2. Ο οφθαλμός ως οπτικό σύστημα

Transcript

1 2. Ο οφθαλμός ως οπτικό σύστημα 2 Απριλίου 20 Η δομή του οφθαλμού Ιδωμένος ως ένα οπτικό όργανο, ο ανθρώπινος οφθαλμός επιτελεί την ακόλουθη λειτουργία. Δέχεται εισερχόμενες ακτίνες φωτός από απομακρυσμένα αντικείμενα και σχηματίζει είδωλα πάνω στον αμφιβληστροειδή, τα οποία πλέον μπορεί να επεξεργαστεί ως σήματα το νευρικό σύστημα. Δεδομένου ότι τα αντικείμενα βρίσκονται σε μεταβλητή απόσταση από τον οφθαλμό, ενώ το σημείο του ειδώλου παραμένει το ίδιο, για να επιτελείται καλά η λειτουργία του οφθαλμού πρέπει να μπορεί να μεταβάλλεται η εστιακή του απόσταση. Υπό αυτήν την έννοια, ο οφθαλμός λειτουργεί ως ένα σύστημα φακών με μεταβαλλόμενη εστιακή απόσταση. Τα μέρη του οφθαλμού που είναι υπεύθυνα για τη λειτουργία του ως οπτικό όργανο δείχνονται στο σχήμα. Στην ουσία, ο οφθαλμός αποτελείται από δύο φακούς, τον κερατοειδή και τον φακό του οφθαλμού. Μεταξύ των δύο φακών, καθώς και μεταξύ οφθαλμικού φακού και αμφιβληστροειδούς βρίσκονται δύο διαφορετικά υγρά, το υδατοειδές και το υαλώδες. Η ικανότητα του οφθαλμού να αλλάζει την εστιακή του απόσταση, οφείλονται στη μεταβλητότητα του φακού του οφθαλμού. Όπως φαίνεται στο σχήμα 2, η πίεση από τους μύες του ακτινωτού σώματος, μπορεί να μικρύνει τις ακτίνες καμπυλότητας του φακού του οφθαλμού κάνοντάς τον πιο ισχυρό φακό, ώστε να εστιάζει σε κοντινότερα αντικείμενα. Το φαινόμενο αυτό καλείται προσαρμογή του οφθαλμού. Ο κερατοειδής γενικά δεν αλλάζει ως προς το σχήμα του. Τα οπτικά χαρακτηριστικά ενός τυπικού οφθαλμού σε ηρεμία (εστιάζει στο άπειρο) δίνονται στο σχήμα. Παρατηρούμε τα εξής.. Ο δείκτης διάθλασης του φακού μεταβάλλεται, είναι μεγαλύτερος στα εσωτερικά στρώματα και μικρότερος στα εξωτερικά. Αυτό προκαλεί εντονότερη εκτροπή των φωτεινών ακτινών στο εσωτερικό του από ότι αν είχε σταθερό δείκτη διάθλασης. 2. Μεγάλες διαφορές στο δείκτη διάθλασης μεταξύ γειτονικών στρωμάτων υπάρχουν μόνο για ακτίνες που προσπίπτουν από τον αέρα στον κερατοειδή. Γι αυτό το λόγο το μεγαλύτερο μέρος της οπτικής ισχύος του οφθαλμού ( 80%) οφείλεται στον κερατοειδή. Το υπόλοιπο 20% οφείλεται στο φακό του οφθαλμού. Δεδομένου ότι ο κερατοειδής δεν αλλάζει σχήμα, η δυνατότητα προσαρμογής της εστιακής απόστασης του οφθαλμού οφείλεται αποκλειστικά στον φακό και είναι σχετικά περιορισμένη.. Με δεδομένο ότι η διαφορά ανάμεσα στο δείκτη διάθλασης του κερατοειδούς και στο δείκτη διάθλασης του υδατοειδούς υγρού είναι πολύ μικρή, η εσωτερική επιφάνεια του κερατοειδούς συνεισφέρει ελάχιστα στη διάθλαση (σε σύγκριση με την εξωτερική) και η συνεισφορά της στην εστιακή απόσταση του κερατοειδούς μπορεί να αγνοηθεί. Έτσι παρότι ο κερατοειδής έχεις σχήμα μηνίσκου, στην πράξη λειτουργεί ως επιπεδόκυρτος φακός.

2 Σχήμα : Τα οπτικά ενεργά μέρη του οφθαλμού. Σχήμα 2: Η συμπίεση του φακού του οφθαλμού προκειμένου να γίνει εστίαση σε κοντινά αντικείμενα. Σχήμα : Φυσικά μεγέθη ενός τυπικού οφθαλμού. 2

3 Σχήμα 4: Μοντέλο του οφθαλμού με τρεις διαθλαστικές επιφάνειες. 2 Οπτικά μοντέλα του οφθαλμού Στην θεωρητική οπτομετρία είναι σημαντική η κατασκευή μοντέλων του οφθαλμού, κυρίως για τη μελέτη των σφαλμάτων κατά την απεικόνιση εξωτερικών αντικειμένων στον αμφιβληστροειδή. Τα λεπτομερή μοντέλα είναι απαραίτητα γιατί οι διαθλαστικές επιφάνειες στον οφθαλμό δεν είναι ακριβώς σφαιρικές, οπότε δεν μπορούν να εφαρμοστούν οι απλές εκφράσεις που ισχύουν για σφαιρικούς φακούς. Ωστόσο, αν ενδιαφερόμαστε μόνο για φαινόμενα όπως σχηματισμός ειδώλου, εστίαση και μεγένθυση του ειδώλου, τότε μπορεί κανείς να περιγράψει τον οφθαλμό ως ένα σύστημα συνηθισμένων σφαιρικών φακών, με αρκετά καλή ακρίβεια. 2. Μοντέλο τριών φακών Ένα τέτοιο μοντέλο, κατά το οποίο ο οφθαλμός περιγράφεται ως σύστημα τριών επιπεδόκυρτων φακών (τριών διαθλαστικών επιφανειών) δίνεται στο σχήμα 4. Ο πρώτος φακός αντιστοιχεί στον κερατοειδή, ο δεύτερος στην εξωτερική επιφάνεια του φακού και ο τρίτος στην εσωτερική επιφάνεια του φακού. Σε αυτό το μοντέλο, ο δείκτης διάθλασης του υδατοειδούς υγρού και του υαλώδους υγρού είναι θεωρείται περίπου n υ = 4, και ο δείκτης διάθλασης του φακού θεωρείται σταθερός και ίσος με n ϕ =, 42 (τιμή μεγαλύτερη της πραγματικής για να εξισορροπήσει την επιπλέον εκτροπή των ακτίνων λόγω της μεταβλητότητας του δείκτη διάθλαση στο εσωτερικό του φακού.) Αυτό το μοντέλο μελετάται στην Άσκηση του εργαστηρίου. 2.2 Μοντέλο δύο φακών Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε ένα πιο απλό μοντέλο. Με δεδομένο ότι το μεγαλύτερο μέρος της διάθλασης στον οφθαλμό οφείλεται στον κερατοειδή ο οποίος δε μεταβάλλεται, μπορούμε να θεωρήσουμε τον οφθαλμό ως ισοδύναμο με δύο φακούς σε επαφή. Ο πρώτος φακός αντιστοιχεί στον κερατοειδή και παραμένει αμετάβλητος, ενώ ο δεύτερος περιλαμβάνει τη συνεισφορά όλων των άλλων οπτικών τμημάτων του οφθαλμού και είναι μεταβλητός. Μεταξύ των δύο φακών και του αμφιβληστροειδή παρεμβάλλεται υγρό με δείκτη διάθλασης n υ = 4. Θεωρούμε ότι η απόσταση κερατοειδούς - αμφιβληστροειδούς είναι ίση με d = 24mm, ενώ προσεγγίζουμε τον κερατοειδή ως επιπεδόκυρτο φακό με ακτίνα καμπυλότητας R = 7, 8mm. Για να μελετήσουμε αυτό το το σύστημα φακών πρέπει να κάνουμε ορισμένες μετατροπές στο νόμο του Gauss, που να λαμβάνουν υπόψη ότι στην μία πλευρά του φακού βρίσκεται αέρας και στην άλλη υγρό με δείκτη διάθλασης n υ. Σ αυτήν την περιπτωση οι δύο εστίες ενός φακού δεν βρίσκονται σε ίση απόσταση από το κέντρο του, και αναφερόμαστε σε δύο εστιακές αποστάσεις, την εξωτερική

4 Σχήμα 5: Μοντέλο του οφθαλμού με δύο φακούς. f o και την εσωτερική f i. Για έναν επιπεδόκυρτο φακό, όπως ο κερατοειδής, αυτές δίνονται από μία τροποποιημένη σχέση κατασκευαστών των φακών ή ισοδύναμα f o = n υ f i = (n υ ) R, () f i = n υ f o = n υ R. (2) n υ Για n υ = 4, f i = 4R =, 2mm, και f o = 2, 4mm. Αν η (εσωτερική) εστιακή απόσταση του δευτερου φακού είναι f 2, τότε η συνολική εσωτερική εστιακή απόσταση f oϕ του οφθαλμού θα είναι f oϕ = f + f 2. () όπου γράψαμε ως f την εσωτερική εστιακή απόσταση f i του κερατοειδούς. Ο νόμος του Gauss που συσχετίζει τη θέση αντικειμένου με τη θέση ειδώλου γράφεται σε αυτήν την περίπτωση s + n υ s = n υ f oϕ, (4) όπου s απόσταση αντικειμένου-φακού (κερατοειδούς) και s απόσταση ειδώλου-φακού. Όταν το αντικείμενο εστιάζεται στον αμφιβληστροειδή, τότε s = d, η απόσταση κερατοειδούς - αμφιβληστροειδούς. Η τιμή του f 2 μεταβάλλεται. Για οφθαλμό σε ηρεμία, εστιασμένο στο άπειρο, s = και η σχέση (4) δίνει f oϕ = d = 24mm. Αντικαθιστώντας στην Εξ. () και λύνοντας ως προς f 2, βρίσκουμε την εστιακή απόσταση του δεύτερου φακού για οφθαλμό σε ηρεμία, f 2 = 04mm. Θεωρούμε τώρα οφθαλμό εστιασμένο όσο πιο κοντά γίνεται. Αυτό αντιστοιχεί σε θέση αντικειμένου s στο εγγύτερο σημείο, το οποίο αντιστοιχεί περίπου σε s = 25cm = 250mm. Εξακολουθεί να ισχύει ότι s = d για να σχηματίζεται είδωλο στον αμφιβληστροειδή, οπότε η σχεση (4) δίνει f oϕ = 22, 4mm. Αντικαθιστώντας στην Εξ. () και λύνοντας ως προς f 2, βρίσκουμε την εστιακή απόσταση του δεύτερου φακού για οφθαλμό σε μέγιστη κοντινή εστίαση, f 2 = 79, 4mm. Συνοψίζοντας, ο οφθαλμός περιγράφεται σαν ένα σύστημα δύο φακών, του κερατοειδούς με σταθερή (εσωτερική) εστιακή απόσταση f =, 2mm και ενός φακού μεταβλητής εστιακής απόστασης f 2 που κυμαίνεται από περιπου 80mm (κοντινή εστίαση) ως 04mm (μακρινή εστίαση). 4

5 Ερωτήσεις - Ασκήσεις Ποιες είναι οι κύριες διαθλαστικές επιφάνειες στον οφθαλμό; Ποια επιφάνεια συνεισφέρει κυρίαρχα στην ισχύ του οφθαλμού και γιατί; Περιγράψτε, όσο το δυνατό συνοπτικότερα, το μοντέλο των δύο φακών για τον οφθαλμό. Ειδικότερα, εξηγήστε πώς περιγράφεται η προσαρμογή του οφθαλμού σ αυτό το μοντέλο. Γιατί μπορούμε να περιγράψουμε τον κερατοειδή ως επιπεδόκυρτο φακό παρότι έχει το σχήμα μηνίσκου; Γιατί τα ψάρια έχουν πολύ γουρλωμένα μάτια (μικρότερη ακτίνα καμπυλότητας στο εξωτερικό στρώμα του ματιού); Άσκηση. Εφαρμόζοντας το μοντέλο των δύο φακών με τις παραπάνω παραμέτρους σε έναν άνθρωπο, βρίσκουμε ότι αυτός δεν μπορεί να κάνει την εστιακή απόσταση του δεύτερου φακού μεγαλύτερη από 95mm. Τί προβλήμα έχει; Τί εστιακής απόστασης φακό πρέπει να προσθέσουμε έτσι ώστε να διορθωθεί το πρόβλημα; Άσκηση 2. Εφαρμόζοντας το μοντέλο των δύο φακών με τις παραπάνω παραμέτρους σε έναν άνθρωπο, βρίσκουμε ότι αυτός δεν μπορεί να κάνει την εστιακή απόσταση του δεύτερου φακού μικρότερη από 87mm. Τί προβλήμα έχει; Τί εστιακής απόστασης φακό πρέπει να προσθέσουμε έτσι ώστε να διορθωθεί το πρόβλημα; Άσκηση. Επαναλάβετε τους υπολογισμούς για το μοντέλο των δύο φακών, θεωρώντας ότι η ακτίνα καμπυλότητας του κερατοειδούς είναι R = 8, 2mm και ότι η απόσταση κερατοειδούς - αμφιβληστροειδούς είναι d = 24, 6mm. Άσκηση 4. Ανατρέξτε στο ο φυλλάδιο του εργαστηρίου και απαντήστε στα ερωτήματα για το μοντέλο των τριών φακών. 5