Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή

Transcript

1 Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Το βιβλίο αυτό έχει διπλό σκοπό: Να σε βοηθήσει στη γρήγορη, άρτια και αποτελεσματική προετοιμασία του καθημερινού σχολικού μαθήματος. Να σου δώσει όλα τα απαραίτητα εφόδια, ώστε να αποκτήσεις γερές βάσεις στα Μαθηματικά, κάτι που θα σε κάνει να τα κατανοήσεις βαθύτερα, να βελτιώσεις την επίδοσή σου αλλά και να τα αγαπήσεις ακόμα περισσότερο. Το βιβλίο ακολουθεί, για διδακτικούς λόγους, πιστά τη δομή του σχολικού βιβλίου. Κάθε ενότητα περιέχει: τη θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων, με σχόλια και παρατηρήσεις, υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις, που συνοδεύονται συχνά από χρήσιμες μεθόδους, προτεινόμενες ασκήσεις και ερωτήσεις κατανόησης, με σκοπό την αυτενέργεια και την απόκτηση αυτοπεποίθησης. Στο τέλος του βιβλίου περιέχονται υποδείξεις ή απαντήσεις σε όλες τις προτεινόμενες ασκήσεις, καθώς και οι λύσεις όλων των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου, κάτι που καθιστά το βιβλίο ιδιαίτερα φιλικό αλλά και εξαιρετικά χρήσιμο. Θέλουμε να ευχαριστήσουμε για τη βοήθειά τους τον συνάδελφο Κώστα Γιαννούλη, τον Γιώργο Δεσίπρη και τη Μαίρη Δεμερτζή, τον συνάδελφο Ηλία Μιχαλίτση για την άρτια εμφάνιση του βιβλίου, καθώς και τους συναδέλφους Δημήτρη Τσάκο και Πολυτίμη Δελημιχάλη που είχαν την επιμέλεια της έκδοσης. Οι συγγραφείς

2

3 Περιεχόμενα Μέρος Α : Αριθμητική - Άλγεβρα Ενότητα 1: Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη αριθμών Στρογγυλοποίηση...13 Ενότητα 2: Πρόσθεση, αφαίρεση φυσικών αριθμών Πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών...24 Ενότητα 3: Δυνάμεις φυσικών αριθμών...39 Ενότητα 4: Η Ευκλείδεια διαίρεση Διαιρετότητα...51 Ενότητα 5: Χαρακτήρες διαιρετότητας, ΜΚΔ-ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων...60 Ενότητα 6: Η έννοια του κλάσματος...78 Ενότητα 7: Ισοδύναμα κλάσματα...85 Ενότητα 8: Σύγκριση κλασμάτων...94 Ενότητα 9: Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων...99 Ενότητα 10: Πολλαπλασιασμός κλασμάτων Ενότητα 11: Διαίρεση κλασμάτων Ενότητα 12: Δεκαδικά κλάσματα Δεκαδικοί αριθμοί Διάταξη - Στρογγυλοποίηση Ενότητα 13: Πράξεις με δεκαδικούς Δυνάμεις με βάση δεκαδικό Ενότητα 14: Υπολογισμοί με υπολογιστή τσέπης Ενότητα 15: Τυποποιημένη μορφή μεγάλων αριθμών Ενότητα 16: Μονάδες μέτρησης Ενότητα 17: Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις x + α = β, x - α = β, x : α = β, α : x = β Ενότητα 18: Επίλυση προβλημάτων με εξισώσεις Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων Ενότητα 19: Ποσοστά Ενότητα 20: Προβλήματα με ποσοστά Ενότητα 21: Παράσταση σημείων στο επίπεδο Ενότητα 22: Λόγος δύο αριθμών - Αναλογία...226

4 Ενότητα 23: Ανάλογα ποσά Ιδιότητες ανάλογων ποσών Ενότητα 24: Γραφική παράσταση σχέσης αναλογίας Ενότητα 25: Προβλήματα αναλογιών Ενότητα 26: Αντιστρόφως ανάλογα ποσά Ενότητα 27: Θετικοί και αρνητικοί αριθμοί Οι ρητοί αριθμοί Ενότητα 28: Απόλυτη τιμή ρητού αριθμού Αντίθετοι αριθμού - Σύγκριση ρητών Ενότητα 29: Πρόσθεση ρητών αριθμών Ενότητα 30: Αφαίρεση ρητών αριθμών Ενότητα 31: Πολλαπλασιασμός ρητών αριθμών Ενότητα 32: Διαίρεση ρητών αριθμών Ενότητα 33: Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών Ενότητα 34: Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Ενότητα 35: Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο Ενότητα 36: Τυποποιημένη μορφή αριθμών Μέρος Β : Γεωμετρία Ενότητα 37: Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο Ενότητα 38: Γωνία - Γραμμή - Επίπεδα σχήματα Ευθύγραμμα σχήματα - Ίσα σχήματα Ενότητα 39: Μέτρηση - Σύγκριση - Ισότητα τμημάτων Απόσταση σημείων - Μέσο ευθύγραμμου τμήματος Ενότητα 40: Πρόσθεση και αφαίρεση ευθύγραμμων τμημάτων Ενότητα 41: Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα γωνιών Διχοτόμος γωνίας Ενότητα 42: Είδη γωνιών - Κάθετες ευθείες Ενότητα 43: Εφεξής γωνίες - Διαδοχικές γωνίες Άθροισμα γωνιών Ενότητα 44: Παραπληρωματικές και συμπληρωματικές γωνίες Κατακορυφήν γωνίες Ενότητα 45: Θέσεις ευθειών στο επίπεδο...426

5 Ενότητα 46: Απόσταση σημείου από ευθεία Απόσταση παραλλήλων Ενότητα 47: Κύκλος - Στοιχεία του κύκλου Ενότητα 48: Επίκεντρη γωνία - Μέτρηση τόξου Σχέση επίκεντρης γωνίας και αντίστοιχου τόξου Ενότητα 49: Θέσεις ευθείας και κύκλου Ενότητα 50: Συμμετρία ως προς άξονα Ενότητα 51: Άξονας συμμετρίας Ενότητα 52: Μεσοκάθετος ευθύγραμμου τμήματος Ενότητα 53: Συμμετρία ως προς σημείο Ενότητα 54: Κέντρο συμμετρίας Ενότητα 55: Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία Ενότητα 56: Στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων Ενότητα 57: Άθροισμα γωνιών τριγώνου Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου Ενότητα 58: Παραλληλόγραμμο - Ορθογώνιο Ρόμβος - Τετράγωνο Τραπέζιο - Ισοσκελές τραπέζιο Ενότητα 59: Ιδιότητες παραλληλογράμμου - ορθογωνίου - ρόμβου - τετραγώνου - τραπεζίου - ισοσκελούς τραπεζίου Μέρος Γ : Απαντήσεις - Λύσεις Απαντήσεις - λύσεις προτεινόμενων ασκήσεων Απαντήσεις των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου...637

6

7 Μέρος Α Αριθμητική - Άλγεβρα

8

9 α) Ποιοι αριθμοί λέγονται φυσικοί; β) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; γ) Πότε δύο φυσικοί αριθμοί λέγονται διαδοχικοί; Απαντηση α) Φυσικοί λέγονται οι γνωστοί μας αριθμοί: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Το πλήθος των αριθμών αυτών λέμε ότι είναι άπειρο. Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο. Κάθε φυσικός αριθμός, εκτός από το 0, έχει έναν προηγούμενο. Ο επόμενος του 0 είναι ο αριθμός 1. β) Άρτιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, δηλαδή οι αριθμοί που διαιρούνται (ακριβώς) με το 2. Περιττοί λέγονται οι φυσικοί αριθμοί: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, δηλαδή οι αριθμοί που δεν διαιρούνται με το 2. Είναι φανερό ότι: Αν ένας φυσικός αριθμός τελειώνει σε 0, 2, 4, 6 ή 8, τότε αυτός είναι άρτιος. 13

10 Αν ένας φυσικός αριθμός τελειώνει σε 1, 3, 5, 7 ή 9, τότε αυτός είναι περιττός. Οι άρτιοι αριθμοί διαιρούνται ακριβώς με το 2, οι περιττοί όμως όχι. γ) Δύο φυσικοί αριθμοί, όπως για παράδειγμα οι 7, 8 ή 17, 18 λέγονται διαδοχικοί, όταν ο ένας είναι μεγαλύτερος από τον άλλο κατά 1. Δύο διαδοχικοί αριθμοί έχουν γενικά τη μορφή ν, ν+1, όπου με ν συμβολίζουμε έναν τυχαίο φυσικό αριθμό που μπορούμε να έχουμε στο μυαλό μας. Όταν θέλουμε να αναφερθούμε σε έναν οποιονδήποτε τυχαίο φυσικό αριθμό, τότε αυτόν τον συμβολίζουμε με ένα γράμμα, το οποίο λέμε μεταβλητή. Αν λοιπόν μας πει κάποιος να συμβολίσουμε δύο διαδοχικούς άρτιους αριθμούς, τότε γράφουμε ν, ν+2 (όπου ο ν είναι άρτιος) ή πιο σωστά γράφουμε 2ν, 2ν+2 διότι ο αριθμός 2ν είναι πάντα άρτιος. Καταλαβαίνουμε αμέσως ότι αφού ο 2ν είναι άρτιος, ο επόμενός του, δηλαδή ο 2ν+1, είναι περιττός. Τι είναι το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης; Απαντηση Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης είναι ένας τρόπος για να γράφουμε τους φυσικούς αριθμούς, σύμφωνα με τον οποίο: Δέκα μονάδες μιας τάξης μάς δίνουν μία μονάδα της αμέσως μεγαλύτερης τάξης. Επομένως: Δέκα (απλές) μονάδες μάς δίνουν μία δεκάδα. Δέκα δεκάδες μάς δίνουν μία εκατοντάδα. Δέκα εκατοντάδες μάς δίνουν μία χιλιάδα κ.λπ. Παρατηρήσεις α) Για να γράψουμε οποιονδήποτε αριθμό στο δεκαδικό σύστημα, χρησιμοποιούμε τα ψηφία: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 β) Σε έναν φυσικό αριθμό η αξία κάποιου ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του. 14 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΔΙΑΤΑΞΗ ΦΥΣΙΚΩΝ, ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ

11 Αυτό είναι ακριβώς το μυστικό με το οποίο γράφουμε οποιονδήποτε αριθμό χρησιμοποιώντας μόνο τα δέκα ψηφία (0, 1, 2, 3,, 8, 9). Στο διπλανό παράδειγμα, βλέπουμε ότι στον αριθμό το τελευταίο ψηφίο 5 δηλώνει (απλές) μονάδες, το 9 δηλώνει δεκάδες, το 8 δηλώνει εκατοντάδες κ.λπ. Για τον λόγο αυτό ο αριθμός διαβάζεται: εβδομήντα πέντε χιλιάδες οκτακόσια ενενήντα πέντε Αξίζει να υπενθυμίσουμε ότι μπορούμε να γράφουμε: = ή ακόμα, με τη βοήθεια των δυνάμεων, ότι: = 7 $ $ $ $ Λέμε τότε ότι έχουμε το δεκαδικό ανάπτυγμα του αριθμού αυτού. γ) Για να διαβάσουμε έναν αριθμό χωρίζουμε τα ψηφία του σε τριάδες, ξεκινώντας πάντα από το τέλος του. α) Τι ονομάζουμε διάταξη των φυσικών αριθμών; β) Πώς τοποθετούμε τους φυσικούς αριθμούς πάνω σε μια ευθεία; Απαντηση α) Διάταξη των φυσικών αριθμών λέγεται το αποτέλεσμα που προκύπτει από τη σύγκριση δύο φυσικών αριθμών. Από τη σύγκριση αυτή μπορούν να προκύψουν τα εξής: Οι αριθμοί να είναι ίσοι. Οι αριθμοί να είναι άνισοι. Έστω ότι συγκρίνουμε λοιπόν τους αριθμούς α και β. Αν αυτοί είναι ίσοι, γράφουμε α = β. Αν ο α είναι μικρότερος από τον β, γράφουμε α < β. Αν ο α είναι μεγαλύτερος από τον β, γράφουμε α > β. Είναι επομένως 8 = 8, 3 < 5 και 17 > 12. Παρατηρήσεις Μια έκφραση της μορφής α > β ή α < β λέγεται ανισότητα. Μια έκφραση (σχέση) της μορφής α = β λέγεται ισότητα. 15

12 Όταν δύο ή περισσότερους αριθμούς τους έχουμε βάλει σε μια σειρά από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο (ή από τον μεγαλύτερο προς τον μικρότερο), τότε λέμε ότι τους έχουμε διατάξει κατά αύξουσα (αντίστοιχα φθίνουσα) σειρά. Για παράδειγμα, επειδή 1 < 3 < 5 < 6 < 10, λέμε ότι τους αριθμούς 1, 3, 5, 6, 10 τους έχουμε διατάξει κατά αύξουσα σειρά. Μέθοδος Από δύο φυσικούς αριθμούς, με διαφορετικό πλήθος ψηφίων, μεγαλύτερος είναι εκείνος που έχει το μεγαλύτερο πλήθος ψηφίων. Αν δύο φυσικοί αριθμοί έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων, μεγαλύτερος είναι εκείνος που έχει το μεγαλύτερο από αριστερά διαφορετικό ψηφίο της ίδιας τάξης με τον άλλο αριθμό. Για παράδειγμα είναι: < , διότι ο δεύτερος αριθμός είναι πενταψήφιος και ο πρώτος τετραψήφιος < , διότι οι αριθμοί έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων (είναι πενταψήφιοι), έχουν ίδια τα ψηφία των δεκάδων χιλιάδων (7) και χιλιάδων (8), αλλά 6 < 9, δηλαδή το ψηφίο των εκατοντάδων του πρώτου είναι μικρότερο από το ψηφίο των εκατοντάδων του δεύτερου. Τα άλλα ψηφία δεν μας απασχολούν. β) Για να τοποθετήσουμε τους φυσικούς αριθμούς σε μια ευθεία (άξονα), ακολουθούμε τα εξής βήματα: Παίρνουμε πάνω στην ευθεία, εντελώς τυχαία (αυθαίρετα), ένα σημείο 0 που το λέμε αρχή και εκεί βάζουμε τον αριθμό Ο. Δεξιά από το 0 διαλέγουμε τυχαία ένα σημείο Α και εκεί βάζουμε τον αριθμό 1. Με μονάδα μέτρησης το ΟΑ τοποθετούμε τα σημεία Β, Γ, έτσι, ώστε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ, να έχουν το ίδιο μήκος με το ΟΑ, δηλαδή 1. Τα σημεία Β, Γ, παριστάνουν τους αριθμούς 2, 3, 4, Πώς στρογγυλοποιούμε φυσικούς αριθμούς; Απαντηση Όταν έναν φυσικό αριθμό τον προσεγγίζουμε (πλησιάζουμε) με έναν άλλο, 16 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΔΙΑΤΑΞΗ ΦΥΣΙΚΩΝ, ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ

13 λίγο μικρότερο ή λίγο μεγαλύτερό του, τότε λέμε ότι κάνουμε στρογγυλοποίηση. Για να στρογγυλοποιήσουμε έναν αριθμό, πρέπει από πριν να αποφασίσουμε (ή να μας πούνε) πόσο θέλουμε να προσεγγίσουμε (στρογγυλοποιήσουμε) τον αριθμό αυτό. Για τον λόγο αυτό η στρογγυλοποίηση γίνεται με τα εξής βήματα: Προσδιορίζουμε την τάξη στην οποία θέλουμε να γίνει η στρογγυλοποίηση (για παράδειγμα δεκάδα, εκατοντάδα κ.λπ.). Εξετάζουμε το ψηφίο της αμέσως μικρότερης τάξης, δηλαδή αυτό που βρίσκεται αμέσως δεξιά. Αν αυτό είναι μικρότερο του 5, δηλαδή 0, 1, 2, 3 ή 4, τότε το ψηφίο αυτό και όλα τα ψηφία των μικρότερων τάξεων (αυτά δηλαδή που βρίσκονται προς τα δεξιά του) μηδενίζονται. Αν αυτό είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 5 (δηλαδή 5, 6, 7, 8 ή 9), τότε το ψηφίο αυτό και όλα τα ψηφία των μικρότερων τάξεων (αυτά που βρίσκονται δεξιά του) μηδενίζονται και το ψηφίο της τάξης στην οποία θα γίνει η στρογγυλοποίηση αυξάνεται κατά 1. Αν το ψηφίο της τάξης ως προς την οποία θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε είναι 9 και δεξιά του έχουμε ψηφίο μεγαλύτερο ή ίσο του 5 (δηλαδή 5, 6, 7, 8 ή 9), τότε: Μηδενίζουμε το 9 και όλα τα ψηφία που βρίσκονται προς τα δεξιά του. Αυξάνουμε κατά 1 τον αριθμό που βρίσκεται αριστερά του 9. Στον παρακάτω πίνακα βλέπουμε στρογγυλοποιήσεις του αριθμού σε δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες. Αριθμός Τάξη Αιτιολόγηση δεκάδες < Στρογγυλοποίηση εκατοντάδες χιλιάδες > 5 Το ψηφίο δεξιά του 9 είναι 5. 17

14 1.1 α) Να γραφεί το δεκαδικό ανάπτυγμα του αριθμού β) Να γραφεί ο αριθμός 2 $ $ $ στην κανονική του μορφή. α) Επειδή = , βλέπουμε ότι το 3 παριστάνει δεκάδες χιλιάδες, το 0 παριστάνει χιλιάδες, το 8 εκατοντάδες, το 7 δεκάδες και το 5 μονάδες. Άρα μπορούμε να γράψουμε: = 3 $ $ $ $ β) Βλέπουμε ότι στο δεκαδικό ανάπτυγμα λείπουν οι εκατοντάδες (100), οπότε το ψηφίο των εκατοντάδων είναι μηδέν. Επομένως: 2 $ $ $ = Χρησιμοποιώντας όλα τα ψηφία του αριθμού 547, μία φορά το καθένα, να γραφούν: α) ο μεγαλύτερος τριψήφιος φυσικός αριθμός, β) ο μικρότερος τριψήφιος φυσικός αριθμός, γ) ο μεγαλύτερος και ο μικρότερος περιττός αριθμός, δ) ο μικρότερος άρτιος αριθμός, ε) οι υπόλοιποι τριψήφιοι αριθμοί. α) Ο μεγαλύτερος τριψήφιος αριθμός που μπορούμε να γράψουμε με τα ψηφία 5, 4, 7 είναι ο 754, διότι στη θέση των εκατοντάδων θα βάλουμε το μεγαλύτερο ψηφίο που είναι το 7 και στη θέση των δεκάδων το αμέσως μικρότερο ψηφίο που είναι το 5. β) Ο μικρότερος τριψήφιος αριθμός με ψηφία 5, 4, 7 είναι ο αριθμός 457. γ) Το ψηφίο των μονάδων πρέπει να είναι 5 ή 7. Επειδή ο αριθμός είναι ο μεγαλύτερος δυνατόν, αυτός είναι ο 745. Ο μικρότερος περιττός αριθμός με ψηφία τα 5, 4, 7 είναι ο 457. δ) Ο μικρότερος άρτιος αριθμός είναι ο 574, αφού το ψηφίο των μονάδων είναι υποχρεωτικά 4. ε) Οι τριψήφιοι φυσικοί αριθμοί με διαφορετικά ψηφία, τα οποία μπορούμε να γράψουμε με τα ψηφία 5, 4, 7, είναι οι εξής: 18 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΔΙΑΤΑΞΗ ΦΥΣΙΚΩΝ, ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ

15 1ο ψηφίο το 5 1ο ψηφίο το 4 1ο ψηφίο το Επειδή τον 547 τον έχουμε ήδη, οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι: 574, 457, 475, 745, Να γραφεί ο μικρότερος τριψήφιος αριθμός, του οποίου: α) το άθροισμα των ψηφίων είναι 2, β) το άθροισμα των ψηφίων είναι 5, γ) το γινόμενο των ψηφίων είναι 8. Για να είναι ένας τριψήφιος αριθμός, όσο μικρότερος γίνεται, πρέπει τα ψηφία των εκατοντάδων και των δεκάδων να είναι όσο το δυνατόν μικρότερα. α) Αφού το άθροισμα των ψηφίων είναι 2 και επειδή 2 = , ο τριψήφιος αριθμός που ζητάμε είναι ο 101. β) Αφού το άθροισμα των ψηφίων είναι 5, ο ζητούμενος τριψήφιος αριθμός είναι ο 104. γ) Αφού το γινόμενο των ψηφίων του τριψήφιου αριθμού που ζητάμε είναι 8 και ισχύει 8 = 1 $ 1 $ 8, ο αριθμός που ζητάμε είναι ο Να στρογγυλοποιηθούν, στην τάξη που δίνεται, οι αριθμοί: α) στις δεκάδες β) στις εκατοντάδες γ) στις εκατοντάδες δ) στις χιλιάδες α) Ο φυσικός αριθμός που θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε στις δεκάδες είναι ο Το ψηφίο των δεκάδων είναι 4. Το επόμενο ψηφίο είναι 3. Επειδή 3 < 5 μηδενίζουμε το 3 και η στρογγυλοποίηση του στη δεκάδα είναι ο αριθμός β) Στον αριθμό το ψηφίο των εκατοντάδων είναι το 3 και το επόμενο ψηφίο είναι το 5. Μηδενίζουμε λοιπόν τα ψηφία 5, 6 και αυξάνουμε κατά 1 το ψηφίο 3, το κάνουμε δηλαδή 4. Άρα η στρογγυλοποίηση του στις εκατοντάδες είναι ο αριθμός γ) Στον αριθμό το ψηφίο των εκατοντάδων είναι 6 και το επόμενο ψηφίο είναι 3. Επειδή 3 < 5, μηδενίζουμε απλά τα ψηφία 3, 2 και έτσι η στρογγυλοποίηση που ζητάμε είναι ο αριθμός δ) Στον αριθμό το ψηφίο των χιλιάδων είναι το 9 και το επόμενο ψηφίο είναι το 8 > 5. Μηδενίζουμε λοιπόν τα ψηφία 843 και τον αριθμό 99 που βρίσκεται αριστερά 19

16 του 8, δηλαδή τον 99, τον αυξάνουμε κατά 1 και τον κάνουμε = 100. Άρα η στρογγυλοποίηση του αριθμού στις χιλιάδες είναι ο αριθμός Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: α) Ποια είναι τα ψηφία του δεκαδικού συστήματος; β) Ποιοι ονομάζονται φυσικοί αριθμοί; γ) Ποιοι φυσικοί αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; 1.6 Να συμπληρώσετε με λέξεις ή σύμβολα τα κενά στις παρακάτω προτάσεις. α) Στον αριθμό το ψηφίο 3 δηλώνει τις και το ψηφίο 0 τις β) Αν ένας αριθμός είναι άρτιος, τότε το τελευταίο του ψηφίο μπορεί να είναι γ) Αν ένας αριθμός είναι περιττός, τότε το τελευταίο του ψηφίο μπορεί να είναι δ) Η στρογγυλοποίηση του αριθμού στις δεκάδες είναι ο, στις εκατοντάδες ο και στις χιλιάδες ο 1.7 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. α) Ο μικρότερος φυσικός αριθμός είναι το 0. β) Όλοι οι φυσικοί αριθμοί έχουν προηγούμενο και επόμενο. γ) Υπάρχουν δύο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί που είναι άρτιοι. δ) Αν σήμερα είναι Τρίτη μετά από 10 ημέρες θα είναι Παρασκευή. ε) Ο αριθμός είναι η στρογγυλοποίηση του αριθμού στις εκατοντάδες. στ) Αν προσθέσουμε έναν άρτιο και έναν περιττό αριθμό, τότε ο αριθμός που προκύπτει θα είναι περιττός. ζ) Το πλήθος των τριψήφιων αριθμών είναι ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΔΙΑΤΑΞΗ ΦΥΣΙΚΩΝ, ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ

17 Βασικές ασκήσεις 1.8 Να γράψετε σε φυσική γλώσσα τους αριθμούς: α) 373 β) γ) δ) ε) στ) Να γράψετε με ψηφία τους αριθμούς: α) εβδομήντα τρεις χιλιάδες έξι β) πεντακόσια πενήντα εκατομμύρια τρία γ) εξακόσια εξήντα τρία εκατομμύρια πενήντα πέντε χιλιάδες ένα δ) τρεις χιλιάδες ένα ε) πέντε δισεκατομμύρια δώδεκα στ) δέκα εκατομμύρια δέκα χιλιάδες δέκα 1.10 Να συγκρίνετε τους αριθμούς: α) 245 και 254 β) 605 και 506 γ) και δ) και Να γράψετε την τάξη του υπογραμμισμένου ψηφίου στους παρακάτω αριθμούς: α) 125 β) 1657 γ) δ) ε) στ) Να βρείτε τους αριθμούς που παριστάνουν τα σημεία Α, Β, Γ και Δ στον διπλανό άξονα Να χρησιμοποιήσετε τα σύμβολα «<», «>», ώστε να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά: α) β) γ) δ) Δίνεται ο αριθμός 433. α) Να γράψετε τους δύο προηγούμενους και τους τρεις επόμενους φυσικούς αριθμούς από τον 433. β) Ποιοι από τους παραπάνω αριθμούς είναι άρτιοι και ποιοι περιττοί; 21

18 1.15 Να γράψετε: α) δύο φυσικούς αριθμούς ανάμεσα στο και στο 1.003, β) τους τρεις επόμενους φυσικούς αριθμούς από τον 678, γ) τους φυσικούς που βρίσκονται ανάμεσα στους 998 και 1.003, δ) τους τριψήφιους φυσικούς αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι από το Να γράψετε το δεκαδικό ανάπτυγμα των παρακάτω αριθμών: α) 231 β) γ) δ) Να γράψετε σε κανονική μορφή τους παρακάτω αριθμούς: α) 2 $ $ β) 4 $ $ $ $ γ) 5 $ $ $ $ δ) 125 $ ε) 35 $ $ στ) 635 $ Να σχηματίσετε τον μικρότερο και τον μεγαλύτερο τριψήφιο φυσικό αριθμό με τα παρακάτω ψηφία, χρησιμοποιώντας τα όλα από μία φορά. α) 3, 5, 2 β) 0, 6, 4 γ) 9, 6, 0 δ) 3, 5, Να γράψετε όλους τους τριψήφιους αριθμούς χρησιμοποιώντας μόνο μία φορά τα παρακάτω ψηφία: α) 1, 0 και 3 β) 1, 3 και Να βρείτε το πλήθος των φυσικών αριθμών που βρίσκονται: α) ανάμεσα στο 2 και στο 20, β) από το 3 μέχρι και το 30, γ) ανάμεσα στο 3 και στο 25 και είναι άρτιοι, δ) ανάμεσα στο 11 και στο 40 και είναι περιττοί Να υπολογίσετε το πλήθος: α) των διψήφιων αριθμών, β) των τριψήφιων αριθμών, γ) των διψήφιων αριθμών που είναι άρτιοι και μικρότεροι από το 50, δ) των τριψήφιων αριθμών που είναι περιττοί και μικρότεροι από το Να συμπληρώσετε τον επόμενο πίνακα κάνοντας στρογγυλοποίηση στο ψηφίο που ζητείται. 22 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΔΙΑΤΑΞΗ ΦΥΣΙΚΩΝ, ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ

19 Αριθμός Δεκάδα Εκατοντάδα Χιλιάδα Δεκάδες χιλιάδες 1.23 Δίνεται ο αριθμός Αν στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό αυτό στην πλησιέστερη δεκάδα προκύπτει ο αριθμός α) Να βρείτε τον αριθμό αυτό. β) Να στρογγυλοποιήσετε τον αριθμό στην πλησιέστερη εκατοντάδα Να βρείτε τον μικρότερο φυσικό αριθμό που αν τον στρογγυλοποιήσουμε στις εκατοντάδες γίνεται 100, ενώ αν τον στρογγυλοποιήσουμε πρώτα στις δεκάδες και μετά στις εκατοντάδες γίνεται

20 α) Τι ονομάζουμε πρόσθεση; β) Να γραφούν οι ιδιότητες της πρόσθεσης. Απαντηση α) Πρόσθεση ονομάζουμε την πράξη, με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς α και β, που λέγονται προσθετέοι, βρίσκουμε έναν τρίτο φυσικό αριθμό γ, που είναι το άθροισμά τους. Γράφουμε τότε ότι: α + β = γ Έτσι, στην πρόσθεση = 20, οι αριθμοί 13 και 7 λέγονται προσθετέοι, ενώ το 20 λέγεται άθροισμα των αριθμών αυτών. β) Οι σημαντικότερες ιδιότητες της πρόσθεσης είναι οι εξής: Το 0, όταν προστεθεί σε έναν φυσικό αριθμό, δεν τον μεταβάλλει. α + 0 = 0 + α Αντιμεταθετική ιδιότητα Μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά των δύο προσθετέων. α + β = β + α 24

21 Προσεταιριστική ιδιότητα Μπορούμε να αντικαθιστούμε προσθετέους με το άθροισμά τους ή να αναλύουμε έναν προσθετέο σε άθροισμα. α + (β + γ) = (α + β) + γ Σχόλια Το άθροισμα δύο φυσικών αριθμών είναι πάντα φυσικός αριθμός. Το 0 λέγεται ουδέτερο στοιχείο για την πρόσθεση. Τι ονομάζουμε αφαίρεση; Απαντηση Αφαίρεση ονομάζουμε την πράξη με την οποία όταν δίνονται δύο αριθμοί, ο μειωτέος Μ και ο αφαιρετέος Α, βρίσκουμε έναν αριθμό Δ, που τον λέμε διαφορά, και τον οποίο αν προσθέσουμε στον Α μας δίνει τον Μ. Αν Μ = Α + Δ, τότε Δ = Μ - Α Για παράδειγμα, στην αφαίρεση 15-6 = 9, ο 15 είναι ο μειωτέος, ο 6 είναι ο αφαιρετέος και το 9 είναι η διαφορά. Ισχύει μάλιστα ότι 15 = Σχόλιο Στους φυσικούς αριθμούς ο αφαιρετέος Α πρέπει να είναι μικρότερος ή ίσος από τον μειωτέο Μ. Αν Μ < Α, τότε η αφαίρεση Μ - Α δεν γίνεται. α) Τι ονομάζουμε πολλαπλασιασμό; β) Να γράψετε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού. Απαντηση α) Πολλαπλασιασμό ονομάζουμε την πράξη με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς α και β, που λέγονται παράγοντες, βρίσκουμε έναν τρίτο φυσικό αριθμό γ, που είναι το γινόμενό τους. Γράφουμε δηλαδή: α $ β = γ Έτσι, στον πολλαπλασιασμό 7 $ 9 = 63, οι αριθμοί 7 και 9 είναι οι παράγοντες και το 63 είναι το γινόμενο των αριθμών αυτών. β) Οι σημαντικότερες ιδιότητες του πολλαπλασιασμού είναι οι εξής: 25

22 Αν πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 1, τότε ο αριθμός αυτός δεν μεταβάλλεται. α $ 1 = 1 $ α = α Αντιμεταθετική ιδιότητα Μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά των παραγόντων. Προσεταιριστική ιδιότητα α $ β = β $ γ Μπορούμε να αντικαθιστούμε παράγοντες με το γινόμενό τους ή να αναλύουμε έναν παράγοντα σε γινόμενο. α $ (β $ γ) = (α $ β)γ Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση: α $ (β + γ) = α $ β + α $ γ Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρεση: α $ (β - γ) = α $ β - α $ γ 2.1 Να συμπληρωθούν τα κενά στις παρακάτω προσθέσεις: α) 7 8 β) α) Πρέπει 8 + = 15, οπότε το ψηφίο που λείπει είναι το 7. Η στήλη των μονάδων δίνει κρατούμενο το 1, οπότε πρέπει 10 + = 16. Άρα λείπει το ψηφίο 6. Εύκολα πια η πρόσθεση παίρνει τη διπλανή μορφή προσθεση, αφαιρεση φυσικων αριθμων, πολλαπλασιασμοσ φυσικων αριθμων

23 β) Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε ότι η δεύτερη πρόσθεση παίρνει τη διπλανή μορφή. Τονίζουμε ότι στην πρόσθεση αυτή το ψηφίο των εκατοντάδων στον α προσθετέο είναι το 9, διότι το άθροισμα είναι τετραψήφιος Να συμπληρωθούν τα ψηφία που λείπουν στις παρακάτω αφαιρέσεις: α) 7 2 β) α) Από τη στήλη των μονάδων παίρνουμε ότι 12 3, - = οπότε στο κουτάκι λείπει το ψηφίο 9 (12-9 = 3). Με τον ίδιο τρόπο, βρίσκουμε και τα υπόλοιπα ψηφία, οπότε η σωστή αφαίρεση είναι η διπλανή β) Σκεφτόμαστε με παρόμοιο τρόπο και βρίσκουμε τα ψηφία που λείπουν. Η ολοκληρωμένη αφαίρεση είναι η διπλανή Να υπολογιστούν με τον συντομότερο τρόπο τα γινόμενα: α) 4 $ 6 $ 15 $ 25 β) 4 $ 5 $ 16 $ 25 α) Επειδή σε ένα γινόμενο πολλών παραγόντων, όπως για παράδειγμα το 4 $ 6 $ 15 $ 25, έχουμε δικαίωμα να αλλάζουμε τη σειρά των παραγόντων, μπορούμε για ευκολία να γράψουμε: 4 $ 6 $ 15 $ 25 = (4 $ 25)(6 $ 15) = 100 $ 90 = Φυσικά, στο ίδιο αποτέλεσμα καταλήγουμε αν γράψουμε: 4 $ 6 $ 15 $ 25 = (4 $ 6)(15 $ 25) = 24 $ 375 = Βλέπουμε όμως ότι με αυτόν τον τρόπο ο υπολογισμός είναι πιο κουραστικός. β) Επειδή 4 $ 25 = 100 και 5 $ 16 = 80, είναι προτιμότερο να γράψουμε: 4 $ 5 $ 16 $ 25 = (4 $ 25)(5 $ 16) = 100 $ 80 = Φυσικά, μπορούμε να εργαστούμε και ως εξής: 4 $ 5 $ 16 $ 25 = 20 $ 16 $ 25 = (20 $ 25) $ 16 = 500 $ 16 = Βλέπουμε λοιπόν ότι όταν έχουμε γινόμενο πολλών παραγόντων, σχηματίζουμε ζευγάρια παραγόντων, τα οποία να δίνουν γινόμενο αριθμούς που είναι εύκολοι στον πολλαπλασιασμό. 27

24 Αριθμητικές παραστάσεις Υπενθυμίζουμε - Τονίζουμε Μια αριθμητική παράσταση περιέχει αριθμούς που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων. Όταν μια παράσταση περιέχει προσθέσεις, αφαιρέσεις ή πολλαπλασιασμούς, τότε: Εκτελούμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις. Εκτελούμε στη συνέχεια τους πολλαπλασιασμούς. Εκτελούμε τέλος τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις. 2.4 Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: α) 2 $ $ 7 β) $ 9 γ) 6 $ 9-3 $ 8 δ) 66-7 $ 8 α) 2 $ $ 7 = = 50 β) $ 9 = = 90 γ) 6 $ 9-3 $ 8 = = 30 δ) 66-7 $ 8 = = Να υπολογιστούν οι αριθμητικές παραστάσεις: α) Α = 7(10-2 $ 3) - 3(9-2 $ 3) - 3(7-2 $ 3) β) Β = 2 $ 3(30-4 $ 7) - 2(13-3 $ 4) - 2(3-1 $ 2) α) Α = 7(10-2 $ 3) - 3(9-2 $ 3) - 3(7-2 $ 3) = = 7(10-6) - 3(9-6) - 3(7-6) = = 7 $ 4-3 $ 3-3 $ 1 = = 19-3 = 16 β) Β = 2 $ 3(30-4 $ 7) - 2(13-3 $ 4) - 2(3-1 $ 2) = = 6(30-28) - 2(13-12) - 2(3-2) = = 6 $ 2-2 $ 1-2 $ 1 = = 10-2 = 8 Η επιμεριστική ιδιότητα και η σπουδαιότητά της Α. Σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα είναι: α(β + γ) = α $ β + α $ γ α(β - γ) = α $ β - α $ γ α(β + γ + δ) = α $ β + α $ γ + α $ δ 28 προσθεση, αφαιρεση φυσικων αριθμων, πολλαπλασιασμοσ φυσικων αριθμων

25 Β. Συχνά, την επιμεριστική ιδιότητα τη χρησιμοποιούμε και κατά την αντίστροφη πορεία: α $ β + α $ γ = α(β + γ) α $ β - α $ γ = α(β - γ) α $ β + α $ γ + α $ δ = α(β + γ + δ) Γ. Με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας μπορούμε να κάνουμε πιο γρήγορα πράξεις. Για παράδειγμα: 3 $ $ 23 = 3( ) = 3 $ 40 = $ 29-7 $ 19 = 7(29-19) = 7 $ 10 = Να υπολογιστούν, με τον πιο απλό τρόπο οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις: α) 15 $ $ 11 β) 17 $ $ 21 γ) 26 $ $ 11 δ) 12 $ $ 12 α) Θα χρησιμοποιήσουμε την επιμεριστική ιδιότητα α(β + γ) = αβ + αγ και μάλιστα από την αντίθετη κατεύθυνση, δηλαδή ότι αβ + αγ = α(β + γ). Επομένως έχουμε: 15 $ $ 11 = 15(9 + 11) = 15 $ 20 = 300 β) Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε: 17 $ $ 21 = 21( ) = 21 $ 30 = 630 γ) Επειδή ισχύει και η επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρεση έχουμε α(β - γ) = αβ - αγ. Επειδή λοιπόν αβ - αγ = α(β - γ), παίρνουμε: 26 $ $ 11 = 11(26-16) = 11 $ 10 = 110 δ) Όπως και στο ερώτημα (γ) έχουμε: 12 $ $ 12 = 12(42-22) = 12 $ 20 = Να υπολογιστούν με γρήγορο τρόπο οι παραστάσεις: α) Α = 13 $ $ $ $ 11 β) Β = 27 $ $ 38-7 $ $ 17 Θα χρησιμοποιήσουμε την επιμεριστική ιδιότητα. Είναι: α) Α = 13 $ $ $ $ 11 = = (13 $ $ 17) + (11 $ $ 11) = = 19( ) + 11( ) = 19 $ $ 30 = = 30( ) = 30 $ 30 =

26 β) Β = 27 $ $ 38-7 $ $ 17 = = (27 $ 23-7 $ 23) + (17 $ $ 17) = = 23(27-7) + 17(38-18) = 23 $ $ 20 = = 20( ) = 20 $ 40 = Αν α + β = 2.011, να βρεθεί η τιμή των παραστάσεων: α) Α = (2α + β) + (α + 2β) β) Β = (3α - β) + (3β - α) α) Η σειρά των παρενθέσεων δεν παίζει κανένα ρόλο στην πρόσθεση. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε: Α = (2α + β) + (α + 2β) = 2α + β + α + 2β = (2α + 2β) + (α + β) = = 2(α + β) = 2 $ = = διότι σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα μπορούμε να γράψουμε: 2α + 2β = 2(α + β) = 2 $ = β) Είναι: Β = (3α - β) + (3β - α) = 3α - β + 3β - α = (3α + 3β) - α - β = = 3(α + β) - (α + β) = 3 $ = = διότι σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα μπορούμε να γράψουμε: 3α + 3β = 3(α + β) = 3 $ = Μαθηματικές προκλήσεις 2.9 Η γιαγιά φώναζε στη μικρή εγγονούλα της Άννα, μαμ, θέλοντας να την κάνει να φάει. Ο μεγάλος της όμως εγγονός, από τη φράση αυτή, επινόησε τη διπλανή πρόσθεση. Τα γράμματα παριστάνουν ψηφία και διαφορετικά γράμματα παριστάνουν διαφορετικά ψηφία. Ποιο ψηφίο παριστάνει το κάθε γράμμα; A N + N A M A M Και η στήλη των μονάδων και η στήλη των δεκάδων έχει τα ίδια ψηφία. Έχουμε λοιπόν και στις δύο στήλες το ίδιο άθροισμα ψηφίων Ν + Α στις μονάδες και Α + Ν στις δεκάδες. Επειδή όμως η στήλη των δεκάδων δίνει: Α + Ν = Α ή Α + Ν = 10 + Α ενώ η στήλη των μονάδων δίνει: Ν + Α = Μ ή Ν + Α = 10 + Μ είμαστε σίγουροι ότι η πρόσθεση Ν + Α στη στήλη των μονάδων θα δώσει κρατούμενο. 30 προσθεση, αφαιρεση φυσικων αριθμων, πολλαπλασιασμοσ φυσικων αριθμων

27 Στο άθροισμα ΜΑΜ το Μ των εκατοντάδων είναι 1, διότι το άθροισμα στη στήλη των δεκάδων, μαζί με ενδεχόμενο κρατούμενο, δεν μπορεί να ξεπεράσει το 19. Άρα Μ = 1 και έτσι η πρόσθεση γίνεται όπως δείχνει το διπλανό σχήμα. Η στήλη λοιπόν των μονάδων δίνει ότι Ν + Α = 11, με κρατούμενο δηλαδή 1, και έτσι η στήλη των δεκάδων θα δώσει: ABBB + N C + 1 = = 12 Άρα Α = 2 και αφού Ν + Α = 11, θα είναι Ν = 9. Η σωστή πρόσθεση φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα. A N + N A 1 A Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις: α) Α = ( ) - ( ) β) Β = ( ) - ( ) α) Μπορούμε να εργαστούμε ως εξής: Α = ( ) - ( ) = 12-9 = 3 Άλλος τρόπος Αντί να αφαιρέσουμε το άθροισμα , μπορούμε να αφαιρέσουμε τον κάθε προσθετέο χωριστά. Έτσι: Α = (2-1) + (4-3) + (6-5) = = 3 β) Β = ( ) - ( ) = = (2-1) + (4-3) + (6-5) + (8-7) + + ( ) = = f + 1 = roi 2.11 Να υπολογιστεί η αριθμητική παράσταση: Α = Βλέπουμε καταρχήν ότι η παράσταση έχει όρους, όσοι είναι δηλαδή και οι αριθμοί 1.000, 999, 998,, 4, 3, 2, 1. Για να υπολογίσουμε την παράσταση Α με τις λιγότερες δυνατές πράξεις, προτιμάμε να χωρίσουμε σε ομάδες όλες τις αφαιρέσεις: Α = = = ( ) + ( ) + ( ) + + (4-3) + (2-1) = = f = 500 $ 1 = roi Τονίζουμε ότι αφού στην παράσταση Α έχουμε όρους και τους χωρίσαμε σε ζεύγη, θα έχουμε 1000 : 2 = 500 ζευγαράκια. Άρα το πλήθος των μονάδων που θα πάρουμε από τις αφαιρέσεις είναι

28 2.12 Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: α) Τι λέμε πρόσθεση, τι αφαίρεση και τι πολλαπλασιασμό; β) Να γράψετε τις ιδιότητες της πρόσθεσης. γ) Να γράψετε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού. δ) Πώς λέγεται η ιδιότητα α(β + γ) = αβ + αγ και πώς η ιδιότητα α(β - γ) = = αβ - αγ; ε) Πότε γίνεται η αφαίρεση α - β; στ) Στην πράξη αβ = γ ποιοι είναι οι παράγοντες και ποιο είναι το γινόμενο; ζ) Ποιος αριθμός δεν μεταβάλλει την πρόσθεση και ποιος τον πολλαπλασιασμό; 2.13 Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις. α) Πρόσθεση είναι η πράξη, με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς α και β, που λέγονται, βρίσκουμε έναν τρίτο φυσικό αριθμό γ, που είναι το τους και γράφουμε β) Σύμφωνα με την αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης για τους αριθμούς α και β μπορούμε να γράψουμε γ) Σύμφωνα με την προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης για τους αριθμούς α, β, γ μπορούμε να γράψουμε δ) Αφαίρεση είναι η πράξη με την οποία όταν δίνονται δύο αριθμοί Μ (μειωτέος) και Α (αφαιρετέος), βρίσκουμε έναν αριθμό Δ που λέγεται, ο οποίος αν στον δίνει τον ε) Αν Μ - Α = Δ, τότε Μ = στ) Στους φυσικούς αριθμούς ο πρέπει να είναι πάντα μικρότερος ή ίσος από τον, διότι διαφορετικά η αφαίρεση δεν είναι δυνατόν να εκτελεστεί. ζ) Πολλαπλασιασμός είναι η πράξη με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς α και β, που λέγονται, βρίσκουμε έναν τρίτο αριθμό γ, που λέγεται των α και β και γράφουμε η) Στον πολλαπλασιασμό ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες: Αντιμεταθετική: 32 προσθεση, αφαιρεση φυσικων αριθμων, πολλαπλασιασμοσ φυσικων αριθμων