ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Transcript

1 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς χαρακτηρίζεται ως :. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο - το"τε ο αριθμο"ς χαρακτηρίζεται ως :... Τα συ"μβολα + και - λε"γονται : 2. Το μηδέν (0)....ούτε θετικός ούτε αρνητικός αριθμός. 3. Ομόσημοι λέγονται οι αριθμοί.. 4. Ετερόσημοι λέγονται οι αριθμοί :. 5. Όλοι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς λέγονται. 6. Ρητοί λέγονται Παράσταση των ρητών αριθμών με σημεία μιας ευθείας ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 1

3 8. Η Απόλυτη τιμή ενός ρητού αριθμού α 9. Αντίθετοι λέγονται δύο ρητοί αριθμοί.. αντίθετος του αριθμού x είναι ο αριθμός : 10. Εύρεση της απόλυτης τιμής: Η απόλυτη τιμή ενός θετικού αριθμού είναι.. Η απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού είναι Η απόλυτη τιμή του μηδέν είναι. 11. Μεγαλύτερος από δύο ρητούς αριθμούς είναι εκείνος που βρίσκεται.. από τον άλλο πάνω στον άξονα. Κάθε θετικός αριθμός είναι...από κάθε αρνητικό αριθμό. Το μηδέν είναι..από κάθε θετικό αριθμό και.. από κάθε αρνητικό αριθμό. Ο μεγαλύτερος από δύο θετικούς ρητούς είναι εκείνος που έχει τη απόλυτη τιμή, δηλαδή αυτός που βρίσκεται..από τον άλλο πάνω στον άξονα. Ο μεγαλύτερος από δύο αρνητικούς ρητούς είναι εκείνος που έχει τη απόλυτη τιμή, δηλαδή αυτός που βρίσκεται..από τον άλλο πάνω στον άξονα. 12. Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους ρητούς αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμα βάζουμε το πρόσημό τους. Δηλαδή είναι : ( + ) + ( + ) =... και : ( ) + ( ) =... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 2

4 13. Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους ρητούς αριθμούς, αφαιρούμε από τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή τη μικρότερη απόλυτη τιμή και στη διαφορά βάζουμε το πρόσημο του ρητού με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή 14. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ :.... ΠΡΟΣΕΤΑΙΡΙΣΤΙΚΗ :.... ΟΥΔΕΤΕΡΟΣ ΡΗΤΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΘΕΣΗ: Το άθροισμα δύο αντίθετων ρητών αριθμών είναι ίσο με :. Είναι δηλαδή :. 15. Για να κάνουμε την αφαίρεση α β προσθέτουμε στον α τον αντίθετο του β. Είναι δηλαδή : α β = α+ ( β) 16. ΑΠΑΛΟΙΦΗ ΠΑΡΕΝΘΕΣΕΩΝ Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το (+) (ή δεν έχει κανένα πρόσημο), τότε μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το (+) και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με τα πρόσημά τους. Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το (-), τότε μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το (-) και να γράψουμε τους όρους που περιέχει με αντίθετα πρόσημά. 17. Στον πολλαπλασιασμό ρητών ισχύουν: Το γινόμενο δύο θετικών ρητών είναι.ρητός. Δηλαδή είναι : ( + ) ( + ) =... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 3

5 Το γινόμενο ενός θετικού ρητού και ενός αρνητικού ρητού είναι.ρητός. Δηλαδή είναι : ή + =... + =... Το γινόμενο δύο αρνητικών ρητών είναι.ρητός. Δηλαδή είναι : ( ) ( ) = Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ομόσημους ρητούς αριθμούς 19. Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ετερόσημους ρητούς αριθμούς. 20. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ :.... ΠΡΟΣΕΤΑΙΡΙΣΤΙΚΗ :.... ΟΥΔΕΤΕΡΟΣ ΡΗΤΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΣΤΟΝ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟ :.. ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ Ως προς την πρόσθεση : Ως προς την αφαίρεση : Οι ρητοί αριθμοί α και β λέγονται αντίστροφοι όταν ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 4

6 Ο αντίστροφος του ρητού αριθμού 1 είναι το.. Ο αντίστροφος του ρητού αριθμού -1 είναι το.. Οι μόνοι ρητοί αριθμοί με αντίστροφο τον εαυτό τους είναι Όταν ένας ρητός πολλαπλασιάζεται με το μηδέν.. Είναι δηλαδή α 0= 0 α = Αν σε ένα γινόμενο πολλών παραγόντων τουλάχιστον ένας παράγοντας είναι μηδέν, τότε το γινόμενο είναι ίσο με Για να υπολογίσουμε ένα γινόμενο πολλών παραγόντων στο οποίο κανένας παράγοντας δεν είναι μηδέν, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο βάζουμε: Το πρόσημο (+), αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι. Το πρόσημο (-), αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι Για να διαιρέσουμε δύο ρητούς αριθμούς διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους και στο πηλίκο βάζουμε: Το πρόσημο (+), αν είναι. Είναι δηλαδή + =... και =... + Το πρόσημο (-), αν είναι.. Είναι δηλαδή + =... και = Το πηλίκο της διαίρεσης : ή α α β β ως η μοναδική λύση της εξίσωσης β x= α. λέγεται και λόγος του α προς το β και ορίζεται 25. Η διαίρεση α β μπορεί να γραφεί και 1 α. Επομένως για να διαιρέσουμε δύο ρητούς β αριθμούς, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 5

7 διαίρεση με διαιρέτη το μηδέν δεν ορίζεται!!! (δηλαδή απαγορεύεται στον παρονομαστή ενός κλάσματος να εμφανιστεί το μηδέν) 26. Περιοδικοί αριθμοί λέγονται οι ρητοί αριθμοί που έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία, τα οποία επαναλαμβάνονται επ' άπειρον. Δηλαδή σε ένα περιοδικό δεκαδικό αριθμό, ένα ή περισσότερα δεκαδικά ψηφία του επαναλαμβάνονται. 27. Το πλήθος των επαναλαμβανόμενων δεκαδικών ψηφίων κάθε περιοδικού αριθμού λέγεται :.. Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να έχει τη μορφή δεκαδικού ή περιοδικού δεκαδικού αριθμού Κάθε περιοδικός δεκαδικός αριθμός μπορεί να πάρει τη μορφή κλασματικού ρητού! 28. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 6

8 29. Ιδιότητες δυνάμεων ρητών με εκθέτη φυσικό. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 7

9 30. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο αριθμό. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 8

10 31. Τυποποιημένη μορφή μεγάλων και μικρών αριθμών. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1. 0,005 = ,0004 = , = , = , = = = =... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 9

11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Τα σημεία Α και Β έχουν τετμημένες αντίστοιχα α και β. Να βρεθεί η τετμημένη του μέσου Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, αν είναι: α =+ 3 και β = α =+ 9 και β =+ 4 α = 2 και β = 10.. α = 9 και β = 4.. α = 3 και β =+ 9.. α =+ 3 και β = Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί x για τους οποίους ισχύει : 3 x Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί x για τους οποίους ισχύει : 4 x< 3 4. Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί x για τους οποίους ισχύει : 7< x Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί x για τους οποίους ισχύει : 5< x< Αν δύο αντίθετοι αριθμοί έχουν απόσταση στον άξονα ίση με 12 ποιοι είναι ο αριθμοί;. 7. Αν δύο αντίθετοι αριθμοί έχουν απόσταση στον άξονα ίση με 9 ποιοι είναι ο αριθμοί;. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 10

12 8. Να υπολογιστούν τα αθροίσματα: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α= ( 5) + ( + 7) + ( 11) + ( 13) + ( + 8) + ( + 9 ) =... = Β= ( 9) + ( 5) + ( + 11) + ( 12) + ( 3) + ( + 10 ) =... = Γ= = =. = 9. Να γίνουν οι πράξεις: Α= ( 5) ( + 7) + ( 11) ( 13) + ( + 8) ( + 9 ) =... = Β= ( 9) + ( 5) ( + 11) ( 12) + ( 3) + ( + 10 ) =... = Γ= = =. = ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 11

13 = = = Να γίνουν οι πράξεις: 1 Α= =... 2 Β= ( 1)( 2)( 3)( 4) + ( 1)( 2)( 3) ( + 3)( + 4 ) = Γ= = = + = Να γίνουν οι πράξεις στις παρακάτω παραστάσεις: ( α ) ( α ) Α= =... ( α ) ( β ) Β= =... ( α ) ( β ) Γ= 7 2 = Αν είναι 1 2 x= 2, y=, w= να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων: 2 3 Α= x y w=... Β= x y+ w=... Α+ 1 Γ= = =... Β Α Β = = Β Α ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 12

14 13. Συμπλήρωσε τα κενά στο παρακάτω σχήμα αν γνωρίζεις ότι: 14. Συμπλήρωσε τα κενά στο παρακάτω σχήμα αν γνωρίζεις ότι: 15. Συμπλήρωσε τα κενά στο παρακάτω σχήμα αν γνωρίζεις ότι: 16. Συμπλήρωσε τα κενά στο παρακάτω σχήμα αν γνωρίζεις ότι: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 13

15 17. Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων: Α= α 4 α+ 4 α 1 α+ 1, αν είναι α = 2.. Β= β 2β 5 β 1 β+ 1, αν είναι β = 2. 1 Γ= 3α 4 6α 5 α 1 α+ 1, αν είναι Γ= Να βρεθεί η δεκαδική μορφή των ρητών: (α) 7 3 (β) (γ) 5 6 (δ) 14 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 14

16 19. Να βρεθεί η κλασματική μορφή των αριθμών : (α) 1,8 (β) 1, 231 (γ) 3,14 ΛΥΣΗ Θ έτουµε x= 3,14 και έχουμε διαδοχικά: (δ) 2,5123 ΛΥΣΗ x= 3, x= 314, x x= 311 Άρα 99x= 311 άρα Θ έτουµε x= 2,5123 και έχουμε διαδοχικά: x= x= 2, x= 25, x= 25123, x 10x= Άρα 9990x= άρα x= ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 15

17 20. Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων: Α= = Β= = Γ= = = = Ε= = = Ζ= = = Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων: Α= = Β= = Γ= = = = Η= = Ε= + = Ζ= = = ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 16

18 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Α/Α ΠΡΟΤΑΣΗ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1. Το μηδέν (0) δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός αριθμός. 2. Ομόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο. 3. Κάθε φυσικός αριθμός είναι και ακέραιος. 4. Ένας ακέραιος αριθμός είναι και ρητός. 5. Αντίθετοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν την ίδια απόλυτη τιμή. 6. Η απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού είναι ο αντίθετός του. 7. Η απόλυτη τιμή του μηδέν είναι ίση με μηδέν. 8. Μικρότερος ανάμεσα σε δύο θετικούς ρητούς είναι εκείνος που βρίσκεται δεξιότερα από τον άλλον πάνω στον άξονα. 9. Μικρότερος ανάμεσα σε δύο αρνητικούς ρητούς είναι εκείνος που βρίσκεται πιο αριστερά από τον άλλον πάνω στον άξονα. 10. Μικρότερος ανάμεσα σε δύο αρνητικούς ρητούς είναι εκείνος που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. 11. Αν είναι α = 3 τότε αναγκαστικά α = Δύο ακέραιοι με αντίθετο πρόσημο είναι αντίθετοι. 13. Το άθροισμα δύο θετικών ρητών αριθμών είναι πάντα θετικός ρητός αριθμός. 14. Το άθροισμα δύο αρνητικών ρητών αριθμών είναι πάντα αρνητικός ρητός αριθμός. 15. Το άθροισμα δύο ετερόσημων ρητών αριθμών είναι πάντα αρνητικός ρητός αριθμός. 16. Αν το άθροισμα δύο ετερόσημων ρητών αριθμών είναι μηδέν τότε αυτοί είναι αναγκαστικά αντίθετοι. 17. Η διαφορά δύο θετικών ρητών αριθμών είναι πάντα θετικός ρητός αριθμός. 18. Η διαφορά δύο αρνητικών ρητών αριθμών είναι πάντα αρνητικός ρητός αριθμός. 19. Το μηδέν είναι ουδέτερο στοιχείο στην πρόσθεση ρητών αριθμών. 20. Στους ρητούς αριθμούς η πρόσθεση σημαίνει πάντα αύξηση. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 17

19 21. Αν το άθροισμα δύο ρητών αριθμών είναι αρνητικός τότε οι δύο ρητοί είναι αναγκαστικά αρνητικοί. 22. Αν το άθροισμα δύο ρητών αριθμών είναι θετικός τότε οι δύο ρητοί είναι αναγκαστικά θετικοί. 23. Αν είναι α+ β = 0 όπου α, β 0 τότε οι ρητοί αριθμοί α και β είναι αναγκαστικά αντίθετοι. 24 Στην αφαίρεση ρητών αριθμών ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, είναι δηλαδή α β = β α 25. Στους ρητούς αριθμούς η αφαίρεση σημαίνει πάντα ελάττωση. 26. Αν η διαφορά δύο ρητών αριθμών είναι αρνητικός τότε αναγκαστικά οι ρητοί είναι και οι δύο αρνητικοί. 27. Το γινόμενο δύο ετερόσημων είναι πάντα αρνητικός. 28. Το γινόμενο δύο ομόσημων είναι πάντα θετικός. 29. Αν το γινόμενο δύο ρητών είναι ίσο με το μηδέν τότε τουλάχιστον ένας από αυτούς είναι το μηδέν. 30. Το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο στην πράξη του πολλαπλασιασμού των ρητών αριθμών. 31. Ο μοναδικός ρητός αριθμός που έχει αντίστροφο τον εαυτό του είναι το Αν το γινόμενο πολλών παραγόντων είναι (-) τότε το πλήθος τους είναι αναγκαστικά περιττό. 33. Αν το γινόμενο πολλών παραγόντων είναι (+) τότε το πλήθος των αρνητικών ρητών είναι αναγκαστικά άρτιο. 34. Αν για δύο ρητούς αριθμούς α και β είναι α β = 1 τότε αυτοί είναι αντίστροφοι. 35. Οι αντίστροφοι ρητοί αριθμοί είναι πάντα ομόσημοι. 36. Το πηλίκο δύο ετερόσημων ρητών αριθμών είναι αρνητικός. 37. Το πηλίκο δύο αρνητικών ρητών αριθμών είναι αρνητικός ρητός. 38. Οι περιοδικοί αριθμοί δεν είναι ρητοί γιατί έχουν άπειρο πλήθος δεκαδικών ψηφίων. 39. Κάθε περιοδικός δεκαδικός αριθμός μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος. 40. Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος. 41. Μια δύναμη με βάση αρνητικό ρητό αριθμό είναι πάντα αρνητικός αριθμός. 42 Μια δύναμη με βάση θετικό ρητό αριθμό είναι πάντα θετικός αριθμός. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 18

20 43. Το γινόμενο δύο δυνάμεων με ίδια βάση είναι ίσο με την δύναμη που έχει την ίδια βάση και εκθέτη το γινόμενο των εκθετών. 44. για να υψώσουμε ένα γινόμενο σε έναν εκθέτη υψώνουμε κάθε όρο του γινομένου στον εκθέτη αυτό. 45. Για να υψώσουμε μια δύναμη σε έναν εκθέτη, υψώνουμε τη βάση της δύναμης στο άθροισμα των εκθετών. 46. Η δύναμη κάθε αριθμού διάφορου του μηδέν, με εκθέτη το μηδέν είναι ίση με τη μονάδα. 47. ν 1 Ισχύει πάντα ότι : α = όπου α 0 ν α 48. ν ν α β Ισχύει πάντα ότι : =, όπου α 0 και β 0 ν β α 49. Αν είναι ν 1 = 1τότε αναγκαστικά ν περιττός. 50. Ο αριθμός 21, είναι γραμμένος σε τυποποιημένη μορφή. 51. Ο αριθμός 6 0,25 10 είναι γραμμένος σε τυποποιημένη μορφή. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 19