π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων u και v γ. το εσωτερικό γινόμενο uv δ. το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u και v.. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α β και i) το εσωτερικό γινόμενο αβ. ii) το α β και το α β π (α,β) να βρεθούν: iii) το εσωτερικό γινόμενο (α β) (α β) iv) Το συνημίτονο της γωνίας (αβ,α β).. Δίνεται η εξίσωση x + y +(λ +)x+(λ 1)y 6λ 1= 0. Να αποδείξετε ότι για κάθε λπαριστάνει κύκλο που περνά από σταθερό σημείο. Υπόδ: Δείξτε ότι R>0 και αν (x 0,y 0 ) το σταθερό σημείο (x o +1)λ +(y o )λ = x o +y o +x o y o 1= 0 για κάθε λ.. Δείξτε ότι η εξίσωση x +y = αx + βy παριστάνει κύκλο για κάθε α,β0. Στη συνέχεια αν x 1,y 1,x,y αριθμοί τέτοιοι ώστε x i + y i = αx i + βy i, i=1,, να δείξετε ότι: (x 1 x ) + (y 1 y ) α +β. 5. Δίνεται η παραβολή C: x = y και ένα μεταβλητό σημείο της με τετμημένη λ. i. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τη χορδή ΟΑ τον x x και την εφαπτομένη στο Α. ii. Αν η γωνία κλίσεως της εφαπτομένης στο Α είναι 60 ο να βρεθεί το σημείο Α. 6. Να εξετάσετε αν είναι σωστές ή λανθασμένες οι παρακάτω προτάσεις: i. Αν α β τότε det(α,β) 0. ii. Ισχύει ότι: α β αβ α β. iii. Κάθε εξίσωση της μορφής Ax + By + Γ = 0 παριστάνει στο επίπεδο ευθεία γραμμή. Επιμέλεια: xr.tsif@gmail.com Σελίδα 1

2 iv. Αν Α Β Γ 0, τότε η εξίσωση: x y Αx Βy Γ 0 παριστάνει ένα μόνο σημείο το Α Β Κ(, ). v. Η ευθεία Ax + By + Γ = 0 είναι παράλληλη με το διάνυσμαδ (Β, Α). 7. Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α(1,8) Β( 1,) Γ(9,). i. Να δείξετε ότι η γωνία Α του τριγώνου είναι ίση με 90 ο. ii. Να βρείτε την εξίσωση του ύψους ΑΔ. iii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. iv. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Α και εφάπτεται στην πλευρά ΒΓ. 8. Έστω κύκλος C: x x + ψ ψ = 0 και έστω Κ το κέντρο του. Μια μεταβλητή ευθεία (ε) που διέρχεται από την αρχή των αξόνων τέμνει τον κύκλο C στα σημεία Α και Β. Να βρεθεί η ευθεία (ε) ώστε (ΑΒ) =. 9. Στο καρτεσιανό επίπεδο Oxψ ένα μεταβλητό σημείο M(x, y) ικανοποιεί την ισότητα 7 ΑΜ ΒΜ ΟΑ ΟΒ 0, όπου O είναι η αρχή των αξόνων και A(,0), B(,0) είναι σημεία του επιπέδου 9 αυτού. α. Να αποδειχτεί ότι το σημείο M κινείται στον κύκλο με εξίσωση την x + y = 16 β. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων του παραπάνω κύκλου, οι οποίες είναι παράλληλες προς την ευθεία με εξίσωση x+ y = Δίνεται ένα τρίγωνο με κορυφές Α(λ 1, λ+), Β(1,) και Γ(,) όπου λ R με λ. Α. Να αποδείξετε ότι το σημείο Α κινείται σε ευθεία, καθώς το λ μεταβάλλεται στο IR. Β. Εάν λ = 1, να βρείτε: α. το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ β. την εξίσωση του κύκλου, που έχει κέντρο την κορυφή Α(1,5) και εφάπτεται στην ευθεία ΒΓ. 11. Δίνεται η εξίσωση x + ψ λx1 = 0 (1), λr. α) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο. β) Για λ = να βρείτε: i) Tα σημεία του κύκλου C, τα οποία απέχουν τη μέγιστη και ελάχιστη απόσταση από την αρχή Ο των αξόνων. ii) Την εξίσωση της εφαπτομένης ε, του κύκλου C στο σημείο του Α(0,1). iii) Να βρείτε και την άλλη εφαπτομένη του κύκλου C, η οποία διέρχεται από το Β, όπου Β το σημείο τομής της ε με τον x x. 1. Δίνονται τα διανύσματα α,β,γ με α =, β =, α (α β) και β (γ α). i. Να δείξετε ότι α β= και γβ = 1. ii. Να δείξετε ότι αβ 5. Επιμέλεια: xr.tsif@gmail.com Σελίδα

3 iii. Αν επιπλέον γνωρίζετε ότι γ α λα β με λ R, να βρείτε την τιμή του λ. iv. Για λ = να γραφεί το διάνυσμα γ σαν γραμμικός συνδυασμός τωνα,β και να δείξετε ότι η γωνία των διανυσμάτων γ και α β είναι οξεία. 1.Δίνονται οι εξισώσεις : 1 x y 0 (1) και x 1 y1 0 (). i) να δείξετε ότι οι (1) και () παριστάνουν ευθείες για κάθε πραγματικό αριθμό λ. ii) να βρείτε τον λ ώστε οι παραπάνω ευθείες να είναι παράλληλες iii) για λ =, να βρείτε : α) την απόσταση τους και β) την μεσοπαράλληλό τους. 1. Έστω = (, ) και = (, ). i) Να δείξετε ότι = 5, = και βρείτε τις συντεταγμένες των,. ii) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα x x. 15. Έστω =(,)και = (x,y). Αν = 5 και το διάνυσμα v = σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία. Τότε : i) Να δείξετε ότι = 5. ii) Να βρείτε τις συντεταγμένες του. 16. Δίνεται η παραβολή (C) : y x. Να βρείτε : i) την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής ii) τις ευθείες που διέρχονται από την εστία της παραβολής και απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με iii) την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής που είναι παράλληλη στην ευθεία y = x Α) Δίνεται η εξίσωση x + ψ + λ x + (1 λ) ψ + λ = 0, λr i) Για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο; ii) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των παραπάνω κύκλων. Β) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο Κ(1,) ο οποίος τέμνει την ευθεία ψ = x στα σημεία Α, Β έτσι ώστε (ΑΒ) = 18. α) Να αποδειχθεί ότι η ευθεία Α x + B ψ + Γ = 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ = (Β, Α ) και κάθετη στο διάνυσμα η = (Α, Β). β) Να συμπληρωθούν τα κενά: Επιμέλεια: xr.tsif@gmail.com Σελίδα

4 εμβαδόν τριγώνου (ΑΒΓ) = 1... η απόσταση του σημείου Μ 0 (x 0,ψ 0 ) από την ευθεία (ε) Α x + Β ψ + Γ = 0 είναι:... d(m 0,ε)... η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(x 0,ψ 0 ) και i) είναι παράλληλη στον άξονα xx' είναι:.. ii) είναι κάθετη στον άξονα xx' είναι:. 19. Οι δύο πλευρές ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ έχουν εξισώσεις : x + ψ + = 0 και x ψ 1 = 0 και η κορυφή Α(, ). Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του και το σημείο τομής των διαγωνίων του. 0. Α. Σε κάθε ερώτηση κυκλώστε τη σωστή απάντηση. i) Το μέσο Κ του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με Α(1, ) και Β( 1, ) έχει συντεταγμένες Α. (, ) Β. (, ) Γ. (, ) Δ. (0, ) Ε. (0, 1) ii) Εάν τα διανύσματα α = (1, λ), και β = (, λ) είναι παράλληλα το λ ισούται με: Α. λ = 1 Β. λ = 0 Γ. λ = 1 Δ. λ = Ε. λ = iii) Τα = (x, ) και = (9, x) είναι ομόρροπα όταν Α. x = 0 Β. x = 6 ή x = 6 Γ. x = 6 Δ. x = 6 Ε. x = iv) Εάν Α(, ) και Β(, ) τότε το διάνυσμα έχει συντεταγμένες Α. (5, 7) Β. (1, 1) Γ. ( 1, 1) Δ. (7, 5) Ε. (0, ) v)το διάνυσμα α = (λ λ +, λ 1) είναι μηδενικό όταν το λ ισούται με: Α. λ = Β. λ = 1 Γ. λ = 0 Δ. λ = 1 Ε. για κανένα πραγματικό αριθμό λ vi)αν τα διανύσματα α = (1 + λ, ν + ) και β = (, ) είναι ίσα, τότε για τα λ, ν ισχύει Α. λ = 1 και ν = Β. λ = 1 και ν = Γ. λ = 1 και ν = Δ. λ = και ν = 0 Ε. λ = 0 και ν = vii) Τα α = (x, ) και β = (x, 9) είναι κάθετα όταν Α. x = 0 Β. x = 6 ή x = 6 Γ. x = 6 Δ. x = Ε. x = 9 viii) Τα α = (1, ) και β = ( 1, ) έχουν εσωτερικό γινόμενο Α. 0 Β. 10 Γ. 10 Δ. 5 Ε. Επιμέλεια: xr.tsif@gmail.com Σελίδα

5 Β. i) Να αποδείξετε αν α, β είναι δύο διανύσματα με β 0, τότε: α/ / β α λ β, λr. ii) Δίνονται τα διανύσματα α = (1, -), 5 β = 1,. Ποιο από τα παρακάτω διανύσματα είναι παράλληλο στο διάνυσμα α β ; Α. (-10, -5) Β., Γ., 1 Δ. (-, 8) Ε. (0, -1) 8 1. Α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση Αx + By + Γ = 0, με 0 παριστάνει εξίσωση ευθείας. Β. Από τις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας 7 + y = x είναι Α. Β. 7 Γ. Δ. 7 Ε.. Το κοινό σημείο του άξονα x x και της ευθείας ΑΒ με Α(0, ) και Β(1, 5) είναι Α. (, 0) Β. (0, 0) Γ. (5, 0) Δ. (, 0) Ε. (0, ). Το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζεται από τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία x + y = 6 είναι σε 9 τετραγωνικές μονάδες Α. Β. 9 Γ. Δ. Ε. 1. Οι ευθείες y = και y = x 1 σχηματίζουν μεταξύ τους οξεία γωνία ίση με Α. 0 Β. 60 Γ. 5 Δ. 75 Ε Η απόσταση του σημείου (5, 1) από την ευθεία x y = 0 είναι Α. 15 Β Γ Δ Ε. 1. Θεωρούμε την παραβολή y = 8x και τον κύκλο x + y = 9. i. Να βρείτε την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής καθώς και το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου. ii. Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής τους. iii. Αν ονομάσουμε Α το σημείο τομής της παραβολής και του κύκλου με θετικές συντεταγμένες, να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων των δύο αυτών κωνικών τομών στο Α. iv. Έστω φ η γωνία των παραπάνω εφαπτόμενων. Να δείξετε ότι συνφ = Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ε 1 : x + y + 6 = 0 και ε : x + y + 16 = 0. i) Να βρείτε την απόσταση των ευθειών ε 1 και ε. ii) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ευθείας των ε 1 και ε. Επιμέλεια: xr.tsif@gmail.com Σελίδα 5

6 iii) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο τομής της ευθείας ε 1 με τον άξονα x x και αποκόπτει από την ευθεία ε χορδή μήκους d =.. Έστω η εξίσωση (λ + )x (λ + 1)y + 6λ = 0, λr. α) Να δειχθεί ότι παριστάνει ευθεία για κάθε λr. β) Να δειχθεί ότι η παραπάνω ευθεία περνά από σταθερό σημείο για κάθε λr. γ) Να βρεθεί ο λ > 0 ώστε η παραπάνω ευθεία να σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν Ε = τ.μ 5. A.Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, των οποίων το τετράγωνο της απόστασης από το σημείο Α(1,0) είναι ίσο με το εξαπλάσιο της απόστασης από την ευθεία y 1 B. Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με A( 1,),B(1,) και Γ(,0). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει:. 6. Η αρχή Ο(0, 0) ενός συστήματος συντεταγμένων παριστάνει ένα σταθμό εκπομπής σημάτων, ενώ τα σημεία Α(, ) και Β(5, 1) παριστάνουν τις θέσεις δύο πλοίων. Η θέση ενός τρίτου πλοίου παριστάνεται, από το σημείο Γ για το οποίο ισχύει:. Α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ. Β) Αν η εμβέλεια του σταθμού εκπομπής (μέγιστη απόσταση στην οποία μπορεί να φτάσει το σήμα) είναι 5 μονάδες, να βρείτε με ποια από τα τρία πλοία μπορεί να επικοινωνήσει ο σταθμός. 7. Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτόμενη ευθεία στον κύκλο x + ψ = ρ στο σημείο του A(x A, ) έχει εξίσωση C: xx A Α.Έστω σημείο Ε και σταθερή ευθεία (δ) ενός επιπέδου. Τι ονομάζουμε παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία (δ) ; Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση: Α.α. Ισχύει πάντοτε. Α.β. Έστω διανύσματα α, v με α 0, Τότε ισχύει α v α προβ v. α Α.γ. Η εξίσωση x y x y 0 παριστάνει πάντοτε κύκλο αν ισχύει 0. Α.δ. Το διάνυσμα, είναι πάντοτε παράλληλο στην ευθεία : x y 0, 0 ή 0. Α.ε. Δίνονται δύο σημεία Α(x 1,ψ 1 ) και Β(x,ψ ) του καρτεσιανού επιπέδου και υποθέτουμε ότι (x, ψ) είναι οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ. Ισχύει πάντοτε : x= x 1 + x και ψ = ψ 1 + ψ. Αστ. Το εμβαδό ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται πάντοτε από τον τύπο Ε= 1 det(ab,a ) Επιμέλεια: xr.tsif@gmail.com Σελίδα 6