = 0,5 k [e k (n)] 2 (3.5) Σύμφωνα με τον κανόνα δέλτα, η ποσότητα Δw kj (n), η μεταβολή δηλαδή του βάρους w kj δίνεται από τη σχέση: Δw ij (n) = z e k (n) x j (n) (3.6) Όπου z είναι μια θετική σταθερά, η οποία αναπαριστά το ρυθμό εκμάθησης, k ο νευρώνας, x j (n) το πρότυπο εκπαίδευσης. Ο κανόνας Windrow Hoff είναι τοπικός κανόνας εκμάθησης, δηλαδή χρησιμοποιεί πληροφορίες που διατίθενται στο νευρώνα μέσω των συναπτικών του συνδέσεων (Καραμπερίδου, 2007, Επιτροπάκης, 2008) Χεμπιανά μοντέλα εκμάθησης Αυτού του τύπου η εκμάθηση βασίζεται σε μια εναλλακτική διατύπωση του κανόνα του Hebb: "Αν ο προσυναπτικός και ο μετασυναπτικός νευρώνας ενεργοποιούνται ταυτόχρονα, τότε η σύναψή τους επιλέγεται προς ενίσχυση. Αντίθετα αν ο νευρώνας ενεργοποιείται σε διαφορετικές χρονικές στιγμές, η σύναψη επιλέγεται προς αποδυνάμωση ή καταστροφή". Η πρώτη πρόταση της παραπάνω διατύπωσης είναι γνωστή ως Hebbian Learning, ενώ η δεύτερη πρόταση είναι γνωστή ως Anti - Hebbian Learning. Ο κανόνας του Hebb συνιστά: 1. Μηχανισμό τοπικού χαρακτήρα καθώς χρησιμοποιεί πληροφορίες από τον ίδιο το νευρώνα 2. Μηχανισμό χρονικά εξαρτώμενο διότι η τροποποίηση των βαρών εξαρτάται από τον ακριβή χρόνο παραγωγής προσυναπτικών και μετασυναπτικών σημάτων. 3. Μηχανισμό διαδραστικό καθώς υπάρχει ντετερμινιστική ή στοχαστική αλληλεπίδραση μεταξύ των προσυναπτικών και μετασυναπτικών σημάτων. 4. Μηχανισμό συσχέτισης διότι η συσχέτιση μεταξύ των προσυναπτικών και μετασυναπτικών σημάτων καθορίζει τη τροποποίηση της συσχέτισης. Η μαθηματική διατύπωση του κανόνα του Hebb δίνεται από τη παρακάτω σχέση Δw ij (t n ) = F(y k (n),x j (n)) (3.7) Όπου F(y,x) είναι η συνάρτηση των προσυναπτικών και μετασυναπτικών σημάτων, δηλαδή των σημάτων εισόδου και εξόδου αντίστοιχα (Καραμπερίδου, 2008, Haykin, 1998) Ανταγωνιστικά μοντέλα εκμάθησης Σε αντίθεση με τα χεμπιανά μοντέλα εκπαίδευσης, όπου είναι δυνατή η ταυτόχρονη ενεργοποίηση πολλών νευρώνων εξόδου, στο ανταγωνιστικό μοντέλο οι νευρώνες εξόδου 37

52 ανταγωνίζονται ποίος θα ενεργοποιηθεί, επομένως μόνο ένας μπορεί να είναι ενεργός κάθε φορά. Τα τρία βασικά στοιχεία του ανταγωνιστικού μοντέλου εκμάθησης είναι : 1. Ένα σύνολο παρόμοιων νευρώνων, εκτός από κάποια τυχαία κατανεμημένα συναπτικά βάρη. 2. Ένα όριο ισχύος για κάθε νευρώνα 3. Ένας μηχανισμός ανταγωνισμού των νευρώνων. Όπως αναφέρθηκε, μόνο ένας νευρώνας έχει το δικαίωμα να ενεργοποιηθεί από ένα σήμα εισόδου. Αυτός ονομάζεται νικητής νευρώνας (winner takes all neuron). Μέσω του ανταγωνισμού οι νευρώνες εξειδικεύονται και αντιδρούν σε συγκεκριμένο μόνο τύπο δεδομένων εισόδου, δηλαδή σε ανιχνευτές προτύπων εισόδου. Παράλληλα, υπάρχουν συνδέσεις ανατροφοδότησης μεταξύ των νευρώνων εισόδου, ώστε ο νικητής νευρώνας να αποτρέπει την ενεργοποίηση των υπολοίπων. Αν θεωρήσουμε τώρα ότι έχουμε ένα νευρώνα k, ο οποίος είναι ο νικητής νευρώνας, και έστω ότι η δικτυακή διέγερσή του, u k για πρότυπο εισόδου x, είναι το μέγιστο: y k = 1 αν u k > u j για κάθε j k (3.8) Για τους υπόλοιπους νευρώνες το σήμα εξόδου είναι y k = 0. Η δικτυακή διέγερση u k αντιπροσωπεύει τη συνδυασμένη δράση όλων των εισόδων (προώθησης και ανατροφοδότησης) του νευρώνα k. Επιπλέον, τα συναπτικά βάρη είναι θετικά και ο νευρώνας μαθαίνει με ανταλλαγή αυτών από τους ανενεργούς νευρώνες εισόδου στους ενεργούς (Καραμπερίδου, 2008). Ο κανόνας εκμάθησης στο ανταγωνιστικό μοντέλο εκφράζεται μαθηματικά από την εξής σχέση: Δw ij = n(x j w ij ) αν ο νευρώνας k είναι ο νικητής και Δw ij = 0 αν ο νευρώνας k χάσει. (3.9) 3.7 Υπερεκπαίδευση νευρωνικών δικτύων Υπάρχουν περιπτώσεις βέβαια, όπου το δίκτυο είναι αρκετά ισχυρό για ένα συγκεκριμένο πρόβλημα για το οποίο επιλέγεται να χρησιμοποιηθεί. Σε αυτές τις περιπτώσεις, αποστηθίζει τα δεδομένα που εισάγονται, χωρίς να μπορεί να αναγνωρίσει την τάση που έχουν τα δεδομένα αυτά. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να δημιουργηθεί μια μη ικανοποιητική γενίκευση (generalization). Οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για τον έλεγχο του βαθμού γενίκευσης και την ανίχνευση της υπερεκπαίδευσης του νευρωνικού δικτύου, σύμφωνα με τον Lohninger, είναι α) η συναξιολόγηση (cross - validation), β) η προσθήκη θορύβου (noise addition) και γ) η χρήση δεδομένων παρακολούθησης (monitoring set). 38

53 3.7.1 Μέθοδος cross - validation Ο ποιο συνηθισμένος τρόπος ελέγχου για την ισχύ ενός δικτύου είναι η μέθοδος της συναξιολόγησης (cross validation). Βασική ιδέα της μεθόδου αυτής είναι ότι κατηγοριοποιεί τα δεδομένα σε δύο ομάδες. Η πρώτη ομάδα περιλαμβάνει το μεγαλύτερο σύνολο που αποτελείται από τα δεδομένα εκπαίδευσης (training set) και η δεύτερη, περιλαμβάνει τη μικρότερη ομάδα που αποτελείται από τα δεδομένα ελέγχου (test set). H μέθοδος αυτή λοιπόν, χρησιμοποιεί τα δεδομένα εκπαίδευσης ώστε να στήσει το δίκτυο και τα δεδομένα ελέγχου για να εκτιμήσει την ισχύ του δικτύου. Τέλος, τα δεδομένα που προκύπτουν συγκρίνονται με τα αναμενόμενα. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται, με διαφορετικά υποσύνολα έως ότου κάθε σειρά δεδομένων να έχει χρησιμοποιηθεί μια φορά στο σύνολο ελέγχου. Το μέγεθος του συνόλου των δεδομένων που χρησιμοποιούνται κάθε φορά, εξαρτάται από τις απαιτήσεις του προβλήματος. Συνήθως διακρίνονται οι εξής περιπτώσεις. Είτε χρησιμοποιούμε ίδιο αριθμό δεδομένων εκπαίδευσης και ελέγχου, είτε χρησιμοποιούμε κάθε φορά μια σειρά δεδομένων ως υποσύνολο ελέγχου (Lohninger, 2006) Προσθήκη θορύβου Ένας ακόμα τρόπος για τον έλεγχο της ικανότητας γενίκευσης ενός δικτύου, είναι η λεγόμενη "ανοσία ενατι θορύβου" (noise immunity). Σε αυτή τη περίπτωση ελέγχεται η ικανότητα του δικτύου να αποφεύγει την προσαρμογή στο θόρυβο των δεδομένων. Η διαδικασία που ακολουθείται έχει ως σκοπό την προσπάθεια εκτίμησης της συμπεριφοράς του μοντέλου σε περίπτωση προσθήκης θορύβου και τον ταυτόχρονο έλεγχο της ευστάθειας του δικτύου. Οι παράγοντες που παίζουν σημαντικό ρόλο σε αυτή τη μέθοδο είναι ο συντελεστής συσχέτισης μεταξύ του δείγματος και των αποτελεσμάτων r 2 t,e, και το τετράγωνο του συντελεστή συσχέτισης μεταξύ των αποτελεσμάτων και της αρχικής εκτέλεσης με τα αποτελέσματα στη περίπτωση της προσθήκης θορύβου r 2 e0,en. Οι δύο αυτοί συντελεστές r 2 t,e και r 2 e0,en, υπολογίζονται για διαφορετικά επίπεδα ελέγχου και η τάση τους καθώς ο θόρυβος αυξάνεται υποδεικνύει τη γενίκευση του δικτύου. Ο συντελεστής r 2 t,e μειώνεται με την αύξηση του θορύβου, ενώ η τιμή του r 2 e0,en διατηρείται περίπου σταθερή, όταν το δίκτυο έχει καλή απόκριση. Αν τώρα, το δίκτυο έχει υπερεκπαιδευτεί, τότε ο παράγοντας r 2 t,e διατηρεί τη τιμή του σταθερή ενώ η τιμή του r 2 e0,en μειώνεται με την αύξηση του θορύβου και αυτό διότι το δίκτυο προσαρμόζεται στη σειρά των δεδομένων που περιέχει το θόρυβο, αγνοώντας την υπάρχουσα τάση (Lohninger, 2006). 39

54 3.7.3 Μέθοδος δεδομένων παρακολούθησης Τέλος, με τη μέθοδο των δεδομένων παρακολούθησης, είναι εφικτή η παρακολούθηση της απόδοσης του δικτύου με ένα ανεξάρτητο σύνολο δεδομένων κατά τη διάρκεια της εκπαίδευσης. Η διαδικασία σταματάει όταν η απόδοση του δικτύου στη σειρά των ανεξάρτητων δεδομένων γίνει βέλτιστη (Lohninger, 2006). 3.8 Ταξινόμηση Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων Σύμφωνα με τον Διαμανταρά (2006), τα τεχνητά Νευρωνικά δίκτυα μπορούν να ταξινομηθούν ανάλογα με τον τύπο του νευρώνα, την αρχιτεκτονική του δικτύου και τι μέθοδο της εκπαίδευσης, στις κατηγορίες που παρουσιάζονται στο Σχήμα Σχήμα 3.17: Ταξινόμηση Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων (πηγή: Διαμανταράς, 2006) Στις επόμενες παραγράφους θα αναλυθούν οι βασικοί τύποι νευρωνικών δικτύων που χρησιμοποιούνται ευρέως Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα Προώθησης (Feedforward Neural Networks) Τα τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα προώθησης είναι ο απλούστερος τύπος Νευρωνικών Δικτύων. Σε αυτά, η πληροφορία κινείται μόνο από τους νευρώνες εισόδου μέσω του κρυφού επιπέδου στους νευρώνες εξόδου. Τα δίκτυα αυτά βρίσκουν εφαρμογή σε πολλά 40

55 προβλήματα υδρολογίας. Η συνηθέστερη μορφή αυτών είναι τα Δίκτυα Ανάδρασης (backpropagation). O αλγόριθμος ανάδρασης προτάθηκε από τον Pau Werbos τη δεκαετία του 1970 (Werbos, 1974), ενώ παρόμοια μοντέλα αναπτύχθηκαν και από άλλους ερευνητές όπως οι Bryson and Ho, (1969). Από τη δεκαετία του 1980 και μετά, ο αλγόριθμος αυτός άρχισε να βρίσκει εφαρμογή για την εκπαίδευση πολυστρωματικών νευρωνικών δικτύων (Rumelhart, 1986). Τα Νευρωνικά Δίκτυα Ανάδρασης, χρησιμοποιούν τον τυπικό τρόπο εκπαίδευσης με επίβλεψη, όπου στο σύστημα δίνονται οι είσοδοι και επιθυμητές έξοδοι, οι τελευταίες συγκρίνονται με τις εξόδους που δίνει το δίκτυο και το υπολογιζόμενο σφάλμα χρησιμοποιείται για την αναπροσαρμογή των βαρών στις συνδέσεις των επιπέδων (Επιτροπάκης, 2008). Τα δίκτυα αυτά λειτουργούν ως εξής: Έστω ότι έχουμε ένα νευρωνικό δίκτυο με n εισόδους, m εξόδους και L είναι τα στρώματά του, όπου: x p = [x (p) 1,.., x (p) n ] T το p στο διάνυσμα εισόδου y p = [y (p) 1,.., y (p) m ] T το p στο διάνυσμα εξόδου d p = [d (p) 1,.., d (p) m ] T το p στο διάνυσμα στόχων Στο δίκτυο δίνονται P ζεύγη διανυσμάτων εισόδου και αντίστοιχων διανυσμάτων εξόδου, τα οποία έχουν την μορφή {x (1), d (1) }, {x (2), d (2) },. {x (P), d (P) }. Σκοπός της εκπαίδευσης του δικτύου είναι να δίνει αποτελέσματα τα οποία να συμπίπτουν με τα αποτελέσματα που αναζητούμε, δηλαδή y (1) = d (1), y (2) = d (2),., y (P) = d (P), ή να μπορέσει το δίκτυο να πετύχει ικανοποιητική προσέγγιση στις τιμές αυτές. Το κριτήριο για να ελέγξουμε αν η προσέγγιση αυτή είναι ικανοποιητική είναι το μέσο τετραγωνικό σφάλμα: P 1 2 (p) (p) J d y (3.10) P p1 Σε κάθε κύκλο εκπαίδευσης λοιπόν, πρέπει να διορθώνονται τα συναπτικά βάρη ώστε να επιτευχθεί εν τέλει η καλύτερη δυνατή προσέγγιση, η οποία θα ελαχιστοποιήσει το σφάλμα. Ένας τρόπος για την επίτευξη της προσέγγισης αυτής είναι με τη μέθοδο κατάβασης του δυναμικού. Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή η μεταβολή του βάρους w ij ως προς τον χρόνο t είναι ίση με την αρνητική κλίση του σφάλματος J ως προς το βάρος w ij. dw dt ij J w ij (3.11) Οι υπολογιστές όμως, αντί για το συνεχή χρόνο t, δουλεύουν σε διακριτά χρονικά βήματα, δηλαδή σε διακριτό χρόνο k. Συνεπώς η εξίσωση (3.11) μετατρέπεται σε: J wij ( l, k 1) wij ( l, k) (3.12) w ( l, k) ij 41

56 Όπου β είναι το βήμα της εκπαίδευσης και συνήθως είναι μικρός θετικός αριθμός (β<1), ο οποίος εξαρτάται από το k και είναι δυνατόν να διαφοροποιείται από επίπεδο σε επίπεδο ή και από βάρος σε βάρος ώστε να εξισορροπήσει την ταχύτητα εκπαίδευσής τους. Όπως αναφέρθηκε και σε προηγούμενη παράγραφο η δικτυακή διέγερση u k ισούται με το άθροισμα των διεγέρσεων των νευρώνων του προηγούμενου στρώματος συνδυασμένων με τα συναπτικά βάρη w iξ και είναι ένας σημαντικός παράγοντας για τον υπολογισμό του όρου J. ( l, k) w ij Αν θεωρήσουμε τώρα ότι η έξοδος του νευρώνα i είναι η ( k ) i τότε η διέγερση του νευρώνα θα είναι: ( k ) i f ( u ( l)) (3.13) u ( k ) i N (l 1) 1 w i ( l, k) a ( k ) ( l 1) w ( l, k) (3.14) i0 Όπου το συναπτικό βάρος w i0 (l,k) αντιστοιχεί στο κατώφλι του νευρώνα i. Σύμφωνα λοιπόν με τα παραπάνω και σε συνδυασμό με τον γενικευμέν ο κανόνα δ, μπορούμε να υπολογίσουμε το παράγοντα w ij J. Ο κανόνας δ δίνεται από τη σχέση: ( l, k) ( k ) J ( l) (3.15) ( k ) u ( l) Έχοντας υπόψη μας τον κανόνα δ κάνουμε τον εξής μετασχηματισμό: J J ui ( k ) w ( l, k) u ( l) w ij i ( k ) ij i ( k ) ) l ( l) ( k ui ( ) i (3.16) ( l, k) w ( l, k) Η σχέση που συνδέει το συναπτικό βάρος με τη παράγωγο της δικτυακής διέγερσης είναι γραμμική και δίνεται από τις παρακάτω εξισώσεις. ( k) ( ( k) j ij u l) w ( l, k) i για j 0: ( l 1) (3.17) ij για j = 0: ( k) ui ( l) 1 w ( l, k) ij (3.18) Συνεπώς, η ζητούμενη κλίση του σφάλματος J ως προς το συναπτικό βάρος δίνεται από τη εξίσωση : ( k ) ( k ) J i ( l) j ( l 1), j 1,2,... N( l 1) (3.19) w ( l, k) ( k ) ij ( l), j 0 i 42

57 Απλοποιώντας τη σχέση (3.19), θεωρώντας ότι α (k) 0 (l)=1, για όλα τα στρώματα l = 1,2,.,L, παίρνουμε τελικά τη σχέση: J ( k ) ( k ) i ( l) i ( l 1) για j = 0,1, N(l-1) και l = 1,2, L (3.20) w ( l, k) ij Το χαρακτηριστικό της μεθόδου αυτής είναι ότι ο υπολογισμός των σφαλμάτων γίνεται από το επίπεδο εξόδου προς το πρώτο επίπεδο. Για τον υπολογισμό του σφάλματος κάθε στρώματος l χρησιμοποιούνται όλα τα σφάλματα του στρώματος l+1και συνεπώς έχουμε οπισθοδρομική διάδοση του σφάλματος. Για παράδειγμα, στο επίπεδο εξόδου l+1 έχουμε: ( k ) ( k ) ( k ) J i ( L) J f ( ui ( L)) ( k ) ( k ) ( k ) i ( L) ( d y ) f '( u ( L)) ( ) ( k ) ( k ) ( k ) i k i i (3.21) ( L) u ( L) ( L) u ( L) i i i Σύμφωνα λοιπόν με τη σχέση (3.21) το σφάλμα στο επίπεδο εξόδου ισούται με τη διαφορά του στόχου από την έξοδο επί τη παράγωγο της συνάρτησης ενεργοποίησης f. Ανάλογα κάθε φορά με τη συνάρτηση ενεργοποίησης που χρησιμοποιούμε η παράγωγός της ισούται με: f(u) = f(u) (1- f(u)) όταν η συνάρτηση ενεργοποίησης είναι η σιγμοειδής f(u)=1/(1+e u ) f(u) = (1+ f(u)) (1- f(u)) όταν η συνάρτηση ενεργοποίησης είναι υπερβολική εφαπτόμενη f(u)=(e u -e -u /(e u +e -u )) και f(u) = 1 όταν η συνάρτηση ενεργοποίησης είναι γραμμική f(u) = u. i Για οποιοδήποτε ενδιάμεσο επίπεδο l=1,2,..,l-1 ισχύει: N( l1) ( k) ( k) N( l1) ( k) J J u ( l 1) i ( l) ( k) ( k) ( k) i ( l) ( l 1) w ( l 1) f '( u ( l)) ( k) ( k) ( k) ( k) i i ( l) u ( l 1) ( l) u ( l) (3.22) i 1 i i Σύμφωνα με την εξίσωση (3.22), το σφάλμα δ, σε οποιοδήποτε νευρώνα του επιπέδου l είναι συνάρτηση των σφαλμάτων δ του επόμενου στρώματος l+1, δηλαδή τα σφάλματα προωθούνται στα επόμενα επίπεδα. Τελικώς, σύμφωνα με όλα τα προηγούμενα, ο υπολογισμός των βαρών από τη σχέση (3.12) μπορεί πλέον να μετατραπεί στη μορφή της εξίσωσης (3.23) w ( l, k 1) w ij ij 1 ( l, k) ( l) ( l 1) (3.23) ( k ) i ( k ) j j =0,1,2,,N(l-1) και l = 1,2,,L Για να πούμε με ασφάλεια ότι το δίκτυο έχει εκπαιδευτεί σε ικανοποιητικό βαθμό, πρέπει να ικανοποιούνται τα κριτήρια τερματισμού: (α) Κριτήριο τερματισμού 1. Το κόστος J(n) για τον κύκλο εκπαίδευσης n είναι μικρότερο από το κατώφλι ε. Το J(n) υπολογίζεται ως το άθροισμα των σφαλμάτων e(p)= d (p) -y (p) 2, όλων των προτύπων εισόδου στη περίπτωση που όλα τα βάρη είναι σταθερά. 43

58 (β) Κριτήριο τερματισμού 2. Το σφάλμα σε δυο διαδοχικές εποχές n-1 και n δεν μειώνεται σημαντικά : J(n-1) J(n) <ε Δίκτυα Συναρτήσεων Βάσεως Ακτινικού Τύπου (RBF) Το χαρακτηριστικό των συναρτήσεων βάσεως ακτινικού τύπου (Radial Basis Functions (RBF)) (Διαμανταράς, 2006), είναι ότι χρησιμοποιούν τα κρυφά επίπεδα. Οι συναρτήσεις αυτές, f(x), ορίζονται ως εξής: αν υπάρχει ένα διάνυσμα c το οποίο καλούμε κέντρο, και το διάνυσμα x που ορίζεται ως διάνυσμα εισόδου, τότε η τιμή της συνάρτησης εξαρτάται μόνο από την απόσταση του x από το κέντρο c και δίνεται από τη σχέση : f ( x) f ( x c ) (3.24) Αυτό σημαίνει ότι για ένα κύκλο με κέντρο το c και ακτίνα r = x - c η τιμή της συνάρτησης f(x) είναι σταθερή. Οι πιο γνωστές ακτινικές συναρτήσεις είναι οι (Διαμανταράς, 2006): Συνάρτηση Gauss: Συνάρτηση Cauchy: Πολυτετραγωνική συνάρτηση: 2 xc 2 f ( x) e (3.25) ( x c ) f ( x) (3.26) 2 2 1/ 2 f ( x) ( x c ) (3.27) Ένα δίκτυο ακτινικής συναρτήσεως (RBF), αποτελείται από τρία επίπεδα: το επίπεδο εισόδου, το επίπεδο εξόδου και το κρυφό επίπεδο. Το επίπεδο εξόδου είναι γραμμικής μορφής ενώ το επίπεδο εισόδου περιέχει τη συνάρτηση ενεργοποίησης f(x) η οποία είναι ακτινικού τύπου. Αυτή ουσιαστικά είναι και η βασική διαφορά των δικτύων RBF με τα Πολυστρωματικά Δίκτυα που αναλύθηκαν στη προηγούμενη παράγραφο, τα οποία χρησιμοποιούν συναρτήσεις όπως η σιγμοειδής και η γραμμική. Ακόμα, στα RBF δίκτυα, στο κρυφό επίπεδο ο νευρώνας χαρακτηρίζεται από το κέντρο c και το εύρος της συνάρτησης σ, και όχι από συναπτικά βάρη που επικρατούν στα πολυστρωματικά δίκτυα (ΜLP) (Διαμανταράς, 2006). Για την εκπαίδευση λοιπόν ενός δικτύου RBF, πρέπει να καθορισθεί το κέντρο c και η συνάρτηση σ, για τους νευρώνες του κρυφού επιπέδου, και τα συναπτικά βάρη για τους νευρώνες του επιπέδου εξόδου. Συνήθης πρακτική για τον καθορισμό των παραπάνω παραμέτρων είναι η μέθοδος των k-μέσων και η μηχανή διανυσμάτων υποστήριξης. Εναλλακτικά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και μεθόδους βελτιστοποίησης όπως είναι η μέθοδος κατάβασης δυναμικού, για την εκπαίδευση τόσο του κρυφού επιπέδου όσο και του επιπέδου εξόδου (Poggio and Gorisi, 1989). Τα δίκτυα RBF, χρησιμοποιούντα συχνά για τη μελέτη χρονοσειρών. Η εκπαίδευσή τους είναι πιο εύκολη από αυτή των κλασικών πολυστρωματικών δικτύων. Επίσης έχει 44

59 παρατηρηθεί ότι υπάρχει μια ισοδυναμία μεταξύ δικτύων RBF και μηχανών ασαφούς λογικής (Διαμανταράς, 2006) Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα Ανατροφοδότησης (Recurrent/Feedback ANN) Η βασική διαφορά των δικτύων ανατροφοδότησης με τα πολυστρωματικά δίκτυα είναι ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας βρόγχος (feedback loop), ο οποίος συνδέει την έξοδο ενός νευρώνα με τον ίδιο ή με άλλους στο ίδιο ή προηγούμενο επίπεδο. Οι βρόγχοι παίζουν σημαντικό ρόλο στην εκπαίδευση και στη συμπεριφορά του δικτύου. Ένα δίκτυο ανατροφοδότησης, μπορεί να είναι πλήρως συνδεδεμένο, όταν όλοι οι νευρώνες του κρυφού επιπέδου συμμετέχουν σε βρόγχους, ενώ είναι μερικώς συνδεδεμένο στη περίπτωση που κάποιο νευρώνες παραλείπονται (Επιτροπάκης, 2008). Τα πιο γνωστά δίκτυα ανατροφοδότηση ς είναι τα δίκτυα Hopfield, τα δίκτυα παλινδρόμησης, τα δίκτυα Jordan-Elman και τα δίκτυα BSB (Brain State in a Box). Οι τύποι αυτοί των νευρωνικών δικτύων ανατροφοδότησης, εκπαιδεύονται με το κανόνα ανάδρασης (back-propagation) και για την ελαχιστοποίηση του σφάλματος χρησιμοποιούν τον καν όνα της κατάβασης δυναμικού. Η σχέση προσαρμογής των συναπτικών βαρών ακολουθεί το κανόνα Ηebb. Σχήμα 3.18: Δίκτυο Hopfield με τρεις νευρώνες. (Πηγή: ) Στη συνέχεια θα περιγραφεί ένα δίκτυο Hopfield, το οποίο όπω ς αναφέρθηκε αποτελεί τη πιο διαδεδομένη μορφ ή δικτύων ανατροφοδότησης. Στο Σχήμα (3.18) φαίνεται ένα τέτοιο δίκτυο, με τρεις νευρώνες, όπου κάθε νευρώνας δέχεται εισόδους από όλους του υπόλοιπους, αλλά και από τον εαυτό του. 45

60 Η τιμή κάθε νευρώνα δίνεται από τη σχέση (3.28), όπου f είναι η βηματική συνάρτηση. Ο νευρώνας παίρνει την τιμή 1 όταν είναι ενεργός και την τιμή -1 όταν είναι ανενεργός. y i f n j1 w ij y j w i0 n ή y i sgn wij y j wi 0 (3.28) j1 Το μοντέλο δεν χρησιμοποιεί εξωτερικές εισόδους, αλλά όπως φαίνεται και από το Σχήμα (3.17), ανατροφοδοτείται συνεχώς από τις τιμές των ίδιων των νευρώνων του. Η επίλυση της εξίσωσης (3.28) για τους n νευρώνες του δικ τύου για γνωστά συναπτικά βάρη w ij ονομάζεται "ανάκληση", και ο καθορισμός των τιμών των βαρών ονομάζεται "εκπαίδευση" του δικτύου. Όπως φαίνεται στην εξίσωση (3.28), ο άγνωστος y i βρίσκεται και στα δυο σκέλη της εξίσωσης. Έχοντας λοιπόν γνωστές τις τιμές των συναπτικών βαρών w ij δίνουμε τιμές στο δεξιό σκέλος της εξίσωσης και υπολογίζουμε το αριστερό. Η τιμή αυτή που βρήκαμε εισάγεται κατόπιν στο δεξιό σκέλος και υπολογίζουμε την επόμενη τιμή. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται τόσες φόρες ώστε να επέλθει σύγκλιση, δηλαδή η τιμή της εξόδου να συμπίπτει με την τιμή που δίνεται στο δεξιό σκέλος της εξίσωσης. Το διάνυσμα εξόδου y = [y 1,y 2,..,y n ] T που αντιστοιχεί στην συνθήκη ισορροπίας, ικανοποιεί όλους τους n νευρώνες του δικτύου (Διαμανταράς, 2006) Πλεονεκτήματα και Μειονεκτήματα Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων Κλείνοντας το κεφάλαιο αυτό θεωρείται ορθό να αναφερθούμε στα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα που παρουσιάζουν τα Τεχνητά Νευρικά Δίκτυα. Τα Νευρωνικά Δίκτυα, έχουν την ικανότητα να παράγουν αποτελέσματα από πολύπλοκα ή ημιακριβή δεδομένα, καθώς επίσης μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να εξαγάγουν πρότυπα και να ανιχνεύσουν τάσεις που είναι αρκετά περίπλοκες για να προβλεφθούν είτε με άλλες υπολογιστικές τεχνικές είτε από την ανθρώπινη παρατήρηση και εμπειρία. Ένα εκπαιδευμένο νευρωνικό δίκτυο μπορεί να θεωρηθεί ως «ειδικός» όσον αφορά το είδος των πληροφοριών που του έχει ανατεθεί να αναλύσει. Αυτός ο «ειδήμων» μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να προσφέρει προβολές των τάσεων έχοντας να αντιμετωπίσει νέες καταστάσεις ή να απαντήσει σε ερωτήματα του τύπου «τι θα συμβεί αν ;». Άλλα πλεονεκτήματα των Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων περιλαμβάνουν: Την δυνατότητα της προσαρμοσμένης μάθησης: Είναι η ικανότητα των Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων να μαθαίνουν πώς να εκτελούν εργασίες βασιζόμενα πάνω σε δεδομένα που έχου ν δοθεί για την εκπαίδευσή τους ή από αρχική εμπειρία. Την δυνατότητα της αυτοοργάνωσης: Ένα Τεχνητό Νευρωνικό Δίκτυο μπορεί να δημιουργήσει την δική του οργάνωση ή αναπαράσταση των πληροφοριών που λαμβάνει κατά τη διάρκεια του χρόνου εκπαίδευσης 46

61 Την δυνατότητα λειτουργίας σε πραγματικό χρόνο: Οι υπολογισμοί των Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων μπορούν να εκτελεστούν παράλληλα, ενώ ειδικό hardware σχεδιάζεται και κατασκευάζεται προκειμένου να εκμεταλλευτεί αυτή τους την δυνατότητα. Την δυνατότητα ανοχής σφαλμάτων μέσω Πλεονάζουσας Κωδικοποίησης Πληροφοριών: Η μερική καταστροφή ενός Τεχνητού Νευρωνικού Δικτύου οδηγεί στην αντίστοιχη μείωση της απόδοσης. Εντούτοις, μερικές ιδιότητες του δικτύου μπορούν να διατηρηθούν ακόμα και μετά από σημαντική ζημία που το δίκτυο μπορεί να έχει υποστεί (Πάνου, 2003). Από την άλλη, τα σημαντικότερα μειονεκτήματα των Τεχνητών Νευρωνικών Δικτύων είναι ότι εμφανίζουν άγνοια πάνω στον τρόπο με τον οποίο λειτουργεί ο ανθρώπινος εγκέφαλος και η αδυναμία των μαθηματικών σχέσεων να εγγυηθούν την αποτελεσματικότητα του Νευρωνικού Δικτύου. Προσοχή χρειάζεται στο ότι τα Νευρωνικά Δίκτυα δεν προγραμματίζονται να εκτελούν μια συγκεκριμένη σειρά εντολών για να επεξεργαστούν ένα πρόβλημα το οποίο είναι ήδη κατανοητό και είναι γνωστός ο τρόπος επίλυσής του, αλλά για να μαθαίνουν μέσω παραδειγμάτων. Συνεπώς μεγάλη προσοχή χρειάζεται στη ν επιλογή των δεδομένων που θα χρησιμοποιηθούν για την εκπαίδευση του δικτύου. Σύμφωνα με όλα τα παραπάνω, εύκολα μπορούμε να φτάσουμε στο συμπέρασμα ότι ένα από τα βασικότερα πλεονεκτήματα των Νευρωνικών Δικτύων που είναι η ικανότητά τους να αυτοεκπαιδεύονται, μπορεί με λάθος διαχείριση στα δεδομένα εισόδου να μετατραπεί σε σημαντικό μειονέκτημα και το δίκτυο να λειτουργεί με τελείως λανθασμένο τρόπο. 47

62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ 4.1 Εισαγωγή Τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα χρησιμοποιούνται με επιτυχία, από τις αρχές τις δεκαετίας του 90, σε τομείς της υδρολογίας όπως η προσομοίωση της σχέσης βροχοπτώσεων απορροής, η πρόβλεψη της χειμαρρικής παροχής, η προσομοίωση της κίνησης των υπόγειων υδατικών πόρων, η πρόβλεψη βροχοπτώσεων, η ανάλυση χρονοσειρών υδρολογικών δεδομένων καθώς και η λειτουργία ταμιευτήρων. Η πλειοψηφία των υδρολογικών διεργασιών χαρακτηρίζεται από χωρική και χρονική μεταβλητότητα, μη γραμμική συμπεριφορά και δυσκολία στην εκτίμηση των παραμέτρων. Οι δυσκολίες αυτές που χαρακτηρίζουν τις υδρολογικές διαδικασίες οδήγησαν τους επιστήμονες σε εμπειρικές προσεγγίσεις. Έτσι λοιπόν, η αξιοποίηση των νευρωνικών δικτύων στην υδραυλική και την υδρολογία οφείλεται στη δυνατότητα καθορισμού της σχέσης μεταξύ δεδομένων εισόδου εξόδου μιας διεργασίας, χωρίς όμως να υπεισέρχονται στον υπολογισμό αυτό η φυσική και οι νόμοι τής. Μάλιστα έχει εκτιμηθεί ότι ακόμα και στην περίπτωση χρονοσειρών που περιέχουν λάθη ή θόρυβο τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα είναι σε θέση να παρέχουν ικανοποιητικά αποτελέσματα (ASCE, 2000). 4.2 Τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα στη διερεύνηση της σχέσης βροχοπτώσεων απορροών Ένα από τα σημαντικότερα και πιο συχνά εμφανιζόμενα προβλήματα που εντοπίζεται στη μελέτη υδραυλικών προβλημάτων είναι η πρόβλεψη της απορροής του νερού από μια λεκάνη συναρτήσει των βροχοπτώσεων. Η σχέση βροχόπτωσης απορροής είναι μη γραμμική και ιδιαίτερα πολύπλοκη. Η απορροή δεν εξαρτάται μόνο από τη βροχόπτωση αλλά και από πλήθος παραγόντων, όπως η εδαφική υγρασία, η εξατμισοδιαπνοή, η διήθηση, η χωρική κατανομή καθώς και η διάρκεια της βροχόπτωσης οι χρήσεις γης, η γεωμορφολογία της λεκάνης απορροής, κ.α. 48

63 Αρκετοί επιστήμονες έχουν διερευνήσει την ικανότητα των νευρωνικών δικτύων να προβλέψουν την απορροή σε σχέση με τις βροχοπτώσεις. Ο Halff (1993), σχεδίασε ένα τεχνητό νευρωνικό δίκτυο προώθησης με τρία επίπεδα, χρησιμοποιώντας υετογράμματα ως δεδομένα εισόδου και υδρογραφήματα ως εξόδους, από τα αρχεία της USGS (U.S. Geological Survey) στην περιοχή του Bellvue της Washington. Πιο συγκεκριμένα, χρησιμοποιήθηκαν 5 νευρώνες στο κρυφό επίπεδο, ενώ τα δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν στις εισόδους και εξόδους προήλθαν από 5 επεισόδια καταιγίδας, εκ των οποίων τα 4 χρησιμοποιήθηκαν για την εκπαίδευση του δικτύου, με σκοπό την πρόβλεψη της απορροής (Halff et al.,1993). Οι Hjelmfelt και Wang (1993) ανέπτυξαν ένα νευρωνικό δίκτυο με βάση τη θεωρία του μοναδιαίου υδρογραφήματος. Χρησιμοποιώντας γραμμική υπέρθεση, ανέπτυξαν ένα σύνθετο υδρογράφημα για μια λεκάνη αθροίζοντας κατάλληλα μοναδιαία υδρογραφήματα καθώς και αιχμές απορροής. Στο δίκτυο που χρησιμοποιήθηκε για την επίλυση του προβλήματος αυτού, ο αριθμός των νευρώνων στο επίπεδο εισόδου διατηρήθηκε ίδιος με τον αριθμό των νευρώνων στο κρυφό επίπεδο και σχεδιάστηκαν συνδέσεις με βάρη μονάδας μόνο μεταξύ των ζευγών των πρώτων 2 επιπέδων, δηλαδή ο νευρώνας στη θέση i του επιπέδου εισόδου συνδέθηκε μόνο με το νευρώνα στην αντίστοιχη της i θέσης του κρυφού επιπέδου. Αντίθετα, οι νευρώνες του κρυφού επιπέδου συνδέθηκαν όλοι με το νευρώνα εξόδου, ο οποίος αντιπροσωπεύει την απορροή. Οι είσοδοι στο δίκτυο αποτελούν χρονοσειρές βροχοπτώσεων, και ως συνάρτηση ενεργοποίησης νευρώνα επιλέχθηκε η συνάρτηση ράμπας. Το κρυφό επίπεδο εξυπηρετεί το σκοπό της αφαίρεσης της διήθησης από τη βροχόπτωση και οι έξοδοί του αποτελούν τις αιχμές της βροχόπτωσης. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι τα παραγόμενα μοναδιαία υδρογραφήματα είχαν μεγαλύτερη ακρίβεια από αυτά που παράχθηκαν με τη μέθοδο της συνάρτησης γ (Hjelmfelt and Wang, 1993(a)(b)(c)). Σε επόμενη μελέτη τους, οι συγγραφείς συνέκριναν την παραπάνω μέθοδο με την περίπτωση της χρήσης ενός τυπικού νευρωνικού δικτύου προώθησης με ανάδραση 3 επιπέδων (back propagation feedforward neural network). Το συμπέρασμα των ερευνητών ήταν ότι το τυπικό δίκτυο δεν είναι ικανό να αναπαράγει το μοναδιαίο υδρόγραφημα και είναι περισσότερο ευάλωτο στο θόρυβο (Hjelmfelt and Wang,1996). Ο Zhu και άλλοι (1994) χρησιμοποίησαν δύο νευρωνικά δίκτυα για να προβλέψουν τα ανώτατα και τα κατώτατα όρια του πλημμυρικού υδρογραφήματος του Butter Creek της Νέας Υόρκης. Τα δεδομένα για την εκπαίδευση και τον έλεγχο των δικτύων παρήχθησαν από μη γραμμικά μοντέλα. Η απόδοση των δικτύων επηρεάζεται από την ποιότητα των δεδομένων εκπαίδευσης. Οι συγγραφείς κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι, παρά την ικανοποιητική απόδοση των δικτύων στη διαδικασία παρεμβολής, οι προβλέψεις του δικτύου για δεδομένα εισόδου εκτός του εύρους των δεδομένων που χρησιμοποιήθηκαν για την εκπαίδευση δεν ήταν ικανοποιητική. Η προσπάθεια για την επίτευξη της απαραίτητης προσαρμοστικότητας 49

64 αποδείχθηκε ιδιαίτερα απαιτητική από υπολογιστική άποψη, και το τελικό συμπέρασμα ήταν ότι τα νευρωνικά δίκτυα ήταν οριακά καλύτερα από τις τεχνικές ασαφούς λογικής (Zhu et al., 1994). Οι Smith και Elli (1995) εφάρμοσαν τεχνητό νευρωνικό δίκτυο ανάδρασης για την πρόβλεψη του φορτίου αιχμής και των χρονικών στιγμών που αυτό εμφανίζεται σε μια υποθετική λεκάνη, η οποία διακριτοποιείται σε κάνναβο. Τα αποτελέσματα υπήρξαν ικανοποιητικά στην περίπτωση μεμονωμένης καταιγίδας, σε αντίθεση με την περίπτωση σειράς καταιγίδων, οπότε η ακρίβεια δεν ήταν η επιθυμητή. Ένας πιθανός λόγος για το τελευταίο είναι ο ανεπαρκής αριθμός νευρώνων στο επίπεδο εξόδου. Σε επόμενη εφαρμογή τους, οι Smith και Elli χρησιμοποίησαν στο επίπεδο εξόδου 21 παράγοντες της σειράς Fourier για την αναπαράσταση του υδρογραφήματος, η οποία αποδείχθηκε αρκετά ακριβής (Smith and Elli, 1995). Ο Haykin (1994) διερεύνησε τους τύπους των νευρωνικών δικτύων που ανταποκρίνονται καλύτερα στα διάφορα προβλήματα (Haykin, 1994). Έτσι ο αλγόριθμος ανάδρασης (back propagation algorithm) για την εκπαίδευση με επίβλεψη ενός πολυστρωματικού δικτύου μπορεί να θεωρηθεί ως εφαρμογή της στοχαστικής προσέγγισης, ενώ τα δίκτυα συνάρτησης ακτινικής βάσης (Radial basis function: RBF) μπορούν να θεωρηθούν ως πρόβλημα προσαρμογής καμπύλης σε πολυδιάσταστο χώρο. Σύμφωνα με το τελευταίο, η εκπαίδευση ενός τέτοιου δικτύου συνίσταται στην εύρεση της επιφάνειας σε πολυδιάσταστο χώρο η οποία έχει την καλύτερη προσαρμογή με τα δεδομένα εκπαίδευσης, βάσει κάποιου στατιστικού κριτηρίου. Η χρήση δικτύου RBF για την επιτάχυνση της εκπαίδευσης σε σύγκριση με τα κλασικά δίκτυα ανάδρασης παρουσιάζεται σε εργασία του 1996 (Mason et al., 1996). Στην είσοδο του δικτύου δίνονται ο χρόνος, η ένταση της βροχόπτωσης, η αθροιστική βροχόπτωση και η παράγωγος της έντασης βροχόπτωσης. Οι συγγραφείς της εργασίας δοκίμασαν 5 διαφορετικούς τύπους δικτύων RBF και κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι όντως τα δίκτυα RBF είναι ταχύτερα από τα κλασικά δίκτυα, αλλά απαιτούν την επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων, που μπορεί να αποδειχθεί ασταθές. Ανάλογες μελέτες πάνω στα δίκτυα RBF έγιναν αργότερα από τους Fernando και Jayawardena (1998). Από όλα τα παραπάνω που αναφέρθηκαν, καταλαβαίνουμε πως το ζήτημα της συσχέτισης των βροχοπτώσεων με την απορροή με χρήση νευρωνικών δικτύων έτυχε μεγάλης προσοχής από τους ερευνητές, τόσο λόγω της μη γραμμικής φύσης του προβλήματος, όσο και λόγω της ύπαρξης εκτεταμένων χρονοσειρών που διευκολύνουν την εκπαίδευση και τον έλεγχο των δικτύων, οδηγώντας σε αξιόλογα αποτελέσματα. 50

65 4.3 Τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα στην πρόβλεψη χειμαρρικών παροχών Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζεται η χρήση των νευρωνικών δικτύων για την πρόβλεψη των χειμαρρικών παροχών χωρίς να εμπλέκεται η βροχόπτωση ως δεδομένο εισαγωγής. Η πρώτη προσέγγιση της εκτίμησης της παροχής των ρεμάτων με χρήση νευρωνικών δικτύων έγινε το 1993 για τη λεκάνη απορροής του ποταμού Pyung Chang στην Κορέα (Kang et al., 1993). Σε μια λεπτομερέστερη μελέτη προς την ίδια κατεύθυνση, που εκπονήθηκε για τον ποταμό Huron στο Michigan, υποστηρήχθηκε ότι τα νευρωνικά δίκτυα προβλέπουν με καλύτερη ακρίβεια τις αιχμές από ότι οι κλασικές τεχνικές παλινδρόμησης. Επιπλέον, υποστηρήχθηκε ότι δε διαφέρουν από αυτές στην πρόβλεψη των χαμηλών παροχών. Οι μελετητές ισχυρίζονται ότι το δίκτυο έχει καλύτερη απόδοση όταν τα δεδομένα εισόδου περιέχουν θόρυβο (Karunanithi et al., 1994). Σε παρόμοια πλαίσια κινήθηκαν και άλλοι ερευνητές εφαρμόζοντας τεχνητά νευρωνικά δίκτυα σε διάφορους ποταμούς, όπως ο Rio Grande στο Southern Colorado (Markus et al., 1995) και ο Νείλος (Tawfik et al., 1987). Από τα παραπάνω συνάγεται ότι τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα είναι ικανά να παρέχουν ταχείες και αξιόπιστες προβλέψεις των χειμαρρικών παροχών, καλύτερες μάλιστα από τις αντίστοιχες των μοντέλων ανάλυσης χρονοσειρών και των τεχνικών παλινδρόμησης. Ωστόσο, παρατηρήθηκε αδυναμία των δικτύων να έχουν καλή εκτίμηση σε μεγάλο εύρος τιμών, δηλαδή να εκτιμούν εξίσου καλά ταυτόχρονα τις χαμηλές παροχές και τις αιχμές, αλλά πρέπει ο σχεδιασμός τους να προσανατολιστεί κατάλληλα για τη μια ή την άλλη περίπτωση. Οι Diamantopoulou et al (2006 a, b), χρησιμοποίησαν νευρωνικά δίκτυα για τη περιγραφή της διόδευσης πλημμυρικών κυμάτων σε ποτάμια συστήματα. 4.4 Τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα στα υπόγεια νερά Ένας ακόμα τομέας που χρησιμοποιούνται τα Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα είναι αυτός των υπόγειων νερών. Οι Aziz και Wong (1992), σε μια μελέτη πάνω στις παραμέτρους των υπόγειων νερών, ανέπτυξαν ένα νευρωνικό δίκτυο για τον καθορισμό των τιμών των παραμέτρων του υδροφορέα από δεδομένα αντλήσεων από πηγάδια παρατήρησης. Η μελέτη στηρίχθηκε στην ικανότητα των τεχνητών νευρωνικών δικτύων για αναγνώριση προτύπων. Τα δεδομένα των αντλήσεων για περιορισμένο υδροφορέα και περιορισμένο υδροφορέα με διαρροή χρησιμοποιήθηκαν στην είσοδο του δικτύου, ενώ στην έξοδο δίνονταν οι τιμές της μεταφορικότητας, της αποθηκευτικότητας και του λόγου της απόστασης από το πηγάδι παρατήρησης προς το πάχος του υδροφορέα. Το δίκτυο είχε 3 επίπεδα και εκπαιδεύτηκε με τιμές που υπολογίστηκαν από τις εξισώσεις του Theis και των Hantush 51

66 Jacob. Κατά τον έλεγχο αποδείχθηκε ότι η απόδοση του δικτύου ήταν ικανοποιητική σε σύγκριση με τις παραδοσιακές μεθόδους (Aziz and Wong, 1992). Σε πρόσφατη έρευνα στην Ινδία διερευνήθηκε η δυνατότητα των νευρωνικών δικτύων να προβλέπουν τη στάθμη του υπόγειου υδροφόρου ορίζοντα σε παράκτιο φρεάτιο υδροφορέα παρουσία 2 πηγαδιών άντλησης (Nayak et al., 2005). Ο κατάλληλος συνδυασμός μεταβλητών εισόδου στο δίκτυο επιλέχθηκε με συνδυασμό εμπειρίας και στατιστικής ανάλυσης. Τα αποτελέσματα και η εκτίμησή τους με χρήση στατιστικών δεικτών και ανάλυσης ευαισθησίας οδήγησαν τους συγγραφείς στο συμπέρασμα ότι το νευρωνικό δίκτυο παρέχει ικανοποιητική ακρίβεια για χρονικό ορίζοντα έως και 4 μήνες και μπορούν να αποτελέσουν χρήσιμο εργαλείο στον τομέα της διαχείρισης των υπόγειων υδατικών πόρων και ιδιαίτερα της αντιμετώπισης του φαινομένου της υφαλμύρωσης. Μια εναλλακτική προσέγγιση προτείνει τη συνεργασία μοντέλων Γενετικών Αλγορίθμων, Μεθόδου Προσομοιωμένης Ανόπτησης και Νευρωνικών Δικτύων για τη βελτιστοποίηση του σχεδιασμού συστήματος γεωτρήσεων με κριτήρια την ικανοποίηση της ζήτησης και την αποτροπή της θαλάσσιας διείσδυσης στον υπόγειο υδροφορέα (Rao et al., 2003). Επιπλέον μελέτες, χρησιμοποιώντας στην είσοδο του δικτύου τη βροχόπτωση, τη στάθμη του υδροφόρου ορίζοντα και την εξατμισοδιαπνοή, προέβλεψαν τις μεταβολές στη στάθμη του υδροφόρου ορίζοντα (Yang et al., 1996). Ωστόσο, πρέπει να δοθεί ιδιαίτερη προσοχή στην εφαρμογή της μεθόδου, καθώς φαίνεται να παρέχει αποτελέσματα με νόημα μόνο στο εύρος τιμών που έχουν χρησιμοποιηθεί στην εκπαίδευση. Στην περίπτωση που αλλάξουν τα καθορισμένα όρια (π.χ. αν αυξηθεί το χρονικό πλαίσιο ή προστεθούν και άλλες γεωτρήσεις) τότε το δίκτυο πρέπει να εκπαιδευτεί εκ νέου για την αναπροσαρμογή των βαρών. Στον τομέα της προστασίας και εξυγίανσης των υπόγειων νερών, ένα πρόβλημα που τίθεται είναι η ορθή επιλογή των βέλτιστων αρδευτικών συστημάτων, μέσα από ένα μεγάλο σύνολο πιθανών συστημάτων. Η παραδοσιακή προσέγγιση είναι η μελέτη κάθε συστήματος με τη χρήση κλασικών μοντέλων κίνησης και μεταφοράς και που είναι προφανές πως είναι χρονοβόρα και υπολογιστικά απαιτητικό. Μέσα από πληθώρα μελετών έχει αποδειχθεί ότι τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα, ιδιαίτερα όταν συνδυάζονται με γενετικούς αλγορίθμους, επιταχύνουν δραματικά τους υπολογισμούς και τη διαδικασία επιλογής (Rogers, 1992, Rogers and Dowla, 1994, Johnson and Rogers, 1995). Οι Κourakos and Mandoglou (2009), ανέπτυξαν μια μέθοδο βελτιστοποίησης, για να λύσουνε ένα σύνθετο πρόβλημα άντλησης η οποία βασίζεται σε νευρωνικά δίκτυα, τα οποία εκπαιδεύονται χρησιμοποιώντας μια γρήγορα προσαρμοζόμενη διαδικασία και πολλές μεταβλητές αποφάσεων. Επίσης οι Κourakos and Mandoglou (2006), χρησιμοποίησαν τα νευρωνικά δίκτυα με σκοπό να βελτιώσουν την απόδοση του μοντέλου SEAWAT, σε συνδυασμό με ένα αλγόριθμο βελτιστοποίησης και ανομοιόμορφη υδραυλική αγωγιμότητα. 52

67 4.5 Τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα στην ποιότητα των υδατικών πόρων Τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα προσφέρονται ιδιαίτερα για τις περιπτώσεις προβλημάτων ποιότητας των υδατικών πόρων και αυτό διότι η ποιότητα εξαρτάται από πλήθος παραμέτρων όπως είναι το μέσο μεταφοράς, οι αρχικές συνθήκες, η ταχύτητα ροής, το ρυπαντικό φορτίο, και άλλες παράμετροι σχετικές με το πεδίο. Μια εφαρμογή των τεχνητών νευρωνικών δικτύων με σκοπό την εκτίμηση της αλατότητας στον ποταμό Murray της Νότιας Αυστραλίας έγινε από τους Maier και Dandy (Maier and Dandy, 1996). Η εκτίμηση των μελετητών είναι πως είναι δυνατή η εφαρμογή αποδοτικών αρδευτικών πρακτικών εάν μπορούν να εκτιμηθούν οι τιμές της αλατότητας 14 ημέρες νωρίτερα. Με βάση αυτή την εκτίμηση, καταστρώθηκε ένα νευρωνικό δίκτυο με 141 νευρώνες εισόδου, που αντιπροσώπευαν τις ημερήσιες τιμές αλατότητας, το βάθος και την παροχή στα υδατορεύματα στα ανάντη της λεκάνης σε προηγούμενες χρονικές στιγμές. Στην έξοδο δίνονταν η πρόβλεψη για την αλατότητα μετά από 14 ημέρες. Η μέθοδος εκμάθησης που ακολουθήθηκε ήταν η ανάδραση (back-propagation training) σε 2 κρυφά επίπεδα. Βρέθηκε πως ο βέλτιστος λόγος του αριθμού νευρώνων του 1 ου κρυφού επιπέδου προς τον αριθμό νευρώνων του 2 ου κρυφού επιπέδου είναι 3:1. Σύμφωνα με την ανάλυση ευαισθησίας που εφαρμόστηκε, αφαιρέθηκαν νευρώνες εισόδου που δεν επηρέαζαν ουσιαστικά τις εξόδους και ο τελικός αριθμός των νευρώνων εισόδου μειώθηκε σε 51. Έτσι, η δομή του δικτύου ήταν Για την αποφυγή του σημαντικού προβλήματος της υπερεκπαίδευσης, χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος της διασταύρωσης (cross - validation). Συνολικά στα δεδομένα 4 ετών, το μέσο ποσοστό σφάλματος κυμάνθηκε από 5.3 έως 7.0%. Τέλος, οι συγγραφείς κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι η χρήση διαφορετικών μεθόδων εκπαίδευσης και δομών του δικτύου είχε μικρές επιπτώσεις στην απόδοσή του. Αντίστοιχη μελέτη που αφορούσε την αλατότητα εκπονήθηκε και στον ποταμό Sacramento, με χρήση στοιχείων από τα έτη 1971 έως 1990 (Sandhu and Finch, 1996). Μια ενδιαφέρουσα εφαρμογή ήταν αυτή του Rogers και των συνεργατών του, οι οποίοι χρησιμοποιώντας ένα κλασικό μοντέλο μεταφοράς εκπαίδευσαν ένα τεχνητό νευρωνικό δίκτυο για τη μελέτη μεθόδων εξυγίανσης υπόγειων νερών (Rogers and Dowla, 1994). Μελετήθηκε μια σειρά υποθετικών σεναρίων μεταφοράς πλουμίου σε υπόγειο υδροφορέα με γεωτρήσεις. Στόχος της εξυγίανσης ήταν η διατήρηση της συγκέντρωσης του ρύπου σε ορισμένα πηγάδια ελέγχου κάτω από τα επιτρεπόμενα όρια. Η βελτιστοποίηση έγκειται στην ελαχιστοποίηση του συνολικώς αντλούμενου όγκου νερού για την επίτευξη του στόχου της εξυγίανσης. Το πολυστρωματικό τεχνητό νευρωνικό δίκτυο προώθησης (multilayer feedforward ANN) εκπαιδεύτηκε με τη μέθοδο ανάδρασης (back propagation). Το επίπεδο 53

68 εισόδου αντιπροσώπευε το σύστημα αντλήσεων, αποδίδοντας την τιμή 0 στις γεωτρήσεις που επιλέγονταν κάθε φορά ως ανενεργές και την τιμή 1 στην αντίθετη περίπτωση, ενώ ένας επιπλέον νευρώνας εισόδου αντιπροσώπευε το λόγο ενεργών προς ανενεργά πηγάδια. Η έξοδος του δικτύου εξέφραζε την επιτυχία της εξυγίανσης σύμφωνα με τα κριτήρια που προαναφέρθηκαν (ο νευρώνας εξόδου έπαιρνε τιμή 0 για την περίπτωση αποτυχίας και την τιμή 1 για την περίπτωση της επιτυχίας). Τέλος, διερευνήθηκαν διαφορετικές δομές του δικτύου και αριθμοί νευρώνων σε κάθε επίπεδο. Την εκπαίδευση του δικτύου ακολούθησε η διερεύνηση από αυτό διαφόρων σεναρίων άντλησης, τα οποία υποδείχθηκαν από πρόγραμμα γενετικών αλγορίθμων. Οι Basheer και Najjar εφάρμοσαν ένα δίκτυο 3 επιπέδων για την πρόβλεψη του χρόνου διάνυσης σε σύστημα σταθερού πυθμένα. Τα δεδομένα για την εκπαίδευση και τον έλεγχο του δικτύου εξήχθησαν από μοντέλο HSDM (Homogenous Surface Diffusion Model). Μετά από συστηματική ανάλυση, οι μελετητές καθόρισαν 3 στοιχεία εισόδου ως τα σημαντικότερα για την εκτίμηση του χρόνου διείσδυσης: την εισερχόμενη συγκέντρωση, το βάρος της προσροφούμενης ουσίας και τη διάμετρο των κόκκων του πορώδους μέσου του πυθμένα. Με δοκιμές, επιλέχθηκαν 10 νευρώνες στο κρυφό επίπεδο. Οι συγγραφείς κατέληξαν ότι οι προβλέψεις του δικτύου υπήρξαν αξιόπιστες με την προϋπόθεση ότι τα εισερχόμενα κινούνταν στο εύρος των τιμών που χρησιμοποιήθηκαν για την εκπαίδευση (Basheer and Najjar, 1995). Οι Diamantopoulou et al (2007 a, b), χρησιμοποίησαν νευρωνικά δίκτυα για τη συμπλήρωση ελλιπών δεδομένων της ποιότητας του νερού των ποταμών της Βορείου Ελλάδος. 4.6 Τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα στην εκτίμηση βροχοπτώσεων Ένας άλλος τομέας όπου χρησιμοποιούνται τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα είναι στη πρόβλεψη των βροχοπτώσεων. Το 1992 ο French και οι συνεργάτες του χρησιμοποίησαν νευρωνικό δίκτυο προώθησης 3 επιπέδων με ανάδραση σε μια απόπειρα να προβλέψουν τα πεδία έντασης βροχόπτωσης με χρονικό παράθυρο μιας ώρας. Η μέθοδος εφαρμόστηκε σε πεδίο διακριτοποιημένο σε κάνναβο 25x25, με διάσταση κελιού 4 km. Οι σειρές δεδομένων παρήχθησαν από ένα μαθητικό μοντέλο πρόγνωσης βροχοπτώσεων. Τα δεδομένα εισόδου του δικτύου αποτέλεσαν 625 τιμές έντασης βροχόπτωσης σε κάθε κόμβο τη χρονική στιγμή t=0 (παρόν), ενώ δοκιμάστηκαν διαφορετικοί αριθμοί νευρώνων για το κρυφό επίπεδο (15, 30, 45, 60 και 100 νευρώνες). Κατά τη διάρκεια της εκπαίδευσης τα αποτελέσματα του νευρωνικού δικτύου ήταν ελαφρώς καλύτερα από αυτά των παραδοσιακών μοντέλων πρόγνωσης, αλλά κατά τη διαδικασία ελέγχου τα αποτελέσματα δεν υπήρξαν ικανοποιητικά (French et al., 1992). 54

69 Οι Tohma και Igata (1994), χρησιμοποίησαν ένα νευρωνικό δίκτυο 3 επιπέδων για την πρόβλεψη των θέσεων βροχοπτώσεων βάσει δορυφορικών εικόνων των νεφών στην περιοχή του Hokkaido στην Ιαπωνία (Tohma και Igata,1994). Στην έξοδό του το δίκτυο έδινε την ένταση της βροχόπτωσης σε συσχέτιση με την ταξινόμηση των pixels των φωτογραφιών, με αποτελέσματα αρκετά ακριβή για βραχυπρόθεσμες προβλέψεις. Η έρευνα των Navone και Ceccatto (1994) έδειξε ότι τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα υπερέχουν έναντι των γραμμικών μοντέλων για την πρόβλεψη της βροχόπτωσης την εποχή των μουσώνων στην Ινδία έως και 40 %, Οι μελετητές συνδύασαν τη χρήση των νευρωνικών δικτύων τόσο με ντετερμινιστικά, όσο και με στοχαστικά μοντέλα (Navone και Ceccatto,1994). Για τη βραχυπρόθεσμη πρόβλεψη των βροχοπτώσεων (0 έως 6 ωρών), οι Kuligowski και Barros ανέπτυξαν ένα μοντέλο προώθησης με δεδομένα εισόδου την κατεύθυνση του ανέμου στα ανώτερα ατμοσφαιρικά στρώματα και προγενέστερα μετεωρολογικά στοιχεία (Kuligowski και Barros, 1998). Η κατεύθυνση του ανέμου στα ανώτερα ατμοσφαιρικά στρώματα χρησιμοποιείται για τον καθορισμό των μεταβλητών εισόδου. Για παράδειγμα, τα στοιχεία ενός μετεωρολογικού σταθμού είναι χρήσιμα αν ο σταθμός βρίσκεται στα κατάντη του σημείου πρόβλεψης βάσει της κατεύθυνσης της κίνησης της βροχόπτωσης. Με ένα μοντέλο εμμονής, το προτεινόμενο νευρωνικό δίκτυο φέρεται να βελτιώνει σημαντικά τη βραχυπρόθεσμη πρόβλεψη, λόγω της ικανότητάς του να κάνει χρήση των τελευταίων διαθέσιμων πληροφοριών και να δίνει αποτελέσματα σε πραγματικό χρόνο. 55

70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΕΧΝΗΤΟΥ ΝΕΥΡΩΝΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ ΣΕ ΑΝΟΜΟΙΟΓΕΝΗ ΥΔΡΟΦΟΡΕΑ 5.1 Περιγραφή του προβλήματος Στην παρούσα εργασία εξετάζεται η περίπτωση ενός άπειρου, ανομοιογενή υδροφορέα, με δύο ζώνες διαφορετικής υδραυλικής αγωγιμότητας. Στόχος της εργασίας αυτής είναι να υπολογισθούν, μέσω ενός κατάλληλα δομημένου Τεχνητού Νευρωνικού Δικτύου, οι διαφορετικές τιμές μεταφορικότητας των δύο ζωνών του υδροφορέα. Πριν εφαρμόσουμε το νευρωνικό δίκτυο στην περίπτωσή μας, ακολουθήσαμε μια διαδικασία υπολογισμού των δεδομένων που θα χρησιμοποιηθούν στο πρόβλημα αυτό. Θεωρήσαμε ότι έχουμε δυο πηγάδια παρατήρησης, τα οποία βρίσκονται σε διαφορετική ζώνη το καθένα και συγκεκριμένα το πηγάδι 1 βρίσκεται στην Ζώνη 1 και το πηγάδι 2 στη Ζώνη 2 αντίστοιχα, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 5.1. Η μέθοδος που ακολουθήθηκε για τον υπολογισμό των δεδομένων, είναι αυτή της μεθόδου των εικόνων. Θεωρήθηκε ότι η διεπιφάνεια που χωρίζει τον υδροφορέα σε δυο ζώνες, ταυτίζεται με τον κατακόρυφο άξονα του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων Δεδομένα και παραδοχές Με σκοπό την προσαρμογή του προβλήματός μας σε πραγματικά δεδομένα έγιναν κάποιες παραδοχές τόσο για την δομή του υδροφορέα όσο και για τις τιμές των δεδομένων που θα χρησιμοποιήσουμε στο πρόβλημά μας. Οι παραδοχές αυτές είναι: 1. Η ροή θεωρείται μόνιμη σε περιορισμένο υδροφορέα 2. Ο υδροφορέας είναι άπειρος και ισότροπος 3. Οι τιμές των παροχών των πηγαδιών κυμαίνονται από 10 ~ 50 l/sec 56

71 4. Η μέγιστη πτώση στάθμης που θεωρείται αποδεκτή στη παρειά των πηγαδιών ανέρχεται στα s max = 200 m. 5. Η ακτίνα των πηγαδιών παρατήρησης είναι r 0 = 0,20 m. 6. Η ακτίνα επιρροής των πηγαδιών είναι R = 2500 m. 7. Η απόσταση των πηγαδιών είναι τέτοια ώστε τα πηγάδια να αλληλοεπηρεάζονται. Συνεπώς το εύρος των συντεταγμένων τους κυμαίνεται από -300 έως Οι τιμές της μεταφορικότητας κάθε ζώνης κυμαίνονται μεταξύ 10-3 ~ 10-5 m 2 /sec. 9. Η διεπιφάνεια που χωρίζει τον υδροφορέα σε δυο ζώνες διαφορετικής μεταφορικότητας ταυτίζεται με τον άξονα Υ. Με βάση λοιπόν τις παραπάνω παραδοχές και τις εξισώσεις (5.1) και (5.2) που παρουσιάζονται στην επόμενη παράγραφο, υπολογίσθηκαν με τη βοήθεια του Microsoft Office Excel, οι τιμές των πτώσεων στάθμης για διάφορους συνδυασμούς παροχών, θέσεων των πηγαδιών και μεταφορικοτήτων. Οι τιμές αυτές που υπολογίσθηκαν επαληθεύτηκαν με τη βοήθεια της Q Basic. Συνδυασμοί τιμών οι οποίοι έδιναν ως αποτελέσματα πτώσεις στάθμης μεγαλύτερες από 200m απορρίφθηκαν και έτσι διαμορφώθηκε μια βάση δεδομένων, η οποία θα χρησιμοποιηθεί για τη εφαρμογή του Τεχνητού Νευρικού Δικτύου Μαθηματικές σχέσεις υπολογισμού Για την επίλυση του προβλήματος αρχικά, υπολογίστηκαν για διάφορες θέσεις των πηγαδιών, διάφορες τιμές των μεταφορικοτήτων, και παροχών άντλησης, οι πτώσεις στάθμης s 1 και s 2 στις παρειές των πηγαδιών. Σύμφωνα με τον Bear (1979) οι εξισώσεις που υπολογίζουν τις πτώσεις στάθμης στις παρειές των πηγαδιών, για τη περίπτωση ανομοιογενή υδροφορέα με δύο ζώνες μεταφορικότητας και δυο πηγάδια σε διαφορετικές ζώνες είναι: 57

72 Σχήμα 5.1. Υδροφορέας με δυο διαφορετικές ζώνες μεταφορικότητας και δυο πηγάδια σε διαφορετικές ζώνες Q1 r0 T1 T2 2 x1 Q2 r s1 ln ln ln 2 T 1 R T1 T2 R T T R (5.1) όπου: s 2 Q 1 r ln 12 Q 2 r ln T T 2 x ln T T R T R T T R Q 1 και Q 2 οι παροχές των πηγαδιών (l/sec) r 0 είναι η ακτίνα των πηγαδιών (m) r 12 η απόσταση των πηγαδιών (m) R η ακτίνα επιρροής των πηγαδιών (m) x 1, x 2, οι αποστάσεις των πηγαδιών από τις εικόνες τους (m) Τ 1, Τ 2 οι τιμές της μεταφορικότητας κάθε ζώνης και (m 2 /sec) s 1, s 2 οι πτώσεις στάθμης στις παρειές των πηγαδιών (m) (5.2) 5.2 Περιγραφή νευρωνικού δικτύου Για την μελέτη του δικού μας προβλήματος, χρησιμοποιήθηκε ένα τεχνητό νευρωνικό δίκτυο με το επίπεδο εισόδου, ένα κρυφό επίπεδο και το επίπεδο εξόδου. Το δίκτυο αυτό είναι ένα 58

73 δίκτυο προώθησης και χρησιμοποιεί ως μέθοδο εκπαίδευσης τη μέθοδο Quickprop, η οποία περιγράφεται στη επόμενη παράγραφο Αλγόριθμος Quickprop Ο κώδικας Quickprop είναι μια παραλλαγή του κλασικού αλγόριθμου ανάδρασης (back propagation). Ο αλγόριθμος Quickprop, έχει δύο παραμέτρους εκμάθησης και δυο παραμέτρους ελέγχου. Το ρυθμό εκμάθησης n, την αρχική προσθήκη ε στη σιγμοειδή συνάρτηση (sigmoid prime offset), τον μέγιστο παράγοντα μεγέθυνσης (max factor) και το μέγιστο εύρος βαρών (weight range). Ο Fahlman (1998), ήταν ο πρώτος που πρόσθεσε κάποιες αρχικές ρυθμίσεις που αφορούν τις τρείς πρώτες παραμέτρους. Ο ρυθμός εκμάθησης είναι μονάδα, για αρχική προσθήκη 0,1 και ο παράγοντας μεγέθυνσης ορίσθηκε στο 1,75. Ακόμα, εισάγαγε τον παράγοντα εξαναγκασμένης απομείωσης των βαρών ίσο με 0,0001. Ο κλασικός αλγόριθμος ανάδρασης υπολογίζει τη μερική παράγωγο του συνολικού σφάλματος ως προς το αντίστοιχο βάρος. Στη συνέχεια, με τη μέθοδο της κατάβασης του δυναμικού επιδιώκεται η ελαχιστοποίηση του σφάλματος. Για να επιτευχθεί όμως αυτό απαιτείται άπειρος αριθμός βημάτων με αποτέλεσμα να έχουμε πολύ μεγάλο χρόνο εκπαίδευσης. Ο Fahlman πρότεινε μεγαλύτερα βήματα στη κατάβαση δυναμικού. Απέδειξε ότι η πρώτη μερική παράγωγος ως προς το βάρος δεν δίνει αρκετές πληροφορίες για το μέγεθος του βήματος. Συνεπώς απαιτείται η δεύτερη μερική παράγωγος ως προς το βάρος με σκοπό να ελαχιστοποιηθεί το σφάλμα με πολύ λιγότερα βήματα. Η μέθοδος που προτείνει ο Fahlman στηρίζεται στις εξής παραδοχές: 1. Θεωρεί ότι η μεταβολή της κλίσης του σφάλματος επηρεάζεται μόνο από το βάρος, του οποίου το επόμενο βήμα υπολογίζεται Αγνοεί δηλαδή τις μεταβολές των βαρών που λαμβάνουν χώρα σε άλλες θέσεις του δικτύου την ίδια χρονική στιγμή. 2. Η καμπύλη του σφάλματος έχει μορφή παραβολής και στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω. Ο παράγοντας μεγέθυνσης, που εισήγαγε ο Fahlman στη μέθοδό του χρησιμοποιείται ώστε να αντιμετωπιστεί το πρόβλημα που προκύπτει, όταν η τρέχουσα κλίση του σφάλματος έχει το ίδιο μέγεθος και την ίδια κατεύθυνση με τη προηγούμενη. Σε αυτή τη περίπτωση, ο αλγόριθμος υπολογίζει άπειρη τιμή ή τιμή που αποκλείει αρκετά από το ελάχιστο. Έτσι με την εισαγωγή του παράγοντα μεγέθυνσης, όταν η μεταβολή ενός βάρους από το προηγούμενο βήμα στο επόμενο είναι πολύ μεγάλη, αγνοείται, και υπολογίζεται η μεταβολή του προηγούμενου βήματος πολλαπλασιασμένη με ένα αριθμό που ορίζεται από το χρήστη. Έτσι λοιπόν, ο αλγόριθμος Quickprop, για να υπολογίσει τη μεταβολή ενός βάρους χρησιμοποιεί τη σχέση: 59

74 S( t 1) ( t 1) wij ( t) w ij (5.3) S( t) S( t 1) Όπου w ij είναι το βάρος από το νευρώνα i στον νευρώνα j, Δ(t+1) η πραγματική μεταβολή του βάρους, S(t+1) η μερική παράγωγος της συνάρτησης σφάλματος ως προς το βάρος w ij και S(t) η προηγούμενη μερική παράγωγος Εφαρμογή του τεχνητού νευρωνικού δικτύου στο πρόβλημά μας. Στη περίπτωσή μας, θα χρησιμοποιήσουμε μια παραλλαγή του κώδικα quickprop του Fahlman, η οποία έγινε από τον Αναπληρωτή Καθηγητή του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Α.Π.Θ, κ. Βαφειάδη Μ. Συγκεκριμένα, στην εργασία αυτή, θα προσπαθήσουμε μέσω του νευρωνικού δικτύου να υπολογίσουμε τις τιμές της μεταφορικότητας των δύο ζωνών του υδροφορέα που παρουσιάστηκε στις προηγούμενες παραγράφους, έχοντας ως δεδομένα εισόδου στο δίκτυο τις παροχές των πηγαδιών και τις πτώσεις στάθμης στις παρειές τους. Η διαδικασία που ακολουθεί ο αλγόριθμος παρουσιάζεται στο Παράρτημα Α Έτσι, το δίκτυο περιλαμβάνει τέσσερις (4) νευρώνες εισόδου, εκ των οποίων οι δύο πρώτοι αντιστοιχούν στις παροχές των πηγαδιών 1 και 2 και οι επόμενοι δύο αντιστοιχούν στις πτώσεις στάθμης των δύο αυτών πηγαδιών που οφείλονται στις αντλήσεις των πηγαδιών και την αλληλεπίδρασή τους, όπως περιγράφονται από τις εξισώσεις (5.1) και (5.2). Το επίπεδο εξόδου αποτελείται από δυο (2) νευρώνες που αντιστοιχούν στις τιμές της μεταφορικότητας κάθε ζώνης του υδροφορέα. Τέλος, για το κρυφό επίπεδο επιλέχθηκαν δέκα (10) νευρώνες. Άρα το δίκτυο είναι της μορφής Στο επόμενο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα αποτελέσματα αυτού του δικτύου καθώς και κάποιων άλλων δομών του. Τα επίπεδα του δικτύου θεωρούμε ότι συνδέονται μεταξύ τους με πλήρη σύνδεση από το ένα επίπεδο στο άλλο. Στο αρχείο εισόδου δεδομένων εισάγουμε με τη σειρά τα ακόλουθα στοιχεία: Πλήθος των νευρώνων του επιπέδου εισόδου: NInputs 4 Πλήθος των νευρώνων του κρυφού επιπέδου: Nhidden 10 Πλήθος των νευρώνων του επιπέδου εξόδου: Noutputs 2 Τύπος συνάρτησης ενεργοποίησης: UnitType 1 για τη περίπτωση που έχουμε σιγμοειδή συνάρτηση ενεργοποίησης και UnitType 2 όταν έχουμε ασιγμοειδή συνάρτηση ενεργοποίησης. Τύπος συνδέσεων επιπέδων: Connectcals 2 για τη περίπτωση που έχουμε απλή σύνδεση μεταξύ των επιπέδων και Connectcals 3 όταν έχουμε σύνδεση cross cut. 60

75 Για σύνδεση όλων των νευρώνων εισόδου με όλους τους νευρώνες του κρυφού επιπέδου και πλήρη σύνδεση των νευρώνων του κρυφού επιπέδου με τους νευρώνες του επιπέδου εξόδου, στο αρχείο εισόδου δίνουμε: Connectcals Για να ορίσουμε τον αριθμό των δεδομένων που θα χρησιμοποιηθούν για την εκπαίδευση του δικτύου εισάγουμε τον αριθμό των σειρών των δεδομένων στο: NtrainingPatterns Τα πρότυπα εκπαίδευσης πρέπει να είναι στοιχισμένα οριζόντια. Δηλαδή οι δυο παροχές, οι δυο πτώσεις στάθμης και οι δυο μεταφορικότητες να είναι γραμμένες οριζόντια σε μια γραμμή Για να ορίσουμε τον αριθμό των δεδομένων που θα χρησιμοποιηθούν για τον έλεγχο του δικτύου εισάγουμε τον αριθμό των σειρών των δεδομένων στο: NtestPatterns Τα δεδομένα ελέγχου πρέπει να ακολουθούν τη ίδια λογική εισαγωγής με αυτά τις εκπαίδευσης. Οι αρχικές ρυθμίσεις των παραμέτρων που θα χρησιμοποιήσει το δίκτυο είναι: Οι κύκλοι εκπαίδευσης ορίζονται ως: Epochs 1000 Τα βάρη θα παίρνουν τιμές: WeightRange 0,50 Ο παράγοντας μεγέθυνσης ορίζεται: MaxFactor 1,75 Η αρχική προσθήκη στη σιγμοειδή συνάρτηση ενεργοποίησης είναι: SigmoidPrimeOffset 0,50 Η ροπή ορίζεται σε: Momentum 0,90 και τέλος Ο παράγοντας απομείωσης των βαρών: Decay 0,0001. Σε αυτό το σημείο, πρέπει να ορίσουμε την έννοια της εποχής που αναφέρθηκε προηγουμένως. Η εκπαίδευση του νευρωνικού δικτύου γίνετε σε διάφορα στάδια τα οποία τα ορίζουμε εμείς. Αυτά τα στάδια, είναι γνωστά ως εποχές (Epochs). Ακόμα, ορθό κρίνεται να ορισθούν οι εξισώσεις που χρησιμοποιεί το πρόγραμμα για να υπολογίσει τη μέση τιμή των αποτελεσμάτων m, τη τυπική απόκλιση s, το βαθμό συσχέτισης και το μέσο τετραγωνικό σφάλμα. Έτσι, το δίκτυο υπολογίζει τη μέση τιμή από την εξίσωση: 1 n n x i i1 m (5.4) Όπου m είναι η μέση τιμή των τιμών x i και n είναι το σύνολο των τιμών αυτών. Η τυπική απόκλιση υπολογίζεται από τη σχέση: 61

76 n i1 2 (x x) i (5.5) n 1 Ο βαθμός συσχέτισης και το μέσο τετραγωνικό σφάλμα δίνονται από τις σχέσεις: n (x x) (x x i mi m i1 r (5.6) n n 2 2 (x i x) (x mi x m ) i1 i1 ) Όπου: (x x n ) RSME n 2 mi m (5.7) i1 r ο βαθμός συσχέτισης μεταξύ αναμενόμενων και υπολογισμένων τιμών της μεταβλητής x RSME το μέσο τετραγωνικό σφάλμα x και x m είναι η μέση τιμή των αναμενόμενων και των υπολογισμένων τιμών αντίστοιχα x i και x mi οι αναμενόμενες και οι υπολογισμένες τιμές των μεταβλητών. 62

77 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της εφαρμογής του νευρωνικού δικτύου που παρουσιάστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, καθώς επίσης και κάποιες παραλλαγές που έγιναν τόσο στα δεδομένα όσο και στη δομή του δικτύου. Επίσης, έγινε και μια άλλη δοκιμή μετατρέποντας το αρχικό πρόβλημα, προσθέτοντας κάποια δεδομένα εισόδου και αναζητώντας κάποια παραπάνω αποτελέσματα (έξοδοι δικτύου). Η περίπτωση αυτή θα περιγραφεί αναλυτικά σε παράγραφο του κεφαλαίου αυτού. Οι σειρές δεδομένων που επιλέχθηκαν τόσο για την εκπαίδευση του δικτύου όσο και για τον έλεγχο είναι συνολικά 115. Από αυτές, κάποιες χρησιμοποιήθηκαν ως δεδομένα για την εκπαίδευση του δικτύου και τα υπόλοιπα για τον έλεγχο. Σε κάθε δοκιμή επιλέχθηκε διαφορετικός αριθμός σειρών δεδομένων για εκπαίδευση και έλεγχο, ώστε να δοκιμαστεί σε ποια περίπτωση το νευρωνικό δίκτυο συμπεριφέρεται καλύτερα. 6.1 Πρώτη δοκιμή νευρωνικού δικτύου Στη πρώτη δοκιμή που επιχειρήσαμε, φτιάξαμε ένα δίκτυο με δομή 4 8 2, δηλαδή το επίπεδο εισόδου έχει τέσσερις (4) νευρώνες, το επίπεδο εξόδου έχει δύο (2) και το κρυφό επίπεδο αποτελείται από οχτώ (8) νευρώνες. Επίσης, πολλαπλασιάσαμε τις τιμές της μεταφορικότητας Τ επί δέκα χιλιάδες (x 10000), ώστε όλες οι τιμές των δεδομένων να είναι της ίδιας τάξης μεγέθους, διότι το νευρωνικό δίκτυο ανταποκρίνεται καλύτερα, όταν πληρείται αυτή η συνθήκη. Επιλέξαμε να χρησιμοποιήσουμε 70 σειρές δεδομένων για εκπαίδευση του δικτύου και 45 σειρές για έλεγχο. Στον πίνακα 6.1 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα που έδωσε το δίκτυο μετά την επίλυσή του, όπου m είναι ο μέσος όρος των τιμών, s το τυπικό σφάλμα, RSME το μέσο τετραγωνικό σφάλμα, r ο βαθμός συσχέτισης αναμενόμενων και υπολογισμένων τιμών και Total error το συνολικό σφάλμα στο τελευταίο κύκλο εκπαίδευσης. Στα Σχήματα 6.1 και 6.2, παρουσιάζεται η σύγκριση των αναμενόμενων με τις υπολογισμένες τιμές της μεταφορικότητας Τ 1 και Τ 2 αντίστοιχα. 63

78 Πίνακας 6.1. Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου 4-8-2, με μετατροπή των τιμών της μεταφορικότητας (x 10000). T 1 T 2 Αναμενόμενο Υπολογισμένο Αναμενόμενο Υπολογισμένο m s RSME r 1 1 Total error Σχήμα 6.1 Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου για τις τιμές της μεταφορικότητας Τ 1 Σχήμα 6.2 Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου για τις τιμές της μεταφορικότητας Τ 2 Από τα αποτελέσματα της επίλυσης παρατηρούμε ότι το δίκτυο ανταποκρίνεται αρκετά καλά, αλλά όπως φαίνεται και στον πίνακα 6.1, το ολικό σφάλμα στο τελικό κύκλο εκπαίδευσης είναι: Total error = και το μέσο τετραγωνικό σφάλμα 1.3 και 2.8 για 64

79 τις δύο ζώνες μεταφορικότητας αντίστοιχα. Συνεπώς θα δοκιμάσουμε να μειώσουμε αυτό το σφάλμα αλλάζοντας είτε την αρχιτεκτονική του δικτύου είτε τη τάξη μεγέθους των δεδομένων εκπαίδευσης και ελέγχου. 6.2 Δεύτερη δοκιμή νευρωνικού δικτύου Σε αυτή τη περίπτωση, δοκιμάσαμε να αλλάξουμε τη τάξη μεγέθους των δεδομένων, με την υπόθεση ότι το δίκτυο θα ανταποκριθεί καλύτερα στα νέα δεδομένα. Κρατώντας λοιπόν την αρχιτεκτονική του δικτύου της προηγούμενης δοκιμής (4-8-2), αλλάξαμε τη τάξη μεγέθους της μεταφορικότητας πάλι διαιρώντας τις τιμές της προηγούμενης δοκιμής με δέκα. Οι σειρές των δεδομένων για την εκπαίδευση παραμένουν εβδομήντα (70) και οι σειρές των δεδομένων ελέγχου σαράντα πέντε (45). Επιλύοντας το δίκτυο πήραμε τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται στο πίνακα 6.2 και στα Σχήματα 6.3 και 6.4. Πίνακας 6.2. Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου 4-8-2, με μετατροπή των τιμών της μεταφορικότητας (x 1000). T 1 T 2 Αναμενόμενo Υπολογισμένo Αναμενόμενo Υπολογισμένo m s RSME r 1 1 Total error Σχήμα 6.3 Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου για τις τιμές της μεταφορικότητας Τ 1 65

80 Σχήμα 6.4 Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου για τις τιμές της μεταφορικότητας Τ 2 Από την παραπάνω επίλυση παρατηρούμε ότι η τάση των τιμών που υπολογίζονται είναι η ίδια με την προηγούμενη δοκιμή, συνεπώς το δίκτυο ανταποκρίνεται πολύ καλά και σε αυτή τη μεταβολή. Παρατηρούμε όμως ότι με αυτή την αλλαγή το Total error στο τελευταίο κύκλο επαναλήψεων μειώθηκε στα Total Error = Συνεπώς, η τάξη μεγέθους που θα χρησιμοποιήσουμε στην επόμενη δοκιμή είναι αυτή της παρούσας παραγράφου. 6.3 Τρίτη δοκιμή νευρωνικού δικτύου Στη δοκιμή αυτή αλλάξαμε την αρχιτεκτονική του δικτύου, κρατώντας σταθερό τον αριθμό των σειρών δεδομένων εκπαίδευση και ελέγχου και της τάξης μεγέθους της μεταφορικότητας (x10 3 m 2 /sec). Η αλλαγή λοιπόν που έγινε στην αρχιτεκτονική του δικτύου είναι ότι αυξήσαμε τους νευρώνες του κρυφού επιπέδου από οχτώ (8) σε δέκα (10). Συνεπώς η δομή του δικτύου είναι Τρέχοντας το πρόγραμμα πήραμε τα αποτελέσματα τα οποία παρουσιάζονται στον πίνακα 6.3 και στα σχήματα 6.5 και 6.6. Πίνακας 6.3. Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου , με μετατροπή των τιμών της μεταφορικότητας (x 1000). T 1 T 2 Αναμενόμενο Υπολογισμένο Αναμενόμενο Υπολογισμένο m s RSME r 1 1 Total error

81 Σχήμα 6.5 Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου για τις τιμές της μεταφορικότητας Τ 1 Σχήμα 6.6 Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου για τις τιμές της μεταφορικότητας Τ 2 Με την επίλυση αυτή παρατηρούμε ότι η προσέγγιση των υπολογισμένων τιμών με τις αντίστοιχες αναμενόμενες έχει βελτιωθεί αρκετά και το Total error επίσης. Έτσι το ολικό σφάλμα στο τελευταίο κύκλο επανάληψης ανέρχεται πλέον στα Total Error = Επίσης, το μέσο τετραγωνικό σφάλμα μειώθηκε αισθητά με αποτέλεσμα να μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η περίπτωση αυτή αποτελεί τη βέλτιστη δυνατή λύση Στο παράρτημα Β παρουσιάζονται αναλυτικά τα δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν καθώς επίσης και τα αποτελέσματα της τελευταίας δοκιμής. 67

82 6.4 Μετατροπή προβλήματος Σε αυτή τη παράγραφο θα εξετασθεί μια παραλλαγή του προβλήματος που αναλύθηκε και επιλύθηκε στις προηγούμενες παραγράφους. Θεωρούμε λοιπόν, ότι η διεπιφάνεια που χωρίζει τον υδροφορέα σε δύο ζώνες διαφορετικής μεταφορικότητας δεν συμπίπτει με τον κατακόρυφο άξονα Υ του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων, αλλά είναι στραμμένος προς αυτός κατά μια γωνία θ, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.7. Σχήμα 6.7 Στροφή διεπιφάνειας κατά τον κατακόρυφο άξονα Υ. Στην περίπτωση της στροφής του άξονα της διεπιφάνειας κατά γωνία θ οι νέες συντεταγμένες των πηγαδιών (x, y ) σύμφωνα με το νέο σύστημα αναφοράς υπολογίζονται από τις σχέσεις (6.1) και (6.2). x ' x cos y sin (6.1) y ' x sin y cos (6.2) όπου x και y οι συντεταγμένες των πηγαδιών με το αρχικό σύστημα αναφοράς και x, y οι καινούριες συντεταγμένες αυτών. Η εξίσωση της διεπιφάνειας είναι: y = -a x, και η κλίση της ευθείας αυτής δίνεται από το συντελεστή a. Το πρόβλημα λοιπόν που θα εξετάσουμε στις επόμενες παραγράφους είναι το κατά πόσο το νευρωνικό δίκτυο που χρησιμοποιήσαμε στις προηγούμενες εφαρμογές, κάνοντας βέβαια τις απαραίτητες αλλαγές στη δομή του, μπορεί να ανταπεξέλθει στα καινούρια αυτά δεδομένα. Συνεπώς, σκοπός τη παραλλαγής αυτής είναι να δούμε κατά πόσο μπορεί το νέο 68

83 δίκτυο να υπολογίσει τόσο τις τιμές της μεταφορικότητας Τ 1 και Τ 2 όσο και το συντελεστή a της εξίσωσης της διεπιφάνειας. Τα νέα στοιχεία λοιπόν είναι ότι το νευρωνικό δίκτυο αποτελείται από οχτώ (8) δεδομένα εισόδου, στο επίπεδο εισόδου, που αντιστοιχούν τα τέσσερα (4) πρώτα στις συντεταγμένες των πηγαδιών, τα επόμενα δυο (2) στις παροχές άντλησης των πηγαδιών και τα υπόλοιπα δυο (2) στις πτώσεις στάθμης στις παρειές των πηγαδιών. Η χρησιμοποίηση των συντεταγμένων των πηγαδιών ως δεδομένα εισόδου αποσκοπεί στο να μπορέσει το δίκτυο να συνδέσει τις τιμές αυτές με τον συντελεστή a ώστε να μπορέσει να υπολογίσει όσο το δυνατόν καλύτερα το a. Το επίπεδο εξόδου, αποτελείται από τέσσερις (3) εξόδους, που αντιστοιχούν στις μεταφορικότητες Τ 1, Τ 2 και στο συντελεστή a. Σύμφωνα με τα παραπάνω, η δομή του δικτύου που επιλέχθηκε αρχικά είναι , δηλαδή το κρυφό επίπεδο θα αποτελείται από δεκαέξι νευρώνες. Ο αριθμός των σειρών των δεδομένων καθώς και της αρχιτεκτονικής του δικτύου που θα χρησιμοποιηθούν για εκπαίδευση και έλεγχο θα διαφοροποιηθεί στις δοκιμές που θα παρουσιασθούν παρακάτω ώστε να επιτύχουμε το καλύτερο δυνατό αποτέλεσμα. Τα δεδομένα που χρησιμοποιήσαμε για τη νέα αυτή μορφή του προβλήματος είναι τα ίδια με τη προηγούμενη μελέτη. Η διαφορά είναι ότι έγινε έλεγχος σε όλα για το κατά πόσο πληρούν την προϋπόθεση της χωροθέτησης των πηγαδιών σε διαφορετικές ζώνες ανάλογα με τη στροφή της διεπιφάνειας. Τα δεδομένα τα οποία έδιναν τα δύο πηγάδια στην ίδια ζώνη απορρίφθηκαν και έτσι επιλέχθηκαν εξήντα (60) σειρές δεδομένων για εκπαίδευση και τριάντα πέντε (35) για έλεγχο Πρώτη δοκιμή Στη πρώτη προσπάθεια χρησιμοποιήσαμε τα δεδομένα του προηγούμενου προβλήματος με εξήντα ως δεδομένα εκπαίδευσης και τριάντα πέντε ως δεδομένα ελέγχου. Οι τιμές της μεταφορικότητας πολλαπλασιάστηκαν πάλι με 1000 (Τ x10 3 m 2 /sec) ώστε να έχουν τάξη μεγέθους ίδια με τα υπόλοιπα δεδομένα που θα επεξεργαστεί το δίκτυο. Επιλύοντας το δίκτυο λοιπόν με αυτή τη μορφή πήραμε τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται στον πίνακα 6.4 και στα Σχήματα 6.8 έως Πίνακας 6.4. Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου , με μετατροπή των τιμών της μεταφορικότητας (x 1000). T 1 T 2 a Αναμενόμενο Υπολογισμένο Αναμενόμενο Υπολογισμένο Αναμενόμενο Υπολογισμένο m s RSME r Total error

84 Σχήμα 6.8 Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου για τις τιμές της μεταφορικότητας Τ 1 Σχήμα 6.9 Αποτελέσματα επίλυσης δικτύου για τις τιμές της μεταφορικότητας Τ 2 70