Υδραυλική των Υπόγειων Ροών

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Το μαθηματικό πρόβλημα των υπόγειων ροών Καθηγητής Κωνσταντίνος Λ. Κατσιαράκης Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Θεοδοσίου Καθηγητής Περικλής Λατινόπουλος ΑΠΘ

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναέρεται ρητώς.

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους. 3

4 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Το μαθηματικό πρόβλημα των υπόγειων ροών 4

5 Η εξίσωση συνέχειας (/4 Σχήμα : Στοιχειώδες παραλληλεπίπεδο πορώδους μέσου κορεσμένου με ρευστό πυκνότητας ρ. Πηγή: Π. Λατινόπουλος,, Υπηρεσία Δημοσιευμάτων ΑΠΘ, 986, σελ.63. ( ρn div( ρq t p ρ( α nβ div( ρq t p : πίεση ππόρω α : συμπιεστότητα ττο στερεού σκελετού β S : συμπιεστότητα ττο S S S ρg(α nβ : ειδικήαποθηκευτικότητα κκινούμενυ ρευστού 5

6 Η εξίσωση συνέχειας (/4 Υπόμνηση: i j k z A A grada diva A A i A A j A z z A z k S = S s b (η S s είναι μη εκτατικό μέγεθος 6

7 Η εξίσωση συνέχειας (3/4 Τελική μορή εξίσωσης συνέχειας ρ S s t div( ρq Σε συνδυασμό με τον νόμο του Darc: S s t div(q div(kgrad ή (για ανομογενές και ανισότροπο μέσο: S s t K K z K zz z 7

8 Η εξίσωση συνέχειας (4/4 Για ανομογενές και ισότροπο μέσο παίρνει τη μορή: S s K K K t z z Ενώ για ομογενές και ισότροπο μέσο γίνεται: S s K t Για μόνιμη ροή ή αν το ρευστό και ο εδαικός σκελετός είναι ασυμπίεστα: 0 divq = 0 z z 8

9 Οι εξισώσεις ροής σε υπόγειους υδροορείς (/5 Ροή σε περιορισμένο υδροορέα S S Q t t (,, t k M div(tgrad div(tgrad-q Q k ( k, b k (b (,,z, t δ (- k, - k dz 9

10 Οι εξισώσεις ροής σε υπόγειους υδροορείς (/5 Σχήμα : Ροή σε περιορισμένο υδροορέα. 0

11 Οι εξισώσεις ροής σε υπόγειους υδροορείς (3/5 Υδροορέας ομογενής και ισότροπος S t Τ( Q Υδροορέας ανομογενής και ισότροπος S t (Τ (Τ Q Υδροορέας ανομογενής και S t (Τ (Τ ανισότροπος Q

12 Οι εξισώσεις ροής σε υπόγειους Παράδειγμα Q' Q' υδροορείς (4/5 d T 0 d d T C d C T bq T bk, d d d T d T C C T C

13 Οι εξισώσεις ροής σε υπόγειους υδροορείς (5/5 Σχήμα 3: Ροή σε περιορισμένο υδροορέα με διαρροή και από τα δύο όρια του. Πηγή: Π. Λατινόπουλος 986, σελ.7. 3

14 Ροή σε περιορισμένο υδροορέαμε διαρροή S q c i S T λ i t t K b i Οι εξισώσεις ροής σε υπόγειους K (Tb i i (T b K i (i υδροορείς (6/5, c και : συντελεστής (Tc i (T λ (i Q λ q q K q αντίστασης Q T b, : παράγοντας διαρροής c 4

15 Οι εξισώσεις ροής σε υπόγειους Αναλυτική λύση για «απλή» περίπτωση: Παραδοχές υδροορείς (7/5 Το κάτω όριο του υδροορέα είναι αδιαπέρατο. Είναι γνωστές οι τιμές 0 και L του πιεζομετρικού ορτίου σε δύο θέσεις. Οι μεταβολές των υδραυλικών μεγεθών κατά είναι αμελητέες. Το ορτίο στον υπερκείμενο ρεάτιο με διαρροή υδροορέα παραμένει σταθερό και ίσο με c. Η ροή είναι μόνιμη και ο υδροορέας ομογενής και ισότροπος. 5

16 Οι εξισώσεις ροής σε υπόγειους υδροορείς (8/5 Υπόμνηση: sinh e e cosh e e sinh cosh cosh sinh 6

17 Οι εξισώσεις ροής σε υπόγειους υδροορείς (9/5 d d c 0 = c +C ep (-/λ + C ep(/λ c sinh( L / 0 c sinh L sinh( L / L c sinh 7

18 Οι εξισώσεις ροής σε υπόγειους υδροορείς (0/5 Q T d d Q T sinh( L / 0 c cosh L T sinh( L / L c cosh 8

19 Οι εξισώσεις ροής σε υπόγειους υδροορείς (/5 Σχήμα 4: Ροή σε ρεάτιο υδροορέα. 9

20 Οι εξισώσεις ροής σε υπόγειους υδροορείς (/5 Ροή σε S S S T S h t h t h t h t K ρεάτιο υδροορέα T( (Kh h (h h h h h h (Kh (h Q K Q h h Q Q (Εξίσωση Boussinesq 0

21 Οι εξισώσεις ροής σε υπόγειους υδροορείς (3/5 Σχήμα 5: Παράδειγμα-Ροή σε ρεάτιο υδροορέα με επιανειακή διήθηση. h Q' h o Kh (h dh d o h L K L L (h o Q K h L (L Q( L

22 Οι εξισώσεις ροής σε υπόγειους υδροορείς (4/5 Τι πρέπει να γνωρίζουμε για την επίλυση ενός προβλήματος:. Τη διαορική εξίσωση που περιγράει τη ροή.. Τις τιμές των υσικών παραμέτρων του υδροορέα, π.χ. Κ, S, n. 3. Τα γεωμετρικά όρια του πεδίου ροής, που καθορίζονται από το υσικό πρόβλημα. 4. Τις οριακές συνθήκες, δηλαδή τις μαθηματικές σχέσεις για τη μεταβλητή του προβλήματος, που ισχύουν πάνω στα όρια. 5. Τις αρχικές συνθήκες (αν το αινόμενο δεν είναι μόνιμο.

23 Οι εξισώσεις ροής σε υπόγειους υδροορείς (5/5 Σε ένα καλά τοποθετημένο πρόβλημα η λύση: α υπάρχει, β είναι μοναδική, γ είναι ευσταθής (δηλαδή εξαρτάται με συνεχή τρόπο από τα αντίστοιχα δεδομένα. 3

24 Αρχικές οριακές συνθήκες Αρχικές συνθήκες: f(,, z, 0 4

25 Οριακές συνθήκες (/5 Σχήμα 6: Οριακές συνθήκες γνωστού ορτίου. 5

26 Οριακές συνθήκες (/5 Σχήμα 7: Όριο γνωστής παροχής-υποπερίπτωση: αδιαπέρατο όριο. 6

27 Οριακές συνθήκες (3/5 Σχήμα 8: Οριακές συνθήκες μικτού τύπου. 7

28 Οριακές συνθήκες (4/5 (α (β Όριο γνωστής παροχής (γ Ημιπερατο όριο T Όριο γνωστού ορτίου Q' q' n n K f f n n b c' (,, t (,, t f 0 3 ( (,, t o 0 h r o c' h 0 r στη C στη C στη C στη C στη C 8

29 Οριακές συνθήκες (5/5 Σχήμα 9: Φραγμένη κοίτη ποταμού (ημιπερατό όριο ροής: (α για περιορισμένο υδροορέα (β για ρεάτιο υδροορέα Πηγή: Λατινόπουλος 986, σελ.9. 9

30 Αρχικές Οριακές συνθήκες Σχήμα 0: Προσεγγιστικές θέσεις ορίων υδροορέων. Πηγή: Λατινόπουλος 986, σελ.9. 30

31 Γραμμές ίσου δυναμικού και γραμμές ροής (/3 q Συνάρτηση δυναμικού Φ = Κ Σε ισότροπο και ομογενή υδροορέα: Φ q Φ Φ 0 Φ 3

32 Υπόμνηση: Γραμμές ίσου δυναμικού και γραμμές ροής (/3 Όταν δύο διανύσματα είναι παράλληλα, το εξωτερικό τους γινόμενο ισούται με 0. Το εξωτερικό γινόμενο δίνεται από τη σχέση: AB A B sin n A A k (AB BA k B B 3

33 Γραμμές ίσου δυναμικού και γραμμές ροής (3/3 Εξισώσεις γραμμών ροής: dψ Ψ d Ψ d q ds 0 q d q d 0 q Ψ q Ψ 33

34 Εξισώσεις Cauch-Riemann q q Ψ Ψ άρα Φ Φ Ψ Ψ 0 34

35 Δίκτυα γραμμών ροής και δυναμικού (/3 Σχήμα : Γραμμές Ροής. Πηγή: Λατινόπουλος 986, σελ

36 Δίκτυα γραμμών ροής και δυναμικού Υπόμνηση: (/3 Όταν δύο διανύσματα είναι κάθετα το εσωτερικό τους γινόμενο είναι ίσο με το μηδέν. Το εσωτερικό γινόμενο δίνεται από τη σχέση: A B A B cos A B AB Φ Ψ Φ Ψ 0 36

37 Δίκτυα γραμμών ροής και δυναμικού (3/3 Στα ανισότροπα εδάη οι γραμμές ροής δεν είναι κάθετες στις γραμμές ίσου πιεζομετρικού ορτίου. Με άλλα λόγια η ταχύτητα αποκλίνει από τη διεύθυνση μεταβολής του κινούντος αιτίου, διότι η ευκολία κίνησης δεν είναι ίδια σε όλες τις κατευθύνσεις. 37

38 Σημείωμα Αναοράς Copright, Κωνσταντίνος Κατσιαράκης, Νικόλαος Θεοδοσίου, Περικλής Λατινόπουλος. «Υδραυλική των Υπόγειων Ροών. Ενότητα 3. Το μαθηματικό πρόβλημα των υπόγειων ροών». Έκδοση:.0. Θεσσαλονίκη 04. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

39 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναορά - Παρόμοια Διανομή [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. ωτογραίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εόσον αυτό του ζητηθεί. []

40 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Ιωάννης Αυγολούπης Θεσσαλονίκη, <Εαρινό Εξάμηνο 0-03>

41 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σημειώματα

42 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εόσον υπάρχει μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.