Για τη δημιουργία ενός διανύσματος με στοιχεία από το 0 μέχρι το 20 με βήμα το 2 (χρησιμοποιείται συνήθως για διανύσματα χρόνου) δίνουμε

Transcript

1 Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Άσκηση 1 η Εισαγωγή στο Matlab 1 Άσκηση 1 η : Εισαγωγή στο Matlab Αντικείμενο Εξοικείωση με τις βασικές λειτουργίες του Matlab (πρόγραμμα αριθμητικής ανάλυσης και επεξεργασίας δεδομένων). Υπάρχουν πολλά διαφορετικά εργαλεία (toolboxes) που επεκτείνουν τις βασικές λειτουργίες του Matlab σε διάφορες περιοχές εφαρμογών. Στη σειρά των ασκήσεων που ακολουθεί χρησιμοποιείται εκτενώς το εργαλείο των συστημάτων ελέγχου control systems toolbox Διανύσματα (Vectors) Απαιτούμενες Θεωρητικές Γνώσεις Για τη δημιουργία ενός απλού διανύσματος, εισάγουμε όλα τα στοιχεία του διανύσματος (διαχωρίζοντάς τα με ένα κενό) ανάμεσα σε αγκύλες και το θέτουμε ίσο με μια μεταβλητή: a = [ ] Το Matlab επιστρέφει a = Για τη δημιουργία ενός διανύσματος με στοιχεία από το 0 μέχρι το 20 με βήμα το 2 (χρησιμοποιείται συνήθως για διανύσματα χρόνου) δίνουμε t = 0:2:20 t = Οι πράξεις με τα διανύσματα είναι το ίδιο εύκολες με τη δημιουργία τους. Αν υποθέσουμε ότι θέλουμε να προσθέσουμε το 2 σε όλα τα στοιχεία του διανύσματος a δίνουμε b = a + 2 b = Για να προσθέσουμε δύο διανύσματα ίδιου μήκους μεταξύ τους δίνουμε c = a + b

2 Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Άσκηση 1 η Εισαγωγή στο Matlab 2 c = Η αφαίρεση γίνεται με τον ίδιο τρόπο Συναρτήσεις (Functions) Μ-Files Το Matlab διαθέτει πολλές τυποποιημένες συναρτήσεις. Κάθε συνάρτηση είναι ένας κώδικας που πραγματοποιεί συγκεκριμένη εργασία. Έτσι το Matlab περιέχει συναρτήσεις όπως οι sin, cos, log, exp, sqrt και πολλές άλλες. Επίσης, περιέχει και γνωστές σταθερές, όπως τα pi, i ή j για την τετραγωνική ρίζα του 1. Αν δώσουμε το Matlab επιστρέφει sin(pi/4) Το Matlab διαθέτει πολύ καλό on-line help (βοήθεια). Για να δούμε τη χρήση της κάθε συνάρτησης ή εντολής, πληκτρολογούμε help [function ή command name] στη γραμμή εντολών του Matlab. Το Matlab μας δίνει τη δυνατότητα να γράψουμε τις δικές μας συναρτήσεις με την εντολή function και τα m-files. Αυτό που πραγματικά γίνεται όταν δίνουμε μια εντολή στο Matlab, είναι η εκτέλεση ενός m-file το οποίο εκτελεί μια συγκεκριμένη εργασία. Τα m-files είναι όμοια με τις υπορουτίνες των γλωσσών προγραμματισμού και έχουν εισόδους (παράμετροι που εισάγονται στο m-file), εξόδους (παράμετροι που επιστρέφονται από το m-file) και ένα κύριο σώμα από εντολές που μπορεί να περιέχει τοπικές μεταβλητές. Το Matlab ονομάζει αυτά τα m-files functions. Στη νέα συνάρτηση δίνεται ένα όνομα αρχείου με κατάληξη «..m». Το αρχείο αυτό αποθηκεύεται στον ίδιο φάκελο που βρίσκεται και το Matlab ή σε ένα φάκελο που βρίσκεται στο path του Matlab. Μια συνάρτηση μπορεί να έχει πολλές μεταβλητές εισόδου και εξόδου. Η πρώτη γραμμή του αρχείου πρέπει να περιέχει τη σύνταξη αυτής της συνάρτησης ως function[output1,output2] = filename[input1,input2,input3] Οι επόμενες γραμμές περιέχουν, συνήθως, κείμενο που περιγράφει τον κώδικα του m-file ή οδηγίες που είναι χρήσιμες στο χρήστη για μελλοντική τροποποίηση του κώδικα. Οι βοηθητικές αυτές γραμμές ξεκινούν με % για να τις αγνοεί το Matlab. Τέλος, μετά το βοηθητικό κείμενο, ακολουθεί το κύριο μέρος του m-file που περιλαμβάνει όλες τις εντολές. Ακολουθεί ένα παράδειγμα για την add.m. function[var3] = add(var1,var2) %η add είναι μια συνάρτηση που προσθέτει δύο αριθμούς var3 = var1+var2; Σώζοντας αυτές τις γραμμές με το όνομα add.m στο φάκελο του Matlab, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε δίνοντας y=add(3,8)

3 Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Άσκηση 1 η Εισαγωγή στο Matlab 3 y = Διαγράμματα (Plots) Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να σχεδιάσουμε την κυματομορφή ενός ημιτόνου σε συνάρτηση με το χρόνο. Πρώτα δημιουργούμε ένα διάνυσμα χρόνου και μετά υπολογίζουμε την τιμή του ημιτόνου σε κάθε χρονική στιγμή. Το ερωτηματικό στο τέλος κάθε γραμμής δίνει στο Matlab την εντολή να μην δείχνει κάθε φορά τα αποτελέσματα. Έτσι t = 0:0.25:7; y = sin(t); plot (t,y) Η βασική σύνταξη της εντολής plot είναι plot(x,y) οπότε και σχεδιάζονται τα στοιχεία του διανύσματος x στον οριζόντιο άξονα και τα στοιχεία του διανύσματος y στον κατακόρυφο άξονα. Για να σχεδιάσουμε τον απλό τύπο y=3x δίνουμε x = 0:0.1:100; y = 3*x; plot (x,y) Είναι σημαντικό να τονιστεί ότι τα διανύσματα x και y πρέπει να είναι του ίδιου μήκους. Το χρώμα και το είδος της γραμμής στη γραφική παράσταση μπορούν να αλλάξουν προσθέτοντας μια τρίτη παράμετρο στην εντολή plot μέσα σε απλά εισαγωγικά. Για παράδειγμα, για να σχεδιαστεί η παραπάνω γραφική παράσταση με κόκκινο χρώμα και με κουκίδες δίνουμε x = 0:0.1:100; y = 3*x; plot (x,y, r: )

4 Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Άσκηση 1 η Εισαγωγή στο Matlab 4 Η παράμετρος αυτή αποτελείται από έναν έως τρεις χαρακτήρες που υποδηλώνουν τα παρακάτω y yellow. point m magenta o circle c cyan x x-mark r red + plus g green - solid b blue * star w white : dotted k black -. dashdot -- dashed Μπορούμε να σχεδιάσουμε περισσότερα από ένα διαγράμματα στους ίδιους άξονες. Έστω ότι θέλουμε να σχεδιάσουμε ένα ημίτονο και ένα συνημίτονο στους ίδιους άξονες με διαφορετικό χρώμα και διαφορετικό τύπο γραμμής για το καθένα: x = linspace(0,2*pi,50); y = sin(x); z = cos(x); plot (x,y, r, x,z, gx ) Η linspace δημιουργεί 50 σημεία ανάμεσα στο 0 και το 2π. Προσθέτοντας και άλλες παραμέτρους μπορούμε να σχεδιάσουμε όσες διαφορετικές συναρτήσεις θέλουμε στο ίδιο σχεδιάγραμμα. Όταν σχεδιάζει κανείς πολλά διαγράμματα στους ίδιους άξονες είναι χρήσιμο να τα διαφοροποιεί με διαφορετικό χρώμα και τύπο γραμμής. Το ίδιο μπορεί να επιτευχθεί με τις εντολές hold on και hold off. Τα παραπάνω διαγράμματα μπορούν να παραχθούν και ως x = linspace(0,2*pi,50); y = sin(x); plot (x,y, r ); z = cos(x); hold on plot (x,z, gx ) hold off Χρησιμοποιώντας την εντολή hold on, όλα τα διαγράμματα από εκεί και στο εξής σχεδιάζονται πάνω στους ίδιους άξονες, χωρίς να σβήνεται το προηγούμενο διάγραμμα, μέχρι να χρησιμοποιηθεί η εντολή hold off. Περισσότερα από ένα διαγράμματα μπορούν να τοποθετηθούν στην ίδια εικόνα με την εντολή subplot. Αυτή η εντολή διαχωρίζει την εικόνα σε τόσα διαγράμματα όσα θέλουμε και τα τοποθετεί όλα στην ίδια εικόνα. Η εντολή χρησιμοποιείται ως subplot(m,n,p). Η εικόνα χωρίζεται σε m γραμμές και n στήλες δημιουργώντας m*n διαγράμματα σε μια εικόνα. Το p-στο διάγραμμα επιλέγεται ως το τρέχον ενεργό διάγραμμα. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να σχεδιάσουμε ένα

5 Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Άσκηση 1 η Εισαγωγή στο Matlab 5 ημίτονο, ένα συνημίτονο και μια εφαπτομένη σε μια εικόνα αλλά όχι στους ίδιους άξονες. Θα δώσουμε x = linspace(0,2*pi,50); y = sin(x); z = cos(x); w= tan(x); subplot (2,2,1) plot (x,y) subplot (2,2,2) plot (x,z) subplot (2,2,3) plot (x,w) Πρέπει να τονιστεί ότι κάθε διάγραμμα που δημιουργείται με την εντολή plot μετά την subplot τοποθετείται εκεί που χρησιμοποιήθηκε τελευταία φορά η subplot αντικαθιστώντας το διάγραμμα που βρισκόταν εκεί. Για να λυθεί αυτό το πρόβλημα, η εικόνα πρέπει να εκκαθαρίζεται (χρησιμοποιώντας την εντολή clf) ή να δημιουργείται νέα εικόνα (χρησιμοποιώντας την εντολή figure). Η εντολή axis αλλάζει τους άξονες του διαγράμματος ώστε να παρατηρούμε μόνο το τμήμα της γραφικής παράστασης που μας ενδιαφέρει και εισάγεται ως axis([xmin, xmax, ymin, ymax]). Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να δούμε το διάγραμμα της συνάρτησης y=e 5t -1. Θα δώσουμε στο Matlab t = 0:0.01:5; y = exp(5*t)-1; plot (t,y) Όπως φαίνεται η γραφική παράσταση πηγαίνει στο άπειρο. Παρατηρώντας τον άξονα y (κλίμακα: 8e10) είναι φανερό ότι δεν μπορούμε να αποκομίσουμε πολλά από αυτή τη γραφική παράσταση. Για να δούμε καλύτερα θα εστιάσουμε στο πρώτο μισό του διαγράμματος ως axis ([0, 1, 0, 50]) Αυτό το διάγραμμα είναι πολύ πιο χρήσιμο. Μπορεί να δει κανείς πιο καθαρά τι γίνεται καθώς η συνάρτηση πλησιάζει προς το άπειρο. Η εντολή axis μπορεί να χρησιμοποιηθεί και με την εντολή subplot αρκεί να εισάγεται πριν από αυτήν.

6 Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Άσκηση 1 η Εισαγωγή στο Matlab 6 Πολύ χρήσιμη στα διαγράμματα είναι και η πρόσθεση κειμένου. Μπορεί κανείς να δώσει τίτλο σε ένα διάγραμμα (με την εντολή title), υπότιτλο στον άξονα x (με την εντολή xlabel), υπότιτλο στον άξονα y (με την εντολή ylabel) και να προσθέσει κείμενο. Όλες αυτές οι εντολές εισάγονται μετά την εντολή plot. Ο τίτλος τοποθετείται κεντραρισμένος πάνω από το διάγραμμα με την εντολή title( title string ). Ο υπότιτλος στον άξονα x τοποθετείται με την εντολή xlabel( x-axis string ). Ο υπότιτλος στον άξονα y τοποθετείται με την εντολή ylabel( y-axis string ). Το κείμενο μπορεί να τοποθετηθεί πάνω στο διάγραμμα με δύο τρόπους, την εντολή text και την εντολή gtext. Η πρώτη εντολή προϋποθέτει ότι ξέρει κανείς τις συντεταγμένες του σημείου που θέλει να τοποθετήσει το κείμενο. Η εντολή είναι τότε text(xcor,ycor, text string ). Για τη δεύτερη εντολή δε χρειάζεται να γνωρίζει κανείς τις συντεταγμένες. Η εντολή είναι τότε gtext( text string ) και απλά μετακινεί κανείς ένα σταυρό με το mouse στην επιθυμητή περιοχή και κάνει κλικ εκεί που θέλει να τοποθετηθεί το κείμενο. Έστω, ότι έχουμε δημιουργήσει ένα διάγραμμα βηματικής απόκρισης. Στο Matlab θα δώσουμε title ( step response of something ) xlabel ( time (sec) ) ylabel ( position, velocity, or something like that ) gtext ( unnecessary labeling ) Το κείμενο «unnecessary labeling» τοποθετήθηκε στη θέση που κάναμε κλικ. Το αποτέλεσμα είναι το παρακάτω. Άλλες εντολές που χρησιμοποιούνται με την εντολή plot είναι: clf (εκκαθαρίζει το τρέχον διάγραμμα) figure (ανοίγει νέα εικόνα) close (κλείνει την τρέχουσα εικόνα) loglog (ότι και η plot αλλά οι δύο άξονες είναι λογαριθμικοί με βάση το 10) semilogx (ότι και η plot αλλά ο άξονας x είναι λογαριθμικός με βάση το 10) semilogy (ότι και η plot αλλά ο άξονας y είναι λογαριθμικός με βάση το 10 grid (προσθέτει πλέγμα στο διάγραμμα) 1.4. Πολυώνυμα (Polynomials) Στο Matlab ένα πολυώνυμο αναπαριστάνεται με ένα διάνυσμα. Για να το δημιουργήσει κανείς απλά εισάγει κάθε συντελεστή του πολυωνύμου με αύξουσα σειρά. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να εισάγουμε το πολυώνυμο s 4 +3s 3-15s 2-2s+9: Το Matlab επιστρέφει x = [ ]

7 Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Άσκηση 1 η Εισαγωγή στο Matlab 7 x = Το Matlab μπορεί να μεταχειριστεί κάθε διάνυσμα μήκους n+1 ως ένα πολυώνυμο n-οστής τάξης. Αν από το πολυώνυμο λείπουν κάποιοι συντελεστές, πρέπει κανείς να εισάγει μηδενικά στην κατάλληλη θέση στο διάνυσμα. Για παράδειγμα το πολυώνυμο s 4 +1 αναπαρίσταται στο Matlab ως y = [ ] Η τιμή ενός πολυωνύμου μπορεί να βρεθεί με τη συνάρτηση polyval. Για παράδειγμα, για να βρεθεί η τιμή του παραπάνω πολυωνύμου για s=2 θέτουμε z = polyval([ ],2) z = 17 Πολύ εύκολα υπολογίζονται και οι ρίζες ενός πολυωνύμου. Αυτό είναι χρήσιμο κυρίως για τα πολυώνυμα μεγάλου βαθμού όπως το s 4 +3s 3-15s 2-2s+9: roots([ ]) Ας θεωρήσουμε ότι θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε δύο πολυώνυμα μεταξύ τους. Το γινόμενο βρίσκεται παίρνοντας τη συνέλιξη (convolution) των συντελεστών τους. Αυτό το κάνει η εντολή conv. Για παράδειγμα x = [1 2]; y = [1 4 8]; z = conv(x,y) z = Το ίδιο εύκολη είναι και η διαίρεση δύο πολυωνύμων. Η συνάρτηση deconv επιστρέφει το υπόλοιπο και το πηλίκο. Ας διαιρέσουμε το z με το y για να δούμε αν θα πάρουμε το x. [xx, R] = deconv(z,y) xx = 1 2 R =

8 Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Άσκηση 1 η Εισαγωγή στο Matlab 8 Αν η διαίρεση δεν ήταν τελεία το υπόλοιπο θα ήταν κάτι διαφορετικό από μηδέν. Για την πρόσθεση δύο πολυωνύμων του ίδιου βαθμού χρησιμοποιούμε απλά z=x+y (τα διανύσματα x και y πρέπει να είναι του ίδιου βαθμού). Για την πρόσθεση πολυωνύμων ανόμοιου βαθμού πρέπει κανείς να δημιουργήσει την κατάλληλη συνάρτηση με m-file. Εδώ χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση polyadd ως z = polyadd(x,y) x = 1 2 y = z = Πίνακες (Matrices) Η εισαγωγή πινάκων στο Matlab είναι το ίδιο με την εισαγωγή διανυσμάτων, με τη διαφορά ότι κάθε γραμμή στοιχείων διαχωρίζεται με ένα ερωτηματικό (;) ή enter, δηλαδή Β = [ ; ; ] Β = ή Β = [ ] πάλι Β = Η διαχείριση των πινάκων στο Matlab γίνεται με πολλούς τρόπους. Μπορεί να κανείς να βρει τον transpose πίνακα με το σήμα της αποστρόφου όπως C = B C =

9 Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Άσκηση 1 η Εισαγωγή στο Matlab 9 Να σημειωθεί ότι αν ο C ήταν μιγαδικός, η απόστροφος θα έδινε το συζυγή μιγαδικό transpose. Για να πάρουμε τον transpose δίνουμε τελεία και απόστροφο (. ) (οι δύο εντολές είναι ίδιες αν ο πίνακας είναι μη μιγαδικός). Δύο πίνακες μπορούν να πολλαπλασιαστούν μεταξύ τους. Να υπενθυμιστεί ότι η τάξη παίζει ρόλο στον πολλαπλασιασμό πινάκων. ενώ D = B * C D = D = C * B D = Άλλος τρόπος διαχείρισης πινάκων είναι ο πολλαπλασιασμός των αντίστοιχων στοιχείων δύο πινάκων χρησιμοποιώντας τον τελεστή.* (οι πίνακες πρέπει να είναι του ίδιου μεγέθους για να γίνει αυτό): Ε = [1 2;3 4] F = [2 3;4 5] G = Ε.* F Ε = F = G = Για τετραγωνικό πίνακα, όπως ο Ε, μπορεί να γίνει πολλαπλασιασμός με τον εαυτό του όσες φορές θέλουμε υψώνοντάς τον στην αντίστοιχη δύναμη: Ε^

10 Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Άσκηση 1 η Εισαγωγή στο Matlab 10 Αν θέλαμε να υψώσουμε στην τρίτη δύναμη κάθε στοιχείο του πίνακα, μπορεί να γίνει υψώνοντας το κάθε ένα χωριστά ως Ε.^ Για να βρούμε τον αντίστροφο ενός πίνακα X = inv(e) X = ή για τον υπολογισμό των ιδιοτιμών του eig(ε) Υπάρχει και συνάρτηση για την εύρεση των συντελεστών του χαρακτηριστικού πολυωνύμου ενός πίνακα. Η συνάρτηση poly δημιουργεί ένα διάνυσμα που περιλαμβάνει τους συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου. p = poly(e) p = Να υπενθυμίσουμε εδώ ότι οι ιδιοτιμές ενός πίνακα είναι οι ίδιες με τις ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου: roots(p) Χρήσιμες Συμβουλές - Εκτύπωση Μπορούμε να δούμε τις τιμές μιας συγκεκριμένης μεταβλητής ανά πάσα χρονική στιγμή πληκτρολογώντας απλά το όνομά της. Επίσης, παραπάνω από μια εντολές μπορούν να γραφούν στην ίδια γραμμή αρκεί να διαχωρίζονται με ερωτηματικό ή κόμμα. Όσο δεν δίνουμε όνομα σε μια μεταβλητή το Matlab την αποθηκεύει με το όνομα «ans». Για να εκτυπώσουμε ένα διάγραμμα ή ένα m-file απλά επιλέγουμε print από το file menu του παραθύρου του διαγράμματος ή του m-file.

11 Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Άσκηση 1 η Εισαγωγή στο Matlab 11 Διαδικασία 1.1. Δημιουργήστε ένα διάνυσμα a με στοιχεία τους αριθμούς 2,4,6,8,10,12 και ένα διάνυσμα t με στοιχεία από το 0 μέχρι το 15 με βήμα το Στη συνέχεια κάνετε τις πράξεις b=a+3, c=a+b, d=a-2 και e=a-d Υπολογίστε το ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη των 45 ο. Στη συνέχεια κάνετε τις πράξεις log10, ln10, e 10 και 10. Όπου απαιτείται χρησιμοποιείστε το help για να βρείτε τις κατάλληλες συναρτήσεις Δημιουργήστε ένα m-file που να υπολογίζει τον μέσο όρο των βαθμών που παίρνει ένας μαθητής. Οι είσοδοι πρέπει να είναι οι βαθμοί και ο αριθμός των μαθημάτων Για τις τιμές του διανύσματος t της διαδικασίας 1.1 σχεδιάστε το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη πάνω στους ίδιους άξονες με διαφορετικά χρώματα και διαφορετικού τύπου σημεία Για 10<x<10 να σχεδιαστεί η συνάρτηση y=5χ+3 με βήμα Χρησιμοποιείστε πράσινο χρώμα και αστεράκια Τα τέσσερα διαγράμματα των διαδικασιών 1.4 και 1.5 να σχεδιαστούν ξανά, όχι πάνω στους ίδιους άξονες, αλλά στην ίδια εικόνα αφού πρώτα χωριστεί σε τέσσερα μικρότερα υποδιαγράμματα Να σχεδιαστεί η συνάρτηση y=5t-e 2t. Εστιάστε στο σημείο καμπής της γραφικής παράστασης με την βοήθεια της εντολής axis. Στη συνέχεια προσθέστε τίτλο στο διάγραμμα και υπότιτλους στους άξονες x και y Υπολογίστε την τιμή του πολυωνύμου s 5 +3s 4-2s 2 +1 για s=3. Στη συνέχεια βρείτε τις ρίζες του πολυωνύμου Έστω τα πολυώνυμα s 5 +3s 4-2s 2 +1 και 3s 3 +2s 2 -s+2. Να υπολογιστεί το γινόμενο, το πηλίκο τους και το άθροισμά τους (με απλή πρόσθεση πολυωνύμων) Προσπαθήστε να δημιουργήστε το m-file για τη συνάρτηση polyadd Εισαγάγετε έναν πίνακα 5x5 με όποια στοιχεία θέλετε και ονομάστε τον Β. Υπολογίστε τον ανάστροφό του C. Κάνετε τους πολλαπλασιασμούς BC και CB Δημιουργήστε δύο πίνακες E και F 3x3 με όποια στοιχεία θέλετε. Υπολογίστε τον πίνακα G που προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό των αντίστοιχων στοιχείων των δύο πινάκων. Υψώστε τον πίνακα Ε στο τετράγωνο και στη συνέχεια υπολογίστε τον πίνακα που προκύπτει υψώνοντας κάθε στοιχείο του Ε στο τετράγωνο. Βρείτε τον αντίστροφο του Ε καθώς και τις ιδιοτιμές του. Ποιο είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Ε;