ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗ Φεβρουάριος 2015 (λυσεις)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗ Φεβρουάριος 2015 (λυσεις)"

ÉΘεοκλής Πρωτονοτάριος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗ Φεβρουάριος 2015 (λυσεις) 1) Ενα ρευστό μηδενικής πίεσης κινείται σε βαρυτικό δυναμικό Φ. Να προσδιορισθούν οι συνιστώσες εξισώσεις της κίνησης του ρευστού, ως προς ένα σύστημα κυλινδρικών συντεταγμένων {r,ϑ,z}.ανηακτινικήσυνιστώσατηςταχύτηταςτουρευστού(v r )καιηγωνιακήτουταχύτητα (Ω) είναι σταθερές, να αποδείξετε ότι υπάρχει το παρακάτω ολοκλήρωμα 2v r Ωϑ+H = C, όπου H = dφ/rκαι C = C(r,z). Δίνονταιοισχέσειςμετασχηματισμού: e r = cosϑ e x + sinϑ e y,και e ϑ = sinϑ e x +cosϑ e y. Λύση: Ηεξίσωση Eulerέχειτημορφή d v/dt = Φ,όπου v = d r/dtκαι r = r e r + z e z. Με χρήση των σχέσεων μετασχηματισμού βρίσκουμε v = dr dt e r +r dϑ dt e ϑ + dz dt e z. Παραγωγίζονταςεκνέουτηπαραπάνωκαιγνωρίζονταςότι = e r / r+ e ϑ /r ϑ+ e z / z, καταλήγουμε στις συνιστώσες εξισώσεις ( ) d 2 2 r dϑ dt r = Φ 2 dt r, r d2 ϑ dr dϑ +2 = 1 Φ dt2 dt dt r ϑ, d 2 z = Φ dt 2 z. Τέλος,μεδεδομένοότι v r = dr/dt = σταθ. και Ω = dϑ/dt = σταθ.,ηολοκλήρωσητης2ης από τις συνιστώσες εξισώσεις οδηγεί στη ζητούμενη σχέση. 2)Θεωρήστεέναμεσοαστρικόνέφοςμοριακούυδρογόνου (H 2 )μεμάζα 10 4 M,αριθμητική πυκνότητα n H = / 3 καιθερμοκρασία T = 200K.Στοκέντροτουυπάρχειπυκνός πυρήναςμεμάζα 5M καιθερμοκρασία T = 10K.Υποθέτουμεότιτοαέριοστοπυρήναείναι ομογενές και ο πυρήνας έχει σφαιρική συμμετρία. Η πίεση του αερίου στο πυρήνα είναι αρχικά ίση με τη πίεση στο εξωτερικό νέφος(πρεσσυρε εχυιλιβριυμ). (α) Θα καταρρεύσει ο πυρήνας βαρυτικά(ημέσημάζατουδρογόνουείναι µ = 2);Ποιαείναιηελάχιστημάζαπουπρέπεινα έχει ο πυρήνας, αν υποθέσουμε ότι έχει την αρχική του πυκνότητα, για να καταρρεύσει;(γ) Υπολογίστε προσεγγιστικά το χρόνο που θα διαρκέσει η κατάρρευση του πυρήνα. Λύση:(α) Από τη συνθήκη ίσης πίεσης μεταξύ του μεσοαστρικού νέφους και του πυρήνα P 1 = P 2 n 1 T 1 = n 2 T 2 (1) n 2 = (T 1 /T 2 )n 1 = (2)

2 καιηπυκνότηταμάζαςθαείναι ρ = 2 H n = kg 3 γιατο H 2.Μεβάσηταπαραπάνωυπολογίζωτηνακτίνατου R = [ ] 1/3 3M = = 0.062pc (3) (4πρ) Η ολική θερμική ενέργεια του πυρήνα θα είναι και η δυναμική του ενέργεια οπότε ο πυρήνας θα καταρρεύσει εύκολα. (β)ησυνθήκηγιατηνκατάρρευσηθαείναι U th = MkT/(2 H ) = J U grav = GM2 R = J U th GM 2 R > MkT 2 H αλλάεπειδήηπυκνότηταπαραμένειηαρχικήηακτίναθαδίδεταιαπότηνεξίσωση 3άρα M 2/3 > [3/(4πρ)] 1/3 [kt/(2 H G)] M > [3/(4πρ)] 1/2 [kt/(2 H G)] 3/2 M threshold > kg = 0.21M. (γ) Ο χρόνος ελεύθερης πτώσης θα είναι t ff R 3 GM threshold για R = και M threshold = kgr. 3)Υποθέτουμε ότι ένα μικρό σε διαστάσεις(r) και μάζα() αστρικό αντικείμενο(με σφαιρική συμμετρία και ομογενή πυκνότητα) πλησιάζει ακτινικά από μακρυά(d >> r) ένα ισχυρό βαρυτικό σώμα(παράδειγμα ένας πλανήτης πλησιάζει έναν αστέρα ή ένας αστέρας πλησιάζει μια μαύρη τρύπα). (α) Σε ποια απόσταση μπορεί να φτάσει το μικρό σώμα στο ισχυρό βαρυτικό πεδίο πριν διαλυθεί από τις παλιρροιογώνες δυνάμεις (tidalf orces);(β) Με βάση το παραπάνω συμπέρασμα υπολογίστε σε ποια απόσταση μπορούν να φτάσουν οι πλανήτες του Ηλιακού μας 2

3 συστήματος τον Ηλιο πριν διαλυθούν; Τι θα συμβεί αν ο Ηλιος είχε 100 φορές μικρότερη ακτίνα αλλά την ίδια μάζα(όταν ο Ηλιος μετατραπεί σε λευκό νάνο);(σημείωση: οι εσωτερικοί μικροίπλανήτες(γήινοι)έχουνπυκνότητα 5g/c 3 καιοιεξωτερικοίγίγαντες(αέρινοιπλανήτες) 1gr/c 3.) Λύση: (α) Η δύναμη που ασκείται στα δύο διαμετρικά σημεία του μικρού σώματος με ακτίνα r(βλέπεσχήμα1)καιαπόσταση Dτουκοντινότερουσημείουτουαπότοισχυρόβαρυτικό κέντρομάζας M 3

4 θα είναι καιστοσημείο2, F 1 = GM(/2) D 2 F 2 = GM(/2) (D +r) 2 θεωρώνταςότιστασημεία1και2βρίσκονταιοιμάζες (/2). Ηδύναμημεταξύτωνμαζών /2θαείναι F 1,2 = G(/2)2 r 2 γιαναδιαλυθείτομικρόαντικείμενοθαπρέπειημεταξύτουςδύναμηναείναιμικρότερηαπό τις παλιρροϊκές δυνάμεις F 1 F 2 F 1,2 [ ] 1 GM(/2) D 1 = G(/2)2 2 (D+r) 2 r 2 [ ] 2M (r +2D)r = D2 (D +r) 2 r 2 αν D r r+2d 2Dκαι (D +r) 2 D 2 2M [ ] 2Dr D2 D 2 r 2 και τελικά καταλήγουμε στη σχέση D r [ ] 1/3 4M (β)αν [ ] 1/3 4M D r R από τη σχέση αυτή καταλήγουμε σε μία συνθήκη για την πυκνότητα του πλανήτη r 34M [ ][ ] 4πr 3 = 3M = 3M 3 π ρπ > R3 ρ < 3M πr 3 = 5.6g/c 3. Οιπλανήτεςχωρίζονταισεδύοομάδες: Οι γήινοι πλανήτεςέχουνπυκνότητα 5g/c 3 και οιεξωτερικοίπλανήτεςαποτελούνταιαπόαέριοκαιέχουνπυκνότητα p 19r/c 3.Συμπεραίνουμε ότι μόνο οι εξωτερικοί πλανήτες μπορούν να διαλυθούν από τις παλιρροιογώνες δυνάμεις. 4

5 Τιθασυμβείανθασυμβείανέχουμεέναλευκόνάνομεμάζαίσημετημάζατου Ηλιου; Υπολογίζομαιτο ρ = 25.6g/c 3 πουσημαίνειότιόλοιοιπλανήτεςθαδιαλυθούνπριν φτάσουν κοντά στο λευκό νάνο. 4)Ηπίεσηηλεκτρονίωνμεαριθμητικήπυκνότητα n e,σχετικήταχύτητα v x καιορμή p x είναι P e = n e v x p x. Νααποδειχθείότιη ελάχιστη πίεσητωνεκφυλισμένωνηλεκτρονίωνενός ΛευκούΝάνουείναι P e hv x ne 4/3,όπου hείναιησταθερά Planck.Ναπροσδιορίσετετημορφή της τελευταίας σχέσης στη περιπτώση μη-σχετικιστικών και σχετικιστικών ηλεκτρονίων. Ποια είναι η αριθμητική πυκνότητα των ηλεκτρονίων τη στιγμή της μετάβασης από τη μη-σχετικιστική στη σχετικιστική φάση; Λύση:Στηπερίπτωσηεκφυλισμένωνηλεκτρονίων p x h/ x,όπου x n 1/3 e.επομένως P e hv x ne 4/3 κατ ελάχιστο. Στημη-σχετικιστικήφάση v x = p x / e,όποτε P e h 2 n 5/3 e / e. Στοσχετικιστικόόριο v x = cκαι P e hcn 4/3 e. Τηστιγμήτηςμετάβασηςαπότημίαφάση στηνάλληοιδύοπιέσειςείναιπερίπουίσες,πουσημαίνειότι n e (c e /h) 3. 5

Σχετικά έγγραφα

Εισαγωγή στην αστρονοµία Αστρικά πτώµατα (Λευκοί Νάνοι, αστέρες νε. µαύρες τρύπες) Η ϕυσική σε ακρέες καταστάσεις

τρονίων, µαύρες τρύπες) Η φυσική σε ακρέες καταστάσεις Εισαγωγή στην αστρονοµία Αστρικά πτώµατα (Λευκοί Νάνοι, αστέρες νετρονίων, µαύρες τρύπες) Η ϕυσική σε ακρέες καταστάσεις Λουκάς Βλάχος Τµήµα Φυσικής,