ΦΡΕΑΤΑ. Α. ΝΑΝΟΥ-ΓΙΑΝΝΑΡΟΥ Οκτώβριος 2007

Transcript

1 ΦΡΕΑΤΑ Α. ΝΑΝΟΥ-ΓΙΑΝΝΑΡΟΥ Οκτώβριος 007

2 Φρέατα - Παραδοχές Ισχύει ο νόµος του Dacy Υδροφόρο στρώµαοµογενές ισότροπο και άπειρης έκτασης Πυθµένας της στρώσης οριζόντιος Στην περίπτωση περιορισµένου υδροφορέα, πάχος σταθερό Πιεζοµετρική επιφάνεια ή φρεάτιος ορίζοντας οριζόντια πριν την άντληση ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ

3 Εξισώσεις ροής - Μόνιµη ροή Περιορισµένος υδροφορέας 1 φ φ φ Φρεάτιος υδροφορέας (h) (h) (h) h Aln+ B ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 3

4 φ Περιορισµένος υδροφορέας - B φ w Q w R Μόνιµη ροή(1) φ() ϕ( Πτώση πιεζοµετρικού φορτίου s φ φ() Εξίσωση συνέχειας ϕ Q A q πb K σταθ. Πτώση Π.Γ. Εξίσ. Thiem ) ϕ( Q ln πt ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 4 1 ) s( 1 ) s( ) 1

5 Περιορισµένος υδροφορέας - Μόνιµη ροή() Q R πt sw s w φ φw ln Q πt w ln R w Q R πt s s φ φ() ln Q πt ln T KB ( R ) ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 5

6 Ισοδυναµικές φ- φ φ- φ φ y ισορροϊκές x γραµµές ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 6

7 Περιορισµένος υδροφορέας - Μόνιµη ροή(3) Η µορφή της καµπύλης φφ(), για δεδοµένες στάθµες φ ο και φ w, είναι ανεξάρτητη από την παροχή Q και την διοχετευτικότητα Τ. φ φ (φ φ ) w ( R ) ln ln R w ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 7

8 Εκτίµηση ακτίνας επίδρασης Ηµιεµπειρικές σχέσεις Lembke (1886, 1887) RH(K/N) 1/ Webe (Schulze, 194) R,45(HKt/n e ) 1/ Kusakin (Aavin and Numev, 1953) R1,9(HKt/n e ) 1/ Εµπειρικές σχέσεις Siechadt (Chetusv, 196) R3.000s w K 1/ Kusakin (Chetusv, 1949) R575s w (HK) 1/ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 8

9 Φρεάτιος υδροφορέας - Μόνιµη ροή(1) Q Εξίσωση συνέχειας dh Q π h q π h K d h h w h() Q d hdh πk πk Q ln h h 1 1 R ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 9

10 ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 10 Φρεάτιος υδροφορέας - Μόνιµη ροή() w w w w R ln K Q h h R ln ) h K (h Q π π R ln K Q h h R ln ) h K (h Q π π

11 Φρεάτιος υδροφορέας Μόνιµη ροή- Παρατηρήσεις Γραµµικοποίηση s h h << h h h (h h)(h + h) s h Q ( R ) Q ( R ) Q πk s s ln ln, q πkh R πt h ln όπου T Kh ( ) ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 11

12 Φρεάτιος υδροφορέας Μόνιµη ροή- Παρατηρήσεις ιαφορά στάθµης s 1 -s Q Q h h1 ln (h s ) (h s 1) ln πk 1 πk 1 s1 s Q (s 1 ) (s ) ln h h πkh 1 Q s 1 s ln, s s πkh 1 h s ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 1

13 Με κατακόρυφη h διήθηση Ν R h w N Qw Q(+d) Q() h() d dq π d N w Q Qw π N dh Q πh K d dh + QW π( w)n π h K d h h w Q N wn ln ( ) ln πk K K w w + w w ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 13

14 Φρέατα σε περιορισµένο υδροφορέα µε διαρροή Μόνιµη ροή(1) Q w φ ο cnst B, Κ Β, Κ Παραδοχές: οριζόντια ροή Κ << Κ, Β << Β φ ο σταθερό ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 14

15 ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 15 Φρέατα σε περιορισµένο υδροφορέα µε διαρροή Μόνιµη ροή() ze de f kind secnd and fist the f functins Bessel Mdified : ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( : λύση Γενική ze de f eq. Bessel Mdified 0 1, 0, ) ( x K x I K I K BK B B K q q Q T BK Q λ β + λ α ϕ ϕ λ ϕ ϕ + ϕ λ ϕ ϕ π + ϕ π ϕ π υ υ

16 s() Πρακτικά Κοντά Q() Q w Φρέατα σε περιορισµένο υδροφορέα µε διαρροή Μόνιµη ροή(3) Για υδροφορέα απείρων διαστάσεων:, φφ ο ϕ στο λ ϕ() : K 1 w / λ φρέαρ λ Q w πt : K ( << 1 / λ 1 w K / λ)k s() ( / λ) ( / λ) 1 << 1 Q ( w πt s() Bessel / λ) ( / λ) πt functin 1,13λ ln (nd kind and 1st de) ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 16 w K Q w

17 ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 17 Φρέατα σε περιορισµένο υδροφορέα µε διαρροή Μόνιµη ροή(4) Για υδροφορέα πεπερασµένων διαστάσεων: R, φφ ο ) / ( 1 ) ( ) / ( ) ( and 1 / ) / ( ) / ( ) / ( ) / ( ) ( ) ( λ λ π << << λ λ λ λ λ π ϕ ϕ R I Q R Q K T Q s R R R I R K I K T Q s w w w

18 Περιορισµένος υδροφορέας - Μη µόνιµη ροή 1 φ φ S φ + T t Οριακές συνθήκες: φ(,t)φ ο t 0 (όχι επίδραση σε άπειρη απόσταση) φ(,0)φ ο w (οµοιόµορφο αρχικό πιεζοµετρικό φορτίο) φ φ Q t > 0 Q Qw lim πt σταθ. lim w 0 0 w πt ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 18

19 Περιορισµένος υδροφορέας - Μη µόνιµη ροή -Qσταθ. (1) Qσταθ Λύση Theis W(u)συνάρτηση φρέατος Q e x Q S s(, t) φ φ(, t) dx W(u), u 4πTx u x 4πT 4Tt Wu u u u ( ), ln + + u u 4 +! 3 3! 4 4! K ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 19

20 Συνάρτηση φρέατος ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 0

21 Πτώση πιεζοµετρικού φορτίου σε περιορισµένο υδροφορέα απείρων διαστάσεων ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 1

22 Περιορισµένος υδροφορέας - Μη µόνιµη ροή -Qσταθ. () u<0,01 Λύση Jacb Q S s(, t) 0,577 ln 4πT 4Tt Q, 5Tt Q 0,5615 s(, t) ln ln 4πT S 4πT u ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ

23 Παρατήρηση 1η, 5Tt 4πTs + S Q οι ισοδυναµικές γραµµές είναι κύκλοι x y exp σταθ. Παρατήρηση η Q,5Tt Q 1,5(tT/S) s ln s ln 4πT S πt s 0 R 1,5(tT / S) (, 5T / S) t ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 3 1/ 1/ 1/ 1/ Παρατήρηση 3η Q 1 Για πολύ µεγάλους χρόνους από Jacb: s s( ) s( 1) ln πt

24 Παράδειγµα: Περιορισµένος υδροφορέας, µη µόνιµη ροή(1) Παράδειγµα t10 ηµέρες Q1000 m 3 /ηµέρα T1000 m /ηµέρα s? S0,0001 m m, 00 m Πορεία λύσης : t, u, W(u), s ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 4

25 Παράδειγµα: Περιορισµένος υδροφορέας, µη µόνιµη ροή() Πτώση της Π.Γ. Για διάφορους χρόνους t t 100 m 00 m ηµέρες u W(u) s, m u W(u) s, m ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 5

26 Παράδειγµα: Περιορισµένος υδροφορέας, µη µόνιµη ροή(3) 0 0 Πτώση s της Π.Γ. σε m m 00 m Ηµέρες Πτώση s της Π.Γ. σε m m 00 m Ηµέρες ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 6

27 Περιορισµένος υδροφορέας- Μη µόνιµη ροή -QQ(t) QQ(t) αρχή της επαλληλίας φ 1 φ 1 (x, y, z, t), φ φ (x, y, z, t) µερικές λύσεις της L(φ)0 φc 1 φ 1 +C φ γενική λύση ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 7

28 Περιορισµένος υδροφορέας- Μη µόνιµη ροή -QQ(t) ιπλασιασµός παροχής άντλησης Q S 4πT 4Tt 1 t t 1 s(, t) W Q S > + 4πT 4Tt 1 t t 1 s(, t) W Q Q S 1 + W 4πT 4T(t t 1) ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 8

29 Περιορισµένος υδροφορέας- Μη µόνιµη ροή -QQ(t) ιακοπή άντλησης t > t s(,t) 1 Q S S 1 W W 4πT 4Tt 4T(t t 1) ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 9

30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 30 Φρεάτιος υδροφορέας Μη µόνιµη ροή (1) ιαφ. εξίσωση Λύση 1η hh -s TΚΗ ο S SΗ /(H -s) S και Τ σταθ t h K S h h + ) ( ) ( 1 s s s H t s T S s s + 1

31 Φρεάτιος υδροφορέας - Μη µόνιµη ροή () Λύση η: Γραµµικοποίηση (1-s/H )~1 1 s s S s T t + ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 31

32 Φρεάτιος υδροφορέας - Μη µόνιµη ροή () Λύση 3η: Bultn Neumann Υστέρηση της αποθηκευτικότητας Γενική λύση όπου : u A h Q h T W ( u, u, n ) 4π A B S Sy, ub, n 4Tt 4Tt b ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 3

33 Φρεάτιος υδροφορέας - Μη µόνιµη ροή (3) Για µικρούς χρόνους, λόγω υστέρησης της αποθηκευτικότητας, ισχύει η καµπύλη Theis και η λύση των υπό πίεση υδροφορέων. Για ενδιάµεσους χρόνους η αποθηκευτικότητα αυξάνει (µεταβατική περιοχή). Για µεγάλους χρόνους τα αποτελέσµατα ακολουθούν την καµπύλη Theis µε αποθηκευτικότητα ίση µε την ειδική απόδοση. Λύση Neumann (βλ. σχήµα) ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 33

34 Λύση Neumann u u A B S 4Tt Sy 4Tt n b ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 34

35 Φρέατα σε περιορισµένο υδροφορέα µε διαρροή Μη µόνιµη ροή (1) Παραδοχή: Η αποθηκευτικότητα του ηµιπερατού υδροφορέα αµελείται 1 ϕ ϕ ϕ S ϕ + λ T t ϕ ϕ + + λ T t ϕ 1 ϕ S ϕ 1/ BT λ leakage fact K ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 35

36 Φρέατα σε περιορισµένο υδροφορέα µε διαρροή Μη µόνιµη ροή () Λύση Hantush για περιορισµένο υδροφορέα απείρων διαστάσεων:, φφ ο Παραδοχές Ο περιορισµένος υδροφορέας περιορίζεται προς τα άνω από ηµιπερατή στρώση Η αποθηκευτικότητα της ηµιπερατής στρώσης αµελείται Πάνω από την ηµιπερατή στρώση υπάρχει φρεάτιος υδροφορέας µε οριζόντια ελεύθερη επιφάνεια και στάθµηφ ο ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 36

37 Φρέατα σε περιορισµένο υδροφορέα µε διαρροή Λύση Hantush Q 1 Q s(,t) w exp y dy w W(u, / λ) 4πT y 4 u y λ 4πT S όπου: u συνάρτηση φρέατος 4Tt W(u, / λ ) υπολογίζεται από πίνακες u 0 t µόνιµη ροή ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 37

38 Χρήσιµες σχέσεις για τη λύση Hantush W(0, / λ ) K ( / λ ) W(u,0) W(u) W(u,/ λ ) K (/ λ) W( /4λ u,/ λ ) K (/ λ) W(Tt/S λ,/ λ) W(u, / λ) W(u) ό ταν u > / λ ταν λ λ< W(u) ό u>5 / εάν / 0,1 W(u,/ λ) K (/ λ) I (/ λ)w(tt /S λ ) ό ταν u< / 0 λ εάν u < 1 ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 38

39 Συστήµατα φρεάτων Αλληλεπίδραση φρεάτων Για περιορισµένους υδροφορείς: Η µερική διαφορική εξίσωση της ροής είναι γραµµική. Εφαρµόζεται η αρχή της επαλληλίας των λύσεων. Για φρεάτιους υδροφορείς: Συνήθως θεωρείται η γραµµικοποιηµένη εξίσωση. ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 39

40 Συστήµατα φρεάτων Περιορισµένοι υδροφορείς Q A) Μόνιµη ροή: s s(x, y ) s s ln B) Μη µόνιµη ροή: N N j j i i i ij i j i j 1πT ij Q B1) Q σταθερά s (t) W(u ), u S / 4Tt N j j i j j ij j 14πT B) Q µεταβαλλόµενη στο χρόνο j s (t) s(x,y,t) i i i 1 4πT N n j 1 k 1 [Q Q ]W(, t t ), t <t<t (k) (k 1) j j ij k 1 n-1 n R ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 40

41 Μέθοδος επαλληλίας για τρία φρέατα ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 41

42 Σειρά απείρων φρεάτων w s(x, y) H φ(x,y) ln π(y R) πx csh cs Q α α 4πT π(y+ R) πx csh cs α α ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 4

43 Φρέατα κοντά σε όρια Μέθοδος των εικόνων ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 43

44 Άντληση φρέατος στη γειτονία ποταµού - Μόνιµη ροή ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 44

45 Άντληση φρέατος στη γειτονία ποταµού - Μόνιµη ροή Συνολική µεταβολή της στάθµης (βλ. σχήµα): Q R Q R Q s φ φ() ln + ln ln πt πt πt 1/ Q (x + x ) + y s ln πt (x x ) + y ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 45

46 ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 46 Άντληση φρέατος κοντά σε αδιαπέρατο όριο - Μόνιµη ροή Συνολική µεταβολή της στάθµης (βλ. σχήµα): π π + π ϕ ϕ R ln T Q R ln T Q R ln T Q () s

47 Άντληση φρέατος κοντά σε αδιαπέρατο όριο - Μόνιµη ροή ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 47

48 Φρέατα άντλησης κοντά σε διάφορες γεωµετρίες ορίων ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 48

49 Επαλληλία δύο φρεάτων σε οµοιόµορφη ροή ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 49

50 Υδραυλική επίλυση οµοιόµορφης ροής y q x y Ψ - Ψ Ψ - Ψ x Ψ 0 Ψ Ψ Ψ Ψ φ q K x q φ x K Ψ φ K q y x φ φ φ φ φ 0 φ - φ φ - φ Ψ q y ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 50

51 Φρέαρ άντλησης σε οµοιόµορφη ροή Εφαρµόζεται η αρχή της επαλληλίας Πιεζοµετρικό φορτίο και ροϊκή συνάρτηση Υδροκρίτης : Ψ0 Σηµείο ανακοπής : ταχύτητα 0 ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 51

52 Φρέαρ άντλησης σε οµοιόµορφη ροή ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 5

53 Φρέαρ άντλησης σε οµοιόµορφη ροή ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 53

54 Σύνθετα προβλήµατα φρεάτων και οµοιόµορφης ροής (1) ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 54

55 Σύνθετα προβλήµατα φρεάτων και οµοιόµορφης ροής () ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 55

56 Απώλειες Φρέατος (1) Πτώση στάθµης s w στο πηγάδι οφείλεται : σε απώλειες ενέργειας λόγω υδροφορέα : s w1 AQ{ln(R/ w )/πt}q σε τοπικές απώλειες ενέργειας στο ίδιο το φρέαρ s w. Προτείνεται : s w BQ n ή s w AQ+BQ n ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 56

57 Απώλειες Φρέατος () Jacb : n s w /QA+BQ Τιµές του Β (Waltn, 1970) : B<675 m/(m 3 /sec) καλό φρέαρ 675<B<1350 m/(m 3 /sec) µέτριο φρέαρ B>1350 m/(m 3 /sec) χαµηλή απόδοση B<5400 m/(m 3 /sec) κακή απόδοση ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 007 Α. ΝΑΝΟΥ 57